山东省高一上学期期中考试数学试卷含答案
山东省高一上学期期中考试试卷数 学 试 题一、选择题（每题5分，共60分） 1. 不等式ax 2＋5x ＋c>0的解集为{x|31<x<21}，则a 、c 的值.( ) A ．a=6，c=1 B ．a=-6，c=-1 C ．a=1，c=1 D ．a=-1，c=-6 2.幂函数19)x 6m -(m f(x)3m 22++=-m在()+∞,0上单调递增，则m 的值为A. 2B. 3C. 4D. 2或43.当x ∈R 时，不等式mx 2＋2mx ＋1>0恒成立的条件是( ) A ．0<m<1 B ．0≤m ≤1 C ．0≤m<1 D ．M>14.函数021)12()1()(-+-=-x x x f 的定义域（ ）A.(]1,∞-B.⎪⎭⎫ ⎝⎛⋃⎪⎭⎫ ⎝⎛∞-1,2121,C.()1,∞-D. ⎪⎭⎫⎝⎛1,21 5.函数45x y =的图象是（ ）6.若关于x 的不等式ax-b>0的解集为(1，＋∞)，则关于x 的不等式02>-+x bax 的解集为( ) A.(-1,2) B.(-∞，-1)∪(2，＋∞) C.(1,2)D.(-∞，-2)∪(1，＋∞)7.若奇函数)(x f 在(]0,∞-上是增函数，则（ ）A.)2()1()23(f f f <-<-B. )2()23()1(f f f <-<- C. )1()23()2(-<-<f f f D. )23()1()2(-<-<f f f8．已知函数)(x f 是定义在[)+∞,0上的增函数，则满足)31()12(f x f <-的x 的取值范围是（ ）A.(-,∞32) B.⎪⎭⎫⎢⎣⎡32,31C.⎪⎭⎫⎝⎛+∞,21 D. ⎪⎭⎫⎢⎣⎡32,219.、已知0t >，则函数241t t y t-+=的最小值为（ ）A ．－4B ．－2C ．0D ．210. 若函数))(12()(a x x xx f -+=为奇函数，则实数a 的值是( )A.21 B. 32 C. 43D. 1 11.已知函数⎩⎨⎧<+-≥=0,130,)(x x x x x f ，则[]=-)1(f f （ ）A ．4B ．±2C ．﹣2D ．212.已知R a ∈,则“1>a ”是“11<a”的（ ） A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件D.即不充分也不必要条件二、填空题（每题4分，共16分）13．设x>0,y>0,且x+2y=1,则yx 11+的最小值为 .． 14.若函数()⎩⎨⎧≤+->+=1,2)1(1,)1(2x x a x x x f 是R 上的增函数，则实数a 的取值范围是 .15.已知函数，若，则______ ．16.已知)(x f 是定义域为R 的奇函数，当0>x 时x x x f 2)(2-=，则函数)(x f 在R 上的解析式为 三、解答题：（共6题76分） 17. (12分)设}{232=+-=x x x A ，}{0)5()1(222=-+++=a x a x x B ，若A B A =⋃,求实数a 的取值范围.18. (12分)求二次函数22)(2+-=ax x x f 在[]4,2上的最小值.19. (12分)已知幂函数),22()(322Z m m x x f m m ∈<<-=+--满足：（1）在区间()+∞,0上为增函数（2）对任意的,R x ∈都有0)()(=--x f x f求同时满足（1）（2）的幂函数)(x f 的解析式，并求当[]4,0∈x 时，)(x f 的值域.20. (12分) 已知一次函数)(x f 是R 上的减函数，))(()(m x x f x g +=，且()()316-=x x f f （1）求)(x f ;（2）若)(x g 在()3,2-上单调递减，求实数m 的取值范围;21. (13分)已知函数21)(xb ax x f ++=是定义在()1,1-上的奇函数,且52)21(=f （1）确定)(x f 的解析式（2）用定义证明)(x f 在)1,1(-上是增函数. （3）解不等式：0)()1(<+-t f t f22.(13分) 设函数)(x f 的定义域为()+∞,0，且)(x f 为增函数;已知1)2(=f ，对任意()+∞∈,0,y x ，有)()()(y f x f xy f +=(1)求)1(f 和)4(f 的值.(2)若)2(2)(->-a f a f ，求实数a 的取值范围高一上学期模块考试数学试题答案13.223+ 14.[)1,1- 15. -6 16.⎪⎩⎪⎨⎧<--=>-=0,20,00,2)(22x x x x x x x x f17.解：{}2,1=A ..................................................1 A B A B A ⊆∴=⋃ (2){}{}{}2,121或或或φ=∴B (3)当φ=B 时，30-<⇒<∆a (5)当{}1=B 时，⎩⎨⎧-=⨯+-=+511)1(2112a a 无解 (7)当{}2=B 时，⎩⎨⎧-=⨯+-=+522)1(2222a a 解得3-=a (9)当{}2,1=B 时，⎩⎨⎧-=⨯+-=+521)1(2212a a 无解 (11)综上：3-≤a (12)18.解：222)()(a a x x f -+-=.......................................2 所以)(x f 在区间()a -，∞递减()+∞a,递增 (3)4)1(≥a 时，)(x f 在区间(]4,2递减所以a f y 818)4(min -== (6)2)2(≤a 时，)(x f 在区间(]4,2递增所以a f y 46)2(min -== (9)42)3(<<a 时，)(x f 在区间(]a ,2递减[)4,a 递增所以2)(2min +-==a a f y .............................................12 19.解：因为函数在()+∞,0递增所以0322>+--m m ............1 解得：13<<-m (2)因为Z m m ∈<<-,22所以1-=m 或0=m (3)又因为)()(x f x f =-所以)(x f 是偶函数 (4)所以322+--m m 为偶数 (5)当1-=m 时4322=+--m m 满足题意 (6)当0=m 时3322=+--m m 不满足题意 (7)所以4)(x x f = (8)所以)(x f 在[]4,0上递增 (9)所以256)4(,0)0(max min ====f y f y (11)所以值域是[]256,0 (12)20.解：（1）由题意设)0()(<+=k b kx x f (2)316))((-=x x f f3162-=++∴x b kb x k (6)⎩⎨⎧=-=∴14b k ...........................7 14)(+-=∴x x f (8)（2）由（1）得m x m x x g +-+-=)41(4)(2 (9)因为)(x g 图象开口向下对称轴是841mx -=且在)3,2(-上单调递减……………10 所以2841-≤-m…………………………………………………………………11 得417≥m (12)21．解（1）由题意得：⎪⎩⎪⎨⎧==52)21(0)0(f f解得0,1==b a ，经检验满足题意 所以21)(xxx f +=……………………………………………3 （2）设()1,1,21-∈∀x x ，且21x x <)1)(1()1)(()()(2221212121x x x x x x x f x f ++--=- (6)1121<<<-x x01,01,01,021222121>->+>+<-∴x x x x x x)()(0)1)(1()1)((2122212121x f x f x x x x x x <∴<++--∴所以21)(xxx f +=在)1,1(-上单调递增. (8)(3)因为21)(xxx f +=在)1,1(-上单调递增且为奇函数 所以)()()1(t f t f t f -=-<- (10)所以⎪⎩⎪⎨⎧-<-<-<-<<-t t t t 111111 (12)解得⎭⎬⎫⎩⎨⎧<<210t t (13)22．解（1）令1==y x 代入)()()(y f x f xy f +=得)1(2)1()1()1(f f f f =+=0)1(=∴f (3)令2==y x 代入)()()(y f x f xy f +=得2)2(2)2()2()4(==+=f f f f2)4(=∴f (6)（2）由题意得)84()2()4()2(2)(-=-+=-+>a f a f f a f a f (10)因为)(x f 定义域为),0(+∞且为增函数所以⎪⎩⎪⎨⎧>->->02084a a a a (12)解得382<<a (13)。
山东省济宁市兖州区2022-2023学年高一上学期期中考试数学试题含答案
因为 g(x) 在区间 [0 ， 2] 上不是单调函数，所以 0 2m +1 2 ，................................................................10 分 2
解得 − 1 m 3 ，所以 m 的取值范围是 (− 1 , 3) ．.......................................................................................12 分
A B = x | 2 x 10 .....................................................................................................................................5 分
所以实数 x 的取值集合是 x x −3或x 2 ；..................................................................................................6 分
（2）命题 q：由 x2 − (2m +1)x + m2 + m 0 得[(x − (m +1)](x − m) 0 ，解得 x m 或 x m +1...........................................................................................8 分 设 A = {x x −3 或 x 2}， B = {x | x m 或 x m +1}
山东省高一上学期期中考试数学试题(解析版)
一、单选题1．已知集合，，则（ ） {}N 12A x x =∈-≤≤{}Z 1B x x =∈≤A B ⋃=A ． B ．C ．D ．{0,1}{1,0,1}-{1,0,1,2}-{0,1,2}【答案】C【分析】根据给定条件，利用列举法表示出集合A ，B ，再利用并集的定义求解作答. 【详解】集合，， {}N 12A x x =∈-≤≤{0,1,2}={}{}Z 11,0,1B x x =∈≤=-所以. {1,0,1,2}A B =- 故选：C2．“”是“”的 2x >1x >()A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】A【分析】结合充分条件和必要条件的判定,即可.【详解】结合题意可知可以推出,但是并不能保证,故为充分不必要条件,故选A. 2x >1x >1x >2x >【点睛】考查了充分条件和必要条件的判定,难度较容易. 3．不等式的解集为（ ） ()()120x x -->A ．或 B ． {|1x x <}2x >{}|12x x <<C ．或 D ． {|2x x <-}1x >-{}|21x x -<<-【答案】B【分析】先将二次项系数转化为正，再结合一元二次不等式求解即可. 【详解】将不等式化为，解得， ()()120x x -->()()120x x --<12x <<所以解集为 {}|12x x <<故选：B.【点睛】本题考查一元二次不等式的解法，需注意使用“大于取两边，小于取中间”的前提是二次项系数为正，属于基础题.4．全称命题“，”的否定是（ ） x ∀∈R 21x ≥A ．， B ．，C ．，D ．，x ∀∈R 21x <x ∀∉R 21x ≥x ∃∈R 21x ≥x ∃∈R 21x <【答案】D【分析】利用全称命题的否定可得出结论.【详解】由全称命题的否定可知，命题“，”的否定是“，”. x ∀∈R 21x ≥x ∃∈R 21x <故选：D.5．函数的定义域为 (l )n f x x =A ． B ．C ．D ．(0,)+∞(1,)+∞(0,1](0,1)(1,)⋃+∞【答案】B【分析】根据分母不为零、偶次根式下被开方数非负、对数中真数大于零列不等式，解得定义域. 【详解】由题意得：，选B. 10{10x x x ->∴>>【点睛】本题考查函数定义域，考查基本求解能力，属于基础题. 6．如果，，那么下列不等式成立的是（ ） 0<a 10b -<<A ． B ．C ．D ．2a ab ab >>2ab ab a >>2ab a ab >>2ab ab a >>【答案】D【分析】通过观察三个数的特征可知最大，再利用作差法判断即可得出结果. ab 【详解】由选项可知，仅需要比较三个数的大小， 2,,a ab ab 显然， ，所以最大， 20,0,0a ab ab <><ab 由可得，， 10b -<<201b <<所以，即 22(1)0ab a a b -=->2ab a >可得. 2ab ab a >>故选：D7．设,且,则的最小值为（ ）,x y R +∈191x y +=x y +A ．6 B ．12 C ．14 D ．16【答案】D【分析】利用基本不等式求得，并验证等号成立的条件. 16x y +≥【详解】因为， 199()(1916x yx y x y x y y x+=+⋅+=+++≥等号成立当且仅当，所以的最小值为.选D.4,12x y ==x y +16【点睛】本题考查基本不等式求最小值，求解过程中要利用到“1”的代换这一重要的思想方法，并注意验证等号成立的条件.8．函数的零点所在的区间是（ ）()32xf x x =+-A ． B ． C ． D ．()0,1()1,2()2,3()3,4【答案】A【分析】判断函数的单调性，结合零点存在定理可得出合适的选项.()f x 【详解】因为函数、在上均为增函数，故函数在上为增函数，3x y =2y x =-R ()32xf x x =+-R 因为，，由零点存在定理可知，函数的零点所在的区间是. ()010f =-<()120f =>()f x ()0,1故选：A.9．下列函数中，是奇函数且在定义域内单调递减的函数为（ ） A ．B ．C ．D ．12log y x =3y x =-1y x=12xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭【答案】B【分析】根据基本初等函数的奇偶性与单调性逐项判断可得出合适的选项.【详解】对于A 选项，函数为非奇非偶函数，且在定义域上为减函数，A 不满足12log y x =()0,∞+条件；对于B 选项，函数为奇函数，且在定义域上为减函数，B 满足条件；3y x =-R 对于C 选项，函数为奇函数，且在定义域上不单调，C 不满足条件；1y x=()(),00,∞-+∞U 对于D 选项，函数为非奇非偶函数，且在定义域上为减函数，D 不满足条件.12xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭R 故选：B.10．已知偶函数满足：对任意的，都有成立，则满足()f x [)()1212,0,x x x x ∈+∞≠()()12120f x f x x x ->-的取值范围是()1213f x f ⎛⎫-< ⎪⎝⎭x A ． B ．C ．D ．12,33⎛⎫⎪⎝⎭12,33⎡⎫⎪⎢⎣⎭12,23⎛⎫⎪⎝⎭12,23⎡⎫⎪⎢⎣⎭【答案】A【分析】因为函数是偶函数，所以不等式转化为，再根据函数的单调性转化为()1213f x f ⎛⎫-< ⎪⎝⎭解不等式.1213x -<【详解】有题意可知，时，函数单调递增， x ∈[)0,∞+且函数是偶函数，()()11212133f x f f x f ⎛⎫⎛⎫∴-<⇔-< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭1213x ∴-<112133x ∴-<-<解得.1233x <<故选A.【点睛】本题考查了利用函数的性质解抽象不等式，当函数是偶函数，并且在单调递增()0,∞+时，解不等式时，根据转化为原不等式为，再根据单调()()12f x f x <()()f x f x =()()12f x f x <性表示为求解.12x x <二、多选题11．下列关系中，正确的有（ ） A ． B ．3-∈Z π∉Q C ． D ．{}a a ⊆{}210x x ∅=∈+=R 【答案】ABD【分析】根据元素与集合的关系可判断ABC 选项；根据集合与集合的关系可判断D 选项. 【详解】，，，3-∈Z π∉Q {}a a ∈方程无解，，ABD 对，C 错.210x +={}210x x ∈+==∅R 故选：ABD.12．设，，若，则实数的值可以为（ ）2{|8150}A x x x =-+={|10}B x ax =-=A B B = a A ．B ．C ．D ．150313【答案】ABD【分析】先将集合表示出来，由可得，则根据集合中的元素讨论即可求出A A B B = B A ⊆A a 的值.【详解】集合，由可得， 2{|8150}{3,5}A x x x =-+==A B B = B A ⊆则分和或或， B =∅{3}=B {5}{3,5}当时，满足即可；B =∅0a =当时，满足，解得：；{3}=B 310a -=13a =当时，满足，解得：；{5}B =510a -=15a =当时，显然不符合条件，{3,5}B =所以的值可以为，a 110,,35故选：.ABD三、填空题13．已知幂函数的图象过点，则______． ()y f x =(()9f =【答案】3【分析】先利用待定系数法代入点的坐标，求出幂函数的解析式，再求的值.()y f x =()9f【详解】设，由于图象过点,()ay f x x ==(， 12,2aa ==，()12y f x x ∴==，故答案为3.()12993f ∴==【点睛】本题考查幂函数的解析式，以及根据解析式求函数值，意在考查对基础知识的掌握与应用，属于基础题.14．设集合，，，集合M 的真子集的个数为{0,1,2}A ={4,5}B ={},,M x x a b a A b B ==+∈∈_____． 【答案】15【分析】根据给定条件，求出集合即可求解作答.M 【详解】集合，，而， {0,1,2}A ={4,5}B ={},,M x x a b a A b B ==+∈∈则，所以集合M 的真子集的个数为. {4,5,6,7}M =42115-=故答案为：1515_____（写成分数指数幂的形式）=(0)a >【答案】56a 【分析】利用根式与分数指数幂的关系以及指数幂的运算性质计算可得结果..7522661223a aa a-+===故答案为：.56a 16．已知函数是定义在上的奇函数，当时，,则__________. ()f x R (,0)x ∈-∞32()2f x x x =+(2)f =【答案】12【分析】由函数的奇偶性可知，代入函数解析式即可求出结果. ()()22f f =--【详解】函数是定义在上的奇函数，，则，()f x ()()f x f x -=-()()f x f x =--.()()()()322222212f f ⎡⎤=--=-⨯-+-=⎣⎦【点睛】本题主要考查函数的奇偶性，属于基础题型.四、解答题17．计算下列各式，写出演算过程(1)； 1222318324272-⎛⎫⎛⎫⎛⎫+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭(2). 5525lg 42lg 52log 10log 20log 5log 8++--⋅【答案】(1) 72(2)12-【分析】（1）利用根式、指数幂的运算性质计算可得结果； （2）利用对数的运算性质、换底公式计算可得结果.【详解】（1）解：原式. 23324344722392992⎡⎤⎛⎫=-+=+-+=⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦（2）解：原式.()225101ln 53ln 211lg 45log 213202ln 2ln 522=⨯+--⋅=+--=-18．已知函数．21()21x x f x -=+(1)判断函数的奇偶性；()f x (2)判断并证明函数在其定义域上的单调性； ()f x 【答案】(1)奇函数(2)函数在R 上单调递增，证明见解析 ()f x【分析】(1)结合已知条件，利用奇偶性定义即可求解；(2)结合指数函数单调性，利用单调性定义即可证明.【详解】（1）∵的定义域R 关于原点对称，且， ()f x ()()2122112()()2112212x xx xxxx x f x f x -----⋅---====-+++⋅∴为奇函数．()f x （2）函数在R 上单调递增． ()f x 证明如下：设是R 上的任意两个实数，且．12,x x 12x x <，()()212121212121212(22)2121(21)(21)x x x x x x x x f x f x ----=-=++++∵函数在R 上为增函数， 2x y =∴，故，2122x x >21220x x ->∴，即. ()()210f x f x ->21()()f x f x >∴函数在R 上单调递增．()f x 19．已知幂函数为偶函数．()()2157m f x m m x -=-+(1)求的解析式；()f x (2)若，求函数在区间上的值域．()()34g x f x x =-+()g x []1,2-【答案】(1)()2f x x =(2) 7,84⎡⎤⎢⎥⎣⎦【分析】（1）根据函数为幂函数可得出实数的值，结合函数为偶函()()2157m f x m m x -=-+m ()f x 数可得出的值，由此可得出函数的解析式；m ()f x （2）利用二次函数的单调性可求得函数在上的值域.()g x []1,2-【详解】（1）解：因为函数为幂函数，则，解得或.()()2157m f x m m x -=-+2571m m -+=2m =3当时，函数为奇函数，不合乎题意；2m =()f x x =当时，函数为偶函数，合乎题意.3m =()2f x x =综上所述，.()2f x x =（2）解：由（1）可得，()234g x x x =-+所以函数在上为减函数，在上为增函数，()g x 31,2⎡⎫-⎪⎢⎣⎭3,22⎛⎤ ⎥⎝⎦所以，，.()min 3724g x g ⎛⎫== ⎪⎝⎭()()max 18g x g =-=因此，函数在区间上的值域为.()g x []1,2-7,84⎡⎤⎢⎥⎣⎦20．已知函数，x ∈（b ﹣3，2b ）是奇函数，()5151xx a f x ⋅=-+（1）求a ，b 的值；（2）若f （x ）是区间（b ﹣3，2b ）上的减函数且f （m ﹣1）+f （2m+1）＞0，求实数m 的取值范围． 【答案】（1）；（2）2,1a b ==()1,0-【分析】（1）根据奇函数性质可得定义域关于原点对称解得b,再根据f （0）=0解得a ，（2）根据奇函数性质以及单调性化简不等式，解不等式得实数m 的取值范围．【详解】（1）∵函数f （x ）=1﹣，x ∈（b ﹣3，2b ）是奇函数，∴f （0）=1﹣=0，且b ﹣3+2b=0，即a=2，b=1． （2）∵f （m ﹣1）+f （2m+1）＞0， ∴f （m ﹣1）＞﹣f （2m+1）．∵f （x ）是奇函数，∴f （m ﹣1）＞f （﹣2m ﹣1）， ∵f （x ）是区间（﹣2，2）上的减函数，∴，即有，∴﹣1＜m ＜0，则实数m 的取值范围是（﹣1，0）．【点睛】解函数不等式：首先根据函数的性质把不等式转化为的形式，然后根据(())(())f g x f h x >函数的单调性去掉“”，转化为具体的不等式(组)，此时要注意与的取值应在外层函数的f ()g x ()h x 定义域内.21．某乡镇响应“绿水青山就是金山银山”的号召，因地制宜的将该镇打造成“生态水果特色小镇”.经调研发现：某珍稀水果树的单株产量W （单位：千克）与施用肥料（单位：千克）满足如下关x 系：肥料成本投入为元，其它成本投入（如培育管理、施肥等人工()()()()253025050251x x W x x x ⎧+≤≤⎪=⎨-<≤⎪+⎩10x 费）元.已知这种水果的市场售价大约为15元/千克，且销路畅通供不应求.记该水果树的单株利20x 润为（单位：元）. ()f x (1)求的函数关系式；()f x (2)当施用肥料为多少千克时，该水果树的单株利润最大？最大利润是多少？【答案】(1) ()27530225,0275030,251x x x f x xx x x⎧-+⎪=⎨-<⎪+⎩………(2)当施用肥料为4千克时，该水果树的单株利润最大，最大利润为480元【分析】（1）利用，即可求解；()15()30f x W x x =⨯-（2）对进行化简，得到，然后，分类讨论和()f x ()2175222,02,525780301,251x x x x x ⎧⎛⎫-+⎪ ⎪⎪⎝⎭=⎨⎡⎤⎪-++<⎢⎥⎪+⎣⎦⎩………02x ……时，的取值，进而得到答案.25x <≤max ()f x 【详解】（1）根据题意，，化简得，()15()30f x W x x =⨯-()()151020f x W x x x =--=27530225,0275030,251x x x x x x x⎧-+⎪⎨-<⎪+⎩………（2）由（1）得 ()27530225,0275030,251x x x f x xx x x⎧-+⎪=⎨-<⎪+⎩………()2175222,02,525780301,251x x x x x ⎧⎛⎫-+⎪ ⎪⎪⎝⎭=⎨⎡⎤⎪-++<⎢⎥⎪+⎣⎦⎩………当时，02x ……()()max 2465f x f ==当时， 25x <≤()()257803011f x x x ⎡⎤=-++⎢⎥+⎣⎦78030480-⨯=…当且仅当时，即时等号成立. 2511x x=++4x =因为，所以当时，.465480<4x =()max 480f x =故当施用肥料为4千克时，该水果树的单株利润最大，最大利润为480元.。
山东省青岛第二中学2023-2024学年高一上学期期中考试数学试卷
山东省青岛第二中学2023-2024学年高一上学期期中考试
数学试卷
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
四、解答题
参考答案：
1．C
【分析】根据集合交集求解即可；【详解】因为{}{N |22}0,1,
A x x Î-<<=＝{}1012,
B -＝，，，所以.
01{}A B Ç＝，故选：C 2．A
【分析】利用特称命题的否定形式判定即可.
【详解】根据特称命题的否定形式可知，命题p ：“0m $>，方程220mx x m +-=有解”
的否定为：“0m ">，方程220mx x m +-=无解”.故选：A 3．D
【分析】根据函数的概念判断即可.
【详解】根据函数的定义，在集合M 中任意一个数在N 中有且只有一个与之对应，选项A 中集合M 中2对应的数有两个，故错误；选项B 中集合M 中3没有对应的数，故错误；
选项C 中对应法则为从M 到N 的函数，箭头应从M 指向N ，故错误；选项D 中集合M 中任意一个数在集合N 中都有唯一数与之对应，故D 正确，故选：D 4．D
【分析】分0,0a b >>、0,0a b ><，0,0a b <>、0,0a b <<四种情况及二次函数幂函数。
2023-2024学年山东省名校考试联盟高一(上)期中数学试卷【答案版】
2023-2024学年山东省名校考试联盟高一（上）期中数学试卷一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知集合A ＝{x |x ＜0}，B ＝{x |﹣x 2﹣x +2＞0}，则（∁R A ）∩B ＝（ ） A ．{x |0＜x ＜1}B ．{x |0≤x ＜1}C ．{x |﹣2＜x ＜0}D ．{x |1＜x ＜2}2．若函数f （x ）＝（m 2﹣m ﹣1）x m 为幂函数，则实数m ＝（ ） A ．2B ．﹣1C ．﹣1或2D ．33．若函数f （x ）的定义域为[﹣1，2]，则函数y =2x+1的定义域为（ ）A ．(−√3，2]B ．[0，√3]C ．（﹣1，2]D ．(−1，√3]4．已知a ，b ，c 均为实数，则（ ） A ．若a ＞b ，则ac 2＞bc 2B ．若a ＜b ＜0，则b a＞abC ．若a ＞b 且1a＞1b，则b ＜0＜aD ．若a ＜b ，则a 2＜ab ＜b 25．已知命题p ：∀x ＞0，√3−x ＞0，则命题p 的否定是（ ） A ．∀x ＞0，√3−x ≤0 B ．∃x ＞0，3﹣x ≤0 C ．∃x ＞0，√3−x ≤0D ．∀x ≤0，√3−x ≤06．已知函数f(x)=x +√x +1，其定义域为M ，值域为N ．则“x ∈M ”是“x ∈N ”的（ ）条件． A ．充分不必要 B ．必要不充分 C ．充要D ．既不充分也不必要7．已知函数f （x ）是定义在R 上的奇函数，当x ≥0时，f （x ）=12（|x ﹣a 2|+|x ﹣2a 2|﹣3a 2）．若∀x ∈R ，f （x ﹣a ）＜f （x ），则实数a 的取值范围为（ ） A ．[−16，16]B ．[0，16]C ．[−13，13]D ．(0，16)8．不等式x 2+2axy +4y 2≥0对于∀x ∈[2，3]，∀y ∈[2，9]恒成立，则a 的取值范围是（ ） A ．[−2512，+∞） B ．[﹣5，+∞） C ．[−133，+∞) D ．[﹣1，+∞）二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9．已知函数f(x)={x 2−2x +1，x ≤1−x +1，x ＞1，下列说法正确的是（ ）A ．函数f （x ）是减函数B ．∀a ∈R ，f （a 2）＞f （a ﹣1）C ．若f （a ﹣4）＞f （3a ），则a 的取值范围是（﹣2，+∞）D ．在区间[1，2]上的最大值为010．已知a ，b 是两个正实数，满足a +b ＝1，则（ ） A ．√a +√b 的最小值为1 B ．√a +√b 的最大值为√2C ．a 2+b 2的最小值为12D ．a 2+b 2的最大值为111．已知函数f （x ）＝ax 2﹣3x +4，若任意x 1，x 2∈[﹣1，+∞）且x 1≠x 2都有f(x 1)−f(x 2)x 1−x 2＜−1，则实数a 的值可以是（ ） A ．﹣1B ．−12C ．0D ．1212．已知函数f （x ）的定义域为R ，f （x ﹣1）为奇函数，f （3x ﹣2）为偶函数，则（ ） A ．f(13)=0B ．f （1）＝0C ．f （4）＝0D ．f （3）＝0三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13．已知函数f(x)={2x +1x ，x ＜0x 2−3x +1，x ≥0，则f （f （2））＝ ．14．写出3x ﹣1＞0的一个必要不充分条件是 ． 15．关于x 的不等式11−x≥2x的解集为 ．16．设函数f （x ）的定义域为R ，满足f （x +1）＝3f （x ），且当x ∈（0，1]时，f （x ）＝x （x ﹣1）．若对任意x ∈（﹣∞，m ]，都有f （x ）≥﹣1，则m 的取值范围是 ． 四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17．（10分）已知集合A ={x|x−2x+1≤0}，集合B ＝{x |2m +3＜x ＜m 2}，m ∈R ． （1）当m ＝﹣2时，求A ∪B ；（2）若A ∩B ＝B ，求实数m 的取值范围． 18．（12分）f(x)=1−x 21+x 2． （1）判断f （x ）的奇偶性，并加以证明； （2）求f （x ）的值域．19．（12分）命题p ：关于x 的方程x 2+2ax +4a +5＝0有两个不相等的正实根，命题q ：a ∈（m ，7m +7）， （1）若命题￢p 为真命题，求a 的取值范围； （2）若q 是p 的充分条件，求m 的取值范围．20．（12分）原定于2022年9月10日至25日在中国杭州举办的第19届亚洲运动会延期至2023年9月23日至10月8日在中国杭州举行，名称仍为杭州2022年第19届亚运会．杭州亚组委在亚奥理事会和中国奥委会的指导下，有关各方共同努力，为全世界人民呈现了一届“中国特色、浙江风采、杭州韵味、精彩纷呈”的体育文化盛会．运动会期间，杭州某互联网公司为保证直播信号的流畅，拟加大网络的研发投入．据了解，该公司原有员工200人，平均投入a（a＞0）万元/人，现把该公司人员调整为两类：运营人员和服务人员，其中运营人员有x名，调整后运营人员的人均投入调整为a（m﹣4x%）万元/人，服务人员的人均投入增加2x%．（1）若使调整后服务人员的总投入不低于调整前的200人的总投入，则调整后的服务人员最多有多少人？（2）现在要求调整后服务人员的总投入始终不低于调整后运营人员的总投入，求m的最大值及此时运营人员的人数．21．（12分）已知函数f（x）＝ax2﹣（a﹣1）x﹣2，a∈R．（1）设a＞−12，解关于x不等式f（x）＜ax；（2）设a＞0，若当x∈[−12，+∞)时，f（x）的最小值为−94，求a的值．22．（12分）已知函数f(x)=√3x−2−34x+12．（1）判断f（x）在区间[2，+∞）上的单调性并证明；（2）令g(x)=f(x)+34x−12，对∀x1∈[2，+∞），∃x2∈[2，+∞），使得(g(x1))2+2−m≥m√3x1−2−f(x2)成立，求m的取值范围．2023-2024学年山东省名校考试联盟高一（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知集合A ＝{x |x ＜0}，B ＝{x |﹣x 2﹣x +2＞0}，则（∁R A ）∩B ＝（ ） A ．{x |0＜x ＜1}B ．{x |0≤x ＜1}C ．{x |﹣2＜x ＜0}D ．{x |1＜x ＜2}解：因为A ＝{x |x ＜0}，B ＝{x |﹣x 2﹣x +2＞0}＝{x |﹣2＜x ＜1}， 所以∁R A ＝{x |x ≥0}，则（∁R A ）∩B ＝{x |0≤x ＜1}． 故选：B ．2．若函数f （x ）＝（m 2﹣m ﹣1）x m 为幂函数，则实数m ＝（ ） A ．2B ．﹣1C ．﹣1或2D ．3解：∵函数f （x ）＝（m 2﹣m ﹣1）x m 为幂函数，∴m 2﹣m ﹣1＝1，求得m ＝﹣1或2， 故选：C ．3．若函数f （x ）的定义域为[﹣1，2]，则函数y =f(x 2−1)√x+1的定义域为（ ） A ．(−√3，2]B ．[0，√3]C ．（﹣1，2]D ．(−1，√3]解：函数f （x ）的定义域为[﹣1，2]， 则{−1≤x 2−1≤2x +1＞0，解得−1＜x ≤√3， 故所求函数的定义域为（﹣1，√3]． 故选：D ．4．已知a ，b ，c 均为实数，则（ ） A ．若a ＞b ，则ac 2＞bc 2B ．若a ＜b ＜0，则b a＞abC ．若a ＞b 且1a＞1b，则b ＜0＜aD ．若a ＜b ，则a 2＜ab ＜b 2解：当c ＝0时，A 显然错误；若a ＜b ＜0，则a 2＞b 2，即ab＞ba ，B 错误；若a ＞b 且1a＞1b，则1a−1b=b−a ab＞0，所以ab ＜0，即a ＞0＞b ，C 正确； a ＜b ＜0时，D 显然错误． 故选：C ．5．已知命题p：∀x＞0，√3−x＞0，则命题p的否定是（）A．∀x＞0，√3−x≤0B．∃x＞0，3﹣x≤0C．∃x＞0，√3−x≤0D．∀x≤0，√3−x≤0解：根据题意，命题p：∀x＞0，√3−x＞0，即0＜x＜3，则命题p的否定为：∃x＞0，有x≥3，即3﹣x≤0．故选：B．6．已知函数f(x)=x+√x+1，其定义域为M，值域为N．则“x∈M”是“x∈N”的（）条件．A．充分不必要B．必要不充分C．充要D．既不充分也不必要解：由题意知，x+1≥0，所以x≥﹣1，所以函数f（x）的定义域M＝[﹣1，+∞），因为函数y＝x和y=√x+1在定义域内均为增函数，所以f（x）在[﹣1，+∞）上单调递增，所以f（x）min＝f（﹣1）＝﹣1，即函数f（x）的值域N＝[﹣1，+∞），因此“x∈M”是“x∈N”的充要条件．故选：C．7．已知函数f（x）是定义在R上的奇函数，当x≥0时，f（x）=12（|x﹣a2|+|x﹣2a2|﹣3a2）．若∀x∈R，f（x ﹣a）＜f（x），则实数a的取值范围为（）A．[−16，16]B．[0，16]C．[−13，13]D．(0，16)解：当x≥0时，f(x)=12(|x−a2|+|x−2a2|−3a2)，∴当0≤x≤a2时，f(x)=12[−x+a2−(x−2a2)−3a2]=−x，当a2＜x≤2a2时，f（x）＝﹣a2，当x＞2a2时，f（x）＝x﹣3a2，由于函数f（x）是定义在R上的奇函数，即可画出f（x）在R上的图象，如图所示：当x＞0时，f（x）的最小值为﹣a2，当x＜0时，f（x）的最大值为a2，由于∀x∈R，f（x﹣1）≤f（x），故函数f（x﹣a）的图象不能在函数f（x）的图象的上方，即f（x）的图像向右平移a个单位后的图象总在f（x）图象下方，结合（图二）可得a﹣3a2＞3a2，则0＜6a＜1，故a的取值范围为(0，16 )．故选：D．8．不等式x2+2axy+4y2≥0对于∀x∈[2，3]，∀y∈[2，9]恒成立，则a的取值范围是（）A．[−2512，+∞）B．[﹣5，+∞）C．[−133，+∞)D．[﹣1，+∞）解：不等式x2+2axy+4y2≥0对于∀x∈[2，3]，∀y∈[2，9]恒成立，即a≥−x2+4y22xy=−12（xy+4yx）对于∀x∈[2，3]，∀y∈[2，9]恒成立，令t=xy，则t∈[29，32]，则a≥−12（t+4t）对于∀t∈[29，32]恒成立，由对勾函数的性质可知y＝t+4t在[29，32]上单调递减，所以当t=32时，y取最小值为256，所以−12（t+4t）的最大值为−2512，所以a≥−2512，即a的取值范围是[−2512，+∞）．故选：A．二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9．已知函数f(x)={x 2−2x +1，x ≤1−x +1，x ＞1，下列说法正确的是（ ）A ．函数f （x ）是减函数B ．∀a ∈R ，f （a 2）＞f （a ﹣1）C ．若f （a ﹣4）＞f （3a ），则a 的取值范围是（﹣2，+∞）D ．在区间[1，2]上的最大值为0 解：函数f(x)={x 2−2x +1，x ≤1−x +1，x ＞1，对于A ，∵y ＝x 2﹣2x +1在（﹣∞，1]上单调递减，y ＝﹣x +1在（1，+∞）上单调递减， 且12﹣2×1+1＝0，﹣1+1＝0， ∴f （x ）在R 上单调递减，A 正确；对于B ，∵a 2﹣（a ﹣1）＝a 2﹣a +1＝（a −12）2+34＞0，∴a 2＞a ﹣1，f （a 2）＜f （a ﹣1），B 错误； 对于C ，若f （a ﹣4）＞f （3a ），则a ﹣4＜3a ，解得a ＞﹣2，C 正确； 对于D ，f （x ）在区间[1，2]上单调递减，最大值为f （1）＝0，D 正确． 故选：ACD ．10．已知a ，b 是两个正实数，满足a +b ＝1，则（ ） A ．√a +√b 的最小值为1 B ．√a +√b 的最大值为√2C ．a 2+b 2的最小值为12D ．a 2+b 2的最大值为1解：(√a +√b)2=a +b +2√ab =1+2√ab ，由于0＜2√ab ≤a +b =1，所以1＜(√a +√b)2≤2，当且仅当a =b =12时，等号成立． 即√a +√b 的最大值为√2，没有最小值，故A 错误，B 正确；因为a 2+b 2＝（a +b ）2﹣2ab ，且0＜ab ≤(a+b)24=14，当且仅当a =b =12时，等号成立． 所以12≤a 2+b 2＜1，即a 2+b 2的最小值为12，没有最大值，故C 正确，D 错误．故选：BC ．11．已知函数f （x ）＝ax 2﹣3x +4，若任意x 1，x 2∈[﹣1，+∞）且x 1≠x 2都有f(x 1)−f(x 2)x 1−x 2＜−1，则实数a 的值可以是（ ） A ．﹣1B ．−12C ．0D ．12解：任意x 1，x 2∈[﹣1，+∞），设x 1＞x 2，则x 1﹣x 2＞0，∵任意x 1，x 2∈[﹣1，+∞）且x 1≠x 2都有f(x 1)−f(x 2)x 1−x 2＜−1，∴f （x 1）﹣f （x 2）＜﹣（x 1﹣x 2）， ∴f （x 1）+x 1＜f （x 2）+x 2， 设g （x ）＝f （x ）+x ＝ax 2﹣2x +4， 则g （x 1）＜g （x 2），∴函数g （x ）＝ax 2﹣2x +4在[﹣1，+∞）上单调递减， 当a ＝0时，g （x ）＝﹣2x +4在R 上单调递减，符合题意， 当a ≠0时，则a ＜0且1a ≤−1，解得﹣1≤a ≤0，观察各个选项，实数a 的值可以是﹣1，−12，0． 故选：ABC ．12．已知函数f （x ）的定义域为R ，f （x ﹣1）为奇函数，f （3x ﹣2）为偶函数，则（ ） A ．f(13)=0B ．f （1）＝0C ．f （4）＝0D ．f （3）＝0解：因为f （x ﹣1）为奇函数， ∴f （x ﹣1）＝﹣f （﹣x ﹣1）， 所以f （x ）关于（﹣1，0）对称， 因为f （3x ﹣2）为偶函数， ∴f （3x ﹣2）＝f （﹣3x ﹣2）， 所以f （x ）关于x ＝﹣2对称， 所以f （x ）周期为4， 所以f （﹣1）＝f （3）＝0， 因为f （x ）关于（﹣1，0）对称， 所以f （x ）+f （﹣2+x ）＝0，所以f （x ）+f （﹣2﹣x ）＝f （x ）+f （﹣2﹣x +4）＝0， 即f （x ）+f （2﹣x ）＝0，故得到f （x ）关于（1，0）和（3，0）对称． 故选：BD ．三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13．已知函数f(x)={2x +1x ，x ＜0x 2−3x +1，x ≥0，则f （f （2））＝ ﹣3 ． 解：根据题意，函数f(x)={2x +1x ，x ＜0x 2−3x +1，x ≥0，则f （2）＝4﹣6+1＝﹣1，则f （f （2））＝f （﹣1）＝﹣2﹣1＝﹣3． 故答案为：﹣3．14．写出3x ﹣1＞0的一个必要不充分条件是 （0，+∞） ． 解：由3x ﹣1＞0，解得：x ＞13，故3x ﹣1＞0的一个必要不充分条件可以是x ＞0． 故答案为：（0，+∞）． 15．关于x 的不等式11−x≥2x的解集为 {x |x ＜0或23≤x ＜1} ．解：由11−x≥2x可得11−x−2x=3x−2x(1−x)≥0，即{(3x −2)(x −1)x ≤0x(x −1)≠0，解得x ＜0或23≤x ＜1． 故答案为：{x |x ＜0或23≤x ＜1}．16．设函数f （x ）的定义域为R ，满足f （x +1）＝3f （x ），且当x ∈（0，1]时，f （x ）＝x （x ﹣1）．若对任意x ∈（﹣∞，m ]，都有f （x ）≥﹣1，则m 的取值范围是 （﹣∞，15−√56] ． 解：因为f （x +1）＝3f （x ），所以f （x ）＝3f （x ﹣1），即f （x ）右移1个单位，图象变为原来的3倍， 当x ∈（0，1]时，f(x)=x(x −1)∈[−14，0]，当x ∈（1，2]时，x ﹣1∈（0，1]，f （x ）＝3f （x ﹣1）＝（3x ﹣1）(x −2)∈[−34，0]； ∴x ∈（2，3]时，x ﹣1∈（1，2]，f （x ）＝3f （x ﹣1）＝9（x ﹣2）(x −3)∈[−94，0]； 令9（x ﹣2）（x ﹣3）＝﹣1，解得x 1=15+√56，x 2=15−√56， 所以要使对任意x ∈（﹣∞，m ]，都有f （x ）≥﹣1， 则m ≤15−√56，即m 的取值范围是（﹣∞，15−√56]． 故答案为：（﹣∞，15−√56]．四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17．（10分）已知集合A ={x|x−2x+1≤0}，集合B ＝{x |2m +3＜x ＜m 2}，m ∈R ． （1）当m ＝﹣2时，求A ∪B ；（2）若A ∩B ＝B ，求实数m 的取值范围． 解：（1）由题意得A ={x|x−2x+1≤0}={x |﹣1＜x ≤2}， 当m ＝﹣2时，B ＝{x |﹣1＜x ＜4}， 故A ∪B ＝{x |﹣1＜x ＜4}； （2）若A ∩B ＝B ，则B ⊆A ，当B ＝∅时，2m +3≥m 2，解得﹣1≤m ≤3，当B ≠∅时，{2m +3＜m 2m 2≤22m +3≥−1，解得−√2≤m ＜−1，综上，m 的范围为[−√2，3]．18．（12分）f(x)=1−x 21+x 2．（1）判断f （x ）的奇偶性，并加以证明； （2）求f （x ）的值域． 解：（1）∵f(x)=1−x 21+x 2的定义域为R ， 且f （﹣x ）=1−(−x)21+(−x)2=1−x 21+x 2=f （x ）， ∴f （x ）为偶函数； （2）∵y =21+x 2∈（0，2]， ∴f （x ）=1−x 21+x 2=−1+21+x 2∈（﹣1，1]，∴f （x ）的值域为（﹣1，1]．19．（12分）命题p ：关于x 的方程x 2+2ax +4a +5＝0有两个不相等的正实根，命题q ：a ∈（m ，7m +7）， （1）若命题￢p 为真命题，求a 的取值范围； （2）若q 是p 的充分条件，求m 的取值范围．解：若命题p 为真命题，则{Δ=4a 2−4(4a +5)＞0x 1+x 2=−2a ＞0x 1x 2=4a +5＞0，解得−54＜a ＜−1．（1）若命题￢p 为真命题，则实数a 满足a ≤−54或a ≥﹣1，即a 的取值范围是(−∞，−54]∪[−1，+∞)；（2）若q 是p 的充分条件，则（m ，7m +7）⊆(−54，−1)，可得{m ＜7m +7m ≥−547m +7≤−1，解得−76＜m ≤−87，即m 的取值范围是(−76，−87]．20．（12分）原定于2022年9月10日至25日在中国杭州举办的第19届亚洲运动会延期至2023年9月23日至10月8日在中国杭州举行，名称仍为杭州2022年第19届亚运会．杭州亚组委在亚奥理事会和中国奥委会的指导下，有关各方共同努力，为全世界人民呈现了一届“中国特色、浙江风采、杭州韵味、精彩纷呈”的体育文化盛会．运动会期间，杭州某互联网公司为保证直播信号的流畅，拟加大网络的研发投入．据了解，该公司原有员工200人，平均投入a （a ＞0）万元/人，现把该公司人员调整为两类：运营人员和服务人员，其中运营人员有x 名，调整后运营人员的人均投入调整为a （m ﹣4x %）万元/人，服务人员的人均投入增加2x %．（1）若使调整后服务人员的总投入不低于调整前的200人的总投入，则调整后的服务人员最多有多少人？（2）现在要求调整后服务人员的总投入始终不低于调整后运营人员的总投入，求m 的最大值及此时运营人员的人数．解：（1）由题意可知，调整后的服务人员有（200﹣x ）人，人均投入为（1+2x %）a 万元/人， 从而（200﹣x ）（1+2x %）a ⩾200a ，解得0⩽x ⩽150， 调整后服务人员最多有200人；（2）由题意，得（200﹣x ）（1+2x %）a ⩾（m ﹣4x %）ax ，得(200x −1)(1+x50)⩾m −x25， 整理得m ⩽200x +3+x50， 因为200x+3+x 50⩾2√200x⋅x 50+3=7，当且仅当200x=x50，即x ＝100时等号成立，所以m ⩽7，则m 的最大值为7，此时运营人员有100人．21．（12分）已知函数f （x ）＝ax 2﹣（a ﹣1）x ﹣2，a ∈R ． （1）设a ＞−12，解关于x 不等式f （x ）＜ax ；（2）设a ＞0，若当x ∈[−12，+∞)时，f （x ）的最小值为−94，求a 的值． 解：（1）因为f （x ）＜ax ⇔ax 2﹣（a ﹣1）x ﹣2＜ax ⇔ax 2﹣（2a ﹣1）x ﹣2＜0， 当a ＝0时，原不等式等价于x ﹣2＜0，解得x ＜2；当a ≠0时，因为Δ＝（2a ﹣1）2+8a ＝4a 2+4a +1＝（2a +1）2， 因为a ＞−12，所以Δ＝（2a +1）2＞0，2a +1＞0，令ax 2﹣（2a ﹣1）x ﹣2＝0⇔（ax +1）（x ﹣2）＝0（a ≠0），解得x 1=−1a，x 2＝2，当−12＜a ＜0时，−1a＞2，所以不等式ax 2﹣（2a ﹣1）x ﹣2＜0的解集为：（﹣∞，2）∪（−1a，+∞）； 当a ＞0时，−1a＜0＜2，所以不等式ax 2﹣（2a ﹣1）x ﹣2＜0的解集为：（−1a，2）； 综上所述，当a ＝0时，f （x ）＜ax 的解集为：（﹣∞，2）；当−12＜a ＜0时，f （x ）＜ax 的解集为：（﹣∞，2）∪（−1a，+∞）； 当a ＞0时，f （x ）＜ax 的解集为：（−1a ，2）；（2）a ＞0，所以函数f （x ）＝ax 2﹣（a ﹣1）x ﹣2的开口向上，对称轴为x =a−12a =12−12a ＜12，当12−12a ≤−12，即0＜a ≤12时，f （x ）min ＝f （−12）=3a−104=−94，解得a =13∈（0，12]，满足题意；当12−12a＞−12，即a ＞12时，f （x ）min ＝f （12−12a）=−a 2+6a+14a =−94，a 2﹣3a +1＝0， 解得a =3−√52＜12或a =3+√52＞12， 所以a =3+√52， 综上所述，a =13或a =3+√52． 22．（12分）已知函数f(x)=√3x −2−34x +12． （1）判断 f （x ）在区间[2，+∞）上的单调性并证明；（2）令g(x)=f(x)+34x −12，对∀x 1∈[2，+∞），∃x 2∈[2，+∞），使得(g(x 1))2+2−m ≥m √3x 1−2−f(x 2)成立，求m 的取值范围．解：（1）f(x)=√3x −2−34x +12在[2，+∞） 上是单调递减， 证明：对任意x 1，x 2∈[2，+∞），且x 1＜x 2，有f（x1）﹣f（x2）=(√3x1−2−34x1+12)−(√3x2−2−34x2+12)=12√1√2−34(x1−x2)=(x1−x2)(3√1√234 )，∵x2＞x1≥2，∴√3x1−2+√3x2−2＞4，3x1−2+3x2−2＜34，3x1−2+3x2−2−34＜0，由x1﹣x2＜0，得f（x1）﹣f（x2）＞0，即f（x1）＞f（x2），∴f（x）在区间[2，+∞）上单调递减．（2）化简得∀x1∈[2，+∞），∃x2∈[2，+∞），3x1−2+2−m−m√3x1−2≥−f(x2)成立，由（1）知（﹣f（x））min＝﹣f（2）＝﹣1，∴3x1−2+2−m−m√3x1−2≥−1，∀x1∈[2，+∞），令√3x1−2=t≥2，∴t2+3﹣m（t+1）≥0，∴m≤t2+3t+1=t+1+4t+1−2，∴p(t)=t+1+4t+1−2在[2，+∞）单调递增，∴p(t)min=p(2)=7 3，∴m≤73，即m的取值范围是（﹣∞，73]．。
2023—2024学年山东省菏泽市高一上学期11月期中考试数学试卷(A)
2023—2024学年山东省菏泽市高一上学期11月期中考试数学试卷（A）一、单选题1. 已知集合, ，则（）A．B．C．D．2. 设a，，则“”是的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件3. 与表示同一个函数的是（）A．B．C．D．4. 已知与是分别定义在上的奇函数和偶函数，并且，则（）A．2B．C．D．5. 已知是定义在，上的偶函数，且在，上为增函数，则的解集为A．B．C．D．6. 若不等式的解集为或，则实数m的取值范围（）A．B．C．D．7. 已知函数的定义域为B，函数的定义域为，若，使得恒成立，则实数m的取值范围为（）A．B．C．D．8. 已知函数是定义在上的偶函数，且当时，，则方程解的个数为（）A．14B．16C．18D．20二、多选题9. 下列四个命题中的假命题为（）A．集合与集合是同一个集合B．“为空集”是“与至少一个为空集”的充要条件C．对于任何两个集合A，B，恒成立D．，，则10. 下列说法正确．．的是（）A．若，则B．是的最小值是2C．若，则D．若x，y为正实数，若，则的最小值为311. 若函数存在最小值，则实数a的可能取值为（）A．B．1C．2D．312. 函数的定义域为R，为偶函数，且，当时，，则下列说法正确的是（）A．在上单调递减B．，，恒成立C．D．，，有三、填空题13. 不等式的解集是 ______ ．14. 若“”是“”的充分不必要条件，则实数m的取值范围为 ______ ．15. “双节”遇上亚运会，民宿成为潮流趋势．民宿的改造中，窗户面积与地板面积之比越大，采光效果越好．现有一所地板面积为180平方米的民宿需要同时增加窗户和地板的面积，已知地板增加的面积是窗户增加的面积的2倍，且民宿改造后的采光效果不逊于改造前，则改造前的窗户面积最大为 ______ 平方米．16. 已知函数若使得成立，则实数t的取值范围是 ______ ．四、解答题17. 设全集，集合，．(1)若，求集合；(2)若“”是“”必要条件，求实数m的取值范围．18. 已知，，．(1)求的最小值；(2)求的最大值．19. 已知函数，．(1)若，解关于的不等式；(2)若，当时，的最小值为1，求m的值．20. 某厂家生产医用防护用品需投入年固定成本为150万元，每生产x万件，需另投入成本为万元．当年产量不足60万件时，万元；当年产量不小于60万件时，万元．通过市场分析，若每件售价为400元时，该厂年内生产的商品能全部售完．（利润=销售收入－总成本）(1)写出年利润L万元关于年产量x万件的函数解析式；(2)年产量为多少万件时，该厂在这一商品的生产中所获利润最大？并求出利润的最大值．21. 已知函数是定义域在上的奇函数．(1)求a，b；(2)判断在上的单调性，并予以证明．(3)函数，若在上的值域是，求m，n的值．22. 已知幂函数．(1)若函数在定义域上不单调，函数的图像关于对称，当时，，求函数的解析式；(2)若在R上单调递增，求函数在上的最大值．。
2023-2024学年山东省临沂市高一(上)期中数学试卷【答案版】
2023-2024学年山东省临沂市高一（上）期中数学试卷一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知全集U ＝R ，集合A ＝{x |0≤x ≤2}，B ＝{﹣1，1，2，4}，那么阴影部分表示的集合为（ ）A ．{﹣1，4}B ．{1，2，4}C ．{1，4}D ．{﹣1，2，4}2．命题“∃x ∈R ，x +|x |＜0”的否定是（ ） A ．∀x ∈R ，x +|x |＜0 B ．∃x ∈R ，x +|x |≥0 C ．∀x ∈R ，x +|x |≥0D ．∃x ∈R ，x +|x |＞03．函数y =√x−2|x|−3的定义域是（ ） A ．{x |x ＞2}B ．{x |x ≥2且x ≠3}C ．{x |x ≠3}D ．{x |x ＞2且x ≠3}4．已知函数f （x ）＝4x 2﹣kx ﹣8在区间[5，20]上单调递增，则实数k 的取值范围是（ ） A ．{40} B ．[40，160] C ．（﹣∞，40]D ．[160，+∞）5．已知f （x ）={x −5，(x ≥6)f(x +1)，(x ＜6)，则f （3）为（ ）A ．3B ．4C ．1D ．26．已知函数f(x)=ax 3+bx −cx +2，若f （2023）＝6，则f （﹣2023）＝（ ） A ．﹣8B ．﹣6C ．﹣4D ．﹣27．已知函数f （x +1）是偶函数，当1≤x 1＜x 2时，f(x 2)−f(x 1)x 2−x 1＞0恒成立，设a =f(−12)，b ＝f （1），c ＝f （2），则a ，b ，c 的大小关系为（ ） A ．b ＜a ＜cB ．b ＜c ＜aC ．c ＜a ＜bD ．a ＜b ＜c8．在实数的原有运算法则中，定义新运算“⊕”，规定当a ≥b 时，a ⊕b ＝a ；当a ＜b 时，a ⊕b ＝b 2，则函数f （x ）＝（1⊕x ）•x +（2⊕x ），x ∈[﹣2，2]的最大值等于（“•”和“+”仍为通常的乘法和加法）（ ） A ．5B ．6C ．10D ．12二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9．已知命题p：∀x∈R，ax2﹣ax+1＞0，则命题p成立的一个充分不必要条件可以是（）A．a∈[0，4）B．a∈（4，+∞）C．a∈（0，4）D．a∈{0}10．设a，b，c∈R，则下列命题正确的是（）A．若ac2＞bc2，则a＞b B．若a＞b，则ac2＞bc2C．若a＞b，则1a ＜1bD．若a＞b＞0，则a2＞ab＞b211．设正实数a、b满足a+b＝1，则下列结论正确的是（）A．1a +1b≥4B．a2+b2≥12C．√ab≤14D．√a+√b≥√212．高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号，他和阿基米德、牛顿并列为世界三大数学家，用其名字命名的“高斯函数”为：设x∈R，用[x]表示不超过x的最大整数，则f （x）＝[x]称为高斯函数，例如：[﹣3.5]＝﹣4，[2.1]＝2，则下列命题正确的是（）A．∀x∈[﹣1，0]，f（x）＝﹣1B．∀x∈R，f（x+1）＝f（x）+1C．f（x+y）≥f（x）+f（y）D．2f2（x）﹣f（x）﹣3≥0的解集为（﹣∞，0）∪[2，+∞）三、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）13．若x＞﹣1，则2x+1x+1的最小值为．14．已知函数y=√x2的值域为{0，4}，则它的定义域可以是．（写出其中一个即可）15．已知f（x）是定义在R上的奇函数，当x＞0时，f（x）＝x2+2，则f（﹣1）＝．16．已知幂函数y＝f（x）的图象过点（2，8），且满足f（mx2）+8f（4﹣3x）≥0恒成立，则实数m的取值范围为．四、解答题（本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．（10分）已知集合A＝{x|3≤x≤a+5}，B＝{x|2＜x＜10}．（1）当a＝2时，求∁R（A∪B），（∁R A）∩B；（2）若A∩B＝A，求实数a的取值范围．18．（12分）设函数f（x）＝x2﹣（a+1）x+a，a∈R．（1）解关于x的不等式f（x）＜0；（2）当x∈（1，+∞）时，不等式f（x）≥﹣1恒成立，求a的取值范围．19．（12分）已知x ＞0，y ＞0，且xy ＝x +y +3． （1）求x +y 的取值范围； （2）求xy 的取值范围． 20．（12分）已知函数f(x)=ax−b x 2−4是定义在（﹣2，2）上的奇函数，且f(1)=−13．（1）求a ，b 值；（2）用定义证明：f （x ）在（﹣2，2）上单调递减； （3）解关于t 的不等式f （t ﹣1）+f （t ）＜0．21．（12分）某公司生产某种电子仪器的年固定成本为2000万元，当年产量为x 千件时，需另投入成本C（x ）（万元）．C(x)={12x 2+10x +1100，0＜x ＜100，120x +4500x−90−5400，x ≥100每千件产品售价100万元，为了简化运算我们假设该公司生产的产品能全部售完．（1）写出年利润L （万元）关于年产量x （千件）的函数解析式； （2）当年产量为多少千件时，企业所获得利润最大？最大利润是多少？22．（12分）对于区间[a ，b ]，a ＜b ，若函数y ＝f （x ）同时满足：①f （x ）在[a ，b ]上是单调函数；②函数y ＝f （x ）在x ∈[a ，b ]的值域是[a ，b ]，则称区间[a ，b ]为函数f （x ）的“保值”区间． （1）求函数y ＝2x 2的所有“保值”区间；（2）函数y ＝x 2﹣2x +m （m ∈R ）是否存在“保值”区间？若存在，求出m 的取值范围；若不存在，说明理由．2023-2024学年山东省临沂市高一（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知全集U＝R，集合A＝{x|0≤x≤2}，B＝{﹣1，1，2，4}，那么阴影部分表示的集合为（）A．{﹣1，4}B．{1，2，4}C．{1，4}D．{﹣1，2，4}解：由题意知阴影部分表示的集合为（∁U A）∩B，由集合A＝{x|0≤x≤2}，B＝{﹣1，1，2，4}，可得∁U A＝{x|x＜0或x＞2}，则（∁U A）∩B＝{﹣1，4}．故选：A．2．命题“∃x∈R，x+|x|＜0”的否定是（）A．∀x∈R，x+|x|＜0B．∃x∈R，x+|x|≥0C．∀x∈R，x+|x|≥0D．∃x∈R，x+|x|＞0解：“∃x∈R，x+|x|＜0”的否定是：∀x∈R，x+|x|≥0．故选：C．3．函数y=√x−2|x|−3的定义域是（）A．{x|x＞2}B．{x|x≥2且x≠3}C．{x|x≠3}D．{x|x＞2且x≠3}解：函数y=√x−2|x|−3的定义域满足{x−2≥0|x|−3≠0，解得x≥2且x≠3，故它的解集为{x|x≥2且x≠3}．故选：B．4．已知函数f（x）＝4x2﹣kx﹣8在区间[5，20]上单调递增，则实数k的取值范围是（）A．{40}B．[40，160]C．（﹣∞，40]D．[160，+∞）解：函数f（x）＝4x2﹣kx﹣8在[5，20]上单调递增，对称轴x=k8≤5，解得：k≤40，所以k的取值范围为（﹣∞，40]，故选：C．5．已知f （x ）={x −5，(x ≥6)f(x +1)，(x ＜6)，则f （3）为（ ）A ．3B ．4C ．1D ．2解：f （x ）={x −5，(x ≥6)f(x +1)，(x ＜6)，可得f （3）＝f （4）＝f （5）＝f （6）＝6﹣5＝1．故选：C ．6．已知函数f(x)=ax 3+bx −cx +2，若f （2023）＝6，则f （﹣2023）＝（ ） A ．﹣8B ．﹣6C ．﹣4D ．﹣2解：设g(x)=ax 3+bx −c x ，函数定义域为（﹣∞，0）∪（0，+∞）， g(−x)=−ax 3−bx +cx =−g(x)，函数为奇函数， f （2023）＝g （2023）+2＝6，故g （2023）＝4，f （﹣2023）＝g （﹣2023）+2＝﹣g （2023）+2＝﹣4+2＝﹣2． 故选：D ．7．已知函数f （x +1）是偶函数，当1≤x 1＜x 2时，f(x 2)−f(x 1)x 2−x 1＞0恒成立，设a =f(−12)，b ＝f （1），c ＝f （2），则a ，b ，c 的大小关系为（ ） A ．b ＜a ＜cB ．b ＜c ＜aC ．c ＜a ＜bD ．a ＜b ＜c解：因为函数f （x +1）为偶函数， 所以f （x +1）＝f （1﹣x ）， 所以f （x ）的图象关于x ＝1对称， 所以f(−12)=f(52) 又当1≤x 1＜x 2时，f(x 2)−f(x 1)x 2−x 1＞0恒成立，所以函数f （x ）在[1，+∞）上递增， 因为52＞2＞1，所以f(52)＞f(2)＞f(1)所以b ＜c ＜a ． 故选：B ．8．在实数的原有运算法则中，定义新运算“⊕”，规定当a ≥b 时，a ⊕b ＝a ；当a ＜b 时，a ⊕b ＝b 2，则函数f （x ）＝（1⊕x ）•x +（2⊕x ），x ∈[﹣2，2]的最大值等于（“•”和“+”仍为通常的乘法和加法）（ ）A．5B．6C．10D．12解：当1≤x≤2时，1⊕x＝x2，2⊕x＝2，故f（x）＝x3+2，函数单调递增，f（x）max＝f（2）＝10；当﹣2≤x＜1时，1⊕x＝1，2⊕x＝2，故f（x）＝x+2，函数单调递增，f（x）max＜f（1）＝3；综上所述：函数f（x）的最大值为10．故选：C．二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9．已知命题p：∀x∈R，ax2﹣ax+1＞0，则命题p成立的一个充分不必要条件可以是（）A．a∈[0，4）B．a∈（4，+∞）C．a∈（0，4）D．a∈{0}解：ax2﹣ax+1＞0恒成立，当a＝0时，1＞0，成立；当a≠0时，{a＞0Δ=a2−4a＜0，解得0＜a＜4；综上所述：0≤a＜4，命题p成立的一个充分不必要条件是{a|0≤a＜4}的真子集，CD满足．故选：CD．10．设a，b，c∈R，则下列命题正确的是（）A．若ac2＞bc2，则a＞b B．若a＞b，则ac2＞bc2C．若a＞b，则1a ＜1bD．若a＞b＞0，则a2＞ab＞b2解：对A，由ac2＞bc2，显然c2＞0，两边除以c2可得a＞b．故A正确；对B，当c＝0时显然不成立．故B错误；对C，当a=2，b=−1，1a=12，1b=−1，1a＞1b，故C错误；对D，因为a＞b＞0，同时乘以a有a2＞ab，同时乘以b有ab＞b2，故a2＞ab＞b2．故D正确．故选：AD．11．设正实数a、b满足a+b＝1，则下列结论正确的是（）A．1a +1b≥4B．a2+b2≥12C ．√ab ≤14D ．√a +√b ≥√2解：对选项A ：1a+1b=(1a+1b)(a +b)=b a+a b+2≥2√b a ⋅ab+2=4，当且仅当a =b =12时等号成立，正确；对选项B ：a 2+b 2=(a +b)2−2ab ≥1−(a+b)22=12，当且仅当a =b =12时等号成立，正确；对选项C ：取a =b =12，√ab =12，C 显然错误；对选项D ：取a =14，b =34，D 显然错误． 故选：AB ．12．高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号，他和阿基米德、牛顿并列为世界三大数学家，用其名字命名的“高斯函数”为：设x ∈R ，用[x ]表示不超过x 的最大整数，则f （x ）＝[x ]称为高斯函数，例如：[﹣3.5]＝﹣4，[2.1]＝2，则下列命题正确的是（ ） A ．∀x ∈[﹣1，0]，f （x ）＝﹣1B ．∀x ∈R ，f （x +1）＝f （x ）+1C ．f （x +y ）≥f （x ）+f （y ）D ．2f 2（x ）﹣f （x ）﹣3≥0的解集为（﹣∞，0）∪[2，+∞） 解：对选项A ：f （0）＝0，故错误；对选项B ：x 的整数部分为a ，则x +1的整数部分为a +1，即f （x +1）＝f （x ）+1，故正确； 对选项C ：x 的整数部分为a ，y 的整数部分为b ，则x +y 的整数部分为a +b 或a +b +1，即f （x +y ）≥f （x ）+f （y ），故正确； 对选项D ：2f 2（x ）﹣f （x ）﹣3≥0，则f （x ）≤﹣1或f(x)≥32， 解得x ∈（﹣∞，0）∪[2，+∞），故正确． 故选：BCD ．三、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分） 13．若x ＞﹣1，则2x +1x+1的最小值为 2√2−2 ．解：若x ＞﹣1，则2x +1x+1=2（x +1）+1x+1−2≥2√2(x +1)⋅1x+1−2＝2√2−2， 当且仅当2（x +1）=1x+1，x =√22−1，取等号． 故答案为2√2−2．14．已知函数y =√x 2的值域为{0，4}，则它的定义域可以是 {0，4}（答案不唯一） ．（写出其中一个即可）解：y =√x 2=|x|，取|x |＝0，则x ＝0；取|x |＝4，则x ＝±4； 故定义域可以为：{0，4}或{0，﹣4}或{0，4，﹣4}． 故答案为：{0，4}（答案不唯一）．15．已知f （x ）是定义在R 上的奇函数，当x ＞0时，f （x ）＝x 2+2，则f （﹣1）＝ ﹣3 ． 解：根据题意，当x ＞0时，f （x ）＝x 2+2，则f （1）＝3， f （x ）是定义在R 上的奇函数，f （﹣1）＝﹣f （1）＝﹣3． 故答案为：﹣3．16．已知幂函数y ＝f （x ）的图象过点（2，8），且满足f （mx 2）+8f （4﹣3x ）≥0恒成立，则实数m 的取值范围为 [98，+∞) ．解：由题设f （x ）＝x α，其图象过点（2，8）可得2α＝8＝23，故α＝3，所以f （x ）＝x 3， 所以8f （x ）＝（2x ）3＝f （2x ）， 易知f （x ）为R 上的奇函数且为增函数，而f （mx 2）+8f （4﹣3x ）≥0等价于f （mx 2）≥﹣8f （4﹣3x ）＝f （6x ﹣8）， 所以mx 2≥6x ﹣8，所以mx 2﹣6x +8≥0恒成立，当m ＝0时，﹣6x +8≥0不恒成立，不合题意， 当m ≠0时，{Δ=36−4×m ×8≤0m ＞0，解得m ≥98． 所以实数m 的取值范围为[98，+∞)． 故答案为：[98，+∞)．四、解答题（本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17．（10分）已知集合A ＝{x |3≤x ≤a +5}，B ＝{x |2＜x ＜10}． （1）当a ＝2时，求∁R （A ∪B ），（∁R A ）∩B ； （2）若A ∩B ＝A ，求实数a 的取值范围．解：（1）当a ＝2时，A ＝{x |3≤x ≤7}，所以A ∪B ＝{x |2＜x ＜10}， ∁R A ＝（﹣∞，3）∪（7，+∞），所以∁R （A ∪B ）＝（﹣∞，2]∪[10，∞），（∁R A ）∩B ＝（2，3）∪（7，10）； （2）若A ∩B ＝A ，则A ⊆B ， 当A ＝∅时，3＞a +5，解得a ＜﹣2； 当A ≠∅时，{3≤a +5a +5＜10，解得﹣2≤a ＜5；综上所述：a 的取值范围为{a |a ＜5}．18．（12分）设函数f （x ）＝x 2﹣（a +1）x +a ，a ∈R ． （1）解关于x 的不等式f （x ）＜0；（2）当x ∈（1，+∞）时，不等式f （x ）≥﹣1恒成立，求a 的取值范围． 解：（1）f （x ）＝x 2﹣（a +1）x +a ＝（x ﹣1）（x ﹣a ）＜0， 当a ＜1时，不等式f （x ）＜0的解集为（a ，1）； 当a ＝1时，不等式f （x ）＜0的解集为∅； 当a ＞1时，不等式f （x ）＜0的解集为（1，a ）． （2）当x ∈（1，+∞）时，不等式f （x ）≥﹣1恒成立， 则x −a ≥−1x−1，即a ≤x +1x−1恒成立． 因为x +1x−1=x −1+1x−1+1≥2√(x −1)⋅1x−1+1=3， 当且仅当x −1=1x−1，即x ＝2时，等号成立， 所以a ≤3，即a ∈（﹣∞，3]．19．（12分）已知x ＞0，y ＞0，且xy ＝x +y +3． （1）求x +y 的取值范围； （2）求xy 的取值范围．解：（1）因为x ＞0，y ＞0，所以xy =x +y +3≤(x+y2)2，令x +y ＝t ＞0，则t +3≤t 24，整理得（t ﹣6）（t +2）≥0，解得t ≥6，即x +y ≥6，当且仅当x ＝y ＝3时等号成立， 所以x +y 的取值范围为[6，+∞）．（2）因为x ＞0，y ＞0，所以xy =x +y +3≥2√xy +3，令√xy =m ＞0，则m 2≥2m +3，整理得（m ﹣3）（m +1）≥0，解得m ≥3，即xy ≥9， 当且仅当x ＝y ＝3时等号成立，所以xy 的取值范围为[9，+∞）． 20．（12分）已知函数f(x)=ax−b x 2−4是定义在（﹣2，2）上的奇函数，且f(1)=−13． （1）求a ，b 值；（2）用定义证明：f （x ）在（﹣2，2）上单调递减； （3）解关于t 的不等式f （t ﹣1）+f （t ）＜0． 解：（1）因为函数f(x)=ax−b x 2−4是定义在（﹣2，2）上的奇函数，f(0)=0=−b−4，所以b ＝0； 又f(1)=−13，a12−4=−13，解得a ＝1，所以a ＝1，b ＝0，f(x)=xx 2−4， 又f(−x)=−xx 2−4=−f(x)，故满足f （x ）是奇函数． （2）证明：∀x 1，x 2∈（﹣2，2），且x 1＜x 2，即﹣2＜x 1＜x 2＜2，则f(x 1)−f(x 2)=x 1x 12−4−x 2x 22−4=x 1(x 22−4)−x 2(x 12−4)(x 12−4)(x 22−4)=(x 2−x 1)(x 2x 1+4)(x 1−2)(x 1+2)(x 2−2)(x 2+2)， 因为x 2﹣x 1＞0，x 2x 1+4＞0，x 1﹣2＜0，x 1+2＞0，x 2﹣2＜0，x 2+2＞0， 故f （x 1）﹣f （x 2）＞0，即f （x 1）＞f （x 2）， 所以函数y ＝f （x ）在区间（﹣2，2）上单调递减．（3）函数y ＝f （x ）在（﹣2，2）上单调递减，且为奇函数，由f （t ﹣1）+f （t ）＜0得f （t ﹣1）＜﹣f （t ）＝f （﹣t ），所以{t −1＞−t −2＜t −1＜2−2＜t ＜2，解得12＜t ＜2．所以不等式f （t ﹣1）+f （t ）＜0的解集为(12，2)．21．（12分）某公司生产某种电子仪器的年固定成本为2000万元，当年产量为x 千件时，需另投入成本C（x ）（万元）．C(x)={12x 2+10x +1100，0＜x ＜100，120x +4500x−90−5400，x ≥100每千件产品售价100万元，为了简化运算我们假设该公司生产的产品能全部售完．（1）写出年利润L （万元）关于年产量x （千件）的函数解析式； （2）当年产量为多少千件时，企业所获得利润最大？最大利润是多少？解：（1）当0＜x ＜100时，L =100x −12x 2−10x −1100−2000=−12x 2+90x −3100；当x ≥100时，L =100x −(120x +4500x−90−5400)−2000=−20x −4500x−90+3400． 所以L ={−12x 2+90x −3100，0＜x ＜100−20x −4500x−90+3400，x ≥100． （2）当0＜x ＜100时，L =−12x 2+90x −3100=−12(x −90)2+950，当x ＝90时，L 取得最大值，且最大值为950，当x ≥100时，L =−20x −4500x−90+3400=−20(x −90+225x−90)+1600≤−20(2√225)+1600=1000， 当且仅当x ＝105时，等号成立．因为1000＞950，所以当该企业年产量为105千件时，所获得利润最大，最大利润是1000万元．22．（12分）对于区间[a ，b ]，a ＜b ，若函数y ＝f （x ）同时满足：①f （x ）在[a ，b ]上是单调函数；②函数y ＝f （x ）在x ∈[a ，b ]的值域是[a ，b ]，则称区间[a ，b ]为函数f （x ）的“保值”区间．（1）求函数y ＝2x 2的所有“保值”区间；（2）函数y ＝x 2﹣2x +m （m ∈R ）是否存在“保值”区间？若存在，求出m 的取值范围；若不存在，说明理由．解：（1）函数y ＝2x 2在R 上的值域是[0，+∞），且y ＝2x 2在[a ，b ]的值域是[a ，b ]，所以[a ，b ]∈[0+∞），所以a ≥0，而函数y ＝2x 2在区间[a ，b ]上单调递增，故有{2a 2=a 2b 2=b ，又a ＜b ，所以{a =0b =12， 所以函数y ＝2x 2的“保值”区间为[0，12]．（2）若函数y ＝x 2﹣2x +m （m ∈R ）存在“保值”区间，①若a ＜b ≤1，此时函数y ＝x 2﹣2x +m （m ∈R ）在区间[a ，b ]上单调递减，所以{a 2−2a +m =b b 2−2b +m =a ，消去m 得a 2﹣b 2＝a ﹣b ，整理得（a ﹣b ）（a +b ﹣1）＝0． 因为a ＜b ，所以a +b ﹣1＝0，即a ＝﹣b +1．又{b ≤1−b +1＜b ，所以12＜b ≤1． 因为m =−b 2+2b +a =−b 2+b +1=−(b −12)2+54，12＜b ≤1，所以{m |1≤m ＜54}． ②若1≤a ＜b ，此时函数y ＝x 2﹣2x +m （m ∈R ）在区间[a ，b ]上单调递增，所以{a 2−2a +m =a b 2−2b +m =b 消去m 得a 2﹣b 2＝3（a ﹣b ），整理得（a ﹣b ）（a +b ﹣3）＝0，因为a ＜b ，所以a +b ﹣3＝0，即b ＝﹣a +3，又{a ≥1−a +3＞a，所以1≤a ＜32． 因为m =−a 2+3a =−(a −32)2+94，1≤a ＜32，所以2≤m ＜94综合①、②得，函数y ＝x 2﹣2x +m （m ∈R ）存在“保值”区间， m 的取值范围是[1，54)∪[2，94)．。
2023-2024学年山东省潍坊市高一(上)期中数学试卷【答案版】
2023-2024学年山东省潍坊市高一（上）期中数学试卷一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知集合A ＝{﹣1，1，2}，B ＝{x |x 2＝x }，则A ∩B ＝（ ） A ．{﹣1}B ．{1}C ．{﹣1，1}D ．{﹣1，0，1，2}2．命题“∃x ∈Z ，x ∈N ”的否定为（ ） A ．∃x ∈Z ，x ∉NB ．∃x ∉Z ，x ∈NC ．∀x ∈Z ，x ∉ND ．∀x ∈Z ，x ∈N3．与函数y =√x 3为同一函数的是（ ） A ．y =x √xB ．y =−x √xC ．y =x √−xD ．y ＝|x |4．函数f （x ）=√−x 2+2x +3的单调递减区间是（ ） A ．（﹣∞，1]B ．[1，3]C ．（﹣1，3）D ．[1，+∞）5．已知a ＞b ＞0，下列不等式中正确的是（ ） A ．a ﹣1＜b ﹣1B ．ab ＜b 2C ．1a+1＜1b+1D ．c a＞cb6．已知函数f(x)={x +a ，x ＞0，|x|+1，x ＜0，且f （f （﹣1））＝4，则a ＝（ ）A ．2B ．1C ．0D ．﹣17．已知函数f （x ）为奇函数，且对任意的x 1，x 2∈R ，当x 1＜x 2时，f(x 1)−f(x 2)x 1−x 2＜0，则关于x 的不等式f （x 2﹣x ）＜0的解集为（ ） A ．（0，1） B ．（﹣∞，0）∪（1，+∞） C ．（﹣1，0）D ．（﹣∞，﹣1）∪（0，+∞）8．某人分两次购买同一种物品，因价格有变动，两次购买时物品的单价分别为a 1，a 2且a 1≠a 2．若他每次购买数量一定，其平均价格为b 1；若他每次购买的费用一定，其平均价格为b 2，则（ ） A ．b 1＜b 2 B ．b 1＞b 2C ．b 1＝b 2D ．b 1，b 2不能比较大小二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分. 9．下列函数值域为[1，+∞）的是（ ） A ．y ＝x +1 B ．y ＝x 2+2x +2 C ．y =1−x1+xD ．y =x −1x +1(x ≥1)10．已知关于x 的不等式ax 2+bx +c ＜0的解集为{x |x ＜﹣4或x ＞3}，则（ ） A ．a ＞0B ．12a +c ＝0C ．a +b +c ＞0D ．不等式ax−b ax−c≤0的解集为{x |﹣12＜x ≤1}11．若a ＞0，b ＞0，a +b ＝1，则（ ） A ．ab ≤14B ．1a+1b≥4C ．|a −12|+|b −14|≤14D ．a 2+b ≥3412．对于任意实数x ，函数f （x ）满足：当n −12＜x ≤n +12(n ∈Z)时，f （x ）＝x ﹣n ，则（ ） A ．f （2023）＝0B ．f （x ）的值域为(−12，12]C ．f （x ）在区间(−12，52]上单调递增D ．f （x ）的图象关于点（k ，0）（k ∈Z ）对称三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13．已知集合M ＝{x ，x +2，2}，若0∈M ，则x ＝ ． 14．已知函数y ＝f （x ）的定义域为[﹣2，5]，则函数y =f(2x−1)x−1的定义域为 ． 15．已知f （x ），g （x ）是分别定义在R 上的奇函数和偶函数，且f （x ）﹣g （x ）＝x 3+x 2+1，则f （1）+g （2）＝ ．16．已知函数f(x)={|x −1|，0≤x ＜2，2(x −3)2−1，x ≥2，则函数y =f(f(x))−12的零点个数为 ．四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17．（10分）设全集U ＝R ，集合A ＝{x |1＜x ＜4}，B ＝{x |m ﹣1≤x ≤m +1}． （1）当m ＝4时，求A ∪B ，A ∩（∁U B ）；（2）若“x ∈A ”是“x ∈B ”的必要条件，求实数m 的取值范围．18．（12分）已知f （x ）是定义在R 上的偶函数，当x ≤0时，f （x ）＝x 2+2x ． （1）求函数f （x ）的解析式；（2）在给出的坐标系中画出f （x ）的图象，并写出f （x ）的单调增区间．19．（12分）已知函数f （x ）＝ax 2+（a ﹣2）x +14(a ∈R)．（1）若关于x 的不等式f （x ）≥0的解集是实数集R ，求a 的取值范围； （2）当a ＜0时，解关于x 的不等式f （x ）−94≤0．20．（12分）为改善生态环境，某企业对生产过程中产生的污水进行处理．已知该企业污水日处理量为x 百吨（70≤x ≤120），日处理污水的总成本y 元与x 百吨之间的函数关系可近似地表示为y =12x 2+40x +5000．（1）该企业日污水处理量为多少百吨时，平均成本最低？（平均成本=y x）（2）若该企业每处理1百吨污水获收益100元，为使该企业可持续发展，政府决定对该企业污水处理进行财政补贴，补贴方式有两种方案：方案一：每日进行定额财政补贴，金额为4200元；方案二：根据日处理量进行财政补贴，处理x 百吨获得金额为40x +1700元．如果你是企业的决策者，为了获得每日最大利润，你会选择哪个方案进行补贴？并说明原因． 21．（12分）已知函数f （x ）对于任意实数x ，y ∈R ，都有f （x +y ）+2＝f （x ）+f （y ），且f （2）＝4． （1）求f （1）的值；（2）令g （x ）＝f （x ）﹣2，求证：函数g （x ）为奇函数；（3）求f （﹣2023）+f （﹣2022）+…+f （﹣1）+f （0）+f （1）+…+f （2022）+f （2023）的值． 22．（12分）已知函数f （x ），g （x ）满足g （x ）＝f （x ）+a 2f(x)(a ＞0)． （1）设f （x ）＝x ，求证：函数g （x ）在区间（0，a ）上为减函数，在区间（a ，+∞）上为增函数； （2）设f （x ）=√1−x1+x． ①当a ＝1时，求g （x ）的最小值；②若对任意实数r ，s ，t ∈[−35，35]，|g （r ）﹣g （s ）|＜g （t ）恒成立，求实数a 的取值范围．2023-2024学年山东省潍坊市高一（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知集合A＝{﹣1，1，2}，B＝{x|x2＝x}，则A∩B＝（）A．{﹣1}B．{1}C．{﹣1，1}D．{﹣1，0，1，2}解：集合A＝{﹣1，1，2}，B＝{x|x2＝x}＝{0，1}，则A∩B＝{1}．故选：B．2．命题“∃x∈Z，x∈N”的否定为（）A．∃x∈Z，x∉N B．∃x∉Z，x∈N C．∀x∈Z，x∉N D．∀x∈Z，x∈N解：因为特称命题的否定是全称命题，所以“∃x∈Z，x∈N”的否定是：“∀x∈Z，x∉Z”．故选：C．3．与函数y=√x3为同一函数的是（）A．y=x√x B．y=−x√x C．y=x√−x D．y＝|x|解：∵函数y=√x3中x3≥0可得x≥0，故函数y=√x3的定义域为[0，+∞），排除CD，又y=√x3=x√x，排除B．故选：A．4．函数f（x）=√−x2+2x+3的单调递减区间是（）A．（﹣∞，1]B．[1，3]C．（﹣1，3）D．[1，+∞）解：由﹣x2+2x+3≥0，解得﹣1≤x≤3，设t＝﹣x2+2x+3，由二次函数的性质可知：t在x∈[﹣1，1]上单调递增，在x∈[1，3]上单调递减，又因为y=√t在定义上为增函数，由复合函数的性质可得：函数f（x）=√−x2+2x+3的单调递减区间是[1，3]．故选：B．5．已知a＞b＞0，下列不等式中正确的是（）A．a﹣1＜b﹣1B．ab＜b2C．1a+1＜1b+1D．ca＞cb解：因为a＞b＞0，所以a﹣1＞b﹣1，A错误；因为a＞b＞0，所以ab＞b2，B错误；因为a+1＞b+1＞0，所以0＜1a+1＜1b+1，C正确；因为1a＜1b，所以c a＜cb，D 错误．故选：C ．6．已知函数f(x)={x +a ，x ＞0，|x|+1，x ＜0，且f （f （﹣1））＝4，则a ＝（ ）A ．2B ．1C ．0D ．﹣1解：∵函数f(x)={x +a ，x ＞0，|x|+1，x ＜0，∴f （﹣1）＝|﹣1|+1＝2， f （f （﹣1））＝2+a ＝4， ∴a ＝2． 故选：A ．7．已知函数f （x ）为奇函数，且对任意的x 1，x 2∈R ，当x 1＜x 2时，f(x 1)−f(x 2)x 1−x 2＜0，则关于x 的不等式f （x 2﹣x ）＜0的解集为（ ） A ．（0，1） B ．（﹣∞，0）∪（1，+∞） C ．（﹣1，0）D ．（﹣∞，﹣1）∪（0，+∞）解：因为对任意的x 1，x 2∈R ，当x 1＜x 2时，f(x 1)−f(x 2)x 1−x 2＜0，所以f （x ）在R 上单调递减， 因为f （x ）为奇函数，即f （0）＝0， 因为f （x 2﹣x ）＜0＝f （0）， 所以x 2﹣x ＞0， 解得x ＞1或x ＜0． 故选：B ．8．某人分两次购买同一种物品，因价格有变动，两次购买时物品的单价分别为a 1，a 2且a 1≠a 2．若他每次购买数量一定，其平均价格为b 1；若他每次购买的费用一定，其平均价格为b 2，则（ ） A ．b 1＜b 2 B ．b 1＞b 2C ．b 1＝b 2D ．b 1，b 2不能比较大小解：设每次购买数量为x ，平均价格为b 1=a 1x+a 2x 2x=a 1+a 22， 设每次购买的费用为y ，平均价格为b 2=2y y a 1+ya 2=2a 1a2a 1+a 2，∵a 1≠a 2，∴(a 1+a 2)2＞4a 1a 2⇒a 1+a 22＞2a 1a 2a 1+a 2⇒b 1＞b 2．故选：B ．二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分. 9．下列函数值域为[1，+∞）的是（ ） A ．y ＝x +1 B ．y ＝x 2+2x +2 C ．y =1−x1+xD ．y =x −1x +1(x ≥1)解：y ＝x +1的值域为R ，A 错误；y ＝x 2+2x +2＝（x +1）2+1≥1，B 符合题意； y =1−x1+x =−x−1x+1=−1+2x+1≠−1，C 不符合题意； 当x ≥1时，y ＝x −1x +1单调递增，故y ≥1，D 符合题意． 故选：BD ．10．已知关于x 的不等式ax 2+bx +c ＜0的解集为{x |x ＜﹣4或x ＞3}，则（ ） A ．a ＞0B ．12a +c ＝0C ．a +b +c ＞0D ．不等式ax−b ax−c≤0的解集为{x |﹣12＜x ≤1}解：已知关于x 的不等式ax 2+bx +c ＜0的解集为{x |x ＜﹣4或x ＞3}， 可得﹣4，3是方程ax 2+bx +c ＝0的两个根，且a ＜0，则{−ba =−4+3c a =−4×3，即b ＝a ，c ＝﹣12a ，所以c +12a ＝0，故A 错误，B 正确；因为1∉{x |x ＜﹣4或x ＞3}，所以a ×12+b ×1+c ＞0，即a +b +c ＞0，故C 正确； 又不等式ax−b ax−c≤0等价于{(ax −b)(ax −c)≤0ax −c ≠0，即{(ax −a)(ax +12a)≤0ax +12a ≠0，即{(x −1)(x +12)≤0x ≠−12，解得﹣12＜x ≤1，故D 正确． 故选：BCD ．11．若a ＞0，b ＞0，a +b ＝1，则（ ）A ．ab ≤14B ．1a+1b≥4C ．|a −12|+|b −14|≤14D ．a 2+b ≥34解：因为a +b ＝1≥2√ab ，解得ab ≤14，当且仅当a =b =12时，等号成立，故A 正确；由1a+1b=(a +b)(1a+1b)=2+b a+a b≥2+2√b a ⋅ab=4，当且仅当a =b =12时，等号成立，可得B 正确；当a =15，b =45时，|a −12|+|b −14|=1720＞14，故|a −12|+|b −14|≤14不成立，故C 错误；根据题意，可得a 2+b =a 2−a +1=(a −12)2+34≥34，当且仅当a =b =12时，a 2+b 的最小值为34，故D 正确． 故选：ABD ．12．对于任意实数x ，函数f （x ）满足：当n −12＜x ≤n +12(n ∈Z)时，f （x ）＝x ﹣n ，则（ ） A ．f （2023）＝0B ．f （x ）的值域为(−12，12]C ．f （x ）在区间(−12，52]上单调递增D ．f （x ）的图象关于点（k ，0）（k ∈Z ）对称解：由题意得f （x ）={⋯x +1，−32＜x ≤−12x ，−12＜x ≤12x −1，12＜x ≤32，x −2，32＜x ≤52⋯，其大致图象如图所示，故f （2023）＝f （2022）＝f （2021）＝…＝f （0）＝0，A 正确； 由函数的图象可知，函数的值域为（−−12，12]，B 正确； 根据函数图象可知，f （x ）在区间(−12，52]上不单调，C 错误； 根据函数的图象可知，f （x ）的图象关于（k 2，0）对称，D 错误．故选：AB ．三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分. 13．已知集合M ＝{x ，x +2，2}，若0∈M ，则x ＝ ﹣2 ． 解：集合M ＝{x ，x +2，2}，若0∈M ，则x ＝0或x +2＝0， 所以x ＝0或x ＝﹣2，当x ＝0时，x +2＝2，不满足元素的互异性，舍去， 当x ＝﹣2时，集合M ＝{﹣2，0，2}，符合题意， 综上所述，x ＝﹣2． 故答案为：﹣2．14．已知函数y ＝f （x ）的定义域为[﹣2，5]，则函数y =f(2x−1)x−1的定义域为 {x |−12≤x ≤3且x ≠1} ． 解：数y ＝f （x ）的定义域为[﹣2，5]，则{−2≤2x −1≤5x −1≠0，解得−12≤x ≤3且x ≠1，故函数y 的定义域为{x |−12≤x ≤3且x ≠1}． 故答案为：{x |−12≤x ≤3且x ≠1}．15．已知f （x ），g （x ）是分别定义在R 上的奇函数和偶函数，且f （x ）﹣g （x ）＝x 3+x 2+1，则f （1）+g （2）＝ ﹣4 ．解：因为f （x ），g （x ）分别是定义在R 上的奇函数和偶函数， 且f （x ）﹣g （x ）＝x 3+x 2+1，①所以f （﹣x ）﹣g （﹣x ）＝（﹣x ）3+（﹣x ）2+1＝﹣x 3+x 2+1，即﹣f （x ）﹣g （x ）＝﹣x 3+x 2+1，变形可得：f （x ）+g （x ）＝x 3﹣x 2﹣1，② 由①②解得：f （x ）＝x 3，g （x ）＝﹣x 2﹣1， 则f （1）＝1，g （2）＝﹣5， 故f （1）+g （2）＝﹣4． 故答案为：﹣4．16．已知函数f(x)={|x −1|，0≤x ＜2，2(x −3)2−1，x ≥2，则函数y =f(f(x))−12的零点个数为 7 ．解：令f （x ）＝t ，则有y =f(f(x))−12=f （t ）−12， 令f （t ）−12=0，得f （t ）=12，当0≤t ＜2时，由|t ﹣1|=12，解得t 1=12或t 2=32；当t ≥2时，由2（t ﹣3）2﹣1=12，解得t 3＝3−√32，t 4＝3+√32， 作出y ＝f （x ）的图象，如图所示：由此可得当f （x ）=12时，有4个根（y ＝f （x ）的图象与y =12的图象有4个交点）； 当f （x ）=32时，有1根（y ＝f （x ）的图象与y =32的图象有1交点）； 当f （x ）＝3−√32时，有1根（y ＝f （x ）的图象与y ＝3−√32的图象有1交点）； 当f （x ）＝3+√32时，有1根（y ＝f （x ）的图象与y ＝3+√32的图象有1交点）；所以一共有4+1+1+1＝7个零点． 故答案为：7．四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17．（10分）设全集U ＝R ，集合A ＝{x |1＜x ＜4}，B ＝{x |m ﹣1≤x ≤m +1}． （1）当m ＝4时，求A ∪B ，A ∩（∁U B ）；（2）若“x ∈A ”是“x ∈B ”的必要条件，求实数m 的取值范围．解：（1）m ＝4时，A ＝{x |1＜x ＜4}，B ＝{x |m ﹣1≤x ≤m +1}＝{x |3≤x ≤5}， 则∁U B ＝{x |x ＞5或x ＜3}，A ∪B ＝{x |1＜x ≤5}，A ∩（∁U B ）＝{x |1＜x ＜3}； （2）若“x ∈A ”是“x ∈B ”的必要条件， 则B ⊆A ，则{m −1＞1m +1＜4，解得：2＜m ＜3，即实数a 的取值范围是（2，3）．18．（12分）已知f （x ）是定义在R 上的偶函数，当x ≤0时，f （x ）＝x 2+2x ． （1）求函数f （x ）的解析式；（2）在给出的坐标系中画出f （x ）的图象，并写出f （x ）的单调增区间．解：（1）设x＞0，则﹣x＜0，所以f（﹣x）＝x2﹣2x，因为f（x）是定义在R上的偶函数，所以f（﹣x）＝f（x），所以当x＞0 时，f（x）＝f（﹣x）＝x2﹣2x，综合可得：f（x）={x2+2x，x≤0 x2−2x，x＞0；（2）根据题意，由（1）的结论，f（x）={x2+2x，x≤0 x2−2x，x＞0，其图象为：该函数的单调递增区间为（﹣1，0），（1，+∞）．19．（12分）已知函数f（x）＝ax2+（a﹣2）x+14(a∈R)．（1）若关于x的不等式f（x）≥0的解集是实数集R，求a的取值范围；（2）当a＜0时，解关于x的不等式f（x）−94≤0．解：（1）若关于x的不等式f（x）≥0的解集是实数集R，即ax2+(a−2)x+14≥0在实数集R上恒成立，当a ＝0时，x ≤18，不符合题意；当a ≠0时，要使关于x 的不等式f （x ）≥0的解集是实数集R ， 则要满足{a ＞0(a −2)2−4a ×14≤0，解得1≤a ≤4， 综上可得，实数l 的取值范围是{a |1≤a ≤4}．（2）由题意f(x)−94≤0 可变为ax 2+（a ﹣2）x ﹣2≤0， 可得ax 2+（a ﹣2）x ﹣2＝（ax ﹣2）（x +1），当a ＜0时，方程（ax ﹣2）（x +1）＝0的两根为−1，2a， ①当a ＜﹣2时，因为−1＜2a ，解不等式得x ≤﹣1或x ≥2a ； ②当a ＝﹣2时，因为−1=2a ，此时不等式的解集为R ； ③当﹣2＜a ＜0时，因为−1＞2a，解不等式得x ≤2a或x ≥﹣1； 综上所述，不等式的解集为：当﹣2＜a ＜0时，不等式的解集为{x|x ≤2a 或≥−1}； 当a ＝﹣2时，不等式的解集为R ；当a ＜﹣2时，不等式的解集为{x|x ≤−1或x ≥2a}．20．（12分）为改善生态环境，某企业对生产过程中产生的污水进行处理．已知该企业污水日处理量为x 百吨（70≤x ≤120），日处理污水的总成本y 元与x 百吨之间的函数关系可近似地表示为y =12x 2+40x +5000．（1）该企业日污水处理量为多少百吨时，平均成本最低？（平均成本=yx ）（2）若该企业每处理1百吨污水获收益100元，为使该企业可持续发展，政府决定对该企业污水处理进行财政补贴，补贴方式有两种方案：方案一：每日进行定额财政补贴，金额为4200元；方案二：根据日处理量进行财政补贴，处理x 百吨获得金额为40x +1700元．如果你是企业的决策者，为了获得每日最大利润，你会选择哪个方案进行补贴？并说明原因． 解：（1）∵y =12x 2+40x +5000， ∴yx =x 2+5000x+40，又x ∈[70，120]，则y x=x 2+5000x+40≥2√x 2⋅5000x +40＝140，当且仅当x 2=5000x，即x ＝100百吨时，平均成本最低；（2）选择方案一：设每日获利为y 1，∴y 1＝100x ﹣（12x 2+40x +5000）+4200=−12x 2+60x ﹣800=−12（x ﹣60）2+1000，∵x ∈[70，120]，∴当x ＝70百吨时，获得最大利润为950元； 选择方案二：设每日获利为y 2，则y 2＝100x +40x +1700﹣（12x 2+40x +5000）=−12x 2+100x ﹣3300=−12（x ﹣100）2+1700，∵x ∈[70，120]，∴当x ＝100百吨时，获得最大利润为1700元， 又1700＞950，故选择方案二进行补贴．21．（12分）已知函数f （x ）对于任意实数x ，y ∈R ，都有f （x +y ）+2＝f （x ）+f （y ），且f （2）＝4． （1）求f （1）的值；（2）令g （x ）＝f （x ）﹣2，求证：函数g （x ）为奇函数；（3）求f （﹣2023）+f （﹣2022）+…+f （﹣1）+f （0）+f （1）+…+f （2022）+f （2023）的值． 解：（1）∵对于任意实数x ，y ∈R ，都有f （x +y ）+2＝f （x ）+f （y ），且f （2）＝4． ∴f （1+1）+2＝f （1）+f （1），∴4+2＝2f （1），∴f （1）＝3； （2）证明：∵f （0+0）+2＝f （0）+f （0），∴f （0）＝2，又x ∈R ，∴g （﹣x ）+g （x ）＝f （﹣x ）﹣2+f （x ）﹣2＝f （﹣x ）+f （x ）﹣4＝f （﹣x +x ）+2﹣4＝f （0）﹣2＝0， ∴g （x ）为奇函数；（3）由（2）知g （﹣x ）+g （x ）＝0，f （x ）＝g （x ）+2， ∴f （﹣x ）+f （x ）＝4，又f （0）＝2，∴f （﹣2023）+f （﹣2022）+…+f （﹣1）+f （0）+f （1）+…+f （2022）+f （2023） ＝2023×4+2＝8094．22．（12分）已知函数f （x ），g （x ）满足g （x ）＝f （x ）+a 2f(x)(a ＞0)．（1）设f （x ）＝x ，求证：函数g （x ）在区间（0，a ）上为减函数，在区间（a ，+∞）上为增函数； （2）设f （x ）=√1−x1+x ．①当a ＝1时，求g （x ）的最小值；②若对任意实数r ，s ，t ∈[−35，35]，|g （r ）﹣g （s ）|＜g （t ）恒成立，求实数a 的取值范围．解：（1）证明：由题意，可得g(x)=x +a 2x ，令0＜x 1＜x 2，则g(x 2)−g(x 1)=x 2+a 2x 2−(x 1+a 2x 1)=(x 2−x 1)+a 2⋅x 1−x 2x 1x 2=(x 2−x 1)(1−a 2x 1x 2)=(x 2−x 1)x 1x 2−a 2x 1x 2，当0＜x 1＜x 2＜a 时，x 2﹣x 1＞0，x 1x 2＞0且x 1x 2−a 2＜0， 故g （x 2）﹣g （x 1）＜0，故g （x ）在区间（0，a ）上为减函数； 当x 2＞x 1＞a 时，x 2﹣x 1＞0，x 1x 2＞0且x 1x 2−a 2＞0，所以g （x 2）﹣g （x 1）＞0，所以g （x ）在区间（a ，+∞）上为增函数． （2）①令1−x 1+x＞0⇔(1+x)(1−x)＞0，解得﹣1＜x ＜1，由g(x)=f(x)+a 2f(x)中f （x ）可知， f(x)=√1−x 1+x 的定义域为（﹣1，1），且f(x)=√21+x−1， 因为x ∈（﹣1，1]，所以x +1∈（0，2]，所以2x+1−1∈(0，+∞)，所以f （x ）∈（0，+∞），令t ＝f （x ），则p(t)=t +1t， 所以p(t)=t +1t≥2，当且仅当t ＝1时取等号， 所以g （x ）min ＝g （0）＝2，②因为|g （r ）﹣g （s ）|＜g （t ）恒成立，所以g （x ）max ﹣g （x ）min ＜g （x ）min ，所以g （x ）max ＜2g （x ）min ， 由①可知，x ∈[−35，35]时，f(x)∈[12，2]， 令t =f(x)∈[12，2]，令ℎ(t)=t +a 2t， 由（1）知，h （t ）在（0，a ）上为减函数，在（a ，+∞）上为增函数， 所以当a ≥2时，h （t ）在[12，2]上为减函数， 所以g(x)max =ℎ(t)max =ℎ(12)=12+2a 2，g(x)min =ℎ(t)min =ℎ(2)=2+a 22， 所以12+2a 2＜2(2+a 22)，所以−√142＜a ＜√142，与a ≥2矛盾，当12＜a ＜2时，h （t ）在[12，a]上为减函数，h （t ）在[a ，2]上为增函数，所以{ℎ(12)＜2ℎ(a)ℎ(2)＜2ℎ(a)，所以{12+2a 2＜4a 2+a 22＜4a，解得4−2√3＜a ＜2+√32，当a≤12时，h（t）在[12，2]上为增函数，所以2+a22＜2(12+2a2)，所以a2＞27，所以a＞√147或a＜−√147，由a≤12，得a＜−√147，又a＞0，所以a∈∅，综上，a的取值范围为{a|4−2√3＜a＜2+√32}．。
2023-2024学年山东省德州市高一(上)期中数学试卷【答案版】
2023-2024学年山东省德州市高一（上）期中数学试卷一、选择题（本题共8个小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的.）1．设集合A ＝{x ∈R |﹣1＜x ≤4}，B ＝{x ∈N |x ≥2}，则A ∩B ＝（ ） A ．{0，1}B ．{﹣1，0，1}C ．{2，3，4}D ．{1}2．已知命题p ：“∃a ＜0，有a +4a ≤−4成立”，则命题p 的否定为（ ） A ．∀a ≥0，有a +4a＞−4成立 B ．∀a ＜0，有a +4a＞−4成立C ．∃a ＜0，有a +4a ＞−4成立D ．∃a ≥0，有a +4a≤−4成立 3．已知f （x ）的定义域为[1，3]，则g(x)=f(3x−2)2x−3的定义域为（ ） A ．[1，32)∪(32，53] B ．[1，53] C ．(1，32)∪(32，53) D ．(32，53]4．函数f(x)=2x1+x 2的图象大致是（ ） A ． B ．C ．D ．5．若函数f(x)=ax 3+(a−1)x+a−2bx是定义在（﹣2a +2，0）∪（0，a ）上的偶函数，则f （1）＝（ ） A ．−79243B ．3C ．52D ．516．甲、乙、丙、丁四个人在争论今天是星期几： 甲说：“明天是星期六”乙说：“昨天是星期二” 丙说：“甲与乙说的都不对”丁说：“今天不是星期四”若这四个人中只有一个人说对了，其他三个人都说错了，那么今天是（ ） A ．星期一B ．星期三C ．星期四D ．星期五7．已知函数f （x ）＝x 2﹣2x ，若存在x ∈[2，4]，使得不等式f （x ）≤a 2+2a 成立，则实数a 的取值范围为（ ）A ．RB ．[﹣2，0]C ．（﹣∞，﹣4]∪[2，+∞）D ．（﹣∞，﹣2]∪[0，+∞）8．德国数学家狄利克雷（Dirichlet ，1805﹣1859），是解析数论的创始人之一．他提出了著名的狄利克雷函数：D(x)={1，x 是有理数0，x 是无理数，以下对D （x ）的说法错误的是（ ）A ．D （D （x ））＝1B ．D （x ）的值域为{0，1}C ．存在x 是无理数，使得D （x +1）＝D （x ）+1D ．∀x ∈R ，总有D （x +1）＝D （﹣x ﹣1）二、选择题（本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.） 9．下列命题中是真命题的是（ ） A ．∀x ∈R ，x 2﹣x +1＞0B ．“a 2+a ＝0”是“a ＝0”的充分不必要条件C ．“a ＞1且b ＞1”是“a +b ＞2且ab ＞1”的充分不必要条件D ．“a ＞4”是“关于x 的方程x 2﹣ax +a ＝0的根都是正根”的充要条件10．已知函数f （x ）＝mx 2+（m ﹣1）x ﹣1 在[﹣1，2]有两个不同的零点，则m 可以为（ ） A ．13B ．3C ．14D ．411．已知m ＞0，n ＞0且m +n ＝1，下列正确的有（ ） A ．4m+1n的最小值为9B ．√m +√n ≤√2C ．1m+1−n 的最小值为0D ．若m ＞n ，则1m−1＜1n−112．已知函数f(x)=|x|x+1−1，则下列正确的有（ ） A ．函数f （x ）在（0，+∞）上为增函数 B ．存在x ∈R ，使得f （﹣x ）＝﹣f （x ）C ．函数f （x ）的值域为（﹣∞，﹣2]∪[﹣1，+∞）D ．方程f （x ）﹣x 2＝0只有一个实数根三、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）13．已知函数f(x)={x 2−2x ，x ＜2，2x +1，x ≥2，若f （a ）＝3，则实数a 为 ．14．已知a ＞0，b ＞0且ab +a +b ＝1，则ab 的最大值 ．15．设A ，B 是两个非空集合，定义：A ⊙B ＝{x |x ∈A ∪B 且x ∉A ∩B }，已知A ={x|y =√x −1}，B ＝{x ||x ﹣1|＞1}，则A ⊙B ＝ ．（用区间表示）16．如果一个函数的定义域与值域均为[m ，n ]，则称该函数为[m ，n ]上的同域函数，[m ，n ]称为同域区间．已知函数 f(x)=√ax 2−2√ax +b +1在区间[1，3]上是同域函数． （1）函数f （x ）的解析式是 ；（2）若函数g(x)=k −√f(x)−32(k ≥0) 在x ≤0时存在同域区间，则实数k 的取值范围是 ． 四、解答题（本题共6小题，共70分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.） 17．（10分）已知集合A ＝{x |a ﹣1≤x ≤2a +1}，集合B ={x|4−xx+2≥0}． （1）当a ＝2时，求（∁R A ）∩B ； （2）若A ∪B ＝B ，求实数a 的取值范围．18．（12分）已知二次函数f （x ）满足f （x +1）﹣f （x ）＝2x ﹣3，且f （1）＝﹣8． （1）求f （x ）的解析式；（2）当x ∈[﹣2，4]时，不等式f （x ）＞2x +m 恒成立，求实数m 的取值范围．19．（12分）已知函数f （x ）是定义在R 上的奇函数，其图象经过点A （1，3），B （﹣2，﹣3），当x ＞0时，f （x ）＝ax +bx+2x−1． （1）求a ，b 的值及f （x ）在R 上的解析式；（2）用定义证明函数f （x ）在区间(√2，+∞)上为增函数．20．（12分）环保是当今社会的一大主题，某企业积极响应号召，创新性研发了一款环保产品，经多次检验产品质量，最终决定大量投放市场．已知该产品年固定研发成本为600万元，每生产一台需另投入1000元，该企业据统计发现：当年产量为x 万台时，总销售额Q(x)={−x 2+1040x +1200，0＜x ≤30，998x −2048x−2+1800，x ＞30．（1）求年总利润W （x ）（万元）关于x （万台）的解析式（年总利润＝年总销售额﹣年成本）； （2）试分析该企业以多少产量生产该产品时利润最大？最大利润为多少？21．（12分）已知定义在R 上的函数f （x ）满足：①对∀x ，y ∈R ，f （x +y ）＝f （x ）+f （y ）﹣1；②当x ＞0时，f （x ）＞1；③f （1）＝3．（1）求f （0），判断并证明f （x ）的单调性；（2）若对任意的x ∈R ，关于x 的不等式f （ax 2）+f （2x ）＜6恒成立，求实数a 的取值范围． 22．（12分）函数y ＝f （x ）的图象关于点P （a ，b ）成中心对称图形的充要条件是函数y ＝f （x +a ）﹣b 为奇函数，设函数f（x）＝x3﹣3x2．（1）求函数f（x）图象的对称中心；（2）求f（﹣2019）+f（﹣2020）+f（﹣2021）+f（2021）+f（2022）+f（2023）的值；（3）已知g（x）＝mx﹣1，若对任意x1∈[1，2]，总存在x2∈[2，3]，使得g（x1）=f(x2)+2x2x2，求实数m的取值范围．2023-2024学年山东省德州市高一（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本题共8个小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的.）1．设集合A ＝{x ∈R |﹣1＜x ≤4}，B ＝{x ∈N |x ≥2}，则A ∩B ＝（ ） A ．{0，1}B ．{﹣1，0，1}C ．{2，3，4}D ．{1}解：集合A ＝{x ∈R |﹣1＜x ≤4}，B ＝{x ∈N |x ≥2}，则A ∩B ＝{2，3，4}． 故选：C ．2．已知命题p ：“∃a ＜0，有a +4a ≤−4成立”，则命题p 的否定为（ ） A ．∀a ≥0，有a +4a＞−4成立 B ．∀a ＜0，有a +4a＞−4成立C ．∃a ＜0，有a +4a ＞−4成立D ．∃a ≥0，有a +4a ≤−4成立解：命题p ：“∃a ＜0，有a +4a ≤−4成立”， 则命题p 的否定为：∀a ＜0，有a +4a ＞−4成立． 故选：B ．3．已知f （x ）的定义域为[1，3]，则g(x)=f(3x−2)2x−3的定义域为（ ） A ．[1，32)∪(32，53] B ．[1，53] C ．(1，32)∪(32，53)D ．(32，53]解：f （x ）的定义域为[1，3]，则{−1≤3x −2≤32x −3≠0，解得1≤x ≤53且x ≠32．故选：A ． 4．函数f(x)=2x1+x 2的图象大致是（ ） A ． B ．C ．D ．解：函数f(x)=2x1+x 2是奇函数，排除C 、D ， 当x ＞0时，f （x ）＞0，判断A ． 故选：B ．5．若函数f(x)=ax 3+(a−1)x+a−2bx是定义在（﹣2a +2，0）∪（0，a ）上的偶函数，则f （1）＝（ ） A ．−79243B ．3C ．52D ．51解：∵f （x ）是定义在（﹣2a +2，0）∪（0，a ）上的偶函数， ∴﹣2a +2+a ＝0，解得a ＝2，∴f(x)=2x 3+x+2−2b x， ∴f （﹣x ）＝f （x ），即−2x 3−x+2−2b−x =2x 3+x+2−2bx，∴2x 3+x−(2−2b)x=2x 3+x+2−2bx，∴2﹣2b ＝0，∴f （x ）＝2x 2+1，f （1）＝2+1＝3． 故选：B ．6．甲、乙、丙、丁四个人在争论今天是星期几： 甲说：“明天是星期六”乙说：“昨天是星期二” 丙说：“甲与乙说的都不对”丁说：“今天不是星期四”若这四个人中只有一个人说对了，其他三个人都说错了，那么今天是（ ） A ．星期一B ．星期三C ．星期四D ．星期五解：假设甲说对，则今天是星期五，那么乙错，丙错，丁对，与“只有一人说对”矛盾； 假设乙说对，则今天是星期三，那么甲错，丙错，丁对，与“只有一人说对”矛盾； 假设丙说对，那么甲、乙、丁错；故今天星期四，所以假设可成立；假设丁说对，则丙说错，甲、乙都说对或其中一人说对，与“只有一人说对”矛盾． 所以是丙说对了，今天是星期四． 故选：C ．7．已知函数f （x ）＝x 2﹣2x ，若存在x ∈[2，4]，使得不等式f （x ）≤a 2+2a 成立，则实数a 的取值范围为（ ） A ．RB ．[﹣2，0]C ．（﹣∞，﹣4]∪[2，+∞）D ．（﹣∞，﹣2]∪[0，+∞）解：根据题意，函数f （x ）＝x 2﹣2x ＝（x ﹣1）2﹣1，x ∈[2，4]，易得f （x ）min ＝f （2）＝0，若存在x ∈[2，4]，使得不等式f （x ）≤a 2+2a 成立，则有a 2+2a ≥0， 解可得：a ≤﹣2或a ≥0，即实数a 的取值范围为（﹣∞，﹣2]∪[0，+∞）． 故选：D ．8．德国数学家狄利克雷（Dirichlet ，1805﹣1859），是解析数论的创始人之一．他提出了著名的狄利克雷函数：D(x)={1，x 是有理数0，x 是无理数，以下对D （x ）的说法错误的是（ ）A ．D （D （x ））＝1B ．D （x ）的值域为{0，1}C ．存在x 是无理数，使得D （x +1）＝D （x ）+1D ．∀x ∈R ，总有D （x +1）＝D （﹣x ﹣1）解：对于A ，当x 为有理数时，D （x ）＝1，所以D （D （x ））＝1； 当x 为无理数时，D （x ）＝0，所以D （D （x ））＝1， 所以D （D （x ））＝1，选项A 正确；对于B ，因为D(x)={1，x 是有理数0，x 是无理数，所以D （x ）的值域为{0，1}，选项B 正确；对于C ，当x 为无理数时，x +1也是无理数，所以D （x +1）＝0；当x 为无理数时，D （x ）＝0，所以D （x +1）＝D （x ）＝0，选项C 错误；对于D ，当x 为有理数时，x +1也是有理数，﹣x ﹣1也是有理数，所以D （x +1）＝D （﹣x ﹣1）＝1； 当x 为无理数时，x +1也是无理数，﹣x ﹣1也是无理数，所以D （x +1）＝D （﹣x ﹣1）＝0， 所以D （x +1）＝D （﹣x ﹣1），选项D 正确． 故选：C ．二、选择题（本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.） 9．下列命题中是真命题的是（ ） A ．∀x ∈R ，x 2﹣x +1＞0B ．“a 2+a ＝0”是“a ＝0”的充分不必要条件C ．“a ＞1且b ＞1”是“a +b ＞2且ab ＞1”的充分不必要条件D ．“a ＞4”是“关于x 的方程x 2﹣ax +a ＝0的根都是正根”的充要条件解：对于A ，y ＝x 2﹣x +1的开口向上，Δ＝1﹣4＝﹣3＜0，所以不等式x 2﹣x +1＞0解集为R ，故A 对． 对于B ，由方程a 2+a ＝0得a ＝0或a ＝﹣1，当a ＝﹣1时，不能推出a ＝0，充分性不成立，故B 错．对于C ，a ＞1且b ＞1，根据不等式的性质得出a +b ＞2且ab ＞1，充分性成立；而a ＝1，b ＝5时，满足a +b ＞2且ab ＞1，但不满足a ＞1且b ＞1，必要性不成立．故C 对．对于D ，关于x 的方程x 2﹣ax +a ＝0的根都是正根，则满足{Δ=a 2−4a ≥0a ＞0得a ≥4，故D 对．故选：ACD ．10．已知函数f （x ）＝mx 2+（m ﹣1）x ﹣1 在[﹣1，2]有两个不同的零点，则m 可以为（ ） A ．13B ．3C ．14D ．4解：∵函数f （x ）＝mx 2+（m ﹣1）x ﹣1 在[﹣1，2]有两个不同的零点， 且f （0）＝﹣1≠0，f （﹣1）＝0， ∴令f （x ）＝mx 2+（m ﹣1）x ﹣1＝0， 得（x 2+x ）m ＝x +1，∴m =1x，x ∈（﹣1，0）∪（0，2]， 而1x∈（﹣∞，﹣1）∪[12，+∞），即m ∈（﹣∞，﹣1）∪[12，+∞）．故选：BD ．11．已知m ＞0，n ＞0且m +n ＝1，下列正确的有（ ） A ．4m+1n的最小值为9B ．√m +√n ≤√2C ．1m+1−n 的最小值为0D ．若m ＞n ，则1m−1＜1n−1解：因为m ＞0，n ＞0且m +n ＝1， 所以4m+1n=（4m +1n ）（m +n ）＝5+4n m +m n ≥5+2√4n m ⋅mn =9，当且仅当4n m =mn且m +n ＝1，即m =23，n =13时取等号，A 正确； 因为（√m +√n ）2＝m +n +2√mn ≤2（m +n ）＝2，当且仅当m ＝n =12时取等号，B 正确；1m+1−1n=1m+1+m −1=1m+1+m +1−2≥2√(m +1)⋅1m+1−2＝0，当且仅当m +1=1m+1，即m ＝0时取等号，但显然m ＞0，等号取不到，C 错误； 由题意得n ﹣1＜m ﹣1＜0， 故1n−1＞1m−1，D 正确．故选：ABD ．12．已知函数f(x)=|x|x+1−1，则下列正确的有（）A．函数f（x）在（0，+∞）上为增函数B．存在x∈R，使得f（﹣x）＝﹣f（x）C．函数f（x）的值域为（﹣∞，﹣2]∪[﹣1，+∞）D．方程f（x）﹣x2＝0只有一个实数根解：对于A：函数f（x）的定义域为（﹣∞，﹣1）∪（﹣1，+∞），当x＞0时，f（x）=|x|x+1−1=xx+1−1=−1x+1，所以f（x）在（0，+∞）上单调递增，故A正确；对于B：当x＝0时，f（﹣x）＝0，f（x）＝0，此时f（﹣x）＝﹣f（x），故B正确；对于C：由上可知f（x）在（0，+∞）上单调递增，当x＜0时，f（x）=−xx+1−1＝﹣2+1x+1，所以f（x）在（﹣∞，﹣1），（﹣1，0）上单调递减，当x→+∞时，f（x）→0，作出函数f（x）的图象：所以函数f（x）的值域为R，故C错误；对于D：方程f（x）﹣x2＝0的根为函数y＝f（x）与y＝x2交点横坐标，作出函数y＝f（x）与y＝x2图象：函数y ＝f （x ）与y ＝x 2只有一个交点，所以方程f （x ）﹣x 2＝0的根只有一个，故D 正确． 故选：ABD ．三、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）13．已知函数f(x)={x 2−2x ，x ＜2，2x +1，x ≥2，若f （a ）＝3，则实数a 为 ﹣1 ．解：当a ＜2时，a 2﹣2a ＝3，解得a ＝﹣1或a ＝3（舍去）， 当a ≥2时，2a +1＝3，解得a ＝1（舍去）， 综上所述，a ＝﹣1． 故答案为：﹣1．14．已知a ＞0，b ＞0且ab +a +b ＝1，则ab 的最大值 3﹣2√2 ． 解：∵a ＞0，b ＞0，且ab +a +4b ＝1， ∴1﹣ab ＝a +b ≥2√ab ，令t =√ab ，则t ＞0， ∴t 2+2t ﹣1≤0，解得t ≤√2−1，又t ＞0， ∴0＜t ≤√2−1， ∴0＜ab ≤3﹣2√2． 故答案为：3﹣2√2．15．设A ，B 是两个非空集合，定义：A ⊙B ＝{x |x ∈A ∪B 且x ∉A ∩B }，已知A ={x|y =√x −1}，B ＝{x ||x ﹣1|＞1}，则A ⊙B ＝ （﹣∞，0）∪[1，2] ．（用区间表示） 解：设A ，B 是两个非空集合，定义：A ⊙B ＝{x |x ∈A ∪B 且x ∉A ∩B }， ∵A ={x|y =√x −1}={x |x ≥1}，B ＝{x ||x ﹣1|＞1}＝{x |x ＜0或x ＞2}， ∴A ∪B ＝{x |x ＜0或x ≥1}，A ∩B ＝{x |x ＞2}， 则A ⊙B ＝（﹣∞，0）∪[1，2]．16．如果一个函数的定义域与值域均为[m ，n ]，则称该函数为[m ，n ]上的同域函数，[m ，n ]称为同域区间．已知函数 f(x)=√ax 2−2√ax +b +1在区间[1，3]上是同域函数． （1）函数f （x ）的解析式是 f(x)=12x 2−x +32；（2）若函数g(x)=k −√f(x)−32(k ≥0) 在x ≤0时存在同域区间，则实数k 的取值范围是 [0，1−√22] ．解：（1）由f(x)=√ax 2−2√ax +b +1=√a(x −1)2−√a +b +1，所以函数f(x)=√ax 2−2√ax +b +1在1，3]上单调递增，又函数是同域函数， 得{f(1)=1f(3)=3，即{f(1)=√a −2√a +b +1=1f(3)=9√a −6√a +b +1=3，解得{a =14b =12， 所以f(x)=12x 2−x +32．（2）由（1）得g(x)=k −√12x 2−x =k −√12(x −1)2−12（k ≥0）， 所以g （x ）在（﹣∞，0]单调递增．设[c ，d ]是函数g （x ）的同域区间，得{g(c)=c g(d)=d ，即{k −√12c 2−c =c k −√12d 2−d =d ，得x 2﹣2（2k ﹣1）x +2k 2＝0在（﹣∞，0]上的根为c 和d ，则满足{Δ=[2(2k −1)]2−4×2k 2＞0c +d =2(2k −1)＜0c ⋅d =2k 2≥0k ≥0，解得0≤k ＜1−√22．即k 实数k 的取值范围是[0，1−√22]．故答案为：（1）f(x)=12x 2−x +32；（2）[0，1−√22]．四、解答题（本题共6小题，共70分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.） 17．（10分）已知集合A ＝{x |a ﹣1≤x ≤2a +1}，集合B ={x|4−xx+2≥0}．（1）当a ＝2时，求（∁R A ）∩B ； （2）若A ∪B ＝B ，求实数a 的取值范围．解：（1）当a ＝2时，A ＝{x |1≤x ≤5}，B ＝{x |﹣2＜x ≤4}， 所以∁R A ＝{x |x ＜1或x ＞5}， 则（∁R A ）∩B ＝{|﹣2＜x ＜1}． （2）因为A ∪B ＝B ，所以A ⊆B ，当A ＝∅时，则a ﹣1＞2a +1，即a ＜﹣2，满足A ⊆B ，则a ＜﹣2； 当A ≠∅时，由A ⊆B 得{a ≥−2a −1＞−22a +1≤4，解得−1＜a ≤32．综上：实数a 的取值范围为(−∞，−2)∪(−1，32]．18．（12分）已知二次函数f （x ）满足f （x +1）﹣f （x ）＝2x ﹣3，且f （1）＝﹣8． （1）求f （x ）的解析式；（2）当x ∈[﹣2，4]时，不等式f （x ）＞2x +m 恒成立，求实数m 的取值范围． 解：（1）由f （x ）是二次函数，设f （x ）＝ax 2+bx +c （a ≠0）， 因为f （x +1）﹣f （x ）＝2x ﹣3恒成立，所以a （x +1）2+b （x +1）+c ﹣（ax 2+bx +c ）＝2x ﹣3恒成立， 所以2ax +a +b ＝2x ﹣3，又f （1）＝﹣8， 所以{a +b +c =−82a =2a +b =−3⇒⇒{a =1b =−4c =−5，所以f （x ）＝x 2﹣4x ﹣5．（2）当x ∈[﹣2，4]时，f （x ）＞2x +m 恒成立，即x 2﹣6x ﹣5＞m 恒成立， 令g （x ）＝x 2﹣6x ﹣5，则m ＜g （x ）min ，g （x ）＝（x ﹣3）2﹣14， 当x ∈[﹣2，3]时，g （x ）单调递减；当x ∈[3，4]时，g （x ）单调递增， 所以g （x ）min ＝g （3）＝﹣14，所以m ＜﹣14， 所以m 的取值范围为（﹣∞，﹣14）．19．（12分）已知函数f （x ）是定义在R 上的奇函数，其图象经过点A （1，3），B （﹣2，﹣3），当x ＞0时，f （x ）＝ax +bx+2x−1． （1）求a ，b 的值及f （x ）在R 上的解析式；（2）用定义证明函数f （x ）在区间(√2，+∞)上为增函数．解：（1）因为函数f （x ）是定义在R 上的奇函数，其图象经过点B （﹣2，﹣3），所以其图象也经过点B '（2，3），将A （1，3）和B '（2，3）代入x ＞0时的解析式f(x)=ax +bx+2x−1， 得{a +b =22a +b =3，所以a ＝b ＝1， 于是函数f （x ）在x ＞0上的解析式为f(x)=x +2x ． 当x ＜0时，﹣x ＞0，所以f(−x)=−x −2x；又函数f （x ）是定义在R 上的奇函数，所以f （﹣x ）＝﹣f （x ）， 于是−f(x)=−x −2x ，即f(x)=x +2x ，又函数f （x ）是定义在R 上的奇函数，所以f （0）＝0， 所以f （x ）在R 上的解析式为f （x ）={0，x =0x +2x ，x ≠0． （2）由（1）可知，f(x)=x +2x，在(√2，+∞)上任取x 1＜x 2，Δx ＝x 2﹣x 1＞0，Δy =f(x 2)−f(x 1)=x 2+2x 2−(x 1+2x 1)=(x 2−x 1)(1−2x 1x 2)．又x 2＞x 1＞√2，所以x 1x 2＞2，则1−2x 1x 2＞0，则Δy ＞0， 所以f （x ）在(√2，+∞)上单调递增．20．（12分）环保是当今社会的一大主题，某企业积极响应号召，创新性研发了一款环保产品，经多次检验产品质量，最终决定大量投放市场．已知该产品年固定研发成本为600万元，每生产一台需另投入1000元，该企业据统计发现：当年产量为x 万台时，总销售额Q(x)={−x 2+1040x +1200，0＜x ≤30，998x −2048x−2+1800，x ＞30．（1）求年总利润W （x ）（万元）关于x （万台）的解析式（年总利润＝年总销售额﹣年成本）； （2）试分析该企业以多少产量生产该产品时利润最大？最大利润为多少？ 解：（1）当0＜x ≤30时，W （x ）＝Q （x ）﹣1000x ﹣600＝﹣x 2+40x +600， 当x ＞30时，W （x ）＝Q （x ）﹣1000x ﹣600＝﹣2x −2048x−2+1200， 得到W （x ）的表达式为，W （x ）={−x 2+40x +600，0＜x ≤30−2x −2048x−2+1200，x ＞30． （2）当0＜x ≤30时，W （x ）＝﹣x 2+40x +600＝﹣（x ﹣20）2+1000，则当x＝20时，W（x）取得最大值1000；当x＞30时，W（x）＝﹣2（x﹣2+1024x−2）+1196≤1196−2×2×√1024=1068，当且仅当x−2=1024x−2，即x＝34时，W（x）取得最大值1068，因为1068＞1000，所以，当x＝34时利润最大，最大值为1068万元．21．（12分）已知定义在R上的函数f（x）满足：①对∀x，y∈R，f（x+y）＝f（x）+f（y）﹣1；②当x＞0时，f（x）＞1；③f（1）＝3．（1）求f（0），判断并证明f（x）的单调性；（2）若对任意的x∈R，关于x的不等式f（ax2）+f（2x）＜6恒成立，求实数a的取值范围．解：（1）令x＝y＝0，得f（0）＝f（0）+f（0）﹣1，解得f（0）＝1，f（x）在R上单调递增，理由如下：任取x1＜x2，即x2﹣x1＞0，则f（x2）﹣f（x1）＝f（x2﹣x1+x1）﹣f（x1）＝f（x2﹣x1）+f（x1）﹣1﹣f（x1）＝f（x2﹣x1）﹣1，因为x＞0时，f（x）＞1，所以x1＜x2时，f（x2）﹣f（x1）＝f（x2﹣x1）﹣1＞0，所以f（x）在R上单调递增．（2）令x＝y＝1，得f（2）＝f（1）+f（1）﹣1＝5，因为f（x+y）＝f（x）+f（y）﹣1，所以f（x+y）+1＝f（x）+f（y），所以f（ax2）+f（2x）＝f（ax2+2x）+1，因为不等式f（ax2）+f（2x）＜6等价于f（ax2）+f（2x）＝f（ax2+2x）+1＜6，所以f（ax2+2x）＜5＝f（2），因为f（x）在R上单调递增，所以ax2+2x﹣2＜0恒成立，①a＝0时，2x﹣2＜0，解得x＜1，不等式并非在R上恒成立；②a≠0时，只有{a＜0Δ=4+8a＜0才满足条件，即a＜−12．综上所述，a的取值范围为（﹣∞，−12）．22．（12分）函数y＝f（x）的图象关于点P（a，b）成中心对称图形的充要条件是函数y＝f（x+a）﹣b为奇函数，设函数f（x）＝x3﹣3x2．（1）求函数f （x ）图象的对称中心；（2）求f （﹣2019）+f （﹣2020）+f （﹣2021）+f （2021）+f （2022）+f （2023）的值； （3）已知g （x ）＝mx ﹣1，若对任意x 1∈[1，2]，总存在x 2∈[2，3]，使得g （x 1）=f(x 2)+2x 2x 2，求实数m 的取值范围．解：（1）设函数f （x ）＝x 3﹣3x 2的对称中心为P （a ，b ）， 则函数y ＝f （x +a ）﹣b ＝（x +a ）3﹣3（x +a ）2﹣b 是奇函数， 由奇函数定义可知：f （﹣x +a ）﹣b ＝﹣[f （x +a ）﹣b ]， 即f （﹣x +a ）+f （x +a ）﹣2b ＝0，由等式可得：（﹣x +a ）3+（x +a ）3﹣3（﹣x +a ）2﹣2b ﹣3（x +a ）2＝0， 即（6a ﹣6）x 2+2a 3﹣6a 2﹣2b ＝0，可得{6a −6=02a 3−6a 2−2b =0，解得a ＝1，b ＝﹣2；故函数f （x ）＝x 3﹣3x 2的对称中心为（1，﹣2）．（2）f （﹣2019）+f （﹣2020）+f （﹣2021）+f （2021）+f （2022）+f （2023）＝[f （﹣2019）+f （2021）]+[f （﹣2020）+f （2022）]+[f （﹣2021）+f （2023）]＝﹣4×3＝﹣12． （3）y =f(x)x +2=x 2−3x +2，当x ∈[2，3]时，y ∈[0，2]， 原题转化为g （x ）在[1，2]上的值域为A ，A ⊆[0，2]． 因为x ∈[1，2]，当m ＞0时，g （x ）∈[m ﹣1，2m ﹣1]，所以{m −1≥02m −1≤2，解得1≤m ≤32．当m ＝0时，g （x ）∈{﹣1}，不成立． 当m ＜0时，g （x ）∈[2m ﹣1，m ﹣1]，所以{2m −1≥0m −1≤2，无解，综上，实数m 的取值范围[1，32]．。
山东省泰山中学2023-2024学年高一上学期11月期中考试数学试卷(含答案)
12、下列说法中,正确的是()
A.若对任意 , , ,则 在I上单调递增
B.函数 的递减区间是
C.函数 在定义域上是增函数
D.函数 的单调减区间是 和
三、填空题
13、已知 为奇函数,则 _______________.
14、已知函数 ,则 ___________.
15、已知关于x不等式 解集为R,则实数k的取值范围是_____________.
, ,而对称轴 ,开口向上, 当 时 ,当 时 ,
的值域是 .
（2）方程 有解,
即 有解,
即 有解,
有解,
令 ,则 ,
.
22、答案：(1)证明见解析
(2)①证明见解析;② 或 或
解析：（1）取 得 ,即 ,
取 得 ,即 ,
取 , 得 ,即 是偶函数;
（2）①设 ,则 ,
由 时, 得 ,
则 ,
即 在 上为减函数,
(1)求证： 是偶函数;
(2)设 时 ,
①求证： 在 上是减函数;
②求不等式 的解集.
参考答案
1、答案：D
解析： 集合 , ,
由集合并集的运算可得： ,
故选：D.
2、答案：A
解析：根据全程命题的否定得：命题“ ,都有 ”的否定是： ,使得 ,
故选：A.
3、答案：C
解析：由题意得 ,即 ,解得 .
故选：C.
7、答案：B
解析：由已知 , ,
则 ,
故 是奇函数,图象关于原点对称,故C项错误;
当 时, ,则 ,
故AD项错误,应选B.
又设 , 且 ,
则 ,
故 ,则有 ,
即 ,故 在 上单调递减.
2023-2024学年山东省日照市高一(上)期中数学试卷【答案版】
2023-2024学年山东省日照市高一（上）期中数学试卷一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．设集合A＝{1，3}，B＝{2，3，4}，则A∪B＝（）A．{1，3，4}B．{1，2，3，4}C．{3}D．{2，3}2．命题“∀x＞1，x2+1≥0”的否定为（）A．∃x≤1，x2+1≥0B．∃x＞1，x2+1＜0C．∀x＞1，x2+1＜0D．∃x≤1，x2+1＜03．下列函数中，在其定义域内，既是奇函数又是减函数的是（）A．f（x）＝x B．f(x)=1C．f（x）＝﹣x|x|D．f（x）＝﹣x2x4．已知集合A＝{x|﹣1≤x≤1}，B＝{y|﹣1≤y≤1}，则下列图象中，能表示从集合A到集合B的一个函数的是（）A．B．C．D．5．已知函数f（x）的定义域为（0，1），则函数f（2x﹣1）的定义域为（），1)A．（0，1）B．（﹣1，1）C．（﹣1，0）D．(126．已知函数f（x）的图象在区间[1，3]上连续不断，则“f（1）+f（2）+f（3）＝0”是“f（x）在[1，3]上存在零点”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件7．高斯，德国著名数学家、物理学家、天文学家，是近代数学奠基者之一，享有“数学王子”之称．函数y ＝[x ]称为高斯函数，其中[x ]表示不超过实数x 的最大整数，如[1.2]＝1，[﹣2]＝﹣2．设函数f （x ）＝x 2﹣x [x ]，则使不等式f （x ）﹣2ax 2≤0恒成立的实数a 的最小值为（ ） A ．0B ．14C ．12D ．18．已知函数f （x ）是定义在R 上的偶函数，若∀x 1，x 2∈[0，+∞），且x 1≠x 2，都有x 1f(x 1)−x 2f(x 2)x 1−x 2＜0成立，则不等式f(1t)−(6t 2−t)f(6t −1)＞0的解集为（ ） A ．(−3，0)∪(12，+∞) B ．(−12，0)∪(13，+∞)C ．(−∞，−3)∪(12，+∞)D ．(−∞，−13)∪(12，+∞)二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求的，全部选对得5分，选对但不全的得2分，有选错的得0分. 9．已知b ＜a ＜0，则下列结论正确的有（ ） A ．a 2＜b 2B ．ab ＞b 2C ．ba +a b＞2 D ．√−a ＜√−b10．已知函数f （x ）＝x 2+1的值域是[1，5]，则f （x ）的定义域可能是（ ） A ．[﹣1，2]B ．[﹣3，2]C ．(−12，2]D ．[−2，12]11．函数f （x ）是定义在R 上的奇函数，当x ＞0时，f(x)=x1+x，则（ ） A ．函数f （x ）在区间（﹣∞，0）上单调递减B ．关于x 的不等式f （x ）+f （2x ﹣1）＜0的解集为(−∞，13)C ．关于x 的方程f （x ）＝x 有三个实数解D ．∀x 1，x 2，|f （x 1）﹣f （x 2）|＜212．已知函数f （x ），g （x ）的定义域均为R ，且g （1+x ）+f （1﹣x ）＝1，f （x ﹣1）﹣g （x ）＝1，若y ＝f （x ）的图象关于直线x ＝1对称，则以下说法正确的是（ ） A ．f （x ）为奇函数B ．y ＝g （x ）图象关于直线x ＝1对称C ．若f （x ）的值域为[m ，M ]，则m +M ＝2D ．f （1）+g （1）+f （2）+g （2）+⋯+f （2023）+g （2023）＝2023 三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13．已知函数f(x)={|x|−1，x ∈[−1，+∞)2f(x +2)，x ∈(−∞，−1)，则f(−52)= ．14．若关于x 的不等式ax ﹣b ＜0的解集是（2，+∞），则关于x 的不等式（ax +b ）（x ﹣3）＜0的解集是 ． 15．若不等式mx 2+mx+2x 2+x+1＞1对一切实数x 均成立，则实数m 的取值范围为 ．若存在实数b ，使得关于m 的方程m 2+（3﹣b ）m +6﹣b ＝0在上述范围有解，则实数b 的取值范围为 ． 16．从古至今，中国人一直追求着对称美学．世界上现存规模最大、保存最为完整的木质结构一一故宫，沿着一条子午线对称分布，壮美有序．其中某建筑物的外形轮廓部分可用函数f(x)=√|x −2a|+√|x|的图像来刻画，已知关于x 的方程f （x ）＝b 恰有三个不同的实数根x 1，x 2，x 3，且x 1＜x 2＜x 3＝b （其中a ，b ∈（0，+∞）），则b ﹣9a 的值为 ．四、解答题：共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 17．（10分）已知集合A ＝{x |x 2﹣9＜0}，B ＝{x |2≤x +1≤4}． （1）求A ∩B ；（2）若集合C ＝{x |m ≤x ≤m +1，m ∈R }，A ∩C ＝∅，求实数m 的取值范围． 18．（12分）已知函数f （x ）＝ax 2﹣（a +1）x +1（a ∈R ）． （1）当a ＝﹣2时，求不等式f （x ）≤0的解集； （2）当a ＞0时，求关于x 的不等式f （x ）＜0的解集． 19．（12分）已知函数f （2x ﹣1）＝4x 2﹣2x +3． （1）求函数f （x ）的解析式；（2）若关于x 的方程f （x ）＝（1﹣2m ）x +2﹣2m 有两个实根，其中一个实根在区间（﹣1，0）内，另一个实根在区间（2，3）内，求实数m 的取值范围． 20．（12分）已知函数f(x)=x +ax +1(a ∈R)．（1）若a ＝2，判断并证明f （x ）在（0，+∞）上的单调性；（2）若存在x ∈（0，1），使不等式f(√x)＜−√x 1√x 4成立，求实数a 的取值范围．21．（12分）设矩形ABCD 的周长为16，且AB ＞AD ，如图所示，把它沿对角线AC 对折后，AB 交DC 于点P ．设AB ＝x ，△ADP 的面积为S ． （1）用x 表示PD 长，并写出x 的范围； （2）求S 的最大值．22．（12分）已知函数f（x）＝﹣|x2﹣2|﹣ax．（1）当a＝﹣1时，求函数f（x）的零点；（2）设函数g（x）＝f（x）+2x2+2区间（0，4]上有三个不同零点x1，x2，x3，且x1＜x2＜x3，求x1x2+x1x3的取值范围；（3）当a≥2√2时，若在[0，2]上存在2023个不同的实数x i（i＝1，2，⋯，2023），x1＜x2＜ (x2023)使得|f（x1）﹣f（x2）|+|f（x2）﹣f（x3）|+…+|f（x2022）﹣f（x2023）|＝6，求实数a的取值范围．2023-2024学年山东省日照市高一（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．设集合A＝{1，3}，B＝{2，3，4}，则A∪B＝（）A．{1，3，4}B．{1，2，3，4}C．{3}D．{2，3}解：集合A＝{1，3}，B＝{2，3，4}，则A∪B＝{1，2，3，4}．故选：B．2．命题“∀x＞1，x2+1≥0”的否定为（）A．∃x≤1，x2+1≥0B．∃x＞1，x2+1＜0C．∀x＞1，x2+1＜0D．∃x≤1，x2+1＜0解：命题为全称命题，则命题“∀x＞1，x2+1≥0”的否定为∃x＞1，x2+1＜0．故选：B．3．下列函数中，在其定义域内，既是奇函数又是减函数的是（）A．f（x）＝x B．f(x)=1xC．f（x）＝﹣x|x|D．f（x）＝﹣x2解：对于A，f（x）＝x是奇函数，但在定义域R上单调递增，故A不符合题意；对于B，f（x）=1x是奇函数，在（﹣∞，0），（0，+∞）上分别单调递减，但在定义域内不单调，故B不符合题意；对于C，f（x）＝﹣x|x|={x2，x≤0−x2，x＞0是奇函数，且在R上单调递减，故C符合题意；对于D，f（x）＝﹣x2为偶函数，故D不符合题意．故选：C．4．已知集合A＝{x|﹣1≤x≤1}，B＝{y|﹣1≤y≤1}，则下列图象中，能表示从集合A到集合B的一个函数的是（）A．B．C ．D ．解：由题意可知函数的定义域为集合A ＝{x |﹣1≤x ≤1}，值域为集合B ＝{y |﹣1≤y ≤1}的子集， 对于选项A ：函数图像满足定义域和值域的要求，且定义域内一个x 对应值域内唯一的一个y 值，所以选项A 正确，对于选项B ：函数图像满足定义域和值域的要求，但是当x ＝0时，y 的值有2个，不符合函数的定义，故选项B 错误，对于选项C ：函数的定义域不符合题意，故选项C 错误， 对于选项D ：函数的定义域不符合题意，故选项D 错误， 故选：A ．5．已知函数f （x ）的定义域为（0，1），则函数f （2x ﹣1）的定义域为（ ） A ．（0，1）B ．（﹣1，1）C ．（﹣1，0）D ．(12，1)解：函数f （x ）的定义域为（0，1）， 令0＜2x ﹣1＜1，解得12＜x ＜1．故选：D ．6．已知函数f （x ）的图象在区间[1，3]上连续不断，则“f （1）+f （2）+f （3）＝0”是“f （x ）在[1，3]上存在零点”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解：举例：f （x ）＝（x ﹣2）2，此时f （x ）的零点为2，但f （1）+f （2）+f （3）＝2≠0， 即当f （x ）在[1，3]上存在零点时，不一定能得到f （1）+f （2）+f （3）＝0，所以必要性不满足； 当f （1）+f （2）+f （3）＝0时，若f （1），f （2），f （3）三个值中存在0，则f （x ）在[1，3]上显然存在零点， 若f （1），f （2），f （3）三个值均不为0，不妨假设f （1）≥f （2）≥f （3），因为f （1）+f （2）+f （3）＝0，所以f （1）≥0，f （3）≤0，取等号时f （1）＝f （2）＝f （3）＝0不满足条件，所以f （1）＞0，f （3）＜0，则f （1）f （3）＜0，根据零点的存在性定理可知f （x ）在[1，3]上存在零点，所以充分性满足；所以“f （1）+f （2）+f （3）＝0”是“f （x ）在[1，3]上存在零点”的充分不必要条件， 故选：A ．7．高斯，德国著名数学家、物理学家、天文学家，是近代数学奠基者之一，享有“数学王子”之称．函数y ＝[x ]称为高斯函数，其中[x ]表示不超过实数x 的最大整数，如[1.2]＝1，[﹣2]＝﹣2．设函数f （x ）＝x 2﹣x [x ]，则使不等式f （x ）﹣2ax 2≤0恒成立的实数a 的最小值为（ ） A ．0B ．14C ．12D ．1解：因为f （x ）＝x 2﹣x [x ]，所以不等式f （x ）﹣2ax 2≤0，即x 2﹣x [x ]≤2ax 2， 当x ＝0时，不等式成立； 当x ＞0时，a ≥12(1−[x]x )， 此时0≤[x ]＜x ，所以0≤[x]x ≤1，故12(1−[x]x )∈[0，12]，a ≥12； 当x ＜0时，a ≥12(1−[x]x )， 此时0＞[x ]＞x ，所以[x]x≥1，故12(1−[x]x)∈(−∞，0]，a ≥0；综上所述：a ≥12． 故选：C ．8．已知函数f （x ）是定义在R 上的偶函数，若∀x 1，x 2∈[0，+∞），且x 1≠x 2，都有x 1f(x 1)−x 2f(x 2)x 1−x 2＜0成立，则不等式f(1t )−(6t 2−t)f(6t −1)＞0的解集为（ ） A ．(−3，0)∪(12，+∞) B ．(−12，0)∪(13，+∞)C ．(−∞，−3)∪(12，+∞) D ．(−∞，−13)∪(12，+∞)解：令函数g （x ）＝xf （x ）， ∵函数f （x ）是R 上的偶函数，∴g （﹣x ）＝﹣xf （﹣x ）＝﹣g （x ），则函数g （x ）是R 上的奇函数， ∀x 1，x 2∈[0，+∞），且x 1≠x 2，x 1f(x 1)−x 2f(x 2)x 1−x 2＜0，即∀x 1，x 2∈[0，+∞），且x 1≠x 2，g(x 1)−g(x 2)x 1−x 2＜0，∴函数g （x ）在[0，+∞）上单调递减，又g （x ）是R 上的奇函数， ∴g （x ）在（﹣∞，0]上也单调递减， ∴g （x ）在R 上单调递减，∴当t ＞0时，f(1t )−(6t 2−t)f(6t −1)＞0⇔1t f(1t )＞(6t −1)f(6t −1)， 即g(1t )＞g(6t −1)，则0＜1t ＜6t −1，则{t ＞06t 2−t −1＞0，解得t ＞12；当t ＜0时，f(1t)−(6t 2−t)f(6t −1)＞0⇔1tf(1t)＜(6t −1)f(6t −1)， 即g(1t )＜g(6t −1)，则0＞1t ＞6t −1，则{t ＜06t 2−t −1＞0，解得t ＜−13，所以原不等式的解集是(−∞，−13)∪(12，+∞)． 故选：D ．二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求的，全部选对得5分，选对但不全的得2分，有选错的得0分. 9．已知b ＜a ＜0，则下列结论正确的有（ ） A ．a 2＜b 2B ．ab ＞b 2C ．ba +a b＞2 D ．√−a ＜√−b解：因为a 2﹣b 2＝（a +b ）（a ﹣b ）， b ＜a ＜0，a +b ＜0，a ﹣b ＞0， 所以a 2﹣b 2＜0，即a 2＜b 2，A 正确； 由ab ﹣b 2＝b （a ﹣b ），b ＜a ＜0，a ﹣b ＞0，故ab ＜b 2，B 错； 因为b ＜a ＜0，所以ba＞0，a b＞0，则ba +a b ≥2√b a ⋅ab=2，当ba=a b，即a ＝b 时取等，而b ＜a ＜0，所以b a+a b＞2，C 正确；因为√−a −√−b =√−a+√−b−a−(−b)=√−a+√−bb−a，√−a+√−b＞0，b﹣a＜0，所以√−a＜√−b，D正确．故选：ACD．10．已知函数f（x）＝x2+1的值域是[1，5]，则f（x）的定义域可能是（）A．[﹣1，2]B．[﹣3，2]C．(−12，2]D．[−2，12]解：函数f（x）＝x2+1的值域是[1，5]，f（0）＝1，f（2）＝f（﹣2）＝5，故函数的定义域是[﹣2，2]的子集，且含有x＝0，且至少有一个端点值，对比选项知：ACD满足条件．故选：ACD．11．函数f（x）是定义在R上的奇函数，当x＞0时，f(x)=x1+x，则（）A．函数f（x）在区间（﹣∞，0）上单调递减B．关于x的不等式f（x）+f（2x﹣1）＜0的解集为(−∞，13)C．关于x的方程f（x）＝x有三个实数解D．∀x1，x2，|f（x1）﹣f（x2）|＜2解：当x＞0时，f(x)=x1+x=11+1x，因为y=1+1x在（0，+∞）上递减，且y＞0，所以y=11+1x在（0，+∞）上递增，且x→0时，y→0+；x→+∞时，y→1﹣，结合函数f（x）在R上是奇函数，作出f（x）的图象如下：由图象可知，f（x）在R上是增函数，且f（0）＝0，且|f（x）|＜1，A错误；对于B：f（x）+f（2x﹣1）＜0⇔f（2x﹣1）＜﹣f（x）＝f（﹣x）⇔2x﹣1＜﹣x，解得x＜13，B正确；对于C，显然x＝0符合题意；x＞0时，f（x）＝0⇒x1+x=x⇒x2＝0，解得x＝0，此时方程无解；显然x＜0时，f（x）＝x亦无解，所以f（x）＝x只有一个解x＝0，C错误；对于D，因为﹣1＜f（x）＜1，所以∀x1，x2，|f（x1）﹣f（x2）|＜2恒成立，D正确．故选：BD．12．已知函数f（x），g（x）的定义域均为R，且g（1+x）+f（1﹣x）＝1，f（x﹣1）﹣g（x）＝1，若y＝f（x）的图象关于直线x＝1对称，则以下说法正确的是（）A．f（x）为奇函数B．y＝g（x）图象关于直线x＝1对称C．若f（x）的值域为[m，M]，则m+M＝2D．f（1）+g（1）+f（2）+g（2）+⋯+f（2023）+g（2023）＝2023解：对于A，因为f（x﹣1）﹣g（x）＝1，令x＝x+1，所以f（x）﹣g（x+1）＝1，因为f（x）的图像关于直线x＝1对称，所以f（1﹣x）＝f（1+x），f（x）＝f（2﹣x），因为g（1+x）+f（1﹣x）＝1，所以f（x）+f（1﹣x）＝2，f（x）+f（1+x）＝2，令x＝x+1，有f（x+1）+f（x+2）＝2，所以f（x）＝f（x+2），得函数f（x）周期为2，所以f（2﹣x）＝f（2+x），即f（﹣x）＝f（x），故f（x）为偶函数，故A错误；对于B，因为g（1+x）+f（1﹣x）＝1，令x＝1+x，得g（2+x）+f（﹣x）＝1，令x＝1﹣x，得g（﹣x）+f（x）＝1，因为f（x）为偶函数，得g（2+x）+f（x）＝1，得g（2+x）＝g（﹣x），所以g（x）图像关于直线x＝1对称，故B正确；对于C，因为f（x）+f（1﹣x）＝2，所以f（x）关于点(12，1)成中心对称，所以f（x）存在一对最小值与最大值也关于点(12，1)成中心对称，即m+M＝2成立，故C正确；对于D，因为g（1+x）+f（1﹣x）＝1，令x＝x﹣1，得g（x）+f（2﹣x）＝1，所以g（x）+f（x）＝1，g（﹣x）+f（﹣x）＝1，即g（x）＝g（﹣x），所以g（x）是偶函数，因为g（2+x）＝g（﹣x）＝g（x），所以函数g（x）周期为2，因为f（x）是偶函数，所以f（1﹣x）＝f[﹣（1﹣x）]＝f（x﹣1），所以g（1+x）+f（x﹣1）＝1，所以g（1+x）+g（x）＝0，即g（1）+g（2）＝0，所以f（1）+g（1）+f（2）+g（2）+⋯+f（2023）+g（2023）＝f（1）+f（2）+⋯+f（2023）＝2023，故D正确．故选：BCD．三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13．已知函数f(x)={|x|−1，x ∈[−1，+∞)2f(x +2)，x ∈(−∞，−1)，则f(−52)= ﹣1 ．解：f(x)={|x|−1，x ∈[−1，+∞)2f(x +2)，x ∈(−∞，−1)，则f(−52)=2f(−12)=2(12−1)=−1．故答案为：﹣1．14．若关于x 的不等式ax ﹣b ＜0的解集是（2，+∞），则关于x 的不等式（ax +b ）（x ﹣3）＜0的解集是 {x |x ＜﹣2或x ＞3} ．解：若关于x 的不等式ax ﹣b ＜0的解集是（2，+∞），则2为方程ax ﹣b ＝0的根，且a ＜0， 可得2a ﹣b ＝0且a ＜0，即b ＝2a 且a ＜0，则关于x 的不等式（ax +b ）（x ﹣3）＜0即为（ax +2a ）（x ﹣3）＜0，且a ＜0， 可得（x +2）（x ﹣3）＞0，解得x ＞3或x ＜﹣2，所以关于x 的不等式（ax +b ）（x ﹣3）＜0的解集是{x |x ＜﹣2或x ＞3}． 故答案为：{x |x ＜﹣2或x ＞3}． 15．若不等式mx 2+mx+2x 2+x+1＞1对一切实数x 均成立，则实数m 的取值范围为 [1，5） ．若存在实数b ，使得关于m 的方程m 2+（3﹣b ）m +6﹣b ＝0在上述范围有解，则实数b 的取值范围为 [5，233) ． 解：由条件可知即为不等式（m ﹣1）x 2+（m ﹣1）x +1＞0，x ∈R 恒成立， 当m ＝1时不等式显然恒成立；当m ≠1时，由一元二次不等式（m ﹣1）x 2+（m ﹣1）x +1＞0，x ∈R 恒成立可得{m −1＞0Δ＜0，即{m ＞1(m −1)(m −5)＜0，∴1＜m ＜5，综上可知：m 的取值范围为[1，5）； ∵m ∈[1，5），可知m +1≠0，依题意，方程m 2+（3﹣b ）m +6﹣b ＝0有解， 即方程b =m 2+3m+6m+1，(1≤m ＜5)有解，∴求b 的范围即转化为求函数f(m)=m 2+3m+6m+1，(1≤m ＜5)的值域，∵f(m)=m 2+3m+6m+1=(m+1)2+(m+1)+4m+1=(m +1)+4m+1+1，令t ＝m +1∈[2，6），g(t)=t +4t+1，又对勾函数g （t ）在[2，6）上为增函数，且g （2）＝5，g(6)=233， ∴g(t)∈[5，233)，即∴f(m)∈[5，233)，所以b 的取值范围为[5，233)． 故答案为：[1，5）；[5，233)． 16．从古至今，中国人一直追求着对称美学．世界上现存规模最大、保存最为完整的木质结构一一故宫，沿着一条子午线对称分布，壮美有序．其中某建筑物的外形轮廓部分可用函数f(x)=√|x −2a|+√|x|的图像来刻画，已知关于x 的方程f （x ）＝b 恰有三个不同的实数根x 1，x 2，x 3，且x 1＜x 2＜x 3＝b （其中a ，b ∈（0，+∞）），则b ﹣9a 的值为 −163． 解：因为f(x +2a)=√|x +2a −2a|+√|x +2a|=√|−x −2a|+√|−x|=f(−x)， 所以f （x ）关于x ＝a 对称，所以f （x ）＝b 的根应成对出现，又因为x 的方程f （x ）＝b 恰有三个不同的实数根x 1，x 2，x 3且x 1＜x 2＜x 3＝b ， 所以该方程的一个根是a ，得x 1＝2a ﹣b ，x 2＝a ，x 3＝b ，且a ≠b ，所以{f(a)=√a +√a =2√a =b f(b)=√|b −2a|+√b =b，由f(a)=2√a =b 得a =b24，（1）当b ﹣2a ≥0，即b ﹣2×b24≥0，即0＜b ≤2时，f(b)=√b −2a +√b =b ，① 则√b −2a −√b =−2a b−2a+b=−2×b 24b =−b 2，②由①﹣②得2√b =32b ，解得b =169，所以a =6481； （2）同理，当b ﹣2a ＜0，即b ＞2时，f(b)=√2a −b +√b =b ，③√2a −b −√b =2a−2b 2a−b+b=2×b 24−2b b =b 2−2，④ 由③﹣④得2√b =b2+2，即(√b −2)2=0，解得b ＝4，此时a =b24=4=b ，不合题意，舍去，综上，a =6481，b =169，所以b −9a =169−9×6481=−163． 故答案为：−163．四、解答题：共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 17．（10分）已知集合A ＝{x |x 2﹣9＜0}，B ＝{x |2≤x +1≤4}．（1）求A∩B；（2）若集合C＝{x|m≤x≤m+1，m∈R}，A∩C＝∅，求实数m的取值范围．解：（1）A＝{x|x2﹣9＜0}＝{x|﹣3＜x＜3}，B＝{x|1≤x≤3}，则A∩B＝{x|1≤x＜3}．（2）集合C＝{x|m≤x≤m+1，m∈R}，A∩C＝∅，则m+1≤﹣3或m≥3，解得m≤﹣4或m≥3，故实数m的取值范围为（﹣∞，﹣4]∪[3，+∞）．18．（12分）已知函数f（x）＝ax2﹣（a+1）x+1（a∈R）．（1）当a＝﹣2时，求不等式f（x）≤0的解集；（2）当a＞0时，求关于x的不等式f（x）＜0的解集．解：（1）当a＝﹣2时，f（x）＝﹣2x2+x+1，由f（x）≤0得﹣2x2+x+1≤0，即2x2﹣x﹣1≥0，所以（x﹣1）（2x+1）≥0，解得x≤−12或x≥1，故不等式的解集为(−∞，−12]∪[1，+∞)．（2）当a＞0时，ax2﹣（a+1）x+1＜0，即（ax﹣1）（x﹣1）＜0，当a＝1时，1a=1，（ax﹣1）（x﹣1）＜0，（x﹣1）2＜0，无解；当0＜a＜1时，1a ＞1，（ax﹣1）（x﹣1）＜0的解为1＜x＜1a；当a＞1时，1a ＜1，（ax﹣1）（x﹣1）＜0的解为1a＜x＜1．综上所述：当a＝1时，不等式解集为∅；当0＜a＜1时，不等式解集为(1，1a )；当a＞1时，不等式解集为(1a，1)．19．（12分）已知函数f（2x﹣1）＝4x2﹣2x+3．（1）求函数f（x）的解析式；（2）若关于x的方程f（x）＝（1﹣2m）x+2﹣2m有两个实根，其中一个实根在区间（﹣1，0）内，另一个实根在区间（2，3）内，求实数m的取值范围．解：（1）函数满足f（2x﹣1）＝4x2﹣2x+3，f（2x﹣1）＝（2x﹣1）2+2x﹣1+3，所以函数f（x）的解析式为f（x）＝x2+x+3．（2）f （x ）＝x 2+x +3＝（1﹣2m ）x +2﹣2m ，整理得x 2+2mx +1+2m ＝0， 又因为方程有两个实根，且x 1∈（﹣1，0），x 2∈（1，2），设g （x ）＝x 2+2mx +1+2m ，由二次函数的图象与性质，可得{g(−1)=2＞0g(0)=1+2m ＜0g(3)=8m +10＞0g(2)=5+6m ＜0，解得−54＜m ＜−56，则实数m 的取值范围为(−54，−56)． 20．（12分）已知函数f(x)=x +a x +1(a ∈R)．（1）若a ＝2，判断并证明f （x ）在（0，+∞）上的单调性； （2）若存在x ∈（0，1），使不等式f(√x)＜−√x 1√x4成立，求实数a 的取值范围． 解：（1）a ＝2，则f(x)=x +2x +1，当x ＞0时，f （x ）在(0，√2)上单调递减，在(√2，+∞)上单调递增． 证明：∀x 1，x 2∈（0，+∞）且x 2＞x 1，f(x 2)−f(x 1)=(x 2+2x 2+1)−(x 1+2x 1+1)=(x 2−x 1)+(2x 2−2x 1)=(x 2−x 1)+2(x 1−x 2)x 2x 1=(x 2−x 1)(1−2x 2x 1)=(x 2−x 1)(x 2x 1−2)x 2x 1，x 2＞x 1＞0，故x 2﹣x 1＞0，x 2x 1＞0， 当x 1，x 2∈(0，√2)时，x 2x 1﹣2＜0，所以(x 2−x 1)(x 2x 1−2)x 2x 1＜0，故f （x 2）﹣f （x 1）＜0，即f （x 2）＜f （x 1），所以函数f （x ）在(0，√2)上单调递减； 当x 1，x 2∈(√2，+∞)时，x 2x 1﹣2＞0，所以(x 2−x 1)(x 2x 1−2)x 2x 1＞0，故f （x 2）﹣f （x 1）＞0，即f （x 2）＞f （x 1），所以函数f （x ）在(√2，+∞)上单调递增． （2）f(√x)＜−√x 1√x 4，即√x +a√x +1＜−√x 1√x +4，即√x＜−2√x +√x+3，存在x ∈（0，1），使得a ＜−2x +3√x +1成立．令t =√x ，x ∈（0，1），t ∈（0，1）．所以存在t ∈（0，1），a ＜﹣2t 2+3t +1成立． 所以a ＜（﹣2t 2+3t +1）max ，t ∈（0，1）．又−2t 2+3t +1=−2(t −34)2+178，所以当t =34时，(−2t 2+3t +1)max =178，所以a ＜178，即a ∈(−∞，178)． 21．（12分）设矩形ABCD 的周长为16，且AB ＞AD ，如图所示，把它沿对角线AC 对折后，AB 交DC 于点P ．设AB ＝x ，△ADP 的面积为S ． （1）用x 表示PD 长，并写出x 的范围； （2）求S 的最大值．解：（1）已知矩形ABCD 的周长为16，且AB ＞AD ， 由AB ＝x ， 则BC ＝8﹣x ， 设PD ＝y ，由△ADP ≌△CB 'P ，可得DP ＝B 'P ＝y ， 在直角△CB 'P 中，由勾股定理可得CP =√CB′2+B′P 2=√(8−x)2+y 2， 又由CP +PD ＝x ，可得√(8−x)2+y 2+y =x ， 整理得y =8x−32x， 又因为AB ＞AD ， 可得{x ＞48−x ＞0，故4＜x ＜8， 所以PD =8x−32x，x ∈{x |4＜x ＜8}． （2）由△ADP 为直角三角形， 可得：S =12(8−x)⋅y =12(8−x)⋅8x−32x =4⋅(−x −32x +12)=48−4⋅(x +32x)≤48−4×2√x ⋅32x =48−32√2， 当且仅当x =32x 时，即x2＝32，又x＞0，即x=4√2时等号成立，所以△ADP面积的最大值为48−32√2．22．（12分）已知函数f（x）＝﹣|x2﹣2|﹣ax．（1）当a＝﹣1时，求函数f（x）的零点；（2）设函数g（x）＝f（x）+2x2+2区间（0，4]上有三个不同零点x1，x2，x3，且x1＜x2＜x3，求x1x2+x1x3的取值范围；（3）当a≥2√2时，若在[0，2]上存在2023个不同的实数x i（i＝1，2，⋯，2023），x1＜x2＜ (x2023)使得|f（x1）﹣f（x2）|+|f（x2）﹣f（x3）|+…+|f（x2022）﹣f（x2023）|＝6，求实数a的取值范围．解：（1）当a＝﹣1时，令f（x）＝﹣|x2﹣2|+x＝0，当|x|≥√2时，﹣（x2﹣2）+x＝0，解得x＝2或x＝﹣1（舍去）；当|x|＜√2时，（x2﹣2）+x＝0，解得x＝1或x＝﹣2（舍去）；所以函数f（x）的零点是1和2．（2）令g（x）＝f（x）+2x2+2＝﹣|x2﹣2|﹣ax+2x2+2＝0，且x∈（0，4]，可得a=−|x2−2|+2x2+2x，记ℎ(x)=−|x2−2|+2x2+2x={3x，0＜x＜√2x+4x，√2＜x≤4，作出h（x）的图象，如图所示，由h（x）的图象得a∈(4，3√2)，易知3x1＝a，注意到x2，x3是方程x+4x=a的两根，即方程x2﹣ax+4＝0的两根，可得x 2+x 3＝a ，所以x 1x 2+x 1x 3=x 1(x 2+x 3)=a 23∈(163，6)，即x 1x 2+x 1x 3的取值范围为(163，6)． （3）因为f(x)=−|x 2−2|−ax ={x 2−ax −2，0≤x ≤√2−x 2−ax +2，√2＜x ≤2，当a ≥2√2时，f （x ）在[0，2]上单调递减， 则f （x 1）＞f （x 2）＞⋯＞f （x 2023），可得|f （x 1）﹣f （x 2）|+|f （x 2）﹣f （x 3）|+⋯+|f （x 2022）﹣f （x 2023）|＝f （x 1）﹣f （x 2）+f （x 2）﹣f （x 3）+⋯+f （x 2022）﹣f （x 2023）＝f （x 1）﹣f （x 2023）≤f （0）﹣f （2）＝﹣2﹣（﹣2﹣2a ）＝2a ， 所以2a ≥6， 得a ≥3，即实数a 的取值范围为[3，+∞）．。