安徽2015年高考数学二轮小专题复习之落实应用44Word版含答案

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《高考》高三数学二轮专题拉分训练卷：函数的应用Word版含答案高考

【原创】《博雅高考》2015届高三数学二轮专题拉分训练卷：函数的应用（含解析）一、选择题：共9题每题5分共45分1．函数有且仅有一个正实数零点，则实数的取值范围是A. B. C.或 D.或【答案】D【解析】本试题主要考查函数的零点.由题意，函数有且仅有一个正实数零点，当m=0时，则><或.2．设函数f(x)=,若f(4)=f(0),f(2)=2,则函数g(x)=f(x)-x的零点的个数是A.0B.1C.2D.3【答案】C【解析】因为f(4)=f(0),f(2)=2,所以16+4b+c=c且4+2b+c=2,解得b=-4,c=6,即f(x)=.当x≥0时,由g(x)=f(x)-x=0,得x2-4x+6-x=0,即x2-5x+6=0,解得x=2或x=3;当x<0时,由g(x)=f(x)-x=0得1-x=0,解得x=1,不成立,舍去.所以函数g(x)=f(x)-x的零点个数为2,选C.3．函数y=ln x﹣6+2x的零点为x0，则x0∈A.(1，2)B.(2，3)C.(3，4)D.(5，6)【答案】B【解析】本试题主要考查函数的零点.由题意，可判断函数y=ln x﹣6+2x连续，从而由零点的判定定理，y|x=2=ln2﹣6+4=ln2﹣2＜0，y|x=3=ln3﹣6+6=ln3＞0；故函数y=lnx﹣6+2x的零点在(2，3)之间，故x0∈(2，3)，选Ｂ4．若函数f(x)=x3+x2-2x-2的一个正数零点附近的函数值用二分法计算,其参考数据如下表: f(1)=-2 f(1.5)=0.625 f(1.25)=-0.984f(1.375)=-0.26f(1.4375)=0.162f(1.40625)=-0.054那么方程x3+x2-2x-2=0的一个近似根(精确到0.1)为A.1.5B.1.4C.1.3D.1.2【答案】B【解析】由题意,知f(1.437 5)×f(1.406 25)<0,故函数f(x)的零点在(1.406 25,1.437 5)内,精确到0.1,得零点为1.4.5．某城市2002年底人口为500万,人均住房面积为6平方米,如果该城市人口平均每年的增长率为1%.为使2012年底该城市人均住房面积增加到7平方米,平均每年新增住房面积至少为(1.0110≈1.104 5)A.90万平方米B.87万平方米C.85万平方米D.80万平方米【答案】B【解析】到2012年底该城市人口有500×(1+1%)10万,则为使2012年该城市人均住房面积增加到7平方米,平均每年新增住房面积至少为≈86.6(万平方米).6．已知函数y＝f (x)的图象如图所示，其中零点的个数与可以用二分法求解的零点个数分别为A.4, 4B.3, 4C.5, 4D.4, 3【答案】D【解析】本题考查函数的图象，函数的零点，零点存在性定理. 由图知，函数的零点的个数为4个，由函数零点的存在性定理知，能用二分法求解的零点必须满足端点值异号，所以最后一个零点不能用二分法求解，即能用二分法求解的零点有3个，故选D.7．某厂有许多形状为直角梯形的铁皮边角料(如图),为降低消耗,开源节流,现要从这些边角料上截取矩形铁片(如图阴影部分)备用,则截取的矩形面积的最大值为A.160B.175C.D.180【答案】D【解析】依题意知当x=20,y≤8时,阴影部分面积S1≤20×8=160.当x<20,8<y<24时,有=,即x=(24-y),此时阴影部分的面积S=xy=(24-y)y=(-y2+24y),故当y=12时,S有最大值为180.综上可知,截取的矩形面积的最大值为180.8．某地区要建造一条防洪堤,其横断面为等腰梯形,腰与底边的夹角为60°(如图).考虑到防洪堤坚固性及石块用料等因素,设计其横断面要求面积为9平方米,且高度不低于米.记防洪堤横断面的腰长为x米,外周长(梯形的上底BC与两腰长的和)为y米.要使防洪堤横断面的外周长不超过10.5米,则其腰长x的取值范围为A.[2,4]B.[3,4]C.[2,5]D.[3,5]【答案】B【解析】根据题意知,9=(AD+BC)h,其中AD=BC+2·=BC+x,h=x, 即9=(2BC+x)×x,故BC=-,由,解得2≤x<6.∴y=BC+2x=+(2≤x<6),由y=+≤10.5,解得3≤x≤4.∵[3,4]⊆[2,6),∴腰长x的取值范围是[3,4].9．已知某工厂8年来某种产品的产量c与时间t(单位:年)的函数关系如图所示,则下面四种说法中,正确的是①前三年中产量增加的速度越来越快;②前三年中产量增长的速度越来越慢;③第三年后,这种产品停止生产;④第三年后,这种产品产量保持不变.A.②③B.②④C.①③D.①④【答案】B【解析】由图象可知前三年产量曲线的斜率在变小,故前三年中产量增长的速度越来越慢;第三年后产品并没有停止生产,而是产品产量保持不变,故选B.二、填空题：共5题每题5分共25分10．对于实数a和b,定义运算“*”:a*b=设f(x)=(2x-1)*(x-1),且关于x的方程f(x)=m(m∈R)恰有三个互不相等的实数根x1,x2,x3,则x1x2x3的取值范围是.【答案】(,0)【解析】f(x)=(2x-1)*(x-1)=,即f(x)=.如图所示, 关于x的方程f(x)=m恰有三个互不相等的实根x1,x2,x3,即函数f(x)的图象与直线y=m有三个不同的交点,则0<m<.不妨设从左到右的交点的横坐标分别为x1,x2,x3.当x>0时,-x2+x=m,即x2-x+m=0,∴x2+x3=1,∴0<x2x3<()2,即0<x2x3<;当x<0时,由,得x=,∴<x1<0,∴0<-x1<.∴0<-x1x2x3<,∴<x1x2x3<0.11．函数的一个零点是，则另一个零点是_________.【答案】1【解析】本试题主要考查函数的零点。

2015届高考数学(文科,通用)二轮复习突破练高考中档大题规范练(四) Word版含答案

高考中档大题规范练(四)——概率与统计(推荐时间：70分钟)1．(2014·湖南)某企业有甲、乙两个研发小组．为了比较他们的研发水平，现随机抽取这两个小组往年研发新产品的结果如下：(a ，b )，(a ，b )，(a ，b )，(a ，b )，(a ，b )，(a ，b )，(a ，b )，(a ，b )，(a ，b )，(a ，b )，(a ，b )，(a ，b )，(a ，b )，(a ，b )，(a ，b )．其中a ，a 分别表示甲组研发成功和失败；b ，b 分别表示乙组研发成功和失败．(1)若某组成功研发一种新产品，则给该组记1分，否则记0分．试计算甲、乙两组研发新产品的成绩的平均数和方差，并比较甲、乙两组的研发水平；(2)若该企业安排甲、乙两组各自研发一种新产品，试估计恰有一组研发成功的概率．解 (1)甲组研发新产品的成绩为 1,1,1,0,0,1,1,1,0,1,0,1,1,0,1，其平均数为x 甲＝1015＝23；方差为s 2甲＝115⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫1－232×10＋⎝⎛⎭⎫0－232×5＝29. 乙组研发新产品的成绩为 1,0,1,1,0,1,1,0,1,0,0,1,0,1,1，其平均数为x 乙＝915＝35；方差为s 2乙＝115⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫1－352×9＋⎝⎛⎭⎫0－352×6＝625. 因为x 甲>x 乙，s 2甲<s 2乙，所以甲组的研发水平优于乙组． (2)记事件E ＝{恰有一组研发成功}．在所抽得的15个结果中，恰有一组研发成功的结果是(a ，b )，(a ，b )，(a ，b )，(a ，b )，(a ，b )，(a ，b )，(a ，b )共7个．故事件E 发生的频率为715.将频率视为概率，则得所求概率为P (E )＝715.即恰有一组研发成功的概率为715.2．先后随机投掷2枚正方体骰子，其中x 表示第1枚骰子出现的点数，y 表示第2枚骰子出现的点数．(1)求点P (x ，y )在直线y ＝x －2上的概率； (2)求点P (x ，y )满足y 2<2x 的概率．解每枚骰子出现的点数都有6种情况，所以基本事件总数为6×6＝36(个)．(1)记“点P (x ，y )在直线y ＝x －2上”为事件A ，则事件A 有4个基本事件：(3,1)，(4,2)，(5,3)，(6,4)，所以P (A )＝436＝19.(2)记“点P (x ，y )满足y 2<2x ”为事件B ，则事件B 有12个基本事件：(1,1)，(2,1)，(3,1)，(3,2)，(4,1)，(4,2)，(5,1)，(5,2)，(5,3)，(6,1)，(6,2)，(6,3)，所以P (B )＝1236＝13.3．有编号为1,2,3的三个白球，编号为4,5,6的三个黑球，这六个球除编号和颜色外完全相同，现从中任意取出两个球．(1)求取得的两个球颜色相同的概率； (2)求取得的两个球颜色不相同的概率．解从六个球中取出两个球的基本事件有(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(1,6)，(2,3)，(2,4)，(2,5)，(2,6)，(3,4)，(3,5)，(3,6)，(4,5)，(4,6)，(5,6)共计15个基本事件．(1)记事件A 为“取出的两个球是白球”，则这个事件包含的基本事件的是(1,2)，(1,3)，(2,3)，共计3个基本事件，故P (A )＝315＝15.记事件B 为“取出的两个球是黑球”，同理可得P (B )＝15.记事件C 为“取出的两个球的颜色相同”，则C ＝A ＋B ，且A ，B 互斥，根据互斥事件的概率加法公式，得P (C )＝P (A ＋B )＝P (A )＋P (B )＝25.(2)记事件D 为“取出的两个球的颜色不相同”，则事件C ，D 互斥，根据互斥事件概率之间的关系，得P (D )＝1－P (C )＝1－25＝35.4．(2014·辽宁)某大学餐饮中心为了解新生的饮食习惯，在全校一年级学生中进行了抽样调查，调查结果如下表所示：(1)面有差异”；(2)已知在被调查的北方学生中有5名数学系的学生，其中2名喜欢甜品，现在从这5名学生中随机抽取3人，求至多有1人喜欢甜品的概率．附：P (2≥k ) 解 (1)将2×22＝n (n 11n 22－n 12n 21)2n 1＋n 2＋n ＋1n ＋2＝100×(60×10－20×10)270×30×80×20＝10021≈4.762. 因为4.762>3.841，所以有95%的把握认为“南方学生和北方学生在选用甜品的饮食习惯方面有差异”．(2)从5名数学系学生中任取3人的一切可能结果所组成的基本事件空间Ω＝{(a 1，a 2，b 1)，(a 1，a 2，b 2)，(a 1，a 2，b 3)，(a 1，b 1，b 2)，(a 1，b 2，b 3)，(a 1，b 1，b 3)，(a 2，b 1，b 2)，(a 2，b 2，b 3)，(a 2，b 1，b 3)，(b 1，b 2，b 3)}．其中a i 表示喜欢甜品的学生，i ＝1,2；b j 表示不喜欢甜品的学生，j ＝1,2,3.Ω由10个基本事件组成，且这些基本事件的出现是等可能的．用A 表示“3人中至多有1人喜欢甜品”这一事件，则事件A ＝{(a 1，b 1，b 2)，(a 1，b 2，b 3)，(a 1，b 1，b 3)，(a 2，b 1，b 2)，(a 2，b 2，b 3)，(a 2，b 1，b 3)，(b 1，b 2，b 3)}．事件A 是由7个基本事件组成，因而P (A )＝710.5．某商场为吸引顾客消费，推出一项优惠活动．活动规则如下：消费每满100元可以转动如图所示的圆盘一次，其中O 为圆心，且标有20元，10元，0元的三部分区域面积相等．假定指针停在任一位置都是等可能的．当指针停在某区域时，返相应金额的优惠券．例如：某顾客消费了218元，第一次转动获得了20元，第二次获得了10元，则其共获得了30元优惠券．顾客甲和乙都到商场进行了消费，并按照规则参与了活动．(1)若顾客甲消费了128元，求他获得的优惠券金额大于0元的概率； (2)若顾客乙消费了280元，求他总共获得的优惠券金额不低于20元的概率．解 (1)设“甲获得的优惠券金额大于0元”为事件A .因为指针停在任一位置都是等可能的，而题中所给的三部分区域的面积相等，所以指针停在20元，10元，0元区域内的概率都是13.根据互斥事件的概率，有P (A )＝13＋13＝23，所以“顾客甲获得的优惠券金额大于0元”的概率是23.(2)设“乙获得的优惠券金额不低于20元”为事件B .因为顾客乙转动转盘两次，设乙第一次转动转盘获得优惠券的金额为x 元，第二次获得优惠券的金额为y 元，则基本事件空间可以表示为Ω＝{(20,20)，(20,10)，(20,0)，(10,20)，(10,10)，(10,0)，(0,20)，(0,10)，(0,0)}，即Ω中含有9个基本事件，每个基本事件发生的概率都为19.而乙获得的优惠券金额不低于20元，是指x ＋y ≥20，所以事件B 中包含的基本事件有6个．所以乙获得的优惠券金额不低于20元的概率为 P (B )＝69＝23.6．已知关于x 的一元二次方程9x 2＋6ax －b 2＋4＝0，a ，b ∈R .(1)若a 是从1,2,3三个数中任取的一个数，b 是从0,1,2三个数中任取的一个数，求已知方程有两个不相等实根的概率；(2)若a 是从区间[0,3]内任取的一个数，b 是从区间[0,2]内任取的一个数，求已知方程有实数根的概率．解设事件A 为“方程9x 2＋6ax －b 2＋4＝0有两个不相等的实数根”；事件B 为“方程9x 2＋6ax －b 2＋4＝0有实数根”．(1)由题意，知基本事件共9个，即(1,0)，(1,1)，(1,2)，(2,0)，(2,1)，(2,2)，(3,0)，(3,1)，(3,2)，其中第一个数表示a 的取值，第二个数表示b 的取值．由Δ＝36a 2－36(－b 2＋4)＝36a 2＋36b 2－36×4>0，得a 2＋b 2>4.事件A 要求a ，b 满足条件a 2＋b 2>4，可知包含6个基本事件，即(1,2)，(2,1)，(2,2)，(3,0)，(3,1)，(3,2)，则事件A 发生的概率为P (A )＝69＝23.(2)a ，b 的取值所构成的区域如图所示，其中0≤a ≤3,0≤b ≤2.构成事件B 的区域为{(a ，b )|0≤a ≤3,0≤b ≤2，a 2＋b 2≥4}(如图中阴影部分)，则所求的概率为P (B )＝2×3－14×π×222×3＝1－π6.。

安徽高考网：2015安徽高考数学试题及答案解析

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2015年安徽省高考数学习题及答案(文科)【解析版】

精心整理2015年安徽省高考数学试卷（文科）一、选择题（共10小题，每小题5分，满分50分）2015年普通高等学校招生全国统一考试（安徽卷）数学（文科）1．（5分）（2015?安徽）设i是虚数单位，则复数（1﹣i）（1+2i）=（）A．3+3i B．﹣1+3i C． 3+i D．﹣1+i【答案】C．【解析】复数（1﹣i）（1+2i）=1+2﹣i+2i=3+i．2．（5分）（2015?安徽）设全集U={1，2，3，4，5，6}A={1，2}，B={2，3，4}，则A∩（?R B）=（）A．{1，2，5，6} B．{1} C． {2} D．{1，2，3，4}【答案】B．【解析】?R B={1，5，6}；∴A∩（?R B）={1，2}∩{1，5，6}={1}．3．（5分）（2015?安徽）设p：x＜3，q：﹣1＜x＜3，则p是q成立的（）A．充分必要条件B．充分不必要条件C．必要不充分条件D．既不充分也不必要条件【答案】C【解析】设p：x＜3，q：﹣1＜x＜3，则p成立，不一定有q成立，但是q成立，必有p成立，所以p是q成立的必要不充分条件．．4．（5分）（2015?安徽）下列函数中，既是偶函数又存在零点的是（）A．y=lnx B．y=x2+1 C． y=sinx D．y=cosx【答案】D【解析】对于A，y=lnx定义域为（0，+∞），所以是非奇非偶的函数；对于B，是偶函数，但是不存在零点；对于C，sin（﹣x）=﹣sinx，是奇函数；对于D，cos（﹣x）=cosx，是偶函数并且有无数个零点；5．（5分）（2015?安徽）已知x，y满足约束条件，则z=﹣2x+y的最大值是（）A．﹣1 B．﹣2 C．﹣5 D．1【答案】A．【解析】由已知不等式组表示的平面区域如图阴影部分，当直线y=2x+z经过A时使得z最大，由得到A（1，1），所以z的最大值为﹣2×1+1=﹣1；6．（5分）（2015?安徽）下列双曲线中，渐近线方程为y=±2x的是（）A．x2﹣=1 B．﹣y2=1C．x2﹣=1D．﹣y2=1【答案】A．【解析】由双曲线方程﹣=1（a＞0，b＞0）的渐近线方程为y=±x，由A可得渐近线方程为y=±2x，由B可得渐近线方程为y=±x，由C可得渐近线方程为y=x，由D可得渐近线方程为y=x．7．（5分）（2015?安徽）执行如图所示的程序框图（算法流程图），输出的n为（）A．3B．4C． 5 D．6【答案】B．【解析】模拟执行程序框图，可得a=1，n=1满足条件|a﹣1.414|＞0.005，a=，n=2满足条件|a﹣1.414|＞0.005，a=，n=3满足条件|a﹣1.414|＞0.005，a=，n=4不满足条件|a﹣1.414|=0.00267＞0.005，退出循环，输出n的值为4．8．（5分）（2015?安徽）直线3x+4y=b与圆x2+y2﹣2x﹣2y+1=0相切，则b=（）A．﹣2或12 B．2或﹣12 C．﹣2或﹣12 D．2或12【答案】D．【解析】x2+y2﹣2x﹣2y+1=0可化为（x﹣1）2+（y﹣1）2=1∵直线3x+4y=b与圆x2+y2﹣2x﹣2y+1=0相切，∴圆心（1，1）到直线的距离d==1，解得：b=2或12．9．（5分）（2015?安徽）一个四面体的三视图如图所示，则该四面体的表面积是（）A．1+B．1+2C．2+D．2【答案】C．【解析】可画出立体图形为∴三棱锥O﹣ABC，OE⊥底面ADC，EA=ED=1，OE=1，AB=BC=∴AB⊥BC，∴可判断；△OAB≌△OBC的直角三角形，S△OAC=S△ABC==1，S△OAB=S△OBC=×2=该四面体的表面积：2，10．（5分）（2015?安徽）函数f（x）=ax3+bx2+cx+d的图象如图所示，则下列结论成立的是（）A．a＞0，b＜0，c＞0，d＞0 B．a＞0，b＜0，c＜0，d＞0C．a＜0，b＜0，c＜0，d＞0 D．a＞0，b＞0，c＞0，d＜0【答案】A【解析】f（0）=d＞0，排除D，当x→+∞时，y→+∞，∴a＞0，排除C，函数的导数f′（x）=3ax2+2bx+c，则f′（x）=0有两个不同的正实根，则x1+x2=﹣＞0且x1x2=＞0，（a＞0），∴b＜0，c＞0，二、填空题11．（3分）（2015?安徽）lg+2lg2﹣（）﹣1=．【答案】-1．【解析】原式=lg5﹣lg2+2lg2﹣2=lg5+lg2﹣2=lg10﹣2=1﹣2=﹣1；12．（3分）（2015?安徽）在△ABC中，AB=，∠A=75°，∠B=45°，则AC=．【答案】2．【解析】∠A=75°，∠B=45°，则∠C=180°﹣75°﹣45°=60°，由正弦定理可得，=，即有AC==2．13．（3分）（2015?安徽）已知数列{a n}中，a1=1，a n=a n﹣1+（n≥2），则数列{a n}的前9项和等于．【答案】27．【解析】∵a n=a n﹣1+（n≥2），∴a n﹣a n﹣1=（n≥2），∴数列{a n}的公差d=，又a1=1，∴a n=1+（n﹣1）=，∴S9=9a1+?d=9+36×=27，14．（3分）（2015?安徽）在平面直角坐标系xOy中，若直线y=2a与函数y=|x﹣a|﹣1的图象只有一个交点，则a 的值为．【答案】．【解析】由已知直线y=2a是平行于x轴的直线，函数y=|x﹣a|﹣1的图象是折线，所以直线y=2a过折线顶点时满足题意，所以2a=﹣1，解得a=﹣；15．（3分）（2015?安徽）△ABC是边长为2的等边三角形，已知向量满足=2，=2+，则下列结论中正确的是．（写出所有正确结论得序号）①为单位向量；②为单位向量；③；④∥；⑤（4+）⊥．【答案】①④⑤【解析】△ABC是边长为2的等边三角形，已知向量满足=2，=2+，则=，AB=2，所以||=1，即是单位向量；①正确；因为=2，所以，故||=2；故②错误；④正确；夹角为120°，故③错误；⑤（4+）?=4=4×1×2×cos120°+4=﹣4+4=0；故⑤正确．三、解答题16．（2015?安徽）已知函数f（x）=（sinx+cosx）2+cos2x（1）求f（x）最小正周期；（2）求f（x）在区间上的最大值和最小值．【解析】（1）∵函数f（x）=（sinx+cosx）2+cos2x=1+sin2x+cos2x=1+sin（2x+），∴它的最小正周期为=π．（2）在区间上，2x+∈[，]，故当2x+=时，f（x）取得最小值为1+×（﹣）=0，当2x+=时，f（x）取得最大值为1+×1=1+．17．（2015?安徽）某企业为了解下属某部门对本企业职工的服务情况，随机访问50名职工，根据这50名职工对该部门的评分，绘制频率分布直方图（如图所示），其中样本数据分组区间为[40，50]，[50，60]，…，[80，90]，[90，100]（1）求频率分布图中a的值；（2）估计该企业的职工对该部门评分不低于80的概率；（3）从评分在[40，60]的受访职工中，随机抽取2人，求此2人评分都在[40，50]的概率．【解析】（1）因为（0.004+a+0.018+0.022×2+0.028）×10=1，解得a=0.006；（2）由已知的频率分布直方图可知，50名受访职工评分不低于80的频率为（0.022+0.018）×10=4，所以该企业职工对该部门评分不低于80的概率的估计值为0.4；（3）受访职工中评分在[50，60）的有：50×0.006×10=3（人），记为A1，A2，A3；受访职工评分在[40，50）的有：50×0.004×10=2（人），记为B1，B2．从这5名受访职工中随机抽取2人，所有可能的结果共有10种，分别是{A1，A2}，{A1，A3}，{A1，B1}，{A1，B2}，{A2，A3}，{A2，B1}，{A2，B2}，{A3，B1}，{A3，B2}，{B1，B2}，又因为所抽取2人的评分都在[40，50）的结果有1种，即{B1，B2}，故所求的概率为P=．18．（2015?安徽）已知数列{a n}是递增的等比数列，且a1+a4=9，a2a3=8．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）设S n为数列{a n}的前n项和，b n=，求数列{b n}的前n项和T n．【解析】（1）∵数列{a n}是递增的等比数列，且a1+a4=9，a2a3=8．∴a1+a4=9，a1a4=8．解得a1=1，a4=8或a1=8，a4=1（舍），解得q=2，即数列{a n}的通项公式a n=2n﹣1；（2）S n==2n﹣1，∴b n===﹣，∴数列{b n}的前n项和T n=+…+﹣=﹣=1﹣19．（2015?安徽）如图，三棱锥P﹣ABC中，PA⊥平面ABC，PA=1，AB=1，AC=2，∠BAC=60°．（1）求三棱锥P﹣ABC的体积；（2）证明：在线段PC上存在点M，使得AC⊥BM，并求的值．（1）【解析】由题设，AB=1，AC=2，∠BAC=60°，可得S△ABC==．因为PA⊥平面ABC，PA=1，所以V P﹣ABC=?S△ABC?PA=；（2）【解析】过B作BN⊥AC，垂足为N，过N作MN∥PA，交PA于点M，连接BM，由PA⊥平面ABC，知PA⊥AC，所以MN⊥AC，因为BN∩MN=N，所以AC⊥平面MBN．因为BM?平面MBN，所以AC⊥BM．在直角△BAN中，AN=AB?cos∠BAC=，从而NC=AC﹣AN=．由MN∥PA得==．20．（2015?安徽）设椭圆E的方程为=1（a＞b＞0），点O为坐标原点，点A的坐标为（a，0），点B的坐标为（0，b），点M在线段AB上，满足|BM|=2|MA|，直线OM的斜率为．（1）求E的离心率e；（2）设点C的坐标为（0，﹣b），N为线段AC的中点，证明：MN⊥AB．【解析】（1）设M（x，y），∵A（a，0）、B（0，b），点M在线段AB上且|BM|=2|MA|，∴=2，即（x﹣0，y﹣b）=2（a﹣x，0﹣y），解得x=a，y=b，即M（a，b），又∵直线OM的斜率为，∴=，∴a=b，c==2b，∴椭圆E的离心率e==；（2）证明：∵点C的坐标为（0，﹣b），N为线段AC的中点，∴N（，﹣），∴=（，﹣），又∵=（﹣a，b），∴?=（﹣a，b）?（，﹣）=﹣a2+=（5b2﹣a2），由（1）可知a2=5b2，故?=0，即MN⊥AB21．（2015?安徽）已知函数f（x）=（a＞0，r＞0）（1）求f（x）的定义域，并讨论f（x）的单调性；（2）若=400，求f（x）在（0，+∞）内的极值．【解析】（1）∵函数f（x）=（a＞0，r＞0），∴x≠﹣r，即f（x）的定义域为（﹣∞，﹣r）∪（﹣r，+∞）．又∵f（x）==，∴f′（x）==，∴当x＜﹣r或x＞r时，f′（x）＜0；当﹣r＜x＜r时，f′（x）＞0；因此，f（x）的单调递减区间为：（﹣∞，﹣r）、（r，+∞），递增区间为：（﹣r，r）；（2）由（1）的解答可得f′（x）=0，f（x）在（0，r）上单调递增，在（r，+∞）上单调递减，∴x=r是f（x）的极大值点，∴f（x）在（0，+∞）内的极大值为f（r）====1002015年安徽省高考数学试卷（文科）一、选择题（共10小题，每小题5分，满分50分）2015年普通高等学校招生全国统一考试（安徽卷）数学（文科）1．（5分）（2015?安徽）设i是虚数单位，则复数（1﹣i）（1+2i）=（）A．3+3i B．﹣1+3i C． 3+i D．﹣1+i2．（5分）（2015?安徽）设全集U={1，2，3，4，5，6}A={1，2}，B={2，3，4}，则A∩（?R B）=（）A．{1，2，5，6} B．{1} C． {2} D．{1，2，3，4}3．（5分）（2015?安徽）设p：x＜3，q：﹣1＜x＜3，则p是q成立的（）A．充分必要条件B．充分不必要条件C．必要不充分条件D．既不充分也不必要条件4．（5分）（2015?安徽）下列函数中，既是偶函数又存在零点的是（）A．y=lnx B．y=x2+1 C． y=sinx D．y=cosx5．（5分）（2015?安徽）已知x，y满足约束条件，则z=﹣2x+y的最大值是（）A．﹣1 B．﹣2 C．﹣5 D．16．（5分）（2015?安徽）下列双曲线中，渐近线方程为y=±2x的是（）A．x2﹣=1 B．﹣y2=1C．x2﹣=1D．﹣y2=17．（5分）（2015?安徽）执行如图所示的程序框图（算法流程图），输出的n为（）A．3B．4C． 5 D．68．（5分）（2015?安徽）直线3x+4y=b与圆x2+y2﹣2x﹣2y+1=0相切，则b=（）A．﹣2或12 B．2或﹣12 C．﹣2或﹣12 D．2或129．（5分）（2015?安徽）一个四面体的三视图如图所示，则该四面体的表面积是（）A．1+B．1+2C．2+D．210．（5分）（2015?安徽）函数f（x）=ax3+bx2+cx+d的图象如图所示，则下列结论成立的是（）A．a＞0，b＜0，c ＞0，d＞0 B．a＞0，b＜0，c ＜0，d＞0C． a＜0，b＜0，c ＜0，d＞0 D．a＞0，b＞0，c ＞0，d＜0二、填空题11．（3分）（2015?安徽）lg+2lg2﹣（）﹣1=．12．（3分）（2015?安徽）在△ABC中，AB=，∠A=75°，∠B=45°，则AC=．13．（3分）（2015?安徽）已知数列{a n}中，a1=1，a n=a n﹣1+（n≥2），则数列{a n}的前9项和等于．14．（3分）（2015?安徽）在平面直角坐标系xOy中，若直线y=2a与函数y=|x﹣a|﹣1的图象只有一个交点，则a 的值为．15．（3分）（2015?安徽）△ABC是边长为2的等边三角形，已知向量满足=2，=2+，则下列结论中正确的是．（写出所有正确结论得序号）①为单位向量；②为单位向量；③；④∥；⑤（4+）⊥．三、解答题16．（2015?安徽）已知函数f（x）=（sinx+cosx）2+cos2x（1）求f（x）最小正周期；（2）求f（x）在区间上的最大值和最小值．17．（2015?安徽）某企业为了解下属某部门对本企业职工的服务情况，随机访问50名职工，根据这50名职工对该部门的评分，绘制频率分布直方图（如图所示），其中样本数据分组区间为[40，50]，[50，60]，…，[80，90]，[90，100]（1）求频率分布图中a的值；（2）估计该企业的职工对该部门评分不低于80的概率；（3）从评分在[40，60]的受访职工中，随机抽取2人，求此2人评分都在[40，50]的概率．18．（2015?安徽）已知数列{a n}是递增的等比数列，且a1+a4=9，a2a3=8．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）设S n为数列{a n}的前n项和，b n=，求数列{b n}的前n项和T n．19．（2015?安徽）如图，三棱锥P﹣ABC中，PA⊥平面ABC，PA=1，AB=1，AC=2，∠BAC=60°．（1）求三棱锥P﹣ABC的体积；（2）证明：在线段PC上存在点M，使得AC⊥BM，并求的值．20．（2015?安徽）设椭圆E的方程为=1（a＞b＞0），点O为坐标原点，点A的坐标为（a，0），点B的坐标为（0，b），点M在线段AB上，满足|BM|=2|MA|，直线OM的斜率为．（1）求E的离心率e；（2）设点C的坐标为（0，﹣b），N为线段AC的中点，证明：MN⊥AB．21．（2015?安徽）已知函数f（x）=（a＞0，r＞0）（1）求f（x）的定义域，并讨论f（x）的单调性；（2）若=400，求f（x）在（0，+∞）内的极值．。

2015年合肥高考数学（文科）二模试题答案

2015年合肥⾼考数学（⽂科）⼆模试题答案 2015年⾼三第⼆次教学质量检测数学试卷答案⼀、选择题题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 D A B C A C B D D A ⼆、填空题 11. . 12. . 13.600. 14. . 15.②③. 三、解答题: 16.解(Ⅰ) , 在中, ,得 .……6分 (Ⅱ) ,由正弦定理得 , 即 ,得或 , 由知A 为锐⾓, .……12分⾼三数学(⽂)试题答案第2页(共4页) 17.解(Ⅰ)平均值为 . ………6分 (Ⅱ)基本事件有10种,满⾜条件的基本事件有6种由古典概型可得 .……12分 18.解(Ⅰ) 即 , ⼜ , ,即 ,所以数列是公⽐为2的等⽐数列. ⼜ . ………6分 (Ⅱ)依题意 , , 那么, ,两式相减得故 . ………12分 19.解(Ⅰ)在长⽅体ABCD-A1B1C1D1中,CD⊥平⾯BCC1B1 ∴CD⊥BE, ………3分⼜∵E 为线段CC1的中点,由已知得∽ ∴ ,⾼三数学(⽂)试题答案第3页(共4页) ∴ , 故BE⊥B1C, 且 ∴BE⊥平⾯B1CD, ⼜平⾯ ∴平⾯平⾯B1CD. ………7分 (Ⅱ)取线段A1B1的中点 M,线段BB1的中点 N, 连结C1M, C1N, MN,易得C1N∥BE, MN∥A1B, ⼜ , , 平⾯C1MN∥平⾯A1BE,故点P 为线段MN 上的动点,且C1P∥⾯A1BE. 要使得线段C1P 长度最⼩,则C1P MN. 在中,C1M =C1N= ,MN= ,易得C1P= . ………13分 20.解(Ⅰ)当时, , 由 ,得或 ∴在上为增函数,在上为减函数,在上为增函数. ∴的极⼩值为 , 的极⼤值为 . ………6分 (Ⅱ)由得或 ( ) 易得在上为增函数,在上为减函数,在上为增函数;⾼三数学(⽂)试题答案第4页(共4页) ①当时, ,此时在上为减函数, 在上为增函数 ②当时, ,此时在[0,3]上为减函数, . ………13分 21.解(Ⅰ) , ,由向量的坐标运算可得代⼊椭圆⽅程可得 ,得 ,即离⼼率 . ………6分 (Ⅱ)由(Ⅰ)可知 ,可得 ,点 , , 当△PAB ⾯积取最⼤值时,动点P 离直线AB 的距离最远设直线为椭圆E 的⼀条切线,且∥AB 由即 ,此时直线与直线AB 之间的距离即为动点P 到直线AB 的最远距离⼜直线AB: ,由两平⾏线间距离公式得此时因此椭圆E 的⽅程为 . ………13分⾼考语⽂考点⾼考数学考点⾼考英语考点⾼考理综考点⾼考⽂综考点⾼考语⽂复习资料⾼考数学复习资料⾼考英语复习资料⾼考理综复习资料⾼考⽂综复习资料⾼考语⽂模拟试题⾼考数学模拟试题⾼考英语模拟试题⾼考理综模拟试题⾼考⽂综模拟试题⾼考语⽂历年真题⾼考数学历年真题⾼考英语历年真题⾼考理综历年真题⾼考⽂综历年真题⾼考备考辅导；⾼考⾷谱⼤全；⾼考前必须做的事。

2015年普通高等学校招生全国统一考试数学理试题精品解析(安徽卷)

2015年高考安徽卷理数试题解析（精编版）（解析版）本试卷分第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分，第I 卷第1至第2页，第II 卷第3至第4页.全卷满分150分，考试时间120分钟.考生注意事项：1．答题前，务必在试卷、答题卡规定的地方填写自己的姓名、座位号，并认真核对答题卡上所粘贴的条形码中姓名、座位号与本人姓名、座位号是否一致.务必在答题卡背面规定的地方填写姓名和座位号后两位.2．答第I 卷时，每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.3．答第II 卷时，必须使用0.5毫米的黑色墨水签字笔在答题卡上．．．．书写，要求字体工整、笔迹清晰.作图题可先用铅笔在答题卡．．．规定的位置绘出，确认后再用0.5毫米的黑色墨水签字笔描清楚.必须在题号所指示的答题区域作答，超出答题区域书写的答案无效，在答题卷、草稿纸上答题无效．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．. 4．考试结束，务必将试卷和答题卡一并上交.参考公式：如果事件A 与B 互斥，那么()()()P A B P A P B +=+. 标准差222121[()()()]n s x x x x x x n =-+-++-L ，其中121()n x x x x n=+++L . 第Ⅰ卷（选择题共50分）一、选择题：本大题共10个小题；每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，有且只有一项是符合题目要求的.（1）设i 是虚数单位，则复数21i i-在复平面内所对应的点位于（）（A ）第一象限（B ）第二象限（C ）第三象限（D ）第四象限【答案】B【名师点睛】复数的四则运算问题主要是要熟记各种运算法则，尤其是除法运算，要将复数分母实数化（分母乘以自己的共轭复数），这也历年考查的重点；另外，复数z a bi =+在复平面内一一对应的点为(,)Z a b .（2）下列函数中，既是偶函数又存在零点的是（）（A ）y cos x = （B ）y sin x = （C ）y ln x = （D ）21y x =+（3）设:12,:21xp x q <<>，则p 是q 成立的（）（A ）充分不必要条件（B ）必要不充分条件（C ）充分必要条件（D ）既不充分也不必要条件（4）下列双曲线中，焦点在y 轴上且渐近线方程为2y x =±的是（）（A ）2214y x -= （B ）2214x y -= （C ）2214y x -= （D ）2214x y -=（5）已知m ，n 是两条不同直线，α，β是两个不同平面，则下列命题正确的是（）（A ）若α，β垂直于同一平面，则α与β平行（B ）若m ，n 平行于同一平面，则m 与n 平行（C ）若α，β不平行，则在α内不存在与β平行的直线（D ）若m ，n 不平行，则m 与n 不可能垂直于同一平面（6）若样本数据1x ，2x ，⋅⋅⋅，10x 的标准差为8，则数据121x -，221x -，⋅⋅⋅，1021x -的标准差为（）（A ）8 （B ）15 （C ）16 （D ）32（7）一个四面体的三视图如图所示，则该四面体的表面积是（）（A ）13+ （B ）23+（C ）122+ （D ）22（8）C ∆AB 是边长为2的等边三角形，已知向量a r ，b r 满足2a AB =u u u r r ，C 2a b A =+u u u r r r ，则下列结论正确的是（）（A ）1b =r （B ）a b ⊥r r （C ）1a b ⋅=r r （D ）()4C a b +⊥B u u u r r r（9）函数()()2ax bf x x c +=+的图象如图所示，则下列结论成立的是（）（A ）0a >，0b >，0c < （B ）0a <，0b >，0c >（C ）0a <，0b >，0c < （D ）0a <，0b <，0c <（10）已知函数()()sin f x x ωϕ=A +（A ，ω，ϕ均为正的常数）的最小正周期为π，当23x π= 时，函数()f x 取得最小值，则下列结论正确的是（）（A ）()()()220f f f <-< （B ）()()()022f f f <<-（C ）()()()202f f f -<< （D ）()()()202f f f <<-第Ⅱ卷（非选择题共100分）考生注意事项：请用0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上作答，在试题卷上答题无效.二．填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分.把答案填在答题卡的相应位置.（11）371()x x +的展开式中5x 的系数是 .（用数字填写答案）（12）在极坐标中，圆8sin ρθ=上的点到直线()3R πθρ=∈距离的最大值是 . 【答案】6 【解析】由题意2sin ρρθ=，转化为普通方程为228x y y +=，即22(4)16x y +-=；直线()3R πθρ=∈（13）执行如图所示的程序框图（算法流程图），输出的n 为 .（14）已知数列{}n a 是递增的等比数列，14239,8a a a a +==，则数列{}n a 的前n 项和等于 .（15）设30x ax b ++=，其中,a b 均为实数，下列条件中，使得该三次方程仅有一个实根的是 .（写出所有正确条件的编号）① 3,3a b =-=-；②3,2a b =-=；③3,2a b =->；④0,2a b ==；⑤1,2a b ==.与最值；函数零点问题考查时，要经常性使用零点存在性定理.三. 解答题：本大题共6小题，共75分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.解答写在答题卡上的指定区域内.（16）（本小题满分12分）在ABC ∆中，3,6,324A AB AC π===,点D 在BC 边上，AD BD =，求AD 的长.用数形结合的思想，找准需要研究的三角形，利用正弦、余弦定理进行解题.（17）（本小题满分12分）已知2件次品和3件正品放在一起，现需要通过检测将其区分，每次随机检测一件产品，检测后不放回，直到检测出2件次品或者检测出3件正品时检测结束.（Ⅰ）求第一次检测出的是次品且第二次检测出的是正品的概率；（Ⅱ）已知每检测一件产品需要费用100元，设X表示直到检测出2件次品或者检测出3件正品时所需要的检测费用（单位：元），求X的分布列和均值（数学期望）.（18）（本小题满分12分）设*n N ∈，n x 是曲线221n y x +=+在点(12)，处的切线与x 轴交点的横坐标.（Ⅰ）求数列{}n x 的通项公式；（Ⅱ）记2221321n n T x x x -=L ，证明14n T n≥.（19）（本小题满分13分）如图所示，在多面体111A B D DCBA ，四边形11AA B B ，11,ADD A ABCD 均为正方形，E 为11B D 的中点，过1,,A D E 的平面交1CD 于F.（Ⅰ）证明：1//EF B C ；（Ⅱ）求二面角11E A D B --余弦值.【答案】（Ⅰ）1//EF B C ；（Ⅱ）6. 【解析】(20)（本小题满分13分）设椭圆E 的方程为()222210x y a b a b+=>>，点O 为坐标原点，点A 的坐标为()0a ，，点B 的坐标为 ()0b ，，点M 在线段AB 上，满足2BM MA =，直线O M 的斜率为510. （I ）求E 的离心率e ；（II ）设点C 的坐标为()0b -，，N 为线段AC 的中点，点N 关于直线AB 的对称点的纵坐标为72，求 E 的方程. 【答案】（I ）55；（II ）221459x y +=. 【解析】试题分析：（I ）由题设条件，可得点M 的坐标为21(,)33a b ，利用OM k =，从而2b a =，进而得,2a c b ===，算出5c e a ==.（II ）由题设条件和（I ）的计算结果知，直线AB 的方程1y b+=，得出点N 的坐标为1,)22b -，设点N 关于直线AB 的对称点S 的坐标为17(,)2x ，则（21）（本小题满分13分）设函数2()f x x ax b =-+.（Ⅰ）讨论函数(sin )f x 在(,)22ππ-内的单调性并判断有无极值，有极值时求出极值；（Ⅱ）记2000()f x x a x b =-+，求函数0(sin )(sin )f x f x -在[]22ππ-,上的最大值D ；（Ⅲ）在（Ⅱ）中，取000a b ==，求24a z b =-满足D 1≤时的最大值.。

安徽2015届高考数学二轮复习之能力专项训练2Word版含

专题检测卷(二)A 组一、选择题1.(2012·湖北高考)方程x 2+6x+13=0的一个根是( ) (A)-3+2i (B)3+2i (C)-2+3i (D)2+3i2.如图所示的程序框图，执行后的结果是( )(A)34 (B)45(C)56 (D)673.(2012·荆门模拟)如果复数2bi1i-+(b ∈R ，i 为虚数单位)的实部和虚部互为相反数，则b 的值等于( ) (A)0 (B)1 (C)2 (D)34.已知非零向量a ，b 满足向量a +b 与向量a -b 的夹角为,2π那么下列结论中一定成立的是( )(A)|a |=|b | (B)a =b (C)a ⊥b (D)a ∥b5.阅读下面的程序框图，执行相应的程序，则输出的结果是( )(A)2 (B)-2 (C)3 (D)-36.执行如图所示的程序框图，若输出的b 的值为31，则图中判断框内①处应填( )(A)3？ (B)4？ (C)5？ (D)6？7.设复数z=1+2i(其中i 为虚数单位)，则2z 3z 的虚部为( ) (A)2i (B)0 (C)-10 (D)28.已知i 与j 为互相垂直的单位向量，a =i +2j ，b =-i +λj ,且a 与b 夹角为钝角，则λ的取值范围是( )(A)(-∞，12)(B)(12，+∞)(C)(-∞，-2)∪(-2，12)(D)(-2，23)∪(23，+∞)9.定义：|a×b|=|a|·|b|·sin θ,其中θ为向量a与b的夹角，若|a|=2,|b|=5,a·b=-6,则|a×b|等于( )(A)-8 (B)8 (C)-8或8 (D)610.已知结论：在正三角形ABC中，若D是边BC的中点，G是三角形ABC的重心，则AGGD=2.若把该结论推广到空间中，则有结论：在棱长都相等的四面体ABCD中，若△BCD的中心为M，四面体内部一点O到四面体各面的距离都相等，则AOOM等于( )(A)1 (B)2 (C)3 (D)4二、填空题11.(2012·湖北高考)已知向量a=(1,0)，b=(1,1)，则(1)与2a+b同向的单位向量的坐标表示为______;(2)向量b-3a与向量a夹角的余弦值为______.12.向量a=(cos 10°,sin 10°),b=(cos 70°,sin 70°),则｜a-2b｜=______.13.如果执行下面的程序框图，那么输出的S=______.14.(2012·十堰模拟)已知如下等式： 3-4=17(32-42)， 32-3×4+42=17(33+43)， 33-32×4+3×42-43=17(34-44)， 34-33×4+32×42-3×43+44=17(35+45)， ……则由上述等式可归纳得到3n -3n-1×4+3n-2×42-…+(-1)n 4n =______(n ∈N *).B 组一、选择题1.(2012·黄冈模拟)若复数a 3i12i++(a ∈R,i 为虚数单位)是纯虚数，则实数a=( )(A)-2 (B)4 (C)-6 (D)62.向量AB与向量a =(-3,4)的夹角为π,AB =10,若点A 的坐标是(1,2)，则点B 的坐标为( )(A)(-7,8) (B)(9，-4)(C)(-5,10) (D)(7，-6)3.阅读如图的程序框图，输出的结果s的值为( )(A)0(D)，若4.复平面内平行四边形OACB，其中O(0，0)，A(1，0)，C点对应复数为z，则z等于( )5.(2012·孝感模拟)阅读如图所示的算法框图，输出的结果S的值为( )6.已知z=1-i(i 是虚数单位)，则24z z+=( ) (A)2 (B)2i (C)2+4i (D)2-4i7.已知P 为边长为2的正方形ABCD 的内部一动点，若△PAB ，△PBC面积均不大于1,则AP BP的取值范围是( ) (A)［1322，) (B)(-1，2)(C)(0，12］ (D)(-1，1)8.(2012·衡阳模拟)类比“两角和与差的正弦公式”的形式，对于给定的两个函数：S(x)=a x -a -x ,C(x)=a x +a -x ,其中a ＞0,且a ≠1,下面正确的运算公式是( )①S(x+y)=S(x)C(y)+C(x)S(y)； ②S(x-y)=S(x)C(y)-C(x)S(y)； ③2S(x+y)=S(x)C(y)+C(x)S(y)； ④2S(x-y)=S(x)C(y)-C(x)S(y).(A)①② (B)③④ (C)①④ (D)②③9.在△OAB 中，OA , OB ,== a b OD 是AB 边上的高，若AD AB,=λ则实数λ=( )(A)()-- a a b a b (B)()-- a b a a b(C)()2-- a a b a b(D)()2-- a b a a b10.已知P 是边长为2的等边三角形ABC 的边BC 上的动点，则AP (AB AC)+ ( )(A)最大值为8 (B)是定值6 (C)最小值为2 (D)是定值2 二、填空题11.(2012·浙江高考)若某程序框图如图所示，则该程序运行后输出的值是____.12.若复数(a+i)2在复平面内对应的点在y 轴负半轴上，则实数a 的值是_____.13.(2012·襄阳模拟)已知向量a =(x 1,y 1),b =(x 2,y 2),c =(x 3,y 3)，定义运算“*”的意义为a *b =(x 1y 2,x 2y 1).则下列命题：①若a =(1,2),b =(3,4),则a *b =(6,4)；②a *b =b *a ；③(a *b )*c =a *(b *c )；④(a +b )*c =(a *c )+(b *c )中，正确的是______.14.(2012·陕西高考)观察下列不等式213122+＜ 221151,233++＜ 222111712344+++＜ ……照此规律，第五个不等式为_______________________.答案解析A 组1.【解析】选A.由题意可得，Δ=62-4〓13=-16，故x=64i2-±=-3〒2i ，故A 正确.2.【解析】选C.1＜4,A=2,3i=1+1=2,2＜4,A=3,4i=2+1=3,3＜4,A=4,5i=3+1=4,4=4,A=5,6i=4+1=5>4,输出5.6 3.【解析】选A.()()()2bi 1i 2b 2b i2bi ,2b 2b 1i 22----+-==-=++则，故选A. 4.【解析】选A.由题意知(a +b )·(a -b )=0, 即|a |2-|b |2=0,∴|a |=|b |.【方法技巧】求平面向量问题的两种思路思路一：把条件转化为平面向量的有关运算,使用相关结论求解. 思路二：当思路一难以获解时,可利用数形结合的思想,把相应条件转化为图形的关系.5.【解析】选D.由程序框图知 s=(-1)+2-3+4-5=-3.6.【解析】选B.第一次循环：b=3,a=2;第二次循环：b=7,a=3;第三次循环：b=15,a=4;第四次循环：b=31,a=5，此时循环结束，故选B.7.【解析】选D.易知z=1-2i,z 2=-3-4i,z =1+2i ， ∴2z 3z +=(-3-4i)+3(1+2i)=2i, 因此2z 3z +的虚部为2.8.【解析】选C.由题意知a =(1,2),b =(-1,λ)，a ·b <0⇔-1+2λ<0⇔λ<1.2当a 与b 的夹角为π时，λ+2=0即λ=-2.综上知,λ的取值范围是(-∞，-2)∪(-2，12). 9.【解析】选B.∵cos θ=63,255-==-⨯ a b a b ∴sin θ=4,5∴|a 〓b |=2〓5〓45=8.10.【解析】选C.设四面体内部一点O 到四面体各面都相等的距离为d,则由题意知d=OM,设各个面的面积为S ，则由等体积法得：4〓1S 3〓OM=1S 3·AM ，4OM=AM=AO+OM ，从而AO 3OM 1==3. 11.【解析】(1)∵2a +b =(2,0)+(1,1)=(3,1),∴|2a +b=则与2a +b 同向的单位向量为2|2|+=+a b a b (2)设所求夹角为θ. ∵向量b -3a =(-2,1),∴cos θ=(3)35-==-- a b a a b a答案：(1)(1010) (2)5- 12.【解析】∵a -2b =(cos 10°-2cos 70°,sin 10°-2sin 70°)， ∴|a -2b |=13.【解析】第一次循环：S=0+2=2,k=2；第二次循环：S=2+4=6,k=3；第三次循环：S=6+6=12,k=4；第四次循环：S=12+8=20,k=5；k=5>4,循环结束，输出S=20. 答案：2014.【解析】由归纳推理，可得原式=17［3n+1-(-4)n+1］(n ∈N *) 答案：17［3n+1-(-4)n+1］B 组1.【解析】选C.()()()()a 3i 12i a 3i a 6(32a)i 12i 12i 12i 55+-++-==+++-，故a+6=0且3-2a ≠0，解得a=-6.2.【解析】选D.设B(x,y),则AB=(x-1,y-2),根据题意可得()()224x 3y 10x 1y 2100,+=⎧⎪⎨-+-=⎪⎩，解得x 7y 6=⎧⎨=-⎩，或x 5y 10=-⎧⎨=⎩，，∴AB =(6,-8)或AB =(-6,8).又向量AB与a =(-3,4)反向，∴AB=(6,-8)，故B 的坐标为(7，-6).3.【解析】选B.令f(n)=n sin3π，则f(n)的函数值构成周期为6的数列，且f(1)+f(2)+f(3)+f(4)+f(5)+f(6)=0, 则f(1)+f(2)+…+f(2 011)=f(2 011)=f(1)=sin 3π=4.【解析】选B.OC OA OB 1=+-＝(，∴z ＝∴z 1=-5.【解析】选A.该程序的功能是计算2 2 009sin sinsin 333πππ++⋯+的值，根据周期性，这个算式中每连续6个的值等于0，故这个值等于前5个的和，即2345sin sinsin sin sin 33333πππππ++++=0. 6.【解析】选A.()224422i z 1i 2i z 1i==+=-=--，， ∴24z z+=2. 7.【解析】选D.如图所示:点P 在图中阴影部分时,△PAB ，△PBC 的面积均不大于1.当点P 分别是O ，E ，B ，F 时，AP BP分别等于0，-1，0，1，由于P 不能到达E ，B ，F 三点，故AP BP取值范围是(-1，1).8.【解析】选B.S(x)C(y)+C(x)S(y) =(a x -a -x )(a y +a -y )+(a x +a -x)(a y -a -y ) =2(a x+y -a -(x+y))=2S(x+y),同理 S(x)C(y)-C(x)S(y)=2S(x-y),故选B.9.【解析】选C.()OD OA AD =+=+λ-a b a =λb +(1-λ)a ,OD AB=［λb +(1-λ)a ］·(b -a )=λ(a -b )2-a ·(a -b )=0,故λ=()2.--·a a b a b10.【解析】选B.设BC 的中点为D ，则AB AC 2AD AD BP.+=⊥ ，∴AP (AB AC)AB BP 2AD 2AB AD 2AB ADcos BAD ++=∠＝()＝=2〓2〓2=6. 11.【解析】T ，i 关系如下表：所以输出的值为1.120答案：112012.【解析】(a+i)2=a 2-1+2ai,由题意知a 2-1=0且2a<0,∴a=-1. 答案：-113.【解析】利用已知中新定义，a =(1,2),b =(3,4),∴a *b =(4,6),命题①错;a *b =(x 1y 2,x 2y 1),b *a =(x 2y 1,x 1y 2),命题②错; (a *b )*c =(x 1y 2,x 2y 1)*(x 3,y 3)=(x 1y 2y 3,x 2y 1x 3), a *(b *c )=(x 1,y 1)*(x 2y 3,x 3y 2)=(x 1y 2x 3，x 2y 3y 1), ∴(a *b)*c ≠a *(b *c ),命题③错;(a +b )*c =(x 1+x 2,y 2+y 1)*(x 3,y 3)=(y 3(x 1+x 2),(y 2+y 1)x 3), (a *c )+(b *c )=(x 1y 3,x 3y 1)+(x 2y 3,x 3y 2)=(y 3(x 1+x 2),(y 2+y 1)x 3), 故命题④正确. 可知只有命题④正确. 答案：④14.【解析】左边的式子的通项是1+()222111,23n 1++⋯++右边的分母依次增加1，分子依次增加2，还可以发现右边分母与左边最后一项分母的关系，所以第五个不等式为2222211111111.234566+++++＜答案：2222211111111234566+++++＜。

(完整word)2015年安徽省高考数学试卷(文科)解析

2015年安徽省高考数学试卷（文科）一、选择题（共10小题，每小题5分，满分50分）2015年普通高等学校招生全国统一考试（安徽卷）数学（文科）1. （ 5分）（2015?安徽）设i 是虚数单位，则复数（1 - i ）（1+2i ）=（）A . 3+3iB . - 1+3iC . 3+iD . - 1+i2. (5 分)(2015?安徽)设全集 U={1 , 2, 3, 4, 5, 6}A={1 , 2}, B={2 , 3, 4},则 A n (?R B ) =( )A . {1, 2, 5, 6}B . {1}C . {2}D . {1, 2, 3, 4}3. （ 5 分）（2015?安徽）设 p ： x v 3, q ：- 1 v x v 3,贝U p 是 q 成立的（A .充分必要条件B .充分不必要条件D .既不充分也不必要条件4. （ 5分）（2015?安徽）下列函数中，既是偶函数又存在零点的是（）2A . y=lnxB . y=x +1C . y=sinxD . y=cosx5 .(5分)(2015?安徽)已知x,y 满足约束条件K+y ~ 4<0 ,则z= - 2x+y 的最大值是( )A . - 1B . - 2C . - 5D . 1C .必要不充分条件（5分）（2015?安徽）下列双曲线中,x 2-y 2=1渐近线方程为y=塑x 的是C .x 2-——=12D .-,=17. （ 5分）（2015?安徽）执行如图所示的程序框图（算法流程图），输出的门为（）、填空题第2页（共18页）& （ 5 分）（2015?安徽）直线 3x+4y=b 与圆 x 2+y 2 - 2x - 2y+1=0 相切，则 b=（）A . - 2 或 12B . 2 或-12C . - 2 或-12D . 2 或 129. （ 5分）（2015?安徽）一个四面体的三视图如图所示，则该四面体的表面积是（3 210 . （5分）（2015?安徽）函数f （x ） =ax +bx +cx+d 的图象如A . 1+ _ ；B . 1+2 ..：C . 2+ ：D . 2 ：：A . 3B . 4 1E （主）观圏恻〔左）视圏图所示，则下列结论成立的是B . a> 0, b v 0, c v 0, d > 0、填空题第2页（共18页）11. （3 分）（2015?安徽）lg +2lg2 -（_）「1 =2 212. （3 分）（2015?安徽）在厶 ABC 中，AB=V^, / A=75 ° / B=45 ° 贝U AC= _____________13（3分）（2015?安徽）已知数列｛a n ｝中，a 1=1 , a n 否叫Z ）,贝数列｛a n ｝的前9项和等于.14. （3分）（2015?安徽）在平面直角坐标系 xOy 中，若直线y=2a 与函数y=|x - a|- 1的图象只有一个交点，贝U a 的值为“=2.i+［■，则下列结论中正确的是 ________________ .（写出所有正确结论得序号）①且为单位向量；②b 为单位向量；③3丄b ；④R //BC ；⑤（佃晶）±BC .三、解答题216. （2015?安徽）已知函数 f （x ） = （sinx+cosx ） +cos2x（1 ）求f （x ）最小正周期；（2）求f （x ）在区间［D*芈］上的最大值和最小值.17. （2015?安徽）某企业为了解下属某部门对本企业职工的服务情况，随机访问50名职工,根据这50名职工对该部门的评分，绘制频率分布直方图（如图所示），其中样本数据分组区间为［40, 50］, ［50 , 60］,…，［80, 90］, ［90, 100］（1 ）求频率分布图中a 的值；（2）估计该企业的职工对该部门评分不低于80的概率；（3）从评分在［40 , 60］的受访职工中，随机抽取 2人，求此2人评分都在［40 , 50］的概率.15. （3 分）（2015?安徽） △ ABC 是边长为2的等边三角形，已知向量满足-=2 I19. ( 2015?安徽)如图，三棱锥 P - ABC 中，PA 丄平面 ABC ,PA=1 ,AB=1 ,AC=2，/ BAC=60(1 )求三棱锥 P -ABC 的体积；(2)证明：在线段 PC 上存在点M ，使得AC 丄BM ，并求£的值.20. (2015?安徽)设椭圆E 的方程为 —j-^=1 (a >b >0),点0为坐标原点，点 A 的坐标为(a , 0)，点B 的坐标为(0, b )，点M 在线段AB 上，满足|BM|=2|MA|，直线OM 的斜率为!，.L0(1 )求E 的离心率e ;(2)设点C 的坐标为(0,- b ), N 为线段AC 的中点，证明：MN 丄AB .21. (2015?安徽)已知函数 f (x )= 」-(a > 0, r > 0)(工+匸)1(1 )求f (x )的定义域，并讨论f (x )的单调性； (2)若-=400 ,求f ( 乂)在(0, + R )内的极值.T第4页(共18页)(2)设S 为数列｛a n ｝的前n 项和,b n =Sn S n+L，求数列｛b n ｝的前n 项和T n .(1)求数列｛a n ｝的通项公式;2015年安徽省高考数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题（共10小题，每小题5分，满分50分）2015年普通高等学校招生全国统一考试（安徽卷）数学（文科）1. （5分）（2015?安徽）设i是虚数单位，则复数（1 - i）（1+2i）=（）A . 3+3i B. - 1+3i C. 3+i D . - 1+i考点：复数代数形式的乘除运算.专题：数系的扩充和复数.分析：直接利用复数的多项式乘法展开求解即可.解答：解：复数（1 - i）（1+2i）=1+2 - i+2i=3+i .故选：C.点评：本题考查复数的代数形式的混合运算，基本知识的考查.2. （5 分）（2015?安徽）设全集U={1 , 2, 3, 4, 5, 6}A={1 , 2}, B={2 , 3, 4},则A n （?R B）=（）A. {1, 2, 5, 6}B. {1}C. {2}D. {1, 2, 3, 4}考点：交、并、补集的混合运算.专题：集合.分析：进行补集、交集的运算即可.解答：解：?R B={1 , 5, 6};••• A n （?R B）={1 , 2} n{1 , 5, 6}={1}. 故选：B.点评：考查全集、补集，及交集的概念，以及补集、交集的运算，列举法表示集合.3. （5 分）（2015?安徽）设p：x v 3, q：- 1 v x v 3,贝U p 是q 成立的（）A .充分必要条件B .充分不必要条件C.必要不充分条件 D .既不充分也不必要条件考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断.专题：简易逻辑.分析：判断必要条件与充分条件，推出结果即可.解答：解：设p：x v 3, q : - 1 v x v 3,则p成立，不一定有q成立，但是q成立，必有p 成立，所以p是q成立的必要不充分条件.故选：C.点评：本题考查充要条件的判断与应用，基本知识的考查.4. （5分）（2015?安徽）下列函数中，既是偶函数又存在零点的是（）考点：函数的零点；函数奇偶性的判断.专题：函数的性质及应用.分析：利用函数奇偶性的判断一件零点的定义分别分析解答.解答：解：对于A，y=lnx定义域为（0, +R）,所以是非奇非偶的函数；对于B，是偶函数，但是不存在零点；对于C, sin （- x）= - sinx,是奇函数；对于D, cos （- x）=cosx，是偶函数并且有无数个零点；故选：D点评：本题考查了函数奇偶性的判断以及函数零点的判断；判断函数的奇偶性首先要判断函数的定义域，在定义域关于原点对称的前提下判断 f （- x）与f （x）的关系.5. （5分）（2015?安徽）已知x,y满足约束条件y+y~ 4<0 ,则z= - 2x+y的最大值是（）考点：简单线性规划.专题：不等式的解法及应用.分析：首先画出平面区域，z= - 2x+y的最大值就是y=2x+z在y轴的截距的最大值. 解答：解：由已知不等式组表示的平面区域如图阴影部分，当直线y=2x+z经过A时使得z最大，由［l尸°得到A （1，1 ），{y=l所以z的最大值为-2X1+1= - 1 ；点评：本题考查了简单线性规划，画出平面区域，分析目标函数取最值时与平面区域的关系是关键.C . 2+ :■:考点：双曲线的简单性质.专题：圆锥曲线的定义、性质与方程.可得到答案.y= ± x ,a由A 可得渐近线方程为 y=翌x , 由B 可得渐近线方程为 y= ±x , |2由C 可得渐近线方程为 y= :x , 由D 可得渐近线方程为 y= — :x ._ 2故选：A .点评：本题考查双曲线的方程和性质，主要考查双曲线的渐近线方程的求法，属于基础题.7. （ 5分）（2015?安徽）执行如图所示的程序框图（算法流程图）A . 3B . 4C . 5考点：程序框图.2 =142—y 2=i 4 y=塑x 的是 2 亠=12分析: 由双曲线方程b > 0 ）的渐近线方程为y= ± x ,对选项一一判断即a解答：解：由双曲线方程'.=1 （a >0, b >0）的渐近线方程为，输出的门为（） 6. （ 5分）（2015?安徽）下列双曲线中，渐近线方程为2 aa(a > 0,专题：图表型；算法和程序框图.121.414|=0.00267 > 0.005，退出循环，输出n的值为4.解答：解：模拟执行程序框图，可得a=1，n=1满足条件|a—1.414|>0.005, , n=22满足条件|a—1.414|>0.005, a=L, n=35满足条件|a- 1.414|>0.005, a^, n=412不满足条件|a- 1.414|=0.00267 >0.005，退出循环，输出n的值为4.故选：B.点评：本题主要考查了循环结构的程序框图，正确写出每次循环得到的a, n的值是解题的关键，属于基础题.2 2& （5 分）（2015?安徽）直线3x+4y=b 与圆x +y - 2x - 2y+1=0 相切，则b=（）A . - 2 或12 B . 2 或-12 C . - 2 或-12 D . 2 或12考点：圆的切线方程.专题：计算题；直线与圆.分析：由直线与圆相切得到圆心到直线的距离d=r，禾U用点到直线的距离公式列出方程，求出方程的解即可得到b的值.2 2 2 2 解答：解：x +y - 2x - 2y+1=0 可化为（x - 1）+ （y - 1）=1•••直线3x+4y=b 与圆x2+y2- 2x - 2y+1=0 相切，| 34-Q - k> I•••圆心（1, 1）到直线的距离d= =1 ,V9+16解得：b=2或12 .故选：D.点评：此题考查了直线与圆的位置关系，当直线与圆相切时，圆心到直线的距离等于圆的半径.9. （5分）（2015?安徽）一个四面体的三视图如图所示，则该四面体的表面积是（测（左）视图C . 2+ :■:专题：空间位置关系与距离.分析：判断得出三棱锥O - ABC , 0E丄底面ADC , EA=ED=1 , OE=1 , AB=BC=f?務,AB丄BC, 可判断；△ OAB OBC的直角三角形，运用面积求解即可.考点：由三视图求面积、体积.解答:三棱锥0 - ABC , 0E丄底面ADC , EA=ED=1 , 0E=1 , AB=BC= :■:••• AB 丄BC ,•••可判断；△ OAB ◎△ OBC的直角三角形，S A OAC=S A ABC』X 2X1 =1 ,S A OAB=S A OBC4该四面体的表面积：2…「；，故选：C.点评：本题考查了三棱锥的三视图的运用，关键是恢复几何体的直观图，考查了学生的空间思维能力.3 210. （5分）（2015?安徽）函数f （x）=ax +bx +cx+d的图象如图所示，则下列结论成立的是（）C . 2+ :■:6X,/口X考点：函数的图象. 专题：函数的性质及应用.分析：根据函数的图象和性质，利用排除法进行判断即可. 解答：解：f (0) =d >0，排除D ,当 X i +8时，y f +g, ••• a > 0,排除 C , 函数的导数 f' (x ) =3ax 2+2bx+c , 则f ' (x ) =0有两个不同的正实根，则 f ' (0) =c > 0,排除 B , 故选：A点评：本题主要考查函数图象的识别和判断，根据函数图象的信息，结合函数的极值及 (0)的符号是解决本题的关键.二、填空题11. （3 分）（2015?安徽）lg 二+2lg2 -（ = ） 4= - 1 乙 £考点：对数的运算性质. 专题：函数的性质及应用.分析：利用对数的运算法则以及负指数幕的运算化简各项，利用lg2+lg5=1化简求值.解答：解：原式=lg5 - lg2+2lg2 - 2=lg5+lg2 - 2=lg10 - 2=1 - 2= - 1; 故答案为：-1. 点评：本题考查了对数的运算以及负指数幕的运算；用到了 lg2+lg5=1 .考点：正弦定理.专题：解三角形.分析：由三角形的内角和定理可得角解答：解：/ A=75 ° / B=45 °贝U / C=180 °- 75 °- 45°=60°,由正弦定理可得,A0AC sin60^ sin45eA . a >0, b v 0, c >0, d >0B . a > 0, b v 0, c v 0, d > 0C . a v 0, b v 0, c v 0, d > 0D . a > 0, b >0, c >0, d v 012. (3 分)(2015?安徽)在△ ABC 中，AB= 一 1/ A=75 °/ B=45 ° 贝U AC=C ,再由正弦定理，计算即可得到 AC .'2百2故答案为：2.点评：本题考查正弦定理的运用，同时考查三角形的内角和定理，考查运算能力，属于基础题.13. （3分）（2015?安徽）已知数列｛a n｝中，a i=1, a n=a n-1冷（n丝），则数列｛a n｝的前9项和等于27 .通过a n=a n-1+ （n多）可得公差，进而由求和公式即得结论.2解：• a n=a n-1 （n ）,21 1a n-1L14. （3分）（2015?安徽）在平面直角坐标系xOy中，若直线y=2a与函数y=|x —a|—1的图象只有一个交点，则a的值为_ -丄.考点：专题：函数的零点与方程根的关系.函数的性质及应用.由已知直线y=2a与函数y=|x —a|—1的图象特点分析一个交点时，两个图象的位置，确定a.考点：数列递推式.专题：等差数列与等比数列. 分析：解答:点评: •••数列｛a n｝的公差d1-,又a i=i,• a n=1+& (n - 1)=臼敦＜9-DS9=9a i+I~,2故答案为：27.本题考查等差数列的求和，注意解题方法的积累，属于基础题. 即有AC==2.?d=9+36解答：解：由已知直线y=2a是平行于x轴的直线，函数y=|x —a|—1的图象是折线，所以直线y=2a 过折线顶点时满足题意，所以2a= —1，解得a=—故答案为：_•| 2点评：本题考查了函数的图象；考查利用数形结合求参数.15. ( 3分)(2015?安徽)△ ABC是边长为2的等边三角形，已知向量巳、b满足忑恳，则下列结论中正确的是①④⑤.(写出所有正确结论得序号)①日为单位向量；②b为单位向量；③a _L b ；④R//EC；⑤(4色花)丄EC.考点：平面向量数量积的运算.专题：平面向量及应用.分析：利用向量的三角形法则以及向量数量积的公式对各结论分别分析选择.解答：—一一| r r 解：△ ABC是边长为2的等边三角形，已知向量直、b满匝^ =2色，AC =2n+b ,则鼻寺忑,AB=2，所以|自|=1,即;a是单位向量；①正确；因为上2-".，所以(一宀故h'.|=2;故②错误；④正确；了夹角为120 °故④错误；⑤ (4^+b) ?BC=4 旦・b十l；=4 X1 >2 >Cos120°+4= —4+4=0 ;故⑤ 正确.故答案为：①④⑤.点评：本题考查了向量的数量积运用；注意三角形的内角与向量的夹角的关系.三、解答题216. (2015?安徽)已知函数f (x) = (sinx+cosx) +cos2x(1 )求f (x)最小正周期；TT(2)求f (x)在区间［0,-歹］上的最大值和最小值.考点：三角函数的最值；三角函数的周期性及其求法.专题：三角函数的图像与性质.分析：(1)由条件利用三角恒等变换求得 f (x)的解析式，再利用正弦函数的周期性求得f ( x )最小正周期.TT(2)由条件利用正弦函数的定义域和值域，求得 f (x)在区间［0,―扌］上的最大值和最小值.解答:解答解：(1) •••函数f (x) (sin x+cosx)2+cos2x=1+s in 2x+cos2x=1 +点评：本题主要考查三角恒等变换，正弦函数的周期性、定义域和值域，属于中档题.17. (2015?安徽)某企业为了解下属某部门对本企业职工的服务情况，随机访问50名职工,根据这50名职工对该部门的评分，绘制频率分布直方图 (如图所示)，其中样本数据分组区间为［40, 50］, ［50 , 60］,…，［80, 90］, ［90, 100］ (1 )求频率分布图中a 的值； (2) 估计该企业的职工对该部门评分不低于80的概率； (3)从评分在［40 , 60］的受访职工中，随机抽取2人，求此2人评分都在［40 , 50］的概率.考点：频率分布直方图. 专题：概率与统计.分析：(1)利用频率分布直方图中的信息，所有矩形的面积和为 1，得到a ;(2) 对该部门评分不低于 80的即为90和100,的求出频率，估计概率； (3)求出评分在［40 , 60］的受访职工和评分都在［40, 50］的人数，随机抽取 2人，列举法求出所有可能，利用古典概型公式解答.解答：解：(1)因为(0.004+a+0.018+0.022 >2+0.028) X10=1，解得 a=0.006;(2)由已知的频率分布直方图可知，50名受访职工评分不低于 80的频率为 (0.022+0.018) >0=4，所以该企业职工对该部门评分不低于80的概率的估计值为0.4; (3)受访职工中评分在［50 , 60)的有：50».006»0=3 (人)，记为A 1, A 2, A 3；受访职工评分在［40, 50)的有：50».004»0=2 (人)，记为B 1, B 2. 从这5名受访职工中随机抽取 2人，所有可能的结果共有10种，分别是{A 1, A 2}, {A 1, A 3} , {A 1, B 1}, {A 1, B 2}, {A 2, A 3} , {A 2, B 1}, {A 2 ,B 2} , {A 3 , B 1}, {A 3 , B 2}, {B 1 , B 2},又因为所抽取2人的评分都在［40, 50)的结果有1种，即{B 1, B 2},兀 J -H 4 | 2时，f (x )取得最大值为当2x+2H = n—n.| 2 (2)在区间［0, *］上，2x+ 小值为1+；(——£) =0,2］，故当2x+. 4时，f (x )取得最它的最小正周期为jyeoo con>10点评：本题考查了频率分布直方图的认识以及利用图中信息求参数以及由频率估计概率，考查了利用列举法求满足条件的事件，并求概率.18. (2015?安徽)已知数列｛a n ｝是递增的等比数列，且 a i +a 4=9 , a 2a 3=8.(1)求数列｛a n ｝的通项公式；解：(1) T 数列｛a n ｝是递增的等比数列，且a 1+a 4=9, a 2a 3=8.a1+a 4=9,a 1a 4=8 .解得解得12n41 - 1本题主要考查数列的通项公式以及数列求和的计算，利用裂项法是解决本题的关键.19. ( 2015?安徽)如图，三棱锥 P - ABC 中，PA 丄平面 ABC ,PA=1 ,AB=1 ,AC=2，/ BAC=60(1 )求三棱锥 P -ABC 的体积；(2)证明：在线段 PC 上存在点M ，使得AC 丄BM ，并求£的值.(2)设&为数列｛a n ｝的前n 项和,bn= "ISn Sn-Fl，求数列｛b n ｝的前n 项和T n .考点：数列的求和. 专题：等差数列与等比数列. 分析：(1)根据等比数列的通项公式求出首项和公比即可，求数列｛a n ｝的通项公式;(2)求出b n =S n Sn+l，利用裂项法即可求数列｛b n ｝的前n 项和T n .解答: a 1=1, a 4=8 或 a 1=8, a 4=1 (舍)， q=2，即数列｛a n ｝的通项公式a n =2 n 1;(1-Q r )…数列｛b n ｝的前 n 项和 T n ^^^ -十—」二+5 ] d•• +11Sn+1=1 -点评: 故所求的概率为 P=—— 1,Sn+1n Sn+1考点：棱柱、棱锥、棱台的体积；点、线、面间的距离计算.(1) 利用V P_ABC」？SA ABC ?PA ，求三棱锥P -ABC 的体积；3(2) 过B 作BN 丄AC ，垂足为N ，过N 作MN // PA ,交PA 于点M ，连接BM ，证明AC 丄平面MBN ，可得AC 丄BM ，利用MN 〃 PA ，求制值. (2)由PA 丄平面 ABC ，知PA 丄AC ，所以 MN 丄AC , 因为BN AMN=N ，所以AC 丄平面 MBN . 因为BM?平面 MBN ，所以 AC 丄BM . 在直角△ BAN 中，AN=AB ?cos / BAC=二,2从而 NC=AC - AN=±.2专题：综合题；空间位置关系与距离. 分析：解答:(1) 可得解：由题设， AB=1 , AC=2 , / BAC=60 °2因为所以 S A ABC =*AB•或甬Q" PA 丄平面 ABC , PA=1, 1V P-ABC = ?S A ABC ?PA='3爲解：过B 作BN 丄AC ，垂足为N ,过N 作MN // PA ，交PA 于点M ，连接BM , F由MN〃pA彳罟爭二点评：本题考查三棱锥P- ABC的体积的计算，考查线面垂直的判定与性质的运用，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题.20. （2015?安徽）设椭圆E 的方程为七+七=1 （a >b >0）,点O 为坐标原点，点 A 的坐标为（a , 0），点B 的坐标为（0, b ），点M 在线段AB 上，满足|BM|=2|MA|，直线OM 的斜率为二.L0（1 ）求E 的离心率e ;（2）设点C 的坐标为（0,- b ）, N 为线段AC 的中点，证明：MN 丄AB .考点：直线与圆锥曲线的关系；椭圆的标准方程；椭圆的简单性质.专题：圆锥曲线的定义、性质与方程.分析：（1）通过题意，利用=4=2”〔，可得点M 坐标，利用直线 OM 的斜率为［，,计算即 10得结论；（2）通过中点坐标公式解得点 N 坐标，利用-「？.丫=0即得结论.解答：(1)解：设 M(x , y ) , •/ A (a , 0)、B (0, b ),点 M 在线段 AB 上且|BM|=2|MA| , •••二=2"「，即(x - 0, y - b ) =2 ( a - x , 0- y ),3! ■ • L ，= ■• • = , 10 • a=-・b , c= . ： i J =2b ,•椭圆E 的离心率e=-==^ a 5（2）证明：•••点C 的坐标为（0,- b ） , N 为线段AC 的中点,由（1）可知a 2=5b 2 ,故-?匚=0,即MN 丄AB .点评：本题考查运用向量知识解决圆锥曲线的性质，考查运算求解能力、注意解题方法的积累，属于中档题.又•/直线OM 的斜率为2a 10解得x==, ，即M （M a ，”）,21. （2015?安徽）已知函数f （x）= ' - （a> 0 , r > 0）（心1（1 ）求f （x）的定义域，并讨论f （x）的单调性；第16页（共18页）(2)若_!=400,求f ( 乂)在(0, + R )内的极值. r考点：利用导数研究函数的极值；利用导数研究函数的单调性. 专题：函数的性质及应用；导数的综合应用.分析：(1)通过令分母不为 0即得f ( x )的定义域，通过求导即得(2)通过(1)知x=r 是f (x )的极大值点，计算即可.解答： “解：(1) •••函数 f (x )= -------- -- ---- -(a > 0, r > 0),(灶r)2 ••• XM - r ，即 f (x )的定义域为(-g,- r ) U (- r , + ^).•••当 x v — r 或 x > r 时，f' (x )v 0;当—r v x v r 时，f (x ) > 0; 因此，f (x )的单调递减区间为：(-g,- r )、(r , +g),递增区间为：(-r , r );(2)由(1)的解答可得f ' (x ) =0, f (x )在(0, r ) 上单调递增，在(r , +g) 上单调递减，• x=r 是f (x )的极大值点，+ g)内的极大值为 f (「)=幽「临P=10° .点评：本题考查函数的定义域、单调区间、极值，注意解题方法的积累，属于中档题.= 謎 . - 」• (心2 x 2+2ri+r 2 又•/ f (x ) =呂3卫+加奸匕')一&直t2x+2r) a Cr - x) Cs+r ) (i 2t2rx+r 2) 2 4•- f' (x )f (x )的单调区间;第18页（共18页）参与本试卷答题和审题的老师有：qiss；wkl197822 ; changq;双曲线；W3239003 ;刘长柏; sdpyqzh; maths；cst；caoqz （排名不分先后）菁优网2015年6月11日。

安徽2015年高考数学二轮小专题复习之落实应用47Word版

压轴大题突破练(一)(推荐时间：60分钟)1．已知函数f (x )＝x 2－(2a ＋1)x ＋a ln x (a >0)．(1)当a ＝1时，求函数f (x )的单调增区间；(2)求函数f (x )在区间[1，e]上的最小值．解 (1)a ＝1时，f (x )＝x 2－3x ＋ln x ，定义域为(0，＋∞)，f ′(x )＝2x －3＋1x，令f ′(x )>0， ∴2x 2－3x ＋1>0(x >0)，∴0<x <12或x >1， ∴f (x )的单调增区间为⎝⎛⎭⎫0，12，(1，＋∞)． (2)f (x )＝x 2－(2a ＋1)x ＋a ln x ，f ′(x )＝2x －(2a ＋1)＋a x ＝2x 2－(2a ＋1)x ＋a x＝(2x －1)(x －a )x. ①当0<a ≤12时，f (x )在(0，a )，⎝⎛⎭⎫12，＋∞上递增， ∴f (x )在[1，e]上单调递增，∴f (x )min ＝f (1)＝－2a ，②当12<a ≤1时，f (x )在[1，e]上单调递增， ∴f (x )min ＝f (1)＝－2a ，③当1<a <e 时，f (x )在[1，a )上单调递减，在(a ，e)上单调递增，∴f (x )min ＝f (a )＝－a 2－a ＋a ln a .④当a ≥e 时，f (x )在[1，e]上递减，∴f (x )min ＝f (e)＝e 2－(2a ＋1)e ＋a .综上所述：0<a ≤1时，f (x )min ＝－2a ；1<a <e 时，f (x )min ＝－a 2－a ＋a ln a ；a ≥e 时，f (x )min ＝e 2－(2a ＋1)e ＋a .2．已知抛物线x 2＝4y ，过点A (0,1)任意作一条直线l 交抛物线C 于M ，N 两点，O 为坐标原点．(1)求OM →·ON →的值；(2)过M ，N 分别作抛物线C 的切线l 1， l 2，试探求l 1与l 2的交点是否在定直线上，并证明你的结论．解 (1)由题意知直线l 的斜率存在，设直线l 的方程为y ＝kx ＋1，M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，联立方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋1，x 2＝4y ，消去y 得x 2－4kx －4＝0，所以x 1＋x 2＝4k ， x 1x 2＝－4，y 1y 2＝(kx 1＋1)(kx 2＋1)＝k 2x 1x 2＋k (x 1＋x 2)＋1＝－4k 2＋4k 2＋1＝1，故OM →·ON →＝x 1x 2＋y 1y 2＝－4＋1＝－3.(2)因为x 2＝4y ，所以y ′＝12x ， l 1的方程为y －x 214＝12x 1(x －x 1)，整理得y ＝12x 1x －x 214，同理得l 2的方程为y ＝12x 2x －x 224；联立方程⎩⎨⎧ y ＝12x 1x －x 214， ①y ＝12x 2x －x 224， ②x 2×①－x 1×②得(x 2－x 1)y ＝x 1x 2(x 2－x 1)4， y ＝x 1x 24＝－1，故l 1与l 2的交点的纵坐标等于－1，即l 1与l 2的交点在直线y ＝－1上．3．已知函数f (x )＝ax 3＋bx 2－3x 在x ＝±1处取得极值．(1)求函数f (x )的解析式；(2)求证：对于区间[－1,1]上任意两个自变量的值x 1，x 2，都有|f (x 1)－f (x 2)|≤4；(3)若过点A (1，m )(m ≠－2)可作曲线y ＝f (x )的三条切线，求实数m 的取值范围．(1)解 f ′(x )＝3ax 2＋2bx －3，依题意，f ′(1)＝f ′(－1)＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧3a ＋2b －3＝0，3a －2b －3＝0，解得a ＝1，b ＝0.∴f (x )＝x 3－3x .(2)证明 ∵f (x )＝x 3－3x ，∴f ′(x )＝3x 2－3＝3(x ＋1)(x －1)，当－1<x <1时，f ′(x )<0，故f (x )在区间[－1,1]上为减函数，f (x )max ＝f (－1)＝2，f (x )min ＝f (1)＝－2.∵对于区间[－1,1]上任意两个自变量的值x 1，x 2，都有|f (x 1)－f (x 2)|≤|f (x )max －f (x )min |＝2－(－2)＝4.(3)解 f ′(x )＝3x 2－3＝3(x ＋1)(x －1)，∵曲线方程为y ＝x 3－3x ，∴点A (1，m )(m ≠－2)不在曲线上．设切点为M (x 0，y 0)，则点M 的坐标满足y 0＝x 30－3x 0.因f ′(x 0)＝3(x 20－1)，故切线的斜率为3(x 20－1)＝x 30－3x 0－m x 0－1，整理得2x 30－3x 20＋m ＋3＝0.∵过点A (1，m )可作曲线的三条切线，∴关于x 0的方程2x 30－3x 20＋m ＋3＝0有三个实根．设g (x 0)＝2x 30－3x 20＋m ＋3，则g ′(x 0)＝6x 20－6x 0，由g ′(x 0)＝0，得x 0＝0或x 0＝1.∴g (x 0)在(－∞，0)和(1，＋∞)上单调递增，在(0,1)上单调递减．∴函数g (x 0)＝2x 30－3x 20＋m ＋3的极值点为x 0＝0，x 0＝1.∴关于x 0的方程2x 30－3x 20＋m ＋3＝0有三个实根的充要条件是⎩⎪⎨⎪⎧g (0)>0，g (1)<0，解得－3<m <－2. 故所求的实数m 的取值范围是(－3，－2)．4．已知点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)是抛物线y 2＝4x 上相异的两点，且满足x 1＋x 2＝2.(1)若AB 的中垂线经过点P (0,2)，求直线AB 的方程；(2)若AB 的中垂线交x 轴于点M ，求△AMB 的面积的最大值及此时直线AB 的方程．解 (1)当AB 垂直于x 轴时，显然不符合题意，所以可设直线AB 的方程为y ＝kx ＋b ，代入方程y 2＝4x 得：k 2x 2＋(2kb －4)x ＋b 2＝0，有x 1＋x 2＝4－2kb k 2＝2得b ＝2k－k ， ∴直线AB 的方程为y ＝k (x －1)＋2k， ∵AB 中点的横坐标为1，∴AB 中点的坐标为⎝⎛⎭⎫1，2k ， ∴AB 的中垂线方程为y ＝－1k (x －1)＋2k ＝－1k x ＋3k， ∵AB 的中垂线经过点P (0,2)，故3k ＝2得k ＝32，故直线AB 的方程y ＝32x －16，即9x －6y －1＝0. (2)由(1)可知AB 的中垂线方程为y ＝－1k x ＋3k， ∴M 点的坐标为(3,0)．∵直线AB 的方程为k 2x －ky ＋2－k 2＝0，∴M 到直线AB 的距离d ＝|3k 2＋2－k 2|k 4＋k 2＝2k 2＋1|k |，由⎩⎪⎨⎪⎧k 2x －ky ＋2－k 2＝0y 2＝4x 得k 24y 2－ky ＋2－k 2＝0， y 1＋y 2＝4k ，y 1y 2＝8－4k 2k2， |AB |＝1＋1k 2|y 1－y 2|＝41＋k 2k 2－1k 2， ∴S △AMB ＝4⎝⎛⎭⎫1＋1k 21－1k 2，设1－1k 2＝t ，则0<t <1，S ＝4t (2－t 2)＝－4t 3＋8t ，S ′＝－12t 2＋8，由S ′＝0，得t ＝63，即k ＝±3时，S max ＝1669，直线AB 的方程为3x ±3y －1＝0.。

2015届高考数学(文科,通用)二轮复习突破练高考中档大题规范练(二) Word版含答案

高考中档大题规范练(二)——数列(推荐时间：60分钟)1．已知{a n }为等差数列，且a 2＝－1，a 5＝8. (1)求数列{|a n |}的前n 项和； (2)求数列{2n ·a n }的前n 项和．解 (1)设等差数列{a n }的公差为d ，因为a 2＝－1，a 5＝8，所以⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋d ＝－1，a 1＋4d ＝8，解得a 1＝－4，d ＝3，所以a n ＝－4＋3(n －1)＝3n －7，因此|a n |＝|3n －7|＝⎩⎪⎨⎪⎧－3n ＋7，n ＝1，2，3n －7，n ≥3记数列{|a n |}的前n 项和为S n ，当n ＝1时，S 1＝|a 1|＝4，当n ＝2时，S 2＝|a 1|＋|a 2|＝5，当n ≥3时，S n ＝S 2＋|a 3|＋|a 4|＋…＋|a n |＝5＋(3×3－7)＋(3×4－7)＋…＋(3n －7) ＝5＋(n －2)[2＋3n －7]2＝32n 2－112n ＋10.又当n ＝2时满足此式，综上，S n ＝⎩⎪⎨⎪⎧4，n ＝1，32n 2－112n ＋10，n ≥2.(2)记数列{2n ·a n }的前n 项和为T n ，则T n ＝2a 1＋22a 2＋23a 3＋…＋2n a n ， 2T n ＝22a 1＋23a 2＋24a 3＋…＋2n a n －1＋2n ＋1a n ，所以－T n ＝2a 1＋d (22＋23＋…＋2n )－2n ＋1a n .由(1)知，a 1＝－4，d ＝3，a n ＝3n －7，所以－T n ＝－8＋3×4(1－2n －1)1－2－(3n －7)×2n ＋1＝－20－(3n －10)×2n ＋1，故T n ＝20＋(3n －10)×2n ＋1.2．已知函数f (x )＝14x ＋2(x ∈R )．(1)证明：f (x )＋f (1－x )＝12；(2)若数列{a n }的通项公式为a n ＝f (nm )(m ∈N *，n ＝1,2，…，m )，求数列{a n }的前m 项和S m ；(3)设数列{b n }满足b 1＝13，b n ＋1＝b 2n ＋b n ，T n ＝1b 1＋1＋1b 2＋1＋…＋1b n ＋1，若(2)中的S m 满足对不小于2的任意正整数m ，S m <T n 恒成立，试求m 的最大值． (1)证明因为f (x )＝14x ＋2，所以f (1－x )＝141－x ＋2＝4x 4＋2·4x ＝4x2(4x ＋2).所以f (x )＋f (1－x )＝14x ＋2＋4x2(4x ＋2)＝2＋4x 2(4x ＋2)＝12. (2)解由(1)，知f (x )＋f (1－x )＝12，所以f (k m )＋f (1－k m )＝12(1≤k ≤m －1)(k ∈N *)，即f (k m )＋f (m －k m )＝12.由题设知，a n ＝f (n m )，所以a k ＋a m －k ＝12，a m ＝f (m m )＝f (1)＝16.又S m ＝a 1＋a 2＋…＋a m －1＋a m ，① S m ＝a m －1＋a m －2＋…＋a 1＋a m ，②由①＋②，得2S m ＝(m －1)×12＋2a m ＝m 2－16，即S m ＝m 4－112(m ∈N *)．(3)解由b 1＝13，b n ＋1＝b 2n ＋b n ＝b n (b n ＋1)，显然对任意n ∈N *，b n >0，则1b n ＋1＝1b n (b n ＋1)＝1b n －1b n ＋1，即1b n ＋1＝1b n －1b n ＋1，所以T n ＝(1b 1－1b 2)＋(1b 2－1b 3)＋…＋(1b n －1b n ＋1)＝1b 1－1b n ＋1＝3－1b n ＋1. 因为b n ＋1－b n ＝b 2n >0，所以b n ＋1>b n ，即数列{b n }是单调递增数列．所以T n 关于n 递增，所以当n ∈N *时，T n ≥T 1.因为b 1＝13，b 2＝(13)2＋13＝49，所以T n ≥T 1＝3－1b 2＝34.由题意，知S m <34，即m 4－112<34，解得m <103，所以m 的最大值为3.3．设数列{a n }的前n 项和为S n ，满足2S n ＝a n ＋1－2n ＋1＋1，n ∈N *，且a 1＝1，设数列{b n }满足b n ＝a n ＋2n .(1)求证数列{b n }为等比数列，并求出数列{a n }的通项公式； (2)若数列c n ＝6n －3b n，T n 是数列{c n }的前n 项和，证明T n <3.(1)解当n ≥2时，由⎩⎪⎨⎪⎧2S n ＝a n ＋1－2n ＋1＋12S n －1＝a n －2n＋1⇒2a n ＝a n ＋1－a n －2n ，所以a n ＋1＝3a n ＋2n ，从而b n ＋1＝a n ＋1＋2n ＋1＝3(a n ＋2n )＝3b n ，故{b n }是以3为首项，3为公比的等比数列， b n ＝a n ＋2n ＝3×3n －1＝3n ，a n ＝3n －2n (n ≥2)，因为a 1＝1也满足，于是a n ＝3n －2n . (2)证明 c n ＝6n －3b n ＝2n －13n －1，则T n ＝130＋331＋532＋…＋2n －33n －2＋2n －13n －1，①13T n ＝131＋332＋533＋…＋2n －33n －1＋2n －13n ，② ①－②得，23T n ＝130＋231＋232＋…＋23n －1－2n －13n ＝1＋23·1－13n －11－13－2n －13n ＝2－13n －1－2n －13n ＝2－2(n ＋1)3n，故T n ＝3－n ＋13n －1<3.4．已知单调递增数列{a n }的前n 项和为S n ，满足S n ＝12(a 2n ＋n )．(1)求数列{a n }的通项公式；(2)设c n ＝⎩⎪⎨⎪⎧1a 2n ＋1－1，n 为奇数，3×2a n －1＋1，n 为偶数，求数列{c n }的前n 项和T n .解 (1)n ＝1时，a 1＝12(a 21＋1)，得a 1＝1，当n ≥2时，S n －1＝12(a 2n －1＋n －1)，得a n ＝S n －S n －1＝12(a 2n －a 2n －1＋1)，化简得(a n －1)2－a 2n －1＝0，a n －a n －1＝1或a n ＋a n －1＝1(n ≥2)，又{a n }是单调递增数列，故a n －a n －1＝1，所以{a n }是首项为1，公差为1的等差数列，故a n ＝n . (2)c n ＝⎩⎪⎨⎪⎧1a 2n ＋1－1，n 为奇数，3×21n a -＋1，n 为偶数，当n 为偶数时，T n ＝(c 1＋c 3＋…＋c n －1)＋(c 2＋c 4＋…＋c n ) ＝(122－1＋142－1＋…＋1n 2－1)＋3×(21＋23＋…＋2n －1)＋n 2＝11×3＋13×5＋…＋1(n －1)×(n ＋1)＋3×2(1－42n)1－4＋n 2＝12×(11－13＋13－15＋…＋1n －1－1n ＋1)＋2×(42n－1)＋n 2＝2n ＋1＋n 2－2n －42(n ＋1). 当n 为奇数时，T n ＝(c 1＋c 3＋…＋c n )＋(c 2＋c 4＋…＋c n －1) ＝[122－1＋142－1＋…＋1(n ＋1)2－1]＋3×(21＋23＋…＋2n －2)＋n －12 ＝12×(11－13＋13－15＋…＋1n －1n ＋2)＋2×(412n -－1)＋n －12＝2n ＋n 2－2n －92(n ＋2).所以T n＝⎩⎪⎨⎪⎧2n＋n 2－2n －92(n ＋2)，n 为奇数，2n ＋1＋n 2－2n －42(n ＋1)，n 为偶数.5．已知函数f (x )＝2x ＋33x ，数列{a n }满足a 1＝1，a n ＋1＝f (1a n )，n ∈N *.(1)求数列{a n }的通项公式；(2)令b n ＝1a n －1a n (n ≥2)，b 1＝3，S n ＝b 1＋b 2＋…＋b n ，若S n <m －2 0142对一切n ∈N *成立，求最小正整数m .解 (1)∵a n ＋1＝f (1a n )＝2a n ＋33a n ＝2＋3a n 3＝a n ＋23，∴{a n }是以1为首项，23为公差的等差数列．∴a n ＝1＋(n －1)×23＝23n ＋13.(2)当n ≥2时，b n ＝1a n －1a n ＝1(23n －13)(23n ＋13) ＝1(2n －1)(2n ＋1)9＝92(12n －1－12n ＋1)，又b 1＝3＝92(1－13)，∴S n ＝b 1＋b 2＋…＋b n ＝92(1－13＋13－15＋…＋12n －1－12n ＋1)＝92(1－12n ＋1)＝9n2n ＋1，∵S n <m －2 0142对一切n ∈N *成立，即9n 2n ＋1<m －2 0142对一切n ∈N *成立，又9n 2n ＋1<92，∴m －2 0142≥92，即m ≥2 023.∴最小正整数m 为2 023.6．某工厂为扩大生产规模，今年年初新购置了一条高性能的生产线，该生产线在使用过程中的维护费用会逐年增加，第一年的维护费用是4万元，从第二年到第七年，每年的维护费用均比上年增加2万元，从第八年开始，每年的维护费用比上年增加25%. (1)设第n 年该生产线的维护费用为a n ，求a n 的表达式；(2)若该生产线前n 年每年的平均维护费用大于12万元时，需要更新生产线．求该生产线前n 年每年的平均维护费用，并判断第几年年初需要更新该生产线？解 (1)由题意知，当n ≤7时，数列{a n }是首项为4，公差为2的等差数列， ∴a n ＝4＋(n －1)×2＝2n ＋2.当n ≥8时，数列{a n }从a 7开始构成首项为a 7＝2×7＋2＝16，公比为1＋25%＝54的等比数列，则此时a n ＝16×⎝⎛⎭⎫54n －7，∴a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧2n ＋2，n ≤7，16×⎝⎛⎭⎫54n －7，n ≥8.(2)设S n 为数列{a n }的前n 项和，当1≤n ≤7时，S n ＝4n ＋n (n －1)2×2＝n 2＋3n ，当n ≥8时，由S 7＝70，则S n ＝70＋16×54×1－⎝⎛⎭⎫54n －71－54＝80×⎝⎛⎭⎫54n －7－10， ∴该生产线前n 年每年的平均维护费用为 S nn ＝⎩⎨⎧n ＋3，1≤n ≤7，80×⎝⎛⎭⎫54n －7－10n，n ≥8.当1≤n ≤7时，⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n n 为递增数列，当n ≥8时，∵S n ＋1n ＋1－S nn ＝80×⎝⎛⎭⎫54n －6－10n ＋1－80×⎝⎛⎭⎫54n －7－10n＝80×⎝⎛⎭⎫54n －7·⎝⎛⎭⎫n 4－1＋10n (n ＋1)>0，∴S n ＋1n ＋1>S n n.∴⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n n 也为递增数列．又∵S 77＝10<12，S 88＝80×54－108＝11.25<12，S 99＝80×⎝⎛⎭⎫542－109≈12.78>12， ∴第9年年初需要更新生产线．。

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1．已知向量m ＝(sin x ，－1)，n ＝(cos x,3)．
(1)当m ∥n 时，求sin x ＋cos x
3sin x －2cos x
的值；
(2)已知在锐角△ABC 中，a ，b ，c 分别为角A ，B ，C 的对边，3c ＝2a sin(A ＋B )，函数f (x )＝(m ＋n )·m ，求f ⎝⎛⎭
⎫B ＋π
8的取值范围．解 (1)由m ∥n ，可得3sin x ＝－cos x ，于是tan x ＝－1
3，
∴sin x ＋cos x 3sin x －2cos x ＝tan x ＋13tan x －2
＝－13＋13×⎝⎛⎫－13－2＝－2
9.
(2)在△ABC 中，A ＋B ＝π－C ，于是sin(A ＋B )＝sin C ，由正弦定理知：3sin C ＝2sin A sin C ， ∵sin C ≠0，∴sin A ＝
3
2
. 又△ABC 为锐角三角形，∴A ＝π3，于是π6<B <π
2.
∵f (x )＝(m ＋n )·m
＝(sin x ＋cos x,2)·(sin x ，－1) ＝sin 2x ＋sin x cos x －2 ＝1－cos 2x 2＋1
2sin 2x －2 ＝
22
sin ⎝⎛
⎭⎫2x －π4－32，
∴f ⎝⎛⎭⎫B ＋π8＝2
2sin ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫B ＋π8－π4－32 ＝
22sin 2B －32
. 由π6<B <π2得π
3
<2B <π， ∴0<sin 2B ≤1，－32<22sin 2B －32≤22－32，
即f ⎝⎛⎭⎫B ＋π8∈⎝⎛⎦
⎤－32，22－3
2. 2．已知数列{a n }的通项公式为a n ＝3n －
1，在等差数列{b n }中，b n >0(n ∈N *)，且b 1＋b 2＋b 3＝
15，又a 1＋b 1、a 2＋b 2、a 3＋b 3成等比数列． (1)求数列{b n }的通项公式； (2)求数列{a n ·b n }的前n 项和T n .
解 (1)∵a n ＝3n －
1(n ∈N *)，∴a 1＝1，a 2＝3，a 3＝9，
在等差数列{b n }中，∵b 1＋b 2＋b 3＝15，∴b 2＝5. 又∵a 1＋b 1、a 2＋b 2、a 3＋b 3成等比数列，设等差数列{b n }的公差为d ，
∴(1＋5－d )(9＋5＋d )＝64，解得d ＝－10或d ＝2， ∵b n >0(n ∈N *)，∴舍去d ＝－10，取d ＝2，∴b 1＝3， ∴b n ＝2n ＋1(n ∈N *)．
(2)由(1)知，T n ＝3×1＋5×3＋7×32＋…＋(2n －1)3n －
2＋(2n ＋1)3n －
1，
① 3T n ＝3×3＋5×32＋7×33＋…＋(2n －1)3n －
1＋(2n ＋1)·3n ，
②
①－②得
－2T n ＝3×1＋2×3＋2×32＋2×33＋…＋2×3n －
1－(2n ＋1)3n
＝3＋2(3＋32＋33＋…＋3n －
1)－(2n ＋1)3n
＝3＋2×3－3n 1－3－(2n ＋1)3n ＝3n －(2n ＋1)3n ＝－2n ·3n ，
∴T n ＝n ·3n .
3．某学校共有教职工900人，分成三个批次进行继续教育培训，在三个批次中男、女教职
工人数如下表所示．已知在全体教职工中随机抽取1名，抽到第二批次中女教职工的概率是0.16.
(1)求x 的值；(2)现用分层抽样的方法在全体教职工中抽取54名做培训效果的调查，问应在第三批次中抽取教职工多少名？
(3)已知y ≥96，z ≥96，求第三批次中女教职工比男教职工多的概率．解 (1)由
x
900
＝0.16，解得x ＝144. (2)第三批次的人数为y ＋z ＝900－(196＋204＋144＋156)＝200，设应在第三批次中抽取m 名，则m 200＝54
900，解得m ＝12，
所以应在第三批次中抽取12名．
(3)设第三批次中女教职工比男教职工多的事件为A ，第三批次女教职工和男教职工数记
为数对(y ，z )．
由(2)知y ＋z ＝200(y ，z ∈N *，y ≥96，z ≥96)，
则基本事件总数有：(96,104)，(97,103)，(98,102)，(99,101)，(100,100)，(101,99)，(102,98)，(103,97)，(104,96)，共9个；
而事件A 包含的基本事件有(101,99)，(102,98)，(103,97)，(104,96)共4个．所以，所求概率为P (A )＝49
.
4．如图所示多面体中，AD ⊥平面PDC ，ABCD 为平行四边形，E ，F
分别为AD ，BP 的中点，AD ＝3，AP ＝5，PC ＝27. (1)求证：EF ∥平面PDC ；
(2)若∠CDP ＝90°，求证：BE ⊥DP ； (3)若∠CDP ＝120°，求该多面体的体积． (1)证明
取PC 的中点为O ，连接FO ，DO . 因为F ，O 分别为BP ，PC 的中点，所以FO ∥BC ，且FO ＝12
BC .
又四边形ABCD 为平行四边形，E 为AD 的中点，所以ED ∥BC ，且ED ＝1
2BC ，
所以FO ∥ED ，且FO ＝ED ，
所以四边形EFOD 是平行四边形，所以EF ∥DO . 又EF ⊄平面PDC ，DO ⊂平面PDC ，所以EF ∥平面PDC .
(2)解若∠CDP ＝90°，则PD ⊥DC ，又AD ⊥平面PDC ，所以AD ⊥DP ，又∵DC ∩AD ＝D ，所以DP ⊥平面ABCD . 因为BE ⊂平面ABCD ，所以BE ⊥DP .
(3)解连接AC ，由ABCD 为平行四边形可知△ABC 与△ADC 面积相等，所以三棱锥P －ADC 与三棱锥P －ABC 体积相等，即五面体的体积为三棱锥P －ADC 体积的2倍．因为AD ⊥平面PDC ，所以AD ⊥DP ，由AD ＝3，AP ＝5，可得DP ＝4.
又∠CDP ＝120°，PC ＝27，由余弦定理得DC ＝2，所以三棱锥P －ADC 的体积
V P－ADC＝V A－CDP＝1
3×
1
2×2×4×sin 120°×3＝23，
所以该五面体的体积为4 3.。