直线方程的几种形式

2.2.2直线方程的几种形式伽利略铁球的轨迹伽利略是伟大的意大利物理学家和天文学家，科学革命的先驱! 历史上他首先在科学实验的基础上融会贯通了数学、物理学和天文学三门知识，扩大、加深并改变了人类对物质运动和宇宙的认识。

为了证实和传播哥白尼的“日心说”，伽利略献出了毕生精力.由此，他晚年受到教会迫害，并被终身监禁。

他以系统的实验和观察推翻了以亚里士多德为代表的、纯属思辨的传统的自然观，开创了以实验事实为根据并具有严密逻辑体系的近代科学. 因此，他被称为“ 近代科学之父”。

他的工作，为牛顿的理论体系的建立奠定了基础.据说科学家伽利略为向亚里士多德宣战，曾手拿一大一小两个铁球，站在高高的比萨斜塔上，将一大一小两个铁球同时扔下，结果人们发现，两个铁球同时落地，于是亚里士多德的那个“物体下落速度与其重量成正比”的论断立刻被推翻了.一个铁球可以看作是一个质点，那么铁球运动所形成的轨迹可以看做是满足某种运动规律的点的集合。

我们将之推广在平面直角坐标系中，这样的点的集合被称为直线，直线的位置既可以由两个点来惟一确定，也可以由一个点和一个方向来确定.课程学习目标［课程目标］目标重点：各种直线方程的推导，点斜式是直线方程的重中之重；根据所给条件灵活选取适当的形式和方法，熟练地求出直线的方程.目标难点：清楚各种直线方程的局限性；把握求直线方程的灵活性；运用数形结合、分类讨论等数学方法和特殊———一般———特殊的思维方式理解直线与二元一次方程的对应关系.［学法关键］1．直线是点的集合，求直线方程实际上是求直线上点的坐标之间满足的一个等量关系；2．求直线方程的过程中，既要说明直线上的点的坐标满足方程，也要说明以方程的解为坐标的点在直线上，只有满足了这两点，我们才可以说这个方程是直线的方程或直线是这个方程的直线；3．通过二元一次方程与直线关系的认识和理解，培养数形结合、数形转化的能力，能正确运用直线方程的各种形式解决问题。

研习点1．直线的点斜式方程1．点斜式方程设直线l过点P0(x0，y0)，且斜率为k，则直线的方程为y－y0=k(x－x0)，由于此方程是由直线上一点P0(x0，y0)和斜率k所确定的直线方程，我们把这个方程叫做直线的点斜式方程.注意：利用点斜式求直线方程时，需要先判断斜率存在与否.（1）当直线l的倾斜角α=90°时，斜率k不存在，不能用点斜式方程表示，但这时直线l恰与y轴平行或重合，这时直线l上每个点的横坐标都等于x 0，所以此时的方程为x =x 0.（2）当直线l 的倾斜角α=0°时，k =0，此时直线l 的方程为y =y 0，即y －y 0=0. （3）当直线l 的倾斜角不为0°或90°时，可以直接代入方程求解.2．斜截式方程：如果一条直线通过点(0，b )且斜率为k ，则直线的点斜式方程为y =kx + b 其中k 为斜率，b 叫做直线y =kx +b 在y 轴上的截距，简称直线的截距.注意：利用斜截式求直线方程时，需要先判断斜率存在与否.（1）并非所有直线在y 轴上都有截距，当直线的斜率不存在时，如直线x =2在y 轴上就没有截距，即只有不与y 轴平行的直线在y 轴上有截距，从而得斜截式方程不能表示与x 轴垂直的直线的方程.（2）直线的斜截式方程y =kx +b 是y 关于x 的函数，当k =0时，该函数为常量函数.x =b ；当k ≠0时，该函数为一次函数，且当k >0时，函数单调递增，当k <0时，函数单调递减.（3）直线的斜截式方程是直线的点斜式方程的特例。

要注意它们之间的区别和联系及其相互转化.直线点斜式方程的理解1．由于点斜式方程是由斜率公式0y y k x x -=-推出的，因此00y y k x x -=- 表示的直线上缺少一个点P (x 0，y 0)，y －y 0=k (x －x 0)才是整条直线；2．经过点P 0(x 0，y 0)的直线有无数条，这无数条直线可以分为两类：①斜率存在时，直线方程y －y 0=k (x －x 0)； ②斜率不存在时，直线方程为x =x 0.3．直线的点斜式方程实际上就是我们熟知的一次函数的解析式；4．从函数的角度来看，当斜率k 存在时，直线方程可以看作是函数解析式，当斜率k 不存在时，直线方程为x =x 0，它不是函数解析式。

研习点2．直线的两点式方程若直线l 经过两点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，(x 1≠x 2)，则直线l 的方程为112121y y x x y y x x --=--，这种形式的方程叫做直线的两点式方程.两点式方程的理解：（1）当直线没有斜率(x 1=x 2)或斜率为零(y 1=y 2)时，不能用两点式112121y y x x y y x x --=--表示它的方程；（2）可以把两点式的方程化为整式(x 2－x 1)(y －y 1)= (y 2－y 1)(x －x 1)，就可以用它来求过平面上任意两点的直线方程； 如过两点A (1，2)，B (1，3)的直线方程可以求得x =1，过两点A (1，3)，B (－2，3)的直线方程可以求得y =3.（3）需要特别注意整式(x 2－x 1)(y －y 1)= (y 2－y 1)(x －x 1)与两点式方程112121y y x x y y x x --=--的区别，前者对于任意的两点都适用，而后者则有条件的限制，两者并不相同，前者是后者的拓展。

研习点3．直线的截距式方程若直线l 在x 轴上的截距是a ，在y 轴上的截距是b ，且a ≠0，b ≠0，则直线l 的方程为1x ya b+=，这种形式的方程叫做直线的截距式方程。

用截距式方程表示直线时，要注意以下几点：（1）方程的条件限制为a ≠0，b ≠0，即两个截距均不能为零，因此截距式方程不能表示过原点的直线以及与坐标轴平行的直线；（2）用截距式方程最便于作图，要注意截距是坐标而不是长度；（3）要注意“截距相等”与“截距绝对值相等”是两个不同的概念，截距式中的截距可正、可负，但不可为零。

截距式方程的应用（1）与坐标轴围成的三角形的周长为：|a |+|b |+（2）直线与坐标轴围成的三角形面积为：S =1||2ab ；（3）直线在两坐标轴上的截距相等，则k =－1或直线过原点，常设此方程为x +y =a 或y =kx .研习点4．直线方程的一般形式方程Ax +By +C =0（A 、B 不全为零）叫做直线的一般式方程.直线的一般式方程的理解1．两个独立的条件可求直线方程：求直线方程，表面上需求A 、B 、C 三个系数，由于A 、B 不同时为零，若A ≠0，则方程化为0B C x y A A ++=，只需确定,B CA A的值；若B ≠0，同理只需确定两个数值即可；因此，只要给出两个条件，就可以求出直线方程；2．直线方程的其他形式都可以化成一般式，解题时，如果没有特殊说明应把最后结果化为一般式，一般式也可以化为其他形式。

3．在一般式Ax +By +C =0（A 、B 不全为零）中，若A =0，则y =CB -，它表示一条与y 轴垂直的直线；若B =0，则Cx A=-，它表示一条与x 轴垂直的直线.研习点5．直线方程的选择（1）待定系数法是求直线方程的最基本、最常用的方法，但要注意选择形式，一般地已知一点，可以待定斜率k ，但要注意讨论斜率k 不存在的情形，如果已知斜率可以选择斜截式待定截距等；（2）直线方程的几种特殊形式都有其使用的局限性，解题过程中要能够根据不同的题设条件，灵活选用恰当的直线形式求直线方程。

请参看下表：题型1．直线的点斜式方程例1．一条直线经过点M (－2，－3)，倾斜角α=135°，求这条直线的方程。

解：这条直线经过点M (－2，－3)，斜率是k =t an α=－1代入点斜式方程得：y +3=－1×(x +2)，即x +y +5=0，这就是所求直线的方程.例2．求斜率为33，且分别满足下列条件的直线方程：（1）经过点M (3，－1)；（2）在x 轴上的截距是－5. 解：（1）所求直线经过点(3，－1)，斜率为33，所求直线方程为13y x +=，即3x －3y －6=0. （2）所求直线的斜率是33，在x 轴上的截距为－5，即过点(－5，0)，所求直线的方程为y =33(x +5)30y -+=.题型2．直线的斜截式方程例3．若直线Ax +By +C =0通过第二、三、四象限，则系数A 、B 、C 需满足条件（ ）（A ）A 、B 、C 同号 （B ）AC <0，BC <0 （C ）C =0，AB <0 （D ）A =0，BC <0解：原方程可化为A Cy x B B =--，因为直线通过第二、三、四象限，所以其斜率小于0，y 轴上的截距小于0，即0A B >，且0CB>，即A 、B 同号，A 、C 同号，故选A .例4．直线y =ax +b (a +b =0)的图象是（ ）解：由已知，直线y =ax +b 的斜率为a ，在y 轴上的截距为b . 当x =1时，y =a +b =0，即直线经过点(1，0)，选D .例5．写出过下列两点的直线方程，再化成斜截式方程.（1）P 1(2，1)，P 2(0，－3)；（2）P 1(2，0)，P 2(0，3)。

解：（1）直线P 1P 2的两点式方程为：123102y x --=---，整理得斜截式方程为：y =2x －3. （2）直线P 1P 2的两点式方程为：023002y x --=-- ，整理得斜截式方程为：y =－23x +3。

例6． 三角形的顶点是A (－5，0)、B (3，－3)、C (0，2)，求这个三角形三边所在的直线方程.解：（用两点式求AB 所在直线的方程）直线AB 经过点A (－5，0)、B (3，－3)，由两点式得5335y x +=-+，整理得3x +8y +15=0，这就是直线AB 的方程!（用斜截式求BC 所在直线方程）因为B (3，－3)、C (0，2)，所以23533BC k +==--，截距b =2，由斜截式得y =－35x +2，整理得5x +3y －6=0，这就是直线BC 的方程. （用截距式求AC 所在直线的方程）因为A (－5，0)、C (0，2)，所以直线在x ，一轴上的截距分别是－5与2，有截距式得152x y+=-，整理得2x －5y +10=0，这就是直线AC 的方程。

题型4．直线的截距式方程例7．已知直线的斜率为61，且和坐标轴围成面积为3的三角形，求该直线的方程。

解：设直线方程为1x ya b+=, 因为直线斜率16b k a =-=，又1||32S ab ==，解得61a b =-⎧⎨=⎩或61a b =⎧⎨=-⎩， 所求直线方程为x －6y +6=0或x －6y －6=0。