山西省长治市2019-2020学年高考数学二模考试卷含解析
2019-2020年高考数学二模试卷(文科) 含解析
2019-2020年高考数学二模试卷（文科）含解析一、选择题1．设U=R，集合A={y|y=，x＞1}，B={﹣2，﹣1，1，2}，则下列结论正确的是（）A．A∩B={﹣2，﹣1}B．（∁U A）∪B=（﹣∞，0）C．A∪B=（0，+∞）D．（∁U A）∩B={﹣2，﹣1}2．若复数（a∈R，i为虚数单位）是纯虚数，则实数a的值为（）A．﹣2 B．4 C．﹣6 D．63．椭圆x2+my2=1的焦点在y轴上，长轴长是短轴长的两倍，则m的值为（）A． B． C．2 D．44．已知向量=（﹣3cosα，2）与向量=（3，﹣4sinα）平行，则锐角α等于（）A． B． C． D．5．在集合{x|x=，n=1，2，3…，10}中任取一个元素，所取元素恰好满足方程sinx=的概率是（）A． B． C． D．6．已知函数y=log a（x+b）（a，b为常数）的图象如图所示，则函数g（x）=b，x∈[0，3]的最大值是（）A．1 B．b C．b2D．7．若关于x的不等式|x+1|﹣|x﹣2|＞log2a的解集为R，则实数a的取值范围为（）A．（0，8）B．（8，+∞）C．（0，）D．（，+∞）8．若实数x，y满足则z=3x+2y的最小值是（）A．0 B．1 C． D．99．将函数f（x）=Asin（ωx）（A≠0，ω＞0）的图象向左平移个单位，得到的图象关于原点对称，则ω的值可以为（）A．3 B．4 C．5 D．610．设α、β、γ是三个不同的平面，a、b是两条不同的直线，下列四个命题中正确的是（）A．若a∥α，b∥α，则a∥bB．若a⊥α，b⊥β，a⊥b，则α⊥βC．若a∥α，b∥β，a∥b，则α∥βD．若a，b在平面α内的射影互相垂直，则a⊥b11．已知点F（﹣c，0）（c＞0）是双曲线=1的左焦点，离心率为e，过F且平行于双曲线渐近线的直线与圆x2+y2=c2交于点P，且P在抛物线y2=4cx上，则e2=（）A． B． C． D．12．定义域为D的函数f（x）同时满足条件：①常数a，b满足a＜b，区间[a，b]⊆D，②使f（x）在[a，b]上的值域为[at，bt]（t∈N+），那么我们把f（x）叫做[a，b]上的“t级矩形”函数，函数f（x）=x3是[a，b]上的“2级矩形”函数，则满足条件的常数对（a，b）共有（）A．1对B．2对C．3对D．4对二、填空题13．某程序框图如图所示，该程序运行后输出的S的值是_______．_______．．若、、都是正数，且++，则+的最小值为_______．16．已知函数f（x）=x2+4lnx，若存在满足1≤x0≤4的实数x0，使得曲线y=f（x）在点（x0，f（x0））处的切线与直线x+my﹣2=0垂直，则实数m的取值范围是_______．三、解答题（1）求表中x+z的值；（2）某市四月份模考后，市教研室准备从这三所学校的所有高三文科学生中利用随机数表法抽取100人进行成绩统计分析．先将800人按001，002，…，800进行编号．如果从第8行第7列的数开始向右读，请你依次写出最先检测的4个人的编号：（下面摘取了随机数表中第7 918．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是正方形，PD⊥平面ABCD．点E是线段BD 的中点，点F是线段PD上的动点．（Ⅰ）若F是PD的中点，求证：EF∥平面PBC；（Ⅱ）求证：CE⊥BF；（Ⅲ）若AB=2，PD=3，当三棱锥P﹣BCF的体积等于时，试判断点F在边PD上的位置，并说明理由．19．若数列{a n}满足a﹣a=d，其中d为常数，则称数列{a n}为等方差数列．已知等方差数列{a n}满足a n＞0，a1=1，a5=3．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）记b n=na，若不等式kb n＞n（4﹣k）+4对任意的n∈N*恒成立，求实数k的取值范围．20．已知椭圆C： +=1（a＞b＞0）的短轴长为2，且斜率为的直线l过椭圆C的焦点及点（0，﹣2）．（1）求椭圆C的方程；（2）已知一直线m过椭圆C的左焦点F，交椭圆于点P、Q，若直线m与两坐标轴都不垂直，点M在x轴上，且使MF为∠PMQ的一条角平分线，求点M的坐标．21．已知函数f（x）=x（lnx﹣ax）（a∈R），g（x）=f′（x）．（1）若曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线与直线3x﹣y﹣1=0平行，求实数a的值；（2）若函数F（x）=g（x）+x2有两个极值点x1，x2，且x1＜x2，求证：f（x2）﹣1＜f（x1）[选修4-1：几何证明选讲]22．如图，⊙O1与⊙O2相交于A、B两点，AB是⊙O2的直径，过A点作⊙O1的切线交⊙O2于点E，并与BO1的延长线交于点P，PB分别与⊙O1、⊙O2交于C，D两点．求证：（1）PA•PD=PE•PC；（2）AD=AE．[选修4-4：坐标系与参数方程选讲]23．已知直线l的参数方程为（t为参数），在直角坐标系xOy中，以原点O为极点，x轴的非负半轴为极轴，以相同的才长度单位建立极坐标系，设圆M的极坐标方程为：ρ2﹣6ρsinθ=﹣5．（1）求圆M的直角坐标方程；（2）若直线l截圆所得弦长为2，求整数a的值．[选修4-5：不等式选讲]24．已知不等式|x+1|+|x﹣1|＜8的解集为A．（1）求集合A；（2）若∀a，b∈A，x∈（0，+∞），不等式a+b＜x++m恒成立，求实数m的最小值．xx年江西省宜春市高考数学二模试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题1．设U=R，集合A={y|y=，x＞1}，B={﹣2，﹣1，1，2}，则下列结论正确的是（）A．A∩B={﹣2，﹣1}B．（∁U A）∪B=（﹣∞，0）C．A∪B=（0，+∞）D．（∁U A）∩B={﹣2，﹣1}【考点】交、并、补集的混合运算．【分析】求出集合A中函数的值域确定出A，求出A的补集，求出各项的结果，即可做出判断．【解答】解：由A中的函数y=，且x＞1，得到y＞0，即A=（0，+∞），∴∁U A=（﹣∞，0]，∴A∩B={1，2}，（∁U A）∪B=（﹣∞，0]∪{1，2}，A∪B={﹣2，﹣1}∪（0，+∞），（∁U A）∩B={﹣2，﹣1}，故选：D．2．若复数（a∈R，i为虚数单位）是纯虚数，则实数a的值为（）A．﹣2 B．4 C．﹣6 D．6【考点】复数代数形式的乘除运算．【分析】利用复数的运算法则、纯虚数的定义即可得出．【解答】解：复数==是纯虚数，∴=0，0．则实数a=﹣6．故选：C．3．椭圆x2+my2=1的焦点在y轴上，长轴长是短轴长的两倍，则m的值为（）A． B． C．2 D．4【考点】椭圆的简单性质．【分析】根据题意，求出长半轴和短半轴的长度，利用长轴长是短轴长的两倍，解方程求出m 的值．【解答】解：椭圆x2+my2=1的焦点在y轴上，长轴长是短轴长的两倍，∴，故选A．4．已知向量=（﹣3cosα，2）与向量=（3，﹣4sinα）平行，则锐角α等于（）A． B． C． D．【考点】平面向量共线（平行）的坐标表示．【分析】根据向量的平行的条件以及二倍角公式即可判断．【解答】解：∵向量=（﹣3cosα，2）与向量=（3，﹣4sinα）平行∴12sinαcosα﹣6=0，即sin2α=1，∵α为锐角α，∴α=，故选：B．5．在集合{x|x=，n=1，2，3…，10}中任取一个元素，所取元素恰好满足方程sinx=的概率是（）A． B． C． D．【考点】列举法计算基本事件数及事件发生的概率．【分析】先求出基本事件总数，再求出所取元素恰好满足方程sinx=的基本事件个数，由此能求出所取元素恰好满足方程sinx=的概率．【解答】解：在集合{x|x=，n=1，2，3…，10}中任取一个元素，基本事件总数为10，所取元素恰好满足方程sinx=的基本事件为x=和x=，∴所取元素恰好满足方程sinx=的概率p=．故选：A．6．已知函数y=log a（x+b）（a，b为常数）的图象如图所示，则函数g（x）=b，x∈[0，3]的最大值是（）A．1 B．b C．b2D．【考点】函数的图象；函数的最值及其几何意义；二次函数的性质．【分析】根据已知中函数的图象，可得b∈（0，1），结合二次函数的图象和性质，指数函数的图象和性质，及复合函数的单调性，可得答案．【解答】解：∵函数y=log a（x+b）（a，b为常数）的零点位于（0，1）上，故b∈（0，1），当x∈[0，3]时，x2﹣2x在x=1时取最小值﹣1，此时g（x）=b取最大值，故选：D7．若关于x的不等式|x+1|﹣|x﹣2|＞log2a的解集为R，则实数a的取值范围为（）A．（0，8）B．（8，+∞）C．（0，）D．（，+∞）【考点】绝对值三角不等式．【分析】令f（x）=|x+1|﹣|x﹣2|，依题意，log2a＜f（x）min，解之即可得实数a的取值范围．【解答】解：令f（x）=|x+1|﹣|x﹣2||，∵不等式|x+1|﹣|x﹣2|＞log2a的解集为R，∴log2a＜|x+1|﹣|x﹣2|对任意实数恒成立，∴log2a＜f（x）min；∵f（x）=||x+1|﹣|x﹣2||≤|（x+1）﹣（x﹣2）|=3，∴f（x）min=3﹣．∴log2a＜﹣3，∴0＜a＜．故选：C．8．若实数x，y满足则z=3x+2y的最小值是（）A．0 B．1 C． D．9【考点】简单线性规划的应用．【分析】本题考查的知识点是线性规划，处理的思路为：根据已知的约束条件画出满足约束条件的可行域，再用角点法，求出目标函数的最大值．【解答】解：约束条件对应的平面区域如图示：由图可知当x=0，y=0时，目标函数Z有最小值，Z min=3x+2y=30=1故选B9．将函数f（x）=Asin（ωx）（A≠0，ω＞0）的图象向左平移个单位，得到的图象关于原点对称，则ω的值可以为（）A．3 B．4 C．5 D．6【考点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．【分析】根据图象平移关系以及三角函数的对称性建立方程关系进行求解即可．【解答】解：f（x）=Asin（ωx）（A≠0，ω＞0）的图象向左平移个单位，得到y=Asinω（x+）=Asin（ωx+ω），若图象关于原点对称，则ω=kπ，即ω=6k，k∈Z当k=1时，ω=6，故选：D．10．设α、β、γ是三个不同的平面，a、b是两条不同的直线，下列四个命题中正确的是（）A．若a∥α，b∥α，则a∥bB．若a⊥α，b⊥β，a⊥b，则α⊥βC．若a∥α，b∥β，a∥b，则α∥βD．若a，b在平面α内的射影互相垂直，则a⊥b【考点】空间中直线与平面之间的位置关系．【分析】在A中，a与b相交、平行或异面；在B中，由面面垂直的判定定理得α⊥β；在C 中，α与β相交或平行；在D中，a与b相交、平行或异面．【解答】解：由α、β、γ是三个不同的平面，a、b是两条不同的直线，知：在A中，若a∥α，b∥α，则a与b相交、平行或异面，故A错误；在B中，若a⊥α，b⊥β，a⊥b，则由面面垂直的判定定理得α⊥β，故B正确；在C中，若a∥α，b∥β，a∥b，则α与β相交或平行，故C错误；在D中，若a，b在平面α内的射影互相垂直，则a与b相交、平行或异面，故D错误．故选：B．11．已知点F（﹣c，0）（c＞0）是双曲线=1的左焦点，离心率为e，过F且平行于双曲线渐近线的直线与圆x2+y2=c2交于点P，且P在抛物线y2=4cx上，则e2=（）A． B． C． D．【考点】双曲线的简单性质．【分析】利用抛物线的性质、双曲线的渐近线、直线平行的性质、圆的性质、相似三角形的性质即可得出．【解答】解：如图，设抛物线y2=4cx的准线为l，作PQ⊥l于Q，设双曲线的右焦点为F′，P（x，y）．由题意可知FF′为圆x2+y2=c2的直径，∴PF′⊥PF，且tan∠PFF′=，|FF′|=2c，满足，将①代入②得x2+4cx﹣c2=0，则x=﹣2c±c，即x=（﹣2）c，（负值舍去）代入③，即y=，再将y代入①得，==e2﹣1即e2=1+=．故选：D．12．定义域为D的函数f（x）同时满足条件：①常数a，b满足a＜b，区间[a，b]⊆D，②使f（x）在[a，b]上的值域为[at，bt]（t∈N+），那么我们把f（x）叫做[a，b]上的“t级矩形”函数，函数f（x）=x3是[a，b]上的“2级矩形”函数，则满足条件的常数对（a，b）共有（）A．1对B．2对C．3对D．4对【考点】函数的值域．【分析】函数f（x）=x3是[a，b]上的“2级矩阵”函数，即满足条件①常数a，b满足a＜b，区间[a，b]⊆D，②使f（x）在[a，b]上的值域为[at，bt]，利用函数f（x）=x3是[a，b]上的单调增函数，即可求得满足条件的常数对．【解答】解：由题意，函数f（x）=x3是[a，b]上的“2级矩阵”函数，即满足条件①常数a，b满足a＜b，区间[a，b]⊆D，②使f（x）在[a，b]上的值域为[at，bt]，∵函数f（x）=x3是[a，b]上的单调增函数，∴，∴满足条件的常数对（a，b）为（﹣，0），（﹣，），（0，），故选：C．二、填空题13．某程序框图如图所示，该程序运行后输出的S的值是．【考点】程序框图．【分析】分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是利用循环计算并输出S值．模拟程序的运行过程，用表格对程序运行过程中各变量的值进行分析，不难得到最终的输出结果．【解答】解：程序在运行过程中各变量的值如下表示：是否继续循环S i循环前/2 1第一圈是﹣3 2第二圈是﹣ 3第三圈是 4第四圈是 2 5第五圈是﹣3 6…依此类推，S的值呈周期性变化：2，﹣3，﹣，，2，﹣3，…第xx圈是﹣2011第2011圈否故最终的输出结果为：﹣，故答案为：﹣．14．一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体的表面积与其外接球面积之比为．【考点】由三视图求面积、体积．【分析】几何体是一个组合体，是由两个完全相同的四棱锥底面重合组成，四棱锥的底面是边长是1的正方形，四棱锥的高是，根据求和几何体的对称性得到几何体的外接球的直径是，求出表面积及球的表面积即可得出比值．【解答】解：由三视图知，几何体是一个组合体，是由两个完全相同的四棱锥底面重合组成，四棱锥的底面是边长是1的正方形，四棱锥的高是，斜高为，这个几何体的表面积为8×1×=2∴根据几何体和球的对称性知，几何体的外接球的直径是四棱锥底面的对角线是，∴外接球的表面积是4×π（）2=2π则这个几何体的表面积与其外接球面积之比为=故答案为：．15．若a、b、c都是正数，且a+b+c=2，则+的最小值为3．【考点】基本不等式．【分析】由题意可得a+1+b+c=3，得到+=（+）（a+1+b+c），由基本不等式求最值可得．【解答】解：a，b，c都是正数，且a+b+c=2，∴a+1+b+c=3，且a+1＞0，且b+c＞0，∴+=（+）（a+1+b+c）= [5++]≥ [5+2]=3当且仅当=，即a=1且b+c=2时取等号，故答案为：3．16．已知函数f（x）=x2+4lnx，若存在满足1≤x0≤4的实数x0，使得曲线y=f（x）在点（x0，f（x0））处的切线与直线x+my﹣2=0垂直，则实数m的取值范围是[4，9]．【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】求出函数的导数，求出切线的斜率，再由两直线垂直斜率之积为﹣1，得到2x0+=m，再由基本不等式求出左边的最小值，代入端点1和4，比较得到最大值．【解答】解：函数f（x）=x2+4lnx的导数为f′（x）=2x+（x＞0）．曲线f（x）在点（x0，f（x0））处的切线斜率为2x0+，由于切线垂直于直线x+my﹣2=0，则有2x0+=m，由于1≤x0≤4，则由2x0+≥2=4，当且仅当x0=∈[1，4]，取得最小值4；当x0=4时，取得最大值9．故m的取值范围是[4，9]．故答案为：[4，9]．三、解答题（1）求表中x+z的值；（2）某市四月份模考后，市教研室准备从这三所学校的所有高三文科学生中利用随机数表法抽取100人进行成绩统计分析．先将800人按001，002，…，800进行编号．如果从第8行第7列的数开始向右读，请你依次写出最先检测的4个人的编号：（下面摘取了随机数表中第7【考点】列举法计算基本事件数及事件发生的概率；系统抽样方法．【分析】（1）利用在三所高中的所有高三文科学生中随机抽取1人，抽到乙高中女生的概率为0.2，求出表中y的值，再很据总数，求的x+z的值；（2）根据从第8行第7列的数开始向右读，即可写出最先检测的4个人的编号；（3）“丙校高三文科生中的男生比女生人数多”为事件A，其中男女生数即为（x，z），一一列举所有的基本事件，根据概率公式计算即可【解答】解：（1）∵在所有高三文科学生中随机抽取1人，抽到乙高中女生的概率为0.2，∴y=800×0.2=160，则x+z=800﹣（97+153+90+160）=300，…（2）最先检测的4个人的编号为165、538、707、175；…（3）设：“丙校高三文科生中的男生比女生人数多”为事件A，其中男女生数即为（x，z）由（1）知，x+z=300，x≥145，z≥145，满足条件的（x，z）有，，，，，，，，，，共11组，且每组出现的可能性相同，其中事件A包含的基本事件有：，，，，，共5组，∴丙高中学校中的女生比男生人数多的概率为P（A）=．…18．如图，在四棱锥P ﹣ABCD 中，底面ABCD 是正方形，PD ⊥平面ABCD ．点E 是线段BD 的中点，点F 是线段PD 上的动点．（Ⅰ）若F 是PD 的中点，求证：EF ∥平面PBC ；（Ⅱ）求证：CE ⊥BF ；（Ⅲ）若AB=2，PD=3，当三棱锥P ﹣BCF 的体积等于时，试判断点F 在边PD 上的位置，并说明理由．【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积；直线与平面平行的判定．【分析】（Ⅰ）利用三角形的中位线的性质证明EF ∥PB ，利用线面平行的判定定理，证明：EF ∥平面PBC ；（Ⅱ）证明CE ⊥平面PBD ，即可证明：CE ⊥BF ；（Ⅲ）设PF=x ．由AB=2得BD=2，CE=，所以V P ﹣BCF =V C ﹣BPF ===，即可得出结论．【解答】（Ⅰ）证明：在△PDB 中，因为点E 是BD 中点，点F 是PD 中点，所以EF ∥PB ．又因为EF ⊄平面PBC ，PB ⊂平面PBC ，所以EF ∥平面PBC ．…（Ⅱ）证明：因为PD ⊥平面ABCD ，且CE ⊂平面ABCD ，所以PD ⊥CE ．又因为底面ABCD 是正方形，且点E 是BD 的中点，所以CE ⊥BD ．因为BD ∩PD=D ，所以CE ⊥平面PBD ，而BF ⊂平面PCD ，所以CE ⊥BF ． …（Ⅲ）解：点F 为边PD 上靠近D 点的三等分点．说明如下：由（Ⅱ）可知，CE ⊥平面PBF ．又因为PD ⊥平面ABCD ，BD ⊂平面ABCD ，所以PD ⊥BD ．设PF=x ． 由AB=2得BD=2，CE=，所以V P ﹣BCF =V C ﹣BPF ===．由已知=，所以x=2．因为PD=3，所以点F 为边PD 上靠近D 点的三等分点．…19．若数列{a n}满足a﹣a=d，其中d为常数，则称数列{a n}为等方差数列．已知等方差数列{a n}满足a n＞0，a1=1，a5=3．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）记b n=na，若不等式kb n＞n（4﹣k）+4对任意的n∈N*恒成立，求实数k的取值范围．【考点】数列与不等式的综合；数列递推式．【分析】（1）要求数列的通项公式，我们根据数列{a n}为等方差数列，且a1=1，a5=3．我们根据等方差数列的定义：a n+12﹣a n2=d我们可以构造一个关于d的方程，解方程求出公差d，进而求出数列的通项公式；（2）求得b n的通项公式，代入kb n＞n（4﹣k）+4，分离k的取值范围，根据n的取值范围，求得k的取值范围．【解答】解：（1）由a12=1，a52=9．得，a52﹣a12=4d，∴d=2．…a n2=1+（n﹣1）×2=2n﹣1，∵a n＞0，∴a n=，数列{a n}的通项公式为a n=；…（2）由（1）知记b n=na n2，=2n2﹣n不等式kb n＞n（4﹣k）+4恒成立，即kn2﹣2n﹣2＞0对于一切的n∈N*恒成立．∴k＞+，…又n≥1， +≤4．…∴k＞4，∴不等式kb n＞n（4﹣k）+4对任意的n∈N*恒成立，实数k的取值范围是：k∈（4，+∞）．…20．已知椭圆C： +=1（a＞b＞0）的短轴长为2，且斜率为的直线l过椭圆C的焦点及点（0，﹣2）．（1）求椭圆C的方程；（2）已知一直线m过椭圆C的左焦点F，交椭圆于点P、Q，若直线m与两坐标轴都不垂直，点M在x轴上，且使MF为∠PMQ的一条角平分线，求点M的坐标．【考点】椭圆的简单性质．【分析】（1）直线l的方程为y=，焦点坐标为（2，0），又椭圆C的短轴长为2，由此能求出椭圆C的方程．（2）设点M（m，0），左焦点为F（﹣2，0），设直线PQ的方程为x=，与椭圆联立，得（）y2﹣﹣2=0，由此利用韦达定理、角平分线性质、椭圆性质，结合已条条件能求出点M坐标．【解答】解：（1）由题意可知，直线l的方程为y=，…∵直线l过椭圆C的焦点，∴该焦点坐标为（2，0），∴c=2，又椭圆C的短轴长为2，∴b=，∴a2=b2+c2=4+2=6，∴椭圆C的方程为．…（2）设点M（m，0），左焦点为F（﹣2，0），可设直线PQ的方程为x=，由，消去x，得（）y2﹣﹣2=0，设P（x1，y1），Q（x2，y2），则y1+y2=，y1•y2=，…∵MF为∠PMQ的一条角平分线，∴k PM+k QM=0，即+=0，…又，，代入上式可得，∴，解得m=﹣3，∴点M（﹣3，0）．…21．已知函数f（x）=x（lnx﹣ax）（a∈R），g（x）=f′（x）．（1）若曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线与直线3x﹣y﹣1=0平行，求实数a的值；（2）若函数F（x）=g（x）+x2有两个极值点x1，x2，且x1＜x2，求证：f（x2）﹣1＜f（x1）【考点】利用导数研究函数的极值；利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】（1）利用导数的几何意义求切线斜率，解a；（2）利用极值点与其导数的关系求出a的范围，进一步求出f（x）的解析式，通过求导判断其单调性以及最值．【解答】解：（1）∵f′（x）=ln x﹣2ax+1，∴f′（1）=1﹣2a因为3x﹣y﹣1=0的斜率为3．依题意，得1﹣2a=3；则a=﹣1．…（2）证明：因为F（x）=g（x）+x2=ln x﹣2ax+1+x2，所以F′（x）=﹣2a+x=（x＞0），函数F（x）=g（x）+x2有两个极值点x1，x2且x1＜x2，即h（x）=x2﹣2ax+1在（0，+∞）上有两个相异零点x1，x2．∵x1x2=1＞0，∴∴a＞1．…当0＜x＜x1或x＞x2时，h（x）＞0，F′（x）＞0．当x1＜x＜x2时，h（x）＜0，F′（x）＜0．所以F（x）在（0，x1）与（x2，+∞）上是增函数，在区间（x1，x2）上是减函数．因为h（1）=2﹣2a＜0，所以0＜x1＜1＜a＜x2，令x2﹣2ax+1=0，得a=，∴f（x）=x（ln x﹣ax）=xln x﹣x3﹣x，则f′（x）=ln x﹣x2+，设s（x）=ln x﹣x2+，s′（x）=﹣3x=，…①当x＞1时，s′（x）＜0，s（x）在（1，+∞）上单调递减，从而函数s（x）在（a，+∞）上单调递减，∴s（x）＜s（a）＜s（1）=﹣1＜0，即f′（x）＜0，所以f（x）在区间（1，+∞）上单调递减．故f（x）＜f（1）=﹣1＜0．又1＜a＜x2，因此f（x2）＜﹣1．…②当0＜x＜1时，由s′（x）=＞0，得0＜x＜．由s′（x）=＜0，得＜x＜1，所以s（x）在[0，]上单调递增，s（x）在[，1]上单调递减，∴s（x）≤s max=ln＜0，∴f（x）在（0，1）上单调递减，∴f（x）＞f（1）=﹣1，∵x1∈（0，1），从而有f（x1）＞﹣1．综上可知：f（x2）＜﹣1＜f（x1）．…[选修4-1：几何证明选讲]22．如图，⊙O1与⊙O2相交于A、B两点，AB是⊙O2的直径，过A点作⊙O1的切线交⊙O2于点E，并与BO1的延长线交于点P，PB分别与⊙O1、⊙O2交于C，D两点．求证：（1）PA•PD=PE•PC；（2）AD=AE．【考点】与圆有关的比例线段．【分析】（1）根据切割线定理，建立两个等式，即可证得结论；（2）连接AC、ED，设DE与AB相交于点F，证明AC是⊙O2的切线，可得∠CAD=∠AED，由（1）知，可得∠CAD=∠ADE，从而可得∠AED=∠ADE，即可证得结论．【解答】证明：（1）∵PE、PB分别是⊙O2的割线∴PA•PE=PD•PB又∵PA、PB分别是⊙O1的切线和割线∴PA2=PC•PB由以上条件得PA•PD=PE•PC（2）连接AC、ED，设DE与AB相交于点F∵BC是⊙O1的直径，∴∠CAB=90°∴AC是⊙O2的切线．由（1）知，∴AC∥ED，∴AB⊥DE，∠CAD=∠ADE又∵AC是⊙O2的切线，∴∠CAD=∠AED又∠CAD=∠ADE，∴∠AED=∠ADE∴AD=AE[选修4-4：坐标系与参数方程选讲]23．已知直线l的参数方程为（t为参数），在直角坐标系xOy中，以原点O为极点，x轴的非负半轴为极轴，以相同的才长度单位建立极坐标系，设圆M的极坐标方程为：ρ2﹣6ρsinθ=﹣5．（1）求圆M的直角坐标方程；（2）若直线l截圆所得弦长为2，求整数a的值．【考点】参数方程化成普通方程；简单曲线的极坐标方程．【分析】（1）由圆M的极坐标方程为：ρ2﹣6ρsinθ=﹣5，利用ρ2=x2+y2，x=ρcosθ，y=ρsinθ，可得直角坐标方程．通过配方可得圆心M，半径r．（2）把直线l的参数方程为（t为参数）化为普通方程，利用点到直线的距离公式可得圆心M （0，3）到直线l的距离d，利用弦长公式即可得出．【解答】解：（1）∵圆M的极坐标方程为：ρ2﹣6ρsinθ=﹣5．可得直角坐标方程：x2+y2﹣6y=﹣5，配方为：x2+（y﹣3）2=4．∴圆M 的直角坐标方程为：：x2+（y﹣3）2=4．圆心M（0，3），半径r=2．（2）把直线l的参数方程为（t为参数）化为普通方程得：3x+4y﹣3a+4=0，∵直线l截圆M 所得弦长为2，且圆M 的圆心M （0，3）到直线l的距离d==．∴=22﹣，化为：16﹣3a=±5，解得a=或7．又a∈Z，∴a=7．[选修4-5：不等式选讲]24．已知不等式|x+1|+|x﹣1|＜8的解集为A．（1）求集合A；（2）若∀a，b∈A，x∈（0，+∞），不等式a+b＜x++m恒成立，求实数m的最小值．【考点】绝对值三角不等式；函数恒成立问题．【分析】（1）分x＜﹣1，﹣1≤x≤1，x＞1三种情况去绝对值符号将不等式转化为一元一次不等式求解；（2）分别求出a+b和x++m的范围，令a+b的最大值小于x++m的最小值即可．【解答】解：（1）①当x＜﹣1时，﹣x﹣1﹣x+1＜8，解得﹣4＜x＜﹣1；②当﹣1≤x≤1时，x+1﹣x+1＜8，恒成立；③当x＞1时，x+1+x﹣1＜8，解得1＜x＜4．综上，A=（﹣4，4）…（2）由（1）知：a，b∈（﹣4，4），∴a+b∈（﹣8，8）．又x∈（0，+∞）时，x+≥2=6，（当且仅当x=3时等号成立）…；∴依题意得：6+m≥8，∴m≥2，故实数m的最小值为2…xx年9月8日。
2019-2020学年山西省重点中学协作体高考数学二模试卷(有答案)
山西省重点中学协作体高考数学二模试卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．直线x=1的倾斜角是（）A．0 B．C．D．不存在2．过圆（x﹣1）2+y2=3的圆心，且与直线x﹣2y﹣2=0垂直的直线方程是（）A．x﹣2y﹣1=0 B．x﹣2y+1=0 C．2x+y﹣2=0 D．x+2y﹣1=03．设集合A={x|x2﹣3x＜0}，B={x||x|＜2}，则A∩B=（）A．{x|2＜x＜3} B．{x|﹣2＜x＜0} C．{x|0＜x＜2} D．{x|﹣2＜x＜3}4．设f（x）=3x+3x﹣8，用二分法求方程3x+3x﹣8=0在x∈（1，2）内近似解的过程中得f（1）＜0，f（1.5）＞0，f（1.25）＜0，则方程的根落在区间（）A．（1，1.25）B．（1.25，1.5） C．（1.5，2）D．不能确定5．一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A．2 B．C．D．6．直线kx﹣y+1=3k，当k变动时，所有直线都通过定点（）A．（0，0）B．（0，1）C．（3，1）D．（2，1）7．将函数f（x）=cos2x的图象向右平移个单位后得到函数g（x），则g（x）具有性质（）A．最大值为1，图象关于直线x=对称B．在（0，）上单调递增，为奇函数C．在（﹣，）上单调递增，为偶函数D．周期为π，图象关于点（，0）对称8．已知A ，B 分别是双曲线C ：﹣=1（a ＞0，b ＞0）的左、右顶点，P 是双曲线C 右支上位于第一象限的动点，设PA ，PB 的斜率分别为k 1，k 2，则k 1+k 2的取值范围为（ ） A ．（，+∞） B ．（，+∞）C ．[，+∞）D ．[，）9．执行如图所示的程序框图，输出的结果是（ ）A ．15B ．21C ．24D ．3510．函数y=x 2+x 在x=1到x=1+△x 之间的平均变化率为（ ） A ．△x+2B ．2△x+（△x ）2C ．△x+3D ．3△x+（△x ）211．已知l ，m 是两条不同的直线，α是一个平面，则下列命题正确的是（ ） A ．若l ∥α，m ∥α，则l ∥m B ．若l ⊥m ，m ∥α，则l ⊥α C ．若l ⊥α，m ⊥α，则l ∥m D ．若l ⊥m ，l ⊥α，则m ∥α12．已知函数y=f （x ）（x ∈R ）满足f （x+2）=2f （x ），且x ∈[﹣1，1]时，f （x ）=﹣|x|+1，则当x ∈[﹣10，10]时，y=f （x ）与g （x ）=log 4|x|的图象的交点个数为（ ） A ．13 B ．12 C ．11 D ．10二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分．）13．m=﹣1是直线mx+（2m ﹣1）y+1=0和直线3x+my+3=0垂直的______（充要条件，充分条件，必要条件，非充分非必要条件）14．已知正数x 、y ，满足+=1，则x+2y 的最小值______．15．若x ，y 满足约束条件，则的最大值为______．16．已知函数，，给出下列结论：①函数f （x ）的值域为；②函数g （x ）在[0，1]上是增函数；③对任意a ＞0，方程f （x ）=g （x ）在[0，1]内恒有解；④若存在x 1，x 2∈[0，1]，使得f （x 1）=g （x 2）成立，则实数a 的取值范围是．其中所有正确结论的序号是______．三、解答题：本大题共5小题，共70分．其中17-21为必考题，22-24为选做题；解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程． 17．在数列{a n }中，a 1=1，a 2=，a n+1﹣a n +a n ﹣1=0（n ≥2，且n ∈N *）（1）若数列{a n+1+λa n }是等比数列，求实数λ； （2）求数列{a n }的前n 项和S n ．18．现对某市工薪阶层关于“楼市限购令”的态度进行调查，随机抽调了50人，他们月收入的频数分布及对楼市“楼市限购令”赞成人数如下表． 月收入（单位百元） [15，25） [25，35） [35，45） [45，55） [55，65） [65，75） 频数 5 10 15 10 5 5 赞成人数4812521（Ⅰ）由以上统计数据填下面2乘2列联表并问是否有99%的把握认为“月收入以5500为分界点对“楼市限购令”的态度有差异； 月收入不低于55百元的人数 月收入低于55百元的人数 合计 赞成 a=______ c=______ ______ 不赞成 b=______ d=______ ______ 合计__________________（Ⅱ）若对在[15，25），[25，35）的被调查中各随机选取两人进行追踪调查，记选中的4人中不赞成“楼市限购令”人数为ξ，求随机变量ξ的分布列及数学期望．19．如图，在四棱锥P ﹣ABCD 中，AD ∥BC ，且BC=2AD ，AD ⊥CD ，PB ⊥CD ，点E 在棱PD 上，且PE=2ED ． （1）求证：平面PCD ⊥平面PBC ； （2）求证：PB ∥平面AEC ．20．已知椭圆的离心率为，且过点，其长轴的左右两个端点分别为A ，B ，直线l ：y=x+m 交椭圆于两点C ，D ． （Ⅰ）求椭圆的标准方程；（Ⅱ）设直线AD ，CB 的斜率分别为k 1，k 2，若k 1：k 2=2：1，求m 的值． 21．已知函数f （x ）=x ﹣aln （x+1）（1）试探究函数f （x ）在（0，+∞）上的极值；（2）若对任意的x ∈[1，2]，f （x ）≥x 2恒成立，求实数a 的取值范围．四.选做题：考生在22、23、24三大题中任选一大题作答，满分10分．[选修4-1：几何证明选讲] 22．如图，圆O 的直径AB=10，P 是AB 延长线上一点，BP=2，割线PCD 交圆O 于点C ，D ，过点P 做AP 的垂线，交直线AC 于点E ，交直线AD 于点F ． （1）求证：∠PEC=∠PDF ； （2）求PE•PF 的值．[选修4-4：坐标系与参数方程]23．以坐标原点为极点x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线，点A 的极坐标为，直线l 的极坐标方程为，且点A 在直线l 上．（1）求曲线C 1的极坐标方程和直线l 的直角坐标方程；（2）设l 向左平移6个单位后得到l′，l′与C 1的交点为M ，N ，求l′的极坐标方程及|MN|的长．[选修4-5：不等式选讲]24．已知关于x的不等式|x﹣|+|x﹣1|≥（a＞0）．（1）当a=1时，求此不等式的解集；（2）若此不等式的解集为R，求实数a的取值范围．山西省重点中学协作体高考数学二模试卷参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．直线x=1的倾斜角是（）A．0 B．C．D．不存在【考点】直线的倾斜角．【分析】由于直线x=1与x轴垂直，即可得出直线的倾斜角．【解答】解：∵直线x=1与x轴垂直，因此倾斜角是．故选：C．2．过圆（x﹣1）2+y2=3的圆心，且与直线x﹣2y﹣2=0垂直的直线方程是（）A．x﹣2y﹣1=0 B．x﹣2y+1=0 C．2x+y﹣2=0 D．x+2y﹣1=0【考点】直线的一般式方程与直线的垂直关系；圆的标准方程．【分析】设与直线x﹣2y﹣2=0垂直的直线方程是2x+y+m=0，把圆心（1，0）代入解得m即可得出．【解答】解：设与直线x﹣2y﹣2=0垂直的直线方程是2x+y+m=0，把圆心（1，0）代入可得2+0+m=0，解得m=﹣2．∴要求的直线方程为：2x+y﹣2=0．故选：C．3．设集合A={x|x2﹣3x＜0}，B={x||x|＜2}，则A∩B=（）A．{x|2＜x＜3} B．{x|﹣2＜x＜0} C．{x|0＜x＜2} D．{x|﹣2＜x＜3}【考点】交集及其运算．【分析】求出A与B中不等式的解集分别确定出A与B，找出两集合的交集即可．【解答】解：由题意可知A={x|0＜x＜3}，B={x|﹣2＜x＜2}，∴A∩B={x|0＜x＜2}．故选：C．4．设f（x）=3x+3x﹣8，用二分法求方程3x+3x﹣8=0在x∈（1，2）内近似解的过程中得f（1）＜0，f（1.5）＞0，f（1.25）＜0，则方程的根落在区间（）A．（1，1.25）B．（1.25，1.5） C．（1.5，2）D．不能确定【考点】二分法求方程的近似解．【分析】由已知“方程3x+3x﹣8=0在x∈（1，2）内近似解”，且具体的函数值的符号也已确定，由f（1.5）＞0，f（1.25）＜0，它们异号．【解答】解析：∵f（1.5）•f（1.25）＜0，由零点存在定理，得，∴方程的根落在区间（1.25，1.5）．故选B．5．一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A．2 B．C．D．【考点】由三视图求面积、体积．【分析】由已知中的三视图，我们可以判断出该几何体的几何特征，及几何体的形状，求出棱长、高等信息后，代入体积公式，即可得到答案．【解答】解：由图可知该几何体是一个四棱锥其底面是一个对角线为2的正方形，面积S=×2×2=2，高为1则V==故选C6．直线kx﹣y+1=3k，当k变动时，所有直线都通过定点（）A．（0，0）B．（0，1）C．（3，1）D．（2，1）【考点】过两条直线交点的直线系方程．【分析】将直线的方程变形为k（x﹣3）=y﹣1 对于任何k∈R都成立，从而有，解出定点的坐标．【解答】解：由kx﹣y+1=3k得k（x﹣3）=y﹣1对于任何k∈R都成立，则，解得 x=3，y=1，故直线经过定点（3，1），故选 C．7．将函数f （x ）=cos2x 的图象向右平移个单位后得到函数g （x ），则g （x ）具有性质（ ）A ．最大值为1，图象关于直线x=对称B ．在（0，）上单调递增，为奇函数C ．在（﹣，）上单调递增，为偶函数D ．周期为π，图象关于点（，0）对称【考点】函数y=Asin （ωx +φ）的图象变换．【分析】由条件根据诱导公式、函数y=Asin （ωx +φ）的图象变换规律，求得g （x ）的解析式，再利用正弦函数的图象性质得出结论．【解答】解：将函数f （x ）=cos2x 的图象向右平移个单位后得到函数g （x ）=cos2（x ﹣）=sin2x 的图象， 故当x ∈（0，）时，2x ∈（0，），故函数g （x ）在（0，）上单调递增，为奇函数，故选：B ．8．已知A ，B 分别是双曲线C ：﹣=1（a ＞0，b ＞0）的左、右顶点，P 是双曲线C 右支上位于第一象限的动点，设PA ，PB 的斜率分别为k 1，k 2，则k 1+k 2的取值范围为（ ） A ．（，+∞） B ．（，+∞）C ．[，+∞）D ．[，）【考点】双曲线的简单性质．【分析】由题意可得A （﹣a ，0），B （a ，0），设P （m ，n ），代入双曲线的方程，运用直线的斜率公式可得k 1k 2=，k 1，k 2＞0，再由基本不等式即可得到k 1+k 2的取值范围．【解答】解：由题意可得A （﹣a ，0），B （a ，0），设P （m ，n ）， 可得﹣=1，即有=，可得k 1k 2=•==，k 1，k 2＞0，则k 1+k 2≥2=，由A ，B 为左右顶点，可得k 1≠k 2，则k1+k2＞，故选：A．9．执行如图所示的程序框图，输出的结果是（）A．15 B．21 C．24 D．35【考点】程序框图．【分析】根据所给数值判定是否满足判断框中的条件，然后执行循环语句，一旦满足条件就退出循环，从而到结论．【解答】解：模拟执行程序，可得S=0，i=1T=3，S=3，i=2不满足i＞4，T=5，S=8，i=3不满足i＞4，T=7，S=15，i=4不满足i＞4，T=9，S=24，i=5满足i＞4，退出循环，输出S的值为24．故选：C．10．函数y=x2+x在x=1到x=1+△x之间的平均变化率为（）A．△x+2 B．2△x+（△x）2C．△x+3 D．3△x+（△x）2【考点】变化的快慢与变化率．【分析】直接代入函数的平均变化率公式进行化简求解．【解答】解：△y=（1+△x）2+1+△x﹣1﹣1=△x2+3△x，∴=△x+3，故选：C．11．已知l，m是两条不同的直线，α是一个平面，则下列命题正确的是（）A．若l∥α，m∥α，则l∥m B．若l⊥m，m∥α，则l⊥αC．若l⊥α，m⊥α，则l∥m D．若l⊥m，l⊥α，则m∥α【考点】空间中直线与平面之间的位置关系．【分析】利用线面平行的性质定理和判定定理对四个选项分别分析解答．【解答】解：对于A，若l∥α，m∥α，则l与m的位置关系可能为平行、相交或者异面；故A错误；对于B，若l⊥m，m∥α，则l与α平行或者相交；故B 错误；对于C，若l⊥α，m⊥α，利用线面创造的性质可得l∥m；故C正确；对于D，若l⊥m，l⊥α，则m∥α或者m⊂α；故D错误；故选C．12．已知函数y=f（x）（x∈R）满足f（x+2）=2f（x），且x∈[﹣1，1]时，f（x）=﹣|x|+1，则当x∈[﹣|x|的图象的交点个数为（）10，10]时，y=f（x）与g（x）=log4A．13 B．12 C．11 D．10【考点】对数函数图象与性质的综合应用；函数的图象．【分析】在同一坐标系中画出函数f（x）与函数y=log|x|的图象，结合图象容易解答本题．4【解答】解：由题意，函数f（x）满足：定义域为R，且f（x+2）=2f（x），当x∈[﹣1，1]时，f（x）=﹣|x|+1；|x|的图象，如图：在同一坐标系中画出满足条件的函数f（x）与函数y=log4由图象知，两个函数的图象在区间[﹣10，10]内共有11个交点；故选：C．二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分．）13．m=﹣1是直线mx+（2m﹣1）y+1=0和直线3x+my+3=0垂直的充分条件（充要条件，充分条件，必要条件，非充分非必要条件）【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】由题设条件，可分两步研究本题，先探究m=﹣1时直线mx+（2m﹣1）y+1=0和直线3x+my+3=0互相垂直是否成立，再探究直线mx+（2m﹣1）y+1=0和直线3x+my+3=0互相垂直时m的可能取值，再依据充分条件必要条件做出判断，得出答案．【解答】解：当m=﹣1时，两直线的方程mx+（2m﹣1）y+1=0，与3x+my+3=0，化为﹣x﹣3y+1=0和3x﹣y+3=0，可得出此两直线是垂直的，当两直线垂直时，①当m=0时，符合题意，②当m≠0时，两直线的斜率分别是﹣与，由两直线垂直得﹣得m=﹣1，由上知，“m=﹣1”可得出直线mx+（2m﹣1）y+1=0和直线3x+my+3=0垂直；由直线mx+（2m﹣1）y+1=0和直线3x+my+3=0垂直”可得出m=﹣1或m=0，所以m=1是直线mx+（2m﹣1）y+1=0和直线3x+my+3=0垂直的充分不必要条件故答案为：充分条件．14．已知正数x、y，满足+=1，则x+2y的最小值18 ．【考点】基本不等式．【分析】利用基本不等式的性质即可求出．【解答】解：∵正数x、y，满足+=1，∴x+2y==10+=18．当且仅当x＞0，y＞0，，，解得x=12，y=3．∴x+2y的最小值是18．故答案为18．15．若x，y满足约束条件，则的最大值为．【考点】简单线性规划．【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用直线斜率的几何意义进行求解即可．【解答】解：画出可行域，目标函数表示可行域内的点（x，y）与点D（﹣2，0）连线的斜率，当其经过点A （1，2）时，取到最大值为．故答案为：．16．已知函数，，给出下列结论：①函数f （x ）的值域为；②函数g （x ）在[0，1]上是增函数；③对任意a ＞0，方程f （x ）=g （x ）在[0，1]内恒有解；④若存在x 1，x 2∈[0，1]，使得f （x 1）=g （x 2）成立，则实数a 的取值范围是．其中所有正确结论的序号是 ①②④ ． 【考点】命题的真假判断与应用． 【分析】①当时，利用f （x ）=单调递增，可得． 当x ∈时，函数f （x ）=，利用一次函数的单调性可得． 即可得到函数f （x ）的值域． ②利用诱导公式可得g （x ）=﹣a ﹣2a+2，利用余弦函数的单调性，进而得出g （x ）在[0，1]上单调性．③由②可知：g （0）≤g （x ）≤g （1），若任意a ＞0，方程f （x ）=g （x ）在[0，1]内恒有解， 则必须满足f （x ）的值域⊆{g （x ）|x ∈[0，1]}．解出判定即可．④存在x 1，x 2∈[0，1]，使得f （x 1）=g （x 2）成立，则解出即可．【解答】解：①当时，f（x）=单调递增，∴，即．当x∈时，由函数f（x）=单调递减，∴，即．∴函数f（x）的值域为．因此①正确．②g（x）=﹣a﹣2a+2，∵x∈[0，1]，∴，因此在[0，1]上单调递减，又a＞0，∴g（x）在[0，1]上单调递增，因此正确．③由②可知：g（0）≤g（x）≤g（1），∴．若任意a＞0，方程f（x）=g（x）在[0，1]内恒有解，则必须满足f（x）的值域⊆{g（x）|x∈[0，1]}．∴﹣3a+2≤0，，解得，因此③不正确；④存在x1，x2∈[0，1]，使得f（x1）=g（x2）成立，则由③可知：，g（x）min=g（0）=﹣3a+2，∴﹣3a+2≤，，解得，∴实数a的取值范围是．正确．综上可知：只有①②④正确．故答案为：①②④．三、解答题：本大题共5小题，共70分．其中17-21为必考题，22-24为选做题；解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．17．在数列{an }中，a1=1，a2=，an+1﹣an+an﹣1=0（n≥2，且n∈N*）（1）若数列{an+1+λan}是等比数列，求实数λ；（2）求数列{an }的前n项和Sn．【考点】数列的求和；等比关系的确定．【分析】（1）设an+1+λan=μ（an+λan﹣1），n≥2，由已知条件得，由此能求出实数λ．（2）由已知条件推导出，由此能求出数列{an }的前n项和Sn．【解答】解：（1）设an+1+λan=μ（an+λan﹣1），n≥2，∴an+1+（λ﹣μ）an﹣λμan﹣1=0，∵an+1﹣an+an﹣1=0，∴，解得或λ=﹣3．…．验证当时，首项，λ=﹣3时，首项，符合题意，∴或λ=﹣3．…．（2）由（1）得，，二者相减，并化简得，…∴Sn= [﹣]=．…．18．现对某市工薪阶层关于“楼市限购令”的态度进行调查，随机抽调了50人，他们月收入的频数分布及对楼市“楼市限购令”赞成人数如下表．月收入（单位百元）[15，25）[25，35）[35，45）[45，55）[55，65）[65，75）频数 5 10 15 10 5 5赞成人数 4 8 12 5 2 1（Ⅰ）由以上统计数据填下面2乘2列联表并问是否有99%的把握认为“月收入以5500为分界点对“楼市限购令”的态度有差异；月收入不低于55百元的人数月收入低于55百元的人数合计赞成a= 3 c= 29 32不赞成b= 7 d= 11 18合计10 40 50（Ⅱ）若对在[15，25），[25，35）的被调查中各随机选取两人进行追踪调查，记选中的4人中不赞成“楼市限购令”人数为ξ，求随机变量ξ的分布列及数学期望．【考点】独立性检验的应用；离散型随机变量及其分布列；离散型随机变量的期望与方差．【分析】（I）根据提供数据，可填写表格，利用公式，可计算K2的值，根据临界值表，即可得到结论；（II）由题意随机变量ξ的可能取值是0，1，2，3，结合变量对应的事件和等可能事件的概率，写出变量的概率分布列和期望值的公式进行求解即可．【解答】解：（Ⅰ）2乘2列联表月收入不低于55百元人数月收入低于55百元人数合计赞成a=3 c=29 32不赞成b=7 d=11 18合计10 40 506.27＜6.635．所以没有99%的把握认为月收入以5500为分界点对“楼市限购令”的态度有差异．（Ⅱ）ξ所有可能取值有0，1，2，3，P（ξ=0）==，P（ξ=1）=+=，P（ξ=2）=+=，P（ξ=3）==，所以ξ的分布列是ξ0 1 2 3P所以ξ的期望值是Eξ=0+1×+2×+3×=．19．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，AD∥BC，且BC=2AD，AD⊥CD，PB⊥CD，点E在棱PD上，且PE=2ED．（1）求证：平面PCD⊥平面PBC；（2）求证：PB∥平面AEC．【考点】平面与平面平行的判定；直线与平面平行的判定．【分析】（1）由CD ⊥BC ，CD ⊥PB 得出CD ⊥平面PBC ，故而平面PCD ⊥平面PBC ； （2）连结BD 交AC 于O ，连结EO ．利用三角形相似得出=，从而得到OE ∥PB ，得出结论．【解答】证明：（1）∵AD ∥BC ，AD ⊥CD ，∴CD ⊥BC ，又CD ⊥PB ，BC ⊂平面PBC ，PB ⊂平面PBC ，BC∩PB=B， ∴CD ⊥平面PBC ， 又CD ⊂平面PCD ， ∴平面PCD ⊥平面PBC ．（2）连结BD 交AC 于O ，连结EO ． ∵AD ∥BC ， ∴△AOD ∽△COB ， ∴，又PE=2ED ，即，∴OE ∥PB ，∵OE ⊂平面EAC ，PB ⊄平面EAC ， ∴PB ∥平面AEC ．20．已知椭圆的离心率为，且过点，其长轴的左右两个端点分别为A ，B ，直线l ：y=x+m 交椭圆于两点C ，D ． （Ⅰ）求椭圆的标准方程；（Ⅱ）设直线AD ，CB 的斜率分别为k 1，k 2，若k 1：k 2=2：1，求m 的值．【考点】椭圆的简单性质．【分析】（Ⅰ）由椭圆的离心率为，且过点，列出方程组，求出a ，b ，c ，由此能求出椭圆方程．（II ）联立方程，得3x 2+3mx+m 2﹣3=0，由此利用根的判别式、韦达定理、直线方程，结合已知条件能求出m 的值．【解答】解：（Ⅰ）由题意得：，解得， ∴椭圆方程为．（II ）设C （x 1，y 1），D （x 2，y 2），联立方程，得3x 2+3mx+m 2﹣3=0①，∴判别式△=（3m ）2﹣12（m 2﹣3）=﹣3m 2+36＞0，解得m 2＜12， ∵x 1，x 2为①式的根，∴，由题意知A （﹣2，0），B （2，0），∴．∵k 1：k 2=2：1，即，得②，又，∴，同理，代入②式，解得=4，即10（x 1+x 2）+3x 1x 2+12=0，∴10（﹣m ）+m 2﹣3+12=0，解得m=1或m=9， 又∵m 2＜12，∴m=9（舍去），∴m=1．21．已知函数f （x ）=x ﹣aln （x+1）（1）试探究函数f （x ）在（0，+∞）上的极值；（2）若对任意的x∈[1，2]，f（x）≥x2恒成立，求实数a的取值范围．【考点】利用导数研究函数的极值；函数恒成立问题．【分析】（1）求导得到f'（x）=，分类讨论，确定函数的单调性，即可探究函数f（x）在（0，+∞）上的极值；（2）设g（x）=x2﹣f（x）﹣x=x2﹣x+aln（x﹣1）（1≤x≤2），求函数g（x）的导数g'（x），根据g（x）在[1，2]单调递增、单调递减、在区间[1，2]存在极值三种情况进行讨论可得g（x）的最大值，令其小于等于0可得a的范围．【解答】解：（1）求导得到f'（x）=．若a≤1，f'（x）＞0，f（x）无极值；若a＞1，则0＜x＜a﹣1，f'（x）＜0，x＞a﹣1．f'（x）＞0则x=a﹣1时，得到极小值为f（a﹣1）=a﹣1﹣alna，无极大值；（2）设g（x）=x2﹣f（x）﹣x=x2﹣x+aln（x﹣1）（1≤x≤2），则g′（x）=，设h（x）=2x2+x+a﹣1．则h（x）在[1，2]上单调递增，∵x∈[1，2]，∴a+2≤h（x）≤a+9．①当a≥﹣2时，h（x）≥0，g'（x）≥0，即g（x）在[1，2]上单调递增，要使不等式g（x）≤0对任意x∈[1，2]恒成立，即g（x）max=g（2）=2+aln3≤0，∴a≤﹣．又a≥﹣2，∴﹣2≤a≤﹣．②当a≤﹣9时，h（x）≤0，g'（x）≤0，即g（x）在[1，2]上单调递减，要使不等式g（x）≤0对任意x∈[1，2]恒成立，即g（x）max=g（1）=aln2≤0，∴a≤0．又a≤﹣9，∴a≤﹣9．③当﹣9＜a＜﹣2时，由h（x）=0，得x=∈（1，2）．当1≤x＜x时，h（x）＜0，∴g'（x）＜0；当x0＜x≤2时，h（x）＞0，∴g'（x）＞0，即g（x）在[1，x）上单调递减，在（x，2]上单调递增，要使不等式g（x）≤0对任意x∈[1，2]恒成立，即g（x）max=max{g（1），g（2）}≤0．又g（1）=aln2，g（2）=2+aln3，且﹣9＜a＜﹣2，0＜ln2＜1，1＜ln3，∴g（1）=aln2＜0，g（2）=2+aln3＜2﹣2ln3＜0，即g（x）max=max{g（1），g（2）}＜0，∴﹣9＜a＜﹣2时符合条件．综上所述，满足条件的a的取值范围是（﹣∞，﹣]．四.选做题：考生在22、23、24三大题中任选一大题作答，满分10分．[选修4-1：几何证明选讲]22．如图，圆O的直径AB=10，P是AB延长线上一点，BP=2，割线PCD交圆O于点C，D，过点P做AP的垂线，交直线AC于点E，交直线AD于点F．（1）求证：∠PEC=∠PDF；（2）求PE•PF的值．【考点】与圆有关的比例线段．【分析】（1）证明P、B、C、E四点共圆、A、B、C、D四点共圆，利用四点共圆的性质，即可证明：∠PEC=∠PDF；（2）证明D，C，E，F四点共圆，利用割线定理，即可求得PE•PF的值．【解答】（1）证明：连结BC，∵AB是圆O的直径，∴∠ACB=∠APE=90°，∴P、B、C、E四点共圆．∴∠PEC=∠CBA．又∵A、B、C、D四点共圆，∴∠CBA=∠PDF，∴∠PEC=∠PDF﹣﹣﹣﹣（2）解：∵∠PEC=∠PDF，∴F、E、C、D四点共圆．∴PE•PF=PC•PD=PA•PB=2×12=24．﹣﹣﹣﹣[选修4-4：坐标系与参数方程]23．以坐标原点为极点x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线，点A的极坐标为，直线l的极坐标方程为，且点A在直线l上．（1）求曲线C的极坐标方程和直线l的直角坐标方程；1的交点为M，N，求l′的极坐标方程及|MN|的长．（2）设l向左平移6个单位后得到l′，l′与C1【考点】简单曲线的极坐标方程．【分析】（1）曲线，利用极坐标与直角坐标的互化公式可得极坐标方程．点A在直线l：上，代入解得a=3．展开进而化为直角坐标方程．（2）l向左平移6个单位后得到l′：x+y=0．可得l′的极坐标方程为：（ρ∈R）．代入曲线C1的极坐标方程即可得出．【解答】解：（1）曲线，展开化为：x2+y2﹣4x=0，化为极坐标方程：ρ2﹣4ρcosθ=0，即ρ=4cosθ，点A在直线l：上，可得=a，解得a=3．∴直线l的极坐标方程展开为： =3，化为ρcosθ+ρsinθ=6．∴直线l的直角坐标方程为x+y﹣6=0．（2）l向左平移6个单位后得到l′：x+y=0．∴l′的极坐标方程为：（ρ∈R）．的极坐标方程ρ2﹣4ρcosθ=0，代入曲线C1可得ρ=0或ρ=4cos=﹣2．∴|MN|=2．[选修4-5：不等式选讲]24．已知关于x的不等式|x﹣|+|x﹣1|≥（a＞0）．（1）当a=1时，求此不等式的解集；（2）若此不等式的解集为R，求实数a的取值范围．【考点】绝对值不等式的解法．【分析】（1）当a=1时，由条件利用绝对值的意义求得此不等式的解集．（2）由条件利用绝对值三角不等式求得，再根据，求得a的范围．【解答】解：（1）解：当a=1时，不等式为|x﹣2|+|x﹣1|≥2．由绝对值的几何意义知，不等式的意义可解释为数轴上的x对应点到1，2对应点的距离之和大于2．而和对应点到1，2对应点的距离之和正好等于于2，∴或，∴不等式的解集为．.（2）解：∵，∴原不等式的解集为R，等价于，∴a≥4或a＜0．又a＞0，∴a≥4．.。
山西省长治市2019-2020学年高考第二次大联考数学试卷含解析
山西省长治市2019-2020学年高考第二次大联考数学试卷一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知集合{}2,1,0,1A =--，{}22*|,B x x a a N=≤∈，若A B ⊆，则a 的最小值为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】B 【解析】 【分析】解出22x a ≤,分别代入选项中a 的值进行验证. 【详解】解：22x a ≤Q ，a x a ∴-≤≤.当1a = 时,{}1,0,1B =-，此时A B ⊆不成立. 当2a = 时,{}2,1,0,1,2B =--，此时A B ⊆成立，符合题意. 故选:B. 【点睛】本题考查了不等式的解法,考查了集合的关系.2．设12,F F 分别是双线2221(0)x y a a-=>的左、右焦点，O 为坐标原点，以12F F 为直径的圆与该双曲线的两条渐近线分别交于,A B 两点（,A B 位于y 轴右侧），且四边形2OAF B 为菱形，则该双曲线的渐近线方程为（ ）A ．0x y ±=B ．0y ±=C ．0x ±=D ．30x y ±=【答案】B 【解析】 【分析】由于四边形2OAF B 为菱形，且2OF OA =，所以2AOF ∆为等边三角形，从而可得渐近线的倾斜角，求出其斜率. 【详解】如图，因为四边形2OAF B 为菱形，2OF OA OB ==，所以2AOF △为等边三角形，260AOF ︒∠=，和. 故选：B【点睛】此题考查的是求双曲线的渐近线方程，利用了数形结合的思想，属于基础题.3．如图，正方形网格纸中的实线图形是一个多面体的三视图，则该多面体各表面所在平面互相垂直的有（）A．2对B．3对C．4对D．5对【答案】C【解析】【分析】-，易证平面PAD⊥平面ABCD，平面PCD⊥平面PAD，平面PAB⊥画出该几何体的直观图P ABCD平面PAD，平面PAB⊥平面PCD，从而可选出答案．【详解】该几何体是一个四棱锥，直观图如下图所示，易知平面PAD⊥平面ABCD，作PO⊥AD于O，则有PO⊥平面ABCD，PO⊥CD，又AD⊥CD，所以，CD⊥平面PAD，所以平面PCD⊥平面PAD，同理可证：平面PAB⊥平面PAD，由三视图可知：PO＝AO＝OD，所以，AP⊥PD，又AP⊥CD，所以，AP⊥平面PCD，所以，平面PAB⊥平面PCD，所以该多面体各表面所在平面互相垂直的有4对．【点睛】本题考查了空间几何体的三视图，考查了四棱锥的结构特征，考查了面面垂直的证明，属于中档题． 4．已知函数()ln af x x a x =-+在[]1,e x ∈上有两个零点，则a 的取值范围是（ ） A ．e ,11e ⎡⎤-⎢⎥-⎣⎦B ．e ,11e ⎡⎫⎪⎢-⎣⎭C ．e ,11e ⎡⎫-⎪⎢-⎣⎭D ．[)1,e - 【答案】C 【解析】 【分析】对函数求导，对a 分类讨论，分别求得函数()f x 的单调性及极值，结合端点处的函数值进行判断求解. 【详解】 ∵()21a f x x x +'== 2x ax+，[]1,e x ∈. 当1a ≥-时，()0f x '≥，()f x 在[]1,e 上单调递增，不合题意. 当a e ≤-时，()0f x '≤，()f x 在[]1,e 上单调递减，也不合题意.当1e a -<<-时，则[)1,x a ∈-时，()0f x '<，()f x 在[)1,a -上单调递减，(],e x a ∈-时，()0f x '>，()f x 在(],a e -上单调递增，又()10f =，所以()f x 在[]1,e x ∈上有两个零点，只需()10a f e a e =-+≥即可，解得11e a e≤<--. 综上，a 的取值范围是e ,11e ⎡⎫-⎪⎢-⎣⎭. 故选C. 【点睛】本题考查了利用导数解决函数零点的问题，考查了函数的单调性及极值问题，属于中档题． 5．已知集合{2,3,4}A =，集合{},2B m m =+，若{2}A B =I ，则m =（ ） A ．0 B ．1C ．2D ．4【答案】A【分析】根据2m =或22m +=，验证交集后求得m 的值. 【详解】因为{2}A B =I ，所以2m =或22m +=.当2m =时，{2,4}A B =I ，不符合题意，当22m +=时，0m =.故选A.【点睛】本小题主要考查集合的交集概念及运算，属于基础题.6．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若1512,90a S ==，则等差数列{}n a 公差d =（ ） A ．2 B ．32C ．3D ．4【答案】C 【解析】 【分析】根据等差数列的求和公式即可得出． 【详解】 ∵a 1=12，S 5=90， ∴5×12+542⨯ d=90， 解得d=1． 故选C ． 【点睛】本题主要考查了等差数列的求和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题． 7．计算2543log sin cosππ⎛⎫⎪⎝⎭等于( ) A ．32-B ．32C ．23-D ．23【答案】A 【解析】 【分析】利用诱导公式、特殊角的三角函数值，结合对数运算，求得所求表达式的值. 【详解】原式2221log cos 2log cos log 332πππ⎤⎤⎤⎛⎫⎛⎫=-==⎥⎥⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎣⎦⎣⎦3223log 22-==-. 故选：A本小题主要考查诱导公式，考查对数运算，属于基础题.8．为了贯彻落实党中央精准扶贫决策，某市将其低收入家庭的基本情况经过统计绘制如图，其中各项统计不重复．若该市老年低收入家庭共有900户，则下列说法错误的是（ ）A ．该市总有 15000 户低收入家庭B ．在该市从业人员中，低收入家庭共有1800户C ．在该市无业人员中，低收入家庭有4350户D ．在该市大于18岁在读学生中，低收入家庭有 800 户 【答案】D 【解析】 【分析】根据给出的统计图表，对选项进行逐一判断，即可得到正确答案. 【详解】解：由题意知，该市老年低收入家庭共有900户，所占比例为6%， 则该市总有低收入家庭900÷6%＝15000（户），A 正确，该市从业人员中，低收入家庭共有15000×12%＝1800（户），B 正确， 该市无业人员中，低收入家庭有15000×29%%＝4350（户），C 正确， 该市大于18 岁在读学生中，低收入家庭有15000×4%＝600（户），D 错误． 故选：D. 【点睛】本题主要考查对统计图表的认识和分析，这类题要认真分析图表的内容，读懂图表反映出的信息是解题的关键,属于基础题.9．已知等差数列{}n a 中，若5732a a =，则此数列中一定为0的是（ ） A ．1a B ．3aC ．8aD ．10a【答案】A 【解析】 【分析】将已知条件转化为1,a d 的形式，由此确定数列为0的项.由于等差数列{}n a 中5732a a =，所以()()113426a d a d +=+，化简得10a=，所以1a 为0.故选：A 【点睛】本小题主要考查等差数列的基本量计算，属于基础题.10．如图所示，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，其中左视图中三角形为等腰直角三角形，则该几何体外接球的体积是（ ）A ．16πB ．323πC ．642πD ．205π【答案】C 【解析】 【分析】作出三视图所表示几何体的直观图，可得直观图为直三棱柱，并且底面为等腰直角三角形，即可求得外接球的半径，即可得外接球的体积. 【详解】2的等腰直角三角形，三棱柱的高为4，其外接球半径为22r =(3422233V π=⨯=. 故选：C 【点睛】本题考查三视图还原几何体的直观图、球的体积公式，考查空间想象能力、运算求解能力，求解时注意球心的确定.11．已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b -=>>的一条渐近线的倾斜角为θ，且5cos θ=心率为（ ）A B C ．2 D ．4【答案】A 【解析】 【分析】由倾斜角的余弦值，求出正切值，即,a b 的关系，求出双曲线的离心率. 【详解】解：设双曲线的半个焦距为c ，由题意[0,)θπ∈又cos 5θ=，则sin 5θ=，tan 2θ=，2b a =，所以离心率c e a === 故选：A. 【点睛】本题考查双曲线的简单几何性质，属于基础题12．已知函数()()()2sin 0f x x b ωϕω=++>，88f x f x ππ+=-（）（），且58f π=（），则b =（ ） A ．3 B ．3或7C ．5D ．5或8【答案】B 【解析】 【分析】根据函数的对称轴8x π=以及函数值，可得结果.【详解】函数()()()2sin 0f x x b ωϕω=++>，若88f x f x ππ+=-（）（），则()f x 的图象关于8x π=对称， 又58f π=（），所以25b +=或25b -+=， 所以b 的值是7或3. 故选：B. 【点睛】本题考查的是三角函数的概念及性质和函数的对称性问题，属基础题 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
山西省长治市2019-2020学年中考数学二模试卷含解析
山西省长治市2019-2020学年中考数学二模试卷一、选择题（本大题共12个小题，每小题4分，共48分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．） 1．在平面直角坐标系内，点P （a ，a+3）的位置一定不在（ ） A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限2．下列计算正确的是（ ） A ．﹣2x ﹣2y 3•2x 3y ＝﹣4x ﹣6y 3 B ．（﹣2a 2）3＝﹣6a 6 C ．（2a+1）（2a ﹣1）＝2a 2﹣1D ．35x 3y 2÷5x 2y ＝7xy3．如图，65,AFD CD EB ∠=︒∕∕，则B Ð的度数为（ ）A ．115°B ．110°C ．105°D ．65°4．某种计算器标价240元，若以8折优惠销售，仍可获利20%，那么这种计算器的进价为（ ） A ．152元B ．156元C ．160元D ．190元5．某市今年1月份某一天的最高气温是3℃，最低气温是—4℃，那么这一天的最高气温比最低气温高 A ．—7℃B ．7℃C ．—1℃D ．1℃6．下列图形中一定是相似形的是( ) A ．两个菱形B ．两个等边三角形C ．两个矩形D ．两个直角三角形7．下列各式计算正确的是（ ） A ．a 4•a 3=a 12B ．3a•4a=12aC ．（a 3）4=a 12D ．a 12÷a 3=a 48．随着服装市场竞争日益激烈，某品牌服装专卖店一款服装按原售价降价20%，现售价为a 元，则原售价为（ ） A ．（a ﹣20%）元B ．（a+20%）元C ．a 元D ． a 元9．如图1、2、3分别表示甲、乙、丙三人由A 地到B 地的路线图，已知 甲的路线为：A→C→B ；乙的路线为：A→D→E→F→B ，其中E 为AB 的中点； 丙的路线为：A→I→J→K→B ，其中J 在AB 上，且AJ ＞JB ．若符号[→]表示[直线前进]，则根据图1、图2、图3的数据，判断三人行进路线长度的大小关系为（ ）A ．甲=乙=丙B ．甲＜乙＜丙C ．乙＜丙＜甲D ．丙＜乙＜甲10．如图，已知D 是ABC V 中的边BC 上的一点，BAD C ∠=∠，ABC ∠的平分线交边AC 于E ，交AD 于F ，那么下列结论中错误的是（ ）A ．△BAC ∽△BDAB ．△BFA ∽△BEC C ．△BDF ∽△BECD ．△BDF ∽△BAE11．如图，在⊙O 中，弦AB=CD ，AB ⊥CD 于点E ，已知CE•ED=3，BE=1，则⊙O 的直径是（ ）A ．2B ．5C ．25D ．512．《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著．书中有下列问题“今有勾八步，股十五步，问勾中容圆径几何？”其意思是“今有直角三角形(如图)，勾(短直角边)长为8步，股(长直角边)长为15步，问该直角三角形能容纳的圆形(内切圆)直径是多少？”( )A ．3步B ．5步C ．6步D ．8步二、填空题：（本大题共6个小题，每小题4分，共24分．）13．如图1，AB 是半圆O 的直径，正方形OPNM 的对角线ON 与AB 垂直且相等，Q 是OP 的中点.一只机器甲虫从点A 出发匀速爬行，它先沿直径爬到点B ，再沿半圆爬回到点A ，一台微型记录仪记录了甲虫的爬行过程.设甲虫爬行的时间为t ，甲虫与微型记录仪之间的距离为y ，表示y 与t 的函数关系的图象如图2所示，那么微型记录仪可能位于图1中的（ ）A ．点MB ．点NC ．点PD ．点Q14．如图，在Rt AOB ∆中，42OA OB ==．O e 的半径为2，点P 是AB 边上的动点，过点P 作O e 的一条切线PQ (点Q 为切点)，则线段PQ 长的最小值为______．15．数学综合实践课，老师要求同学们利用直径为6cm 的圆形纸片剪出一个如图所示的展开图，再将它沿虚线折叠成一个无盖的正方体形盒子（接缝处忽略不计）．若要求折出的盒子体积最大，则正方体的棱长等于________cm ．16．已知，如图，正方形ABCD 的边长是8，M 在DC 上，且DM ＝2，N 是AC 边上的一动点，则DN+MN 的最小值是_____．17．已知A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)都在反比例函数y ＝6x的图象上．若x 1x 2＝﹣4，则y 1⋅y 2的值为______． 18．如图，AB 是⊙O 的直径，点C 在AB 的延长线上，CD 与⊙O 相切于点D ，若∠C=20°，则∠CDA= °．三、解答题：（本大题共9个小题，共78分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．19．（6分）某校初三体育考试选择项目中，选择篮球项目和排球项目的学生比较多.为了解学生掌握篮球技巧和排球技巧的水平情况，进行了抽样调查，过程如下，请补充完整.收集数据：从选择篮球和排球的学生中各随机抽取16人，进行了体育测试，测试成绩(十分制)如下：排球10 9.5 9.5 10 8 9 9.5 97 10 4 5.5 10 9.5 9.5 10篮球9.5 9 8.5 8.5 10 9.5 10 86 9.5 10 9.5 9 8.5 9.5 6整理、描述数据：按如下分数段整理、描述这两组样本数据：(说明：成绩8.5分及以上为优秀，6分及以上为合格，6分以下为不合格)分析数据：两组样本数据的平均数、中位数、众数如下表所示：项目平均数中位数众数排球8.75 9.5 10篮球8.81 9.25 9.5得出结论：(1)如果全校有160人选择篮球项目，达到优秀的人数约为_________人；(2)初二年级的小明和小军看到上面数据后，小明说：排球项目整体水平较高.小军说：篮球项目整体水平较高.你同意_______的看法，理由为____________________________.(至少从两个不同的角度说明推断的合理性)20．（6分）阅读下面材料：已知：如图，在正方形ABCD中，边AB=a1．按照以下操作步骤，可以从该正方形开始，构造一系列的正方形，它们之间的边满足一定的关系，并且一个比一个小．操作步骤作法由操作步骤推断（仅选取部分结论）第一步在第一个正方形ABCD的对角线AC 上截取AE=a 1，再作EF ⊥AC 于点E ，EF 与边BC 交于点F ，记CE=a 2（i ）△EAF ≌△BAF （判定依据是①）；（ii ）△CEF 是等腰直角三角形；（iii ）用含a 1的式子表示a 2为②：第二步以CE 为边构造第二个正方形CEFG ；第三步在第二个正方形的对角线CF 上截取FH=a 2，再作IH ⊥CF 于点H ，IH 与边CE 交于点I ，记CH=a 3： （iv ）用只含a 1的式子表示a 3为③：第四步以CH 为边构造第三个正方形CHIJ这个过程可以不断进行下去．若第n 个正方形的边长为a n ，用只含a 1的式子表示a n 为④ 请解决以下问题： （1）完成表格中的填空：① ；② ；③ ；④ ；（2）根据以上第三步、第四步的作法画出第三个正方形CHIJ （不要求尺规作图）．21．（6分）如图，在ABC V 中，CD AB ⊥，垂足为D ，点E 在BC 上，EF AB ⊥，垂足为F.12∠∠=，试判断DG 与BC 的位置关系，并说明理由．22．（8分）2019年1月，温州轨道交通1S线正式运营，1S线有以下4种购票方式：A．二维码过闸B．现金购票C．市名卡过闸D．银联闪付某兴趣小组为了解最受欢迎的购票方式，随机调查了某区的若干居民，得到如图所示的统计图，已知选择方式D的有200人，求选择方式A的人数.小博和小雅对A，B，C三种购票方式的喜爱程度相同，随机选取一种方式购票，求他们选择同一种购票方式的概率.（要求列表或画树状图）. 23．（8分）今年以来，我国持续大面积的雾霾天气让环保和健康问题成为焦点．为了调查学生对雾霾天气知识的了解程度，某校在学生中做了一次抽样调查，调查结果共分为四个等级：A．非常了解；B．比较了解；C．基本了解；D．不了解．根据调查统计结果，绘制了不完整的三种统计图表．对雾霾了解程度的统计表：对雾霾的了解程度百分比A．非常了解5%B．比较了解mC．基本了解45%D．不了解n请结合统计图表，回答下列问题．（1）本次参与调查的学生共有人，m=，n=；（2）图2所示的扇形统计图中D部分扇形所对应的圆心角是度；（3）请补全条形统计图；（4）根据调查结果，学校准备开展关于雾霾知识竞赛，某班要从“非常了解”态度的小明和小刚中选一人参加，现设计了如下游戏来确定，具体规则是：把四个完全相同的乒乓球标上数字1，2，3，4，然后放到一个不透明的袋中，一个人先从袋中随机摸出一个球，另一人再从剩下的三个球中随机摸出一个球．若摸出的两个球上的数字和为奇数，则小明去；否则小刚去．请用树状图或列表法说明这个游戏规则是否公平．24．（10分）如图1，图2分别是某款篮球架的实物图与示意图，已知底座BC=1.5米，底座BC与支架AC所成的角∠ACB=60°，支架AF的长为2.50米，篮板顶端F点到篮筐D的距离FD=1.3米，篮板底部支架HE与支架AF所成的角∠FHE=45°，求篮筐D到地面的距离．（精确到0.01米参考数据：3≈1.73，2≈1.41）25．（10分）工人师傅用一块长为10dm，宽为6dm的矩形铁皮制作一个无盖的长方体容器，需要将四角各裁掉一个正方形．（厚度不计）求长方体底面面积为12dm2时，裁掉的正方形边长多大？26．（12分）已知二次函数y＝mx2﹣2mx+n 的图象经过（0，﹣3）．（1）n＝_____________；（2）若二次函数y＝mx2﹣2mx+n 的图象与x 轴有且只有一个交点，求m 值；（3）若二次函数y＝mx2﹣2mx+n 的图象与平行于x 轴的直线y＝5 的一个交点的横坐标为4，则另一个交点的坐标为；（4）如图，二次函数y＝mx2﹣2mx+n 的图象经过点A（3，0），连接AC，点P 是抛物线位于线段AC 下方图象上的任意一点，求△PAC 面积的最大值．27．（12分）如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC的顶点B坐标为（4，6），点P为线段OA上一动点（与点O、A不重合），连接CP，过点P作PE⊥CP交AB于点D，且PE＝PC，过点P作PF⊥OP 且PF＝PO（点F在第一象限），连结FD、BE、BF，设OP＝t．（1）直接写出点E的坐标（用含t的代数式表示）：；（2）四边形BFDE的面积记为S，当t为何值时，S有最小值，并求出最小值；（3）△BDF能否是等腰直角三角形，若能，求出t；若不能，说明理由．参考答案一、选择题（本大题共12个小题，每小题4分，共48分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．D【解析】【分析】判断出P的横纵坐标的符号,即可判断出点P所在的相应象限.【详解】当a为正数的时候,a+3一定为正数,所以点P可能在第一象限,一定不在第四象限, 当a为负数的时候,a+3可能为正数,也可能为负数,所以点P可能在第二象限,也可能在第三象限,故选D.【点睛】本题考查了点的坐标的知识点，解题的关键是由a的取值判断出相应的象限.2．D【解析】【分析】A．根据同底数幂乘法法则判断；B．根据积的乘方法则判断即可；C．根据平方差公式计算并判断；D．根据同底数幂除法法则判断．【详解】A.-2x-2y3 2x3y=-4xy4，故本选项错误；B. (−2a2)3=−8a6，故本项错误；C. (2a+1)(2a−1)=4a2−1，故本项错误；D.35x3y2÷5x2y=7xy，故本选项正确.故答案选D.【点睛】本题考查了同底数幂的乘除法法则、积的乘方法则与平方差公式，解题的关键是熟练的掌握同底数幂的乘除法法则、积的乘方法则与平方差公式.3．A【解析】【分析】根据对顶角相等求出∠CFB＝65°，然后根据CD∥EB，判断出∠B＝115°．【详解】∵∠AFD＝65°，∴∠CFB＝65°，∵CD∥EB，∴∠B＝180°−65°＝115°，故选：A．【点睛】本题考查了平行线的性质，知道“两直线平行，同旁内角互补”是解题的关键．4．C【解析】【分析】设进价为x元，依题意得240×0.8-x=20x℅,解方程可得.【详解】设进价为x元，依题意得240×0.8-x=20x℅解得x=160所以，进价为160元.故选C【点睛】本题考核知识点：列方程解应用题. 解题关键点：找出相等关系.5．B【解析】【分析】求最高气温比最低气温高多少度，即是求最高气温与最低气温的差，这个实际问题可转化为减法运算，列算式计算即可．【详解】3-（-4）=3+4=7℃．故选B．6．B【解析】【分析】如果两个多边形的对应角相等，对应边的比相等，则这两个多边形是相似多边形．【详解】解：∵等边三角形的对应角相等，对应边的比相等，∴两个等边三角形一定是相似形，又∵直角三角形，菱形的对应角不一定相等，矩形的边不一定对应成比例，∴两个直角三角形、两个菱形、两个矩形都不一定是相似形，故选：B．【点睛】本题考查了相似多边形的识别．判定两个图形相似的依据是：对应边成比例，对应角相等，两个条件必须同时具备．7．C【解析】【分析】根据同底数幂的乘法，可判断A、B，根据幂的乘方，可判断C，根据同底数幂的除法，可判断D．【详解】A．a4•a3=a7，故A错误；B．3a•4a=12a2，故B错误；C．（a3）4=a12，故C正确；D．a12÷a3=a9，故D错误．故选C．【点睛】本题考查了同底数幂的除法，同底数幂的除法底数不变指数相减是解题的关键．8．C【解析】【分析】根据题意列出代数式，化简即可得到结果．【详解】根据题意得：a÷(1−20%)=a÷= a(元)，故答案选：C.【点睛】本题考查的知识点是列代数式，解题的关键是熟练的掌握列代数式.9．A【解析】分析：由角的度数可以知道2、3中的两个三角形的对应边都是平行的，所以图2，图3中的三角形都和图1中的三角形相似．而且图2三角形全等，图3三角形相似．详解：根据以上分析：所以图2可得AE=BE，AD=EF，DE=BE．∵AE=BE=12AB，∴AD=EF=12AC，DE=BE=12BC，∴甲=乙．图3与图1中，三个三角形相似，所以JKAI=JBAJ=BK AIIJ AC，=AJAB=IJBC．∵AJ+BJ=AB，∴AI+JK=AC，IJ+BK=BC，∴甲=丙．∴甲=乙=丙．故选A．点睛：本题考查了的知识点是平行四边形的性质，解答本题的关键是利用相似三角形的平移，求得线段的关系．10．C【解析】【分析】根据相似三角形的判定，采用排除法，逐项分析判断．【详解】∵∠BAD=∠C，∠B=∠B，∴△BAC∽△BDA．故A正确．∵BE平分∠ABC，∴∠ABE=∠CBE，∴△BFA∽△BEC．故B正确．∴∠BFA=∠BEC，∴∠BFD=∠BEA，∴△BDF∽△BAE．故D正确．而不能证明△BDF∽△BEC，故C错误．故选C．【点睛】本题考查相似三角形的判定．识别两三角形相似，除了要掌握定义外，还要注意正确找出两三角形的对应边和对应角．11．C【解析】【分析】作OH⊥AB于H，OG⊥CD于G，连接OA，根据相交弦定理求出EA，根据题意求出CD，根据垂径定理、勾股定理计算即可．【详解】解：作OH⊥AB于H，OG⊥CD于G，连接OA，由相交弦定理得，CE•ED=EA•BE，即EA×1=3，解得，AE=3，∴AB=4，∵OH⊥AB，∴AH=HB=2，∵AB=CD，CE•ED=3，∴CD=4，∵OG⊥CD，∴EG=1，由题意得，四边形HEGO是矩形，∴OH=EG=1，由勾股定理得，OA=225AH OH+=，∴⊙O的直径为25，故选C．【点睛】此题考查了相交弦定理、垂径定理、勾股定理、矩形的判定与性质；根据图形作出相应的辅助线是解本题的关键．12．C【解析】2281517+=，则该直角三角形能容纳的圆形(内切圆)半径8151732r+-==(步)，即直径为6步，故选C二、填空题：（本大题共6个小题，每小题4分，共24分．）13．D【解析】D．试题分析：应用排他法分析求解：若微型记录仪位于图1中的点M ，AM 最小，与图2不符，可排除A.若微型记录仪位于图1中的点N ，由于AN=BM ，即甲虫从A 到B 时是对称的，与图2不符，可排除B. 若微型记录仪位于图1中的点P ，由于甲虫从A 到OP 与圆弧的交点时甲虫与微型记录仪之间的距离y 逐渐减小；甲虫从OP 与圆弧的交点到A 时甲虫与微型记录仪之间的距离y 逐渐增大，即y 与t 的函数关系的图象只有两个趋势，与图2不符，可排除C.故选D ．考点：1.动点问题的函数图象分析；2.排他法的应用.14．23 【解析】 【分析】连接OQ ，根据勾股定理知222PQ OP OQ =-，可得当OP AB ⊥时，即线段PQ 最短，然后由勾股定理即可求得答案．【详解】连接OQ ．∵PQ 是O e 的切线，∴OQ PQ ⊥；∴222PQ OP OQ =-，∴当PO AB ⊥时，线段OP 最短，∴PQ 的长最短，∵在Rt AOB ∆中，42OA OB ==，∴28AB OA ==， ∴4OA OB OP AB⋅==， ∴2223PQ OP OQ =-=.故答案为：3【点睛】本题考查了切线的性质、等腰直角三角形的性质以及勾股定理．此题难度适中，注意掌握辅助线的作法，得到PO AB ⊥时，线段PQ 最短是关键．15．3105【解析】【分析】根据题意作图，可得AB=6cm ，设正方体的棱长为xcm ，则AC=x ，BC=3x ，根据勾股定理对称62=x 2+（3x ）2，解方程即可求得．【详解】解：如图示，根据题意可得AB=6cm ，设正方体的棱长为xcm ，则AC=x ，BC=3x ，根据勾股定理，AB 2=AC 2+BC 2，即()22263x x =+，解得3105x = 故答案为：3105． 【点睛】本题考查了勾股定理的应用，正确理解题意是解题的关键．16．1【解析】分析：要求DN+MN 的最小值，DN ，MN 不能直接求，可考虑通过作辅助线转化DN ，MN 的值，从而找出其最小值求解．解答：解：如图，连接BM ，∵点B 和点D 关于直线AC 对称，∴NB=ND ，则BM 就是DN+MN 的最小值，∵正方形ABCD 的边长是8，DM=2，∴CM=6，∴BM==1，∴DN+MN 的最小值是1．故答案为1． 点评：考查正方形的性质和轴对称及勾股定理等知识的综合应用．17．﹣1．【解析】【分析】 根据反比例函数图象上点的坐标特征得到121266,y y x x ==，再把它们相乘，然后把124x x =-代入计算即可．【详解】 根据题意得121266,y y x x ==， 所以1212126636369.4y y x x x x =⋅===-- 故答案为:−1.【点睛】考查反比例函数图象上点的坐标特征，把点,A B 的坐标代入反比例函数解析式得到121266,,y y x x ==是解题的关键.18．1．【解析】【分析】连接OD ，根据圆的切线定理和等腰三角形的性质可得出答案.【详解】连接OD ，则∠ODC=90°，∠COD=70°，∵OA=OD ，∴∠ODA=∠A=12∠COD=35°， ∴∠CDA=∠CDO+∠ODA=90°+35°=1°，故答案为1．考点：切线的性质．三、解答题：（本大题共9个小题，共78分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．19．130 小明平均数接近，而排球成绩的中位数和众数都较高．【解析】【分析】()1根据抽取的16人中成绩达到优秀的百分比，即可得到全校达到优秀的人数；()2根据平均数接近，而排球成绩的中位数和众数都较高，即可得到结论．【详解】解：补全表格成绩：()1达到优秀的人数约为160130⨯=（人）；16故答案为130；()2同意小明的看法，理由为：平均数接近，而排球成绩的中位数和众数都较高.(答案不唯一，理由需支持判断结论)故答案为小明，平均数接近，而排球成绩的中位数和众数都较高．【点睛】本题考查众数、中位数，平均数的应用，解题的关键是掌握众数、中位数、平均数的定义以及用样本估计总体．20．（11）a1；③－1)2a1；④－1)n－1a1；（2）见解析.【解析】【分析】（1）①由题意可知在Rt△EAF和Rt△BAF中，AE=AB，AF=AF，所以Rt△EAF≌Rt△BAF；②由题意得AB=AE=a1，a1，则CE=a2a1﹣a1=﹣1）a1；③同上可知1）a1，FH=EF=a2，则CH=a3=CF﹣1)2a1；④同理可得a n1)n－1a1；（2）根据题意画图即可.【详解】解：（1）①斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等；理由是：如图1，在Rt△EAF和Rt△BAF中，∵AE AB AF AF=⎧⎨=⎩，∴Rt△EAF≌Rt△BAF（HL）；②∵四边形ABCD是正方形，∴AB=BC=a1，∠ABC=90°，∴AC=2a1，∵AE=AB=a1，∴CE=a2=2a1﹣a1=（2﹣1）a1；③∵四边形CEFG是正方形，∴△CEF是等腰直角三角形，∴CF=2CE=2（2－1）a1，∵FH=EF=a2，∴CH=a3=CF﹣FH=2（2－1）a1﹣（2－1）a1=(2－1)2a1；④同理可得：a n=(2－1)n－1a1；故答案为①斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等②（2﹣1）a1；③(2－1)2a1；④(2－1)n－1a1；（2）所画正方形CHIJ见右图.21．DG∥BC，理由见解析【解析】【分析】由垂线的性质得出CD∥EF，由平行线的性质得出∠2=∠DCE，再由已知条件得出∠1=∠DCE，即可得出结论．【详解】解：DG∥BC，理由如下：∵CD⊥AB，EF⊥AB，∴CD∥EF，∴∠2=∠DCE，∵∠1=∠2，∴∠1=∠DCE，∴DG∥BC．【点睛】本题考查平行线的判定与性质；熟练掌握平行线的判定与性质，证明∠1=∠DCE是解题关键．22．(1)600人（2）1 3【解析】【分析】（1）计算方式A的扇形圆心角占D的圆心角的分率，然后用方式D的人数乘这个分数即为方式A的人数；（2）列出表格或树状图分别求出所有情况以及两名同学恰好选中同一种购票方式的情况后，利用概率公式即可求出两名同学恰好选中同一种购票方式的概率．【详解】（1）120200600(36090110)⨯=--（人），∴最喜欢方式A的有600人（2）列表法：树状法：∴P（同一种购票方式）1 3 =【点睛】本题考查扇形统计图的运用和列表法或画树状图求概率的运用，读懂统计图，从统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小．23．解：（1）400；15%；35%．（2）1．（3）∵D等级的人数为：400×35%=140，∴补全条形统计图如图所示：（4）列树状图得：∵从树状图可以看出所有可能的结果有12种，数字之和为奇数的有8种，∴小明参加的概率为：P（数字之和为奇数）82 123 ==；小刚参加的概率为：P（数字之和为偶数）41 123 ==．∵P（数字之和为奇数）≠P（数字之和为偶数），∴游戏规则不公平．（1）根据“基本了解”的人数以及所占比例，可求得总人数：180÷45%=400人．在根据频数、百分比之间的关系，可得m，n的值：60m100%15%n15%15%45%35% 400=⨯==---=，．（2）根据在扇形统计图中，每部分占总体的百分比等于该部分所对应的扇形圆心的度数与360°的比可得出统计图中D部分扇形所对应的圆心角：360°×35%=1°．（3）根据D等级的人数为：400×35%=140，据此补全条形统计图．（4）用树状图或列表列举出所有可能，分别求出小明和小刚参加的概率，若概率相等，游戏规则公平；反之概率不相等，游戏规则不公平．24．3.05米【解析】【分析】延长FE交CB的延长线于M, 过A作AG⊥FM于G, 解直角三角形即可得到正确结论．【详解】解：如图：延长FE交CB的延长线于M，过A作AG⊥FM于G，在Rt△ABC中，tan∠ACB=，∴AB=BC•tan60°=1.5×1.73=2.595，∴GM=AB=2.595，在Rt△AGF中，∵∠FAG=∠FHE=45°，sin∠FAG=，∴sin45°=，∴FG=1.76，∴DM=FG+GM﹣DF≈3.05米．答：篮框D到地面的距离是3.05米．【点睛】本题主要考查直角三角形和三角函数，构造合适的辅助线是本题解题的关键．25．裁掉的正方形的边长为2dm，底面积为12dm2.试题分析：设裁掉的正方形的边长为xdm，则制作无盖的长方体容器的长为（10-2x）dm，宽为（6-2x）dm，根据长方体底面面积为12dm2列出方程，解方程即可求得裁掉的正方形边长.试题解析：设裁掉的正方形的边长为xdm，由题意可得(10-2x)(6-2x)=12，即x2-8x+12=0，解得x=2或x=6(舍去)，答：裁掉的正方形的边长为2dm，底面积为12dm2.26．（2）－2；（2）m=﹣2；（2）（﹣2，5）；（4）当a=32时，△PAC的面积取最大值，最大值为278【解析】【分析】（2）将（0，-2）代入二次函数解析式中即可求出n值；（2）由二次函数图象与x轴只有一个交点，利用根的判别式△=0，即可得出关于m的一元二次方程，解之取其非零值即可得出结论；（2）根据二次函数的解析式利用二次函数的性质可找出二次函数图象的对称轴，利用二次函数图象的对称性即可找出另一个交点的坐标；（4）将点A的坐标代入二次函数解析式中可求出m值，由此可得出二次函数解析式，由点A、C的坐标，利用待定系数法可求出直线AC的解析式，过点P作PD⊥x轴于点D，交AC于点Q，设点P的坐标为（a，a2-2a-2），则点Q的坐标为（a，a-2），点D的坐标为（a，0），根据三角形的面积公式可找出S△ACP 关于a的函数关系式，配方后即可得出△PAC面积的最大值．【详解】解:（2）∵二次函数y=mx2﹣2mx+n的图象经过（0，﹣2），∴n=﹣2．故答案为﹣2．（2）∵二次函数y=mx2﹣2mx﹣2的图象与x轴有且只有一个交点，∴△=（﹣2m）2﹣4×（﹣2）m=4m2+22m=0，解得：m2=0，m2=﹣2．∵m≠0，∴m=﹣2．（2）∵二次函数解析式为y=mx2﹣2mx﹣2，∴二次函数图象的对称轴为直线x=﹣-2m2m=2．∵该二次函数图象与平行于x轴的直线y=5的一个交点的横坐标为4，∴另一交点的横坐标为2×2﹣4=﹣2，∴另一个交点的坐标为（﹣2，5）．故答案为（﹣2，5）．（4）∵二次函数y=mx2﹣2mx﹣2的图象经过点A（2，0），∴0=9m﹣6m﹣2，∴m=2，∴二次函数解析式为y=x2﹣2x﹣2．设直线AC的解析式为y=kx+b（k≠0），将A（2，0）、C（0，﹣2）代入y=kx+b，得：3k+b=0 {b=-3，解得：k=1{b=-3，∴直线AC的解析式为y=x﹣2．过点P作PD⊥x轴于点D，交AC于点Q，如图所示．设点P的坐标为（a，a2﹣2a﹣2），则点Q的坐标为（a，a﹣2），点D的坐标为（a，0），∴PQ=a﹣2﹣（a2﹣2a﹣2）=2a﹣a2，∴S△ACP=S△APQ+S△CPQ=12PQ•OD+12PQ•AD=﹣32a2+92a=﹣32（a﹣32）2+278，∴当a=32时，△PAC的面积取最大值，最大值为278．【点睛】本题考查了待定系数法求一次（二次）函数解析式、抛物线与x轴的交点、二次函数的性质以及二次函数的最值，解题的关键是：（2）代入点的坐标求出n值；（2）牢记当△=b2-4ac=0时抛物线与x轴只有一个交点；（2）利用二次函数的对称轴求出另一交点的坐标；（4）利用三角形的面积公式找出S△ACP 关于a的函数关系式．27．(1)、（t+6，t）；(2)、当t=2时，S有最小值是16；(3)、理由见解析．【解析】【分析】【详解】（1）如图所示，过点E作EG⊥x轴于点G，则∠COP=∠PGE=90°，由题意知CO=AB=6、OA=BC=4、OP=t，∵PE⊥CP、PF⊥OP，∴∠CPE=∠FPG=90°，即∠CPF+∠FPE=∠FPE+∠EPG，∴∠CPF=∠EPG，又∵CO⊥OG、FP⊥OG，∴CO∥FP，∴∠CPF=∠PCO，∴∠PCO=∠EPG，在△PCO和△EPG中，∵∠PCO=∠EPG，∠POC=∠EGP，PC=EP，∴△PCO≌△EPG（AAS），∴CO=PG=6、OP=EG=t，则OG=OP+PG=6+t，则点E的坐标为（t+6，t），（2）∵DA∥EG，∴△PAD∽△PGE，∴AD PAGE PG=，∴46AD tt-=，∴AD=16t（4﹣t），∴BD=AB﹣AD=6﹣16t（4﹣t）=16t2﹣23t+6，∵EG⊥x轴、FP⊥x轴，且EG=FP，∴四边形EGPF为矩形，∴EF⊥BD，EF=PG，∴S四边形BEDF=S△BDF+S△BDE=12×BD×EF=12×（16t2﹣23t+6）×6=12（t﹣2）2+16，∴当t=2时，S有最小值是16；（3）①假设∠FBD为直角，则点F在直线BC上，∵PF=OP＜AB，∴点F不可能在BC上，即∠FBD不可能为直角；②假设∠FDB为直角，则点D在EF上，∵点D在矩形的对角线PE上，∴点D不可能在EF上，即∠FDB不可能为直角；③假设∠BFD为直角且FB=FD，则∠FBD=∠FDB=45°，如图2，作FH⊥BD于点H，则FH=PA，即4﹣t=6﹣t，方程无解，∴假设不成立，即△BDF不可能是等腰直角三角形．。
2020届山西省长治市高三上学期第二次联考数学(理)试卷
长治市2019年高三年级九月份统一联考数学试题（理科）注意事项：1.本试卷分第I 卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。
2.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上相应的位置。
3.全部答案写在答题+上，写在本试卷上无效。
4.本试题满分150分，考试时间120分钟。
5.考试范围：高考全部内容。
第I 卷一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
） 1.已知集合A= {1<x |x }，B= {1<3|x x},则 ( ) A.B A = {1>|x x } B.R B A = C.B A = {0<|x x } D. φ=B A 2.己知i 为虚数单位，若),(11R b a bi a i∈+=-,则=b a ( ) A. 1. B.22C. 2D. 2 3.己知2.05.055.0,2.0log ,2log ===c b a ,则c b a ,,的大小关系为A. a<c<bB. a<b<cC. b<c<aD. c<a<b4.函数)0,(cos )1()(≠≤≤--=x x x xx x f ππ的图象可能为（）5.设函数x x f 2log )(=，在区间(0,5)上随机取一个数x ，则2<)(x f 的概率为（） A.51 B.52 C. 53 D. 54 6.已知向量b a ,满足3||,1||==b a ,且a 与b 的夹角为6π，则=-⋅+)2()(b a b a = A.21 B. 23-C. 21-D. 23 7.定义运算b a *为执行如图所示的程序框图输出的S 值，则)3log 8(log 100349)2lg 9lg 21(⋅*-的值为（）A.1613 B.29C.4D. 6 8.双曲线C: 12422=-y x 的右焦点为F ，点P 在C 的一条渐近线上，O 为坐标原点，若||||PF PO =,则PFO ∆的面积为（）A.423 B.223 C. 22 D. 23 9.定义在[0,+ ∞)上的函数)(x f 满足：当2<0x ≤2时，22)(x x x f -=当2≥x 时，)2(3)(-=x f x f .记函数)(x f 的极大值点从小到大依次记为,......,,21n a a a ,并记相应的极大值为,......,,21n b b b ,则20202211...,,b a b a b a 的值为（）A. 19×319 + 1B. 19×320 + 1C. 20×319 + 1D. 20×32O+110.秦九韶算法是中国南宋时期的数学家秦九韶提出的一种多项式筒化兑法。
山西省长治市2019-2020学年高考第二次适应性考试数学试题含解析
山西省长治市2019-2020学年高考第二次适应性考试数学试题一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．集合{}2|4,M y y x x ==-∈Z 的真子集的个数为( )A ．7B ．8C ．31D ．32【答案】A 【解析】 【分析】计算{}2,3,0M =，再计算真子集个数得到答案. 【详解】{}{}2|4,2,3,0M y y x x ==-∈=Z ，故真子集个数为：3217-=.故选：A . 【点睛】本题考查了集合的真子集个数，意在考查学生的计算能力.2．设集合A=｛4，5，7，9｝，B=｛3，4，7，8，9｝，全集U=A ⋃B ，则集合中的元素共有 （ ）A ．3个B ．4个C ．5个D ．6个【答案】A 【解析】试题分析：{}3,4,5,7,8,9U A B =⋃=,{}4,7,9A B ⋂=,所以{}()3,5,8U C A B ⋂=，即集合()U C A B ⋂中共有3个元素，故选A ． 考点：集合的运算．3．已知曲线11(0x y a a -=+>且1)a ≠过定点(),k b ，若m n b +=且0,0m n >>，则41m n+的最小值为（ ）. A ．92B ．9C ．5D ．52【答案】A 【解析】 【分析】根据指数型函数所过的定点，确定1,2k b ==，再根据条件2m n +=，利用基本不等式求41m n+的最小值. 【详解】Q 定点为(1,2),1,2k b ∴==，2m n ∴+=41141()()2m n m n m n +=++∴149(5+)22m n n m =+… 当且仅当4m nn m =时等号成立，即42,33m n ==时取得最小值92. 故选：A 【点睛】本题考查指数型函数的性质，以及基本不等式求最值，意在考查转化与变形，基本计算能力，属于基础题型.4．正三棱柱111ABC A B C -中，12AA AB =，D 是BC 的中点，则异面直线AD 与1A C 所成的角为（ ） A ．6π B ．4π C ．3π D ．2π 【答案】C 【解析】 【分析】取11B C 中点E ，连接1A E ，CE ，根据正棱柱的结构性质，得出1A E //AD ，则1CA E ∠即为异面直线AD 与1A C 所成角，求出11tan CECA E A E∠=，即可得出结果. 【详解】解：如图，取11B C 中点E ，连接1A E ，CE ，由于正三棱柱111ABC A B C -，则1BB ⊥底面111A B C ， 而1A E ⊂底面111A B C ，所以11BB A E ⊥， 由正三棱柱的性质可知，111A B C △为等边三角形，所以111A E B C ⊥，且111A E B C E =I , 所以1A E ⊥平面11BB C C ，而EC ⊂平面11BB C C ，则1A E ⊥EC ， 则1A E //AD ，190A EC ∠=︒，∴1CA E ∠即为异面直线AD 与1A C 所成角， 设2AB =，则1AA =1A E =，3CE =，则11tan CE CA E A E ∠=== ∴13πCA E ∠=. 故选：C. 【点睛】本题考查通过几何法求异面直线的夹角，考查计算能力.5．设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若23S =，410S =，则6S =（ ） A ．21 B ．22C ．11D ．12【答案】A 【解析】 【分析】由题意知24264,,S S S S S --成等差数列，结合等差中项，列出方程，即可求出6S 的值. 【详解】解：由{}n a 为等差数列，可知24264,,S S S S S --也成等差数列，所以()422642S S S S S -=+- ，即()62103310S ⨯-=+-，解得621S =. 故选:A. 【点睛】本题考查了等差数列的性质，考查了等差中项.对于等差数列，一般用首项和公差将已知量表示出来，继而求出首项和公差.但是这种基本量法计算量相对比较大，如果能结合等差数列性质，可使得计算量大大减少.6．已知当m ，[1n ∈-，1)时，33sin sin22mnn m ππ-<-，则以下判断正确的是( )A ．m n >B ．||||m n <C ．m n <D ．m 与n 的大小关系不确定【答案】C 【解析】 【分析】由函数的增减性及导数的应用得：设3()sin,[1,1]2xf x x x π=+∈-，求得可得()f x 为增函数，又m ，[1n ∈-，1)时，根据条件得()()f m f n <，即可得结果．【详解】解：设3()sin,[1,1]2xf x x x π=+∈-， 则2()3cos022x f x x ππ'=+>， 即3()sin ,[1,1]2x f x x x π=+∈-为增函数， 又m ，[1n ∈-，1)，33sin sin 22m nn m ππ-<-， 即33sin sin 22m n m n ππ+<+， 所以()()f m f n <， 所以m n <． 故选：C ． 【点睛】本题考查了函数的增减性及导数的应用，属中档题． 7．下列选项中，说法正确的是（ ）A ．“20000x R x x ∃∈-≤，”的否定是“2000x R x x ∃∈->，”B ．若向量a b r r ，满足0a b ⋅<r r ，则a r 与b r的夹角为钝角C ．若22am bm ≤，则a b ≤D ．“()x A B ∈U ”是“()x A B ∈I ”的必要条件 【答案】D 【解析】 【分析】对于A 根据命题的否定可得：“∃x 0∈R ，x 02-x 0≤0”的否定是“∀x ∈R ，x 2-x ＞0”，即可判断出；对于B 若向量a b r r ，满足0a b ⋅<r r ，则a r 与b r 的夹角为钝角或平角；对于C 当m=0时，满足am 2≤bm 2，但是a≤b 不一定成立；对于D 根据元素与集合的关系即可做出判断． 【详解】选项A 根据命题的否定可得：“∃x 0∈R ，x 02-x 0≤0”的否定是“∀x ∈R ，x 2-x ＞0”，因此A 不正确；选项B 若向量a b r r ，满足0a b ⋅<r r ，则a r 与b r的夹角为钝角或平角，因此不正确. 选项C 当m=0时,满足am 2≤bm 2，但是a≤b 不一定成立，因此不正确；选项D 若“()x A B ∈I ”，则x A ∈且x B ∈，所以一定可以推出“()x A B ∈U ”，因此“()x A B ∈U ”是“()x A B ∈I ”的必要条件，故正确. 故选：D. 【点睛】本题考查命题的真假判断与应用，涉及知识点有含有量词的命题的否定、不等式性质、向量夹角与性质、集合性质等，属于简单题.8．如图所示，在平面直角坐标系xoy 中，F 是椭圆22221(0)x ya b a b+=>>的右焦点，直线2b y =与椭圆交于B ，C 两点，且90BFC ∠=︒，则该椭圆的离心率是（ ）A 6B ．34C ．12D 3【答案】A 【解析】 【分析】联立直线方程与椭圆方程，解得B 和C 的坐标，然后利用向量垂直的坐标表示可得2232c a =，由离心率定义可得结果. 【详解】由222212x y a b b y ⎧+=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，得32x b y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，所以3,2b B ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，3,2b C ⎫⎪⎪⎝⎭.由题意知(),0F c，所以,2b BF c ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭u u u r，,22b CF c a ⎛⎫=-- ⎪ ⎪⎝⎭u u u r . 因为90BFC ∠=︒,所以BF CF ⊥,所以2222222331044442b a c BF CF c c c a c a ⎛⎫⎛⎫-⋅=+=-+=-= ⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭u u u r u u u r .所以2232c a =，所以c e a ==， 故选：A. 【点睛】本题考查了直线与椭圆的交点，考查了向量垂直的坐标表示，考查了椭圆的离心率公式，属于基础题.9．各项都是正数的等比数列{}n a 的公比1q ≠，且2311,,2a a a 成等差数列，则3445a a a a ++的值为( )ABCD【答案】C 【解析】分析：解决该题的关键是求得等比数列的公比，利用题中所给的条件，建立项之间的关系，从而得到公比q 所满足的等量关系式，解方程即可得结果.详解：根据题意有213122a a a +=⋅，即210q q --=，因为数列各项都是正数，所以12q +=，而34451a a a a q +===+，故选C.点睛：该题应用题的条件可以求得等比数列的公比q ，而待求量就是1q，代入即可得结果. 10．设12,F F 分别是双线2221(0)x y a a-=>的左、右焦点，O 为坐标原点，以12F F 为直径的圆与该双曲线的两条渐近线分别交于,A B 两点（,A B 位于y 轴右侧），且四边形2OAF B 为菱形，则该双曲线的渐近线方程为（ ） A ．0x y ±= B．0y ±=C．0x ±=D ．30x y ±=【答案】B 【解析】【分析】由于四边形2OAF B 为菱形，且2OF OA =，所以2AOF ∆为等边三角形，从而可得渐近线的倾斜角，求出其斜率.【详解】如图，因为四边形2OAF B 为菱形，2OF OA OB ==，所以2AOF △为等边三角形，260AOF ︒∠=，两渐近线的斜率分别为3和3-. 故选：B【点睛】此题考查的是求双曲线的渐近线方程，利用了数形结合的思想，属于基础题. 11．执行如图所示的程序框图，如果输入2[2]t e ∈-，，则输出S 属于（ ）A ．[32]-， B ．[42]-， C ．[0]2， D ．2[3]e -，【答案】B 【解析】 【分析】由题意，框图的作用是求分段函数[]222321ln 1t t t S t t t e ⎧+-∈-⎪=⎨⎡⎤∈⎪⎣⎦⎩，，（），，的值域，求解即得解. 【详解】 由题意可知，框图的作用是求分段函数[]222321ln 1t t t S t t t e ⎧+-∈-⎪=⎨⎡⎤∈⎪⎣⎦⎩，，（），，的值域， 当[2,1),[4,0)t S ∈-∈-； 当2[1,],[0,2]t e S ∈∈综上：[]42S ∈-，. 故选：B 【点睛】本题考查了条件分支的程序框图，考查了学生逻辑推理，分类讨论，数学运算的能力，属于基础题. 12．曲线312ln 3y x x =+上任意一点处的切线斜率的最小值为（ ） A ．3 B ．2C ．32D ．1【答案】A 【解析】 【分析】根据题意，求导后结合基本不等式，即可求出切线斜率3k ≥，即可得出答案. 【详解】 解：由于312ln 3y x x =+，根据导数的几何意义得： ()()2221130k f x x x x x x x '==+=++≥=>， 即切线斜率3k ≥， 当且仅当1x =等号成立， 所以312ln 3y x x =+上任意一点处的切线斜率的最小值为3. 故选：A. 【点睛】本题考查导数的几何意义的应用以及运用基本不等式求最值，考查计算能力. 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
山西省长治市2019-2020年度高考数学二模试卷(理科)(II)卷
山西省长治市2019-2020年度高考数学二模试卷（理科）（II）卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、选择题： (共12题；共24分)1. （2分） (2016高一上·青海期中) 若集合A={x|log x≥2}，则∁RA=（）A .B .C .D .2. （2分）复数的虚部为（）A .B .C .D .3. （2分） (2015高二上·抚顺期末) 命题“∃x∈R，x2﹣x+1＜0”的否定是（）A . ∀x∈R，x2﹣x+1≥0B . ∀x∈R，x2﹣x+1＞0C . ∃x∈R，x2﹣x+1≥0D . ∃x∈R，x2﹣x+1＞04. （2分）在中，若，则边c的长度等于（）.A .B .C .D . 以上都不对5. （2分） (2017高三下·重庆模拟) 已知函数（，为自然对数的底数）与的图象上存在关于直线对称的点，则实数取值范围是（）A .B .C .D .6. （2分）(2017·泸州模拟) 右边程序框图的算法思路源于我国古代数学名著《九章算术》中的“更相减损术”，执行该程序框图，若输入a，b的值分别为16，24，则输出的a的值为（）A . 2B . 4C . 8D . 167. （2分）已知数列为等比数列，且，设等差数列的前n项和为，若，则=（）A . 36B . 32C . 24D . 228. （2分） (2019高三上·桂林月考) 在三棱锥中，，，，，则三棱锥外接球的体积的最小值为（）A .B .C .D .9. （2分） (2019高一上·田阳月考) 把函数y＝sin x(x∈R)的图象上所有点向左平行移动个单位长度，再把所得图象上所有点的横坐标缩短到原来的倍(纵坐标不变)，得到的图象所表示的函数是（）．A .B .C .D .10. （2分） (2017高二下·宜春期末) 在直角梯形ABCD中，AB⊥AD，AD∥B C，AB=BC=2AD=2，E，F分别为BC，CD的中点，以A为圆心，AD为半径的圆交AB于G，点P在上运动（如图）．若=λ +μ ，其中λ，μ∈R，则6λ+μ的取值范围是（）A . [1， ]B . [ ，2 ]C . [2，2 ]D . [1，2 ]11. （2分）已知双曲线的两个焦点为,若P为其上一点，, 则双曲线离心率的取值范围为（）A . (3,+)B . [3,+)C . (1,3)D . (1,3]12. （2分）(2017·山东模拟) 已知a＞2，函数f（x）= 若函数f（x）有两个零点x1 ， x2 ，则（）A . ∃a＞2，x1﹣x2=0B . ∃a＞2，x1﹣x2=1C . ∀a＞2，|x1﹣x2|=2D . ∀a＞2，|x1﹣x2|=3二、填空题： (共4题；共5分)13. （1分）已知平面向量=（2，4），=（1，﹣2），若=﹣（•），则||=________14. （1分）(2017·衡阳模拟) 已知在△ABC中，（2 ﹣3 ）• =0，则角A的最大值为________．15. （1分） (2016高三上·闽侯期中) 已知抛物线x2=4y的集点为F，准线为l，P为抛物线上一点，过P 作PA⊥l于点A，当∠AFO=30°（O为坐标原点）时，|PF|=________．16. （2分） (2018高二上·嘉兴月考) 数列满足，，其前项和为，则（1） ________；（2） ________．三、解答题： (共6题；共40分)17. （5分）某同学用“五点法”画函数f（x）=Asin（ωx+φ）+B（A＞0，ω＞0，|φ|＜）在某一个周期内的图象时，列表并填入的部分数据如下表：x x1x2x3ωx+φ0π2πAsin（ωx+φ）+B141﹣21（Ⅰ）求x2的值及函数f（x）的解析式；（Ⅱ）请说明把函数g（x）=sinx的图象上所有的点经过怎样的变换可以得到函数f（x）的图象．18. （10分） (2016高一下·长春期中) 已知数列{an}的前n项和Sn=n2﹣n，数列{bn}的前n项和Tn=4﹣bn ．（1）求数列{an}和{bn}的通项公式；（2）设cn= an•bn，求数列{cn}的前n项和Rn的表达式．19. （5分） (2018高一下·伊通期末) 某校100名学生期末考试语文成绩的频率分布直方图如图所示，其中成绩分组区间是： .(Ⅰ)求图中的值；(Ⅱ)根据频率分布直方图，估计这100名学生语文成绩的平均分；(Ⅲ)若成绩在的学生中男生比女生多一人，且从成绩在的学生中任选2人，求此2人都是男生的概率.20. （5分）在如图所示的几何体中，四边形ABCD是边长为3的菱形，∠DAB=60°，DE⊥平面ABCD，AF∥DE，DE=3AF，BE与平面ABCD所成角为60°．（Ⅰ）求证：AC⊥平面BDE；（Ⅱ）求二面角F﹣BE﹣C的平面角的余弦值．21. （5分）(2017·晋中模拟) 设M、N、T是椭圆上三个点，M、N在直线x=8上的摄影分别为M1、N1 ．（Ⅰ）若直线MN过原点O，直线MT、NT斜率分别为k1 ， k2 ，求证k1k2为定值．（Ⅱ）若M、N不是椭圆长轴的端点，点L坐标为（3，0），△M1N1L与△MNL面积之比为5，求MN中点K的轨迹方程．22. （10分）(2016·南平模拟) 设函数f（x）=ln（1+x）．（1）若曲线y=f（x）在点（0，f（0））处的切线方程为y=g（x），当x≥0时，f（x）≤ ，求t的最小值；（2）当n∈N*时，证明：．参考答案一、选择题： (共12题；共24分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、10-1、11-1、12-1、二、填空题： (共4题；共5分)13-1、14-1、15-1、16-1、16-2、三、解答题： (共6题；共40分)17-1、答案：略18-1、18-2、19-1、20-1、21-1、22-1、22-2、。
山西省长治市2019-2020学年高考数学教学质量调研试卷含解析
山西省长治市2019-2020学年高考数学教学质量调研试卷一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知函数()sin(2019)cos(2019)44f x x x ππ=++-的最大值为M ，若存在实数,m n ，使得对任意实数x 总有()()()f m f x f n ≤≤成立，则M m n ⋅-的最小值为（ ） A ．2019πB ．22019π C ．42019πD ．4038π【答案】B 【解析】 【分析】根据三角函数的两角和差公式得到()f x =2sin(2019)4x π+，进而可以得到函数的最值，区间(m,n)长度要大于等于半个周期，最终得到结果. 【详解】 函数()sin 2019cos 201944f x x x ππ⎛⎫⎛⎫=++-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭)sin 2019cos 2019cos 2019sin 20192x x x x +++)sin 2019cos 20192sin(2019)4x x x π=+=+则函数的最大值为2，2M m n m n ⋅-=-存在实数,m n ，使得对任意实数x 总有()()()f m f x f n ≤≤成立，则区间(m,n)长度要大于等于半个周期，即min 2220192019m n m n ππ-≥∴-=故答案为：B. 【点睛】这个题目考查了三角函数的两角和差的正余弦公式的应用，以及三角函数的图像的性质的应用，题目比较综合.2．已知ABC ∆的内角,,A B C 的对边分别是,,,a b c 且444222222a b c a b ca b +++=+，若c 为最大边，则a b c +的取值范围是（ ）A ．1⎛ ⎝⎭B ．(C ．1⎛ ⎝⎦D ．【答案】C 【解析】 【分析】由444222222a b c a b c a b+++=+，化简得到cos C 的值，根据余弦定理和基本不等式，即可求解. 【详解】由444222222a b c a b c a b +++=+，可得222422222(2)a b c a b c a b ++-=+， 可得22222222222()c a b c a b a b c a b+-++-=+， 通分得2222222222()()0a b c c a b a b a b +---+=+，整理得222222()a b c a b +-=，所以22221()24a b c ab +-=，因为C 为三角形的最大角，所以1cos 2C =-， 又由余弦定理2222222cos ()c a b ab C a b ab a b ab =+-=++=+-2223()()()24a b a b a b +≥+-=+，当且仅当a b =时，等号成立，所以)c a b >+，即a b c +≤， 又由a b c +>，所以a b c +的取值范围是(1,]3. 故选：C. 【点睛】本题主要考查了代数式的化简，余弦定理，以及基本不等式的综合应用，试题难度较大，属于中档试题，着重考查了推理与运算能力.3．已知定义在R 上的函数()f x 的周期为4，当[2,2)x ∈-时，1()43xf x x ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，则()()33log 6log 54f f -+=（ ）A ．32B ．33log 22- C ．12-D ．32log 23+ 【答案】A 【解析】 【分析】因为给出的解析式只适用于[2,2)x ∈-，所以利用周期性，将3(log 54)f 转化为32(log )3f ，再与()3log 6f -一起代入解析式，利用对数恒等式和对数的运算性质，即可求得结果.【详解】Q 定义在R 上的函数()f x 的周期为43332(log 54)(log 544)(log )3f f f ∴=-=，Q 当[2,2)x ∈-时，1()()43x f x x =--，3log 6[2,2)-∈-，32log [2,2)3∈-，()()33log 6log 54f f ∴-+332log log 6333112()(log 6)4()log 4333-=---+-- 11333log 6log 233112()()(log 6log )8333=++-- 3336log (6)822=++⨯-32=. 故选：A. 【点睛】本题考查了利用函数的周期性求函数值，对数的运算性质，属于中档题.4．为了加强“精准扶贫”，实现伟大复兴的“中国梦”，某大学派遣甲、乙、丙、丁、戊五位同学参加、、A B C 三个贫困县的调研工作，每个县至少去1人，且甲、乙两人约定去同一个贫困县，则不同的派遣方案共有（ ） A ．24 B ．36 C ．48 D ．64【答案】B 【解析】 【分析】根据题意，有两种分配方案，一是3:1:1，二是2:2:1，然后各自全排列，再求和. 【详解】当按照3:1:1进行分配时，则有133318C A =种不同的方案；当按照2:2:1进行分配，则有233318C A =种不同的方案. 故共有36种不同的派遣方案， 故选：B. 【点睛】本题考查排列组合、数学文化，还考查数学建模能力以及分类讨论思想，属于中档题.5．函数22cos x xy x x--=-的图像大致为（ ）.A ．B ．C ．D ．【答案】A 【解析】 【分析】 本题采用排除法: 由5522f f ππ⎛⎫⎛⎫-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭排除选项D ； 根据特殊值502f π⎛⎫> ⎪⎝⎭排除选项C; 由0x >,且x 无限接近于0时, ()0f x <排除选项B ； 【详解】对于选项D:由题意可得, 令函数()f x = 22cos x xy x x--=-,则5522522522f ππππ--⎛⎫-= ⎪⎝⎭,5522522522f ππππ--⎛⎫= ⎪⎝⎭;即5522f f ππ⎛⎫⎛⎫-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.故选项D 排除;对于选项C ：因为55225220522f ππππ--⎛⎫=> ⎪⎝⎭,故选项C 排除;对于选项B:当0x >,且x 无限接近于0时,cos x x -接近于10-<,220x x -->，此时()0f x <.故选项B 排除; 故选项:A 【点睛】本题考查函数解析式较复杂的图象的判断;利用函数奇偶性、特殊值符号的正负等有关性质进行逐一排除是解题的关键;属于中档题.6．已知盒中有3个红球，3个黄球，3个白球，且每种颜色的三个球均按A ，B ，C 编号，现从中摸出3个球（除颜色与编号外球没有区别），则恰好不同时包含字母A ，B ，C 的概率为（ ） A ．1721B ．1928C ．79D ．2328【答案】B 【解析】 【分析】首先求出基本事件总数，则事件“恰好不同时包含字母A ，B ，C ”的对立事件为“取出的3个球的编号恰好为字母A ，B ，C ”， 记事件“恰好不同时包含字母A ，B ，C ”为E ，利用对立事件的概率公式计算可得； 【详解】解：从9个球中摸出3个球，则基本事件总数为3984C =（个），则事件“恰好不同时包含字母A ，B ，C ”的对立事件为“取出的3个球的编号恰好为字母A ，B ，C ”记事件“恰好不同时包含字母A ，B ，C ”为E ，则339319()128P E C =-=. 故选：B 【点睛】本题考查了古典概型及其概率计算公式，考查了排列组合的知识，解答的关键在于正确理解题意，属于基础题．7．已知{}n a 为正项等比数列，n S 是它的前n 项和，若116a =，且4a 与7a 的等差中项为98，则5S 的值是( ) A ．29 B ．30C ．31D ．32【答案】B 【解析】【分析】设正项等比数列的公比为q ，运用等比数列的通项公式和等差数列的性质，求出公比，再由等比数列的求和公式，计算即可得到所求． 【详解】设正项等比数列的公比为q ， 则a 4=16q 3，a 7=16q 6， a 4与a 7的等差中项为98， 即有a 4+a 7=94， 即16q 3+16q 6，=94，解得q=12（负值舍去），则有S 5=()5111a q q--=511612112⎛⎫⨯- ⎪⎝⎭-=1． 故选C ． 【点睛】本题考查等比数列的通项和求和公式的运用，同时考查等差数列的性质，考查运算能力，属于中档题． 8．已知ABC V 的垂心为H ，且6,8,AB BC M ==是AC 的中点，则HM AC ⋅=u u u u r u u u r（ ） A ．14 B ．12C ．10D ．8【答案】A 【解析】 【分析】由垂心的性质，得到0BH AC ⋅=u u u r u u u r，可转化HM AC BM AC ⋅=⋅u u u u r u u u r u u u u r u u u r ，又1()()2BM AC BA BC BC BA ⋅=+⋅-u u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r 即得解. 【详解】因为H 为ABC V 的垂心，所以BH AC ⊥， 所以0BH AC ⋅=u u u r u u u r ，而HM HB BM =+u u u u r u u u r u u u u r，所以()HM AC HB BM AC BM AC ⋅=+⋅=⋅u u u u r u u u r u u u r u u u u r u u u r u u u u r u u u r ，因为M 是AC 的中点，所以1()()2BM AC BA BC BC BA ⋅=+⋅-u u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r2211()(6436)1422BC BA =-=-=u u ur uu u r ． 故选：A 【点睛】本题考查了利用向量的线性运算和向量的数量积的运算率，考查了学生综合分析，转化划归，数学运算的能力，属于中档题.9． 若数列{}n a 满足115a =且1332n n a a +=-，则使10k k a a +⋅<的k 的值为( ) A ．21 B ．22C ．23D ．24【答案】C 【解析】因为123n n a a +-=-，所以{}n a 是等差数列，且公差12,153d a =-=，则224715(1)333n a n n =--=-+，所以由题设10k k a a +⋅<可得2472454547()()0333322n n n -+-+<⇒<<，则23n =，应选答案C ．10．已知1F ，2F 是椭圆22221(0)x y C a b a b +=>>：的左、右焦点，过2F 的直线交椭圆于,P Q 两点.若2211||,||,||,||QF PF PF QF 依次构成等差数列，且1||PQ PF =，则椭圆C 的离心率为A ．23B ．34C ．155D ．105【答案】D 【解析】 【分析】 【详解】如图所示，设2211||,||,||,||QF PF PF QF 依次构成等差数列{}n a ，其公差为d .根据椭圆定义得12344a a a a a +++=，又123a a a +=，则1111111()(2)(3)4()2a a d a d a d aa a d a d ++++++=⎧⎨++=+⎩，解得25d a =，12342468,,,5555a a a a a a a a ====.所以18||5QF a =，16||5PF a =，24||5PF a =，6||5PQ a =.在12PF F △和1PFQ V 中，由余弦定理得2222221246668()()(2)()()()55555cos 4666225555a a c a a a F PF a a a a +-+-∠==⋅⋅⋅⋅，整理解得c e a ==故选D ． 11．已知||a =r ||2b =r ，若()a ab ⊥-r r r ，则向量a b +r r 在向量b r方向的投影为（ ）A ．12B ．72C ．12-D ．72-【答案】B 【解析】 【分析】由()a ab ⊥-r r r，||a =r ||2b =r 3a b ⇒⋅=r r ，再由向量a b +r r 在向量b r 方向的投影为()||a b bb +⋅r r rr 化简运算即可 【详解】∵()a a b ⊥-r r r ∴()230a a b a a b a b ⋅-=-⋅=-⋅=r r r r r r r r ，∴3a b ⋅=r r，∴向量a b +r r 在向量b r 方向的投影为2()347||cos ,22||||a b b a b b a b a b b b b +⋅⋅++++====r r r r r r r r r r r r r .故选：B. 【点睛】本题考查向量投影的几何意义，属于基础题12．已知集合{2,0,1,3}A =-，{B x x =<<，则集合A B I 子集的个数为（ ） A ．4 B ．8C ．16D ．32【答案】B 【解析】 【分析】首先求出A B I ，再根据含有n 个元素的集合有2n 个子集，计算可得. 【详解】解：{2,0,1,3}A =-Q，{B x x =<<，{2,0,1}A B ∴=-I ，A B ∴I 子集的个数为328=.故选：B . 【点睛】考查列举法、描述法的定义，以及交集的运算，集合子集个数的计算公式，属于基础题． 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
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山西省长治市2019-2020学年高考数学二模考试卷一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．821x y x ⎛⎫++ ⎪⎝⎭的展开式中12x y -的系数是（ ） A ．160 B ．240C ．280D ．320【答案】C 【解析】 【分析】首先把1x x +看作为一个整体，进而利用二项展开式求得2y 的系数，再求71x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式中1x -的系数，二者相乘即可求解. 【详解】由二项展开式的通项公式可得821x y x ⎛⎫++ ⎪⎝⎭的第1r +项为82181rr r r T C x y x -+⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，令1r =，则712281T C x y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，又71x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的第1r +为7271771rr r r r r T C x C x x --+⎛⎫== ⎪⎝⎭，令3r =，则3735C =，所以12x y -的系数是358280⨯=. 故选：C 【点睛】本题考查二项展开式指定项的系数，掌握二项展开式的通项是解题的关键，属于基础题. 2．高三珠海一模中，经抽样分析，全市理科数学成绩X 近似服从正态分布()285,N σ，且(6085)0.3P X <≤=．从中随机抽取参加此次考试的学生500名，估计理科数学成绩不低于110分的学生人数约为（ ） A ．40 B ．60C ．80D ．100【答案】D 【解析】 【分析】由正态分布的性质，根据题意，得到(110)(60)P X P X ≥=≤，求出概率，再由题中数据，即可求出结果. 【详解】由题意，成绩X 近似服从正态分布()285,N σ，则正态分布曲线的对称轴为85x =，根据正态分布曲线的对称性，求得(110)(60)0.50.30.2P X P X ≥=≤=-=， 所以该市某校有500人中，估计该校数学成绩不低于110分的人数为5000.2100⨯=人， 故选:D . 【点睛】本题考查正态分布的图象和性质,考查学生分析问题的能力,难度容易. 3．设n S 是等差数列{}n a 的前n 项和，且443S a =+，则2a =( ) A ．2- B ．1-C ．1D ．2【答案】C 【解析】 【分析】利用等差数列的性质化简已知条件，求得2a 的值. 【详解】由于等差数列{}n a 满足443S a =+，所以123443a a a a a +++=+，1233a a a ++=，2233,1a a ==. 故选：C 【点睛】本小题主要考查等差数列的性质，属于基础题.4．已知等差数列{}n a 中，若5732a a =，则此数列中一定为0的是（ ） A ．1a B ．3aC ．8aD ．10a【答案】A 【解析】 【分析】将已知条件转化为1,a d 的形式，由此确定数列为0的项. 【详解】由于等差数列{}n a 中5732a a =，所以()()113426a d a d +=+，化简得10a=，所以1a 为0.故选：A 【点睛】本小题主要考查等差数列的基本量计算，属于基础题. 5．设ln 2m =，lg 2n =，则（ ） A ．m n mn m n ->>+B ．m n m n mn ->+>C ．m n mn m n +>>-D ．m n m n mn +>->【答案】D 【解析】 【分析】由不等式的性质及换底公式即可得解. 【详解】解：因为ln 2m =，lg 2n =，则m n >，且(),0,1m n ∈， 所以m n mn +>，m n m n +>-， 又2222111110log 10log log log 21lg 2ln 2e n m e-=-=-=>=, 即1m nmn->,则m n mn ->， 即m n m n mn +>->，故选：D. 【点睛】本题考查了不等式的性质及换底公式，属基础题. 6．要得到函数sin 23y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象，只需将函数sin 2y x =的图象（ ） A ．向右平移6π个单位 B ．向右平移3π个单位 C ．向左平移3π个单位 D ．向左平移6π个单位 【答案】D 【解析】 【分析】直接根据三角函数的图象平移规则得出正确的结论即可； 【详解】解：函数sin 2sin 236y x x ππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=+=+ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦， ∴要得到函数sin 23y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象，只需将函数sin 2y x =的图象向左平移6π个单位． 故选：D ． 【点睛】本题考查三角函数图象平移的应用问题，属于基础题．7．已知平面α，β，直线l 满足l α⊂，则“l β⊥”是“αβ⊥”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．即不充分也不必要条件【答案】A 【解析】 【分析】α，β是相交平面，直线l ⊂平面α，则“l β⊥” ⇒ “αβ⊥”，反之αβ⊥，直线l 满足l α⊂，则l β⊥或l //β或l ⊂平面β，即可判断出结论． 【详解】解：已知直线l ⊂平面α，则“l β⊥” ⇒ “αβ⊥”，反之αβ⊥，直线l 满足l α⊂，则l β⊥或l //β或l ⊂平面β，∴ “l β⊥”是“αβ⊥”的充分不必要条件．故选：A. 【点睛】本题考查了线面和面面垂直的判定与性质定理、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力． 8．已知函数()()4,2x f x x g x a x =+=+，若[]121,3,2,32x x ⎡⎤∀∈∃∈⎢⎥⎣⎦，使得()()12f x g x ≥，则实数a 的取值范围是（ ） A ．1a ≤ B ．1a ≥ C ．0a ≤ D ．0a ≥【答案】C 【解析】试题分析：由题意知，当11,32x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，由()44f x x x =+≥=，当且仅当4x x =时，即2x =等号是成立，所以函数()f x 的最小值为4，当[]22,3x ∈时，()2xg x a =+为单调递增函数，所以()()min 24g x g a ==+，又因为[]121,3,2,32x x ⎡⎤∀∈∃∈⎢⎥⎣⎦，使得()()12f x g x ≥，即()f x 在1,32x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦的最小值不小于()g x 在[]2,3x ∈上的最小值，即44a +≤，解得0a ≤，故选C ． 考点：函数的综合问题．【方法点晴】本题主要考查了函数的综合问题，其中解答中涉及到基本不等式求最值、函数的单调性及其应用、全称命题与存在命题的应用等知识点的综合考查，试题思维量大，属于中档试题，着重考查了学生分析问题和解答问题的能力，以及转化与化归思想的应用，其中解答中转化为()f x 在1,32x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦的最小值不小于()g x 在[]2,3x ∈上的最小值是解答的关键．9．一辆邮车从A 地往B 地运送邮件，沿途共有n 地，依次记为1A ，2A ，…n A （1A 为A 地，n A 为B 地）．从1A 地出发时，装上发往后面1n -地的邮件各1件，到达后面各地后卸下前面各地发往该地的邮件，同时装上该地发往后面各地的邮件各1件，记该邮车到达1A ，2A ，…n A 各地装卸完毕后剩余的邮件数记为(1,2,,)k a k n =…．则k a 的表达式为（ ）．A ．(1)k n k -+B ．(1)k n k --C ．()n n k -D ．()k n k -【答案】D 【解析】 【分析】根据题意，分析该邮车到第k 站时，一共装上的邮件和卸下的邮件数目，进而计算可得答案． 【详解】解：根据题意，该邮车到第k 站时，一共装上了(21)(1)(2)()2n k kn n n k --⨯-+-+⋯⋯-=件邮件，需要卸下(1)123(1)2k k k ⨯-+++⋯⋯-=件邮件， 则(21)(1)()22k n k k k k a k n k --⨯⨯-=-=-，故选：D ． 【点睛】本题主要考查数列递推公式的应用，属于中档题．10．已知函数()(0xf x m m m =->，且1)m ≠的图象经过第一、二、四象限，则||a f =，384b f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，|(0)|c f =的大小关系为( )A ．c b a <<B ．c a b <<C ．a b c <<D ．b a c <<【答案】C 【解析】 【分析】根据题意，得01m <<，(1)0f =，则()f x 为减函数，从而得出函数|()|f x 的单调性，可比较a 和b ，而|(0)|1c f m ==-，比较()()0,2f f ，即可比较,,a b c .【详解】因为()(0xf x m m m =->，且1)m ≠的图象经过第一、二、四象限， 所以01m <<，(1)0f =，所以函数()f x 为减函数，函数|()|f x 在(,1)-∞上单调递减，在(1,)+∞上单调递增， 又因为31382412422<=<=<，所以a b <，又|(0)|1c f m ==-，2|(2)|f m m =-，则|2|(2)||(0)|10f f m -=-<， 即|(2)||(0)|f f <， 所以a b c <<. 故选：C. 【点睛】本题考查利用函数的单调性比较大小，还考查化简能力和转化思想.11．在ABC ∆中,,A B C ∠∠∠所对的边分别是,,a b c ，若3,4,120a b C ︒==∠=，则c =（ ）A ．37B ．13C D【答案】D 【解析】 【分析】直接根据余弦定理求解即可． 【详解】解：∵3,4,120a b C ︒==∠=，∴2222cos 9161237c a b ab C =+-=++=，∴c = 故选：D ． 【点睛】本题主要考查余弦定理解三角形，属于基础题．12．对于任意x ∈R ，函数()f x 满足(2)()f x f x -=-，且当1x …时，函数()f x =若111,,223⎛⎫⎛⎫⎛⎫==-=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭a fb fc f ，则,,a b c 大小关系是（ ）A ．b c a <<B ．b a c <<C ．c a b <<D ．c b a <<【答案】A 【解析】 【分析】由已知可得[1,)+∞的单调性，再由(2)()f x f x -=-可得()f x 对称性，可求出()f x 在(,1)-∞单调性，即可求出结论. 【详解】对于任意x ∈R ，函数()f x 满足(2)()f x f x -=-， 因为函数()f x 关于点(1,0)对称，当1x ≥时，()f x =所以()f x 在定义域R 上是单调增函数. 因为111232-<-<，所以111232⎛⎫⎛⎫⎛⎫-<-< ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭f f f ， b c a <<.故选:A. 【点睛】本题考查利用函数性质比较函数值的大小，解题的关键要掌握函数对称性的代数形式，属于中档题.. 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。