数学物理方法作业习题第二篇第4章

习 题1. 解具有固定端的弦0≤x ≤l 的自由振动问题，如果弦的点的初始速度为零，而初始位移)()0,(x x u ϕ=： (1) 正弦曲线，即lxn A x πϕsin )(=，n 为整数； (2) 对称轴在直线l x 21=上的抛物线，而顶点是点),2(h lM ，即2)2()(l x h x --=ϕ，这里241l h =；(3) 折线OAB ，其中l c l B h c A O <<0),0,(),,(),0,0(，讨论2lc =的情况.2. 解具有固定端的弦0≤x ≤l 的自由振动问题，如果弦的初始状态处于静止)0)((=x ϕ，而初始速度)(x ψ为(1) ],0[,const )(l x C x ∈==ψ；(2) ⎩⎨⎧∈∈=],[,0],[,)(0βαβαψx x v x ， 其中0≤βα<≤l ；(3) ⎪⎩⎪⎨⎧+-∈+-∈-=],[,0],[,2)(cos )(00000αααααπψx x x x x x x x A x ， 其中 0≤αα+<-00x x ≤l .3. 解均匀杆的纵振动（自由振动）问题，如果)()0,(x x u ϕ=，)()0,(x x u t ψ=，而端点：(1)杆的一端0=x 是刚性固定，而另一端l x =是自由的； (2) 杆的两端是自由的；(3) 杆的一端0=x 是自由的，而另一端l x =为弹性固定.4. 解杆的自由纵振动，如果杆的一端0=x 是刚性固定的，而力P 施于另一端l x =，在时刻0=t 时力P 停止作用，即解定解问题：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧======0)0,(,)0,(0,0),0(2x u x E x u u t u u a u t l x x xx tt σρ 这里σ为杆的横截面积，E 为杨氏模量.5. 求解可变电流流过长度为l 的导线中的电流强度),(t x i ，如果没有漏电，且可以忽略电阻，假定在导线中（当0=t 时）初始电流等于零，而初始电压为lxE 2sin0π，导线的左端)0(=x 是绝缘的，而右端)(l x =是接地的.提示：问题归结为混合问题：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=========l xlL E i i i i i LCi t tt l x x x xx tt 2cos 2,00,00000ππ6. 解沿边缘固定的矩形薄膜)0,0(b y a x <<<<的自由振动问题，如果byaxA u t ππsinsin=，00==t tu .7. 解混合问题⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧======<<<<+=======y x u y x u u u u u y x u u a u t t t y y x x yy xx tt4sin 3sin 5,2sin sin 30)0,0(),(00002ππππ 8. 求解沿边缘固定的半径为a 的均匀圆薄膜的自由振动问题：(1) 解混合问题⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧==+∞<=+=====0)(,0)1(00002t t k t r a r r rr ttu R r AJ u u uu ru c u μ， 这里k μ是方程0)(0=μJ 的正根.(2) 解混合问题⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==+∞<=+=====)(),(,0)1(002r g ur f u u u u ru c u t t t r a r r rr tt(3) 解混合问题⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=+∞<=+=====0),1(,0)1(022002t t t r a r r rrtt u R r A u u u u r u c u ， A 为常数. 提示：)(d )(100x xJ J x=⎰ξξξ， )()4()(2d )(1302003x J x x x J x J x-+=⎰ξξξ. 以上各小题中的2c 是常数. 9. 解下列混合问题：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧===><<+=====)(),()()0,10(,10010x ux u t g u u t x u x u u t t t x x x xx ttψϕ有界，(1) 若0)(,)2()2(121)(,sin )(002=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-==x J x J x t t g ψϕ；(2) 若0)(,)2()2()(,2cos )(00===x J x J x t t g ψϕ； (3) 若1)(,1)()(,1)(10=-=-=x x J x t t g ψμϕ，其中1μ是方程0)(0=μJ 的正根.10. 设长度为l 的重均匀绳索，在端点l x =处悬挂，使绳索无初速离开平衡位置，假定介质无阻力，在重力作用下，绳索的振动问题就归结为解混合问题：⎪⎩⎪⎨⎧===><<===0)0,(),()0,(,0)0,0(,)(02x u x x u u u t l x xu a u t x l x x x tt ϕ有界这里g a =，g 为重力加速度.11. 已知长度为l ，侧面是绝热的均匀细杆，求杆中的温度分布),(t x u . 若(1) 杆端0=x ，l x =保持为零度。

而初始温度)()0,(x x u ϕ=，其中设 ①A x =)(ϕ（常数），②)()(x l Ax x -=ϕ，A 为常数； (2) 杆端0=x 保持零度，而在l x =端与周围为零度的介质发生热交换，杆的初始温度)()0,(x x u ϕ=；(3) 在杆的两端0=x 与l x =都有与周围为零度的介质热交换，而杆的初始温度为)()0,(x x u ϕ=；提示：其边界条件为：0)(,0)(0=+=-==l x x x x hu u hu u .(4) 杆端（0=x ，l x =）是绝热的，而初始条件为0)0,(u x u =（常数）；(5) 杆端是绝热的，而初始温度分布为⎪⎩⎪⎨⎧<<<<==l20,20,const )0,(0x ll x u x u 讨论当+∞→t 时),(t x u 的状态.(6) 杆端是绝热的，而初始温度分布为⎪⎩⎪⎨⎧<<-<<=l2,)(220,2)0,(00x l x l lu l x x l u x u ， 0u 为常数， 求),(lim t x u t +∞→.12. 设球心在坐标原点半径为a 的均匀球体，求球内的温度),(t r u .若(1) 球的外侧球面保持为零度，即0),(==a r t r u ，而初始温度仅与到球心的距离r 有关，即)(0r u t ϕ==；(2) 在球面上与零度的介质发生按牛顿定律的对流热交换，而初始温度)(0r u t ϕ==；提示：半径为a ，球心在坐标原点的均匀球体，当球的任一点的温度仅与该点离球心的距离r 有关的情况，热分布问题归结为热传导方程)2(2r rr t u ru c u +=.13. 有半径为1的球体，其上半球面的温度常保持为)0(0>u ，其下半球面的温度常保持为C 00，试求球内的稳定温度分布),(θr u .提示：问题归结为边值问题：⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧⎪⎩⎪⎨⎧<<<<==+++πθππθθθθθθθ2,020,),1(0sin cos 202u u u u ru u r r rr14. 已知半径为a 的球面保持温度为0u ，半球底面保持绝热，试求这个半球里的稳定温度分布),(θr u . 提示：问题归结为解混合问题：⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=∂∂≤≤=<<<<<=∆==0)20(,)20,20,(,020πθθπθπϕπθu u u a r u a r15. 解下列混合问题：(1) ⎪⎩⎪⎨⎧====><<+=0)0,()0,(0),(),0()0,0(,22x u x u t l u t u t l x b u a u t xx tt ，这里b 为常数.(2) ⎪⎩⎪⎨⎧====><<+=0)0,()0,(0),(),0()0,0(,cos 2x u x u t u t u t x t u a u t xx tt ππ16. 设长为l 的均匀弦，弦的两端0=x 与l x =固定，初始条件为零，弦所受外力密度（连续分布）为t A t x p ωρsin ),(=，),2,1( =≠n lan πω，求解弦的强迫振动问题.17. 设长度为l 的均匀杆，将杆0=x 端悬挂，求解在重力作用下杆的纵向振动问题（设l x =端是自由的）.归结为解混合问题：⎪⎩⎪⎨⎧====><<+=0)0,(,0)0,(0),(,0),0()0,0(,2x u x u t l u t u t l x g u a u t x xx tt这里g 为重力加速度.18. 设圆心在坐标原点半径为a 的均匀圆膜，如果它的边缘固定，初始条件为零，假定介质无阻力，振动是由附加在薄膜一侧的均匀分布压力t p p ωsin 0=引起的，这里n c aμω1≠，n μ是方程0)(0=μJ 的正根，求解此强迫振动问题.提示：问题归结为解混合问题：⎪⎩⎪⎨⎧===><<++=====0,0,0,)0,0(,sin 1110002t t t a r r r rr ttu u u u t a r t u r u u c 有界ωρ19. 解下列混合问题：(1) ⎪⎩⎪⎨⎧===><<++-=x e x u t l u t u t l x t x u u a u x x xx t πsin )0,(0),(),0()0,0(,2)2(2(2) ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧===><<+-+====x u u u t x x x x u u u t x x x xx t 0200,0)0,20(,cos 2sin 2ππ(3) ⎪⎩⎪⎨⎧+===><<--=--===20,0)0,0(,293cos sin 4920022x u u u t x x x t u u u t x x x x xx t ππ20. 设弦长为l ，一端0=x 为固定，而另一端l x =受t A ωsin 的力扰动作用，这里),2,1( =≠k lak πω，在时刻0=t 时位移和速度设为零，解此弦强迫的横振动问题归结为解下列定解问题：⎪⎩⎪⎨⎧=====0)0,(,0)0,(sin ),(,0),0(2x u x u t A t l u t u u a u t xx tt ω 21. 设长度为l 的杆处于静止状态，它的一端0=x 刚性固定，在时刻0=t 沿杆作用在杆的自由端l x =为常力Q ，求杆的位移),(t x u . 此问题归结为解混合问题：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧====><<=0)0,(,0)0,(),(,0),0()0,0(,2x u x u E Q t l u t u t l x u a u t xxx tt σ其中E 为弹性模量，σ为杆的横截面积.22. 解下列混合问题：(1) ⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧====><<+=+-x x u x x u tt u t t u t x x e x u u u t x tt xx tt 2)0,(,cos )0,(),2(,2),0()0,20(,cos 842πππ(2) ⎪⎩⎪⎨⎧====><<--+=--xx u x e x u tt u t u t x t x u u u u t x x x xx t tt )0,(,sin )0,(),(,0),0()0,0(,2323πππ(3) ⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧===><<+=x x u t u t u t x x x u u x xx t )0,(1),2(,0),0()0,20(,2sin sin 2ππ(4) ⎪⎩⎪⎨⎧===><<+-=-x x u tt u t t u t x t t xt u u x x xx t 2cos )0,(),(,),0()0,0(,cos 2)2(22ππ23. 设半径为a 的无限长圆柱体，圆柱侧面保持常温0u ，圆柱体内的初始温度，求圆柱体内的温度分布),(t r u .24. 设半径为a 的无限长圆柱体，它的侧面发生热辐射到温度为零的周围介质中去，其初始温度为)(r ϕ，求圆柱体内的温度分布),(t r u . 提示：边界条件),(t r u 当0=r 为有界，0)(=+=a r r hu u . 25. 解下列定解问题：(1) ⎪⎩⎪⎨⎧===-=><<=++∞→0),(,0),0(0),(lim ),()0,()0,0(,0y a u y u y x u a x x x u y a x u u y yy xx(2) ⎪⎩⎪⎨⎧====<<<<=+0),(,0)0,(0),(,0),0()0,0(,b x u x u y a u y u b y a xc u u yy xx这里c 为常数.(3) ⎪⎩⎪⎨⎧=<=+=xyu a r y u u a r yy xx )(,2，其中222y x r +=.(4) ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=+∞<≤==><<=++∞→0),(lim ),1()0,()0(,0),(,0),0()0,0(,0y x u a x A x u y y a u y u y a x u u y yy xx(5) ⎪⎩⎪⎨⎧==≤≤==<<<<=+0),(,0)0,()0(,),(,),0()0,0(,0b x u x u b y Ay y a u A y u b y a x u u y yyy xx(6) 在矩形区域⎭⎬⎫⎩⎨⎧≤≤-≤≤22,0),(:b y ba x y x G ，求泊松方程在区域G 的边界上取零值的解. (7) ⎩⎨⎧=-=+=04a r yy xx u u u ，其中222y x r +=.(8) ⎪⎩⎪⎨⎧≤≤==≤≤==<<<<=+)0(,),(,)0,()0(,),(,),0()0,0(,0a x B b x u B x u b y A y a u A y u b y a x u u y yx x yy xx ，其中B A ,为已知常数.。