八年级数学下册 4.4《反证法》学案 浙教版
八年级数学下册 4.4《反证法》学案浙教版
4、4 反证法
【学习目标】
1、理解反证法的含义与原理，掌握反证法的一般步骤；
2、会用反证法证明简单的代数命题和几何命题；
3、树立“正难则反”和“转换思维”的意识。
【学习过程】
1、阅读书中故事路边苦李王戎是怎样知道李子是苦的呢?他运用了怎样的推理方法?其思维过程的表述如下图：这种推理方法就是反证法。
在证明一个命题时，有时先假设命题不成立，从这样的假设出发，经过推理得出和已知条件矛盾，或者与定义，公理，定理等矛盾，从而得出假设命题不成立是错误的，即所求证的命题正确。
这种证明方法叫做反证法。
2、请你模仿推理：他运用了怎样的推理方法？在古希腊时，有三个哲学家，由于争论和天气的炎热感到疲倦，于是就在花园里的一棵大树下躺下休息睡着了。
这时一个爱开玩笑的人用炭涂黑了他们的前额，当他们醒过来后，彼此相看时都笑了。
一会儿其中有一个人却突然不笑了，他是觉察到什么了？
3、整体感知用反证法证明命题实际上是这样一个思维过程：我们假定“结论不成立”，结论一不成立就会出毛病，这个毛病是通过与已知条件矛盾，与公理或定理矛盾的方法暴露出来的。
这个毛病是怎么造成的呢？推理没有错误，已知条件，公理或定理没有错误，这样一来，唯一有错误的地方就是一开始的假定。
既然“结论不成立”有错误，就肯定结论必然成立了。
概括地说就是要利用“结论的反面不成立”的证明来证明结论成立。
４、请你写出下列结论的反面
1、a⊥b；
2、d是正数；
3、a≥0；
4、a∥b。
答：
______________________________________________________５、完成课内练习１、６、例、求证：在同一平面内，如果一条直线和两条平行直线中的一条相交，那么和另一条也相交。
已知：求证：证明：７、根据上述解答，归纳反证法证题的步骤。
①假定结论不成立（即结论的反面成立）；②从假设出发，结合已知条件，经过推理论证，推出与已知条件或定义、定理、公理相矛盾；③由矛盾判定假设不正确；④肯定命题的结论成立。
方法总结：证明一个命题是真命题有哪些方法? ８、当堂练习：书作业题
9、甲、乙、丙、丁、戊五人在运动会上分获一百米、二百米、跳高、跳远和铅球冠军，有四个人猜测比赛结果：A说：乙获铅球冠军，丁获跳高冠军； B说：甲获百米冠军，戊获跳远冠军；C说：丙获跳远冠军，丁获二百米冠军； D说：乙获跳高冠
军，戊获铅球冠军。
其中每个人都只说对一句，说错一句、你知道五人各获哪项冠军吗？。
八年级数学下册 4.4《反证法》学案 浙教版
4.4 反证法【学习目标】1、理解反证法的含义与原理，掌握反证法的一般步骤；2、会用反证法证明简单的代数命题和几何命题；3、树立“正难则反”和“转换思维”的意识。
【学习过程】1、阅读书中故事——路边苦李王戎是怎样知道李子是苦的呢?他运用了怎样的推理方法?其思维过程的表述如下图：这种推理方法就是反证法。
在证明一个命题时，有时先假设命题不成立，从这样的假设出发，经过推理得出和已知条证的命题2、请你模仿推理：他运用了怎样的推理方法？在古希腊时，有三个哲学家，由于争论和天气的炎热感到疲倦，于是就在花园里的一棵大树下躺下休息睡着了。
这时一个爱开玩笑的人用炭涂黑了他们的前额，当他们醒过来后，彼此相看时都笑了。
一会儿其中有一个人却突然不笑了，他是觉察到什么了？3、整体感知用反证法证明命题实际上是这样一个思维过程：我们假定“结论不成立”，结论一不成立就会出毛病，这个毛病是通过与已知条件矛盾，与公理或定理矛盾的方法暴露出来的。
这个毛病是怎么造成的呢？推理没有错误，已知条件，公理或定理没有错误，这样一来，唯一有错误的地方就是一开始的假定。
既然“结论不成立”有错误，就肯定结论必然成立了。
概括地说就是要利用“结论的反面不成立”的证明来证明结论成立。
４、请你写出下列结论的反面1、a⊥b；2、d是正数；3、a≥0；4、 a∥b。
答：______________________________________________________５、完成课内练习１、６、例、求证：在同一平面内，如果一条直线和两条平行直线中的一条相交，那么和另一条也相交。
已知：求证：证明：７、根据上述解答，归纳反证法证题的步骤。
方法总结：证明一个命题是真命题有哪些方法?８、当堂练习：书作业题9.甲、乙、丙、丁、戊五人在运动会上分获一百米、二百米、跳高、跳远和铅球冠军，有四个人猜测比赛结果：A说：乙获铅球冠军，丁获跳高冠军； B说：甲获百米冠军，戊获跳远冠军；C说：丙获跳远冠军，丁获二百米冠军； D说：乙获跳高冠军，戊获铅球冠军。
浙教版初中数学八年级下册-4.4 反证法课件
王戎7岁时,与小 伙伴们外出游玩,看 到路边的李树上结满 了果子.小伙伴们纷 纷去摘取果子,只有 王戎站在原地不动…
王戎回答说:“树在道边而多子,此必苦李.” 小伙伴摘取一个尝了一下果然是苦李.
王戎是怎样知道李子是苦的呢?他运用了怎样 的推理方法?
假设李子不是苦的，即李子是甜的， 那么这长在人来人往的大路边的李子会不会被 过路人摘去解渴呢？ 那么，树上的李子还会这么多吗？
求证： l１∥l３
p
l１ l２ l３
证明：假设l１不平行l３，则l１与l３相交，设交点为p.
∵l１∥l２ , l２∥l３, 则过点p就有两条直线l１、 l３都与l２平行，这与“经过直线外一点，有
且只有一条直线平行于已知直线”矛盾．
所以假设不成立，所求证的结论成立， 即 l１∥l３
定理
求证:在同一平面内,如果两条直线都和第三条直线平行,那
当∠B是_钝__角__时，则_∠__B_+__∠__C_＞__1_8_0_°
这与__三__角__形__的__三__个__内__角__和__等__于__1_8_0_°_矛盾； 综上所述,假设不成立. ∴∠B一定是锐角.
用反证法证题时,应注意的事项 :
（1）周密考察原命题结论的否定事项， 防止否定不当或有所遗漏；
常用的互为否定的表述方式：
• 是——不是；存在——不存在 • 平行——不平行；垂直——不垂直 • 等于——不等于；都是——不都是 • 大于——不大于；小于——不小于 • 至少有一个——一个也没有 • 至少有三个——至多有两个 • 至少有n个——至多有(n-1)个
至多有一个—— 至少有两个 至少有一个 ——一个也没有
一、提出假设 二、推理论证 三、得出矛盾 四、结论成立
2021年浙教版八年级数学下册第四章《46反证法》公开课课件(共13张PPT)
路边苦李
王戎7岁时，与小 伙伴们外出游玩，看 到路边的李树上结满 了果子.小伙伴们纷 纷去摘取果子，只有 王戎站在原地不动. 有人问王戎为什么?
王戎回答说:“树在道边而多子，此必苦李.”
小伙伴摘取一个尝了一下果然是苦李.
王戎是怎样知道李子是苦的呢?他运用了怎样 的推理方法?
4.6反证法
假设李子是甜的
例3 求证：在一个三角形中，至少有一个内角小于
或等于60°。
已知：△ABC 求证：△ABC中至少有一个内角小于或等于60°.
证明：假设 △ABC中三个内角都大于60°
即 ∠A>60°,∠B>60°,∠C>60°
∴ ∠A+∠B+∠C>180°
，
这与 三角形的内角和为180度 矛盾．
∴ 假设不成立
∴ △ABC中至少有一个内角小于或等于60°.
证明：假设a与b不止一个交点， 不妨假设有两个交点A和A’。
因为两点确定一条直线，即经过点 a
● A，
A和A'的直线有且只有一条，这与
●
A
已知两条直线矛盾,假设不成立。
浙教版八年级数学下册反证法
P
l1
l2
因为已知___l_1_∥_l_2 __,
所以过直线l2外一点P,有两条直线和l2平行,
这与“_经__过_直__线__外_一__点_,_有_且__只__有_一__条_直_ _线_平__行_于__已_知__直__线_”矛盾. 所以假设不成立,即求证的命题正确.
B班做
5、用反证法证明：等腰三角形的底角 必定是锐角．
所以，李子是苦的
在证明一个命题时,先假设命题不成立， 从这样的假设出发,经过推理得出和已知条件矛 盾，或者与定义、公理、定理等矛盾， 从而得出假设命题不成立是错误的， 即所求证的命题正确.这种证明方法叫做反证法.
一、提出假设
假设待证命题不成立，或是命题的 反面成立。
二、推理论证 三、得出矛盾
以假设为条件，结合已知条件推理， 得出与已知条件或是正确命题相矛盾 的结论
分析：解题的关键是反证法的第一步否定结 论，需要分类讨论.
已知：在△ABC中，AB=AC. 求证：∠B、∠C为锐角. 证明：假设等腰三角形的底角不是锐角，那 么只有两种情况：
(1)两个底角都是直角； (2)两个底角都是钝角；
（1)由∠A=∠B=90° 则∠A+∠B+∠C=∠A+90°+90°>180°， 这与三角形内角和定理矛盾， ∴∠A=∠B=90°这个假设不成立.
王戎回答说:“树在道边而多子,此必苦李.” 小伙伴摘取一个尝了一下果然是苦李.
王戎是怎样知道李子是苦的呢?他运用了怎样 的推理方法?
假设李子不是苦的，即李子是甜的， 那么这长在人来人往的大路边的李子会不会被 过路人摘去解渴呢？ 那么，树上的李子还会这么多吗？
这与事实矛盾。说明 李子是甜的这个假设是错 的还是对的？
浙教版八年级下册数学：46 反证法
假设 “三个内角都小于60°”不成立
结论成立
所以原命题正确，即三角形至少有 一个内角不小于60°
在证明一个命题时,人们有时先假设命题不成立,从这样的 假设出发,经过推理得出和已知条件矛盾,或者与定义,公 理,定理等矛盾,从而得出假设命题不成立是错误的,即所 求证的命题正确.这种证明方法叫做反证法.
至多有一个 至少有两个
至少有n个 至多有（n-1)个
至多有n个 至少有（n+1)个
已知：四边形ABCD(如右图). 求证：四边形ABCD中至少有一个角 是钝角或直角.
证明: 假设_四_边__形_A__B_C_D_中__没__有___一___个___角___是__钝___角___或___直__,角
即__即__∠__A_<_9_0°___，____∠___B__<_9__0_°___,__∠__C__<__9__0_°___,__∠__D__<__9__0°
3、用反证法证明命题“在△ABC中,若∠C 是直角，那么∠B一定是锐角”时，应如何 假设？ __假__设__∠__B_是__直__角__或__钝__角_____________
常见的关键词的否定形式.
原词语
等于
是 存在 大于 小于
否定词 不等于
不是
不存在 不大于 不小于
原词语
否定词
有理数
无理数
至少有一个 一个也没有
a
c
定理:在同一平面内,如果两条直线
都和第 三条直线平行,那么这两条直 线也互相平行.
几何语言表示:
a
∵a∥b,b∥c,
b
c
∴b∥c
挑战自我
求证：A（m-1,m-3）不可能是第二 象限内的点。
初中数学初二数学下册《反证法》教案、教学设计
1.作业应在规定的时间内完成，确保学生有足够的时间进行思考和消化；
2.作业应注重质量而非数量，要求学生在完成作业时，注重解题思路的清晰性和逻辑性；
5.设计丰富的例题和练习题，让学生在实际操作中感受反证法的运用。
（三）情感态度与价值观
1.培养学生勇于探索、积极思考的学习态度，增强学生对数学学科的兴趣；
2.培养学生的逻辑思维能力，提高学生分析问题、解决问题的能力；
3.培养学生的逆向思维，使学生懂得从不同角度审视问题，形成创新意识；
4.培养学生的合作精神，使学生学会与他人共同探讨、共同进步；
在此过程中，学生可以充分发表自己的观点，学会倾听他人意见，形成共识。我会在各组间巡回指导，解答学生的疑问，引导学生深入探讨反证法的应用。
（四）课堂练习，500字
课堂练习环节，我将设计不同难度的题目，让学生独立完成。这些题目包括基础题、提高题和拓展题，旨在帮助学生巩固所学知识，提高解题能力。
在学生完成练习后，我会邀请部分学生分享他们的解题思路和答案。通过这种方式，学生可以相互学习，取长补短，共同提高。
（五）总结归纳，500字
在总结归纳环节，我会带领学生回顾本节课所学的反证法知识，概括反证法的定义、关键步骤和应用。同时，强调反证法在数学证明中的重要性，以及它在解决实际问题中的应用价值。
此外，我会鼓励学生课后进行反思，总结自己在学习反证法过程中的收获和不足。这样，学生可以更好地掌握反证法，为今后的数学学习打下坚实基础。
2.学会运用反证法进行简单命题的证明，并能解决实际问题；
2021年浙教版八年级数学下册第四章《46反证法》公开课课件(共20张PPT)
与已知条件 “树在道边而多子”产生矛 盾
假设 “李子甜”不成立
所以“树在道边而多子,此必为苦李” 是正确 的
例:小华睡觉前，地上是干的，早晨起来， 看见地上全湿了。小华对婷婷说：“昨天 晚上下雨了。”
您能对小华的判断说出理由吗？
假设昨天晚上没有下雨，那么地上应是 干的，这与早晨地上全湿了相矛盾，所以 说昨晚下雨是正确的。
命题； （4）关于“唯一性”结论的命题； （5）解决整除性问题； （6）一些不等量命题的证明； （7）有些基本定理或某一知识体系的初始阶段； （8）涉及各种“无限”结论的命题等等。
常用的互为否定的表述方式：
• 是——不是；存在——不存在 • 平行——不平行；垂直——不垂直 • 等于——不等于；都是——不都是 • 大于——不大于；小于——不小于 • 至少有一个——一个也没有 • 至少有三个——至多有两个 • 至少有n个——至多有(n-1)个
合作学习:
定理
求证:在同一平面内,如果两条直线都和第三条 直线平行,那么这两条直线也互相平行.
已知:如图，l1∥l2 ,l 2 ∥l 3
求证： l１∥l３
p
l１ l２ l３
证明：假设l１不平行l３，则l１与l３相交,设交点为p.
∵l１∥l２ , l２∥l３, 则过点p就有两条直线l１、 l３都与l２平行，这与“经过直线外一点， 有且只有一条直线平行于已知直线”矛
试一试
已知：如图，直线a,b被直线c所截， ∠1 ≠ ∠2
c a
1
求证：a∥b
b
证明：假设结论不成立，则a∥b 2
∴∠1=∠2 (两直线平行,同位角相等)
这与已知的∠1≠∠2矛盾 ∴假设不成立
∴a∥b
《反证法》 教学设计
《反证法》教学设计一、教学目标1、知识与技能目标学生能够理解反证法的概念，掌握反证法的证明步骤，能运用反证法证明一些简单的命题。
2、过程与方法目标通过对反证法的学习，培养学生的逻辑思维能力和推理能力，提高学生分析问题和解决问题的能力。
3、情感态度与价值观目标让学生感受数学的严谨性和逻辑性，激发学生对数学的兴趣和探索精神，培养学生的创新意识和批判性思维。
二、教学重难点1、教学重点理解反证法的概念，掌握反证法的证明步骤，能运用反证法证明简单命题。
2、教学难点如何正确地提出反设，以及如何通过推理得出矛盾。
三、教学方法讲授法、讨论法、练习法四、教学过程1、导入新课通过一个有趣的故事引入反证法。
故事：有一个人被指控偷了邻居的钱，他宣称自己没有偷。
法官问他：“如果不是你偷的，那钱怎么会在你的口袋里？”这个人无法回答。
提问学生：法官的这种推理方法有什么特点？2、讲解概念（1）给出反证法的定义：先假设命题的结论不成立，然后通过推理得出矛盾，从而证明原命题成立的方法叫做反证法。
（2）强调反证法的关键在于“反设”和“归谬”。
3、示例讲解（1）例 1：证明“在一个三角形中，至少有一个内角小于或等于60°”。
分析：假设三角形的三个内角都大于 60°，然后推出矛盾。
证明过程：假设三角形的三个内角都大于 60°，则三角形的内角和大于 180°，这与三角形内角和定理矛盾。
所以，原命题成立。
（2）例 2：证明“根号 2 是无理数”。
分析：假设根号 2 是有理数，设根号 2 ＝ m ／ n（m、n 为互质的正整数），然后推出矛盾。
证明过程：假设根号 2 是有理数，设根号 2 ＝ m ／ n（m、n 为互质的正整数），则 2 ＝ m²／ n²，即 m²＝ 2n²。
因为 2n²是偶数，所以m²是偶数，从而 m 是偶数。
设 m ＝ 2k（k 为正整数），则 4k²＝ 2n²，即 2k²＝ n²，所以 n 也是偶数，这与 m、n 互质矛盾。
八年级数学下册 4.6 反证法教案 (新版)浙教版
第4章平行四边形4.6反证法【教学目标】知识与技能1、了解反证法的含义。
2、了解反证法的基本步骤。
3、会利用反证法证明简单命题。
4、了解定理“在同一平面内，如果一条直线和两条平行直线中的一条相交，那么和另一条也相交”“在同一平面内，如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行”。
过程与方法情感、态度与价值观【教学重难点】重点：反证法的含义和步骤。
难点：用两种方法完成平行线的传递性的证明。
【导学过程】【情景导入】故事引入“反证法”：中国古代有一个叫《路边苦李》的故事:王戎7岁时，与小伙伴们外出游玩，看到路边的李树上结满了果子.小伙伴们纷纷去摘取果子，只有王戎站在原地不动.有人问王戎为什么?王戎回答说:“树在道边而多子,此必苦李.”小伙伴摘取一个尝了一下,果然是苦李。
王戎是怎样知道李子是苦的?他运用了怎样的推理方法?假设李子不是苦的，即李子是甜的，那么这长在人来人往的大路边的李子会不会被过路的人摘去解渴呢？那么，树上的李子还会这么多吗？这与事实矛盾？说明李子是甜的这个假设是错的还是对的？所以，李子是苦的。
我们不得不佩服王戎，小小年纪就具备了反证法的思维。
反证法是数学中常用的一种方法．人们在探求某一问题的解决方法而正面求解又比较困难时，常常采用从反面考虑的策略，往往能达到柳暗花明又一村的境界。
那么什么叫反证法呢？（板书课题）【新知探究】探究一、在证明一个命题时,人们有时先假设命题不成立,从这样的假设出发,经过推理得出和已知条件矛盾,或者与定义,公理,定理等矛盾,从而得出假设命题不成立是错误的,即所求证的命题正确.这种证明方法叫做反证法.用反证法证明命题实际上是这样一个思维过程：我们假定“结论不成立”，结论一不成立就会出毛病，这个毛病是通过与已知条件矛盾，与公理或定理矛盾的方法暴露出来的。
这个毛病是怎么造成的呢？推理没有错误，已知条件，公理或定理没有错误，这样一来，唯一有错误的地方就是一开始的假定。
浙教版数学八年级下册《4.6 反证法》教学设计
浙教版数学八年级下册《4.6 反证法》教学设计一. 教材分析《4.6 反证法》是浙教版数学八年级下册的一个重要内容。
反证法是数学证明的一种方法，通过假设结论不成立，然后推理出矛盾，从而证明结论是正确的。
这一节内容主要包括反证法的概念、基本步骤和应用。
学生在学习这一节内容时，需要理解反证法的本质，掌握反证法的基本步骤，并能够运用反证法解决实际问题。
二. 学情分析学生在学习这一节内容时，已经掌握了数学证明的基本方法和逻辑推理的能力。
但是，对于反证法这一概念，学生可能比较陌生，难以理解其本质和应用。
因此，在教学过程中，需要引导学生从实际问题出发，逐步理解反证法的概念和基本步骤，并通过大量的练习，提高学生运用反证法解决问题的能力。
三. 教学目标1.了解反证法的概念和基本步骤。
2.能够运用反证法解决实际问题。
3.提高逻辑推理的能力和解决问题的能力。
四. 教学重难点1.反证法的概念和基本步骤。
2.运用反证法解决实际问题。
五. 教学方法1.案例教学法：通过具体的案例，引导学生理解反证法的概念和基本步骤。
2.问题驱动法：通过提出问题，引导学生思考和探索反证法的应用。
3.练习法：通过大量的练习，提高学生运用反证法解决问题的能力。
六. 教学准备1.准备相关的案例和问题，用于引导学生思考和探索。
2.准备PPT，用于展示反证法的概念和基本步骤。
3.准备练习题，用于巩固学生对反证法的理解和应用。
七. 教学过程1.导入（5分钟）通过提出一个具体的问题，引导学生思考和探索反证法的概念和应用。
例如：假设有一座桥，桥的两侧各有一个人，他们同时开始走，多久能够相遇？2.呈现（10分钟）通过PPT展示反证法的概念和基本步骤，让学生理解反证法的本质。
反证法的概念：假设结论不成立，然后推理出矛盾，从而证明结论是正确的。
反证法的基本步骤：（1）假设结论不成立；（2）根据假设，推理出矛盾；（3）由于矛盾的存在，说明假设不成立，从而结论成立。