江苏省盐城中学09-10学年高二下学期期中考试(数学理)
2023-2024学年江苏省盐城中学高二下学期期中考试数学试题+答案解析(附后)
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知向量，若，则x 的值为( )A. B. C. 1D. 22.在三棱锥中，，Q 是BC 的中点，且M 为PQ 2023-2024学年江苏省盐城中学高二下学期期中考试数学试题的中点，若，，，则( )A.B.C.D.3.中国空间站的主体结构包括天和核心舱、问天实验舱和梦天实验舱。
2022年10月31日15：37分，我国将“梦天实验舱”成功送上太空，完成了最后一个关键部分的发射，“梦天实验舱”也和“天和核心舱”按照计划成功对接，成为“T ”字形架构，我国成功将中国空间站建设完毕。
2023年，中国空间站将正式进入运营阶段.假设空间站要安排甲、乙等4名航天员都去开展实验，三舱中每个舱至少一人，且甲、乙两人不同舱，则不同的安排方法有( )A. 24种 B. 30种 C. 66种 D. 以上都不对4.若直线是曲线的切线，也是曲线的切线，则( )A.B.C.D.5.在10件产品中，有8件合格品，2件不合格品，从这10件产品中不放回地抽取2次，每次抽取1件产品。
若已知有一次为合格品，则另一次也是合格品的概率为 ( )A.B.C.D.6.南宋数学家杨辉的重要著作《详解九章算法》中的“垛积术”问题介绍了高阶等差数列。
以高阶等差数列中的二阶等差数列为例，其特点是从数列中的第二项开始，每一项与前一项的差构成等差数列。
若某个二阶等差数列的前4项为：1、4、9、16，则该数列的第20项为( )A. 399B. 400C. 401D. 4027.已知点F 为双曲线的右焦点，A ，B 两点在双曲线上，且关于原点对称，M 、N分别为的中点，当时，直线AB 的斜率为，则双曲线的离心率为( )A. 4B. C.D. 28.如图，矩形ABCD中，，E为边AB的中点，将沿直线DE翻折成，在翻折过程中，直线与平面ABCD所成角的正弦值最大为( )A. B. C. D.二、多选题：本题共4小题，共20分。
江苏省盐城市高二下学期期中数学试卷(理科)
江苏省盐城市高二下学期期中数学试卷（理科）姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、选择题 (共12题；共24分)1. （2分） (2017高二上·南昌月考) 给出下列四个命题:①“若为的极值点，则”的逆命题为真命题②“平面向量的夹角是钝角”的充分不必要条件是③若命题，则④函数在点处的切线方程为 .其中不正确的个数是（）A . 1B . 2C . 3D . 42. （2分）设函数. 若当时，不等式恒成立，则实数m的取值范围是（）.A .B .C .D .3. （2分） (2019高二下·亳州月考) 复数 = (i是虚数单位),则复数的虚部为（）A . iB . -iC . 1D . -14. （2分）关于的函数的极值点的个数有（）A . 2个B . 1个C . 0个D . 由a确定5. （2分）甲乙两人从4门课程中各选修两门，则甲乙所选的课程中至少有1门不相同的选法共有（）种．A . 30B . 36C . 60D . 726. （2分） (2017高二下·运城期末) （1+ ）（1+x）6展开式中x2的系数为（）A . 15B . 20C . 30D . 357. （2分） (2015高三上·贵阳期末) 设i为虚数单位，则复数Z= 的共轭复数为（）A . 2﹣3iB . ﹣2﹣3iC . ﹣2+3iD . 2+3i8. （2分）某股民购买一公司股票10万元，在连续十个交易日内，前5个交易日，平均每天上涨5%，后5个交易日内，平均每天下跌4.9%，则股民的股票盈亏情况（不计其他成本，精确到元）（）A . 赚723元B . 赚145元C . 亏145元D . 亏723元9. （2分） (2019高二上·黄陵期中) 数列1,3,7,15,…的通项公式等于（）A .B .C .D .10. （2分）函数在闭区间上的最大值、最小值分别是（）A . 1，-1B . 1，-17C . 3，-17D . 9，-1911. （2分） (2017高二下·太仆寺旗期末) 对于命题“正三角形的内切圆切于三边的中点”，可类比猜想出正四面体的内切球切于四面体（）A . 各正三角形内的点B . 各正三角形的中心C . 各正三角形某高线上的点D . 各正三角形各边的中点12. （2分） (2017高二下·湖北期中) 已知正方体ABCD﹣A1B1C1D1的各顶点都在球O表面上，在球O内任取一点M，则点M在正方体ABCD﹣A1B1C1D1内的概率是（）A .B .C .D .二、填空题 (共4题；共4分)13. （1分） (2018高二下·溧水期末) 若曲线与曲线在处的两条切线互相垂直，则实数的值为________．14. （1分） (2016高一上·平罗期中) 已知A={x|x2﹣2x﹣3＞0}，B={x|2m﹣1≤x≤m+3}，若B⊆A，则实数m的取值范围________．15. （1分）一只口袋内装有大小相同的5只球，其中3只白球，2只黑球，从中一次性随机摸出2只球，则恰好有1只是白球的概率为________ ．16. （1分）若复数z满足（i为虚数单位），则复数z=________三、解答题 (共6题；共60分)17. （10分）已知10件不同产品中共有4件次品,现对它们进行一一测试,直至找到所有次品为止.（1）若恰在第5次测试,才测试到第一件次品,第10次才找到最后一件次品的不同测试方法数有多少种?（2）若恰在第5次测试后,就找出了所有次品,则这样的不同测试方法数有多少种?18. （10分）已知函数f（x）= ，x∈[2，5]．（1）判断f（x）的单调性并且证明；（2）求f（x）在区间[2，5]上的最大值和最小值．19. （5分）将3名男生和4名女生排成一行，在下列不同的要求下，求不同的排列方法的种数：（1）甲、乙两人必须站在两头；（2）男生必须排在一起；（3）男生互不相邻；（4）甲、乙两人之间恰好间隔1人．20. （10分）(2019·广西模拟) 已知函数f(x）=ax2-2xln x-1(a∈R）．（1）若x= 时，函数f（x）取得极值，求函数f(x）的单调区间：（2）证明：1+ + +…+ > 1n（2m+1)+ （n∈N*)．21. （10分） (2016高二下·黄骅期中) 按照某学者的理论，假设一个人生产某产品单件成本为a元，如果他卖出该产品的单价为m元，则他的满意度为；如果他买进该产品的单价为n元，则他的满意度为．如果一个人对两种交易（卖出或买进）的满意度分别为h1和h2 ，则他对这两种交易的综合满意度为．现假设甲生产A、B两种产品的单件成本分别为12元和5元，乙生产A、B两种产品的单件成本分别为3元和20元，设产品A、B的单价分别为mAm元和mB元，甲买进A与卖出B的综合满意度为h甲，乙卖出A与买进B的综合满意度为h乙．（1）求h甲和h乙关于mA、mB的表达式；当mA= mB时，求证：h甲=h乙；（2）设mA= mB，当mA、mB分别为多少时，甲、乙两人的综合满意度均最大？最大的综合满意度为多少？22. （15分） (2015高三上·大庆期末) 已知函数f（x）=lnx+x2 ．（1）若函数g（x）=f（x）﹣ax在其定义域内为增函数，求实数a的取值范围；（2）在（1）的条件下，若a＞1，h（x）=e3x﹣3aexx∈[0，ln2]，求h（x）的极小值；（3）设F（x）=2f（x）﹣3x2﹣kx（k∈R），若函数F（x）存在两个零点m，n（0＜m＜n），且2x0=m+n．问：函数F（x）在点（x0，F（x0））处的切线能否平行于x轴？若能，求出该切线方程；若不能，请说明理由．参考答案一、选择题 (共12题；共24分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、10-1、11-1、12-1、二、填空题 (共4题；共4分)13-1、14-1、15-1、16-1、三、解答题 (共6题；共60分) 17-1、17-2、18-1、18-2、19-1、20-1、20-2、21-1、21-2、22-1、22-2、22-3、第11 页共11 页。
江苏省盐城市高二下学期期中数学试题(解析版)
一、单选题1．的展开式的第3项为（ ） ()612x -A ．60 B ．－120 C ． D ．260x 2120x -【答案】C【分析】利用二项展开式通项公式即可求得该展开式的第3项.【详解】的展开式的第3项为()612x -242236C 1(2)60T x x =-=故选：C2．在展开式中， 二项式系数的最大值为 ，含项的系数为，则()62x -a 5x b a b=A ．B ．C ．D ． 5353-3535-【答案】B【详解】在展开式中，二项式系数的最大值为 a ，∴a==20．()62x -36C 展开式中的通项公式：T r+1=，令6﹣r=5，可得r=1． ()662rr r C x --∴含x 5项的系数为b==﹣12， 162C -则． 205123a b =-=-故选B ．3．由0，1，2，5四个数组成没有重复数字的四位数中，能被5整除的个数是（ ） A ．24 B ．12 C ．10 D ．6【答案】C【解析】分个位数是0和个位数是5两类求解. 【详解】当个位数是0时，有个，336A =当个位数是5时，有个， 22142A C =⋅所以能被5整除的个数是10， 故选：C4．为了提升全民身体素质，学校十分重视学生体育锻炼，某校篮球运动员进行投篮练习．如果他前一球投进则后一球投进的概率为；如果他前一球投不进则后一球投进的概率为.若他第球投34141进的概率为，则他第球投进的概率为（ ） 342A ．B ．3458C ．D ．716916【答案】B【分析】记事件为“第球投进”，事件为“第球投进”，由全概率公式可求得结果. A 1B 2【详解】记事件为“第球投进”，事件为“第球投进”， A 1B 2，，，()34P B A =()14P B A =()34P A =由全概率公式可得.()()()()()22315448P B P A P B A P A P B A ⎛⎫⎛⎫=+=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭故选：B.【点睛】关键点点睛：本题考查利用全概率公式计算事件的概率，解题的关键就是弄清第球与第1球投进与否之间的关系，结合全概率公式进行计算.25．在长方体中，，与所成角的余弦值1111ABCD A B C D -1AB BC ==1AA =1AD 1DB 为A ．B C D15【答案】C【详解】分析：先建立空间直角坐标系，设立各点坐标，利用向量数量积求向量夹角，再根据向量夹角与线线角相等或互补关系求结果.详解：以D 为坐标原点，DA,DC,DD 1为x,y,z 轴建立空间直角坐标系，则,所以,11(0,0,0),(1,0,0),D A B D 11(ADDB =-=因为，所以异面直线与111111cos ,AD DB AD DB AD DB ⋅===1AD 1DB C.点睛：利用法向量求解空间线面角的关键在于“四破”：第一，破“建系关”，构建恰当的空间直角坐标系；第二，破“求坐标关”，准确求解相关点的坐标；第三，破“求法向量关”，求出平面的法向量；第四，破“应用公式关”.6．某药厂用从甲、乙、丙三地收购而来的药材加工生产出一种中成药，三地的供货量分别占40%，35%和25%，且用这三地的药材能生产出优等品的概率分别为0.65，0.70和0.85，则从该厂产品中任意取出一件成品是优等品的概率是（ ） A ．0.8175 B ．0.7175C ．0.505D ．0.4575【答案】B【分析】根据题意，设事件：药材来自甲地，事件：药材来自乙地，事件：药材来自丙1A 2A 3A 地，事件B ：抽到优等品，进而根据全概率公式求解即可.【详解】设事件：药材来自甲地，事件：药材来自乙地，事件：药材来自丙地，事件B ：1A 2A 3A 抽到优等品，则，，，，，， ()10.4P A =()20.35P A =()30.25P A =()10.65P B A =()20.7P B A =()0.85P B A =所以．()()()()()()()1122330.650.40.70.350.850.250.7175P B P B A P A P B A P A P B A P A =++=⨯+⨯+⨯=故选：B7．已知，则等于（ ）012233222...2n n n n n n n C C C C C ++++729=123...nn n n n C C C C +++A ．63 B ．64 C ．31 D ．32【答案】A【解析】先逆用二项式定理得到，求得n 值，再利用计算即得3729n =0123...2n nn n n n n C C C C C ++++=结果.【详解】逆用二项式定理得＝，即3n ＝36，所以n012233222...2n nn n n n n C C C C C ++++()123729nn +==＝6，所以＝64－1＝63.123...n n n n n C C C C +++602n C =-故选：A.8．已知m ，n 是正整数，的展开式中x 的系数为7.则展开式中的的()()()11mnf x x x =+++()f x 2x 系数最小为（ ） A ．8 B ．9C ．10D ．11【答案】B【分析】由题意可得 最大为 12，展开式中的的系数为7m n +=≥mn ()f x 2x ，由此可求得展开式中的的系数的最小值. 222272mnm n mn C C +--+=()f x 2x【详解】由题意可得 , 故最大为 12 , 此时, 、一个为 3 , 另7m n +=≥494mn ∴≤mn m n 一个为 4 .展开式中的系数为()f x 2x 22(1)(1)22m n m m n n C C --+=+22()2m n m n +-+=2272m n +-=2()272m n mn +--=.4924792--≥=故选：B.二、多选题9．下列利用方向向量、法向量判断线、面位置关系的结论中正确的是（ ）A ．若两条不重合直线，的方向向量分别是，，则 1l 2l ()2,3,1a =- ()2,3,1b =--12//l l B ．若直线的方向向量，平面的法向量是，则 l ()0,3,0a = α()0,5,0μ=-l //αC ．若两个不同平面，的法向量分别为，，则αβ()12,1,0n =- ()24,2,0n =-//αβD ．若平面经过三点，，，向量是平面的法向量，则α()1,0,1A -()0,1,0B ()1,2,0C -()11,,n u t =α1u t +=【答案】ACD【分析】利用空间向量共线定理判断A 即可；由的关系式即可判断B ；由的关系即可判,a μ12,n n 断选项C,利用平面内法向量的性质即可判断D.【详解】因为两条不重合直线，的方向向量分别是，， 1l 2l ()2,3,1a =- ()2,3,1b =--所以，所以共线，又直线，不重合，a b =-,a b 1l 2l 所以，故A 正确；12//l l 因为直线的方向向量，平面的法向量是 l ()0,3,0a = α()0,5,0μ=-且，所以，故B 不正确；53a μ=-l α⊥两个不同平面，的法向量分别为，， αβ()12,1,0n =- ()24,2,0n =-则有，所以，故C 正确；212n n =-//αβ平面经过三点，，，α()1,0,1A -()0,1,0B ()1,2,0C -所以()(),,1,1,11,1,0B B A C --==又向量是平面的法向量，()11,,n u t =α所以 1111010100AB n AB n u t u BC n BC n ⎧⎧⊥⋅=-++=⎧⎪⎪⇒⇒⎨⎨⎨-+=⊥⊥=⎩⎪⎪⎩⎩则，故D 正确， 1u t +=故选：ACD.10．若，，则下列结论中正确的有（ ）8280128(3)(1)(1)(1)x a a x a x a x +=+++++++ x ∈R A ．802a =B ．33108C a =C ．81283a a a +++= D ．228024681357()()3a a a a a a a a a ++++-+++=【答案】AD【分析】直接根据利用二项式定理将其展开，再结合二项式系数的性质对四个88(3)[2(1)]x x +=++选项依次分析即可求解．【详解】，888716225338888(3)[2(1)]22C (1)2C (1)2C (1)(1)x x x x x x +=++=+++++++++ 对于A ，令，则，故A 正确.=1x -880(13)2a -+==对于B ，于是，而，故B 错误.53382C 1792a ==3108C 960=对于C ，令，则，于是，故C 错误.0x =801283a a a a =++++ 8881280332a a a a +++=-=- 对于D ，令，则.因为，所以2x =-01281a a a a =-+-+ 801283a a a a ++++= ，故D 正()()()()228024681357012801283a a a a a a a a a a a a a a a a a ++++-+++=++++-+-+= 确. 故选：AD.11．为弘扬我国古代的“六艺文化”，某夏令营主办单位计划利用暑期开设“礼” “乐” “射” “御” “书” “数”六门体验课程，每周一门，连续开设六周，则（ ） A ．某学生从中选3门，共有30种选法B ．课程“射”“御”排在不相邻两周，共有240种排法C ．课程“礼”“乐”“数”排在相邻三周，共有144种排法D ．课程“乐”不排在第一周，课程“御”不排在最后一周，共有504种排法 【答案】CD【分析】根据题意，由分步、分类计数原理和排列数与组合数公式，分别判断各选项即可． 【详解】解：根据题意，依次分析选项：对于A ，某学生从中选3门，6门中选3门共有种，故A 错误；3620C =对于B ，课程“射”“御”排在不相邻两周，先排好其他的4门课程，有5个空位可选，在其中任选2个，安排“射”“御”，共有种排法，故B 错误；4245480A A =对于C ，课程“礼”“书”“数”排在相邻三周， 由捆绑法：将“礼”“书”“数”看成一个整体，与其他3门课程全排列，共有种排法，故C 正确；3434144A A =对于D ，课程“乐”不排在第一周，课程“御”不排在最后一周，分2种情况讨论， 若课程“乐”排在最后一周，有种排法，555A A 若课程“乐”不排在最后一周，有种排法， 114444C C A 所以共有种排法，故D 正确．51145444504A C C A +=故选：CD ．12．已知正方体的棱长为4，EF 是棱AB 上的一条线段，且，点Q 是棱1111ABCD A B C D -1EF =的中点，P 是棱上的动点，则下面结论中正确的是（ ）11A D 11C DA ．PQ 与EF 一定不垂直B ．平面PEF 与平面QEFC ．的面积是D ．点P 到平面QEF 的距离是常量PEF !【答案】BCD【分析】对于A ，利用特殊位置法，当与点重合时即可判断；P 1D 对于B ，建立空间直角坐标系，求出两个平面的法向量，利用空间向量法求解即可判断； 对于C ，利用线面垂直的性质定理可得是的高，再利用三角形的面积公式求解即可判1BC PEF !断；对于D ，由线面平行的判定定理判断得到平面QEF 即可判断； 11C D A 【详解】对于A ，当与点重合时，PQ 与EF 垂直，故A 错误；P 1D 对于B ，由于P 是棱上的动点，EF 是棱AB 上的一条线段，所以平面PEF 即平面，建11C D 11ABC D立如图所示的空间直角坐标系，则()()()2,0,4,4,0,0,4,4,0Q AB所以，平面QEF 即平面， ()()2,0,4,0,4,0QA AB =-= QAB 设平面的法向量为，设二面角为，QAB (),,n x y z =P EF Q --θ则，即，00QA n AB n ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩24040x z y -=⎧⎨=⎩令，则，1z =()2,0,1n =同理可求得平面的法向量为，11ABC D ()1,0,1m =所以cos cosm θ==故，故B 正确； sin θ===对于C ，由于AB 平面，又平面，所以AB ，所以是⊥11BBCC 1BC ⊂11BB CC ⊥11F BC BC E ⊥，1BC 的高，所以,故C 正确；PEF !111122PEF S EF BC =⋅⋅=⨯⨯A 对于D ，由于,且平面QEF ，平面QEF ，又点P 在上，所以点P 到平11C D EF ∥11C D ⊄EF ⊂11C D 面QEF 的距离是常量，故D 正确； 故选：BCD.三、填空题13．，则______. 53A 2A m m =m =【答案】5【分析】由排列数公式变形求解．【详解】因为，53A 2A m m =所以，(1)(2)(3)(4)2(1)(2)m m m m m m m m ----=--，或，又，所以． 27100m m -+=2m =5m =5m ≥5m =故答案为：5．14．已知空间向量则向量在向量上的投影向量的坐标是___________. ()1,0,1,(2,1,2)a b ==-r ra b 【答案】 848999⎛⎫- ⎪⎝⎭，【分析】按照投影向量的定义，代入计算即可得到结果.【详解】因为2024a b ⋅=++=r r3=依题意向量在向量上的投影向量的坐标是a b. ()2,1,24848,,33999a b b b b -⋅⎛⎫⋅=⋅=- ⎪⎝⎭故答案为: 848999⎛⎫- ⎪⎝⎭，，15．的近似值（精确到）为________． 61.020.01【答案】．1.13【分析】，按二项式定理展开，按照近似要求求解.()661.0210.02=+【详解】由二项式定理， ()661223356661.0210.0210.020.020.020.02C C C =+=+⨯+⨯+⨯++ .1+0.12+0.006 1.13≈≈故答案为：1.13.16．东北育才高中部高一年级开设游泳、篮球和足球三门体育选修课，高一某班甲、乙、丙三名同学每人从中只选修一门课程．设事件A 为“甲独自选修一门课程”，B 为“三人选修的课程都不同”，则概率______． ()|P B A =【答案】/ 120.5【分析】分别求出事件：A =“甲独自选修一门课程”，“甲独自选修一门课程且三人选修的课程AB =都不同”对应的基本事件个数，然后套用条件概率公式求解．【详解】由题意知，甲独自选修一门，则有3门课程可选，乙、丙只能从剩余的两门课程中选择，可能性为．所以．224⨯=(A)32212n =⨯⨯=三人选修的课程各不相同的可能性为：，即． 3216⨯⨯=()6n AB =故． ()()61|()122n AB P B A n A ===故答案为：##120.5四、解答题17．已知（x n 的展开式中的第二项和第三项的系数相等．（1）求n 的值；（2）求展开式中所有的有理项．【答案】（1）；（2）,,． 5n =51T x =2352T x =5516T x=【分析】（1）写出二项式展开式的通项公式，得到第二项和第三项的系数，所以得到关(n x于的方程，解得答案；（2）由（1）得到的值，写出二项式展开式的通项公式，整n n (n x 理后，得到其的指数为整数的的值，再写出其展开式中的有理项. x r【详解】解：二项式展开式的通项公式为(n x，； 32112rrn rr n r r r n n T C x C x--+⎛⎫=⋅⋅=⋅⋅ ⎪⎝⎭()0,1,2r n =⋅⋅⋅（1）根据展开式中的第二项和第三项的系数相等,得，2121122nn C C ⎛⎫⋅=⋅ ⎪⎝⎭即, ()111242n n n -=⋅解得；5n =（2）二项式展开式的通项公式为 ，；3521512rrr r T C x -+⎛⎫=⋅⋅ ⎪⎝⎭()0,1,2r n =⋅⋅⋅当时,对应项是有理项, 0,2,4r =所以展开式中所有的有理项为 ,0551512T C x x ⎛⎫=⋅⋅= ⎪⎝⎭,22532351522T C x x -⎛⎫=⋅⋅= ⎪⎝⎭． 44565515216T C x x -⎛⎫=⋅=⎪⎝⎭【点睛】本题考查二项展开式的项的系数，求二项展开式中的有理项，属于中档题.18．某班有6名同学报名参加校运会的四个比赛项目，在下列情况下各有多少种不同的报名方法，（用数字回答）（1）每人恰好参加一项，每项人数不限； （2）每项限报一人，且每人至多参加一项；（3）每人限报一项，人人参加，且每个项目均有人参加. 【答案】（1）4096种；（2）360种；（3）1560种.【分析】（1）根据分步计数原理直接计算可得，然后可得结果. 64（2）依据题意，计算，可得结果.46A （3）先分组，可得，后排列，可得，简单计算可得结果. 22364622+C C C A 2234646422⎛⎫+ ⎪⎝⎭C C C A A 【详解】（1）每人都可以从这四个项目中选报一项，各有4种不同的选法， 由分步计数原理知共有种．644096=（2）每项限报一人，且每人至多报一项，因此可由项目选人， 第一个项目有6种不同的选法，第二个项目有5种不同的选法， 第三个项目有4种不同的选法，第四个项目有3种不同的选法，由分步计数原理得共有报名方法种．466543360A =⨯⨯⨯=（3）每人限报一项，人人参加，且每个项目均有人参加，因此需将6人分成4组，有种． 2236462215620652C C C A ⨯+=+=每组参加一个项目，由分步计数原理得共有种． ()22346464222045241560C C C A A ⎛⎫+=+⨯= ⎪⎝⎭【点睛】本题考查分步计数原理的计算，分清楚哪个有剩余哪个不剩余以及常用先分组后排列方法，审清题意，细心计算，属基础题.19．如图所示，在三棱锥中，平面，，，，S ABC -SC ⊥ABC 3SC =AC BC ⊥22CE EB ==，. 32AC =CD ED =(1)求证：平面；DE ⊥SCD (2)求平面与平面的夹角余弦值； ASD CSD (3)求点到平面的距离. A SCD 【答案】(1)证明见解析【分析】（1）建立空间直角坐标系，利用向量数量积证明，，由线线垂直证明DE CD ⊥DE CS ⊥线面垂直，即得证；（2）由（1）为平面的一个法向量，求解平面的法向量，利用二面角的向量公式，即DESCD SAD 得解；（3）由（1）为平面的一个法向量，利用点面距离的向量公式即得解DE SCD EAD d D DE⋅=【详解】（1）证明：以为原点，､､所在直线分别为､､轴建立空间直角坐标系，C CA CB CS x y z 如图则，，，， (000)C ，，3(00)2A ，，()003S ，，(020)E ，，取的中点，作交于点 CE M DN AC ⊥AC N 因为CD ED =所以，又， DM CE ⊥AC BC ⊥所以， DM ∥AC DN ∥BC 所以，四边形为平行四边形， BM DMBC AC=DNCM 又，22CE EB ==所以，由 2,3,1BM BC CM DN ====32AC =所以，故， 21332DM DM =⇒=(110)D ，，∵，，，(110)DE =- ，，(110)CD = ，，(003)CS = ，，∴，，1100DE CD ⋅=-++= 0000DE CS ⋅=++=即，，DE CD ⊥DE CS ⊥∵，平面，平面， CD CS C ⋂=CD ⊂SCD CS ⊂SCD ∴平面；DE ⊥SCD （2）由（1）可知为平面的一个法向量，(110)DE =-，，SCD 设平面的法向量为，而，， SAD ()n x y z = ，，1(10)2AD =- ，，3(03)2AS =- ，，则，令，可得， 1023302n AD x y n AS x z ⎧⋅=-+=⎪⎪⎨⎪⋅=-+=⎪⎩2x =(211)n = ，，设平面与平面CSD 的夹角为，ASD θ∴cos |cos ||,DE nθ=== 即平面ASD 与平面CSD （3），平面的法向量为， 1(10)2AD =- ，SCD (110)DE =- ，，设点到平面的距离为，A SCD d ∴ d=即点到平面A SCD 20．用，，，，，这六个数字的部分或全部组成无重复数字的自然数. 012345(1)在组成的四位数中，求偶数个数；(2)在组成的三位数中，如果十位上的数字比百位上的数字和个位上的数字都小，则称这个数为“凹数”，如，等都是“凹数”，试求“凹数”的个数；301423(3)在组成的四位数中，若将这些数按从小到大的顺序排成一列，试求第个数字. 85【答案】(1)种 156(2)个40(3)第个数字是 852301【分析】（1）利用分类计数原理即可求解（2）先取数，再排序（3）利用分类计数原理即可求解 【详解】（1）根据分类计数原理知，当末位是0时，十位、百位、千位从5个元素中选三个进行排列有种结果，35A 60=当末位不是0时，只能从2和4中选一个，千位从4个元素中选一个，共有种结果，1122446A A A 9=根据分类计数原理知共有种结果;6096156+=（2）共有个3262C A 40=（3）若1在千位，有种结果；35A 60=若2在千位，0或1在百位，有种结果；1224C A 24=因为，所以，第个数字是602484+=85230121．如图，在四棱台中，底面四边形为菱形，，1111ABCD A B C D -ABCD 111112AA A B AB ===．平面．60ABC ∠= 1AA ⊥ABCD（1）若点是的中点，求证：；M AD 11C M A C ⊥（2）棱上是否存在一点，使得二面角的余弦值为？若存在，求线段的长；BC E 1E AD D --13CE 若不存在，请说明理由．【答案】（1）证明见解析；（2）存在，且 1CE =【分析】（1）取中点，连接、、，以点为坐标原点，以、、所在BC Q AQ 1AC AC A AQ AD 1AA直线分别为轴、轴、轴建立空间直角坐标系，计算出，进而可证得； x y z 110C M A C ⋅=11C M A C ⊥（2）设点的坐标为，其中，利用空间向量法可得出关于实数的方程，由题E ),0λ11λ-≤≤λ意得出点在线段上，可求得的值，进而可求得，即可得出结论. E QC λCE 【详解】（1）取中点，连接、、，BC Q AQ 1AC AC 因为四边形为菱形，则，，为等边三角形，ABCD AB BC =60ABC ∠=o Q ABC ∴A 为的中点，则，，，Q BC AQ BC ⊥//AD BC AQ AD ∴⊥由于平面，以点为坐标原点，以、、所在直线分别为轴、轴、轴1AA ⊥ABCD A AQ AD 1AA x y z 建立空间直角坐标系，如图.则、、、、、、，()0,0,0A ()10,0,1A ()10,1,1D )Q)C11,12C ⎫⎪⎪⎭()0,1,0M ，，11,12C M ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭)11A C =- ，；()211311022C M A C ∴⋅=-++-= 11C M A C ∴⊥（2）假设点存在，设点的坐标为，其中，EE ),0λ11λ-≤≤，，),0AE λ=()10,1,1AD =设平面的法向量为，则，即， 1AD E (),,n x y z = 100n AE n AD ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩00y y z λ+=+=⎪⎩取，则，，y =x λ=z =(,n λ=平面的一个法向量为，1ADD ()1,0,0m =所以，，解得1cos ,3m <= λ=又由于二面角为锐角，由图可知，点在线段上，所以． 1E AD D --E QC λ=1CE =因此，棱上存在一点，使得二面角的余弦值为，此时. BC E 1E AD D --131CE =【点睛】方法点睛：立体几何开放性问题求解方法有以下两种：（1）根据题目的已知条件进行综合分析和观察猜想，找出点或线的位置，然后再加以证明，得出结论；（2）假设所求的点或线存在，并设定参数表达已知条件，根据题目进行求解，若能求出参数的值且符合已知限定的范围，则存在这样的点或线，否则不存在．22．如图①，在中，为直角，，，，沿将折Rt ABC △B 6AB BC ==//EF BC 2AE =EF AEF △起，使，得到如图②的几何体，点在线段上. π3AEB ∠=D AC（1）求证：平面平面；AEF ⊥ABC （2）若平面，求直线与平面所成角的正弦值. //AE BDF AF BDF 【答案】（1）证明见解析；（2【分析】（1）由余弦定理得出；由平面，得出；AB =EA AB ⊥EF ⊥ABE EF AB ⊥从而得到平面，即可证明平面平面.AB ⊥AEF AEF ⊥ABC （2）建立空间直角坐标系，求得平面的法向量，即可求得直线与平面所成角的正弦BDF AF BDF 值.【详解】（1）证明：在中， ABE A ∵，，， 2AE =4BE =π3AEB ∠=由余弦定理得， 22212cos 416224122AB AE BE AE BE AEB =+-⋅∠=+-⨯⨯⨯=∴AB =∴，∴，即， 222EB EA AB =+π2EAB ∠=EA AB ⊥又，，， EF EB ⊥EF EA ⊥EA EB E = ∴平面，平面 EF ⊥ABE AB ⊂ABE ∴，EF AB ⊥又，平面∴平面 EA EF E = EA EF ⊂、AEF AB ⊥AEF 又平面，∴平面平面 AB ⊂ABC AEF ⊥ABC （2）解法一：如图，以为原点，以为轴，为轴，过点垂直于平面的直线为轴，建立空间直A AB x AE y A ABE z 角坐标系，如图所示：则，，，，， ()0,0,0A ()B ()0,2,0E ()0,2,2F ()C ∴，，(0,2,2)AF =2,2)FB =-- AC =连结与交于点，连结，EC FB G DG ∵平面，为平面与平面的交线， //AE BDF DG AEC BDF ∴，∴， //AE GD GC DCGE DA=在四边形中，∵，∴，BCFE //EF BC EFG BCG ∽△△∴，，∴， 3GC BC GE EF ==3DCDA =14AD AC = 设，则，()000,,D x y z ()000,,AD x y z =由，得，∴，∴14AD AC = 000032x y z ⎧=⎪⎪⎪=⎨⎪⎪=⎪⎩32D ⎫⎪⎪⎭12,2FD ⎫=--⎪⎪⎭ 设平面的法向量为，BDF (),,n x y z =则，取，则，，1202220n FD x y z nFB y z ⎧⋅=--=⎪⎨⎪⋅=--=⎩ 1x=z 0y =∴，n =设直线与平面所成角为，则. AF BDFθsin θ=即直线与平面AF BDF （2）解法二：如图，以为原点，在平面中过作的垂线为轴，为轴，为轴，建立空间直E ABEE EB x EB y EF z 角坐标系，如图所示：则，，，，，()0,0,0E ()0,0,2F ()0,4,0B()0,4,6C )A∴，， (1,2)AF =- (0,4,2)FB =-(AC = 连结，与交于点，连结，EC FB G DG ∵平面，为平面与平面的交线， //AE BDF DG AEC BDF ∴，∴， //AE GD GC DCGE DA=在四边形中，∴，∴，BCEF //EF BC EFG BCG ∽△△∴，，， 3GC BC GE EF ==3DC DA =14AD AC = 设，则，()000,,D x y z ()0001,AD x y z =-由得：解得，∴， 14AD AC =00031432x y z ⎧=⎪⎪⎪-=⎨⎪⎪=⎪⎩0007432x y z ⎧=⎪⎪⎪=⎨⎪⎪=⎪⎩73,42D ⎫⎪⎪⎭∴.71,42FD ⎫=-⎪⎪⎭设平面的法向量，(),,n x y z =则，取，则，710{42420n FD y z n FB y z ⋅=+-=⋅=-= 1y =2z=x =∴， 2n ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭设直线与平面所成角为，则.AF BDFθsin AF nAP nθ⋅===⋅∴直线与平面AF BDF 【点睛】本题主要考查面面垂直的证明和线面角的求法，属于中档题.。
2008-2009学年江苏省盐城中学高二数学下学期期中考试理科试卷苏教版选修1
江苏省盐城中学2008-2009学年高二下学期期中考试数学（理）命题人：翟文刚丁振华审题人：陈健试卷说明：本场考试120分钟。
一．填空题（共14题，每题5分）1．已知函数2()f x ax c =+，且(1)f '=2,则a 的值为.2．实数,x y 满足(2)(1)3i x i y -++=，则x y +的值是__________. 3．若21x y e +=，则'y =.4．若复数()()12i ai +＋的实部和虚部相等，则实数a 等于. 5．复数102i i-的共轭复数为. 6.已知函数()3231f x ax x x =+-+，若()f x 在R 上有三个单调区间，则实数a 的取值范围是．7．如图（1）有面积关系PB PA PB PA S S PAB B PA ⋅⋅=∆∆1111，则图（2）有体积关系=--ABC P C B A P V V 111. 图1图28．已知C z z ∈21,且112||4,||5,z z z =-=12||5z z +=，则2||z =.9．在古希腊毕达哥拉斯学派把1，3，6，10，15，21，28，…这些数叫做三角形数，因为这些数对应的点可以排成一个正三角形1361015则第n 个三角形数为.10．已知直线kx y =与曲线x y ln =有公共点，则k 的取值范围是.11．若z C ∈且221z i +-=，则12z i -+的最小值是. 12．曲线21y x =-，与直线0,2,x x x ==轴所围成区域的面积是.13．数列1，2，2，3，3，3，4，4，4，4，5，5，5，5，5，…的第1000项是.14．已知()sin 2,,f x x x x R =+∈且(1)(2)0f a f a -+<，则a 的取值范围是.二．解答题(12分*2+13分*2+15分*2=80分)15、实数m 取什么值时，复数z=(m 2-5m+6)+(m 2-3m)i 是（1）实数？（2）虚数？（3）纯虚数？（4）表示复数z 的点在第二象限？16．在复平面中，已知A,B,C 三点分别对应复数2+i,4+3i,3+5i,又知点D 与这三点构成平行四边形，求点D 对应的复数。
江苏省盐城中学高二数学下学期期中考试 理【会员独享】
江苏省盐城中学2010—2011学年度第二学期期中考试高二年级数学试题（理工方向）一、 填空题（共14小题，每小题5分，共计70分．将正确答案填入答题纸的相应横线上．．．．．．．．．） 1.复数31ii--的实部为 ▲ . 2.若223*11(2,)n n n C C C n n N --=+≥∈，则n ＝ ▲ .3.若数列{}n a 的前4项为2121,,,325，则其一个通项公式为n a = ▲ ．4.曲线21xy x =-在点()1,1处的切线方程为 ▲ . 5.用数学归纳法证明：“)(2)1()1()1(4321*212222N n n n n n ∈+-=-+⋯⋯+-+--”， 从第k 步到第1+k 步时，左边应加上 ▲ .6.已知函数2()2ln f x x x =-，则()f x 的极小值是 ▲ .7.二项式10(2)x -的展开式的第4项的系数是 ▲ （用数字作答）. 8.由抛物线223y x x =--+与x 轴围成封闭图形的面积是 ▲ .9.7名志愿者中安排6人在周六、周日两天参加社区公益活动.若每天安排3人，则不同的安排方案共有 ▲ 种（用数字作答）.10.已知z C ∈，且221,z i --=（i 为虚数单位），则22z i +-的最小值为 ▲ . 11．若定义在区间D 上的函数()f x 对于D 上的n 个值12,,,n x x x 总满足()()()12121n n x x x f x f x f x f n n ++⎛⎫++≤⎡⎤ ⎪⎣⎦⎝⎭，称函数()f x 为D 上的凸函数.现已知()sin f x x =在()0,π上是凸函数，则在ABC ∆中，sin sin sin A B C ++的最大值是 ▲ . 12. 设函数()x x x f ln =，则()x f 的单调减区间为 ▲ _. 13.函数]32,32[sin 2ππ--=在区间x x y 上的最大值为 ▲ . 14．若函数3211()22132f x ax ax ax a =+-++的图象经过四个象限，则a 的取值范围是 ▲ ． 二、解答题（共80分，第15，16，17题各12分，第18题14分，第19，20题各15分） 15.已知二项式nxx )1(+的展开式中各项系数和为64．_ M 主干道l （Ⅰ）求n ；（Ⅱ）求展开式中的常数项．16.（Ⅰ）已知等差数列{}n a 中，0n a >，0d ≠，求证：4637a a a a >；（Ⅱ）类比（Ⅰ），在等比数列{}n b 中，0n b >，1q ≠，试写出关于3467b b b b 、、、的一个不等式．．．，并给出证明.17.从5名女同学和4名男同学中选出4人参加四场不同的演讲，分别按下列要求，各有多少种不同选法？（Ⅰ）男、女同学各2名； （Ⅱ）男、女同学分别至少有1名；（Ⅲ）在（Ⅱ）的前提下，男同学甲与女同学乙不能同时选出．18.如图是某市在城市改造中沿市内主干道修建的圆形休闲广场，圆心为O ，半径为100m .其与主干道一边所在l 相切于点M ，A 为上半圆弧上一点，过点A 作直线l 的垂线，垂足为B .市园林局计划在ABM ∆内进行绿化，设ABM ∆的面积为S （单位：2m ）. （Ⅰ）设()AON rad θ∠=，将S 表示成θ的函数；（Ⅱ）为使绿化的面积最大，试确定此时点A 的位置及其最大面积.19.给定两个函数32111(),()323m f x x x g x mx +=-=-； （Ⅰ）若()f x 在1x =处取得极值，求函数()f x 的单调区间； （Ⅱ）若()f x 在区间(2,)+∞为增函数，求实数m 的取值范围；（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，若关于x 的方程()()0f x g x -=有三个不同的根，求实数m 的取值范围.20.已知230123(1)(1)(1)(1)(1)n n n x a a x a x a x a x +=+-+-+-++-，（其中n N *∈）. （Ⅰ）求0a 及123n n S a a a a =++++；（Ⅱ）3n ≥时，试比较n S 与2(2)22nn n -+的大小，并说明理由．二、解答题（共80分）2(1)q ->46b b ∴+<224544)1440C A =13223145454544)2880C C C C C A ++=2112444334[120()]2376C C C C A -++=座位号：）：()f x 在区间)+∞为增函数，2(1)0x m x -+≥在(2,)x ∈+∞，则013n n a a a a ++++=2332n n n a a a ++++=-； 22)22n n +的大小，。
江苏省盐城中学09-10学年度高二下学期期末考试(数学)
江苏省海门中学2009—2010学年度高一第二学期期末质量调研数 学 试 题一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分。
请把答案填写在答题卡相应的位置．．．．．．．．上．. 1．直线l ：10x y -+=的倾斜角为 ． 2．某人射击1次，命中7~10环的概率如下表所示：则该人射击一次，至少命中9环的概率为 ．3．某人5次上班途中所花的时间（单位：分钟）分别为x ，8，10，11，9.已知这组数据的平均数为10，则其方差为 ．4．若变量,x y 满足约束条件1,0,20,y x y x y ≤⎧⎪+≥⎨⎪--≤⎩则2z x y =-的最大值为 ．5．已知平面向量,,1,2,()a b a b a a b ==⊥-，则向量a 与b 的 夹角为 ．6．根据如图所示的伪代码，可知输出的结果s 是 ． 7．已知等差数列{}n a 满足：37a =，5726a a +=.则数列{}n a 的前n 项和为n S = ．8．已知AB 是圆O 的一条直径，在AB 上任取一点H ，过H 作弦CD 与AB 垂直，则弦CD 的长度大于半径的概率是 ．9．已知ABC ∆和点M 满足0MA MB MC ++=，则MBC ∆与ABC ∆的面积之比为 ． 10．在ABC ∆中，15BC =，10AC =,60A ∠=，则cos B = ．11．将参加夏令营的600名学生编号为：001，002，… ，600.采用系统抽样方法抽取一个容量为50的样本，且随机首次抽得的号．．．．．．码．为003.这600名学生分住在三个营区，从001到300在第Ⅰ营区，从301到495在第Ⅱ营区，从496到600在第Ⅲ营区.则第Ⅲ营区被抽中的人数为 ．12．若0a >，0b >，2a b +=．则下列不等式：①1ab ≤； ②≤；③222a b +≥； ④112a b+≥.其中成立的是 ．(写出所有正确命题的序号). 13．已知数列}{n a 满足122n n a qa q +=+-（q 为常数，||1q <），若3456,,,a a a a ∈{}18,6,6,30--，则1a = ．14．若a b +<<10,且关于x 的不等式2()x b -＞2()ax 的解集中的整数恰有3个，则1ba - 的取值范围为 ．二、解答题：本大题共6小题，共计90分，请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明或演算步骤. 15．（本题满分14分）ABC ∆中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，且cos b C ，cos a A -，cos c B 成等差数列.（1）求角A 的大小；（2）若a =2b c +=，求ABC ∆的面积.16．（本题满分14分）“根据《中华人民共和国道路交通安全法》规定：车辆驾驶员血液酒精浓度在20/100mg ml -80/100mg ml （不含80）之间，属于酒后驾车．．．．，血液酒精浓度在80/100mg ml （含80）以上时，属醉酒驾车．．．．．” 某晚某市交警大队在该市一交通岗前设点对过往的车辆进行抽查，经过两个小时共查出血液酒精浓度不低于20/100mg ml 驾车者40名，图1是这40 名驾车者血液酒精浓度结果的频率分布直方图．（1）求这40名驾车者中属酒后驾车．．．．的人数；（图1中每组包括左端点，不包括右端点） （2）统计方法中，同一组数据常用该组区间的中点值(组中值)作为代表，图2的程序框图是对这40名驾车者血液的酒精浓度做进一步的统计．求图2输出的S 值；（图2中数据i m 与i f 分别表示图1中各组的组中值及频率）（3）本次行动中，吴、李两位先生都被酒精测试仪测得酒精浓度属于70/100mg ml -80/100mg ml 的范围，但他俩坚称没喝那么多，是测试仪不准，交警大队王队长决定在被酒精测试仪测得酒精浓度属于70/100mg ml -80/100mg ml 范围的驾车者中随机抽出2人抽血检验，则吴、李两位先生至少有1人被抽中的概率为 ．17．（本题满分15分）在平面直角坐标系xOy 中，点(1,2)A -，(,1)B a -，(,0)C b -，且0,0>>b a . （1）若点A 、B 、C 在直线l 上，求u =ba 21+的最小值，并求此时直线l 的方程； （2）若以线段AB 、AC 为邻边的平行四边形两条对角线的长相等，且()5OA AB AC ⋅-=，求a 、b 的值.2图0.0050.0100.0150.0200.0251图18．（本题满分15分）已知数列}{n a 满足：121,(0)a a a a ==>，数列}{n b 满足*)(1N n a a b n n n ∈=+. （1）若}{n a 是等差数列，且,123=b 求a 的值及}{n a 的通项公式； （2）若}{n a 是等比数列，求}{n b 的前n 项和n S ；（3）若}{n b 是公比为1-a 的等比数列，问是否存在正实数a ，使得数列}{n a 为等比数列？若存在，求出a 的值；若不存在，请说明理由.19．（本题满分16分）2010年上海世博会某国要建一座八边形的展馆区，它的主体造型的平面图是由两个相同的矩形ABCD 和EFGH 构成的面积为2002m 的十字型地域．．．．．，计划在正方形MNPQ 上建一座“观景花坛”，造价为4200元2/m ，在四个相同的矩形上(图中阴影部分)铺花岗岩地坪，造价为210元2/m ,再在四个空角（如DQH ∆等）上铺草坪，造价为80元2/m .设AD 长为xm ,DQ 长为ym .(1)试找出x 与y 满足的等量关系式；(2)设总造价为S 元,试建立S 与x 的函数关系； (3)若总造价S 不超过138000元，求AD 长x 的取值范围.20．（本题满分16分）设正项等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，其中12a a ≠．m k n a a a 、、是数列{}n a 中满足n k k m a a a a -=-的任意项． （1）求证：2m n k +=；（2）若也成等差数列，且11a =，求数列{}n a 的通项公式； （3）求证：112m n kS S S +≥．参考答案1．4π； 2．0.3； 3．2； 4．3；5．3π； 6．13； 7．22n n +； 8；9．13；（或填1:3）10 11．8； 12．①③④； 13．126； 14．(2,3].15．（1）cos b C ，cos a A -，cos c B 成等差数列∴2cos cos cos a A b C c B -=+ ……..２分 由正弦定理得2sin cos sin cos sin cos sin()sin A A B C C B B C A -=+=+= ……..５分（另解：由射影定理得cos cos b C c B a +=，2cos a A a -=，∴1cos 2A =-）0A π∴<<，∴1cos 2A =-，23A π∴=……..７分 （2）由余弦定理得222b c bc a ++=， ……..９分22()b c bc a ∴+-=，由条件得1bc = ……..11分∴1sin 2S bc A ==……..14分 16．（1）40名驾车者中醉酒驾车的频率为0.05，人数为2人，所以酒后驾车的人数为38人； ……..4分（2）250.25350.15450.2550.15650.1750.1850.0548S =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=……..9分（3）56……..14分 17．（1）(1,1)AB a =-，()1,2AC b =--， ……..1分A 、B 、C 三点共线，2(1)1a b ∴-=--，即21a b += ……..2分0,0a b >>，12124()(2)48b a a b a b a b a b∴+=++=++≥当且仅当4b aa b =，即1412a b ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩时取等号．当1412a b ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩时，min 8μ∴=， ……..5分此时1(,0)2C -，又(1,2)A -，43l k ∴=-， ……..6分直线l 的方程为41()32y x =-+，即：4320x y ++=． ……..8分（2）由条件得AB AC ⊥，所以0AB AC ⋅=， ……..9分而(1,1)AB a =-，()1,2AC b =--30ab a b ∴+--= ① ……..11分又()5OA AB AC ⋅-=，30a b ∴+-= ② ……..13分由①②得21a b =⎧⎨=⎩或30a b =⎧⎨=⎩（舍去），21a b =⎧∴⎨=⎩． ……..15分18．（1）因为}{n a 是等差数列，3421,32a a a a ∴=-=-， ……..2分(21)(32)12a a ∴--=，解之得2a =或者56a =-（舍去） ……..4分n a n ∴=． ……..5分（2）若}{n a 是等比数列，其中11,a =公比q a =，1n n a a -∴=， ……..6分 211n n n n b a a a -+∴==， ……..7分0a >，当1a =时，n S na =； ……..8分当1a ≠时，22(1)1n n a a S a -=- ……..10分（3）因为}{n b 是公比为1-a 的等比数列，所以1(1)n n b a a -=-， ……..11分 若}{n a 为等比数列，则11,n n n n a a a a -+==， ……..12分121(1)n n a a a --∴-=，即122(1)n n a a --∴-=(*)n N ∈， ……..13分21a a ∴=-，无解．∴不存在正实数a ，使得数列}{n a 为等比数列．……..15分另解：因为}{n b 是公比为1-a 的等比数列，211b a b ∴=-，311a a a =-， ……..12分若}{n a 为等比数列，则121,a a a ==，23a a ∴=， ……..13分21a a ∴=-，无解，∴不存在正实数a ，使得数列}{n a 为等比数列．……..15分19．(1)24200xy x += ……..4分(2)由（1）得22004x y x-= ……..6分222240000042002104802400038000S x xy y x x =+⋅+⋅=++，(0)x >；……..10分（3）由138000S ≤，得2210025x x +≤， ……..12分22(5)(20)0x x --≤，2520x ≤≤x ≤ ……..15分所以AD 长x 的取值范围是． ……..16分20．（1）设等差数列{}n a 的公差为d ，因为12a a ≠ ，所以0d ≠， ……..1分 又n k k m a a a a -=-，()()n k d m k d ∴-=-， ……..3分 所以n k m k -=-，即2m n k +=； …..4分 （2）由已知取1,2,3m k n ===，即= ……..6分 把11a =代入解得2d =，21n a n ∴=-． ……..9分 又21n a n =-时，2n S n =，n =∴当2m n k +=都成等差数列；21n a n ∴=-； ……..10分（3）由条件得,,m k n S S S 都大于0，11(1)(1)22m n m m d n n d S S ma na --⎡⎤⎡⎤∴⋅=+⋅+⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦11(1)(1)22m d n d mn a a --⎡⎤⎡⎤=+⋅+⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦ 11222221(1)(1)(1)22()[][]222km d n da a m n k d k a S --++++-≤⋅=⋅+=……..14分112m n kS S S ∴+≥≥， 即112m n kS S S +≥． ……..16分。
江苏省盐城市数学高二下学期理数期中考试试卷
江苏省盐城市数学高二下学期理数期中考试试卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、单选题 (共12题；共24分)1. （2分）已知平面α内有无数条直线都与平面β平行，那么A . α∥βB . α与β相交C . α与β重合D . α∥β或α与β相交2. （2分）下列图形中不一定是平面图形的是（）A . 三角形B . 平行四边形C . 梯形D . 四边相等的四边形3. （2分） (2018高二上·铜梁月考) 一个直角梯形的两底长分别为2和5，高为4，绕其较长的底旋转一周，所得的几何体的体积为（）A .B .C .D .4. （2分）已知E，F，G，H是空间四点，命题甲：E，F，G，H四点不共面，命题乙：直线EF和GH不相交，则甲是乙成立的（）A . 充分不必要条件B . 必要不充分条件C . 充要条件D . 既不充分也不必要条件5. （2分）(2018·兰州模拟) 如图是一个几何体的三视图，则该几何体的体积为（）A .B .C .D .6. （2分）如图，长方体ABCD—A1B1C1D1中，BB1=BC，P为C1D1上一点，则异面直线PB与B1C所成角的大小（）A . 是45°B . 是60°C . 是90°D . 随P点的移动而变化7. （2分） (2016高一下·望都期中) 在△ABC中，如果（b+c+a）（b+c﹣a）=bc，那么A等于（）A . 30°B . 120°C . 60°D . 150°8. （2分） (2017高一下·濮阳期末) 某几何体的三视图如图所示，且该几何体的体积是3，则正视图中的x 的值是（）A . 2B .C .D . 39. （2分）已知轴截面是正方形的圆柱的高与球的直径相等，则圆柱的全面积与球的表面积的比是（）A . 6：5B . 5：4C . 4：3D . 3：210. （2分）将棱长为1的正方体木块切削成一个体积最大的球，则该球的体积为（）A .B .C .D .11. （2分）设直线l与球O有且只有一个公共点P，从直线l出发的两个半平面α，β截球O的两个截面圆的半径分别为1和，二面角α﹣l﹣β的平面角为，则球O的表面积为（）A . 4πB . 16πC . 28πD . 112π12. （2分） (2016高二上·嘉兴期末) 如图，记正方形ABCD四条边的中点为S，M，N，T，连接四个中点得小正方形SMNT．将正方形ABCD，正方形SMNT绕对角线AC旋转一周得到的两个旋转体的体积依次记为V1 ， V2 ，则V1：V2=（）A . 8：1B . 2：1C . 4：3D . 8：3二、填空题 (共4题；共4分)13. （1分）已知正四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1（底面是正方形，侧棱垂直于底面）的8个顶点都在球O的表面上，AB=1，AA1′=2，则球O的半径R=________；若E、F是棱AA1和DD1的中点，则直线EF被球O截得的线段长为________．14. （1分） (2015高一上·衡阳期末) 对于一个底边在x轴上的正三角形ABC，边长AB=2，采用斜二测画法做出其直观图，则其直观图的面积是________．15. （1分） (2019高二上·余姚期中) 若一个圆柱的侧面展开图是边长为2的正方形，则此圆柱的体积是________；若一个圆锥的侧面展开图是圆心角为，半径为1的扇形，则这个圆锥的表面积与侧面积的比是________．16. （1分） (2016高二上·自贡期中) 在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB=3，AD=4，AA1=5，则直线AC1与平面ABCD所成角的大小为________．三、解答题 (共5题；共50分)17. （10分）如图，在以A，B，C，D，E，F为顶点的五面体中，面ABEF为矩形，AF⊥DF，且二面角D﹣AF ﹣E与二面角C﹣BE﹣F都等于．（Ⅰ）证明：平面ABEF⊥平面EFDC（Ⅱ）求证：四边形EFDC为等腰梯形．18. （5分）在四棱锥A﹣BCDE中，底面BCDE为菱形，侧面ABE为等边三角形，且侧面ABE⊥底面BCDE，O，F分别为BE，DE的中点．（I）求证：AO⊥CD；（II）求证：平面AOF⊥平面ACE．19. （10分）如图，在四棱锥A﹣CDEF中，四边形CDFE为直角梯形，CE∥DF，EF⊥FD，AF⊥平面CEFD，P 为AD中点，EC= FD．（Ⅰ）求证：CP∥平面AEF；（Ⅱ）设EF=2，AF=3，FD=4，求点F到平面ACD的距离．20. （15分）如图，正方形ADEF与梯形ABCD所在的平面互相垂直，AD⊥CD，AB∥CD，AB=AD=2，CD=4，M为CE的中点．（I）求证：BM∥平面ADEF；（Ⅱ）求证：平面BDE⊥平面BEC．21. （10分） (2015高三上·唐山期末) 如图四棱锥P﹣ABCD底面是矩形，PA⊥平面ABCD，PA=AB=1，，E是BC上的点，（1）试确定E点的位置使平面PED⊥平面PAC，并证明你的结论；（2）在条件（1）下，求二面角B﹣PE﹣D的余弦值．参考答案一、单选题 (共12题；共24分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、9、答案：略10-1、11-1、12-1、二、填空题 (共4题；共4分)13-1、14-1、15-1、16-1、三、解答题 (共5题；共50分) 17-1、18-1、19-1、20-1、21-1、21-2、。
苏教版高中数学选修2-3高二期中考试试卷(理科).docx
盐城市一中2009－2010学年度第二学期期中考试高二年级数学试卷（理科）【考试时间：120分钟 分值：160分】命题人：童 标 审题人：孙建标一、 填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分. 不需写出解答过程．请把答案直接填写在答卷纸上．．．．） 1．14C +24C .2．已知5910⨯⨯⨯= m n A ，则m n +为 . 3．方程382828x x C C -=的解集为 . 4．设随机变量X 的概率分布如下表所示，且E （X ）=2．5，则a= ． X 1 2 3 4P 14 316 a b5．将一枚硬币连掷三次，出现“2个正面，1 个反面”的概率是__________6．甲、乙两人独立地解同一题，甲解决这个问题的概率是0.4，乙解决这个问题的概率是0.5，那么其中至少有一人解决这个问题的概率是 .7．以直角坐标系的原点为极点，x 轴的正半轴为极轴，并在两种坐标系中取相同的长度单位。
已知直线的极坐标方程为()4R πθρ=∈，它与曲线12cos 22sin x y αα=+⎧⎨=+⎩（α为参数）相交于两点A 和B ，则弦长AB= .8．已知曲线21,C C 的极坐标方程分别为θρθρcos 4,3cos ==（20,0πθρ<≤≥），则曲线1C 与2C 交点的极坐标为__ ___.9．一射手对同一目标独立地进行4次射击，已知至少命中一次的概率为8180，则此射手的 命中率是 .10．在极坐标系中，由三条直线0=θ，3πθ=，1sin cos =+θρθρ围成图形的面积是. 11．某公司的股票今天的指数为2，以后每天的指数都比上一天的指数增加0.2％，则100天以后这家公司的股票指数为 （精确到0.01）.12．一批产品共10件，其中有2件次品，现随机地抽取5件，则所取5件中至多有一件 次品的概率为 . 13．某城市的交通道路如图，从城市的西南角A 到城市的东北角B ，不经过十字道路维修处C ，最近的走法种数有______（用数字作答）. 14．已知直线221(0)ax by a b +=+≠与圆2250x y +=有公共点且公共点的横、纵坐标均为整数，那么这样的直线共有 条.二．解答题（本大题共6道题，计90分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤，答题过程写在答卷纸上．．．．） 15．（本题满分14分）在极坐标系中，设圆4=ρ上的点到直线()6sin 3cos =+θθρ的距离为d ，（1）化圆与直线极坐标方程为普通方程；（2）求d 的最大值．16．（本小题满分14分） B A C在二项式n 33)x 21x ( 的展开式中，前三项系数的绝对值成等差数列（1）求展开式的第四项；（2）求展开式的常数项；（3）求展开式中各项的系数和．17．（本小题满分14分）在一次面试中，每位考生从4道题d c b a ,,,中任抽两题做，假设每位考生抽到各题的可能性相等，且考生相互之间没有影响。
江苏省盐城市高二下学期期中数学试卷(理科)
江苏省盐城市高二下学期期中数学试卷（理科）姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、选择题 (共12题；共24分)1. （2分）已知函数，，那么下面命题中真命题的序号是（）①的最大值为②的最小值为③在上是增函数④在上是增函数A . ①③B . ①④C . ②③D . ②④2. （2分） (2016高二下·咸阳期末) （1﹣2x）4展开式中含x项的系数（）A . 32B . 4C . ﹣8D . ﹣323. （2分） (2016高二下·海南期末) 已知离散型随机变量X的分布列如表：X﹣1012P a b c若E（X）=0，D（X）=1，则a，b的值分别为（）A . ，B . ，C . ，D . ，4. （2分） (2016高二下·玉溪期中) 把5件不同的商品在货架上排成一排，其中a ， b两种必须排在一起，而c，d两种不能排在一起，则不同排法共有（）A . 12种B . 20种C . 24种D . 48种5. （2分）已知函数f（x）=lnx+tanα（α∈（0，））的导函数为f′（x），若使得f′（x0）=f（x0）成立的x0＜1，则实数α的取值范围为（）A . （，）B . （0，）C . （，）D . （0，）6. （2分） (2016高一上·石家庄期中) 已知f（x﹣1）=x2+4x﹣5，则f（x）的表达式是（）A . f（x）=x2+6xB . f（x）=x2+8x+7C . f（x）=x2+2x﹣3D . f（x）=x2+6x﹣107. （2分） (2017高二下·淄川期末) 投篮测试中，每人投3次，至少投中2次才能通过测试，已知某同学每次投篮投中的概率为0.7，且各次投篮是否投中相互独立，则该同学通过测试的概率为（）A . 0.784B . 0.648C . 0.343D . 0.4418. （2分）四位同学参加某项竞赛，竞赛规则规定：每位同学必须从甲、乙两题中任选一题作答，选甲题答对得10分，答错得﹣10分；选乙题答对得5分，答错得﹣5分．若4位同学的总得分为0，则这4位同学不同得分情况的种数是（）A . 48种B . 46种C . 36种D . 24种9. （2分）(2019·浙江模拟) 随机变量ξ的分布列如表：ξ﹣1012P a b c 其中a，b，c成等差数列，若，则D（ξ）＝（）A .B .C .D .10. （2分）直线x=3的倾斜角是（）A . 0B .C . πD . 不存在11. （2分）设集合A={（x，y）||x|+|y|≤2}，B={（x，y）∈A|y≤x2}，从集合A中随机地取出一个元素P （x，y），则P（x，y）∈B的概率是（）A .B .C .D .12. （2分）设函数，则f'（1）=（）A . 2B . ﹣2C . 5D . ﹣5二、填空题 (共4题；共5分)13. （1分） (2016高二下·肇庆期末) 某种产品的广告费支出x与销售额y之间有如表对应数据（单位：百万元）．x24568y304060t70根据上表提供的数据，求出y关于x的线性回归方程为 =6.5x+17.5，则表中t的值为________．14. （1分）(2017·淄博模拟) 6个人站成一排，若甲、乙两人之间恰有2人，则不同的站法种数为________．15. （1分）(2017·沈阳模拟) 若正态变量ξ服从正态分布N（μ，σ2），则ξ在区间（μ﹣σ，μ+σ），（μ﹣2σ，μ+2σ），（μ﹣3σ，μ+3σ）内取值的概率分别是0.6826，0.9544，0.9973．已知某大型企业为10000名员工定制工作服，设员工的身高（单位：cm）服从正态分布N（172，52），则适宜身高在177～182cm范围内员工穿的服装大约要定制________套．（用数字作答）16. （2分）传说古希腊毕达哥拉斯学派的数学家经常在沙滩上面画点或用小石子表示数．他们研究过如图的三角形数：将三角形数1，3，6，10，…记为数列{an}，将可被5整除的三角形数按从小到大的顺序组成一个新数列{bn}，可以推测：（Ⅰ）b2014是数列{an}中的第________ 项；（Ⅱ） b2n﹣1=________ ．（用n表示）三、解答题 (共5题；共45分)17. （5分） (2017高三上·东莞期末) 已知函数f（x）= （a，b∈R）在点（2，f（2））处切线的斜率为﹣﹣ln 2，且函数过点（4，）．（Ⅰ）求a、b 的值及函数 f （x）的单调区间；（Ⅱ）若g（x）= （k∈N*），对任意的实数x0＞1，都存在实数x1 ， x2满足0＜x1＜x2＜x0 ，使得f （x0）=f（x1）=f（x2），求k 的最大值．18. （10分） (2016高二下·三门峡期中) 某著名歌星在某地举办一次歌友会，有1000人参加，每人一张门票，每张100元．在演出过程中穿插抽奖活动，第一轮抽奖从这1000张票根中随机抽取10张，其持有者获得价值1000元的奖品，并参加第二轮抽奖活动．第二轮抽奖由第一轮获奖者独立操作按钮，电脑随机产生两个实数x，y （x，y∈[0，4]），若满足y≥ ，电脑显示“中奖”，则抽奖者再次获得特等奖奖金；否则电脑显示“谢谢”，则不获得特等奖奖金．（1）已知小明在第一轮抽奖中被抽中，求小明在第二轮抽奖中获奖的概率；（2）设特等奖奖金为a元，小李是此次活动的顾客，求小李参加此次活动获益的期望；若该歌友会组织者在此次活动中获益的期望值是至少获得70000元，求a的最大值．19. （10分） (2017高二下·株洲期中) 设f（n）=（1+ ）n﹣n，其中n为正整数．（1）求f（1），f（2），f（3）的值；（2）猜想满足不等式f（n）＜0的正整数n的范围，并用数学归纳法证明你的猜想．20. （5分） (2017·沈阳模拟) “共享单车”的出现，为我们提供了一种新型的交通方式．某机构为了调查人们对此种交通方式的满意度，从交通拥堵不严重的A城市和交通拥堵严重的B城市分别随机调查了20个用户，得到了一个用户满意度评分的样本，并绘制出茎叶图如图：（Ⅰ）根据茎叶图，比较两城市满意度评分的平均值的大小及方差的大小（不要求计算出具体值，给出结论即可）；（Ⅱ）若得分不低于80分，则认为该用户对此种交通方式“认可”，否则认为该用户对此种交通方式“不认可”，请根据此样本完成此2×2列联表，并据此样本分析是否有95%的把握认为城市拥堵与认可共享单车有关；A B合计认可不认可合计（Ⅲ）若从此样本中的A城市和B城市各抽取1人，则在此2人中恰有一人认可的条件下，此人来自B城市的概率是多少？附：参考数据：（参考公式：）21. （15分）(2016·德州模拟) 设函数．（1）用含a的式子表示b；（2）令F（x）= ，其图象上任意一点P（x0，y0）处切线的斜率恒成立，求实数a的取值范围；（3）若a=2，试求f（x）在区间上的最大值．参考答案一、选择题 (共12题；共24分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、10-1、11-1、12-1、二、填空题 (共4题；共5分)13-1、14-1、15-1、16-1、三、解答题 (共5题；共45分)18-1、18-2、19-1、19-2、20-1、21-1、21-2、21-3、。
江苏省盐城中学09-10学年高二数学下学期期末考试 理
江苏省盐城中学09-10学年高二下学期期中考试数学（理科）试题试卷说明：本场考试120分钟。
一．填空题（本大题共14小题，每小题5分，共计70分．将正确答案填入答题纸的相．．．．．应横线上．．．．） 1．集合},02|{2Z x x x x A ∈≤-+=，则集合A 中所有元素之积为 . 2．设复数z 满足z(2-3i)=6+4i （其中i 为虚数单位），则z 的模为_______ __. 3．曲线C ：()sin 1x f x e x =++在0x =处的切线方程为 ． 4．矩阵1214A ⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦的特征值是__________. 5．椭圆的参数方程是5cos 3sin x y θθ=⎧⎨=⎩（θ为参数），则它的离心率为 ．6.在极坐标系),(θρ)20(πθ≤≤中，曲线1)sin (cos =+θθρ与1)sin (cos =-θθρ的交点的极坐标为 .7．某篮球队员在比赛中每次罚球的命中率相同，且在两次罚球中至多命中一次的概率为1625，则该队员每次罚球的命中率为____________. 8.()1021x-的展开式中第4r 项和第2r +项的二次项系数相等，则r =______.9．某射手射击所得环数ξ的分布列如下：已知ξ的期望E ξ=8.9，则y 的值为 .10．甲、乙等5名游客组团跟随旅游公司出去旅游，这5人被公司随机分配到某城市的A 、B 、C 、D 四个风景区观光，每个风景区至少有一名游客，则甲、乙两人不同在一个风景区观光的方案有__________种.（用数字作答）11．一种报警器的可靠性为90％，那么将这两只这样的报警器并联后能将可靠性提高到 ． 12．若0(s i nc o s )a x xd x π=+⎰，则二项式6(展开式中2x 项的系数为 ___. 13．连续3次抛掷一枚质地均匀的硬币，在至少有一次出现正面向上的条件下，恰有一次出现反面向上的概率为 ．14.已知定义在R 上的函数()f x 满足()12f =，()1f x '<，则不等式()221f x x <+的解集为 .二.解答题（本大题计80分）15．(本题满分12分) 在直角坐标系中，已知椭圆2241x y +=，矩阵阵⎥⎦⎤⎢⎣⎡=0110M ，0210N ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，求在矩阵MN 作用下变换所得到的图形的面积.16．(本题满分12分)直线23x a y t ⎧=+⎪⎨⎪=⎩(t 为参数，a 为常数且0>a )被以原点为极点，x 轴的正半轴为极轴，方程为θρcos 2a =的曲线所截，求截得的弦长.17.（本小题满分14分）在二项式12()(0,0,0,0)mn ax bx a b m n +>>≠≠中有2m +n =0，如果它的展开式里最大系数项恰是常数项. （1）求它是第几项；（2）求ba的范围.18． (本题满分14分) 已知1S 为直线0x =，24y t =-及24y x =-所围成的面积，2S 为直线2x =，24y t =-及24y x =-所围成图形的面积（t 为常数）. （1）若t =2S ；（2）若(0,2)t ∈，求12S S +的最大值.19． (本题满分14分) 口袋中有)(*N ∈n n如果取到红球，那么继续取球，且取出的红球不放回；如果取到白球，就停止取球．记取球的次数为X ．若307)2(==X P ，求： （1）n 的值；（2）X 的概率分布与数学期望．20． (本题满分14分) 设函数432()2f x x ax x b a b =+++∈R ，，．（Ⅰ）当103a =-时，讨论函数()f x 的单调性； （Ⅱ）若函数()f x 仅在x =0处有极值，试求a 的取值范围；（Ⅲ）若对于任何[2,2]()1[10]a f x x ∈-∈-≤，不等式在，上恒成立，求b 的取值范围．参考答案一.填空题（5×14＝70分）1. 02. 23. 22+=x y4. 2或35. 4/56. (1,)2π7.53=p 8. 29. 0.4 10. 216 11. 99% 12. 192- 13. 3/7 14. ()(),11,-∞-+∞二.解答题（计80分）15．（本题满分12分）在直角坐标系中，已知椭圆2241x y +=，矩阵阵⎥⎦⎤⎢⎣⎡=0110M ，0210N ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，求在矩阵MN 作用下变换所得到的图形的面积. 解。
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江苏省盐城中学09-10学年高二下学期期中考试数学（理）试卷说明：本场考试120分钟。
一．填空题（本大题共14小题，每小题5分，共计70分．将正确答案填入答题纸的相应横．．．．．．．线上．．） 1．已知复数z =(m +4)+ (m －1)i 是纯虚数，则实数m 的值是 ．2．一质点的运动方程为210S t =+（位移单位：m ，时间单位：s ），则该质点在3t s =的瞬时速度为 /m s ．3.复数z 满足i i i z 73)2(+=-，则复数z 的模等于 。
4．设()ln f x x x =，若0'()2f x =，则0x =_________5.曲线xy e =在点2(2)e ，处的切线与坐标轴所围三角形的面积为 ． 6．函数22(2sin )x dx -+⎰=___________7.某班级要从4名男生、2名女生中选派4人参加某次社区服务，如果要求至少有1名女生，那么不同的选派方案共有 种.8.若x e x x f )8()(2-=，则)(x f 的单调递减区间为 ．9.如图（1）有面积关系PB PA PB PA S S PAB B PA ⋅⋅=∆∆1111，则图（2）有体积关系=--ABCP C B A P V V 111 .图1 图2P AA 1AC10.已知复数z 满足1z =，则4z i +的最小值为11．设R a ∈，若函数)0(>+=x ax e y x有极值点，则实数a 的取值范围是 ．12.函数]32,32[sin 2ππ--=在区间x x y 上的最大值为13.观察如图所示数表,其第2n 行的值为 .14．在平面直角坐标系xOy 中，设A 是曲线1C ：31(0)y ax a =+>与曲线2C ：2252x y +=的一个公共点，若1C 在A 处的切线与2C 在A 处的切线互相垂直，则实数a 的值是 。
二.解答题（本大题计80分） 15．(本题满分12分) 已知z =1i -，R b a ∈,.（1）432-+=z z w （z 为z 的共轭复数），求||w ;(2)如果21z az bi i++=+，求实数,a b 的值．16.(本题满分12分)在数列{}n a 中 111,21(2,)n n a a a n n N *-==+≥∈。
（1）求 234,,;a a a 的值。
（2）猜想数列{}n a 的通项公式，并用数学归纳法来证明。
1 1+2+1 1+2+3+2+1 1+2+3+4+3+2+1 …第13题17.（本小题满分14分） 已知z 为复数，2z i +和2zi-均为实数，其中i 是虚数单位． （Ⅰ）求复数z ；（Ⅱ）若复数2()z ai +在复平面上对应的点在第一象限，求实数a 的取值范围．18 . (本题满分14分)如图，过点3(0,)(02)a a <<的两直线与抛物线2y ax =-相切于A 、B 两点， AD 、BC 垂直于直线8y =-，垂足分别为D 、C ，求矩形ABCD 面积的最大值.19. (本题满分14分)设cx bx ax x f ++=23)(的极小值为8-,其导函数)(/x f y =的图象经过点)0,32(),0,2(-,如图所示.(1)求解析式)(x f ;(2)若对]3,3[-∈x ,都有m m x f 14)(2-≥恒成立,求实数m 的取值范围.20. (本题满分14分)已知()ln y f x x x ==．（1）求函数)(x f y =的图像在x e =处的切线方程； (2)设实数0>a ，求函数()()f x F x a=在[]a a 2,上的最大值. （3）证明对一切(0,)x ∈+∞，都有12ln e e x x x >-成立．参考答案一.填空题（5×14＝70分） 1. -4 2. 63. 254. e5.22e6. 87. 148. )2,4(-9. 111PA PB PC PA PB PC ⋅⋅⋅⋅10. 311. 1-<a12.3π13. n4 14. 4二.解答题（计80分） 15．（本题满分12分）解(1)因为1z i =-,所以1.||w i w =-+∴=·················6分(2)由题意得:22(1)(1)(2)z az b i a i b a b a i ++=-+-+=+-+; (1)1i i i +=-+所以121a b a +=-⎧⎨+=-⎩,解得32a b =-⎧⎨=⎩. ·················12分16.（本题满分12分） 解：（1）15,7,314321====a a a a ，··················3分（2）猜想：12-=n n a · ·················5分证明：（1）当1=n 时，结论显然成立（2）假设)(*N k k n ∈=时，结论也成立，即12-=k k a则()1211221211-=+-=+=++k k k k a a这说明，当1+=k n 时，结论也成立 ··················11分 根据（1）（2）可以断定12-=n n a 对一切正整数n 都成立···········12分17．（本题满分14分）解：（1）设i y x i z yi x z )2(2,++=++=则 由z ＋2i 为实数知2-=y ··················3分 同理可算得4=x ·················6分所以i z 24-= ·················7分 （2）]2222()(42)4(2)16(2)8(2)z ai i ai a ia a i ⎡+=-+=+-=--+-⎣···········10分 而它在复平面上对应的点在第一象限，所以满足⎩⎨⎧>->--0)2(80)2(162a a ·······12分解得62<<a ·················14分18．（本题满分14分）解：设切点为00(,)x y ，则200y ax =-. 因为2y ax '=-，所以切线方程为0002()y y ax x x -=--20002()y ax ax x x +=--，----------3分因为切线过点()30,a ，所以320002(0)a ax ax x +=--，即320a ax =，于是0x a =±.--------------5分将0x a =±代入200y ax =-得30y a =-. -------------------7分(若设切线方程为3y kx a =+，代入抛物线方程后由0∆=得到切点坐标，亦予认可.) 所以32,8AB a BC a ==-，所以矩形面积为4162(02)S a a a =-<<， --------------8分 于是3168S a '=-. --------------10分所以当0a <<时，0S '>2a <<时，0S '<； ----------------12分故当a =S有最大值为 ------------------14分19.（本题满分14分）解：（1）'2()32.f x ax bx c =++图像过（-2，0），2(,0)322223324233b b a a c c a a ⎧-+=-⎪=⎧⎪∴⎨⎨=-⎩⎪-⨯=⎪⎩32()24f x ax ax ax ∴=+- ------------------3分''222()0,2()0,()033x f x x f x x f x <-<-<<>><时，时，时，32()(2)(2)2(2)4(2)8,1,f x f a a a a ∴=-=-+---=-=-极小值32()24f x x x x =--+ -------------------7分（2）要使对[]3,3x ∈-都有2()14f x m m ≥-恒成立，只需2()14f x m m ≥-最小值即可，由（1）可知f(x)在[)3,2--上递减，在22,3⎛⎫- ⎪⎝⎭上递增。
在2,33⎛⎤ ⎥⎝⎦上递减，且(2)8,(3)338f f -=-=-<-，[]33()(3)33.f x f ∴-==-最小值在，上，23314,m m ∴-≥- ------------------10分即214330311,m m m -+≤∴≤≤故所求实数m 的范围为[]3,11 ------------14分20.（本题满分14分）解：（1）)(x f 定义域为()+∞,0 ()ln 1f x x '=+()f e e = 又 /()2k f e ==∴函数)(x f y =的在x e =处的切线方程为：2()y x e e =-+，即2y x e =- ------------------4分（2）'1()(ln 1)F x x a =+令'()0F x =得1x e= 当()10,e x ∈，'()0F x <，)(x F 单调递减，当()1,ex ∈+∞，'()0F x >，()F x 单调递增．∴)(x F 在[]a a 2,上的最大值max ()max{(),(2)}F x F a F a =1()(2)ln 2ln 2ln4F a F a a a a-=-= ∴当104a <≤时，()(2)0,F a F a -≥max ()F x =a a F ln )(= 当14a >时，()(2)0F a F a -<，min ()F x =(2)2ln 2F a a = -----------------8分 (3)问题等价于证明2ln ((0,))e e x x x x x >-∈+∞， 由(2)可知()ln ((0,))f x x x x =∈+∞的最小值是1e -，当且仅当1ex =时取得.设2()((0,))e e x x m x x =-∈+∞，则1()e x x m'x -=，易得[]max 1()(1)e m x m ==-，当且仅当1x =时取到，从而对一切(0,)x ∈+∞，都有12ln e ex x x >-成立． ----14分。