2020年山西省临汾市高考数学二模试卷理科Word版含解析
2017年山西省临汾市高考数学二模试卷（理科）一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1．已知集合A={x|＞0}，B={x|lg（x+9）＜1}，则A∩B=（）A．（﹣1，1）B．（﹣∞，1） C．{0} D．{﹣1，0，1}2．设复数z满足z+3i=3﹣i，则|z|=（）A．3﹣4i B．3+4i C．D．53．已知函数f（x）=，则f（f（﹣））=（）A．B．﹣C．2 D．﹣24．已知函数f（x）=，则y=f（x）的大致图象为（）A． B．C．D．5．一物体A以速度v（t）=t2﹣t+6沿直线运动，则当时间由t=1变化到t=4时，物体A运动的路程是（）A．26.5 B．53 C．31.5 D．636．已知方程﹣=1表示双曲线，则实数m的取值范围是（）A．（﹣1，∞） B．（﹣2，﹣1）C．（﹣∞，﹣2）∪（﹣1，+∞）D．（﹣∞，﹣2）7．已知等边三角形的一个顶点坐标是（，0），另外两个顶点在抛物线y2=x 上，则这个等边三角形的边长为（）A．3 B．6 C．2±3 D．2+38．如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，其中曲线部分是圆弧，则此几何体的表面积为（）A．10+2πB．12+3πC．20+4πD．16+5π9．设D、E、F分别为△ABC三边BC、CA、AB的中点，则+2+3=（）A．B．C．D．10．已知四面体ABCD的顶点都在球O表面上，且AB=BC=AC=2，DA=DB=DC=2，过AD作相互垂直的平面α、β，若平面α、β截球O所得截面分别为圆M、N，则（）A．MN的长度是定值B．MN长度的最小值是2C．圆M面积的最小值是2πD．圆M、N的面积和是定值8π11．已知函数f（x）=2sinxcosx﹣sin2x+1，当x=θ时函数y=f（x）取得最小值，则=（）A．﹣3 B．3 C．﹣D．12．已知函数f（x）=ax3+3x2+1，若至少存在两个实数m，使得f（﹣m），f（1）、f（m+2）成等差数列，则过坐标原点作曲线y=f（x）的切线可以作（）A．3条B．2条C．1条D．0条二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）13．设x、y满足约束条件，则z=|x|+|y|的最大值是．14．近来鸡蛋价格起伏较大，假设第一周、第二周鸡蛋价格分别为a元/斤、b元/斤，家庭主妇甲和乙买鸡蛋的方式不同：家庭主妇甲每周买3斤鸡蛋，家庭主妇乙每周买10元钱的鸡蛋，试比较谁的购买方式更优惠（两次平均价格低视为实惠）（在横线上填甲或乙即可）15．图1是随机抽取的15户居民月均用水量（单位：t）的茎叶图，月均用水量依次记为A1、A2、…A15，图2是统计茎叶图中月均用水量在一定范围内的频数的一个程序框图，那么输出的结果n=．16．在△ABC中，∠BAC=120°，AB=2，AC=3，若点D、E都在边BC上，且∠BAD=∠CAE=30°，则=．三、解答题（共5小题，满分60分）17．已知数列{a n}的前n项和为S n，且对任意正整数n，都有3a n=2S n+3成立．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）设b n=log3a n，求数列{}的前n项和T n．18．如图，在正四棱锥P﹣ABCD中，AB=2，PA=，E是棱PC的中点，过AE作平面分别与棱PB、PD交于M、N两点．（1）若PM=PB，PN=λPD，求λ的值；（2）求直线PA与平面AMEN所成角的正弦值的取值范围．19．空气质量问题，全民关注，有需求就有研究，某科研团队根据工地常用高压水枪除尘原理，制造了雾霾神器﹣﹣﹣雾炮，虽然雾炮不能彻底解决问题，但是能在一定程度上起到防霾、降尘的作用，经过测试得到雾炮降尘率的频率分布直方图：若降尘率达到18%以上，则认定雾炮除尘有效．（1）根据以上数据估计雾炮除尘有效的概率；（2）现把A市规划成三个区域，每个区域投放3台雾炮进行除尘（雾炮之间工作互不影响），若在一个区域内的3台雾炮降尘率都低于18%，则需对该区域后期追加投入20万元继续进行治理，求后期投入费用的分布列和期望．20．在平面直角坐标系xOy中，椭圆E： +=1（a＞b＞0）过点（，1），且与直线x+2y﹣4=0相切．（1）求椭圆E的方程；（2）若椭圆E与x轴交于M、N两点，椭圆E内部的动点P使|PM|、|PO|、|PN|成等比数列，求•的取值范围．21．已知函数f（x）=alnx+，a∈R．（1）若f（x）的最小值为0，求实数a的值；（2）证明：当a=2时，不等式f（x）≥﹣e1﹣x恒成立．请考生在第22、23两题中任选一题作答【选修4-4：坐标系与参数方程】22．在直角坐标系xOy中，过点P（2，1）的直线l的参数方程为（t 为参数），以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρsin2θ=2cosθ，已知直线l与曲线C交于A、B两点．（1）求曲线C的直角坐标方程；（2）求|PA|•|PB|的值．【选修4-5：不等式选讲】23．已知函数f（x）=|x+2a|+|x﹣1|，a∈R．（1）当a=1时，解不等式f（x）≤5；（2）若f（x）≥2对于∀x∈R恒成立，求实数a的取值范围．2017年山西省临汾市高考数学二模试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1．已知集合A={x|＞0}，B={x|lg（x+9）＜1}，则A∩B=（）A．（﹣1，1）B．（﹣∞，1） C．{0} D．{﹣1，0，1}【考点】交集及其运算．【分析】解不等式求得集合A，求函数定义域得集合B，根据交集的定义写出A ∩B．【解答】解：集合A={x|＞0}={x|（1﹣x）（1+x）＞0}={x|﹣1＜x＜1}，B={x|lg（x+9）＜1}={x|0＜x+9＜10}={x|﹣9＜x＜1}，则A∩B={x|﹣1＜x＜1}=（﹣1，1）．故选：A．2．设复数z满足z+3i=3﹣i，则|z|=（）A．3﹣4i B．3+4i C．D．5【考点】复数求模．【分析】求出z，再求出z的模即可．【解答】解：∵z+3i=3﹣i，∴z=3﹣4i，则|z|==5，故选：D．3．已知函数f（x）=，则f（f（﹣））=（）A．B．﹣C．2 D．﹣2【考点】函数的值．【分析】先求出f（﹣）==，从而f（f（﹣））=f（），由此能求出结果．【解答】解：∵函数f（x）=，∴f（﹣）==，f（f（﹣））=f（）==．故选：A．4．已知函数f（x）=，则y=f（x）的大致图象为（）A． B．C．D．【考点】函数的图象．【分析】化简解析式，利用函数的单调性，判断函数的图象即可．【解答】解：函数f（x）==1﹣，因为函数y=e2x，是增函数，所以函数f（x）=，是增函数，可知函数的图象只有B满足题意．故选：B．5．一物体A以速度v（t）=t2﹣t+6沿直线运动，则当时间由t=1变化到t=4时，物体A运动的路程是（）A．26.5 B．53 C．31.5 D．63【考点】定积分．【分析】由题意可得，在t=1和t=4这段时间内物体A运动的路程是S=（t2﹣t+6）dt，求解定积分得答案．【解答】解：由题意可得，在t=1和t=4这段时间内物体A运动的路程是S=（t2﹣t+6）dt=（t3﹣t2+6t）|=（﹣8+24）﹣（﹣+6）=31.5故选：C．6．已知方程﹣=1表示双曲线，则实数m的取值范围是（）A．（﹣1，∞） B．（﹣2，﹣1）C．（﹣∞，﹣2）∪（﹣1，+∞）D．（﹣∞，﹣2）【考点】双曲线的简单性质．【分析】利用方程表示双曲线，列出不等式求解即可．【解答】解：方程﹣=1表示双曲线，可得（2+m）（m+1）＞0，解得m∈（﹣∞，﹣2）∪（﹣1，+∞）．故选：C．7．已知等边三角形的一个顶点坐标是（，0），另外两个顶点在抛物线y2=x上，则这个等边三角形的边长为（）A．3 B．6 C．2±3 D．2+3【考点】抛物线的简单性质．【分析】设另外两个顶点的坐标分别为（，m），（，﹣m），由图形的对称性可以得到方程tan30°，解此方程得到m的值．然后求解三角形的边长．【解答】解：由题意，依据抛物线的对称性，及正三角形的一个顶点位于（，0），另外两个顶点在抛物线y2=x上，可设另外两个顶点的坐标分别为（，m），（，﹣m），由抛物线的对称性可以得到方程tan30°==，解得m=，故这个正三角形的边长为2|m|=2，故选：C．8．如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，其中曲线部分是圆弧，则此几何体的表面积为（）A．10+2πB．12+3πC．20+4πD．16+5π【考点】由三视图求面积、体积．【分析】由三视图知几何体是上部为半圆柱体，下部为长方体的组合体，结合图中数据求出它的表面积．【解答】解：由三视图知，该几何体是上部为半圆柱体，下部为长方体的组合体，其表面积为S=S长方体+S半圆柱=（1×2×2+2×1×2+22）+（π•12+π•1•2）=12+3π．故选：B．9．设D、E、F分别为△ABC三边BC、CA、AB的中点，则+2+3=（）A．B．C．D．【考点】向量的加法及其几何意义．【分析】根据条件及向量加法的平行四边形法即可求出．【解答】解：因为D、E、F分别为△ABC的三边BC、AC、AB的中点，所以++=（+）+×2（+）+×3×（+）=+++++=++=+=，故选：D10．已知四面体ABCD的顶点都在球O表面上，且AB=BC=AC=2，DA=DB=DC=2，过AD作相互垂直的平面α、β，若平面α、β截球O所得截面分别为圆M、N，则（）A．MN的长度是定值B．MN长度的最小值是2C．圆M面积的最小值是2πD．圆M、N的面积和是定值8π【考点】球内接多面体．【分析】确定DA、DB、DC两两互相垂直，M，N分别是AB，AC的中点，即可得出结论．【解答】解：∵AB=BC=AC=2，DA=DB=DC=2，∴DA、DB、DC两两互相垂直，过AD作相互垂直的平面α、β，若平面α、β截球O所得截面分别为圆M、N，则M，N分别是AB，AC的中点，MN=BC=，故选A．11．已知函数f（x）=2sinxcosx﹣sin2x+1，当x=θ时函数y=f（x）取得最小值，则=（）A．﹣3 B．3 C．﹣D．【考点】三角函数的化简求值．【分析】将函数f（x）=2sinxcosx﹣sin2x+1化解求解最小值，求出θ，带入化解计算即可．【解答】解：函数f（x）=2sinxcosx﹣sin2x+1=sin2x+cos2x+=sin（2x+φ）+，其中tanφ=，可得cot=2．当x=θ时函数y=f（x）取得最小值，即2θ+φ=，那么：2θ=φ+2kπ．则====．故选D．12．已知函数f（x）=ax3+3x2+1，若至少存在两个实数m，使得f（﹣m），f（1）、f（m+2）成等差数列，则过坐标原点作曲线y=f（x）的切线可以作（）A．3条B．2条C．1条D．0条【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】由题意可得f（x）的图象关于点（1，a+4）对称，求出f（x）的二阶导数，可得a的方程，解得a=﹣1，设出切点，求得切线的斜率，由两点的斜率公式，化简整理，设g（t）=2t3﹣3t2+1，g′（t）=6t2﹣6t，求出单调区间和极值，即可判断方程的解的个数，即切线的条数．【解答】解：至少存在两个实数m，使得f（﹣m），f（1）、f（m+2）成等差数列，可得f（﹣m）+f（2+m）=2f（1）=2（a+4），即有f（x）的图象关于点（1，a+4）对称，由f（x）的导数为f′（x）=3ax2+6x，f″（x）=6ax+6，由f″（x）=0，可得x=﹣，由f（﹣+x）+f（（﹣﹣x）为常数，可得﹣=1，解得a=﹣1，即有f（x）=﹣x3+3x2+1，f′（x）=﹣3x2+6x，设切点为（t，﹣t3+3t2+1），可得切线的斜率为﹣3t2+6t=，化为2t3﹣3t2+1=0，设g（t）=2t3﹣3t2+1，g′（t）=6t2﹣6t，当0＜t＜1时，g′（t）＜0，g（t）递减；当t＞1或t＜0时，g′（t）＞0，g（t）递增．可得g（t）在t=0处取得极大值，且为1＞0；在t=1处取得极小值，且为0．可知2t3﹣3t2+1=0有两解，即过坐标原点作曲线y=f（x）的切线可以作2条．故选：B．二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）13．设x、y满足约束条件，则z=|x|+|y|的最大值是2．【考点】简单线性规划．【分析】由约束条件作出可行域，当x≥0，y≥0时，z=|x|+|y|=x+y，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，把最优解是坐标代入目标函数得z=|x|+|y|的最大值，由对称性可得z=|x|+|y|的最大值．【解答】解：由约束条件作出可行域如图，由图可知，当x≥0，y≥0时，z=|x|+|y|=x+y，过A时z有最大值为2，则由对称性可知，z=|x|+|y|的最大值是2．故答案为：2．14．近来鸡蛋价格起伏较大，假设第一周、第二周鸡蛋价格分别为a元/斤、b元/斤，家庭主妇甲和乙买鸡蛋的方式不同：家庭主妇甲每周买3斤鸡蛋，家庭主妇乙每周买10元钱的鸡蛋，试比较谁的购买方式更优惠（两次平均价格低视为实惠）乙（在横线上填甲或乙即可）【考点】函数模型的选择与应用．【分析】甲2次购买的数量相同，平均单价为两次单价和的一半；乙购买产品的平均单价=2次总价÷2次的总数量．【解答】解：甲购买产品的平均单价为：=，乙购买产品的平均单价为：=，∵﹣=≥0，又∵两次购买的单价不同，∴a≠b，∴﹣＞0，∴乙的购买方式的平均单价较小．故答案为乙．15．图1是随机抽取的15户居民月均用水量（单位：t）的茎叶图，月均用水量依次记为A1、A2、…A15，图2是统计茎叶图中月均用水量在一定范围内的频数的一个程序框图，那么输出的结果n=8．【考点】程序框图．【分析】算法的功能是计算15户居民在月均用水量中，大于2.1的户数，根据茎叶图可得月均用水量的户数，求出n的值．【解答】解：由程序框图知：算法的功能是计算15户居民在月均用水量中，大于2.1的户数，由茎叶图得，在15户居民用水中中，大于2.1的户数有8户，∴输出n的值为8．故答案为：8．16．在△ABC中，∠BAC=120°，AB=2，AC=3，若点D、E都在边BC上，且∠BAD=∠CAE=30°，则=．【考点】三角形中的几何计算．【分析】根据条件便可由正弦定理分别得到，=①BE=②=③CD=④，而sin∠BDA=sin∠ADC，sin∠BEA=sin∠AEC，从而得：的值．【解答】解：如图，由正弦定理得，=①BE=②=③CD=④∴得：=．故答案为．三、解答题（共5小题，满分60分）17．已知数列{a n}的前n项和为S n，且对任意正整数n，都有3a n=2S n+3成立．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）设b n=log3a n，求数列{}的前n项和T n．【考点】数列递推式；数列的求和．【分析】（1）根据数列的递推公式即可求出数列{a n}为等比数列，再由等比数列的通项公式得答案；（2）把数列{a n}的通项公式代入b n=log3a n，求得b n，再由裂项相消法求数列{}的前n项和T n．【解答】解：（1）在3a n=2S n+3中，取n=1得a1=3，且3a n+1=2S n+1+3，两式相减得3a n+1﹣3a n=2a n+1，=3a n，∴a n+1又a1≠0，∴数列{a n}是以3为公比的等比数列，∴a n=3•3n﹣1=3n；（2）b n=log3a n=n，∴=，∴数列{}的前n项和T n=（1）+（）+（）+…+（）=1﹣．18．如图，在正四棱锥P﹣ABCD中，AB=2，PA=，E是棱PC的中点，过AE作平面分别与棱PB、PD交于M、N两点．（1）若PM=PB，PN=λPD，求λ的值；（2）求直线PA与平面AMEN所成角的正弦值的取值范围．【考点】直线与平面所成的角．【分析】（Ⅰ）连接AC、BD交于点O，以O为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系，则A（0，﹣，0），B （，0，0），C（0，，0），D（﹣，0，0），P（0，0，2），E（0，，1）由AN，AE，AM共面，⇒⇒．（Ⅱ）根据正四棱锥P﹣ABCD的对称性可知，当PM=PN时，P到面AMEN的距离最大，此时直线PA与平面AMEN所角最大，P到面AMEN的距离最小，此时直线PA与平面AMEN所角最小．利用向量分别求出求解直线PA与平面AMEN所成角的正弦值．【解答】解：（Ⅰ）连接AC、BD交于点O，以O为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系，则A（0，﹣，0），B （，0，0），C（0，，0），D（﹣，0，0），P（0，0，2），E（0，，1），，，，．，∵AN，AE，AM共面，∴⇒⇒．（Ⅱ）根据正四棱锥P﹣ABCD的对称性可知，当PM=PN时，P到面AMEN的距离最大，此时直线PA与平面AMEN所角最大，，P到面AMEN的距离最小，此时直线PA与平面AMEN所角最小．①由（Ⅰ）知当PM=PN时，λ=，，设面AMEN的法向量为，由，取设直线PA与平面AMEN所成角为θ，sinθ=|cos＜＞|=，②当M在B时，因为AB∥面PDC，所以过AB，AE的面与面PDC的交线NE ∥AB设是面ABEN的法向量，由，可取sinθ=|cos＜＞|=．直线PA与平面AMEN所成角的正弦值的取值范围为[，]19．空气质量问题，全民关注，有需求就有研究，某科研团队根据工地常用高压水枪除尘原理，制造了雾霾神器﹣﹣﹣雾炮，虽然雾炮不能彻底解决问题，但是能在一定程度上起到防霾、降尘的作用，经过测试得到雾炮降尘率的频率分布直方图：若降尘率达到18%以上，则认定雾炮除尘有效．（1）根据以上数据估计雾炮除尘有效的概率；（2）现把A市规划成三个区域，每个区域投放3台雾炮进行除尘（雾炮之间工作互不影响），若在一个区域内的3台雾炮降尘率都低于18%，则需对该区域后期追加投入20万元继续进行治理，求后期投入费用的分布列和期望．【考点】离散型随机变量的期望与方差；离散型随机变量及其分布列．【分析】（1）估计雾炮除尘有效的概率P=5×0.05+5×0.04+5×0.03+5×0.01．（2）由（1）可得：在一个区域内的3台雾炮降尘率都低于18%，则需对该区域后期追加投入20万元继续进行治理，因此在一个区域内需对该区域后期追加投入20万元继续进行治理的概率P==．后期投入区域X～B．后期投入费用ξ=20X（万元）．利用P（ξ=20k）=P（X=k）=即可得出．【解答】解：（1）估计雾炮除尘有效的概率P=5×0.05+5×0.04+5×0.03+5×0.01=．（2）由（1）可得：在一个区域内的3台雾炮降尘率都低于18%，则需对该区域后期追加投入20万元继续进行治理，因此在一个区域内需对该区域后期追加投入20万元继续进行治理的概率P==．∴后期投入区域X～B．后期投入费用ξ=20X（万元）．P（ξ=20k）=P（X=k）=．ξ的分布列为：ξ0204060PEξ=0++40×+60×=7.5（万元）．20．在平面直角坐标系xOy中，椭圆E： +=1（a＞b＞0）过点（，1），且与直线x+2y﹣4=0相切．（1）求椭圆E的方程；（2）若椭圆E与x轴交于M、N两点，椭圆E内部的动点P使|PM|、|PO|、|PN|成等比数列，求•的取值范围．【考点】直线与椭圆的位置关系；椭圆的标准方程．【分析】（1）由椭圆E： +=1（a＞b＞0）与直线x+2y﹣4=0相切，联立，由△=0，可得…①，由椭圆E： +=1（a＞b＞0）过点（，1），∴…②，由①②得a2，b2（2）设P（m，n），由|PO|2=|PN|•|PM|⇒（m2+n2）2=⇒m2=n2+2，∴=2n2﹣2，由n的范围求得其范围，【解答】解：（1）∵椭圆E： +=1（a＞b＞0）与直线x+2y﹣4=0相切，联立，整理得（）x2﹣2a2x+4a2﹣a2b2=0，由△=0，可得…①∵椭圆E： +=1（a＞b＞0）过点（，1），∴…②由①②得a2=4，b2=2．∴椭圆E的方程：．（2）由（1）得M（﹣2，0））、PN（2，0），设P（m，n）∵|PM|、|PO|、|PN|成等比数列，∴|PO|2=|PN|•|PM|⇒（m2+n2）2=⇒m2=n2+2，…③∵，∴=2n2﹣2∵P在椭圆E内部，∴0≤n2＜1，∴．即•的取值范围为[﹣2，0）21．已知函数f（x）=alnx+，a∈R．（1）若f（x）的最小值为0，求实数a的值；（2）证明：当a=2时，不等式f（x）≥﹣e1﹣x恒成立．【考点】导数在最大值、最小值问题中的应用；利用导数研究函数的单调性．【分析】（1）求出原函数的导函数，对a分类分析，可知当a≤0时，f′（x）＜0，f（x）在（0，+∞）上是减函数，f（x）的最小值不为0；当a＞0时，求出导函数的零点，可得原函数的单调性，求其最小值，由最小值为0进一步利用导数求得a值；（2）通过构造函数h（x）=2lnx+，问题转化为证明h′（x）＞0恒成立，进而再次构造函数，二次求导，整理即得结论．【解答】（1）解：∵f（x）=alnx+=alnx+，∴f′（x）=（x＞0）．当a≤0时，f′（x）＜0，f（x）在（0，+∞）上是减函数，f（x）的最小值不为0；当a＞0时，f′（x）==．当x∈（0，）时，f′（x）＜0；当x∈（，+∞）时，f′（x）＞0．∴f（x）在（0，）上为减函数，在（，+∞）上为增函数，∴=，令g（a）=，则g′（a）=（a＞0）．当a∈（0，2）时，g′（a）＞0；当a∈（2，+∞）时，g′（a）＜0，∴g（a）在（0，2）上为增函数，在（2，+∞）上为减函数，则g（a）max=g（2）=0．∴f（x）的最小值为0，实数a的值为2；（2）证明：当a=2时，f（x）=2lnx+，x＞1，令h（x）=f（x）﹣+e1﹣x=2lnx+，则h′（x）==，记q（x）=2x2+x﹣2﹣x3e1﹣x，则q′（x）=4x+1+x2（x﹣3）e1﹣x，∵x＞1，0＜e1﹣x＜1，∴当1＜x＜3时，q′（x）＞4x+1+x2（x﹣3）=x3﹣3x2+4x+1＞0，又∵当x≥3时，q′（x）=4x+1+x2（x﹣3）e1﹣x＞0，∴当x＞1时，q′（x）=4x+1+x2（x﹣3）e1﹣x＞0恒成立，∴q（x）在（1，+∞）上单调递增，q（x）＞q（1）=2+1﹣2﹣1=0，∴h′（x）＞0恒成立，h（x）在（1，+∞）上单调递增，∴h（x）＞h（1）=0+1﹣1﹣1+1=0，即当a=2时，不等式f（x）≥﹣e1﹣x恒成立．请考生在第22、23两题中任选一题作答【选修4-4：坐标系与参数方程】22．在直角坐标系xOy中，过点P（2，1）的直线l的参数方程为（t 为参数），以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρsin2θ=2cosθ，已知直线l与曲线C交于A、B两点．（1）求曲线C的直角坐标方程；（2）求|PA|•|PB|的值．【考点】简单曲线的极坐标方程；参数方程化成普通方程．【分析】（1）曲线C的极坐标方程为ρsin2θ=2cosθ，即ρ2sin2θ=2ρcosθ，利用互化公式可得直角坐标方程．（2）把直线l的参数方程代入抛物线方程可得：t2+（2﹣2）t﹣3=0．利用根与系数的关系、参数的几何意义即可得出．【解答】解：（1）曲线C的极坐标方程为ρsin2θ=2cosθ，即为ρ2sin2θ=2ρcosθ，化为普通方程为：y2=2x；（2）把直线l的参数方程代入抛物线方程可得：t2+（2﹣2）t﹣3=0．∴t1t2=﹣3．∴|PA|•|PB|=|t1t2|=3．【选修4-5：不等式选讲】23．已知函数f（x）=|x+2a|+|x﹣1|，a∈R．（1）当a=1时，解不等式f（x）≤5；（2）若f（x）≥2对于∀x∈R恒成立，求实数a的取值范围．【考点】绝对值不等式的解法；函数恒成立问题．【分析】（1）通过讨论x的范围，解关于x的不等式，取并集即可；（2）根据绝对值的性质得到|2a+1|≥2，解出即可．【解答】解：（1）a=1时，f（x）=|x+2|+|x﹣1|，①x≥1时，x+2+x﹣1≤5，解得：x≤2；②﹣2＜x＜1时，x+2+1﹣x=3≤5成立；③x≤﹣2时，﹣x﹣2﹣x+1≤5，解得：x≥﹣3，综上，不等式的解集是[﹣3，2]．（2）若f（x）≥2对于∀x∈R恒成立，即|x+2a|+|x﹣1|≥|2a+1|≥2，解得：a≥或a≤﹣．2017年4月17日。
2020届高考数学大二轮刷题首选卷理数文档：第三部分 2020高考仿真模拟卷(六) Word版含解析
2020高考仿真模拟卷(六)一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知复数z 满足z (1＋i)＝|－1＋3i|，则复数z 的共轭复数为( ) A ．－1＋i B ．－1－i C ．1＋i D ．1－i答案 C解析 由z (1＋i)＝|－1＋3i|＝(－1)2＋(3)2＝2，得z ＝21＋i ＝2(1－i )(1＋i )(1－i )＝1－i ，∴z －＝1＋i.故选C.2．已知集合A ＝{(x ，y )|x 2＝4y }，B ＝{(x ，y )|y ＝x }，则A ∩B 的真子集的个数为( )A ．1B ．3C ．5D ．7答案 B解析 依题意，在同一平面直角坐标系中分别作出x 2＝4y 与y ＝x 的图象，观察可知，它们有2个交点，即A ∩B 有2个元素，故A ∩B 的真子集的个数为3，故选B.3．已知命题p ：“∀a >b ，|a |>|b |”，命题q ：“∃x 0<0,2x 0 >0”，则下列为真命题的是( )A ．p ∧qB ．(綈p )∧(綈q )C ．p ∨qD ．p ∨(綈q ) 答案 C解析 对于命题p ，当a ＝0，b ＝－1时，0>－1， 但是|a |＝0，|b |＝1，|a |<|b |，所以命题p 是假命题． 对于命题q ，∃x 0<0,2x 0 >0，如x 0＝－1,2－1＝12>0. 所以命题q 是真命题，所以p ∨q 为真命题．4．(2019·全国卷Ⅰ)△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知a sin A－b sin B ＝4c sin C ，cos A ＝－14，则bc ＝( )A ．6B ．5C ．4D ．3答案 A解析 由题意，得a 2－b 2＝4c 2，则－14＝cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ，∴c 2－4c 22bc ＝－14，∴3c 2b ＝14，∴b c ＝32×4＝6，故选A.5．执行如图所示的程序框图，则输出的T ＝( )A ．8B ．6C ．7D ．9答案 B解析 由题意，得T ＝1×log 24×log 46×…×log 6264＝lg 4lg 2×lg 6lg 4×…×lg 64lg 62＝lg 64lg 2＝6，故选B.6．要得到函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3的图象，只需将函数y ＝2sin x cos x 的图象( )A ．向左平移π3个单位 B ．向右平移π3个单位 C ．向左平移π6个单位 D ．向右平移π6个单位 答案 C解析 将函数y ＝2sin x cos x ＝sin2x 的图象向左平移π6个单位可得到y ＝sin2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6，即y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3的图象，故选C.7．已知双曲线C ：y 2a 2－x 2b 2＝1(a >0，b >0)的离心率为3，且经过点(2,2)，则双曲线的实轴长为( )A ．12B ．1C ．2 2D ． 2答案 C解析 由题意双曲线C ：y 2a 2－x 2b 2＝1(a >0，b >0)的离心率为3，即ca ＝3⇒c 2＝3a 2.又由c 2＝a 2＋b 2，即b 2＝2a 2，所以双曲线的方程为y 2a 2－x 22a 2＝1，又因为双曲线过点(2,2)，代入双曲线的方程，得4a 2－42a 2＝1，解得a ＝2，所以双曲线的实轴长为2a ＝2 2.8．若x ，y 满足⎩⎨⎧x －2y ＋7≥0，2x ＋y ≥3，3x －y ＋1≤0，则x 2＋y 2的最大值为( )A ．5B ．11.6C ．17D ．25答案 C解析 作出不等式组所表示的可行域如下图所示，则x 2＋y 2的最大值在点B (1,4)处取得，故x 2＋y 2的最大值为17.9．设函数f (x )＝|lg x |，若存在实数0<a <b ，满足f (a )＝f (b )，则M ＝log 2a 2＋b 28，N ＝log 2⎝⎛⎭⎪⎫1a ＋b 2，Q ＝ln 1e 2的关系为( )A ．M >N >QB ．M >Q >NC ．N >Q >MD ．N >M >Q答案 B解析 ∵f (a )＝f (b )，∴|lg a |＝|lg b |， ∴lg a ＋lg b ＝0，即ab ＝1， ∵⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋b 2＝1a ＋b ＋2＝1a ＋1a ＋2<12＋2＝14， ∴N ＝log 2⎝⎛⎭⎪⎫1a ＋b 2<－2， 又a 2＋b 28>ab 4＝14，∴a 2＋b 28>14>⎝⎛⎭⎪⎫1a ＋b 2， ∴M ＝log 2a 2＋b 28>－2， 又Q ＝ln 1e 2＝－2，∴M >Q >N .10．正三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，各棱长均为2，M 为AA 1的中点，N 为BC 的中点，则在棱柱的表面上从点M 到点N 的最短距离是( )A ．10B ．4＋ 3C ．2＋ 3D ．4＋ 3答案 D解析 ①从侧面到N ，如图1，沿棱柱的侧棱AA 1剪开，并展开，则MN ＝AM 2＋AN 2＝12＋(2＋1)2＝10.②从底面到N 点，沿棱柱的AC ，BC 剪开、展开，如图2. 则MN ＝AM 2＋AN 2－2AM ·AN cos120°＝12＋(3)2＋2×1×3×12＝4＋3，∵4＋3<10，∴MN min ＝4＋ 3.11．(2019·江西景德镇第二次质检)已知F 是抛物线x 2＝4y 的焦点，点P 在抛物线上，点A (0，－1)，则|PF ||P A |的最小值是( )A ．22B ．32C ．1D ．12答案 A解析 由题意可得，抛物线x 2＝4y 的焦点F (0,1)，准线方程为y ＝－1，过点P 作PM 垂直于准线，垂足为M ，由抛物线的定义可得|PF |＝|PM |，则|PF ||P A |＝|PM ||P A |＝sin ∠P AM ，因为∠P AM 为锐角，故当∠P AM 最小时，|PF ||P A |最小，即当P A 和抛物线相切时，|PF ||P A |最小，设切点P (2a ，a )，由y ＝14x 2，得y ′＝12x ，则切线P A 的斜率为12×2a ＝a ＝a ＋12a ，解得a ＝1，即P (2,1)，此时|PM |＝2，|P A |＝22，所以sin ∠P AM ＝|PM ||P A |＝22，故选A.12．(2019·天津部分区一模联考)已知函数y ＝f (x )的定义域为(－π，π)，且函数y ＝f (x ＋2)的图象关于直线x ＝－2对称，当x ∈(0，π)时，f (x )＝πln x －f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫π2sin x (其中f ′(x )是f (x )的导函数)，若a ＝f (log π3)，b ＝f (log 139)，c ＝f (π13 )，则a ，b ，c 的大小关系是( )A ．b >a >cB ．a >b >cC ．c >b >aD ．b >c >a答案 D解析 ∵f (x )＝πln x －f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫π2sin x ，∴f ′(x )＝πx －f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫π2cos x ，则f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＝2－f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫π2cos π2＝2，即f ′(x )＝πx －2cos x ，当π2≤x <π时，2cos x ≤0，f ′(x )>0；当0<x <π2时，πx >2,2cos x <2，∴f ′(x )>0，即f (x )在(0，π)上单调递增，∵y ＝f (x ＋2)的图象关于x ＝－2对称，∴y ＝f (x ＋2)向右平移2个单位得到y ＝f (x )的图象关于y 轴对称，即y ＝f (x )为偶函数，b ＝f (log 139)＝f (－2)＝f (2)，0＝log π1<log π3<log ππ＝1,1＝π0<π13<π12 <2，即0<log π3<π13 <2<π，∴f (2)>f (π13 )>f (log π3)，即b >c >a .二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．平面向量a 与b 的夹角为45°，a ＝(1，－1)，|b |＝1，则|a ＋2b |＝________. 答案10解析 由题意，得a ·b ＝|a ||b |cos45°＝2×1×22＝1，所以|a ＋2b |2＝a 2＋4a ·b ＋4b 2＝2＋4×1＋4×1＝10，所以|a ＋2b |＝10.14．已知函数f (x )＝ax －log 2(2x ＋1)(a ∈R )为偶函数，则a ＝________. 答案 12解析 由f (x )＝f (－x )，得ax －log 2(2x ＋1)＝－ax －log 2(2－x ＋1)，2ax ＝log 2(2x＋1)－log 2(2－x＋1)＝log 22x ＋12－x ＋1＝x ，由于x 的任意性，所以a ＝12.15．如图，为测量竖直旗杆CD 的高度，在旗杆底部C 所在水平地面上选取相距421 m 的两点A ，B 且AB 所在直线为东西方向，在A 处测得旗杆底部C 在西偏北20°的方向上，旗杆顶部D 的仰角为60°；在B 处测得旗杆底部C 在东偏北10°方向上，旗杆顶部D 的仰角为45°，则旗杆CD 的高度为________ m.答案 12解析 设CD ＝x ，在Rt △BCD 中，∠CBD ＝45°，∴BC ＝x ，在Rt △ACD 中，∠CAD ＝60°，∴AC ＝CD tan60°＝x 3，在△ABC 中，∠CAB ＝20°，∠CBA ＝10°，AB ＝421， ∴∠ACB ＝180°－20°－10°＝150°，由余弦定理可得AB 2＝AC 2＋BC 2－2AC ·BC ·cos150°， 即(421)2＝13x 2＋x 2＋2·x 3·x ·32＝73x 2，解得x ＝12.即旗杆CD 的高度为12 m.16．已知腰长为2的等腰直角△ABC 中， M 为斜边AB 的中点，点P 为该平面内一动点，若|PC →|＝2，则(P A →·PB →)·(PC →·PM→) 的最小值是________．答案 32－24 2解析 根据题意，建立平面直角坐标系， 如图所示，则C (0,0)，B (2,0)，A (0,2)，M (1,1)，由|PC→|＝2，知点P 的轨迹为圆心在原点，半径为2的圆，设点P (2cos θ，2sin θ)，θ∈[0,2π)； 则P A →＝(－2cos θ，2－2sin θ)， PB→＝(2－2cos θ，－2sin θ)，PC →＝(－2cos θ，－2sin θ)， PM→＝(1－2cos θ，1－2sin θ)， ∴(P A →·PB →)·(PC →·PM →)＝[(－2cos θ)(2－2cos θ)＋(－2sin θ)(2－2sin θ)]·[(－2cos θ)(1－2cos θ)＋(－2sin θ)(1－2sin θ)]＝(4－4cos θ－4sin θ)(4－2cos θ－2sin θ) ＝8(3－3cos θ－3sin θ＋2sin θcos θ)， 设t ＝sin θ＋cos θ，∴t ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4∈[－2，2]，∴t 2＝1＋2sin θcos θ， ∴2sin θcos θ＝t 2－1，∴y ＝8(3－3t ＋t 2－1)＝8⎝ ⎛⎭⎪⎫t －322－2，当t ＝2时，y 取得最小值为32－24 2.三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．(一)必考题：共60分．17．(本小题满分12分)已知等比数列{a n }中，a n >0，a 1＝164，1a n －1a n ＋1＝2a n ＋2，n ∈N *.(1)求{a n }的通项公式；(2)设b n ＝(－1)n ·(log 2a n )2，求数列{b n }的前2n 项和T 2n . 解 (1)设等比数列{a n }的公比为q ，则q >0， 因为1a n －1a n ＋1＝2a n ＋2，所以1a 1q n －1－1a 1q n ＝2a 1q n ＋1，因为q >0，解得q ＝2，所以a n ＝164×2n －1＝2n －7，n ∈N *.4分(2)b n ＝(－1)n ·(log 2a n )2＝(－1)n ·(log 22n －7)2＝(－1)n ·(n －7)2， 设c n ＝n －7，则b n ＝(－1)n ·(c n )2，6分T 2n ＝b 1＋b 2＋b 3＋b 4＋…＋b 2n －1＋b 2n ＝－(c 1)2＋(c 2)2＋[－(c 3)2]＋(c 4)2＋…＋[－(c 2n －1)2]＋(c 2n )2＝(－c 1＋c 2)(c 1＋c 2)＋(－c 3＋c 4)·(c 3＋c 4)＋…＋(－c 2n －1＋c 2n )(c 2n －1＋c 2n )＝c 1＋c 2＋c 3＋c 4＋…＋c 2n －1＋c 2n ＝2n [－6＋(2n －7)]2＝n (2n －13)＝2n 2－13n .12分18．(2019·四川百校模拟冲刺)(本小题满分12分)如图，在三棱柱A 1B 1C 1－ABC 中，D 是棱AB 的中点．(1)证明：BC 1∥平面A 1CD ；(2)若AA 1⊥平面ABC ，AB ＝2，BB 1＝4，AC ＝BC ，E 是棱BB 1的中点，当二面角E －A 1C －D 的大小为π4时，求线段DC 的长度．解 (1)证明：连接AC 1交A 1C 于点F ，则F 为AC 1的中点，连接DF ，而D 是AB 的中点，则BC 1∥DF ，因为DF ⊂平面A 1CD ，BC 1⊄平面A 1CD ， 所以BC 1∥平面A 1CD .4分(2)因为AA 1⊥平面ABC ，所以AA 1⊥CD ，又AC ＝BC ，E 是棱BB 1的中点， 所以DC ⊥AB ，所以DC ⊥平面ABB 1A 1，5分以D 为坐标原点，过D 作AB 的垂线为x 轴，DB 为y 轴，DC 为z 轴建立如图所示的空间直角坐标系Dxyz ，设DC 的长度为t ，则C (0,0，t )，E (2,1,0)，A 1(4，－1,0)，D (0,0,0)，所以EA 1→＝(2，－2,0)，A 1C →＝(－4,1，t )，DA 1→＝(4，－1，0)，DC →＝(0,0，t )， 分别设平面EA 1C 与平面DA 1C 的法向量为m ＝(x 1，y 1，z 1)，n ＝(x 2，y 2，z 2)， 由⎩⎨⎧2x 1－2y 1＝0，－4x 1＋y 1＋tz 1＝0，令x 1＝1，得m ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1，1，3t ，同理可得n ＝(1,4,0)，9分 由cos 〈m ，n 〉＝1＋417×2＋9t 2＝22，解得t ＝3174， 所以线段DC 的长度为3174.12分19．(2019·湖南长沙统一检测)(本小题满分12分)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为13，左、右焦点分别为F 1，F 2，A 为椭圆C 上一点，AF 1与y 轴相交于点B ，|AB |＝|F 2B |，|OB |＝43.(1)求椭圆C 的方程；(2)设椭圆C 的左、右顶点分别为A 1，A 2，过A 1，A 2分别作x 轴的垂线l 1，l 2，椭圆C 的一条切线l ：y ＝kx ＋m (k ≠0)与l 1，l 2交于M ，N 两点，求证：∠MF 1N ＝∠MF 2N .解 (1)连接AF 2，由题意，得|AB |＝|F 2B |＝|F 1B |， 所以BO 为△F 1AF 2的中位线，又因为BO ⊥F 1F 2，所以AF 2⊥F 1F 2，且|AF 2|＝2|BO |＝b 2a ＝83， 又e ＝c a ＝13，a 2＝b 2＋c 2，得a 2＝9，b 2＝8， 故所求椭圆C 的标准方程为x 29＋y 28＝1.4分 (2)证明：由题意可知，l 1的方程为x ＝－3， l 2的方程为x ＝3.直线l 与直线l 1，l 2联立可得M (－3，－3k ＋m )，N (3,3k ＋m )，又F 1(－1,0)， 所以F 1M →＝(－2，－3k ＋m )，F 1N →＝(4,3k ＋m )，所以F 1M →·F 1N →＝－8＋m 2－9k 2. 联立⎩⎪⎨⎪⎧x 29＋y 28＝1，y ＝kx ＋m ，得(9k 2＋8)x 2＋18kmx ＋9m 2－72＝0.7分 因为直线l 与椭圆C 相切，所以Δ＝(18km )2－4(9k 2＋8)(9m 2－72)＝0，化简，得m 2＝9k 2＋8. 所以F 1M →·F 1N →＝－8＋m 2－9k 2＝0， 则F 1M →⊥F 1N →，故∠MF 1N 为定值π2.10分 同理F 2M →＝(－4，－3k ＋m )，F 2N →＝(2,3k ＋m )， 因为F 2M →·F 2N →＝0，所以F 2M →⊥F 2N →，∠MF 2N ＝π2. 故∠MF 1N ＝∠MF 2N .12分20．(本小题满分12分)某快递公司收取快递费用的标准是：重量不超过1 kg 的包裹收费10元；重量超过1 kg 的包裹，除1 kg 收费10元之外，超过1 kg 的部分，每超出1 kg(不足1 kg ，按1 kg 计算)需再收5元．该公司将最近承揽的100件包裹的重量统计如下：公司对近(1)计算该公司未来3天内恰有2天揽件数在101～400之间的概率； (2)①估计该公司对每件包裹收取的快递费的平均值；②公司将快递费的三分之一作为前台工作人员的工资和公司利润，剩余的用作其他费用．目前前台有工作人员3人，每人每天揽件不超过150件，日工资100元．公司正在考虑是否将前台工作人员裁减1人，试计算裁员前后公司每日利润的数学期望，并判断裁员是否对提高公司利润更有利？解 (1)样本中包裹件数在101～400之间的天数为48，频率f ＝4860＝45，故可估计概率为45.显然未来3天中，包裹件数在101～400之间的天数X 服从二项分布，即X ～B ⎝ ⎛⎭⎪⎫3，45， 故所求概率为C 23×⎝ ⎛⎭⎪⎫452×15＝48125.4分(2)①样本中快递费用及包裹件数如下表：10×43＋15×30＋20×15＋25×8＋30×4100＝15(元)，故该公司对每件包裹收取的快递费的平均值可估计为15元.6分②根据题意及①，揽件数每增加1，可使前台工资和公司利润增加15×13＝5(元)，将题目中的天数转化为频率，得；8分 若裁员1人，则每天可揽件的上限为300件，公司每日揽件数情况如下：10分 因975<1000，故公司将前台工作人员裁员1人对提高公司利润不利.12分 21．(2019·江西南昌一模)(本小题满分12分)已知函数f (x )＝e x (－x ＋ln x ＋a )(e 为自然对数的底数，a 为常数，且a ≤1)．(1)判断函数f (x )在区间(1，e)内是否存在极值点，并说明理由； (2)若当a ＝ln 2时，f (x )<k (k ∈Z )恒成立，求整数k 的最小值． 解 (1)f ′(x )＝e x ⎝ ⎛⎭⎪⎫ln x －x ＋1x ＋a －1，令g (x )＝ln x －x ＋1x ＋a －1，x ∈(1，e)， 则f ′(x )＝e x g (x )，2分 g ′(x )＝－x 2－x ＋1x 2<0恒成立， 所以g (x )在(1，e)上单调递减， 所以g (x )＜g (1)＝a －1≤0， 所以f ′(x )＝0在(1，e)内无解．所以函数f (x )在区间(1，e)内无极值点.5分(2)当a ＝ln 2时，f (x )＝e x (－x ＋ln x ＋ln 2)，定义域为(0，＋∞)， f ′(x )＝e x ⎝ ⎛⎭⎪⎫ln x －x ＋1x ＋ln 2－1， 令h (x )＝ln x －x ＋1x ＋ln 2－1， 由(1)知，h (x )在(0，＋∞)上单调递减， 又h ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝12>0，h (1)＝ln 2－1＜0，所以存在x 1∈⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1，使得h (x 1)＝0，且当x ∈(0，x 1)时，h (x )＞0，即f ′(x )＞0，当x ∈(x 1，＋∞)时，h (x )＜0，即f ′(x )＜0.所以f (x )在(0，x 1)上单调递增，在(x 1，＋∞)上单调递减，所以f (x )max ＝f (x 1)＝e x 1(－x 1＋ln x 1＋ln 2).8分由h (x 1)＝0，得ln x 1－x 1＋1x 1＋ln 2－1＝0，即ln x 1－x 1＋ln 2＝1－1x 1，所以f (x 1)＝e x 1⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1x 1，x 1∈⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1，令r (x )＝e x ⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1x ，x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1，则r ′(x )＝e x ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 2－1x ＋1>0恒成立，所以r (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1上单调递增，所以r ⎝ ⎛⎭⎪⎫12<r (x )<r (1)＝0，所以f (x )max ＜0，又因为f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝e 12 ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12－ln 2＋ln 2＝－e 2>－1，所以－1＜f (x )max ＜0，所以若f (x )＜k (k ∈Z )恒成立，则k 的最小值为0.12分 (二)选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．22．(本小题满分10分)选修4－4：坐标系与参数方程已知曲线C 的极坐标方程是ρ＝2，以极点为原点，极轴为x 轴的正半轴，取相同的单位长度，建立平面直角坐标系，直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2－12t ，y ＝1＋32t (t 为参数)．(1)写出直线l 的普通方程与曲线C 的直角坐标方程；(2)设曲线C 经过伸缩变换⎩⎨⎧x ′＝x ，y ′＝2y 得到曲线C ′，设曲线C ′上任一点为M (x 0，y 0)，求3x 0＋12y 0的取值范围．解 (1)由直线l 的参数方程消去参数可得它的普通方程为3x ＋y －23－1＝0，由ρ＝2两端平方可得曲线C 的直角坐标方程为x 2＋y 2＝4.4分(2)曲线C 经过伸缩变换⎩⎨⎧x ′＝x ，y ′＝2y得到曲线C ′的方程为x ′2＋y ′24＝4，即x ′24＋y ′216＝1，则点M 的参数方程为⎩⎨⎧x 0＝2cos θ，y 0＝4sin θ(θ为参数)，代入3x 0＋12y 0，得3×2cos θ＋12×4sin θ＝2sin θ＋23cos θ＝4sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π3，由三角函数的基本性质，知4sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π3∈[－4,4].10分23．(本小题满分10分)选修4－5：不等式选讲 已知函数f (x )＝|x －a |－|3x ＋2|(a >0)． (1)当a ＝1时，解不等式f (x )>x －1；(2)若关于x 的不等式f (x )>4有解，求a 的取值范围． 解 (1)当a ＝1时，即解不等式|x －1|－|3x ＋2|>x －1.当x >1时，不等式可化为－2x －3>x －1，即x <－23，与x >1矛盾，无解． 当－23≤x ≤1时，不等式可化为－4x －1>x －1， 即x <0，所以解得－23≤x <0.当x <－23时，不等式可化为2x ＋3>x －1，即x >－4，所以解得－4<x <－23.综上所述，所求不等式的解集为(－4,0).5分(2)f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋a ＋2，x <－23，－4x －2＋a ，－23≤x ≤a ，－2x －a －2，x >a ，7分因为函数f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－23上单调递增，在⎝ ⎛⎭⎪⎫－23，＋∞上单调递减，所以当x ＝－23时，f (x )max ＝23＋a ，8分 不等式f (x )>4有解等价于f (x )max ＝23＋a >4， 解得a >103.故a 的取值范围为⎝ ⎛⎭⎪⎫103，＋∞.10分。
山西省临汾市2020届高三下学期模拟考试(2)数学(理)Word版含答案
C． (ln3,2)
D ． (ln3 1,1)
第Ⅱ卷（非选择题 共 90 分）
二、填空题（本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分．将答案填在题中的横线上． ）
2
)
2
tan2
，则
1
46
2tan
（
）
9 A．
8
9 B．
8
C．3
D． 3
8．运行如图所示的程序算法，若输入 m 的值为 20，则输出的结果为（
）
1
A ． 20
B ． 10
C．0
D ． 10
9．随着新政策的实施，海淘免税时代于 2016 年 4 月 8 日正式结束，新政策实施后，海外购 物的费用可能会增加 .为了解新制度对海淘的影响， 某记者调查了身边喜欢海淘的 10 位朋
3．已知函数 f (x)
2x ,
，若 f ( a) 2 ，则实数 a 的取值范围是（ x≤0
）
A ． ( ,3)
B ． ( ,2)
C． (1,2)
D ． (0,3)
4．已知夹角为 的向量 a, b 满足 a (a b) 2 ，且 | a | 2 | b | 2 ，则向量 a, b 的关系是 ( )
A ．互相垂直
1(a
0,b
0) 的左、右焦点分别为
F1 , F2 ，点 M 在双曲线的右支
上，点 N 为 F2 M 的中点， O 为坐标原点， |ON | | NF2 | 2b ,
ONF2 60 , △ F1MF 2 的面积为 2 3 ，则该双曲线的方程为
x2 A．
4
y2 1 2
x2 B．
4
y2 1 4
x2 C．
山西省临汾市2020届高三下学期高考考前适应性训练(二)数学(理)试题 Word版含解析
临汾市2020年高考考前适应性训练考试（二）（理科）数学一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1.在复平面内，复数1ii+对应的点在（ ） A. 第一象限 B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限【答案】A 【解析】()()()i 1i i 1i 11i 1i 1i 1i 222-+===+++-，对应点坐标为11,22⎛⎫ ⎪⎝⎭，i 1i ∴+在第一象限，故选A. 2.已知集合{}1,2,3A =，{}240B x x x m =++=，若{}1A B ⋂=，则B =（ ）A. {}1,3B. {}1,3-C. {}1,5D. {}1,5-【答案】D 【解析】 【分析】由{}1A B ⋂=，则1B ∈，即1是方程240x x m ++=的一个根，求出m 的值，然后再求集合B .【详解】由{}1A B ⋂=，则1B ∈，即1是方程240x x m ++=的一个根 所以140m ++=，即5m =-.此时方程2450x x -=+的根为11x =或25x =-. 所以{}1,5B =- 故选：D【点睛】本题考查根据集合的交集求参数，属于基础题.3.已知某地区初中水平及以上的学生人数如图所示.为了解该地区学生对新型冠状病毒的了解程度，拟采用分层抽样的方法来进行调查.若高中生需抽取的20名学生，则抽取的学生总人数为（ ）A. 40B. 60C. 120D. 360【答案】B 【解析】 【分析】计算分层抽样的抽取比例，求出所抽取的学生人数即可. 【详解】由题得抽取的学生总人数为()20900054007200607200++⨯=人. 故选：B【点睛】本题主要考查了分层抽样的计算，是基础题. 4.在ABC 中，AB c =，AC b =，若点D 满足12BD DC =，则AD =（ ） A. 1233+b c B. 2133b c +C. 4133b c - D.1122b c + 【答案】A 【解析】 【分析】由条件即得()11123333AD AB BD AB BC AB AC AB AC AB =+=+=+-=+. 【详解】12BD DC =，13BD BC ∴=，故有()11123333AD AB BD AB BC AB AC AB AC AB =+=+=+-=+. 故选：A【点睛】本题主要考查了向量的线性表示，向量的加减运算，是基础题.5.圆2266x y x y +=+上到直线 2 0x y +-=的距离为1的点的个数为（ ） A. 1 B. 2C. 3D. 4【答案】D【解析】 【分析】 由圆方程确定出半径和圆心坐标，求出圆心到已知直线的距离，即可判断圆上到直线2 0x y +-=的距离为1的点的个数.【详解】由2266x y x y +=+得()()223318x y -+-=，即圆心为()3,3，半径为则圆心到直线 2 0x y +-=的距离d ==所以圆2266x y x y +=+上到直线 2 0x y +-=的距离为1的点的个数为4. 故选：D【点睛】本题主要考查了直线与圆的位置关系，是基础题.6.已知函数()f x 是定义在R 上的偶函数，在区间()0,∞+上单调递增，且()10f -=，则(21)()0x f x -⋅>的解集为（ ）A. ()(),11,-∞-+∞ B. ()()1,00,1-C. ()(),10,1-∞-⋃D. ()()1,01,-⋃+∞【答案】D 【解析】 【分析】根据函数的奇偶性与单调性的关系，将不等式进行转化，即可得不等式的解集. 【详解】函数()f x 是定义在R 上的偶函数，在区间()0,∞+上单调递增，且()10f -=，()f x ∴在(),0-∞上单调递减，且()10f =，显然0x =不是(21)()0xf x -⋅>的解，故此不等式可转化为：()()21001xf x f ⎧->⎪⎨>=⎪⎩或()()21001x f x f ⎧-<⎪⎨<=-⎪⎩， 解得：1x >或10x -<<. 故选：D【点睛】本题主要考查了函数的奇偶性与单调性，考查了学生转化问题的能力.7.已知关于x 的方程sin cos x x a +=在区间[]0,2π恰有两个根,αβ，则()()sin cos αβαβ+++=（ ）A. 1B. -1C. 1或-1D. 2a【答案】A 【解析】 【分析】先利用辅助角公式对已知函数进行化简，然后结合正弦函数的对称性可求αβ+，代入即可求解【详解】由sin cos 2sin 4x x x a π⎛⎫+=+= ⎪⎝⎭在区间[]0,2π恰有两个根,αβ.根据对称性可知，2παβ+=或52παβ+=. 当2παβ+=时，()()sin cos 1αβαβ+++=当52παβ+=时，()()sin cos 1αβαβ+++= 故选：A【点睛】本题主要考查了正弦函数对称性的应用，属于基础试题8.某几何体的三视图如图所示（单位：cm ），则该几何体的体积（单位：3cm ）是（ ）A.16B.13C.12D.56【答案】D 【解析】 【分析】由三视图可知几何体是正方体在一个角上截去一个三棱锥，如图：运用体积公式计算可得.【详解】由三视图可知几何体是正方体在一个角上截去一个三棱锥，如图：所以该几何体的体积为：115111326-⨯⨯⨯=. 故选：D【点睛】本题主要考查了三视图，几何体体积的计算.解题的关键是能将三视图还原成几何体，考查学生的空间想象能力.9.一个球从h 米高处自由落下，每次着地后又跳回到原高度的一半再落下，当它第10次着地时，全程共经过（ ）米 A.82hB.92h C. 832h h -D. 932h h -【答案】C 【解析】 【分析】直接用等比数列的前n 项和的公式求解.【详解】由于一个球从h 米高处自由落下，每次着地后又跳回到原高度的一半再落下， 第一次着地时的球路程为h .从第一次着地到第二次着地时球的路程为：h .从第二次着地到第三次着地时球的路程为：2h . 从第三次着地到第四次着地时球的路程为：4h . ……………………………依次规律可得，从第九次着地到第十次着地时球的路程为：h 256. 所以第10次着地时，全程共经过9811112322h h h h ⎛⎫- ⎪⎝⎭=--+米故选：C【点睛】本题考查等比数列前n 项和，属于中档题.10.25(2)x x y ++的展开式中，52x y 的系数为（ ）A. 30B. 40C. 60D. 120【答案】C 【解析】 【分析】将25(2)x x y ++看成是5个2(2)x x y ++相乘，要得到52x y 分析每个因式中所取的项情况.【详解】25(2)x x y ++看成是5个2(2)x x y ++相乘，要得到52x y .分以下情况:5个因式中，2个因式取y ，2个因式取2x ，1个因式取2x ,此时52x y 的系数2225360C C =所以52x y 的系数为60. 故选：C【点睛】本题考查三项式的展开式中的特定项的系数，属于中档题.11.已知双曲线2222:1(0)x y C b a b-=>>的左右焦点分别为12,F F 的直线过点2F 且交C 于A ，B 两点.若212||2||BF F F =，则C 的离心率为（ ）B.23+ C. 2 D. 2【解析】 【分析】由条件可得过点2F 斜率为3的直线交C 于A ，B 两点，则A ，B 在不同的两支上，在12BF F △中，由余弦定理得：()2221424162242c a c c c c -=+-⨯⨯⨯，可得离心率. 【详解】3b a >,3ba>, 可得过点2F 斜率为3的直线交C 于A ，B 两点，则A ，B 在不同的两支上.212||2||BF F F =,1||42BF c a =-在12BF F △中，由余弦定理得：()2221424162242c a c c c c -=+-⨯⨯⨯即2240c ac a -+=，即2410e e -+=，解得23e =+ 故选：D【点睛】本题考查双曲线的性质，直线与双曲线的位置关系，属于中档题.12.已知三次函数322()3(0)3x f x ax a x b a =+-+>有两个零点，若方程[()]0f f x '=有四个实数根，则实数a 的范围为（ ）A. 6⎛ ⎝⎭B. 32⎛ ⎝⎭C. 6⎫+∞⎪⎪⎝⎭D.632,88⎛ ⎝⎭【答案】C【分析】22()23(0)f x x ax a a '=+->一定有两零点a 与3a -，所以只需()f x a =或()3f x a =-共有四个根即可．结合()f x 有两个零点，所以必有()0f a =或(3)0f a -=．然后分两种情况结合函数图象讨论即可.【详解】由22()23(0)f x x ax a a '=+->，则()0f x '=得x a =或3a -三次函数322()3(0)3x f x ax a x b a =+-+>有两个零点，且程[()]0f f x '=有四个实数根，所以只需()f x a =或()3f x a =-共有四个根即可，所以()()030f a f a ⎧=⎪⎨->⎪⎩或()()030f a f a ⎧<⎪⎨-=⎪⎩.又方程[()]0f f x '=有四个实数根，则()f x a =或()3f x a =-共有四个根.()f x 在(),3a -∞-,(),a +∞上单调递增，在()3,a a -单调递减.当()0f a =时，353b a =，要满足条件，作出函数的大致图像.(如图①)则()03a f a <<-，即333359993a a a a a -+++>，解得8a >. 当()30f a -=，得39b a =-，要满足条件，作出函数的大致图像.(如图②)则()30f a a <-<，即333313933a a a a a +--<-，解得8a >.综上所述，当8a >时，方程[()]0f f x '=有四个实数根. 故选：C【点睛】本题考查了利用图象研究函数的零点问题，关键是对函数的单调性、极值情况等研究到位．本题还考查了学生应用函数与方程、数形结合及分类讨论思想解题的能力. 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13.若x ，y 满足约束条件220,10,0,x y x y y --≤⎧⎪-+≥⎨⎪≤⎩则32z x y =+的最小值为_______________【答案】-18 【解析】 【分析】先作出不等式组表示的可行域，由目标函数32z x y =+的几何意义结合图形即可求出z 的最小值.【详解】不等式组表示的可行域如图：由22010x y x y --=⎧⎨-+=⎩得()4,3A --，由图知直线32z x y =+过点()4,3A --时，()()min 342318z =⨯-+⨯-=-. 故答案为：-18【点睛】本题主要考查线性规划，考查了学生的作图能力，考查了数形结合的思想.14.已知直三棱柱111ABC A B C -所有的棱长都相等，D ，E 分别为棱1AA ，BC 的中点，则异面直线DE 与1A B 所成角的余弦值为_______________ 【答案】528【解析】 【分析】取AB 的中点为F ,连接,DF FE ，由,D F 分别为1,AA AB 的中点，则1//DF A B ，所以FDE ∠为异面直线DE 与1A B 所成角，再计算求解.【详解】设棱长为2a ，取AB 的中点为F ,连接,DF FE ， 由,D F 分别为1,AA AB 的中点，则1//DF A B . 所以FDE ∠为异面直线DE 与1A B 所成角.三棱柱111ABC A B C -为直三棱柱，所以1AA ⊥平面ABC ，所以1AB AA ⊥ 在DFE △中，2,DF a EF a ==,222232DE AE AD a a a =+=+=所以22222252cos 28222DF DE FE FDE DF DE a a+-∠===⋅⨯⨯ 故答案为：528【点睛】本题考查求异面直线所成角，属于中档题.15.现有三张卡片每张卡片上分别写着北京、上海、广州三个城市中的两个且卡片不重复，甲、乙、丙各选一张去对应的两个城市参观. 甲看了乙的卡片后说：“我和乙都去广州”.乙看了丙的卡片后说：“我和丙不都去上海” 则甲、丙同去的城市为____________________ 【答案】上海 【解析】 【分析】由题知三张卡片共有（北京，上海），（北京，广州），（上海，广州）这三种情况，通过分析即可得出结果.【详解】由题知三张卡片共有（北京，上海），（北京，广州），（上海，广州）这三种情况，根据甲的说法可知丙选的卡片为（北京，上海），又根据乙的说法可知乙选的卡片为（北京，广州），则甲为（上海，广州），所以甲、丙同去的城市为上海. 故答案为：上海【点睛】本题主要考查了组合的应用，考查了学生的逻辑推理能力.16.在ABC 中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，120ABC ∠=︒，BD 是AC 边上的高线，且BD =a c +的最小值为_________________.【答案】【解析】 【分析】设,ABD CBD αβ∠=∠=，然后分别在三角形ABD 和BCD 中将,a c 表示出来，再借助于基本不等式求出最值.【详解】如图，设,ABD CBD αβ∠=∠=，120αβ+=︒.在直角三角形ABD 中，cos cos BD c αα==.在直角三角形CBD 中，cos BD a β==所以a c +=+≥2111cos cos cos cos sin 232644ππαβααα⎛⎫⎛⎫=-=--≤ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭当且仅当3πα=时取等号.所以333243cos cos cos cosa cαβαβ+=+≥≥当且仅当3παβ==时取等故答案为：43【点睛】本题主要是考查了三角恒等变换、三角函数的定义、基本不等式等知识，考查了转化思想以及学生的数学运算能力．属于中档题．三、解答题：共70分.解答应写出文字说明证明过程或演算步骤.第17-21题为必考题，每个考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共60分.17.等差数列{}n a的公差为正数，11a=，其前n项和为nS；数列{}n b为等比数列，12b=，且222312,10b S b S=+=．(I)求数列{}n a与{}n b的通项公式；(II)设1n nnc bS=+，求数列{}nc的前n项和nT．【答案】(Ⅰ) n a n=，2nnb=；(Ⅱ) 1221nnTn+=-+.【解析】【分析】（Ⅰ）等差数列{a n}的公差d为正数，数列{b n}为等比数列，设公比为q，运用等差数列和等比数列的通项公式和求和公式，解方程可得公差和公比，即可得到所求通项公式；（Ⅱ）求得c n＝b nn1S+=2n()2n n1+=+2n+2（11n n1-+），数列的分组求和和裂项相消求和，化简整理即可得到所求和．【详解】解：(Ⅰ)设等差数列{}n a的公差为d，等比数列{}n b的公比为q，则()22d 12233100qq d d ⎧+=⎪++=⎨⎪>⎩解得12d q =⎧⎨=⎩∴n a n =，nn b 2=.(Ⅱ)由(Ⅰ)知()n n n 1S 2+=.∴()n n n n n 1211c b 222S n n 1n n 1⎛⎫=+=+=+- ⎪++⎝⎭， ∴()23n n 11111T 222221223n n 1⎛⎫=+++++-+-++- ⎪+⎝⎭. ()n 21212112n 1-⎛⎫=+-⎪-+⎝⎭n 122n 1+=-+ 【点睛】本题考查等差数列和等比数列的通项公式和求和公式的运用，考查数列的分组求和和裂项相消求和，考查化简整理的运算能力，属于中档题．18.如图所示，已知多面体EF ABCD -中，四边形ABCD 为菱形，ACDE 为正四面体，且//BF DE .（1）求证：//CE 平面ABF ； （2）求二面角C AB F --的余弦值. 【答案】（1）证明见解析（2）13- 【解析】 【分析】（1）通过证明平面//CDE平面ABF来证明//CE平面ABF；（2）如图，以菱形ABCD的两条对角线所在直线分别为x，y轴建立空间直角坐标系O xyz-，利用向量法计算二面角C AB F--的余弦值.【详解】（1）证明：因为四边形ABCD为菱形，所以//AB CD，又AB平面ABF，CD⊄平面ABF，所以//CD平面ABF，同理可得//DE平面ABF，因为,CD DE⊂平面CDE，CD DE D=，所以平面//CDE平面ABF因为CE⊂平面CDE，所以//CE平面ABF.（2）以菱形ABCD的两条对角线所在直线分别为x，y轴建立空间直角坐标系O xyz-，如图所示：设2AB=，则(3,0,0),(0,1,0),(3,0,0)B C D，因为ACDE为正四面体，所以点E坐标为326,0,33⎛-⎝⎭，2326(3,1,0),DC DE⎛==⎝⎭，因为平面//CDE平面ABF，所以平面CDE与平面ABF的法向量相同.设平面CDE的一个法向量为(),,n x y z=，则DC nDE n⎧⋅=⎨⋅=⎩，即302326x yx z+==可取1,3,2n ⎛=-- ⎝⎭. 可取()0,0,1m =为平面ABC的法向量.所以212cos ,3||3m nm n m n -⋅<>===-‖， 所以二面角C AB F --的余弦值为13-.【点睛】本题主要考查了直线与平面平行的证明，二面角大小的求解，考查了运用空间向量来求解二面角问题，考查了学生的空间想象和运算求解能力.19.科学家为研究对某病毒有效的疫苗，通过小鼠进行毒性和药效预实验.已知5只小鼠中有1只患有这种病毒引起的疾病，需要通过化验血液来确定患病的小鼠.血液化验结果呈阳性的即为患病小鼠，呈阴性即没患病.下面是两种化验方案： 方案甲：逐个化验，直到能确定患病小鼠为止.方案乙：先任取3只，将它们的血液混在一起化验.若结果呈阳性则表明患病动物为这3只中的1只，然后再逐个化验，直到能确定患病小鼠为止；若结果呈阴性则在另外2只中任取1只化验.（1）求方案甲化验次数X 的分布列；（2）判断哪一个方案的效率更高，并说明理由.【答案】（1）详见解析（2）乙方案的效率更高，详见解析 【解析】 【分析】(1)方案甲化验次数X 的可能取值为1,2,3,4，分别求出概率，由此能求出X 的分布列． （2）方案乙化验次数Y 的可能取值为2，3，分别求出相应的概率，由此能求出Y 分布列，求出X ,Y 的期望．从而方案乙的效率更高．【详解】解：（1）依题知X 的可能取值为1，2，3，4.44551(1)5A P X A ===，44551(2)5A P X A ===，44551(3)5A P X A ===，4444552(4)5A A P X A +===，故方案甲化验次数X 的分布列为：设方案乙化验次数为Y ，则Y 可能取值为2，3.Y =2时的情况为先验三只结果为阳性，再从中逐一检验时，恰好一次检验出，或先验三只结果为阴性，再从其他两只中取出一只检验.则()23314342313253521325C A A A PY A A A A ⨯⨯==⨯+=,()235P Y == 故方案乙化验次数Y 的分布列为：则114() 2.855552385E X =+++== () 2.45656E Y =+=()()E Y E X <所以乙方案的效率更高.【点睛】本题考查离散型随机变量的分布列、数学期望的求法及应用，考查古典概型、排列组合等基础知识，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．20.已知椭圆方程为22221(0)x y ab a b+=>>，左，右焦点分别为12,F F ，上顶点为A ，12AF F △是面积为4的直角三角形. （1）求椭圆的标准方程；（2）过1F 作直线与椭圆交于P ，Q 两点，若[6,4]OP OQ ⋅∈--，求2PQF 面积的取值范围.【答案】（1）22184x y +=（2）,55⎡⎢⎣⎦【解析】 【分析】（1）由12AF F △是面积为4的等腰直角三角形，可得b c =，结合三角形的面积公式解方程可得2b c ==，求得a ，进而得到所求椭圆方程；（2）过()12,0F -直线分斜率存在和不存在分别求解，当斜率存在时设直线方程设为()2y k x =+，联立椭圆方程，运用韦达定理，以及向量数量积的坐标表示210212OP OQ k ⋅=-+，结合条件可得2112k+的范围，再由三角形的面积公式可得2PQF 的面积12122S c y y =⋅-，结合运用韦达定理，可得所求范围. 【详解】解：（1）由已知可得12AF F △等腰直三角形，则b c =4bc b c=⎧⎨=⎩，解得2b =，2c =. 所以椭圆的标准方程方程为22184x y +=.（2）设()11,P x y ，()22,Q x y . ①当直线PQ 斜率k 不存在时(P -，(2,Q -，2OP OQ ⋅=，这与[6,4]OP OQ ⋅∈--不符. ②当直线PQ 斜率k 存在时可设直线PQ 的方程为()2y k x =+，联立方程22184(2)x y y k x ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩， 代入化归消元得()2222128880k xk x k +++-=，所以2122812k x x k -+=+，21228812k x x k-=+. 则1212OP OQ x x y y ⋅=+()()121222x x k x k x =+++ ()()2221212124k x x k x x k =++++224812k k -=+210212k =-+.||PQ ====)22112k k+=+，点()22,0F 到直线():2PQ yk x =+的距离d =所以2PQF的面积1||2S PQ d=⋅=)==设2112t k=+，则210OP OQ t ⋅=-，S =. 因为[6,4]OP OQ ⋅∈--，所以34,55t ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，所以S ∈⎣⎦. 综上所述，2PQF 面积取值范围是55⎡⎢⎣⎦. 【点睛】本题考查椭圆的方程和性质，考查直线方程和椭圆方程联立，运用韦达定理，以及向量数量积的坐标表示，考查三角形的面积的取值范围，注意运用对勾函数的单调性，考查方程思想和化简运算能力、推理能力，属于中档题． 21.设函数()()()ln 11f x x x k x =+--（1）当1x ≥时()0f x ≥恒成立，求k 的最大值； （2）证明：对任意正整数n ，不等式111112212325412n n n n n ++++<+++-恒成立. 【答案】（1）k 的最大值为2（2）证明见解析 【解析】 【分析】(1）由()0f x ≥知(1)ln 01k x x x --≥+,设()(1)ln ,[1,)1k x g x x x x -=-∈+∞+,求出()g x 的导数，讨论()g x 得出的单调性，求出()g x 的最小值，从而得出答案.（2）当2k =时，()0f x ≥，当且仅当1x =时，等号成立，这个不等式等价于1ln ,[1,)12x xx x -≤∈+∞+,由此能够证明不等式. 【详解】解（1）由()0f x ≥知(1)ln 01k x x x --≥+， 设()(1)ln ,[1,)1k x g x x x x -=-∈+∞+， 则()212(1)k g x x x '=-+ 令()2120(1)k g x x x '=-≥+，得122,[1,)k x x x≤++∈+∞. 当k 2≤时，有()0g x '≥成立，()g x 在[1,)+∞单调递增，()()10g x g ≥=，满足题意.当2k >时，有(1)102kg '=-<，212(2)02(21)k g k k k '=->+， 所以0(1,2)x k ∃∈，()00g x '=， 于是有()01,x x ∈时，()00g x '<. 所以()g x 在[]01,x 单调递减，结合()10g =，知[]01,x x ∈时，()0g x ≤舍去. 综上，k 的最大值为2.（2）由（1）知1ln ,[1,)12x xx x -≤∈+∞+，当且仅当1x =时等号成立， 于是有：111ln112121n n n n n n n++-=<+++， 221ln111223211n n n n n n n ++-++=<++++，221ln121212412121n nn n n n n ---=<-+-，累加可得：111121232541n n n n +++⋯++++- 11232ln 21221n n n n n n n n +++⎛⎫<⋅⋅⋅⎪++-⎝⎭ln 22=.证毕！ 【点睛】本题考查函数的单调区间的求法，考查实数的取值范围的求法，考查不等式恒成立的证明．注意导数的性质和分类讨论思想的灵活运用，属于难题. 22.（选修4-4：坐标系与参数方程）在平面直角坐标系xOy 中，以原点为极点，x 轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为cos 2sin 10ρθρθ-+=，曲线C 的参数方程为2cos x ay a=⎧⎪⎨=⎪⎩（a 为参数）.（1）求曲线C 上的点到直线l 的距离的最大值；（2）直线l 与曲线C 交于A 、B 两点，已知点(1,1)M ，求||||MA MB ⋅的值. 【答案】（12）2516【解析】 【分析】（1）化直线的极坐标方程为普通方程，由点线距离公式求得距离最大值，（2）化直线l 的参数方程151x t y ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数），与曲线C 的普通方程联立得t 的一元二次方程，由t 的几何意义和韦达定理求MA MB ⋅的值即可【详解】（1）设曲线C上任意一点()N 2cos θθ直线l :x 2y 10-+=d ==≤ ∴点N 到直线l（2）直线l的参数方程1515x y t ⎧=+⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩（t 为参数） 曲线22x y C :143+=联系方程组，消元216t 505-= 两根为1t ，2t 由t 的几何意义，1MA t =，2MB t =-MA MB ∴⋅= 1225t t 16-= 【点睛】本题考查直线参数方程，椭圆参数方程，极坐标方程，直线与椭圆的位置关系，弦长公式，熟记t 的几何意义，准确计算是关键，是中档题23.已知函数()1 21f x x x =++-.（1）求不等式()3f x ≤的解集；（2）若函数() y f x =的图象的最低点为(),m n ，正数a ，b 满足 2ma nb +=，求21a b+的最小值.【答案】（1）40,3⎡⎤⎢⎥⎣⎦（2）4 【解析】【分析】（1）运用零点分段法解此不等式即可；（2）将函数()f x 转化为分段函数，可得图象的最低点为()1,2，所以22a b +=，利用基本不等式可求21a b+的最小值. 【详解】解：（1）当1x ≤-时，()313f x x =-+≤， 得23x ≥-，所以x ∈∅， 当11x -<<时，()33f x x =-+≤，得0x ≥，所以01x ≤<，当1x ≥时，()313f x x =-≤，得43x ≤， 所以413x ≤≤， 综上所述，不等式的解集为40,3⎡⎤⎢⎥⎣⎦. （2）由()31,13,1131,1x x f x x x x x -+≤-⎧⎪=-+-<<⎨⎪-≥⎩，知函数图象的最低点为()1,2，即1m =，2n =，所以22a b +=.因为0a >，0b >，21121(2)2a b a b a b ⎛⎫+=++ ⎪⎝⎭1414(4422b a a b ⎛⎫=++≥+= ⎪⎝⎭， 当且仅当21a b ==时等号成立， 所以21a b+的最小值为4.【点睛】本题主要考查了绝对值不等式的求解，基本不等式的应用.运用零点分段法求解绝对值不等式是常用方法，考查了学生的分类讨论的思想.。
2022年山西省临汾市高考数学二模试卷(理科)+答案解析(附后)
2022年山西省临汾市高考数学二模试卷（理科）1.设，则( )A. B. C. D.2.已知集合，，则( )A. SB. TC. RD.3.已知向量，，若，则( )A. B. 0 C. 1 D. 24.已知双曲线经过点，，则其标准方程为( )A. B.C. D. 或5.如图，网格中小正方形边长为1，图中粗线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的体积为( )A.B.C.D.6.若，则( )A. B. C. D.7.的展开式中x的系数等于其二项式系数的最大值，则a的值为( )A. 2B. 3C. 4D.8.执行下面的程序框图，则输出的( )A. 9B. 10C. 11D. 129.已知抛物线C：的焦点为F，点A在C上．O为坐标原点，若，则的面积为( )A. 1B. 2C.D.10.第24届冬奥会开幕式于2022年2月4日在北京举行．本届冬奥会开幕式上的“大雪花”融合了中国诗词、中国结和剪纸技艺等中国传统文化元素，很好地将奥林匹克精神和中国人民的友谊传递到世界各个角落，获得了世界人民的普遍赞誉．为弘扬中国优秀传统文化，某艺术中心将举办一次以“雪花”为主题的剪纸比赛．要求参赛选手完成规定作品和创意设计作品各2幅，若选手共有不少于3幅作品入选，则该选手将获得“冰雪之韵”纪念品．某选手完成了规定作品和创意设计作品各6幅，指导教师评定其中规定作品4幅和创意设计作品3幅符合人选标准，现从这12幅作品中随机抽取规定作品和创意设计作品各2幅，则指导教师预测该选手获得“冰雪之韵”纪念品的概率是( )A. B. C. D.11.已知函数，若恒成立．则a的取值范围为( )A. B. C. D.12.筒车亦称“水转筒车”，是我国古代发明的一种水利灌溉工具，筒车发明于隋而盛于唐，距今已有1000多年的历史，明朝科学家徐光启在《农政全书》中用图画描绘了筒车的工作原理如图假设在水流量稳定的情况下，一个半径为4m的筒车按逆时针方向做一圈的匀速圆周运动，已知筒车的轴心O到水面的距离为，且该筒车均匀分布有8个盛水筒视为质点，以筒车上的某个盛水筒P刚浮出水面开始计时，设转动时间为单位：，则下列说法正确的是( )①时，盛水筒P到水面的距离为；②与时，盛水简P到水面的距离相等；③经过，盛水筒P共7次经过筒车最高点；④记与盛水简P相邻的盛水简为Q，则P，Q到水面的距离差的最大值为A. ①②B. ②③C. ①③④D. ①②④13.若x，y满足，则的最大值为______.14.已知函数有2个不同的零点，则k的取值范围是______.15.如图，在圆锥AO中，，直线a，b在圆O所在的平面内，且若直线AB与a所成角为，则直线AB与b所成角为______.16.已知数列满足，且前16项和为524，则______.17.内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知求A；若，求18.生产实践中工人生产零件长度的总体密度曲线是正态分布曲线．甲、乙2名工人生产零件长度的总体密度曲线分别是，，其中，，判断甲、乙2名工人生产水平的高低，并说明理由；现从甲乙2名工人生产的零件中分别抽取3件，2件．变量X表示这5件零件中长度小于标准长度平均值的估计值的件数，写出X的分布列，并求EX，19.如图，在梯形ABCD中，且，线段AD上有一点E，满足，，现将，分别沿BE，CE折起，使，，得到如图所示的几何体．求证：；求直线BD与平面ADE所成角的正弦值．20.已知椭圆的左、右焦点分别为，，点P为C上任意一点．当P位于短轴端点时，为等边三角形且面积为求C的标准方程；当P在x轴上方且轴时，过P做倾斜角互补的两条直线分别交C于不同的两点M，N，求直线MN 的斜率．21.已知函数，其中，当时，若有大于零的极值点，求b的取值范围；若存在不同的，，使曲线在，处的切线重合，求a的取值范围．22.在直角坐标系xOy中，曲线的参数方程为为参数，以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为直线l的极坐标方程为与，分别交于A，B两点异于点求的极坐标方程；已知点，求的面积．23.已知函数当时，解不等式；若对任意m，，恒成立，求a的取值范围．答案和解析1.【答案】C【解析】【分析】本题主要考查复数的基本运算，利用待定系数法建立方程是解决本题的关键，是基础题．利用待定系数法设出，a，b是实数，根据条件建立方程进行求解即可．【解答】解：设，a，b是实数，则，则由，得，得，得，得，，即，故选：2.【答案】A【解析】【分析】本题主要考查了集合的运算，属于基础题．分析集合包含元素的特点，结合集合的并集运算即可求解．【解答】解：因为，，则故选：3.【答案】B【解析】解：根据题意，向量，，则，若，则有，解可得，故选：根据题意，求出的坐标，由向量平行的坐标表示方法可得关于k的方程，解可得答案．本题考查向量平行的坐标表示，涉及向量的坐标计算，属于基础题．4.【答案】A【解析】解：根据题意，设双曲线的方程为，由于双曲线经过点，，则有，解可得：，故双曲线的标准方程为，故选：根据题意，设双曲线的方程为，将两个点代入方程，求出m、n的值，即可得答案．本题考查双曲线的标准方程，注意待定系数法的应用，属于基础题．5.【答案】C【解析】解：由题意可知几何体的直观图如图：是正方体去掉一个三棱锥后的几何体，正方体的棱长为2，几何体的体积为：故选：画出几何体的直观图，利用三视图的数据求解几何体的体积即可．本题考查三视图求解几何体的体积，判断几何体的性质是解题的关键，是基础题．6.【答案】B【解析】解：，，，，，故选：利用对数和指数的运算法则求解即可．本题考查对数和指数的运算法则，属于基础题．7.【答案】A【解析】解：展开式的通项公式为，令，解得，所以展开式中x的系数为，又，所以二项式系数最大值为，所以，解得，故选：根据n的值求出二项式系数最大值，再求出展开式的通项公式，令x的指数为1，进而可以求解．本题考查了二项式定理的应用，考查了学生的运算求解能力，属于基础题．8.【答案】A【解析】解：由程序框图可得，，，故输出故选：由已知中的程序框图可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量S的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案．本题考查了程序框图的应用问题，解题时应模拟程序框图的运行过程，以便得出正确的结论，是基础题．9.【答案】C【解析】解：由题意，抛物线的焦点坐标为，准线方程为为坐标原点，直线AF的方程为：代入抛物线方程可得：，为坐标原点，，则的面积为故选：先确定抛物线的焦点坐标，准线方程，求出直线AF的方程，进而可求点A的坐标即可．本题以抛物线的性质为载体，考查了运算能力，属于中档题．10.【答案】D【解析】解：从12幅作品中抽取规定作品和创意作品各2幅，共有种选法，若选手获得“冰雪之韵”纪念品，共有种选法，指导教师预测该选手获得“冰雪之韵”纪念品的概率是故选：利用组合数可分别求出总体基本事件个数和选手获得“冰雪之韵”纪念品的基本事件个数，利用古典概型概率公式直接求解即可．本题考查概率的求法，考查古典概型、排列组合等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．11.【答案】B【解析】解：函数，恒成立，当时，，当时，，解得，当时，在上单调递减，成立，则，当时，，令，得，当时，，当时，，则在上单调递减，在上单调递增，，解得，综上，，的取值范围为故选：当时，由二次函数的最小值大于等于0，确定a的范围；当时，分离参数构造函数，求函数的最小值，由此能求出结果．本题考查实数的取值范围的求法，考查二函数的性质、函数的单调性、构造法、导数性质等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．12.【答案】A【解析】解：依题意作图如下：以水车的轴心为原点建立直角坐标系如上图，由题可知水车旋转一周的时间为，当P刚露出水面时，与y轴的夹角是，相邻盛水桶之间的夹角是，①当P旋转时，旋转了，旋转到D点，此时D点到水面的距离为，所以①正确；②当时，旋转了周，即，此时的位置是E点，与y轴正半轴的夹角是，当时，P旋转了，即C点，与y轴正半轴的夹角也是，C点与E点到水面的距离相等，所以②正确；③经过，则水车转过了个周期，所以盛水桶P共8次经过最高点，故③错误；④设Q在P的上方，OP与y轴负方向的夹角为，，则OQ与y轴负方向的夹角为，相邻两筒到水面的距离差为：，其中，，当时取最大值为，故④错误；故选：建立直角坐标系，依题意作图，分析其中的几何关系即可．本题考查了建模思想、三角函数的图象及性质，属于中档题．13.【答案】16【解析】解：作出不等式组对应的平面区域如图：由得，平移直线，由图象知当直线经过A点时，直线的截距最小，此时z最大，由，得，，即，则，故答案为：作出不等式组对应的平面区域，利用直线的几何意义进行转化求解即可．本题主要考查线性规划的应用，利用直线的几何意义，利用数形结合进行转化求解是解决本题的关键，是中档题．14.【答案】【解析】解：函数有2个不同的零点即：有两个根；即函数与有两个交点，如图：，，由图可知，，故答案为：将函数有2个不同的零点转化为对应的方程有两个根，再将其转化为两个函数有两个交点，即可解出．本题考查了函数零点问题，数学转化思想，学生的数学运算能力，属于基础题．15.【答案】【解析】解：由题意可知面BCD，不妨设，，由最小角定理可得，又，，则，即，又，则，由最小角定理可得，即，即，即直线AB与b所成角为，故答案为：先作出直线所成角，再利用最小角定理求解即可．本题考查了异面直线所成角，重点考查了最小角定理，属基础题．16.【答案】5【解析】解：数列满足，时，，…时，，，，，同理可得，，，，前16项和为524，……，解得，故答案为：数列满足，对n分类讨论，分组求和即可得出．本题考查了数列递推关系、等差数列的求和公式、转化方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．17.【答案】解：因为，由正弦定理，得因为A，B，C为的内角，所以，化简整理得，即，由题意知，，所以，即由知因为，所以，则①，又，所以，即②，联立①②得，所以【解析】由正弦定理，可得，化简后得到，进而求出A；由正弦定理，得，进而得到，然后求出即可．本题考查正弦定理，以及三角函数值的求法，属中档题．18.【答案】解：因为甲、乙2名工人生产零件长度的平均值相等且，所以乙工人的生产水平较稳定，从而认为乙工人生产水平高．由题可知，X所有的值为0，1，2，3，4，5，所以，，1，2，3，4，5，故X的分布列为：X012345P所以，【解析】根据已知条件，结合方差的意义，即可求解．由题可知，X所有的值为0，1，2，3，4，5，分别求出对应的概率，再结合期望和方差的公式，即可求解．本题主要考查了离散型随机变量及其分布列，需要学生熟练掌握期望公式，属于中档题．19.【答案】证明：图中，，，则，而，即，在中，，有，同理可得，则，图中，，则，而，BD，平面BDE，则有平面BDE，在中，，则，又，，BD，平面BDE，因此平面BDE，所以解：因为，，则，，又，CE，平面CDE，于是得平面CDE，在平面CDE内作，则EB，EC，Ez两两垂直，如图，分别以EB，EC，Ez为x，y，z轴非负半轴建立空间直角坐标系，则，设，则，由，得，则，设平面ADE的法向量，则，取，得，设直线BD与平面ADE所成角为，，所以直线BD与平面ADE所成角的正弦值为【解析】在图中结合余弦定理证明，进而证明平面BDE，再证平面BDE即可推理作答．证明平面CDE，再以E为原点建立空间直角坐标系，借助空间向量计算作答．本题主要考查空间中的平行关系，线面角的计算，空间向量及其应用等知识，属于中等题．20.【答案】解：由题可知，且，又，可得，，所以C的标准方程为由题知，直线MN的斜率存在，可设其方程为，与椭圆方程联立可得：，整理得，由得设，，由韦达定理得，由得，整理得，将韦达定理代入并整理得：，即，若，则，直线MN的方程为，即，此时直线MN过点P，不合题意舍去；故，即，所以直线MN的斜率为【解析】当P位于短轴端点时，为等边三角形且面积为，可得及，及a，b，c的关系求出a，b的值，进而求出椭圆的方程；由题意可得P的坐标，直线MN的斜率存在设直线MN的方程，与椭圆的方程联立，求出两根之和及两根之积，由直线PM，PN的斜率之和为0，可得k，m的关系，再由P不在直线MN上，可得直线mn 的斜率．本题考查求椭圆的方程及直线与椭圆的综合应用，属于中档题．21.【答案】解：当时，的导函数为，易知在R上单调递增，所以，要使的零点大于零，则的取值范围是函数的导函数为，由切线重合知，存在不同的，同时满足①，②，①②设，，当时，，所以在上单调递增，不满足题意；当时，因为在上单调递增，结合，所以存在，使得所以在上单调递减．因为，所以，又因为，所以存在，使得即有大于零的零点，注意到为奇函数，此时取，有因为为偶函数，所以综上a 的取值范围是【解析】当时，的导函数为，根据在R 上单调递增，根据的零点大于零，即可得出b 的取值范围．函数的导函数为，由切线重合知，存在不同的，同时满足，，设，利用导数研究其单调性，结合为偶函数，即可得出a 的取值范围．本题考查了利用导数研究函数的单调性极值与最值、方程思想、转化方法、分类讨论方法、构造法，考查了推理能力与计算能力，属于难题．22.【答案】解：曲线的普通方程为，因为，，所以的极坐标方程为因为直线l 与，分别交于A ，B 两点，所以将代入得，将代入得，则且点M到直线l的距离，所以的面积【解析】直接利用转换关系，在参数方程、极坐标方程和直角坐标方程之间进行转换；利用点到直线的距离公式和三角形的面积公式的应用求出结果．本题考查的知识要点：参数方程、极坐标方程和直角坐标方程之间进行转换，点到直线的距离公式，三角形的面积公式，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于基础题．23.【答案】解：当时，；所以时，不等式可化为，解得；时，不等式可化为，解得；时，不等式可化为，解得；综上所述，不等式的解集为因为，所以原不等式即，即，问题等价于只需即可．因为，，所以，即或，解得或，所以a的取值范围是【解析】时，利用分类讨论法去掉绝对值，求出不等式的解集．不等式等价于，由此列出关于a的不等式求出解集即可．本题考查了含有绝对值的不等式解法与应用问题，也考查了不等式恒成立应用问题，是中档题．。
2020年山西省临汾市高考数学考前试卷2(三) (含答案解析)
2020年山西省临汾市高考数学考前试卷2（三）一、选择题（本大题共12小题，共36.0分）1. 若复数z =4−i ，则z−z=( )A. −1517+817iB. 1+817iC. 1517+817iD. 1517−817i2. 记全集U ={x ∈N|x ≤6}，集合A ={1,2，3}，B ={2,4}，则图中阴影部分所表示的集合是( )A. {5,6}B. {0,5，6}C. {1,2，3，4}D. {0,1，3，4，5，6} 3. 下列函数中，既是奇函数又在区间(0,1)上单调递增的是( )A. y =−x 3B. y =sin(−x)C. y =log 2|x|D. y =2x −2−x4. 某工厂生产产品，用传送带将产品送到下一道工序，质检人员每隔十分钟在传送带的某一个位置取一件检验，则这种抽样方法是( )A. 简单随机抽样B. 系统抽样C. 分层抽样D. 非上述答案5. 已知椭圆x 216+y 29=1的左、右焦点分别为F 1、F 2，P 为椭圆上一点，则|PF 1|+|PF 2|=( )A. 16B. 8C. 6D. 46. 已知圆O:x 2+y 2=1，一只蚂蚁从点A(12,−√32)出发，沿圆周爬行(逆时针或顺时针)，当它爬行到点B(−1,0)时，蚂蚁爬行的最短路程为( )A. 2π3B. 5π6C. 4π3D. 7π67. 执行如图的程序框图，则输出的n 的值为( )A. 5B. 6C. 7D. 8 8. 已知向量a ⃗ =(1,2)，b ⃗ =(1,0)，c ⃗ =(3,4).若λ为实数，(b ⃗ +λa ⃗ )⊥c ⃗ ，则λ=( )A. −311B. −113C. 12D. 359. 如图，网格纸上小正方形的边长为1，某多面体的三视图如图中粗实线所示，则该多面体的各个面中面积最大的面的面积为( )A. 4√2B. 4C. 6√2D. 610. 曲线f(x)=2ln(5−2x)在点(2,f(2))处的切线方程为( )A. 2x −y −4=0B. 4x −y −8=0C. 2x +y −4=0D. 4x +y −8=011. 已知直线x −√3y =0与中心在原点的双曲线C 交于A ，B 两点，F 是C 的右焦点，若FA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅FB ⃗⃗⃗⃗⃗ =0，则C 的离心率为( )A. √2B. √3+1C. 2D. √3−112. 已知f(x)=sin2x −cos2x ，命题p ：∃x 0∈(0,π2)，f(x 0)<0，则( )A. p 是假命题，¬p ：∀x ∈(0,π2)，f(x)≥0 B. p 是假命题，¬p ：∃x 0∈(0,π2)，f(x 0)≥0 C. p 是真命题，¬p ：∀x ∈(0,π2)，f(x)≥0 D. p 是真命题，¬p ：∃x 0∈(0,π2)，f(x 0)≥0二、填空题（本大题共4小题，共12.0分）13. 若“x >a ”是“x 2−5x +6≥0”成立的充分不必要条件，则实数a 的取值范围是______． 14. 无穷数列{a n }中，a 1，a 2，⋯，a m 是首项为10，公差为−2的等差数列；a m+1,a m+2,⋯,a 2m 是首项为12，公比为12的等比数列(其中m ≥3,m ∈N ⋅)并且对于任意的n ∈N ∗， 都有a n+2m =a n 成立.若a 51=164，则m 的取值集合为__________．15. 平行四边形ABCD 中，E 为CD 的中点．若在平行四边形ABCD 内部随机取一点M ，则点M 取自ΔABE 内部的概率为__________．16. 设正三棱锥A −BCD 的所有顶点都在同一球的球面上，E ，F 分别是AB ，BC 的中点，EF ⊥DE ，且EF =12，则球的体积为_________． 三、解答题（本大题共7小题，共84.0分）17. 在梯形ABCD 中，AB//CD ，CD =2，∠ADC =120∘，cos∠CAD =5√714． (Ⅰ)求AC 的长；(Ⅱ)若AB =4，求梯形ABCD 的面积．18. 在四棱柱P −ABCD 中，底面ABCD 为矩形，面PCD ⊥平面ABCD ，PC =PD =BC =√2，AB =2，E 是CD 的中点． (Ⅰ)求证：AC ⊥PB ；(Ⅱ)求BD 与平面PAB 所成角的正弦值．19.已知随机变量ξ+η=8，若ξ～B(10,0.6)，求Eη,Dη的值．20.已知抛物线C：y2=2px(p>0)过点A(1,−2)．(1)求抛物线C的方程；(2)是否存在平行于OA(O为坐标原点)的直线l，使得直线l与抛物线C有公共点，且直线OA与l的距离等于√55？若存在，求出直线l的方程；若不存在，请说明理由．21.已知函数f(x)=(x−1)e x+ax2．(1)讨论f(x)的单调性;(2)若函数f(x)有两个零点，求a的取值范围．22.已知直线l的极坐标为θ=π6，曲线C的参数方程为{x=2+√2cosθy=√2sinθ(θ为参数)，直线l与曲线C交于A,B两点，求线段AB的长度．23.已知不等式|2x−1|<2的解集与关于x的不等式−x2−px+q>0的解集相同。
2020年高考全国卷二理科数学试题(word版+详细解析版)
2020年高考全国卷二理科数学一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合U ={−2，−1，0，1，2，3}，A ={−1，0，1}，B ={1，2}，则()U A B =A ．{−2，3}B ．{−2，2，3}C ．{−2，−1，0，3}D ．{−2，−1，0，2，3} 答案：A解析：{1,0,1,2}A B =-，所以(){23}，U A B =-，故选A2．若α为第四象限角，则A ．cos 2α>0B ．cos 2α<0C ．sin 2α>0D ．sin 2α<0答案：D解析：α为第四象限角，所以32222πk παk ππ+<<+（k ∈Z ），所以43244k ππαk ππ+<<+，所以sin 20α<，故选D3．在新冠肺炎疫情防控期间，某超市开通网上销售业务，每天能完成1200份订单的配货，由于订单量大幅增加，导致订单积压．为解决困难，许多志愿者踊跃报名参加配货工作．已知该超市某日积压500份订单未配货，预计第二天的新订单超过1600份的概率为0.05，志愿者每人每天能完成50份订单的配货，为使第二天完成积压订单及当日订单的配货的概率不小于0.95，则至少需要志愿者A ．10名B ．18名C ．24名D ．32名答案:B解析：预计需要志愿者完成超过500+1600－1200=900份的概率为0.05，则需要志愿者完成不超过900份的概率为0.95，9005018÷=，故至少需要18名志愿者，故选B4．北京天坛的圜丘坛为古代祭天的场所，分上、中、下三层，上层中心有一块圆形石板(称为天心石)，环绕天心石砌9块扇面形石板构成第一环，向外每环依次增加9块，下一层的第一环比上一层的最后一环多9块，向外每环依次也增加9块，已知每层环数相同，且下层比中层多729块，则三层共有扇面形石板(不含天心石)A ．3699块B ．3474块C ．3402块D ．3339块答案：C解析：设共有3n 环，则从上到下每一环的石板数构成一个首项为9，公差d 为9的等差数列{}n a ，设下层石板数之和为S 下,中层石板数之和为S 中，则2131()2n n S a a n +=+下，121()2n n S a a n +=+中，所以221(121)92S S n n d n d n -=+-==下中，所以29729n =，故9n =，故共有石板数为12726272792713934022a d ⨯+=⨯+⨯⨯=.故选C 5．若过点（2，1）的圆与两坐标轴都相切，则圆心到直线230x y --=的距离为A ．55B ．255C ．355D ．455答案：B解析：设圆的半径为r ，圆心的坐标为(,)a b ，则||a r =，||b r =，222(2)(1)a b r -+-=，所以24250a a b --+=，若b a =-，则2250a a -+=，此一元二次方程无解，故只能b a =，这时有2650a a -+=，解得a=1或a=5，故圆心到直线230x y --=的距离为25555===，故选B. 6．数列{}n a 中，12a =，m n m n a a a +=，若155121022k k k a a a ++++++=-，则k =A ．2B ．3C ．4D ．5答案：C解析：在m n m n a a a +=中，令1m =，可得112n n n a a a a +==，所以数列{}n a 是首项为2，公比为2的等比数列，所以2n n a =，()101011051210121(21)2(21)2k k k k k a a a a ++++++++=-=-=-，所以4k =，故选C.7．右图是一个多面体的三视图，这个多面体某条棱的一个端点在正视图中对应的点为M ，在俯视图中对应的点为N ，则该端点在侧视图中对应的点为A ．EB ．FC ．GD ．H答案：A解析：根据三视图可得到多面体的直观图如下图所示，从图中可见，点A 对应于侧视图中的E ，故选AA8．设O 为坐标原点，直线x a =与双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的两条渐近线分别交于,D E 两点，若ODE △的面积为8，则C 的焦距的最小值为A ．4B ．8C ．16D ．32答案：B。
2020年山西省临汾市高考数学模拟试卷(理科)(二) (含答案解析)
2020年山西省临汾市高考数学模拟试卷(理科)(二)一、单项选择题（本大题共12小题，共60.0分） 1. 在复平面内，复数2i1−i 对应的点的坐标为( )A. (1,1)B. (−1,1)C. (−1,−1)D. (1,−1)2. 若集合A ={x|−1<x ≤3}，B ={x|lg x >0}，则A ∩B 等于( )A. (−1,1)B. (1,3)C. (0,3]D. (1,3]3. 某地区小学，初中，高中三个学段的学生人数分别为4800人，4000人，2400人．现采用分层抽样的方法调查该地区中小学生的“智慧阅读”情况，在抽取的样本中，初中学生人数为70人，则该样本的高中学生人数为( )A. 42人B. 84人C. 126人D. 196人4. 若AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =2b ⃗ ，AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =3c ⃗ ，则BC ⃗⃗⃗⃗⃗ 等于( ) A. 3b ⇀−c ⇀B. 3c ⃗⃗⃗⃗ −2b ⃗C. 2b ⃗ +3c⃗⃗⃗⃗ D. −2b ⇀−3c⇀5. 已知圆O ：x 2+y 2=4上到直线l ：x +y =a 的距离等于1的点恰有3个，则实数a 的值为( )A. 2√2B. √2C. −√2或√2D. −2√2或2√26. 偶函数f(x) 在(0,+∞)上递增，若f(2)=0，则f(x)+f(−x)x<0的解集是( )A. (−2,0)∪(2,+∞)B. (−∞,−2)∪(0,2)C. (−∞,−2)∪(2,+∞)D. (−2,0)∪(0,2)7. 若sinαsinβ=1，则cos(α+β)=( )A. 1B. −1C. 0D. 0或−18. 设某几何体的三视图如图(单位m)：则它的体积是( )A. 4m 3B. 8m 3C. 4√3m 3D. 8√3m 39. 一个等比数列的第3项和第4项分别是12和18，则它的第1项与第2项的和为( )A. 403B. 163C. 8D. 1210. 在(3−x)(x +1)n (n ∈N ∗)的展开式中，已知各项系数之和为64，则x 3的系数是( )A. 10B. 20C. 30D. 4011. 已知双曲线C ：x 2a 2−y 2b2=1(a >0,b >0)的左右焦点分别为F 1，F 2，斜率为2直线过点F 1双曲线C 第二象限相交于点P 若|OP|=|OF 2，则双曲线C 的离心率是( )A. √3B. √5C. 2D. √7212. 若函数f (x )=|(12)x−1|−2a 有两个零点，则实数a 的取值范围是( )A. (0,12)B. (0,1)C. (12,+∞)D. (1,+∞)二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13. 若实数x,y 满足约束条件{x +2y ⩾0x −y ⩽0x −2y +2⩾0，则z =3x −y 的最小值等于_____．14. 在直三棱柱ABC −A 1B 1C 1中，∠BAC =90°，AB =AC =AA 1=2，E ，F 分别为A 1B 1，B 1C 1的中点，则直线BE 与直线CF 所成角的余弦值是______ ． 15. 甲、乙、丙三位同学被问到是否去过A 、B 、C 三个城市时，甲说：我去过的城市比乙多，但没去过城市；乙说：我没去过C 城市； 丙说：我们三人去过同一城市； 由此可判断乙去过的城市为________．16. ．大雁塔作为现存最早、规模最大的唐代四方楼阁式砖塔，是凝聚了中国古代劳动人民智慧结晶的标志性建筑．如图所示，已知∠ABE =α，∠ADE =β，垂直放置的标杆BC 的高度ℎ=4米，大雁塔高度H =64米．某数学兴趣小组准备用数学知识探究大雁塔的高度与α，β的关系．该小组测得α，β的若干数据并分析测得的数据后，发现适当调整标杆到大雁塔的距离d ，使α与β的差较大时，可以提高测量精确度，求α−β最大时，标杆到大雁塔的距离d 为_____米．三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17.已知{a n}是等差数列，{b n}是等比数列，且b2=3，b3=9，a1=b1，a14=b4．(1)求{a n}的通项公式；(2)设c n=(−1)n a n+b n，求数列{c n}的前n项和．18.如图，多面体ABCDEFG中，FA⊥平面ABCD，FA//BG//DE，BG=14AF，DE=34AF，四边形ABCD是正方形，AF=AB．(1)求证：GC//平面ADEF；(2)求二面角C−GE−D的余弦值．19. 某社区为积极配合消防宣传工作，准备成立由4名业主组成的志愿者招募宣传队，现初步选定5男4女共9名业主为候选人，每名候选人被选为志愿者招募宣传队队员的机会是相同的.记X 为女业主当选人数，求X 的分布列．20. 已知点F 1，F 2是椭圆C ：x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)的左、右焦点，点P 是该椭圆上一点，当∠F 1PF 2=π3时，△PF 1F 2面积达到最大，且最大值为√3． (1)求椭圆C 的标准方程；(2)直线l ：y =x +m 与y 轴交于点Q ，与椭圆交于M ，N 两点，若MQ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =2QN⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，求实数m 的值．21. 设f(x)=lnx +√x −1，证明：当x >1时，f(x)<32( x −1)．22. 已知曲线C 的参数方程是{x =√3cosαy =sinα(α为参数)(1)将C 的参数方程化为普通方程；(2)在直角坐标系xOy 中，P(0,2)，以原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为ρcosθ+√3ρsinθ+2√3=0，Q 为C 上的动点，求线段PQ 的中点M 到直线l 的距离的最小值．23. 已知函数f(x)=√x 2−4x +4−|x −1|．(1)解不等式f(x)>12；(2)若正数a ，b ，c ，满足a +2b +4c =f(12)+2，求√1a+2b+4c的最小值．【答案与解析】1.答案：B解析：解：2i1−i =2i(1+i)(1+i)(1−i)=2i−22=−1+i，对应点的坐标为(−1,1)，故选：B根据复数的几何意义，将复数进行化简即可．本题主要考查复数的几何意义，利用复数的运算法则进行化简是解决本题的关键．2.答案：D解析：考查描述法、区间的定义，对数函数的单调性，以及交集的运算．可求出集合B，然后进行交集的运算即可．解：B={x|x>1}；∴A∩B=(1,3]．故选：D．3.答案：A解析：本题考查了分层抽样，考查学生的计算能力，属于基础题．根据分层抽样的比例计算即可求解．解：设该样本中高中学生人数为x人，根据分层抽样比例知，704000=x2400，解得x=42，故选A．4.答案：B解析：根据向量减法的几何意义得出BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =AC ⃗⃗⃗⃗⃗ −AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ．本题考查了平面向量加减运算的几何意义，属于基础题． 解：BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =AC ⃗⃗⃗⃗⃗ −AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =3c ⃗ −2b ⃗ ． 故选：B ．5.答案：C解析：解：因为圆上的点到直线l 的距离等于1的点至少有2个，所以圆心到直线l 的距离d =1， 即d =√2=1，解得a =±√2．故选：C ．由题意可得圆心(0,0)到直线l ：x +y =a 的距离d 满足d =1，根据点到直线的距离公式求出d ，再解绝对值方程求得实数a 的值．本题主要考查直线和圆的位置关系，点到直线的距离公式，绝对值方程的解法，属于基础题．6.答案：B解析：解：∵函数f(x)为偶函数，f(x)+f(−x)x=2f(x)x<0⇒x ⋅f(x)<0 ①；∵f(x)在(0,+∞)上递增，f(2)=0； ∴f(x)在(−∞,0)上递减，f(−2)=0； 所以，①式的解为(−∞,−2)∪(0,2)； 故选：B函数f(x)为偶函数，x ⋅f(x)<0； f(x)在(−∞,0)上递减，f(−2)=0． 本题主要考查函数的奇偶性与函数单调性，以及函数图形，属基础题．7.答案：B解析：解：由sinαsinβ=1，得cosαcosβ=0， ∴cos(α+β)=cosαcosβ−sinαsinβ=−1． 故选：B ．由sinαsinβ=1，得cosαcosβ=0，利用两角和的余弦函数公式可得答案． 本题考查两角和与差的余弦公式，考查学生的运算能力，属基础题．8.答案：A解析：本题考查的知识点是由三视图求体积，解决本题的关键是得到该几何体的形状．由已知的三视图可得：该几何体是一个以俯视图为底面的三棱锥，计算出底面面积，代入锥体体积公式，可得答案．解：由已知的三视图可得：该几何体是一个以俯视图为底面的三棱锥，底面的底边长为3+1=4m，底面的高，即为三视图的宽3m，故底面面积S=12×3×4=6m2，棱锥的高即为三视图的高，故ℎ=2m，故棱锥的体积V=13Sℎ=4m3，故选：A9.答案：A解析：解：∵设这个等比数列为{a n}，则由题意可得a3=12，a4=18，∴它的公比为q=a433=32，则它的第一项为a1=a3q2=1294=163，第二项为a2=a3q=1232=8，则它的第1项与第2项的和为8+163=403，故选：A．由条件利用等比数列的定义和性质，求得第1项与第2项，可得第1项与第2项的和．本题主要考查等比数列的定义和性质，属于基础题．10.答案：B解析：解：在(3−x)(x+1)n(n∈N∗)的展开式中，令x=1，可得展开式各项系数之和为2n+1=64，∴n=5，则(3−x)(x +1)n =(3−x)(x +1)5=(3−x)(x 5+5x 4+10x 3+10x 2+5x +1)， 则x 3的系数是30−10=20， 故选：B ．令x =1，可得展开式各项系数之和为2n+1=64，由此求得n 的值．再把(x +1)n 按照二项式定理展开，可得x 3的系数．本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，二项式系数的性质，属于基础题．11.答案：B解析：解：斜率为2直线过点F 1双曲线C 第二象限相交于点P ，|OP|=|OF 2|=c ，可得三角形PF 1F 2为直角三角形，且PF 1⊥PF 2， 设|F 1P|=m ，|PF 2|=n ，可得n −m =2a ， 又nm =2，解得m =2a ，n =4a ，又m 2+n 2=4c 2，即4a 2+16a 2=4c 2，即c =√5a ， 则e =c a =√5． 故选：B ．由题意可得三角形PF 1F 2为直角三角形，且PF 1⊥PF 2，设|F 1P|=m ，|PF 2|=n ，运用双曲线的定义和斜率的定义、勾股定理和离心率公式，可得所求值．本题考查双曲线定义、方程和性质，考查直角三角形的性质，以及方程思想和运算能力，属于基础题．12.答案：A解析：本题考查函数的零点的判断，涉及函数的图象的变化，注意函数零点的定义，属于基础题． 根据题意，分析可得若函数f(x)=|(12)x −1|−2a 有两个零点，即函数y =|(12)x −1|与直线y =2a 有2个交点，作出函数y =|(12)x −1|的图象，结合图象分析可得答案．解：根据题意，若函数f(x)=|(12)x −1|−2a 有两个零点，即函数y =|(12)x −1|与直线y =2a 有2个交点，)x−1|的图象如图：函数y=|(12若其图象与直线y=2a有2个交点，必有0<2a<1，，即0<a<12)；即a的取值范围为(0,12故选：A．13.答案：−72解析：本题主要考查线性规划的应用，利用z的几何意义，通过数形结合是解决本题的关键，属于基础题．作出不等式组对应的平面区域，通过目标函数的几何意义，利用数形结合即可的得到结论．解：依题意，可行域为如图所示的阴影部分的三角形区域，目标函数化为：y=3x−z，则z的最小值即为动直线在y轴上的截距的最大值．通过平移可知在A点处动直线在y轴上的截距最大．因为A ：{x +2y =0x −2y +2=0解得A(−1,12)， 所以z =3x −y 的最小值z min =3×(−1)−12=−72．故答案为：−72．14.答案：√3010解析：解：∵在直三棱柱ABC −A 1B 1C 1中，∠BAC =90°，AB =AC =AA 1=2，E ，F 分别为A 1B 1，B 1C 1的中点，∴以A 为原点，AB 为x 轴，AC 为y 轴，AA 1为z 轴，建立空间直角坐标系，B(2,0，0)，E(1,0，2)，C(0,2，0)，B 1(2,0，2)，C 1(0,2，2)，F(1,1，2)，BE ⃗⃗⃗⃗⃗ =(−1,0，2)，CF⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,−1,2)， 设异面直线BE 与直线CF 所成角为θ，则cosθ=|BE⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅CF ⃗⃗⃗⃗⃗ ||BE ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |⋅|CF ⃗⃗⃗⃗⃗ |=√5⋅√6=√3010． ∴直线BE 与直线CF 所成角的余弦值是√3010． 故答案为：√3010． 以A 为原点，AB 为x 轴，AC 为y 轴，AA 1为z 轴，建立空间直角坐标系，由此能求出直线BE 与直线CF 所成角的余弦值．本题考查线面角的余弦值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用． 15.答案：A解析：本题主要考查简单的合情推理，可先由乙推出，可能去过A 城市或B 城市，再由甲推出只能是A ，B 中的一个，再由丙即可推出结论．解：由乙说：我没去过C城市，则乙可能去过A城市或B城市，但甲说：我去过的城市比乙多，但没去过B城市，则乙只能是去过A，B中的一个，再由丙说：我们三人去过同一城市，则由此可判断乙去过的城市为A．故答案为A．16.答案：16√15解析：本题主要考查解三角形的知识、两角差的正切及基本不等式求最值的应用．是中档题．先用d分别表示出tanα和tanβ，再根据两角差的正切公式，求得tan(α−β)，整理成基本不等式的形式，再根据基本不等式可求得tan(α−β)有最大值即α−β有最大值，得到答案．解：由题设知d=AB，得tanα=Hd ，tanβ=HAD=ℎDB=H−ℎd，则tan(α−β)= tanα−tanβ1+tanαtanβ=Hd−H−ℎd1+Hd·H−ℎd=ℎd+H(H−ℎ)d⩽ℎ2√H(H−ℎ),当且仅当d=H(H−ℎ)d，即d=√H(H−d)=√64×(64−4)=16√15时，取等号，故当d=16√15时，tan(α−β)最大．，则，∴当d=16√15时，α−β最大．故答案为16√15．17.答案：解：(1)设等比数列{b n}的公比为q，则q=b3b2=93=3，所以b1=b2q=1，b4=b3q=27，所以b n=3n−1(n∈N∗)，设等差数列{a n}的公差为d，因为a1=b1=1，a14=b4=27，所以1+13d=27，即d=2．所以a n=2n−1(n∈N∗).(2)由(1)知a n=2n−1,b n=3n−1，∴c n=(−1)n a n+b n=(−1)n(2n−1)+3n−1．从而数列{c n}的前n项和S n为：当n为偶数时，S n=−1+3−⋅⋅⋅+(2n−1)+1+3+⋅⋅⋅+3n−1=n+1−3n1−3=n+3n−12．当n为奇数时，S n=−1+3−⋅⋅⋅−(2n−1)+1+3+⋅⋅⋅+3n−1=−1+(−2)×n−12+1−3n1−3=−n+3n−12．．解析：本题考查数列的通项公式的求法，数列求和，考查计算能力．(1)设等比数列{b n}的公比为q，则q=b3b2=93=3，求出b n，设等差数列{a n}的公差为d.利用已知条件求出d，然后求解a n即可．(2)求出c n=(−1)n a n+b n=(−1)n(2n−1)+3n−1.讨论两种情况，①n为偶数，②n为奇数，利用分组求和求解即可．18.答案：(1)证明：∵FA//BG，BG⊂平面BGC，FA⊄平面BGC，∴FA//平面BGC，又∵AD//BC，BC⊂平面BGC，AD⊄平面BGC，∴AD//平面BGC，又∵AF∩AD=A，AF、AD⊂平面ADEF，∴平面BGC//平面ADEF，又GC⊂平面BGC，∴GC//平面ADEF．(2)解：∵FA⊥平面ABCD，AB、AD⊂平面ABCD，∴FA⊥AB，FA⊥AD，又∵四边形ABCD 是正方形，∴AB ⊥AD ，故以A 为原点，以AB 、AD 、AF 分别为x 轴、y 轴、z 轴建立如图所示的空间直角坐标系，令AB =AF =4，则BG =1，DE =3，∴G(4,0，1)，C(4,4，0)，E(0,4，3)，CG ⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,−4,1),CE⃗⃗⃗⃗⃗ =(−4,0,3)， 设平面CGE 的法向量为n⃗ =(x,y,z)， 则{n ⃗ ·CG ⃗⃗⃗⃗⃗ =0,n⃗ ·CE ⃗⃗⃗⃗⃗ =0,即{−4y +z =0,−4x +3z =0, 令y =1，则n⃗ =(3,1,4)． ∵FA//ED,FA ⊥平面ABCD ，AC ⊂平面ABCD ，∴AC ⊥ED ．∵AC ⊥BD,ED ∩BD =D,ED,BD ⊂平面BDEG ，∴AC ⊥平面BDEG ．则平面DEG 的一个法向量为AC⃗⃗⃗⃗⃗ =(4,4,0)． 设二面角C −GE −D 的大小为θ，由图得θ为锐角，∴cosθ=|n ⃗⃗ ⋅AC⃗⃗⃗⃗⃗ ||n ⃗⃗ |⋅|AC ⃗⃗⃗⃗⃗ |=13=2√1313． ∴二面角C −GE −D 的余弦值为2√1313．解析：本题考查直线与平面平行的证明，考查二面角的余弦值的求法，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用，属于一般题．(1)由已知条件得平面BGC//平面ADEF ，由此能证明GC//平面ADEF ．(2)以A 为原点，以AB 、AD 、AF 分别为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角C −GE −D 余弦值．19.答案：解：X 的所有可能取值为0，1，2，3，4．P(X =0)=C 54C 94=5126， P(X =1)=C 53C 41C 94=2063，P(X =2)=C 52C 42C 94=1021，P(X =3)=C 51C 43C 94=1063，P(X =4)=C 44C 94=1126． 故X 的分布列为解析：本题考查离散型随机变量及其分布列，X 可能的取值为0，1，2，3，4，求出相应的概率，即可写出X 的分布列，20.答案：解：(1)由题可知当点P 在短轴端点时，△PF 1F 2面积最大值为bc =√3①，此时∠F 1PF 2=π3，∠OPF 1=π6，所以b =√3c ，又知a 2=b 2+c 2③，联立①②③解得a =2,c =1,b =√3，所以椭圆 C 的标准方程为x 24+y 23=1．(2)设M(x 1,y 1)，N(x 2,y 2)，Q(0,m)由{x 24+y 23=1y =x +m，联立化简得：7x 2+8mx +4m 2−12=0， △=(8m)2−28(4m 2−12)>0，即m 2<7，∴x 1+x 2=−8m7，x 1⋅x 2=4m 2−127，∵MQ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =2QN⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，∴(−x 1,m −y 1)=2(x 2,y 2−m)，∴x 1=−2x 2， 与x 1+x 2=−8m 7，联立解得：x 1=−167m ，x 2=87m 代入x 1⋅x 2=4m 2−127，解得：m 2=713，∴m =±√9113 验证：当m =±√9113时，△>0成立，符合题意， 故m =±√9113．解析：(1)利用△PF 1F 2面积最大值为bc =√3①，b =√3c②，a 2=b 2+c 2③，求出a ，b ，得到椭圆方程．(2)设M(x 1,y 1)，N(x 2,y 2)，Q(0,m)，联立直线与椭圆方程，利用韦达定理以及向量相等关系，转化求解m 即可．本题考查椭圆方程的求法，直线与椭圆的位置关系的综合应用，考查转化思想以及计算能力． 21.答案：解：令g(x)=32( x −1)−f(x)=32( x −1)−lnx −√x +1 (x >1)则g′(x)=32−1x −12√x =3x−2−√x 2x ，由g′(x)=0，即3x −√x −2=0得：√x =1或√x =−23(舍)，∴g′(x)=(√x+23)(√x−1)2x ，∵x >1∴g′(x)>0恒成立，∴g(x)递增∴g(x)>g(1)=0，∴当x >1时，f(x)<32( x −1)．解析：令g(x)=32( x −1)−f(x)=32( x −1)−lnx −√x +1(x >1)，则g′(x)=3x−2−√x 2x ，由此利用导数性质能证明当x >1时，f(x)<32( x −1)．本题考查不等式的证明，是中档题，解题时要认真审题，注意导数性质的合理运用． 22.答案：解：(1)消去参数得，曲线C 的普通方程得x 23+y 2=1. …(5分)(2)将直线l 的方程化为普通方程为x +√3y +2√3=0．设Q(√3cosα,sinα)，则M(√32cosα,1+12sinα)， ∴d =|√32cosα+√3+√32sinα+2√3|2=|√62sin(α+π4)+3√3|2，∴最小值是6√3−√64.…(10分)解析：(1)消去参数，将C 的参数方程化为普通方程；(2)将直线l 的方程化为普通方程为x +√3y +2√3=0.设Q(√3cosα,sinα)，则M(√32cosα,1+12sinα)，利用点到直线的距离公式，即可求线段PQ 的中点M 到直线l 的距离的最小值．本题考查参数方程、普通方程、极坐标方程的转化，考查点到直线的距离公式，考查学生的计算能力，属于中档题． 23.答案：解：(1)f(x)=|x −2|−|x −1|，①当x ≤1时，f(x)=2−x −(1−x)=1，由f(x)>12，解得x ≤1；②当1<x <2时，f(x)=3−2x ，由f(x)>12，即3−2x >12，解得x <54，又1<x <2，所以1<x <54；③当x ≥2时，f(x)=−1不满足f(x)>12，此时不等式无解，综上，不等式f(x)>12的解集为：(−∞,54)；(2)∵a +2b +4c =f(12)+2=3， ∴1+2+4=(1+2+4)×a +2b +4c =13[(1+4+16)+2b a +2a b +4c a +4a c +8c b +8b c] ≥13(21+2√2b a ×2a b +2√4a a ×4a c +2√8c b ×8b c )=493， 当且仅当a =b =c =37时等号成立．所以√1a +2b +4c 的最小值为7√33．解析：本题考查了绝对值不等式的解法和基本不等式的应用，考查了运算能力和转化能力，属于中档题．(1)去绝对值，根据分段函数的解析式即可求出不等式的解集，(2)由题意可得a+2b+4c=3，再根据基本不等式即可求出．。
2020年山西省临汾市曲沃县第二中学高三数学理模拟试卷含解析
2020年山西省临汾市曲沃县第二中学高三数学理模拟试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 某位股民购进某只股票，在接下来的交易时间内，他的这只股票先经历了5次涨停（每次上涨10%），又经历了5次跌停（每次下跌10%），则该股民这只股票的盈亏情况（不考虑其他费用）为（）A．略有盈利B．略有亏损C．没有盈利也没有亏损D．无法判断盈亏情况参考答案：B【考点】函数的值．【分析】由题意设股民购进某只股票价值为1个单位，根据题意列出解析式化简后比较即可．【解答】解：由题意设股民购进某只股票价值为1个单位，则最后为：y=（1+10%）5（1﹣10%）5=0.995＜1．所以该股民这只股票的盈亏情况是略有亏损．故选：B．2. 已知自由落体运动的速率，则落体运动从到所走的路程为（）A． B． C． D．参考答案：C3. 数列{a n}中，a1 =1，对所有n∈N+都有a1 a2…a n =n2,则a3+ a5等于----- （）A． B． C． D．参考答案：【知识点】数列的概念及简单表示法．D1【答案解析】A 解析：当n≥2时，a1?a2?a3??a n=n2．当n≥3时，a1?a2?a3??a n﹣1=（n﹣1）2．两式相除a n=（）2，∴a3=，a5=．∴a3+a5=．故选A【思路点拨】由n≥2，n∈N时a1?a2?a3?…?a n=n2得当n≥3时，a1?a2?a3??a n﹣1=（n﹣1）2．然后两式相除a n=（）2，即可得a3=，a5=从而求得a3+a5=．4. 有下列说法：（1）“”为真是“”为真的充分不必要条件；（2）“”为假是“”为真的充分不必要条件；（3）“”为真是“”为假的必要不充分条件；（4）“”为真是“”为假的必要不充分条件。
其中正确的个数为A. 1B. 2C. 3D. 4参考答案：B5. 直线与相交于点，点、分别在直线与上，若与的夹角为，且，，则A. B. C. D.参考答案：B由题意中，，，由余弦定理可知，故选B.6. 在的展开式中，含项的系数是首项为－2，公差为3的等差数列的（）A．第11项 B．第13项 C．第18项 D．第20项参考答案：D略7. 已知a，b，c∈R，且满足2a＜2b＜2c＜1，则（）A．log（ab）＜log（bc）＜log（ac）B．log（ab）＜log（ac）＜log（bc）C．log（bc）＜log（ac）＜log（ab）D．log（ac）＜log（ab）＜log（bc）参考答案：B【考点】4M：对数值大小的比较．【分析】2a＜2b＜2c＜1，可得a＜b＜c＜0．ab＞ac＞bc＞0，再利用对数函数的单调性即可得出．【解答】解：∵2a＜2b＜2c＜1，∴a＜b＜c＜0．∴ab＞ac＞bc＞0，∴log（ab）＜log（ac）＜log（bc），故选：B．8. 五名学生排成一队，要求其中甲、乙两名学生相邻，且都不站在排头，则不同排法的种数为（）A. 18B. 24C. 30D. 36参考答案：D【分析】分甲或乙站排尾、甲乙都不站排尾两种情况分别求出排法，再求和，即可得出结果.【详解】因为甲、乙两名学生相邻，且都不站在排头，若甲或乙站排尾，则有种排法；若甲乙都不站排尾，则有种排法；故，不同的排法共有种.故选D【点睛】本题主要考查两个计数原理，熟记概念，以及排列组合中的常见类型，即可求解，属于常考题型.9. 已知等差数列的前13的和为39，则a6+a7+a8=（）A．6 B．12 C．18 D．9参考答案：D【考点】85：等差数列的前n项和．【分析】由求和公式和性质可得a7的值，而所求等于3a7，代入计算可得．【解答】解：由题意可得等差数列的前13的和S13===39解之可得a7=3，又a6+a8=2a7故a6+a7+a8=3a7=9故选D10. 在各项都为正数的等比数列中，首项为3，前3项和为21，则等于（）A．15 B．12 C．9 D．6参考答案：B略二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 在平面直角坐标系中,直线被圆截得的弦长为▲ .参考答案：12. 在二项式的展开式中，的系数为________.参考答案：60【分析】直接利用二项式定理计算得到答案【详解】二项式的展开式通项为：，取，则的系数为.故答案为：60.【点睛】本题考查了二项式定理，意在考查学生的计算能力和应用能力.13. 已知，则的值为__________．参考答案：14. 如图所示，是圆的两条切线，是切点，是圆上两点，如果，，则的度数是___________．参考答案：略15. 已知关于的方程的两根分别为、，且，则的取值范围是参考答案：16. （1）（坐标系与参数方程选做题）曲线：（为参数）上的点到曲线：上的点的最短距离为 ． 参考答案：（1） 117. 若集合满足∪∪…∪,则称，，…为集合A 的一种拆分。
山西省临汾市2020届高三下学期线上模拟考试(2)数学(理)试题 Word版含答案
理科数学测试范围：学科内综合．共150分，考试时间120分钟第Ⅰ卷（选择题 共60分）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．） 1．已知i 是虚数单位，20172i3i 1iz =-+，且z的共轭复数为z ，则z z ⋅=（ ） A ．3B ．5C ．5D ．32．已知全集为R ，集合2{|2}A x x x =<,{|lg(+4)1}B x x =<，则()A B =R I ð（ ）A ．[3,2]-B ．[3,6)-C ．[3,0][2,+)-∞UD ．[3,0][2,6)-U3．已知函数1,0()2 , 0x x x f x x ⎧+>⎪=⎨⎪⎩≤，若()2f a <，则实数a 的取值范围是（ ）A ．(,3)-∞B ．(,2)-∞C ．(1,2)D ．(0,3)4．已知夹角为θ的向量,a b 满足()2⋅+=a a b ，且||2||2==a b ，则向量,a b 的关系是( ) A ．互相垂直B ．方向相同C ．方向相反D ．成120︒角5．公差不为零的等差数列{}n a 中，367,,a a a 成等比数列，则46a a = （ ）A ．72-B ．73C ．213-D ．1376．已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为 （ ）A ．9182π+ B ．9362π+ C ．1818π+ D ．1836π+7．已知α满足2sin()4πα+=，则2tan 12tan αα+=（ ）A ．98 B ．98-C ．3D ．3-8．运行如图所示的程序算法，若输入m 的值为20，则输出的结果为（ ）A ．20B ．10C ．0D ．10-9．随着新政策的实施，海淘免税时代于2016年4月8日正式结束，新政策实施后，海外购物的费用可能会增加.为了解新制度对海淘的影响，某记者调查了身边喜欢海淘的10位朋友，其态度共有两类：第一类是会降低海淘数量，共有4人，第二类是不会降低海淘数量,共有6人.若该记者计划从这10人中随机选取5人按顺序进行采访，则“第一类”的人数多于“第二类”，且采访中“第二类”不连续进行的不同采访顺序有 （ ） A ．3840B ．5040C ．6020D ．720010．若不等式组20200x y kx y y +-⎧⎪-+⎨⎪⎩≥≥≥(0)k <所表示的平面区域的面积为4，则21x y z x +=-的取值范围是 （ ）A ．2[2,]5-B ．12[2,]5-C ．12(,0][,)5-∞+∞U D ．12(,2][,)5-∞-+∞U 11．已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左、右焦点分别为12,F F ，点M 在双曲线的右支上，点N 为2F M 的中点，O 为坐标原点，2||||2ON NF b -=, 260ONF ∠=︒,12F MF △的面积为3，则该双曲线的方程为 （ ）A ．22142x y -=B ．22144x y -=C ．22182x y -=D ．22184x y -=12．已知函数3|2|1,0()3+1,0x x f x x x x --⎧=⎨-+<⎩≥，函数ln (1)+,1()2,1x m x g x x x -+>-⎧=⎨+-⎩≤，若方程()()f x g x =恰好有4个实数根，则实数m 的取值范围是 （ ）A ．3(ln2,)2B ．(ln2,4)C ．(ln3,2)D ．(ln31,1)-第Ⅱ卷（非选择题 共90分）二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．将答案填在题中的横线上．）13．在讨论勾股定理的过程中，《九章算术》提供了许多整勾股数，如22222222222222251213,6810,72425,81517,2896100+=+=+=+=+=，等等.其中最大的数称为“弦数”，后人在此基础上进一步研究，得到如下规律：若勾股数组中的某一个数m 是确定的奇数(大于1)，把它平方后拆成相邻的两个整数，那么奇数与这两个整数构成一组勾股数，称之为“由m 生成的一组勾股数”.则“由17生成的这组勾股数”的“弦数”为 .14．已知抛物线22(0)x py p =->的焦点坐标为(0,3)F -，则直线y x =与抛物线围成的封闭图形的面积为 .15．已知()sin cos f x a x b x =+的最大值为ab ，则4422191a b a b +++的最小值 为 .16．设数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知对于任意正整数n ，都有+3n n a S n +=，若存在正整数0n ，使得020(6)(1)4n m n a --≥，则实数m 的取值范围是 .三、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 17．（12分）ABC △的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ， 若3cos 3cos 5sin b C c B a A +=，且A 为锐角． （1）求cos A 的值；（2）当223a b bc+取得最小值时，求cos B 的值．18．(12分)如图，ABCD 是正方形，PD ⊥平面ABCD ，CE ⊥平面ABCD ， CE AB =,PD CE λ=(13)λ<<． （1）求证:PE AD ⊥；（2）若二面角P BE D --的余弦值为13，求λ的值．19．(12分)2016年5月20日以来，广东自西北到东南出现了一次明显降雨.为了对某地的降雨情况进行统计，气象部门对当地20日~28日9天内记录了其中100小时的降雨情况，得到每小时降雨情况的频率分布直方图如下：若根据往年防汛经验，每小时降雨量在[75,90)时，要保持二级警戒，每小时降雨量在[90,100)时，要保持一级警戒.（1）若以每组的中点代表该组数据值，求这100小时内每小时的平均降雨量； （2）若从记录的这100小时中按照警戒级别采用分层抽样的方法抽取10小时进行深度分析.再从这10小时中随机抽取3小时，求抽取的这3小时中属于一级警戒时间的分布列与数学期望.20．（12分）已知椭圆2222:1x y C a b+=(0)a b >>的左、右焦点分别为12,F F 2且P 在椭圆C 上运动，当点P 恰好在直线l :2y x =上时， 12PF F △22. （1）求椭圆C 的方程； （2）作与l 平行的直线1l ，与椭圆交于,A B 两点，且线段AB 的中点为M ，若12,MF MF 的斜率分别为12,k k ，求12k k +的取值范围.21．（12分）已知函数()ln(21)(21)1f x x m x =---+.（1）若()y f x =在2x =处的切线与直线320170x y -+=垂直，求()y f x =的极值； （2）若函数()y f x =的图象恒在直线1y =的下方. ①求实数m 的取值范围； ②求证:对任意正整数1n >，都有4(1)ln[(2)!]5n n n +<.请考生在第22，23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．作答时请写清题号． 22．（10分）选修4—4坐标系与参数方程已知直线l的参数方程为12x y ⎧=--⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（其中t 为参数），以原点为极点，以x 轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为2sin m ρθ=（m 为常数，且0m ＞），直线l 与曲线C 交于,A B 两点.（1）若2AB =，求实数m 的值； （2）若点P 的直角坐标为(1,2)-，且4PA PB ⋅＞，求实数m 的取值范围. 23．（10分）选修4—5不等式选讲已知函数()||f x x m =-(其中m 为常数).（1）若(0)(2)3f f +≤，求实数m 的取值范围； （2）求证：22223614()()(1)(3)a b f f a b++-+≤对任意实数,,a b m 恒成立.理科数学答案与解析1．【答案】C 【解析】20172i 3i 1i z =-+2i(1i)3i i 13i 12i (1i)(1i)-=-=+-=-+-，则12i z =+，故5z z ⋅=. 2．【答案】D 【解析】由条件可得(0,2)A =，则(,0][2,)A =-∞+∞R U ð，而[3,6)B =-, 故()A B =R I ð[3,0][2,6)-U .3．【答案】A 【解析】当0a ≤时，212a <≤成立；当0a >时，由12a +<，故03a <<，综上可知，实数a 的取值范围是(,3)-∞. 4．【答案】C 【解析】由()2⋅+=a a b 可得22+⋅=a a b ，即2||||||cos 2θ+⋅⋅=a a b ， 即42cos 2θ+=，所以cos 1θ=-，即θπ=，所以,a b 方向相反.5．【答案】B 【解析】设{}n a 的公差为(0)d d ≠，由367,,a a a 成等比数列可得2637a a a =，即2111(5)(2)(6)a d a d a d +=++，即1213a d =-，故4613+6713103a d d a d d -==-+. 6．【答案】A 【解析】由三视图可知，该几何体是圆柱的一半与长方体的组合体，其中半圆柱的底面半径为3，高为1，故其体积为：219(31166)1822V ππ=⨯⨯+⨯⨯=+. 7．【答案】B 【解析】由2sin()4πα+=可得22(sin cos )αα+=，即1sin cos 3αα+=，平方可得112sin cos 9αα+=，即8sin29α=-，故222sin 1tan 1119cos 2sin 2tan 2sin cos sin 28cos ααααααααα++====-.8．【答案】B 【解析】该框图的运行结果是：20(2019)(1817)(21)010S =+-++-+++-+-=L .9．【答案】B 【解析】“第一类”抽取3人的采访顺序有32324634C C A A 种；“第一类”抽取4人的采访顺序有415465C C A 种，故不同的采访顺序有32324154634465+5040C C A A C C A =. 10．【答案】D 【解析】画出不等式组对应的平面区域如图所示.图中点2(2,0),(,0),(0,2)A B C k-，故阴影部分的面积为12(2)242k⨯--⨯=，解之得13k =-,21x y z x +=-221y x +=+-，设点(,)P x y ,21y m x +=-，则m 的几何意义是点P 与点(1,2)D -连线的斜率.而25DB k =,4DC k =-，由图可知，4m -≤或25m ≥，故z 的取值范围是12(,2][,)5-∞-+∞U .11．【答案】C 【解析】由N 为2MF 的中点，所以1//ON MF ，且11||||2ON MF =，故1260FMF ∠=︒， 2121||||(||||)2ON NF MF MF a -=-=，故2a b =，设双曲线的焦距为2c ，在12MF F △中，由余弦定理可得22212124||||2||||cos60c MF MF MF MF =+-⋅︒21212(||||)||||MF MF MF MF =-+⋅2124||||a MF MF =+⋅,22212||||444MF MF c a b ∴⋅=-=， 12F MF ∴△的面积为2121||||sin 603232MF MF b ⋅⋅︒==， 2222,48b a b ∴===，双曲线的方程为22182x y -=. 12．【答案】D 【解析】当<0x 时，3()3+1f x x x =-+， 则2'()33f x x =-+，由'()0f x =可得1x =-或1x = （舍去）.当<1x -时，'()<0f x ，当10x -<<时， '()>0f x ，故()f x 在(1,0)-上单调递增，在(,1)-∞-上单调递减.因此，在同一坐标系中画出函数()y f x =与曲线()y g x =的图象如图所示.由图可知，若函数()y f x =与()y g x =恰好有4个公共点，则(0)<1(2)>1g g ⎧⎨-⎩，即<1ln3>1m m ⎧⎨-+-⎩，解之得ln31<<1m -. 13．【答案】145【解析】由217289=，而289144145=+，则这组勾股数中的“弦数”为145. 14．【答案】24【解析】由抛物线的焦点坐标可得6p =，故抛物线方程为212x y =-，把y x =代入抛物线方程可得00x y =⎧⎨=⎩或1212x y =-⎧⎨=-⎩，故直线与抛物线围成的封闭图形的面积为232001212()d ()|2412362x x x x x ----=--=⎰. 15．【答案】17【解析】()sin cos f x a x b x =+)x ϕ+(tan )baϕ=ab ，整理可得22111a b+=，则4422191a b a b +++22222222222211119(9)(9)()1111117b a a b a b a b a b a b =+++=+++=++=≥, 当且仅当2234a b ==时，取得等号，故4422141a b a b +++的最小值为17.16．【答案】11[,]44-【解析】由+3n n a S n += ① 可得+1+1+4n n a S n += ②由②－①可得111n n n a a a ++-+=，即111(1)2n n a a +-=-，由114a S +=可得12a =,111a ∴-=，所以,{1}n a -是首项为1，公比为12的等比数列，所以，1112n n a --=，即1112n n a -=+，所以，1166(6)(1)22n n n n n n a ------=-=，设16()2n n f n --=，则1567(1)()222n n n n n nf n f n ----+-=-=，当70n ->，即07n <<时，()f n 递增，当7<0n -，即>7n 时，()f n 递减，故()f n 的最大值为1(7)(8)64f f ==.故21464m ≤，故实数m 的取值范围是11[,]44-.17．【解析】（1）由3cos 3cos 5sin b C c B a A +=及正弦定理可得23sin cos 3sin cos 5sin B C C B A +=，即23sin()5sin B C A +=，由sin()sin 0B C A +=>可得3sin 5A =，而A 是锐角，所以4cos 5A =.（5分）（2）由余弦定理可得2222282cos 5a b c bc A b c bc =+-=+-，则2222228434855b c bc a b b c bc bc bc +-++==-481255bc bc -=≥， 当且仅当2c b =时，2a bc取得最小值125.（9分）此时22222894255b a b b b =+-⨯=，所以a ，∴2222229+4cos 2b b b a c b B ac -+-===（12分）18．【解析】（1）ABCD Q 是正方形，AD CD ∴⊥,PD ⊥Q 平面ABCD ,AD PD ∴⊥， 而,,PD CD D PD CD =⊂I 平面PDCE ,AD ∴⊥平面PDCE ， 又PE ⊂平面PDCE ,PE AD ∴⊥.（6分）（2）如图，以D 为原点，以,,DA DC DP 所在直线为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系.设1AB =，则1CE =,PD λ=.则(0,0,0),(0,0,),(1,1,0),(0,1,1)D P B E λ，(1,0,1)BE =-u u u r ,(1,1,0)DB =u u u r ,(1,1,)BP λ=--u u u r.设平面PBE 和平面DBE 的法向量分别为11112222(,,),(,,)x y z x y z ==n n .由条件可得110BE BP ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩u u u ru u u rn n ，即1111100x z x y z λ-+=⎧⎨--+=⎩，令11x =，故1(1,1,1)λ=-n . 同理可得2(1,1,1)=-n .由条件可得1212212||1|cos ,|||||31(1)13λ⋅<>==⋅+-+⋅n n n n n n ，即28+12=0λλ-，解之得=2λ或=6λ分） 19．【解析】（1）这五组数据对应的频率分别为：0.05,0.35,0.3,0.2,0.1.故这100小时的平均降雨量为： 0.05×77.5+0.35×82.5+0.3×87.5+0.2×92.5+0.1×97.5=87.25(mm).（3分） （2）由频率分步直方图可知，属于一级警戒的频率为：(0.04+0.02)×5=0.3, 则属于二级警戒的频率为1－0.3=0.7.所以，抽取的这10个小时中， 属于一级警戒的有3小时，属于二级警戒的有7小时.（6分）从这10小时中抽取3小时，用ξ表示一级警戒的小时数，ξ的取值可能为0,1,2,3.则373107(0)24C P C ξ===,123731021(1)40C C P C ξ===,21373107(2)40C C P C ξ===,333101(3)120C P C ξ===. 所以，ξ的分布列为：ξ 0 1 2 3P724 2140 740 1120则ξ的期望值为：01230.9244040120E ξ=⨯+⨯+⨯+⨯=（小时）.（12分） 20．【解析】（1）由222212x y a b y x⎧+=⎪⎨⎪=⎩可得222224a b x a b =+,2222244a b y a b =+. 根据对称性，不妨设点P 在第一象限，则点P 的坐标为2222(,)44a b a b ++，设椭圆的焦距为2c ，由条件可得221222234c a b ⨯=+，即22234abc a b =+， 由椭圆的离心率可得2c ，所以，2212c a =,22212a b a -=，所以，2a b ,c b =， ∴3222242b b b⨯+，解之得1b =，故2a 故椭圆C 的方程为2212x y +=.（6分） （2）设直线1l 的方程为2y x m =+(0)m ≠.由22122x y y x m ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩可得2298220x mx m ++-=，由条件可得226436(22)0m m ∆=-->，即33m -<<，所以，30m -<<，或03m <<.设112200(,),(,),(,)A x y B x y M x y ，则21212822,99m m x x x x -+=-=. 则120429x x m x +==-,0029m y x m =+=.则001200,11y yk k x x ==+-，∴00120011y y k k x x +=++-002021x y x =-2429916181m m m -⨯⨯=-2288116m m =-.当0m ≠时，12288116k k m +=-，且12k k +在(3,0)m ∈-和(0,3)m ∈上的取值范围相同，故只需求12k k +在(0,3)m ∈上的取值范围.而12k k +在9(0,)4m ∈和9(,3)4m ∈上随m 的增大而增大.∴12k k +的取值范围是8(,)(0,)7-∞-+∞U .（12分）21．【解析】（1）由()ln(21)(21)1f x x m x =---+可得2'()221f x m x =--， 由条件可得21'(2)233f m =-=-，即12m =.则3()ln (21)2f x x x =--+,2(23)'()1=2121x f x x x --=---1()2x >， 令'()0f x =可得32x =，当32x >时，'()<0f x ，当1322x <<时，'()>0f x .∴()f x 在3(,+)2∞上单调递减，在13(,)22上单调递增，∴()f x 的极大值为333()ln 2ln 2222f =-+=，无极小值.（4分）（2）①由条件可知：只需()1f x <，即ln(21)(21)0x m x ---<在1(,+)2∞上恒成立.即(21)ln(21)m x x ->-，而12x >,∴210x ->,∴ln(21)21x m x ->-恒成立.令ln(21)()21x g x x -=-，则222ln(21)'()(21)x g x x --=-，令'()0g x =可得12e x +=. 当1122e x +<<时'()0g x >，当12e x +>时，'()0g x <，∴()g x 在11(,)22e +上单调递增，在1(,)2e ++∞上单调递减，故()g x 的最大值为11()2e g e+=,∴1m e >，即实数m 的取值范围是1(,)e +∞.（8分） ②由①可知,25m =时，ln(21)2<215x x --，即2(21)ln(21)5x x --<对任意的12x >恒成立.令21(m )m x *=-∈N ，则2ln 5mm <.2ln1ln 2ln3ln(2)12325n n ++++<++++（）L L ，即212ln1ln 2ln3ln(2)5n n n +++++<（）L ,∴2(21)4(1)ln[(2)!]55n n n n n ++<<.（12分） 22．【解析】（1）曲线C 的极坐标方程可化为22sin m ρρθ=，化为直角坐标系下的普通方程为：222x y my +=，即222()x y m m +-=.直线l 的普通方程为：10x y +-=，而点(0,)m 到直线l的距离为d =由条件可得||2AB =，即2230m m +-=，结合0m >可得1m =.（5分）（2）显然点P 在直线l 上,把12x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩代入222x y my +=并整理可得2(3450t m m +--+=，设点,A B 对应的参数分别为1,t t . 则22(3)4(45)0m m ∆=---+>，解之得1m <-1m .则12|||||||45|4PA PB t t m ⋅==-+>，解之得94m >或14m <.而0m >,∴实数m 的取值范围是9(,)4+∞.（10分）23．【解析】（1）由条件可知(0)(2)|||2|3f f m m +=+-≤，①当0m <时，23m m -+-≤，解之得12m -≥，所以，102m -<≤；②当02m ≤≤时，23m m +-≤，恒成立，所以，02m ≤≤；③当2m >时，23m m +-≤，解之得52m ≤，所以，522m <≤.综上可知，实数m 的取值范围是15[,]22-．（5分）（2）Q (1)(3)f f -+|1||3||(1)(3)|4m m m m =++-+--=≥,∴363609(1)(3)4f f <=-+≤，而222214()()a b a b ++22224559b a a b =+++=≥，∴22223614()()(1)(3)a b f f a b++-+≤对任意实数,,a b m 恒成立.（10分）。
【4月临汾市二模理数】山西临汾市2020年高三高考考前适应性训练考试(二)理科数学试卷及答案解析评分标准
A. 3 2 2
B. 2 7 3
C.2 5
D.2 3
12.已知三次函数 f (x) x3 ax2 3a2 x b(a 0)有两个零点,若方程 f [ f (x)] 0 有四个实数根, 3
则实数 a 的范围为( )
A.(0, 6 ) 8
B.(0, 3 2 ) 8
C.( 6 , ) 8
(1)求数列 {an } 与 {bn } 的通项公式;
(2)设 cn
bn
1 sn
, 求数列{cn})的前
n
项和 Tn.
18. (12 分) 如图所示,已知多面体 EF-ABCD 中,四边形 ABCD 为菱形,ACDE 为正四面体,且 BF//DE. (1)求证:CE//平面 ABF; (2)求二面角 C-AB-F 的余弦值.
·2·
A1B 所成角的余弦值为___
15.现有三张卡片每张卡片上分别写着北京、上海、广州三个城市中的两个且卡片不重复, 甲、乙、丙各选一张去对应的两个城市参观. 甲看了乙的卡片后说:"我和乙都去广州". 乙看了丙的卡片后说：“我和丙不都去上海” 则甲、丙同去的城市为_____
16.在△ABC 中,角 A ,B,C 所对的边分别为 a , b , c ,∠ABC= 120°,BD 是 AC 边上的高线,且 BD 3,
20. (12 分)
已知椭圆方程为
x2 a2
y2 b2
1(a
b 0) ,左,右焦点分别为 F1, F2 ，上顶点为 A, A AF1F2 是面积为 4
的直角三角形.
(1)求椭圆的标准方程;
(2)过 F1 作直线与椭圆交于 P,Q 两点,若 OP OQ [6, 4] ，求 A PQF2 面积的取值范围.