工程力学弯曲变形

EIzv′′ = M (x) = −P(l − x)
对 x 积分，有
EI z v′
=
EI zθ
=
P 2
x2
−
Plx
+C
EI z v
=
P 6
x3
−
Pl 2
x2
+ Cx
+
D
（1） （2）
3. 由边界条件确定积分常数
θ A = v′A = 0
当 x =0 时
vA = 0
（3） （4）
将（3）、（4）代入式（1）、（2）得
A
q P
车辆用叠板弹簧
2. 弯曲变形的基本概念
（1）挠曲线： 变形后梁的轴线 —— 称为梁的挠曲线 对于平面弯曲，挠曲线为纵向对称 平面内的平面曲线。
y
θ
v
A
θx
P x
B
（2）挠度与转角： （a）挠度：
切线
轴线上点（横截面的形心）在垂直于 x 轴方向的位移 v —— 称为梁在该点的挠度；
v = f (x)
—— 顺时转向 —— 向下
例：已知梁的抗弯刚度为EI。试求图示简支梁 在均布载荷q作用下的转角方程、挠曲线方
程，并确定θmax和fmax。
解： 1. 求支反力、写出弯矩方程；
RA
=
RB
=
ql 2
M (x) = ql x − q x2
22
2. 写出挠曲线微分方程，并积分；
EI z v′′
=
—— 梁的挠曲线方程 （b）转角：
由梁的小变形假设，有
θ ≈ tanθ = dv = f ′(x) （12.1）
dx
截面转角θ等于挠度关于截面位 置 x 的一阶导数。
横截面对其原来位置转过的角度θ —— 称为梁的截面转角，简称转角。 （c）挠度与转角正负号约定：
由梁的平面假设，有
挠度：向上为正，向下为负；
=
M EI z
由高等数学中曲率的概念，有
上式中正负号，与弯矩 M 正负号约
[ ] 1
ρ(x)
=
±
v′′( x) 1+ v′2 (x)
3 2
定和坐标系选取的关系：
d 2v dx 2
>
0
d 2v dx 2
<
0
由小变形假设，挠度 v 很小，挠曲线非 y
y
常平坦，v′2 (x) << 1，因而近似有
1
ρ(x)
第十二章 梁的弯曲变形
基本内容：
（1）梁的弯曲变形：挠度与转角；梁的挠曲线微分方程。 （2）求梁弯曲变形的积分法 （3）求梁弯曲变形的叠加法 （4）简单超静定梁的求解 （5）梁的刚度设计与提高梁刚度的措施
§12. 1 工程问题中的弯曲变形
1. 工程实例 （1）传动轴、各种机床的主轴
齿轮间啮合不好，影响传 动比，加工精度， 轴承和齿轮 易磨损；
400 500
l 为的跨度梁。
对滑动轴承， [θ ] = 0.001rad
§12. 2 挠曲线的近似微分方程
由纯弯曲梁的曲率公式：
1= M
ρ EIz
y
θ
v
A
θx
P x
B
对横力弯曲（l / h >5），剪力对弯曲变
形的影响很小，上式近似成立，即
切线
1 = M (x)
ρ(x) EIz
即：
±
d 2v dx 2
tanθ = dv = f ′(x)
dx
转角：逆时针为正，顺时针为负。 挠度与转角 —— 弯曲变形的两个基本量
3. 梁的刚度条件
v ≤[f] max
θ ≤ [θ ] max
其中： [ f ] —— 许用最大挠度；[θ] —— 许用最大转角。
如：对起重机天车大梁，[ f ] = ( l ~ l ),
P
A
B
vA = 0
vB = 0
A
B
y
P
C
∆BC —— 为杆BC 的伸长量，为已知。
C
x
A
B
vA = 0
∆ BC
vB = −∆BC
3. 连续性条件
挠曲线的任意点上，有唯一的挠度和转角。
—— 称为梁变形的连续性条件。
如：对C 截面， 有
vC,左截面 = vC,右截面
θ θ = C,左截面
C ,右截面
A
两种不可能变形情况
≈
±v′′( x)
=
±
d 2v dx 2
M >0
x
M <0
x
可见：在图示坐标系下，曲率的正负与弯矩
的正负是一致的。
v′′( x)
=
d 2v dx2
=
M EI z
（12.4）
—— 梁挠曲线的近似微分方程
y
θ
v
A
θx
P x
B
略去了剪力对弯曲变形的影响； 近似性：
略去了v′2 (x) 的影响。
切线
—— 要求（l / h >5）成立 —— 要求梁的变形为小变形EIz 624. 确定指定的转角与挠度
将 x=l，代入上面两式，有
θB
=
v′B
=
−
Pl 2 2EI z
fB
=
vB
=
−
Pl3 3EI z
将具体数据代入( E=210GPa，l =50mm， P=200N，Iz=πd 2/64 = 491mm4 )，有
θ B = −0.00242rad
fB = −0.0805mm
例：图为镗孔示意图，为保证镗孔的精度，镗刀 杆的弯曲变形为能过大。设镗刀杆的直径 d =10mm，长度 l =50mm，弹性模量 E =210GPa，切削力 P =200N。试求镗刀杆上 安装镗刀的截面B 转角和挠度。
解： 1. 求支反力、写出弯矩方程；
M (x) = −P(l − x)
2. 列写挠曲线近似微分方程，并积分；
C = EIzθ A = 0
D = EIzvA = 0
代回式(1)、(2) 得，镗刀杆的转角方 程和挠曲线方程为
EI z v′
=
EI zθ
=
P 2
x2
−
Plx
EI z v
=
P 6
x3
−
Pl 2
x2
A
v′ = θ = 1 P x2 − Plx
或
EIz 2
v = 1 P x3 − Pl x2
（2）起重机天车大梁
若变形过大，引起梁的剧烈振动，运行不 平稳，易造成事故；小车会出现爬坡现象。
（3）汽车等用的叠板弹簧
希望其容易变形，以缓和车辆的受到的冲 击与振动，使乘车人舒适。
研究弯曲变形的目的： （1）使梁的变形限制在正常工作范围内
—— 这类问题称为梁的刚度问题；
（2）求梁的静不定问题。
挠度和转角
dx
dx
+
Cx
+
D
对等截面梁，EIz = 常数，有
（b） —— 梁的挠曲线方程
∫ EIzθ = EIzv′ = M dx + C
( ) （c）
EIzv = ∫ ∫ M dx dx + Cx + D
式中：C、D 为积分常数，由边界条件或变形连续性条件确定。
2. 边界条件
y
P
vA = 0
C
x
θA =0
注： 式（12.4）适用图示坐标系（右手系）。
§12.3 用积分法求弯曲变形
1. 挠度与转角方程
挠曲线近似微方程：
v′′( x)
=
d 2v dx2
=
M EI z
两边对 x 变量积分一次，有
θ
=
dv dx
=
∫
M EI z
dx
+
C
（a） —— 截面转角方程
将上式两边对 x 变量再积分一次，有
v
=
∫
∫
M EI z