选修2.3.2离散型随机变量的方差课件
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高中数学2-3-2 离散型随机变量的方差 名师公开课市级获奖课件(人教A版选修2-3)
0.2 0.3 0.2 0.1
∴ D(2X － 1) ＝ ( － 1 － 2.6)2×0.2 ＋ (1 － 2.6)2×0.2 ＋ (3 － 2.6)2×0.3＋(5－2.6)2×0.2＋(7－2.6)2×0.1＝6.24. 方法 2：利用方差的性质 D(aX＋b)＝a2D(X)． ∵D(X)＝1.56. ∴D(2X－1)＝4D(X)＝4×1.56＝6.24.
2 ( x － E ( X )) 则 i 描述了 x (i＝1,2，…，n)相对于均值 E(X)的
i
偏离程度，而 D(X)＝
i＝1
xi－EX2pi
n
为这些偏离程度的加权
平均，刻画了随机变量 X 与其均值 E(X)的 平均偏离程度． 我 们称 D(X)为随机变量 X 的方差，其算术平方根 DX为随机变 量 X 的 标准差．
[答案]
[ 解析 ]
B．2 和 2.4 D．6 和 5.6
B
∵ X ～ B(10,0.6) ，∴ E(X) ＝ 10×0.6 ＝ 6 ， D(X) ＝
10×0.6×(1－0.6)＝2.4， ∴E(η)＝8－E(X)＝2，D(η)＝(－1)2D(X)＝2.4.
建模应用引路
方差的实际应用
A、B 是治疗同一种疾病的两种药，用若干试验组 进行对比实验． 每个试验组由 4 只小白鼠组成， 其中 2 只服用 A， 另 2 只服用 B，然后观察疗效．若在一个试验组中，服用 A 有效 的小白鼠的只数比服用 B 有效的多， 就称该试验组为甲类组． 设 2 1 每只小白鼠服用 A 有效的概率为 ，服用 B 有效的概率为 . 3 2 (1)求一个试验组为甲类组的概率； (2)观察 3 个试验组，用 ξ 表示这 3 个试验组中甲类组的个 数，求 ξ 的分布列和数学期望．
高二数学人教A版选修2-3：离散型随机变量的方差课件
n
(xi E( X ))2 pi 为随机变量X的方差.
i 1
( X ) D( X ) 为随机变量X的标准差.
方差与标准差
关系 标准差是方差的算术平方根；方差是标准差的平方；
作用 反应离散型随机变量偏离于均值的平均程度的量；
结论 值越小，则随机变量偏离于均值的平均程度越小， 即越集中于均值.
例1.随机抛掷一枚质地均匀的骰子,求向上一面的点数的方差和标准差. 解：抛掷骰子所得点数X：1，2，3，4，5，6，其散布列为：
0.4
0.2
0.2
0.3 0.2
0.2
0.1
8
91
10 X1
0
8
19
0.4 10 X2
E( X1)
E( X
)
2
分析：
D( X1) D( X 2)
甲、乙射击的平均水平没有差别， 在多次射击中平均得分差别不会很大.
甲通常发挥比较稳定，多数得分在9环， 而乙得分比较分散，近似平均散布在8－10.
练习：有甲乙两个单位都愿意聘请你，而你能获得如下信息：
X2 1000 1400 1800 2200
P1 0.4 0.3 0.2 0.1
P2 0.4 0.3 0.2 0.1
通过散布列，可以分别求出两个公司工资的期望与方差：
E(X1) 1200 0.4+1400 0.3+1600 0.2+1800 0.1=1400.
E(X2) 10000.4+1400 0.3+1800 0.2+2200 0.1=1400.
练习： 1.已知 h 3x 1 ，且 D(x ) 13 ，则 D(h) __1_1_7_ .
8 解：∵h 3x 1，
(xi E( X ))2 pi 为随机变量X的方差.
i 1
( X ) D( X ) 为随机变量X的标准差.
方差与标准差
关系 标准差是方差的算术平方根；方差是标准差的平方；
作用 反应离散型随机变量偏离于均值的平均程度的量；
结论 值越小，则随机变量偏离于均值的平均程度越小， 即越集中于均值.
例1.随机抛掷一枚质地均匀的骰子,求向上一面的点数的方差和标准差. 解：抛掷骰子所得点数X：1，2，3，4，5，6，其散布列为：
0.4
0.2
0.2
0.3 0.2
0.2
0.1
8
91
10 X1
0
8
19
0.4 10 X2
E( X1)
E( X
)
2
分析：
D( X1) D( X 2)
甲、乙射击的平均水平没有差别， 在多次射击中平均得分差别不会很大.
甲通常发挥比较稳定，多数得分在9环， 而乙得分比较分散，近似平均散布在8－10.
练习：有甲乙两个单位都愿意聘请你，而你能获得如下信息：
X2 1000 1400 1800 2200
P1 0.4 0.3 0.2 0.1
P2 0.4 0.3 0.2 0.1
通过散布列，可以分别求出两个公司工资的期望与方差：
E(X1) 1200 0.4+1400 0.3+1600 0.2+1800 0.1=1400.
E(X2) 10000.4+1400 0.3+1800 0.2+2200 0.1=1400.
练习： 1.已知 h 3x 1 ，且 D(x ) 13 ，则 D(h) __1_1_7_ .
8 解：∵h 3x 1，
2.3.2 离散型随机变量的方差
D（Y）＝a2D（X）， 4.会利用离散型随机变量的方差反映离散型随机变 量偏离均值的平均水平，解决一些相关的实际问题
三、自学检测：6min P68练习1，2
1.直接用公式：E(X)=2
n
D(x) [xi E(X )]2 pi ＝1.2 i1
X DX 1.2 30
5
2.直接用公式：D（X）=[c-E(X)]2×1=0
方差 方差反映了X取值的稳定 与波动，集中与离散程度
(1) E ( a X b ) a E X b
计算 公式
(2)若X服从两点分 布，则 EX=p
(3)若X~B（n,p） 则EX= np
(1) D ( aX b ) a 2 D X
(2)若X服从两点分布， 则 DX=p(1-p)
(3)若X~B（n,p） 则 DX= np(1－p)
【综合应用】
某一大学毕业生参加某一公司的笔试,共有5个问题需
要解答,如该同学答对每个问题的概率均为 2 ,且每个
3
问题的解答互不影响.
(1)求该同学答对问题的个数ξ 的期望与方差.
(2)设答对一个题目得10分,否则扣1分,求该同学得分
η 的期望与方差.
【解题指南】 解答该5个问题可以认为是5次独立重复试验,答 对问题的个数ξ 服从二项分布,求η 的期望与方 差可通过ξ 与η 的线性关系间接求出.
探究点1 离散型随机变量的方差的概念
问题一：统计甲、乙两名射手以往的成绩，得其击
中目标靶的环数X1，X2的分布列分别如下：
X1 5
6
7
8
9
10
P 0.03 0.09 0.20 0.31 0.27 0.10
X2 5
三、自学检测：6min P68练习1，2
1.直接用公式：E(X)=2
n
D(x) [xi E(X )]2 pi ＝1.2 i1
X DX 1.2 30
5
2.直接用公式：D（X）=[c-E(X)]2×1=0
方差 方差反映了X取值的稳定 与波动，集中与离散程度
(1) E ( a X b ) a E X b
计算 公式
(2)若X服从两点分 布，则 EX=p
(3)若X~B（n,p） 则EX= np
(1) D ( aX b ) a 2 D X
(2)若X服从两点分布， 则 DX=p(1-p)
(3)若X~B（n,p） 则 DX= np(1－p)
【综合应用】
某一大学毕业生参加某一公司的笔试,共有5个问题需
要解答,如该同学答对每个问题的概率均为 2 ,且每个
3
问题的解答互不影响.
(1)求该同学答对问题的个数ξ 的期望与方差.
(2)设答对一个题目得10分,否则扣1分,求该同学得分
η 的期望与方差.
【解题指南】 解答该5个问题可以认为是5次独立重复试验,答 对问题的个数ξ 服从二项分布,求η 的期望与方 差可通过ξ 与η 的线性关系间接求出.
探究点1 离散型随机变量的方差的概念
问题一：统计甲、乙两名射手以往的成绩，得其击
中目标靶的环数X1，X2的分布列分别如下：
X1 5
6
7
8
9
10
P 0.03 0.09 0.20 0.31 0.27 0.10
X2 5
2.3.2离散型随机变量的方差(二)
3、已知X的概率分布为
X
-1
0
1
P
1/
1/3
1/6
且Y= aX+3,EY=7/3, 则a= 2 .
4、随机变量X~B(100,0.2),那么D(4X+3)= 256
5、随机变量 的分布列为
-1
0
1
P
a
b
c
其中，a,b,c成等差，若 E 1 , 则D 的值为
3
.
5 9。
6.根据统计，一年中一个家庭万元以上的财产被盗的 概率为0.01，保险公司开办一年期万元以上家庭财 产保险，参加者需交保险费100元，若在一年以内， 万元以上财产被盗，保险公司赔偿a元(a>100)， 问a如何确定，可使保险公司期望获利？
A88
28
ξ=4“表示 ● ● ●●☆● ☆ ●”有P （ξ=4）=
A64 A21 A33 3
A88
28
ξ=5“表示 ● ● ●●● ☆ ☆ ●”有P （ξ=5）=
A65 A21 A22 2
A88
28
ξ=6“表示 ● ● ●●●● ☆ ☆”有P （ξ=6）=
A66 A21 1 A88 28
的分布列
出，再关闭小孔.以ξ表示笼内还剩下的果蝇的只数.⑴写 出ξ的分布列；(不要求写计算过程）⑵求数学期望Eξ; ⑶求概率P(ξ Eξ).
析:审清题意是解决该题的关键.
1.抓住蝇子一个个有顺序地飞出,易联想到把8只蝇子看作8个元素有序排列.
●●☆●●●☆●，由于ξ=0“表示☆ ●●●●●☆●”，所以有ξ=1“表示
的路口数，求：
（1）随机变量 的分布列和数学期望 E( ) ；
（2）停车时最多已通过3个路口的概率。
2014-2015学年高中数学(人教版选修2-3)配套课件第二章 2.3.2 离散型随机变量的方差
栏 目 链 接
1 1 1 解析：因为 ＋ ＋p＝1，所以 p＝ . 2 3 6 1 1 1 2 又 E(ξ)＝0× ＋1× ＋x× ＝ .所以 x＝2. 2 3 6 3
2 2 1 2 2 1 2 2 1 15 故 (1)D(ξ)＝ 0－3 × ＋ 1－3 × ＋ 2－3 × ＝ 2 3 6 27
解得 p＝0.2，n＝10，故选 C. 答案：( B ) A．E(X)＝3.5，D(X)＝3.52 35 B．E(X)＝3.5，D(X)＝ 12 C．E(X)＝3.5，D(X)＝3.5 35 D．E(X)＝3.5，D(X)＝ 16
栏 目 链 接
栏 目 链 接
题型一 方差与标准差的计算 例1 已知离散型随机变量X的概率分布列为：
X P
1 1 7
2 1 7
3 1 7
4 1 7
5 1 7
6 1 7
7 1 7
栏 目 链 接
求其方差与标准差．
1 1 1 解析：∵E(X)＝1× ＋2× ＋„＋7× ＝4； 7 7 7 1 1 1 2 2 2 ∴D(X)＝(1－4) × ＋(2－4) × ＋„＋(7－4) × ＝4. 7 7 7 ∴ DX＝2.
第二章
随机变量及其分布
2．3 离散型随机变量的均值与方差
2.3.2 离散型随机变量的方差
栏 目 链 接
1．通过实例理解取有限值的离散型随机变量方
差的概念． 2．能计算简单离散型随机变量的方差，并能解 决一些实际问题．
栏 目 链 接
栏 目 链 接
基 础 梳 理 1．一般地，若离散型随机变量X的概率分布列为：
栏 目 链 接
例如：设ξ～B(n，p)，且E(ξ)＝2.4，D(ξ) ＝1.44，求n，p. 答案：n＝6，p＝0.4
1 1 1 解析：因为 ＋ ＋p＝1，所以 p＝ . 2 3 6 1 1 1 2 又 E(ξ)＝0× ＋1× ＋x× ＝ .所以 x＝2. 2 3 6 3
2 2 1 2 2 1 2 2 1 15 故 (1)D(ξ)＝ 0－3 × ＋ 1－3 × ＋ 2－3 × ＝ 2 3 6 27
解得 p＝0.2，n＝10，故选 C. 答案：( B ) A．E(X)＝3.5，D(X)＝3.52 35 B．E(X)＝3.5，D(X)＝ 12 C．E(X)＝3.5，D(X)＝3.5 35 D．E(X)＝3.5，D(X)＝ 16
栏 目 链 接
栏 目 链 接
题型一 方差与标准差的计算 例1 已知离散型随机变量X的概率分布列为：
X P
1 1 7
2 1 7
3 1 7
4 1 7
5 1 7
6 1 7
7 1 7
栏 目 链 接
求其方差与标准差．
1 1 1 解析：∵E(X)＝1× ＋2× ＋„＋7× ＝4； 7 7 7 1 1 1 2 2 2 ∴D(X)＝(1－4) × ＋(2－4) × ＋„＋(7－4) × ＝4. 7 7 7 ∴ DX＝2.
第二章
随机变量及其分布
2．3 离散型随机变量的均值与方差
2.3.2 离散型随机变量的方差
栏 目 链 接
1．通过实例理解取有限值的离散型随机变量方
差的概念． 2．能计算简单离散型随机变量的方差，并能解 决一些实际问题．
栏 目 链 接
栏 目 链 接
基 础 梳 理 1．一般地，若离散型随机变量X的概率分布列为：
栏 目 链 接
例如：设ξ～B(n，p)，且E(ξ)＝2.4，D(ξ) ＝1.44，求n，p. 答案：n＝6，p＝0.4
2.3.2《离散型随机变量的方差》ppt
3.如图所示，A，B两点之间有6条并联网线，它们能通过的最 大信息量分别为1,1,2,2,3,4，现从中取三条网线． (1)设从A到B可通过的信息总量为x，当x≥6时，可保证使网线 通过最大信息量信息畅通，求线路信息畅通的概率； (2)求通过的信息总量X的数学期望．
X P
4
5
6
7
8
9
2/20 3/20 5/20 5/20 3/20 2/20
D ( aX b ) a DX
2
例2.已知随机变量ξ的分布列为 ξ P 1 p1 2 p2 3 p3
且已知E(ξ)＝2，D(ξ)＝0.5，求： (1)p1，p2，p3；(2)P(－1<ξ<2)．
例3.某人投弹命中目标的概率为p＝0.8.
(1)求投弹一次，命中次数X的均值和方差；
(2)求重复10次投弹时命中次数Y的均值和方差．
1．设 X～B(n，p)，若 D(X)＝4，E(X)＝12，则 n 和 p 分别为( 2 A．18 和 3 1 C．20 和 3 ) 1 B．16 和 2 1 D．15 和 4
3 2 2．若 X 是离散型随机变量，P(X＝x1)＝ ，P(X＝x2)＝ ， 5 5 7 6 且 x1＜x2，又知 E(X)＝ ，D(X)＝ ，求 X 的分布列． 5 25
若 X 服从两点分布，则
DX p (1 p )
若 X ~ B ( n , p )，则 DX np (1 p )
例 4.某篮球队与其他 6 支篮球队依次进 行 6 场比赛，每场均决出胜负，设这支 篮球队与其他篮球队比赛胜场的事件是 1 独立的，并且胜场的概率是 . 3
(1)求这支篮球队在6场比赛中恰好胜了3场的 概率； (2)求这支篮球队在6场比赛中胜场数ξ的期望 和方差．
离散型随机变量的方差 课件
因为D(XA)<D(XB),所以A种钢筋质量较好.
反思在解决此类实际问题时,应先比较均值,均值较大的质量好.
若均值相等,再比较方差,方差较小的数据较稳定,质量较好.
题型三 离散型随机变量方差的综合应用
【例3】 A,B两个投资项目的利润率分别为随机变量X1和X2,根据
市场分析,X1和X2的分布列分别为
100
4
2
2
2 [x
100
4
=
100 1
+3(100-x) ]
2
2
2 (4x -600x+3×100 ).
100
600
当 x=2×4=75 时,f(x)=3 为最小值.
反思解均值与方差的综合问题时需要注意:
(1)离散型随机变量的分布列、均值和方差三个是紧密联系的,一
般在试题中综合在一起考查,其解题的关键是求出分布列;
(2)在求分布列时,要注意利用等可能事件、互斥事件、相互独立
事件的概率公式计算概率,并注意结合分布列的性质,简化概率计
算;
(3)在计算均值与方差时要注意运用均值和方差的性质以避免一
些复杂的计算.若随机变量X服从两点分布、超几何分布或二项分
布可直接利用对应公式求解.
题型四
易错辨析
易错点:对方差性质掌握不准确致错
错因分析忽略了随机变量分布列的性质出现错误,这里只是机械
地套用公式,且对D(ax+b)=a2D(x)应用错误.
正解:∵0.2+0.2+a+0.2+0.1=1,
∴a=0.3.
∴E(X)=0×0.2+1×0.2+2×0.3+3×0.2+4×0.1=1.8.
反思在解决此类实际问题时,应先比较均值,均值较大的质量好.
若均值相等,再比较方差,方差较小的数据较稳定,质量较好.
题型三 离散型随机变量方差的综合应用
【例3】 A,B两个投资项目的利润率分别为随机变量X1和X2,根据
市场分析,X1和X2的分布列分别为
100
4
2
2
2 [x
100
4
=
100 1
+3(100-x) ]
2
2
2 (4x -600x+3×100 ).
100
600
当 x=2×4=75 时,f(x)=3 为最小值.
反思解均值与方差的综合问题时需要注意:
(1)离散型随机变量的分布列、均值和方差三个是紧密联系的,一
般在试题中综合在一起考查,其解题的关键是求出分布列;
(2)在求分布列时,要注意利用等可能事件、互斥事件、相互独立
事件的概率公式计算概率,并注意结合分布列的性质,简化概率计
算;
(3)在计算均值与方差时要注意运用均值和方差的性质以避免一
些复杂的计算.若随机变量X服从两点分布、超几何分布或二项分
布可直接利用对应公式求解.
题型四
易错辨析
易错点:对方差性质掌握不准确致错
错因分析忽略了随机变量分布列的性质出现错误,这里只是机械
地套用公式,且对D(ax+b)=a2D(x)应用错误.
正解:∵0.2+0.2+a+0.2+0.1=1,
∴a=0.3.
∴E(X)=0×0.2+1×0.2+2×0.3+3×0.2+4×0.1=1.8.
离散型随机变量的方差ppt课件
搜寻中，除冥王星外，鸟神星是唯一一颗其亮度足以让汤博观测到的矮行星。在汤博观测的那段时间里，鸟神星距黄道只有几度，靠近金牛座和御夫座的交 界处，视星等约为.等。很不幸的是，这一位置也相当靠近银河，汤博几乎不可能从密布恒星的背景中找出鸟神星来。发现冥王星后，汤博在多年里仍在孜孜 不倦地搜寻；炒股入门知识大全 股票技术指标大全 炒股入门基础知识教程 /stock 股票入门基础知识教程 学习股票入门知识；行星，但他终未发 现鸟神星或任何其他的外海王星天体。轨道参数历元：9年月8日（JD.）；远日点：99.Gm（.AU）；近日点：.8Gm（8.9AU）；半长轴：8.Gm（.9AU）；离 心率：.9；轨道周期：8d（9.88a）；平均速度：.9km/s；平近点角：8.°；轨道倾角：8.9°；升交点黄经：9.8°；近日点参数：98.°。本征轨道参数大 小：～9km；平均半径：km；表面积：km；体积：.8×^9km；质量：×^kg；平均密度：.±.g/cm[]；表面重力：.m/s；逃逸速度：.8km/s；自转周期：未 知；转轴倾角：未知；反照率：.[]；温度：～K[c]（假定反照率不变）；视星等：.（冲）；绝对星等：(H)-.8。命名鸟神星在发现和公布时的暂定名称是FY9， 在正式命名之前，发现的外海王星天体外海王星天体团队因为他是复活节之后很短的时间内发现的，所以昵称其为“复活兔”。在8年，为符合IAU对传统柯 伊伯带天体命名为创造之神的规则，FY9被正式命名为鸟神星。这个名字源自复活岛拉帕努伊原住民神话中的创造人类的神，选择这个名字的一部份原因是要 保留发现时间与复活节之间的关联。[]物理特征大小和亮度在月于后发座冲的时候视星等约.等，这种光度使用业余天文学的高阶望远镜是可以观测到的。以 鸟神星接近8%的高反射率估计表面的温度大约是K。鸟神星精确的大小还不是很清楚，但是依据斯必泽空间望远镜的红外线观测，以及它的光谱与冥王星相 似估计，认定它的直径在,+-公里。这个数值比EL稍大，使它成为继阋神星和冥王星之后的第三大外海王星天体。鸟神星因为他的绝对星等是-.8，它的大小也 保证他足够达到流体静力平衡，已经成为太阳系的第四颗矮行星。光谱在写给《天文和天文物理》这本期刊的信中提到：在年，Licandro等人显示使用威 廉·赫歇耳望远镜和伽利略望远镜观测鸟神星的近红外线光谱与冥王星很相似。，在可见光谱中呈现红色，相对的，阋神星的光谱比较中性（参见外海王星天 体的颜色比较）。红外线光谱显示有甲烷(CH?)的存在，在冥王星和阋神星也有。但它的存在比冥王星更明显，因此建议鸟
离散型随机变量的均值和方差ppt课件
11
2. 有场赌博，规则如下：如掷一个骰子，出现1，你赢
10元；出现2或3或4，你输3元；出现5或6，不输不赢．这 场赌博对你是否有利?
X 10
-3
0
P
1
1
1
6
2
3
E
1 10 1 3 1 0 1
6
2
3
6
.
对你不利!劝君莫参加赌博.
12
例题讲解
例1.篮球运动员在比赛中每次罚球命中得1分， 罚不中得0分．已知某运动员罚球命中的概率为 0.7，则他罚球1次的得分X的数学期望？
中有且仅有一个选项正确,每题选对得5分,不选或选错不得分,满 分100分.学生甲选对任一题的概率为0.9,学生乙则在测验中对每 题都从4个选项中随机地选择一个.求学生甲和学生乙在这次测验 中的成绩的均值.
解:设学生甲和学生乙在这次测验中选择正确的选择题 个数分别是 和η,则 ξ～B(20,0.9),η～B(20,0.25)， 所以Eξ＝20×0.9＝18， Eη＝20×0.25＝5．
8
1、随机变量ξ的分布列是
ξ
1
3
5
P
0.5
0.3
0.2
(1)则Eξ= 2.4
.
2、随机变量ξ的分布列是
ξ
4
7
P
0.3
a9ຫໍສະໝຸດ 10b0.2
Eξ=7.5,则a= 0.1 b= 0.4 .
9
归纳求离散型随机变量的均值(期望)的步骤： ①、确定离散型随机变量可能的取值。 ②、写出分布列，并检查分布列的正确与否。 ③、求出均值(期望)。
解：X的可能取值为0，1，其分布列如下
X
1
0
P
课件9：2.3.2 离散型随机变量的方差
C．0.25 和 1
D．0.75 和 1
【解析】E(X)＝0.5，D(X)＝0.5(1－0.5)＝0.25.
【答案】A
2．已知一组数据 4.7,4.8,5.1,5.4，5.5，则该组数据的 方差是________．
【解析】 x ＝4.7＋4.8＋55.1＋5.4＋5.5＝5.1， 则该组数据的方差 s2＝ (4.7－5.1)2＋(4.8－5.1)2＋(5.1－5 5.1)2＋(5.4－5.1)2＋(5.5－5.1)2＝0.1. 【答案】0.1
(2)结合(1)中 ξ，η 的分布列可得： E(ξ)＝10×0.5＋9×0.3＋8×0.1＋7×0.1＝9.2， E(η)＝10×0.3＋9×0.3＋8×0.2＋7×0.2＝8.7， D(ξ)＝(10－9.2)2×0.5＋(9－9.2)2×0.3＋(8－9.2)2×0.1＋(7 －9.2)2×0.1＝0.96， D(η)＝(10－8.7)2×0.3＋(9－8.7)2×0.3＋(8－8.7)2×0.2＋(7 －8.7)2×0.2＝1.21.
解：(1)依据题意，得 0.5＋3a＋a＋0.1＝1，解得 a＝0.1. ∵乙射中 10,9,8 环的概率分别为 0.3,0.3,0.2， ∴乙射中 7 环的概率为 1－(0.3＋0.3＋0.2)＝0.2. ∴ξ，η 的分布列分别为
ξ 10 9 8 7 P 0.5 0.3 0.1 0.1
η 10 9 8 7 P 0.3 0.3 0.2 0.2
(2)由 D(η)＝a2D(ξ)，得 a2×2.75＝11，得 a＝±2. 又 E(η)＝aE(ξ)＋b，所以，当 a＝2 时， 由 1＝2×1.5＋b，得 b＝－2； 当 a＝－2 时，由 1＝－2×1.5＋b，得 b＝4. 所以ab＝ ＝－ 2，2， 或ab＝ ＝－ 4. 2，
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三、基础训练
1、已知随机变量X的分布列 X P 0 0.1 1 0.2 2 0.4 3 0.2 4 0.1
求DX和 DX 。 解： EX 0 0.1 1 0.2 2 0.4 3 0.2 4 0.1 2
DX (0 2) 0.1 (1 2) 0.2 ( 2 2) 0.4
六、课堂小结
1、离散型随机变量取值的方差、标准差及意义 2、记住几个常见公式
D(aX b) a 2 DX
若X服从两点分布，则 DX p(1 p)
若X ~ B(n, p)，则DX np(1 p)
X P 1
4 10
2
3 10
3
2 10
4
1 10
某人射击10次，所得环数分别是：1，1，1，1， 2，2，2，3，3，4；则这组数据的方差是多少？
1 2 2 2 s [( x1 x ) ( xi x ) ( xn x ) ] n
2
1 2 2 2 2 2 s [(1 2) (1 2) (1 2) (1 2) ( 2 2) 10 加权平均 ( 2 2) 2 ( 2 2) 2 ( 3 2) 2 ( 3 2) 2 ( 4 2) 2 ] 1
D1 4.4110
8
存入银行
ξ2 P 8000 0.3 8000 0.5 8000 0.2
E 2 8000
D 2 0
说明:该题是按风险决策中的期望收益 最大准则选择方案,这种做法有风险存在.
高考题赏析
1 4 【解法】设 P( 1) p ，则 P ( 2) 1 p p ， 5 5
2 2 2
( 3 2)2 0.2 (4 2)2 0.1 1.2
DX 1.2 1.095
四、方差的应用
例1：甲、乙两名射手在同一条件下射击，所得环数 X1， X2分布列如下： X1 P 8 0.2 9 0.6 10 0.2 X2 P 8 0.4 9 0.2 10 0.4
2.3.2 离散型随机变量的方差
一、复习回顾
1、离散型随机变量的数学期望
X P
x1
p1
p2
x2
· · · xi · · · pi
· · · xn · · · pn
EX x1 p1 x2 p2 xi pi xn pn
数学期望是反映离散型随机变量的平均水平
2、数学期望的性质
用击中环数的期望与方差分析比较两名射手的射击水平。
解：EX
1
9, EX 2 9 DX1 0.4, DX2 0.8
表明甲、乙射击的平均水平没有差别，在多次射击中 平均得分差别不会很大，但甲通常发挥比较稳定，多 数得分在9环，而乙得分比较分散，近似平均分布在8 －10环。
问题1：如果你是教练，你会派谁参加比赛呢？
【解析】由 yi xi a 及均值和方差的性质可知 E(Y ) E( X ) a ， D(Y ) D( X ) ．所以所求均值和方差分 别为 1 a,4 ．答案为 A．
【小结】熟记均值和方差的性质能减少计算量使问 题得以快速求解．
五、几个常用公式：
D(aX b) a DX
问题3：如果其他对手的射击成绩都在9环左右， 应派哪一名选手参赛？
例2：有甲乙两个单位都愿意聘用你，而你能 获得如下信息：
甲单位不同职位月工 资X1/元 获得相应职位的概 率P1 乙单位不同职位月工 资X2/元 获得相应职位的概 率P2 1200 0.4 1000 0.4 1400 0.3 1400 0.3 1600 1800 0.2 0.1
分析 购买股票的收益与经济形势有关,存入银行的收益 与经济形势无关.因此,要确定选择哪一种方案,就必须通 过计算两种方案对应的收益期望值来进行判断.设ξ1为购 买股票收益, ξ2为存入银行收益. 购买股票 ξ1 P 40000 0.3 10000 0.5 —20000 0.2
E1 40000 0.3 10000 0.5 20000 0.2 13000
1800 2200 0.2 0.1
根据工资待遇的差异情况，你愿意选择哪家单位？
解：EX 1 1400 , EX 2 1400
DX1 40000, DX 2 160000
因为EX1=EX2，DX1 <DX2，所以两个单位 工资的均值相等，但甲单位不同职位的工资 相对集中，乙单位不同职位的工资相对分散。 这样，如果你希望不同职位的工资差距小一 些，就选择甲单位；如果你希望不同职位的 工资差距大些，就选择乙单位。
由 0 1 p 2 ( p) 1 得 p ．
1 3 1 2 2 2 所以 D( ) (0 1) (1 1) (2 1) ． 5 5 5 5
2
1 5
4 5
3 5
【小结】准确掌握分布列的性质、随机变量的均值
和方差公式是处理随机变量分布部分题型的基础．
例3 某投资者有10万元,现有两种投资方案:一是购买 股票,二是存入银行获取利息.买股票的收益主要取决于 经济形势,假设可分三种状态:形势好(获利40000元)、 形势中等(获利10000元)、形势不好(损失20000元).如 果存入银行,假设年利率8%,即可得利息8000元.又设经 济形势好、中等、不好的概率分别为30%、50%和20%.试 问该投资者应该选择哪一种投资方案?
2
若X服从两点分布，则 DX p(1 p)
若X ~ B(n, p)，则DX np(1 p)
练习： 1 1、已知 3 ，且 D 13, 则D 8 2 、 已知随机变量 X的分布列
X 0 1 2 3 4
P
0.1
0.2
0.4
0.2
0.1
求DX和
DX
3 、 若随机变量X满足P（X＝ c) 1, 其 中c是常数，求DX。
2
4 3 2 1 2 2 2 s (1 2) ( 2 2) ( 3 2) (4 2)2 10 10 10 10
2
离散型随机变量取值的方差的定义 设离散型随机变量X的分布为：
X P
则称
n
x1
p1
p2
x2
· · · xi · · · pi
· · · xn · · · pn
E (aX b) aEX b
3、如果随机变量X服从两点分布为
X 1 0
Pp1－ p Nhomakorabea则
EX p
4、如果随机变量X服从二项分布，即 X～ B（n,p），则
EX np
二、互动探索
某人射击10次，所得环数分别是：1，1，1，1， 2，2，2，3，3，4；则所得的平均环数是多少？
1111 2 2 2 3 3 4 X 10 4 3 2 1 1 2 3 4 2 10 10 10 10
DX ( x1 EX )2 p1 ( xi EX )2 pi ( xn EX )2 pn
( xi EX ) pi 为随机变量X的方差。
2
称
i 1
DX 为随机变量X的标准差。
随机变量的方差与标准差都反映了随机变量取值偏 离均值的平均程度，方差或标准差越小，则随机变量偏 离于均值的平均程度越小，即越集中于均值。