初中数学_一元一次方程应用题分类讲评
人教版初一数学上册《一元一次方程》讲评课
《一元一次方程》测评课培新中学黄结芳一、目标：1、通过自查、互查、分析答错的原因，总结解题的方法等，明确自己学习上的短处，充分发挥自己的长处，弥补不足，克服存在的缺陷和缺点；2、教师在对试题内容、功能进行挖掘、补缺，对学生存在的问题或薄弱环节进行补救的过程中，培养学生分析、比较、归纳、概括的能力；二、课前准备：1、全面批改好学生的单元测试卷，做好有关数据统计：包括全班的平均分、最高分、最低分、及格率、优秀率、各分数段人数、各题得分率等；1、统计好进步学生、成绩保持者和退步学生名单2、将学生出错的试题进行归类整理，找出错误较多的类型题的延伸、变形、提高题。
三、讲评过程：（一）导入同学们好，本节课我们针对上节课的测试进行分析，找出不足并进行拓展延伸。
构建自己更完善的知识网络。
1、请同学们看一下大屏幕上所显示的本次测试咱们全班同学的平均分，最高分、最低分、及格率、优秀率、各分数段人数、各题得分率，对照自己的成绩，找到自己的位置，决定下一次努力的目标。
本次检测，获得最高分的同学是：成绩保持者的是：老师要特别表扬以下这些成绩进步较大同学，他们分别是：让我们给予受到表扬的这些同学以最热烈的掌声！2、分析本次测试成绩高低的原因：以上是老师对这次测试的总体分析，下面请部分同学针对本次检测情况从以下角度进行评析。
平时学习态度是否端正，对基础知识内容的掌握、巩固及复习程度，对本次测试是否重视等。
设计意图：1.让学生清晰了解全班同学对本单元知识的整体把握情况。
2.通过评析找出个人知识结构的残缺之处，明确需要改善的地方，并在课堂上进一步细化。
（二）讲评1.学生独立改错；教师发放已批改好的测试卷，要求学生细心查阅自己的试卷，遇错即改；在原分数后面写上自己的二次得分。
2.自己解决有困难的，小组合作解决，再次对试卷进行查缺补漏，自检答错或空白的原因。
3.小组长统计本小组成员得答题情况：包括每人出错的题型，小组犯错频率高的题，小组尚未解决的问题，一题多解及典型解题方法等；（三）学生答疑，具体评析1．据统计选择题出错频率最高的题是：第6题、第7题。
部编数学七年级上册专题09一元一次方程的应用题十二大题型(解析版)含答案
专题09 一元一次方程的应用题 十二大题型一元一次方程的应用题属于必考题，需要完全掌握各个类型的应用题，该专题将应用题分为分段计费、方案优化选择、行程问题、工程问题、商品销售问题、比赛积分问题、日历问题（数字问题）、配套问题、调配问题、和差倍分问题（比例问题）、几何图形问题等共进行方法总结与经典题型进行分类。
1.用一元一次方程解决实际问题的一般步骤列方程解应用题的基本思路为：问题¾¾¾®分析抽象方程¾¾¾®求解检验解答．由此可得解决此类题的一般步骤为：审、设、列、解、检验、答．注意：（1）“审”指读懂题目，弄清题意，明确哪些是已知量，哪些是未知量，及它们之间的关系，寻找等量关系；（2）“设”就是设未知数，一般求什么就设什么为x ，但有时也可以间接设未知数；（3）“列”就是列方程，即列代数式表示相等关系中的各个量，列出方程，同时注意方程两边是同一类量，单位要统一；（4）“解”就是解方程，求出未知数的值．（5）“检验”就是指检验方程的解是否符合实际意义，当有不符合的解时，及时指出，舍去即可；（6）“答”就是写出答案，注意单位要写清楚．2 .建立书写模型常见的数量关系1）公式形数量关系：生活中许多数学应用情景涉及如周长、面积、体积等公式。
在解决这类问题时，必须通过情景中的信息，准确联想有关的公式，利用有关公式直接建立等式方程。
长方形面积=长×宽 长方形周长=2（长+宽） 正方形面积=边长×边长 正方形周长=4边长2）约定型数量关系：利息问题，利润问题，质量分数问题，比例尺问题等涉及的数量关系，像数学中的公式，但常常又不算数学公式。
我们称这类关系为约定型数量关系。
3）基本数量关系：在简单应用情景中，与其他数量关系没有什么差别，但在较复杂的应用情景中，应用方法就不同了。
我么把这类数量关系称为基本数量关系。
单价×数量=总价 速度×时间=路程 工作效率×时间=总工作量等。
专题07 一元一次方程的应用题重难点题型分类(解析版)—七年级数学上册重难点题型分类必刷题(人教版)
专题07一元一次方程的应用题重难点题型分类（解析版）专题简介：本份资料包含一元一次方程这一章的常考应用题的全部题型，所选题目源自各名校期中、期末试题中的典型考题，具体包含七类题型：配套问题、古典应用题、利润问题、费用与方案选择问题、分层计费问题、工程问题、路程问题。
适合于培训机构的老师给学生作复习培训时使用或者学生考前刷题时使用。
题型一配套问题1．某车间有22名工人，每人每天可以生产1200个螺钉或2000螺母．1个螺钉配两个螺母，为使每天生产的螺钉和螺母刚好配套，应安排生产螺钉和螺母的工人各多少名？设有x 名工人生产螺钉，则可列方程为（）A ．()22000120022x x ⨯=-B ．()21200200022x x ⨯=-C ．()12002200022x x =⨯-D ．()20002120022x x =⨯-【详解】解：由题意可得，2×1200x=2000（22-x ），故选：B ．2．臭豆腐是长沙的特色名小吃．某包装臭豆腐厂有60名工人生产包装臭豆腐料包，已知每袋包装臭豆腐里有1个汤料包和4个配料包，每名工人每小时可以加工100个汤料包或者200个配料包，为使每天加工生产出的汤料包和配料包刚好配套，请问安排多少名工人去加工汤料包？【详解】解：设安排x 人加工汤料包，则安排（60-x ）人加工配料包，根据题意得：4×100x =200（60-x ），解得x =20，答：安排20人加工汤料包．3.某车间有24名工人，每人每天平均生产螺栓12个或螺母18个，两个螺栓配三个螺母，为了使每天的产品刚好配套，应该分配多少名工人生产螺栓，多少名工人生产螺母？【详解】解：（1）设可设分配x 名工人生产螺栓，(24)x -名工人生产螺母．由题意得：312218(24)x x ⨯=⨯-，解得：12x =，2412x -=（人）．答：应该分配12名工人生产螺栓，12名工人生产螺母，才能使每天的产品刚好配套．4．某工厂车间有28个工人，每人每天可生产A 零件18个或B 零件12个（每人每天只能生产一种零件），一个A 零件配两个B 零件，且每天生产的A 零件和B 零件恰好配套．设该工厂有x 名工人生产A 零件：（1）求车间每天生产A 零件和B 零件各多少个？（用含x 的式子表示）（2）求该工厂有多少工人生产A 零件？【详解】解：（1）设该工厂有x 名工人生产A 零件，共生产A 零件18x 个，则有（28-x ）名工人生产B 零件，共生产B 零件12（28-x ）个；答：每天生产A 零件18x 个，生产B 零件12（28-x ）个；（2）根据题意得2×18x =12（28-x ），解得x =7，答：该工厂有7名工人生产A 零件．题型二古典应用题5．我国明代数学读本《算法统宗》中有一道题，其题意为∶客人一起分银子，若每人7两，还剩4两；若每人9两，还差8两．问客人有几人？设客人有x 人，则可列方程为（）A ．7498x x +=-B ．7498x x -=+C ．4879x x +-=D ．4879x x -+=【详解】解：设客人有x 人，根据题意，得7498x x +=-．故选：A ．6．我国明代数学家程大位的名著《算法统宗》里有一道著名算题：“一百馒头一百僧，大僧三个更无争，小僧三人分一个，大小和尚各几丁？”意思是：有100个和尚分100个馒头，如果大和尚1人分3个，小和尚3人分1个，正好分完，试问大、小和尚各几人？设大和尚有x 人，则根据题意可列方程为（）A ．()31001003x x +-=B ．()31001003x x --=C ．10031003x x --=D ．10031003x x -+=【详解】解：设大和尚有x 人，小和尚(100)x -，由于大和尚1人分3个，小和尚3人分1个正好分完，故可列方程10031003x x -+=，故选：D ．7．我国古代数学名著《张丘建算经》中记载：“今有清酒一斗直粟十斗，醑酒一斗直粟三斗，今持粟三斛，得酒五斗，问清、醑酒各几何？”意思是：现在一斗清酒价值10斗谷子，一斗醑酒价值3斗谷子，现在拿30斗谷子，共换了5斗酒，问清、醑酒各几斗，设清酒有x 斗，那么可列方程为（）A ．()103530x x +-=B ．()310530x x +-=C ．305103x x -+=D ．305310x x -+=【详解】解：设清酒有x 斗，由题意得，()103530x x +-=，故选A ．8.（西雅）在我国明代数学家吴敬所著的《九章算术比类大全》中，有一道数学名题叫“宝塔装灯”，内容为“远望巍巍塔七层，红灯点点倍加增；共灯三百八十一，请问顶层几盏灯？”(“倍加增”指灯的数量从塔的顶层到底层逐层翻倍增加).根据此诗，可以得出塔的顶层有()A.3盏灯 B.4盏灯 C.5盏灯 D.6盏灯【详解】解：设顶层x 盏灯，可得方程：x+2x+4x+8x+16x+32x+64x ＝381，得：x ＝3，故选：A ．9.（雅礼）我国古代对于利用方程解决实际问题早有研究，《九章算术》中提到这么一道“以绳测井”的题：以绳测井，若将绳三折测之，绳多四尺：若将绳四折测之，绳多一尺．绳长、井深各几何？这道题大致意思是：用绳子测量水井深度，如果将绳子折成三等份，那么每等份井外余绳四尺：如果将绳子折成四等份，那么每等份井外余绳一尺．问绳长和井深各多少尺？若设井深为x 尺，则求解井深的方程正确的是（）A ．3（x +4）＝4（x +1）B ．3x +4＝4x +1C ．x +4＝x +1D ．x ﹣4＝x ﹣1【详解】解：根据将绳三折测之，绳多四尺，则绳长为：3（x +4），根据绳四折测之，绳多一尺，则绳长为：4（x +1），故3（x +4）＝4（x +1）．故选：A ．题型三利润问题10．一件夹克衫先按成本价提高40%标价，再将标价打8折出售，结果获利56元，如果设这件夹克衫的成本价是x 元，那么根据题意，所列方程正确的是（）A ．()0.810.456x x +=+B ．()0.810.456x x +=-C ．()0.810.456x x +=-D ．()0.810.456x x +=+【详解】解：设这件夹克衫的成本价是x 元，由题意得，0.8(140%)56x x +-=，即()0.810.456x x +=+．故选：A ．11．一家商店将某件服装按成本价提高30%后，又以8折优惠卖出，结果每件仍获利12元，那么这件商品的成本价为元．【详解】解：设这件商品的成本价为x 元，由题意知，()130%0.812x x +⋅-=，得300x =，即这件商品的成本价为300元．12．春节将近，各服装店清仓大甩卖．一商店某一时间以每件120元的价格卖出两件衣服，其中一件盈利50%，另一件亏损20%，卖这两件衣服的利润为元．【详解】设盈利50%的那件衣服的进价是x 元，根据进价与得润的和等于售价列得方程：50%120x x +=，解得：80x =，设另一件亏损衣服的进价为y 元，它的商品利润是()20%y -元，列方程：()20%120y y +-=，解得：150y =．那么这两件衣服的进价是230x y +=元，而两件衣服的售价为240元．则24023010-=(元)．故卖这两件衣服的利润为10元．店买了一个道具，现此商店若按标价打八折销售该道具一件，则可获纯利润300元，其利润率为20％，现如果按同一标价打九折销售该道具一件，那么获得的纯利润为（）A．525元B．337．5元C．500元 D.450元【解答】解：设商品的标价是x元，根据题意得80%x-1500＝300，解得x＝2250，2250×90%-1500＝525．获得的纯利润为525元．故答案是：525．,故答案为：A．14.（雅礼）某超市计划购进甲、乙两种型号的节能灯共1000只，这两种节能灯的进价、售价如下表：进价（元/只）售价（元/只）甲型2530乙型4560（1）如果进货款恰好为37000元，那么可以购进甲型节能灯多少只？（2）超市为庆祝元旦进行大促销活动，决定对乙型节能灯进行打折销售，要求全部售完后，乙型节能灯的利润率为20%，请问乙型节能灯需打几折？【解答】解：（1）设商场购进甲型节能灯x只，则购进乙型节能灯（1000﹣x）只，由题意，得25x+45（1000﹣x）＝37000，解得：x＝400，购进乙型节能灯1000﹣x＝1000﹣400＝600（只）答：购进甲型节能灯400只，购进乙型节能灯600只进货款恰好为37000元．（2）设乙型节能灯需打a折，0.1×60a﹣45＝45×20%，解得a＝9，答：乙型节能灯需打9折．15．列方程解应用题：一商场经销的A、B两种商品，A种商品每件进价40元，售价60元；B种商品每件进价50元，利润率为60%．(1)A种商品每件利润为元，每件B种商品售价为元．(2)若该商场购进A、B两种商品共80件，恰好总进价为3400元，求购进A种商品多少件？【详解】（1）解：A种商品的利润为：60-40=20元；B种商品的利润为：50×60%=30元；∴B种商品的售价为：80元；（2）设购进A种商品x件，则购进B种商品（80-x）件，根据题意得：40x+50(80-x)=3400，解得：x=60，∴购进A种商品60件．16．2021年，平和堂的一家服装店因新冠疫情的再次出现，将某种自创品牌的服装打折销售．如果每件服装按标价的6折出售，可盈利80元；若每件服装按标价的5折出售，则亏损80元．(1)每件服装的标价为多少元？(2)若这种服装一共库存80件．按着标价7.5折出售一部分后，将余下服装按标价的5折全部出售，结算时发现共获利5600元，求按7.5折出售的服装有多少件？【详解】（1）解：（1）设每件服装的标价为x元，依题意有0.6x-80=0.5x+80，解得x=1600．答：每件服装的标价为1600元．（2）解：（2）设按7.5折出售的服装有y件，依题意有0.75×1600y+0.5×1600（80-y）-80×（0.5×1600+80）=5600，解得y=30．故按7.5折出售的服装有30件．17．某玩具厂出售一种玩具，其成本价每件28元，现有两种方式销售．方式1：直接由玩具厂的门市部销售，每件产品售价为40元，同时每月还要支出其他费用3600元；方式2：委托某一商场销售，出厂价定为每件35元．（1）若每个月销售x件，则方式1可获得利润为，方式2可获得利润为；（2）若每个月销售量达到2000件时，采用哪种销售方式获得利润较多？（3）请列一元一次方程求解：每个月销售多少件时，两种销售方式所得利润相等？【详解】（1）按方式1销售时的利润是：（40−28）x−3600即12x−3600；x ；7x按方式2销售时的时利润是（35−28）x即7x，故答案为：123600（2）当每月销售达2000件时，方式1出售的利润为：（40-28）×2000-3600=20400（元），方式2销售的利润为：（35-28）×2000=14000（元），∵20400>14000，采用方式1直接由厂家门市部出售的利润较多。
七年级一元一次方程应用题8种类型归类
七年级一元一次方程应用题8种类型归类第一类：简单的线性方程的应用题这类题目基本上是直接套用一元一次方程的定义，根据题目中的条件列出方程，然后解方程得到答案。
这类问题比较简单，适合入门阶段的学生练习。
第二类：带有关系的线性方程应用题这类题目常常要求学生根据题意建立两个或多个物体之间的量的关系，然后通过建立方程解决问题。
这类问题往往需要学生较高的抽象思维能力来解决。
第三类：工作时间线性方程应用题这类题目要求学生根据不同情况下人员的工作效率和时间推导出方程，然后解决问题。
这类问题对学生的逻辑思维和数学应用能力有一定要求。
第四类：比例关系与一元一次方程的整合这类题目旨在让学生熟练掌握用比例关系建立一元一次方程，进一步拓展了一元一次方程的应用范围，对学生的推导能力和计算能力提出了更高的要求。
第五类：几何问题与线性方程的结合这类题目结合了几何图形中的关系与线性方程的解法，通过建立图形中的几何关系，以方程的形式呈现并求解，培养了学生的几何直观和数学抽象能力。
第六类：消耗量的线性方程应用题这类问题常常涉及到消耗量与产出量之间的关系，学生需要根据不同情况下物质的消耗速度和产出速度建立方程，解决问题。
第七类：时间速度距离的线性方程题型这类题目涉及了时间、速度和距离之间的关系，要求学生根据不同的情景情况建立方程，解决问题。
这类题目较为灵活，需要学生综合考虑多个变量间的关系。
第八类：经济问题的线性方程应用题这类题目常常涉及到金钱的支出与收入之间的关系，学生需要根据题目中的条件建立方程，解决经济问题。
这类题目旨在培养学生的实际应用能力和经济思维。
以上就是七年级一元一次方程应用题的8种典型类型，不同类型的题目反映了一元一次方程在现实生活中的广泛应用，通过解决这些问题，学生不仅可以提高解决实际问题的能力，还能深入理解一元一次方程的运用和意义。
希望同学们在学习过程中能够灵活应用这些方法，提高自己的数学水平。
一元一次方程应用题 类型归纳
一元一次方程应用题
一元一次方程是指只含有一个未知数的一次方程，可表示为ax+b=0，其中a和b为已知数，x为未知数。
一元一次方程应用题常见的类型包括：
1. 购买商品问题：如某商品的价格为x元，现有b元，求买几件商品后还剩a元。
2. 时间、速度、距离问题：如A车以每小时x公里的速度行驶，经过b小时后行驶了a公里，求A车的速度。
3. 水混合问题：如已知某种酒精溶液中酒精的浓度为x%，现加入b 升水后酒精的浓度为a%，求原溶液中酒精的浓度。
4. 利润问题：如一件商品的进价为b元，售价为x元，求多少件商品时能够获利a元。
这些应用题主要通过建立一元一次方程来求解，需要根据题目中给出的已知条件和未知量，写出方程并解出未知数的值。
初二数学一元一次方程应用题解析
初二数学一元一次方程应用题解析数学是一门基础学科，也是学生们在学校里面必修的科目之一。
而在数学中，一元一次方程是一个非常重要的内容。
它是从初中开始学的数学知识，也是以后学习高中数学和大学数学的基石。
在初二阶段，学生们开始接触一元一次方程的应用题，这是一个相对较难的内容。
本文将对初二数学一元一次方程应用题进行详细解析。
一元一次方程是指只含有一个未知数，并且该未知数的最高次数是1的方程。
通常的一元一次方程形式为：ax + b = 0，其中a和b分别是已知的实数，而x则是未知数。
解一元一次方程的基本步骤是：将方程两边的式子化简，使得式子的形式符合基本方程形式，然后分别移项、合并同类项，最后求出未知数的值。
下面我们来看一个具体的应用题：一辆火车从A地到B地，途中在C地停车，再从C地到B地的所需时间是从A地到C地的时间的2倍。
从A地到C地的时间是4小时，求从A地到B地的时间。
我们设从C地到B地的时间为x小时，则从C地到B地的时间是从A地到C地的时间的2倍，即x = 2 * 4 = 8小时。
那么从A地到B地的时间就是从A地到C地的时间与从C地到B地的时间之和，即4小时 + 8小时 = 12小时。
因此，从A地到B地的时间是12小时。
通过这个例子，我们可以看到如何运用一元一次方程解决实际生活中的问题。
首先，我们要明确未知数的含义，并将问题中的条件表示成方程的形式。
其次，根据方程的形式进行计算和化简，最后得出方程的解，即问题的答案。
相信通过这个例子的解析和说明，大家对初二数学一元一次方程应用题的解法有了更深的理解。
在学习和解题过程中，我们要注意运用逻辑思维，分析问题中的信息，将其转化成数学方程，然后通过运算找出问题的答案。
同时也要多多练习类似的题目，提高解题能力。
总结起来，初二数学一元一次方程应用题解析是数学中很关键的一部分，学生们在学习过程中要理解方程的基本形式和解题步骤。
通过练习和思考，我们可以提高解题能力，并将数学知识应用于实际生活中。
初一数学一元一次方程应用题分类例题(7)-设中间未知数求解问题
初一数学
一元一次方程应用题分类讲评（7）
7.需设中间（间接）未知数求解的问题
一些应用题中，设直接未知数很难列出方程求解，而根据题中条件设间接未知数，却较容易列出方程，再通过中间未知数求出结果。
例20.甲、乙、丙、丁四个数的和是43，甲数的2倍加8，乙数的3倍，丙数的4倍，丁数的5倍减去4，得到的4个数却相等。
求甲、乙、丙、丁四个数。
【明老师讲评】本题中要求4个量，在后面可用方程组求解。
若用一元一次方程求解，如果设某个数为未知数，其余的数用未知数表示很麻烦。
这里由甲、
乙、丙、丁变化后得到的数相等，故设这个相等的数为x，则甲数为，乙数
为，丙数为，丁数为，由四个数的和是43，有+++
=43
∴x = 36
∴=14；=12；=9；=8
例21.某县中学生足球联赛共赛10轮（即每队均需比赛10场），其中胜1场得3分，平1场得1分，负1场得0分。
向明中学足球队在这次联赛中所负场数比平场数少3场，结果公得19分。
向明中学在这次联赛中胜了多少场？
【明老师讲评】本题中若直接将胜的场次设为未知数，无法用未知数的式子表示出负的场数和平的场数，但设平或负的场数，则可表示出胜的场数。
故设平x场，则负x－3场，胜10－（ｘ+ｘ－３）场，依题意有 3[10－（x+x－3）]+x=19 ∴x=4 ∴ 10－（ｘ+ｘ－３）=5。
一元一次方程讲评
教学目标
1.通过讲评，进一步巩固相关知识点。
2、通过对典型错误的剖析、矫正、帮助学生掌握正确的思考
3：树立严谨的学习态度，自觉查漏补缺，认真订正试卷错误。
教学重点
1、2、3、4、7、11、15、16、19、20
教学过程
教学过程：
一．考试情况分析：
1. 班级均分：41.21 最高分：80
进步较大的同学有：
2. 存在问题：
1）答题不规范。
第17、18、19 题；
2）运算不过关。
第16 题；
3）考虑不全面。
第2、题；
4）概念不清晰。
第3、11、4 题；
5）审题不严谨。
第7、19、20 题。
二．典型错误剖析与修正：
老师讲解出错较多的问题
三、其余题目，学生讲评，教师适当补充。
四、巩固练习
配套练习册第一章综合测试
五、课堂小结
1、回顾本节课主要内容。
2复习时要注重反思，不断总结，提炼方法六、教后反思
学生的空间观念比较差，尽量借助实物。
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一元一次方程应用题分类讲评湖北省黄石市下陆中学宋毓彬一元一次方程应用题是初一数学学习的重点，也是一个难点。
主要困难体现在两个方面：一是难以从实际问题中找出相等关系，列出相应的方程；二是对数量关系稍复杂的方程，常常理不清楚基本量，也不知道如何用含未知数的式子来表示出这些基本量的相等关系，导致解题时无从下手。
事实上，方程就是一个含未知数的等式。
列方程解应用题，就是要将实际问题中的一些数量关系用这种含有未知数的等式的形式表示出来。
而在这种等式中的每个式子又都有自身的实际意义，它们分别表示题设中某一相应过程的数量大小或数量关系。
由此，解方程应用题的关键就是要“抓住基本量，找出相等关系”。
下面就一元一次方程中常见的几类应用题作逐一讲评，供同学们学习时参考。
1.行程问题行程问题中有三个基本量：路程、时间、速度。
关系式为：①路程=速度×时间；②速度=；③时间=。
可寻找的相等关系有：路程关系、时间关系、速度关系。
在不同的问题中，相等关系是灵活多变的。
如相遇问题中多以路程作相等关系，而对有先后顺序的问题却通常以时间作相等关系，在航行问题中很多时候还用速度作相等关系。
航行问题是行程问题中的一种特殊情况，其速度在不同的条件下会发生变化：①顺水（风）速度=静水（无风）速度+水流速度（风速）；②逆水（风）速度=静水（无风）速度－水流速度（风速）。
由此可得到航行问题中一个重要等量关系：顺水（风）速度－水流速度（风速）＝逆水（风）速度+水流速度（风速）＝静水（无风）速度。
例１．某队伍450米长，以每分钟90米速度前进，某人从排尾到排头取东西后，立即返回排尾，速度为3米/秒。
问往返共需多少时间？讲评：这一问题实际上分为两个过程：①从排尾到排头的过程是一个追及过程，相当于最后一个人追上最前面的人；②从排头回到排尾的过程则是一个相遇过程，相当于从排头走到与排尾的人相遇。
在追及过程中，设追及的时间为x秒，队伍行进（即排头）速度为90米/分=1.5米/秒，则排头行驶的路程为1.5x米；追及者的速度为3米/秒，则追及者行驶的路程为3x米。
由追及问题中的相等关系“追赶者的路程－被追者的路程=原来相隔的路程”，有：3x－1.5x=450 ∴x=300在相遇过程中，设相遇的时间为y秒，队伍和返回的人速度未变，故排尾人行驶的路程为1.5y米，返回者行驶的路程为3y米，由相遇问题中的相等关系“甲行驶的路程+乙行驶的路程=总路程”有： 3y+1.5y=450 ∴y=100故往返共需的时间为 x+y=300+100=400（秒）例2 汽车从A地到B地，若每小时行驶40km，就要晚到半小时：若每小时行驶45km，就可以早到半小时。
求A、B 两地的距离。
讲评：先出发后到、后出发先到、快者要早到慢者要晚到等问题，我们通常都称其为“先后问题”。
在这类问题中主要考虑时间量，考察两者的时间关系，从相隔的时间上找出相等关系。
本题中，设A、B两地的路程为x km，速度为40 km/小时，则时间为小时；速度为45 km/小时，则时间为小时，又早到与晚到之间相隔1小时，故有－= 1 ∴x = 360例3 一艘轮船在甲、乙两地之间行驶，顺流航行需6小时，逆流航行需8小时，已知水流速度每小时2 km。
求甲、乙两地之间的距离。
讲评：设甲、乙两地之间的距离为x km，则顺流速度为km/小时，逆流速度为km/小时，由航行问题中的重要等量关系有：－２= +2 ∴ x = 962.工程问题工程问题的基本量有：工作量、工作效率、工作时间。
关系式为：①工作量=工作效率×工作时间。
②工作时间=，③工作效率=。
工程问题中，一般常将全部工作量看作整体1，如果完成全部工作的时间为t，则工作效率为。
常见的相等关系有两种：①如果以工作量作相等关系，部分工作量之和=总工作量。
②如果以时间作相等关系，完成同一工作的时间差=多用的时间。
在工程问题中，还要注意有些问题中工作量给出了明确的数量，这时不能看作整体1，此时工作效率也即工作速度。
例4．加工某种工件，甲单独作要20天完成，乙只要10就能完成任务，现在要求二人在12天内完成任务。
问乙需工作几天后甲再继续加工才可正好按期完成任务？讲评：将全部任务的工作量看作整体1，由甲、乙单独完成的时间可知，甲的工作效率为，乙的工作效率为，设乙需工作x 天，则甲再继续加工（12－x）天，乙完成的工作量为，甲完成的工作量为，依题意有+=1 ∴x =8例5．收割一块麦地，每小时割4亩，预计若干小时割完。
收割了后,改用新式农具收割，工作效率提高到原来的1.5倍。
因此比预计时间提前1小时完工。
求这块麦地有多少亩？讲评：设麦地有x亩，即总工作量为x亩，改用新式工具前工作效率为4亩/小时，割完x亩预计时间为小时，收割亩工作时间为/4=小时；改用新式工具后，工作效率为1.5×4=6亩/小时，割完剩下亩时间为/6=小时，则实际用的时间为（+）小时，依题意“比预计时间提前1小时完工”有－（+）=1 ∴ x =36例6. 一水池装有甲、乙、丙三个水管，加、乙是进水管，丙是排水管，甲单独开需10小时注满一池水，乙单独开需6小时注满一池水，丙单独开15小时放完一池水。
现在三管齐开，需多少时间注满水池？讲评：由题设可知，甲、乙、丙工作效率分别为、、－（进水管工作效率看作正数，排水管效率则记为负数），设ｘ小时可注满水池，则甲、乙、丙的工作量分别为，、－，由三水管完成整体工作量1，有+－＝1 ∴x = 53．经济问题与生活、生产实际相关的经济类应用题，是近年中考数学创新题中的一个突出类型。
经济类问题主要体现为三大类：①销售利润问题、②优惠（促销）问题、③存贷问题。
这三类问题的基本量各不相同，在寻找相等关系时，一定要联系实际生活情景去思考，才能更好地理解问题的本质，正确列出方程。
⑴销售利润问题。
利润问题中有四个基本量：成本（进价）、销售价（收入）、利润、利润率。
基本关系式有：①利润=销售价（收入）－成本（进价）【成本（进价）=销售价（收入）－利润】；②利润率=【利润=成本（进价）×利润率】。
在有折扣的销售问题中，实际销售价=标价×折扣率。
打折问题中常以进价不变作相等关系。
⑵优惠（促销）问题。
日常生活中有很多促销活动，不同的购物（消费）方式可以得到不同的优惠。
这类问题中，一般从“什么情况下效果一样分析起”。
并以求得的数值为基准，取一个比它大的数及一个比它小的数进行检验，预测其变化趋势。
⑶存贷问题。
存贷问题与日常生活密切相关，也是中考命题时最好选取的问题情景之一。
存贷问题中有本金、利息、利息税三个基本量，还有与之相关的利率、本息和、税率等量。
其关系式有：①利息=本金×利率×期数；②利息税=利息×税率；③本息和（本利）=本金+利息－利息税。
例7.某商店先在广州以每件15元的价格购进某种商品10件，后来又到深圳以每件12.5元的价格购进同样商品40件。
如果商店销售这种商品时，要获利12％，那么这种商品的销售价应定多少？讲评：设销售价每件x 元，销售收入则为（10+40）x元，而成本（进价）为（5×10+40×12.5），利润率为12％，利润为（5×10+40×12.5）×12％。
由关系式①有（10+40）x－（5×10+40×12.5）=（5×10+40×12.5）×12％∴x=14.56例8.某种商品因换季准备打折出售，如果按定价七五折出售，则赔25元，而按定价的九折出售将赚20元。
问这种商品的定价是多少？讲评：设定价为x元，七五折售价为75％x，利润为－25元，进价则为75％x－（－25）=75％x+25；九折销售售价为90％x，利润为20元，进价为90％x－20。
由进价一定，有75％x+25=90％x－20 ∴ x = 300例9. 李勇同学假期打工收入了一笔工资，他立即存入银行，存期为半年。
整存整取，年利息为2.16％。
取款时扣除20％利息税。
李勇同学共得到本利504.32元。
问半年前李勇同学共存入多少元？讲评：本题中要求的未知数是本金。
设存入的本金为x元，由年利率为2.16％，期数为0.5年，则利息为0.5×2.16％x，利息税为20％×0.5×2.16％x，由存贷问题中关系式③有 x +0.5×2.16％x－20％×0.5×2.16％x=504.32 ∴ x = 500例10.某服装商店出售一种优惠购物卡，花200元买这种卡后，凭卡可在这家商店8折购物，什么情况下买卡购物合算？讲评：购物优惠先考虑“什么情况下情况一样”。
设购物x元买卡与不买卡效果一样，买卡花费金额为（200+80％x）元，不买卡花费金额为x元，故有200+80％x = x ∴ x = 1000当x ＞1000时，如x=2000 买卡消费的花费为：200+80％×2000=1800（元）不买卡花费为：2000（元）此时买卡购物合算。
当x ＜1000时，如x=800 买卡消费的花费为：200+80％×800=840（元）不买卡花费为：800（元）此时买卡不合算。
4.溶液（混合物）问题溶液（混合物）问题有四个基本量：溶质（纯净物）、溶剂（杂质）、溶液（混合物）、浓度（含量）。
其关系式为：①溶液=溶质+溶剂（混合物=纯净物+杂质）；②浓度=×100％=×100％【纯度（含量）=×100％=×100％】；③由①②可得到：溶质=浓度×溶液=浓度×（溶质+溶剂）。
在溶液问题中关键量是“溶质”：“溶质不变”，混合前溶质总量等于混合后的溶质量，是很多方程应用题中的主要等量关系。
例11.把1000克浓度为80％的酒精配成浓度为60％的酒精，某同学未经考虑先加了300克水。
⑴试通过计算说明该同学加水是否过量？⑵如果加水不过量，则应加入浓度为20％的酒精多少克？如果加水过量，则需再加入浓度为95％的酒精多少克？讲评：溶液问题中浓度的变化有稀释（通过加溶剂或浓度低的溶液，将浓度高的溶液的浓度降低）、浓化（通过蒸发溶剂、加溶质、加浓度高的溶液，将低浓度溶液的浓度提高）两种情况。
在浓度变化过程中主要要抓住溶质、溶剂两个关键量，并结合有关公式进行分析，就不难找到相等关系，从而列出方程。
本题中，⑴加水前，原溶液1000克，浓度为80％，溶质（纯酒精）为1000×80％克；设加x克水后，浓度为60％，此时溶液变为（1000+x）克，则溶质（纯酒精）为（1000+x）×60％克。