2017届广州市普通高中毕业班模拟考试(文数)

2017届广州市普通高中毕业班模拟考试数学（文科）本试卷共4页，23小题， 满分150分。

考试用时120分钟。

注意事项：1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上．2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号．写在本试卷上无效．3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效． 4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．第Ⅰ卷一、选择题：本题共12小题，每小题5分, 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

（1）设全集{0,1,2,3,4}U =，集合{0,1,3}A =，集合{2,3}B =，则=)(B A C U (Ａ) {}4 (Ｂ) {}0,1,2,3 (Ｃ) {}3 (Ｄ) {}0,1,2,4 （2）设(1i)(i)x y ++2=，其中,x y 是实数，则2i x y +=（A ）1 （B （C （D （3）已知双曲线：C 22221x y a b-=（0,0>>b a ）的渐近线方程为2y x =±, 则双曲线C 的离心率为 (A)25(B) 5 (C)26(D) 6（4）袋中有大小，形状相同的红球，黑球各一个，现有放回地随机摸取3次，每次摸出一个球. 若摸到红球得2分，摸到黑球得1分，则3次摸球所得总分为5分的概率是(A)31 (B)83 (C)21 (D)85 （5）已知角θ的顶点与原点重合, 始边与x 轴正半轴重合, 终边过点()12P ,-, 则tan 2=θ （A ）43 （B ）45 （C ）45- （D ）43- （6）已知菱形ABCD 的边长为2，60ABC ∠=, 则BD CD ⋅=(A) 6- (B) 3- (C) 3 (D) 6（7）已知函数2,0,()1,0,x x f x x x⎧≥⎪=⎨<⎪⎩ ()()g x f x =--，则函数()g x 的图象是（8）曲线x y 2=上存在点),(y x 满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≥≤--≤-+m x y x y x 03203，则实数m 的最大值为(A) 2 (B)23(C) 1 (D) 1- （9）阅读如下程序框图，运行相应的程序，则程序运行后输出的结果为(A) 7（10）若将函数()f x =则ϕ的最小正值是(Ａ)8π （11）如图, (A) π25 (C) π29(12) 若函数()e x f x=(A) (]1,∞-527536869438594678309754570324173326498598765432甲城市乙城市第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分。

第13～21题为必考题，每个考生都必须作答。

第22～23题为选考题，考生根据要求作答。

二、填空题：本小题共4题，每小题5分。

（13）等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，若230a S +=，则公比q =________． （14）已知函数()()221log 1x f x x +=-，若()2=f a ，则()f a -= ． （15）设,P Q 分别是圆()2213x y +-=和椭圆2214x y +=上的点，则,P Q 两点间的最大 距离是 .（16）已知锐角△ABC 的内角A ,B ,C 的对边分别为a ，b ，c ，若1=a ，b c C 2c o s2=+，则△ABC 的周长的取值范围是 . 三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

（17）（本小题满分12分）等差数列}{n a 中，1243=+a a ，749S =. （Ⅰ）求数列}{n a 的通项公式；（Ⅱ）记][x 表示不超过x 的最大整数，如0]9.0[=，2]6.2[=. 令][lg n n a b =，求数列}{n b 的前2000项和.（18）（本小题满分12分）PM2.5是指大气中直径小于或等于2.5微米的颗粒物，也称为可入肺颗粒物．我国PM2.5标准采用前卫组织设定的最宽限值，即PM2.5日均值在35微克/立方米以下空气质量为一级；在35微克/立方米与75微克/立方米之间的空气质量为二级；在75微克/立方米以上的空气质量为超标．为了解甲, 乙两座城市2016年的空气质量情况，从全年每天的PM2.5监测数据中随机抽取20天的数据作为样本，监测值如以下茎叶图所示（十位为茎，个位为叶）．（Ⅰ）从甲, 乙两城市共采集的40个数据样本中，从PM2.5日均值在[]60,80范围内随机取2天数据，求取到2天的PM2.5均超标的概率； （Ⅱ）以这20天的PM2.5日均值数据来估计一年 的空气质量情况，则甲, 乙两城市一年（按365天计算） 中分别约有多少天空气质量达到一级或二级．PECBA(19) （本小题满分12分）在三棱锥P ABC -中, △PAB 是等边三角形, ∠APC =∠60BPC ︒=. （Ⅰ）求证: AB ⊥PC ;（Ⅱ）若4=PB ，BE PC ⊥，求三棱锥PAE B -的体积.(20) （本小题满分12分）已知点()()1122,,,A x y B x y 是抛物线28y x =上相异两点，且满足124x x +=． （Ⅰ）若直线AB 经过点()2,0F ，求AB 的值；（Ⅱ）是否存在直线AB ，使得线段AB 的中垂线交x 轴于点M , 且24||=MA ? 若存在，求直线AB 的方程；若不存在，说明理由.(21) （本小题满分12分）设函数()()ln f x mx n x =+. 若曲线()y f x =在点e,(e))P f （处的切线方程为 2e y x =-（e 为自然对数的底数）.（Ⅰ）求函数()f x 的单调区间； （Ⅱ）若,R a b +∈，试比较()()2f a f b +与()2a bf +的大小，并予以证明.请考生在第22～23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分。

(23)（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲()3≤x f 的解集是}{21|≤≤-x x .（Ⅰ）求a 的值； （II ）若()()||3f x f x k +-<存在实数解，求实数k 的取值范围.数学（文科）参考答案评分说明:1．本解答给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分参考制订相应的评分细则．2．对计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分．3．解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数． 4．只给整数分数．选择题不给中间分． 一、选择题（1）A （2）D （3）B （4）B （5）A （6）D（7）D （8）C （9）B （10）C （11）D （12）A 二、填空题（13）1- （14）0 （15（16）1,3⎤⎦三、解答题 (17) 解：（Ⅰ）由1243=+a a ，749S =，得112512,72149.a d a d +=⎧⎨+=⎩ ……………………2分解得11=a ，2=d ， …………………………………………4分 所以12-=n a n .………………………………………………………………5分（Ⅱ）)]12[lg(][lg -==n a b n n ，…………………………………………6分当51≤≤n 时, 0)]12[lg(=-=n b n ;…………………………………………7分当506≤≤n 时, 1)]12[lg(=-=n b n ; …………………………………………8分当50051≤≤n 时, 2)]12[lg(=-=n b n ; …………………………………………9分当5012000n ≤≤时, 3)]12[lg(=-=n b n . ………………………………………10分 所以数列}{n b 的前2000项和为544515003450245150=⨯+⨯+⨯+⨯. ……12分(18) 解:（Ⅰ）从甲, 乙两城市共采集的40个数据样本中，PM2.5日均值在[]60,80内的共有6天，而PM2.5日均值为超标（大于75微克/立方米）的有3天．记PM2.5日均值超标的3天为123,,D D D ，不超标的3天为123,,d d d ，则从这6天中随机取2天，共有如下15D PE CB A种结果（不记顺序）:()()()()()()121323121323,,,,,,,,,,,D D D D D D d d d d d d ，()()()111213,,,,,D d D d D d ，()()()()()()212223313233,,,,,,,,,,,.D d D d D d D d D d D d ……………………2分其中，抽出2天的PM2.5均超标的情况有3种：()()()121323,,,,,D D D D D D ．…4分 由古典概型知，抽到2天的PM2.5均超标的概率31155P ==． ……………………6分 （Ⅱ）各抽取的20天样本数据中，甲城市有15天达到一级或二级；……………………7分 乙城市有16天达到一级或二级． …………………………………………8分 由样本估计总体知，甲, 乙两城市一年（按365天计算）中空气质量达到一级或二级的天数分别约为:15365273.7527420n =⨯=≈甲， 1636529220n =⨯=乙．……………………12分 (19) 解:（Ⅰ）因为PAB ∆是等边三角形, ∠APC =∠60BPC ︒=,所以PBC ∆≌PAC ∆, 可得AC BC =. …………1分如图, 取AB 中点D , 连结PD ,CD ,则PD AB ⊥,CD AB ⊥, ……………………3分 因为,PDCD D =所以AB ⊥平面PDC , ………………………………………………………………4分 因为PC ⊂平面PDC ,所以AB PC ⊥. ……………………………………………………………5分 （Ⅱ）因为 PBC ∆≌PAC ∆,所以AE PC ⊥, AE BE =. ………………………………………………………6分由已知4=PB ，在Rt PEB ∆中, 4sin 60BE ︒==4cos60 2.PE ︒==………………………………………………8分 因为BE PC ⊥, AE PC ⊥, E AE BE = ,所以ABE PE 平面⊥. ……………………………………………………………9分 因为4=AB , 32==BE AE ，所以AEB ∆的面积12=⋅=S AB ……………………10分因为三棱锥PAE B -的体积等于三棱锥ABE P -的体积, 所以三棱锥B PAE -的体积112333V S PE =⋅=⨯=. ………………12分 (20) 解：（I ）法1：①若直线AB 的斜率不存在，则直线AB 方程为2x =．联立方程组28,2,y x x ⎧=⎨=⎩ 解得⎩⎨⎧==,4,2y x 或⎩⎨⎧-==,4,2y x 即()2,4A ，()2,4B -． ……………………………………………………………1分 所以8AB =． ……………………………………………………………2分 ②若直线AB 的斜率存在，设直线AB 的方程为()2y k x =-，联立方程组28,(2),y x y k x ⎧=⎨=-⎩ 消去y 得()22224840k x k x k -++=， 故2122484k x x k ++==，方程无解． …………………………………………3分所以8AB =．法2：因为直线AB 过抛物线28y x =的焦点()2,0F ，根据抛物线的定义得，12A F x =+，22BF x =+， …………………………………………………………2分 所以1248AB AF BF x x =+=++=. …………………………………………3分 （II ）假设存在直线AB 符合题意，设直线AB 的方程为y kx b =+，联立方程组28,,y x y kx b ⎧=⎨=+⎩ 消去y 得()222280k x kb x b +-+=，(*) 故122284kb x x k-+=-=，……………………………………………………………4分 所以42b k k=-． 所以22222124⎪⎭⎫ ⎝⎛-==k k b x x ． …………………………………………………………5分 所以AB =2k =． …………………………………………………………6分 因为()12128242y y k x x b k b k+=++=+=． 所以AB 的中点为⎪⎭⎫⎝⎛k C 4,2．所以AB 的中垂线方程为4y k -=()12x k--，即60x ky +-=． ………………7分 令0y =, 得6x =.所以点M 的坐标为()6,0. ……………………………………………………………8分 所以点M 到直线AB的距离d CM ===. 因为222||||2AB MA CM ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，………………………………………………………9分所以222=+⎝⎭.解得1±=k ． ………………………………………………………………10分 当1k =时，2b =；当1k =-时，2b =-．把1,2,k b =⎧⎨=⎩和1,2,k b =-⎧⎨=-⎩分别代入(*)式检验, 得0∆=,不符合题意. …………………11分 所以直线AB 不存在. ……………………………………………………………12分(21) 解:（Ⅰ）函数()f x 的定义域为(0,)+∞.()ln mx nf x m x x+'=+. ………………………………………………………………1分 依题意得(e)e,(e)2f f '==，即e e,e 2,e m n m nm +=⎧⎪+⎨+=⎪⎩……………………3分 所以1,0m n ==. ………………………………………………………………4分 所以()ln f x x x =，()ln 1f x x '=+.当1(0,)ex ∈时, ()0f x '<; 当1(,)e x ∈+∞时, ()0f x '>.所以函数()f x 的单调递减区间是1(0,)e , 单调递增区间是1(,)e+∞.………………6分（Ⅱ）当,R a b +∈时，()()()22f a f b a b f ++≥. ()()()22f a f b a b f ++≥等价于ln ln ln 222a a b b a b a b+++≥，也等价于2ln(1)ln(1)ln 20a a a ab b b b-+++≥. ………………………………………7分不妨设a b ≥，设()()ln 2(1)ln(1)ln2g x x x x x =-+++（[1,)x ∈+∞）,则()ln(2)ln(1)g x x x '=-+. …………………………………………………………8分当[1,)x ∈+∞时，()0g x '≥，所以函数()g x 在[1,)+∞上为增函数， 即()ln 2(1)ln(1)ln 2(1)0g x x x x x g =-+++≥=， ……………………9分 故当[1,)x ∈+∞时，()ln 2(1)ln(1)ln 20g x x x x x =-+++≥（当且仅当1x =时取等 号）.令1a x b =≥，则()0ag b ≥， …………………………………………10分 即2ln(1)ln(1)ln 20a a a ab b b b-+++≥（当且仅当a b =时取等号），……………11分 综上所述，当,R a b +∈时，()()()22f a f b a b f ++≥（当且仅当a b =时取等号）. ………………………………………………………………12分(22) 解: (Ⅰ) 由sin ,1cos ,x t y t ϕϕ=⎧⎨=+⎩消去t 得cos sin sin 0x y ϕϕϕ-+=, ……………………1分所以直线l 的普通方程为cos sin sin 0x y ϕϕϕ-+=. ……………………2分由2cos4sin =ρθθ, 得()2cos 4sin ρθρθ=, ……………………3分把cos ,sin x y ρθρθ==代入上式, 得y x 42=,所以曲线C 的直角坐标方程为y x 42=. …………………………………………5分 (II) 将直线l 的参数方程代入y x 42=, 得22sin4cos 40t t ϕϕ--=, ………………6分当2ϕ=时, AB 的最小值为4. …………………………………………10分(23) 解：（II ）因为()()()()212121212.3333x x x x f x f x --+-+++-=≥=………………7分分分 2,3⎫⎛⎫+∞⎪ ⎪⎭⎝⎭分。