大学物理(上) 3—1

2 dv v a r，an r 2 dt r 2 2 a an a，a a n a
§3－2转动定律与转动惯量
一、力矩 1、力的三要素： 大小、方向、作用点 2、力矩的定义： 力矩等于力和力臂的乘积.
M
M Fd Fr sin M r F
第三章 刚体的转动
质点 质点系 刚性质点系
刚体实例.MPG
刚体
§3－1 刚体运动的描述
一、刚体的运动 1、平动 2、转动
在 外力作用下形状和 大小保持不变的物 体或各质点间的相 对位置不发生变化 的质点系。
特点：刚体上任意两点的连线始终保持平行。
定轴转动 定点转动
既有平动，又有转动
转动平面
3、一般运动
三、转动惯量 与牛顿第二定律比较，m 是反映质点平动惯 性大小的物理量，J 则反映了对固定转轴的转动 惯性的大小，称为惯转动量 1、转动惯量的定义
2 质点的转动惯量 J mr 有限个质点构成的刚性质点系的转动惯量
J m i r
i 1
n 2
n
2
i
无限多质点连续分布构成的刚体的转动惯量
对系统： M M1 M2 r1 ( F1 f 21 ) r2 ( F2 f12 )
F1
(r1 F f12 ) 1 r2 F 2 ) (r 1 f 21 r2 m2 (r1 F1 r2 F2 ) (r1 r2 ) f 21 (r1 F1 r2 F2 ) r21 f 21 r1 F1 r2 F2
a

r
an a
an 1 0.32 0 tan tan 38 . 7 a 0.4
1
（5）牵引力F有多大？ 受力分析如图所示
F
M
根据转动定律和牛顿定律列方程
( F T )r Jβ T mg ma 1 a 2 J Mr β＝ 2 r 1 由此可解得 F Ma ma mg 2 T ma mg
i 1 i 1
r
P
转动平面
连续分布作用力的力矩 dM r df，M dM r df ★对固定轴 z 的力矩 M Mz M M z M cos，M M sin 对于固定转轴，能对转动产生影响的力矩只 是沿转轴z方向的分量 M z 。
o r2 f 21
f12
F2
r1
m1
M M 1 M 2 r1 F1 r2 F2
m1r1 ( r1 ) m2 r2 ( r2 )
推广到n个质点构成的刚性质点系，得到：
n n n M M i ri Fi mi ri ( ri ) i 1 i 1 i 1
其方向：平行于转轴Z，与β方向相同 其大小： M ( mi r 2 i )
i 1 n
即：
n 2 M ( m i r i ) i 1
3、转动定律 在上式中，令 令J z 则
m r
i 1 i
n
2
i
Mz Jz
该结果称为刚体定轴转动的转动定律 它表明：刚体绕定轴Z转动时，作用于刚体上 的沿Z轴方向合外力矩与角加速度成 正比。 它反映了作用在刚体上的合外力矩M与刚体转 动状态变化β之间的因果联系，其地位与牛二律在 质点力学中的地位相当。
T a
m
mg
转轴
二、定轴转动的数学描述 1、角量描述
P
转动平面
dt dt 2、角量与线量的关系
( t )， ＝－0， d d d 2 ＝ , 2
dt
θ
X
参考 方向
转轴
v r ，a r ，an ( r )
v a

方向：向外 大小：M
令J mr 2，则M J或M J
mra mr
2
2、刚性质点系的转动规律
对m1：
F1
o r1 m1 M1 r1 (F1 f 21 ) r f 21 2 m1r1 a1 f 12 m 2 m1r1 (an1 a 1 ) F 2 m1r1 a 1 m1r1 ( r1 )
J lim mi ri r 2d m
n i 1 m
单位： kg m 2
2、转动惯量的计算
J mr 2
n n i 1
J m i r 2 i
i 1
2 m
n
J lim mi ri r 2d m
质量线分布时， dm dl， J r 2dl — —线积分 其中λ、 质量面分布时， dm ds，
⑴转动惯量是描写转动惯性大小的物理量 ⑵决定转动惯量大小的三要素;
质量、质量的分布、转轴的位置
⑶是张量(对固定转轴的转动惯量是惯量张量的一个分量，是标量) ⑷是相对量
例题分析
一条缆索绕过一个定滑轮拉动升降机， 如图所示. 滑轮的半径为r 0.5m，如果升 2 降机从静止开始以加速度 a 0.4m s 匀加 速上升，（假定缆索和滑轮之间不打滑）求： F （1）滑轮的角加速度； （2）开始上升后t = 5s末滑轮的角速度； M （3）在这5秒内滑轮转过的圈数； （4）开始上升后 t 1s 末滑轮边缘上一点 的加速度. （5）牵引力F有多大？
m
a
解 （1）由于升降机的加 速度和滑轮边缘上的一点 的切向加速度相等，所以 滑轮的角加速度为 a a 0.8rad s 2 r r （2）由于 0 0 ，所以5 秒末滑轮的角速度为
v
a
t 4.0rad s1
（3）在这5 秒内滑轮转过的角度为
对m2：
M2 r2 (F2 f12 ) m2r2 ( r2 )
m1r1 ( r1 ) m2r2 ( r2 )
注意到： r1 ( F1 f 21 ) r2 ( F2 f12 )
大小: M Fr sin
O
d
r
F
的方向 方向: r F
3、力矩的计算（对点和对轴的力矩） ★对固定点O的力矩 ⑴ 单个作用力的力矩 M
Z
F
f1 f2
M r F

0
⑵
n个作用力的力矩 n n M M i ri f i
L
σ、ρ分别
2
称为质量的 J r ds — —面积分 线密度、面 s 质量体分布时， dm dV， 密度和体密 度 J r 2 dV — —体积分
V
3、转动惯量的平行轴定理 若有一转轴与过质心C的转轴平行,相距为d，刚
体对其转动惯量为 J，则：
J J c md
2
这个结论称为平行轴定理. 注意点：
⑶
二、转动定律 1、质点的转动规律 根据牛二律
R o 0点的力矩 a F对 n r M r F mr a mr (an a ) mr a mr （ r）
F ma
Fa
1 2 t 10rad 2 所以在这5秒内滑轮转过的圈数为 10 a N 1.6圈 2 (4)为了图示清晰，将滑 轮放大为如图所示.t=1 秒时 o a a 0.4m s 2 an r 2 r 2t 2 0.32m s