2011—2017年新课标全国卷1理科数学分类汇编——11.复数及其运算
2011-2019高考数学复数分类汇编
新课标复数分类汇编一、理科【2011新课标】1. 复数212ii+-的共轭复数是 （ C ） （A ）35i - （B ）35i （C ）i - （D ）i【2012新课标】3. 下面是关于复数21z i=-+的四个命题，其中的真命题为（ C ） 1:2p z = 22:2p z i = 3:p z 的共轭复数为1i + 4:p z 的虚部为1-()A 23,p p ()B 12,p p ()C ,p p 24 ()D ,p p 34【2013新课标1】若复数z 满足 (3－4i)z ＝|4＋3i |，则z 的虚部为 ( D )A 、－4 （B ）－45 （C ）4 （D ）45【2013新课标2】2. 设复数z 满足(1－i)z ＝2i ，则z ＝( A )． A ．－1＋i B ．－1－I C ．1＋i D ．1－i 【2014新课标1】2.=（ D ）A. 1+iB. 1-iC. -1+iD. -1-i【2014新课标2】2. 设复数1z ，2z 在复平面内的对应点关于虚轴对称，12z i =+，则12z z =（ A ） A. - 5 B. 5 C. -4- i D. -4+【2015新课标1】1. 设复数z 满足1+z1z-=i ，则|z|=（ A ） （A ）1 （B 2（C 3 （D ）2【2015新课标2】2. 若a 为实数且（2+ai ）（a-2i ）=-4i,则a=（ B ） （A ）-1 （B ）0 （C ）1 （D ）2【2016新课标1】2. 设 (1+i)x =1+y i ，其中x ，y 是实数，则i =x y +（ B ）（A ）1 （B 2 （C 3 （D ）2【2016新课标2】1. 已知 z =(m +3)+(m -1)i 在复平面内对应的点在第四象限，则实数m 的取值范围是（ A ）（A ）()31-，（B ）()13-，（C ）()1,∞+（D ）()3∞--，【2016新课标3】2. 若z ＝1＋2i ，则4i zz -1＝( C ) (A )1 (B )－1(C )i(D )－i【2017新课标1】3．设有下面四个命题1p ：若复数z 满足1z∈R ，则z ∈R ；2p ：若复数z 满足2z ∈R ，则z ∈R ；3p ：若复数12,z z 满足12z z ∈R ，则12z z =；4p ：若复数z ∈R ，则z ∈R .其中的真命题为（ B ）A ．13,p pB ．14,p pC ．23,p pD ．24,p p【2017新课标2】1.31ii+=+（ D ） A ．12i + B ．12i - C ．2i + D ．2i -【解析】()()()()3i 1i 3i 2i 1i 1i 1i +-+==-++- 【2017新课标3】2．设复数z 满足(1i)2i z +=，则z =（ C ）A ．12B ．2CD ．2【解析】由题，()()()2i 1i 2i 2i 2i 11i 1i 1i 2z -+====+++-，则z = C 【2018新课标1】1．设1i2i 1i z -=++，则z =（ C ）A ．0B ．12 C ．1D 【2018新课标2】1．12i12i+=-（ D ） A ．43i 55-- B ．43i 55-+ C ．34i 55--D ．34i 55-+【2018新课标3】2．()()1i 2i +-=（ D ）A ．3i --B ．3i -+C ．3i -D ．3i +【2019新课标1】2.设复数z 满足=1i z -，z 在复平面内对应的点为(x ，y )，则（ ）A. 22+11()x y +=B. 22(1)1x y -+=C. 22(1)1x y +-=D. 22(+1)1y x +=【答案】C【解析】,(1),z x yi z i x y i =+-=+-1,z i -则22(1)1x y +-=．故选C ． 【2019新课标2】2. 设i z 23+-=,则在复平面内z 对应的点位于（ ） A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 【答案】C【解析】i 23z --=，对应的点坐标为），（2-3-,故选C. 【2019新课标3】2．若(1i)2i z +=，则z =（ ） A ．1i -- B ．1+i -C ．1i -D ．1+i【答案】D【解答】i i z 2)1(=+,i i i i i i i i i z +=-=-+-=+=1)1()1)(1()1(212.二、文科【2011新课标】2. 复数512ii=-（ C ） A ．2i - B ．12i - C ．2i -+D ．12i -+ 【2012新课标】2. 复数32iz i-+=+的共轭复数是（ D ）A ．2+iB ．2-iC ．-1+iD ．-1-i【2013新课标1】2. 212i1i +(-)＝( B )． A ． -1-12i B ． -1+12i C ． 1+12i D ． 1-12i 【2013新课标2】2. 21i+＝( C )．A ．．2 C D. 1 【2014新课标1】3. 设i iz ++=11，则=||z （ B ） A.21 B. 22 C. 23 D. 2【2014新课标2】2.131ii+=- （ B ） （A ）12i + （B ）12i -+ （C ）1-2i (D) 1-2i -【2015新课标1】3. 已知复数z 满足（z-1）i=i+1，则z=（ C ） （A ）-2-I （B ）-2+I （C ）2-I （D ）2+i 【2015新课标2】2. 若a 实数，且=+=++a i iai则,312（ D ） A.-4 B. -3 C. 3 D. 4【2016新课标1】2. 设(12i)(i)a ++的实部与虚部相等，其中a 为实数，则a =（ A ） （A ）－3 （B ）－2 （C ）2 （D ）3 【2016新课标2】2. 设复数z 满足i 3i z +=-，则z =（ C ）（A ）12i -+ （B ）12i - （C ）32i + （D ）32i - 【2016新课标3】2. 若43i z =+，则||zz =（ D ） （A ）1（B ）1-（C ）43+i 55 （D ）43i 55-【2017新课标1】3．下列各式的运算结果为纯虚数的是（ C ） A ．i(1+i)2 B ．i 2(1-i) C ．(1+i)2 D ．i(1+i) 【2017新课标2】2.（1+i ）（2+i ）=（ B ） A.1-i B. 1+3i C. 3+i D.3+3i 【解析】原式=2﹣1+3i=1+3i ，故选：B 。
2011—2018年新课标全国卷1理科数学分类汇编——11.复数及其运算
一、选择题【2018,1】设1i 2i 1i z -=++，则z =A ．0B ．12C ．1 D【2017，3】设有下面四个命题1:p 若复数z 满足1z∈R ，则z ∈R ；2:p 若复数z 满足2z ∈R ，则z ∈R ； 3:p 若复数12,z z 满足12z z ∈R ，则12z z =；4:p 若复数z ∈R ，则z ∈R ．其中的真命题为（ ）A ．13,p pB ．14,p pC ．23,p pD ．24,p p【2016，2】设yi x i +=+1)1(，其中y x ,是实数，则=+yi x （ ）A ．1B ．2C ．3D ．2【2015，1】设复数z 满足1i 1z z+=-，则||z =（ ）A ．1BCD ．2【2014，2）】32(1)(1)i i +-=（ ）A ．1i +B ．1i -C ．1i -+D ．1i --【2013，2】若复数z 满足(3－4i)z ＝|4＋3i|，则z 的虚部为( )．A ．－4B ．45-C ．4D ．45 【2012，3】下面是关于复数21z i =-+的四个命题： 1p ：||2z =；2p ：22z i =；3p ：z 的共轭复数为1i +；4p ：z 的虚部为1-．其中的真命题为（ ）A ．2p ，3pB ．1p ，2pC ．2p ，4pD ．3p ，4p 【2011，1】复数212i i+-的共轭复数是（ ） A ．35i - B ．35i C ．i - D ．i一、选择题【2018,1】设1i 2i 1i z -=++，则z =A ．0B ．12C ．1 D解：选C 。
i i i i i i i z 2)1)(1()1(2112+-+-=++-= i i i =+-=2221=∴z 【2017，3】设有下面四个命题1:p 若复数z 满足1z∈R ，则z ∈R ；2:p 若复数z 满足2z ∈R ，则z ∈R ； 3:p 若复数12,z z 满足12z z ∈R ，则12z z =；4:p 若复数z ∈R ，则z ∈R ．其中的真命题为（ ）A ．13,p pB ．14,p pC ．23,p pD ．24,p p【解析】1:p 设z a bi =+，则2211a bi z a bi a b -==∈++R ，得到0b =，所以z ∈R ．故1P 正确； 2:p 若z =-21，满足2z ∈R ，而z i =，不满足2z ∈R ，故2p 不正确；3:p 若1z 1=，2z 2=，则12z z 2=，满足12z z ∈R ，而它们实部不相等，不是共轭复数，故3p 不正确； 4:p 实数没有虚部，所以它的共轭复数是它本身，也属于实数，故4p 正确；【2016，2】设yi x i +=+1)1(，其中y x ,是实数，则=+yi x （ ）A ．1B ．2C ．3D ．2【解析】由()11i x yi +=+可知：1x xi yi +=+，故1x x y =⎧⎨=⎩，解得：11x y =⎧⎨=⎩．所以，x yi + 故选B ．【2015，1】设复数z 满足1i 1z z+=-，则||z =（ ）A ．1BCD ．2 解析：由1i 1z z +=-得1i(1)z z +=-，即1i 1iz -+=+，2(1i)(1i)(1i)i (1i)(1i)2z -+---===+-，||z =1，选A ． 【2014，2）】32(1)(1)i i +-=（ ）A .1i +B .1i -C .1i -+D .1i --【解析】∵32(1)(1)i i +-=2(1)12i i i i +=---，选D. 【2013，2】若复数z 满足(3－4i)z ＝|4＋3i|，则z 的虚部为( )．A ．－4B ．45-C ．4D ．45 解析：∵(3－4i)z ＝|4＋3i|，∴55(34i)34i 34i (34i)(34i)55z +===+--+. 故z 的虚部为45，选D. 【2012，3】下面是关于复数21z i =-+的四个命题： 1p ：||2z =；2p ：22z i =；3p ：z 的共轭复数为1i +；4p ：z 的虚部为1-．其中的真命题为（ ）A ．2p ，3pB ．1p ，2pC ．2p ，4pD ．3p ，4p【解析】因为22(1)11(1)(1)i z i i i i --===---+-+--，所以||z =22(1)2z i i =--=， z 的共轭复数为1i -+，z 的虚部为1-，所以2p ，4p 为真命题，故选择C ．【2011，1】复数212i i+-的共轭复数是（ ） A ．35i - B ．35i C ．i - D ．i 解析：212i i+-=(2)(12),5i i i ++=共轭复数为C 古今中外有学问的人，有成就的人，总是十分注意积累的。
2011年—2017年新课标全国1卷理科数学题型分类汇编(含答案)
2011 年—2017 年新课标高考全国Ⅰ卷理科数学分类汇编（含答案）说明：2017 年高考中，安徽、湖北、福建、湖南、山西、河北、江西、广东、河南等9 个省份选择使用新课标全国Ⅰ卷．2017 年，除了保留北京、天津、上海、江苏、浙江实行自主命题外（山东省语文、数学卷最后一年使用），大陆其他省区全部使用全国卷．研究发现，新课标全国卷的试卷结构和题型具有一定的稳定性和连续性．每个题型考查的知识点、考查方法、考查角度、思维方法等相对固定．掌握了全国卷的各种题型，就把握住了全国卷命题的灵魂．正所谓知己知彼，才能百战不殆，为了方便老师和同学们备考2018 年高考，本人认真研究近7 年新课标高考全国Ⅰ卷理科数学和高考数学考试说明，将2011 年—2017 年新课标全国Ⅰ卷进行了分类整理．2011 年—2017 年新课标高考全国Ⅰ卷理科数学分类汇编1．集合与常用逻辑用语 (2)2．函数与导数 (3)3．三角函数、解三角形 (7)4．平面向量 (10)5．数列 (11)6．不等式、推理与证明 (13)7．立体几何 (14)8．解析几何 (18)9．统计、概率分布列、计数原理 (23)10．复数及其运算 (30)11．程序框图 (31)12．坐标系与参数方程 (33)13．不等式选讲 (36)1．集合与常用逻辑用语一、选择题【2017，1】已知集合A ={x x <1}，B ={x 3x <1}，则（）A．A B = {x | x <0}B．A B =R C．A B = {x | x >1}D．A B=∅【2016，1】设集合A = {x x2 - 4x + 3 <0}，B = {x 2x - 3 > 0} ，则A B =（）A．(-3,-3)2B．(-3,3)2C．(1,3)2D．(3,3)2【2015，3】设命题p ：∃n∈N，n2 > 2n ，则⌝p 为（）A．∀n ∈N ，n2 >2n B．∃n∈N，n2 ≤2n C．∀n ∈N ，n2 ≤2n D．∃n∈N ，n2 =2n【2014，1】已知集合A={ x | x2 - 2x - 3 ≥ 0 }，B= {x -2 ≤x < 2}，则A ⋂B =( )A ．[-2,-1]B ．[-1,2）C ．[-1,1]D ．[1,2）【2013，1】已知集合A＝{x|x2－2x＞0}，B＝{x|－x＜，则( )A．A∩B＝B．A∪B＝R C．B ⊆A D．A ⊆B【2012，1】已知集合A={1，2，3，4，5}，B={（x ，y ）| x∈A，y ∈A ，x -y ∈A }，则B 中包含元素的个数为（）A．3 B．6 C．8 D．102．函数与导数一、选择题【2017，5】函数f (x) 在(-∞, +∞) 单调递减，且为奇函数．若f (1) =-1 ，则满足-1 ≤f (x - 2) ≤1的x 的取值范围是（）A．[-2, 2]B．[-1,1]C．[0, 4] D．[1, 3]【2017，11】设x, y, z 为正数，且2x = 3y = 5z ，则（）A．2x<3y<5z B．5z<2x<3y C．3y<5z<2x D．3y<2x<5z【2016，7】函数y =2x2 -e x 在[-2,2] 的图像大致为（）A．B．C．D．【2016，8】若a >b >1，0 <c <1，则（）A．a c <b c B．ab c <ba c C．a logb c <b logac D．logac <logbc【2015，12】设函数f (x) = e x (2x -1) -ax +a ,其中a <1，若存在唯一的整数x ，使得f (x ) < 0 ，00则a 的取值范围是（）A．⎡-3,1⎫B．⎡-3,3 ⎫C．⎡3,3 ⎫D．⎡3,1⎫ ⎣⎢2e⎪ ⎢2e 4 ⎪ ⎢2e 4 ⎪ ⎢2e ⎪⎭⎣ ⎭ ⎣⎭⎣ ⎭【2014，3】设函数f (x) ，g(x) 的定义域都为R，且f (x) 是奇函数，g(x) 是偶函数，则下列结论正确的是（）A ．f (x) g(x) 是偶函数B ．| f (x) | g(x) 是奇函数C ．f (x) | g(x) |是奇函数D ．| f (x) g(x) |是奇函数【2014，11】已知函数f (x) = ax3 - 3x2 +1 ，若f (x) 存在唯一的零点x ，且x ＞0，则a 的取值范围为0 0A ．（2，+∞）B ．（-∞，-2）C ．（1，+∞）D ．（-∞，-1）⎧-x2 + 2x，x ≤ 0，【2013，11】已知函数f(x)＝⎨⎩ln( x+1)，x > 0.若|f(x)|≥ax，则a 的取值范围是( ) A．(－∞，0] B．(－∞，1] C．[－2,1] D．[－2,0]【2012，10】已知函数f ( x) =1，则y =f (x) 的图像大致为（）A．B．D．【2012，12】设点P 在曲线y =1e x 上，点Q 在曲线y = ln(2x) 上，则| PQ |的最小值为（）2A．1- ln 2B- ln 2)C．1+ ln 2D+ ln 2)【2011，12】函数y =1x -1的图像与函数y =2s in πx(-2 ≤x ≤ 4) 的图像所有交点的横坐标之和等于（）A．2 B．4 C．6 D．8【2011，2】下列函数中，既是偶函数又在（0，+∞）单调递增的函数是（）A．y =x3B．y = x +1C．y =-x2 +1D．y = 2-x【2011，9】由曲线y =，直线y =x - 2 及y 轴所围成的图形的面积为（）A．103二、填空题B．4 C．163D．6【2017，16】如图，圆形纸片的圆心为O，半径为5 cm，该纸片上的等边三角形ABC 的中心为O．D、E、F 为圆O 上的点，△DBC，△ECA，△F AB 分别是以BC，CA，AB 为底边的等腰三角形．沿虚线剪开后，分别以BC，CA，AB 为折痕折起△DBC，△ECA，△F AB，使得D，E，F 重合，得到三棱锥．当△ABC．的边长变化时，所得三棱锥体积（单位：cm3）的最大值为．【2015，13】若函数f(x)=x ln（x a=【2013，16】若函数f(x)＝(1－x2)(x2＋ax＋b)的图像关于直线x＝－2 对称，则f(x)的最大值为．三、解答题【2017，12】已知函数f (x)=ae2 x +(a -2)e x -x ．（1）讨论f ( x) 的单调性；（2）若f ( x) 有两个零点，求a 的取值范围．【2016，12】已知函数f (x) = (x -2)e x +a(x -1)2 有两个零点．（Ⅰ）求a 的取值范围；（Ⅱ）设x1 , x2 是f (x) 的两个零点，证明：x1 +x2 < 2 ．【2015，12】已知函数f ( x) =x3 +ax +1，g(x) =-l n x ．4（Ⅰ）当a 为何值时，x 轴为曲线y =f (x) 的切线；（Ⅱ）用min{m, n} 表示m, n 中的最小值，设函数h(x) = min{ f (x), g(x)} （x > 0 ），讨论h(x) 零点的个数．【2014，21】设函数f ( x0 =ae x ln x +be x-1，曲线y =f (x) 在点（1，f (1) 处的切线为y =e(x -1) + 2 ．(Ⅰ) x求a,b；（Ⅱ）证明：f (x) >1．【2013，21】设函数f(x)＝x2＋ax＋b，g(x)＝e x(cx＋d)．若曲线y＝f(x)和曲线y＝g(x)都过点P(0,2)，且在点P 处有相同的切线y＝4x＋2．(1)求a，b，c，d 的值；(2)若x≥－2 时，f(x)≤kg(x)，求k 的取值范围．【2012，21】已知函数f (x) 满足f (x) =f '(1)e x-1 -f (0)x+1x2 ．2（1）求f (x) 的解析式及单调区间；（2）若f (x) ≥1x2 +ax +b ，求(a +1)b 的最大值．2【2011，21】已知函数f (x) =a ln x+b，曲线y =f (x) 在点(1, f (1)) 处的切线方程为x +2y- 3 = 0 ．x +1x（Ⅰ）求a 、b 的值；（Ⅱ）如果当x > 0 ，且x ≠1时，f (x) > ln x+k，求k 的取值范围．x -1 x3．三角函数、解三角形一、选择题2π 【2017，9】已知曲线 C 1：y =cos x ，C 2：y =sin (2x +3)，则下面结正确的是（ ）πA ．把 C 1 上各点的横坐标伸长到原来的 2 倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移 6得到曲线C 2 个单位长度，πB ．把C 1 上各点的横坐标伸长到原来的 2 倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移 12得到曲线C 2个单位长度，1 C ．把 C 1 上各点的横坐标缩短到原来的 2得到曲线C 2π 倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移 6个单位长度，1D ．把 C 1 上各点的横坐标缩短到原来的 2π倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移 12个单位长度，得到曲线 C 2【2016，12】已知函数 f ( x ) = sin(ωx + ϕ )(ω > 0, ϕ≤ π ， x = - π为 f ( x ) 的零点， x = π 为244y = f (x ) 图像的对称轴，且 f ( x ) 在 ( π 18 , 5π单调，则ω 的最大值为（）36A ．11B ．9C ．7D ．5【2015，8】函数 f ( x ) = cos(ω x + ϕ) 的部分图象如图所示，则 f ( x ) 的单调递减区间为（）A ． (k π - 1 , k π + 3), k ∈ ZB ． (2k π - 1 , 2k π + 3), k ∈ Z4 4 4 4 C ． (k - 1 , k + 3k ∈ ZD ． (2k - 1 , 2k + 3), k ∈ Z4 4【2015，2】 sin 20 cos10- cos160 sin10 4 4= （ ）A ．BC ． - 12D ． 12【2014，6】如图，圆 O 的半径为 1，A 是圆上的定点，P 是圆上的动点，角 x 的始边为射线OA ，终边为射线 OP ，过点 P 作直线OA 的垂线，垂足为 M ，将点 M 到直线OP 的距离表示为 x 的函数 f ( x ) ，则y= f ( x ) 在[0, π ]上的图像大致为（）【2014，8】设α ∈ (0, π ) ， β ∈ (0, π) ，且 tan α =1 + sin β，则（）2A ． 3α - β = π2 2B ． 2α - β = π2cos βC ． 3α + β = π 2D ． 2α + β = π2【2012，9】已知ω > 0 ，函数 f ( x ) = sin(ω x + π ) 在（ π，π ）上单调递减，则ω 的取值范围是（）4 2A ．[ 1 ， 5 ]B ．[ 1 ， 3 ]C ．（0， 1 ]D ．（0，2]2 4 2 4 2【2011，5】已知角θ 的顶点与原点重合，始边与 x 轴的正半轴重合，终边在直线 y = 2x 上，则 cos 2θ =A ． - 45B ． - 35C ． 35D ． 45【2011，11】设函数 f ( x ) = sin(ω x + ϕ ) + cos(ω x + ϕ)(ω > 0, ϕ且 f (-x ) = f (x ) ，则（ ）< π 的最小正周期为π ， 2A ． f ( x ) 在 ⎛ 0, π ⎫单调递减 B ． f ( x ) 在 ⎛ π ,3π ⎫单调递减2 ⎪ 4 4 ⎪⎝ ⎭⎝ ⎭C ． f ( x ) 在 ⎛ 0, π ⎫单调递增 D ． f ( x ) 在 ⎛ π ,3π ⎫单调递增2 ⎪ 4 4 ⎝ ⎭⎝ ⎭二、填空题【2015，16】在平面四边形 ABCD 中，∠A = ∠B = ∠C = 75 ，BC = 2 ，则 AB 的取值范围是．【2014，16】已知 a , b , c 分别为 ∆ABC 的三个内角 A , B , C 的对边， a =2，且 (2 + b )(sin A - sin B ) = (c - b ) sin C ，则 ∆ABC 面积的最大值为．【2013，15】设当 x ＝θ 时，函数 f (x )＝sin x －2cos x 取得最大值，则 cos θ＝．【2011，16】在 ABC 中， B = 60 , AC =AB + 2BC 的最大值为 ．三、解答题【2017，17】△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为 a ，b ，c ，已知△ABC 的面积为 a 23sin A（1）求 sin B sin C ；（2）若 6cos B cos C =1,a =3,求△ABC 的周长【2016，17】∆ABC 的内角A, B,C的对边分别为a,b, c ，已知2c os C(a cos B +b cos A) =c ．（Ⅰ）求C ；（Ⅱ）若c = 7 ，∆ABC 的面积为3 3，求∆ABC 的周长．2【2013，17】如图，在△ABC 中，∠ABC＝90°，AB＝BC＝1，P 为△ABC 内一点，∠BPC＝90°．(1)若PB＝1，求P A；(2)若∠APB＝150°，求tan∠PBA．2【2012，17】已知a ，b ，c 分别为△ABC 三个内角A，B，C 的对边，a cos C +s in C -b -c = 0 ．（1）求A；（2）若a = 2 ，△ABC 的面积为 b ，c ．⎭⎝ ⎦4．平面向量一、选择题【2015，7】设 D 为 ∆ABC 所在平面内一点 BC = 3CD ，则（）A ． AD = - 1 AB + 4AC3 3 C ． AD =4 AB + 1AC3 3B ． AD = 1 AB - 4AC3 3 D ． AD =4 AB - 1AC3 3【2011，10】已知 a 与 b 均为单位向量，其夹角为θ ，有下列四个命题P : a + b > 1 ⇔ θ ∈ ⎡0, 2π ⎫P : a + b > 1 ⇔ θ ∈ ⎛ 2π ,π ⎤1 ⎢⎣ 3 ⎪⎭ 2 3⎥ ⎝ ⎦⎡ π ⎫⎛ π ⎤P 3 : a - b > 1 ⇔ θ ∈ ⎢⎣0, 3 ⎪P 4 : a - b > 1 ⇔ θ ∈ 3 ,π ⎥其中的真命题是（）A ． P 1 , P 4B ． P 1 , P 3C ． P 2 , P 3D ． P 2 , P 4二、填空题【2017，13】已知向量 a ，b 的夹角为 60°，|a |=2， | b |=1，则| a +2 b |=．【2016，13】设向量 a = (m ,1) ，b = (1,2) ，且| a + b |2= | a |2+ | b |2，则 m =．【2014，15】已知 A ，B ，C 是圆 O 上的三点，若 AO = 1( A B + AC ) ，则 AB 与 AC 的夹角为 ． 2【2013，13】已知两个单位向量 a ，b 的夹角为 60°，c ＝t a ＋(1－t )b ．若 b ·c ＝0，则 t ＝．【2012，13】已知向量 a ， b 夹角为 45°，且| a |= 1，| 2a - b |= 10 ，则| b |=．n 2 15．数列一、选择题【2017，4】记S n 为等差数列{a n } 的前 n 项和．若 a 4 + a 5 = 24 ， S 6 = 48 ，则{a n } 的公差为（ ）A ．1B ．2C ．4D ．8【2017，12】几位大学生响应国家的创业号召，开发了一款应用软件．为激发大家学习数学的兴趣，他们 推出了“解数学题获取软件激活码”的活动．这款软件的激活码为下面数学问题的答案：已知数列1，1，2， 1，2，4，1，2，4，8，1，2，4，8，16 ，…，其中第一项是 20，接下来的两项是 20，21，再接下来的三项是 20，21，22，依此类推．求满足如下条件的最小整数 N ：N >100 且该数列的前 N 项和为 2 的整数幂．那么该款软件的激活码是（ ）A ．440B ．330C ．220D ．110【2016，3】已知等差数列{a n } 前 9 项的和为 27 ， a 10 = 8 ，则 a 100 = （ ）A ．100B ． 99C ．98D ．97 【2013，7】设等差数列{a n }的前 n 项和为 S n ，若 S m －1＝－2，S m ＝0，S m ＋1＝3，则 m ＝( )．A ．3B ．4C ．5D ．6 【2013，12】设△A n B n C n 的三边长分别为 a n ，b n ，c n ，△A n B n C n 的面积为 S n ，n ＝1,2,3，….c + a b + a 若 b 1＞c 1，b 1＋c 1＝2a 1，a n ＋1＝a n ，b n ＋1＝ nn，c n ＋1＝2nn，则( )．2A ．{S n }为递减数列B ．{S n }为递增数列C ．{S 2n －1}为递增数列，{S 2n }为递减数列D ．{S 2n －1}为递减数列，{S 2n }为递增数列2 1【2013，14】若数列{a n }的前 n 项和 S n =a n 3+ ，则{a n }的通项公式是 a n ＝ ．3 【2012，5】已知{ a n }为等比数列， a4 + a 7 = 2 ， a 5a 6 = -8 ，则 a 1 + a 10 = （）A ．7B ．5C ．－5D ．－7二、填空题【2016，15】设等比数列{a n } 满足 a 1 + a 3 = 10 ， a 2 + a 4 = 5 ，则 a 1a 2a n 的最大值为．【2012，16】数列{ a n }满足 a n +1 + (-1) a n = 2n -1 ，则{ a n }的前 60 项和为 ．三、解答题【2015，17】 S n 为数列{a n } 的前 n 项和．已知 a n ＞0， a+ 2a n = 4S n + 3 ． n（Ⅰ）求{a n } 的通项公式；（Ⅱ）设 b n =，求数列{b n } 的前n 项和． a n a n +12【2014，17】已知数列{ a n }的前 n 项和为 S n ， a 1 =1， a n ≠ 0 ， a n a n +1 = λS n -1，其中 λ 为常数．(Ⅰ)证明： a n +2 - a n = λ ；（Ⅱ）是否存在 λ ，使得{ a n }为等差数列？并说明理由．【2011，17】等比数列{a n } 的各项均为正数，且 2a 1 + 3a 2 = 1, a 3 = 9a 2 a 6 .（Ⅰ)求数列{a n } 的通项公式；（Ⅱ）设 ⎧ 1 ⎫ b n = log 3 a 1 + log 3 a 2 + ...... + log 3 a n , 求数列 ⎨ ⎬ 的前n 项和． ⎩ b n ⎭⎩⎨⎩⎪ ⎨ x ≥ 06．不等式、推理与证明一、选择题⎧ x + y ≥ 1 【2014，9）】不等式组 ⎨⎩ x - 2 y ≤ 4的解集记为D ．有下面四个命题： p 1 ： ∀(x , y ) ∈ D , x + 2 y ≥ -2 ；p 2 ： ∃(x , y ) ∈ D , x + 2 y ≥ 2 ； P 3 ： ∀(x , y ) ∈ D , x + 2 y ≤ 3 ； p 4 ： ∃(x , y ) ∈ D , x + 2 y ≤ -1 ．其中真命题是（）A ． p 2 ， P 3B ． p 1 ， p 4C ． p 1 ， p 2D ． p 1 ， P 3二、填空题⎧ x + 2 y ≤ 1⎪【2017，14】设 x ，y 满足约束条件 ⎨2x + y ≥ -1，则z = 3x - 2 y 的最小值为 ．⎪ x - y ≤ 0 【2016，16】某高科技企业生产产品 A 和产品 B 需要甲、乙两种新型材料．生产一件产品 A 需要甲材料 1．5kg ， 乙材料 1kg ，用 5 个工时；生产一件产品 B 需要甲材料 0．5kg ，乙材料 0．3kg ，用 3 个工时．生产一件 产品 A 的利润为 2100 元，生产一件产品 B 的利润为 900 元．该企业现有甲材料 150kg ，乙材料 90kg ，则 在不超过 600 个工时的条件下，生产产品 A 、产品 B 的利润之和的最大值为 元．⎧ x -1 ≥ 0【2015，15】若 x ,y 满足约束条件 ⎪x - y ≤ 0 ⎪ x + y - 4 ≤ 0，则 y 的最大值为 ．x【2014，14】甲、乙、丙三位同学被问到是否去过 A ，B ，C 三个城市时，甲说：我去过的城市比乙多，但没去过 B 城市； 乙说：我没去过 C 城市； 丙说：我们三人去过同一个城市．由此可判断乙去过的城市为．⎧ x - y ≥ -1⎪x + y ≤ 3【2012，14】设 x ， y 满足约束条件 ⎪ ⎪⎩ y ≥ 0，则 z = x - 2 y 的取值范围为 ．⎧3 ≤ 2x + y ≤ 9,【2011，13】若变量 x , y 满足约束条件 ⎨⎩6 ≤ x - y ≤ 9,则 z = x + 2 y 的最小值为 ．7．立体几何一、选择题【2017，7】某多面体的三视图如图所示，其中正视图和左视图都由正方形和等腰直角三角形组成，正方形的边长为 2，俯视图为等腰直角三角形，该多面体的各个面中有若 干个是梯形，这些梯形的面积之和为（ ） A ．10B ．12C ．14D ．16【2016，11】平面α 过正方体 ABCD - A 1 B 1C 1 D 1 的顶点 A ，α // 平面CB 1 D 1 ，α 平面 ABCD= m ，α 平面 ABB 1 A 1 = n ，则 m , n 所成角的正弦值为3A ．B ．2 3 1 C ．D ．2233【2016，6】如图，某几何体的三视图是三个半径相等的圆及每个圆中两条相互垂直 的半径．若该几何体的体积是28π，则它的表面积是（ ）3A ．17πB ．18πC ． 20πD ． 28π【2015，6】《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下 问题：“今有委米依垣内角，下周八尺，高五尺．问：积及为米几何？”其意思 为：“在屋内墙角处堆放米（如图，米堆为一个圆锥的四分之一），米堆底部的 弧长为 8 尺，米堆的高为 5 尺，问米堆的体积和堆放的米各为多少？”已知 1 斛米的体积约为 1．62 立方尺，圆周率约为 3，估算出堆放的米约有（ ）A ．14 斛B ．22 斛C ．36 斛D ．66 斛【2015，11】圆柱被一个平面截去一部分后与半球(半径为 r )组成一个几何体，该几何体三视图中的正视 图和俯视图如图所示． 若该几何体的表面积为16 + 20π ，则 r =（）A ．1B ．2C ．4D ．8【2015 年，11 题】【2014 年，12 题】 【2013 年，6 题】【2014，12】如图，网格纸上小正方形的边长为 1，粗实线画出的是某多面体的三视图，则该多面体的个 条棱中，最长的棱的长度为（）A ． 6 2B ． 4 2C ．6D ．4【2013，6】如图，有一个水平放置的透明无盖的正方体容器，容器高 8 cm ，将一个球放在容器口，再向 容器内注水，当球面恰好接触水面时测得水深为 6 cm ，如果不计容器的厚度，则球的体积为( )A ．500π cm 3B ．866π cm 3C ．1372π cm 3D ．2048π cm 33333【2013，8】某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为( )．A ．16＋8πB ．8＋8πC ．16＋16πD ．8＋16π【2013 年，8】【2012 年，7】【2011 年，6】【2012，7】如图，网格纸上小正方形的边长为 1，粗线画出的是某几何体的三视图，则此几何体的体积为 （ ）A ．6B ．9C ．12D ．15 【2012，11】已知三棱锥 S －ABC 的所有顶点都在球 O 的球面上，△ABC 是边长为 1 的正三角形，SC 为球O 的直径，且 SC =2，则此棱锥的体积为（ ）A6B C ．3D ．2【2011，6】在一个几何体的三视图中，正视图和俯视图如右图所示，则相应的侧视图可以为（）二、填空题【2011，15】已知矩形 ABCD 的顶点都在半径为 4 的球 O 的球面上，且 AB = 6, BC =则棱锥O - ABCD 的体积为．三、解答题【2017，18】如图，在四棱锥 P-ABCD 中，AB//CD ，且 ∠BAP = ∠CDP = 90（1）证明：平面P AB ⊥平面 P AD ；（2）若P A =PD =AB =DC , ∠APD = 90 ,求二面角 A -PB -C 的余弦值．o 【2016，18】如图，在以 A , B , C , D , E , F 为顶点的五面体中，面 ABEF 为正方形，AF = 2FD , ∠AFD = 90︒ ，C且二面角 D - AF - E 与二面角 C - BE - F 都是 60︒ ．DEB（Ⅰ）证明：平面 ABEF ⊥ 平面 EFDC ； （Ⅱ）求二面角 E - BC - A 的余弦值．【2015，18】如图，四边形 ABCD 为菱形，∠ABC = 120A，E , F是平面 ABCD 同一侧的两点，BE ⊥平面 ABCD ，DF ⊥平面ABCD ， BE = 2DF ， AE ⊥ EC ．（I ）证明：平面 AEC ⊥平面 AFC ；（II ）求直线 AE 与直线 CF 所成角的余弦值．【2014，19】如图三棱柱 ABC - A 1B 1C 1 中，侧面 BB 1C 1C 为菱形， AB ⊥ B 1C ．(Ⅰ) 证明： AC = AB 1 ；（Ⅱ）若 AC ⊥ AB 1 ， ∠CBB 1 = 60 ，AB=BC ，求二面角A - A 1B 1 -C 1 的余弦值．【2013，18】如图，三棱柱ABC－A1B1C1 中，CA＝CB，AB＝AA1，∠BAA1＝60°．(1)证明：AB⊥A1C；(2)若平面ABC⊥平面AA1B1B，AB＝CB，求直线A1C 与平面BB1C1C 所成角的正弦值．1AA1，D 是棱AA1 的中点，DC1⊥BD．【2012，19】如图，直三棱柱ABC－A1B1C1 中，AC=BC=2（1）证明：DC1⊥BC；（2）求二面角A1－BD－C1 的大小．B1AB【2011，18】如图，四棱锥P-ABCD 中，底面ABCD 为平行四边形，∠DAB=60°,AB=2AD,PD⊥底面ABCD．(Ⅰ)证明：P A⊥BD；(Ⅱ)若PD=AD，求二面角A-PB-C 的余弦值．C2 2 2 2 2 22 28．解析几何一、选择题【2017，10】已知F 为抛物线 C ：y 2=4x 的焦点，过 F 作两条互相垂直的直线 l 1，l 2，直线 l 1 与 C 交于 A 、B 两点，直线 l 2 与C 交于D 、E 两点，则|AB |+|DE |的最小值为（）A ．16B ．14C ．12D ．10【2016，10】以抛物线 C 的顶点为圆心的圆交 C 于 A , B 两点，交 C 的准线于 D , E 两点，已知 AB = 4 2 ,DE = 2 5 ，则C 的焦点到准线的距离为（ ）A ．2B ．4C ．6D ．8【2016，5】已知方程x 2 m 2+ ny 2- 3m 2 - n= 1 表示双曲线，且该双曲线两焦点间的距离为 4 ，则 n 的 取值范围是（ ）A ． (-1,3)B ． (-1, 3)C ． (0,3)D ． (0, 3)x 2 【2015，5】已知 M ( x 0 , y 0 ) 是双曲线 C ： 2- y 2= 1上的一点，F 1 , F 2 是 C 的两个焦点，若 MF 1 ⋅ MF 2 < 0 ，则 y 0 的取值范围是（）A ． (- , )B ． (-, )C ． (-,D ． (-,3 36 63 33 3【2014，4】已知 F 是双曲线 C ：x 2 - my 2 = 3m (m > 0) 的一个焦点，则点 F 到 C 的一条渐近线的距离为A B ．3C ．D ． 3m【2014，10】已知抛物线 C ： y 2= 8x 的焦点为 F ，准线为 l ， P 是l 上一点，Q 是直线 PF 与C 的一个 交点，若 FP = 4FQ ，则| QF | =（）A ． 72B ． 5222C ．3D ．2x y 【2013，4】已知双曲线 C ： - a 2 b 2 =1 (a ＞0，b ＞0)的离心率为 ，则 C 的渐近线方程为( )．2A ．y ＝ ± 1 x 4B ．y ＝ ± 1 x 3 2 2C ．y ＝ ± 1 x 2D ．y ＝±x x y 【2013，10】已知椭圆E ： + a 2 b 2=1 (a ＞b ＞0)的右焦点为 F (3,0)，过点 F 的直线交 E 于 A ，B 两点．若 AB 的中点坐标为(1，－1)，则 E 的方程为()A ． x + y =1B ． x + y =1C ． x + y =1D ． x + y =145 3636 2727 1818 9x 2 y 2 3a【2012，4】设 F 1 、 F 2 是椭圆 E ： a 2 + b 2 （ a > b > 0 ）的左、右焦点，P 为直线 x = 上一点，2∆F 2 PF 1 是底角为 30°的等腰三角形，则 E 的离心率为（）A ． 12B ． 23C ． 34D ． 45【2012，8】等轴双曲线 C 的中心在原点，焦点在 x 轴上，C 与抛物线 y 2= 16x 的准线交于 A ，B 两点，| AB |=，则 C 的实轴长为（ ）A B ．C ．4 D ．8【2011，7】设直线 L 过双曲线 C 的一个焦点，且与 C 的一条对称轴垂直，L 与 C 交于 A ,B 两点， AB 为C 的实轴长的 2 倍，则 C 的离心率为（ ）A B C ．2 D ．3二、填空题【2017，15】已知双曲线 C ： x 2y 2-= 1 （a >0，b >0）的右顶点为 A ，以 A 为圆心，b 为半径作圆 A ，圆 A a 2 b 2与双曲线 C 的一条渐近线交于 M 、N 两点．若∠MAN =60°，则 C 的离心率为 ．x 2 【2015，14】一个圆经过椭圆 y 2+ = 1的三个顶点，且圆心在 x 轴的正半轴上，则该圆的标准方程为 ．16 4【2011，14】在平面直角坐标系 xOy 中，椭圆 C 的中心为原点，焦点 F 1 , F 2 在 x 轴上，离心率为 ．过2F 1 的直线 L 交 C 于 A , B 两点，且 ABF 2 的周长为 16，那么 C 的方程为．三、解答题【2017，20】已知椭圆 C ： x 2 y 2 + =1（a >b >0），四点 P （1,1），P （0,1），P （–1 ），P （1， ） a 2 b 2 1 2 3 42 2中恰有三点在椭圆C 上．（1）求 C 的方程；（2）设直线 l 不经过 P 2 点且与 C 相交于 A ，B 两点．若直线 P 2A 与直线 P 2B 的斜率 的和为–1，证明：l 过定点．【2016，20】设圆x2 +y2 + 2x -15 = 0 的圆心为A ，直线l 过点B(1,0) 且与x 轴不重合，l 交圆A 于C, D 两点，过B 作AC 的平行线交AD 于点E ．（Ⅰ）证明EA +EB 为定值，并写出点E 的轨迹方程；（Ⅱ）设点E 的轨迹为曲线C1 ，直线l 交C1 于M , N 两点，过B 且与l 垂直的直线与圆A 交于P,Q两点，求四边形MPNQ 面积的取值范围．x2【2015，20】在直角坐标系xOy 中，曲线C ：y =与直线l ：y =kx +a （a > 0 ）交于M , N 两点．4（Ⅰ）当k = 0 时，分别求C 在点M 和N 处的切线方程；（Ⅱ）在y 轴上是否存在点P ，使得当k 变动时，总有∠OPM =∠OPN ？说明理由．x 2 y 2 【2014，20】已知点 A （0，-2），椭圆 E ： + a 2 b 2直线 AF 的斜率为， O 为坐标原点．3= 1(a > b > 0) 的离心率为， F 是椭圆的焦点，(Ⅰ)求 E 的方程；（Ⅱ）设过点 A 的直线l 与 E 相交于 P , Q 两点，当 ∆OPQ 的面积最大时，求l 的方程．【2013，20】已知圆 M ：(x ＋1)2＋y 2＝1，圆 N ：(x －1)2＋y 2＝9，动圆 P 与圆 M 外切并且与圆 N 内切，圆 心 P 的轨迹为曲线 C ．(1)求 C 的方程；(2)l 是与圆 P ，圆 M 都相切的一条直线，l 与曲线 C 交于 A ，B 两点，当圆 P 的半径 最长时，求|AB |．【2012，20】设抛物线C：x2 =2py（p > 0 ）的焦点为F，准线为l ，A 为C 上一点，已知以F 为圆心，F A 为半径的圆F 交l 于B，D 两点．（1）若∠BFD=90°，△ABD 的面积为4 2 ，求p 的值及圆F 的方程；（2）若A，B，F 三点在同一直线m 上，直线n 与m 平行，且n 与C 只有一个公共点，求坐标原点到m ，n 距离的比值．【2011，20】在平面直角坐标系xOy 中，已知点A(0,-1)，B 点在直线y = -3 上，M 点满足MB / /OA ，MA⋅AB =MB ⋅BA ，M 点的轨迹为曲线C．（Ⅰ）求C 的方程；（Ⅱ）P 为C 上的动点，l 为C 在P 点处得切线，求O 点到l 距离的最小值．59．统计、概率分布列、计数原理一、选择题【2017，2】如图，正方形 ABCD 内的图形来自中国古代的太极图，正方形内切圆中的黑色部分和白色部 分关于正方形的中心成中心对称．在正方形内随机取一点，则此点取自黑色部分的概率是（）1 π 1 π A ．B ．C ．D ．4824【2017，6】(1 + 1+ x )6 展开式中 x 2 的系数为（ ） x 2A ．15B ．20C ．30D ．35【2016，4】某公司的班车在 7 : 30 ，8 : 00 ，8 : 30 发车，小明在 7 : 50 至8 : 30 之间到达发车站乘坐班车，且到达发车丫的时候是随机的，则他等车时间不超过 10 分钟的概率是（ ）A ．1 B ．1C ．2 D ．3 3234【2015，10】 (x 2 + x + y )5 的展开式中， x 5 y 2 的系数为（）A ．10B ．20C ．30D ．60【2015，4】投篮测试中，每人投 3 次，至少投中 2 次才能通过测试．已知某同学每次投篮投中的概率为 0．6， 且各次投篮是否投中相互独立，则该同学通过测试的概率为（ ）A ．0．648B ．0．432C ．0．36D ．0．312 【2014，5】4 位同学各自在周六、周日两天中任选一天参加公益活动，则周六、周日都有同学参加公益活 动的概率（ ）A ． 18 B ． 38 C ． 58 D ． 78【2013，3】为了解某地区的中小学生的视力情况，拟从该地区的中小学生中抽取部分学生进行调查，事 先已了解到该地区小学、初中、高中三个学段学生的视力情况有较大差异，而男女生视力情况差异不大．在 下面的抽样方法中，最合理的抽样方法是( )A ．简单随机抽样B ．按性别分层抽样C ．按学段分层抽样D ．系统抽样 【2013，9】设 m 为正整数， ( x + y )2m 展开式的二项式系数的最大值为 a ， (x + y )2m +1展开式的二项式系 数的最大值为 b ．若 13a ＝7b ，则 m ＝( )A ．5B ．6C ．7D ．8 【2012，2】将 2 名教师，4 名学生分成 2 个小组，分别安排到甲、乙两地参加社会实践活动，每个小组由 1 名教师和 2 名学生组成，不同的安排方案共有（ ）A ．12 种B ．10 种C ．9 种D ．8 种【2011，8】 ⎛ x + a ⎫ ⎛2x - 1 ⎫的展开式中各项系数的和为 2，则该展开式中常数项为（ ） x ⎪ x ⎪ ⎝ ⎭ ⎝⎭ A ． -40B ． -20C ．20D ．40【2011，4】有 3 个兴趣小组，甲、乙两位同学各自参加其中一个小组，每位同学参加各个小组的可能性相同，则这两位同学参加同一个兴趣小组的概率为（）A ． 13二、填空题B ． 12C ． 23D ． 34【2016，14】 (2x +x )5 的展开式中， x 3 的系数是 ．（用数字填写答案）【2014，13】 (x - y )(x + y )8 的展开式中 x 2 y 7 的系数为 ．(用数字填写答案)【2012，15】某一部件由三个电子元件按下图方式连接而成，元件 1 或元件 2 正常工作，且元件 3 正常工作，则部件正常工作．设三个 电子元件的使用寿命（单位：小时）均服从正态分布 N （1000，502），且各个元件元件1元件2元件3 能否正常工作相互独立，那么该部件的使用寿命超过 1000 小时的概率为 ． 三、解答题【2017，19】为了监控某种零件的一条生产线的生产过程，检验员每天从该生产线上随机抽取16 个零件， 并测量其尺寸（单位：cm ）．根据长期生产经验，可以认为这条生产线正常状态下生产的零件的尺寸服从 正态分布N (μ,σ2)． （1）假设生产状态正常，记X 表示一天内抽取的 16 个零件中其尺寸在(μ–3σ,μ+3σ)之外的零件数，求P (X ≥1)及 X 的数学期望；（2）一天内抽检零件中，如果出现了尺寸在(μ–3σ,μ+3σ)之外的零件，就认为这条生产线在这一天的 生产过程可能出现了异常情况，需对当天的生产过程进行检查．（ⅰ）试说明上述监控生产过程方法的合理性；（ⅱ）下面是检验员在一天内抽取的16 个零件的尺寸：1 16经计算得 x = ∑ x i = 9.97 ，s ==≈ 0.212 ，其中 x i 为抽取 16 i =1的第i 个零件的尺寸，i =1,2, (16)用样本平均数x 作为 μ 的估计值 μˆ ，用样本标准差 s 作为 σ 的估计值σˆ ，利用估计值判断是否需对当 天的生产过程进行检查？剔除(μˆ - 3σˆ , μˆ + 3σˆ ) 之外的数据，用剩下的数据估计 μ 和 σ（精确到 0．01）． 附：若随机变量Z 服从正态分布 N (μ,σ2)，则 P (μ–3σ<Z <μ+3σ)=0．9974，0．997416≈0．9592≈ 0.09 ．【2016，19】某公司计划购买2 台机器，该种机器使用三年后即被淘汰．机器有一易损零件，在购进机器时，可以额外购买这种零件作为备件，每个200 元．在机器使用期间，如果备件不足再购买，则每个500 元．现需决策在购买机器时应同时购买几个易损零件，为此搜集并整理了100 台这种机器在三年使用期内更换的易损零件数，得下面柱状图：以这100 台机器更换的易损零件数的频率代替1 台机器更换的易损零件数发生的概率，记X 表示2 台机器三年内共需更换的易损零件数，n 表示购买2 台机器的同时购买的易损零件数．（Ⅰ）求X 的分布列；（Ⅱ）若要求P( X ≤n) ≥ 0.5 ，确定n 的最小值；（Ⅲ）以购买易损零件所需费用的期望值为决策依据，在n = 19 与n = 20 之中选其一，应选用哪个？8【2015，19】某公司为确定下一年度投入某种产品的宣传费，需了解年宣传费 x （单位：千元）对年销售 量 y （单位：t ）和年利润 z （单位：千元）的影响，对近 8 年的年宣传费 x i 和年销售量 y i （i = 1, 2, , 8 ）数据作了初步处理，得到下面的散点图及一些统计量的值．1 8表中 w i =， w =∑ wii =1（Ⅰ）根据散点图判断， y = a + bx 与 y = c + y 关于年宣传费 x 的回归方程类型？（给出判断即可，不必说明理由）（Ⅱ）根据（Ⅰ）的判断结果及数据，建立 y 关于 x 的回归方程；（III ）已知这种产品的年利润 z 与 x ， y 的关系为 z = 0.2 y - x ，根据（Ⅱ）的结果回答下列问题：（i ）年宣传费 x =49 时，年销售量及年利润的预报值是多少？（ii ）年宣传费 x 为何值时，年利润的预报值最大？附：对于一组数据 (u 1 , v 1 ), (u 2 , v 2 ), , (u n , v n ) ，其回归直线 v = α + β u 的斜率和截距的最小二乘估计n∑ (ui- u )(v i - v )分别为 β = i =1n，α = v - β u ．∑i =1(u i- u )2【2014，18）】从某企业的某种产品中抽取500 件，测量这些产品的一项质量指标值，由测量结果得如下频率分布直方图：(Ⅰ)求这500 件产品质量指标值的样本平均数x 和样本方差s 2 （同一组数据用该区间的中点值作代表）；（Ⅱ）由频率分布直方图可以认为，这种产品的质量指标值Z 服从正态分布N(μ,δ2 ) ，其中μ近似为样本平均数x ，δ2 近似为样本方差s 2 ．(i)利用该正态分布，求P(187.8 <Z < 212.2) ；（ii）某用户从该企业购买了100 件这种产品，记X 表示这100 件产品中质量指标值为于区间（187．8,212．2）的产品件数，利用（i）的结果，求EX ．12．2．若Z ～N(μ,δ2 ) ，则P(μ-δ<Z <μ+δ) =0．6826，P(μ- 2δ<Z <μ+ 2δ) =0．9544．【2013，19】一批产品需要进行质量检验，检验方案是：先从这批产品中任取4 件作检验，这4 件产品中优质品的件数记为n．如果n＝3，再从这批产品中任取4 件作检验，若都为优质品，则这批产品通过检验；如果n＝4，再从这批产品中任取1 件作检验，若为优质品，则这批产品通过检验；其他情况下，这批产品都不能通过检验．假设这批产品的优质品率为50%，即取出的每件产品是优质品的概率都为1，且各件产品是否为优质2品相互独立．(1)求这批产品通过检验的概率；(2)已知每件产品的检验费用为100 元，且抽取的每件产品都需要检验，对这批产品作质量检验所需的费用记为X(单位：元)，求X 的分布列及数学期望．【2012，18】某花店每天以每枝5 元的价格从农场购进若干枝玫瑰花，然后以每枝10 元的价格出售，如果当天卖不完，剩下的玫瑰花作垃圾处理．（1）若花店一天购进16 枝玫瑰花，求当天的利润y（单位：元）关于当天需求量n（单位：枝，n N ）的函数解析式；（2）花店记录了100 天玫瑰花的日需求量（单位：枝），整理得下表：以100 天记录的各需求量的频率作为各需求量发生的概率．①若花店一天购进16 枝玫瑰花，X 表示当天的利润（单位：元），求X 的分布列、数学期望及方差；②若花店计划一天购进16 枝或17 枝玫瑰花，你认为应购进16 枝还是17 枝？请说明理由．⎨ ⎩ 【2011，19】某种产品的质量以其质量指标值衡量，质量指标值越大表明质量越好，且质量指标值大于或 等于 102 的产品为优质品，现用两种新配方（分别称为 A 配方和 B 配方）做试验，各生产了 100 件这种产 品，并测量了每件产品的质量指标值，得到下面试验结果： A 配方的频数分布表B 配方的频数分布表（Ⅰ）分别估计用 A 配方，B 配方生产的产品的优质品率；⎧-2, t < 94（Ⅱ）已知用 B 配方生成的一件产品的利润 y(单位：元)与其质量指标值 t 的关系式为y = ⎪2, 94 ≤ t < 102 ⎪4, t ≥ 102从用 B 配方生产的产品中任取一件，其利润记为 X （单位：元），求 X 的分布列及数学期望．（以试验结果中质量指标值落入各组的频率作为一件产品的质量指标值落入相应组的概率）10．复数及其运算一、选择题【2017，3】设有下面四个命题1p 1 : 若复数 z 满足 ∈ R ，则 z ∈ R ； p 2 : 若复数 z 满足 z 2 ∈ R ，则z ∈ R ； z p 3 : 若复数 z 1 , z 2 满足 z 1 z 2 ∈ R ，则 z 1 = z 2 ； p 4 : 若复数 z ∈ R ，则 z ∈R ． 其中的真命题为（ ）A ． p 1 , p 3B ． p 1 , p 4C ． p 2 , p 3D ． p 2 , p 4【2016，2】设 (1 + i )x = 1 + yi ，其中 x , y 是实数，则 x + yi = （ ）A ．1B ． 2C ． 3D ． 2【2015，1】设复数 z 满足1 + z= i ，则| z | =（ ） 1 - zA ．1B C ．D ．2(1 + i )3【2014，2】(1 - i )2=（ ）A ．1 + iB ．1 - iC ． -1+ iD ．-1- i 【2013，2】若复数 z 满足(3－4i)z ＝|4＋3i|，则 z 的虚部为()．A ．－4B ． - 45C ．4D ． 45【2012，3】下面是关于复数 z = 22 -1 + i的四个命题：p 1 ：| z |= 2 ； p 2 ： z = 2i ； p 3 ： z 的共轭复数为1 + i ； p 4 ： z 的虚部为 -1．其中的真命题为（ ）A ． p 2 ， p 3B ． p 1 ， p 2C ． p 2 ， p 4D ． p 3 ， p 4【2011，1】复数2 + i的共轭复数是（ ） 1 - 2iA ． - 3 i5B ． 3 iC ． -i5D ．i11．程序框图一、选择题【2017，8】右面程序框图是为了求出满足3n - 2n >1000 的最小偶数n，那么在两个空白框中，可以分别填入A．A+1 B．A>1000 和n=n+2C．A ≤1000 和n=n+1 D．A ≤1000 和n=n+2【2017，8】【2016，9】【2015，9】【2016，9】执行右面的程序框图，如果输入的x = 0 ，y =1，n =1，则输出x, y 的值满足（）A．y =2x B．y =3x C．y =4x D．y =5x【2015，9】执行右面的程序框图，如果输入的t =0.01，则输出的n =（）A．5 B．6 C．7 D．8【2014，7】执行下图的程序框图，若输入的a,b, k 分别为1,2,3，则输出的M =（）A ．203B ．165C ．72D ．158【2013，5】执行下面的程序框图，如果输入的t∈[－1,3]，则输出的s 属于( )．A．[－3,4] B．[－5,2] C．[－4,3] D．[－2,5]【2012，6】如果执行右边和程序框图，输入正整数N （N ≥ 2 ）和实数a1 ，a2 ，…，a N ，输出A，B，则（）A．A +B 为a1 ，a2 ，…，a N 的和B．A +B为a ，a ，…，a 的算术平均数2 1 2 NC．A 和B 分别是a1 ，a2 ，…，a N 中最大的数和最小的数D．A 和B 分别是a1 ，a2 ，…，a N 中最小的数和最大的数【2013，5】【2012，6】【2011，3】【2011,3】执行右面的程序框图，如果输入的N 是6，那么输出的p 是（）A．120 B．720 C．1440 D．5040⎩12．坐标系与参数方程一、解答题⎧ x = 3cos θ ,【2017，22】（选修 4-4，坐标系与参数方程）在直角坐标系 xOy 中，曲线 C 的参数方程为 ⎨（θ ⎩ y = sin θ ,⎧ x = a + 4t ,为参数），直线 l 的参数方程为 ⎨ y = 1 - t , （ t 为参数）．（1）若 a = -1 ，求 C 与 l 的交点坐标；（2）若 C 上的点到 l 的距离的最大值为a ．⎧x = a cos t ,【2016，23】（选修 4－4：坐标系与参数方程）在直角坐标系 xOy 中，曲线 C 1 的参数方程为 ⎨⎩ y = 1 + a sin t ,(t 为参数， a > 0) ．在以坐标原点为极点， x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C 2 : ρ = 4 c os θ ．（Ⅰ）说明 C 1 是哪一种曲线，并将 C 1 的方程化为极坐标方程；（Ⅱ）直线 C 3 的极坐标方程为θ = α 0 ，其中α 0 满足 tan α 0 = 2 ，若曲线 C 1 与 C 2 的公共点都在C 3 上， 求 a ．。
2011年高考新课标全国卷理科数学试题(附答案)
2011年普通高等学校招生全国统一考试（新课标全国卷）理科数学第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． （1）复数212ii +=- （A ）35i - （B ）35i （C ）i - （D ）i （2）下列函数中，既是偶函数又在(0,)+∞单调递增的函数是（A ）3y x = （B ）||1y x =+ （C ）21y x =-+ （D ）||2x y -= （3）执行右面的程序框图，如果输入的N 是6，那么输出的p 是（A ）120 （B ） 720 （C ） 1440 （D ） 5040 （4）有3个兴趣小组，甲、乙两位同学各自参加其中一个小组，每位同学参加各个小组的可能性相同，则这两位同学参加同一个兴趣小组的概率为 （A ）13 （B ） 12 （C ）23 （D ）34（5）已知角θ的顶点与原点重合，始边与x 轴的正半轴重合，终边在直线2y x =上，则cos 2θ= （A ） 45-（B ）35- （C ） 35 （D ）45（6）在一个几何体的三视图中，正视图与俯视图如右图所示，则相应的侧视图可以为俯视图正视图DCB A（7）已知直线l 过双曲线C 的一个焦点，且与C 的对称轴垂直，l 与C 交于A ，B 两点，||AB 为C 的实轴长的2倍，C 的离心率为（A （B （C ） 2 （D ） 3（8）51()(2)ax x x x+-的展开式中各项系数的和为2，则该展开式中常数项为（A ）—40 （B ）—20 （C ）20 （D ）40（9）曲线y =，直线2y x =-及y 轴所围成的图形的面积为（A ）103 （B ）4 （C ） 163（D ） 6 （10）已知a ，b 均为单位向量，其夹角为θ，有下列四个命题1:||1p +>a b ⇔2[0,)3πθ∈ 2:p ||+a b 1>⇔θ∈2(,]3ππ 3:||1p ->a b ⇔θ∈[0,)3π 4:||1p ->a b ⇔θ∈(,]3ππ其中真命题是（A ） 14,p p （B ） 13,p p （C ） 23,p p （D ） 24,p p （11）设函数()sin()cos()f x x x ωϕωϕ=+++(0,||)2πωϕ><的最小正周期为π，且()()f x f x -=则 （A ）()y f x =在(0,)2π单调递减 （B ）()y f x =在3(,)44ππ单调递减 （C ）()y f x =在(0,)2π单调递增 （D ）()y f x =在3(,)44ππ单调递增 （12）函数11y x=-的图象与函数2sin (24)y x x π=-剟的图象所有交点的橫坐标之和等于（A ）2 （B ）4 （C ）6 （D ）8第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分．第13题-第21题为必考题，每个试题考生都必须做答．第22题-第24题为选考题，考生根据要求做答． 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．（13）若变量x ，y 满足约束条件32969x y x y ≤+≤⎧⎨≤-≤⎩，则2z x y =+的最小值是_________．（14）在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C 的中心为原点，焦点12,F F 在x 轴上，离心率为．过点1F 的直线l 交C 于A ，B 两点，且2ABF ∆的周长为16，那么C 的方程为_________．（15）已知矩形ABCD 的顶点都在半径为4的球O 的球面上，且AB =6，BC =锥O ABCD -的体积为_____________．（16）ABC ∆中，60,B AC =︒=，则AB +2BC 的最大值为_________． 三、解答题：解答应写文字说明，证明过程或演算步骤． （17）（本小题满分12分）已知等比数列{}n a 的各项均为正数，且212326231,9a a a a a +==． （I ）求数列{}n a 的通项公式．（II ）设31323log log log n n b a a a =+++ ，求数列1{}nb 的前n 项和．（18）（本小题满分12分）如图，四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为平行四边形，60DAB ∠=︒，2AB AD =，PD ⊥底面ABCD（I ）证明：PA BD ⊥；（II ）若PD AD =，求二面角A PB C --的余弦值．（19）（本小题满分12分）某种产品的质量以其质量指标值衡量，质量指标越大表明质量越好，且质量指标值大于或等于102的产品为优质品．现用两种新配方（分别称为A 配方和B 配方）做试验，各生产了100件这种产品，并测量了每产品的质量指标值，得到时下面试验结果：A 配方的频数分布表B 配方的频数分布表（II ）已知用B 配方生产的一种产品利润y （单位：元）与其质量指标值t 的关系式为2,942,941024,102t y t t -<⎧⎪=≤<⎨⎪≥⎩从用B 配方生产的产品中任取一件，其利润记为X （单位：元）．求X 的分布列及数学期望．（以试验结果中质量指标值落入各组的频率作为一件产品的质量指标值落入相应组的概率）．（20）（本小题满分12分）在平面直角坐标系xOy 中， 已知点(0,1)A -，B 点在直线3y =-上，M 点满足//MB OA ，MA AB MB BA =，M 点的轨迹为曲线C ．（I ）求C 的方程；（II ）P 为C 上动点，l 为C 在点P 处的切线，求O 点到l 距离的最小值．（21）（本小题满分12分）已知函数ln ()1a x bf x x x=++，曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程为 230x y +-=．（I ）求,a b 的值；（II ）如果当0x >，且1x ≠时，ln ()1x kf x x x>+-，求k 的取值范围．请考生在第（22）、（23）、（24）三题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题记分．做答时用2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应题号下方的方框涂黑． （22）（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲如图，D ，E 分别为ABC ∆的边AB ，AC 上的点，且不与ABC ∆的顶点重合．已知AE 的长为m ，AC 的长为n ，AD ，AB 的长是关于x 的方程2140x x mn -+=的两个根．（I ）证明：,,,C B D E 四点共圆；（II ）若90A ∠=︒，且4,6,m n ==求,,,C B D E 所在圆的半径．（23）（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为2cos (22sin x y ααα=⎧⎨=+⎩为参数），M 为1C 上的动点，P 点满足2OP OM =，点P 的轨迹为曲线2C ．（I ）求2C 的方程；（II ）在以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中，射线3πθ=与1C 的异于极点的交点为A ，与2C 的异于极点的交点为B ，求||AB .（24）（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲设函数()||3f x x a x =-+，其中0a >．（I ）当1a =时，求不等式()32f x x ≥+的解集． （II ）若不等式()0f x ≤的解集为｛x|1}x ≤-，求a 的值．2011年普通高等学校招生全国统一考试（新课标全国卷）理科数学答案（1）C 【解析】212i i+-=(2)(12),5i i i ++=共轭复数为C ． （2）B 【解析】3y x =为奇函数，21y x =-+在(0,)+∞上为减函数，||2x y -=在(0,)+∞上为减函数，故选B ．（3）B 【解析】框图表示1n n a n a -=⋅，且11a =所求6a =720，选B ．（4）A 【解析】每个同学参加的情形都有3种，故两个同学参加一组的情形有9种，而参加同一组的情形只有3种，所求的概率为P =3193=，选A ． （5）B 【解析】由题知tan 2θ=,222222cos sin 1tan 3cos2cos sin 1tan 5θθθθθθθ--===-++，选B ．（6）D 【解析】条件对应的几何体是由底面棱长为r 的正四棱锥沿底面对角线截出的部分与底面为半径为r 的圆锥沿对称轴截出的部分构成的。
2017年全国统一高考数学试卷(理科)(新课标ⅰ)(含解析版)
2017年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标Ⅰ）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）已知集合A={x|x＜1}，B={x|3x＜1}，则（ ）A．A∩B={x|x＜0}B．A∪B=R C．A∪B={x|x＞1}D．A∩B=∅2．（5分）如图，正方形ABCD内的图形来自中国古代的太极图．正方形内切圆中的黑色部分和白色部分关于正方形的中心成中心对称．在正方形内随机取一点，则此点取自黑色部分的概率是（ ）A．B．C．D．3．（5分）设有下面四个命题p1：若复数z满足∈R，则z∈R；p2：若复数z满足z2∈R，则z∈R；p 3：若复数z1，z2满足z1z2∈R，则z1=；p4：若复数z∈R，则∈R．其中的真命题为（ ）A．p1，p3B．p1，p4C．p2，p3D．p2，p4 4．（5分）记S n为等差数列{a n}的前n项和．若a4+a5=24，S6=48，则{a n}的公差为（ ）A．1B．2C．4D．85．（5分）函数f（x）在（﹣∞，+∞）单调递减，且为奇函数．若f（1）=﹣1，则满足﹣1≤f（x﹣2）≤1的x的取值范围是（ ）A．[﹣2，2]B．[﹣1，1]C．[0，4]D．[1，3]6．（5分）（1+）（1+x）6展开式中x2的系数为（ ）A．15B．20C．30D．357．（5分）某多面体的三视图如图所示，其中正视图和左视图都由正方形和等腰直角三角形组成，正方形的边长为2，俯视图为等腰直角三角形，该多面体的各个面中有若干个是梯形，这些梯形的面积之和为（ ）A．10B．12C．14D．168．（5分）如图程序框图是为了求出满足3n﹣2n＞1000的最小偶数n，那么在和两个空白框中，可以分别填入（ ）A．A＞1000和n=n+1B．A＞1000和n=n+2C．A≤1000和n=n+1D．A≤1000和n=n+29．（5分）已知曲线C1：y=cosx，C2：y=sin（2x+），则下面结论正确的是（ ）A．把C1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移个单位长度，得到曲线C2B．把C1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移个单位长度，得到曲线C2C．把C1上各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移个单位长度，得到曲线C2D．把C1上各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移个单位长度，得到曲线C210．（5分）已知F为抛物线C：y2=4x的焦点，过F作两条互相垂直的直线l1，l2，直线l1与C交于A、B两点，直线l2与C交于D、E两点，则|AB|+|DE|的最小值为（ ）A．16B．14C．12D．1011．（5分）设x、y、z为正数，且2x=3y=5z，则（ ）A．2x＜3y＜5z B．5z＜2x＜3y C．3y＜5z＜2x D．3y＜2x＜5z 12．（5分）几位大学生响应国家的创业号召，开发了一款应用软件．为激发大家学习数学的兴趣，他们推出了“解数学题获取软件激活码”的活动．这款软件的激活码为下面数学问题的答案：已知数列1，1，2，1，2，4，1，2，4，8，1，2，4，8，16，…，其中第一项是20，接下来的两项是20，21，再接下来的三项是20，21，22，依此类推．求满足如下条件的最小整数N：N＞100且该数列的前N项和为2的整数幂．那么该款软件的激活码是（ ）A．440B．330C．220D．110二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．（5分）已知向量，的夹角为60°，||=2，||=1，则|+2|= ．14．（5分）设x，y满足约束条件，则z=3x﹣2y的最小值为 ．15．（5分）已知双曲线C：﹣=1（a＞0，b＞0）的右顶点为A，以A为圆心，b为半径作圆A，圆A与双曲线C的一条渐近线交于M、N两点．若∠MAN=60°，则C的离心率为 ．16．（5分）如图，圆形纸片的圆心为O，半径为5cm，该纸片上的等边三角形ABC的中心为O．D、E、F为圆O上的点，△DBC，△ECA，△FAB分别是以BC ，CA，AB为底边的等腰三角形．沿虚线剪开后，分别以BC，CA，AB为折痕折起△DBC，△ECA，△FAB，使得D、E、F重合，得到三棱锥．当△ABC的边长变化时，所得三棱锥体积（单位：cm3）的最大值为 ．三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．17．（12分）△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知△ABC的面积为．（1）求sinBsinC；（2）若6cosBcosC=1，a=3，求△ABC的周长．18．（12分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，AB∥CD，且∠BAP=∠CDP=90°．（1）证明：平面PAB⊥平面PAD；（2）若PA=PD=AB=DC，∠APD=90°，求二面角A﹣PB﹣C的余弦值．19．（12分）为了监控某种零件的一条生产线的生产过程，检验员每天从该生产线上随机抽取16个零件，并测量其尺寸（单位：cm）．根据长期生产经验，可以认为这条生产线正常状态下生产的零件的尺寸服从正态分布N（μ，σ2）．（1）假设生产状态正常，记X表示一天内抽取的16个零件中其尺寸在（μ﹣3σ，μ+3σ）之外的零件数，求P（X≥1）及X的数学期望；（2）一天内抽检零件中，如果出现了尺寸在（μ﹣3σ，μ+3σ）之外的零件，就认为这条生产线在这一天的生产过程可能出现了异常情况，需对当天的生产过程进行检查．（ⅰ）试说明上述监控生产过程方法的合理性；（ⅱ）下面是检验员在一天内抽取的16个零件的尺寸：9.9510.129.969.9610.019.929.9810.0410.269.9110.1310.029.2210.0410.059.95经计算得==9.97，s==≈0.212，其中x i为抽取的第i个零件的尺寸，i=1，2， (16)用样本平均数作为μ的估计值，用样本标准差s作为σ的估计值，利用估计值判断是否需对当天的生产过程进行检查？剔除（﹣3+3）之外的数据，用剩下的数据估计μ和σ（精确到0.01）．附：若随机变量Z服从正态分布N（μ，σ2），则P（μ﹣3σ＜Z＜μ+3σ）=0.9974，0.997416≈0.9592，≈0.09．20．（12分）已知椭圆C：+=1（a＞b＞0），四点P1（1，1），P2（0，1），P3（﹣1，），P4（1，）中恰有三点在椭圆C上．（1）求C的方程；（2）设直线l不经过P2点且与C相交于A，B两点．若直线P2A与直线P2B的斜率的和为﹣1，证明：l过定点．21．（12分）已知函数f（x）=ae2x+（a﹣2）e x﹣x．（1）讨论f（x）的单调性；（2）若f（x）有两个零点，求a的取值范围．[选修4-4，坐标系与参数方程]22．（10分）在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为，（θ为参数），直线l的参数方程为，（t为参数）．（1）若a=﹣1，求C与l的交点坐标；（2）若C上的点到l距离的最大值为，求a．[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数f（x）=﹣x2+ax+4，g（x）=|x+1|+|x﹣1|．（1）当a=1时，求不等式f（x）≥g（x）的解集；（2）若不等式f（x）≥g（x）的解集包含[﹣1，1]，求a的取值范围．2017年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标Ⅰ）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）已知集合A={x|x＜1}，B={x|3x＜1}，则（ ）A．A∩B={x|x＜0}B．A∪B=R C．A∪B={x|x＞1}D．A∩B=∅【考点】1E：交集及其运算．【专题】11：计算题；37：集合思想；4O：定义法；5J：集合．【分析】先分别求出集合A和B，再求出A∩B和A∪B，由此能求出结果．【解答】解：∵集合A={x|x＜1}，B={x|3x＜1}={x|x＜0}，∴A∩B={x|x＜0}，故A正确，D错误；A∪B={x|x＜1}，故B和C都错误．故选：A．【点评】本题考查交集和并集求法及应用，是基础题，解题时要认真审题，注意交集、并集定义的合理运用．2．（5分）如图，正方形ABCD内的图形来自中国古代的太极图．正方形内切圆中的黑色部分和白色部分关于正方形的中心成中心对称．在正方形内随机取一点，则此点取自黑色部分的概率是（ ）A．B．C．D．【考点】CF：几何概型．【专题】35：转化思想；4O：定义法；5I：概率与统计．【分析】根据图象的对称性求出黑色图形的面积，结合几何概型的概率公式进行求解即可．【解答】解：根据图象的对称性知，黑色部分为圆面积的一半，设圆的半径为1，则正方形的边长为2，则黑色部分的面积S=，则对应概率P==，故选：B．【点评】本题主要考查几何概型的概率计算，根据对称性求出黑色阴影部分的面积是解决本题的关键．3．（5分）设有下面四个命题p1：若复数z满足∈R，则z∈R；p2：若复数z满足z2∈R，则z∈R；p 3：若复数z1，z2满足z1z2∈R，则z1=；p4：若复数z∈R，则∈R．其中的真命题为（ ）A．p1，p3B．p1，p4C．p2，p3D．p2，p4【考点】2K：命题的真假判断与应用；A1：虚数单位i、复数；A5：复数的运算．【专题】2A：探究型；5L：简易逻辑；5N：数系的扩充和复数．【分析】根据复数的分类，有复数性质，逐一分析给定四个命题的真假，可得答案．【解答】解：若复数z满足∈R，则z∈R，故命题p1为真命题；p2：复数z=i满足z2=﹣1∈R，则z∉R，故命题p2为假命题；p 3：若复数z1=i，z2=2i满足z1z2∈R，但z1≠，故命题p3为假命题；p4：若复数z∈R，则=z∈R，故命题p4为真命题．故选：B．【点评】本题以命题的真假判断与应用为载体，考查了复数的运算，复数的分类，复数的运算性质，难度不大，属于基础题．4．（5分）记S n为等差数列{a n}的前n项和．若a4+a5=24，S6=48，则{a n}的公差为（ ）A．1B．2C．4D．8【考点】84：等差数列的通项公式；85：等差数列的前n项和．【专题】11：计算题；34：方程思想；4O：定义法；54：等差数列与等比数列．【分析】利用等差数列通项公式及前n项和公式列出方程组，求出首项和公差，由此能求出{a n}的公差．【解答】解：∵S n为等差数列{a n}的前n项和，a4+a5=24，S6=48，∴，解得a1=﹣2，d=4，∴{a n}的公差为4．故选：C．【点评】本题考查等差数列公式的求法及应用，是基础题，解题时要认真审题，注意等差数列的性质的合理运用．5．（5分）函数f（x）在（﹣∞，+∞）单调递减，且为奇函数．若f（1）=﹣1，则满足﹣1≤f（x﹣2）≤1的x的取值范围是（ ）A．[﹣2，2]B．[﹣1，1]C．[0，4]D．[1，3]【考点】3P：抽象函数及其应用．【专题】35：转化思想；4R：转化法；51：函数的性质及应用．【分析】由已知中函数的单调性及奇偶性，可将不等式﹣1≤f（x﹣2）≤1化为﹣1≤x﹣2≤1，解得答案．【解答】解：∵函数f（x）为奇函数．若f（1）=﹣1，则f（﹣1）=1，又∵函数f（x）在（﹣∞，+∞）单调递减，﹣1≤f（x﹣2）≤1，∴f（1）≤f（x﹣2）≤f（﹣1），∴﹣1≤x﹣2≤1，解得：x∈[1，3]，故选：D．【点评】本题考查的知识点是抽象函数及其应用，函数的单调性，函数的奇偶性，难度中档．6．（5分）（1+）（1+x）6展开式中x2的系数为（ ）A．15B．20C．30D．35【考点】DA：二项式定理．【专题】35：转化思想；4R：转化法．【分析】直接利用二项式定理的通项公式求解即可．【解答】解：（1+）（1+x）6展开式中：若（1+）=（1+x﹣2）提供常数项1，则（1+x）6提供含有x2的项，可得展开式中x2的系数：若（1+）提供x﹣2项，则（1+x）6提供含有x4的项，可得展开式中x2的系数：由（1+x）6通项公式可得．可知r=2时，可得展开式中x2的系数为．可知r=4时，可得展开式中x2的系数为．（1+）（1+x）6展开式中x2的系数为：15+15=30．故选：C．【点评】本题主要考查二项式定理的知识点，通项公式的灵活运用．属于基础题．7．（5分）某多面体的三视图如图所示，其中正视图和左视图都由正方形和等腰直角三角形组成，正方形的边长为2，俯视图为等腰直角三角形，该多面体的各个面中有若干个是梯形，这些梯形的面积之和为（ ）A．10B．12C．14D．16【考点】L!：由三视图求面积、体积．【专题】11：计算题；31：数形结合；44：数形结合法；5Q：立体几何．【分析】由三视图可得直观图，由图形可知该立体图中只有两个相同的梯形的面，根据梯形的面积公式计算即可【解答】解：由三视图可画出直观图，该立体图中只有两个相同的梯形的面，S梯形=×2×（2+4）=6，∴这些梯形的面积之和为6×2=12，故选：B．【点评】本题考查了体积计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题． 8．（5分）如图程序框图是为了求出满足3n﹣2n＞1000的最小偶数n，那么在和两个空白框中，可以分别填入（ ）A．A＞1000和n=n+1B．A＞1000和n=n+2C．A≤1000和n=n+1D．A≤1000和n=n+2【考点】EF：程序框图．【专题】11：计算题；38：对应思想；49：综合法；5K：算法和程序框图．【分析】通过要求A＞1000时输出且框图中在“否”时输出确定“”内不能输入“A＞1000”，进而通过偶数的特征确定n=n+2．【解答】解：因为要求A＞1000时输出，且框图中在“否”时输出，所以“”内不能输入“A＞1000”，又要求n为偶数，且n的初始值为0，所以“”中n依次加2可保证其为偶数，所以D选项满足要求，故选：D．【点评】本题考查程序框图，属于基础题，意在让大部分考生得分．9．（5分）已知曲线C1：y=cosx，C2：y=sin（2x+），则下面结论正确的是（ ）A．把C1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移个单位长度，得到曲线C2B．把C1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移个单位长度，得到曲线C2C．把C1上各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移个单位长度，得到曲线C2D．把C1上各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移个单位长度，得到曲线C2【考点】HJ：函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．【专题】11：计算题；35：转化思想；57：三角函数的图像与性质．【分析】利用三角函数的伸缩变换以及平移变换转化求解即可．【解答】解：把C1上各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，得到函数y=cos2x图象，再把得到的曲线向左平移个单位长度，得到函数y=cos2（x+）=cos（2x+）=sin（2x+）的图象，即曲线C2，故选：D．【点评】本题考查三角函数的图象变换，诱导公式的应用，考查计算能力．10．（5分）已知F为抛物线C：y2=4x的焦点，过F作两条互相垂直的直线l1，l2，直线l1与C交于A、B两点，直线l2与C交于D、E两点，则|AB|+|DE|的最小值为（ ）A．16B．14C．12D．10【考点】K8：抛物线的性质．【专题】11：计算题；34：方程思想；4R：转化法；5D：圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】方法一：根据题意可判断当A与D，B，E关于x轴对称，即直线DE的斜率为1，|AB|+|DE|最小，根据弦长公式计算即可．方法二：设直线l1的倾斜角为θ，则l2的倾斜角为+θ，利用焦点弦的弦长公式分别表示出|AB|，|DE|，整理求得答案【解答】解：如图，l1⊥l2，直线l1与C交于A、B两点，直线l2与C交于D、E两点，要使|AB|+|DE|最小，则A与D，B，E关于x轴对称，即直线DE的斜率为1，又直线l2过点（1，0），则直线l2的方程为y=x﹣1，联立方程组，则y2﹣4y﹣4=0，∴y1+y2=4，y1y2=﹣4，∴|DE|=•|y1﹣y2|=×=8，∴|AB|+|DE|的最小值为2|DE|=16，方法二：设直线l1的倾斜角为θ，则l2的倾斜角为+θ，根据焦点弦长公式可得|AB|==|DE|===∴|AB|+|DE|=+==，∵0＜sin22θ≤1，∴当θ=45°时，|AB|+|DE|的最小，最小为16，故选：A．【点评】本题考查了抛物线的简单性质以及直线和抛物线的位置关系，弦长公式，对于过焦点的弦，能熟练掌握相关的结论，解决问题事半功倍属于中档题． 11．（5分）设x、y、z为正数，且2x=3y=5z，则（ ）A．2x＜3y＜5z B．5z＜2x＜3y C．3y＜5z＜2x D．3y＜2x＜5z【考点】72：不等式比较大小．【专题】35：转化思想；51：函数的性质及应用；59：不等式的解法及应用．【分析】x、y、z为正数，令2x=3y=5z=k＞1．lgk＞0．可得x=，y=，z=．可得3y=，2x=，5z=．根据==，＞=．即可得出大小关系．另解：x、y、z为正数，令2x=3y=5z=k＞1．lgk＞0．可得x=，y=，z=．==＞1，可得2x＞3y，同理可得5z＞2x．【解答】解：x、y、z为正数，令2x=3y=5z=k＞1．lgk＞0．则x=，y=，z=．∴3y=，2x=，5z=．∵==，＞=．∴＞lg＞＞0．∴3y＜2x＜5z．另解：x、y、z为正数，令2x=3y=5z=k＞1．lgk＞0．则x=，y=，z=．∴==＞1，可得2x＞3y，==＞1．可得5z＞2x．综上可得：5z＞2x＞3y．解法三：对k取特殊值，也可以比较出大小关系．故选：D．【点评】本题考查了对数函数的单调性、换底公式、不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．12．（5分）几位大学生响应国家的创业号召，开发了一款应用软件．为激发大家学习数学的兴趣，他们推出了“解数学题获取软件激活码”的活动．这款软件的激活码为下面数学问题的答案：已知数列1，1，2，1，2，4，1，2，4，8，1，2，4，8，16，…，其中第一项是20，接下来的两项是20，21，再接下来的三项是20，21，22，依此类推．求满足如下条件的最小整数N：N＞100且该数列的前N项和为2的整数幂．那么该款软件的激活码是（ ）A．440B．330C．220D．110【考点】8E：数列的求和．【专题】35：转化思想；4R：转化法；54：等差数列与等比数列．【分析】方法一：由数列的性质，求得数列{b n}的通项公式及前n项和，可知当N为时（n∈N+），数列{a n}的前N项和为数列{b n}的前n项和，即为2n+1﹣n﹣2，容易得到N＞100时，n≥14，分别判断，即可求得该款软件的激活码；方法二：由题意求得数列的每一项，及前n项和S n=2n+1﹣2﹣n，及项数，由题意可知：2n+1为2的整数幂．只需将﹣2﹣n消去即可，分别即可求得N的值．【解答】解：设该数列为{a n}，设b n=+…+=2n+1﹣1，（n∈N+），则=a i，由题意可设数列{a n}的前N项和为S N，数列{b n}的前n项和为T n，则T n=21﹣1+22﹣1+…+2n+1﹣1=2n+1﹣n﹣2，可知当N为时（n∈N+），数列{a n}的前N项和为数列{b n}的前n项和，即为2n+1﹣n﹣2，容易得到N＞100时，n≥14，A项，由=435，440=435+5，可知S440=T29+b5=230﹣29﹣2+25﹣1=230，故A 项符合题意．B项，仿上可知=325，可知S330=T25+b5=226﹣25﹣2+25﹣1=226+4，显然不为2的整数幂，故B项不符合题意．C项，仿上可知=210，可知S220=T20+b10=221﹣20﹣2+210﹣1=221+210﹣23，显然不为2的整数幂，故C项不符合题意．D项，仿上可知=105，可知S110=T14+b5=215﹣14﹣2+25﹣1=215+15，显然不为2的整数幂，故D项不符合题意．故选A．方法二：由题意可知：，，，…，根据等比数列前n项和公式，求得每项和分别为：21﹣1，22﹣1，23﹣1，…，2n﹣1，每项含有的项数为：1，2，3，…，n，总共的项数为N=1+2+3+…+n=，所有项数的和为S n：21﹣1+22﹣1+23﹣1+…+2n﹣1=（21+22+23+…+2n）﹣n=﹣n=2n+1﹣2﹣n，由题意可知：2n+1为2的整数幂．只需将﹣2﹣n消去即可，则①1+2+（﹣2﹣n）=0，解得：n=1，总共有+2=3，不满足N＞100，②1+2+4+（﹣2﹣n）=0，解得：n=5，总共有+3=18，不满足N＞100，③1+2+4+8+（﹣2﹣n）=0，解得：n=13，总共有+4=95，不满足N＞100，④1+2+4+8+16+（﹣2﹣n）=0，解得：n=29，总共有+5=440，满足N＞100，∴该款软件的激活码440．故选：A．【点评】本题考查数列的应用，等差数列与等比数列的前n项和，考查计算能力，属于难题．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．（5分）已知向量，的夹角为60°，||=2，||=1，则|+2|= 2 ．【考点】9O：平面向量数量积的性质及其运算．【专题】31：数形结合；4O：定义法；5A：平面向量及应用．【分析】根据平面向量的数量积求出模长即可．【解答】解：【解法一】向量，的夹角为60°，且||=2，||=1，∴=+4•+4=22+4×2×1×cos60°+4×12=12，∴|+2|=2．【解法二】根据题意画出图形，如图所示；结合图形=+=+2；在△OAC中，由余弦定理得||==2，即|+2|=2．故答案为：2．【点评】本题考查了平面向量的数量积的应用问题，解题时应利用数量积求出模长，是基础题．14．（5分）设x，y满足约束条件，则z=3x﹣2y的最小值为 ﹣5 ．【考点】7C：简单线性规划．【专题】11：计算题；31：数形结合；35：转化思想；5T：不等式．【分析】由约束条件作出可行域，由图得到最优解，求出最优解的坐标，数形结合得答案．【解答】解：由x，y满足约束条件作出可行域如图，由图可知，目标函数的最优解为A，联立，解得A（﹣1，1）．∴z=3x﹣2y的最小值为﹣3×1﹣2×1=﹣5．故答案为：﹣5．【点评】本题考查了简单的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法，是中档题．15．（5分）已知双曲线C：﹣=1（a＞0，b＞0）的右顶点为A，以A为圆心，b为半径作圆A，圆A与双曲线C的一条渐近线交于M、N两点．若∠MAN=60°，则C的离心率为 ．【考点】KC：双曲线的性质．【专题】11：计算题；35：转化思想；49：综合法；5D：圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】利用已知条件，转化求解A到渐近线的距离，推出a，c的关系，然后求解双曲线的离心率即可．【解答】解：双曲线C：﹣=1（a＞0，b＞0）的右顶点为A（a，0），以A为圆心，b为半径做圆A，圆A与双曲线C的一条渐近线交于M、N两点．若∠MAN=60°，可得A到渐近线bx+ay=0的距离为：bcos30°=，可得：=，即，可得离心率为：e=．故答案为：．【点评】本题考查双曲线的简单性质的应用，点到直线的距离公式以及圆的方程的应用，考查转化思想以及计算能力．16．（5分）如图，圆形纸片的圆心为O，半径为5cm，该纸片上的等边三角形ABC的中心为O．D、E、F为圆O上的点，△DBC，△ECA，△FAB分别是以BC ，CA，AB为底边的等腰三角形．沿虚线剪开后，分别以BC，CA，AB为折痕折起△DBC，△ECA，△FAB，使得D、E、F重合，得到三棱锥．当△ABC的边长变化时，所得三棱锥体积（单位：cm3）的最大值为 4cm3 ．【考点】LF：棱柱、棱锥、棱台的体积．【专题】11：计算题；35：转化思想；49：综合法；5E：圆锥曲线中的最值与范围问题．【分析】法一：由题，连接OD，交BC于点G，由题意得OD⊥BC，OG=BC，设OG=x，则BC=2x，DG=5﹣x，三棱锥的高h=，求出S△ABC=3，V==，令f（x）=25x4﹣10x5，x∈（0，），f′（x）=100x3﹣50x4，f（x）≤f（2）=80，由此能求出体积最大值．法二：设正三角形的边长为x，则OG=，FG=SG=5﹣，SO=h===，由此能示出三棱锥的体积的最大值．【解答】解法一：由题意，连接OD，交BC于点G，由题意得OD⊥BC，OG=BC，即OG的长度与BC的长度成正比，设OG=x，则BC=2x，DG=5﹣x，三棱锥的高h===，=3，则V===，令f（x）=25x4﹣10x5，x∈（0，），f′（x）=100x3﹣50x4，令f′（x）≥0，即x4﹣2x3≤0，解得x≤2，则f（x）≤f（2）=80，∴V≤=4cm3，∴体积最大值为4cm3．故答案为：4cm3．解法二：如图，设正三角形的边长为x，则OG=，∴FG=SG=5﹣，SO=h===，∴三棱锥的体积V===，令b（x）=5x4﹣，则，令b'（x）=0，则4x3﹣=0，解得x=4，∴（cm3）．故答案为：4cm3．【点评】本题考查三棱锥的体积的最大值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系、函数性质、导数等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力、空间想象能力，考查数形结合思想、化归与转化思想，是中档题．三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．17．（12分）△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知△ABC的面积为．（1）求sinBsinC；（2）若6cosBcosC=1，a=3，求△ABC的周长．【考点】HP：正弦定理；HR：余弦定理．【专题】11：计算题；33：函数思想；4R：转化法；56：三角函数的求值；58：解三角形．【分析】（1）根据三角形面积公式和正弦定理可得答案，（2）根据两角余弦公式可得cosA=，即可求出A=，再根据正弦定理可得bc=8，根据余弦定理即可求出b+c，问题得以解决．【解答】解：（1）由三角形的面积公式可得S△ABC=acsinB=，∴3csinBsinA=2a，由正弦定理可得3sinCsinBsinA=2sinA，∵sinA≠0，∴sinBsinC=；（2）∵6cosBcosC=1，∴cosBcosC=，∴cosBcosC﹣sinBsinC=﹣=﹣，∴cos（B+C）=﹣，∴cosA=，∵0＜A＜π，∴A=，∵===2R==2，∴sinBsinC=•===，∴bc=8，∵a2=b2+c2﹣2bccosA，∴b2+c2﹣bc=9，∴（b+c）2=9+3cb=9+24=33，∴b+c=∴周长a+b+c=3+．【点评】本题考查了三角形的面积公式和两角和的余弦公式和诱导公式和正弦定理余弦定理，考查了学生的运算能力，属于中档题．18．（12分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，AB∥CD，且∠BAP=∠CDP=90°．（1）证明：平面PAB⊥平面PAD；（2）若PA=PD=AB=DC，∠APD=90°，求二面角A﹣PB﹣C的余弦值．【考点】LY：平面与平面垂直；MJ：二面角的平面角及求法．【专题】15：综合题；31：数形结合；41：向量法；5G：空间角．【分析】（1）由已知可得PA⊥AB，PD⊥CD，再由AB∥CD，得AB⊥PD，利用线面垂直的判定可得AB⊥平面PAD，进一步得到平面PAB⊥平面PAD；（2）由已知可得四边形ABCD为平行四边形，由（1）知AB⊥平面PAD，得到AB ⊥AD，则四边形ABCD为矩形，设PA=AB=2a，则AD=．取AD中点O，BC中点E，连接PO、OE，以O为坐标原点，分别以OA、OE、OP所在直线为x、y、z轴建立空间直角坐标系，求出平面PBC的一个法向量，再证明PD⊥平面PAB，得为平面PAB的一个法向量，由两法向量所成角的余弦值可得二面角A﹣PB﹣C的余弦值．【解答】（1）证明：∵∠BAP=∠CDP=90°，∴PA⊥AB，PD⊥CD，∵AB∥CD，∴AB⊥PD，又∵PA∩PD=P，且PA⊂平面PAD，PD⊂平面PAD，∴AB⊥平面PAD，又AB⊂平面PAB，∴平面PAB⊥平面PAD；（2）解：∵AB∥CD，AB=CD，∴四边形ABCD为平行四边形，由（1）知AB⊥平面PAD，∴AB⊥AD，则四边形ABCD为矩形，在△APD中，由PA=PD，∠APD=90°，可得△PAD为等腰直角三角形，设PA=AB=2a，则AD=．取AD中点O，BC中点E，连接PO、OE，以O为坐标原点，分别以OA、OE、OP所在直线为x、y、z轴建立空间直角坐标系，则：D（），B（），P（0，0，），C（）．，，．设平面PBC的一个法向量为，由，得，取y=1，得．∵AB⊥平面PAD，AD⊂平面PAD，∴AB⊥PD，又PD⊥PA，PA∩AB=A，∴PD⊥平面PAB，则为平面PAB的一个法向量，．∴cos＜＞==．由图可知，二面角A﹣PB﹣C为钝角，∴二面角A﹣PB﹣C的余弦值为．【点评】本题考查平面与平面垂直的判定，考查空间想象能力和思维能力，训练了利用空间向量求二面角的平面角，是中档题．19．（12分）为了监控某种零件的一条生产线的生产过程，检验员每天从该生产线上随机抽取16个零件，并测量其尺寸（单位：cm）．根据长期生产经验，可以认为这条生产线正常状态下生产的零件的尺寸服从正态分布N（μ，σ2）．（1）假设生产状态正常，记X表示一天内抽取的16个零件中其尺寸在（μ﹣3σ，μ+3σ）之外的零件数，求P（X≥1）及X的数学期望；（2）一天内抽检零件中，如果出现了尺寸在（μ﹣3σ，μ+3σ）之外的零件，就认为这条生产线在这一天的生产过程可能出现了异常情况，需对当天的生产过程进行检查．（ⅰ）试说明上述监控生产过程方法的合理性；（ⅱ）下面是检验员在一天内抽取的16个零件的尺寸：9.9510.129.969.9610.019.929.9810.0410.269.9110.1310.029.2210.0410.059.95经计算得==9.97，s==≈0.212，其中x i为抽取的第i个零件的尺寸，i=1，2， (16)用样本平均数作为μ的估计值，用样本标准差s作为σ的估计值，利用估计值判断是否需对当天的生产过程进行检查？剔除（﹣3+3）之外的数据，用剩下的数据估计μ和σ（精确到0.01）．附：若随机变量Z服从正态分布N（μ，σ2），则P（μ﹣3σ＜Z＜μ+3σ）=0.9974，0.997416≈0.9592，≈0.09．【考点】CP：正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义．【专题】11：计算题；35：转化思想；4A：数学模型法；5I：概率与统计．【分析】（1）通过P（X=0）可求出P（X≥1）=1﹣P（X=0）=0.0408，利用二项分布的期望公式计算可得结论；（2）（ⅰ）由（1）及知落在（μ﹣3σ，μ+3σ）之外为小概率事件可知该监控生产过程方法合理；（ⅱ）通过样本平均数、样本标准差s估计、可知（﹣3+3）=（9.334，10.606），进而需剔除（﹣3+3）之外的数据9.22，利用公式计算即得结论．【解答】解：（1）由题可知尺寸落在（μ﹣3σ，μ+3σ）之内的概率为0.9974，则落在（μ﹣3σ，μ+3σ）之外的概率为1﹣0.9974=0.0026，因为P（X=0）=×（1﹣0.9974）0×0.997416≈0.9592，所以P（X≥1）=1﹣P（X=0）=0.0408，又因为X～B（16，0.0026），所以E（X）=16×0.0026=0.0416；（2）（ⅰ）如果生产状态正常，一个零件尺寸在（﹣3+3）之外的概率只有0.0026，一天内抽取的16个零件中，出现尺寸在（﹣3+3）之外的零件的概率只有0.0408，发生的概率很小．因此一旦发生这种状况，就有理由认为这条生产线在这一天的生产过程可能出现了异常情况，需对当天的生产过程进行检查，可见上述监控生产过程的方法是合理的．（ⅱ）由=9.97，s≈0.212，得μ的估计值为=9.97，σ的估计值为=0.212，由样本数据可以看出一个零件的尺寸在（﹣3+3）之外，因此需对当天的生产过程进行检查．剔除（﹣3+3）之外的数据9.22，剩下的数据的平均数为（16×9.97﹣9.22）=10.02，因此μ的估计值为10.02．2=16×0.2122+16×9.972≈1591.134，剔除（﹣3+3）之外的数据9.22，剩下的数据的样本方差为（1591.134﹣9.222﹣15×10.022）≈0.008，因此σ的估计值为≈0.09．【点评】本题考查正态分布，考查二项分布，考查方差、标准差，考查概率的计算，考查运算求解能力，注意解题方法的积累，属于中档题．20．（12分）已知椭圆C：+=1（a＞b＞0），四点P1（1，1），P2（0，1），P3（﹣1，），P4（1，）中恰有三点在椭圆C上．（1）求C的方程；（2）设直线l不经过P2点且与C相交于A，B两点．若直线P2A与直线P2B的斜率的和为﹣1，证明：l过定点．【考点】K3：椭圆的标准方程；KI：圆锥曲线的综合．【专题】14：证明题；35：转化思想；49：综合法；5E：圆锥曲线中的最值与范围问题．【分析】（1）根据椭圆的对称性，得到P2（0，1），P3（﹣1，），P4（1，）三点在椭圆C上．把P2（0，1），P3（﹣1，）代入椭圆C，求出a2=4，b2=1，由此能求出椭圆C的方程．（2）当斜率不存在时，不满足；当斜率存在时，设l：y=kx+t，（t≠1），联立，得（1+4k2）x2+8ktx+4t2﹣4=0，由此利用根的判别式、韦达定理、直线方程，结合已知条件能证明直线l过定点（2，﹣1）．【解答】解：（1）根据椭圆的对称性，P3（﹣1，），P4（1，）两点必在椭圆C上，又P4的横坐标为1，∴椭圆必不过P1（1，1），∴P2（0，1），P3（﹣1，），P4（1，）三点在椭圆C上．把P2（0，1），P3（﹣1，）代入椭圆C，得：，解得a2=4，b2=1，∴椭圆C的方程为=1．证明：（2）①当斜率不存在时，设l：x=m，A（m，y A），B（m，﹣y A），∵直线P2A与直线P2B的斜率的和为﹣1，∴===﹣1，解得m=2，此时l过椭圆右顶点，不存在两个交点，故不满足．②当斜率存在时，设l：y=kx+t，（t≠1），A（x1，y1），B（x2，y2），联立，整理，得（1+4k2）x2+8ktx+4t2﹣4=0，，x1x2=，则=====﹣1，又t≠1，∴t=﹣2k﹣1，此时△=﹣64k，存在k，使得△＞0成立，∴直线l的方程为y=kx﹣2k﹣1，当x=2时，y=﹣1，∴l过定点（2，﹣1）．【点评】本题考查椭圆方程的求法，考查椭圆、直线方程、根的判别式、韦达定理、直线方程位置关系等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查函数与方程思想、化归与转化思想，是中档题．21．（12分）已知函数f（x）=ae2x+（a﹣2）e x﹣x．（1）讨论f（x）的单调性；（2）若f（x）有两个零点，求a的取值范围．【考点】52：函数零点的判定定理；6B：利用导数研究函数的单调性．【专题】32：分类讨论；35：转化思想；4R：转化法；53：导数的综合应用．【分析】（1）求导，根据导数与函数单调性的关系，分类讨论，即可求得f（x）单调性；（2）由（1）可知：当a＞0时才有两个零点，根据函数的单调性求得f（x）最小值，由f（x）min＜0，g（a）=alna+a﹣1，a＞0，求导，由g（a）min=g（e﹣2）=e﹣2lne﹣2+e﹣2﹣1=﹣﹣1，g（1）=0，即可求得a的取值范围．（1）求导，根据导数与函数单调性的关系，分类讨论，即可求得f（x）单调性；（2）分类讨论，根据函数的单调性及函数零点的判断，分别求得函数的零点，即可求得a的取值范围．【解答】解：（1）由f（x）=ae2x+（a﹣2）e x﹣x，求导f′（x）=2ae2x+（a﹣2）e x﹣1。
2011-2017新课标全国卷1理科数学分类汇编
目录1、 集合与常用逻辑用语2、 函数及其性质3、 导函数及其应用4、 三角函数、解三角形5、 平面向量6、 数列7、 不等式、推理与证明 8、 立体几何 9、 解析几何10、 统计、概率分布列、计数原理 11、 复数及其运算 12、 程序框图13、 坐标系及参数方程 14、 不等式选讲2011—2017年新课标高考全国Ⅰ卷理科数学分类汇编1．集合与常用逻辑用语（含解析）一、选择题【2017，1】已知集合{}1A x x =<，{}31xB x =<，则（ ）A ．{|0}AB x x =< B ．A B =RC ．{|1}A B x x =>D ．A B =∅【2016，1】设集合}034{2<+-=x x x A ，}032{>-=x x B ，则A B =I （ ）A ．)23,3(--B ．)23,3(-C ．)23,1(D ．)3,23(【2015，3】设命题p ：n ∃∈N ，22n n >，则p ⌝为（ ）A ．n ∀∈N ，22n n >B ．n ∃∈N ，22n n ≤C ．n ∀∈N ，22n n ≤D ．n ∃∈N ，22n n = 【2014，1】已知集合A={x |2230x x --≥}，B={}22x x -≤<，则A B ⋂=( )A ．[-2,-1]B ．[-1,2）C ．[-1,1]D ．[1,2）【2013，1】已知集合A ＝{x |x 2－2x ＞0}，B ＝{x |x ，则( )A ．A ∩B ＝B ．A ∪B ＝RC ．B ⊆AD ．A ⊆B【2012，1】已知集合A={1，2，3，4，5}，B={（x ，y ）|x A ∈，y A ∈，x y A -∈}，则B 中包含元素的个数为（ ） A ．3 B ．6 C ．8 D ．101．集合与常用逻辑用语（解析版）一、选择题【2017，1】已知集合{}1A x x =<，{}31xB x =<，则（ ）A ．{|0}AB x x =< B ．A B =RC ．{|1}A B x x =>D ．A B =∅【解析】{}1A x x =<，{}{}310xB x x x =<=<，∴{}0A B x x =<，{}1A B x x =<，故选A【2016，1】设集合}034{2<+-=x x x A ，}032{>-=x x B ，则A B =I （ ）A ．)23,3(--B ．)23,3(-C ．)23,1(D ．)3,23(【解析】{}13A x x =<<，{}32302B x x x x ⎧⎫=->=>⎨⎬⎩⎭．故332A B x x ⎧⎫=<<⎨⎬⎩⎭I ．故选D ． 【2015，3】设命题p ：n ∃∈N ，22nn >，则p ⌝为（ ）A ．n ∀∈N ，22n n >B ．n ∃∈N ，22n n ≤C ．n ∀∈N ，22n n ≤D ．n ∃∈N ，22n n = 解析：命题p 含有存在性量词（特称命题），是真命题（如3n =时），则其否定（p ⌝）含有全称量词（全称命题），是假命题，故选C ．.【2014，1】已知集合A={x |2230x x --≥}，B={}22x x -≤<，则A B ⋂=( )A .[-2,-1]B .[-1,2）C .[-1,1]D .[1,2）【解析】∵{|13}A x x x =≤-≥或，B={}22x x -≤<，∴A B ⋂={}21x x -≤≤，选A.【2013，1】已知集合A ＝{x |x 2－2x ＞0}，B ＝{x |x ，则( )A ．A ∩B ＝B ．A ∪B ＝RC ．B ⊆AD ．A ⊆B解析：∵x (x －2)＞0，∴x ＜0或x ＞2，∴集合A 与B 可用图象表示为：由图象可以看出A ∪B ＝R ，故选B.【2012，1】已知集合A={1，2，3，4，5}，B={（x ，y ）|x A ∈，y A ∈，x y A -∈}，则B 中包含元素的个数为（ ）A ．3B ．6C ．8D ．10 【解析】由集合B 可知，x y >，因此B={（2，1），（3，2），（4，3），（5，4），（3，1），（4，2），（5，3），（4，1），（5，2），（5，1）}，B 的元素10个，所以选择D ．2．函数及其性质（含解析）一、选择题【2017，5】函数()f x 在(,)-∞+∞单调递减，且为奇函数．若(11)f =-，则满足21()1x f --≤≤的x 的取值范围是（ ）A ．[2,2]-B ． [1,1]-C ． [0,4]D ． [1,3]【2017，11】设,,x y z 为正数，且235x y z ==，则（ ）A ．2x <3y <5zB ．5z <2x <3yC ．3y <5z <2xD ．3y <2x <5z 【2016，7】函数xe x y -=22在]2,2[-的图像大致为（ ）A ．B ．C ．D ．【2016，8】若1>>b a ，10<<c ，则（ ）A ．c c b a <B ．c c ba ab <C ．c b c a a b log log <D ．c c b a log log <【2014，3】设函数()f x ，()g x 的定义域都为R ，且()f x 是奇函数，()g x 是偶函数，则下列结论正确的是（ ）A ．()f x ()g x 是偶函数B ．|()f x |()g x 是奇函数C ．()f x |()g x |是奇函数D ．|()f x ()g x |是奇函数【2013，11】已知函数f (x )＝220ln(1)0.x x x x x ⎧-+≤⎨+>⎩，，，若|f (x )|≥ax ，则a 的取值范围是( )A ．(－∞，0]B ．(－∞，1]C ．[－2,1]D ．[－2,0] 【2012，10】已知函数1()f x =，则()y f x =的图像大致为（ ）A ．B ．D ．【2011，12】函数11y x =-的图像与函数2sin (24)y x x π=-≤≤的图像所有交点的横坐标之和等于（ ）A ．2 B ．4 C ．6 D ．8【2011，2】下列函数中，既是偶函数又在+∞（0，）单调递增的函数是（ ）A ．3y x =B ．1y x =+C ．21y x =-+D ．2xy -=二、填空题【2015，13】若函数f (x )=x ln （x a =2．函数与导数（解析版）一、选择题【2017，5】函数()f x 在(,)-∞+∞单调递减，且为奇函数．若(11)f =-，则满足21()1x f --≤≤的x 的取值范围是（ ）A ．[2,2]-B ． [1,1]-C ． [0,4]D ． [1,3]【解析】因为()f x 为奇函数，所以()()111f f -=-=，于是()121f x --≤≤，等价于()()()121f f x f --≤≤，又()f x 在()-∞+∞，单调递减，121x ∴--≤≤，3x ∴1≤≤，故选D ． 【2017，11】设,,x y z 为正数，且235x y z ==，则（ ）A ．2x <3y <5zB ．5z <2x <3yC ．3y <5z <2xD ．3y <2x <5z【解析】取对数：ln 2ln3ln5x y ==．ln 33ln 22x y =>，∴23x y >，ln 2ln 5x z =，则ln55ln 22x z =<，∴25x z <∴325y x z <<，故选D ．【法二】取对数：5ln 3ln 2ln z y x ==，y x y x y x 3212ln 3ln 2ln 33ln 2323ln 2ln 32>⇒>==⇒=， z x z x z x 5212ln 5ln 2ln 55ln 2525ln 2ln 52<⇒<==⇒=，z x y 523<<∴，故选D ； 【2016，7】函数xe x y -=22在]2,2[-的图像大致为（ ）【解析】()22288 2.80f e =->->，排除A ；()22288 2.71f e =-<-<，排除B ；0x >时，()22xf x x e =-，()4x f x x e '=-，当10,4x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()01404f x e '<⨯-= 因此()f x 在10,4⎛⎫⎪⎝⎭单调递减，排除C ；故选D ．【2016，8】若1>>b a ，10<<c ，则（ ）A ．c c b a <B ．c c ba ab <C ．c b c a a b log log <D ．c c b a log log <【解析】由于01c <<，∴函数c y x =在R 上单调递增，因此1c c a b a b >>⇔>，A 错误；由于110c -<-<，∴函数1c y x -=在()1,+∞上单调递减，∴111c c c c a b a b ba ab -->>⇔<⇔<，B 错误； 要比较log b a c 和log a b c ，只需比较ln ln a c b和ln ln b c a ，只需比较ln ln c b b 和ln ln ca a ，只需lnb b 和ln a a ， 构造函数()()ln 1f x x x x =>，则()'ln 110f x x =+>>，()f x 在()1,+∞上单调递增，因此()()110ln ln 0ln ln f a f b a a b b a a b b >>⇔>>⇔<，又由01c <<得ln 0c <， ∴ln ln log log ln ln a b c cb c a c a a b b<⇔<，C 正确； 要比较l o g a c 和log b c ，只需比较ln ln c a 和ln ln cb ，而函数ln y x =在()1,+∞上单调递增，故111ln ln 0ln ln a b a b a b >>⇔>>⇔<，又由01c <<得ln 0c <，∴ln ln log log ln ln a b c c c c a b>⇔>，D 错误；故选C ．【2014，3】设函数()f x ，()g x 的定义域都为R ，且()f x 是奇函数，()g x 是偶函数，则下列结论正确的是（ ）A .()f x ()g x 是偶函数B .|()f x |()g x 是奇函数C .()f x |()g x |是奇函数D .|()f x ()g x |是奇函数【解析】设()()()F x f x g x =，则()()()F x f x g x -=--，∵()f x 是奇函数，()g x 是偶函数，∴()()()()F x f x g x F x -=-=-，()F x 为奇函数，选C.【2013，11】已知函数f (x )＝220ln(1)0.x x x x x ⎧-+≤⎨+>⎩，，，若|f (x )|≥ax ，则a 的取值范围是( )．A ．(－∞，0]B ．(－∞，1]C ．[－2,1]D ．[－2,0] 解析：选D ，由y ＝|f (x )|的图象知：①当x ＞0时，y ＝ax 只有a ≤0时，才能满足|f (x )|≥ax ，可排除B ，C. ②当x ≤0时，y ＝|f (x )|＝|－x 2＋2x |＝x 2－2x . 故由|f (x )|≥ax 得x 2－2x ≥ax . 当x ＝0时，不等式为0≥0成立．当x ＜0时，不等式等价于x －2≤a ，∵x －2＜－2，∴a ≥－2. 综上可知：a ∈[－2,0]．【2012，10】已知函数1()ln(1)f xx x=+-，则()y f x=的图像大致为（）【解析】()y f x=的定义域为{|1x x>-且0}x≠，排除D；因为221(1)1'()[ln(1)](1)[ln(1)]xxf xx x x x x--+==+-++-，所以当(1,0)x∈-时，'()0f x<，()y f x=在（－1，0）上是减函数；当(0,)x∈+∞时，'()0f x>，()y f x=在(0,)+∞上是增函数．排除A、C，故选择B．【2011】(12)函数11yx=-的图像与函数2sin(24)y x xπ=-≤≤的图像所有交点的横坐标之和等于A．2 B．4 C．6 D．8解析：图像法求解．11yx=-的对称中心是（1,0）也是2sin(24)y x xπ=-≤≤的中心，24x-≤≤他们的图像在x=1的左侧有4个交点，则x=1右侧必有4个交点．不妨把他们的横坐标由小到大设为1,2345678,,,,,,x x x x x x x x，则182736452x x x x x x x x+=+=+=+=，所以选D【2011，2】下列函数中，既是偶函数又在+∞（0，）单调递增的函数是（）A．3y x=(B) 1y x=+C．21y x=-+(D) 2xy-=解析：由图像知选B二、填空题【2015，13】若函数f(x)=x ln（x a=解析：由函数f(x)=x ln（x()ln(g x x=为奇函数（(0)0g==）；由ln(ln(0x x++-+=（()()0g x g x+-=），得ln0a=，1a=，故填1.A．B．D．3．导数及其应用（含解析）一、选择题【2014，11】已知函数()f x =3231ax x -+，若()f x 存在唯一的零点0x ，且0x ＞0，则a 的取值范围为A ．（2，+∞） B ．（-∞，-2） C ．（1，+∞） D ．（-∞，-1） 【2012，12】设点P 在曲线12xy e =上，点Q 在曲线ln(2)y x =上，则||PQ 的最小值为（ ）A ．1ln 2-B ln 2)-C ．1ln 2+D ln 2)+【2011，9】由曲线y 2y x =-及y 轴所围成的图形的面积为（ ）A ．103 B ．4 C ．163D ．6 二、填空题【2017，16】如图，圆形纸片的圆心为O ，半径为5 cm ，该纸片上的等边三角形ABC 的中心为O ．D 、E 、F 为圆O 上的点，△DBC ，△ECA ，△F AB 分别是以BC ，CA ，AB 为底边的等腰三角形．沿虚线剪开后，分别以BC ， CA ，AB 为折痕折起△DBC ，△ECA ，△F AB ，使得D ，E ，F 重合，得到三棱锥．当△ABC ．的边长变化时，所得三棱锥体积（单位：cm 3）的最大值为_______．【2013，16】若函数f (x )＝(1－x 2)(x 2＋ax ＋b )的图像关于直线x ＝－2对称，则f (x )的最大值为__________． 三、解答题【2017，12】已知函数()()22xx f x aea e x =+--．（1）讨论()f x 的单调性；（2）若()f x 有两个零点，求a 的取值范围．【2016，12】已知函数2)1()2()(-+-=x a e x x f x 有两个零点． （Ⅰ）求a 的取值范围；（Ⅱ）设21,x x 是)(x f 的两个零点，证明：221<+x x ．【2015，12】已知函数31()4f x x ax =++，()ln g x x =-． （Ⅰ）当a 为何值时，x 轴为曲线()y f x =的切线；（Ⅱ）用min{,}m n 表示,m n 中的最小值，设函数min{),()(}()h x f x g x =（0x >），讨论()h x 零点的个数．【2014，21】设函数1(0ln x xbe f x ae x x-=+，曲线()y f x =在点（1，(1)f 处的切线为(1)2y e x =-+． (Ⅰ)求,a b ； （Ⅱ）证明：()1f x >．【2013，21】设函数f (x )＝x 2＋ax ＋b ，g (x )＝e x (cx ＋d )．若曲线y ＝f (x )和曲线y ＝g (x )都过点P (0,2)，且在点P 处有相同的切线y ＝4x ＋2．(1)求a ，b ，c ，d 的值；(2)若x ≥－2时，f (x )≤kg (x )，求k 的取值范围．【2012，21】已知函数)(x f 满足2121)0()1(')(x x f e f x f x +-=-． （1）求)(x f 的解析式及单调区间；（2）若b ax x x f ++≥221)(，求b a )1(+的最大值．【2011，21】已知函数ln ()1a x bf x x x=++，曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程为230x y +-=． （Ⅰ）求a 、b 的值；（Ⅱ）如果当0x >，且1x ≠时，ln ()1x kf x x x>+-，求k 的取值范围．2．导数及其应用（解析版）一、选择题【2015，12】设函数()f x =(21)x e x ax a --+,其中1a <，若存在唯一的整数0x ，使得0()0f x <，则a 的取值范围是（ ）A ．3,12e ⎡⎫-⎪⎢⎣⎭ B ． 33,2e 4⎡⎫-⎪⎢⎣⎭ C ． 33,2e 4⎡⎫⎪⎢⎣⎭ D ． 3,12e ⎡⎫⎪⎢⎣⎭解析：设()g x =(21)x e x -，y ax a =-，由题知存在唯一的整数0x ，使得0()g x 在直线y ax a =-的下方.因为()(21)x g x e x '=+，所以当12x <-时，()g x '＜0，当12x >-时，()g x '＞0，所以当12x =-时，min [()]g x =122e --，当0x =时，(0)1g =-，(1)30g e =>，直线y ax a =-恒过（1,0）斜率且a ，故(0)1a g ->=-，且1(1)3g e a a --=-≥--，解得32e≤a ＜1，故选D ．. 作为选择题，该题也可先找到满足0()0f x <的整数0x ，由0x 的唯一性列不等式组求解.由(0)10f a =-+<得00x =.又0x 是唯一使()0f x <的整数，所以(1)0(1)0f f -≥⎧⎨≥⎩，解得32a e ≥，又1a <，且34a =时符合题意.故选D ．. 【2014，11】已知函数()f x =3231ax x -+，若()f x 存在唯一的零点0x ，且0x ＞0，则a 的取值范围为A .（2，+∞）B .（-∞，-2）C .（1，+∞）D .（-∞，-1）【解析1】：由已知0a ≠，2()36f x ax x '=-，令()0f x '=，得0x =或2x a=， 当0a >时，()22,0,()0;0,,()0;,,()0x f x x f x x f x a a ⎛⎫⎛⎫'''∈-∞>∈<∈+∞> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭； 且(0)10f =>，()f x 有小于零的零点，不符合题意．当0a <时，()22,,()0;,0,()0;0,,()0x f x x f x x f x a a ⎛⎫⎛⎫'''∈-∞<∈>∈+∞< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭要使()f x 有唯一的零点0x 且0x ＞0，只需2()0f a>，即24a >，2a <-．选B 【解析2】：由已知0a ≠，()f x =3231ax x -+有唯一的正零点，等价于3113a x x =- 有唯一的正零根，令1t x=，则问题又等价于33a t t =-+有唯一的正零根，即y a =与33y t t =-+有唯一的交点且交点在在y 轴右侧记3()3f t t t =-+，2()33f t t '=-+，由()0f t '=，1t =±，()(),1,()0;1,1,()0;t f t t f t ''∈-∞-<∈->，()1,,()0t f t '∈+∞<，要使33a t t =-+有唯一的正零根，只需(1)2a f <-=-，选B【2012，10】已知函数1()ln(1)f x x x=+-，则()y f x =的图像大致为（ ）【解析】()y f x =的定义域为{|1x x >-且0}x ≠，排除D ；因为221(1)1'()[ln(1)](1)[ln(1)]x x f x x x x x x --+==+-++-，所以当(1,0)x ∈-时，'()0f x <，()y f x =在（－1，0）上是减函数；当(0,)x ∈+∞时，'()0f x >，()y f x =在(0,)+∞上是增函数．排除A 、C ，故选择B ． 【2012，12】设点P 在曲线12xy e =上，点Q 在曲线ln(2)y x =上，则||PQ 的最小值为（ ） A ．1ln 2-B ln 2)-C ．1ln 2+D ln 2)+【解析】函数12xy e =与函数ln(2)y x =互为反函数，图象关于直线y x =对称． 问题转化为求曲线12xy e =上点P 到直线y x =的距离的最小值d ，则||PQ 的最小值为2d ．（用切线法）：设直线y x b =+与曲线12x y e =相切于点1(,)2t P t e ， 因为1'2x y e =，所以根据导数的几何意义，得112te =，ln 2t =，所以切点(ln 2,1)P ，从而1ln 2b =-，所以1ln 2y x =+- 因此曲线12xy e =上点P 到直线y x =的距离的最小值d 为直线 1ln 2y x =+-与直线y x =的距离，从而d =，所以min ||2ln2)PQ d =-，故选择B ． 【2011，9】由曲线y 2y x =-及y 轴所围成的图形的面积为（ ）A ．B ．D ．A ．103 B ．4 C ．163D ．6解析：用定积分求解432420021162)(2)|323s x dx x x x =+=-+=⎰，选C二、填空题【2017，16】如图，圆形纸片的圆心为O ，半径为5 cm ，该纸片上的等边三角形ABC 的中心为O ．D 、E 、F 为圆O 上的点，△DBC ，△ECA ，△F AB 分别是以BC ，CA ，AB 为底边的等腰三角形．沿虚线剪开后，分别以BC ， CA ，AB 为折痕折起△DBC ，△ECA ，△F AB ，使得D ，E ，F 重合，得到三棱锥．当△ABC 的边长变化时，所得三棱锥体积（单位：cm 3）的最大值为_______．【解析】由题，连接OD ，交BC 与点G ，由题，OD BC ⊥，OG =， 即OG 的长度与BC 的长度或成正比，设OG x =，则BC =，5DG x =-，三棱锥的高h =2132ABC S x =⋅=△，则213ABC V S h =⋅△令()452510f x x x =-，5(0,)2x ∈，()3410050f x x x '=-，令()0f x '>，即4320x x -<，2x <，则()()280f x f =≤，则45V =，∴体积最大值为3． 【2013，16】若函数f (x )＝(1－x 2)(x 2＋ax ＋b )的图像关于直线x ＝－2对称，则f (x )的最大值为__________． 解析：∵函数f (x )的图像关于直线x ＝－2对称，∴f (x )满足f (0)＝f (－4)，f (－1)＝f (－3)，即15164,0893,b a b a b =-(-+)⎧⎨=-(-+)⎩解得8,15.a b =⎧⎨=⎩∴f (x )＝－x 4－8x 3－14x 2＋8x ＋15. 由f ′(x )＝－4x 3－24x 2－28x ＋8＝0，得x 1＝－2x 2＝－2，x 3＝－2易知，f (x )在(－∞，－2上为增函数，在(－22)上为减函数，在(－2，－2上为增函数，在(－2∞)上为减函数．∴f (－2－＝[1－(－2－2][(－22＋8(－2＋15]＝(－8－－＝80－64＝16.f (－2)＝[1－(－2)2][(－2)2＋8×(－2)＋15]＝－3(4－16＋15)＝－9.f (－2＝[1－(－22][(－22＋8(－2＋15] ＝(－8＋＋＝80－64＝16. 故f (x )的最大值为16.三、解答题【2017，12】已知函数()()22xx f x aea e x =+--．（1）讨论()f x 的单调性；（2）若()f x 有两个零点，求a 的取值范围．【解析】（1）由于()()2e 2e x x f x a a x =+--，故()()()()22e 2e 1e 12e 1x x x xf x a a a '=+--=-+，①当0a ≤时，e 10x a -<，2e 10x +>．从而()0f x '<恒成立．()f x 在R 上单调递减； ②当0a >时，令()0f x '=，从而e 10x a -=，得ln x a =-．综上，当0a ≤ 当0a >时，()f x 在(,ln )a -∞-上单调递减，在(ln ,)a -+∞上单调递增（2）由（1）知，当0a ≤时，()f x 在R 上单调减，故()f x 在R 上至多一个零点，不满足条件． 当0a >时，()min 1ln 1ln f f a a a =-=-+．令()11ln g a a a=-+． 令()()11ln 0g a a a a =-+>，则()211'0g a a a=+>．从而()g a 在()0+∞，上单调增，而()10g =．故当01a <<时，()0g a <．当1a =时()0g a =．当1a >时()0g a >， 若1a >，则()min 11ln 0f a g a a=-+=>，故()0f x >恒成立，从而()f x 无零点，不满足条件． 若1a =，则min 11ln 0f a a=-+=，故()0f x =仅有一个实根ln 0x a =-=，不满足条件． 若01a <<，则min 11ln 0f a a =-+<，注意到ln 0a ->．()22110e e ea a f -=++->． 故()f x 在()1ln a --，上有一个实根，而又31ln 1ln ln a a a ⎛⎫->=- ⎪⎝⎭．且33ln 1ln 133ln(1)e e2ln 1a a f a a a a ⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=⋅+--- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭()3333132ln 11ln 10a a a a a a ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-⋅-+---=---> ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭． 故()f x 在3ln ln 1a a ⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，上有一个实根． 又()f x 在()ln a -∞-，上单调减，在()ln a -+∞，单调增，故()f x 在R 上至多两个实根．又()f x 在()1ln a --，及3ln ln 1a a ⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，上均至少有一个实数根，故()f x 在R 上恰有两个实根．综上，01a <<．【法二】令()0f x =，则22x x xe x a e e +=+．再令0xt e =>，则22ln t t a t t +=+， 而()f x 有两个零点，则22ln t t a t t +=+有两解，即直线y a =与曲线22ln t t y t t+=+有两个交点； 令()22ln (0)t t g t t t t +=>+，则()()()()()2222211ln 2ln t t t t t g t t t t t +--+'==++， 令()1ln h t t t =--，则()110h t t'=--<，注意到()10h =，所以()g t 在()0,1上单调递增，在()1,+∞上单调递减，即()()max 11g t g ==；而0lim (),lim ()0t t g t g t →→+∞→-∞→，所以当()0,1t ∈时，()(),1g t ∈-∞；当()0,1t ∈时，()()0,1g t ∈， 所以，当22ln t ta t t+=+有两解时，a 的取值范围为()0,1．【2016，12】已知函数2)1()2()(-+-=x a e x x f x有两个零点．（Ⅰ）求a 的取值范围；（Ⅱ）设21,x x 是)(x f 的两个零点，证明：221<+x x ．【解析】：⑴ 由已知得：()()()()()'12112x x f x x e a x x e a =-+-=-+① 若0a =，那么()()0202x f x x e x =⇔-=⇔=，()f x 只有唯一的零点2x =，不合题意； ② 若0a >，那么20x x e a e +>>，所以当1x >时，()'0f x >，()f x 单调递增;当1x <时，()'0f x <，()f x 单调递减; 即：由于()20f a =>，()10f e =-<，则()()210f f <， 根据零点存在性定理，()f x 在()1,2上有且仅有一个零点． 而当1x <时，x e e <，210x -<-<，故()()()()()()()222212111x f x x e a x e x a x a x e x e =-+->-+-=-+--则()0f x =的两根11t +，21t =+， 12t t <，因为0a >，故当1x t <或2x t >时，()()2110a x e x e -+--> 因此，当1x <且1x t <时，()0f x >又()10f e =-<，根据零点存在性定理，()f x 在(),1-∞有且只有一个零点． 此时，()f x 在R 上有且只有两个零点，满足题意．③ 若02ea -<<，则()ln 2ln 1a e -<=，当()ln 2x a <-时，()1ln 210x a -<--<，()ln 2220a x e a e a -+<+=，即()()()'120x f x x e a =-+>，()f x 单调递增；当()ln 21a x -<<时，10x -<，()ln 2220ax e a e a -+>+=，即()()()'120x f x x e a =-+<，()f x 单调递减；当1x >时，10x ->，()ln 2220a x e a e a -+>+=，即()'0f x >，()f x 单调递增．即：()()()(){}22ln 22ln 22ln 21ln 2210f a a a a a a a -=---+--=--+<⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦故当1x ≤时，()f x 在()ln 2x a =-处取到最大值()ln 2f a -⎡⎤⎣⎦，那么()()ln 20f x f a -<⎡⎤⎣⎦≤恒成立，即()0f x =无解而当1x >时，()f x 单调递增，至多一个零点 此时()f x 在R 上至多一个零点，不合题意．④ 若2ea =-，那么()ln 21a -=当()1ln 2x a <=-时，10x -<，()ln 2220a x e a ea -+<+=，即()'0f x >，()f x 单调递增 当()1ln 2x a >=-时，10x ->，()ln 2220a x e a ea -+>+=，即()'0f x >，()f x 单调递增又()f x 在1x =处有意义，故()f x 在R 上单调递增，此时至多一个零点，不合题意．⑤ 若2ea <-，则()ln 21a ->当1x <时，10x -<，()ln 212220a x e a e a ea -+<+<+=，即()'0f x >，()f x 单调递增当()1ln 2x a <<-时，10x ->，()ln 2220a x e a ea -+<+=，即()'0f x <，()f x 单调递减当()ln 2x a >-时，()1ln 210x a ->-->，()ln 2220a x e a ea -+>+=，即()'0f x >，()f x 单调递增 即：0e -<恒成立，即()0f x =无解当()ln 2x a >-时，()f x 单调递增，至多一个零点,此时()f x 在R 上至多一个零点，不合题意． 综上所述，当且仅当0a >时符合题意，即a 的取值范围为()0,+∞． ⑵ 由已知得：()()120f x f x ==，不难发现11x ≠，21x ≠，故可整理得：()()()()121222122211x x x e x e a x x ---==--,()()()221xx e g x x -=-，则()()12g x g x = ()()()2321'1x x g x e x -+=-，当1x <时，()'0g x <，()g x 单调递减；当1x >时，()'0g x >，()g x 单调递增．设0m >，构造代数式： ()()111222*********m m m m m m m m g m g m e e e e m m m m +-----+-⎛⎫+--=-=+ ⎪+⎝⎭设()2111m m h m e m -=++，0m >,则()()2222'01m m h m e m =>+，故()h m 单调递增，有()()00h m h >=． 因此，对于任意的0m >，()()11g m g m +>-．由()()12g x g x =可知1x 、2x 不可能在()g x 的同一个单调区间上，不妨设12x x <，则必有121x x << 令110m x =->，则有()()()()()1111211112g x g x g x g x g x +->--⇔->=⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦ 而121x ->，21x >，()g x 在()1,+∞上单调递增，因此：()()121222g x g x x x ->⇔-> 整理得：122x x +<．【2015，12】已知函数31()4f x x ax =++，()ln g x x =-. （Ⅰ）当a 为何值时，x 轴为曲线()y f x =的切线；（Ⅱ）用min{,}m n 表示,m n 中的最小值，设函数min{),()(}()h x f x g x =（0x >），讨论()h x 零点的个数.解：（Ⅰ）2()3f x x a '=+，若x 轴为曲线()y f x =的切线，则切点0(,0)x 满足00()0,()0f x f x '==，也就是2030x a +=且300104x ax ++=，解得012x =，34a =-，因此，当34a =-时，x 轴为曲线()y f x =的切线；（Ⅱ）当1x >时，()ln 0g x x =-<，函数()()()(min{}),h x f x g x g x ≤=没有零点； 当1x =时，若54a ≥-，则5(1)04f a =+≥，min{,(1)(1)(1)}(1)0h fg g ===，故1x =是()h x 的零点；当01x <<时，()ln 0g x x =->，以下讨论()y f x =在区间(0,1)上的零点的个数. 对于2()3f x x a '=+，因为2033x <<，所以令()0f x '=可得23a x =-，那么（i ）当3a ≤-或0a ≥时，()f x '没有零点（()0f x '<或()0f x '>），()y f x =在区间(0,1)上是单调函数，且15(0),(1)44f f a ==+，所以当3a ≤-时，()y f x =在区间(0,1)上有一个零点；当0a ≥时，()y f x =在区间(0,1)上没有零点；（ii ）当30a -<<时，()0f x '<（0x <<且()0f x '>1x <），所以x =最小值点，且14f =.显然，若0f >，即304a -<<时，()y f x =在区间(0,1)上没有零点；若0f =，即34a =-时，()y f x =在区间(0,1)上有1个零点；若0f <，即334a-<<-时，因为15(0),(1)44f f a ==+，所以若5344a -<<-，()y f x =在区间(0,1)上有2个零点；若534a -<≤-，()y f x =在区间(0,1)上有1个零点. 综上，当34a >-或54a <-时，()h x 有1个零点；当34a =-或54a =-时，()h x 有2个零点；当5344a -<<-时，()h x 有3个零点. 【2014，21】设函数1(0ln x xbe f x ae x x-=+，曲线()y f x =在点（1，(1)f 处的切线为(1)2y e x =-+.(Ⅰ)求,a b ； （Ⅱ）证明：()1f x >.【解析】(Ⅰ) 函数()f x 的定义域为()0,+∞，112()ln xx x x a b b f x ae x e e e x x x--'=+-+ 由题意可得(1)2,(1)f f e '==，故1,2a b == ……………6分（Ⅱ）由(Ⅰ)知，12()ln x xe f x e x x-=+，从而()1f x >等价于2ln xx x xe e ->-设函数()ln g x x x =，则()l n g x x x'=+，所以当10,x e ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0g x '<，当1,x e ⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭时，()0g x '>，故()g x 在10,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭单调递减，在1,e ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭单调递增，从而()g x 在()0,+∞的最小值为11()g e e =-. 设函数2()xh x xe e-=-，则()()1xh x e x -'=-，所以当()0,1x ∈时，()0h x '>，当()1,x ∈+∞时，()0h x '<，故()h x 在()0,1单调递增，在()1,+∞单调递减，从而()h x ()g x 在()0,+∞的最小值1(1)h e=-. 综上：当0x >时，()()g x h x >，即()1f x >. ……………12分【2013，理21】设函数f (x )＝x 2＋ax ＋b ，g (x )＝e x (cx ＋d )．若曲线y ＝f (x )和曲线y ＝g (x )都过点P (0,2)，且在点P 处有相同的切线y ＝4x ＋2.(1)求a ，b ，c ，d 的值；(2)若x ≥－2时，f (x )≤kg (x )，求k 的取值范围． 解：(1)由已知得f (0)＝2，g (0)＝2，f ′(0)＝4，g ′(0)＝4.而f ′(x )＝2x ＋a ，g ′(x )＝e x (cx ＋d ＋c )，故b ＝2，d ＝2，a ＝4，d ＋c ＝4. 从而a ＝4，b ＝2，c ＝2，d ＝2.(2)由(1)知，f (x )＝x 2＋4x ＋2，g (x )＝2e x (x ＋1)．设函数F (x )＝kg (x )－f (x )＝2k e x (x ＋1)－x 2－4x －2，则F ′(x )＝2k e x (x ＋2)－2x －4＝2(x ＋2)(k e x －1)． 由题设可得F (0)≥0，即k ≥1. 令F ′(x )＝0得x 1＝－ln k ，x 2＝－2.①若1≤k ＜e 2，则－2＜x 1≤0.从而当x ∈(－2，x 1)时，F ′(x )＜0；当x ∈(x 1，＋∞)时，F ′(x )＞0.即F (x )在(－2，x 1)单调递减，在(x 1，＋∞)单调递增．故F (x )在[－2，＋∞)的最小值为F (x 1)．而F (x 1)＝2x 1＋2－21x －4x 1－2＝－x 1(x 1＋2)≥0. 故当x ≥－2时，F (x )≥0，即f (x )≤kg (x )恒成立． ②若k ＝e 2，则F ′(x )＝2e 2(x ＋2)(e x －e －2)．从而当x ＞－2时，F ′(x )＞0，即F (x )在(－2，＋∞)单调递增． 而F (－2)＝0，故当x ≥－2时，F (x )≥0，即f (x )≤kg (x )恒成立． ③若k ＞e 2，则F (－2)＝－2k e －2＋2＝－2e －2(k －e 2)＜0. 从而当x ≥－2时，f (x )≤kg (x )不可能恒成立． 综上，k 的取值范围是[1，e 2]． 【2012】21．（本小题满分12分）已知函数)(x f 满足2121)0()1(')(x x f e f x f x +-=-． （1）求)(x f 的解析式及单调区间；（2）若b ax x x f ++≥221)(，求b a )1(+的最大值．【解析】（1）因为2121)0()1(')(x x f e f x f x +-=-，所以1'()'(1)(0)x f x f e f x -=-+，所以1(0)'(1)'(1)'(1)(0)1f f ef f f ⎧=⋅⎪⎨⎪=-+⎩，解得(0)1f =，'(1)f e =． 所以)(x f 的解析式为21()2xf x e x x =-+，由此得'()1x f x e x =-+． 而'()1xf x e x =-+是R 上的增函数，且'(0)0f =，因此，当(0,)x ∈+∞时，'()'(0)0f x f >=，)(x f 在(0,)+∞上是增函数； 当(,0)x ∈-∞时，'()'(0)0f x f <=，)(x f 在(,0)-∞上是减函数． 综上所述，函数)(x f 的增区间为(0,)+∞，减区间为(,0)-∞．（2）由已知条件得(1)x e a x b -+≥． ①（i ）若10a +<，则对任意常数b ，当0x <，且11bx a -<+， 可得(1)x e a x b -+<，因此①式不成立． （ii ）若10a +=，则(1)0a b +=．（iii ）若10a +>，设()(1)x g x e a x =-+，则'()(1)x g x e a =-+．当(,ln(1))x a ∈-∞+，'()0g x <；当(ln(1),)x a ∈++∞，'()0g x > 从而()g x 在(,ln(1))a -∞+单调递减，在(ln(1),)a ++∞单调递增． 所以b ax x x f ++≥221)(等价于1(1)ln(1)b a a a ≤+-++． ② 因此22(1)(1)(1)ln(1)a b a a a +≤+-++．设22()(1)(1)ln(1)h a a a a =+-++，则'()(1)(12ln(1))h a a a =+-+． 所以()h a 在12(1,1)e --单调递增，在12(1,)e -+∞单调递减， 故()h a 在121a e =-在处取得最大值，从而()2e h a ≤，即(1)2e a b +≤． 当121a e =-，122e b =时，②式成立，故b ax x x f ++≥221)(．综合得，b a )1(+的最大值为2e．【2011，21】已知函数ln ()1a x bf x x x=++，曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程为230x y +-=． （Ⅰ）求a 、b 的值；（Ⅱ）如果当0x >，且1x ≠时，ln ()1x kf x x x>+-，求k 的取值范围． （21）解：（I ）()()221ln 1x a x b x f x x x +⎛⎫- ⎪⎝⎭'=-+ 由于直线230x y +-=的斜率为12-，且过点()1,1，故()()11112f f =⎧⎪⎨'=-⎪⎩，即1122b ab =⎧⎪⎨-=-⎪⎩，解得1a =，1b =.（II ）由（I ）知()ln 11x f x x x =++，所以()()()2211ln 12ln 11k x x k f x x x x x x ⎛⎫--⎛⎫ ⎪-+=+ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭考虑函数()()()()2112ln 0k x h x x x x--=+>，则()()()22112k x xh x x -++'=（i ）设0k ≤，由()()()22211k x x h x x+--'=知，当1x ≠时，()0h x '<. 而()10h =，故当()0,1x ∈时，()0h x <，可得()2101h x x >-； 当()1,x ∈+∞时，()0h x <，可得()2101h x x >- 从而当0x >，且1x ≠时，()ln 01x k f x x x ⎛⎫-+> ⎪-⎝⎭，即()ln 1x k f x x x ⎛⎫>+ ⎪-⎝⎭.（ii ）设01k <<，由于当11,1x k ⎛⎫∈ ⎪-⎝⎭时，()()21120k x x -++>，故()0h x '>，而()10h =，故当11,1x k ⎛⎫∈ ⎪-⎝⎭时，()0h x >，可得()2101h x x <-，与题设矛盾. （iii ）设1k ≥，此时()0h x '>，而()10h =，故当()1,x ∈+∞时，()0h x >，得()2101h x x <-，与题设矛盾.综合得，k 的取值范围为(],0-∞.4．三角函数、解三角形一、选择题【2017，9】已知曲线C 1：y =cos x ，C 2：y =sin (2x +2π3)，则下面结正确的是（ ） A ．把C 1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移π6个单位长度，得到曲线C 2B ．把C 1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移π12个单位长度，得到曲线C 2C ．把C 1上各点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移π6个单位长度，得到曲线C 2D ．把C 1上各点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移π12个单位长度，得到曲线C 2【2016，12】已知函数)2,0)(sin()(πϕωϕω≤>+=x x f ，4π-=x 为)(x f 的零点，4π=x 为)(x f y =图像的对称轴，且)(x f 在)365,18(ππ单调，则ω的最大值为（ ）A ．11B ．9C ．7D ．5【2015，8】函数()f x =cos()x ωϕ+的部分图象如图所示，则()f x 的单调递减区间为（ ）A ．13(,),44k k k ππ-+∈Z B ．13(2,2),44k k k ππ-+∈Z C ．13(,),44k k k -+∈Z D ．13(2,2),44k k k -+∈Z【2015，2】sin 20cos10cos160sin10-=（ ）A ．BC ．12-D ．12【2014，6】如图，圆O 的半径为1，A 是圆上的定点，P 是圆上的动点，角x 的始边为射线OA ，终边为射线OP ，过点P 作直线OA 的垂线，垂足为M ，将点M 到直线OP 的距离表示为x 的函数()f x ，则y =()f x 在[0,π]上的图像大致为（ ）【2014，8】设(0,)2πα∈，(0,)2πβ∈，且1sin tan cos βαβ+=，则（ ） A ．32παβ-=B ．22παβ-=C ．32παβ+=D ．22παβ+=【2012，9】已知0ω>，函数()sin()4f x x πω=+在（2π，π）上单调递减，则ω的取值范围是（ ） A ．[12，54] B ．[12，34] C ．（0，12] D ．（0，2]【2011，5】已知角θ的顶点与原点重合，始边与x 轴的正半轴重合，终边在直线2y x =上，则cos 2θ=A ．45-B ．35-C ．35D ．45【2011，11】设函数()sin()cos()(0,)2f x x x πωϕωϕωϕ=+++><的最小正周期为π，且()()f x f x -=，则（ ）A ．()f x 在0,2π⎛⎫⎪⎝⎭单调递减 B ．()f x 在3,44ππ⎛⎫⎪⎝⎭单调递减 C ．()f x 在0,2π⎛⎫⎪⎝⎭单调递增 D ．()f x 在3,44ππ⎛⎫⎪⎝⎭单调递增 二、填空题【2015，16】在平面四边形ABCD 中，75A B C ∠=∠=∠=，2BC =，则AB 的取值范围是 ． 【2014，16】已知,,a b c 分别为ABC ∆的三个内角,,A B C 的对边，a =2，且(2)(sin sin )()sin b A B c b C +-=-，则ABC ∆面积的最大值为 ． 【2013，15】设当x ＝θ时，函数f (x )＝sin x －2cos x 取得最大值，则cos θ＝__________．【2011，16】在ABC V 中，60,B AC ==2AB BC +的最大值为 ． 三、解答题【2017，17】△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知△ABC 的面积为23sin a A（1）求sin B sin C ；（2）若6cos B cos C =1,a =3,求△ABC 的周长【2016，17】ABC ∆的内角C B A ,,的对边分别为c b a ,,，已知c A b B a C =+)cos cos (cos 2． （Ⅰ）求C ；（Ⅱ）若7=c ，ABC ∆的面积为233，求ABC ∆的周长．【2013，17】如图，在△ABC 中，∠ABC ＝90°，AB BC ＝1，P 为△ABC 内一点，∠BPC ＝90°．(1)若PB ＝12，求P A ；(2)若∠APB ＝150°，求tan ∠PBA ．【2012，17】已知a ，b ，c 分别为△ABC 三个内角A ，B ，C 的对边，cos sin 0a C C b c --=．（1）求A ；（2）若2a =，△ABC b ，c ．3．三角函数、解三角形（解析版）一、选择题【2017，9】已知曲线C 1：y =cos x ，C 2：y =sin (2x +2π3)，则下面结正确的是（ ） A ．把C 1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移π6个单位长度，得到曲线C 2B ．把C 1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移π12个单位长度，得到曲线C 2C ．把C 1上各点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移π6个单位长度，得到曲线C 2D ．把C 1上各点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移π12个单位长度，得到曲线C 2【解析】1:cos C y x =，22π:sin 23⎛⎫=+ ⎪⎝⎭C y x ，首先曲线1C 、2C 统一为一三角函数名，可将1:cos C y x =用诱导公式处理．πππcos cos sin 222⎛⎫⎛⎫==+-=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭y x x x ．横坐标变换需将1=ω变成2=ω，即112πππsin sin 2sin 2224⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+→=+=+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭C 上各坐短它原y x y x x 点横标缩来2ππsin 2sin 233⎛⎫⎛⎫−−→=+=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭y x x ． 注意ω的系数，在右平移需将2=ω提到括号外面，这时π4+x 平移至π3+x ， 根据“左加右减”原则，“π4+x ”到“π3+x ”需加上π12，即再向左平移π12．故选D ； 【2016，12】已知函数)2,0)(sin()(πϕωϕω≤>+=x x f ，4π-=x 为)(x f 的零点，4π=x 为)(x f y =图像的对称轴，且)(x f 在)365,18(ππ单调，则ω的最大值为（ ）A ．11B ．9C ．7D ．5【解析】：由题意知：12π+π 4ππ+π+42k k ωϕωϕ⎧-=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩则21k ω=+，其中k ∈Z ，()f x 在π5π,1836⎛⎫⎪⎝⎭单调，5π,123618122T ππω∴-=≤≤，接下来用排除法：若π11,4ωϕ==-，此时π()sin 114f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，()f x 在π3π,1844⎛⎫ ⎪⎝⎭递增，在3π5π,4436⎛⎫ ⎪⎝⎭递减，不满足()f x 在π5π,1836⎛⎫⎪⎝⎭单调；若π9,4ωϕ==，此时π()sin 94f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，满足()f x 在π5π,1836⎛⎫⎪⎝⎭单调递减．故选B ．【2015，8】函数()f x =cos()x ωϕ+的部分图象如图所示，则()f x 的单调递减区间为（ ）A ．13(,),44k k k ππ-+∈Z B ．13(2,2),44k k k ππ-+∈ZC ．13(,),44k k k -+∈ZD ．13(2,2),44k k k -+∈Z解析：由五点作图知，1+4253+42πωϕπωϕ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，解得=ωπ，=4πϕ，所以()cos()4f x x ππ=+，令22,4k x k k πππππ<+<+∈Z ，解得124k -＜x ＜324k +，k ∈Z ，故单调减区间为（124k -，324k +），k ∈Z ，故选D ． 【2015，2】sin 20cos10cos160sin10-=（ ）A．2-B．2C ．12-D ．12解析：sin 20cos10cos160sin10sin 20cos10cos 20sin10sin30-=+=，选D ．. 【2014，6】如图，圆O 的半径为1，A 是圆上的定点，P 是圆上的动点，角x的始边为射线OA ，终边为射线OP ，过点P 作直线OA 的垂线，垂足为M ，将点M 到直线OP 的距离表示为x 的函数()f x ，则y =()f x 在[0,π]上的图像大致为（ ）【解析】：如图：过M 作MD ⊥OP 于Ｄ，则 PM=sin x ，OM=cos x ,在Rt OMP ∆中，MD=cos sin 1x x OM PM OP =cos sin x x =1sin 22x =，∴()f x 1sin 2(0)2x x π=≤≤，选B. 【2014，8】设(0,)2πα∈，(0,)2πβ∈，且1sin tan cos βαβ+=，则A .32παβ-=B .22παβ-=C .32παβ+=D .22παβ+=【解析】∵sin 1sin tan cos cos αβααβ+==，∴sin cos cos cos sin αβααβ=+ ()sin cos sin 2παβαα⎛⎫-==- ⎪⎝⎭，,02222ππππαβα-<-<<-<∴2παβα-=-，即22παβ-=，选B【2012，9】已知0ω>，函数()sin()4f x x πω=+在（2π，π）上单调递减，则ω的取值范围是（ ） A ．[12，54] B ．[12，34] C ．（0，12] D ．（0，2]【解析】因为0ω>，2x ππ<<，所以2444x ππππωωωπ⋅+<+<⋅+，因为函数()sin()4f x x πω=+在（2π，π）上单调递减，所以242342πππωππωπ⎧⋅+≥⎪⎪⎨⎪⋅+≤⎪⎩，解得1524ω≤≤，故选择A. 【2011，11】设函数()sin()cos()(0,)2f x x x πωϕωϕωϕ=+++><的最小正周期为π，且()()f x f x -=，则（ ） A ．()f x 在0,2π⎛⎫⎪⎝⎭单调递减 B ．()f x 在3,44ππ⎛⎫⎪⎝⎭单调递减 C ．()f x 在0,2π⎛⎫⎪⎝⎭单调递增 D ．()f x 在3,44ππ⎛⎫⎪⎝⎭单调递增 解析：())4f x x πωϕ=++，所以2ω=，又f(x)为偶函数，,424k k k z πππϕπϕπ∴+=+⇒=+∈，())2f x x x π∴=+=，选A.。
(2021年整理)2011-2017新课标1卷理科数学分类汇编(立体几何)
（完整）2011-2017新课标1卷理科数学分类汇编(立体几何)编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（（完整）2011-2017新课标1卷理科数学分类汇编(立体几何)）的内容能够给您的工作和学习带来便利。
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立体几何20177．某多面体的三视图如图所示,其中正视图和左视图都由正方形和等腰直角三角形组成,正方形的边长为2,俯视图为等腰直角三角形.该多面体的各个面中有若干个是梯形，这些梯形的面积之和为A．10 B．12 C．14 D．1616．如图，圆形纸片的圆心为O，半径为5 cm,该纸片上的等边三角形ABC的中心为O.D、E、F 为圆O上的点，△DBC，△ECA，△FAB分别是以BC,CA，AB为底边的等腰三角形。
沿虚线剪开后，分别以BC，CA，AB为折痕折起△DBC，△ECA，△FAB，使得D、E、F重合，得到三棱锥。
当△ABC的边长变化时,所得三棱锥体积(单位:cm3)的最大值为_______.18。
（12分）如图，在四棱锥P—ABCD中，AB//CD，且90BAP CDP∠=∠=.（1）证明:平面PAB⊥平面PAD；（2）若PA=PD=AB=DC,90APD∠=,求二面角A—PB-C的余弦值.2016（6）如图,某几何体的三视图是三个半径相等的圆及每个圆中两条相互垂直的半径.若该几何体的体积是283π，则它的表面积是(A）17π（B)18π（C）20π（D）28π（11)平面a过正方体ABCD—A1B1C1D1的顶点A，a//平面CB1D1，a⋂平面ABCD=m，a⋂平面ABB1A1=n，则m、n所成角的正弦值为（A)32(B)22（C）33(D)13（18）（本题满分为12分)如图，在以A,B，C，D，E，F为顶点的五面体中，面ABEF为正方形，AF=2FD,90AFD∠=，且二面角D-AF—E与二面角C—BE—F都是60．（I）证明:平面ABEF⊥EFDC;（II）求二面角E—BC—A的余弦值．20156、《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有委米依垣内角，下周八尺,高五尺，问”积及为米几何？"其意思为:“在屋内墙角处堆放米（如图，米堆为一个圆锥的四分之一）,米堆底部的弧长为8尺，米堆的高为5尺，米堆的体积和堆放的米各为多少？"已知1斛米的体积约为1。
2011高考全国卷 理(I)+解析
2011理(1)(1)复数212ii+-的共轭复数是 （A ）35i - （B ）35i （C ）i - （D ）i（2）下列函数中，既是偶函数哦、又在（0，）单调递增的函数是（A ）2y x = (B) 1y x =+ （C ）21y x =-+ (D) 2x y -= （3）执行右面的程序框图，如果输入的N 是6，那么输出的p 是 （A ）120 （B ）720 （C ）1440 （D ）5040（4）有3个兴趣小组，甲、乙两位同学各自参加其中一个小组，每位同学参加各个小组的可能性相同，则这两位同学参加同一个兴趣小组的概率为（A ）13 （B ）12 （C ）23 （D ）34（5）已知角θ的顶点与原点重合，始边与x 轴的正半轴重合，终边在直线2y x =上，则cos 2θ=（A ）45- （B ）35- （C ）35 （D ）45（6）在一个几何体的三视图中，正视图和俯视图如右图所示， 则相应的俯视图可以为( D )（7）设直线l 过双曲线C 的一个焦点，且与C 的一条对称轴垂直，l 与C 交于 A,B 两点，AB 为C 的实轴长的2倍，则C 的离心率为（A ）（B （C ）2 （D ）3（8）512a x x x x ⎛⎫⎛⎫+- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭的展开式中各项系数的和为2，则该展开式中常数项为（A ）-40 （B ）-20 （C ）20 （D ）40（9）由曲线y =2y x =-及y 轴所围成的图形的面积为 （A ）103 （B ）4 （C ）163（D ）6 （10）已知a 与b 均为单位向量，其夹角为θ，有下列四个命题12:10,3P a b πθ⎡⎫+>⇔∈⎪⎢⎣⎭ 22:1,3P a b πθπ⎛⎤+>⇔∈⎥⎝⎦3:10,3P a b πθ⎡⎫->⇔∈⎪⎢⎣⎭ 4:1,3P a b πθπ⎛⎤->⇔∈ ⎥⎝⎦其中的真命题是（A ）14,P P （B ）13,P P （C ）23,P P （D ）24,P P （11）设函数()sin()cos()(0,)2f x x x πωϕωϕωϕ=+++><的最小正周期为π，且()()f x f x -=，则（A ）()f x 在0,2π⎛⎫ ⎪⎝⎭单调递减 （B ）()f x 在3,44ππ⎛⎫⎪⎝⎭单调递减 （C ）()f x 在0,2π⎛⎫⎪⎝⎭单调递增（D ）()f x 在3,44ππ⎛⎫⎪⎝⎭单调递增 (12)函数11y x =-的图像与函数2sin (24)y x x π=-≤≤的图像所有焦点的横坐标之和等于 （A ）2 (B) 4 (C) 6 (D)8（13）若变量,x y 满足约束条件329,69,x y x y ≤+≤⎧⎨≤-≤⎩则2z x y =+的最小值为 -6 。
(含详解)2011-2017新课标1卷理科数学分类汇编(立体几何)(K12教育文档)
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立体几何20177．某多面体的三视图如图所示，其中正视图和左视图都由正方形和等腰直角三角形组成，正方形的边长为2,俯视图为等腰直角三角形。
该多面体的各个面中有若干个是梯形，这些梯形的面积之和为A．10 B．12 C．14 D．1616．如图，圆形纸片的圆心为O，半径为5 cm,该纸片上的等边三角形ABC的中心为O.D、E、F 为圆O上的点，△DBC，△ECA，△FAB分别是以BC,CA，AB为底边的等腰三角形.沿虚线剪开后，分别以BC，CA,AB为折痕折起△DBC，△ECA，△FAB，使得D、E、F重合，得到三棱锥.当△ABC的边长变化时，所得三棱锥体积（单位：cm3)的最大值为_______.18.（12分）如图，在四棱锥P—ABCD中，AB//CD,且90BAP CDP∠=∠=。
（1）证明：平面PAB⊥平面PAD；（2）若PA=PD=AB=DC,90APD∠=，求二面角A-PB-C的余弦值.2016(6)如图，某几何体的三视图是三个半径相等的圆及每个圆中两条相互垂直的半径.若该几何体的体积是283π，则它的表面积是（A）17π（B)18π（C)20π(D）28π(11）平面a过正方体ABCD—A1B1C1D1的顶点A,a//平面CB1D1,a⋂平面ABCD=m，a⋂平面ABB1A1=n，则m、n所成角的正弦值为（A)32（B)22(C）33(D)13（18）(本题满分为12分）如图，在以A，B,C，D,E，F为顶点的五面体中，面ABEF为正方形,AF=2FD，90AFD∠=，且二面角D-AF—E与二面角C-BE-F都是60．(I）证明：平面ABEF⊥EFDC；（II）求二面角E—BC—A的余弦值．20156、《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题:“今有委米依垣内角，下周八尺，高五尺,问”积及为米几何？"其意思为：“在屋内墙角处堆放米（如图，米堆为一个圆锥的四分之一），米堆底部的弧长为8尺,米堆的高为5尺，米堆的体积和堆放的米各为多少？”已知1斛米的体积约为1。
2017年高考真题(全国Ⅰ卷)数学理科含答解析
2017年普通高等学校招生统一考试全国I 卷理科数学一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知集合A ={x |x <1}，B ={x |31x <}，则 A ．{|0}A B x x =< B ．A B =R C ．{|1}A B x x =>D ．A B =∅【答案】A 【解析】试题分析：由31x <可得033x <，则0x <，即{|0}B x x =<，所以{|1}{|0}A B x x x x =<<{|0}x x =<，{|1}{|0}{|1}A B x x x x x x =<<=< ，故选A.【考点】集合的运算，指数运算性质【名师点睛】集合的交、并、补运算问题，应先把集合化简再计算，常常借助数轴或韦恩图进行处理. 2．如图，正方形ABCD 内的图形来自中国古代的太极图.正方形内切圆中的黑色部分和白色部分关于正方形的中心成中心对称.在正方形内随机取一点，则此点取自黑色部分的概率是A ．14 B ．π8 C ．12D ．π4【答案】B 【解析】试题分析：设正方形边长为a ，则圆的半径为2a ，正方形的面积为2a ，圆的面积为2π4a .由图形的对称性可知，太极图中黑白部分面积相等，即各占圆面积的一半.由几何概型概率的计算公式得，此点取自黑色部分的概率是221ππ248a a ⋅=，选B.秒杀解析：由题意可知，此点取自黑色部分的概率即为黑色部分面积占整个面积的比例，由图可知其概率p 满足1142p <<，故选B. 【考点】几何概型【名师点睛】对于几何概型的计算，首先确定事件类型为几何概型并确定其几何区域（长度、面积、体积或时间），其次计算基本事件区域的几何度量和事件A 区域的几何度量，最后计算()P A . 3．设有下面四个命题1p ：若复数z 满足1z∈R ，则z ∈R ；2p ：若复数z 满足2z ∈R ，则z ∈R ；3p ：若复数12,z z 满足12z z ∈R ，则12z z =； 4p ：若复数z ∈R ，则z ∈R .其中的真命题为 A ．13,p pB ．14,p pC ．23,p pD ．24,p p【答案】B【考点】复数的运算与性质【名师点睛】分式形式的复数，分子、分母同乘以分母的共轭复数，化简成i(,)z a b a b =+∈R 的形式进行判断，共轭复数只需实部不变，虚部变为原来的相反数即可.4．记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和．若4524a a +=，648S =，则{}n a 的公差为 A ．1B ．2C ．4D ．8【答案】C 【解析】【考点】等差数列的基本量求解【名师点睛】求解等差数列基本量问题时，要多多使用等差数列的性质，如{}n a 为等差数列，若m n p q +=+，则m n p q a a a a +=+.5．函数()f x 在(,)-∞+∞单调递减，且为奇函数．若(11)f =-，则满足21()1x f --≤≤的x 的取值范围是 A ．[2,2]-B ．[1,1]-C ．[0,4]D ．[1,3]【答案】D 【解析】试题分析：因为()f x 为奇函数且在(,)-∞+∞单调递减，要使1()1f x -≤≤成立，则x 满足11x -≤≤，从而由121x -≤-≤得13x ≤≤，即满足1(2)1f x -≤-≤成立的x 的取值范围为[1,3]，选D. 【考点】函数的奇偶性、单调性【名师点睛】奇偶性与单调性的综合问题，要充分利用奇、偶函数的性质与单调性解决不等式和比较大小问题，若()f x 在R 上为单调递增的奇函数，且12()()0f x f x +>，则120x x +>，反之亦成立. 6．621(1)(1)x x++展开式中2x 的系数为 A ．15B ．20C ．30D ．35【答案】C 【解析】试题分析：因为6662211(1)(1)1(1)(1)x x x x x ++=⋅++⋅+，则6(1)x +展开式中含2x 的项为22261C 15x x ⋅=，621(1)x x ⋅+展开式中含2x 的项为442621C 15x x x⋅=，故2x 的系数为151530+=，选C.【考点】二项式定理【名师点睛】对于两个二项式乘积的问题，用第一个二项式中的每项乘以第二个二项式的每项，分析含2x 的项共有几项，进行相加即可.这类问题的易错点主要是未能分析清楚构成这一项的具体情况，尤其是两个二项展开式中的r不同.7．某多面体的三视图如图所示，其中正视图和左视图都由正方形和等腰直角三角形组成，正方形的边长为2，俯视图为等腰直角三角形.该多面体的各个面中有若干个是梯形，这些梯形的面积之和为A．10 B．12 C．14 D．16【答案】B【解析】试题分析：由题意该几何体的直观图是由一个三棱锥和三棱柱构成，如下图，则该几何体各面内只有两个相同的梯形，则这些梯形的面积之和为12(24)2122⨯+⨯⨯=，故选B.【考点】简单几何体的三视图【名师点睛】三视图往往与几何体的体积、表面积以及空间线面关系、角、距离等问题相结合，解决此类问题的关键是由三视图准确确定空间几何体的形状及其结构特征并且熟悉常见几何体的三视图. 8．下面程序框图是为了求出满足3n−2n>1000的最小偶数n，那么在和两个空白框中，可以分别填入A．A>1 000和n=n+1 B．A>1 000和n=n+2C．A≤1 000和n=n+1 D．A≤1 000和n=n+2【答案】D【考点】程序框图【名师点睛】解决此类问题的关键是读懂程序框图，明确顺序结构、条件结构、循环结构的真正含义.本题巧妙地设置了两个空格需要填写，所以需要抓住循环的重点，偶数该如何增量，判断框内如何进行判断可以根据选项排除.9．已知曲线C1：y=cos x，C2：y=sin (2x+2π3)，则下面结论正确的是A．把C1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移π6个单位长度，得到曲线C2B．把C1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移π12个单位长度，得到曲线C2C．把C1上各点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移π6个单位长度，得到曲线C2D．把C1上各点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移π12个单位长度，得到曲线C2 【答案】D 【解析】试题分析：因为12,C C 函数名不同，所以先将2C 利用诱导公式转化成与1C 相同的函数名，则22π2πππ:sin(2)cos(2)cos(2)3326C y x x x =+=+-=+，则由1C 上各点的横坐标缩短到原来的12倍变为cos 2y x =，再将曲线向左平移π12个单位长度得到2C ，故选D.【考点】三角函数图象变换【名师点睛】对于三角函数图象变换问题，首先要将不同名函数转换成同名函数，利用诱导公式，需要重点记住ππsin cos(),cos sin()22αααα=-=+；另外，在进行图象变换时，提倡先平移后伸缩，而先伸缩后平移在考试中也经常出现，无论哪种变换，记住每一个变换总是对变量x 而言.10．已知F 为抛物线C ：y 2=4x 的焦点，过F 作两条互相垂直的直线l 1，l 2，直线l 1与C 交于A 、B 两点，直线l 2与C 交于D 、E 两点，则|AB |+|DE |的最小值为 A ．16B ．14C ．12D ．10【答案】A【考点】抛物线的简单几何性质【名师点睛】对于抛物线弦长问题，要重点抓住抛物线定义，到定点的距离要想到转化到准线上，另外，直线与抛物线联立，求判别式，利用根与系数的关系是通法，需要重点掌握.考查最值问题时要能想到用函数方法和基本不等式进行解决.此题还可以利用弦长的倾斜角表示，设直线的倾斜角为α，则22||sin pAB α=，则2222||πcos sin (+)2p pDE αα==，所以222221||||4(cos sin cos p p AB DE ααα+=+=+ 222222222111sin cos )4()(cos sin )4(2)4(22)16sin cos sin cos sin ααααααααα=++=++≥⨯+=. 11．设x 、y 、z 为正数，且235x y z==，则A ．2x <3y <5zB ．5z <2x <3yC ．3y <5z <2xD ．3y <2x <5z【答案】D【考点】指、对数运算性质【名师点睛】对于连等问题，常规的方法是令该连等为同一个常数，再用这个常数表示出对应的,,x y z ，通过作差或作商进行比较大小.对数运算要记住对数运算中常见的运算法则，尤其是换底公式以及0与1的对数表示.12．几位大学生响应国家的创业号召，开发了一款应用软件.为激发大家学习数学的兴趣，他们推出了“解数学题获取软件激活码”的活动.这款软件的激活码为下面数学问题的答案：已知数列1，1，2，1，2，4，1，2，4，8，1，2，4，8，16，…，其中第一项是20，接下来的两项是20，21，再接下来的三项是20，21，22，依此类推.求满足如下条件的最小整数N ：N >100且该数列的前N 项和为2的整数幂.那么该款软件的激活码是 A ．440B ．330C ．220D ．110【答案】A 【解析】试题分析：由题意得，数列如下：11,1,2,1,2,4,1,2,4,,2k -则该数列的前(1)122k k k ++++=项和为 11(1)1(12)(122)222k k k k S k -++⎛⎫=+++++++=-- ⎪⎝⎭，要使(1)1002k k +>，有14k ≥，此时122k k ++<，所以2k +是第1k +组等比数列1,2,,2k 的部分和，设1212221t t k -+=+++=- ，所以2314t k =-≥，则5t ≥，此时52329k =-=， 所以对应满足条件的最小整数293054402N ⨯=+=，故选A. 【考点】等差数列、等比数列【名师点睛】本题非常巧妙地将实际问题和数列融合在一起，首先需要读懂题目所表达的具体含义，以及观察所给定数列的特征，进而判断出该数列的通项和求和.另外，本题的难点在于数列里面套数列，第一个数列的和又作为下一个数列的通项，而且最后几项并不能放在一个数列中，需要进行判断. 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13．已知向量a ，b 的夹角为60°，|a |=2，|b |=1，则| a +2b |= .【答案】23 【解析】试题分析：222|2|||44||4421cos60412+=+⋅+=+⨯⨯⨯+= a b a a b b ，所以|2|1223+==a b . 秒杀解析：利用如下图形，可以判断出2+a b 的模长是以2为边长，一夹角为60°的菱形的对角线的长度，则为23.【考点】平面向量的运算【名师点睛】平面向量中涉及有关模长的问题时，常用到的通法是将模长进行平方，利用向量数量积的知识进行解答，很快就能得出答案；另外，向量是一个工具型的知识，具备代数和几何特征，在做这类问题时可以使用数形结合的思想，会加快解题速度.14．设x ，y 满足约束条件21210x y x y x y +≤⎧⎪+≥-⎨⎪-≤⎩，，，则32z x y =-的最小值为 .【答案】5- 【解析】试题分析：不等式组表示的可行域如图所示，易求得1111(1,1),(,),(,)3333A B C ---，由32z x y =-得322zy x =-在y 轴上的截距越大，z 就越小，所以，当直线32z x y =-过点A 时，z 取得最小值， 所以z 的最小值为3(1)215⨯--⨯=-. 【考点】线性规划【名师点睛】本题是常规的线性规划问题，线性规划问题常出现的形式有：①直线型，转化成斜截式比较截距，要注意z 前面的系数为负时，截距越大，z 值越小；②分式型，其几何意义是已知点与未知点的斜率；③平方型，其几何意义是距离，尤其要注意的是最终结果应该是距离的平方；④绝对值型，转化后其几何意义是点到直线的距离.15．已知双曲线C ：22221x y a b-=（a >0，b >0）的右顶点为A ，以A 为圆心，b 为半径作圆A ，圆A 与双曲线C 的一条渐近线交于M ，N 两点.若∠MAN =60°，则C 的离心率为 .【答案】233【解析】试题分析：如图所示，作AP MN ⊥，因为圆A 与双曲线C 的一条渐近线交于M 、N 两点，则MN 为双曲线的渐近线by x a=上的点，且(,0)A a ，||||AM AN b ==， 而AP MN ⊥，所以30PAN ∠= ， 点(,0)A a 到直线by x a=的距离22||||1b AP b a =+，在Rt PAN △中，||cos ||PA PAN NA ∠=，代入计算得223a b =，即3a b =， 由222c a b =+得2c b =， 所以22333c b e a b ===.【考点】双曲线的简单几何性质【名师点睛】双曲线渐近线是其独有的性质，所以有关渐近线问题备受出题者的青睐.做好这一类问题要抓住以下重点：①求解渐近线，直接把双曲线后面的1换成0即可；②双曲线的焦点到渐近线的距离是b ；③双曲线的顶点到渐近线的距离是abc. 16．如图，圆形纸片的圆心为O ，半径为5 cm ，该纸片上的等边三角形ABC 的中心为O .D ，E ，F 为圆O上的点，△DBC ，△ECA ，△F AB 分别是以BC ，CA ，AB 为底边的等腰三角形.沿虚线剪开后，分别以BC ，CA ，AB 为折痕折起△DBC ，△ECA ，△F AB ，使得D ，E ，F 重合，得到三棱锥.当△ABC 的边长变化时，所得三棱锥体积（单位：cm 3）的最大值为.【答案】415 【解析】试题分析：如下图，连接DO 交BC 于点G ，设D ，E ，F 重合于S 点，正三角形的边长为x (x >0)，则1332OG x =⨯36x =.∴356FG SG x ==-， 222233566SO h SG GO x x ⎛⎫⎛⎫==-=-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭3553x ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭， ∴三棱锥的体积21133553343ABC V S h x x ⎛⎫=⋅=⨯⨯- ⎪ ⎪⎝⎭△451535123x x =-. 设()45353n x x x =-，x >0，则()3453203n x x x '=-， 令()0n x '=，即43403x x -=，得43x =，易知()n x 在43x =处取得最大值.∴max 15485441512V =⨯⨯-=.【考点】简单几何体的体积【名师点睛】对于三棱锥最值问题，需要用到函数思想进行解决，本题解决的关键是设好未知量，利用图形特征表示出三棱锥体积.当体积中的变量最高次是2次时可以利用二次函数的性质进行解决，当变量是高次时需要用到求导的方式进行解决.三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答. （一）必考题：共60分. 17．（12分）△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知△ABC 的面积为23sin a A.（1）求sin B sin C ;（2）若6cos B cos C =1，a =3，求△ABC 的周长. 【解析】试题分析：（1）由三角形面积公式建立等式21sin 23sin a ac B A=，再利用正弦定理将边化成角，从而得出sin sin B C 的值；（2）由1cos cos 6B C =和2sin sin 3B C =计算出1cos()2B C +=-，从而求出角A ，根据题设和余弦定理可以求出bc 和b c +的值，从而求出ABC △的周长为333+.【考点】三角函数及其变换【名师点睛】在处理解三角形问题时，要注意抓住题目所给的条件，当题设中给定三角形的面积，可以使用面积公式建立等式，再将所有边的关系转化为角的关系，有时需将角的关系转化为边的关系；解三角形问题常见的一种考题是“已知一条边的长度和它所对的角，求面积或周长的取值范围”或者“已知一条边的长度和它所对的角，再有另外一个条件，求面积或周长的值”，这类问题的通法思路是：全部转化为角的关系，建立函数关系式，如sin()y A x b ωϕ=++，从而求出范围，或利用余弦定理以及基本不等式求范围；求具体的值直接利用余弦定理和给定条件即可. 18．（12分）如图，在四棱锥P−ABCD 中，AB//CD ，且90BAP CDP ∠=∠= .（1）证明：平面P AB ⊥平面P AD ；（2）若P A =PD =AB =DC ，90APD ∠= ，求二面角A −PB −C 的余弦值. 【解析】试题解析：（1）由已知90BAP CDP ∠=∠=︒，得AB ⊥AP ，CD ⊥PD . 由于AB//CD ，故AB ⊥PD ，从而AB ⊥平面P AD . 又AB ⊂平面P AB ，所以平面P AB ⊥平面P AD . （2）在平面PAD 内作PF AD ⊥，垂足为F ，由（1）可知，AB ⊥平面PAD ，故AB PF ⊥，可得PF ⊥平面ABCD .以F 为坐标原点，FA 的方向为x 轴正方向，||AB 为单位长，建立如图所示的空间直角坐标系F xyz -.由（1）及已知可得2(,0,0)2A ，2(0,0,)2P ，2(,1,0)2B ，2(,1,0)2C -. 所以22(,1,)22PC =-- ，(2,0,0)CB = ，22(,0,)22PA =- ，(0,1,0)AB = .设(,,)x y z =n 是平面PCB 的法向量，则0,0,PC CB ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ n n 即220,2220,x y z x ⎧-+-=⎪⎨⎪=⎩可取(0,1,2)=--n .设(,,)x y z =m 是平面PAB 的法向量，则0,0,PA AB ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ m m 即220,220.x z y ⎧-=⎪⎨⎪=⎩可取(1,0,1)=m . 则3cos ,||||3⋅==-<>n m n m n m ， 所以二面角A PB C --的余弦值为33-. 【考点】面面垂直的证明，二面角平面角的求解【名师点睛】高考对空间向量与立体几何的考查主要体现在以下几个方面：①求异面直线所成的角，关键是转化为两直线的方向向量的夹角；②求直线与平面所成的角，关键是转化为直线的方向向量和平面的法向量的夹角；③求二面角，关键是转化为两平面的法向量的夹角.建立空间直角坐标系和表示出所需点的坐标是解题的关键. 19．（12分）为了监控某种零件的一条生产线的生产过程，检验员每天从该生产线上随机抽取16个零件，并测量其尺寸（单位：cm ）．根据长期生产经验，可以认为这条生产线正常状态下生产的零件的尺寸服从正态分布2(,)N μσ．（1）假设生产状态正常，记X 表示一天内抽取的16个零件中其尺寸在(3,3)μσμσ-+之外的零件数，求(1)P X ≥及X 的数学期望；（2）一天内抽检零件中，如果出现了尺寸在(3,3)μσμσ-+之外的零件，就认为这条生产线在这一天的生产过程可能出现了异常情况，需对当天的生产过程进行检查． （ⅰ）试说明上述监控生产过程方法的合理性； （ⅱ）下面是检验员在一天内抽取的16个零件的尺寸：9.95 10.12 9.96 9.96 10.01 9.92 9.98 10.04 10.26 9.91 10.13 10.02 9.22 10.04 10.05 9.95经计算得16119.9716i i x x ===∑，16162221111()(16)0.2121616i i i i s x x x x ===-=-≈∑∑，其中i x 为抽取的第i 个零件的尺寸，1,2,,16i =⋅⋅⋅．用样本平均数x 作为μ的估计值ˆμ，用样本标准差s 作为σ的估计值ˆσ，利用估计值判断是否需对当天的生产过程进行检查？剔除ˆˆˆˆ(3,3)μσμσ-+之外的数据，用剩下的数据估计μ和σ（精确到0.01）．附：若随机变量Z 服从正态分布2(,)N μσ，则(33)0.997 4P Z μσμσ-<<+=，160.997 40.959 2≈，0.0080.09≈．【解析】试题解析：（1）抽取的一个零件的尺寸在(3,3)μσμσ-+之内的概率为0.9974，从而零件的尺寸在(3,3)μσμσ-+之外的概率为0.0026，故~(16,0.0026)X B .因此16(1)1(0)10.99740.0408P X P X ≥=-==-≈.X 的数学期望为160.00260.0416EX =⨯=.（2）（i ）如果生产状态正常，一个零件尺寸在(3,3)μσμσ-+之外的概率只有0.0026，一天内抽取的16个零件中，出现尺寸在(3,3)μσμσ-+之外的零件的概率只有0.0408，发生的概率很小.因此一旦发生这种情况，就有理由认为这条生产线在这一天的生产过程可能出现了异常情况，需对当天的生产过程进行检查，可见上述监控生产过程的方法是合理的.（ii ）由9.97,0.212x s =≈，得μ的估计值为ˆ9.97μ=，σ的估计值为ˆ0.212σ=，由样本数据可以看出有一个零件的尺寸在ˆˆˆˆ(3,3)μσμσ-+之外，因此需对当天的生产过程进行检查.剔除ˆˆˆˆ(3,3)μσμσ-+之外的数据9.22，剩下数据的平均数为1(169.979.22)10.0215⨯-=，因此μ的估计值为10.02.162221160.212169.971591.134ii x==⨯+⨯≈∑，剔除ˆˆˆˆ(3,3)μσμσ-+之外的数据9.22，剩下数据的样本方差为221(1591.1349.221510.02)0.00815--⨯≈， 因此σ的估计值为0.0080.09≈. 【考点】正态分布，随机变量的期望和方差【名师点睛】数学期望是离散型随机变量中重要的数学概念，反映随机变量取值的平均水平.求解离散型随机变量的分布列、数学期望时，首先要分清事件的构成与性质，确定离散型随机变量的所有取值，然后根据概率类型选择公式，计算每个变量取每个值的概率，列出对应的分布列，最后求出数学期望.正态分布是一种重要的分布，之前考过一次，尤其是正态分布的3σ原则. 20．（12分）已知椭圆C ：2222=1x y a b +（a >b >0），四点P 1（1,1），P 2（0,1），P 3（–1，32），P 4（1，32）中恰有三点在椭圆C 上. （1）求C 的方程；（2）设直线l 不经过P 2点且与C 相交于A ，B 两点.若直线P 2A 与直线P 2B 的斜率的和为–1，证明：l 过定点. 【解析】试题分析：（1）根据3P ，4P 两点关于y 轴对称，由椭圆的对称性可知C 经过3P ，4P 两点.另外由222211134a b a b +>+知，C 不经过点P 1，所以点P 2在C 上.因此234,,P P P 在椭圆上，代入其标准方程，即可求出C 的方程；（2）先设直线P 2A 与直线P 2B 的斜率分别为k 1，k 2，再设直线l 的方程，当l 与x轴垂直时，通过计算，不满足题意，再设l ：y kx m =+（1m ≠），将y kx m =+代入2214x y +=，写出判别式，利用根与系数的关系表示出x 1+x 2，x 1x 2，进而表示出12k k +，根据121k k +=-列出等式表示出k 和m 的关系，从而判断出直线恒过定点.试题解析：（1）由于3P ，4P 两点关于y 轴对称，故由题设知C 经过3P ，4P 两点. 又由222211134a b a b +>+知，C 不经过点P 1，所以点P 2在C 上.因此22211,131,4b ab ⎧=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩解得224,1.a b ⎧=⎪⎨=⎪⎩故C 的方程为2214x y +=.（2）设直线P 2A 与直线P 2B 的斜率分别为k 1，k 2，如果l 与x 轴垂直，设l ：x =t ，由题设知0t ≠，且||2t <，可得A ，B 的坐标分别为（t ，242t -），（t ，242t --）.则22124242122t t k k t t---++=-=-，得2t =，不符合题设. 从而可设l ：y kx m =+（1m ≠）.将y kx m =+代入2214x y +=得222(41)8440k x kmx m +++-=. 由题设可知22=16(41)0k m ∆-+>.设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），则x 1+x 2=2841kmk -+，x 1x 2=224441m k -+.而12121211y y k k x x --+=+ 121211kx m kx m x x +-+-=+ 1212122(1)()kx x m x x x x +-+=.由题设121k k +=-，故1212(21)(1)()0k x x m x x ++-+=.即222448(21)(1)04141m kmk m k k --+⋅+-⋅=++.解得12m k +=-.当且仅当1m >-时，0∆>，于是l ：12m y x m +=-+，即11(2)2m y x ++=--， 所以l 过定点（2，1-）.【考点】椭圆的标准方程，直线与圆锥曲线的位置关系【名师点睛】椭圆的对称性是椭圆的一个重要性质，判断点是否在椭圆上，可以通过这一方法进行判断；证明直线过定点的关键是设出直线方程，通过一定关系转化，找出两个参数之间的关系式，从而可以判断过定点情况.另外，在设直线方程之前，若题设中未告知，则一定要讨论直线斜率不存在和存在两种情况，其通法是联立方程，求判别式，利用根与系数的关系，再根据题设关系进行化简. 21．（12分）已知函数2()e (2)e x x f x a a x =+--. （1）讨论()f x 的单调性；（2）若()f x 有两个零点，求a 的取值范围. 【解析】试题分析：（1）讨论()f x 单调性，首先进行求导，发现式子特点后要及时进行因式分解，再对a 按0a ≤，0a >进行讨论，写出单调区间；（2）根据第（1）问，若0a ≤，()f x 至多有一个零点.若0a >，当ln x a =-时，()f x 取得最小值，求出最小值1(ln )1ln f a a a-=-+，根据1a =，(1,)a ∈+∞，(0,1)a ∈进行讨论，可知当(0,1)a ∈时有2个零点.易知()f x 在(,ln )a -∞-有一个零点；设正整数0n 满足03ln(1)n a>-，则0000()e (e2)e 20n n n n f n a a n n n =+-->->->.由于3ln(1)ln a a->-，因此()f x 在(ln ,)a -+∞有一个零点.从而可得a 的取值范围为(0,1).试题解析：（1）()f x 的定义域为(,)-∞+∞，2()2e (2)e 1(e 1)(2e 1)x x x x f x a a a '=+--=-+， （ⅰ）若0a ≤，则()0f x '<，所以()f x 在(,)-∞+∞单调递减. （ⅱ）若0a >，则由()0f x '=得ln x a =-.当(,ln )x a ∈-∞-时，()0f x '<；当(ln ,)x a ∈-+∞时，()0f x '>，所以()f x 在(,ln )a -∞-单调递减，在(ln ,)a -+∞单调递增.（2）（ⅰ）若0a ≤，由（1）知，()f x 至多有一个零点.（ⅱ）若0a >，由（1）知，当ln x a =-时，()f x 取得最小值，最小值为1(ln )1ln f a a a-=-+. ①当1a =时，由于(ln )0f a -=，故()f x 只有一个零点； ②当(1,)a ∈+∞时，由于11ln 0a a-+>，即(ln )0f a ->，故()f x 没有零点； ③当(0,1)a ∈时，11ln 0a a-+<，即(ln )0f a -<. 又422(2)e (2)e 22e 20f a a ----=+-+>-+>，故()f x 在(,ln )a -∞-有一个零点.设正整数0n 满足03ln(1)n a>-，则00000000()e (e 2)e 20n n n n f n a a n n n =+-->->->. 由于3ln(1)ln a a->-，因此()f x 在(ln ,)a -+∞有一个零点. 综上，a 的取值范围为(0,1).【考点】含参函数的单调性，利用函数零点求参数取值范围【名师点睛】研究函数零点问题常常与研究对应方程的实根问题相互转化.已知函数()f x 有2个零点求参数a 的取值范围，第一种方法是分离参数，构造不含参数的函数，研究其单调性、极值、最值，判断y a =与其交点的个数，从而求出a 的取值范围；第二种方法是直接对含参函数进行研究，研究其单调性、极值、最值，注意点是若()f x 有2个零点，且函数先减后增，则只需其最小值小于0，且后面还需验证最小值两边存在大于0的点.（二）选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分. 22．[选修4−4：坐标系与参数方程]（10分）在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为3cos ,sin ,x y θθ=⎧⎨=⎩（θ为参数），直线l 的参数方程为4,1,x a t t y t =+⎧⎨=-⎩（为参数）. （1）若a =−1，求C 与l 的交点坐标；（2）若C 上的点到l 距离的最大值为17，求a . 【解析】试题分析：（1）先将曲线C 和直线l 的参数方程化成普通方程，然后联立两方程即可求出交点坐标；（2）由直线l 的普通方程为440x y a +--=，设C 上的点为(3cos ,sin )θθ，易求得该点到l 的距离为|3cos 4sin 4|17a d θθ+--=.对a 再进行讨论，即当4a ≥-和4a <-时，求出a 的值.试题解析：（1）曲线C 的普通方程为2219x y +=. 当1a =-时，直线l 的普通方程为430x y +-=.由22430,19x y x y +-=⎧⎪⎨+=⎪⎩解得3,0x y =⎧⎨=⎩或21,2524.25x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩从而C 与l 的交点坐标为(3,0)，2124(,)2525-. （2）直线l 的普通方程为440x y a +--=，故C 上的点(3cos ,sin )θθ到l 的距离为|3cos 4sin 4|17a d θθ+--=.当4a ≥-时，d 的最大值为917a +.由题设得91717a +=，所以8a =； 当4a <-时，d 的最大值为117a -+.由题设得11717a -+=，所以16a =-. 综上，8a =或16a =-. 【考点】坐标系与参数方程【名师点睛】化参数方程为普通方程的关键是消参，可以利用加减消元、平方消元、代入法等等；在极坐标方程与参数方程的条件下求解直线与圆的位置关系问题时，通常将极坐标方程化为直角坐标方程，参数方程化为普通方程来解决. 23．[选修4−5：不等式选讲]（10分）已知函数2–4()x ax f x =++，11()x x g x =++-||||.（1）当a =1时，求不等式()()f x g x ≥的解集；（2）若不等式()()f x g x ≥的解集包含[–1，1]，求a 的取值范围. 【解析】试题分析：（1）将1a =代入，不等式()()f x g x ≥等价于2|1||1|40x x x x -+++--≤，对x 按1x <-，11x -≤≤，1x >讨论，得出不等式的解集；（2）当[1,1]x ∈-时，()2g x =.若()()f xg x ≥的解集包含[1,1]-，等价于当[1,1]x ∈-时()2f x ≥.则()f x 在[1,1]-的最小值必为(1)f -与(1)f 之一，所以(1)2f -≥且(1)2f ≥，从而得11a -≤≤.试题解析：（1）当1a =时，不等式()()f x g x ≥等价于2|1||1|40x x x x -+++--≤.① 当1x <-时，①式化为2340x x --≤，无解；当11x -≤≤时，①式化为220x x --≤，从而11x -≤≤；当1x >时，①式化为240x x +-≤，从而11712x -+<≤.- 21 - 所以()()f x g x ≥的解集为117{|1}2x x -+-≤≤.【考点】绝对值不等式的解法，恒成立问题【名师点睛】零点分段法是解答绝对值不等式问题常用的方法，也可以将绝对值函数转化为分段函数，借助图象解题.。
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一、选择题
【2017，3】设有下面四个命题
1:p 若复数z 满足1z
∈R ，则z ∈R ；2:p 若复数z 满足2z ∈R ，则z ∈R ； 3:p 若复数12,z z 满足12z z ∈R ，则12z z =；4:p 若复数z ∈R ，则z ∈R ． 其中的真命题为（ ）
A ．13,p p
B ．14,p p
C ．23,p p
D ．24,p p
【2016，2】设yi x i +=+1)1(，其中y x ,是实数，则=+yi x （ ）
A ．1
B ．2
C ．3
D ．2
【2015，1】设复数z 满足1i 1z z
+=-，则||z =（ ）
A ．1
B
C
D ．2
【2014，2）】32(1)(1)i i +-=（ ）
A ．1i +
B ．1i -
C ．1i -+
D ．1i --
【2013，2】若复数z 满足(3－4i)z ＝|4＋3i|，则z 的虚部为( )．
A ．－4
B ．45
-
C ．4
D ．45 【2012，3】下面是关于复数21z i =-+的四个命题： 1p ：||2z =；2p ：22z i =；3p ：z 的共轭复数为1i +；4p ：z 的虚部为1-． 其中的真命题为（ ）
A ．2p ，3p
B ．1p ，2p
C ．2p ，4p
D ．3p ，4p 【2011，1】复数212i i
+-的共轭复数是（ ） A ．3
5i - B ．35
i C ．i - D ．i
一、选择题
【2017，3】设有下面四个命题
1:p 若复数z 满足1z
∈R ，则z ∈R ；2:p 若复数z 满足2z ∈R ，则z ∈R ； 3:p 若复数12,z z 满足12z z ∈R ，则12z z =；4:p 若复数z ∈R ，则z ∈R ． 其中的真命题为（ ）
A ．13,p p
B ．14,p p
C ．23,p p
D ．24,p p
【解析】1:p 设z a bi =+，则22
11a bi z a bi a b -==∈++R ，得到0b =，所以z ∈R ．故1P 正确； 2:p 若z =-21，满足2z ∈R ，而z i =，不满足2z ∈R ，故2p 不正确；
3:p 若1z 1=，2z 2=，则12z z 2=，满足12z z ∈R ，而它们实部不相等，不是共轭复数，故3p 不正确； 4:p 实数没有虚部，所以它的共轭复数是它本身，也属于实数，故4p 正确；
【2016，2】设yi x i +=+1)1(，其中y x ,是实数，则=+yi x （ ）
A ．1
B ．2
C ．3
D ．2
【解析】由()11i x yi +=+可知：1x xi yi +=+，故1x x y =⎧⎨=⎩
，解得：11x y =⎧⎨=⎩．所以，x yi + 故选B ．
【2015，1】设复数z 满足1i 1z z
+=-，则||z =（ ）
A ．1
B
C
D ．2 解析：由1i 1z z +=-得1i(1)z z +=-，即1i 1i z -+=+，2(1i)(1i)(1i)i (1i)(1i)2
z -+---===+-，||z =1，选A ． 【2014，2）】32(1)(1)i i +-=（ ）
A .1i +
B .1i -
C .1i -+
D .1i -- 【解析】∵32(1)(1)
i i +-=2(1)12i i i i +=---，选D. 【2013，2】若复数z 满足(3－4i)z ＝|4＋3i|，则z 的虚部为( )．
A ．－4
B ．45
-
C ．4
D ．45 解析：∵(3－4i)z ＝|4＋3i|，∴55(34i)34i 34i (34i)(34i)55z +===+--+. 故z 的虚部为45，选D.
【2012，3】下面是关于复数21z i
=-+的四个命题： 1p ：||2z =；2p ：22z i =；3p ：z 的共轭复数为1i +；4p ：z 的虚部为1-． 其中的真命题为（ ）
A ．2p ，3p
B ．1p ，2p
C ．2p ，4p
D ．3p ，4p
【解析】因为22(1)11(1)(1)
i z i i i i --===---+-+--，所以||z =22(1)2z i i =--=， z 的共轭复数为1i -+，z 的虚部为1-，所以2p ，4p 为真命题，故选择C ．
【2011，1】复数212i i
+-的共轭复数是（ ） A ．3
5
i - B ．3
5i C ．i - D ．i 解析：
212i i +-=(2)(12),5i i i ++=共轭复数为C。