直线方程的几种形式

23 直线方程的几种形式
教材分析
这节内容介绍了直线方程的几种主要形式：点斜式、两点式和一般式，并简单介绍了斜截式和截距式．直线方程的点斜式是其他直线方程形式的基础，因此它是本节学习的重点．在推导直线方程的点斜式时，要使学生理解：（1）建立点斜式的主要依据是，经过直线上一个
定点与这条直线上任意一点的直线是唯一的，其斜率等于k．（2）在得出方程后，要把它变成方程y－y1＝k（x－x1）．因为前者表示的直线缺少一个点P1（x1，y1），而后者才是这条直线的方程．（3）当直线的斜率不存在时，不能用点斜式求它的方程，这时的直线方程为x＝x1．在学习了点斜式的基础上，进一步介绍直线方程的其他几种形式：斜截式、两点式、截距式和一般式，并探索它们的适用范围和相互联系与区别．通过研究直线方程的几种形式，指出它们都是关于x，y的二元一次方程，然后从两个方面进一步研究直线和二元一次方程的关系，使学生明确一个重要事实：在平面直角坐标系中，任何一条直线的方程，都可以写成关于x，y的一次方程；反过来，任何一个关于x，y的一次方程都表示一条直线，为以后继续学习“曲线和方程”打下基础．因为这部分内容较为抽象，所以它是本节学习的难点．
教学目标
1. 在“直线与方程”和直线的斜率基础上，引导学生探索由一个点和斜率推导出直线方程，初步体会直线方程建立的方法．
2. 理解和掌握直线方程的点斜式，并在此基础上研究直线方程的其他几种形式，掌握它们之间的联系与区别，并能根据条件熟练地求出直线方程．
3. 理解直线和二元一次方程的关系，并能用直线方程解决和研究有关问题．
4. 通过直线方程几种形式的学习，初步体会知识发生、发展和运用的过程，培养学生多向思维的能力．
任务分析
这节内容是在学习了直线方程的概念与直线的斜率基础上，具体地研究直线方程的几种形式，而这几种形式的关键是推导点斜式方程．因此，在推导点斜式方程时，要使学生理解：已知直线的斜率和直线上的一个点，这条直线就确定了，进而直线方程也就确定了．求直线方程就是把直线上任一点用斜率和直线上已知点来表示，这样由两点的斜率公式即可推出直线的点斜式方程．在直线的点斜式方程基础上，由学生推出直线方程的其他几种形式，并使学生明确直线方程各种形式的使用范围，以及它们之间的联系与区别．对于直线和方程的一一对应关系是本节课的难点，在论证直线和方程的关系时，一方面分斜率存在与斜率不存在两类，另一方面又分B≠0与B＝0两类．这种“两分法”的分类，科学严密，可培养学生全面系统和周密地讨论问题的能力．
教学设计
一、问题情境
飞逝的流星形成了一条美丽的弧线，这条弧线可以看作满足某种条件的点的集合．在平面直角坐标系中，直线也可以看作满足某种条件的点的集合．为研究直线问题，须要建立直线的方程．直线可由两点唯一确定，也可由一个点和一个方向来确定．如果已知直线上一个点的坐标和斜率，那么如何建立这条直线的方程呢？
二、建立模型
1. 教师提出一个具体的问题若直线l经过点A（－1，3），斜率为－2，点P在直线l上运动，那么点P的坐标满足什么条件？
设点P的坐标为（x，y），那么当P在直线l上运动时（除点A外），点P与定点A确定的
直线就是l，它的斜率恒为－2，所以＝－2，即2x＋y－1＝0．
显然，点A（－1，3）满足此方程，因此，当点P在直线l上运动时，其坐标（x，y）满足方程2x＋y－1＝0．
2. 教师明晰一般地，设直线l经过点P1（x1，y1），且斜率为k，对于直线l上任意一点P
（x，y）（不同于点P1），当点P在直线l上运动时，PP1的斜率始终为k，则，即y－y1＝k（x－x1）．
可以验证：直线l上的每个点（包括点P1）的坐标都是这个方程的解；反过来，以这个方程的解为坐标的点都在直线l上，这个方程就是过点P1、斜率为k的方程，我们把这个方程叫作直线的点斜式方程．
当直线l与x轴垂直时，斜率不存在，其方程不能用点斜式表示，但因为直线l上每一点的横坐标都等于x1，所以它的方程是x＝x1．
思考：（1）方程与方程y－y1＝k（x－x1）表示同一图形吗？
（2）每一条直线都可用点斜式方程表示吗？
［例题］
求满足下列条件的直线方程．
（1）直线l1：过点（2，5），k＝－1．
（2）直线l2：过点（0，1），k＝－.
（3）直线l3：过点（2，1）和点（3，4）．
（4）直线l4：过点（2，3）平行于y轴．
（5）直线l5：过点（2，3）平行于x轴．
参考答案：（1）x＋y－7＝0．（2）y＝－x＋1．（3）3x－y－5＝0．（4）x＝2．（5）y＝3．
［练习］
求下列直线方程．
（1）已知直线l的斜率为k，与y轴的交点P（0，b）．
（如果直线l的方程为y＝kx＋b，则称b是直线l在y轴上的截距，这个方程叫直线的斜截式方程）
（2）已知直线l经过两点P1（x1，y1），P2（x2，y2）．
（如果直线l的方程为y－y1＝（x－x1），（x1≠x2），则这个方程叫直线的两点式方程）
（3）已知直线l经过两点A（ａ，0），B（0，b），其中ab≠0．
（如果直线l的方程为，（ab≠0），则a，b分别称为直线l在x轴、y轴上的截距，这个方程叫直线的截距式方程）
进一步思考讨论：前面所学的直线方程的几种形式都是关于x，y的二元一次方程，那么任何一条直线的方程是否为关于x，y的二元一次方程？反过来，关于x，y的二元一次方程都表示一条直线吗？
通过学生讨论后，师生共同明晰：
在平面直角坐标系中，每一条直线的方程都是关于x，y的二元一次方程．
事实上，当直线斜率存在时，它的方程可写成y＝kx＋b，它可变形为kx－y＋b＝0，若设A ＝k，B＝－1，C＝b，它的方程可化为Ax＋By＋C＝0；当直线斜率不存在时，它的方程可写成x＝x1，即x－x1＝0，设A＝1，B＝0，C＝－x1，它的方程可化为Ax＋By＋C＝0．即任何一条直线的方程都可以表示为Ax＋By＋C＝0；反过来，关于x，y的二元一次方程Ax＋By ＋C＝0，（A，B不全为0）的图像是一条直线．
事实上，对于方程Ax＋By＋C＝0，（A，B不全为0），当B≠0时，方程可化为y＝－x －，它表示斜率为－，在y轴上截距为－的直线；当B＝0时，A≠0，方程可化为x＝－，它表示一条与ｙ轴平行或重合的直线．
综上可知：在平面直角坐标系中，直线与关于x，y的二元一次方程是一一对应的．我们把方程Ax＋By＋C＝0，（A，B不全为0）叫作直线的一般式方程．
三、解释应用
［例题］
1. 已知直线l通过点（－2，5），且斜率为－．
（1）求直线的一般式方程．
（2）求直线在x轴、y轴上的截距．
（3）试画出直线l．解答过程由学生讨论回答，教师适时点拨．
2. 求直线l：2x－3y＋6＝0的斜率及在x轴与y轴上的截距．
解：已知直线方程可化为y＝x＋2，所以直线l的斜率为，在y轴上的截距为2．在方程2x－3y＋6＝0中，令y＝0，得x＝－3，即直线在x轴上的截距为－3．
［练习］
1. 求满足下列条件的直线方程，并画出图形．
（1）过原点，斜率为－2．
（2）过点（0，3），（2，1）．
（3）过点（－2，1），平行于x轴．
（4）斜率为－1，在y轴上的截距为5．
（5）在x轴、y轴上的截距分别为3，－5．
2. 求过点（3，－4），且在两条坐标轴上的截距相等的直线方程．
3. 设直线l的方程为（m2－2m－3）x＋（2m2＋m－1）y＝2m－6，根据下列条件确定m的值．
（1）直线l在x轴上的截距为－3．
（2）直线l的斜率为1．
（3）直线l与两坐标轴围成的三角形的面积为10．
四、拓展延伸
1. 在直线方程y－1＝k（x－1）中，k取所有实数，可得到无数条直线，这无数条直线具有什么共同特点？
2. 在直线方程Ax＋By＋C＝0中，当A，B，C分别满足什么条件时，直线有如下性质：
（1）过坐标原点．（2）与两坐标轴都相交．
（3）只与x轴相交．（4）只与y轴相交．
（5）与x轴重合．（6）与y轴重合．
3. 直线方程的一般式与几种特殊形式有什么区别与联系？你能说明它们的适用范围以及相互转化的条件吗？
参考答案：
1. 直线过点（1，1），它不包括直线x＝1．
2. （1）C＝0．A，B不全为0；（2）A，B都不为0．
（3）A≠0，B＝0，C≠0．（4）A＝0，B≠0，C≠0．
（5）A＝0，B≠0，C＝0．（6）A≠0，B＝0，C＝0．
3. 略．
点评
这篇案例在直线与方程和直线的斜率基础上，通过实例探索出过一点且斜率已知的直线的方程，然后按照由特殊到一般的方程建立了直线的点斜式方程，在点斜式方程的基础上由学生自主的探究出直线方程的其他形式，并研究了几种直线方程的联系与区别以及它们的适用范围．在案例的设计上注意了知识的发生、发展和适用的过程．在例题与练习的设计上，注意了层次性和知识的完整性的结合，在培养学生的能力上，注意了数学的本质是数学思维过程的教学，体现了数形结合、化归、转化、抽象、概括以及函数与方程的思想．在培养学生创新意识、探索研究、分析解决问题的能力等方面，做了一些尝试，体现了新课程的教学理念，能够较好地完成本节的教育教学任务．。