数学物理方法期末复习提纲
数学物理方法总复习
第一章 复变函数复数的三种表示：代数表示，三角表示与指数表示几个初等函数的定义式：()1sin 2iz iz z e e i-=- ()1cos 2iz iz z e e -=+ ()12z z shz e e -=- ()12z z chz e e -=+ ln ln()ln iArg iArgz z z e z z ==+§1.3导数u v x y v u xy ∂∂⎧=⎪∂∂⎪⎨∂∂⎪=-⎪∂∂⎩ Cauchy-Riemann 方程§1.4 解析函数1．定义若复变函数()f z 在点0z 及其邻域上处处可导，则称()f z 在0z 点解析。
注意：如果只在一点导数存在，而在其他点不存在，那么也不能说函数在该点解析。
例如：函数2)(z z f =在0=z 点是否可导？是否解析？ 解：222)(y x z z f +==，22y x u +=，0=v ，x x u 2=∂∂，y y u 2=∂∂，0=∂∂xv ，0=∂∂y v ， 由此可见，仅在0=z ，u 、v 可微且满足C-R 条件，即)(z f 仅于0=z 点可导，但在0=z 点不解析。
在其他点不可导，则它在0z =点及整个复平面上处处不解析。
某一点，函数解析⇒⇐可导某一区域B，函数解析⇔可导2．解析函数的性质（ⅰ）几何性质（ⅱ）调和性（ⅲ）共轭性例已知323u x xy=-求v看书上例题§2.1 复变函数的积分∴复变函数的路积分可以归结为两个实函数的线积分。
因此复变函数积分也具有实变函数积分的某些性质。
一般说来，积分值不仅依赖于起点、终点。
积分路线不同，其结果也不同.§2.2 柯西定理的应用§2.3 不定积分§2.4 柯西公式均属于考试内容！第三章幂级数展开,)()()(20201000Λ+-+-+=-∑∞=z z a z z a a z z a k k k （1）比值判别法（达朗贝尔判别法,D ’ Alember ）（3.2.3） （2）根值判别法（柯西判别法）（3.2.6） §3.3 泰勒级数的展开2. 其他展开法可用任何方法展开，只要0()kz z -项相同，那么展开结果一定相同（根据Taylor 展开的唯一性）如利用00111!k k k z k t t t z e z k ∞==∞=⎧=<⎪-⎪⎨⎪=<∞⎪⎩∑∑ ∞<+-=∑∞=+z k z z k k k ,)!12()1(sin 012;∞<-=∑∞=z k z z k k k ,)!2()1(cos 02 等等！例6 将211z -在00z =点邻域展开（1z <） 解：利用011k k t t ∞==-∑有：24222011(1)1k k k z z z z z z ∞==+++++=<-∑K K例7 11z -在02iz =点的邻域展开 解：01011111(1)()1222211212()1122()2(1)22(1)2kk kk k i i iiz z z iiz i ii z i i z i∞=∞+===⋅---------=---=-<--∑∑§3.5 洛朗（Laurent ）级数展开（1）展开中心z 0不一定是函数的奇点；3展开方法的唯一性间接展开方法：利用熟知公式的展开法 较常用 例 2 将函数21()(2)(3)f z z z =--在021z <-<内展开为Laurent 级数 解：因为021z <-<内展开，展开形式应为(2)nn n c z ∞=-∞-∑ 01113(2)11(2)(2)(21)nn z z z z z +∞===------=---<∑ 而20111(2)(3)312(2)(2)(21)n n n z z z z n z z ∞=-''⎡⎤⎛⎫=-=- ⎪⎢⎥--⎝⎭⎣⎦=+-++-+-<∑K K得到：22221111()(2)(3)(2)(3)123(2)(2)(2)(2)021n n n f z z z z z z n z z n z z -∞-===•----=++-++-+-=-<-<∑L L例3 函数1()(1)(2)f z z z =--在下列圆环域内都是处处解析的，将()f z 在这些区域内展开成Laurent级数 ①01z <<②12z <<③2z <<∞④011z <-< 解：①11111()211212f z zz z z =-=----- 由于1z <从而12z<，利用 21111n z z z z z =+++++<-K K 可得：22111(1)122222212n n z z z z z =+++++<-K K 22221()(1)(1)22221370248nn n z z z f z z z z z z z ∴=+++++-+++++=+++<K K K K K 结果中不含负幂次项，原因在于1()(1)(2)f z z z =--在1z <内解析的。
数学物理方法期末复习纲要
第十二章 格林函数 第七章到第十一章的分离变数法得到的解表示为多个的无穷求和 本章将偏
微分方程的解表示为积分形式 格林函数法 1 掌握格林函数是 点源影响函数 的概念 由此可将解表为积分 2 掌握 点源 的数学表达以及第一类边条下格林函数应满足的方程 3 了解格林函数的求法 4 了解方程解的积分表达式
要掌握拉普拉斯方程在球坐标系下的各种定解问题 可以参见附录 以及所附表 1 表 2
第十一章 柱函数 11.1) 理解三类柱函数的定义 J N H 贝塞尔 诺依曼 汉克尔函数
熟悉其渐近行为 特别是 x → 0 的行为
2
11.2) 掌握贝塞尔方程的解 特别注意 µ 本征值通常直接通过贝塞尔函数的
零点来表示 贝塞尔函数也是正交 完备 可归一的 可作为广义傅里叶级数的基 11.4) 掌握虚宗量贝塞尔方程的解 熟悉虚宗量贝塞尔函数 虚宗量汉克尔函 数的渐近行为 11.5) 掌握球贝塞尔方程的解 特别注意球贝塞尔函数 球诺依曼函数的渐近 行为
3 ∆u = 0
4 ∆v + k 2v = 0
它们在 球坐标系 r ,θ,ϕ 和 柱坐标系 ρ,ϕ, z 中分离变数时碰到的
方程包括
P.S.: (记住方程的解 方程本身的形式可看书)
1 欧拉 方程
ρ2
d 2R dρ2
+
ρ
dR dρ
−
m2R
=
0
A + B ln ρ
解为
R(
ρ
)
=
Cρm
+
D
1 ρm
)
(整理)数学物理方法
《数学物理方法》课程考试大纲一、课程说明：本课程是物理学专业的一门重要基础课程，它是继高等数学后的一门数学基础课程。
本课程的教学目的是：(1) 掌握复变函数、数学物理方程、特殊函数的基本概念、基本原理、基本解题计算方法；(2) 掌握把物理问题归结成数学问题的方法，以及对数学结果做出物理解释。
为今后学习电动力学、量子力学和统计物理等理论物理课程打下必要的数学基础。
本课程的重点是解析函数、留数定理、傅里叶变换、数学物理方程、分离变数法、傅里叶级数法、本征值问题等。
本课程的难点是把物理问题归结成数学问题，以及各种数学物理方程的求解。
二、参考教材：必读书：《数学物理方法》，梁昆淼编，高等教育出版社，1998年6月第3版。
参考书：《数学物理方法》，汪德新编，科学出版社，2006年8月第3版；《数学物理方法》，赵蕙芬、陆全康编，高等教育出版社，2003年8月第2版。
三、考试要点：第一章复变函数（一）考核知识点1、复数及复数的运算2、复变函数及其导数3、解析函数的定义、柯西-黎曼条件（二）考核要求1、掌握复数三种形式的转换。
2、掌握复变函数的导数和解析等基本概念，并掌握判断导数是否存在和函数是否解析的方法。
u 。
3、了解解析函数与调和函数的关系，并能从已知调和函数u或v，求解析函数iv第二章复变函数的积分（一）考核知识点1、复变函数积分的运算2、柯西定理（二）考核要求1、理解单通区域和复通区域的柯西定理，并能用它们来计算复变函数的积分。
2、掌握应用原函数法计算积分。
3、掌握柯西公式计算积分。
第三章幂级数展开（一）考核知识点1、幂级数的收敛半径2、解析函数的泰勒展开3、解析函数的洛朗展开（二）考核要求1、理解幂级数收敛圆的性质。
2、掌握把解析函数展开成泰勒级数的方法。
3、掌握把环域中的解析函数展开成洛朗级数的方法。
4、理解孤立奇点的分类及其类型判断。
第四章留数定理（一）考核知识点1、留数的计算2、留数定理3、利用留数定理计算实变函数定积分（二）考核要求1、掌握留数定理和留数计算方法。
数学物理方法复习提纲
数学物理方法(2)复习提纲第三章第四节概念：若在空间某一区域上定义了一个物理量，这个空间区域就称为场。
所定义的物理量则称为场函数。
如果场函数是标量，相应的场称为标量场；如果场函数是矢量，相应的场称为矢量场。
如果场函数只与空间变量有关，而与 时间 变量无关时，相应的场称为定常场（或稳定场）。
一个矢量场，如果场矢量始终平行于某一固定平面，且在垂直于该平面的任一直线上场矢量的大小和方向均不改变，这样的场称为平面场。
平面场中的一点实际上是指过该点而与固定平面相垂直的一条直线。
平面场中的一条曲线实际上是指以该曲线为母线的一个相应的柱面。
平面场中的一个区域实际上是指以该区域为横截面的一个相应的柱体。
平面场中的一个重要概念是复位势：),(),()(y x iv y x u z w +=。
其中实部),(y x u 称为力（流）函数；虚部),(y x v 称为势函数。
),()(),(00),(),(00y x u dy E dx E y x u y x y x x y ++-=⎰),()(),(00),(),(00y x v dy E dx E y x u y x y x y x +--=⎰这两个函数的等值线分别称为力线和等势线；力线的方程为1),(C y x u =；等势线的方程为2),(C y x v =。
要求：熟悉以上概念；给了场函数E ，会求复位势)(z w ；给了复位势)(z w ，会求力函数和势函数并会写力线和等势线方程。
典型习题：写出下列复位势所代表的平面静电场的电力线方程和等势线方程： (1) z z z w /1)(+=；(2) 2)(-+=z z z w ；(3) z z z w /1)(2+=；(4) 1/(1)w z =+第六章 保角变换概念：如果一个解析函数及其反函数在某一区域上均为单值函数，则称该函数为这个区域上的单叶函数。
函数单叶性的充要条件是：(1)函数在相应区域上解析；(2)函数的导数不为零。
数学物理方法(梁昆淼)总复习
i 1 li n
复通
l
公式 2 if ( )
l
f ( z) dz z
2 if ( )
l
n f ( z) f ( z) d d z k 1 lk z
求路径积分
第一类情形：沿非闭合曲线的积分
在实轴上没有奇点，在上半平面除有限个奇点外是解析 F ( z) 和 G( z) 的；当 z 在上半平面或实轴上 时， 一致地趋于零
0
1 F ( x) cos mxdx F ( x)e imx dx 2 imz
i{F ( z)e 在上半平面所有奇点留数之和}
0
1 G ( x)sin mxdx G ( x)eimx dx 2i imz {G( z)e 在上半平面所有奇点留数之和}
2
utt a uxx 0
2
(0 x , t 0)
半无界区间内的自由振动问题
u x 0 0
u t 0 ( x)
ut t 0 ( x)
奇延拓
一齐
( x)
( x)
u t 0 ( x)
x0
x0
( x)
ut t 0 ( x)
本性奇点 0 z z0 R内的洛朗级数含有无限个 z z0的负幂项
f ( z)
k k a ( z z ) k 0
z z0
lim f ( z )
不存在
如何判断极点的阶
z z0
lim[( z z0 ) f ( z )] 非零有限值
m
数学物理方法复习资料及参考答案(二)
数学物理方法复习资料及参考答案(二)一、选择题:1. 函数()f x 以0z 为中心的Taylor 展开的系数公式为：（ )A ξξξπd z f i k C c k ⎰-=)()(20 B !)(0)(k z f C k k =C ξξξπd z f i C c k k ⎰+-=10)()(21 D ξξξπd z f i k C c k k ⎰+-=10)()(2 2。
⎰=-l dz a z )(（ ） （其中l 表示以为a 中心ρ为半径的周围)。
A i ⋅πB iC i ⋅-πD 0 3. 非齐次边界条件)(),(0t u t u l x x νμ====，转化为齐次边界条件的方法：（ )A )()(tB x t A + B x t A )(C )(t BD x t B x t A )()(2+ 4。
)(t f 是定义在半无界区间),0(∞上的函数，⎩⎨⎧<<<=)(0)0()(t T T t ht f在边界条件0)0(='f 下，把)(t f 展为实数形式傅立叶积分：（ ） Aw h 12π B w wT h cos 2π C w wT h sin 2π D wwTh cos 12-π 5. 齐次边界条件0,00====l x x xu u 的本征值和本征函数：（ ） A ),3,2,1,0(cos )(,222 ===n l xn C x X l n nn n ππλB ),3,2,1(sin )(,222 ===n l xn C x X l n nn n ππλC ),3,2,1,0()21(cos )(,)21(222 =+=+=n l xn C x X ln n n n ππλD ),3,2,1,0()21(sin )(,)21(222 =+=+=n l xn C x X l n nn n ππλ6. 若集合是（ ）,则该集合是区域。
A 开集B 连通开集C 连通闭集D 连通集 7. 设a 是)(z f 的可去奇点，则有：（ ）Alim ()Z af Z →存在且有限 Blim ()Z af Z →不存在C )(z f 在a 点的主要部分只有有限项D )(z f 在a 点的主要部分有无限多项8。
数学物理方法期末复习笔记
《热力学统计物理》期末复习一、简答题1、写出焓、自由能、吉布斯函数的定义式及微分表达式（只考虑体积变化功）答：焓的定义H=U+PV，焓的全微分dH=TdS+VdP；自由能的定义F=U-TS，自由能的全微分dF=-SdT-PdV；吉布斯函数的定义G=U-TS+PV，吉布斯函数的全微分dG=-SdT+VdP。
2、什么是近独立粒子和全同粒子？描写近独立子系统平衡态分布有哪几种？答：近独立子系统指的是粒子之间的相互作用很弱，相互作用的平均能量远小于单个粒子的平均能量，因而可以忽略粒子之间的相互作用。
全同粒子组成的系统就是由具有完全相同的属性（相同的质量、电荷、自旋等）的同类粒子组成的系统。
描写近独立子系统平衡态分布有费米-狄拉克分布、玻色-爱因斯坦分布、玻耳兹曼分布。
3、简述平衡态统计物理的基本假设。
答：平衡态统计物理的基本假设是等概率原理。
等概率原理认为，对于处于平衡状态的孤立系统，系统各个可能的微观状态出现的概率是相等的。
它是统计物理的基本假设，它的正确性由它的种种推论都与客观实际相符而得到肯定。
4、什么叫特性函数？请写出简单系统的特性函数。
答：马休在1869年证明，如果适当选择独立变量（称为自然变量），只要知道一个热力学函数，就可以通过求偏导数而求得均匀系统的全部热力学函数，从而把均匀系统的平衡性质完全确定。
这个热力学函数称为特性函数。
简单系统的特性函数有内能U=U （S 、V ），焓H=H （S 、P ），自由能F=F （T 、V ），吉布斯函数G=G （T 、P ）。
5、什么是μ空间？并简单介绍粒子运动状态的经典描述。
答：为了形象的描述粒子的运动状态，用rrp p q q ,,,,11；共2r 个变量为直角坐标，构成一个2r 维空间，称为μ空间。
粒子在某一时刻的力学运动状态()rrp p q q ,,,,11；可用μ空间的一个点表示。
6、试说明应用经典能量均分定理求得的理想气体的内能和热容量中哪些结论与实验不符（至少例举三项）。
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第一章 复述和复变函数 1.5连续若函数)(x f 在0z 的领域内（包括0z 本身）已经单值确定，并且)()(0lim 0zf z f z z =→，则称f(z)在0z 点连续。
1.6导数若函数在一点的导数存在，则称函数在该点可导。
f(z)=u(x,y)+iv(x,y)的导数存在的条件 (i)x u ∂∂、y u ∂∂、x v ∂∂、yv ∂∂在点不仅存在而且连续。
(ii)C-R 条件在该点成立。
C-R 条件为⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧∂∂-=∂∂∂∂=∂∂y y x u xy x v y y x v x y x u ),(),(),(),( 1.7解析若函数不仅在一点是可导的，而且在该点的领域内点点是可导的，则称该点是解析的。
解析的必要条件：函数f(z)=u+iv 在点z 的领域内(i)x u ∂∂、y u ∂∂、x v ∂∂、yv ∂∂存在。
(ii)C-R 条件在该点成立。
解析的充分条件：函数f(z)=u+iv 在领域内(i)x u ∂∂、y u ∂∂、x v ∂∂、yv∂∂不仅存在而且连续。
(ii)C-R 条件在该点成立。
1.8解析函数和调和函数的关系 拉普拉斯方程的解都是调和函数：22x u ∂∂+22y u∂∂=0 ①由此可见解析函数的实部和虚部都是调和函数。
但是任意的两个调和函数作为虚实两部形成的函数不一定是解析函数，因为它们不一定满足C —R 条件。
②当知道f(z)=u(x,y)+iv(x,y)中的u(x,y)时，如何求v(x,y)?通过C —R 条件列微分方程 第二章 复变函数的积分 2.2解析函数的积分柯西定理：若函数f(z)在单连区域D 内是解析的，则对于所有在这个区域内而且在两个公共端点A 与B 的那些曲线来讲，积分⎰BAdz z f )(的值均相等。
柯西定理推论：若函数f(z)在单连区域D 内解析，则它沿D 内任一围线的积分都等于零。
⎰=Cdz z f 0)(二连区域的柯西定理：若f(z)在二连区域D 解析，边界连续，则f(z)沿外境界线(逆时针方向)的积分等于f(z)沿内境界线(逆时针方向)的积分。
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2
sin
2
d R( )
将上式两边对 求导，
u 1 cos R( ) 2 2
1 cos 2 2
16
sin 2 d R( ) 2
2 R( )
2 cos
u 1 cos R( ) 2 2
18
4、柯西公式
f ( z) l z dz 2 if ( )
高阶导数的柯西公式
f ( z) 2 i ( n ) l ( z )n1 dz n! f ( )
19
当被积函数在积分区域内有奇点时的回路积 分，可利用柯西公式来计算, f ( z) (1)把被积函数写成 的形式，f(z)在积 n 1 (z ) 分区域上解析, 为积分区域内一点；
1 n
n e
i
2 k
n
( k 0, 1, 2, , n 1 )
复数的乘、除、乘方和开方运算，采用三角式 或指数式往往比代数式来得方便。
6
二、六种初等复变函数：
w z z 2 .指数函数 w e
1. 幂函数
n
周期为2i， 3. 三角函数
eiz eiz cos z , 2
幂级数展开
a (z z )
k 0 k 0
k
a0 a1 ( z z0 ) a2 ( z z0 )2 ak ( z z0 )k
ak R lim k a k 1
方法1：比值判别法
方法2 ：根值判别法 R lim k k 收敛圆： z z0 R 收敛域：z z0 R
zk 1) e z k 0 k !
1 2) zk 1 z k 0
( z )
( z 1)
1 3) (1)k z k 1 z k 0
( z 1)
z 2 k 1 4) sin z (1) (2k 1)! k 0
提示：当给定的 u 或 v 中含有因子x2+y2，这种情
况下采用极坐标处理比较方便，即令 2 x 2 y 2 。
解：
v cos
2
2 sin
2
2
cos
(1 cos )
2 sin
2
14
v 2 sin
v 1 2 sin 2 2
9
三、解析函数 f ( z ) u( x, y) iv( x, y)
1、柯西-黎曼方程
u v x y 直角坐标系： u v y x
u 1 v 极坐标系： 1 u v
1 cos 2 2
f ( z ) 2 cos
2
C i 2 sin
2
2 (cos
i sin ) C 2 2
1 2
R( ) 0 R( ) C
2 (cos i sin ) C
2[ (cos i sin )] C
v 2 x ( y ) y
( y) y
1 2 y C 2 1 v 2 xy ( y 2 x 2 ) C 2 1 f ( z ) u iv x 2 y 2 xy i[2 xy ( y 2 x 2 )] iC 2 1 ( x iy ) 2 i ( x iy ) 2 iC 2 1 z 2 i z 2 iC 2 ( y )
y 主辐角：arg z arctg ( x )
Argz arg z 2k (k 0,1,2,) 辐角： z x iy z* x iy 共轭复数:
3
2、复数的运算: 加、减、乘、除、乘方、开方 (1)、加法和减法
z1 x1 iy1
(2)、乘法和除法
z1 z 2 ( x1 iy1 )(x2 iy2 )
试卷类型：开卷
试卷题型：
一、填空题（每小题2分，共12分）
二、单项选择题（每小题3分，共12分）
三、名词解释（每小题4分，共8分） 四、证明题（每小题8分，共32分） 五、计算题（每小题12分，共36分）
1
数 学 物 理 方 法
教 材： 梁昆淼编写的《数学物理方法》[第四版] 第一篇 复变函数论
内 容 第二篇 数学物理方程
0 (l不包围 ) 1 l z dz 2 i (l包围 )
z
1 1 1 1 dz ( dz 2 z z 1 z z 1 dz ) z 1 2 1 (2 i 2 i ) 2 0
22
第三章
一、收敛半径
lim k 1 , k
收敛域:
z
25
二、把圆域或环域或某一点的邻域上解析函数展
成幂级数
根据解析函数泰勒级数和洛朗级数展 间接展开法： 开的唯一性，一般可利用熟知的泰勒展开式，通过 变量变换，结合级数的四则运算、逐项求导和积
分、分解成最简分式等方法去展开 。
26
常见函数的泰勒展开式:
z 4 2 i z 1
z 1
o
1
2
x
sin
2 i 2
21
例2．下列积分不为零的是 ( C )。
1 A. z 0.5 z dz
C.
B.
1 z 0.5 z 2 dz
z
1 dz z 0.5
D.
z
1 dz 2 z 1 1 1 1 1 ( ) 2 z 1 2 z 1 z 1
1 ak
23
例1 求幂级数 k ( z i) 的收敛圆.
k k 0
解
ak k
ak k R lim lim 1 k k 1 k a k 1
收敛圆: z i 1
24
例2 幂级数
zk e k 0 k !
z
的收敛域。
解:
1 ak lim k ! R lim k 1 k a k 1 (k 1)!
1 2
5
(3) 复数的乘方和开方
z n ( e i ) n
n e in
或
( n为正整数的情况)
n (cosn i sin n )
棣莫弗公式： (cos i sin ) n cosn i sin n
n
2kπ 2kπ z cos i sin n n
eiz eiz sin z , 2i
周期为2
7
4、双曲函数 e z ez shz 2 5、根式函数
e z ez chz 2
周期为2i
z e i
w n e
i
2 k
n
k 0,1,2,(n 1)
6、对数函数
w ln z ln
z iArgz
2、解析函数性质： (1)、若 f ( z) u( x, y) iv( x, y) 是解析函数，则 u v 0 。 (2)、若函数 f ( z ) u iv 在区域 B上解析，则 u和v 必为B上的相互共轭调和函数。
10
3、构建解析函数： 给出一个二元调和函数作为解析函数的实部
根据C-R条件，
v u v u 2 y x, 2x y x y y x
v v 1 dx ( y ) (2 y x)dx ( y ) 2 xy x 2 ( y) x 2
12
v
v 1 dx ( y ) (2 y x)dx ( y ) 2 xy x 2 ( y ) x 2
f ( z) 2i ( n ) dz f ( ) (2) 利用柯西公式 l n 1 n! (z )
来计算积分.
20
例1.
c
sin(
z) 4 dz, 其中c : ( x 1) 2 y 2 1 z2 1
y
sin( z ) 4 dz I z 1 z 1 c
x1 x2 y1 y 2 x2 y1 x1 y 2 i 2 2 2 2 x2 y 2 x2 y 2
4
(2)、乘法和除法 z1 1 (cos 1 i sin 1 ) 1ei
z1z2 12[cos(1 2 ) i sin(1 2 )]
1
z2 2 (cos 2 i sin 2 ) 2ei2
1 2 e
i (1 2 )
两复数相乘就是把模数相乘, 辐角相加;
z1 1 [cos(1 2 ) i sin(1 2 )] z2 2
1 i ( ) e 2 两复数相除就是把模数相除, 辐角相减。
u v 1 sin sin 2 2 2 2
15
பைடு நூலகம்
u 1 cos 2 2
u sin 2 2
将上面第二式对 积分， 视作参数，有
u u d R ( )
其中 R ( ) 为 的任意函数。
2
第一章
一、复数 1、复数的定义
复变函数
z x iy
——代数式
z (cos i sin ) ——三角式
z e i ——指数式
*复数三种表示式之间的转换
实部：x Re z 模： z x 2 y 2
虚部：y Im z