第03章： 结构力学 静定结构内力分析
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03结构力学 第三章 静定结构的内力计算3.3 静定刚架的内力计算(邓军)
剪力图： 剪力符号规定与直梁中的规定相同；剪力图可画在杆件的任一 侧，但剪力图上要标明正负号。 轴力图：
轴力仍以受拉为正，受压为负；轴力图可画在杆件的任一侧或 与纵坐标对称地画在杆件的两边，但需在轴力图上标明正负号。
§3.3 静定刚架的计算
例1 绘制如图所示门式刚架在半跨均布荷载作用下的内力图。
§3.3 静定刚架的计算
§3.3 静定刚架的计算
§3.3 静定刚架的计算
§3.3 静定刚架的计算
静定刚架的组成及类型
平面刚架是由直杆（梁和柱）组成的平面结构。
刚架中的结点部分或全部是刚节点。
在刚节点处，各杆件连成一个整体，杆件之间不能发生相对 移动和相对转动，刚架变形时各杆之间的夹角保持不变，因 此刚节点能够承受弯矩、剪力和轴力。
解：
1）求支座反力 由整体平衡方程可得
M A 0, 6 3 12FyB 0 M B 0, 6 9 12FyA 0
X 0, FxA FxB 0
取铰C右边部分为隔离体
MC 0, 6.5FxB 6FyB 0
求得
FyB =1.5kN() FyA=4.5kN() FxA =1.384 kN()
§3.3 静定刚架的计算
2）作弯矩图
求出杆端弯矩（设弯矩方正向为使刚架内侧受拉）后，画于受 拉一侧并连以直线，再叠加简支梁的弯矩图。
以DC杆为例
M DC 1.384 4.5 6.23kN m, MCD 0
CD中点弯矩为 1.3845.5 133 1 1 4.5 6 1.388kN m 22
（2）为计算静定刚架位移和分析超静定刚架打下基础。
2）刚架各杆内力的求法
从力学观点看，刚架是梁的组合结构，因此刚架的内力求法 原则上与梁的内力计算相同。 通常是利用刚架的整体或个体的平衡条件求出各支座反力和 铰接点处的约束反力，然后用截面法逐个计算杆件内力。
轴力仍以受拉为正，受压为负；轴力图可画在杆件的任一侧或 与纵坐标对称地画在杆件的两边，但需在轴力图上标明正负号。
§3.3 静定刚架的计算
例1 绘制如图所示门式刚架在半跨均布荷载作用下的内力图。
§3.3 静定刚架的计算
§3.3 静定刚架的计算
§3.3 静定刚架的计算
§3.3 静定刚架的计算
静定刚架的组成及类型
平面刚架是由直杆（梁和柱）组成的平面结构。
刚架中的结点部分或全部是刚节点。
在刚节点处，各杆件连成一个整体，杆件之间不能发生相对 移动和相对转动，刚架变形时各杆之间的夹角保持不变，因 此刚节点能够承受弯矩、剪力和轴力。
解：
1）求支座反力 由整体平衡方程可得
M A 0, 6 3 12FyB 0 M B 0, 6 9 12FyA 0
X 0, FxA FxB 0
取铰C右边部分为隔离体
MC 0, 6.5FxB 6FyB 0
求得
FyB =1.5kN() FyA=4.5kN() FxA =1.384 kN()
§3.3 静定刚架的计算
2）作弯矩图
求出杆端弯矩（设弯矩方正向为使刚架内侧受拉）后，画于受 拉一侧并连以直线，再叠加简支梁的弯矩图。
以DC杆为例
M DC 1.384 4.5 6.23kN m, MCD 0
CD中点弯矩为 1.3845.5 133 1 1 4.5 6 1.388kN m 22
（2）为计算静定刚架位移和分析超静定刚架打下基础。
2）刚架各杆内力的求法
从力学观点看，刚架是梁的组合结构，因此刚架的内力求法 原则上与梁的内力计算相同。 通常是利用刚架的整体或个体的平衡条件求出各支座反力和 铰接点处的约束反力，然后用截面法逐个计算杆件内力。
结构力学第三章静定结构受力分析
MA
0, FP
l 2
YB
l
0,YB
FP 2
()
Fy
0,YA
YB
0,YA
YB
Fp 2
()
例2: 求图示刚架的约束力 q
C
A
ql
l
l
l
B
A
ql
ql
C
XC
YC
FNAB
解:
Fy 0,YC 0
MA
0, ql
l 2
XC
l
0,
XC
1 2
ql()
弹性变形，而附属部分上的荷载可使其自身和基本部分均产生内力和 弹性变形。因此，多跨静定梁的内力计算顺序也可根据作用于结构上 的荷载的传力路线来决定。
40k N
80k N·m
20k N/m
AB
CD
EF
G
H
2m 2m 2m 1m 2m 2m 1m
4m
2m
50构造关系图 40k N
C 20 A B 50
Fy 0,YA YB 2ql 0,YA ql() 3)取AB为隔离体
2)取AC为隔离体
Fy 0, YC YA ql 0
Fx 0, XB X A ql / 2()
l MC 0, X A l ql 2 YB l 0, X A ql / 2()
A
B
C D E FG
1m 1m 2m 2m 1m 1m
A C D E FG B
13 17
26 8
7 15 23 30
结构力学第三章
极 值
有尖角
(尖角突出方 向同Fy指向)
有突变
(突变值 为MO)
为 零
注：
• (１)在铰结处一侧截面上如无集中力偶 作用，M＝０。 • 在铰结处一侧截面上如有集中力偶作用， 则该截面弯矩＝此外力偶值。
• (２)自由端处如无集中力偶作用，则该 端弯矩为零。 • 自由端处如有集中力偶作用，则该端弯 矩＝此外力偶值。
FQBA
B
FQBE
D E FP3=1kN
FxA =3kN FyA =3kN
A
MA=15kN· m
（2）、作弯矩图:
• • • • • • • • 求各杆杆端弯矩: 5 1 CB段: MCB=0 MBC=1kN· (左侧受拉) 1.25 m BE段: MEB=0 MBE= - 4kN· m(上侧受拉) BA段: MBA=5kN· (左侧受拉) m MAB=15kN· m(左侧受拉) 15
一系列简支梁的M图
21.25kN· m
静定多跨梁与相应的多个简支梁弯矩图的比较 后，可以看到：在多跨静定梁中弯矩分布要均匀一 些。这是由于多跨静定梁中设置了带伸臂梁的基本 部分。这样，一方面减小了附属部分的跨度，另一 方面，在基本部分的支座处产生了负弯矩，它使跨 中正弯矩减小。 一般来说，多跨静定梁较相应的多个简支梁， 材料用量可以少一些，但构造要复杂一些。
FP2=4kN
q=0.4kN/m
FP3=1kN
FxA=3kN 先求各杆杆端弯 矩，再用分段叠加法 MA=15kN· m FyA =3kN 作弯矩图。
作隔离体图,如左图:
FP1=1kN FP2=4kN
FP1=1kN
C
MBC
B FQBC
FP2=4kN
第四次课——第03章 静定结构受力分析(1)——静定梁
1. 多跨静定梁的组成
层次图
32 / 51
第三章 静定结构受力分析
第二节 多跨静定梁的计算
1. 多跨静定梁的组成 2. 构造特点
由若干单跨梁通过铰连接而成，并由若干支座与基 础连接而组成的静定梁，是桥梁和屋盖系统中常用 的一种结构形式。
3. 组成顺序
基本部分 附属部分
层次图
33 / 51
第三章 静定结构受力分析
1 / 51
第三章 静定结构受力分析
第一节 单跨静定梁的计算
1、截面法求截面内力 内力定义 轴力= 横截面上应力沿轴切线方向投影的代数和。 剪力= 横截面上应力沿轴法线方向投影的代数和。 弯矩= 横截面上应力对轴心力矩的代数和。 内力正负号规定
FN FN
FN FN
FQ
FQ
FQ FQ
第二节 多跨静定梁的计算
1. 2. 3. 4. 多跨静定梁的组成 构造特点 组成顺序 传力关系
• 力作用在基本部分上时，仅在自身上产生内力和弹性 变形，附属部分不受力，但可以有刚体位移 • 力作用在附属部分上时，可使自身和基本部分上均产 生内力和弹性变形 • 力的传力顺序与组成顺序相反。
34 / 51
第一节 单跨静定梁的计算
1、截面法求截面内力 2、内力与荷载之关系 • 积分关系
FP
q
MAB A FQAB
B
m
B
MBA
FQBA
B 端剪力等于A 端 剪力减去该段荷载 q 图的面积，再减 去集中力的和。 B 端弯矩等于A 端 弯矩加上该段剪力 图的面积，再加上 集中力偶的和。
10 / 51
FQBA FQAB q( x)dx FPi
15 17
层次图
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第三章 静定结构受力分析
第二节 多跨静定梁的计算
1. 多跨静定梁的组成 2. 构造特点
由若干单跨梁通过铰连接而成，并由若干支座与基 础连接而组成的静定梁，是桥梁和屋盖系统中常用 的一种结构形式。
3. 组成顺序
基本部分 附属部分
层次图
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第三章 静定结构受力分析
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第三章 静定结构受力分析
第一节 单跨静定梁的计算
1、截面法求截面内力 内力定义 轴力= 横截面上应力沿轴切线方向投影的代数和。 剪力= 横截面上应力沿轴法线方向投影的代数和。 弯矩= 横截面上应力对轴心力矩的代数和。 内力正负号规定
FN FN
FN FN
FQ
FQ
FQ FQ
第二节 多跨静定梁的计算
1. 2. 3. 4. 多跨静定梁的组成 构造特点 组成顺序 传力关系
• 力作用在基本部分上时，仅在自身上产生内力和弹性 变形，附属部分不受力，但可以有刚体位移 • 力作用在附属部分上时，可使自身和基本部分上均产 生内力和弹性变形 • 力的传力顺序与组成顺序相反。
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第一节 单跨静定梁的计算
1、截面法求截面内力 2、内力与荷载之关系 • 积分关系
FP
q
MAB A FQAB
B
m
B
MBA
FQBA
B 端剪力等于A 端 剪力减去该段荷载 q 图的面积，再减 去集中力的和。 B 端弯矩等于A 端 弯矩加上该段剪力 图的面积，再加上 集中力偶的和。
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FQBA FQAB q( x)dx FPi
15 17
结构力学3静定结构的内力分析
N Q N Q
河南理工大学万方科技学院
结构力学
第三章 静定结构的内力分析
内力计算法则（直接法求内力）及符号规定： 轴力——截面上沿杆件轴线方向的内力合力。 “拉力为正，压力为负”。 轴力FN的数值等于截面任一边所有外力在梁 FN Fix 轴线方向投影的代数和。 剪力——截面上沿杆轴法线方向的内力合力。 “顺时针旋转为正，反之为负”。 剪力FQ的数值等于截面任一边所有外力在与梁轴 线垂直方向投影的代数和。 FQ Fiy
结构力学
第三章 静定结构的内力分析
3.1.1 用截面法求指定截面的内力 杆件内力主要指截开杆件所暴露出的截面上的力。对于平面 杆件，一般包括轴力、剪力和弯矩三种，如图3.2(b)所示。
q 分析杆件内力最基本的方法是截面法， 其原理是利用静力平衡条件求截面的内力， 主要步骤包括： (a) 简支梁 图 3.2 截面内力 ① 截开截面——即用假想平面或曲 (b) 切开截面后的内力 面沿指定截面将原结构切开一分为二； q q M ② 内力代替——选取截面任一侧结 F 构为隔离体，截开截面暴露出的三种内力 F q 绘制在隔离体受力图截面上； M F ③ 列平衡方程——通过隔离体静力 F 平衡方程求解未知内力。 在列平衡方程求解内力时，需事先确定截面内力的方向， 而此时截面内力为未知力，因此，一般假定截面内力沿其正向 作用，则计算得到的正负号就是该截面内力的正负号。
受力 情况
剪力图 弯矩图
FP A C l/2 l/2 y B A
A
第三章 静定结构的内力分析
表3.1 梁杆内力图特征 无外力区段 水平线 斜直线
均布荷载 作用区段
斜直线 抛物线
C B
B
集中力 作用处
突变 转折
FP /2 x A C
河南理工大学万方科技学院
结构力学
第三章 静定结构的内力分析
内力计算法则（直接法求内力）及符号规定： 轴力——截面上沿杆件轴线方向的内力合力。 “拉力为正，压力为负”。 轴力FN的数值等于截面任一边所有外力在梁 FN Fix 轴线方向投影的代数和。 剪力——截面上沿杆轴法线方向的内力合力。 “顺时针旋转为正，反之为负”。 剪力FQ的数值等于截面任一边所有外力在与梁轴 线垂直方向投影的代数和。 FQ Fiy
结构力学
第三章 静定结构的内力分析
3.1.1 用截面法求指定截面的内力 杆件内力主要指截开杆件所暴露出的截面上的力。对于平面 杆件，一般包括轴力、剪力和弯矩三种，如图3.2(b)所示。
q 分析杆件内力最基本的方法是截面法， 其原理是利用静力平衡条件求截面的内力， 主要步骤包括： (a) 简支梁 图 3.2 截面内力 ① 截开截面——即用假想平面或曲 (b) 切开截面后的内力 面沿指定截面将原结构切开一分为二； q q M ② 内力代替——选取截面任一侧结 F 构为隔离体，截开截面暴露出的三种内力 F q 绘制在隔离体受力图截面上； M F ③ 列平衡方程——通过隔离体静力 F 平衡方程求解未知内力。 在列平衡方程求解内力时，需事先确定截面内力的方向， 而此时截面内力为未知力，因此，一般假定截面内力沿其正向 作用，则计算得到的正负号就是该截面内力的正负号。
受力 情况
剪力图 弯矩图
FP A C l/2 l/2 y B A
A
第三章 静定结构的内力分析
表3.1 梁杆内力图特征 无外力区段 水平线 斜直线
均布荷载 作用区段
斜直线 抛物线
C B
B
集中力 作用处
突变 转折
FP /2 x A C
结构力学 第三章 静定结构的内力计算(教师讲义)
结构力学第三章静定结构的内力计算（教师讲义）第三章静定结构的内力计算§3-1 平面杆件的截面内力［截面内力及符号规定］从微观上看，截面内力为：正应力、剪应力、剪力和弯矩从宏观上看，平面杆件任一截面内力为：轴力（1）截面上正应力的合力，称为轴力。
轴力的拉为正，压为负。
（2）截面上剪应力的合力，称为剪力。
剪力以绕隔离体顺时针转为正，反之为负。
（3）截面上正应力对截面形心的合力矩，称为弯矩。
对于梁下部受拉为正，反之为负。
［内力图］作轴力图和剪力图时要注明正负号；作弯矩图时画在杆件受拉纤维一边，不注明正负号。
［内力与荷载的关系］弯矩、剪力与荷载集度之间的微分关系（1）（2），即无荷载作用的区间，剪力图为水平线，弯矩图为斜直线；常数，即均布荷载作用的区间，剪力图为斜直线，弯矩图为抛物线。
［截面法］截面法是求内力的最基本方法。
欲求某截面内力，即将该指定截面切开，取左边或右边部分为隔离体，画受力图，根据平衡方程求内力。
§3-2 单跨静定梁［弯矩图的叠加］基本弯矩图弯矩图的叠加，为弯矩图竖标的叠加。
1第三章静定结构的内力计算［单跨静定梁］三种基本形式：（1）简支梁（2）外伸梁（3）悬臂梁其它形式：［作剪力图］梁的剪力图简易作法：先求出全部的支座反力。
然后根据外力和反力的指向，从梁的左端零点出发，顺着力的方向，依次绘出剪力图，最终到达梁的右端零点。
剪力图绘在梁的上方为正，下方为负。
［作弯矩图］先求出各控制截面的弯矩，然后根据弯矩图的叠加，分段作出结构的全部弯矩图。
求控制截面弯矩的固定截面法：先求出全部的支座反力。
欲求某控制截面的弯矩，只要将该截面假想固定，可取左半部或右半部为对象，根据悬臂结构的弯矩，判断受拉边，求出弯矩值。
§3-3 多跨静定梁［多跨静定梁］（1）由若干根梁用铰相连，跨越几个相连跨度的静定梁。
（2）多跨静定梁可分为基本部分与附属部分。
基本部分――几何不变部分；附属部分――依靠基本部分才能保持其几何不变性。
结构力学第三章静定结构的受力分析
例2： MA
A
MA
FP L/2 L/2
FP
MB
B 结论
把两头的弯矩标在杆
端，并连以直线，然
后在直线上叠加上由
节间荷载单独作用在
简支梁上时的弯矩图
MB MA
FPL/4
FPL/4
2020年5月29日星期五7时56分M25秒B
§3-1 梁的内力计算的回顾
3）画剪力图
要求杆件上某点的剪力，通常是以弯矩图为
C
B FQBA
由： MA 0 FQBA (81 26) 2 9kN
也可由： Y 0 FQCA 17 8 9kN
剪力图要注意以下问题： ▲ 集中力处剪力有突变； ▲ 没有荷载的节间剪力是常数； ▲ 均布荷载作用的节间剪力是斜线； ▲ 集中力矩作用的节间剪力是常数。
2020年5月29日星期五7时56分25秒
L/2
M/2
FPL/4
L/2
M
M/2
2020年L5/月229日星期五L7/时2 56分25秒
§3-1 梁的内力计算的回顾
2）用叠加法画简支梁在几种简单荷载共同作用下 的弯矩图
例1： MA
q
MB
q
A
B=
qL2/8
MA
MB
+
+
MA
=A
qL2/8
MB
B
2020年5月29日星期五7时56分25秒
§3-1 梁的内力计算的回顾
2020年5月29日星期五7时56分25秒
§3-1 梁的内力计算的回顾
正 MAB
杆端内力
FNAB
A端 FQAB
MBA 正
B端
FNBA
FQBA
第3章静定结构的内力分析
C
F By
F Pn B
(b) 等代梁
F By
（1）竖向反力
0 0 即FAy FAy , FBy FBy
M B 0或 M A 0知(a)与(b)中竖向力表达一致，
（2）水平反力
Fx 0得FAx FBx FH
MC 0 FH
FAy La FP1 La a1 FP 2 La a2 f
试作图示三铰刚架的M图。
先整体，对 A取矩
后部分， 对E取矩
qL/4
qL/2
试作图示复合刚架的M图。
qL/2
先分析附 属部分
qL
基本 部分
附 属 部 分
qL/2
将铰B处的力反向 作用于基本部分
M图
3.3 三铰拱的内力分析 3.3.1 拱的基本特征及有关概念
拱顶
矢高f 拱趾 跨度 拱趾
拱--杆轴线为曲线， 在竖向荷载作用下 会产生水平推力的 结构，拱截面以承 受轴向压力为主。 曲梁--杆轴线为曲 线，在竖向荷载作 用下会不产生水平 推力的结构。
M F 杆端弯矩同向，逆时针产生正剪力 S
M BC M CB l M BC M CB
BC
CB
M CB l
l
作图示梁的弯矩和剪力图
直接画 出悬臂 端弯矩， BC跨 应用区 段叠加
如何求中间 跨最大正弯 矩?
考虑最大正弯矩一定发生在剪力为零处：
取AE段作为研究对象
3 kN 8 kN /m F S B A = 3 kN A B FB y 2m 1 .6 2 5 m E F S B C = 1 3 kN M
3.2.2 内力图的基本特征
内力与荷载间微分关系
F By
F Pn B
(b) 等代梁
F By
（1）竖向反力
0 0 即FAy FAy , FBy FBy
M B 0或 M A 0知(a)与(b)中竖向力表达一致，
（2）水平反力
Fx 0得FAx FBx FH
MC 0 FH
FAy La FP1 La a1 FP 2 La a2 f
试作图示三铰刚架的M图。
先整体，对 A取矩
后部分， 对E取矩
qL/4
qL/2
试作图示复合刚架的M图。
qL/2
先分析附 属部分
qL
基本 部分
附 属 部 分
qL/2
将铰B处的力反向 作用于基本部分
M图
3.3 三铰拱的内力分析 3.3.1 拱的基本特征及有关概念
拱顶
矢高f 拱趾 跨度 拱趾
拱--杆轴线为曲线， 在竖向荷载作用下 会产生水平推力的 结构，拱截面以承 受轴向压力为主。 曲梁--杆轴线为曲 线，在竖向荷载作 用下会不产生水平 推力的结构。
M F 杆端弯矩同向，逆时针产生正剪力 S
M BC M CB l M BC M CB
BC
CB
M CB l
l
作图示梁的弯矩和剪力图
直接画 出悬臂 端弯矩， BC跨 应用区 段叠加
如何求中间 跨最大正弯 矩?
考虑最大正弯矩一定发生在剪力为零处：
取AE段作为研究对象
3 kN 8 kN /m F S B A = 3 kN A B FB y 2m 1 .6 2 5 m E F S B C = 1 3 kN M
3.2.2 内力图的基本特征
内力与荷载间微分关系
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A
2
2qa 2
2qa2
4qa
2
2
4qa2
14qa2
2qa2 q
14qa
弯矩图
10
也可直接从悬臂端开始计算杆件 8 2qa2
8qa 2
B
10qa 2
6qa 2q
2
2qa 2
4qa2
14qa
2
M图
（4）绘制结构Q图和N图 2qa2 2qa2 C 6qa q E
D
2q A 2a 2a 4a B
3a
6qa
FN2=0
FN=0
FN=0
FN1=0
判断结构中的零杆
FP FP FP/2
FP/ 2
FP
截
面
法
截取桁架的某一局部作为隔离体， 由平面任意力系的平衡方程即可求得未知 的轴力。 对于平面桁架，由于平面任意力系的 独立平衡方程数为3，因此所截断的杆件数 一般不宜超过3
试用截面法求图示桁架指定杆件的内力。
5、三铰拱的合理轴线 拱的合理轴线：在固定荷载作用下使拱处于无弯距状态 的轴线。 求解公式：在竖向荷载作用下，三铰拱的合理轴线使拱 的各截面处于无弯距状态，即
M M FH y 0
0
M y FH
0
结论： (1)三铰拱在沿水平线均匀分布的竖向荷载作用下，合理轴 线为一抛物线。
y
M AD
1 qL x2 8
M BD
q(l x) 1 x qx 2 2 2
Mx1max
1 qL x2 8
由以上三处的弯矩得到：
q(L x) 1 2 1 2 x qx qL x 2 2 8
整理得：
x 0.172L
2 M负max 0.086qL M正max
二、用截面法求指定截面内力
P
计算如图所示结构截面 1 的内力
先计算左截面的内力，可取截面1以左
a
P
2Pa
1
隔离体进行分析。
根据静力平衡条件求截面未知力：
1.5a P 1.5a P
x 0 y0 M1 0
N1Z P Q1Z P 0 Q1Z P M1Z 1.5Pa
U M 1 2 Pa P 1.5a 0
M 1U 0.5Pa
P
a P 1.5a
(a)
计算截面 2 的内力
现取截面 2 左边的隔离体进行 分析，根据三个平衡条件就可得出 截面 2 上的三个未知力：
P
2Pa
3
1
2
P
1.5a
也可取截面 2 右边隔离体计算
P
M2 N2 N2 a
P P
2Pa
对称结构受对称荷载作用, 内力和反 力均为对称:
E 点无荷载,红色杆不受力
FAy
FBy
对称结构受反对称荷载作用, 内力和 反力均为反对称:
垂直对称轴的杆不受力
FAy
FBy
对称轴处的杆不受力
2. 结点单杆 以结点为平衡对象能仅用一个方程 求出内力的杆件，称为结点单杆（nodal single bar）。 利用这个概念，根据荷载状况可判断此杆内力 是否为零。 3. 零杆 零内力杆简称零杆（zero bar）。
例2. 试计算下图所示悬臂刚架的支座反力，并绘制Ｍ、Q和N图。
解：（1）计算支座反力
2qa2 q E
x 0
3a
2q 4a X A 0
C
6qa
X A 8qa
y0 YA 6qa q 4a 0
D 2q B
4a
mA 0
YA 10qa
2qa2 q 4a 2a 6qa 2a 2q 4a 2 a M A 0
YNAD CD 0.5 X NAD AC 1.5
X NAD 3YNAD 33 kN
X 0 FNAC 33 kN
0
-33 34.8 19 -8
-33
19
0
-33 34.8 19 -8
-33 -5.4 37.5 19
-8 kN
YDE CD 0.50 X DE CE 0.75
2.4qa
10qa
N图
X A 8qa()
§ 3-5 三铰拱
1、三铰拱的定义：在竖向荷载作用下，由水平推力产生 的曲杆结构。
2、三铰拱的各部分的名称
3、三铰拱的计算
(1) 支座等高竖向荷载作用下三铰拱内力计算 (a) 支座反力
FHA FHB FH
0 MC FH f
(b)拱内力
q
N BE q 4a sin 0
M BE
QBE
3a 4a
3 N BE 4qa 2.4qa 5 y0
QBE q 4a cos 0 4 QBE 4qa 3.2qa 5
4a
N BE
8qa 2
4）杆AB
mB 0
N BA
M图
M BE q 4a 2a 0
第3章 静定结构
1、静定结构的定义 一个几何不变的结构，在荷载等因素作用下其结构 的全部支座反力和内力均可用静力平衡条件唯一确定的 结构
几何可变体系
体系
几何可变体系
无多余约束 有多余约束
静定结构 超静定结构
静定结构
静力平衡条件 静力平衡条件+变形协调条件
超静定结构
2、静定结构的基本特征 1) 几何组成特征:几何不变无多余约束 2) 静力特征:仅由静力平衡条件就可以确定全部支座反力 和内力 3) 求解条件:仅需满足静力平衡条件
M1Z P 1.5a 0
M1 P 1.5a
Z
计算右截面的内力,也可取截面1以左隔
N1
Z
离体进行分析。在这个隔离体上有集
P
Q1 M1
U
Z
中力矩 2Pa，三个未知力为：
x 0
N1
U
U N1 P U Q1 P 0 U Q1 P
P P
2Pa
y0
1.5a
Q1
U
M1 0
四、按受力特点分类：
1. 梁式桁 架
2. 拱式桁架 竖向荷载下将 产生水平反力
结点法（nodal analysis method）
以只有一个结点的隔离体为研究对象，用 汇交力系的平衡方程求解各杆内力的方法 例1. 求以下桁架各杆的内力
0
-33 34.8 19 19
Y
0 YNAD 11 kN
2
8qa
2
10qa 2
4a
2qa 2
2qa2
4qa2
14qa
2
M图
QDC 0
QDB 0
QBD 6qa
N DC 0
3.2qa
QBE 3.2qa
QBA 0
6qa 8qa
Q图
N DB 0 N BD 0 N BE 2.4qa N BA 10qa
YA 10qa()
3、静力结构的分类 1) 受力特点角度:静定梁、静定刚架、静定拱、静定桁架、 静定组合结构 2) 几何组成角度:悬臂式、简支式、三铰式、组合式
主要任务 ：要求灵活运用隔离体的平衡条件，熟练掌握静定
梁内力图的作法。
分析方法：按构造特点将结构拆成杆单元，把结构的受力分析 问题转化为杆件的受力分析问题。 §3-1 单跨静定梁的内力分析
0
2qa 2qa
2
2
0
D
QDB
M DB
N DB
N DB 0 QDB 0
M DB 2qa
2
D
N BD
10qa 2
N BD 0
QBD 6qa
QBD
6qa
2
M BD 10qa 2
2qa 2
M图
2qa2
C
2qa2 C 6qa
q 3)杆BE
E
3a
x 0
D 2q A 2a 2a 4a B
3、计算原则：先附后基
例3-1 试作图示静定多跨梁的内力图。
解：1)绘传力图
2)求约束力
3)绘剪力图
（＋）
（－）
（－）
4)绘弯矩图
例3-2 试求图示静定两跨梁铰D的位置，使正弯距峰值与负 弯距峰值相等。
解：1)设铰在距B支座x的位置，见图 2)求各跨梁弯距
AD跨最大正弯距： B处最大负弯距： BC跨最大正弯距：
§3-3
桁架内力分析
桁架结构（truss structure）
横梁
主桁架
纵梁
• 实际结构中由于结点并非是理想铰，同时还将 产生弯矩、剪力，但这两种内力相对于轴力的 影响是很小的，故称为次内力（secondary internal forces）。 次内力的影响举例
弦杆 下弦杆
上弦杆
斜杆 竖杆
试求图示K式桁架指定杆1、2、3的轴力
ED杆内力如何求?
§3-4 静定平面刚架
1、刚架的定义 刚架是由若干直杆组成，全部或部分结点为刚结点的 结构。可以分为平面刚架和空间刚架。 2、刚架的类型 1)悬臂式
2)简支式
3)三铰式
4) 组合式
3、平面刚架的内力分析 静定刚架的内力分析，一般先求支座反力和控制截面弯矩， 再用叠加法作弯矩图，然后求各杆的轴力和剪力，作轴力 图和剪力图
M M0 FHy
0 FN FQ sin FH cos 0 FQ FQ cos FH sin
(c)受力特点 有推力 弯小 有轴力
例1 三铰拱及其所受荷载如图所示，拱的轴线为抛物 线 y 4 f x(l x) ,试求支座反力，并绘制内力图。 l
2
2qa 2
2qa2
4qa
2
2
4qa2
14qa2
2qa2 q
14qa
弯矩图
10
也可直接从悬臂端开始计算杆件 8 2qa2
8qa 2
B
10qa 2
6qa 2q
2
2qa 2
4qa2
14qa
2
M图
（4）绘制结构Q图和N图 2qa2 2qa2 C 6qa q E
D
2q A 2a 2a 4a B
3a
6qa
FN2=0
FN=0
FN=0
FN1=0
判断结构中的零杆
FP FP FP/2
FP/ 2
FP
截
面
法
截取桁架的某一局部作为隔离体， 由平面任意力系的平衡方程即可求得未知 的轴力。 对于平面桁架，由于平面任意力系的 独立平衡方程数为3，因此所截断的杆件数 一般不宜超过3
试用截面法求图示桁架指定杆件的内力。
5、三铰拱的合理轴线 拱的合理轴线：在固定荷载作用下使拱处于无弯距状态 的轴线。 求解公式：在竖向荷载作用下，三铰拱的合理轴线使拱 的各截面处于无弯距状态，即
M M FH y 0
0
M y FH
0
结论： (1)三铰拱在沿水平线均匀分布的竖向荷载作用下，合理轴 线为一抛物线。
y
M AD
1 qL x2 8
M BD
q(l x) 1 x qx 2 2 2
Mx1max
1 qL x2 8
由以上三处的弯矩得到：
q(L x) 1 2 1 2 x qx qL x 2 2 8
整理得：
x 0.172L
2 M负max 0.086qL M正max
二、用截面法求指定截面内力
P
计算如图所示结构截面 1 的内力
先计算左截面的内力，可取截面1以左
a
P
2Pa
1
隔离体进行分析。
根据静力平衡条件求截面未知力：
1.5a P 1.5a P
x 0 y0 M1 0
N1Z P Q1Z P 0 Q1Z P M1Z 1.5Pa
U M 1 2 Pa P 1.5a 0
M 1U 0.5Pa
P
a P 1.5a
(a)
计算截面 2 的内力
现取截面 2 左边的隔离体进行 分析，根据三个平衡条件就可得出 截面 2 上的三个未知力：
P
2Pa
3
1
2
P
1.5a
也可取截面 2 右边隔离体计算
P
M2 N2 N2 a
P P
2Pa
对称结构受对称荷载作用, 内力和反 力均为对称:
E 点无荷载,红色杆不受力
FAy
FBy
对称结构受反对称荷载作用, 内力和 反力均为反对称:
垂直对称轴的杆不受力
FAy
FBy
对称轴处的杆不受力
2. 结点单杆 以结点为平衡对象能仅用一个方程 求出内力的杆件，称为结点单杆（nodal single bar）。 利用这个概念，根据荷载状况可判断此杆内力 是否为零。 3. 零杆 零内力杆简称零杆（zero bar）。
例2. 试计算下图所示悬臂刚架的支座反力，并绘制Ｍ、Q和N图。
解：（1）计算支座反力
2qa2 q E
x 0
3a
2q 4a X A 0
C
6qa
X A 8qa
y0 YA 6qa q 4a 0
D 2q B
4a
mA 0
YA 10qa
2qa2 q 4a 2a 6qa 2a 2q 4a 2 a M A 0
YNAD CD 0.5 X NAD AC 1.5
X NAD 3YNAD 33 kN
X 0 FNAC 33 kN
0
-33 34.8 19 -8
-33
19
0
-33 34.8 19 -8
-33 -5.4 37.5 19
-8 kN
YDE CD 0.50 X DE CE 0.75
2.4qa
10qa
N图
X A 8qa()
§ 3-5 三铰拱
1、三铰拱的定义：在竖向荷载作用下，由水平推力产生 的曲杆结构。
2、三铰拱的各部分的名称
3、三铰拱的计算
(1) 支座等高竖向荷载作用下三铰拱内力计算 (a) 支座反力
FHA FHB FH
0 MC FH f
(b)拱内力
q
N BE q 4a sin 0
M BE
QBE
3a 4a
3 N BE 4qa 2.4qa 5 y0
QBE q 4a cos 0 4 QBE 4qa 3.2qa 5
4a
N BE
8qa 2
4）杆AB
mB 0
N BA
M图
M BE q 4a 2a 0
第3章 静定结构
1、静定结构的定义 一个几何不变的结构，在荷载等因素作用下其结构 的全部支座反力和内力均可用静力平衡条件唯一确定的 结构
几何可变体系
体系
几何可变体系
无多余约束 有多余约束
静定结构 超静定结构
静定结构
静力平衡条件 静力平衡条件+变形协调条件
超静定结构
2、静定结构的基本特征 1) 几何组成特征:几何不变无多余约束 2) 静力特征:仅由静力平衡条件就可以确定全部支座反力 和内力 3) 求解条件:仅需满足静力平衡条件
M1Z P 1.5a 0
M1 P 1.5a
Z
计算右截面的内力,也可取截面1以左隔
N1
Z
离体进行分析。在这个隔离体上有集
P
Q1 M1
U
Z
中力矩 2Pa，三个未知力为：
x 0
N1
U
U N1 P U Q1 P 0 U Q1 P
P P
2Pa
y0
1.5a
Q1
U
M1 0
四、按受力特点分类：
1. 梁式桁 架
2. 拱式桁架 竖向荷载下将 产生水平反力
结点法（nodal analysis method）
以只有一个结点的隔离体为研究对象，用 汇交力系的平衡方程求解各杆内力的方法 例1. 求以下桁架各杆的内力
0
-33 34.8 19 19
Y
0 YNAD 11 kN
2
8qa
2
10qa 2
4a
2qa 2
2qa2
4qa2
14qa
2
M图
QDC 0
QDB 0
QBD 6qa
N DC 0
3.2qa
QBE 3.2qa
QBA 0
6qa 8qa
Q图
N DB 0 N BD 0 N BE 2.4qa N BA 10qa
YA 10qa()
3、静力结构的分类 1) 受力特点角度:静定梁、静定刚架、静定拱、静定桁架、 静定组合结构 2) 几何组成角度:悬臂式、简支式、三铰式、组合式
主要任务 ：要求灵活运用隔离体的平衡条件，熟练掌握静定
梁内力图的作法。
分析方法：按构造特点将结构拆成杆单元，把结构的受力分析 问题转化为杆件的受力分析问题。 §3-1 单跨静定梁的内力分析
0
2qa 2qa
2
2
0
D
QDB
M DB
N DB
N DB 0 QDB 0
M DB 2qa
2
D
N BD
10qa 2
N BD 0
QBD 6qa
QBD
6qa
2
M BD 10qa 2
2qa 2
M图
2qa2
C
2qa2 C 6qa
q 3)杆BE
E
3a
x 0
D 2q A 2a 2a 4a B
3、计算原则：先附后基
例3-1 试作图示静定多跨梁的内力图。
解：1)绘传力图
2)求约束力
3)绘剪力图
（＋）
（－）
（－）
4)绘弯矩图
例3-2 试求图示静定两跨梁铰D的位置，使正弯距峰值与负 弯距峰值相等。
解：1)设铰在距B支座x的位置，见图 2)求各跨梁弯距
AD跨最大正弯距： B处最大负弯距： BC跨最大正弯距：
§3-3
桁架内力分析
桁架结构（truss structure）
横梁
主桁架
纵梁
• 实际结构中由于结点并非是理想铰，同时还将 产生弯矩、剪力，但这两种内力相对于轴力的 影响是很小的，故称为次内力（secondary internal forces）。 次内力的影响举例
弦杆 下弦杆
上弦杆
斜杆 竖杆
试求图示K式桁架指定杆1、2、3的轴力
ED杆内力如何求?
§3-4 静定平面刚架
1、刚架的定义 刚架是由若干直杆组成，全部或部分结点为刚结点的 结构。可以分为平面刚架和空间刚架。 2、刚架的类型 1)悬臂式
2)简支式
3)三铰式
4) 组合式
3、平面刚架的内力分析 静定刚架的内力分析，一般先求支座反力和控制截面弯矩， 再用叠加法作弯矩图，然后求各杆的轴力和剪力，作轴力 图和剪力图
M M0 FHy
0 FN FQ sin FH cos 0 FQ FQ cos FH sin
(c)受力特点 有推力 弯小 有轴力
例1 三铰拱及其所受荷载如图所示，拱的轴线为抛物 线 y 4 f x(l x) ,试求支座反力，并绘制内力图。 l