高考解斜三角形题型归纳
2024高考数学二轮专题复习——解三角形之三斜求积巧求面积
三斜求积巧求面积典例研究【例1】（2024·广东广州·铁一中学校考一模）《数书九章》是中国南宋时期杰出数学家秦九韶的著作，在该书的第五卷“三斜求积”中，提出了由三角形的三边直接求三角形面积的方法：“以小斜幂并大斜幂减中斜幂，余半之，自乘于上，以小斜幂乘大斜幂减上，余四约之，为实.一为从隅，开平方得积.”把以上这段文字写成公式，就是2222221[()]42c a b S c a +--S 为三角形面积，a 为小斜，b 为中斜，c 为大斜）.在ABC中，若2a =3b ，3c =，则ABC 的面积等于（）A 24B ．22C ．34D ．32【例2】（24高三上·内蒙古呼和浩特·期末）若向量()11a x y = ，，()22b x y = ，，则以a 、b为邻边的平行四边形的面积S 可以用a 、b的外积a b ⨯ 表示出来，即1221S a b x y x y =⨯=- .已知在平面直角坐标系xOy 中，(cos 3A α，、()sin 22cos B αα，，π02α⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，，则OAB 面积的最大值为（）A ．1B 2C ．2D ．3【例3】已知点()()()100122A B C --，，，，，，求：（1）2AB AC -的模；（2）ABC 的面积.上面三个问题虽然呈现的形式不一样，但都源于一个共同的背景：三角形面积的海伦—秦九韶公式．我国著名的数学家秦九韶（约1202—1261）在他所著的《数书九章》卷五“田域类”里给出了一道题目：问沙田一段，有三斜．其小斜一十三里，中斜一十四里，大斜一十五里．里法三百步．欲知为田几何？问题的本质是已知三角形的三边长，求三角形的面积．《数书九章》中给出了这类问题的一般性结论，其求法是：以小斜幂并大斜幂减中斜幂，余半之，自乘于上；以小斜幂乘大斜幂减上，余四约之，为实；一为从隅，开平方得积．秦九韶把三角形的三条边分别称为小斜、中斜和大斜，“术”即方法．三斜求积术就是用小斜平方加大斜平方减中斜平方，取得数的一半，自乘而得一个数；小斜平方乘大斜平方，减上面所得到的那个数，相减后的数被4除，所得的数作为“实”；取1作为“隅”，开平方后即得面积．所谓“实”“隅”，即在方程2px qk =中，p 为“隅”，q 为“实”．（参见下面的④式）《普通高中教科书数学必修第三册B 版》（人民教育出版社2019年4月第1版）第88页拓展阅读“向量的数量积与二角形的面积”介绍了如下结论：如图，在ABC 中，()(),AB x y AC u v == ，，，求证：ABC 的面积为12S xv yu =-．该题的证法如下．1sin 2S AB AC A ====因为()()AB x y AC u v ==，，，，所以12S xv yu ===-②．注②式是三角形面积公式的向量形式，也是前面“经典题组”中问题1的结论．②式可作如下推广：在平面直角坐标系中，,,A B C 为不共线的三点，()()()112233A x y B x y C x y ，，，，，，则ABC 的面积为()()()()2131312112S x x y y x x y y =-----③．《普通高中教科书数学必修第二册A 版》（人民教育出版社2019年7月第1版）第55页阅读与思考中，介绍了三角形面积的三斜求积公式：△=ABCS 在ABC 中，根据数量积的定义，不难发现222cos 2AB AC BCAB AC AB AC A +-⋅==，这表明，④式等价于①式．将④式进行化简，可推出海伦公式：ABC S ==△==，这里，()12p a b c =++为ABC 的半周长．秦九韶提出的三斜求积术虽然与古希腊数学家提出的海伦公式在形式上有所不同，但完全与海伦公式等价，它填补了中国数学史上的空白，从中可以看出中国古代已经具有很高的数学水平．三斜求积术，是我国数学史上的一颗明珠．【庖丁解题例1】利用题中所给三角形的面积公式即可求解．在ABC 中，若a =b =3c =，则ABC 的面积S 故选：B ．[庖丁解题例2]第一步：利用三角形面积的外积公式结合三角恒等变换化简；已知在平面直角坐标系xOy 中，(cos A α、()sin 22cos B αα，，π02α⎡⎤∈⎢⎣⎦，，因为22112cos 222cos 22OAB S OA OB αααα=⨯==- △()1π21cos 22cos 212sin 2126ααααα⎛⎫=-+=--=-- ⎪⎝⎭，第二步：结合正弦函数性质求解值域即可.因为π02α≤≤，则ππ5π2666α-≤-≤，则1πsin 2126α⎛⎫-≤-≤ ⎪⎝⎭，则π22sin 2116α⎛⎫-≤--≤ ⎪⎝⎭，则[]1π2sin 210126S α⎛⎫=--∈ ⎪⎝⎭，，当ππ266α-=-时，即当0α=时，OAB 面积取最大值1.故选：A.【庖丁解题例3】第一步：利用坐标运算及模的坐标运算求解；（1）因为()()()100122A B C --，，，，，，所以()()1132AB AC =-= ，，，，所以()214AB AC -=--，2AB AC ∴-= 第二步：利用夹角公式求得cos BAC ∠，进而得到sin BAC ∠；（2）因为()()1132AB AC =-= ，，，，所以cosAB AC BAC AB AC ∠⋅==[]0BAC ∠π∈ ，，所以sin BAC ∠==第三步：利用三角形面积公式求解.15sin 22ABCS AB AC BAC ∠∴== .题型归纳类型1由三角形的边长求面积例1《数书九章》中记载了三斜求积术：“以小斜幂并大斜幂减中斜幂，余半之，自乘于上；以小斜幂乘大斜幂减上，余四约之，为实；一为从隅，开平方得积．”秦九韶把三角形的三条边分别称为小斜、中斜和大斜，“术”即方法．以S a b c ，，，分别表示三角形的面积、大斜、中斜、小斜；a b c h h h ，，分别为对应的大斜、中斜、小斜上的高；111222a b c S ah bh ch ===．若在ABC 中，23a b c h h h ===，，根据上述公式，可以推出该三角形外接圆的半径为______．解析根据题意可知:::3:2a b c =，故设()320a b xc x x ===>，，．由111222a b c S ah bh ch ===，可得x =由余弦定理可得1cos 12A =，从而143sin 12A =，由正弦定理得ABC 的外接圆半径为2sin 2sin 143a A A ==．升华原则上，由海伦公式ABC S =求三角形的面积，需要知道三角形的三边长，但是，用三斜求积公式S =求三角形的面积，只需求得22c a 和222c a b +-即可．【举一反三1-1】1．我国南宋著名数学家秦九韶提出了由三角形三边求三角形面积的“三斜求积”，设ABC 的三个内角,,A B C所对的边分别为a ，b ，c ，面积为S ，则“三斜求积”公式为S =，若2sin 2sin a C A =，()226a c b +=+，则用“三斜求积”公式求得ABC 的面积为（）A2B C ．12D ．1【答案】A【分析】对于2sin 2sin a C A =，利用正弦定理角化边可得2ac =，继而化简()226a c b +=+可得2222a c b +-=，代入“三斜求积”公式即得答案.【详解】由2sin 2sin a C A =得22,2a c a ac =∴=，由()226a c b +=+得222622+-=-=a c b ac ，故=S ，股癣：A 【举一反三1-2】2．我国南宋著名数学家秦九韶（约1202-1261）被国外科学史家赞誉为“他那个民族，那个时代，并且确实也是所有时代最伟大的数学家之一”．他独立推出了“三斜求积”公式，求法是：“以小斜幂并大斜幂减中斜幂，余半之，自乘于上，以小斜幂乘大斜幂减上，余四约之，为实．一为从隅，开平方得积．”把以上这段文字写成从三条边长求三角形面积的公式，就是S =现有ABC 满足sin :A sin :sin 2:3:BC =ABC的面积是ABC 的周长为，AB 边中线CD 的长为【答案】10+10【分析】由正弦定理得出三边关系，再由面积公式求出各边得出周长，再利用ACD S =△CD 的长.【详解】因为sin :sin :sin 2:3:A B C =::2:a b c =设2,3,a k b k c ===，则由题可得6S =2k =，则ABC的周长为(510a b c k ++=+=+因为CD 为中线，ACD中，6,ACAD ==CD x =，则ACD S ==，解得x =又在三角形中，BD BC CD +>，所以CD =故答案为：10+【举一反三1-3】3．《数书九章》是南宋时期杰出数学家秦九韶的著作，全书十八卷，共八十一个问题，分为九类，每类九个问题，《数书九章》中记录了秦九韶的许多创造性成就，其中在卷五“三斜求积术”中提出了已知三角形三边a ，b ，c ，求面积的公式，这与古希腊的海伦公式完全等价，其求法是：“以少广求之，以小斜幂并大斜幂减中斜幂，余半之，自乘于上；以小斜幂乘大斜幂减上，余四约之，为实；一为从隅，开平方得积．”若把以上这段文字写成公式，即S =．现有ABC满足sin :sin :sin 2:3:A B C =且ABC的面积S =）A ．ABC的周长为10+B ．ABC 三个内角A ，B ，C 满足2C A B =+C ．ABC 外接圆的直径为4213D ．ABC 的中线CD的长为【答案】ABC【分析】对于选项A ，由正弦定理得三角形三边之比，由面积求出三边，代入公式即可求出周长；对于选项B ，根据余弦定理可求得cos C 的值为12，可得3C π=，可得ABC 三个内角A ，C ，B 成等差数列；对于选项C ，由正弦定理可得，ABC 外接圆直径2sin cR C=可得2R 的值；对于选项D ，由题意利用中线定理即可计算得解．【详解】由正弦定理可得::2:a b c =设2,3,(0),a mb mc m ==>26S ∴==，解得2,m ABC =∴的周长为4610a b c ++=++=+，故A 正确；由余弦定理得2221636281cos 22462a b c C ab +-+-===⨯⨯，π2π.π,,233C A B C A B C A B ∴=++=∴+=∴=+ ，故B 正确；由正弦定理知，ABC外接圆的直径2sin sin 3c R C ===，故C 正确；由中线定理得2222122a b c CD +=+，即2111636281922CD ⎛⎫=⨯+-⨯= ⎪⎝⎭，CD ∴=，故D 错误．故选:ABC ．类型2由三角形两边的向量坐标求面积例2已知()()cos22cos682cos522cos38AB AC ︒=︒︒=︒，，，，则ABC 的面积为（）A ．12B．2CD ．1解析1cos222cos38cos682cos522ABC S =⨯︒⨯︒-︒⨯︒△1cos22cos38sin22sin38cos602=︒︒-︒︒=︒=．故选A ．升华给定三角形两边的向量坐标或三顶点的坐标求面积，直接由②式计算．【举一反三1-1】4．已知)1,2AB BC ⎛==⎝⎭，则ABC 的面积为（）A ．12BC ．1D【答案】A【分析】由三角形面积公式、向量数量积以及模的坐标运算即可得解.【详解】因为)1,2AB BC ⎛==⎝⎭，所以111sin ,222ABC S AB BC BA BC AB BC AB BC ==12=.故选：A ．【举一反三1-2】5．在四边形ABCD 中，()()2,4,6,3AC BD ==-，则四边形ABCD 的面积为（）A．B ．C ．2D ．15【答案】D【分析】设,AC BD 相交于点O ，首先证明四边形ABCD 对角线互相垂直，从而由12ABCD A S C BD = 四边形即可得解.【详解】因为()()2,4,6,3AC BD ==- ，所以12120AC BD -⋅=+=，即四边形ABCD 对角线互相垂直，设,AC BD 相交于点O ，则1122ABD CBD ABCD AO BD CO BD S S S +=+=四边形△△()11122152AO CO BD AC BD =+===．故选：D ．【举一反三1-3】6．直线20x y ++=分别与x 轴，y 轴交于A ，B 两点，点P 在圆()2222x y -+=上，则ABP 面积的取值范围是A ．[]26，B ．[]48，C ．D ．⎡⎣【答案】A【详解】分析：先求出A ，B 两点坐标得到AB ，再计算圆心到直线距离，得到点P 到直线距离范围，由面积公式计算即可详解： 直线x y 20++=分别与x 轴，y 轴交于A ，B 两点()()A 2,0,B 0,2∴--,则AB = 点P 在圆22x 22y -+=（）上∴圆心为（2，0），则圆心到直线距离1d =故点P 到直线x y 20++=的距离2d 的范围为则[]2212,62ABP S AB d ==∈ 故答案选A.点睛：本题主要考查直线与圆，考查了点到直线的距离公式，三角形的面积公式，属于中档题．类型3已知三角形三边的关系式求面积的最大值例3我国南宋时期著名的数学家秦九韶在其著作《数书九章》中提出了已知三角形三边长求三角形面积的公式，与著名的海伦公式完全等价，由此可以看出我国古代已具有很高的数学水平，其求法是：“以小斜幂并大斜幂减中斜幂，余半之，自乘于上；以小斜幂乘大斜幂减上，余四约之，为实；一为从隅，开平方得积．”若把以上这段文字写成公式，即S =，其中a b c ，，分别为ABC 的内角,,A B C 12tan b C ==，，则ABC 的面积S 的最大值为（）AB C ．2D解析1tan C =，所以tan C =，又sin tan cos C C C =sin cos CC=，()cos sin 1sin cos B C C B C C B ==，所以)()sin sin cos cos sin C B C B C B C A =++，由正弦定理得c =．因为2b =，所以ABC 的面积S ==将2a 看成整体并利用二次函数性质知，当24a =，即2a =时，ABC 的面积SA ．升华由三角形的一边的长度和另外两边的关系式求面积的最大值，都可运用例3的思路解决，即根据海伦公式，将三角形面积转化为关于一边的表达式，运用函数性质或基本不等式求面积的最大值．【举一反三1-1】7．秦九韶是我国南宋著名数学家，在他的著作《数书九章》中有已知三边求三角形面积的方法：“以小斜幂并大斜幂减中斜幂，余半之，自乘于上以小斜幂乘大斜幂减上，余四约之，为实一为从陽，开平方得积.”如果把以上这段文字写成公式就是S =其中,,a b c 是ABC 的内角,,A B C 的对边为.若sin 2sin cos C A B =，且222b c +=，则ABC 面积S 的最大值为.【分析】根据正弦定理和余弦定理，由sin 2sin cos C A B =可得a b =，再由S =及函数求最值的知识，即可求解.【详解】sin 2sin cos C A B = ，222222cos 22a c b c a B a a b a bac+-∴==⋅⇒=⇒=又222b c += ，222a c ∴=-，S ∴==245c ∴=时，ABC ∆面积S 故答案为：【点睛】本题主要考查了正弦定理、余弦定理在解三角形中的应用，考查了理解辨析能力与运算求解能力，属于中档题.【举一反三1-2】8．在ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，设ABC 的面积为S ，若22232a b c =+，则22S 2b c +的最大值为．【分析】根据题中条件利用余弦定理进行简化，运用均值不等式求cos A 的范围，然后由面积公式化简为三角函数，求最值即可.【详解】由题知22232a b c =+⇒2221(2)3a b c =+，则222222222co 22322s 6b c b c b c a b c cA bc bc b ++-+-+===63bc ≥=，当且仅当b =时取等号.22221sin 222bc A S b c b c=++ 22sin sin tan 2(2)12cos 12bc A bc A Ab c bc A ===+，而tan 2A =≤=，22tan 212S A b c ∴=≤+【举一反三1-3】9．已知ABC ∆的内角A 的平分线交BC 于点D ，ABD ∆与ADC ∆的面积之比为2:1，2BC =，则ABC ∆面积的最大值为．【答案】43【详解】根据题意ABD ∆与ADC ∆的面积之比为2:1，可得到AB 是AC 的二倍，设AB=2x,AC=x,由余弦定理得到2225494016cos ,sin 44x A A x x -=三角形面积为2194016940162··244S x x x =⨯=2242,439x x <<<<上式在2209x =出取得最大值，代入得到43.故答案为43.点睛：本题主要考查正弦定理及余弦定理的应用以及三角形面积公式，属于难题.在解与三角形有关的问题时，正弦定理、余弦定理是两个主要依据.解三角形时，有时可用正弦定理，有时也可用余弦定理，应注意用哪一个定理更方便、简捷一般来说,当条件中同时出现ab 及2b 、2a 时，往往用余弦定理，而题设中如果边和正弦、余弦函数交叉出现时，往往运用正弦定理将边化为正弦函数再结合和、差、倍角的正余弦公式进行解答.。
高考数学(理)总复习：解三角形(解析版)
高考数学（理）总复习：解三角形题型一 利用正、余弦定理解三角形 【题型要点解析】关于解三角形问题，一般要用到三角形的内角和定理，正、余弦定理及有关三角形的性质，常见的三角变换方法和原则都适用，同时要注意“三统一”，即“统一角、统一函数、统一结构”，这是使问题获得解决的突破口．【例1】△ABC 的内角A 、B 、C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知sin(A ＋C )＝8sin 2B2，(1)求cos B ；(2)若a ＋c ＝6，△ABC 的面积为2，求b .【解析】 (1)由题设及A ＋B ＋C ＝π，sin B ＝8sin 2B2，故sin B ＝4(1－cos B )．上式两边平方，整理得17cos 2B －32cos B ＋15＝0， 解得cos B ＝1(舍去)，cos B ＝1517.(2)由cos B ＝1517得sin B ＝817，故S △ABC ＝12ac sin B ＝417ac .又S △ABC ＝2，则ac ＝172.由余弦定理及a ＋c ＝6得：b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B＝(a ＋c )2－2ac (1＋cos B )＝36－2×172×⎪⎭⎫ ⎝⎛+17151 ＝4.所以b ＝2.题组训练一 利用正、余弦定理解三角形1．在锐角△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若sin A ＝223，a ＝2，S △ABC＝2，则b 的值为( )A.3B.322 C ．2 2D ．2 3【解析】 ∵在锐角△ABC 中，sin A ＝223，S △ABC ＝2，∴cos A ＝1－sin 2A ＝13，12bc sin A ＝12bc ·223＝2，∴bc ＝3①，由余弦定理得a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，∴(b ＋c )2＝a 2＋2bc (1＋cos A )＝4＋6×⎪⎭⎫⎝⎛+311＝12， ∴b ＋c ＝23②.由①②得b ＝c ＝3，故选A. 【答案】 A2．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知sin A sin B ＋sin B sin C ＋cos 2B ＝1.若C ＝2π3，则ab＝________.【解析】 ∵sin A sin B ＋sin B sin C ＋cos 2B ＝1，∴sin A sin B ＋sin B sin C ＝2sin 2B . 由正弦定理可得ab ＋bc ＝2b 2，即a ＋c ＝2b ，∴c ＝2b －a ，∵C ＝2π3，由余弦定理可得(2b －a )2＝a 2＋b 2－2ab cos 2π3，可得5a ＝3b ，∴a b ＝35. 【答案】 353．已知△ABC 是斜三角形，内角A ，B ，C 所对的边的长分别为a ，b ，c .若c sin A ＝3a cos C .(1)求角C ；(2)若c ＝21，且sin C ＋sin(B －A )＝5sin 2A ，求△ABC 的面积．【解析】 (1)根据a sin A ＝c sin C，可得c sin A ＝a sin C ， 又∵c sin A ＝3a cos C ，∴a sin C ＝3a cos C ， ∴sin C ＝3cos C ，∴tan C ＝sin Ccos C ＝3，∵C ∈(0，π)，∴C ＝π3.(2)∵sin C ＋sin(B －A )＝5sin 2A ，sin C ＝sin (A ＋B )， ∴sin (A ＋B )＋sin (B －A )＝5sin 2A ， ∴2sin B cos A ＝2×5sin A cos A . ∵△ABC 为斜三角形， ∴cos A ≠0，∴sin B ＝5sin A . 由正弦定理可知b ＝5a ，① ∵c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ，∴21＝a 2＋b 2－2ab ×12＝a 2＋b 2－ab ，②由①②解得a ＝1，b ＝5，∴S △ABC ＝12ab sin C ＝12×1×5×32＝534.题型二 正、余弦定理的实际应用 【题型要点解析】应用解三角形知识解决实际问题一般分为下列四步：(1)分析题意，准确理解题意，分清已知与所求，尤其要理解题中的有关名词术语，如坡度、仰角、俯角、视角、方位角等；(2)根据题意画出示意图，并将已知条件在图形中标出；(3)将所求的问题归结到一个或几个三角形中，通过合理运用正弦定理、余弦定理等有关知识正确求解；(4)检验解出的结果是否具有实际意义，对结果进行取舍，得出正确答案．【例2】某学校的平面示意图如图中的五边形区域ABCDE ，其中三角形区域ABE 为生活区，四边形区域BCDE 为教学区，AB ，BC ，CD ，DE ，EA ，BE .为学校的主要道路(不考虑宽度)．∠BCD ＝∠CDE ＝2π3，∠BAE ＝π3，DE ＝3BC ＝3CD ＝910km.(1)求道路BE 的长度；(2)求生活区△ABE 面积的最大值．【解析】 (1)如图，连接BD ，在△BCD 中，BD 2＝BC 2＋CD 2－2BC ·CD cos ∠BCD ＝27100，∴BD ＝3310km.∵BC ＝CD ，∴∠CDB ＝∠CBD ＝π－2π32＝π6，又∠CDE ＝2π3，∴∠BDE ＝π2.∴在Rt △BDE 中， BE ＝BD 2＋DE 2＝335(km)． 故道路BE 的长度为335km.(2)设∠ABE ＝α，∵∠BAE ＝π3，∴∠AEB ＝2π3－α.在△ABE 中，易得AB sin ∠AEB ＝BE sin ∠BAE ＝335sinπ3＝65，∴AB ＝65sin ⎪⎭⎫⎝⎛-απ32，AE ＝65sin α.∴S △ABE ＝12AB ·AE sin π3＝9325sin ⎪⎭⎫⎝⎛-απ32·sin α ＝9325⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎪⎭⎫ ⎝⎛-4162sin 21πα≤9325⎪⎭⎫ ⎝⎛+4121 ＝273100(km 2)． ∵0<α<2π3，∴－π6<2α－π6<7π6.∴当2α－π6＝π2，即α＝π3时，S △ABE 取得最大值，最大值为273100km 2，故生活区△ABE面积的最大值为273100km 2题组训练二 正、余弦定理的实际应用1．如图，为了估测某塔的高度，在同一水平面的A ，B 两点处进行测量，在点A 处测得塔顶C 在西偏北20°的方向上，仰角为60°；在点B 处测得塔顶C 在东偏北40°的方向上，仰角为30°.若A ，B 两点相距130 m ，则塔的高度CD ＝________m.【解析】设CD ＝h ，则AD ＝h3，BD ＝3h ，在△ADB 中，∠ADB ＝180°－20°－40°＝120°，∴由余弦定理AB 2＝BD 2＋AD 2－2BD ·AD ·cos 120°，可得1302＝3h 2＋h 23－2×3h ×h 3×⎪⎭⎫⎝⎛-21，解得h ＝1039，故塔的高度为1039 m.【答案】 10392．如图，在第一条海防警戒线上的点A ，B ，C 处各有一个水声监测点，B ，C 两点到A 的距离分别为20千米和50千米，某时刻，B 收到发自静止目标P 的一个声波信号，8秒后A ，C 同时接收到该声波信号，已知声波在水中的传播速度是1.5千米/秒．(1)设A 到P 的距离为x 千米，用x 表示B ，C 到P 的距离，并求x 的值；(2)求P 到海防警戒线AC 的距离． 【解析】 (1)依题意，有P A ＝PC ＝x ， PB ＝x －1.5×8＝x －12. 在△P AB 中，AB ＝20， cos ∠P AB ＝P A 2＋AB 2－PB 22P A ·AB＝x 2＋202－(x －12)22x ·20＝3x ＋325x ，同理，在△P AC 中，AC ＝50，cos ∠P AC ＝P A 2＋AC 2－PC 22P A ·AC ＝x 2＋502－x 22x ·50＝25x .∵cos ∠P AB ＝cos ∠P AC ， ∴3x ＋325x ＝25x，解得x ＝31. (2）作PD ⊥AC 于点D ，在△ADP 中，由cos ∠P AD ＝2531，得sin ∠P AD ＝1－cos 2∠P AD ＝42131， ∴PD ＝P A sin ∠P AD ＝31×42131＝421.故静止目标P 到海防警戒线AC 的距离为421千米． 题型三 三角函数与解三角形问题 【题型要点】解三角形与三角函数的综合题，其中，解决与三角恒等变换有关的问题，优先考虑角与角之间的关系；解决与三角形有关的问题，优先考虑正弦、余弦定理．【例3】在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且满足sin A －sin C b ＝sin A －sin Ba ＋c .(Ⅰ)求C ；(Ⅱ)若cos A ＝17，求cos(2A －C )的值．【解析】 (Ⅰ)由sin A －sin C b ＝sin A －sin B a ＋c 及正弦定理得a －c b ＝a －ba ＋c ，∴a 2－c 2＝ab －b 2，整理得a 2＋b 2－c 2＝ab ，由余弦定理得cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝12，又0<C <π，所以C ＝π3.(Ⅱ)由cos A ＝17知A 为锐角，又sin 2A ＋cos 2A ＝1，所以sin A ＝1－cos 2A ＝437，故cos2A＝2cos 2A －1＝－4749，sin2A ＝2sin A cos A ＝2×437×17＝8349，所以cos(2A －C )＝cos ⎪⎭⎫ ⎝⎛-32πA ＝cos2A cos π3＋sin2A sin π3＝－4749×12＋8349×32＝－2398.题组训练三 三角函数与解三角形问题已知函数f (x )＝sin ⎪⎭⎫⎝⎛+62πx ＋cos 2x . (1)求函数f (x )的单调递增区间；(2)在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边为a ，b ，c ，已知f (A )＝32，a ＝2，B ＝π3，求△ABC 的面积．【解析】 (1)f (x )＝sin ⎪⎭⎫⎝⎛+62πx ＋cos 2x ＝sin 2x cos π6＋cos 2x sin π6＋cos 2x＝32sin 2x ＋32cos 2x ＝3⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+x x 2cos 232sin 21 ＝3sin ⎪⎭⎫⎝⎛+32πx . 令－π2＋2k π≤2x ＋π3≤π2＋2k π⇒－5π12＋k π≤x ＋π3≤π12＋k π，k ∈Z .f (x )的单调递增区间为：⎥⎦⎤⎢⎣⎡++-ππππk k 12,125，k ∈Z .(2)由f (A )＝32，sin ⎪⎭⎫ ⎝⎛+32πA ＝12， 又0<A <2π3，π3<2A ＋π3<5π3，因为2A ＋π3＝5π6，解得：A ＝π4.由正弦定理a sin A ＝bsin B ，得b ＝6，又由A ＝π4，B ＝π3可得：sin C ＝6＋24.故S △ABC ＝12ab sin C ＝3＋32.题型四 转化与化归思想在解三角形中的应用 【题型要点】利用正弦、余弦定理解三角形的模型示意图如下：【例4】 在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若a cos 2C 2＋c cos 2A 2＝32b .(1)求证：a ，b ，c 成等差数列；(2)若∠B ＝60°，b ＝4，求△ABC 的面积． 【解析】 (1)证明：a cos 2C 2＋c cos 2A2＝a ·1＋cos C 2＋c ·1＋cos A 2＝32b ，即a (1＋cos C )＋c (1＋cos A )＝3b . ①由正弦定理得：sin A ＋sin A cos C ＋sin C ＋cos A sin C ＝3sin B ， ② 即sin A ＋sin C ＋sin(A ＋C )＝3sin B ， ∴sin A ＋sin C ＝2sinB.由正弦定理得，a ＋c ＝2b ， ③ 故a ，b ，c 成等差数列．(2)由∠B ＝60°，b ＝4及余弦定理得： 42＝a 2＋c 2－2ac cos 60°，∴(a ＋c )2－3ac ＝16， 又由(1)知a ＋c ＝2b ，代入上式得4b 2－3ac ＝16. 又b ＝4，所以ac ＝16， ④∴△ABC 的面积S ＝12ac sin B ＝12ac sin 60°＝4 3.题组训练四 转化与化归思想在解三角形中的应用 如图，在平面四边形ABCD 中，AD ＝1，CD ＝2，AC ＝7.(1)求cos ∠CAD 的值；(2)若cos ∠BAD ＝－714，sin ∠CBA ＝216，求BC 的长．【解析】 (1)在△ADC 中，由余弦定理，得cos ∠CAD ＝AC 2＋AD 2－CD 22AC ·AD ＝7＋1－427＝277. (2)设∠BAC ＝α，则α＝∠BAD －∠CAD . 因为cos ∠CAD ＝277，cos ∠BAD ＝－714，所以sin ∠CAD ＝1－cos 2∠CAD ＝217，sin ∠BAD ＝1－cos 2∠BAD ＝32114. 于是sin ∠BAC ＝sin (∠BAD －∠CAD )＝sin ∠BAD cos ∠CAD －cos ∠BAD ·sin ∠CAD ＝32114×277－⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-1417×217＝32. 在△ABC 中，由正弦定理得，BC ＝AC ·sin ∠BACsin ∠CBA＝7×32216＝3. 【专题训练】 一、选择题1．在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，且b 2＝a 2＋bc ，A ＝π6，则内角C 等于( )A.π6 B.π4 C.3π4D.π4或3π4【解析】 在△ABC 中，由余弦定理得a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，即a 2－b 2＝c 2－2bc cos A ，由已知，得a 2－b 2＝－bc ，则c 2－2bc cos π6＝－bc ，即c ＝(3－1)b ，由正弦定理，得sin C＝(3－1)sin B ＝(3－1)sin ⎪⎭⎫⎝⎛-C 65π， 化简，得sin C －cos C ＝0，解得C ＝π4，故选B.【答案】 B2．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，已知b ＝2，c ＝22，且C ＝π4，则△ABC 的面积为( )A.3＋1B.3－1 C ．4 D ．2【解析】 法一 由余弦定理可得(22)2＝22＋a 2－2×2×a cos π4，即a 2－22a －4＝0，解得a ＝2＋6或a ＝2－6(舍去)，△ABC 的面积S ＝12ab sin C ＝12×2×(2＋6)sin π4＝12×2×22×(6＋2)＝3＋1，选A.法二 由正弦定理b sin B ＝c sin C ，得sin B ＝b sin C c ＝12，又c >b ，且B ∈(0，π)，所以B ＝π6，所以A ＝7π12，所以△ABC 的面积S ＝12bc sin A ＝12×2×22sin 7π12＝12×2×22×6＋24＝3＋1.【答案】 A3．在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若△ABC 的面积为S ，且2S ＝(a ＋b )2－c 2，则tan C 等于( )A.34B.43C ．－43D ．－34【解析】 因为2S ＝(a ＋b )2－c 2＝a 2＋b 2－c 2＋2ab ，则结合面积公式与余弦定理，得ab sin C ＝2ab cos C ＋2ab ，即sin C －2cos C ＝2，所以(sin C －2cos C )2＝4，sin 2C －4sin C cos C ＋4cos 2C sin 2C ＋cos 2C ＝4，所以tan 2C －4tan C ＋4tan 2C ＋1＝4，解得tan C ＝－43或tan C ＝0(舍去)，故选C.【答案】 C4．如图，在△ABC 中，C ＝π3，BC ＝4，点D 在边AC 上，AD ＝DB ，DE ⊥AB ，E 为垂足．若DE ＝22，则cos A 等于( )A.223B.24 C.64D.63【解析】 依题意得：BD ＝AD ＝DE sin A ＝22sin A ，∠BDC ＝∠ABD ＋∠A ＝2∠A .在△BCD 中， BC sin ∠BDC ＝BD sin C ，则4sin 2A ＝22sin A ×23＝423sin A ，即42sin A cos A ＝423sin A，由此解得cos A ＝64，选C.【答案】 C5．如图所示，为测一建筑物的高度，在地面上选取A ，B 两点，从A ，B 两点分别测得建筑物顶端的仰角为30°，45°，且A ，B 两点间的距离为60 m ，则该建筑物的高度为( )A ．(30＋303) mB ．(30＋153) mC ．(15＋303) mD ．(15＋153) m【解析】 设建筑物高度为h ，则h tan 30°－h tan 45°＝60，即(3－1)h ＝60，所以建筑物的高度为h ＝(30＋303)m.【答案】 A6．在三角形ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，若20aBC →＋15bCA →＋12cAB →＝0，则三角形ABC 中最小角的正弦值等于( )A.45B.34C.35D.74【解析】 ∵20aBC →＋15bCA →＋12cAB →＝0，∴20a (AC →－AB →)＋15bCA →＋12cAB →＝0， ∴(20a －15b )AC →＋(12c －20a )AB →＝0.∵AC →与AB →不共线，∴⎩⎪⎨⎪⎧20a －15b ＝0，12c －20a ＝0⇒⎩⎨⎧b ＝43a ，c ＝53a ，∴三角形ABC 中最小角为角A ， ∴cos A ＝b 2＋c 2－a22bc ＝169a 2＋259a 2－a 22×43×53a 2＝45，∴sin A ＝35，故选C. 【答案】 C 二、填空题7．在△ABC 中，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 的对边，若(a ＋b －c )(a ＋b ＋c )＝ab ，c ＝3，当ab 取得最大值时，S △ABC ＝________.【解析】 因为(a ＋b －c )(a ＋b ＋c )＝ab ，a 2＋b 2－c 2＝－ab ，所以cos C ＝－12，所以sinC ＝32，由余弦定理得(3)2＝a 2＋b 2＋ab ≥3ab ，即ab ≤1，当且仅当a ＝b ＝1时等号成立．所以S △ABC ＝34. 【答案】348．已知△ABC 中，AB ＝1，sin A ＋sin B ＝2sin C ，S △ABC ＝316sin C ，则cos C ＝________. 【解析】 ∵sin A ＋sin B ＝2sin C ，由正弦定理可得a ＋b ＝2c .∵S △ABC ＝316sin C ，∴12ab sin C ＝316sin C ，sin C ≠0，化为ab ＝38.由余弦定理可得c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ＝(a ＋b )2－2ab－2ab cos C ，∴1＝(2)2－2×38(1＋cos C )，解得cos C ＝13.【答案】139．已知a ，b ，c 分别为△ABC 的三个内角A ，B ，C 的对边，a ＝2，且(2＋b )(sin A －sin B )＝(c －b )·sin C ，则△ABC 面积的最大值为________．【解析】 由正弦定理得(2＋b )(a －b )＝(c －b )c ， 即(a ＋b )·(a －b )＝(c －b )c ，即b 2＋c 2－a 2＝bc ， 所以cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝12，又A ∈(0，π)，所以A ＝π3，又b 2＋c 2－a 2＝bc ≥2bc －4，即bc ≤4，故S △ABC ＝12bc sin A ≤12×4×32＝3，当且仅当b ＝c ＝2时，等号成立，则△ABC 面积的最大值为 3. 【答案】310．如图，△ABC 中，AB ＝4，BC ＝2，∠ABC ＝∠D ＝60°，若△ADC 是锐角三角形，则DA ＋DC 的取值范围是________．【解析】 在△ABC 中，由余弦定理得AC 2＝AB 2＋BC 2－2AB ·BC cos ∠ABC ＝12，即AC ＝2 3.设∠ACD ＝θ(30°<θ<90°)，则在△ADC 中，由正弦定理得23sin 60°＝DA sin θ＝DCsin (120°－θ)，则DA ＋DC ＝4[sin θ＋sin(120°－θ)]＝4⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+θθcos 23sin 23＝43sin(θ＋30°)，而60°<θ＋30°<120°，43sin 60°<DA ＋DC ≤43sin 90°，即6<DA ＋DC ≤4 3.【答案】 (6,43] 三、解答题11．在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .已知a >b ，a ＝5，c ＝6，sin B ＝35. (1)求b 和sin A 的值；(2)求sin ⎪⎭⎫⎝⎛+42πA 的值． 【解析】 (1)在△ABC 中，因为a >b ，故由sin B ＝35，可得cos B ＝45.由已知及余弦定理，有b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ＝13，所以b ＝13.由正弦定理a sin A ＝b sin B ，得sin A ＝a sin B b ＝31313.所以b 的值为13，sin A 的值为31313.(2)由(1)及a <c ，得cos A ＝21313，所以sin 2A ＝2sin A cos A ＝1213，cos 2A ＝1－2sin 2A ＝－513.故sin ⎪⎭⎫⎝⎛+42πA ＝sin 2A cos π4＋cos 2A sin π4＝7226. 12．如图，在四边形ABCD 中，∠DAB ＝π3，AD ∶AB ＝2∶3，BD ＝7，AB ⊥BC .(1)求sin ∠ABD 的值；(2)若∠BCD ＝2π3，求CD 的长．【解析】(1)∵AD ∶AB ＝2∶3，∴可设AD ＝2k ，AB ＝3k .又BD ＝7，∠DAB ＝π3，∴由余弦定理，得(7)2＝(3k )2＋(2k )2－2×3k ×2k cos π3，解得k ＝1，∴AD ＝2，AB ＝3，sin ∠ABD ＝AD sin ∠DABBD＝2×327＝217.(2)∵AB ⊥BC ，∴cos ∠DBC ＝sin ∠ABD ＝217，∴sin ∠DBC ＝277，∴BD sin ∠BCD ＝CDsin ∠DBC，∴CD＝7×27732＝433.。
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最新整理高三数学解斜三角形
解斜三角形
知识要点
正弦定理：
余弦定理及变式：
三角形性质：
典例评析
1.△ABC中，cos2A＜cos2B是A＞B的( )
A.充分非必要条件
B.必要非充分条件
C.充要条件
D.既非充分也非必要条件
2.在△ABC中，a、b、c分别是∠A、∠B、∠C所对边的边长，若(a+b+c)(sinA+sinB-sinC) = 3a sinB,则∠C等于( )
A.π/6
B.π/3
C.2π/3
D.5π/6
3.△ABC的外接圆半径为R，∠C＝60°，则的最大值为______
4.在△ABC中，若a cosA=b cosB，则△ABC是( )
(A)等腰三角形 (B)直角三角形
(C)等腰直角三角形 (D)等腰或直角三角形
5.在△ABC中，内角A、B、C成等差数列，且AB=8，BC=5，则△ABC的内切圆的面积为( )
A. B. C. D.
7.隔河可看到两目标A、B，但不能到达，在岸边选取相距 km的C、D 两点，并测得∠ACB=75°,∠BCD=45°,∠ADC=30°,
∠ADB=45°(A，B，C，D在同一平面内)，求两目标A、B之间的距离
解题回顾测量问题一般可归结为解三角形问题，将欲计算的线段或角度置于某一可解的三角形中，合理运用正、余弦定理即可
8.我缉私巡逻艇在一小岛南偏西500的方向，距小岛A12海里的B处，发现隐藏在小岛边上的一走私船正开始向小岛的北偏西100的方向行驶，测得速度为每小时10海里，问我巡逻艇须用多大的速度朝什么方向航行才能恰在两小时后截获该走私船(sin380=0.62)。
高中数学 考前归纳总结 解三角形常考基本问题归类
解三角形常考基本问题归类正弦定理和余弦定理是解斜三角形和判定三角形类型的重要工具，其主要作用是将已知条件中的边、角关系转化为角的关系或边的关系。
在近几年高考中主要有以下五大命题热点：一、求解斜三角形中的基本元素：指已知两边一角(或二角一边或三边)，求其它三个元素问 题，进而求出三角形的三线(高线、角平分线、中线)及周长等基本问题．例1、ABC ∆中，3π=A ，BC ＝3，则ABC ∆的周长为（ ） A．)33B π++ B．)36B π++ C ．6sin()33B π++ D ．6sin()36B π++ 分析：由正弦定理，求出b 及c ，或整体求出b ＋c ，则周长为3＋b ＋c 而得到结果．解：由正弦定理得：32sin sin sin sin sin sin sin()33b c b c b c B C B C B B ππ++====++-， 得b ＋c＝B ＋sin(23π－B )]＝6sin()6B π+． 故三角形的周长为：3＋b ＋c ＝6sin()36B π++，故选(D)． 评注：由于本题是选择题也可取△ABC 为直角三角形时，即B ＝6π，周长应为33＋ 3，故排除(A)、(B)、(C)．而选(D)．例2、在ΔABC 中，已知66cos ,364==B AB ，AC 边上的中线BD =5，求sin A 的值． 分析：本题关键是利用余弦定理，求出AC 及BC ，再由正弦定理，即得sin A ．解：设E 为BC 的中点，连接DE ，则DE //AB ，且36221==AB DE ，设BE ＝x 在ΔBDE 中利用余弦定理可得：BED ED BE ED BE BD cos 2222⋅-+=， x x 6636223852⨯⨯++=，解得1=x ，37-=x （舍去） 故BC =2，从而328cos 2222=⋅-+=B BC AB BC AB AC ， 即3212=AC 又630sin =B ，故2sin A =1470sin =A 二、判断三角形的形状：给出三角形中的三角关系式，判断此三角形的形状．例3 在ABC ∆中，已知C B A sin cos sin 2=，那么ABC ∆一定是（ ）A ．直角三角形B ．等腰三角形C ．等腰直角三角形D ．正三角形解法1：由C B A sin cos sin 2=＝sin(A ＋B )＝sin A cos B ＋cos A sin B ，即sin A cos B －cos A sin B ＝0，得sin(A －B )＝0，得A ＝B ．故选(B)．解法2：由题意，得cos B ＝sin 2sin 2C c A a =，再由余弦定理，得cos B ＝2222a c b ac+-． ∴ 2222a c b ac+-＝2c a ，即a 2＝b 2，得a ＝b ，故选(B)． 评注：判断三角形形状，通常用两种典型方法：⑴统一化为角，再判断(如解法1)，⑵统一化为边，再判断(如解法2)．三、解决与面积有关问题：主要是利用正、余弦定理，并结合三角形的面积公式来解题． 例4、在ABC ∆中，若120A ∠=，5AB =，7BC =，则ABC ∆的面积S ＝_________ 分析：本题只需由余弦定理，求出边AC ，再运用面积公式S ＝21AB •AC sin A 即可解决． 解：由余弦定理，得cos A ＝2222254912102AB AC BC AC AB AC AC +-+-==-∙∙， 解得AC ＝3．∴ S ＝21AB •AC sin A ＝4315． ∴21AB •AC •sin A ＝21AC •h ，得h ＝AB • sin A ＝223，故选(A)． 四、求值问题 例5、 在ABC ∆中，C B A ∠∠∠、、所对的边长分别为c b a 、、，设c b a 、、满足条件 222a bc c b =-+和321+=b c ，求A ∠和B tan 的值． 分析：本题给出一些条件式的求值问题，关键还是运用正、余弦定理．解：由余弦定理212cos 222=-+=bc a c b A ，因此，︒=∠60A 在△ABC 中，∠C=180°－∠A －∠B=120°－∠B.由已知条件，应用正弦定理BB BC b c sin )120sin(sin sin 321-︒===+ ,21cot 23sin sin 120cos cos 120sin +=︒-︒=B B B B 解得,2cot =B 从而.21tan =B 五、正余弦定理解三角形的实际应用：利用正余弦定理解斜三角形，在实际应用中有着广 泛的应用，如测量、航海、几何等方面都要用到解三角形的知识，例析如下：（一.）测量问题例1 如图1所示，为了测河的宽度，在一岸边选定A 、B 两点，望对岸标记物C ，测得∠CAB=30°，∠CBA=75°，AB=120cm ，求河的宽度。
新课标高考数学题型全归纳：正余弦定理常见解题类型典型例题
正余弦定理常见解题类型1． 解三角形正弦定理常用于解决以下两类解斜三角形的问题：①已知两角和任一边，求其他两边和一角；②已知两边和其中一边的对角，求另一边的对角及其他的边和角．余弦定理常用于解决以下两类解斜三角形的问题：①已知三边，求三个角；②已知两边和它们的夹角，求第三边和其他两个角．例1 已知在ABC △中，452A a c ∠===o ，，，解此三角形．解：由余弦定理得22cos 454b +-=o ，从而有1b =．又222222cos b b C =+-⨯， 得1cos 2C =±，60C ∠=o 或120C ∠=o ． 75B ∴∠=o 或15B ∠=o ．因此，1b =，60C ∠=o ，75B ∠=o或1b -，120C ∠=o ，15B ∠=o ．注：此题运用正弦定理来做过程会更简便，同学们不妨试着做一做．2． 判断三角形的形状利用正余弦定理判断三角形的形状主要是将已知条件中的边、角关系转化为角的关系或 边的关系，一般的，利用正弦定理的公式2sin 2sin 2sin a R A b R B c R C ===，，，可将边转化为角的三角函数关系，然后利用三角函数恒等式进行化简，其中往往用到三角形内角和定理：A B C ++=π；利用余弦定理公式222222cos cos 22b c a a c b A B bc ac+-+-==，， 222cos 2a b c C ab++=，可将有关三角形中的角的余弦转化为边的关系，然后充分利用代数知识来解决问题．例2 在ABC △中，若2222sin sin 2cos cos b C c B bc B C +=，判定三角形的形状． 解：由正弦定理2sin sin sin a b c R A B C===，为ABC △外接圆的半径， 可将原式化为22228sin sin 8sin sin cos cos R B C R B C B C =，sin sin 0B C ≠∵，sin sin cos cos B C B C ∴=，即cos()0B C +=．90B C ∴+=o ，即90A =o ，故ABC △为直角三角形．3． 求三角形中边或角的范围例3 在ABC △中，若3C B ∠=∠，求c b的取值范围． 解： A B C ∠+∠+∠=π，4A B ∴∠=π-∠．04B π∴<∠<．可得210sin 2B <<． 又2sin sin 334sin sin sin cC B B b B B===-∵， 2134sin 3B ∴<-<．故13c b<<． 点评：此题的解答容易忽视隐含条件B ∠的范围，从而导致结果错误．因此，解此类问题应注意挖掘一切隐含条件．4． 三角形中的恒等式证明根据所证等式的结构，可以利用正、余弦定理化角为边或角的关系证得等式． 例4 在ABC △中，若2()a b b c =+，求证：2A B =． 证明：2222cos 2222a c b bc c b c a B ac ac a b+-++====∵， 22222222222cos 22cos 1214222a a b b bc b c b B B b b b b -+--∴=-=⨯-===． 又222222()cos 222b c a b c bc b c b A bc bc b+-+-+-===∵， cos cos 2A B ∴=，而A B ，是三角形内角，2A B ∴=．一般的，能用正弦定理解的三角形问题，也可用余弦定理去解．在具体的解题过程中，同学们可根据题意及自己对知识的掌握情况灵活选择运用公式．。
高考解斜三角形题型归纳
1.（福建卷文7）已知锐角ABC ∆的面积为33，4,3BC CA ==，则角C 的大小为 A. 75° B. 60°B. 45° D.30°2.（广东卷文7）已知ABC ∆中，C B A ∠∠∠,,的对边分别为a ,b,c 若a =c=26+且75A ∠=，则b=A.2 B ．4＋23 C ．4—23 D ．62- A3.（湖南卷文7）在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边长分别为a,b,c ，若∠C=120°，2c a =,则A 、a>bB 、a<bC 、a=bD 、a 与b 的大小关系不能确定4.（上海卷文18）若△ABC 的三个内角满足sin :sin :sin 5:11:13A B C =，则△ABC （A ）一定是锐角三角形. （B ）一定是直角三角形.（C ）一定是钝角三角形. (D)可能是锐角三角形，也可能是钝角三角形.由余弦定理得0115213115cos 222<⨯⨯-+=c ，所以角C 为钝角，选C5.（北京卷理10文10）在△ABC 中，若b = 1，323C π∠=，则a = 。
【答案】1。
6. （广东卷文13）已知a ，b ，c 分别是△ABC 的三个内角A ，B ，C 所对的边，若a=1，3A+C=2B ，则sinA= 7． （山东卷理15文15）在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若a=2，b=2，sinB+cosB=2，则角A 的大小为______________.8． （全国Ⅰ新卷文16）在△ABC 中，D 为BC 边上一点，3BC BD =,2AD =,135ADB ο∠=.若2AC AB =,则BD=_____ 【答案】25二、计算题：（充分结合三角形内角和等于180）正弦定理的应用：1.（辽宁卷文17）在ABC 中，a b c 、、分别为内角AB C 、、的对边，且2sin (2)sin (2)sin a A b c B c b C =+++ （Ⅰ）求A 的大小；120o（Ⅱ）若sin sin 1B C +=，是判断ABC 的形状。
例谈求解斜三角形的几种常见题型
例谈求解斜三角形的几种常见题型
例谈求解斜三角形的几种常见题型
斜三角形是数学当中一个重要的概念，也是数学应用中最重要的基本形式之一，有着重要的实际意义。
斜三角形的求解是数学中的一个重要问题，可以按其力学性质分为内角和外角的求解，也可以根据对斜边的不同求解包括斜边长、角度、面积等。
首先，根据对斜边的求解，我们可以分为两种情况：斜边长的求解和角度的求解。
斜边长的求解可以利用直角三角形的勾股定理（三角形两条直角边的平方和等于最后一边的平方），利用已知两条直角边及夹角角度，可以求得斜边长。
角度的求解可以利用余弦定理（三角形两边夹角的余弦值等于其对边除以斜边），利用已知两条直角边及夹角的余弦值，可以求得夹角角度。
其次，我们还可以针对斜边面积的求解。
斜三角形的面积的求解，利用的是斜
三角形面积公式，利用已知三条边可以计算出其面积大小。
最后，还有内角和外角的求解。
内角的求解可以利用三角形内角和定理（所有
三角形内角的总和等于180度），利用已知三个角的大小可以求得其剩余角的大小。
而外角的求解，利用的是外角伸展公式（被伸展的角度和正角的和等于与正閉路），利用已知的外角只需求出全部正角的和，就可以求出剩余的正角的大小。
总的来说，斜三角形的求解可以分为斜边长、角度、面积、内角和外角的求解，求解方法也有不同，但是利用三角形的勾股定理、余弦定理、内角和定理以及外角伸展公式都可以解决我们的实际问题。
高三数学解斜三角形
A BC cos sin 2 2
2
2
等 . 另外灵活运用正弦定理、余弦定理，要 注意边角互换.
变式1：在△ABC中，若tanA︰tanB＝a : b ， 试判断△ABC的形状．
热点题型2 与数列及平面向量的角 A 、 B 、 C 的对边分别 为a、b、c，已知a、b、c成等比数列，且
解斜三角形
高三备课组
高考要求
三角形中的三角函数关系是历年高考的重 点内容之一，本节主要帮助考生深刻理解 正、余弦定理，掌握解斜三角形的方法和 技巧 重难点归纳 (1)运用方程观点结合恒等变形方法巧解三角形； (2)熟练地进行边角和已知关系式的等价转化；
(3)能熟练运用三角形基础知识，正、余弦定理 及面积公式与三角函数公式配合，通过等价转 化或构建方程解答三角形的综合问题，注意隐 含条件的挖掘
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无数惨状,心情从未像今日那般否可名状.衣带渐宽终否悔,为伊消得人憔悴.东舌放轻咯步调,慢慢走向甄宓憔悴の背影,两个人否断在茉莉花中壹步步靠近.东舌将手轻轻搭在咯甄宓の玉肩上,语气很复杂地说咯壹句:"甄儿,我回来咯." 甄宓の身躯突然为之壹动,吐吐回过头来,望着眼前自己朝思暮想の情郎,水灵の美眸开始回转起来."我以为您再也否会回来咯,您晓得我晓得您出事の时候,我有多担心您吗？"甄宓扑到咯东舌の怀中,梨花带雨地呜咽起来,泪水否断浸 湿东舌の衣襟.东舌用双手紧紧拥着依偎在怀中泣否成声の甄宓,说道:"我晓得,我全部都晓得."东舌只觉视线开始否断模糊起来,眼眶越来越红,将甄宓用双手引出怀中,两人眼神聚焦在咯壹起."甄儿,我再也否会否守诺言地离开您咯, 等回到襄阳我们就成婚,我要您做我东舌壹生壹世の钱塘王妃."东舌眼神柔情无限,望着甄宓の美眸坚定の许下誓言.甄宓如玉面容旁の秀发已经被泪水结交在咯壹起,点咯点头回应道:"嗯"东舌望着甄宓绝世の娇颜,用右手轻轻拨开那 几丝凌乱の发丝,两人越靠越近.身体瞬间被束缚进壹个有力の怀抱,否需要表达の情感湮没在满是深意の吻里面,那壹瞬间の悸动,使彼此忘记咯周围の壹切.风否断吹散着茉莉花,花香将两人包围在咯壹起.山无陵,江水为竭.天地合,乃 敢与君绝/Ps:（青衣第壹次写那种,写の否好请见谅,在那里推荐壹下朋友の壹本唤英杰闯汉末,感兴趣の朋友可以去看看）（未完待续o(∩_∩)o）壹百叁十部分再会曹操千言万语,否及壹吻天荒.壹番抚慰过后,东舌牵着甄宓の手,吐 吐走向前厅而去.前厅之中,秦琼与众多前来贺寿の朋友正在壹壹道谢,那群人中,多数是叱咤江湖の壹方好汉,也有少数是官府の小吏或者官员.东舌牵着甄宓在众人谈笑之时步入前厅,单雄信等人朝东舌拱手壹礼,东舌笑着还咯众人壹 礼."想否到血洗济南,大闹洛阳の好汉,居然就是连番挫败朝廷大军の钱塘王,今日还敢潜入济南贺寿,鬼某佩服."单雄信身旁壹人拂袖挥动,朝东舌供咯壹礼,浑身散发着壹种飘逸独特の气势.东舌望咯壹眼甄宓笑道:"兄台有礼咯,那都 是吹捧罢咯,还否知兄台尊姓大名？""尪兄弟,忘咯给您引荐壹下,那位便是我二贤庄の鬼道长,鬼征."单雄信在壹旁抬手让两人相互认识."鬼征？"东舌心中闪过几分震惊,转而客气の拱手称道:"见过鬼先生,果然是壹身仙风韵味."客套 之余,东舌早已向操作界面发送信息查询鬼征の四维,作为壹个穿越者,对于鬼征那种神喷谏臣实属好奇."正在检测中鬼征四维如下,武力:55,智力:92,统率:68,政治:97,请宿主注意查看."听着操作界面の通告,东舌忍否住内心夸赞起 来:"好强の政治,居然比长昭还要高出咯1点,难怪帮木二造就咯贞观之治."看上咯鬼征の政治能力,便开始心生爱才之心,按当前の局势发展,自己若是想要收服鬼征等人,也并非没什么可能."壹笑倾城又倾国,再笑才子配佳人,妙哉,妙 哉."就在东舌感慨之时,角落中壹人突然高颂诗句慢慢走到众人面前.东舌斜目望去,壹眼便认出咯吟诗之人,此人正是曹操曹孟德.曹操朝东舌慢慢走来,身边跟着两人,分别是戏志才和许褚,壹个骨瘦如柴,壹个虎背狼腰,形成鲜明の对 比.东舌松开甄宓の手,深吸壹口气高声道:"孟德兄,许久未见,别来无恙啊."曹操浓眉微微抖动,装作壹脸热情の上前说道:"哈哈,独孤恬东舌,曹某当日早就说咯,您便是当今天下英雄,如今看来果然否假.""否敢当,若是我没什么记错の 话,孟德兄当日也曾夸谈自己是天下英雄吧？"东舌话锋壹转,冷冷地反问到.曹操半开の眼眸,陡然全部睁开,鹰眉微微抽动说道:"钱塘王真会开玩笑,曹某何德何能,只是开个玩笑罢咯."东舌冷笑壹声,旋即说道:"曹兄那日壹句燕雀安知 鸿鹄之志可谓让我难以忘怀啊.""行咯,别争来争去咯,明天是秦伯母の寿宴,大家还是开开心心の在壹起把酒言欢."曹操尚未开口,壹旁の单雄信看否下去两人の争执,便挡在两人中间大声说道.秦琼为咯让两人下台,笑道:"今日秦某再 次多谢诸位兄弟前来祝贺,前院内已经摆好两桌宴席,还请诸位兄弟与秦某来内院,壹起把酒言欢."秦琼话壹出,众人纷纷开始嚷着:"走,兄弟们和叔宝喝酒去,今天壹定要喝个否醉否归."东舌与曹操脸上顿时浮现出笑意,两人相视而笑, 壹起随众人走进院内入座就餐.总计来访四十七人,摆咯两长大桌子,壹时间倒酒碰杯声否断传来,甚至还玩起咯猜拳罚酒.东舌与甄宓,赵雨,高顺,曹操,单雄信,秦琼等主要人坐在壹桌,众人敬过壹杯酒后,单雄信起身朝秦琼问道."叔宝 啊,那次来山东打算待多久？"秦琼顿咯顿说否出话来,将目光抛向咯东舌,东舌思虑片刻,随即说:"单二哥,那次我们来山东,为咯防止行踪被泄漏,所以打算等明天秦母寿宴过咯,便立即赶回襄阳.""咳咳,那么快就要走,众兄弟千里迢迢 前来贺寿,本想好好与各位谈天论地壹番,却否想那么快就要走."戏志才干咳几声,眼神中掠过几分异色,突然接过口来叹道.戏志才此言,摆明咯要秦琼等人在山东多留几日,多留几日也便意外着多几分危险,东舌否知戏志才葫芦里卖の 到底是什么药,但晓得绝对否会是什么善茬."の确,您们否辞劳苦赶来贺寿,秦某匆匆离去,倒真是有点对否住咯."秦琼说着脸上有点尴尬.曹操沉吟片刻,嘴角突然抽搐几下,开口说道:"秦兄,我看否如那样,明日伯母寿宴过后,便送伯母 先回襄阳,我等众兄弟壹起聚在贾家楼好好畅谈壹番再各自分散离去,您看如何？""我看如此可以,那明日便送家母先去襄阳,我等众兄弟再聚贾家楼,那贾老板与我熟识想必定否会为难于我,殿下您认为呢？"秦琼当即认可咯那个意见, 可以与众兄弟壹起聚会,即便出咯什么事情也否会连累到秦母.东舌壹笑,将杯中之酒壹饮而尽,瞥咯壹眼曹操说道:"既然大家都那么有兴致,我也否好扰咯大家の兴,那明日我写壹封书信,让甄姑娘与秦伯母壹起先回襄阳,到时候也好有 个照应."甄宓先是壹愣,玉手轻轻搭在东舌の肩膀上说:"您否是说否会再离开我咯吗？"东舌用中指划咯壹下甄宓の鼻尖,温和地说道:"傻瓜,用否咯多久我就会回来の,那次先听话和秦伯母壹起回襄阳."甄宓也明白东舌是为咯自己安危 着想,便只能点咯点头,低头否语.东舌回过头来对高顺,程咬金,尤俊达叁人说道:"叁位贤弟,明日还劳烦您们叁人护送壹下秦伯母与甄姑娘回襄阳."高顺与尤俊达也否多说什么,颔首点头表示大营,程咬金却是壹脸の否情愿地说:"大哥, 俺老程是真心想在济南和大家玩几天,那么急催俺走做啥."东舌想着以高顺90の武力配上尤俊达壹个叁流实力,应该否会出太大问题,便笑着说道:"那您便留下来就是,明天还要劳烦高,尤两位贤弟咯.""吁/"东舌话音刚落,大门外突然传 来几声马蹄声与勒马声,紧接着大门被打开,一些俊俏の年轻男子出现在咯门前.当先壹个白衣男子见到秦琼便上来喊道:"表哥."（未完待续o(∩_∩)o）壹百叁十壹部分冷面寒枪俏罗成壹阵马蹄飞扬起尘土,紧接着大门被推开,走进一 些年轻俊俏男子,当先壹个白衣男子见到秦琼便上前喊咯壹声表哥.众人昂首望去,只见他身高将近八尺,年纪否过十七八.生得眉清目秀,齿白唇红,面如团粉,五官被雕刻得如天使那般の完美,俊朗得可比春秋战国时期の齐国邹忌,郑国 子都.腰间两枚紫玉幽水佩在阳光下显得十分晶莹碧透.此人正是北平王罗艺之子,人称冷面寒枪の罗成.秦琼见罗成来到,匆匆起身离开座位,见咯罗成说道:"表弟您怎么来咯？"罗成墨色の碎发在白衣上显得格外分明,随风否断飘荡起 来,冷峻の面容上露出几丝笑意,将身后の贺礼往前壹提说道:"表哥,上次幽州壹别,父王让我特地前来给舅母贺寿,您瞧,寿礼都拿来咯."秦琼接过寿礼笑着说:"姑父姑母太有心咯,也否知他
高二数学解斜三角形试题答案及解析
高二数学解斜三角形试题答案及解析1.已知函数其中在中，分别是角的对边，且．（1）求角Ａ；（2）若，，求的面积．【答案】(1) (2)【解析】(1)根据向量的数量积运算可得函数的解析式.然后将代入可得.(2)根据题中所给条件以及角,利用余弦定理,联立可得.最后根据求得面积.试题解析：（1）因为,且.所以,可得或.解得或（舍）（2）由余弦定理得，整理得联立方程解得或。
所以【考点】向量的数量积运算;三角函数特殊角;余弦定理;三角形面积公式.2.已知两灯塔A和B与海洋观测站C的距离相等，灯塔A在观察站C的北偏东400，灯塔B在观察站C 的南偏东600，则灯塔A在灯塔B的（）A．北偏东100B．北偏西100C．南偏东100D．南偏西100【答案】B【解析】如图所示，，则内，则，所以灯塔A在灯塔B的北偏西100【考点】本题考查方向角.3.在塔底的水平面上某点测得塔顶的仰角为，由此点向塔沿直线行走米，测得塔顶的仰角为，则塔高是米.【答案】【解析】如下图，是塔高，则由，由，所以，解得.【考点】解三角形.4.在中，，，，则的面积是（）A．B．C．D．【答案】C【解析】因为，，所以，所以则的面积故选C【考点】解三角形及三角形面积公式.5.在中，已知，求边的长及的面积.【答案】，.【解析】根据题意，由余弦定理，可求出的值，再由三角形面积公式，可求得的面积.试题解析：在中,由余弦定理得: 3分∴ 6分由三角形的面积公式得： 9分12分【考点】1.余弦定理；2.三角形面积.6.在△ABC中,内角A,B,C的对边分别为,若.(1)求角B;(2)若的面积为,求函数的单调增区间【答案】(1)； (2)单调增区间【解析】(1)∵∴又∵∴∴(2)∴∴∴令得单调增区间【考点】余弦定理的应用，和差倍半的三角函数公式。
点评：中档题，涉及三角形问题，将三角函数问题与正弦定理、余弦定理得应用综合考查，比较典型。
注意发挥三角公式的化简作用。
复合函数的单调性遵循“内外层函数，同增异减”。
高考数学总复习之(18)解斜三角形
高考数学总复习之解斜三角形一、知识梳理1.正弦定理：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等，即A a sin =B b sin =Ccsin . 利用正弦定理，可以解决以下两类有关三角形的问题. （1）已知两角和任一边，求其他两边和一角；（2）已知两边和其中一边的对角，求另一边的对角.（从而进一步求出其他的边和角） 2.余弦定理：三角形任何一边的平方等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍，即a 2=b 2+c 2－2bc cos A ； b 2=c 2+a 2－2ca cos B ； c 2=a 2+b 2－2ab cos C .在余弦定理中，令C =90°，这时cos C =0，所以c 2=a 2+b 2. 由此可知余弦定理是勾股定理的推广.由①②③可得cos A =bc a c b 2222-+；cos B =ca b a c 2222-+；cos C =abc b a 2222-+.利用余弦定理，可以解决以下两类有关三角形的问题： （1）已知三边，求三个角；（2）已知两边和它们的夹角，求第三边和其他两个角. 3.三角形解的个数两定理的形式、内容、证法及变形应用必须引起足够的重视，通过向量的数量积把三角形和三角函数联系起来，用向量方法证明两定理，突出了向量的工具性，是向量知识应用的实例.另外，解三角形问题可能出现一解、两解或无解的情况，这时应结合“三角形中大边对大角定理及几何作图来帮助理解”.二、点击双基1.（上海）在△ABC 中，若2cos B sin A =sin C ，则△ABC 的形状一定是（ ） A.等腰直角三角形 B.直角三角形 C.等腰三角形 D.等边三角形 解析：由2cos B sin A =sin C 得acb c a 222-+×a =c ，∴a =b .答案：C2.下列条件中，△ABC 是锐角三角形的是（ ） A.sin A +cos A =51 B.AB ·BC ＞0 C.tan A +tan B +tan C ＞0D.b =3，c =33，B =30°解析：由sin A +cos A =51 得2sin A cos A =－2524＜0，∴A 为钝角. 由AB ·BC ＞0，得BA ·BC ＜0，∴cos 〈BA ，BC 〉＜0.∴B 为钝角. 由tan A +tan B +tan C ＞0，得tan （A +B ）·（1－tan A tan B ）+tan C ＞0. ∴tan A tan B tan C ＞0，A 、B 、C 都为锐角.由B b sin =C c sin ，得sin C =23，∴C =3π或3π2.答案：C3.（全国Ⅳ，理11）△ABC 中，a 、b 、c 分别为∠A 、∠B 、∠C 的对边，如果a 、b 、c成等差数列，∠B =30°，△ABC 的面积为23，那么b 等于（ ） A.231+ B.1+3 C.232+ D.2+3解析：∵a 、b 、c 成等差数列，∴2b =a +c .平方得a 2+c 2=4b 2－2ac .又△ABC 的面积为23，且∠B =30°，故由S △ABC =21ac sin B =21ac sin30°=41ac =23，得ac =6.∴a 2+c 2=4b 2－12.由余弦定理，得cos B =ac b c a 2222-+=6212422⨯--b b =442-b =23，解得b 2=4+23.又b 为边长，∴b =1+3.答案：B4.已知（a +b +c ）（b +c －a ）=3bc ，则∠A =_______. 解析：由已知得（b +c ）2－a 2=3bc ，∴b 2+c 2－a 2=bc .∴bc a c b 2222-+=21.∴∠A =3π.答案：3π5.在锐角△ABC 中，边长a =1，b =2，则边长c 的取值范围是_______.解析：若c 是最大边，则cos C ＞0.∴abc b a 2222-+＞0，∴c ＜5.又c ＞b －a =1，∴1＜c ＜5.答案：（1，5）6.（重庆理6）若△ABC 的内角A 、B 、C 所对的边a 、b 、c 满足4)(22=-+c b a ，且C=60°，则ab 的值为 _______.答案：34二、典例剖析例1 △ABC 的三个内角A 、B 、C 的对边分别是a 、b 、c ，如果a 2=b （b +c ），求证：A =2B . 剖析：研究三角形问题一般有两种思路.一是边化角，二是角化边. 证明：用正弦定理，a =2R sin A ，b =2R sin B ，c =2R sin C ，代入a 2=b （b +c ）中，得sin 2A =sin B （sin B +sin C ）⇒sin 2A －sin 2B =sin B sin C⇒22cos 1A -－22cos 1B -=sin B sin （A +B ）⇒21（cos2B －cos2A ）=sin B sin （A +B ） ⇒sin （A +B ）sin （A －B ）=s in B sin （A +B ），因为A 、B 、C 为三角形的三内角，所以sin （A +B ）≠0.所以sin （A －B ）=sin B .所以只能有A －B =B ，即A =2B .评述：利用正弦定理，将命题中边的关系转化为角间关系，从而全部利用三角公式变换求解.（1）该题若用余弦定理如何解决?解：利用余弦定理，由a 2=b （b +c ），得cos A =bc a c b 2222-+=bc c b b c b 222）（）（+-+=b bc 2-，cos2B =2cos 2B －1=2（ac b c a 2222-+）2－1=2222cc b b c c b ）（）（++－1=b b c 2-. 所以cos A =cos2B .因为A 、B 是△ABC 的内角，所以A =2B .（2）该题根据命题特征，能否构造一个符合条件的三角形，利用几何知识解决?解：由题设a 2=b （b +c ），得c b a +=ab①，作出△ABC ，延长CA 到D ，使AD =AB =c ，连结BD .①式表示的即是DC BC =BCAC，所以△BCD ∽△AB C.所以∠1=∠D .又AB =AD ，可知∠2=∠D ，所以∠1=∠2.因为∠BAC =∠2+∠D =2∠2=2∠1， 所以A =2B .评述：近几年的高考题中，涉及到三角形的题目，重点考查正弦、余弦定理，考查的侧重点还在于三角转换.这是命题者的初衷.例2 （全国Ⅱ，17）已知锐角△ABC 中，sin （A +B ）=53，sin （A －B ）=51. （1）求证：tan A =2tan B ；（2）设AB =3，求AB 边上的高.剖析：有两角的和与差联想到两角和与差的正弦公式，结合图形，以（1）为铺垫，解决（2）.（1）证明：∵sin （A +B ）=53，sin （A －B ）=51， A B CDab c 21∴⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=+51sin cos cos sin 53sin cos cos sin B A B A B A B A B A B A B A tan tan 51sin cos 52cos sin ⇒⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==⇒=2. ∴tan A =2tan B . （2）解：2π＜A +B ＜π，∴sin （A +B ）=53. ∴tan （A +B ）=－43， 即B A B A tan tan 1tan tan -+=－43.将tan A =2tan B 代入上式整理得2tan 2B －4tan B －1=0，解得tan B =262±（负值舍去）.得tan B =262+，∴tan A =2tan B =2+6. 设AB 边上的高为CD ，则AB =AD +DB =A CD tan +B CDtan =623+CD .由AB =3得CD =2+6，所以AB 边上的高为2+6.评述：本题主要考查三角函数概念，两角和与差的公式以及应用，分析和计算能力. 例3 （春季北京）在△ABC 中，a 、b 、c 分别是∠A 、∠B 、∠C 的对边长，已知a 、b 、c 成等比数列，且a 2－c 2=ac －bc ，求∠A 的大小及cBb sin 的值. 剖析：因给出的是a 、b 、c 之间的等量关系，要求∠A ，需找∠A 与三边的关系，故可用余弦定理.由b 2=ac可变形为c b 2=a ，再用正弦定理可求cBb sin 的值.解法一：∵a 、b 、c 成等比数列，∴b 2=ac .又a 2－c 2=ac －bc ，∴b 2+c 2－a 2=bc .在△ABC 中，由余弦定理得：cos A =bc a c b 2222-+=bc bc 2=21，∴∠A =60°.在△ABC 中，由正弦定理得sin B =a Ab sin ，∵b 2=ac ，∠A =60°，∴acb c B b ︒=60sin sin 2=sin60°=23. 解法二：在△ABC 中，由面积公式得21bc sin A =21ac sin B .∵b 2=ac ，∠A =60°，∴bc sin A =b 2sin B .∴cBb sin =sin A =23.评述：解三角形时，找三边一角之间的关系常用余弦定理，找两边两角之间的关系常用正弦定理.三、闯关训练1.（浙江，8）在△ABC 中，“A ＞30°”是“sin A ＞21”的 A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件解析：在△ABC 中，A ＞30°⇒0＜sin A ＜1sin A ＞21；sin A ＞21⇒30°＜A ＜150°⇒A ＞30°.答案：B2.在△ABC 中， A=030,8=a ,38=b ，则△ABC 的面积为（ ）A.332B. 16C.332或16D. 332或316解析：由正弦定理得，23sin =B ，∴060=B 或1200，再由面积公式得332或316。
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1.（福建卷文7）已知锐角ABC ∆的面积为33，4,3BC CA ==，则角C 的大小为 A. 75° B. 60°B. 45° D.30°2.（广东卷文7）已知ABC ∆中，C B A ∠∠∠,,的对边分别为a ,b,c 若a =c=26+且75A ∠=，则b=A.2 B ．4＋23 C ．4—23 D ．62- A3.（湖南卷文7）在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边长分别为a,b,c ，若∠C=120°，2c a =,则A 、a>bB 、a<bC 、a=bD 、a 与b 的大小关系不能确定4.（上海卷文18）若△ABC 的三个内角满足sin :sin :sin 5:11:13A B C =，则△ABC （A ）一定是锐角三角形. （B ）一定是直角三角形.（C ）一定是钝角三角形. (D)可能是锐角三角形，也可能是钝角三角形.由余弦定理得0115213115cos 222<⨯⨯-+=c ，所以角C 为钝角，选C5.（北京卷理10文10）在△ABC 中，若b = 1，323C π∠=，则a = 。
【答案】1。
6. （广东卷文13）已知a ，b ，c 分别是△ABC 的三个内角A ，B ，C 所对的边，若a=1，3A+C=2B ，则sinA= 7． （山东卷理15文15）在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若a=2，b=2，sinB+cosB=2，则角A 的大小为______________.8． （全国Ⅰ新卷文16）在△ABC 中，D 为BC 边上一点，3BC BD =,2AD =,135ADB ο∠=.若2AC AB =,则BD=_____ 【答案】25二、计算题：（充分结合三角形内角和等于180）正弦定理的应用：1.（辽宁卷文17）在ABC 中，a b c 、、分别为内角AB C 、、的对边，且2sin (2)sin (2)sin a A b c B c b C =+++ （Ⅰ）求A 的大小；120o（Ⅱ）若sin sin 1B C +=，是判断ABC 的形状。
2.（全国Ⅰ卷文18）已知∆ABC 的内角A ，B 及其对边a，b满足cot cot a b a A b B +=+，求内角C ．3. （全国Ⅱ卷理17文17）ABC ∆中，D 为边BC 上的一点，33BD =，5sin 13B =，3cos 5ADC ∠=，求AD ．254.（陕西卷文17）在△ABC 中，已知B=45°,D 是BC 边上的一点， AD=10,AC=14,DC=6，求AB 的长. 565.（天津卷文17）在∆ABC 中，cos cos AC BAB C =。
（Ⅰ）证明B=C ： （Ⅱ）若cos A =-13，求sin4B 3π⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值。
427318- 余弦定理的应用：6.（浙江卷文18）在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a,b,c,设S 为△ABC 的面积，满足2223()4S a b c =+-。
（Ⅰ）求角C 的大小； （Ⅱ）求sin sin A B +的最大值。
3.7.在ABC ∆中，内角A 、b 、c 的对边长分别为a 、b 、c.已知222a c b -=，且sin 4cos sin B A C =，求b. 48.（重庆卷文18）设△ABC 的内角A 、B 、C 的对边长分别为a 、b 、c ，且22233342b c a bc +-=.（Ⅰ）求sin A 的值.1/3 （Ⅱ）求2sin()sin()441cos 2A B C Aππ+++-的值.面积公式的应用：9.（安徽卷理16）在∆ABC 中，sin()1C A -=, sinB=13. （I ）求sinA 的值；33(II)设AC=6，求∆ABC 的面积. 23 10.（安徽卷文16）ABC ∆的面积是30，内角,,A B C 所对边长分别为,,a b c ，12cos 13A =。
(Ⅰ)求AB AC ； 144(Ⅱ)若1c b -=，求a 的值。
511. （湖北卷文16）在锐角△ABC 中，a 、b 、c 分别为角A 、B 、C 所对的边，且A c a sin 23=(Ⅰ)确定角C 的大小：60o（Ⅱ）若c ＝7,且△ABC 的面积为233,求a ＋b 的值。
512. （全国Ⅱ卷文18）设ABC ∆的内角A 、B 、C 的对边长分别为a 、b 、c ，3cos()cos 2A CB -+=，2b ac =，求B 。
60o练习：（2008年高考题汇编）一、选择题： 1．（安徽文）在三角形ABC 中，5,3,7AB AC BC ===,则BAC ∠的大小为（ A ）A ．23πB ．56π C ．34π D ．3π2．（北京文）已知△ABC 中，a =2,b =3,B =60°,那么角A 等于（ C ）（A ）135°(B)90° (C)45°(D)30°3．(福建文)在中，角A,B,C 的对应边分别为a,b,c,若222a cb +-=，则角B 的值为（A ）Ａ．6π Ｂ．3π Ｃ．6π或56πＤ．3π或23π4．(8湖南文)在ABC ∆中，AB=3，AC=2，BC=10，则AB AC ⋅= ( D )A ．23-B ．32- C ．32 D ．235.(山东文)已知a b c ，，为ABC △的三个内角A B C ，，的对边，向量1)(cos sin )A A =-=，，m n ．若⊥m n ，且cos cos sin a B b A c C +=，则角A B ，的大小分别为（ C ）A ．ππ63，B ．2ππ36，C ．ππ36，D ．ππ33，6．(四川文)ABC ∆的三内角,,A B C 的对边边长分别为,,a b c ，若,2a A B ==，则cos B =( B )7. (湖北文)在△ABC 中，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 所对的边，已知3,30,a b c ===︒则A ＝ 30° .8.(陕西文) ABC △的内角A B C ，，的对边分别为a b c ，，，若120c b B ===，则a = 9．（浙江文）在△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c 。
若,cos cos )3(C a A c b =-则cos A =33. 二、计算题：10．(全国Ⅰ卷文)设ABC △的内角A B C ，，所对的边长分别为a b c ，，，且cos 3a B =，sin 4b A =． （Ⅰ）求边长a ；（Ⅱ）若ABC △的面积10S =，求ABC △的周长l ．11. （四川卷文17）在ABC ∆中，A B 、为锐角，角A B C 、、所对的边分别为a b c 、、，且sin ,sin 510A B ==（I ）求A B +的值； （II ）若1a b -=，求a b c 、、的值。
12. （浙江卷文18）在ABC ∆中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，且满足cos2A =，3AB AC ⋅=． （I ）求ABC ∆的面积； （II ）若1c =，求a 的值． 13．(2008全国Ⅱ卷文) 在ABC △中，5cos 13A =-，3cos 5B =． （Ⅰ）求sinC 的值；（Ⅱ）设5BC =，求ABC △的面积．14． (2008重庆文) 设△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ,b ,c .已知222b c a +=，求：（Ⅰ）A 的大小;（Ⅱ）2sin cos sin()B C B C --的值.解答：10．(2008全国Ⅰ卷文)设ABC △的内角A B C ，，所对的边长分别为a b c ，，，且cos 3a B =，sin 4b A =． （Ⅰ）求边长a ；（Ⅱ）若ABC △的面积10S =，求ABC △的周长l ．6．解：（1）由cos 3a B =与sin 4b A =两式相除，有：3cos cos cos cot 4sin sin sin a B a B b B B b A A b B b ==== 又通过cos 3a B =知：cos 0B >，则3cos 5B =，4sin 5B =，则5a =．（2）由1sin 2S ac B =，得到5c =．由222cos a c b B ac+-=，解得：b = 最后10l =+．11. （四川卷文17）在ABC ∆中，A B 、为锐角，角A B C 、、所对的边分别为a b c 、、，且sin ,sin 510A B == （I ）求A B +的值；（II ）若1a b -=，求a b c 、、的值。
【解析】（I ）∵A B 、为锐角，sin 510A B ==∴ cos A B ====cos()cos cos sin sin A B A B A B +=-== ∵ 0A B π<+< ∴ 4A B π+=…………………………………………6分（II ）由（I ）知34C π=，∴ sin 2C =由sin sin sin a b cA B C====，即,a c ==又∵ 1a b -=∴1b -=∴ 1b =∴ a c ==………………………12分12. （天津卷理17文17）在ABC ∆中，AC AC BC sin 2sin ,3,5===（Ⅰ）求AB 的值。
（Ⅱ）求)42sin(π-A 的值。
【解析】（1）在ABC ∆ 中，根据正弦定理，ABCC AB sin sin =， 于是522sin sin ===BC ABCCAB （2）解：在ABC ∆ 中，根据余弦定理，得ACAB BC AC AB A •-+=2cos 222于是A A 2cos 1sin -==55， 从而53sin cos 2cos ,54cos sin 22sin 22=-===A A A A A A 1024sin2cos 4cos2sin )42sin(=-=-πππA A A 【考点定位】本题主要考查正弦定理，余弦定理同角的三角函数的关系式，二倍角的正弦和余弦，两角差的正弦等基础知识，考查基本运算能力。
13 （浙江卷文18）在ABC ∆中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，且满足25cos25A =， 3AB AC ⋅=．（I ）求ABC ∆的面积； （II ）若1c =，求a 的值． 解析：（Ⅰ）531)552(212cos2cos 22=-⨯=-=A A又),0(π∈A ，54cos 1sin 2=-=A A ， 而353cos ...===bc A AC AB AC AB ，所以5=bc ， 所以ABC ∆的面积为：254521sin 21=⨯⨯=A bc （Ⅱ）由（Ⅰ）知5=bc ，而1=c ，所以5=b 所以5232125cos 222=⨯-+=-+=A bc c b a14．(2008全国Ⅱ卷文) 在ABC △中，5cos 13A =-，3cos 5B =． （Ⅰ）求sinC 的值；（Ⅱ）设5BC =，求ABC △的面积．9．解：（Ⅰ）由5cos 13A =-，得12sin 13A =， 由3cos 5B =，得4sin 5B =． ··········································································· 2分所以16sin sin()sin cos cos sin 65C A B A B A B =+=+=． ····································· 5分（Ⅱ）由正弦定理得45sin 13512sin 313BC B AC A ⨯⨯===． ··········································· 8分 所以ABC △的面积1sin 2S BC AC C =⨯⨯⨯1131652365=⨯⨯⨯83=． ······················ 10分 15． (2008重庆文) 设△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ,b ,c .已知222b c a +=，求：（Ⅰ）A 的大小;（Ⅱ）2sin cos sin()B C B C --的值. 11．（本小题13分）解：(Ⅰ)由余弦定理，2222cos ,a b c bc A =+-222cos 222.6b c a A bc bc A π+-====故所以 (Ⅱ) 2sin cos sin()B C B C --2sin cos (sin cos cos sin )sin cos cos sin sin()sin()1sin .2B C B C B C B C B CB C A A π=--=+=+=-==。