下册 小专题训练 与圆的基本性质有关的计算-2020秋九年级北师大版数学全一册作业课件
北师大版九年级数学下册练习：小专题(十四) 与圆的基本性质有关的计算-最新学习文档
第 1 页 小专题(十四) 与圆的基本性质有关的计算类型1 求角度1.(2019·北京)如图，点A ，B ，C ，D 在⊙O 上，CB ︵＝CD ︵，∠CAD＝30°，∠ACD ＝50°，则∠ADB＝70°.2.如图，AB 是⊙O 的直径，CD 是⊙O 的弦，BA ，DC 的延长线交于点E ，AB ＝2CE ，∠E＝25°，则∠BOD ＝75°.3.如图，A ，B 是⊙O 上的两个定点，P 是⊙O 上的动点(P 不与A ，B 重合)，我们称∠APB 是⊙O 上关于点A ，B 的滑动角.已知∠APB 是⊙O 上关于点A ，B 的滑动角.(1)若AB 是⊙O 的直径，则∠APB 的度数是90°；(2)若⊙O 的半径是1，AB ＝2，则∠APB 的度数是45°或135°__.4.如图，AB 为⊙O 的直径，弦CD 与AB 相交于点E ，∠ACD＝60°，∠ADC＝50°，则∠CEB 的度数为100°.5.如图，在⊙O 中，∠OAB＝22.5°，则∠C 的度数为112.5°__.6.(2019·南京)如图，四边形ABCD 是菱形，⊙O 经过点A ，C ，D ，与BC 相交于点E ，连接AC ，AE.若∠D＝78°，则∠EAC＝27°.类型2 求长度7.(2019·咸宁)如图，已知⊙O 的半径为5，弦AB ，CD 所对的圆心角分别是∠AOB，∠COD.若∠AOB 与∠COD 互补，弦CD ＝6，则弦AB 的长为(B)A .6B .8C .5 2D .5 38.如图，⊙O 的半径是3，点P 是弦AB 延长线上的一点，连接OP.若OP ＝4，∠APO＝30°，则弦AB 的长是25.9.如图，⊙O 的半径OD⊥弦AB 于点C ，连接AO 并延长交⊙O 于点E ，连接EC.若AB ＝8，CD ＝2，则EC 的长为213__.10.如图，AB ，AC ，AD 为⊙O 的弦，∠BAC＝60°，∠DAC＝30°，AB ＝4，AD ＝6，则CD 的长为13.11.(2019·十堰)如图，△ABC 内接于⊙O，∠ACB＝90°，∠ACB 的平分线交⊙O 于点D.若AC ＝6，BD ＝52，则BC 的长为8.。
北师大版九年级数学下册第三章《圆》专题测试含答案
《圆》专题训练含答案一．选择题（共9小题）1．已知⊙O中最长的弦长8cm，则⊙O的半径是（）A．2cm B．4cm C．8cm D．16cm2．有下列说法：①直径是圆中最长的弦；②等弧所对的弦相等；③圆中90°的角所对的弦是直径；④相等的圆心角对的弧相等．其中正确的有（）A．1个B．2个C．3个D．4个3．如图，已知AB、AC都是⊙O的弦，OM⊥AB，ON⊥AC，垂足分别为M，N，若MN＝，那么BC等于（）A．5B．C．2D．4．如图，AB是⊙O的直径，CD是⊙O的弦，如果∠ACD＝37°，那么∠BAD＝（）A．51°B．53°C．57°D．60°5．已知⊙O的半径等于3，圆心O到点P的距离为5，那么点P与⊙O的位置关系是（）A．点P在⊙O内B．点P在⊙O外C．点P在⊙O上D．无法确定6．如图EF与⊙O相切于点D，A、B为⊙O上点，则下列说法中错误的（）A．∠AOB是圆心角B．∠ADB是圆周角C．∠BDF是圆周角D．∠BOD是圆心角7．如图，P A、PB、分别切⊙O于A、B两点，∠P＝40°，则∠C的度数为（）A．40°B．140°C．70°D．80°8．如图，⊙O与正五边形ABCDE的边AB，DE分别相切于点B，D，则劣弧BD所对的圆心角∠BOD的大小为（）A．108°B．118°C．144°D．120°9．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝6，AD是∠BAC的平分线，经过A，D两点的圆的圆心O恰好落在AB上，⊙O分别与A、B、AC相交于点E、F．若圆半径为2．则阴影部分面积（）A．B．C．D．二．填空题（共8小题）10．有下列说法：①半径是弦；②半圆是弧，但弧不一定是半圆；③面积相等的两个圆是等圆，其中正确的是（填序号）11．如图，某种齿轮有20个齿，每两齿之间的间隔相等，则相邻两齿间的圆心角α等于°．12．如图所示，⊙O的半径为5，AB为弦，半径OC⊥AB，垂足为D，如果CD＝2，那么AB的长是．13．如图△ABC中，AC＝BC＝5，AB＝6，以AB为直径的⊙O与AC交于点D，若E为的中点，则DE．14．如图，在⊙O中，半径OC＝6，D是半径OC上一点，且OD＝4．A，B是⊙O上的两个动点，∠ADB＝90°，F是AB的中点，则OF的长的最大值等于．15．如图，⊙O是四边形ABCD的内切圆，连接OA、OB、OC、OD．若∠AOB＝110°，则∠COD的度数是°．16．正n边形内接于半径为R的圆，这个n边形的面积为3R2，则n等于．17．已知扇形的圆心角为120°，它所对弧长为20πcm，则扇形的半径为．三．解答题（共8小题）18．如图，在△ABC中，点O为BC边上一点，⊙O经过A、B两点，与BC边交于点E，点F为BE下方半圆弧上一点，FE⊥AC，垂足为D，∠BEF＝2∠F．（1）求证：AC为⊙O切线．（2）若AB＝5，DF＝4，求⊙O半径长．19．如图，A，B，C，D在⊙O上，AB∥CD经过圆心O的线段EF⊥AB于点F，与CD交于点E．（1）如图1，当⊙O半径为5，CD＝4，若EF＝BF，求弦AB的长；（2）如图2，当⊙O半径为，CD＝2，若OB⊥OC，求弦AC的长．20．如图，OA，OB是⊙O的两条半径，OA⊥OB，C是半径OB上一动点，连结AC并延长交⊙O于D，过点D作圆的切线交OB的延长线于E，已知OA＝8．（1）求证：∠ECD＝∠EDC；（2）若OC＝2，求DE长；（3）当∠A从15°增大到30°的过程中，求弦AD在圆内扫过的面积．21．如图，以△ABC的BC边上一点O为圆心的圆，经过A、B两点，且与BC边交于点E，D为BE的下半圆弧的中点，连接AD交BC于F，若AC＝FC．（1）求证：AC是⊙O的切线；（2）若BF＝4，DF＝，求⊙O的半径．22．如图，不等边△ABC内接于⊙O，I是△ABC内心，AI交⊙O于D点，交BC于点E，连接BD，BI．（1）求证BD＝ID；（2）连接OI，若AI⊥OI．且AB＝4，BC＝6，求AC的长．23．如图，已知AB、AC分别是⊙O的直径和弦，过点C的切线与AB的延长线交于点E，点D为EC的延长线上一点，DH⊥AB，垂足为点H，交AC于点F．（1）求证：△FCD是等腰三角形；（2）若点F为AC的中点，且∠E＝30°，BE＝2，求DF的长．24．如图，在△ABC中，AB＝AC＝8，以AB为直径的⊙O交BC于点D，过点D作⊙O的切线交AC于点E，连接OD．（1）求证：OD∥AC；（2）若∠A＝45°，求DE的长．25．在⊙O中，直径AB⊥弦CD于点F，点E是弧AD上一点，连BE交CD于点N，点P 在CD的延长线上，PN＝PE．（1）求证：PE是⊙O的切线；（2）连接DE，若DE∥AB，OF＝3，BF＝2，求PN的长．圆专题参考答案与试题解析一．选择题（共9小题）1．已知⊙O中最长的弦长8cm，则⊙O的半径是（）A．2cm B．4cm C．8cm D．16cm【解答】解：∵⊙O中最长的弦为8cm，即直径为8cm，∴⊙O的半径为4cm．故选：B．2．有下列说法：①直径是圆中最长的弦；②等弧所对的弦相等；③圆中90°的角所对的弦是直径；④相等的圆心角对的弧相等．其中正确的有（）A．1个B．2个C．3个D．4个【解答】解：①正确；②在同圆或等圆中，能够重合的弧叫做等弧，等弧所对的弦相等；故②正确；③圆中，90°圆周角所对的弦是直径；故③错误；④在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等；故④错误；因此正确的结论是①②；故选：B．3．如图，已知AB、AC都是⊙O的弦，OM⊥AB，ON⊥AC，垂足分别为M，N，若MN＝，那么BC等于（）A．5B．C．2D．【解答】解：∵OM⊥AB，ON⊥AC，垂足分别为M、N，∴M、N分别是AB与AC的中点，∴MN是△ABC的中位线，∴BC＝2MN＝2，故选：C．4．如图，AB是⊙O的直径，CD是⊙O的弦，如果∠ACD＝37°，那么∠BAD＝（）A．51°B．53°C．57°D．60°【解答】解：连接BD，如图所示．∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB＝90°．在△ABD中，∠ABD＝∠ACD＝37°，∠ADB＝90°，∴∠BAD＝180°﹣∠ABD﹣∠ADB＝53°．故选：B．5．已知⊙O的半径等于3，圆心O到点P的距离为5，那么点P与⊙O的位置关系是（）A．点P在⊙O内B．点P在⊙O外C．点P在⊙O上D．无法确定【解答】解：∵r＝3，d＝5，∴d＞r，∴点P在⊙O外．故选：B．6．如图EF与⊙O相切于点D，A、B为⊙O上点，则下列说法中错误的（）A．∠AOB是圆心角B．∠ADB是圆周角C．∠BDF是圆周角D．∠BOD是圆心角【解答】解：∵EF与⊙O相切于点D，∴点D有圆上，∴∠AOB和∠BOD是圆心角，∠ADB是圆周角，∵点F不在圆O上，∴∠BDF不是圆周角，故选：C．7．如图，P A、PB、分别切⊙O于A、B两点，∠P＝40°，则∠C的度数为（）A．40°B．140°C．70°D．80°【解答】解：∵P A是圆的切线．∴∠OAP＝90°，同理∠OBP＝90°，根据四边形内角和定理可得：∠AOB＝360°﹣∠OAP﹣∠OBP﹣∠P＝360°﹣90°﹣90°﹣40°＝140°，∴∠ACB＝∠AOB＝70°．故选：C．8．如图，⊙O与正五边形ABCDE的边AB，DE分别相切于点B，D，则劣弧BD所对的圆心角∠BOD的大小为（）A．108°B．118°C．144°D．120°【解答】解：∵五边形ABCDE是正五边形，∴∠E＝∠A＝180°﹣＝108°．∵AB、DE与⊙O相切，∴∠OBA＝∠ODE＝90°，∴∠BOD＝（5﹣2）×180°﹣90°﹣108°﹣108°﹣90°＝144°，故选：C．9．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝6，AD是∠BAC的平分线，经过A，D两点的圆的圆心O恰好落在AB上，⊙O分别与A、B、AC相交于点E、F．若圆半径为2．则阴影部分面积（）A．B．C．D．【解答】解：连接OD，OF．∵AD是∠BAC的平分线，∴∠DAB＝∠DAC，∵OD＝OA，∴∠ODA＝∠OAD，∴∠ODA＝∠DAC，∴OD∥AC，∴∠ODB＝∠C＝90°，∴S△AFD＝S△OF A，∴S阴＝S扇形OF A，∵OD＝OA＝2，AB＝6，∴OB＝4，∴OB＝2OD，∴∠B＝30°，∴∠A＝60°，∵OF＝OA，∴△AOF是等边三角形，∴∠AOF＝60°，∴S阴＝S扇形OF A＝＝．故选：C．二．填空题（共8小题）10．有下列说法：①半径是弦；②半圆是弧，但弧不一定是半圆；③面积相等的两个圆是等圆，其中正确的是②③（填序号）【解答】解：①半径是弦，错误，因为半径的一个端点为圆心；②半圆是弧，但弧不一定是半圆，正确；③面积相等的两个圆是等圆，正确，正确的结论有②③，故答案为：②③．11．如图，某种齿轮有20个齿，每两齿之间的间隔相等，则相邻两齿间的圆心角α等于18°．【解答】解：由题意这是正二十边形，中心角α＝＝18°，故答案为18．12．如图所示，⊙O的半径为5，AB为弦，半径OC⊥AB，垂足为D，如果CD＝2，那么AB的长是8．【解答】解：连接OA，∵半径OC⊥AB，∴AE＝BD＝AB，∵OC＝5，CD＝2，∴OE＝3，在Rt△AOD中，AD＝＝＝4，∴AB＝2AD＝8，故答案为8．13．如图△ABC中，AC＝BC＝5，AB＝6，以AB为直径的⊙O与AC交于点D，若E为的中点，则DE．【解答】解：连接OC、OE、BD，OE与BD交于点F，如图所示：∵AC＝BC＝5，O为AB的中点，∴OA＝OB＝3，OC⊥AB，∴OC＝＝＝4，∵AB为⊙O的直径，∴∠ADB＝90°∴AD⊥BD，∴BD＝＝＝，∴AD＝＝＝，∵E为的中点，∴OE⊥BD，∴OE∥AD，∵OA＝OB，∴OF为△ABD的中位线，∴DF＝BF＝BD＝，OF＝AD＝，∴EF＝OE﹣OF＝3﹣＝，∴DE＝＝＝；故答案为：．14．如图，在⊙O中，半径OC＝6，D是半径OC上一点，且OD＝4．A，B是⊙O上的两个动点，∠ADB＝90°，F是AB的中点，则OF的长的最大值等于2+．【解答】解：∵当点F与点D运动至共线时，OF长度最大，如图，∵F是AB的中点，∴OC⊥AB，设OF为x，则DF＝x﹣4，∵△ABD是等腰直角三角形，∴DF＝AB＝BF＝x﹣4，在Rt△BOC中，OB2＝OF2+BF2，∵OB＝OC＝6，∴36＝x2+（x﹣4）2，解得x＝2+或2﹣（舍去）∴OF的长的最大值等于2+，故答案为2+．15．如图，⊙O是四边形ABCD的内切圆，连接OA、OB、OC、OD．若∠AOB＝110°，则∠COD的度数是70°．【解答】解：如图所示：连接圆心与各切点，在Rt△DEO和Rt△DFO中，∴Rt△DEO≌Rt△DFO（HL），∴∠1＝∠2，同理可得：Rt△AFO≌Rt△AMO，Rt△BMO≌Rt△BNO，Rt△CEO≌Rt△CNO，∴∠3＝∠4，∠5＝∠7，∠6＝∠8，∴∠5+∠6＝∠7+∠8＝110°，∴2∠2+2∠3＝360°﹣2×110°，∴∠2+∠3＝∠DOC＝70°．故答案为：70°．16．正n边形内接于半径为R的圆，这个n边形的面积为3R2，则n等于10．【解答】解：根据正n边形内接于半径为R的圆，则可将分割成n个全等的等腰三角形，其中等腰三角形的腰长为圆的半径R，顶角为，∵个n边形的面积为3R2，∴n××R×R×sin＝3R2n sin＝6解得n＝10．故答案为10．17．已知扇形的圆心角为120°，它所对弧长为20πcm，则扇形的半径为30cm．【解答】解：根据题意得，r＝30cm，故答案为30cm．三．解答题（共8小题）18．如图，在△ABC中，点O为BC边上一点，⊙O经过A、B两点，与BC边交于点E，点F为BE下方半圆弧上一点，FE⊥AC，垂足为D，∠BEF＝2∠F．（1）求证：AC为⊙O切线．（2）若AB＝5，DF＝4，求⊙O半径长．【解答】（1）证明：连结OA，∴∠AOE＝2∠F，∵∠BEF＝2∠F，∴∠AOE＝∠BEF，∴AO∥DF，∵DF⊥AC，∴OA⊥AC，∴AC为⊙O切线；（2）解：连接OF，∵∠BEF＝2∠F，∴设∠AFE＝α，则∠BEF＝2α，∴∠BAF＝∠BEF＝2α，∵∠B＝∠AFE＝α，∴∠BAO＝∠B＝α，∴∠OAF＝∠BAO＝α，∵OA＝OF，∴∠AFO＝∠OAF＝α，∴△ABO≌△AFO（AAS），∴AB＝AF＝5，∵DF＝4，∴AD＝＝3，∵BE是⊙O的直径，∴∠BAE＝90°，∴∠BAE＝∠FDA，∵∠B＝∠AFD，∴△ABE∽△DF A，∴＝，∴＝，∴BE＝，∴⊙O半径＝．19．如图，A，B，C，D在⊙O上，AB∥CD经过圆心O的线段EF⊥AB于点F，与CD交于点E．（1）如图1，当⊙O半径为5，CD＝4，若EF＝BF，求弦AB的长；（2）如图2，当⊙O半径为，CD＝2，若OB⊥OC，求弦AC的长．【解答】解：（1）如图1中，连接OB，OC．设BF＝EF＝x，OF＝y．∴∠CEF∠CEF∵AB∥CD，EF⊥AB，∴EF⊥CD，∴AF＝BF＝x，DE＝EC＝2，根据勾股定理可得：，解得或（舍弃），∴BF＝4，AB＝2BF＝8．（2）如图2中，作CH⊥AB于H．∵OB⊥OC，∴∠A＝∠BOC＝45°，∵AH⊥CH，∴△ACH是等腰直角三角形，∵AC＝CH，∵AB∥CD，EF⊥AB，∴EF⊥CD，∠CEF＝∠EFH＝∠CHF＝90°，∴四边形EFHC是矩形，∴CH＝EF，在Rt△OEC中，∵EC＝，OC＝，OE＝＝＝2，∵∠EOC+∠OCE＝90°，∠EOC+∠FOB＝90°，∴∠FOB＝∠ECO，∵OB＝OC，∴△OFB≌△CEO（AAS），∴OF＝EC＝，∴CH＝EF＝3，∴AC＝EF＝6．20．如图，OA，OB是⊙O的两条半径，OA⊥OB，C是半径OB上一动点，连结AC并延长交⊙O于D，过点D作圆的切线交OB的延长线于E，已知OA＝8．（1）求证：∠ECD＝∠EDC；（2）若OC＝2，求DE长；（3）当∠A从15°增大到30°的过程中，求弦AD在圆内扫过的面积．【解答】解：（1）如图1，连接OD，则OD⊥DE，∵∠∠ODA+∠EDC＝90°，∵OA＝OD，∴∠OAD＝∠ODA，又∵OA⊥OB，∴∠OAD+∠OCA＝90°，且∠OCA＝∠ECD，∴∠ECD＝∠EDC；（2）由（1）知，∠ECD＝∠EDC，∴ED＝EC，在Rt△ODE中，设ED＝x，则OE＝CE+OC＝2+x，∵OD2+DE2＝OE2，∴82+x2＝（2+x）2，解得，x＝15，∴DE的长为15；（3）如图2，连接OD'，过点O作OH⊥AD'于点H，延长AO交⊙O于点M，过点D作DN⊥AM于点N，设弦AD在圆内扫过的面积为S，则S＝S扇形OAD﹣S△OAD﹣S弓形ABD'，由题意知，∠OAH＝30°，∴在Rt△OAH中，∠AOH＝60°，AH＝OA＝4，OH＝OA＝4，∴AD'＝2AH＝8，∠AOD'＝120°，∴S弓形ABD'＝S扇形OAD'﹣S△OAD'＝﹣×8×4＝﹣16，在Rt△ODN中，∠DON＝2∠OAD＝30°，∴DN＝OD＝4，∴S△OAD＝OA•DN＝×8×4＝16，∵∠AOD＝180°﹣∠DON＝150°，∴S扇形OAD＝＝，∴S＝S扇形OAD﹣S△OAD﹣S弓形ABD'＝﹣16﹣（﹣16）＝+16﹣16，∴弦AD在圆内扫过的面积为+16﹣16．21．如图，以△ABC的BC边上一点O为圆心的圆，经过A、B两点，且与BC边交于点E，D为BE的下半圆弧的中点，连接AD交BC于F，若AC＝FC．（1）求证：AC是⊙O的切线；（2）若BF＝4，DF＝，求⊙O的半径．【解答】证明：（1）连接AO，∵OA＝OD，∴∠OAD＝∠ODA，∵AC＝FC，∴∠CAF＝∠CF A＝∠OFD，∵D为BE的下半圆弧的中点，∴OD⊥BE，∴∠ODA+∠OFD＝90°，∴∠CF A+∠DAO＝90°，∴∠OAC＝90°，且OA是半径，∴AC是⊙O的切线；（2）在Rt△ODF中，DF2＝OD2+OF2，∴10＝OD2+（4﹣OD）2，∴OD＝1（不合题意舍去），OD＝3，∴⊙O的半径为3．22．如图，不等边△ABC内接于⊙O，I是△ABC内心，AI交⊙O于D点，交BC于点E，连接BD，BI．（1）求证BD＝ID；（2）连接OI，若AI⊥OI．且AB＝4，BC＝6，求AC的长．【解答】解：（1）证明：∵I是△ABC内心，∴∠BAD＝∠CAD，∴＝，∴∠DBC＝∠DAB，∵∠ABI＝∠CBI，∵∠DBI＝∠DBC+∠CBI∠DIB＝∠DAB+∠ABI∴∠DBI＝∠DIB，∴BD＝ID．（2）连接OD，∵＝，根据垂径定理，得OD⊥BC于点H，CH＝BH＝BC＝3，∵AI⊥OI．∴AI＝DI，∴AI＝BD，作IG⊥AB于点G，∴∠AGI＝∠BED＝90°，∠DBC＝∠BAD，∴△AGI≌△BHD（AAS）∴AG＝BH＝3．过点I作IM⊥BC，IN⊥AC于点M、N，∵I是△ABC内心，∴AN＝AG＝3，BM＝BG＝4﹣3＝1，CN＝CM＝6﹣1＝5，∴AC＝AN+CN＝8．答：AC的长为8．23．如图，已知AB、AC分别是⊙O的直径和弦，过点C的切线与AB的延长线交于点E，点D为EC的延长线上一点，DH⊥AB，垂足为点H，交AC于点F．（1）求证：△FCD是等腰三角形；（2）若点F为AC的中点，且∠E＝30°，BE＝2，求DF的长．【解答】（1）证明：连结OC，如图1，∵DC为⊙O的切线，∴OC⊥DC，∴∠OCD＝90°，即∠ACO+∠FCD＝90°，∵DH⊥AB，∴∠DHA＝90°，∴∠CAO+∠AFH＝90°，∵OA＝OC，∴∠ACO＝∠AOC，∴∠FCD＝∠AFH，而∠AFH＝∠DFC，∴∠DFC＝∠DCF，∴△FCD是等腰三角形；（2）解：连结OF，OC，如图2，在Rt△COE中，∠E＝30°，BE＝2，∴OE＝2OC，即OB+2＝2OC，而OB＝OC，∴OC＝2，∴⊙O的半径为2；∵∠EOC＝90°﹣∠E＝60°，∴∠ACO＝∠AOC＝30°，∴∠FCD＝90°﹣∠ACO＝60°，∴△FCD为等边三角形，∵F为AC的中点，∴OF⊥AC，∴AF＝CF，在Rt△OCF中，OF＝OC＝1，∴CF＝OF＝，∴．24．如图，在△ABC中，AB＝AC＝8，以AB为直径的⊙O交BC于点D，过点D作⊙O的切线交AC于点E，连接OD．（1）求证：OD∥AC；（2）若∠A＝45°，求DE的长．【解答】（1）证明：∵AB＝AC，∴∠B＝∠C，∵OB＝OD，∴∠B＝∠ODB，∴∠C＝∠ODB，∴OD∥AC；（2）解：过点O作OF⊥AC于点F，∵DE是⊙O的切线，∴DE⊥OD．∵OD∥AC，∴DE⊥AC．∴四边形OFED是矩形．∴OF＝DE．在Rt△AOF中，∠A＝45°，∴OF＝OA＝2，∴DE＝2．25．在⊙O中，直径AB⊥弦CD于点F，点E是弧AD上一点，连BE交CD于点N，点P 在CD的延长线上，PN＝PE．（1）求证：PE是⊙O的切线；（2）连接DE，若DE∥AB，OF＝3，BF＝2，求PN的长．【解答】（1）证明：连接OE，如图1所示：∵PN＝PE，∴∠PEN＝∠PNE＝∠BNF，∵OE＝OB，∴∠OEB＝∠OBE．∵AB⊥CD，∴∠OBE+∠BNF＝90°，∴∠OEB+∠PEN＝90°，即∠OEP＝90°，∴PE⊥OE，∴PE是⊙O的切线．（2）解：连接CE，如图2所示：∵DE∥AB，AB⊥CD，∴∠EDC＝90°∴CE为⊙O的直径．∵AB⊥CD，∴CF＝DF，∴DE＝2OF＝6．∵OF＝3，BF＝2，∴OC＝OB＝5，CE＝10，∴CD＝＝＝8，由（1）知PE⊥CE．设PD＝x，则PC＝x+8．在Rt△PDE和Rt△PCE中，由勾股定理，得：PD2+DE2＝PE2＝PC2﹣CE2，即x2+62＝（x+8）2﹣102，解得：x＝，∴PD＝．∴PE＝＝＝，∴PN＝PE＝．。
下册 3.1圆-2020秋九年级北师大版数学全一册作业课件
与任何人接触时，要常常问自己，我有什么对他有用？使他得益。如果我不能以个人的道德学问和修持的力量，来使人受益，就等于欠了一份 债。 要做的事情总找得出时间和机会；不愿意做的事情也总能找得出借口。 人而无信，不知其可也。——《论语·为政》 君子不器。——《论语·为政》 只要面对现实，你才能超越现实。
身体健康，学习进步！ 在任何时候都要坚信：“方法会比困难多一点”。
北师大版2019-2020九年级数学下册圆综合练习题1(培优 含答案)
北师大版2019-2020九年级数学下册圆综合练习题1（培优 含答案）1．用直尺和圆规作Rt △ABC 斜边AB 上的高线CD ，甲、乙两人的作法如图：根据两人的作法可判断（ ）A ．甲正确，乙错误B ．乙正确，甲错误C ．甲、乙均正确D ．甲、乙均错误 2．如图，AB 为O 的直径，BC 为O 的切线，弦AD ∥OC ，直线CD 交的BA 延长线于点E ，连接BD ．下列结论：①CD 是O 的切线；②CO DB ⊥；③EDA EBD ∽；④ED BC BO BE ⋅=⋅．其中正确结论的个数有（ ）A.4个B.3个C.2个D.1个3．如图的44⨯的网格图，A 、B 、C 、D 、O 都在格点上，点O 是（ ）A.ΔACD 的外心B.ΔABC 的外心C.ΔACD 的内心D.ΔABC 的内心 4．下列图形中，能确定12∠>∠的是（ ）A ．B ．C ．D ． 5．一块圆形宣传标志牌如图所示，点A ，B ，C 在O 上，CD 垂直平分AB 于点D ，现测得8dm AB =，2dm DC =，则圆形标志牌的半径为（ ）A.6dmB.5dmC.4dmD.3dm6．考虑下面六个命题（1）任意三点确定一个圆；（2）平分弦的直径垂直于弦，且平分这条弦所对的弧；（3）90°的圆周角所对的弦是直径；（4）同弧或等弧所对的圆周角相等；（5）相等的圆周角所对的弧相等．其中正确的命题有（ ）A ．2个B ．3个C ．4个D ．5个7．如图，AB AC 、都是圆O 的弦，OM AB ON AC ⊥⊥，，垂足分别为M N 、，如果MN =，那么BC =（ ）A ．3BC ．D ．8．中心角为30°的圆内接正n 边形的n 等于( )A ．10B ．12C ．14D ．159．如图，在正方形ABCD 中，边长AD ＝2，分别以顶点A 、D 为圆心，线段AD 的长为半径画弧交于点E ，则图中阴影部分的面积是_____．10．已知P 是⊙O 内一点，OP=4cm ，过点P 的最长弦为10cm ，则过P 点最短弦长为 ________cm ．11．直径相等的两个圆是等圆．（______）12．如图，AC 1=，BAC 60∠=，弧BC 所对的圆心角为60，且AC ⊥弦BC.若点P 在弧BC 上，点E 、F 分别在AB 、AC 上.则PE EF + FP +的最小值为______．13．已知在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC、BC的长分别是一元二次方程x2﹣14x＋48＝0的两根，则Rt△ABC内切圆的半径为________．14．圆心角相等，所对的弦也相等．（______）15．如图1 是台湾某品牌手工蛋卷的外包装盒，其截面图如图2 所示，盒子上方是一段圆弧（弧MN ）.D，E 为手提带的固定点，DE 与弧MN 所在的圆相切，DE=2.手提带自然下垂时，最低点为C，且呈抛物线形，抛物线与弧MN 交于点F，G.若△CDE是等腰直角三角形，且点C，F 到盒子底部AB 的距离分别为1，94，则弧MN 所在的圆的半径为_____．16．如图，在O中，若AB MN于C，AB为直径，试填写一个你认为正确的结论：________．17．等边三角形ABC内接于⊙O，连接OA，OB，OC，延长AO分别交BC于点P，弧BC于点D，连接BD，CD．（1）判断四边形BDCO是哪一种特殊四边形，并说明理由；（2）若等边三角形ABC的边长，求⊙O的半径；（3）在劣弧BD上有一点Q，请求出弓形BQD的面积．18．如图，点I是△ABC的内心，AI的延长线交BC于点D，与△ABC的外接圆相交于点E ，连接BE ．⑴ 求证：BE IE =；⑵ 若6AD =，2DE =，求AI 的长．19．如图，在O 中AB 是直径，点F 是O 上一点，点E 是AF 的中点，过点E 作O 的切线，与BA 、BF 的延长线分别交于点C 、D ，连接BE .(1)求证：BD CD ⊥.(2)已知O 的半径为2，当AC 为何值时，BF DF =，并说明理由.20．如图，点E 是△ABC 的内心，AE 的延长线和△ABC 的外接圆相交于点D ． （1）当△ABC 的外接圆半径为1时，且∠BAC=60°，求弧BC 的长度．（2）连接BD ，求证：DE=DB ．21．如图，在△ABC 中，∠90C =，点D 是AB 边上一点，以BD 为直径的⊙O 与边AC 相切于点E ，与边BC 交于点F ，过点E 作EH ⊥AB 于点H ，连接BE ． （1）求证：EH EC =；（2）若4BC =，2sin 3A =，求AD 的长．22．如图，AB 为⊙O 的直径，C 为⊙O 上一点，AD ⊥CE 于点 D ，AC 平分∠DAB ． （1） 求证：直线 CE 是⊙O 的切线；（2） 若 AB ＝10，CD ＝4，求 BC 的长．23．如图，D 、E 分别是⊙O 两条半径OA 、OB 的中点，AC=CB ．（1）求证：CD=CE ．（2）若∠AOB=120°，OA=x ，四边形ODCE 的面积为y ，求y 与x 的函数关系式．24．如图1，△AOB 的三个顶点A 、O 、B 分别落在抛物线F 1：21733y x x =+的图象上，点A 的横坐标为﹣4，点B 的纵坐标为﹣2.(点A 在点B 的左侧)(1)求点A 、B 的坐标； (2)将△AOB 绕点O 逆时针旋转90°得到△A 'OB '，抛物线F 2：24y ax bx =++经过A '、B '两点，已知点M 为抛物线F 2的对称轴上一定点，且点A '恰好在以OM 为直径的圆上，连接OM 、A 'M ，求△OA 'M 的面积；(3)如图2，延长OB '交抛物线F 2于点C ，连接A 'C ，在坐标轴上是否存在点D ，使得以A 、O 、D 为顶点的三角形与△OA 'C 相似.若存在，请求出点D 的坐标；若不存在，请说明理由.参考答案1．C【解析】【分析】甲的做法是根据直径所对的圆周角为直角得出；乙的做法根据线段的垂直平分线性质得出．此题考查了作图﹣基本作图，熟练掌握基本作图的方法是解本题的关键．【详解】解：观察可得甲、乙两人的作法均正确，故选：C ．【点睛】此题考查了作图﹣基本作图，熟练掌握基本作图的方法是解本题的关键．2．A【解析】【分析】由切线的性质得CBO 90∠=，首先连接OD ，易证得()COD COB SAS ≅，然后由全等三角形的对应角相等，求得CDO 90∠=，即可证得直线CD 是O 的切线，根据全等三角形的性质得到CD CB =，根据线段垂直平分线的判定定理得到即CO DB ⊥，故②正确；根据余角的性质得到ADE BDO ∠∠=，等量代换得到EDA DBE ∠∠=，根据相似三角形的判定定理得到EDA EBD ~，故③正确；根据相似三角形的性质得到ED OD BE BC=，于是得到ED?BC BO?BE =，故④正确． 【详解】解：连结DO ． AB 为O 的直径，BC 为O 的切线，CBO 90∠∴=，AD //OC ，DAO COB ∠∠∴=，ADO COD ∠∠=．又OA OD =，DAO ADO ∠∠∴=，COD COB ∠∠∴=．在COD 和COB 中，CO CO COD COB OD OB =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，()COD COB SAS ∴≅，CDO CBO 90∠∠∴==． 又点D 在O 上，CD ∴是O 的切线；故①正确，COD COB ≅，CD CB ∴=，OD OB =，CO ∴垂直平分DB ，即CO DB ⊥，故②正确； AB 为O 的直径，DC 为O 的切线，EDO ADB 90∠∠∴==，EDA ADO BDO ADO 90∠∠∠∠∴+=+=，ADE BDO ∠∠∴=，OD OB =，ODB OBD ∠∠∴=，EDA DBE ∠∠∴=，E E ∠∠=，EDA EBD ∴~，故③正确；EDO EBC 90∠∠==，E E ∠∠=，EOD ECB ∴~，ED OD BE BC∴=， OD OB =，ED ?BC BO ?BE ∴=，故④正确；故选：A ．【点睛】本题主要考查了切线的判定、全等三角形的判定与性质以及相似三角形的判定与性质，注意掌握辅助线的作法，注意数形结合思想的应用是解答此题的关键．3．B【解析】【分析】连接OA、OB、OC、OD，设网格的边长为1，利用勾股定理分别求出OA、OB、OC、OD 的长，根据O点与三角形的顶点的距离即可得答案.【详解】连接OA、OB、OC、OD，设网格的边长为1，∴∵∴O为△ABC的外心，故选B.【点睛】本题考查勾股定理的应用，熟练掌握三角形的外心和内心的定义是解题关键.4．B【解析】【分析】根据对顶角相等对选项A进行判断；根据三角形外角性质对选项B进行判断；根据平行线的性质和对顶角相等对选项C 进行判断；根据圆周角定理对选项D 进行判断．【详解】解：A 、∵∠1与∠2是对顶角，∴∠1=∠2，故本选项不合题意；B 、∵∠1是∠2所在三角形的一个外角，∴∠1＞∠2，故本选项正确；C 、若两条直线平行，则∠1=∠2，若所截两条直线不平行，则∠1与∠2无法进行判断，故本选项不合题意；D 、∵∠1、∠2是同弧所对的圆周角，∴∠1=∠2．故本选项不合题意.故选：B ．【点睛】本题考查的是对顶角相等、平行线的性质、三角形外角的性质及直角三角形的性质，熟知以上知识是解答此题的关键．5．B【解析】【分析】连结OD ，OA ，设半径为r ，根据垂径定理得4,2AD OD r ==- ，在Rt ADO ∆中，由勾股定理建立方程，解之即可求得答案.【详解】连结OD ，OA ，如图，设半径为r ，∵8AB =，CD AB ⊥，∴4=AD ，点O 、D 、C 三点共线，∵2CD =，∴2OD r =-，在Rt ADO ∆中，∵222AO AD OD =+，，即2224(2)r r =+-，解得=5r ，故选：B.【点睛】本题考查勾股定理，关键是利用垂径定理解答．6．A【解析】【分析】根据圆中的定理进行分析．确定圆的定理：不在同一条直线上的三个点确定一个圆；垂径定理的推论：平分弦（非直径）的直径垂直于弦，且平分这条弦所对的弧；圆周角定理的推论：在同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧相等，同弧或等弧所对的圆周角相等；90°的圆周角所对的弦是直径．【详解】解：根据圆中的定理及其推论，知（1）当三点共线的时候不能确定一个圆，故错误；（2）当该弦是直径的时候，不一定能够垂直，故错误；（3）和（4）根据圆周角定理的推论，故正确；（5）必须在同圆或等圆中，故错误．故选：A ．【点睛】此题考查了圆中的重要定理及其推论．注意：因为等弧的概念已经强调了在同圆或等圆中，所以当等弧做为条件时，不用强调在同圆或等圆中．7．C【解析】【分析】由OM ⊥AB ，ON ⊥AC ，根据垂径定理易得MN 是△ABC 的中位线，即可求得BC 的长．【详解】∵OM⊥AB，ON⊥AC，∴AN=CN，AM=BM，即MN是△ABC的中位线，∴MN=12 BC，∴，故选C．【点睛】此题考查了垂径定理、三角形的中位线的性质以及等边三角形的性质．此题难度不大，注意掌握数形结合思想的应用．8．B【解析】正n边形的n=360°÷30°=12，故选B．【点睛】本题考查了正多边形的中心角，解题的关键是要知道正多边形的中心角相等，一个周角为360度．9．.【解析】【分析】连接AE、DE，可以阴影部分的面积是扇形ADE的面积与弓形DE的面积之和，由题目中的数据可以用代数式表示出阴影部分的面积，本题得以解决．【详解】如图所示，连接AE、DE，∵AE＝DE＝AD，∴△AED是等边三角形，∴∠ADE＝60°，∴图中阴影部分的面积是：+（﹣×2×2×sin60°）＝.故答案为：.【点睛】题考查扇形面积的计算、正方形的性质，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答，注意：圆心角是n°，半径为r的扇形的面积S＝．10．6【解析】【分析】结合题意画出图形，过点P的最长弦就是直径，最短弦就是垂直于OP的弦，由最长的弦长求出半径的长；在圆中以半径、弦心距和弦长的一半为三边构成直角三角形，根据垂径定理和勾股定理即可求出最短的弦长.【详解】如图所示，OP⊥AB于P.∵过点P的最长弦就是直径，∴半径为10÷2=5cm，∵最短弦就是垂直于OP的弦，OA=5cm，OP=4cm，∴∴弦AB=2AP=2×3=6cm.即过P点最短弦长为6cm.故答案为：6.【点睛】本题考查勾股定理，垂径定理及推论，解题关键是构造以半径、弦心距和弦长的一半为三边的直角三角形.11．正确【解析】【分析】根据等圆的定义即可得答案.【详解】∵能够重合的圆叫做等圆，∴半径相等的圆是等圆，∴直径相等的圆是等圆，故答案为：正确【点睛】本题考查了圆的认识，熟练掌握圆的有关概念是解题关键．123【解析】【分析】连接AP，OP，OA.分别以AB、AC所在直线为对称轴，作出P关于AB的对称点为M，P 关于AC的对称点为N，连接MN，交AB于点E，交AC于点F，连接PE、PF，所以==，设AP rAM AP AN=，易求得：MN=，所以++可取得最++=++==，即当AP最小时，PE EF PFPE EF PF ME EF FN MN小值．【详解】连接AP，O，OA.分别以AB、AC所在直线为对称轴，作出P关于AB的对称点为M，P 关于AC的对称点为N，连接MN，交AB于点E，交AC于点F，连接PE、PF．∴==，AM AP ANMAB PAB ∠∠=，NAC PAC ∠∠=，BAC PAB PAC MAB NAC 60∠∠∠∠∠=+=+=，MAN 120∠∴=，M ∴、P 、N 在以A 为圆心，AP 为半径的圆上，设AP r =，易求得：MN =，PE ME =，PF FN =，PE EF PF ME EF FN MN ∴++=++==，∴当AP 最小时，PE EF PF ++可取得最小值AP OP OA +≥，AP OA OP ∴≥-，即点P 在OA 上时，AP 可取得最小值，在Rt ABC 中，AC 1=，BAC 60∠=，BC ∴=，BOC 60∠=，OB OC =， OBC ∴是等边三角形，OC BC ∴==OH AC ⊥交AC 的延长线于H ．在Rt OCH 中，OC 3=OCH 30∠=，1OH OC 2∴==，3CH 2==，在Rt AOH 中，AO ===此时AP r ==，PE EF PF ∴++3，3．【点睛】本题考查圆的有关知识，涉及轴对称的性质，勾股定理，垂径定理，等边三角形的性质与判定等知识，综合程度较高，需要学生灵活运用知识．13．2【解析】【分析】先解一元二次方程可得AC和BC的长，根据勾股定理计算AB的长，再用直角三角形内切圆公式进行解答即可.【详解】∵AC、BC的长分别是一元二次方程x2﹣14x＋48＝0的两根可得(x−6)(x−8)=0，解得方程的两个根为x=6或8，∵∠C＝90°∴由勾股定理可得10AB=∴Rt△ABC的内切圆的半径为68122+-=【点睛】本题主要考查解一元二次方程、勾股定理、直角三角形内切圆公式，熟悉公式定理是关键. 14．错【解析】【分析】利用圆心角定理：同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等，判断即可．【详解】根据圆心角定理：同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等，判断可知原命题为假命题，故答案为×．【点睛】此题考查圆心角定理，解题关键在于熟悉定理概念.15．21 8.【解析】【分析】以DE的垂直平分线为y轴，AB所在的直线为x轴建立平面直角坐标系，设抛物线的表达式为y=ax2+1，因为△CDE是等腰直角三角形，DE=2，得点E的坐标为（1，2），可得抛物线的表达式为y =x 2+1，把当y 94=代入抛物线表达式，求得MH 的长，再在Rt △FHM 中，用勾股定理建立方程，求得MN 所在的圆的半径．【详解】如图，以DE 的垂直平分线为y 轴，AB 所在的直线为x 轴建立平面直角坐标系，设MN 所在的圆的圆心为P ，半径为r ，过F 作y 轴的垂线交y 轴于H ，设抛物线的表达式为y =ax 2+1．∵△CDE 是等腰直角三角形，DE =2，∴点E 的坐标为（1，2），代入抛物线的表达式，得：2=a +1，a =1，∴抛物线的表达式为y =x 2+1，当y 94=时，即2914x =+，解得：x =，∴FH =．∵∠FHM =90°，DE 与MN 所在的圆相切，∴222924r r =++-（），解得：218r =，∴MN 所在的圆的半径为218． 故答案为：218．【点睛】本题考查了圆的切线的性质，待定系数法求抛物线的表达式，垂径定理．解题的关键是建立合适的平面直角坐标系得出抛物线的表达式．16．CM CN =（答案不唯一）【解析】【分析】根据垂径定理的要求即可解题.【详解】解：∵AB MN 于C ，AB 为直径，∴CM=CN （垂径定理）.【点睛】本题考查了垂径定理的应用,属于简单题,熟悉垂径定理的内容是解题关键.17．（1）四边形BDCO 是菱形理由见解析；（2）6；（3）6π．【解析】【分析】（1）可先由四边形各角的大小求出各边之间的关系，然后即可判断四边形BDCO 为何种特殊四边形；（2）先由菱形性质求出BP 的长，再由等边三角形性质及求出∠POB 的角度，然后即可由三角形边角关系求出OB 的长，即⊙O 的半径；（3）弓形BQD 的面积可由求扇形OBD 与三角形OBD 之差间接求得．【详解】解：（1）四边形BDCO 是菱形，理由如下：∵AB ＝BC ＝AC ，∴∠AOB ＝∠BOC ＝∠COA ＝120°，∴∠BOD ＝180°﹣∠AOB ＝60°，∴∠COD ＝180°﹣∠AOC ＝60°；又∵OB ＝OD ，∴△OBD 为正三角形，∴OB ＝OD ＝BD同理可得OC ＝CD ，∴OB ＝OC ＝BO ＝CD 即四边形BDCO 是菱形；（2）由菱形性质可知，BP=12BC=12× ∵△ABC 为等边三角形，∠PBO ＝30°，OP ＝3，BO ＝6，∴⊙O 的半径OB 为6．（3）S 弓形BQD =S 扇形-S △BOD =2606360π⨯62 ＝6π． 【点睛】本题考查了正三角形与圆，正三角形的性质，菱形的性质与判定及面积求法，具有较强的综合性．18．（1）详见解析；（2）4AI =．【解析】【分析】（1）要证明BE IE =只需证出BIE EBI ∠=∠；（2）求出△EBD ∽△EAB ，可得4IE BE ==，进而可得到4AI =．【详解】⑴ 连接BI ，∵点I 是△ABC 的内心，∴ABI IBD ∠=∠，BAE EAC ∠=∠．∵EBC EAC ∠=∠，∴BIE BAI ABI ∠=∠+∠，EBI EBC IBD ∠=∠+∠．∴BIE EBI ∠=∠，BE EI =． ⑵ ∵EBC EAC BAE ∠=∠=∠，BED AEB ∠=∠，∴△EBD ∽△EAB ．∴()222616BE ED EA =⋅=⨯+=，4IE BE ==．∴2644AI AD DE IE =+-=+-=．【点睛】本题考查了三角形的外接圆与外心、三角形的内切圆和内心和相似三角形的性质，熟练掌握这些知识点是本题解题的关键.19．(1)证明见解析；(2)当4AC =时，BF DF =.理由见解析.【解析】【分析】（1）连接OE ，由点E 是AF 的中点，过点E 作⊙O 的切线，可得OE ⊥CD ，BD ∥OE ，进而得出BD ⊥CD ；（2）当AC=4时，连接AF ，证明△AFB ∽△BCD ，所以12BF BA BD BC ==，即BF=DF. 【详解】(1)如图1，连接OE ，∵CD 与O 相切于点E ，∴OE CD ⊥，∴90CEO ∠=︒.∵点E 是AF 的中点，∴AE EF =，∴23∠∠=，∵OB OE =，∴21∠=∠，∴13∠=∠，∴OE BD ，∴90D CEO ∠=∠=︒，∴BD CD ⊥.(2)当4AC =时，BF DF =.理由如下：如图2，连接AF ，∵AB 是O 的直径，∴90AFB ∠=︒，由(1)知90D ∠=︒，∴D AFB ∠=∠，∴△AFB ∽△BCD ， ∴BF BA BD BC=， 当4AC =时，∵O 的半径为2，∴4AB =，∴BC=AB+AC=8， ∴4182BF BA BD BC ===， ∴1BF DF =， ∴BF DF =.【点睛】本题考查圆的切线的性质，相似三角形的判定和性质，菱形的判定．解题的关键是掌握圆的切线的性质．20．（1）2π3；（2）详见解析. 【解析】【分析】（1）设△ABC 的外接圆的圆心为O ，连接OB 、OC ，由圆周角定理得出∠BOC=120°，再由弧长公式即可得出结果；（2）连接BE ，由三角形的内心得出∠1=∠2，∠3=∠4，再由三角形的外角性质和圆周角定理得出∠DEB=∠DBE ，即可得出结论．【详解】（1）解：设△ABC 的外接圆的圆心为O ，连接OB 、OC ，如图1所示：∵∠BAC=60°，∴∠BOC=120°，∴弧BC的长度=120π1180=2π3．（2）证明：连接BE，如图2所示：∵E是△ABC的内心，∴∠1=∠2，∠3=∠4，∵∠DEB=∠1+∠3，∠DBE=∠4+∠5∠5=∠2，∴∠DEB=∠DBE，∴DE=DB．【点睛】本题考查了三角形的外心与内心、圆周角定理、弧长公式、三角形的外角性质、等腰三角形的判定等知识；本题综合性强，根据圆周角定理得出角的数量关系是解题的关键．21．（1）见解析；（2）6 5【解析】【分析】（1）连接OE，根据切线的性质得到OE⊥AC，根据平行线的性质、角平分线的性质证明结论；（2）根据正弦的定义求出AB，根据相似三角形的性质求出半径，计算即可．【详解】证明：（1）连结OE∵AC为⊙O切线，∴OE⊥AC∵∠C=90°，∴OE∥BC ∴∠EBC=∠BEO∵OE=OB，∴∠EBO=∠BEO∴∠EBC=∠EBO∵EH⊥AB,∠C=90°，∴EH EC=（2）∵∠C=90°，∴2sin3BCAAB==，∴AB=6，设⊙O半径为r，∵OE∥BC，∴△AEO∽△ACB，∴OE AO BC AB=，∴646r r-=∴125r=，∴AD=AB-12626255 BD AB r=-=-⨯=.【点睛】本题考查的是切线的性质、解直角三角形、圆周角定理，掌握相关的判定定理和性质定理是解题的关键．22．（1）证明见解析；（2）BC＝【解析】【分析】(1)如图，连接OC，由AC平分∠DAB得到∠DAC=∠CAB，然后利用等腰三角形的性质得到∠OCA=∠CAB，接着利用平行线的判定得到AD∥CO，而CD⊥AD，由此得到CD⊥AD，最后利用切线的判定定理即可证明CD为⊙O的切线；(2)证明△DAC∽△CAB，根据相似三角形对应边成比例进行求解即可. 【详解】(1)如图，连接OC∵AC平分∠DAB，∴∠DAC=∠CAB，∵OA=OC，∴∠OCA=∠CAB，∴∠OCA=∠DAC，∴AD∥CO，∵CD⊥AD，∴OC⊥CD，∵OC是⊙O直径且C在半径外端，∴CD为⊙O的切线；(2)∵AB是直径，∴∠ACB=90°，∵AD⊥CD，∴∠ADC=∠ACB=90°，∵∠DAC=∠CAB，∴△DAC∽△CAB，∴DC AC BC AB，∴BC•AC=DC•AB=4×10=40，∵BC2+AC2=100，∴(BC+AC)2=BC2+AC2+2BC•AC=180，(BC-AC)2= BC2+AC2-2BC•AC=20，∴AC ﹣BC ﹣，∴【点睛】本题考查了切线的判定、圆周角定理、相似三角形的判定与性质等，正确添加辅助线，熟练掌握和灵活运用相关知识是解题的关键.23．（1）证明见解析；（2）x 2． 【解析】【分析】（1）连接OC ，根据圆心角、弧、弦的关系定理得到∠COA=∠COB ，证明△COD ≌△COE ，根据全等三角形的性质证明；（2）连接AC ，根据全等三角形的判定定理得到△AOC 为等边三角形，根据正切的定义求出CD ，根据三角形的面积公式计算即可．【详解】（1）证明：连接OC ，∵AC=CB ，∴∠COA=∠COB ，∵D 、E 分别是⊙O 两条半径OA 、OB 的中点，∴OD=OE ，在△COD 和△COE 中，OD OE COD COE OC OC ⎧⎪∠∠⎨⎪⎩＝＝＝，∴△COD ≌△COE （SAS ）∴CD=CE ；（2）连接AC ，∵∠AOB=120°，∴∠AOC=60°，又OA=OC ，∴△AOC 为等边三角形，∵点D 是OA 的中点，∴CD ⊥OA ，OD=12OA=12x ，在Rt △COD 中，CD=OD•tan ∠COD=2，∴四边形ODCE 的面积为y=12×OD×CD×2． 【点睛】 本题考查的是圆心角、弧、弦的关系定理，全等三角形的判定和性质，等边三角形的性质，掌握圆心角、弧、弦的关系定理，全等三角形的判定定理和性质定理是同角的关键． 24．(1)点A 坐标为(﹣4，﹣4)，点B 坐标为(﹣1，﹣2)；(2)S △OA 'M ＝8；(3)点D 坐标为(4，0)、(8，0)、(0，4)或(0，8)时，以A 、O 、D 为顶点的三角形与△OA 'C 相似.【解析】【分析】(1)把x ＝﹣4代入解析式，求得点A 的坐标，把y=-2代入解析式，根据点B 与点A 的位置关系即可求得点B 的坐标；(2)如图1，过点B 作BE ⊥x 轴于点E ，过点B'作B'G ⊥x 轴于点G ，先求出点A'、B'的坐标，OA＝OA'=F 2解析式为：21y x 3x 44=-+，对称轴为直线：x 6=，设M(6，m)，表示出OM 2，A'M 2，进而根据OA'2+A'M 2＝OM 2，得到)2+m 2+8m+20＝36+m 2，求得m ＝﹣2，继而求得A'M ＝再根据S △OA'M ＝12OA'•A'M 通过计算即可得； (3)在坐标轴上存在点D ，使得以A 、O 、D 为顶点的三角形与△OA'C 相似，先求得直线OA 与x 轴夹角为45°，再分点D 在x 轴负半轴或y 轴负半轴时，∠AOD ＝45°，此时△AOD 不可能与△OA'C 相似，点D 在x 轴正半轴或y 轴正半轴时，∠AOD ＝∠OA'C ＝135°(如图2、图3)，此时再分△AOD ∽△OA'C ，△DOA ∽△OA'C 两种情况分别讨论即可得.【详解】(1)当x ＝﹣4时，()()217y 44433=⨯-+⨯-=-， ∴点A 坐标为(﹣4，﹣4)，当y ＝﹣2时，217x x 233+=-， 解得：x 1＝﹣1，x 2＝﹣6，∵点A 在点B 的左侧，∴点B 坐标为(﹣1，﹣2)；(2)如图1，过点B 作BE ⊥x 轴于点E ，过点B'作B'G ⊥x 轴于点G ，∴∠BEO ＝∠OGB'＝90°，OE ＝1，BE ＝2，∵将△AOB 绕点O 逆时针旋转90°得到△A'OB'，∴OB ＝OB'，∠BOB'＝90°，∴∠BOE+∠B'OG ＝∠BOE+∠OBE ＝90°，∴∠B'OG ＝∠OBE ，在△B'OG 与△OBE 中B B B OG BEO OG OBE O BO ∠=∠⎧⎪∠=='∠'⎨'⎪⎩，∴△B'OG ≌△OBE(AAS)，∴OG ＝BE ＝2，B'G ＝OE ＝1，∵点B'在第四象限，∴B'(2，﹣1)，同理可求得：A'(4，﹣4)，∴OA ＝OA'=∵抛物线F 2：y ＝ax 2+bx+4经过点A'、B'，∴164444241a b a b ++=-⎧⎨++=-⎩， 解得：143a b ⎧=⎪⎨⎪=-⎩，∴抛物线F 2解析式为：21y x 3x 44=-+， ∴对称轴为直线：3x 6124-=-=⨯， ∵点M 在直线x ＝6上，设M(6，m)，∴OM 2＝62+m 2，A'M 2＝(6﹣4)2+(m+4)2＝m 2+8m+20，∵点A'在以OM 为直径的圆上，∴∠OA'M ＝90°，∴OA'2+A'M 2＝OM 2，∴2+m 2+8m+20＝36+m 2，解得：m ＝﹣2，∴A'M=∴S △OA'M ＝12OA'•A'M＝182⨯=； (3)在坐标轴上存在点D ，使得以A 、O 、D 为顶点的三角形与△OA'C 相似，∵B'(2，﹣1)，∴直线OB'解析式为y ＝﹣12x ， 2121x 344y x y x ⎧=⎪⎪⎨⎪=-+⎪⎩， 解得：11x 2y 1=⎧⎨=-⎩(即为点B')，22x 8y 4=⎧⎨=-⎩， ∴C(8，﹣4)，∵A'(4，﹣4)，∴A'C ∥x 轴，A'C ＝4，∴∠OA'C ＝135°，∴∠A'OC ＜45°，∠A'CO ＜45°，∵A(﹣4，﹣4)，即直线OA 与x 轴夹角为45°，∴当点D 在x 轴负半轴或y 轴负半轴时，∠AOD ＝45°，此时△AOD 不可能与△OA'C 相似， ∴点D 在x 轴正半轴或y 轴正半轴时，∠AOD ＝∠OA'C ＝135°(如图2、图3)，①若△AOD ∽△OA'C ， 则OD OA 1A C OA ''==， ∴OD ＝A'C ＝4，∴D(4，0)或(0，4)；②若△DOA ∽△OA'C ，则DO OA OA A C ''===∴OD OA'＝8，∴D(8，0)或(0，8)，综上所述，点D 坐标为(4，0)、(8，0)、(0，4)或(0，8)时，以A 、O 、D 为顶点的三角形与△OA'C 相似.【点睛】本题考查的是二次函数与几何的综合题，涉及了待定系数法，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，圆周角定理等知识，综合性较强，有一定的难度，熟练掌握和灵活运用相关知识是解题的关键.注意数形结合思想与分类讨论思想的运用.。
北师大版九年级数学下册习题课件：小专题(十四) 与圆的基本性质有关的计算 (共11张PPT)
•9、要学生做的事，教职员躬亲共做；要学生学的知识，教职员躬亲共学；要学生守的规则，教职员躬亲共守。2021/8/312021/8/31Tuesday, August 31, 2021 •10、阅读一切好书如同和过去最杰出的人谈话。2021/8/312021/8/312021/8/318/31/2021 9:54:18 AM •11、只有让学生不把全部时间都用在学习上，而留下许多自由支配的时间，他才能顺利地学习……（这）是教育过程的逻辑。2021/8/312021/8/312021/8/31Aug-2131-Aug-21 •12、要记住，你不仅是教课的教师，也是学生的教育者，生活的导师和道德的引路人。2021/8/312021/8/312021/8/31Tuesday, August 31, 2021
• You have to believe in yourself. That's the secret of success. 人必须相信自己，这是成功的秘诀。
北师大版2020九年级数学下册第三章圆单元综合基础达标训练题1(附答案详解)
北师大版2020九年级数学下册第三章圆单元综合基础达标训练题1（附答案详解） 1．如图，AB 为⊙O 的直径，C 为⊙O 外一点，过点C 作⊙O 的切线，切点为B ，连接AC 交⊙O 于点D ，∠C=40°，点E 在AB 左侧的半圆上运动（不与A 、B 重合），则∠AED 的大小是（ ）A ．20°B ．40°C ．50°D ．80°2．如图，扇形纸扇完全打开后，外侧两竹条AB AC ，夹角为120，AB 的长为30cm ，贴纸部分BD 的长为20cm ，则贴纸部分的面积为（ ）A ．2100cm πB ．2400cm 3πC ．2800cm πD ．2800cm 3π 3．下列命题正确的是（ ）A ．相等的圆周角对的弧相等B ．等弧所对的弦相等C ．三点确定一个圆D ．平分弦的直径垂直于弦4．过A ，B ，C 三点能确定一个圆的条件是（ ）①AB =2，BC =3，AC =5；②AB =3， BC =3，AC =2；③AB =3，BC =4，AC = 5．A ．①②B ．①②③C ．②③D ．①③5．如图，梯形ABCD 内接于半圆O ，BC∥AD，AB=CD ，且AB =1，BC =2，则OA 长为（ ）．A ．132B 2C ．323+D ．152+ 6．如图，△ABC 是⊙O 的一个内接三角形，AB ＋AC ＝6，E 是△ABC 的内心，AE 的延长线交O 于点D ，且OE ⊥AD ．当△ABC 的形状变化时，边BC 的长（ ）.A ．有最大值4B ．等于3C ．有最小值3D ．等于47．Rt △ABC 中，∠C=90°，AC=2，BC=4，如果以点A 为圆心，AC 为半径作⊙A ，那么斜边中点D 与⊙A 的位置关系是（ ）A ．点D 在⊙A 外B ．点D 在⊙A 上C ．点D 在⊙A 内 D ．无法确定 8．如图，△ABC 内接于⊙O ，∠A 的度数为60°，∠ABC 、∠ACB 的角平分线分别交于AC 、AB 于点D 、E ，CE 、BD 相交于点F ，以下四个结论：①1cos 2BFE ∠=；②BC BD =；③=EF FD ；④2BF DF =；其中结论一定正确的序号数是( )A ．①②B ．①③C ．③④D ②④ 9．如图，已知⊙O 中∠AOB 度数为100°，C 是圆周上的一点，则∠ACB 的度数为（ ）A ．130°B ．100°C ．80°D ．50°10．如图，在ABC △中，1086AB AC BC ，，===，经过点C 且与边AB 相切的动圆与CB CA ，分别相交于点E F ，，则线段EF 长度的最小值是（ ）A ．2B ．4.75C ．4.8D ．511．有下列说法：①等弧的长度相等；②直径是圆中最长的弦；③相等的圆心角对的弧相等；④圆中90°角所对的弦是直径；⑤同圆中等弦所对的圆周角相等．其中正确的有（ ）A．1个B．2个C．3个D．4个12．如图，CD为⊙O的直径，弦AB⊥CD，垂足为M，若AB=12，OM：MD=5：8，则⊙O的周长为（）A．26πB．13πC．965πD．39105π13．如图，⊙O是△ABC的外接圆，AO⊥BC于点F，D为AC的中点，且CD的度数为70°则∠BAF=__________度14．如图所示，在平面直角坐标系xOy中，半径为2的⊙P的圆心P的坐标为（-3，0），将⊙P沿x轴正方向平移，使⊙P与y轴相切，则平移的距离为_______________.15．如图，P是⊙O外一点，A、B、C是⊙O上的三点，∠AOB=60°，PA、PB分别交ACB于M、N两点，则∠APB的范围是______．16．如图，AB为⊙O的直径，PD切⊙O于点C，交AB的延长线于D，且CO=CD，则∠ACO=_______°．17．如图，⊙O的半径为5，P为圆内一点，P点到圆心O的距离为4，则过P点的弦长的最小值是______．18．圆锥的底面周长为6πcm，高为4cm，则该圆锥的全面积是；侧面展开扇形的圆心角是．19．如图，AE，AD，BC分别切⊙O于点E、D和点F，若AD=8cm，则△ABC的周长为_______cm.20．如图，已知点C是AB的一点，圆周角∠ACB为125°，则圆心角∠AOB=_______度.21．如图，的半径为2，点，在上，，则阴影部分的面积为．22．如图，AB是⊙O的直径，O是圆心，BC与⊙O相切于点B，CD交⊙O于点D，且BC ＝8，CD＝4，那么⊙O的半径是______。
北师大版2020九年级数学：圆的知识点总结及典型例题
【文库独家】圆的知识点总结（一）圆的有关性质［知识归纳］1. 圆的有关概念：圆、圆心、半径、圆的内部、圆的外部、同心圆、等圆；弦、直径、弦心距、弧、半圆、优弧、劣弧、等弧、弓形、弓形的高；圆的内接三角形、三角形的外接圆、三角形的外心、圆内接多边形、多边形的外接圆；圆心角、圆周角、圆内接四边形的外角。
2. 圆的对称性圆是轴对称图形，经过圆心的每一条直线都是它的对称轴，圆有无数条对称轴；圆是以圆心为对称中心的中心对称图形；圆具有旋转不变性。
3. 圆的确定不在同一条直线上的三点确定一个圆。
4. 垂直于弦的直径垂径定理垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧；推论1（1）平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧；（2）弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧；（3）平分弦所对的一条弧的直径垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧。
垂径定理及推论1 可理解为一个圆和一条直线具备下面五个条件中的任意两个，就可推出另外三个：①过圆心；②垂直于弦；③平分弦（不是直径）；④平分弦所对的优弧；⑤平分弦所对的劣弧。
推论2圆的两条平行弦所夹的弧相等。
5. 圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系定理在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等；所对的弦的弦心距相等。
推论在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦或两条弦的弦心距中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等。
此定理和推论可以理解成：在同圆或等圆中，满足下面四个条件中的任何一个就能推出另外三个：①两个圆心角相等；②两个圆心角所对的弧相等；③两个圆心角或两条弧所对的弦相等；④两条弦的弦心距相等。
圆心角的度数等于它所对的弧的度数。
6. 圆周角定理一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半；推论1同弧或等弧所对的圆周角相等；在同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧也相等；推论2半圆（或直径）所对的圆周角是直角；90°的圆周角所对的弦是直径；推论3如果三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形。
北师版数学九年级下册课时练 第三章 圆 专项11 圆中常见的计算问题
北师版数学九年级下册第三章圆类型1有关角度的计算圆中角的计算，首先应该从弧入手，圆的弧与角是紧密相连的，然后再从特殊三角形入手．1．如图，AB是⊙O的直径，C，D分别为圆周上直径AB两侧的点，若∠ADC＝3∠CAB.求∠CAB的度数．解：如图，连接BC.∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB＝90°，∴∠CAB＋∠B＝90°.∵∠ADC＝∠B，∠ADC＝3∠CAB，∴4∠CAB＝90°，∴∠CAB＝22.5°.2．如图，在⊙O中，AB，CD是直径，BE是切线，B为切点，连接AD，BC，BD.(1)求证：△ABD≌△CDB；(2)若∠DCB＝37°，求∠EBD的度数．解：(1)证明：∵AB，CD是直径，∴∠ADB＝∠CBD＝90°.在Rt △ABD 和Rt △CDB 中，⎩⎨⎧AB ＝CD ，BD ＝DB ，∴Rt △ABD ≌Rt △CDB (HL)． (2)∵BE 是切线，∴AB ⊥BE ， ∴∠ABE ＝90°， ∴∠DBE ＋∠ABD ＝90°.∵∠C ＋∠BDO ＝90°，∠ODB ＝∠OBD ， ∴∠EBD ＝∠C ＝37°. 类型2 有关线段的计算计算线段长的方法主要有：勾股定理，三角函数，相似三角形等，因此遇到求半径或弦长问题时，应该从构造三角形入手．3．如图，在⊙C 中，CA ⊥CB ，且CA ＝3，CB ＝4，求AD 的长． 解：∵AC ⊥BC ，∴∠ACB ＝90°， ∴AB ＝AC 2＋BC 2＝32＋42＝5.如图，过点C 作CE ⊥AB 于点E ， 则由垂径定理，得AD ＝2AE . ∴cos A ＝AC AB ＝AE AC ＝35，∴AE ＝35AC ＝95，∴AD ＝2AE ＝185.4．如图，AB 是⊙O 的直径，C ，D 是⊙O 上两点，且AB ＝4，AC ＝CD ＝1，求BD 的长．解：如图，连接OC ，AD . ∵AB 是⊙O 的直径，AB ＝4， ∴∠ADB ＝90°，OA ＝2. ∵AC ＝CD ＝1，∴AC ︵＝CD ︵，∴AD ⊥OC .设OE ＝x ，则CE ＝2－x .在Rt △ACE 中，AE 2＋CE 2＝AC 2，即AE 2＝AC 2－CE 2；在Rt △AOE 中，AE 2＋OE 2＝OA 2，即AE 2＝OA 2－OE 2，∴AC 2－CE 2＝OA 2－OE 2，即12－(2－x )2＝22－x 2，解得x ＝74.∵∠ADB ＝∠AEO ，点O 是AB 的中点， ∴OE 是△ABD 的中位线， ∴BD ＝2OE ＝72. 类型3 有关弧长的计算弧长的计算可以用公式，公式中的关键量是半径和圆心角，因此求弧长就是先要求出这两个量．角度1：直接应用公式求弧长5．如图，边长为2的正方形ABCD 的四个顶点分别在扇形OEF 的半径OE ，OF 和 EF ︵上，且点A 是线段OB 的中点，则EF ︵的长为( D )A.55πB.54πC.12πD.52π6．(2019·浙江湖州吴兴区期末)如图，探究：用6个小正方形构造如图所示的网格图(每个小正方形的边长均为2)，设经过图中M ，P ，H 三点的圆弧与AH 交于点R ，则HR ︵的长为( D )A.π2B.24πC.34π D .52π 角度2：点旋转后的路径长问题7．一块等边三角形的木板，边长为1，现将木板沿水平线翻滚(如图)，那么点B 从开始至结束所走过的路径长度为( B )A.3π2B.4π3 C ．4D ．2＋3π28．如图，Rt △ABC 的斜边AB 在直线l 上，AC ＝1，AB ＝2.将Rt △ABC 绕点B 在平面内按顺时针方向旋转，使边BC 落在直线l 上，得到△A 1BC 1，再将△A 1BC 1绕点C 1在平面内按顺时针方向旋转，使边A 1C 1落到直线l 上，得到△A 2B 1C 1，则点A 所经过的两条弧的长度和为__136π__.类型4 有关扇形面积的计算简单的扇形面积公式相关的量是半径和圆心角，因此求扇形面积首先从这两个量入手．复杂图形的面积方法比较灵活，如和(差)法、割补法、等积转化法等．近几年图形旋转扫过面积问题是个热点，通常也需要用到扇形面积求解． 方法1：直接计算法9．如图，AD 是半圆O 的直径，AD ＝12，B ，C 是半圆O 上两点．若AB ︵＝BC ︵＝CD ︵，则图中阴影部分的面积是(A)A．6π B．12π C．18π D．24π10．如图，在四边形ABCD中，AB＝CD，AD∥BC，以点B为圆心，BA为半径的圆弧与BC交于点E，四边形AECD是平行四边形，AB＝6，则扇形(图中阴影部分)的面积是__6π__.方法2：利用作差法求面积11．如图，一个半径为1的⊙O1经过一个半径为2的⊙O的圆心，则图中阴影部分的面积为(A)A．1 B.12 C. 2 D.2212.(2019·山东德州模拟)如图，在平面直角坐标系中，已知⊙D经过原点O，与x轴、y轴分别交于A，B两点，点B的坐标为(0，23)，OC与⊙D相交于点C，∠OCA＝30°，则图中阴影部分的面积为__2π－23__.方法3：利用等积转化法求面积13．如图，矩形ABCD的长和宽分别为2 cm和1 cm，以D为圆心，AD为半径作弧AE，再以AB的中点F为圆心，FB的长为半径作弧BE，则阴影部分的面积是(A)A．1 cm2B．2 cm2 C．3 cm2D．4 cm214．(2018·广东东莞中考)如图，在矩形ABCD中，BC＝4，CD＝2，以AD为直径的半圆O 与BC相切于点E，连接BD，则阴影部分的面积为__π__.(结果保留π)。
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2 、有时费尽唇舌，争执一个不易化解的问题，还不如来一个简单的行动容易。这样的话，你就能化解敌人的攻势于无形。 5 、每个人都有美好的梦想，只有坚持，你的梦想才能实现。 18 、须交有道之人，莫结无义之友。饮清静之茶，莫贪花色之酒。开方便之门，闲是非之口。 1 、勇敢的人不是天生的，需要你经过很多的磨炼。但是在磨炼的过程中你能不能变得勇敢，那就取决于你的决心了。 11 、这个世界从不缺乏有才能的人，但缺少有精神的人。生活是没有路标的单程轮回，固守心的航向，需要非凡的勇气。以微笑驾驭人生之 舟情，友情还是爱情，平安就是福。且行且惜，且走且悟，人生之中唯有自强不息，勇敢向前，方可走 出一条阳光大道。
1 、成功就是凭着勇气和努力，不断地超越自己，做最好的自己。 14 、男人最大的武器是眼神，女人最大的武器是眼泪。 14 、不管你干什么，都会有两种结果： 一种是笑话，一种是神话。如果你半途而废，只能成为别人眼中的笑话;但如果你成功了，你就变成她 们眼中的神话。社会就是现实!要么不做，要么做好。 7 、准备种子，就收获果实;准备努力，就收获成功;准备今天，就收获明天。 3 、行动是通向成功的唯一途径。 1 、人应该活到老学到老，我们不应该取笑那些勤奋好学的老年人，相反，我们应该鼓励和支持他们的精神。 10 、争分夺秒巧复习，勤学苦练创佳绩、攀蟾折桂，舍我其谁。 3 、尊严来自实力，实力来自拼搏! 14 、自动自发地做事，同时为自己的所作所为承担责任，那么你终究会获得回报，取得最后的成功。 10 、以前喜欢一个人，可以任由招之即来，挥之即去。现在喜欢一个人，仍可以招之即来，但不再接受挥之即去。因为我现在知道，我很好 ，所以你爱我，也只有一次机会。