直线方程的几种形式(1)
空间直线方程的五种形式
空间直线方程的五种形式在空间几何中，直线是最基本的图形之一。
直线的方程是在数学中非常重要的一部分。
空间直线方程的五种形式是基于不同的坐标系和参数化方式，它们各自有其独特的优势和适用范围。
在本文中，我们将探讨这五种形式的具体含义和应用。
1. 点向式方程点向式方程是空间直线方程的最基本形式。
它基于点和向量的概念，可以表示为：$$vec{r}=vec{a}+tvec{b}$$其中，$vec{r}$ 是直线上任意一点的位置向量；$vec{a}$ 是直线上已知的一点的位置向量；$vec{b}$ 是直线的方向向量，它的大小和方向决定了直线的方向；$t$ 是参数，可以取任意实数值。
点向式方程的优势在于它直观地表达了直线的位置和方向。
同时，它也很容易与向量运算相结合，便于进行计算。
但是，它的缺点是不够简洁，需要使用向量的加法和数乘运算，不太方便。
2. 对称式方程对称式方程是空间直线方程的另一种基本形式。
它基于平面和点的概念，可以表示为：$$frac{x-x_0}{a}=frac{y-y_0}{b}=frac{z-z_0}{c}$$ 其中，$(x_0,y_0,z_0)$ 是直线上已知的一点的坐标；$a,b,c$ 是直线的方向比例系数，它们的比值决定了直线的方向；$x,y,z$ 是直线上任意一点的坐标。
对称式方程的优势在于它简洁明了，易于计算。
同时，它也可以很容易地转化为其他形式的方程。
但是，它的缺点是不够直观，不容易理解直线的位置和方向。
3. 参数式方程参数式方程是空间直线方程的常用形式之一。
它基于参数化的概念，可以表示为：$$begin{cases} x=x_0+at y=y_0+bt z=z_0+ct end{cases}$$ 其中，$(x_0,y_0,z_0)$ 是直线上已知的一点的坐标；$a,b,c$ 是直线的方向比例系数，它们的比值决定了直线的方向；$t$ 是参数，可以取任意实数值。
参数式方程的优势在于它直观地表达了直线的位置和方向，同时也很容易进行计算和推导。
直线方程百度百科
直线方程直线是一条无限延伸的线段，由无数个点组成。
在平面几何中，直线可以由其斜率（斜率是直线上两个点之间的垂直距离与水平距离的比）和截距（直线与纵轴的交点）来描述。
1. 直线方程的一般形式直线方程的一般形式可以表示为：Ax + By + C = 0其中，A、B和C是实数，且A和B不能同时为零。
2. 直线方程的斜截式斜截式是直线方程的一种常见形式，可以表示为：y = mx + b其中，m是直线的斜率，b是直线与纵轴的交点。
3. 直线方程的点斜式点斜式也是直线方程的一种形式，可以表示为：y - y1 = m(x - x1)其中，m是直线的斜率，(x1, y1)是直线上的一个已知点。
4. 直线方程的法线斜截式法线斜截式是直线方程的一种特殊形式，可以表示为：y = -1/m x + b其中，m是直线的斜率，b是直线与纵轴的交点。
5. 直线方程的横截式横截式是直线方程的另一种常见形式，可以表示为：x = a其中，a是直线与横轴的交点。
6. 直线方程的解析几何意义直线方程的解析几何意义非常丰富。
斜率可以表示直线的倾斜程度，当斜率为正值时，直线向右上方延伸；当斜率为负值时，直线向右下方延伸；当斜率为零时，直线水平；当斜率不存在时，直线垂直。
截距表示直线与纵轴的交点，可以用来确定直线在纵轴上的位置。
点斜式可以通过一个已知点和直线的斜率来确定直线方程。
直线方程还可以用于求解直线与直线之间的交点、直线的平行与垂直关系等几何问题。
7. 直线方程的应用直线方程在几何学、物理学、工程学等领域中有广泛的应用。
例如，在几何学中，直线方程可以用来求解直线的性质，如与其他直线的交点、平行关系等；在物理学中，直线方程可以用来描述物体的运动轨迹；在工程学中，直线方程可以用来建立模型，分析和解决实际问题。
结论直线方程是研究平面几何中直线性质的重要工具。
通过直线方程，我们可以描述直线的斜率、截距、倾斜程度等性质，进一步推导出直线的交点、平行与垂直关系等几何问题。
直线方程的几种形式(一)教学设计
数学基础模块下册
8.2.3 直线方程的几种形式（一）
【教学目标】
1. 掌握直线的点斜式、斜截式，能根据条件熟练地求出直线的点斜式和斜截式方程．
2. 了解根据直线上两点坐标求直线方程的方法．
3. 让学生从学习中进一步体会用代数方法解决几何问题的优点，体会用数形结合的方法解决问题
的魅力．
【教学重点】
直线的点斜式与斜截式方程．
【教学难点】
理解直线的点斜式方程的推导过程．
【教学方法】
这节课主要采用讲练结合、小组合作探究的教学法．引导学生理解推导直线方程的点斜式的过程，认识到点斜式直线方程与斜率坐标公式之间的关系．对于直线方程的斜截式，要使学生认识到斜截式是点斜式的特殊情形.教材在例2中给出了已知两点求直线方程的方法，教师可针对学生的实际情况补充直线方程的两点式，但要求不宜过高.
【教学过程】
1
第八章直线和圆的方程
2
数学基础模块下册
3。
直线方程的几种形式
2.2.2直线方程的几种形式1教案教师版(已打)
2.2.2 直线方程的几种形式(一)【学习要求】1．理解直线在坐标轴上的截距的概念．掌握直线方程的点斜式，斜截式，两点式，截距式，并理解它们存在的条件．2．能根据不同的条件，从直线方程的几种形式中选取适合的一种写出直线的方程．【学法指导】通过已知直角坐标系内确定一条直线的几何要素，探研出直线的点斜式、斜截式、两点式方程；通过比较理解“截距”与“距离”的区别，体会直线的斜截式方程与一次函数的关系，进一步培养数形结合的思想.填一填：知识要点、记下疑难点1．方程y －y 0＝k(x －x 0)是由直线上一点P 0(x 0，y 0)和斜率k 所确定的，称为直线方程的 点斜式 ．2．方程y ＝kx ＋b 叫做直线方程的 斜截式 ．其中k 为斜率，b 叫做直线y ＝kx ＋b 在y 轴上的截距，简称为直线的截距．3．经过直线上两点P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)(其中x 1≠x 2，y 1≠y 2)的直线方程 y －y 1y 2－y 1＝x －x 1x 2－x 1 ，称为直线方程的两点式． 研一研：问题探究、课堂更高效[问题情境]给出一定点P 0和斜率k ，或给出两定点直线就可以唯一确定了．如果设直线上的任意一点P(x ，y)，那么，如何建立P 点的坐标之间的关系呢？本节我们就来研究这个问题．探究点一 直线的点斜式方程问题1 已知两点A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)(其中x 1≠x 2)，如何求直线AB 的斜率？答： k AB ＝y 2－y 1x 2－x 1. 问题2 在直角坐标系内确定一条直线，应知道哪些条件？答： 已知直线上的一个点和直线的倾斜角(斜率)可以确定一条直线；已知两点也可以确定一条直线．问题3 已知直线l 经过点P 0(x 0，y 0)，且斜率为k ，如何来求直线l 的方程？答： 设点P(x ，y)为直线l 上不同于P 0(x 0，y 0)的任意一点，则直线l 的斜率k 可由P 和P 0两点的坐标表示为k ＝y －y 0x －x 0，即y －y 0＝k(x －x 0)．小结： 方程y －y 0＝k(x －x 0)是由直线上一点P 0(x 0，y 0)和斜率k 所确定的直线方程，我们把这个方程叫做直线的点斜式方程．问题4 方程y －y 0＝k(x －x 0)，当k ＝0时，对应怎样的直线？答： 当k ＝0时，直线方程为y ＝y 0.这时，直线平行于x 轴或与x 轴重合．例1 求下列直线的方程：(1)直线l 1：过点(2,1)，k ＝－1；(2)直线l 2：过点(－2,1)和点(3，－3)．解： (1)直线l 1过点(2,1)，斜率k ＝－1.由直线的点斜式方程，得y －1＝－1(x －2)， 整理，得l 1的方程为x ＋y －3＝0.(2)我们先求出直线的斜率，再由点斜式写出直线方程．直线l 2的斜率k ＝－3－13－(－2)＝－45，又因为过点(－2,1)，由直线的点斜式方程，得y －1＝－45[x －(－2)]， 整理，得l 2的方程为4x ＋5y ＋3＝0. 小结： 由点斜式写直线方程时，由于过P(x 0，y 0)的直线有无数条，大致可分为两类：(1)斜率存在时方程为y －y 0＝k(x －x 0)；(2)斜率不存在时，直线方程为x ＝x 0.跟踪训练1 求满足下列条件的直线方程．(1)过点P(－4,3)，斜率k ＝－3； (2)过点P(3，－4)，且与x 轴平行；(3)过点P(5，－2)，且与y 轴平行； (4)过P(－2,3)，Q(5，－4)两点．解：(1)∵直线过点P(－4,3)，斜率k ＝－3，∴由直线方程的点斜式得直线方程为y －3＝－3(x ＋4)，即3x ＋y ＋9＝0.(2)与x 轴平行的直线，其斜率k ＝0，由直线方程的点斜式可得直线方程为y －(－4)＝0(x －3)，即y ＝－4.(3)与y 轴平行的直线，其斜率k 不存在，不能用点斜式方程表示，但直线上点的横坐标均为5，故直线方程为x ＝5.(4)过点P(－2,3)，Q(5，－4)的直线斜率k PQ ＝－4－35－(－2)＝－77＝－1.又∵直线过点P(－2,3)，∴由直线方程的点斜式可得直线方程为y －3＝－1(x ＋2)，即x ＋y －1＝0.探究点二 直线的斜截式方程问题1 如果一条直线通过点(0，b)，且斜率为k ，你能写出直线的点斜式方程吗？答： 由点斜式方程，得y －b ＝k(x －0)．整理，得y ＝kx ＋b.小结：方程y ＝kx ＋b 叫做直线的斜截式方程．k 为斜率，b 叫做直线y ＝kx ＋b 在y 轴上的截距，简称为直线的截距．问题2 直线y ＝kx ＋b 在x 轴上的截距是什么？它是直线与x 轴的交点到原点的距离吗？截距的值一定是正数吗？ 答：直线y ＝kx ＋b 在x 轴上的截距是直线与x 轴交点的横坐标，不是直线与x 轴的交点到原点的距离，截距的值可能是正数也可能是零或者负数．问题3 观察方程y ＝kx ＋b ，它的形式具有什么特点？答：左端y 的系数恒为1右端x 的系数k 和常数项b 均有明显的几何意义：k 是直线的斜率，b 是直线在y 轴上的截距．例2 求过点(0,1)，斜率为－12的直线的方程． 解：直线过点(0,1)，表明直线在y 轴上的截距为1，又直线斜率为－12，由直线的斜截式方程， 得y ＝－12x ＋1，即x ＋2y －2＝0. 小结： 已知直线的斜率求直线的方程，往往设直线方程的斜截式．跟踪训练2 已知直线l 的斜率为16，且和两坐标轴围成面积为3的三角形，求l 的方程． 解：设直线方程为y ＝16x ＋b ，则x ＝0时，y ＝b ；y ＝0时，x ＝－6b. 由已知可得12·|b|·|－6b|＝3， 即6|b|2＝6，∴b ＝±1. 故所求直线方程为y ＝16x ＋1或y ＝16x －1， 即x －6y ＋6＝0或x －6y －6＝0. 探究点三 直线的两点式方程导引 已知直线上两点P 1(x 1，y 1), P 2(x 2，y 2)(其中x 1≠x 2, y 1≠y 2)，如何求出过这两点的直线方程呢？问题1 能不能把上述问题转化成已经解决的问题呢？怎样转化？答：能．可以把已知两点求直线方程问题转化成用点斜式方程来求直线方程的问题，先求出直线的斜率，再选两点中的一个点，这样就具备了用点斜式求方程的条件．问题2 已知直线l 经过P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2) (其中x 1≠x 2，y 1≠y 2)两点，如何求直线的点斜式方程？ 如果将求出的点斜式方程写成比例式可化为怎样的形式？答：由于x 1≠x 2，所求直线的斜率k ＝y 2－y 1x 2－x 1. 取P 1(x 1，y 1)和k ，由点斜式方程， 得y －y 1＝y 2－y 1x 2－x 1(x －x 1)． 由y 1≠y 2，方程两边同除y 2－y 1， 得y －y 1y 2－y 1＝x －x 1x 2－x 1. 小结：经过直线上两点P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)(其中x 1≠x 2，y 1≠y 2)的直线方程y －y 1y 2－y 1＝x －x 1x 2－x 1叫做直线的两点式方程，简称两点式．问题3 从两点式方程的形式上看，直线方程的两点式适用求什么样的直线方程？答： 两点式适用于求与两坐标轴不垂直的直线方程．问题4 若P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)中有x 1＝x 2或y 1＝y 2时，直线P 1P 2有没有两点式方程？如何求直线P 1P 2的方程？ 答： 没有两点式方程．当x 1＝x 2时，直线P 1P 2平行于y 轴，直线方程为x －x 1＝0，或x ＝x 1；当y 1＝y 2时，直线P 1P 2平行于x 轴，直线方程为y －y 1＝0，或y ＝y 1.例3 已知直线l 与x 轴的交点为A(a,0)，与y 轴的交点为B(0，b)，其中a ≠0，b ≠0，求l 的方程．解： 将两点A(a,0)，B(0，b)的坐标代入两点式，得y －0b －0＝x －a 0－a，即x a ＋y b ＝1. 小结：我们把直线与x 轴交点(a,0)的横坐标a 叫做直线在x 轴上的截距，此时直线在y 轴上的截距是b ，方程x a ＋y b＝1由直线l 在两个坐标轴上的截距a 与b 确定，所以叫做直线的截距式方程． 跟踪训练3 已知△ABC 的顶点A(1，－1)，线段BC 中点D ⎝⎛⎭⎫3，32，求BC 边上的中线所在直线的方程． 解：线段BC 中点D ⎝⎛⎭⎫3，32△ABC 的顶点A(1，－1) ∴由两点式可得直线AD 的方程：y ＋132＋1＝x －13－1， 即5x －4y －9＝0.练一练：当堂检测、目标达成落实处1．经过点(－2，2)，倾斜角是30°的直线的方程是 ( )A ．y ＋2＝33(x －2)B ．y ＋2＝3(x －2)C ．y －2＝33(x ＋2) D ．y －2＝3(x ＋2) 解析：由题意直线的斜率k ＝tan 30°＝33， 又因直线经过点(－2，2)， 所以直线方程为y －2＝33(x ＋2)． 2．直线l 经过点P 0(－2,3)，且倾斜角α＝45°，求直线l 的方程，并画出直线l.解： 直线l 经过点P 0(－2,3)，斜率是k ＝tan 45°＝1，代入点斜式方程得y －3＝x ＋2. 整理，得x －y ＋5＝0，画出直线l ，如图．3．已知直线l 过点P(2,1)，且直线l 的斜率为直线x －4y ＋3＝0的斜率的2倍，求直线l 的方程．解： 由x －4y ＋3＝0，得y ＝14x ＋34，其斜率为14， 故所求直线l 的斜率为12，又直线l 过点P(2,1)， 所以直线l 的方程为y －1＝12(x －2)，即x －2y ＝0. 课堂小结：1．确定直线方程需要两个条件，如点斜式需要直线斜率与直线上一点坐标；斜截式需要直线斜率与直线在y 轴上截距；两点式需要直线上两点坐标；截距式需要直线在两坐标轴上的截距．无论使用哪一种直线方程形式，都应明确其限制条件，最后没有特殊说明，应将直线方程化为Ax ＋By ＋C ＝0的形式．2．应根据题目条件，选择合适的直线方程形式，从而使求解过程简单明确．设直线方程的截距式时，应注意是否漏掉过原点的直线，设直线方程的点斜式时，应注意是否漏掉斜率不存在的直线．。
学案1：2.2.2 直线方程的几种形式(一)
2.2.2直线方程的几种形式(一)学习目标1.掌握直线的点斜式方程、斜截式方程和两点式方程,归纳方程特点及其适用范围并能简单应用.2.能发现斜截式方程与一次函数间的联系与区别.知识体系梳理创设情境“我想知道流星能飞多久,它的美丽是否值得去寻求,夜空的花散落在你身后,幸福了我很久,值得我去等待,于是……我许了个愿保佑,在最美的时候,我许的愿……”飞逝的流星形成一条美丽的弧线,这条弧线可以近似看作是什么图形呢?若在平面直角坐标系中,能否确定它的位置呢?知识导学问题1:(1)图片中飞逝的流星划出一条美丽的弧线,这条弧线可以近似看作直线.(2)经过点P0(x0,y0)的直线l有无数条,可分为两类:(i)斜率存在,设斜率为k,则直线方程为y-y0=k(x-x0),这个方程是由直线上点P0(x0,y0)及其斜率k确定的,所以叫作直线的点斜式方程.(ii)斜率不存在,则直线方程为x=x0.问题2:(1)已知直线l的斜率为k,且与y轴的交点为(0,b),代入直线的点斜式方程,得y=kx+b,我们称b为直线l在y轴上的截距.这个方程是由直线l的斜率和它在y轴上的截距确定的,所以叫作直线的斜截式方程.(2)直线的斜截式方程①截距:b.②一般形式:y=kx+b.③适用条件:斜率存在.注意:当直线和x轴垂直时,斜率不存在,此时方程不能用点斜式方程和斜截式方程表示.问题3:已知两点坐标为P1(x1,y1),P(x2,y2)(其中x1≠x2,y1≠y2),则通过这两点的直线方程为.与坐标轴平行或垂直的直线没有两点式方程,但其变形(y2-y1)(x-x1)=(x2-x1)(y-y1)可表示过任意两点的直线方程.问题4:若点P1,P2的坐标分别为(x1,y1),(x2,y2),且线段P1P2的中点M的坐标为(x,y),则,此公式为线段P1P2的中点坐标公式.基础学习交流1.已知直线方程y-3=√3(x-4),则这条直线经过的定点,倾斜角分别是().A.(4,3),60°B.(-3,-4),30°C.(4,3),30°D.(-4,-3),60°2.直线方程可表示成点斜式方程的条件是().A.直线不过原点B.直线的斜率不存在C.直线的斜率存在D.不同于上述答案3.经过点(-√2,2)且倾斜角是30°的直线的点斜式方程是.4.写出斜率为-2,且在y轴上的截距为t的直线的方程,当t为何值时,直线通过点(4,-3)?并作出该直线的图像.重点难点探究探究一直线方程形式的选择根据条件写出下列直线的方程:(1)斜率为3,经过点(5,-4);(2)斜率为-2,经过点(0,2);(3)经过点(2,1)和(3,-4);(4)经过点(4,2),倾斜角为90°.探究二直线的两点式方程已知三角形的三个顶点是A(-5,0),B(3,-3),C(0,2).(1)求BC边所在的直线方程;(2)求BC边上的中线AM所在的直线方程.探究三“截距”与“距离”的关系求过点P(2,3),并且在两坐标轴上的截距相等的直线方程.思维拓展应用应用一求满足下列条件的直线方程:(1)斜率为2,经过点(2,0);(2)经过点B(2,3),倾斜角是45°;(3)斜率为2,在y轴上的截距是5;(4)直线l与直线l1:y=2x+6在y轴上有相同的截距,且直线l的斜率与l1的斜率互为相反数,求直线l的方程.应用二一条光线从点A(3,2)出发,经过x轴反射后,通过点B(-1,6),求入射光线和反射光线所在的直线方程.应用三求经过点A(-5,2),且在x轴上的截距等于在y轴上截距的2倍的直线方程.基础智能检测,则直线l的方程为().1.已知直线l经过点P(-2,5),且斜率为-34A.3x+4y-14=0B.3x-4y+14=0C.4x+3y-14=0D.4x-3y+14=02.已知直线的方程为y+2=-x-1,则().A.直线过点(-1,2),斜率为-1B.直线过点(-1,2),斜率为1C.直线过点(-1,-2),斜率为-1D.直线过点(-1,-2),斜率为13.直线l过(-1,-1)、(2,5)两点,且点(1006,b)在l上,则b=.4.求过点A(1,3),斜率为直线y=-4x的斜率的1的直线方程.35.过点(1,0)且与直线x-2y-2=0平行的直线方程是().A.x-2y-1=0B.x-2y+1=0C.2x+y-2=0D.x+2y-1=0思维导图构建参考答案知识体系梳理问题1:(1)直线(2)(i)y-y0=k(x-x0)点P0(x0,y0)斜率k点斜式(ii)x=x0问题2:(1)y=kx+b截距截距斜截式(2)①b②y=kx+b斜率存在问题3:y-y1y2-y1=x-x1 x2-x1问题4:{x=x1+x22,y=y1+y22基础学习交流1.A由直线的点斜式方程可知,k=tan α=√3,∴α=60°,直线过定点(4,3).2.C3.y-2=√33(x+√2)4.解:(1)由直线方程的斜截式,可得方程为y=-2x+t.(2)将点(4,-3)代入方程y=-2x+t,得-3=-2×4+t,解得t=5,故当t=5时,直线通过点(4,-3).直线y=-2x+5图象如右图所示.重点难点探究探究一:【解析】(1)∵k=3,经过点(5,-4),∴由点斜式方程得y-(-4)=3(x-5),即y+4=3(x-5).(2)∵k=-2,b=2,∴由斜截式方程得y=-2x+2.(3)∵直线过点(2,1)和(3,-4),∴直线方程为y-1-4-1=x-2 3-2.整理得y=-5x+14.(4)由题意可知,直线垂直于x轴,∴直线方程为x=4.【小结】在求直线的点斜式方程时,要判断直线的斜率是否存在,若存在,要求出其斜率,再将条件中所给的点代入点斜式方程即可.如果已知纵截距,那么可直接利用直线的斜截式方程求解.探究二:【解析】(1)直线BC 过点B (3,-3),C (0,2),由两点式得y+32+3=x -30-3,整理得5x+3y -6=0,所以BC 所在的直线方程为5x+3y -6=0.(2)因为B (3,-3),C (0,2),所以由中点坐标公式可得BC 边上中点M 的坐标为x=3+02=32,y=-3+22=-12.由两点式方程可得直线AM 的方程为y -0-12-0=x -(-5)32-(-5),整理得直线AM 的方程为x+13y+5=0.【小结】本题利用直线的两点式求解直线方程,求解前要先观察横坐标是否相等,纵坐标是否相等,都不相等后才可以利用两点式方程求解.由于两点式方程比较复杂,所以在利用两点式方程时一定要细心.此外,本题也可以先求出直线的斜率,再利用点斜式或斜截式求直线方程.探究三:【解析】直线两坐标轴上的截距相等,则斜率k 的值为±1.若k=1,则直线方程为y -3=x -2,即x -y+1=0;若k=-1,则直线方程为y -3=-(x -2),即x+y -5=0.∴所求直线方程为x -y+1=0或x+y -5=0.[问题]当k=1时,直线在两坐标轴上的截距相等吗?[结论]截距是直线与y 轴(或x 轴)交点的纵坐标(横坐标),它不是距离,是有向线段的数量,可正、可负、也可为0,错解中方程x -y+1=0在x 轴、y 轴上的截距分别为-1,1,截距当然不相等,属于概念性错误.于是,正确解答如下:当截距不为0时,则k=-1,直线方程为y -3=-(x -2),即x+y -5=0.当截距为0 时,则k=32,直线方程为y=32x.故满足题意的直线方程为y=32x 或x+y -5=0.【小结】求直线在坐标轴上截距的方法:令x=0,所得y 值是y 轴上的截距;令y=0,所得x 值是x 轴上的截距.注意理解“截距”与“距离”的区别.思维拓展应用应用一:(1)由直线的点斜式方程,得y=2(x -2), ∴所求直线方程为2x -y -4=0.(2)由题意得k=tan 45°=1,∴所求直线方程为y -3=x -2,即x -y -1=0.(3)由直线的斜截式方程,得所求直线方程为y=2x+5.(4)∵直线l 1的斜率为2,在y 轴上截距为6,∴直线l 的斜率为-2,在y 轴上的截距为6,∴直线l 的方程为y=-2x+6.应用二:因为点A (3,2)关于x 轴的对称点为A'(3,-2),所以由两点式可得直线A'B 的方程为y -6-2-6=x+13+1,即2x+y -4=0.同理,点B 关于x 轴的对称点为B'(-1,-6),由两点式可得直线AB'的方程为y -2-6-2=x -3-1-3,即2x -y -4=0,所以入射光线所在的直线方程为2x -y -4=0,反射光线所在的直线方程为2x+y -4=0.应用三:由题意可知直线的斜率存在且不等于零,可设直线方程为y -2=k (x+5).令x=0,则y=5k+2;令y=0则x=-5-2k. ∴-5-2k=2(5k+2), 解得k=-12或k=-25, ∴直线方程为x+2y+1=0或2x+5y=0.基础智能检测1.A 由y -5=-34(x+2),得3x+4y -14=0. 2.C 直线方程可化为y -(-2)=-[x -(-1)],故直线过点(-1,-2),斜率为-1.3.2013 直线l 的方程为y -(-1)5-(-1)=x -(-1)2-(-1), 整理得:y=2x+1,令x=1006,得b=2013.4.解:设所求直线的斜率为k ,依题意有k=-4×13=-43.又直线经过点A (1,3),因此所求直线方程为y -3=-43(x -1), 即4x+3y -13=0.5.A 由题意可知,所求直线的斜率k=12,又经过点(1,0),∴所求直线方程为y=12(x -1),即x-2y-1=0.思维导图构建y-y0=k(x-x0)。
原创1：2.2.2 直线方程的几种形式（一）（讲授式）
生能用联系的观点看问题．
学习目标
三维目标及重难点分析
4 ．重点与难点
重点
直线的点斜式方程和两点式方程.
难点
直线的点斜式方程和两点式方程的应用．
新课讲授
点斜式直线方程的概念
直线的点斜式方程
由直线上一定点和直线的斜率确定
的直线方程，叫直线的点斜式方程，即过点P0（x0，y0），
ሺ ≠ ሻ，
−
所以由直线的点斜式方程可得
− =
又因为 ≠ ，
−
ሺ
−
− ሻ.
这就是经过两点
， 和 ，
( ≠ , ≠ )的直线方程.
新课讲授
直线的两点式方程
直线的两点式方程
( ≠ , ≠
答：斜率不存在或倾斜角为90°时，
显然直线 l 上的任何一点的横坐标均相同， y
均为x0，而y0可以为任意实数，所以这时的
直线方程为x= x0 或x- x0=0.
特别的，y 轴所在的直线上的每一点的横坐
标均为0，所以其所在直线的方程为x=0.
O
l
0 ሺ0 ，
0 ሻ
x
新课讲授
直线方程的特例——其它直线方程
思考9
我们把经过两点 ， 和 ，
−
)的直线方程
−
=
−
叫做直线的两点式方程.
−
若 = 或者 = ，这个方程还能用吗?
答：因为当x1＝x2或y1= y2时,两点式的分母为零,没有意义，
所以此时直线P1P2没有两点式方程.
达标检测
直线方程的点斜式与斜截式的理解与应用
3.直线 3 x-y+a=0(a为常数)的倾斜角为( B )
直线方程
直线方程直线方程的几种形式：点斜式、斜截式、两点式、截距式、一般式 （一）点斜式：已知点A ),(00y x ，斜率k ，则k=),(0x xy x x y ≠--直线方程为)(00x yx k y -=-（二）斜截式：已知斜率k ，直线经过点A （0，b ）即y 轴上的截距为b ， 直线方程为y=kx+b（三）两点式：已知两个点),(),,(2211y x y x B A 且xx 21≠，)(112121x yy yx y ---=-，直线方程为x x x yy y x y 121121--=--（四）截距式：过（a ，0），（0，b ）即直线在x 、y 轴的截距分别为a ，b （a ≠0，b ≠0），直线方程为1bya x =+（五）一般式：Ax+By+C=0(A ，B 不全为0) k=BA-点斜式例1求过点（2,1）的倾斜角α满足54cos =α的直线方程练习 1.直线经过点（-1,2）且与直线2x-3y+4=0垂直，求直线方程2.直线经过点（-1,1）且斜率是直线222-=x y 的斜率的2倍，求直线方程3.已知一条直线与y 轴交于点（0,2），它的倾斜角的正弦值是54，求这条直线的直线方程例2已知过一点（-4,3）的直线，与两坐标轴围城的三角形的面积为3，求这条直线的直线方程练习1.已知直线的斜率为6，且被两坐标轴截得的线段长为37，求直线的方程2.直线的倾斜角为45度，且过点（4，-1），则这条直线被坐标轴所截得的线段长是例3求过点（2，-1）且倾斜角为直线x-3y+4=0的倾斜角的2倍的直线方程练习1.求过点（2，-1）且倾斜角是直线4x-3y+4=0的倾斜角的一半的直线方程斜截式例4已知直线0322=++y x ，求直线的斜率及直线在y 轴的截距练习1.方程aax y 1+=表示的直线可能为下图中的（ ）A ． B. C.例5求经过点P（3,2）且在两坐标轴上截距相等的直线方程练习1. 直线2x-3y+6=0在x，y两轴的截距分别为2.求经过（2，-1），在坐标轴上的截距分别为a，b，且满足a=3b的直线方程3.经过点A（1,4）且在两坐标轴上的截距的绝对值相等的直线共有多少条？4.直线经过（-2,3），且与两坐标轴围成的三角形的面积为4，求直线方程两点式例6已知直线经过（1,1）和（m，2）两点，求直线方程练习1.已知三角形三个顶点的坐标为A（-3,0）B(2,1)C(-2,3)（1）求BC边所在的直线方程（2）求BC边上的中线AD所在的直线方程（3）求BC边上的垂直平分线DE的方程例7（1）当a为何值时，直线x+2ay+1=0和直线（3a-1）x-ay+1=0平行？（2）当a为何值时，直线l1：（a+2）x+(1-a)y-1=0与直线l2：（a-1）x+（2a+3）y+2=0互相垂直？例8已知直线kx-y+1+2k=0（k为实数）（1）求证直线恒过定点（2）若直线与x轴负半轴交于点A，交于y轴正半轴于点B，三角形AOB 的面积为S，求S的最小值，并求出此时直线的方程练习1.直线x+2ay-1=0与直线（a-1）x-ay+1=0平行，则a的值为2.已知直线l1的倾斜角为43 ，直线l1经过点A（3,2）和B（a，-1），且直线l1与直线l垂直，直线l2：2x+by+1=0有直线l1平行，则a+b的值为3.直线x-2y+2k=0与两坐标轴围成的三角形的面积不小于1，则实数k的取值范围是4.已知直线的方程为（2+m）x+（1-2m）y+4-3m=0（1）求证直线过定点（2）若直线分别与x，y轴的负半轴交于A，B两点，求三角形AOB面积的最小值及此时直线的方程平行直线系和垂直直线系与Ax+By+C=0平行的直线为Ax+By+c1=0(C≠c1)与Ax+By+C=0垂直的直线为Bx-Ay+c1=0A.y=-2x+4B.y=x+4C.y=-2x-D.y=x-A.2B.C.-2D.--2 D.( ) A.- B.1 C.1- D.-1一、点关于点的对称问题点关于点的对称问题，是对称问题中最基础最重要的一类，其余几类对称问题均可以化归为点关于点的对称进行求解，熟练掌握和灵活运用中点坐标公式是处理这类问题的关键例1求点A（2，4）关于点B（3，5）对称的点二、点关于直线的对称问题点关于直线的对称问题是点关于点的对称问题的延伸，处理这类问题主要抓住两个方面：①两点连线与已知直线斜率乘积等于-1，②两点的中点在已知直线上例2求点A（1，3）关于直线l：x+2y-3=0的对称点A′的坐标三、直线关于某点对称的问题直线关于点的对称问题，可转化为直线上的点关于某点对称的问题，这里需要注意到的是两对称直线是平行的.我们往往利用平行直线系去求解.例3求直线2x+11y+16=0关于点P（0，1）对称的直线方程四、直线关于直线的对称问题直线关于直线对称问题，包含有两种情形：①两直线平行，②两直线相交. 对于①，我们可转化为点关于直线的对称问题去求解；对于②，其一般解法为先求交点，再用“到角”，或是转化为点关于直线对称问题.例4求直线l1：x-y-1=0关于直线l2：x-y+1=0对称的直线l的方程例5 试求直线l1：x-y-2=0关于直线l2：3x-y+3=0对称的直线l的方程.。
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高一数学（2019级）导学案
课型：新授课编制人：年级主任：班级：姓名：编号：055
5、集合A ＝{直线的斜截式方程}，B ＝{一次函数的解析式}，则集合A 、B 间的关系是( )
A ．A ＝
B B ．B A
C ．A B
D ．以上都不对 6、直线kx －y ＋1－3k ＝0当k 变化时，所有的直线恒过定点( )
A ．(1,3)
B ．(－1，－3)
C ．(3,1)
D ．(－3，－1) 四、典型例题：
例1、（1）直线l 经过点P 0(－2,3)，且倾斜角α＝45°，求直线l 的点斜式方程，并画出直线l.
（2）一条直线经过点P(－2,3)，斜率为2，求这条直线的方程．
例2、写出下列直线的点斜式方程：
(1)经过点A(2,5)，且与直线y ＝2x ＋7平行；(2)经过点C(－1，－1)，且与x 轴平行．
例3、已知直线l 的斜率为1
6，且和两坐标轴围成三角形的面积为3，求l 的方程．
语文课本中的文章都是精选的比较优秀的文章,还有不少名家名篇。
如果有选择循序渐进地让学生背诵一些优秀篇目、精彩段落,对提高学生的水平会大有裨益。
现在,不少语文教师在分析课文时,把文章解体的支离破碎,总在文章的技巧方面下功夫。
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常言道“书读百遍,其义自见”,如果有目的、有计划地引导学生反复阅读课文,或细读、默读、跳读,或听读、范读、轮读、分角色朗读,学生便可以在读中自然领悟文章的思想内容和写作技巧,。