一、直线方程的五种形式
直线方程的五种形式
2 x 5 y 10 0
五.直线方程的一般式
在平面直角坐标系中 , 对于任何一条直线 , 都有一
个表示这条直线的关于 x, y的二元一次方程 形式为 证明: 关于x, y的二元一次方程的一般
Ax By C 0( A, B不同时为 0)
A C A 1)当B 0时, 有y x , 这 是 斜 率 为 , BC B B 在y轴 上 的 斜 距 为 的直线方程 . B C 2)当B 0时,因A, B不 同 时 为 0, 故A 0, x . A 它表示一条与 y轴平行或重合的直线 .
求这个三角形三边所在 的直线方程 .
解: 把A, B代入两点式 ,得
y0 x (5) 3 0 3 (5)
3x 8 y 15 0
把B, C代入两点式 ,得
y 3 x 3 23 03
5x 3 y 6 0
A(5,0), B(3,3), C (0,2) 例3三角形的顶点是
二
名称
直线方程的五种形式
方程 说明 不包括y轴和平行于y轴 的直线 不包括y轴和平行于y轴 的直线
已知条件
点斜式 点P1(x1,y1)和斜率 y-y1=k(x-x1) k 斜截式 斜率k和y轴上截 距 两点式 点P1(x1,y1)和点 P2(x2,y2) 截距式 在x轴上的截距a 在y轴上的截距b 一般式 A、B不同时为零 y=kx+b
已知直线 l的 斜 率 为 k , 与y轴 的 交 点 是 (0, b), 求直线的方程 . 解: 由直线的点斜式,得 y b k ( x 0)
即y kx b
y
l
方程 y kx b叫做直线方程的斜截式 .
空间直线方程的五种形式
空间直线方程的五种形式在空间几何中，直线是最基本的图形之一。
直线的方程是在数学中非常重要的一部分。
空间直线方程的五种形式是基于不同的坐标系和参数化方式，它们各自有其独特的优势和适用范围。
在本文中，我们将探讨这五种形式的具体含义和应用。
1. 点向式方程点向式方程是空间直线方程的最基本形式。
它基于点和向量的概念，可以表示为：$$vec{r}=vec{a}+tvec{b}$$其中，$vec{r}$ 是直线上任意一点的位置向量；$vec{a}$ 是直线上已知的一点的位置向量；$vec{b}$ 是直线的方向向量，它的大小和方向决定了直线的方向；$t$ 是参数，可以取任意实数值。
点向式方程的优势在于它直观地表达了直线的位置和方向。
同时，它也很容易与向量运算相结合，便于进行计算。
但是，它的缺点是不够简洁，需要使用向量的加法和数乘运算，不太方便。
2. 对称式方程对称式方程是空间直线方程的另一种基本形式。
它基于平面和点的概念，可以表示为：$$frac{x-x_0}{a}=frac{y-y_0}{b}=frac{z-z_0}{c}$$ 其中，$(x_0,y_0,z_0)$ 是直线上已知的一点的坐标；$a,b,c$ 是直线的方向比例系数，它们的比值决定了直线的方向；$x,y,z$ 是直线上任意一点的坐标。
对称式方程的优势在于它简洁明了，易于计算。
同时，它也可以很容易地转化为其他形式的方程。
但是，它的缺点是不够直观，不容易理解直线的位置和方向。
3. 参数式方程参数式方程是空间直线方程的常用形式之一。
它基于参数化的概念，可以表示为：$$begin{cases} x=x_0+at y=y_0+bt z=z_0+ct end{cases}$$ 其中，$(x_0,y_0,z_0)$ 是直线上已知的一点的坐标；$a,b,c$ 是直线的方向比例系数，它们的比值决定了直线的方向；$t$ 是参数，可以取任意实数值。
参数式方程的优势在于它直观地表达了直线的位置和方向，同时也很容易进行计算和推导。
空间直线方程的五种形式
空间直线方程的五种形式空间直线是三维几何中的基本概念之一，它在建模、计算机图形学、机器人学、计算机视觉等领域中有着广泛的应用。
本文将介绍空间直线的五种方程形式，分别是点向式、参数式、对称式、标准式和一般式。
一、点向式点向式是一种常用的表示空间直线的方式，它使用一条直线上的一点和该直线的方向向量来描述直线。
设直线上一点为 $P_0$，方向向量为 $vec{v}$，则该直线的点向式方程为：$$vec{OP} = vec{OP_0} + tvec{v}$$其中 $vec{OP}$ 表示直线上任意一点 $P$ 到原点 $O$ 的向量，$t$ 为参数。
点向式方程中的 $vec{v}$ 是直线的方向向量，它的模长为 $|vec{v}|$，方向与直线相同。
点向式方程的优点是简单明了，易于理解和计算。
二、参数式参数式是另一种表示空间直线的方式，它使用一个参数来描述直线上的所有点。
设直线上一点为 $P_0$，方向向量为 $vec{v}$，则该直线的参数式方程为：$$begin{cases}x = x_0 + tv_x y = y_0 + tv_y z = z_0 + tv_z end{cases}$$其中 $(x_0, y_0, z_0)$ 是直线上的一点，$(v_x, v_y,v_z)$ 是直线的方向向量，$t$ 是参数。
参数式方程中的 $t$ 可以取任意实数，它表示直线上的所有点。
参数式方程的优点是方便计算直线上的任意一点的坐标。
三、对称式对称式是一种表示空间直线的方式，它使用一个点和一个平面来描述直线。
设直线上一点为 $P$，平面的法向量为 $vec{n}$，则该直线的对称式方程为：$$vec{OP} cdot vec{n} = vec{OP_0} cdot vec{n}$$ 其中 $vec{OP}$ 表示直线上任意一点 $P$ 到原点 $O$ 的向量，$vec{n}$ 是平面的法向量，$vec{OP_0}$ 是直线上的一点。
直线方程的五种形式
x x1 显然,点P1的坐标不满足方程(1)
而满足方程(2)，因此，点P1不在方程(1) 表示的图形上而在方程(2)表示的图形上， 方程(1)不能称作直线的方程．
对于方程y y1 k( x x1 ),直线l上的每一个 点P( x, y)都是这个方程的解;反之,以方程的
解 为 坐 标 的 点 都 在 直 线l上.
例3三角形的顶点是A(5,0), B(3,3), C(0,2)
求这个三角形三边所在的直线方程.
解: 把A,C代入两点式,得
y 0 x (5) 2 0 0 (5)
2x 5y 10 0
另解: 由A,C两点的坐标得直线AC在x, y轴
上的截距为a 5, b 2. 由截距式得
x y 1 5 2
y °°°°P°°°1 °°P
直线上任意一点P与这条直线上 一个定点P1所确定的斜率都相等。
° °O °
x
⑵当P点与P1重合时，有x=x1，y=y1，此时满足y-y1=k（x -x1），所以直线l上所有点的坐标都满足y-y1=k（x-x1）， 而不在直线l上的点，显然不满足（y-y1）/（x-x1）=k即 不满足y-y1=k（x-x1），因此y-y1=k（x-x1）是直线l的方程。
2
2
2.求与直线3x 2 y 6 0的截距相同, 斜率为 3的直线方程式.
解: 依题意b 3, k 3,
所求直线方程为y 3 x 3
三.直线的两点式
已知直线l经过两点P1 ( x1 , y1 ), P2 ( x2 , y2 ),
且x1 x2 ,求直线的方程.
解: 依题意, k
y2 x2
y
l
y y1 k(x x1)
P2
P1
直线方程几种形式
2.直线的斜截式方程：
练习: 已知直线l的斜率是k，与 y 轴的交点
是 P(0 , b) ，求直线方程。
y.
代入点斜式方程，得l 的直线方程： (0,b)
y b k(x 0) 即 y kx b (2)
O
x
直线l 与 y 轴交点 (0 , b) 的纵坐标 b 叫做直线
l在 y轴上的截距。
方程(2)是由直线的斜率 k与它在 y轴上的截距 b确
P0（x0,y0)
O
x
可化为y y0 kx x0
• 可以验证: 直线l上的每个点（包括点P0）的坐标 都是这个方程的解;反过来，以这个方程的解为 坐标的点都在直线l上
• 由此，这个方程 y y0 kx x0 就是过点P0，
斜率为k的直线l的方程
(1)当直线 l与 x轴平行或重合时
已知直线经过两点P1(x1,y1)，P2(x2,y2)， (x1 x2 ,y1 y2),如何求出这两个点的直线方程 呢？
经过一点, 且已知斜率的直线, 可以写出它 的点斜式方程.
可以先求出斜率, 再选择一点, 得到点斜式 方程.
根据两点P1(x1,y1), P2(x2,y2),
斜率 k y2 y1
x a
y b
1
y lB
说明:（1）直线与x轴的交点(a,0)
的横坐标a叫做直线在x轴的截距,
此时直线在y轴的截距是b;
O
A
x
(2)这个方程由直线在x轴和y轴的
截距确定,所以叫做直线方程的截距 式方程;
(3)截距式适用于横、纵截距都存在且都不为0的直线.
例5. 说出下列直线的方程，并画出图形. ⑴倾斜角为450，在轴上的截距为0； ⑵在x轴上的截距为－5， 在y轴上的截距为6； ⑶在x轴上截距是－3，与y轴平行； ⑷在y轴上的截距是4，与x轴平行.
直线方程的几种形式(5种).ppt
练习1：
1.已知一直线经过点P(-1,2)，斜率为0， 求这条直线的方程。
特殊情况:
(1)当直线的倾斜角为00时斜率k 0,
y
l
直线l的方程为y y1 (如图) P1
O
x
(2)当直线的倾斜角为900时斜率k不存在,
yl
直线l的方程为x x1 (如图)
P1
O
x
例1
求 下 列 直 线 的 方 程: (1)直 线l1 : 过 点(2,1),k 1, (2)直线l2 : 过点(2,1)和点(3,3).
y
A(-1,3) . . B(0,1)
O
分析：先找出特殊的 一点B(0,y),根据两点 的斜率公式可求出
x B(O,1)
探究新知
问题二： 若直线l过点A(-1,3)，斜率为-2，点 P(x,y)在直线l上运动，那么点P的横坐标x和纵坐 标y之间满足什么关系？
分析：点P与定点A(-1,3)所确定的直
例3三角形的顶点是A(5,0), B(3,3), C(0,2)
求这个三角形三边所在的直线方程.
解: 把A,C代入两点式,得
y 0 x (5) 2 0 0 (5)
2x 5y 10 0
另解: 由A,C两点的坐标得直线AC在x, y轴
上的截距为a 5, b 2. 由截距式得
x y 1 5 2
求直线的点斜式和一般式方程. 3
解: 点斜式方程式为: y 4 4 ( x 6)
3
化成一般 3 y 6 0化成斜截式, 截距
式,求出它的斜率和它在x, y轴上的截距.
解: 斜截式为y 2 x 2.
3
截距式为 x y 1斜 . 率k 2 .
直线方程的五种形式(包括哪五种)
直线方程的五种形式（包括哪五
种）
大家好，小乐为大家解答以下问题。
很多人不知道线性方程的五种形式，包括哪五种。
现在让我们来看看！
一、直线方程的五种形式
1、1：点斜式：已知直线过点(x0，y0)，斜率为k，则直线方程为y－y0＝k(x－x0)。
2、2：斜截式：已知直线在y轴上的截距为b，斜率为k，则直线方程为y＝kx＋b
3、3：两点式：已知一条直线经过P1(x1，y1)，P2(x2，y2)两点，则直线方程为x-x1/x2-x1＝y-y1/y2-y1，但不包括垂直于坐标轴的直线。
4、4：截距式：已知直线在x轴和y轴上的截距为a，b，则直线方程为x/a＋y/b＝1
5、5：一般式：任何直线均可写成Ax＋By＋C＝0(A，B不同时为0)的形式。
二、五种形式的注意事项
6、一般式为ax+by+c=0，它的优点就是它可以表示平面上的任意一条直线，仅此而已。
其它式都有特例直线不能表示。
比如：
7、1：斜截式y=kx+b，就不能表示垂直x轴的直线x=a.
8、2：点斜式y-y0=k(x-x0)，也不能表示垂直x轴的直线x=a
9、3：两点式(y-y1)/(y2-y1)=(x-x1)/(x2-x1)。
不能表示两点x1=x2或y1=y2时的直线（即垂直或水平直线）
10、4：截距式x/a+y/b=1不能表示截距为0时的直线，比如正比例直线。
本文到此结束，希望对你有所帮助。
直线的五种方程形式
直线的五种方程形式直线是数学的基础概念，它有多种表示方式，其中最常见的形式是直线的方程形式。
它是将定义直线所需的知识组合起来的一种数学表达方式。
本文将重点介绍直线的五种方程形式，以便更好地了解这种概念。
首先，我们介绍标准形式。
标准形式由原点和一条斜率m组成，其中m称为斜率，可以通过求出斜率m的值来确定一条直线的斜率。
当m>0时，直线从原点向右上方延伸；当m<0时，直线从原点向左下方延伸；当m=0时，直线与x轴平行。
标准形式的方程为：y=mx+b，其中m表示斜率，b表示直线上任意一点的y坐标。
其次，我们介绍斜截式。
斜截式由斜率m和直线上任意一点组成，可以用y-y1=m(x-x1)来表示。
其中m表示斜率，(x1,y1)表示直线上任意一点坐标。
第三，我们介绍斜截式第二形式。
斜截式第二形式是直线的一种另类表示形式，其方程为：y-y1=m(x-x1)/(x2-x1)，其中m为斜率，(x1,y1)为直线上某一点，(x2,y2)为直线上另一点。
接下来，我们介绍点斜式。
点斜式也是直线的一种表示形式，其标准点斜式方程为：(y-y1)/(y2-y1)=(x-x1)/(x2-x1)，其中(x1,y1)和(x2,y2)分别为直线上的两点。
最后，我们介绍参数方程式。
参数方程式是由直线的曲线方程式推导出来的，可以用x=at+b和y=ct+d表示，其中a、c分别表示斜率，b、d分别表示来自原点的偏移量。
参数方程式可以用于表示任意直线，甚至垂直于某一直线的直线也可以用参数方程式表示。
以上就是直线的五种方程形式。
它们的表达形式各不相同，但实质都是一样的，都是表示一条直线的数学形式。
只要了解了它们之间的联系，就可以轻松掌握它们，进一步学习数学知识。
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§1直线方程的点斜式和斜截式
一、选择题：
1．直线的点斜式方程00()y y k x x -=-（ ）
A ．可以表示任何一条直线
B. 不能表示过原点的直线 C ．不能表示与y 轴垂直的直线 D. 不能表示与x 轴垂直的直线
2．经过点(2,1)P -，且在y 轴上的截距等于它在x 轴上的截距的2倍的直线l 的方程为（ ）
A ．22x y += B. 24x y += C. 23x y += D. 23x y +=或20x y +=
3．直线cos sin 10,(0,
)2x y πααα++=∈的倾斜角是（ ） A ．α B. 2π
α- C. πα- D. 2π
α+
4．等腰AOB ∆中，||||AB AO =，
点),3,1(),0,0(A O 点B 在x 轴的正半轴上，则此直线AB 的方程为（ ） A ．)3(31-=-x y B ．)3(31--=-x y C ．)1(33-=-x y D ．)1(33--=-x y
5．若0,0,0A B C >><，则直线0Ax By C ++=必经过（ ）
A ．一、二、三象限
B. 二、三、四象限 C ．一、三、四象限 D. 一、二、四象限
6．直线20x y b -+=与两坐标轴所围成的三角形的面积不大于1，那么b 的取值范围是（ ）
A ．[2,2]- B. (,2][2,)-∞-+∞ C ．[2,0)(0,2]- D. [2,)+∞
二、填空题：
7．在y 轴上的截距为－6，且与y 轴相交成45°角的直线方程是 .
8．若y 轴绕点(0,2)M -顺时针方向旋转30°，所得直线的方程是 .
9．直线过点(3,2)P -，分别交x 轴、y 轴于A 、B 两点，若AP ：PB = 2，则此直线方程是 .
三、解答题：
10．已知两点A （4，3）、B （2，1），直线l 过AB 的中点，且倾斜角是直线430x y -+= 的倾斜角的2
倍，求直线l 的方程.
11．如右图所示，过点P （1，2）的直线l 交x 轴、y 轴的正向于A 、B 两点，求AOB ∆的面积取最小值时，
直线l 的方程.
12．已知在第一象限的ABC ∆中，),1,5(),1,1(B A ,4,3π
π
=∠=∠B A 求：
（1）AB 边的方程；
（2）AC 和BC 所在直线的方程.
真题演练
1．直线l 的纵截距为2，倾斜角的正弦值为4
5，则此直线方程为（ ）
A ．4360x y --= B. 4360x y -+=或4360x y +-=
C ．4360x y ++= D. 4360x y --=或4360x y ++=
2．函数()312f x ax a =+-在(1,1)-上存在0x ，使0()0f x =，则a 的取值范围是（
） A ．1
15a -<< B. 1
5a > C. 1a <-或1
5a > D. 1a <-
3． 求倾斜角是直线13+-=x y 的倾斜角的41
，且分别满足下列条件的直线方程：
（1）经过点)1,3(-； （2）在y 轴上的截距是5-.
§2直线方程的两点式和截距式
一、选择题：
1．过点(4,1)A --和点（4，3）的直线在x 轴上的截距为（ ）
A ．1
B. －1
C. 2
D. －2 2．若直线2(1)210m x y m ---+=不经过第一象限，则实数m 的取值范围是（ ）
A ．112m << B. 112m -<< C. 112m -≤< D. 112
m ≤≤ 3．过11(,)x y 和22(,)x y 两点的直线方程是（ ）
A ．112121y y x x y y x x --=-- B. 122112
y y x x y y x x --=-- C ．211211()()()()0y y x x x x y y -----=
D ．211211()()()()0x x x x y y y y -----= 4．过点A （4，1）且在两坐标轴上的截距相等的直线的方程是（ ）
A ．5x y +=
B. 5x y -= C ．5x y +=或40x y -=
D. 5x y -=或40x y += 5．如果直线与坐标轴围成的三角形面积为3，且在x 轴和y 轴上的截距之和为5，那么这样的直线共有
（ ）
A ．4条 B. 3条 C. 2条 D. 1条
6．直线20x y b -+=与两坐标轴所围成的三角形的面积不大于1，那么b 的取值范围是（ ）
A ．[2,2]-
B. (,2][2,)-∞-+∞
C. [2,0)(0,2]-
D. (,)-∞+∞
二、填空题：
7．经过点(3,2)--，在两坐标轴上截距相等的直线方程为 .
8．OAB ∆的三个顶点(0,0)O 、(3,0)A -、(0,6)B ，则过点O 将OAB ∆的面积分为1：3的直线l 的方
程是 .
三、解答题：
9．三角形的三个顶点分别为(5,0)A -、(3,3)B -、(0,2)C ，求这个三角形的边长和三条边所在直线的方
程.
10．设直线 l 的方程为,026)12()32(2
2=-+-++--m y m m x m m 根据下列条件分别求直线 l 的方程：
（1）l 在x 轴上的截距是； （2）l 的斜率是1-.
11．过点P （4，3）的直线l 与x 轴正半轴、y 轴正半轴分别交于A 、B 两点，O 为原点. 当||||OA OB +最
小时，求直线l 的方程.
12. 直线l 过点（3，4），且在第一象限和两坐标轴围成的三角形的面积是24，求l 的截距式方程.
真题演练
1．下列四个命题中的真命题是（ ）
A ．经过定点000(,)P x y 的直线都可以用方程00()y y k x x -=-表示
B ．经过任意两个不同的点111(,)P x y 、222(,)P x y 的直线都可以用方程121121()()()()y y x x x x y y --=--表示
C ．不经过原点的直线都可以用方程1x y a b
+=表示 D ．经过定点A （0，b ）的直线都可以用方程y kx b =+表示
2．过点（5，2），且在x 轴上截距是y 轴上的截距的2倍的直线方程是（ ）
A ．2120x y +-=
B. 280x y -+=或250x y -= C ．210x y --= D. 290x y +-=或250x y -=
3．已知两点A （3，0）、B （0，4），动点P （x ，y ）在线段AB 上运动，则xy 的最大值是（ ）
A ．2 B. 3 C. 4 D. 5。