直线方程的一般形式
高二数学直线的一般式方程
⑴直线和Y轴相交时：此时倾斜斜角α≠π/2，直线的斜 率k存在，直线可表示成y =k x+b（是否是二元一次方程？） ⑵直线和Y轴平行（包括重合）时：此时倾斜角α=π/2， 直线的斜率k不存在，不能用y =ｋｘ＋ｂ表示，而只能表 示成ｘ＝ａ（是否是二元一次方程？） 结论：任何一条直线的方程都是关于ｘ，ｙ的二元一次方程。 ②任何关于x，y的一次方程Ax+By+c=0（A，B不同时为零） 的图象是一条直线 ⑴B≠0时，方程化成 这是直线的斜截 式，
③在x轴和y轴上的截距分别是3/2，- 3；
④经过两点P1（3，-2），P2（5，-4）；
y+2 -2
x-3 = 2
，x+y-1=0，
2已知直线Ax+By+C=0 ①当B≠0时，斜率是多少？当B=0呢？
答：B≠0时，k= -A/B；B=0时，斜率不存在；
②系数取什么值时，方程表示通过原点的直 线？
1、直线方程的一般式Ax+By+c=0（A，B不同时为零）的两 方面含义：
(1)直线方程都是关于x,y的二元一次方程 （2）关于x,y的二元一次图象又都是一条直线
2、掌握直线方程的一般式与特殊式的互化。
布置作业：
7· 2
8，9，10
;
/ 农业种植养殖技术 yrg13zua
y kx b
y y1 x x1 y2 y1 x2 x1
x y 1 a b
bx ay ( ab) 0
上述四式都可以写成直线方程的一般形式：
Ax+By+C=0, A、B不同时为0。
㈡讲解新课： ①直角坐标系中，任何一条直线的方程都是关于x，y的一 次方程。
平面直角坐标系中的直线与方程
平面直角坐标系中的直线与方程在平面直角坐标系中，直线是一种基本的图形，其方程描述了直线的位置和特征。
本文将讨论直线在坐标系中的表达方式以及与之相关的方程。
1. 直线的一般方程形式一条直线可以由其上任意两点的坐标表示。
设直线上两点的坐标分别为(x₁, y₁)和(x₂, y₂)，则直线的一般方程形式为：(y - y₁) / (y₂ - y₁) = (x - x₁) / (x₂ - x₁)该方程用于表示直线上所有点的坐标关系，其中任意一点(x, y)满足该方程的条件。
2. 直线的斜截式方程直线的斜截式方程是一种常见的表示形式，其中直线的斜率和截距被用来描述直线的特征。
斜截式方程的形式为：y = mx + b其中m表示直线的斜率，b表示直线与y轴的截距。
根据直线的斜率和截距的不同取值，我们可以判断直线的倾斜方向和与坐标轴的交点情况。
3. 直线的点斜式方程直线的点斜式方程是另一种常见的表示形式，其利用直线上一点的坐标和直线的斜率来确定直线的方程。
点斜式方程的形式为：y - y₁ = m(x - x₁)其中(x₁, y₁)为直线上已知的一点，m为直线的斜率。
通过点斜式方程，我们可以直接得到直线的方程，并且了解直线的斜率和通过已知点的情况。
4. 直线的截距式方程直线的截距式方程也是一种常见的表示形式，其利用直线与x轴和y轴的截距来确定直线的方程。
截距式方程的形式为：x / a + y / b = 1其中a和b分别表示直线与x轴和y轴的截距。
通过截距式方程，我们可以了解直线与坐标轴的交点情况，并判断直线的方向和斜率。
总结：通过上述介绍，我们可以了解到直线在平面直角坐标系中的方程形式。
根据直线的特征和已知条件，我们可以选择适合的方程形式来表示直线，并准确描述直线的特征和位置。
在利用直线的方程求解问题时，我们可以根据问题给出的条件和需要求解的未知量，选择合适的方程形式进行计算和推导。
同时，我们也需要注意直线方程的约束条件，例如斜率为零的情况表示直线平行于坐标轴等。
直线的一般式方程
例3：直线l的方程为 （m2-2m-3）x+（2m2+m-1）y=2m-6根据下列条件 确定m的值（1）l在x轴上的截距是-3； （2）斜率是-1。 解：（1）由题意得
(2)由题意得
巩固训练（三） 1、若直线（2m2-5m-3)x-(m2-9)y+4=0的倾 斜角为450，则m的值是 （ B ） （ A） 3 （B） 2 （C）-2 （D）2与3
答：C=0时，表示直线过原点。
⒊求下列直线的斜率和在Y轴上的截距，并 画出图形： ① k= - 3，B=5； ① 3x+y-5=0 ② x/4 －y/5 =1 ③ x+2y=0
② k=5/4，b= -5 ； ③ k= -1/2，b=0； ④ k=7/6，b=2/3 ⑤ k=0，b=7/2。
④ 7x－6y+4=0
例1：已知直线经过点A（6，- 4），斜率 为 – 4/3，求直线的点斜式、一般式和截距 式方程。 解：经过点A（6，- 4）并且斜率等于- 4/3 的直线方程的点斜式是 y + 4 = -4/3 （x – 6） 化成一般式，得 截距式是： 4x+3y – 12=0
巩固训练（一）
若直线l在x轴上的截距-4时，倾斜角的余弦值 是-3/5， 则直线l的点斜式方程是__y=-4/3(x+4)
y=2，即：y-2=0
③在x轴和y轴上的截距分别是3/2，- 3；
④经过两点P1（3，-2），P2（5，-4）；
y+2 -2 x-3 = 2
，x+y-1=0，
2、已知直线Ax+By+C=0 ①当B≠0时，斜率是多少？当B=0呢？
答：B≠0时，k= -A/B；B=0时，斜率不存在；
直线方程百度百科
直线方程直线是一条无限延伸的线段，由无数个点组成。
在平面几何中，直线可以由其斜率（斜率是直线上两个点之间的垂直距离与水平距离的比）和截距（直线与纵轴的交点）来描述。
1. 直线方程的一般形式直线方程的一般形式可以表示为：Ax + By + C = 0其中，A、B和C是实数，且A和B不能同时为零。
2. 直线方程的斜截式斜截式是直线方程的一种常见形式，可以表示为：y = mx + b其中，m是直线的斜率，b是直线与纵轴的交点。
3. 直线方程的点斜式点斜式也是直线方程的一种形式，可以表示为：y - y1 = m(x - x1)其中，m是直线的斜率，(x1, y1)是直线上的一个已知点。
4. 直线方程的法线斜截式法线斜截式是直线方程的一种特殊形式，可以表示为：y = -1/m x + b其中，m是直线的斜率，b是直线与纵轴的交点。
5. 直线方程的横截式横截式是直线方程的另一种常见形式，可以表示为：x = a其中，a是直线与横轴的交点。
6. 直线方程的解析几何意义直线方程的解析几何意义非常丰富。
斜率可以表示直线的倾斜程度，当斜率为正值时，直线向右上方延伸；当斜率为负值时，直线向右下方延伸；当斜率为零时，直线水平；当斜率不存在时，直线垂直。
截距表示直线与纵轴的交点，可以用来确定直线在纵轴上的位置。
点斜式可以通过一个已知点和直线的斜率来确定直线方程。
直线方程还可以用于求解直线与直线之间的交点、直线的平行与垂直关系等几何问题。
7. 直线方程的应用直线方程在几何学、物理学、工程学等领域中有广泛的应用。
例如，在几何学中，直线方程可以用来求解直线的性质，如与其他直线的交点、平行关系等；在物理学中，直线方程可以用来描述物体的运动轨迹；在工程学中，直线方程可以用来建立模型，分析和解决实际问题。
结论直线方程是研究平面几何中直线性质的重要工具。
通过直线方程，我们可以描述直线的斜率、截距、倾斜程度等性质，进一步推导出直线的交点、平行与垂直关系等几何问题。
直线方程的四种形式
03
然后，将斜率k代入一般 形式的直线方程 y=kx+b中，得到yy1=k*(x-x1)。
04
最后，将k的具体值代入 上式，得到两点式方程。
谢谢观看
04
法线式
法线式的定义
法线式方程是形如 (y - y_1 = m(x x_1)) 的直线方程，其中 (m) 是直线 的斜率，((x_1, y_1)) 是直线上的一 点。
VS
法线式方程表示的是通过点 ((x_1, y_1)) 且斜率为 (m) 的直线。
法线式的应用场景
当已知直线上的一点和斜率时，可以使用法线式方程来表示该直线。
进一步变形，得到 (y - y_1 = frac{A}{B}(x - x_1))，这就是法
线式方程。
05
点向式
点向式的定义
点向式是指通过直线上的一点和直线的方向 向量来表示直线方程的一种形式。具体地， 点向式方程可以表示为 (x - x_1 = m(y y_1))，其中 ((x_1, y_1)) 是直线上的一个点， (m) 是直线的方向向量。
详细描述
在几何问题中，如果已知直线上的一点和斜率，就可以使用点斜式来求解直线的方程。 例如，在解析几何、物理和工程领域中，点斜式被广泛应用于解决与直线相关的问题。
点斜式的推导过程
要点一
总结词
点斜式可以通过直线上两点的坐标来推导得出。
要点二
详细描述
设直线上的两点为 (x1, y1) 和 (x2, y2)，其中 x1 ≠ x2。根据 两点式，直线的斜率 m = (y2 - y1) / (x2 - x1)。将这个斜率 和一点 (x1, y1) 代入点斜式方程，即可得到直线的方程为 y y1 = m(x - x1)。
直线方程的几种形式
直线方程标准式
直线方程标准式直线方程是数学中的基础知识之一，它描述了平面上的直线的性质和特征。
其中，直线方程标准式是描述直线最常用的形式之一，通过标准式我们可以轻松地了解直线的斜率和截距，从而更好地理解和分析直线的性质。
本文将详细介绍直线方程标准式的相关知识，希望能够帮助读者更好地理解和掌握这一重要的数学概念。
直线方程标准式的一般形式为，y = kx + b，其中k为直线的斜率，b为直线在y轴上的截距。
通过这个形式，我们可以直观地得到直线的斜率和截距，进而分析直线的走向和特征。
首先，我们来看一下直线的斜率k。
斜率表示了直线的倾斜程度，其定义为直线上任意两点的纵坐标之差与横坐标之差的比值。
在直线方程标准式中，斜率k的系数即为直线的斜率。
当k大于0时，表示直线向右上方倾斜；当k小于0时，表示直线向右下方倾斜；当k等于0时，表示直线平行于x轴。
通过斜率，我们可以直观地了解直线的走向和倾斜程度。
其次，我们来看一下直线在y轴上的截距b。
截距表示了直线与y轴的交点在y轴上的坐标值，即直线与y轴的交点的纵坐标。
在直线方程标准式中，截距b即为直线与y轴的交点的纵坐标。
通过截距，我们可以确定直线与y轴的交点位置，进而更好地理解直线的位置和特征。
通过直线方程标准式，我们可以轻松地得到直线的斜率和截距，从而更好地理解和分析直线的性质。
在实际问题中，直线方程标准式也有着广泛的应用，例如在物理学、工程学和经济学等领域中都能够看到其身影。
因此，掌握直线方程标准式的相关知识对于我们理解和应用数学知识都具有着重要的意义。
总之，直线方程标准式是描述直线最常用的形式之一，通过标准式我们可以轻松地了解直线的斜率和截距，从而更好地理解和分析直线的性质。
希望本文能够帮助读者更好地理解和掌握这一重要的数学概念，同时也能够在实际问题中更好地应用相关知识。
让我们一起努力，更好地掌握直线方程标准式的知识，为我们的学习和工作增添新的动力和能量。
直线方程计算公式
直线方程计算公式直线是数学中一个重要的概念，研究对象之一。
直线方程是用来描述直线的数学表达式，可以在平面几何和解析几何等领域中广泛应用。
直线方程的计算公式可以用来确定一条直线的性质以及与其他几何图形的关系。
下面将介绍直线方程的计算公式的两种常见形式，包括一般形式和截距形式，并且给出了相应的计算示例。
一般形式一般形式的直线方程是直线方程最一般的表达形式。
它的一般公式如下所示：Ax + By + C = 0其中，A、B、C是实数，且A和B不同时为0。
这种形式的直线方程可以通过以下步骤来计算：1.根据已知条件，计算A、B和C的值。
2.将A、B和C的值代入直线方程的一般公式中。
现在，我们来看一个具体的计算示例：假设我们要计算通过点P(2, 3)和Q(5, 7)的直线方程。
首先，我们需要计算A、B和C的值。
根据一般公式，我们可以使用点斜式来计算A、B和C的值，点斜式的公式如下：(y - y1) = m(x - x1)其中，m是斜率，(x1, y1)是直线上的任意一点。
通过点P(2, 3)和Q(5, 7)，我们可以计算出斜率m为：(7 - 3) / (5 - 2) = 4 / 3。
接下来，我们使用点斜式的公式，将斜率m和点P(2, 3)代入，计算得到直线方程为：(y - 3) = (4 / 3)(x - 2)。
然后，将直线方程转化为一般形式，我们可以得到：4x - 3y - 6 = 0。
因此，通过点P(2, 3)和Q(5, 7)的直线方程为：4x - 3y - 6 = 0。
截距形式截距形式是直线方程的另一种常见形式，它更容易对直线进行可视化分析。
截距形式的直线方程的一般公式如下：y = mx + b其中，m是斜率，b是y轴截距，即直线与y轴的交点。
使用截距形式计算直线方程的步骤如下：1.根据已知条件，计算斜率m。
2.根据已知条件，计算y轴截距b。
3.将斜率m和y轴截距b代入直线方程的一般公式中。
以下是一个具体的计算示例：假设我们要计算通过点P(2, 3)和Q(5, 7)的直线方程。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
直线方程的一般形式
教师：前边，我们研究了直线方程的两点式、斜截式、点斜式和截距式，现在请同学们思考这样一个问题：
［投影显示问题1］
问题1 已知点P 的坐标为（2，m ），点Q 的坐标为（n ，3）。
试求直线PQ 的方程。
学生1：此题有误，因为当m ＝3，且n ＝2时，点P 和点Q 重合，所求的直线不确定。
教师：很好，那么我们考虑点P 和点Q 不重合时直线AB 的方程。
学生2：应用直线方程的两点式可知直线PQ 的方程为
2
23--=--n x m m y 。
学生3：（1）当m ≠3时，且n ≠2时，方程才是223--=--n x m m y ； ① （2）当m ＝3时，且n ≠2时，方程是y ＝3； ②
（3）当n ＝2时，且m ≠3时，方程是x ＝2。
③
学生4：运用方程的两点式可知当n ≠2时，直线PQ 的方程为
)2(2
3---=-x n m m y ④ 教师：很好，我们将方程①和方程④作一比较，你会有何发现？
学生5：方程④优于方程①，因为④比①的作用范围广；方程④实际上包括了方程①和方程②。
教师：从考虑①和④的联系与区别出发，你有何想法？
（留给学生少许思考时间后，个别学生已经有了想法，举手要求发言）
教师：我们能否将①、②、③予以综合，给出一个在点P 和点Q 不重合的条件下都成立的方程呢？
（此时，举手的学生更多了。
）
学生6：可以，将方程①变为下列方程即可
（n －2）（y －m ）＝（3－m ）（x －2） ⑤
教师：很好，在m ＝3和n ＝2不同时成立的条件下，表示直线的方程⑤属于哪种类型的方程呢？
（对于此问题学生有点茫然，不知从哪个角度给出方程的归属）
教师：大家可以从方程两边的代数式类型的角度出发。
学生7：是整式方程。
教师：几元几次？
学生7：二元一次或一元一次方程。
教师：为什么？
学生7：因为⑤等价于（m－3）x＋（n－2）y－mn＝0⑥
而其中m、n为常数，当x－3、n－2都不为0时，⑥显然是关于x和y的二元一次方程；当x－3、n－2中仅有一个为0时，则⑥为关于x或y的一元一次方程。
教师：很好，为了统一起见，当m－3、n－2中仅有一个为0时，我们将⑥也可以看作关于x和y的二元一次方程，这就表明，直线PQ的方程是关于x、y 的二元一次方程。
那么，是否任意一条直线L的方程都是二元一次方程呢？
学生众：应该是的。
教师：为什么呢？……对于直线L我们如何确定它的方程呢？
学生8：我们可在L的边上找出两个不同的点A和B。
然后借助于A、B的坐标确定出该直线的方程，然后，考察这个方程是否为二元一次方程。
教师：哪位同学能将学生8的想法落到实处？
学生9：若A、B两点的横坐标相同，高为a，则L的方程为x＝a，显然可以看作二元一次方程；当A、B的纵坐标相同时，设为b，则AB的方程为y＝b，这也可以看作二元一次方程；当A、B的横坐标和纵坐标均不相同时，设A、B 的坐标分别为（x1，y1）、（x2，y2），则……
教师：能否将A、B的坐标简化一下呢？
（等学生沉默片刻后，教师将手指向投影中的问题1）
学生10：当A、B的横坐标和纵坐标均不相同时，必可在直线L上取点P（2，m），Q（n，3），则L的方程为⑥，显然是二元一次方程。
教师：还有没有其他的想法？
学生11：可以从点斜式去考虑，由于直线L一定存在斜率……
学生齐喊：不一定！
学生11：……噢，对不起，但直线L 一定有倾斜角α，当α＝90°时，L 平行于y 轴（说到此处，教师手指y 轴），不，应是L 垂直于x 轴，此时L 上每一点的横标相同，设为m ，则L 的方程为x ＝m ，显然为二元一次方程；当α≠90°时，则该直线的斜率为tg α，再在L 上取一点A （m ，n ），则L 的方程为y －n ＝tg α·（x9m ），即tg α·x －y ＋tg α·m －n ＝0，这也是二元一次方程。
学生12：也可以从直线方程的斜截式出发去考虑。
教师：很好，以上讨论表明了什么？
学生13：任何直线的方程总可以表示成关于x 、y 的二元一次方程Ax ＋By ＋C ＝0的形式。
教师：其中，字母A 、B 、C 有何限制？
学生14：A 和B 不同时为0也就A 2＋B 2≠0。
教师：那么，方程①、④怎么是分式方程呢？
学生齐喊：不对，方程①、④仍然是整式方程中的二元一次方程。
因为m 、n 是常数。
教师：好！我们现在反过来考虑，是否关于x 、y 的任何二元一次方程Ax ＋By ＋C ＝0总表示直线呢？当然，其中，A 2＋B 2≠0，为什么？
学生15：应该是的，因为当B ≠0时，方程可等价变形为y ＝B C x B A --。
这显然是表示斜率为k=B A -,在y 轴上的截距为－B
C 的直线；当B ＝0时，A ≠0，则方程可以变形为x ＝－A
C ，它表示与x 轴垂直的直线。
学生16：也可以从直线方程的斜截式去论证。
教师：当A 、B 都为0时情形如何？
学生：当A 、B 都为0时，需要考察C ，若C ＝0，则方程表示整个坐标平面；而C ≠0时，方程无意义。
教师：很好，我们以上的讨论表明，关于x 、y 的二元一次方程Ax ＋By ＋C ＝0表示直线（其中，A 2＋B 2≠0）。
那么方程一定，直线是否惟一确定呢？
学生齐喊：是的。
教师：好，我们将关于x 、y 的二元一次方程Ax ＋By ＋C ＝0就叫做直线方程的一般式（其中，A 2＋B 2≠0）。
［投影显示问题2］
问题2 已知直线经过点A （6，－4），且斜率为－
34，试求此直线方程的下列形式（1）点斜式；（2）一般式；（3）截距式。
（学生动笔作答，教师课堂巡视，点拨、答疑、纠错、点评。
然后提问，得到了正确答案：（1）y ＋4＝－34（x －6）；（2）4x ＋3y －12＝0；（3）14
3=+y x ） 教师：请大家思考，关于x 、y 的二元一次方程和直线是否是一一对应的关系呢？
学生17：不对，因为直线的方程具有多种形式。
教师：那么，直线一定，其方程的一般式是否惟一确定？
学生15：不一定，例如问题2中的直线可能是4x ＋3y －12＝0，也可以是8x ＋6y －24＝0等等。
教师：直线方程的一般式Ax ＋By ＋C ＝0中含有三个字母A 、B 、C ，那么欲求直线方程的一般式，是否需要直线的三个独立条件呢？
学生齐喊：不需要。
（投影显示问题3）
问题3 已知直线Ax ＋By ＋6＝0在x 、y 轴上的截距分别为－2和3，试求A 和B 的值。
学生18：因为截距都存在，所以可将方程化为截距式：166=-+-B
y A x ，进而可以求得A ＝3，B ＝－2。
学生19：已知直线经过（－2，0）和（0，3），将这两点的坐标代入方程也可求得A 、B 的值。
（投影显示问题4）
问题4 已知3a ＋2b ＝5，其中a 、b 为实常数，求证：直线ax ＋by －10＝0必过一个定点。
（学生思考、教师巡视，2分钟后，大约一半的学生举手要求发言，教师将直线方程写成下列形式：
a （x ）＋
b （y ）－10＝0
此时，几乎全班学生都举手要求发言）
学生20（一名程度较差的学生）：∵3a＋2b＝5，∴6a＋4b－10＝0，此式表明点（6，4）的坐标满足已知直线方程，所以点（6，4）必在直线ax＋by－10＝0上。
教师：这节课，我们学习的内容是直线方程的一般式，任何一条直线的方程总可以写成一般式Ax＋By＋C＝0（其中，A2和B2≠0）；反过来，任何一个二元一次方程Ax＋By＋C＝0（其中，A2＋B2≠0）也总表示一条直线，直线方程的各种特殊形式（包括点斜式、斜截式、两点式、截距式）和一般式可以互化。
在处理直线的问题过程中，我们要根据实际情况灵活地选择直线方程的形式，以便使得问题能够简化。
布置作业：P28第15、16题
直线方程的一般形式
亳州一中孟祥忠。