湖南理工学院数学分析期末考试试题
湖南理工学院高等数学试题3
高等数学考试试题（含答案）一、填空题(每小题3分, 共30分) 答案写在答题纸上, 写在题后无效.1. (),()y z zz xf f u x y x x y∂∂=+=∂∂设可导，则________________;2. 2(,,),(,)0x f x y z e yz z z x y x y z xyz ==+++=设其中是由确定的隐函数，则 '(0,1,1)________________x f -=;3. (,)xyz z z x y +==由方程在点（1,0,-1）处的 __________全微分dz=4. ln(A(1,0,1)__________u x =+函数在点处的梯度为;5. 曲线21,,__________1t t x y z t t t+===+在点处切线垂直于平面281610x y z -+-=; 6. 设函数()f x 为[0,1]上的正值连续函数，其中D {(,)|01,01}x y x y =≤≤≤≤则()()()()Daf x bf y dxdy f x f y ++⎰⎰ =__________; 7. 平面薄片D 由曲线2y x =及直线y x =所围成，其上任一点密度2(,)u x y x y =，此薄片的质量为____________;8.曲面z =和曲面22z x y =+所围立体的体积V =________; 9.计算曲线积分(1,2)43224(0,0)(4)(65)I x xy dx x y y dy =++-⎰，则I =______________;10. 设曲线L为下半圆周y =则曲线积分22()L x y ds +=⎰__________.二、选择题 (每小题4分, 共40分) 答案写在答题纸上, 写在题后无效. 1.函数z =在点(0,0)处( )(A) 不连续； (B)偏导数存在； (C) 沿任一方向的方向导数存在； (D) 可微. 2. 设f连续，若22(,)uvD F u v =⎰⎰，其中uv D 为图中阴影部分，则Fu∂=∂( )(A) 2()vf u ； (B)2()v f u u ； (C) ()vf u ； (D) ()vf u u. 3. 设(,)z f x x y =+有二阶连续偏导数，令,u x v x y ==+，则22zx∂=∂( )(A) ''''uu vvf f +； (B) ''''''uu uv vv f f f ++； (C) ''''''2uu uv vv f f f ++； (D) '''''uu vu v f f f ++.4. 函数23(,)f x y x y =在点(2,1)处沿方向l i j =+的方向导数为( )(A)16;(C) 28; (D).5. 已知函数(,)f x y 在(0,0)U 内连续，且22200(,)lim1()x y f x y xyx y →→-=+，则( ) (A) 点(0,0)不是(,)f x y 的极值点; (B) 点(0,0)是(,)f x y 的极大值点; (C) 点(0,0)是(,)f x y 的极小值点;(D) 根据所给条件无法判断点(0,0)是否为(,)f x y 的极值点.6. 设(,)f x y 为连续函数，则140(cos ,sin )d f r r rdr πθθθ⎰⎰等于( )(A)(,)xf x y dy(B)(,)f x y dy(C)(,)yf x y dx(D)(,)f x y dx7. 设区域22{(,)|1,0}D x y x y x =+≤≥，则二重积分 2211DxyI dxdy x y +=++⎰⎰=（ ） (A)24π; (B) 22π； (C)ln 2π； （D ）ln 22π.8. 设曲线L 是以点(1,0)为中心，R 为半径的圆周(R>1)，取顺时针方向，则曲线积分224L xdy ydxI x y -==+⎰（ ）(A)π; (B) π-; (C) 0; (D) 2π.9. 设曲面∑是锥面2223()z x y =+被平面0,3z z ==所截得的部分，则曲面积分22()I x y ds ∑=+=⎰⎰（ ）(A)92π-; (B) 92π ; (C) -9π; (D) 9π;.10.向量2(23)()(2)A x z i xz y j y z k =+-+++ 穿过球面222(3)(1)(2)9x y z -+++-= 流向外侧的流量是( )(A) 108π; (B) 36π; (C) 216π; (D) 54π.三、 (15分) 在曲面2222(1)(1)z x y =-+-(0)z >上求点1111(,,)P x y z ，使点1P 到原点的距离最短，并求曲面上过1P 点的切平面方程。
中南大学《数学分析C(二)》2019-2020学年第一学期期末试卷
---○---○------○---○---学院专业班级学号姓名…………评卷密封线………………密封线内不要答题，密封线外不准填写考生信息，违者考试成绩按分处理………………评卷密封线…………中南大学期末考试试卷2019——2020学年一学期数学分析C（二）课程时间100分钟学时，学分，闭卷，总分100分，占总评成绩%年月日题号一二三四五六七八九十合计满分201510202015100得分评卷人复查人一、单项选择题(本题20分，每小题2分)1.在数学分析中，序列极限的Cauchy 准则是指：A.一个序列收敛当且仅当它的任意两项之间的差趋于零。
B.一个序列收敛当且仅当它的各项绝对值有界。
C.一个序列收敛当且仅当它满足Cauchy 不等式。
D.一个序列收敛当且仅当它的偶数项与奇数项分别收敛到同一极限。
2.下列哪个函数是Riemann 可积的？A.(f(x)=\sin(1/x))在(x =0)处定义。
B.(f(x)=x \cdot \sin(1/x))在(x =0)处定义。
C.(f(x)=|x|\cdot \sin(1/x))在(x =0)处定义。
D.所有选项都不是。
3.如果函数f 在点a 处连续，则以下说法正确的是：A.f 在点a 的任意邻域内都有界。
B.f 在点a 的任意小的邻域内都是单调的。
C.f 在点a 的任意小的邻域内都取到最大值和最小值。
D.f 在点a 的左侧和右侧导数都存在。
4.关于实数系中的完备性，以下说法正确的是：A.每个柯西序列都在实数系中收敛。
B.每个有界的实数序列都包含一个收敛子序列。
C.每个无理数都可以用有理数序列来逼近。
D.A 和B 都对。
得分评卷人5.若函数f在区间[a,b]上连续，并且在(a,b)内可微，则：A.f一定在[a,b]上有界。
B.f一定在[a,b]上单调。
C.f'一定在(a,b)上有界。
D.f一定在[a,b]上一致连续。
6.若级数Σan收敛，则其系数序列{an}满足：A.(\lim_{n\to\infty}a_n=0)B.(\sum_{n=1}^{\infty}|a_n|)收敛C.{an}是有界的D.A和B都对7.对于积分(\int_{a}^{b}f(x),dx)，以下说法正确的是：A.如果f在[a,b]上有界，则该积分一定存在。
长沙理工大学大一高数期末考试题(精)
一、单项选择题 (本大题有4小题, 每小题4分, 共16分)1. )(0),sin (cos )( 处有则在设=+=x x x x x f .（A ）(0)2f '= （B ）(0)1f '=（C ）(0)0f '= （D ）()f x 不可导.2. ）时（ ，则当，设133)(11)(3→-=+-=x x x x xx βα.（A ）()()x x αβ与是同阶无穷小，但不是等价无穷小； （B ）()()x x αβ与是等价无穷小；（C ）()x α是比()x β高阶的无穷小； （D ）()x β是比()x α高阶的无穷小.3.若()()()02xF x t x f t dt=-⎰，其中()f x 在区间上(1,1)-二阶可导且'>()0f x ，则（ ）.（A ）函数()F x 必在0x=处取得极大值；（B ）函数()F x 必在0x =处取得极小值；（C ）函数()F x 在0x =处没有极值，但点(0,(0))F 为曲线()y F x =的拐点； （D ）函数()F x 在0x =处没有极值，点(0,(0))F 也不是曲线()y F x =的拐点。
4.)()( , )(2)( )(1=+=⎰x f dt t f x x f x f 则是连续函数，且设（A ）22x （B ）222x +（C ）1x - （D ）2x +.二、填空题（本大题有4小题，每小题4分，共16分）5. =+→xx x sin 20)31(lim .6. ,)(cos 的一个原函数是已知x f x x =⋅⎰x x xx f d cos )(则 .7.lim(cos cos cos )→∞-+++=22221n n nnnn ππππ .8.=-+⎰21212211arcsin －dx xx x .三、解答题（本大题有5小题，每小题8分，共40分）9. 设函数=()y y x 由方程sin()1x ye xy ++=确定，求'()y x 以及'(0)y .10. .d )1(177x x x x ⎰+-求11. ． 求，， 设⎰--⎪⎩⎪⎨⎧≤<-≤=1 32)(1020)(dx x f x x x x xe x f x12.设函数)(x f 连续，=⎰1()()g x f xt dt，且→=0()limx f x Ax ，A 为常数. 求'()g x 并讨论'()g x 在=0x 处的连续性.13.求微分方程2ln xy y x x'+=满足=-1(1)9y 的解.四、 解答题（本大题10分）14. 已知上半平面内一曲线)0()(≥=x x y y ，过点(,)01，且曲线上任一点M x y (,)00处切线斜率数值上等于此曲线与x 轴、y 轴、直线x x =0所围成面积的2倍与该点纵坐标之和，求此曲线方程.五、解答题（本大题10分）15. 过坐标原点作曲线x y ln =的切线，该切线与曲线x y ln =及x 轴围成平面图形D.(1)求D 的面积A ；(2) 求D 绕直线x = e 旋转一周所得旋转体的体积V .六、证明题（本大题有2小题，每小题4分，共8分）16. 设函数)(x f 在[]0,1上连续且单调递减，证明对任意的[,]∈01q ，1()()≥⎰⎰q f x d x q f x dx.17. 设函数)(x f 在[]π,0上连续，且0)(0=⎰πx d x f ，0cos )(0=⎰πdx x x f .证明：在()π,0内至少存在两个不同的点21,ξξ，使.0)()(21==ξξf f （提示：设⎰=xdxx f x F 0)()(）一、单项选择题(本大题有4小题, 每小题4分, 共16分) 1、D 2、A 3、C 4、C二、填空题（本大题有4小题，每小题4分，共16分）5.6e. 6.cx x +2)cos (21 .7. 2π. 8.3π.三、解答题（本大题有5小题，每小题8分，共40分） 9. 解：方程两边求导(1)cos()()0x y e y xy xy y +''+++=cos()()cos()x y x ye y xy y x e x xy +++'=-+0,0x y ==，(0)1y '=-10. 解：767u x x dx du == 1(1)112()7(1)71u du duu u u u -==-++⎰⎰原式 1(ln ||2ln |1|)7u u c =-++ 7712ln ||ln |1|77x x C =-++11.解：1033()xf x dx xe dx ---=+⎰⎰⎰03()x xd e --=-+⎰⎰00232cos (1sin )x x xe e d x πθθθ----⎡⎤=--+-=⎣⎦⎰ 令3214e π=--12. 解：由(0)0f =，知(0)0g =。
湖南理工学院数学分析期末考试试题
数学分析期末考试试题一、叙述题：（每小题6分，共18分）1、 牛顿-莱不尼兹公式2、 ∑∞=1n n a收敛的cauchy 收敛原理3、 全微分二、计算题：（每小题8分，共32分）1、40202sin lim x dtt x x ⎰→2、求由曲线2x y =和2y x =围成的图形的面积和该图形绕x 轴旋转而成的几何体的体积。
3、求∑∞=+1)1(n nn n x 的收敛半径和收敛域，并求和 4、已知z y x u = ，求yx u ∂∂∂2 三、（每小题10分，共30分）1、写出判别正项级数敛散性常用的三种方法并判别级数∑∞=1!n n n n 2、讨论反常积分⎰+∞--01dx e x x p 的敛散性3、讨论函数列),(1)(22+∞-∞∈+=x n x x S n 的一致收敛性 四、证明题（每小题10分，共20分）1、设)2,1(11,01 =->>+n n x x x n n n ，证明∑∞=1n n x 发散 2、证明函数⎪⎩⎪⎨⎧=+≠++=000),(222222y x y x y x xy y x f 在（0，0）点连续且可偏导，但它在该点不可微。
，参考答案一、1、设)(x f 在],[b a 连续，)(x F 是)(x f 在],[b a 上的一个原函数，则成立)()()(a F b F dx x f ba -=⎰2、,0.0>∃>∀N ε使得N n m >>∀，成立ε<+++++m n n a a a 213、设2R D ⊂为开集，D y x y x f z ∈=),(),,(是定义在D 上的二元函数，),(000y x P 为D 中的一定点，若存在只与点有关而与y x ∆∆,无关的常数A 和B ，使得)(22y x o y B x A z ∆+∆+∆+∆=∆则称函数f 在点),(000y x P 处是可微的，并称y B x A ∆+∆为在点),(000y x P 处的全微分二、1、分子和分母同时求导316sin 2lim sin lim 54060202==→→⎰x x x x dt t x x x （8分） 2、 、两曲线的交点为（0，0），（1，1）（2分） 所求的面积为：31)(102=-⎰dx x x （3分） 所求的体积为：103)(105ππ=-⎰dx x x （3分） 3、 解：设∑∞=+=1)1()(n n n n x x f ，1)1(1)2)(1(1lim =+++∞→n n n n n ，收敛半径为1，收敛域 [-1，1]（2分）),10(),1ln(11)1()(121'<<---=+=∑∞=-x x x x n x x f n n )10(),1ln(11)()(0'<<--+==⎰x x x x dt t f x f x (3分） x =0级数为0，x =1，级数为1，x =-1，级数为1-2ln2（3分） 4、解： yu ∂∂=z x x z y ln （3分）=∂∂∂y x u 2zx x x x z y z y 1ln 1+-(5分） 三、1、解、有比较判别法，Cauchy,D’Alembert,Raabe 判别法等（应写出具体的内容4分）11)111(lim !)1()!1(lim -∞→+∞→=+-=++e n n n n n n n nn n （4分）由D’Alembert 判别法知级数收敛（1分） 2、解：⎰⎰⎰+∞----+∞--+=1110101dx e x dx e x dx e x x p x p x p （2分），对⎰--101dx e x x p ，由于)0(111+→→---x e x x x p p 故p >0时⎰--101dx e x x p 收敛（4分）；⎰+∞--11dx e x x p ，由于)(012+∞→→--x e x x x p （4分）故对一切的p ⎰+∞--11dx e x x p 收敛，综上所述p >0，积分收敛3、解：221)(n x x S n +=收敛于x （4分）0)(sup lim ),(=-+∞-∞∈∞→x x S n x n 所以函数列一致收敛性（6分）四、证明题（每小题10分，共20分）1、证明：11123221213423-=-->=-n n n x x x x x x x x n n n )2(,112>->n x n x n （6分） ∑∞=-211n n 发散，由比较判别法知级数发散（4分）2、证明：||||022xy y x xy≤+≤（4分）22)0,0(),(lim y x xy y x +→=0所以函数在（0，0）点连续，（3分）又00lim 0=∆→∆xx ，)0,0(),0,0(y x f f 存在切等于0，（4分）但22)0,0(),(lim y x y x y x ∆+∆∆∆→∆∆不存在，故函数在（0，0）点不可微（3分）。
湖南理工学院高等代数试卷（2）
湖南理工学院高等代数试卷（2）高等代数试卷（2）一．填空题：（2×10=20）1．若向量组},,,{21r ααα 可由},,,{21s βββ 线性表示，且r>s,则},,,{21r ααα 线性。
2．数域P 上所有n 阶反对称矩阵构成的线性空间的维数是；3．设21,V V 是线性空间V 的两个子空间，则2121V V V V ⊕=+的充分必要条件是21V V ?= ； 4．数域P 上的两个有限维线性空间同构的充分必要条件是。
5．设V 是数域P 上的n 维线性空间，)(V L 是V 上一切线性变换所成的P 上的线性空间，则dim(L(V))= 。
6．设},,,{21n ααα 是线性空间V 的一组基，则由这个基到基},,,,{132ααααn 的过度矩阵是。
7．令P n [x]表示一切次数不大于n 的多项式连同零多项式组成的线性空间，)()(:x f x f '→σ，则σ关于基},,,,1{2n x x x 下的矩阵是。
8．设σ是n 维欧氏空间V 上的一个正交变换，且ισ=2 （单位变换），则σ是变换。
9．欧氏空间V 上的对称变换的特征根都是数。
10．设n εεε,,21 是n 维欧氏空间V 的一组标准正交基，则它的度量矩阵是。
二．判断题（每题1分，计10分）1．设212121,,V V V V V V V ⊕=+则的子空间是。
（）2．两个等价的向量组一个线性无关，则另一个也线性无关。
（）3．若n V =)dim(，V n ∈ααα,,,21 ，且V 中的任意一个向量都可由n ααα,,,21 线性表示，则n ααα,,,21 实数是V 的组基。
（）4．线性变换把线性无关的向量组变成线性无关的向量组。
（）5．如果一个线性变换是单射，则它无零特征根。
（）6．设σ是线性空间V 上的一个线性变换，则σ的核)(σKer 与σ的象)Im(σ都是σ的不变子空间。
（）7．如果W 是欧氏空间的一个子空间，那么对V 的内积来说，W 也作成欧氏空间。
2022年湖南理工学院南湖学院计算机科学与技术专业《数据结构与算法》科目期末试卷A(有答案)
2022年湖南理工学院南湖学院计算机科学与技术专业《数据结构与算法》科目期末试卷A（有答案）一、选择题1、无向图G=(V，E)，其中：V={a，b，c，d，e，f}，E={(a，b)，(a， e)，(a，c)，(b，e)，(c，f)，(f，d)，(e，d)}，对该图进行深度优先遍历，得到的顶点序列正确的是（）。
A.a，b，e，c，d，fB.a，c，f,e，b，dC.a，e，b，c，f, dD.a，e，d，f，c，b2、设有一个10阶的对称矩阵A，采用压缩存储方式，以行序为主存储， a11为第一元素，其存储地址为1，每个元素占一个地址空间，则a85的地址为（）。
A.13B.33C.18D.403、线性表的顺序存储结构是一种（）。
A.随机存取的存储结构B.顺序存取的存储结构C.索引存取的存储结构D.Hash存取的存储结构4、用不带头结点的单链表存储队列，其队头指针指向队头结点，队尾指针指向队尾结点，则在进行出队操作时（）。
A.仅修改队头指针B.仅修改队尾指针C.队头、队尾指针都可能要修改D.队头、队尾指针都要修改5、下面关于串的叙述中，不正确的是（）。
A.串是字符的有限序列B.空串是由空格构成的串C.模式匹配是串的一种重要运算D.串既可以采用顺序存储，也可以采用链式存储6、已知关键字序列5，8，12，19，28，20，15，22是小根堆（最小堆），插入关键字3，调整后的小根堆是（）。
A．3，5，12，8，28，20，15，22，19B．3，5，12，19，20，15，22，8，28C．3，8，12，5，20，15，22，28，19D．3，12，5，8，28，20，15，22，197、若元素a，b，c，d，e，f依次进栈，允许进栈、退栈操作交替进行，但不允许连续三次进行退栈操作，则不可能得到的出栈序列是（）。
8、一棵哈夫曼树共有215个结点，对其进行哈夫曼编码，共能得到（）个不同的码字。
A.107B.108C.214D.2159、有关二叉树下列说法正确的是（）。
长沙理工大学高等数学期末考试试卷及答案
一、单项选择题（共20分，5个小题，每小题4分）1.已知1=a，2=b ，且两个向量的夹角为4π，则=+b a （）。
A.1B.21+ C.2D.5答案：D 。
考点：向量的运算。
解答：()()b a b a b a+⋅+=+ba b b a a ⋅+⋅+⋅=2⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅⋅++=∧b a b a b a,cos 2225222221=⋅⋅++=。
注释：了解向量的各种运算和性质，掌握两向量的点积和叉积运算。
此题利用了2a a a=⋅。
2.函数xy z =在点()0,0处满足（）。
A.连续但偏导数不存在B.连续且偏导数存在C.偏导数存在但不连续D.可微答案：B 。
考点：多元函数在一点连续、可导、可微的定义。
解答：令()xyy x f z ==,（1）连续()()0,00lim,lim 0000f xy y x f y x y x ===→→→→则()xy y x f z ==,在()0,0处连续。
（2）可导()()()000lim 0,00,lim0,000=∆-=∆-∆=→∆→∆x x f x f f x x x 类似()00,0=y f ，则()xy y x f z ==,在()0,0处可导。
（3）可微()()y x f y x f z ∆∆=-∆∆=∆0,0,()()()()()()⎪⎭⎫ ⎝⎛∆+∆=⎪⎭⎫⎝⎛∆+∆+∆+∆22220,00,0y x o y x o y f x f y x 因为()()2202200limlimy x xy y x yx y x y x +=∆+∆∆∆→→→∆→∆，当()y x ,沿kx y =趋向()0,0时，该极限不存在，则()()⎪⎭⎫⎝⎛∆+∆≠∆∆22y x o y x ，即()()0,0,f y x f z -∆∆=∆()()()()⎪⎭⎫⎝⎛∆+∆+∆+∆≠220,00,0y x o y f x f y x ，故()xy y x f z ==,在()0,0处不可微，偏导数不连续（偏导连续则可微的逆否命题）。
湖南理工学院高等数学期末模拟(1)
高等数学一、试解下列各题：1．[6分]求函数22y x u -=在点（1，1）沿与x 轴正向成角 60=a 方向的方向导数。
2．[6分]计算ds y x L ⎰-)(2，其中L 是圆周122=+y x 。
3．[6分]将函数)10ln()(x x f +=展开成x 的幂级数并指出收敛域。
4．[6分]求微分方程1)1(=''-y x 的通解。
5．[6分]求微分方程xe x y y y 22=+'-''的一个特解。
二、[12分]求椭球面123222=++z y x 被平面0=++z y x 截得的椭圆的长半轴与短半轴之长。
三、[10分]函数),(y x z z =由方程0,,=）（x z z y y x F 所确定，F 具有连续的一阶偏导数，求dz 。
四、[10分]由曲面z y x -=+222与22y x z +=所围成立体为Ω，其密度为1，求Ω关于z 轴的转动惯量。
五、[10分]计算∑+⎰⎰∑,22dxdy y x e z 是由锥面22y x z +=，平面1=z 和2=z 所围成的圆台的侧面的下侧。
六、[12分]计算曲线积分dy e x dx y e y L x )()(22-+-⎰，式中L 是由点)0,0(0沿曲线23x y =至点)1,1(A 的一段。
七、[8分]设 ,,,,21n a a a ，是正项单调递增数列，问级数++++n a a a a a a 21211111何时收敛，何时发散？证明你的结论。
八、[8分]设平面π在平面022:1=-+-z y x π和平面062:2=-+-z y x π之间，它把平面1π与2π之间的距离分为3:1，求平面π的方程。
参考答案：一、1．31-=∂∂l u 2．π-3．n nn n x n x 10)1(10ln )10ln(11⋅-+=+∑∞=- 1010≤<-x 4．21)1ln()1(c x c x x y ++--= 5．xe x y 4*121= 二、长半轴：61311+=a ， 短半轴61311-=b 三、])()([)(12223123222dy xzF F y x dx yzF F x yz F z xyF xy z dz -+--= 四、π154=z I 五、)(22e e -π 六、51- 七、当1lim ≤∞→n n a 时原级数发散，否则原级数收敛。
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数学分析期末考试试题
一、叙述题：（每小题6分，共18分）
1、 牛顿-莱不尼兹公式
2、 ∑∞=1n n a
收敛的cauchy 收敛原理
3、 全微分
二、计算题：（每小题8分，共32分）
1、40202sin lim x dt
t x x ⎰→
2、求由曲线2x y =和2y x =围成的图形的面积和该图形绕x 轴旋转而成的几何体的体积。
3、求∑∞
=+1)1(n n
n n x 的收敛半径和收敛域，并求和 4、已知z y x u = ，求y
x u ∂∂∂2 三、（每小题10分，共30分）
1、写出判别正项级数敛散性常用的三种方法并判别级数
∑∞
=1!n n n n 2、讨论反常积分⎰+∞
--01dx e x x p 的敛散性
3、讨论函数列),(1
)(22+∞-∞∈+=
x n x x S n 的一致收敛性 四、证明题（每小题10分，共20分）
1、设)2,1(11,01 =->>+n n x x x n n n ，证明∑∞=1
n n x 发散 2、证明函数⎪⎩
⎪⎨⎧=+≠++=000),(22222
2y x y x y x xy y x f 在（0，0）点连续且可偏导，但它在该点不可微。
，
参考答案
一、1、设)(x f 在],[b a 连续，)(x F 是)(x f 在],[b a 上的一个原函数，则成立)()()(a F b F dx x f b
a -=⎰
2、,0.0>∃>∀N ε使得N n m >>∀，成立ε<+++++m n n a a a 21
3、设2R D ⊂为开集，D y x y x f z ∈=),(),,(是定义在D 上的二元函数，),(000y x P 为D 中的一定点，若存在只与点有关而与y x ∆∆,无关的常数A 和B ，使得)(22y x o y B x A z ∆+∆+∆+∆=∆则称函数f 在点),(000y x P 处是可微的，并称y B x A ∆+∆为在点),(000y x P 处的全微分
二、1、分子和分母同时求导
316sin 2lim sin lim 5
4060202==→→⎰x x x x dt t x x x （8分） 2、 、两曲线的交点为（0，0），（1，1）（2分） 所求的面积为：
3
1)(102=-⎰dx x x （3分） 所求的体积为：103)(105ππ=-⎰dx x x （3分） 3、 解：设∑∞=+=1)
1()(n n n n x x f ，1)
1(1)2)(1(1
lim =+++∞→n n n n n ，收敛半径为1，收敛域 [-1，1]（2分）
),10(),1ln(11)1()(121'<<---=+=∑∞
=-x x x x n x x f n n )10(),1ln(11)()(0
'<<--+==⎰x x x x dt t f x f x (3分） x =0级数为0，x =1，级数为1，x =-1，级数为1-2ln2（3分） 4、解： y
u ∂∂=z x x z y ln （3分）=∂∂∂y x u 2zx x x x z y z y 1ln 1+-(5分） 三、1、解、有比较判别法，Cauchy,D’Alembert,Raabe 判别法等（应写出具体的内容4分）
11
)1
11(lim !)1()!
1(lim -∞→+∞→=+-=++e n n n n n n n n
n n （4分）由D’Alembert 判别法知级数收敛（1分） 2、解：⎰⎰⎰+∞----+∞
--+=1110101dx e x dx e x dx e x x p x p x p （2分），对⎰--101dx e x x p ，由于)0(111+→→---x e x x x p p 故p >0时⎰--101dx e x x p 收敛（4分）；⎰+∞--1
1dx e x x p ，由于)(012+∞→→--x e x x x p （4分）故对一切的p ⎰+∞--1
1dx e x x p 收敛，综上所述p >0，积分收敛
3、解：221)(n x x S n +=收敛于x （4分）0)(sup lim ),(=-+∞-∞∈∞→x x S n x n 所以函数列一致收敛性（6分）
四、证明题（每小题10分，共20分）
1、证明：11123221213423-=-->=-n n n x x x x x x x x n n n )2(,112>->n x n x n （6分） ∑∞=-211
n n 发散，由比较判别法知级数发散（4分）
2、证明：||||022xy y x xy
≤+≤（4分）22)0,0(),(lim y x xy y x +→=0所以函数在（0，0）点
连续，（3分）又00lim 0=∆→∆x
x ，)0,0(),0,0(y x f f 存在切等于0，（4分）但22)0,0(),(lim y x y x y x ∆+∆∆∆→∆∆不存在，故函数在（0，0）点不可微（3分）。