北京市朝阳区2016年中考一模数学试题
2016北京市朝阳区初三(一模)数 学
2016北京市朝阳区初三（一模）数学一、选择题（本题共30分，每小题3分）下面各题均有四个选项，其中只有一个是符合题意的．1．（3分）清明节是中国传统节日，它不仅是人们远足踏青的日子，更是祭奠祖先、缅怀先人的节日．市民政局提供的数据显示，今年清明节当天全市213处祭扫点共接待群众264000人，将264000用科学记数法表示应为（）A．264×103B．2.64×104 C．2.64×105 D．0.264×1062．（3分）实数a，b，c，d在数轴上对应的位置如图所示，绝对值相等的两个实数是（）A．a与b B．b与c C．c与d D．a与d3．（3分）有一种推理游戏叫做“天黑请闭眼”，9位同学参与游戏，通过抽牌决定所扮演的角色，事先做好9张卡牌（除所写文字不同，其余均相同），其中有法官牌1张，杀手牌2张，好人牌6张．小易参与游戏，如果只随机抽取一张，那么小易抽到杀手牌的概率是（）A．B．C．D．4．（3分）下列图形选自历届世博会会徽，其中是轴对称图形的是（）A．B．C．D．5．（3分）如图，四边形ABCD内接于⊙O，E为DC延长线上一点，∠A=50°，则∠BCE的度数为（）A．40°B．50°C．60°D．130°6．（3分）某地需要开辟一条隧道，隧道AB的长度无法直接测量．如图所示，在地面上取一点C，使点C均可直接到达A，B两点，测量找到AC和BC的中点D，E，测得DE的长为1100m，则隧道AB的长度为（）A．3300m B．2200m C．1100m D．550m7．（3分）2022年将在北京﹣张家口举办冬季奥运会，很多学校开设了相关的课程．某校8名同学参加了冰壶选修课，他们被分成甲、乙两组进行训练，身高（单位：cm）如下表所示：队员1 队员2 队员3 队员4甲组176 177 175 176乙组178 175 177 174设两队队员身高的平均数依次为，，方差依次为S 甲2，S乙2，下列关系中完全正确的是（）A．，S 甲2＜S乙2B．，S甲2＞S乙2C．＜，S 甲2＜S乙2D．＞，S甲2＞S乙28．（3分）如图，△ABC内接于⊙O，若⊙O的半径为6，∠A=60°，则的长为（）A．2πB．4πC．6πD．12π9．（3分）我市为了促进全民健身，举办“健步走”活动，朝阳区活动场地位于奥林匹克公园（路线：森林公园﹣玲珑塔﹣国家体育场﹣水立方）．如图，体育局的工作人员在奥林匹克公园设计图上设定玲珑塔的坐标为（﹣1，0），森林公园的坐标为（﹣2，2），则终点水立方的坐标为（）A．（﹣2，﹣4）B．（﹣1，﹣4）C．（﹣2，4）D．（﹣4，﹣1）10．（3分）如图1，在等边三角形ABC中，AB=2，G是BC边上一个动点且不与点B、C重合，H是AC边上一点，且∠AGH=30°．设BG=x，图中某条线段长为y，y与x满足的函数关系的图象大致如图2所示，则这条线段可能是图中的（）A．线段CG B．线段AG C．线段AH D．线段CH二、填空题（本题共18分，每小题3分）11．（3分）若二次根式有意义，则x的取值范围是．12．（3分）分解因式：a2b﹣6ab2+9b3=．13．（3分）关于x的方程x2+2x+2k﹣4=0有两个不相等实数根，写出一个满足条件的k的值：k=．14．（3分）《孙子算经》是中国传统数学的重要著作之一，其中记载的“荡杯问题”很有趣．《孙子算经》记载“今有妇人河上荡杯．津吏问曰：‘杯何以多？’妇人曰：‘家有客．’津吏曰：‘客几何？’妇人曰：‘二人共饭，三人共羹，四人共肉，凡用杯六十五．’不知客几何？”译文：“2人同吃一碗饭，3人同吃一碗羹，4人同吃一碗肉，共用65个碗，问有多少客人？”设共有客人x人，可列方程为．15．（3分）在数学活动课上，小派运用统计方法估计瓶子中的豆子的数量．他先取出100粒豆子，给这些豆子做上记号，然后放回瓶子中，充分摇匀之后再取出100粒豆子，发现其中8粒有刚才做的记号，利用得到的数据可以估计瓶子中豆子的数量约为粒．16．（3分）阅读下面材料：数学课上，老师提出如下问题：尺规作图：经过已知直线上一点作这条直线的垂线．已知：直线AB和AB上一点C．求作：AB的垂线，使它经过点C．小艾的作法如下：如图，（1）在直线AB上取一点D，使点D与点C不重合，以点C为圆心，CD长为半径作弧，交AB于D，E两点；（2）分别以点D和点E为圆心，大于DE长为半径作弧，两弧相交于点F；（3）作直线CF．所以直线CF就是所求作的垂线．老师表扬了小艾的作法是对的．请回答：小艾这样作图的依据是．三、解答题（本题共72分，第17-26题，每小题5分，第27题7分，第28题7分，第29题8分）17．（5分）计算：（﹣2）﹣1﹣|﹣|+（﹣1）0+4cos45°．18．（5分）已知m﹣=1，求（2m+1）（2m﹣1）+m（m﹣5）的值．19．（5分）解不等式组并写出它的所有整数解．20．（5分）如图，E为AC上一点，EF∥AB交AF于点F，且AE=EF．求证：∠BAC=2∠1．21．（5分）台湾是中国领土不可分割的一部分，两岸在政治、经济、文化等领域的交流越来越深入，2015年10月10日是北京故宫博物院成立90周年院庆日，两岸故宫同根同源，合作举办了多项纪念活动．据统计北京故宫博物院与台北故宫博物院现共有藏品约245万件，其中北京故宫博物院藏品数量比台北故宫博物院藏品数量的2倍还多50万件，求北京故宫博物院和台北故宫博物院各约有多少万件藏品．22．（5分）如图，四边形ABCD是矩形，点E在BC边上，点F在BC延长线上，且∠CDF=∠BAE．（1）求证：四边形AEFD是平行四边形；（2）若DF=3，DE=4，AD=5，求CD的长度．23．（5分）在平面直角坐标xOy中，直线y=x+b与双曲线y=的一个交点为A（2，4），与y轴交于点B．（1）求m的值和点B的坐标；（2）点P在双曲线y=上，△OBP的面积为8，直接写出点P的坐标．24．（5分）如图，点D在⊙O上，过点D的切线交直径AB延长线于点P，DC⊥AB于点C．（1）求证：DB平分∠PDC；（2）若DC=6，tan∠P=，求BC的长．25．（5分）阅读下列材料：人口老龄化已经成为当今世界主要问题之一．北京市在上世纪90年代初就进入了老龄化社会，全市60岁及以上户籍老年人口2013年底达到279.3万人，占户籍总人口的21.2%；2014年底比2013年底增加17.4万人，占户籍总人口的22.3%；2015年底比2014年底增加23.3万人，占户籍总人口的23%．“百善孝为先”，北京市政府越来越关注养老问题，提出养老服务新模式，计划90%的老年人在社会化服务协助下通过家庭照顾养老（即居家养老），6%的老年人在社区养老，4%的老年人入住养老服务机构．本市养老服务机构的床位总数2013年达到8.0516万张，2014年达到10.938万张，2015年达到12万张．根据以上材料回答下列问题：（1）到2014年底，本市60岁及以上户籍老年人口为万人；（2）选择统计表或统计图，将2013年﹣﹣2015年本市60岁及以上户籍老年人口数量和占户籍总人口的比例表示出来；（3）预测2016年本市养老服务机构的床位数约为万张，请你结合数据估计，能否满足4%的老年人入住养老服务机构，并说明理由．26．（5分）观察下列各等式：2﹣=，（﹣1.2）﹣6=（﹣1.2）×6，（﹣）﹣（﹣1）=（﹣）×（﹣1），…根据上面这些等式反映的规律，解答下列问题：（1）上面等式反映的规律用文字语言可描述如下：存在两个实数，使得这两个实数的等于它们的；（2）请你写一个实数，使它具有上述等式的特征：﹣3=×3；（3）请你再写两个实数，使它们具有上述等式的特征：﹣=×；（4）符合上述特征的所有等式中，是否存在两个实数都是整数的情况？若存在，求出所有满足条件的等式；若不存在，说明理由．27．（7分）在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=x2+bx+c经过点（0，﹣3），（2，﹣3）．（1）求抛物线的表达式；（2）求抛物线的顶点坐标及与x轴交点的坐标；（3）将y=x2+bx+c（y≤0）的函数图象记为图象A，图象A关于x轴对称的图象记为图象B．已知一次函数y=mx+n，设点H是x轴上一动点，其横坐标为a，过点H作x轴的垂线，交图象A于点P，交图象B于点Q，交一次函数图象于点N．若只有当1＜a＜3时，点Q在点N上方，点N在点P上方，直接写出n的值．28．（7分）在等腰三角形ABC中，AC=BC，点P为BC边上一点（不与B、C重合），连接PA，以P为旋转中心，将线段PA顺时针旋转，旋转角与∠C相等，得到线段PD，连接DB．（1）当∠C=90°时，请你在图1中补全图形，并直接写出∠DBA的度数；（2）如图2，若∠C=α，求∠DBA的度数（用含α的代数式表示）；（3）连接AD，若∠C=30°，AC=2，∠APC=135°，请写出求AD长的思路．（可以不写出计算结果）29．（8分）在平面直角坐标系xOy中，A（t，0），B（t+，0），对于线段AB和x轴上方的点P给出如下定义：当∠APB=60°时，称点P为AB的“等角点”．（1）若t=﹣，在点C（0，），D（，1），E（﹣，）中，线段AB的“等角点”是；（2）直线MN分别交x轴、y轴于点M、N，点M的坐标是（6，0），∠OMN=30°．①线段AB的“等角点”P在直线MN上，且∠ABP=90°，求点P的坐标；②在①的条件下，过点B作BQ⊥PA，交MN于点Q，求∠AQB的度数；③若线段AB的所有“等角点”都在△MON内部，则t的取值范围是．数学试题答案一、选择题（本题共30分，每小题3分）下面各题均有四个选项，其中只有一个是符合题意的．1．【解答】将264000用科学记数法表示应为2.64×105，故选：C．2．【解答】由数轴可知a，b，c，d表示的数为﹣3，﹣1，2，3，∵|﹣3|=|3|，∴a与d互为相反数，故选：D．3．【解答】小易抽到杀手牌的概率=．故选C4．【解答】A、不是轴对称图形，故此选项错误；B、是轴对称图形，故此选项正确；C、不是轴对称图形，故此选项错误；D、不是轴对称图形，故此选项错误；故选：B．5．【解答】∵四边形ABCD内接于⊙O，∴∠BCE=∠A=50°．故选B．6．【解答】∵D，E为AC和BC的中点，∴AB=2DE=2200m，故选：B．7．【解答】=（177+176+175+176）÷4=176，=（178+175+177+174）÷4=176，s甲2=[（177﹣176）2+（176﹣176）2+（175﹣176）2+（176﹣176）2]=0.5，s乙2=[（178﹣176）2+（175﹣176）2+（177﹣176）2+（174﹣176）2]=2.5．s甲2＜s乙2．故选：A．8．【解答】连接OB，OC，∵∠A=60°，∴∠BOC=2∠A=120°，∴==4π．故选B．9．【解答】如图：水立方的坐标为（﹣2，﹣4）．故选：A．10．【解答】若线段CG=y，由题意可得，y随x的增大减小，故选项A错误；若线段AG=y，由题意可得，y随x的增大先增大再减小，并且左右对称，故选项B错误；若线段AH=y，由题意可得，y随x的增大先减小再增大，故选项C错误；若线段CH=y，由题意可得，y随x的增大先增大再减小，故选项D正确；故选D．二、填空题（本题共18分，每小题3分）11．【解答】根据题意，使二次根式有意义，即x﹣2≥0，解得x≥2；故答案为：x≥2．12．【解答】原式=b（a2﹣6ab+9b2）=b（a﹣3b）2．故答案为：b（a﹣3b）213．【解答】∵方程x2+2x+2k﹣4=0有两个不相等的实数根，∴△=b2﹣4ac=4﹣8k+16＞0，解得：k，则k的取值范围为：：k．∴k=1．故答案为：1（k的任意实数）．14．【解答】设共有客人x人，根据题意得x+x+x=65．故答案为x+x+x=65．15．【解答】设瓶子中有豆子x粒豆子，根据题意得：=，解得：x=1250，答：估计瓶子中豆子的数量约为1250粒．故答案为：1250．16．【解答】分别以点D和点E为圆心，大于DE长为半径作弧，两弧相交于点F，小艾这样作图的依据是等腰三角形的“三线合一”，作直线CF，依据是：两点确定一条直线．故答案为：等腰三角形的“三线合一”，两点确定一条直线．三、解答题（本题共72分，第17-26题，每小题5分，第27题7分，第28题7分，第29题8分）17．【解答】（﹣2）﹣1﹣|﹣|+（﹣1）0+4cos45°=﹣﹣2+1+4×=﹣﹣2+1+2=．18．【解答】原式=4m2﹣1+m2﹣5m=5m2﹣5m﹣1=5（m2﹣m）﹣1，由m﹣=1，得到m2﹣m=1，则原式=5﹣1=4．19．【解答】解不等式3（x﹣1）＜6x得：x＞﹣1，解不等式x≤得：x≤1，∴不等式组解集是﹣1＜x≤1，∴原不等式组的所有整数解为0、1．20．【解答】证明：∵EF∥AB，∴∠1=∠FAB，∵AE=EF，∴∠EAF=∠EFA，∵∠1=∠EFA，∴∠EAF=∠1，∴∠BAC=2∠1．21．【解答】设北京故宫博物院约有x万件藏品，台北故宫博物院约有y万件藏品，根据题意，列方程得，解得，答：北京故宫博物院约有180万件藏品，台北故宫博物院约有65万件藏品．22．【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，∴AB=DC，∠B=∠DCF=90°，∵∠BAE=∠CDF，在△ABE和△DCF中，，∴△ABE≌△DCF（ASA），∴BE=CF，∴BC=EF，∵BC=AD，∴EF=AD，又∵EF∥AD，∴四边形AEFD是平行四边形；（2）解：由（1）知：EF=AD=5，在△EFD中，∵DF=3，DE=4，EF=5，∴DE2+DF2=EF2，∴∠EDF=90°，∴•ED•DF=EF•CD，∴CD=．23．【解答】（1）∵双曲线y=经过点A（2，4），∴m=8，∵直线y=x+b经过点A（2，4），∴4=2+b，∴b=2，∴此直线与y轴的交点B坐标为（0，2）．∴m=8，点B（0，2）．（2）设点P（m，），由题意×2×|m|=8，∴m=±8，∴点P坐标（8，1），（﹣8，﹣1）．24．【解答】（1）证明：连结OD，如图，∵PD为切线，∴OD⊥PD，∴∠ODP=90°，即∠ODB+∠PDB=90°，∵CD⊥OB，∴∠DCB=90°，∴∠CDB+∠DBC=90°，∵OB=OD，∴∠ODB=∠OBD，∴∠CDB=∠PDB，∴DB平分∠PDC；（2）解：作BE⊥PD，如图，∵DB平分∠PDC，BC⊥CD，BE⊥PD，∴BC=BE，在Rt△PDC中，∵tanP===，∴PC=8，∴PD==10，设BC=x，则BE=x，PB=8﹣x，∵∠EPB=∠CPD，∴Rt△PBE∽Rt△PDC，∴BE：DC=PB：PD，即x：6=（8﹣x）：10，解得x=3，即BC的长为3．25．【解答】（1）到2014年底，本市60岁及以上户籍老年人口为：279.3+17.4=296.7（万人）；（2）2015年老年人的数量是：296.7+23.3=320（人），填表如下：年份老年人口数量（单位：万人）老年人口占户籍总人口的比例2013年279.3 21.2%2014年296.7 22.3%2015年320 23%（3）预测2016年本市养老服务机构的床位数约14万张，能满足老年人的入住需求；理由如下：根据2013﹣2015年老年人口数量增长情况，估计到2016年老年人口约有340万人，有4%的老年人入住养老服务机构，即约有13.6万人入住养老服务机构，到2016年北京市养老服务机构的床位数约14万张，所以能满足老年人的入住需求．故答案为：（1）296.7；（3）14．26．【解答】（1）上面等式反映的规律用文字语言可描述为：存在两个实数，使得这两个实数的差等于它们的积；（2）一个实数，使它具有上述等式的特征：﹣﹣3=﹣×3；（3）两个实数，使它们具有上述等式的特征：1﹣=1×；（4）存在．设这两个实数分别为x，y，可以得到x﹣y=xy，∴y=，y=1﹣，∵两个实数都是整数，∴x+1=±1，∴当x=0时，y=0；当x=﹣2时，y=2．∴满足两个实数都是整数的等式为0﹣0=0×0，（﹣2）﹣2=﹣2×2．故答案为：差，积；﹣，﹣；1，，1，．27．【解答】（1）根据题意得，解得，所以抛物线解析式为y=x2﹣2x﹣3；（2）y=x2﹣2x﹣3=（x﹣1）2﹣4，则抛物线的顶点坐标为（1，﹣4），当y=0时，x2﹣2x﹣3=0，解得x1=﹣1，x2=3，所以抛物线与x轴的交点坐标为（﹣1，0），（3，0）；（3）∵图象A关于x轴对称的图象记为图象B，如图，∴图象B的顶点坐标为（1，4），∵只有当1＜a＜3时，点Q在点N上方，点N在点P上方，∴直线y=mx+n过点（1，4）、（3，0）或（1，﹣4）、（3，0），当直线y=mx+n过点（1，4）、（3，0）时，直线解析式为y=﹣2x+6，此时n=6；当直线y=mx+n过点（1，﹣4）、（3，0）时，直线解析式为y=2x﹣6，此时n=﹣6，∴n的值为6或﹣6．28．【解答】（1）依题意补全图形，如图1所示，过点P作PE∥AC，∴∠PEB=∠CAB，∵AB=BC，∴∠CBA=∠CAB，∴∠PEB=∠PBE，∴PB=PE，∵∠BPD+∠DPE=∠EPA+∠DPE=90°，∴∠BPD=∠EPA，∵PA=PD，∴△PDB≌△PAE，∵∠PBA=∠PEB=（180°﹣90°）=45°，∴∠PBD=∠PEA=180°﹣∠PEB=135°，∴∠DBA=∠PBD﹣∠PBA=90°；（2）如图2，过点P作PE∥AC，∴∠PEB=∠CAB，∵AC=BC，∴∠CBA=∠CAB，∴∠PEB=∠PBE，∴PB=PE，∵∠BPD+∠DPE=∠EPA+∠DPE=α，∴∠BPD=∠EPA，∵PA=PD，∴△PDB≌△PAE，∵∠PBA=∠PEB=（180°﹣α）=90°﹣α，∴∠PBD=∠PEA=180°﹣∠PEB=90°+α，∴∠DBA=∠PBD﹣∠PBA=α；（3）如图3，作AH⊥BC，∵∠ACB=30°，AC=2，∴AH=1，CH=，∴BH=2﹣，根据勾股定理得，AB==2，∵∠APC=135°，∴∠APH=45°，∴AP=AH=，∵∠APD=∠ACB=30°，AC=BC，AP=DP，∴△PAD∽△CAB，∴==，∴AD=AB=×2=．29．【解答】（1）当t=﹣时，点A（﹣，0），点B（，0），∵点C（0，），OC==AB，且点O为线段AB的中点，∴△ABC为等边三角形，∴∠ACB=60°，点C是线段AB的“等角点”；∵点D（，1），B、D横坐标相等，∴BD⊥x轴于点B．∵AB=﹣（﹣）=，BD=1﹣0=1，tan∠ADB==，∴∠ADB=60°，点D是线段AB的“等角点”；∵点E（﹣，），A、E横坐标相等，∴AE⊥x轴于点A．∵AB=﹣（﹣）=，AE=﹣0=，tan∠AEB==，∴∠AEB≠60°，点E不是线段AB的“等角点”．综上可知：点C、D是线段AB的“等角点”．故答案为：C、D．（2）①当点N在y轴正半轴时，如图1，∵∠APB=60°，∠ABP=90°，∴∠PAB=30°，又∵∠OMN=30°，∴PA=PM，AB=BM．∵AB=，∴BM=，∴PB=1．∴P（6﹣，1）．当点N在y轴负半轴时，同理可得点P（6+，1）．②当点N在y轴正半轴时，如图2，∵BQ⊥AP，且∠APB=60°，∴∠PBQ=30°，∴∠ABQ=60°，∴∠BMQ=∠MQB=30°，∴BQ=BM=AB，∴△ABQ是等边三角形．∴∠AQB=60°．当点N在y轴负半轴时，同理可得∠AQB=90°．③以AB=做底，AO′=BO′为腰，∠AO′B=120°作三角形，如图3所示．∵AO′=BO′，AB=，∠AO′B=120°，∴AO′=1，O′O″=．（i）在（2）的基础上，以直线y=上的点O′为圆心，1为半径作圆，当圆O′与y轴相切，且O′在y轴右侧时，如图4所示，此时O′的坐标为（1，），此时A点的横坐标为1﹣AB=1﹣，即t=1﹣；（ii）在（2）的基础上，以直线y=上的点O′为圆心，1为半径作圆，当圆O′与线段MN相切，且O′在MN下方时，如图5所示．∵M′F=，∠OMN=30°，∴MF==．∵O′D=1，∠O′M′D=∠OMN=30°，∴O′M′==2．此时点B的横坐标为OM﹣MF﹣O′M′+AB=4，∴t+=4，t=4﹣．综上可知：若线段AB的所有“等角点”都在△MON内部，则t的取值范围是1﹣＜t＜4﹣．故答案为：1﹣＜t＜4﹣．。
2016年北京市朝阳区中考数学一模试卷(解析版)
2016年北京市朝阳区中考数学一模试卷一、选择题（本题共30分，每小题3分）下面各题均有四个选项，其中只有一个是符合题意的．1．（3分）清明节是中国传统节日，它不仅是人们远足踏青的日子，更是祭奠祖先、缅怀先人的节日．市民政局提供的数据显示，今年清明节当天全市213处祭扫点共接待群众264000人，将264000用科学记数法表示应为（）A．264×103B．2.64×104C．2.64×105D．0.264×1062．（3分）实数a，b，c，d在数轴上对应的位置如图所示，绝对值相等的两个实数是（）A．a与b B．b与c C．c与d D．a与d3．（3分）有一种推理游戏叫做“天黑请闭眼”，9位同学参与游戏，通过抽牌决定所扮演的角色，事先做好9张卡牌（除所写文字不同，其余均相同），其中有法官牌1张，杀手牌2张，好人牌6张．小易参与游戏，如果只随机抽取一张，那么小易抽到杀手牌的概率是（）A．B．C．D．4．（3分）下列图形选自历届世博会会徽，其中是轴对称图形的是（）A．B．C．D．5．（3分）如图，四边形ABCD内接于⊙O，E为DC延长线上一点，∠A=50°，则∠BCE的度数为（）A．40°B．50°C．60°D．130°6．（3分）某地需要开辟一条隧道，隧道AB的长度无法直接测量．如图所示，在地面上取一点C，使点C均可直接到达A，B两点，测量找到AC和BC的中点D，E，测得DE的长为1100m，则隧道AB的长度为（）A．3300m B．2200m C．1100m D．550m7．（3分）2022年将在北京﹣张家口举办冬季奥运会，很多学校开设了相关的课程．某校8名同学参加了冰壶选修课，他们被分成甲、乙两组进行训练，身高（单位：cm）如下表所示：队员1队员2队员3队员4甲组176177175176乙组178175177174设两队队员身高的平均数依次为，，方差依次为S甲2，S乙2，下列关系中完全正确的是（）A．，S 甲2＜S乙2B．，S甲2＞S乙2C．＜，S 甲2＜S乙2D．＞，S甲2＞S乙28．（3分）如图，△ABC内接于⊙O，若⊙O的半径为6，∠A=60°，则的长为（）A．2πB．4πC．6πD．12π9．（3分）我市为了促进全民健身，举办“健步走”活动，朝阳区活动场地位于奥林匹克公园（路线：森林公园﹣玲珑塔﹣国家体育场﹣水立方）．如图，体育局的工作人员在奥林匹克公园设计图上设定玲珑塔的坐标为（﹣1，0），森林公园的坐标为（﹣2，2），则终点水立方的坐标为（）A．（﹣2，﹣4）B．（﹣1，﹣4）C．（﹣2，4）D．（﹣4，﹣1）10．（3分）如图1，在等边三角形ABC中，AB=2，G是BC边上一个动点且不与点B、C重合，H是AC边上一点，且∠AGH=30°．设BG=x，图中某条线段长为y，y与x满足的函数关系的图象大致如图2所示，则这条线段可能是图中的（）A．线段CG B．线段AG C．线段AH D．线段CH二、填空题（本题共18分，每小题3分）11．（3分）若二次根式有意义，则x的取值范围是．12．（3分）分解因式：a2b﹣6ab2+9b3=．13．（3分）关于x的方程x2+2x+2k﹣4=0有两个不相等实数根，写出一个满足条件的k的值：k=．14．（3分）《孙子算经》是中国传统数学的重要著作之一，其中记载的“荡杯问题”很有趣．《孙子算经》记载“今有妇人河上荡杯．津吏问曰：‘杯何以多？’妇人曰：‘家有客．’津吏曰：‘客几何？’妇人曰：‘二人共饭，三人共羹，四人共肉，凡用杯六十五．’不知客几何？”译文：“2人同吃一碗饭，3人同吃一碗羹，4人同吃一碗肉，共用65个碗，问有多少客人？”设共有客人x人，可列方程为．15．（3分）在数学活动课上，小派运用统计方法估计瓶子中的豆子的数量．他先取出100粒豆子，给这些豆子做上记号，然后放回瓶子中，充分摇匀之后再取出100粒豆子，发现其中8粒有刚才做的记号，利用得到的数据可以估计瓶子中豆子的数量约为粒．16．（3分）阅读下面材料：数学课上，老师提出如下问题：尺规作图：经过已知直线上一点作这条直线的垂线．已知：直线AB和AB上一点C．求作：AB的垂线，使它经过点C．小艾的作法如下：如图，（1）在直线AB上取一点D，使点D与点C不重合，以点C为圆心，CD 长为半径作弧，交AB于D，E两点；（2）分别以点D和点E为圆心，大于DE 长为半径作弧，两弧相交于点F；（3）作直线CF．所以直线CF就是所求作的垂线．老师表扬了小艾的作法是对的．请回答：小艾这样作图的依据是．三、解答题（本题共72分，第17-26题，每小题5分，第27题7分，第28题7分，第29题8分）17．（5分）计算：（﹣2）﹣1﹣|﹣|+（﹣1）0+4cos45°．18．（5分）已知m﹣=1，求（2m+1）（2m﹣1）+m（m﹣5）的值．19．（5分）解不等式组并写出它的所有整数解．20．（5分）如图，E为AC上一点，EF∥AB交AF于点F，且AE=EF．求证：∠BAC=2∠1．21．（5分）台湾是中国领土不可分割的一部分，两岸在政治、经济、文化等领域的交流越来越深入，2015年10月10日是北京故宫博物院成立90周年院庆日，两岸故宫同根同源，合作举办了多项纪念活动．据统计北京故宫博物院与台北故宫博物院现共有藏品约245万件，其中北京故宫博物院藏品数量比台北故宫博物院藏品数量的2倍还多50万件，求北京故宫博物院和台北故宫博物院各约有多少万件藏品．22．（5分）如图，四边形ABCD是矩形，点E在BC边上，点F在BC延长线上，且∠CDF=∠BAE．（1）求证：四边形AEFD是平行四边形；（2）若DF=3，DE=4，AD=5，求CD的长度．23．（5分）在平面直角坐标xOy中，直线y=x+b与双曲线y=的一个交点为A （2，4），与y轴交于点B．（1）求m的值和点B的坐标；（2）点P在双曲线y=上，△OBP的面积为8，直接写出点P的坐标．24．（5分）如图，点D在⊙O上，过点D的切线交直径AB延长线于点P，DC ⊥AB于点C．（1）求证：DB平分∠PDC；（2）若DC=6，tan∠P=，求BC的长．25．（5分）阅读下列材料：人口老龄化已经成为当今世界主要问题之一．北京市在上世纪90年代初就进入了老龄化社会，全市60岁及以上户籍老年人口2013年底达到279.3万人，占户籍总人口的21.2%；2014年底比2013年底增加17.4万人，占户籍总人口的22.3%；2015年底比2014年底增加23.3万人，占户籍总人口的23%．“百善孝为先”，北京市政府越来越关注养老问题，提出养老服务新模式，计划90%的老年人在社会化服务协助下通过家庭照顾养老（即居家养老），6%的老年人在社区养老，4%的老年人入住养老服务机构．本市养老服务机构的床位总数2013年达到8.0516万张，2014年达到10.938万张，2015年达到12万张．根据以上材料回答下列问题：（1）到2014年底，本市60岁及以上户籍老年人口为万人；（2）选择统计表或统计图，将2013年﹣﹣2015年本市60岁及以上户籍老年人口数量和占户籍总人口的比例表示出来；（3）预测2016年本市养老服务机构的床位数约为万张，请你结合数据估计，能否满足4%的老年人入住养老服务机构，并说明理由．26．（5分）观察下列各等式：2﹣=，（﹣1.2）﹣6=（﹣1.2）×6，（﹣）﹣（﹣1）=（﹣）×（﹣1），…根据上面这些等式反映的规律，解答下列问题：（1）上面等式反映的规律用文字语言可描述如下：存在两个实数，使得这两个实数的等于它们的；（2）请你写一个实数，使它具有上述等式的特征：﹣3=×3；（3）请你再写两个实数，使它们具有上述等式的特征：﹣=×；（4）符合上述特征的所有等式中，是否存在两个实数都是整数的情况？若存在，求出所有满足条件的等式；若不存在，说明理由．27．（7分）在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=x2+bx+c经过点（0，﹣3），（2，﹣3）．（1）求抛物线的表达式；（2）求抛物线的顶点坐标及与x轴交点的坐标；（3）将y=x2+bx+c（y≤0）的函数图象记为图象A，图象A关于x轴对称的图象记为图象B．已知一次函数y=mx+n，设点H是x轴上一动点，其横坐标为a，过点H作x轴的垂线，交图象A于点P，交图象B于点Q，交一次函数图象于点N．若只有当1＜a＜3时，点Q在点N上方，点N在点P上方，直接写出n的值．28．（7分）在等腰三角形ABC中，AC=BC，点P为BC边上一点（不与B、C重合），连接PA，以P为旋转中心，将线段PA顺时针旋转，旋转角与∠C相等，得到线段PD，连接DB．（1）当∠C=90°时，请你在图1中补全图形，并直接写出∠DBA的度数；（2）如图2，若∠C=α，求∠DBA的度数（用含α的代数式表示）；（3）连接AD，若∠C=30°，AC=2，∠APC=135°，请写出求AD长的思路．（可以不写出计算结果）29．（8分）在平面直角坐标系xOy中，A（t，0），B（t+，0），对于线段AB 和x轴上方的点P给出如下定义：当∠APB=60°时，称点P为AB的“等角点”．（1）若t=﹣，在点C（0，），D（，1），E（﹣，）中，线段AB 的“等角点”是；（2）直线MN分别交x轴、y轴于点M、N，点M的坐标是（6，0），∠OMN=30°．①线段AB的“等角点”P在直线MN上，且∠ABP=90°，求点P的坐标；②在①的条件下，过点B作BQ⊥PA，交MN于点Q，求∠AQB的度数；③若线段AB的所有“等角点”都在△MON内部，则t的取值范围是．2016年北京市朝阳区中考数学一模试卷参考答案与试题解析一、选择题（本题共30分，每小题3分）下面各题均有四个选项，其中只有一个是符合题意的．1．（3分）清明节是中国传统节日，它不仅是人们远足踏青的日子，更是祭奠祖先、缅怀先人的节日．市民政局提供的数据显示，今年清明节当天全市213处祭扫点共接待群众264000人，将264000用科学记数法表示应为（）A．264×103B．2.64×104C．2.64×105D．0.264×106【解答】解：将264000用科学记数法表示应为2.64×105，故选：C．2．（3分）实数a，b，c，d在数轴上对应的位置如图所示，绝对值相等的两个实数是（）A．a与b B．b与c C．c与d D．a与d【解答】解：由数轴可知a，b，c，d表示的数为﹣3，﹣1，2，3，∵|﹣3|=|3|，∴a与d互为相反数，故选：D．3．（3分）有一种推理游戏叫做“天黑请闭眼”，9位同学参与游戏，通过抽牌决定所扮演的角色，事先做好9张卡牌（除所写文字不同，其余均相同），其中有法官牌1张，杀手牌2张，好人牌6张．小易参与游戏，如果只随机抽取一张，那么小易抽到杀手牌的概率是（）A．B．C．D．【解答】解：小易抽到杀手牌的概率=．故选C4．（3分）下列图形选自历届世博会会徽，其中是轴对称图形的是（）A．B．C．D．【解答】解：A、不是轴对称图形，故此选项错误；B、是轴对称图形，故此选项正确；C、不是轴对称图形，故此选项错误；D、不是轴对称图形，故此选项错误；故选：B．5．（3分）如图，四边形ABCD内接于⊙O，E为DC延长线上一点，∠A=50°，则∠BCE的度数为（）A．40°B．50°C．60°D．130°【解答】解：∵四边形ABCD内接于⊙O，∴∠BCE=∠A=50°．故选B．6．（3分）某地需要开辟一条隧道，隧道AB的长度无法直接测量．如图所示，在地面上取一点C，使点C均可直接到达A，B两点，测量找到AC和BC的中点D，E，测得DE的长为1100m，则隧道AB的长度为（）A．3300m B．2200m C．1100m D．550m【解答】解：∵D，E为AC和BC的中点，∴AB=2DE=2200m，故选：B．7．（3分）2022年将在北京﹣张家口举办冬季奥运会，很多学校开设了相关的课程．某校8名同学参加了冰壶选修课，他们被分成甲、乙两组进行训练，身高（单位：cm）如下表所示：队员1队员2队员3队员4甲组176177175176乙组178175177174设两队队员身高的平均数依次为，，方差依次为S甲2，S乙2，下列关系中完全正确的是（）A．，S 甲2＜S乙2B．，S甲2＞S乙2C．＜，S 甲2＜S乙2D．＞，S甲2＞S乙2【解答】解：=（177+176+175+176）÷4=176，=（178+175+177+174）÷4=176，s甲2=[（177﹣176）2+（176﹣176）2+（175﹣176）2+（176﹣176）2]=0.5，s乙2=[（178﹣176）2+（175﹣176）2+（177﹣176）2+（174﹣176）2]=2.5．s甲2＜s乙2．故选：A．8．（3分）如图，△ABC内接于⊙O，若⊙O的半径为6，∠A=60°，则的长为（）A．2πB．4πC．6πD．12π【解答】解：连接OB，OC，∵∠A=60°，∴∠BOC=2∠A=120°，∴==4π．故选B．9．（3分）我市为了促进全民健身，举办“健步走”活动，朝阳区活动场地位于奥林匹克公园（路线：森林公园﹣玲珑塔﹣国家体育场﹣水立方）．如图，体育局的工作人员在奥林匹克公园设计图上设定玲珑塔的坐标为（﹣1，0），森林公园的坐标为（﹣2，2），则终点水立方的坐标为（）A．（﹣2，﹣4）B．（﹣1，﹣4）C．（﹣2，4）D．（﹣4，﹣1）【解答】解：如图：，水立方的坐标为（﹣2，﹣4）．故选：A．10．（3分）如图1，在等边三角形ABC中，AB=2，G是BC边上一个动点且不与点B、C重合，H是AC边上一点，且∠AGH=30°．设BG=x，图中某条线段长为y，y与x满足的函数关系的图象大致如图2所示，则这条线段可能是图中的（）A．线段CG B．线段AG C．线段AH D．线段CH【解答】解：若线段CG=y，由题意可得，y随x的增大减小，故选项A错误；若线段AG=y，由题意可得，y随x的增大先增大再减小，并且左右对称，故选项B错误；若线段AH=y，由题意可得，y随x的增大先减小再增大，故选项C错误；若线段CH=y，由题意可得，y随x的增大先增大再减小，故选项D正确；故选D．二、填空题（本题共18分，每小题3分）11．（3分）若二次根式有意义，则x的取值范围是x≥2．【解答】解：根据题意，使二次根式有意义，即x﹣2≥0，解得x≥2；故答案为：x≥2．12．（3分）分解因式：a2b﹣6ab2+9b3=b（a﹣3b）2．【解答】解：原式=b（a2﹣6ab+9b2）=b（a﹣3b）2．故答案为：b（a﹣3b）213．（3分）关于x的方程x2+2x+2k﹣4=0有两个不相等实数根，写出一个满足条件的k的值：k=1．【解答】解：∵方程x2+2x+2k﹣4=0有两个不相等的实数根，∴△=b2﹣4ac=4﹣8k+16＞0，解得：k，则k的取值范围为：：k．∴k=1．故答案为：1（k的任意实数）．14．（3分）《孙子算经》是中国传统数学的重要著作之一，其中记载的“荡杯问题”很有趣．《孙子算经》记载“今有妇人河上荡杯．津吏问曰：‘杯何以多？’妇人曰：‘家有客．’津吏曰：‘客几何？’妇人曰：‘二人共饭，三人共羹，四人共肉，凡用杯六十五．’不知客几何？”译文：“2人同吃一碗饭，3人同吃一碗羹，4人同吃一碗肉，共用65个碗，问有多少客人？”设共有客人x人，可列方程为x+x+x=65．【解答】解：设共有客人x人，根据题意得x+x+x=65．故答案为x+x+x=65．15．（3分）在数学活动课上，小派运用统计方法估计瓶子中的豆子的数量．他先取出100粒豆子，给这些豆子做上记号，然后放回瓶子中，充分摇匀之后再取出100粒豆子，发现其中8粒有刚才做的记号，利用得到的数据可以估计瓶子中豆子的数量约为1250粒．【解答】解：设瓶子中有豆子x粒豆子，根据题意得：=，解得：x=1250，答：估计瓶子中豆子的数量约为1250粒．故答案为：1250．16．（3分）阅读下面材料：数学课上，老师提出如下问题：尺规作图：经过已知直线上一点作这条直线的垂线．已知：直线AB和AB上一点C．求作：AB的垂线，使它经过点C．小艾的作法如下：如图，（1）在直线AB上取一点D，使点D与点C不重合，以点C为圆心，CD 长为半径作弧，交AB于D，E两点；（2）分别以点D和点E为圆心，大于DE 长为半径作弧，两弧相交于点F；（3）作直线CF．所以直线CF就是所求作的垂线．老师表扬了小艾的作法是对的．请回答：小艾这样作图的依据是等腰三角形的“三线合一”，两点确定一条直线．【解答】解：分别以点D和点E为圆心，大于DE长为半径作弧，两弧相交于点F，小艾这样作图的依据是等腰三角形的“三线合一”，作直线CF，依据是：两点确定一条直线．故答案为：等腰三角形的“三线合一”，两点确定一条直线．三、解答题（本题共72分，第17-26题，每小题5分，第27题7分，第28题7分，第29题8分）17．（5分）计算：（﹣2）﹣1﹣|﹣|+（﹣1）0+4cos45°．【解答】解：（﹣2）﹣1﹣|﹣|+（﹣1）0+4cos45°=﹣﹣2+1+4×=﹣﹣2+1+2=．18．（5分）已知m﹣=1，求（2m+1）（2m﹣1）+m（m﹣5）的值．【解答】解：原式=4m2﹣1+m2﹣5m=5m2﹣5m﹣1=5（m2﹣m）﹣1，由m﹣=1，得到m2﹣m=1，则原式=5﹣1=4．19．（5分）解不等式组并写出它的所有整数解．【解答】解：解不等式3（x﹣1）＜6x得：x＞﹣1，解不等式x≤得：x≤1，∴不等式组解集是﹣1＜x≤1，∴原不等式组的所有整数解为0、1．20．（5分）如图，E为AC上一点，EF∥AB交AF于点F，且AE=EF．求证：∠BAC=2∠1．【解答】证明：∵EF∥AB，∴∠1=∠FAB，∵AE=EF，∴∠EAF=∠EFA，∵∠1=∠EFA，∴∠EAF=∠1，∴∠BAC=2∠1．21．（5分）台湾是中国领土不可分割的一部分，两岸在政治、经济、文化等领域的交流越来越深入，2015年10月10日是北京故宫博物院成立90周年院庆日，两岸故宫同根同源，合作举办了多项纪念活动．据统计北京故宫博物院与台北故宫博物院现共有藏品约245万件，其中北京故宫博物院藏品数量比台北故宫博物院藏品数量的2倍还多50万件，求北京故宫博物院和台北故宫博物院各约有多少万件藏品．【解答】解：设北京故宫博物院约有x万件藏品，台北故宫博物院约有y万件藏品，根据题意，列方程得，解得，答：北京故宫博物院约有180万件藏品，台北故宫博物院约有65万件藏品．22．（5分）如图，四边形ABCD是矩形，点E在BC边上，点F在BC延长线上，且∠CDF=∠BAE．（1）求证：四边形AEFD是平行四边形；（2）若DF=3，DE=4，AD=5，求CD的长度．【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，∴AB=DC，∠B=∠DCF=90°，∵∠BAE=∠CDF，在△ABE和△DCF中，，∴△ABE≌△DCF（ASA），∴BE=CF，∴BC=EF，∵BC=AD，∴EF=AD，又∵EF∥AD，∴四边形AEFD是平行四边形；（2）解：由（1）知：EF=AD=5，在△EFD中，∵DF=3，DE=4，EF=5，∴DE2+DF2=EF2，∴∠EDF=90°，∴•ED•DF=EF•CD，∴CD=．23．（5分）在平面直角坐标xOy中，直线y=x+b与双曲线y=的一个交点为A （2，4），与y轴交于点B．（1）求m的值和点B的坐标；（2）点P在双曲线y=上，△OBP的面积为8，直接写出点P的坐标．【解答】解：（1）∵双曲线y=经过点A（2，4），∴m=8，∵直线y=x+b经过点A（2，4），∴4=2+b，∴b=2，∴此直线与y轴的交点B坐标为（0，2）．∴m=8，点B（0，2）．（2）设点P（m，），由题意×2×|m|=8，∴m=±8，∴点P坐标（8，1），（﹣8，﹣1）．24．（5分）如图，点D在⊙O上，过点D的切线交直径AB延长线于点P，DC ⊥AB于点C．（1）求证：DB平分∠PDC；（2）若DC=6，tan∠P=，求BC的长．【解答】（1）证明：连结OD，如图，∵PD为切线，∴OD⊥PD，∴∠ODP=90°，即∠ODB+∠PDB=90°，∵CD⊥OB，∴∠DCB=90°，∴∠CDB+∠DBC=90°，∵OB=OD，∴∠ODB=∠OBD，∴∠CDB=∠PDB，∴DB平分∠PDC；（2）解：作BE⊥PD，如图，∵DB平分∠PDC，BC⊥CD，BE⊥PD，∴BC=BE，在Rt△PDC中，∵tanP===，∴PC=8，∴PD==10，设BC=x，则BE=x，PB=8﹣x，∵∠EPB=∠CPD，∴Rt△PBE∽Rt△PDC，∴BE：DC=PB：PD，即x：6=（8﹣x）：10，解得x=3，即BC的长为3．25．（5分）阅读下列材料：人口老龄化已经成为当今世界主要问题之一．北京市在上世纪90年代初就进入了老龄化社会，全市60岁及以上户籍老年人口2013年底达到279.3万人，占户籍总人口的21.2%；2014年底比2013年底增加17.4万人，占户籍总人口的22.3%；2015年底比2014年底增加23.3万人，占户籍总人口的23%．“百善孝为先”，北京市政府越来越关注养老问题，提出养老服务新模式，计划90%的老年人在社会化服务协助下通过家庭照顾养老（即居家养老），6%的老年人在社区养老，4%的老年人入住养老服务机构．本市养老服务机构的床位总数2013年达到8.0516万张，2014年达到10.938万张，2015年达到12万张． 根据以上材料回答下列问题：（1）到2014年底，本市60岁及以上户籍老年人口为 296.7 万人；（2）选择统计表或统计图，将2013年﹣﹣2015年本市60岁及以上户籍老年人口数量和占户籍总人口的比例表示出来；（3）预测2016年本市养老服务机构的床位数约为 14 万张，请你结合数据估计，能否满足4%的老年人入住养老服务机构，并说明理由．【解答】解：（1）到2014年底，本市60岁及以上户籍老年人口为：279.3+17.4=296.7（万人）；（2）2015年老年人的数量是：296.7+23.3=320（人），填表如下： 年份老年人口数量 （单位：万人）老年人口占 户籍总人口的比例 2013年 279.3 21.2%2014年 296.7 22.3% 2015年32023%（3）预测2016年本市养老服务机构的床位数约14万张，能满足老年人的入住需求；理由如下：根据2013﹣2015年老年人口数量增长情况，估计到2016年老年人口约有340万人，有4%的老年人入住养老服务机构，即约有13.6万人入住养老服务机构，到2016年北京市养老服务机构的床位数约14万张，所以能满足老年人的入住需求．故答案为：（1）296.7；（3）14．26．（5分）观察下列各等式： 2﹣=，（﹣1.2）﹣6=（﹣1.2）×6，（﹣）﹣（﹣1）=（﹣）×（﹣1）， …根据上面这些等式反映的规律，解答下列问题：（1）上面等式反映的规律用文字语言可描述如下：存在两个实数，使得这两个实数的差等于它们的积；（2）请你写一个实数，使它具有上述等式的特征：﹣﹣3=﹣×3；（3）请你再写两个实数，使它们具有上述等式的特征：1﹣=1×；（4）符合上述特征的所有等式中，是否存在两个实数都是整数的情况？若存在，求出所有满足条件的等式；若不存在，说明理由．【解答】解：（1）上面等式反映的规律用文字语言可描述为：存在两个实数，使得这两个实数的差等于它们的积；（2）一个实数，使它具有上述等式的特征：﹣﹣3=﹣×3；（3）两个实数，使它们具有上述等式的特征：1﹣=1×；（4）存在．设这两个实数分别为x，y，可以得到x﹣y=xy，∴y=，y=1﹣，∵两个实数都是整数，∴x+1=±1，∴当x=0时，y=0；当x=﹣2时，y=2．∴满足两个实数都是整数的等式为0﹣0=0×0，（﹣2）﹣2=﹣2×2．故答案为：差，积；﹣，﹣；1，，1，．27．（7分）在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=x2+bx+c经过点（0，﹣3），（2，﹣3）．（1）求抛物线的表达式；（2）求抛物线的顶点坐标及与x轴交点的坐标；（3）将y=x2+bx+c（y≤0）的函数图象记为图象A，图象A关于x轴对称的图象记为图象B．已知一次函数y=mx+n，设点H是x轴上一动点，其横坐标为a，过点H作x轴的垂线，交图象A于点P，交图象B于点Q，交一次函数图象于点N．若只有当1＜a＜3时，点Q在点N上方，点N在点P上方，直接写出n的值．【解答】解：（1）根据题意得，解得，所以抛物线解析式为y=x2﹣2x﹣3；（2）y=x2﹣2x﹣3=（x﹣1）2﹣4，则抛物线的顶点坐标为（1，﹣4），当y=0时，x2﹣2x﹣3=0，解得x1=﹣1，x2=3，所以抛物线与x轴的交点坐标为（﹣1，0），（3，0）；（3）∵图象A关于x轴对称的图象记为图象B，如图，∴图象B的顶点坐标为（1，4），∵只有当1＜a＜3时，点Q在点N上方，点N在点P上方，∴直线y=mx+n过点（1，4）、（3，0）或（1，﹣4）、（3，0），当直线y=mx+n过点（1，4）、（3，0）时，直线解析式为y=﹣2x+6，此时n=6；当直线y=mx+n过点（1，﹣4）、（3，0）时，直线解析式为y=2x﹣6，此时n=﹣6，∴n的值为6或﹣6．28．（7分）在等腰三角形ABC中，AC=BC，点P为BC边上一点（不与B、C重合），连接PA，以P为旋转中心，将线段PA顺时针旋转，旋转角与∠C相等，得到线段PD，连接DB．（1）当∠C=90°时，请你在图1中补全图形，并直接写出∠DBA的度数；（2）如图2，若∠C=α，求∠DBA的度数（用含α的代数式表示）；（3）连接AD，若∠C=30°，AC=2，∠APC=135°，请写出求AD长的思路．（可以不写出计算结果）【解答】解：（1）依题意补全图形，如图1所示，过点P作PE∥AC，∴∠PEB=∠CAB，∵AB=BC，∴∠CBA=∠CAB，∴∠PEB=∠PBE，∴PB=PE，∵∠BPD+∠DPE=∠EPA+∠DPE=90°，∴∠BPD=∠EPA，∵PA=PD，∴△PDB≌△PAE，∵∠PBA=∠PEB=（180°﹣90°）=45°，∴∠PBD=∠PEA=180°﹣∠PEB=135°，∴∠DBA=∠PBD﹣∠PBA=90°；（2）如图2，过点P作PE∥AC，∴∠PEB=∠CAB，∵AC=BC，∴∠CBA=∠CAB，∴∠PEB=∠PBE，∴PB=PE，∵∠BPD+∠DPE=∠EPA+∠DPE=α，∴∠BPD=∠EPA，∵PA=PD，∴△PDB≌△PAE，∵∠PBA=∠PEB=（180°﹣α）=90°﹣α，∴∠PBD=∠PEA=180°﹣∠PEB=90°+α，∴∠DBA=∠PBD﹣∠PBA=α；（3）如图3，作AH⊥BC，∵∠ACB=30°，AC=2，∴AH=1，CH=，∴BH=2﹣，根据勾股定理得，AB==2，∵∠APC=135°，∴∠APH=45°，∴AP=AH=，∵∠APD=∠ACB=30°，AC=BC，AP=DP，∴△PAD∽△CAB，∴==，∴AD=AB=×2=．29．（8分）在平面直角坐标系xOy中，A（t，0），B（t+，0），对于线段AB 和x轴上方的点P给出如下定义：当∠APB=60°时，称点P为AB的“等角点”．（1）若t=﹣，在点C（0，），D（，1），E（﹣，）中，线段AB 的“等角点”是C、D；（2）直线MN分别交x轴、y轴于点M、N，点M的坐标是（6，0），∠OMN=30°．①线段AB的“等角点”P在直线MN上，且∠ABP=90°，求点P的坐标；②在①的条件下，过点B作BQ⊥PA，交MN于点Q，求∠AQB的度数；③若线段AB的所有“等角点”都在△MON内部，则t的取值范围是1﹣＜t ＜4﹣．【解答】解：（1）当t=﹣时，点A（﹣，0），点B（，0），∵点C（0，），OC==AB，且点O为线段AB的中点，∴△ABC为等边三角形，∴∠ACB=60°，点C是线段AB的“等角点”；∵点D（，1），B、D横坐标相等，∴BD⊥x轴于点B．∵AB=﹣（﹣）=，BD=1﹣0=1，tan∠ADB==，∴∠ADB=60°，点D是线段AB的“等角点”；∵点E（﹣，），A、E横坐标相等，∴AE⊥x轴于点A．∵AB=﹣（﹣）=，AE=﹣0=，tan∠AEB==，∴∠AEB≠60°，点E不是线段AB的“等角点”．综上可知：点C、D是线段AB的“等角点”．故答案为：C、D．（2）①当点N在y轴正半轴时，如图1，∵∠APB=60°，∠ABP=90°，∴∠PAB=30°，又∵∠OMN=30°，∴PA=PM，AB=BM．∵AB=，∴BM=，∴PB=1．∴P（6﹣，1）．当点N在y轴负半轴时，同理可得点P（6+，1）．②当点N在y轴正半轴时，如图2，∵BQ⊥AP，且∠APB=60°，∴∠PBQ=30°，∴∠ABQ=60°，∴∠BMQ=∠MQB=30°，∴BQ=BM=AB，∴△ABQ是等边三角形．∴∠AQB=60°．当点N在y轴负半轴时，同理可得∠AQB=90°．③以AB=做底，AO′=BO′为腰，∠AO′B=120°作三角形，如图3所示．∵AO′=BO′，AB=，∠AO′B=120°，∴AO′=1，O′O″=．（i）在（2）的基础上，以直线y=上的点O′为圆心，1为半径作圆，当圆O′与y轴相切，且O′在y轴右侧时，如图4所示，此时O′的坐标为（1，），此时A点的横坐标为1﹣AB=1﹣，即t=1﹣；（ii）在（2）的基础上，以直线y=上的点O′为圆心，1为半径作圆，当圆O′与线段MN相切，且O′在MN下方时，如图5所示．∵M′F=，∠OMN=30°，∴MF==．∵O′D=1，∠O′M′D=∠OMN=30°，∴O′M′==2．此时点B的横坐标为OM﹣MF﹣O′M′+AB=4，∴t+=4，t=4﹣．综上可知：若线段AB的所有“等角点”都在△MON内部，则t的取值范围是1﹣＜t＜4﹣．故答案为：1﹣＜t＜4﹣．。
北京市各区2016年中考数学一模汇编一元二次方程20190221265
北京市2016年各区中考一模汇编一元二次方程一、一元二次方程求解1.【2016平谷一模，第08题】已知，关于x 的一元二次方程()22210m x x -++=有实数根，则m 的取值范围是A ．m ＜3B ．m ≤3C ．m ＜3且m ≠2D ．m ≤3且m ≠22.【2016西城一模，第05题】关于x 的一元二次方程21302x x k ++=有两个不相等的实数根，则k 的取值范围是（）A ．92k <B ．94k =C ．92k ≥D ．94k >3.【2016丰台一模，第13题】关于x 的一元二次方程x 2+ 2 ( m + 1 ) x + m 2- 1 = 0有实数根，则实数m 的取值范围 是.4.【2016朝阳一模，第13题】关于x 的方程04222=-++k x x 有两个不相等实数根，写出一个满足条件的k 的值：k =____________．5. 【2016丰台一模，第16题】小明同学用配方法推导关于x 的一元二次方程ax 2 + bx + c = 0的求根公式时，对于b 2－4ac >0的情况，他是这样做的：小明的解法从第步开始出现错误；这一步的运算依据应是.二、一元二次方程简化6.【2016东城一模，第19题】已知230x x --=，求代数式（x +1）2﹣x （2x +1）的值．7.【2016丰台一模，第18题】已知2270x x --=，求2(2)(3)(3)x x x -++-的值．8.【2016朝阳一模，第18题】 已知11m m -=，求(21)(21)(5)m m m m +-+-的值．9.【2016海淀一模，第19题】已知250x x +-=，求代数式()()()()21322x x x x x ---++-的值10.【2016西城一模，第18题】已知：230a a --=，求代数式()()()232a a b a b a b ---+-的值．11.【2016通州一模，第19题】已知2210a a --=，求代数式()()()222a a b a b b -++-+的值．三、一元二次方程复杂应用（大题）21.【2016通州一模，第24题】已知关于x 的一元二次方程22(21)0x k x k k -+++=.（1）求证：方程有两个不相等的实数根；（2）当方程有一个根为5时，求k 的值.22.【2016东城一模，第27题】已知关于x 的一元二次方程mx 2+（3m +1）x +3=0．（1）当m 取何值时，此方程有两个不相等的实数根；（2）当抛物线y =mx 2+（3m +1）x +3与x 轴两个交点的横坐标均为整数，且m 为正整数时，求此抛物线的解析式；（3）在（2）的条件下，若P （a ，y 1），Q （1，y 2）是此抛物线上的两点，且y 1＞y 2，请结合函数图象直接写出实数a 的取值范围．详细解答1. D2. A3. -1m ³4. 1=k （52k <的任意实数） 5. 四；平方根的定义.6. 解：21)(21)x x x +-+（ = 22212x x x x ++--=21x x -++. …………3分∵ 230x x --=，∴23x x -+=-. …………4分∴原式= -2. …………5分7. 解：原式22449x x x =-++- 2245x x =--.------------ 3分∵2270x x --=，∴227x x -=. ------------ 4分∴原式22(2)5x x =-- =2´7-5=9. ------------ 5分8. 解：原式=22415m m m -+-…………………………………………… 2分=2551m m --…………………………………………………… 3分 =25()1m m --． 11m m-=， 21m m ∴-=． …………………………………………………… 4分 ∴原式=4． …………………………………………………………… 5分9. 解：原式2322134x x x x x =-+-++- 3分23x x =+- 4分∵230x x +-=∴25x x +=∴原式=5-3=25分10.11. 解：原式=222244a a a b b -++-+， ………………… 2分；=2244a a -+， ………………… 3分；∵2210a a --=，∴221a a -=， …… 4分； ∴2242a a -=∴原式=246+=. …… 5分.12. （1）证明：△=()()22214k k k -+-+⎡⎤⎣⎦ =2244144k k k k ++--=10>∴方程有两个不相等的实数根； ……………… 2分；（2）∵方程有一个根为5，∴2255(21)0k k k -+++=， 29200k k -+=∴14k =，25k =………………… 5分.13. 解：（1）由题意可知，2224(31)43(31)0b ac m m m ∆=-=+-⨯=->， ∴当13m ≠且0m ≠时，此方程有两个不相等的实数根.……2分（2）x ==， ∴1213,x x m=-=-. ∵抛物线与x 轴两个交点的横坐标均为整数，且m 为正整数， ∴m =1.∴ 抛物线的解析式为243y x x =++. …………5分（3）a >1或a <-5. ……7分。
2016年度朝阳一模初三数学
北京市朝阳区九年级综合练习（一）一、选择题（本题共30分，每小题3分）下面各题均有四个选项，其中只有一个是符合题意的． 1．清明节是中国传统节日，它不仅是人们远足踏青的日子，更是祭奠祖先、缅怀先人的节日．市民政局提供的数据显示，今年清明节当天全市213处祭扫点共接待群众264000人，将264000用科学计数法表示应为A ．B ．C ．D ． 2．实数a ，b ，c ，d 在数轴上对应的位置如图所示，绝对值相等的两个实数是A ．与B ．与C ．与D ．与3．有一种推理游戏叫做“天黑请闭眼”，9位同学参与游戏，通过抽牌决定所扮演的角色，事先做好9张卡牌（除所写文字不同，其余均相同），其中有法官牌1张，杀手牌2张，好人牌6张．小易参与游戏，如果只随机抽取一张，那么小易抽到杀手牌的概率是 A ．B ．C ．D ． 4．下列图形选自历届世博会会徽，其中是轴对称图形的是A B C D5．如图，四边形ABCD 内接于⊙O ，E 为DC 延长线上一点，∠A = 50º，则∠BCE 的度数为A ．40ºB ．50ºC ．60ºD ．130º 6．某地需要开辟一条隧道，隧道AB 的长度无法直接测量．如图所示，在地面上取一点C ，使C 到A 、B 两点均可直接到达，测量找到AC 和BC 的中点D 、E ，测得DE 的长为1100m ，则隧道AB 的长度为A ．3300mB ．2200mC ．1100mD ．550m7．2022年将在北京—张家口举办冬季奥运会，很多学校开设了相关的课程．某校8名同学参加了冰壶选修课，他们被分成甲、乙两组进行训练，身高（单位：cm ）如下表所示：队员1 队员2 队员3 队员4 甲组 176 177 175 176 乙组178175177174326410⨯42.6410⨯52.6410⨯60.26410⨯a b b c c d a d 21132919E O CBAOACB图1设两队队员身高的平均数依次为，，方差依次为，，下列关系中完全正确的是 A ．=，＜ B ．=，＞ C ．＜，＜D ．＞，＞8．如图，△内接于⊙，若⊙的半径为6，，则的长为 A ．2π B ．4π C ．6π D ．12π9．我市为了促进全民健身，举办“健步走”活动，朝阳区活动场地位于奥林匹克公园（路线：森林公园—玲珑塔—国家体育场—水立方）．如图，体育局的工作人员在奥林匹克公园设计图上设定玲珑塔的坐标为（–1，0），森林公园的坐标为（–2，2），则终点水立方的坐标为 A ．（–2，–4） B ．（–1，–4） C ．（–2，4） D ．（–4，–1）10．如图1，在等边三角形ABC 中，AB =2，G 是BC 边上一个动点且不与点B 、C 重合，H 是AC 边上一点，且°．设BG=x ，图中某条线段长为y ，y 与x 满足的函数关系的图象大致如图2所示，则这条线段可能是图中的A ． 线段CGB ． 线段AGC ． 线段AHD ． 线段CH三、填空题（本题共18分，每小题3分） 11x 的取值范围是____________．12．分解因式：____________．13．关于x 的方程有两个不相等实数根，写出一个满足条件的k 的值：k =____________．14．《孙子算经》是中国传统数学的重要著作之一，其中记载的“荡杯问题”很有趣．《孙子算经》记载“今有妇人河上荡杯．津吏问曰：‘杯何以多？’妇人曰：‘家有客．’津吏曰：‘客几何？’妇人曰：‘二人共饭，三人共羹，四人共肉，凡用杯六十五．’不知客几何？”译文：“2人同吃一碗饭，3人同吃一碗羹，4人同吃一碗肉，共用65个碗，问有多少客人？”设共有客人x 人，可列方程为____________．15．在数学活动课上，小派运用统计方法估计瓶子中的豆子的数量．他先取出100粒豆子，给这些豆子做上记号，然后放回瓶子中，充分摇匀之后再取出100粒豆子，发现其中8粒有刚才做的记号，利用得到的数据可以估计瓶子中豆子的数量约为____________粒．甲x 乙x 2甲s 2乙s 甲x 乙x 2甲s 2乙s 甲x 乙x 2甲s 2乙s 甲x 乙x 2甲s 2乙s 甲x 乙x 2甲s 2乙s ABC O O ︒=∠60A »BC30=∠AGH 2x -22369a b ab b -+=04222=-++k x x yx1–1–112O图216．阅读下面材料：数学课上，老师提出如下问题：小艾的作法如下：老师表扬了小艾的作法是对的．请回答：小艾这样作图的依据是____________．三、解答题（本题共72分，第17-26题，每小题5分，第27题7分，第28题7分，第29题8分）17．计算：10(2)8(21)4cos45----+-+︒．18．已知11mm-=，求(21)(21)(5)m m m m+-+-的值．19．解不等式组3(1)6,1.2x xxx-<⎧⎪⎨+≤⎪⎩并写出它的所有整数解．20．如图，E为AC上一点，EF∥AB交AF于点F，且AE = EF．求证：= 2∠1．BAC∠尺规作图：经过已知直线上一点作这条直线的垂线．已知：直线AB和AB上一点C．求作：AB的垂线，使它经过点C．如图，（1）在直线AB上取一点D，使点D与点C不重合，以点C为圆心，CD长为半径作弧，交AB于D，E两点；（2）分别以点D和点E为圆心，大于12DE长为半径作弧，两弧相交于点F；（3）作直线CF．所以直线CF就是所求作的垂线．1FEC21．台湾是中国领土不可分割的一部分，两岸在政治、经济、文化等领域的交流越来越深入， 2015年10月10日是北京故宫博物院成立90周年院庆日，两岸故宫同根同源，合作举办了多项纪念活动．据统计北京故宫博物院与台北故宫博物院现共有藏品约245万件，其中北京故宫博物院藏品数量比台北故宫博物院藏品数量的2倍还多50万件，求北京故宫博物院和台北故宫博物院各约有多少万件藏品．22．如图，四边形ABCD 是矩形，点E 在BC 边上，点F 在BC 延长线上，且∠CDF =∠BAE ． （1）求证：四边形AEFD 是平行四边形 ； （2）若DF =3，DE =4，AD =5，求CD 的长度．23．在平面直角坐标xOy 中，直线与双曲线的一个交点为A （2，4），与y 轴交于点B ． (1) 求m 的值和点B 的坐标； (2) 点P 在双曲线上，△OBP 的面积为8，直接写出点P 的坐标．24．如图，点D 在⊙O 上，过点D 的切线交直径AB 延长线于点P ，DC ⊥AB 于点C ． (1) 求证：DB 平分∠PDC ；y x b =+my x=my x=FEDCB AP(2) 若DC =6，3tan 4P ∠= ，求BC 的长．25．阅读下列材料：人口老龄化已经成为当今世界主要问题之一．北京市在上世纪90年代初就进入了老龄化社会，全市60岁及以上户籍老年人口2013年底达到279.3万人，占户籍总人口的21.2%； 2014年底比2013年底增加17.4万人，占户籍总人口的22.3%；2015年底比2014年底增加23.3万人，占户籍总人口的23%．“百善孝为先”，北京市政府越来越关注养老问题，提出养老服务新模式，计划90%的老年人在社会化服务协助下通过家庭照顾养老（即居家养老），6%的老年人在社区养老，4%的老年人入住养老服务机构．本市养老服务机构的床位总数2013年达到8.0516万张，2014年达到10.938万张，2015年达到12万张． 根据以上材料回答下列问题：(1)到2014年底，本市60岁及以上户籍老年人口为__________万人；(2)选择统计表或．统计图，将2013年––2015年本市60岁及以上户籍老年人口数量和占户籍总人口的比例表示出来；(3)预测2016年本市养老服务机构的床位数约为_________万张，请你结合数据估计，能否满足4%的老年人入住养老服务机构，并说明理由．26．观察下列各等式：，222=233-⨯，， ……根据上面这些等式反映的规律，解答下列问题：（1）上面等式反映的规律用文字语言可描述如下：存在两个实数，使得这两个实数的 等于它们的 ；（2）请你写一个实数，使它具有上述等式的特征： －3＝ 3；（3）请你再写两个实数，使它们具有上述等式的特征： － ＝ ；（4）符合上述特征的所有等式中，是否存在两个实数都是整数的情况？若存在，求出所有满足条件的等式；若不存在，说明理由． 27．在平面直角坐标系xOy 中，抛物线经过点（0，–3），（2，–3）． （1）求抛物线的表达式；（2）求抛物线的顶点坐标及与x 轴交点的坐标；（3）将（y ≤0）的函数图象记为图象A ，图象A 关于x 轴对称的图象记为图象B ．已知一次函数y=mx +n ，设点H 是x 轴上一动点，其横坐标为a ，过点H 作x 轴的垂线，交图象A 于点P ，交图象B 于点Q ，交一次函数图象于点 N ．若只有当1<a<3时，点Q 在点N 上方，点N 在点P 上方，直接写出n 的值．28．在等腰三角形ABC 中， AC =BC ，点P 为BC 边上一点（不与B 、C 重合），连接P A ，以P 为旋转中心，将线段P A 顺时针旋转，旋转角与∠C 相等，得到线段PD ，连接DB ． （1）当∠C =90º时，请你在图1中补全图形，并直接写出∠DBA 的度数； （2）如图2，若∠C =α，求∠DBA 的度数（用含α的代数式表示）；( 1.2)6( 1.2)6--=-⨯11()(1)()(1)22---=-⨯-⨯⨯c bx x y ++=2c bx x y ++=2（3）连接AD ，若∠C =30º，AC =2，∠APC =135º，请写出求AD 长的思路．（可以不写出计算结果）29．在平面直角坐标系xOy 中，A （t ，0），B （，0），对于线段AB 和x 轴上方的点P 给出如下定义：当∠APB=60°时，称点P为AB 的“等角点”．（1）若，在点302C ⎛⎫ ⎪⎝⎭，,D ⎫⎪⎪⎝⎭，32E ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭中，线段AB 的“等角点”是 ； （2）直线MN 分别交x 轴、y 轴于点M 、N ，点M 的坐标是（6，0），∠OMN=30°．①线段AB 的“等角点”P 在直线MN 上，且∠ABP =90°，求点P 的坐标； ②在①的条件下，过点B 作BQ ⊥P A ，交MN 于点Q ，求∠AQB 的度数；③若线段AB 的所有“等角点”都在△MON 内部，则t 的取值范围是 ．北京市朝阳区九年级综合测试（一）数学试卷评分标准及参考答案一、选择题（本题共30分，每小题3分） 二、填空题（本题共18分，每小题3分）t +t =-PC BA图2图1PCBA三、解答题（本题共72分，第17─26题，每小题5分，第27题7分，第28题7分，第29题8分）17．解：原式=11422--+⨯……………………………………………… …4分=12．……………………………………………………………………… 5分18．解：原式=22415m m m-+-………………………………………………………… 2分=2551m m--………………………………………………………………… 3分=25()1m m--．11mm-=Q，21m m∴-=．…………………………………………………………… 4分∴原式=4．…………………………………………………………………… 5分19．解：3(1)6,1.2x xxx-<⎧⎪⎨+≤⎪⎩解不等式①，得x>-1．……………………………………………………………2分解不等式②，得x≤1．………………………………………………………… 3分∴不等式组的解集是<≤1．………………………………………………… 4分∴原不等式组的所有整数解为0，1．……………………………………………5分20．证明：∵EF∥AB，∴∠1=∠F AB．…………………… 2分∵AE=EF，∴∠EAF=∠EF A．……………… 3分∵∠1=∠EF A，∴∠EAF=∠1．…………………… 4分∴∠BAC=2∠1．…………………5分1-x①②1FECA21．解：设北京故宫博物院约有x 万件藏品，台北故宫博物院约有y 万件藏品．. …… 1分 依题意，列方程组得 245250.x y x y +=⎧⎨=+⎩，…………………………………………………………………………3分解得18065.x y =⎧⎨=⎩，………………………………………………………………………………5分答：北京故宫博物院约有180万件藏品，台北故宫博物院约有65万件藏品． 22.（1）证明：∵四边形ABCD 是矩形，∴,=90º． ∵BAE CDF ∠=∠，∴△≌△．………………1分 ∴． ∴． ∵,∴．………………………2分 又∵EF ∥AD ，∴四边形AEFD 是平行四边形．………………………3分 （2）解：由（1）知，EF =AD = 5． 在△EFD 中，DF =3，DE =4，EF =5， ∴222DE DF EF +=．∴∠EDF =90º．……………………………………………………………………4分∴1122ED DF EF CD ⋅=⋅． ∴125CD =． ……………………………………………………………………5分 23.解：（1）∵双曲线经过点，A （2，4）， ∴．………………………………………………………………………1分 ∵直线y x b =+经过点A （2，4），∴2b =．…………………………………………………………………………2分 ∴此直线与y 轴交点B 的坐标为（0，2）. …………………………………3分DC AB =DCF B ∠=∠ABE DCF CF BE =EF BC =AD BC =AD EF =xmy =8=m FEDCB A（2）(8，1)，(-8，-1)． .…………………………………………………… 5分 24.（1）证明：如图，连接OD ． ∵DP 是⊙O 的切线， ∴OD ⊥DP ．∴90ODP ∠=︒． ………………………………………………………1分 ∴90.ODB BDP ∠+∠=︒ 又∵DC ⊥OB ， ∴90DCB ∠=︒．∴90BDC OBD ∠+∠=︒． ∵OD =OB ， ∴.ODB OBD ∠=∠ ∴BDP BDC ∠=∠．∴DB 平分∠PDC ．……………………………………………………………2分 （2）解：过点B 作BE ⊥DP 于点E ． ∵,BDP BDC ∠=∠BC ⊥DC ，∴BC =BE . ……………………………………3分 ∵DC =6，， ∴DP =10，PC =8．……………………………… 4分 设CB=x , 则BE=x ，BP=8- x ．∵△PEB ∽△PCD ，∴8610x x-= ．∴．∴ ……………………………………………………………………… 5分 25.（1）296.7． ………………………………………………………………………………1分 （2）统计表如下：2013–2015年本市60岁及以上户籍老年人口数量和占户籍总人口的比例统计表3tan 4P ∠=3=x .3=BC AA2014年 296.7 22.3% 2015年32023%……………………………………………………………………………………3分 （3）14； ……………………………………………………………………………………4分能满足老年人的入住需求. 理由：根据2013–2015年老年人口数量增长情况，估计到2016年老年人口约有340万人，有4%的老年人入住养老服务机构，即约有13.6万人入住养老服务机构，到2016年北京市养老服务机构的床位数约14万张，所以能满足老年人的入住需求． ……………….…………….…………….…………………………………………5分 26.解：（1）差，积；…………………………………………………………………………1分 （2），；……………………………………………………………………2分 （3）1，12，1，12（答案不唯一）； …………………………………………3分 （4）存在. 设这两个实数分别为x ，y ．可以得到 ……………………………………………………4分 ∴．∴111y x =-+． ∵ 要满足这两个实数x ，y 都是整数， ∴ x +1的值只能是1±．∴当时，；当时，．∴满足两个实数都是整数的等式为，．…5分 27.解：（1）把（0，–3）代入， ∴把（2，–3）代入 ∴． ………………2分 （2）由（1）得2(1)4y x =--．∴顶点坐标为（1，–4）．……………3分23-23-.xy y x =-1+=x xy 0=x 0=y 2-=x 2=y 0000⨯=-222)2(⨯-=--c bx x y ++=2．3-=c ，32-+=bx x y ．2-=b 322--=x x y由2230x x --=解得123,1x x ==-．∴抛物线与x 轴交点的坐标为（–1，0），（3，0）．…………………………5分 （3）． .……………………………………………………………………7分28.解：（1）如图，补全图1． …………….………………………………………………1分∠DBA=． ……………….………………………………………………2分（2） 过点P 作PE ∥AC 交AB 于点E ． ………………………………………………3分 ∴PEB CAB ∠=∠． ∵ AC =BC ，∴CAB CBA ∠=∠． ∴PEB PBE ∠=∠． ∴PE PB =．又∵BPD DPE EPA DPE α∠+∠=∠+∠=， ∴BPD EPA ∠=∠． ∵PD PA =，∴△PDB ≌△PAE ．…………………………………………………………4分 ∵11(180)9022PBA PEB αα∠=∠=︒-=︒-， ∴180PBD PEA PEB ∠=∠=︒-∠=α2190+︒． ∴DBA PBD PBA α∠=∠-∠=. …………………………………………5分 （3）求解思路如下： a ．作AH ⊥BC 于H ；b ．由∠C =30º，AC =2，可得AH =1，CH =3，BH =23-， 勾股定理可求AB ； ………………………………………6分c ．由∠APC =135 º，可得∠APH =45 º，AP =2 ；d ．由∠APD =∠C =30º，AC =BC ，AP =DP ，6±︒90PEDC BAHABC DP可得△P AD ∽△CAB ，由相似比可求AD 的长． ……………7分29.解：（1）C ，D ． ……….…………….………….…….………….………………2分 （2）①如图，∵∠APB=60°，∠ABP =90°， ∴∠P AB =30°， 又∵∠OMN=30°，∴,.PA PM AB BM == ……………3分 ∵∴BM =∴∴P（6-1）． .………..……….….………….………….…………4分 ②∵BQ ⊥AP ，且∠APB =60º， ∴∠PBQ =30º. ∴∠ABQ =60º.∴∠BMQ =∠MQB =30º. ……5分 ∴BQ = BM =AB . ∴△ABQ 是等边三角形.∴∠AQB =60º. ………………………………………………………6分同理，当点N 在x 轴下方时,可得P（1），∠AQB =90º. ………7分③14t <<…………………………………………………8分说明：各解答题的其他正确解法请参照以上标准给分.，3=AB ．1=PB NMNM。
2016年北京朝阳一模文科数学试题及答案
北京市朝阳区2016届高三第一次综合练习（一模）数学（文）试题（考试时间120分钟 满分150分）本试卷分为选择题（共 40分）和非选择题（共 110分）两部分第一部分（选择题共40分）、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，选出符合题目 要求的一项•A . {xx 兰2}B . {x1Ex 兰3}C. {x2cx 兰 3} D . {x2 兰 xE3>2.已知i 为虚数单位，则复数1 +i1.已知全集U 二R ，集合A 」..xx 乞3?,B Xxx ：：：2?，则（e B ）n A 二A . 1 +i ?B . 1 -i ? 3.已知非零平面向量 a .b ,a+b= A .充分而不必要条件B .C .充分必要条件D .C .-1 i ? D . —1—ia-b ”是 a_b ”的 4.执行如图所示的程序框图，输出的 A. 42 B. C. 8 D. S 值为19 35•在 MBC 中，角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c ，若 T3acosB + bsi*= 0，贝U B=i= i+1A. nB. nC. 2n 6336.已知某四棱锥的三视图如图所示，则该四棱锥的侧面积是D. 5nA. 3 ,3B. 3+ 6C. 1 2. 3D. 1 2 6 7.某工厂一年中各月份的收入、支出情况的统计如图所示 A.收入最高值与收入最低值的比是 3:1B. 结余最高的月份是7月份C. 1至2月份的收入的变化率与 4至5月份的收入的变化率D. 前6个月的平均收入为 40万元 （注：结余=收入-支出）必要而不充分条件 既不充分也不必要条件开始2 2 28. 若圆x (y -1)二r与曲线(x -1)y =1的没有公共点，则半径r的取值范围是r~~ :—A . 0 :: r < 2 B. 0 ：：：r ：：： C. 0 ：：：r ■；：■订3 D . 0 ：：： r ：：：—-32 2第二部分(非选择题共110分)二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分•把答案填在答题卡上•「log2(x+3),xX0,9. 已知函数f (x) 2 则f(f(-1))= _____ ., x cO,x22210. 已知双曲线y2 =1过抛物线y2 =8x的焦点，则此双曲线的渐近线方程为—.m11. 已知递增的等差数列｛a n｝N”的首项a^1，且a「a2,a4成等比数列，则数列｛a.｝的通项公式a n = _______ ；a4 I +a4n+4 = _________ .y-°,12. 已知不等式组y乞x, 表示的平面区域为D .若直线y二a x 1与区域D有公共点，贝V2x y _9 乞0实数a的取值范围是—.2 213. 已知圆C : (x -3) (y - 5) =5，过圆心C的直线l交圆C于A, B两点，交y轴于点P.若A恰一个数，最多可以连续报7个数（如，一个人先报数“1 2”，则下一个人可以有“3；“34”，…，为PB的中点，则直线l的方程为—.14. 甲乙两人做游戏，游戏的规则是：两人轮流从 1 (1必须报)AA = *73. M , N 分别为BC 和CG 的中点,（I ）求证：平面 APM _平面BB 1C 1C ；P 为侧棱BB 1上的动点.“3 4, 5, 6, 7, 8, 9”等七种报数方法），谁抢先报到“100则谁获胜•如果从甲开始，则甲要想必 胜，第一次报的数应该是 ______ .三、解答题：本大题共 6小题，共80分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程 •15. （本小题满分13分）已知函数f （x ） =2si ，xcos （，x •-） （•■ - 0 ）的最小正周期为 二.3（［）求-■的值；（n ）求f （x ）在区间［-二三］上的最大值和最小值.6 216. （本小题满分13分）已知数列fa n /的前n 项和S n =2n 2 - n ,n • N “. （I ）求数列:a n ?的通项公式；(n)若b n =( _1 n a n ，求数列｛b n ｝的前n 项和T n . 17. （本小题满分13分）某班倡议假期每位学生至少阅读一本名着， 为了解学生的阅读情况，对该班所有学生进行了调查调查结果如下表阅读名着的平均本数;（n ）若从阅读5本名着的学生中任选2人交流读书心得，求选到男生和女生各1人的概率1（只需写出结论）•（注：方差S 2 =丄［（为-x ）nX n 的平均数）18. （本小题共14分）如图，在三棱柱 ABC —ABG 中，AA 丄底面 ABC , N BAC =90®, AB = AC = 2 ,据, 阅读名着的本数123 45男生人数1312|13女生人数133 12试 根 述 数 这 个 女 生（川）试判断该班男生阅读名着本数的方差2 2S 1与女生阅读名着本数的方差 S 2的大小2'(X 2 -乂)2 川'(X n -x )2],其中 x 为 X j X 2 ,上求(I )一个数，最多可以连续报7个数（如，一个人先报数“1 2”，则下一个人可以有“3；“34”，…，(n)若p为线段BB的中点，求证：AN//平面APM ；(川)试判断直线BG与平面APM是否能够垂直.若能垂直，求PB的值；若不能垂直，请说明理由.19. (本小题共14分)2 2已知椭圆C：x y1的焦点分别为F I,F2.4 2(I )求以线段F1F2为直径的圆的方程；(n)过点P(4,0)任作一条直线I与椭圆C交于不同的两点M , N .在x轴上是否存在点Q，使得■ PQM • . PQN =180 ?若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由.20. (本题满分13分)k + x已知函数f (x) e x (k • R).k —x(I)若k =1,求曲线y = f(x)在点0, f(0)处的切线方程；(n)求函数f(x)的单调区间；(川)设k乞0，若函数f (x)在区间.3,2-.2上存在极值点，求k的取值范围.参考答案、选择题：(满分40分)三、解答题：(满分80分)15. (本小题满分13分)兀解: (I) f(x)=2sin xcos( x ) 3亠兀(3 = sin(2 x ).3 2因为f (x)的最小正周期为T，则.=1.2尬因为才心,所以^2x -，-.则3_sin(2x -) _1.233当2x，即x 时，f (x)取得最大值是1 ---------------- ;3 212 2当2x，即x 时，f (x)取得最小值是3.3 3 2f(x)在区间[-匸,上]的最大值为1-—，最小值为- .3...................... 1分6 2 216. (本小题满分13分) 解：(I)由 St. =2n 2 —n ,当 n M 2 时，a n =S . _S n 』=2 n 2 _n_ 2( n _1 f _(n _ 1 )]=4 n_3. 当 n=1 时，a1=S=1,而 4 1 ~3 = 1, 所以数列 ^n /的通项公式a n = 4n - 3 , n • N ". 4)由(I)可得 b n =(-1)3 =(-1)n 4n_3 ,当n 为偶数时，nT n »1 5-9 13-17 川 4n-3]=42当 n 为奇数时，n 1 为偶数，T n =T n 1 —b n 十=2(n • 1)—(4n • 1) = —2n • 1.工2n, n 为偶数,综上，T n................................... 1分nI —2n +1, n 为奇数.17. (本小题满分13分)1 1 323 3 1 4+2 5解：(I)女生阅读名着的平均本数X =323325=3本.10...................................... 3 分(n)设事件 A =｛从阅读5本名着的学生中任取2人，其中男生和女生各 1人｝.男生阅读5本名着的3人分别记为4,a 2,a 3，女生阅读5本名着的2人分别记为d,b 2.(n)由(I )可知(x) =sin(2x)- 3从阅读5本名着的5名学生中任取2人，共有10个结果，分别是:\a i,a2?, g,a3?, ^2,a^f,〔bZ , ”耳上］,'©，①］, 乙2上1 , dpi, gb?,乙3山2二其中男生和女生各1人共有6个结果，分别是：汹，,温小,G2Z , 32 ,冷3,氐,:a3, t2?.则p(A 二—=-................................... 1分10 52 2(III ) S i S2 . ................... 1分18. (本小题满分14分)证明：(I)由已知，M为BC中点，且AB二AC，所以AM _ BC .又因为BB//AA，且AA丄底面ABC，所以BB丄底面ABC .因为AM 底面ABC，所以BR _ AM ,又BB PlBC =B ,所以AM _平面BB,GC .又因为AM 平面APM ,所以平面APM _平面BBQC .(n)所以DM // AA,且DM 二 AA .取C1B1 中点D，连结AD , DN , DM , BC .由于D , M分别为C1B1, CB的中点,则四边形AAMD为平行四边形，所以A1D // AM又AD二平面APM , AM 平面APM , 所以A1D //平面APM .由于D , N分别为C1B1, C1C的中点，C所以DN // EC.又P , M分别为BB , CB的中点,所以MP // BC.则DN // MP .又DN二平面APM , MP二平面APM , 所以DN //平面APM .由于ADd DN=D ,所以平面A1DN //平面APM .由于AN二平面ADN ,所以A,N〃平面APM.(Ill)假设BG与平面APM垂直，由PM二平面APM ,则BC, _ PM .设PB = x, x • [0, 3].当BG — PM 时，.BPM r/B.G B ,10分所以RtPB GB,MB 一BB,由已知MB = J2,GB =2 “2,BB F〕3 ,所以x _2丄22 、3由于x =4.3[0, 3],因此直线BC i与平面APM不能垂直. .......................................... 分19. (本小题满分13分) 解: (I)因为a2 =4 , b—2，所以C2=2.所以以线段F1F2为直径的圆的方程为x2 y^2 .(II )若存在点Q(m,0)，使得■ PQM . PQN =180 ,则直线QM和QN的斜率存在，分别设为k「k2.等价于k1 k^ 0.则曲线y 二f(x)在点0, f (0)处切线的斜率为f (0)=3 .而f (0)=1，则曲线y 二f (x)在点0, f(0)处切线的方程为y =3x • 1.x2 2. e (2k k -x ) (k - x)2 (1 )当 k 0 时，由 x = k 且此时.k 2 2k k ，可得「k 2 2k ::: k - ■ k 2 2k .令f (x) ：：： 0 ,解得- k 2 2k 或* k 2 2k ，函数f (x)为减函数; 依题意，直线I 的斜率存在，故设直线I 的方程为y=k(x_4). y 二 k(x-4) 2 2 2 2 由 t x 2 y 2 ，得(2k +1)x —16kx+32k —4=0. —+— =1 .4 2 因为直线I 与椭圆C 有两个交点，所以.：0. 2 2 2 2 2 1 即(16k ) -4(2k 1)(32k -4) • 0 ,解得 k . 6 设 M (洛，％)， N(X 2,y 2),则 x ! X 2 16k 2 2k 2 1 x-i x 32k 2 -4 2k 2 1 y 1 - k(x 1 - 4)， y 2 - k(x 2 - 4). 令 k 2 二一y 1 y 2 0， % _m x 2 _m (为 _m)k(x 2 _4) (X 2 _m)k(x 1 _4) = 0 , 当 k = 0时，2x 1x^(m 4)(x 1 x 2) 8m = 所以2 32k 2 —4 2k 2 1 16k -(m 4)冇 8心0， 化简得, 所以m = 1. 当k = 0时，也成立. 所以存在点 Q(1,0)，使得.PQM . PQN =180 ............. ................................... 14分 20. (本小题满分13分) 解：(I )若 k=1，函数f (x)的定义域为{xx H 1}, x 2、f (x)=e(3 — x )(1-x)2(n)函数f (x)的定义域为 , f (x)=令f (x) . 0 ,解得k22k ::: X k22k，但x = k,所以当k2 2k ::: x ：：：k , k ：x< - k22k时，函数f (x)也为增函数.所以函数f (x)的单调减区间为(-『：；,-k2-「2k) , (•、k2，2k,+：：),单调增区间为(k22k, k) , (k r,k22k).(2) 当k=0时，函数f(x)的单调减区间为(-：：,0) ,(0, + ：)当k=—2时，函数f(x)的单调减区间为(-：：,-2)，(-2,+ ：)当-2 k ：：0时，由2k k2：：：0,所以函数f(x)的单调减区间为(-：：,k)，(k,+：J.即当-2乞k^O时，函数f(x)的单调减区间为(-：：,k)，(k,+：).(3) 当k ：-2 时，此时-.k22k k .令f (x) ：：：0 ，解得x - k2 2k 或2k ，但x = k，所以当x k ，k ::: x - ,k22k，x k22k 时，函数f (x)为减函数；令f (x) • 0，解得一,k22k ::: x ：：：・一k22k，函数f (x)为增函数.所以函数f(x)的单调减区间为(-叫k)，(k,- J k2+2k)，(J k2+2k,邑),函数f (x)的单调增区间为(-k22k, k22k). ........... 9分(川)(1 )当-2_k_0时，由(n)问可知，函数f (x)在3,2. 2)上为减函数，所以不存在极值点；(2)当k ：：：-2时，由(n)可知，f (x)在(八k2 2k「k2 2k)上为增函数，在(.k22k,：：)上为减函数.若函数f(x)在区间(、、3,2.2)上存在极值点，则.3 、k22k 2.2 ,解得-4::: k ：：：一3 或1 k : 2,所以-4 ::: k ：：：—3.综上所述，当-4 k< -3时，函数f(x)在区间3,^ 2上存在极值点.13分。
北京市各区2016年中考数学一模汇编一元方程
北京市2016年各区中考一模汇编一元方程一、一元二次方程求解1.【2016平谷一模，第08题】已知，关于x 的一元二次方程()22210m x x -++=有实数根，则m 的取值范围是 A ．m ＜3 B ．m ≤3 C ．m ＜3且m ≠2 D ．m ≤3且m ≠22.【2016西城一模，第05题】关于x 的一元二次方程21302x x k ++=有两个不相等的实数根，则k 的取值范围是（） A ．92k <B ．94k =C ．92k ≥D ．94k >3.【2016丰台一模，第13题】关于x 的一元二次方程x 2+ 2 ( m + 1 ) x + m 2- 1 = 0有实数根，则实数m 的取值范围 是.4.【2016朝阳一模，第13题】关于x 的方程04222=-++k x x 有两个不相等实数根，写出一个满足条件的k 的值：k =____________．5. 【2016丰台一模，第16题】小明同学用配方法推导关于x 的一元二次方程ax 2+ bx + c = 0的求根公式时，对于b 2－4ac >0的情况，他是这样做的：小明的解法从第步开始出现错误；这一步的运算依据应是.二、一元二次方程简化6.【2016东城一模，第19题】已知230x x --=，求代数式（x +1）2﹣x （2x +1）的值．7.【2016丰台一模，第18题】已知2270x x --=，求2(2)(3)(3)x x x -++-的值．8.【2016朝阳一模，第18题】 已知11m m-=，求(21)(21)(5)m m m m +-+-的值．9.【2016海淀一模，第19题】已知250x x +-=，求代数式()()()()21322x x x x x ---++-的值10.【2016西城一模，第18题】已知：230a a --=，求代数式()()()232a a b a b a b ---+-的值．11.【2016通州一模，第19题】已知2210a a --=，求代数式()()()222a a b a b b -++-+的值．三、一元一／二次方程应用 12.【2016通州一模，第14题】我们知道，无限循环小数都可以化成分数．例如：将0.3g化成分数时，可设0.3x =g，则有3.310x =g，1030.3x =+g，103x x =+，解得13x =，即0.3g 化成分数是13．仿此方法，将0.45g g化成分数是____________．13.【2016朝阳一模，第14题】《孙子算经》是中国传统数学的重要著作之一，其中记载的“荡杯问题”很有趣．《孙子算经》记载“今有妇人河上荡杯．津吏问曰：‘杯何以多？’妇人曰：‘家有客．’津吏曰：‘客几何？’妇人曰：‘二人共饭，三人共羹，四人共肉，凡用杯六十五．’不知客几何？”译文：“2人同吃一碗饭，3人同吃一碗羹，4人同吃一碗肉，共用65个碗，问有多少客人？”设共有客人x人，可列方程为____________．14.【2016海淀一模，第13题】埃及《纸草书》中记载：“一个数，它的三分之一，它的一半，它的七分之一，它的全部，加起来总共是33”，设这个数为x，可列方程为15.【2016海淀一模，第21题】目前，步行已成为人们最喜爱的健身方法之一，通过手机可以计算行走的步数与相应的能量水泵，对比手机数据发现小琼步行12000步与小博步行9000步水泵的能量相同，若每消耗1千卡能量小琼行走的步数比小博多10步，求小博每消耗1千卡能量需要行走多少步？16.【2016东城一模，第21题】列方程或方程组解应用题：在“春节”前夕，某花店用13 000元购进第一批礼盒鲜花，上市后很快销售一空．根据市场需求情况，该花店又用6 000元购进第二批礼盒鲜花．已知第二批所购鲜花的盒数是第一批所购鲜花的12，且每盒鲜花的进价比第一批的进价少10元．问第二批鲜花每盒的进价是多少元？17.【2016丰台一模，第21题】根据《中国铁路中长期发展规划》，预计到2020年底，我国建设城际轨道交通的公里数是客运专线的2倍. 其中建设城际轨道交通约投入8000亿元，客运专线约投入3500亿元. 据了解，建设每公里城际轨道交通与客运专线共需1.5亿元. 预计到2020年底，我国将建设城际轨道交通和客运专线分别约多少公里？18.【2016平谷一模，第21题】列方程或方程组解应用题：某校为了增强学生对中华优秀传统文化的理解，决定购买一批相关的书籍．据了解，经典著作的单价比传说故事的单价多8元，用12000元购买经典著作与用8000元购买传说故事的本数相同，求经典著作的单价是多少元？19.【2016通州一模，第21题】通州区运河两岸的“运河绿道”和步行道是健身的主要场地之一. 杨师傅分别体验了60公里的“运河绿道”骑行和16公里的健步走，已知骑行的平均速度是健步走平均速度的4倍，结果健步走比骑行多用了12分钟，求杨师傅健步走的平均速度是每小时多少公里？20.【2016西城一模，第23题】上海迪士尼乐园将于2016年6月正式开园，小芳打算在暑假和爸爸、妈妈一起去上海迪士尼乐园游玩，她综合考虑了交通、门票、住宿等方面的因素，得出如下结论：三、一元二次方程复杂应用（大题）21.【2016通州一模，第24题】已知关于x 的一元二次方程22(21)0x k x k k -+++=. （1）求证：方程有两个不相等的实数根； （2）当方程有一个根为5时，求k 的值.22.【2016东城一模，第27题】已知关于x 的一元二次方程mx 2+（3m +1）x +3=0． （1）当m 取何值时，此方程有两个不相等的实数根；（2）当抛物线y =mx 2+（3m +1）x +3与x 轴两个交点的横坐标均为整数，且m 为正整数时，求此抛物线的解析式；（3）在（2）的条件下，若P （a ，y 1），Q （1，y 2）是此抛物线上的两点，且y 1＞y 2，请结合函数图象直接写出实数a 的取值范围．详细解答1. D2. A3. -1m ³4. 1=k （52k <的任意实数）5. 四；平方根的定义.6. 解：21)(21)x x x +-+（ = 22212x x x x ++--=21x x -++. …………3分 ∵ 230x x --=，∴23x x -+=-. …………4分 ∴原式= -2. …………5分7. 解：原式22449x x x =-++- 2245x x =--.------------ 3分∵2270x x --=，∴227x x -=. ------------ 4分 ∴原式22(2)5x x =--=2´7-5=9. ------------ 5分8. 解：原式=22415m m m -+-…………………………………………… 2分 =2551m m --…………………………………………………… 3分 =25()1m m --．11m m-=， 21m m ∴-=． …………………………………………………… 4分 ∴原式=4． …………………………………………………………… 5分9. 解：原式2322134x x x x x =-+-++- 3分23x x =+- 4分∵230x x +-=∴25x x +=∴原式=5-3=25分10.11. 解：原式=222244a a a b b -++-+， ………………… 2分；=2244a a -+， ………………… 3分； ∵2210a a --=，∴221a a -=， …… 4分； ∴2242a a -=∴原式=246+=. …… 5分.12.511或4599； 13. 65413121=++x x x 14. 21133327x x x x +++=15. 解：设小博每消耗1千卡能量需要行走x 步。
20152016学年北京市朝阳区初三一模数学试题含复习资料
北京市朝阳区九年级综合练习（一）数学试卷 2016.5考生须知1．本试卷共8页，共三道大题，29道小题，满分120分．考试时间120分钟． 2．在试卷和答题卡上认真填写学校名称、姓名和准考证号． 3．试题答案一律填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效． 4．在答题卡上，选择题、作图题用2B 铅笔作答，其他试题用黑色字迹签字笔作答． 5．考试结束，请将本试卷、答题卡一并交回． 一、选择题（本题共30分，每小题3分）下面各题均有四个选项，其中只有一个是符合题意的．1．清明节是中国传统节日，它不仅是人们远足踏青的日子，更是祭奠祖先、缅怀先人的节日．市民政局提供的数据显示，今年清明节当天全市213处祭扫点共接待群众264000人， 将264000用科学计数法表示应为A ．326410⨯B ．42.6410⨯C ．52.6410⨯D ．60.26410⨯ 2．实数a ，b ，c ，d 在数轴上对应的位置如图所示，绝对值相等的两个实数是A ．a 与bB ．b 与cC ．c 与dD ．a 与d 3．有一种推理游戏叫做“天黑请闭眼”，9位同学参与游戏，通过抽牌决定所扮演的角色，事先做好9张卡牌（除所写文字不同，其余均相同），其中有法官牌1张，杀手牌2张，好人牌6张．小易参与游戏，如果只随机抽取一张，那么小易抽到杀手牌的概率是 A ．21 B ．13 C ．29D ．19 4．下列图形选自历届世博会会徽，其中是轴对称图形的是A B C D5．如图，四边形ABCD 内接于⊙O ，E 为DC 延长线上一点，∠A = 50º，则∠BCE 的度数为A ．40ºB ．50ºC ．60ºD ．130ºE OC BA图1OACB6．某地需要开辟一条隧道，隧道AB 的长度无法直接测量．如图所示， 在地面上取一点C ，使C 到A 、B 两点均可直接到达，测量找到AC 和BC 的中点D 、E ，测得DE 的长为1100m ，则隧道AB 的长度为A ．3300mB ．2200mC ．1100mD ．550m7．2022年将在北京—张家口举办冬季奥运会，很多学校开设了相关的课程．某校8名同学参加了冰壶选修课，他们被分成甲、乙两组进行训练，身高（单位：cm ）如下表所示：队员1 队员2 队员3 队员4 甲组 176 177 175 176 乙组178175177174设两队队员身高的平均数依次为甲x ，乙x ，方差依次为2甲s ，2乙s ，下列关系中完全正确的是 A ．甲x =乙x ，2甲s ＜2乙sB ．甲x =乙x ，2甲s ＞2乙s C ．甲x ＜乙x ，2甲s ＜2乙sD ．甲x ＞乙x ，2甲s ＞2乙s8．如图，△ABC 内接于⊙O ，若⊙O 的半径为6，︒=∠60A ， 则BC 的长为A ．2πB ．4πC ．6πD ．12π9．我市为了促进全民健身，举办“健步走”活动，朝阳区活动场地位于奥林匹克公园（路线：森林公园—玲珑塔—国家体育场—水立方）．如图，体育局的工作人员在奥林匹克公园设计图上设定玲珑塔的坐标为（–1，0），森林公园的坐标为（–2，2），则终点水立方的坐标为 A ．（–2，–4） B ．（–1，–4） C ．（–2，4） D ．（–4，–1）10．如图1，在等边三角形ABC 中，AB =2，G 是BC 边上一个动点且不与点B 、C 重合，H 是AC 边上一点，且30=∠AGH °．设BG=x ，图中某条线段长为y ，y 与x 满足的函数关系的图象大致如图2所示，则这条线段可能是图中的A ． 线段CGB ． 线段AGC ． 线段AHD ． 线段CHyx1–1–112O图2三、填空题（本题共18分，每小题3分） 11．若二次根式2x -有意义，则x 的取值范围是____________．12．分解因式：22369a b ab b -+=____________．13．关于x 的方程04222=-++k x x 有两个不相等实数根，写出一个满足条件的k 的值：k =____________．14．《孙子算经》是中国传统数学的重要著作之一，其中记载的“荡杯问题”很有趣． 《孙子算经》记载“今有妇人河上荡杯．津吏问曰：‘杯何以多？’妇人曰：‘家有客．’津吏曰：‘客几何？’妇人曰：‘二人共饭，三人共羹，四人共肉，凡用杯六十五．’不知客几何？” 译文：“2人同吃一碗饭，3人同吃一碗羹，4人同吃一碗肉，共用65个碗，问有多少客人？”设共有客人x 人，可列方程为____________．15．在数学活动课上，小派运用统计方法估计瓶子中的豆子的数量．他先取出100粒豆子，给这些豆子做上记号，然后放回瓶子中，充分摇匀之后再取出100粒豆子，发现其中8粒有刚才做的记号，利用得到的数据可以估计瓶子中豆子的数量约为____________粒． 16．阅读下面材料：数学课上，老师提出如下问题：小艾的作法如下：老师表扬了小艾的作法是对的．请回答：小艾这样作图的依据是____________．尺规作图：经过已知直线上一点作这条直线的垂线． 已知：直线AB 和AB 上一点C ．求作：AB 的垂线，使它经过点C ． 如图，（1）在直线AB 上取一点D ，使点D 与点C 不重合，以点C 为圆心，CD 长为半径作弧，交AB 于D ，E 两点； （2）分别以点D 和点E 为圆心，大于12DE 长为半径作弧，两弧相交于点F ； （3）作直线CF ．所以直线CF 就是所求作的垂线．三、解答题（本题共72分，第17-26题，每小题5分，第27题7分，第28题7分，第29题8分）17．计算：10(2)1)4cos 45---++︒．18．已知11m m-=，求(21)(21)(5)m m m m +-+-的值．19．解不等式组3(1)6,1.2x x x x -<⎧⎪⎨+≤⎪⎩并写出它的所有整数解．20．如图，E 为AC 上一点，EF ∥AB 交AF 于点F ，且AE = EF ． 求证：BAC ∠= 2∠1．21．台湾是中国领土不可分割的一部分，两岸在政治、经济、文化等领域的交流越来越深入，1FECBA2015年10月10日是北京故宫博物院成立90周年院庆日，两岸故宫同根同源，合作举办了多项纪念活动．据统计北京故宫博物院与台北故宫博物院现共有藏品约245万件，其中北京故宫博物院藏品数量比台北故宫博物院藏品数量的2倍还多50万件，求北京故宫博物院和台北故宫博物院各约有多少万件藏品．22．如图，四边形ABCD 是矩形，点E 在BC 边上，点F 在BC 延长线上，且∠CDF =∠BAE ． （1）求证：四边形AEFD 是平行四边形 ； （2）若DF =3，DE =4，AD =5，求CD 的长度．23．在平面直角坐标xOy 中，直线y x b =+与双曲线my x=的一个交点为A （2，4），与y 轴交于点B ．(1) 求m 的值和点B 的坐标； (2) 点P 在双曲线my x=上，△OBP 的面积为8，直接写出点P 的坐标．24．如图，点D 在⊙O 上，过点D 的切线交直径AB 延长线于点P ，DC ⊥AB 于点C ． (1) 求证：DB 平分∠PDC ；FEDCB A(2) 若DC=6，3tan4P∠=，求BC的长．25．阅读下列材料：人口老龄化已经成为当今世界主要问题之一．北京市在上世纪90年代初就进入了老龄化社会，全市60岁及以上户籍老年人口2013年底达到279.3万人，占户籍总人口的21.2%；2014年底比2013年底增加17.4万人，占户籍总人口的22.3%；2015年底比2014年底增加23.3万人，占户籍总人口的23%．“百善孝为先”，北京市政府越来越关注养老问题，提出养老服务新模式，计划90%的老年人在社会化服务协助下通过家庭照顾养老（即居家养老），6%的老年人在社区养老，4%的老年人入住养老服务机构．本市养老服务机构的床位总数2013年达到8.0516万张，2014年达到10.938万张，2015年达到12万张．根据以上材料回答下列问题：(1)到2014年底，本市60岁及以上户籍老年人口为__________万人；(2)选择统计表或．统计图，将2013年––2015年本市60岁及以上户籍老年人口数量和占户籍总人口的比例表示出来；(3)预测2016年本市养老服务机构的床位数约为_________万张，请你结合数据估计，能否满足4%的老年人入住养老服务机构，并说明理由．26．观察下列各等式：222=233-⨯，( 1.2)6( 1.2)6--=-⨯，11()(1)()(1)22---=-⨯-， ……根据上面这些等式反映的规律，解答下列问题：（1）上面等式反映的规律用文字语言可描述如下：存在两个实数，使得这两个实数的等于它们的 ； （2）请你写一个实数，使它具有上述等式的特征：－3＝ ⨯3；（3）请你再写两个实数，使它们具有上述等式的特征：－ ＝ ⨯ ；（4）符合上述特征的所有等式中，是否存在两个实数都是整数的情况？若存在，求出所有满足条件的等式；若不存在，说明理由．27．在平面直角坐标系xOy 中，抛物线c bx x y ++=2经过点（0，–3），（2，–3）． （1）求抛物线的表达式；（2）求抛物线的顶点坐标及与x 轴交点的坐标；（3）将c bx x y ++=2（y ≤0）的函数图象记为图象A ，图象A 关于x 轴对称的图象记为图象B ．已知一次函数y=mx +n ，设点H 是x 轴上一动点，其横坐标为a ，过点H 作x 轴的垂线，交图象A 于点P ，交图象B 于点Q ，交一次函数图象于点 N ．若只有当1<a<3时，点Q 在点N 上方，点N 在点P 上方，直接写出n 的值．28．在等腰三角形ABC 中， AC =BC ，点P 为BC 边上一点（不与B 、C 重合），连接P A ，以P 为旋转中心，将线段P A 顺时针旋转，旋转角与∠C 相等，得到线段PD ，连接DB ． （1）当∠C =90º时，请你在图1中补全图形，并直接写出∠DBA 的度数； （2）如图2，若∠C =α，求∠DBA 的度数（用含α的代数式表示）；（3）连接AD ，若∠C =30º，AC =2，∠APC =135º，请写出求AD 长的思路．（可以不写出计算结果）PC BA图2图1PC B A29．在平面直角坐标系xOy中，A（t，0），B（3t，0），对于线段AB和x轴上方的点P给出如下定义：当∠APB=60°时，称点P为AB的“等角点”．（1）若3t，在点32C⎛⎫⎪⎝⎭，,D⎫⎪⎪⎝⎭，32E⎛⎫⎪⎪⎝⎭中，线段AB的“等角点”是；（2）直线MN分别交x轴、y轴于点M、N，点M的坐标是（6，0），∠OMN=30°．①线段AB的“等角点”P在直线MN上，且∠ABP=90°，求点P的坐标；②在①的条件下，过点B作BQ⊥P A，交MN于点Q，求∠AQB的度数；③若线段AB的所有“等角点”都在△MON内部，则t的取值范围是．。
2016年北京市各城区中考一模数学第24题汇总新编
2016年北京市各城区中考一模数学第24题汇总朝阳24．如图，点D 在⊙O 上，过点D 的切线交直径AB 延长线于点P ，DC ⊥AB 于点C ．(1) 求证：DB 平分∠PDC ； (2) 若DC =6，3tan 4P ∠=，求BC 的长．大兴24. 如图，已知AB 是⊙O 的直径，点H 在⊙O 上，连结AH , E 是 »HB的中 点，过点E 作EC ⊥AH ，交AH 的延长线于点C ．连结AE ，过点E 作EF ⊥AB 于点F ．（1）求证：CE 是⊙O 的切线；（2）若FB=2, tan ∠CAE =22，求OF 的长．东城25. 如图，AB 为⊙O 的直径，PD 切⊙O 于点C ，与BA 的延长线交于点D ，DE ⊥PO 交PO 延长线于点E ，连接PB ，∠EDB =∠EPB ．（1）求证：PB 是⊙O 的切线．（2）若PB =3，DB =4，求DE 的长．D PA O CBO E BD C A 丰台24. 如图，在△ABC 中，AB = AC ，以AB 为直径的⊙O 分别交AC ，BC 于点D ，E ，过点B 作⊙O 的切线，交AC的延长线于点F ．（1）求证：12CBF CAB ∠=∠； （2）连接BD ，AE 交于点H ，若AB = 5，1tan 2CBF ∠=，求BH 的海淀24．如图，AB ，AD 是⊙O 的弦，AO 平分BAD ∠.过点B 作⊙O 的切线交AO 的延长线于点C ，连接CD ，BO .延长BO 交⊙O 于点E ，交AD 于点F ，连接AE ，DE .（1）求证：CD 是⊙O 的切线；（2）若3AE DE ==，求AF 的长.大兴24．如图，AB 为⊙O 的直径，⊙O 过AC 的中点D ，DE 为⊙O 的切线．（1）求证：DE ⊥BC ；（2）如果DE =2，tan C=21，求⊙O 的直径．平谷24．如图，AB 是⊙O 的直径，AE 是弦，C 是劣弧AE 的中点，过C 作CD ⊥AB 于D ，过C 作CG ∥AE 交BA 的延长线于点G ．（1）求证：CG 是⊙O 的切线；（2）若∠EAB =30°，CF =2，求AG 的长．石景山25．如图，在△ABC 中，AB =AC ，以AC 为直径作⊙O 交BC 于点D ，过点D 作⊙O 的切线，交AB 于点E ，交CA 的延长线于点F ．（1）求证：EF ⊥AB ；（2）若∠C =30°，6EF =，求EB 的长．顺义25．如图，D 为⊙O 上一点，点C 在直径BA 的延长线上，且∠CDA =∠CB D ．（1）求证：CD 是⊙O 的切线；（2）过点B 作⊙O 的切线交CD 的延长线于点E ，若BC =6，2tan 3CDA ∠=，求BE 的长．G F E O D C B A B F EA D CO通州26．如图，已知AB 是⊙O 的直径，点P 在BA 的延长线上，PD 切⊙O 于点D ，过点B 作BE ⊥PD ，交PD 的延长线于点C ，连接AD 并延长，交BE 于点E ．（1）求证：AB =BE ； （2）连结OC ，如果PD =23，∠ABC=60︒，求OC 的长．西城24．如图，在ABC V 中，AB 是O e 的直径，AC 与O e 交于点D ．点E 在»BD上，连接DE ，AE ，连接CE 并延长交AB 于点F ，AED ACF ∠=∠．（1）求证：CF AB ⊥；（2）若4CD =，45CB =，4cos 5ACF ∠=，求EF 的长． F E DO A BC燕山24．如图，AB 为⊙O 的直径，C ，D 为⊙O 上不同于A ，B 的两点，过点C 作⊙O 的切线CF 交直线AB 于点F ，直线DB ⊥CF 于点E ．(1) 求证：∠ABD ＝2∠CAB ；(2) 若BF ＝5，sin ∠F ＝53，求BD 的长． FDA OB CEP C D O BEA。
2016朝阳数学一模
北京市朝阳区九年级综合练习（一）数学试卷 2016.5一、选择题（本题共30分，每小题3分）下面各题均有四个选项，其中只有一个是符合题意的．1．清明节是中国传统节日，它不仅是人们远足踏青的日子，更是祭奠祖先、缅怀先人的节日．市民政局提供的数据显示，今年清明节当天全市213处祭扫点共接待群众264000人， 将264000用科学计数法表示应为A ．326410⨯ B ．42.6410⨯ C ．52.6410⨯ D ．60.26410⨯ 2．实数a ，b ，c ，d 在数轴上对应的位置如图所示，绝对值相等的两个实数是A ．a 与bB ．b 与cC ．c 与dD ．a 与d 3．有一种推理游戏叫做“天黑请闭眼”，9位同学参与游戏，通过抽牌决定所扮演的角色，事先做好9张卡牌（除所写文字不同，其余均相同），其中有法官牌1张，杀手牌2张，好人牌6张．小易参与游戏，如果只随机抽取一张，那么小易抽到杀手牌的概率是 A ．21B ．13C ．29D ．194．下列图形选自历届世博会会徽，其中是轴对称图形的是A B C D5．如图，四边形ABCD 内接于⊙O ，E 为DC 延长线上一点，∠A = 50º，则∠BCE 的度数为A ．40ºB ．50ºC ．60ºD ．130º图16．某地需要开辟一条隧道，隧道AB 的长度无法直接测量．如图所示， 在地面上取一点C ，使C 到A 、B 两点均可直接到达，测量找到AC 和BC 的中点D 、E ，测得DE 的长为1100m ，则隧道AB 的长度为A ．3300mB ．2200mC ．1100mD ．550m7．2022年将在北京—张家口举办冬季奥运会，很多学校开设了相关的课程．某校8名同学参加了冰壶选修课，他们被分成甲、乙两组进行训练，身高（单位：cm ）如下表所示：设两队队员身高的平均数依次为甲x ，乙x ，方差依次为2甲s ，2乙s ，下列关系中完全正确的是 A ．甲x =乙x ，2甲s ＜2乙sB ．甲x =乙x ，2甲s ＞2乙s C ．甲x ＜乙x ，2甲s ＜2乙sD ．甲x ＞乙x ，2甲s ＞2乙s8．如图，△ABC 内接于⊙O ，若⊙O 的半径为6，︒=∠60A ， 则BC 的长为A ．2πB ．4πC ．6πD ．12π9．我市为了促进全民健身，举办“健步走”活动，朝阳区活动场地位于奥林匹克公园（路线：森林公园—玲珑塔—国家体育场—水立方）．如图，体育局的工作人员在奥林匹克公园设计图上设定玲珑塔的坐标为（–1，0），森林公园的坐标为（–2，2），则终点水立方的坐标为 A ．（–2，–4） B ．（–1，–4） C ．（–2，4） D ．（–4，–1）10．如图1，在等边三角形ABC 中，AB =2，G 是BC 边上一个动点且不与点B 、C 重合，H 是AC 边上一点，且30=∠AGH °．设BG=x ，图中某条线段长为y ，y 与x 满足的函数关系的图象大致如图2所示，则这条线段可能是图中的A ． 线段CGB ． 线段AGC ． 线段AHD ． 线段CH1–112O图2三、填空题（本题共18分，每小题3分） 11x 的取值范围是____________．12．分解因式：22369a b ab b -+=____________．13．关于x 的方程04222=-++k x x 有两个不相等实数根，写出一个满足条件的k 的值：k =____________．14．《孙子算经》是中国传统数学的重要著作之一，其中记载的“荡杯问题”很有趣． 《孙子算经》记载“今有妇人河上荡杯．津吏问曰：‘杯何以多？’妇人曰：‘家有客．’津吏曰：‘客几何？’妇人曰：‘二人共饭，三人共羹，四人共肉，凡用杯六十五．’不知客几何？” 译文：“2人同吃一碗饭，3人同吃一碗羹，4人同吃一碗肉，共用65个碗，问有多少客人？”设共有客人x 人，可列方程为____________．15．在数学活动课上，小派运用统计方法估计瓶子中的豆子的数量．他先取出100粒豆子，给这些豆子做上记号，然后放回瓶子中，充分摇匀之后再取出100粒豆子，发现其中8粒有刚才做的记号，利用得到的数据可以估计瓶子中豆子的数量约为____________粒． 16．阅读下面材料：数学课上，老师提出如下问题：小艾的作法如下：老师表扬了小艾的作法是对的．请回答：小艾这样作图的依据是____________．尺规作图：经过已知直线上一点作这条直线的垂线． 已知：直线AB 和AB上一点C ．求作：AB 的垂线，使它经过点C ． 如图，（1）在直线AB 上取一点D ，使点D 与点C 不重合，以点C 为圆心，CD 长为半径作弧，交AB 于D ，E 两点； （2）分别以点D 和点E 为圆心，大于12DE 长为半径作弧，两弧相交于点F ； （3）作直线CF ．所以直线CF 就是所求作的垂线．三、解答题（本题共72分，第17-26题，每小题5分，第27题7分，第28题7分，第29题8分）17．计算：1(2)1)4cos 45---++︒． 18．已知11m m-=，求(21)(21)(5)m m m m +-+-的值． 19．解不等式组3(1)6,1.2x x x x -<⎧⎪⎨+≤⎪⎩并写出它的所有整数解． 20．如图，E 为AC 上一点，EF ∥AB 交AF 于点F ，且AE = EF ． 求证：BAC ∠= 2∠1．21．台湾是中国领土不可分割的一部分，两岸在政治、经济、文化等领域的交流越来越深入， 2015年10月10日是北京故宫博物院成立90周年院庆日，两岸故宫同根同源，合作举办了多项纪念活动．据统计北京故宫博物院与台北故宫博物院现共有藏品约245万件，其中北京故宫博物院藏品数量比台北故宫博物院藏品数量的2倍还多50万件，求北京故宫博物院和台北故宫博物院各约有多少万件藏品．22．如图，四边形ABCD 是矩形，点E 在BC 边上，点F 在BC 延长线上，且∠CDF =∠BAE ． （1）求证：四边形AEFD 是平行四边形 ； （2）若DF =3，DE =4，AD =5，求CD 的长度．23．在平面直角坐标xOy 中，直线y x b =+与双曲线my x=的一个交点为A （2，4），与y 轴交于点B ．(1) 求m 的值和点B 的坐标； (2) 点P 在双曲线my x=上，△OBP 的面积为8，直接写出点P 的坐标．FEDCB A1FECA24．如图，点D 在⊙O 上，过点D 的切线交直径AB 延长线于点P ，DC ⊥AB 于点C ． (1) 求证：DB 平分∠PDC ； (2) 若DC =6，3tan 4P ∠= ，求BC 的长．25．阅读下列材料：人口老龄化已经成为当今世界主要问题之一．北京市在上世纪90年代初就进入了老龄化社会，全市60岁及以上户籍老年人口2013年底达到279.3万人，占户籍总人口的21.2%； 2014年底比2013年底增加17.4万人，占户籍总人口的22.3%；2015年底比2014年底增加23.3万人，占户籍总人口的23%．“百善孝为先”，北京市政府越来越关注养老问题，提出养老服务新模式，计划90%的老年人在社会化服务协助下通过家庭照顾养老（即居家养老），6%的老年人在社区养老，4%的老年人入住养老服务机构．本市养老服务机构的床位总数2013年达到8.0516万张，2014年达到10.938万张，2015年达到12万张． 根据以上材料回答下列问题：(1)到2014年底，本市60岁及以上户籍老年人口为__________万人；(2)选择统计表或．统计图，将2013年––2015年本市60岁及以上户籍老年人口数量和占户籍总人口的比例表示出来；(3)预测2016年本市养老服务机构的床位数约为_________万张，请你结合数据估计，能否满足4%的老年人入住养老服务机构，并说明理由． 26．观察下列各等式：222=233-⨯，( 1.2)6( 1.2)6--=-⨯，11()(1)()(1)22---=-⨯-， ……根据上面这些等式反映的规律，解答下列问题：（1）上面等式反映的规律用文字语言可描述如下：存在两个实数，使得这两个实数的P等于它们的 ； （2）请你写一个实数，使它具有上述等式的特征：－3＝ ⨯3；（3）请你再写两个实数，使它们具有上述等式的特征：－ ＝ ⨯ ；（4）符合上述特征的所有等式中，是否存在两个实数都是整数的情况？若存在，求出所有满足条件的等式；若不存在，说明理由．27．在平面直角坐标系xOy 中，抛物线c bx x y ++=2经过点（0，–3），（2，–3）． （1）求抛物线的表达式；（2）求抛物线的顶点坐标及与x 轴交点的坐标；（3）将c bx x y ++=2（y ≤0）的函数图象记为图象A ，图象A 关于x 轴对称的图象记为图象B ．已知一次函数y=mx +n ，设点H 是x 轴上一动点，其横坐标为a ，过点H 作x 轴的垂线，交图象A 于点P ，交图象B 于点Q ，交一次函数图象于点 N ．若只有当1<a<3时，点Q 在点N 上方，点N 在点P 上方，直接写出n 的值．28．在等腰三角形ABC 中， AC =BC ，点P 为BC 边上一点（不与B 、C 重合），连接P A ，以P 为旋转中心，将线段P A 顺时针旋转，旋转角与∠C 相等，得到线段PD ，连接DB ． （1）当∠C =90º时，请你在图1中补全图形，并直接写出∠DBA 的度数； （2）如图2，若∠C =α，求∠DBA 的度数（用含α的代数式表示）；（3）连接AD ，若∠C =30º，AC =2，∠APC =135º，请写出求AD 长的思路．（可以不写出计算结果）29．在平面直角坐标系xOy中，A（t，0），B（t+，0），对于线段AB和x轴上方的点P给出如下定义：当∠APB=60°时，称点P为AB的“等角点”．（1）若t=-，在点32C⎛⎫⎪⎝⎭，,D⎫⎪⎪⎝⎭，32E⎛⎫⎪⎪⎝⎭中，线段AB的“等角点”是；（2）直线MN分别交x轴、y轴于点M、N，点M的坐标是（6，0），∠OMN=30°．①线段AB的“等角点”P在直线MN上，且∠ABP=90°，求点P的坐标；②在①的条件下，过点B作BQ⊥P A，交MN于点Q，求∠AQB的度数；③若线段AB的所有“等角点”都在△MON内部，则t的取值范围是．北京市朝阳区九年级综合测试（一）数学试卷评分标准及参考答案PCB A图2图1PCB A三、解答题（本题共72分，第17─26题，每小题5分，第27题7分，第28题7分，第29题8分）17．解：原式=11422--+⨯……………………………………………… …4分=12．……………………………………………………………………… 5分18．解：原式=22415m m m-+-………………………………………………………… 2分=2551m m--………………………………………………………………… 3分=25()1m m--．11mm-=，21m m∴-=．…………………………………………………………… 4分∴原式=4．…………………………………………………………………… 5分19．解：3(1)6,1.2x xxx-<⎧⎪⎨+≤⎪⎩解不等式①，得x>-1．……………………………………………………………2分解不等式②，得x≤1．………………………………………………………… 3分∴不等式组的解集是1-<x≤1．………………………………………………… 4分∴原不等式组的所有整数解为0，1．……………………………………………5分20．证明：∵EF∥AB，∴∠1=∠F AB．…………………… 2分∵AE=EF，∴∠EAF=∠EF A．……………… 3分∵∠1=∠EF A，∴∠EAF=∠1．…………………… 4分∴∠BAC=2∠1．…………………5分①②1FECA21．解：设北京故宫博物院约有x 万件藏品，台北故宫博物院约有y 万件藏品．. …… 1分 依题意，列方程组得 245250.x y x y +=⎧⎨=+⎩，…………………………………………………………………………3分解得18065.x y =⎧⎨=⎩， ………………………………………………………………………………5分答：北京故宫博物院约有180万件藏品，台北故宫博物院约有65万件藏品． 22.（1）证明：∵四边形ABCD 是矩形，∴DC AB =,DCF B ∠=∠=90º． ∵BAE CDF ∠=∠，∴△ABE ≌△DCF ．………………1分 ∴CF BE =． ∴EF BC =． ∵AD BC =,∴AD EF =．………………………2分 又∵EF ∥AD ，∴四边形AEFD 是平行四边形．………………………3分 （2）解：由（1）知，EF =AD = 5．在△EFD 中，DF =3，DE =4，EF =5，∴222DE DF EF +=．∴∠EDF =90º．……………………………………………………………………4分∴1122ED DF EF CD ⋅=⋅． ∴125CD =． ……………………………………………………………………5分23.解：（1）∵双曲线xmy =经过点，A （2，4），∴8=m ．………………………………………………………………………1分 ∵直线y x b =+经过点A （2，4），∴2b =．…………………………………………………………………………2分 ∴此直线与y 轴交点B 的坐标为（0，2）. …………………………………3分FEDCB A（2）(8，1)，(-8，-1)． .…………………………………………………… 5分 24.（1）证明：如图，连接OD ． ∵DP 是⊙O 的切线， ∴OD ⊥DP ．∴90ODP ∠=︒． ………………………………………………………1分 ∴90.ODB BDP ∠+∠=︒ 又∵DC ⊥OB ， ∴90DCB ∠=︒．∴90BDC OBD ∠+∠=︒． ∵OD =OB ， ∴.ODB OBD ∠=∠ ∴BDP BDC ∠=∠．∴DB 平分∠PDC ．……………………………………………………………2分 （2）解：过点B 作BE ⊥DP 于点E ． ∵,BDP BDC ∠=∠BC ⊥DC ，∴BC =BE . ……………………………………3分 ∵DC =6，3tan 4P ∠=， ∴DP =10，PC =8．……………………………… 4分 设CB=x , 则BE=x ，BP=8- x ．∵△PEB ∽△PCD ，∴8610x x-= ．∴3=x ．∴.3=BC ……………………………………………………………………… 5分 25.（1）296.7． ………………………………………………………………………………1分 （2）统计表如下：2013–2015年本市60岁及以上户籍老年人口数量和占户籍总人口的比例统计表AA11……………………………………………………………………………………3分 （3）14； ……………………………………………………………………………………4分 能满足老年人的入住需求. 理由：根据2013–2015年老年人口数量增长情况，估计到2016年老年人口约有340万人，有4%的老年人入住养老服务机构，即约有13.6万人入住养老服务机构，到2016年北京市养老服务机构的床位数约14万张，所以能满足老年人的入住需求． ……………….…………….…………….…………………………………………5分 26.解：（1）差，积；…………………………………………………………………………1分分 分（4）存在. 设这两个实数分别为x ，y ．可以得到 .xy y x =- ……………………………………………………4分 ∴1+=x xy ．∴111y x =-+．∵ 要满足这两个实数x ，y 都是整数，∴ x +1的值只能是1±．∴当0=x 时，0=y ；当2-=x 时，2=y ．∴满足两个实数都是整数的等式为0000⨯=-，222)2(⨯-=--．…5分 27.解：（1）把（0，–3）代入c bx x y ++=2，∴．3-=c把（2，–3）代入，32-+=bx x y ∴．2-=b322--=x x y ． ………………2分 （2）由（1）得2(1)4y x =--．12∴顶点坐标为（1，–4）．……………3分 由2230x x --=解得123,1x x ==-．∴抛物线与x 轴交点的坐标为（–1，0），（3，0）．…………………………5分 （3）6±． .……………………………………………………………………7分28.解：（1）如图，补全图1． …………….………………………………………………1分∠DBA=︒90． ……………….………………………………………………2分（2） 过点P 作PE ∥AC 交AB 于点E ． ………………………………………………3分 ∴PEB CAB ∠=∠．∵ AC =BC ，∴CAB CBA ∠=∠． ∴PEB PBE ∠=∠． ∴PE PB =．又∵BPD DPE EPA DPE α∠+∠=∠+∠=， ∴BPD EPA ∠=∠． ∵PD PA =，∴△PDB ≌△PAE ．…………………………………………………………4分 ∵11(180)9022PBA PEB αα∠=∠=︒-=︒-， ∴180PBD PEA PEB ∠=∠=︒-∠=α2190+︒．∴DBA PBD PBA α∠=∠-∠=. …………………………………………5分 （3）求解思路如下：a ．作AH ⊥BC 于H ；b ．由∠C =30º，AC =2，可得AH =1，CHBH=2 勾股定理可求AB ； ………………………………………6分 c ．由∠APC =135 º，可得∠APH =45 º，AP；PEDC BAHABCP13d ．由∠APD =∠C =30º，AC =BC ，AP =DP ，可得△P AD ∽△CAB ，由相似比可求AD 的长． ……………7分29.解：（1）C ，D ． ……….…………….………….…….………….………………2分 （2）①如图，∵∠APB=60°，∠ABP =90°， ∴∠P AB =30°，又∵∠OMN=30°，∴,.PA PM AB BM == ……………3分∵，3=AB∴BM = ∴．1=PB∴P（61）． .………..……….….………….………….…………4分 ②∵BQ ⊥AP ，且∠APB =60º，∴∠PBQ =30º. ∴∠ABQ =60º.∴∠BMQ =∠MQB =30º. ……5分 ∴BQ = BM =AB . ∴△ABQ 是等边三角形.∴∠AQB =60º. ………………………………………………………6分同理，当点N 在x 轴下方时,可得P（1），∠AQB =90º. ………7分③14t <<…………………………………………………8分 说明：各解答题的其他正确解法请参照以上标准给分.NMNM。
2016北京中考数学各区一模分类题-几何图形28题
NDA CDCCBCB1.（西城）在正方形ABCD 中，点P 是射线CB 上一个动点，连接PA ，PD ，点M ，N 分别为BC ，AP 的中点，连接MN 交PD 于点Q ．（1）如图1，当点P 与点B 重合时，QPM V 的形状是_____________________； （2）当点P 在线段CB 的延长线上时，如图2． ①依题意补全图2；②判断QPM V 的形状，并加以证明；（3）点P '与点P 关于直线AB 对称，且点P '在线段BC 上，连接AP '，若点Q 恰好在直线AP '上，正方形ABCD 的边长为2，请写出求此时BP 长的思路．（可以不写出计算结果）2.(东城)如图，等边△ABC ，其边长为1，D 是BC 中点，点E ，F 分别位于AB ，AC 边上，且∠EDF =120°.（1）直接写出DE 与DF 的数量关系；（2）若BE ，DE ，CF 能围成一个三角形，求出这个三角形最大内角的度数；（要求：写出思路，画出图形，直接给出结果即可）（3）思考：AE +AF 的长是否为定值？如果是，请求出该值，如果不是，请说明理由.3.（海淀）在△ABC 中，AB =AC ，∠BAC =，点D 在射线BC 上（与B 、C 两点不重90︒合），以AD为边作正方形ADEF，使点E与点B在直线AD的异侧，射线BA与射线CF相交于点G．（1）若点D在线段BC上，如图1.①依题意补全图1；②判断BC与CG的数量关系与位置关系，并加以证明；（2）若点D在线段BC的延长线上，且G为CF中点，连接GE，AB，则GE的长为_______，并简述求GE长的思路．4.（朝阳）在等腰三角形ABC中，AC=BC，点P为BC边上一点（不与B、C重合），连接P A，以P为旋转中心，将线段P A顺时针旋转，旋转角与∠C相等，得到线段PD，连接DB．（1）当∠C=90º时，请你在图1中补全图形，并直接写出∠DBA的度数；（2）如图2，若∠C=α，求∠DBA的度数（用含α的代数式表示）；（3）连接AD，若∠C =30º，AC=2，∠APC=135º，请写出求AD长的思路．（可以不写出计算结果）PCB A图2图1PCB A5.（丰台）在矩形ABCD 中，将对角线CA 绕点C 逆时针旋转得到CE ，连接AE ，取AE的中点F ，连接BF ，DF .（1）若点E 在CB 的延长线上，如图1.①依题意补全图1；②判断BF 与DF 的位置关系并加以证明；（2）若点E 在线段BC 的下方，如果∠ACE =90°，∠ACB =28°，AC =6，请写出求BF长的思路.（可以不写出计算结果．．．．．．．．．）6.（房山）如图1，在四边形ABCD 中，BA =BC ，∠ABC =60°，∠ADC =30°，连接对角线BD .（1）将线段CD 绕点C 顺时针旋转60°得到线段CE ，连接AE .①依题意补全图1；②试判断AE 与BD 的数量关系，并证明你的结论；（2）在（1）的条件下，直接写出线段DA 、DB 和DC 之间的数量关系； （3）如图2，F 是对角线BD 上一点，且满足∠AFC =150°，连接FA 和FC ，探究线段FA 、FB 和FC 之间的数量关系，并证明.7.（石景山）在正方形ABCD 中，E 为边CD 上一点，连接BE ．（1）请你在图1画出△BEM ，使得△BEM 与△BEC 关于直线BE 对称； （2）若边AD 上存在一点F ，使得AF+CE=EF ，请你在图2中探究∠ABF 与∠CBE 的数量关系并证明；（3）在（2）的条件下，若点E 为边CD 的三等分点，且CE<DE ，请写出求CD 图1备用图ABCDABCDEA CD B cos ∠FED 的思路．（可以不写出计算结果．．．．．．．．．）．图1 图2 备用图8.（门头沟）在正方形ABCD 中，连接BD ．（1）如图1，AE ⊥BD 于E ．直接写出∠BAE 的度数．（2）如图1，在（1）的条件下，将△AEB 以A 旋转中心，沿逆时针方向旋转30°后得到△AB'E'，AB'与BD 交于M ，AE'的延长线与BD 交于N ． ①依题意补全图1；②用等式表示线段BM 、DN 和MN 之间的数量关系，并证明．（3）如图2，E 、F 是边BC 、CD 上的点，△CEF 周长是正方形ABCD 周长的一半，AE 、AF 分别与BD 交于M 、N ，写出判断线段BM 、DN 、MN 之间数量关系的思路．（不必写出完整推理过程）图1 图29.（怀柔）在正方形ABCD 中，点H 在对角线BD 上（与点B 、D 不重合），连接AH ，将HA 绕点H 顺时针旋转 90º与边CD (或CD 延长线)交于点P ，作HQ ⊥BD 交射线DC 于点Q.(1)如图1:①依题意补全图1；②判断DP 与CQ 的数量关系并加以证明；EDACBNMEDAC BF AC DB(2)若正方形ABCD 的边长为3，当 DP=1时,试求∠PHQ 的度数.10.（燕山）在等边△ABC 外侧作直线AP ，点B 关于直线AP 的对称点为D ，连接AD ，BD ，CD ，其中CD 交直线AP 于点E ．设∠PAB ＝α，∠ACE ＝β，∠AEC ＝γ．(1) 依题意补全图1；(2) 若α＝15°，直接写出β和γ的度数； (3) 如图2，若60°<α<120°，①判断α，β的数量关系并加以证明；②请写出求γ大小的思路．（可以不写出计算结果．．．．．．．．．）11.（顺义）已知：在△ABC 中，60BAC ∠=︒．（1）如图1，若AB =AC ，点P 在△ABC 内，且150APC ∠=︒，3PA =，4PC =，把△APC 绕着点A 顺时针旋转，使点C 旋转到点B ，得到△ADB ，连结DP ． ①依题意补全图1； ②直接写出PB 的长；图2A BPCAB CP图1（2）如图2，若AB =AC ，点P 在△ABC 外，且3PA =，5PB =，4PC =，求APC∠的度数；（3）如图3，若2AB AC =，点P 在△ABC 内，且PA =5PB =，120APC ∠=︒，直接写出PC 的长．12.（大兴）已知正方形ABCD ，E 为平面内任意一点，连结DE ，将线段DE 绕点D 顺时针旋转90°得到DG ，连结EC ，AG. (1)当点E 在正方形ABCD 内部时，①依题意补全图形；② 判断AG 与CE 的数量关系与位置关系并写出证明思路.（2）当点B, D, G 在一条直线时，若AD=4，求CE 的长．13.（平谷）如图，在△ABC 中，∠ACB =90°，AC =BC=CD ，∠ACD =α，将线段CD 绕点C 顺时针旋转90°得到线段CE ，连接DE ，AE ，BD ． （1）依题意补全图1；（2）判断AE 与BD 的数量关系与位置关系并加以证明；CBAP图2图3图1CBAPB AP（3）若0°＜α≤64°，AB =4，AE 与BD 相交于点G ，求点G 到直线AB 的距离的最大值．请写出求解的思路（可以不写出计算结果．．．．．．．．．）．14.（通州）△ABC 中，45ABC ∠=︒，AB BC ≠，BE AC ⊥于点E ，AD BC ⊥于点D .（1）如图1，作A D B ∠的角平分线DF 交BE 于点F ，连接AF . 求证：FAB FBA ∠=∠； （2）如图2，连接DE ，点G 与点D 关于直线AC 对称，连接DG 、EG .①依据题意补全图形；②用等式表示线段AE 、BE 、DG 之间的数量关系，并加以证明.15.（延庆）在平面直角坐标系xOy 中，对于点P （x ，y ）和Q （x ，y ′），给出如下定义：如果()()0'0y x y y x ⎧⎪=⎨-⎪⎩≥＜，那么称点Q 为点P 的“妫川伴侣”．例如：点（5，6）的“妫川伴侣”为点（5，6），点（－5，6）的“妫川伴侣” 为点（－5，－6）．（1）①点（2，1）的“妫川伴侣”为；②如果点A （3，－1），B （－1，3）的“妫川伴侣”中有一个在函数3y x=的图象上，那么这个点是（填“点A ”或“点B ”）．图1备用图图2图1（2）①点M *（－1，－2）的“妫川伴侣”点M 的坐标为；②如果点N *（m +1，2）是一次函数y = x + 3图象上点N 的“妫川伴侣”， 求点N 的坐标．（3）如果点P 在函数24y x =-+（－2＜x ≤a ）的图象上，其“妫川伴侣”Q 的纵坐标y ′的取值范围是－4＜y ′≤4，那么实数a 的取值范围是．()。
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最大最全最精的教育资源网 北京市朝阳区九年级综合练习（一）数学试卷2016.5考 生 须 知 1 •本试卷共8页，共三道大题，29道小题，满分120分•考试时间120分钟• 2 •在试卷和答题卡上认真填写学校名称、姓名和准考证号• 3 •试题答案一律填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效•4•在答题卡上，选择题、作图题用2B 铅笔作答，其他试题用黑色字迹签字笔作答• 5 •考试结束，请将本试卷、答题卡一并交回• 一、选择题（本题共 30分，每小题3分） 下面各题均有四个选项，其中只有一个是符合题意的.1 •清明节是中国传统节日，它不仅是人们远足踏青的日子，更是 祭奠祖先、缅怀先人的节 日.市民政局提供的数据显示，今年清明节当天全市213处祭扫点共接待群众 264000人，源:]将264000用科学计数法表示应为 A • 264 1 03B • 2.64 10^C . 2/64 1 05D . 0.264 106——|——I ——I --------- 1 4——I ——I_t ~i_I ——I ——-5 —-3 -2 -1 D 1 2 3 4哎2•实数a , b , c , d 在数轴上对应的位置如图所示，绝对值相等的两个实数是3•有一种推理游戏叫做“天黑请闭眼” ，9位同学参与游戏，通过抽牌决定所扮演的角色， 事先做好9张卡牌（除所写文字不同，其余均相同），其中有法官牌1张，杀手牌2张，好人牌6张•小易参与游戏，如果只随机抽取一张，那么小易抽到杀手牌的概率是B • 50o来 源:Z#xx#]形选自历届世博博会会徽夕中是轴对称图形的是 QD如图，四边形 ABCD 内接于O O , E 为DC 延长线上一点,A =50o , 则/ BCE 的度数40o4 •我市为了促进全民健身，举办“健步走”活动，朝阳区活动场地位 于奥林匹克公园（路线：森林公园一玲珑塔一国家体育场则终点水立方的坐标为 A . ( T 2, -4)10 .如图1,在等边三角形 ABC 中，AB=2 , G 是BC 边上一个动点且不与点 B 、C 重合，H 是AC 边上一点，且.AGH =30 ° °设BG=x ，图中某条线段长为 y , y 与x 满足的函数关系 的图象大致如图2所示，则这条线段可能是图中的最大最全最精的教育资源网C . 60oD . 13006•某地需要开辟一条隧道，隧道 AB 的长度无法直接测量.如图所示， 在地面上取一点 C ,使C 到A 、B 两点均可直接到达，测量找到 AC 和BC 的中点D 、E ,测得DE 的长为1100m ,则隧道AB 的长度为A. 3300mB. 2200mC. 1100mD . 550m7. 2022年将在北京一张家口举办冬季奥运会，很多学校开设了相关的课程.某校 8名同学参加了冰壶选修课，他们被分成甲、乙两组进行训练，身高（单位:cm ）如下表所示:队员1队员2 队员3 队员4 甲组 176 177 175 176 乙组178175177174列关系中完全正确的是C . X 甲V X 乙，s 甲VD . 乂甲> X 乙，S 甲 > 如图，△ ABC 内接于O若O O 的半径为6,■ A =60 ,BC 的长为D . 12 n人员在奥林匹克公园设计图上设定玲珑塔的坐标为（0）,森林公园的坐标为（-2, 2）,9..如图，体育局的工作D . ( -4,-)设两队队员身高的平均数依次为 下—*5*5X 甲 , X 乙，方差依 次为s 甲 , s 乙, OBCA.线段CG B .线段AG D .线段CH[ 来源C.线段AH:]最大最全最精的教育资源网三、填空题（本题共18分，每小题3分）11. ______________________________________________________ 若二次根式yjX-2有意义，则X的取值范围是______________________________________________ .2 2 312. _______________________________________ 分解因式：a b -6ab - 9b = .13. 关于x的方程x22x 2k -4 =0有两个不相等实数根，写出一个满足条件的k的值：k= ___________ .14. 《孙子算经》是中国传统数学的重要著作之一，其中记载的“荡杯问题”很有趣.《孙子算经》记载“今有妇人河上荡杯.津吏问曰：杯何以多？’妇人曰：家有客.’津吏曰：客几何？’妇人曰：二人共饭，三人共羹，四人共肉，凡用杯六十五. ’不知客几何？” 译文：“2人同吃一碗饭，3人同吃一碗羹，4人同吃一碗肉，共用65个碗，问有多少客人？” 设共有客人x人，可列方程为_________________________ .15. 在数学活动课上，小派运用统计方法估计瓶子中的豆子的数量.他先取出100粒豆子, 给这些豆子做上记号，然后放回瓶子中，充分摇匀之后再取出100粒豆子，发现其中8粒有刚才做的记号，利用得到的数据可以估计瓶子中豆子的数量约为 _________________________ 粒.16. 阅读下面材料：数学课上，老师提出如下问题：最大最全最精的教育资源网最大最全最精的教育资源网老师表扬了小艾的作法是对的.请回答：小艾这样作图的依据是______________ .三、解答题(本题共72分，第17-26题，每小题5分，第27题7分，第28题7分，第29 题8分) 17•计算：(—2)」——廳+(72—1)°+4COS45。
.118.已知m 1,求(2m 1)(2m -1) m(m -5)的值.m[3(x-1)c6x,19•解不等式组x 1并写出它的所有整数解.x.I 220. 如图，E为AC上一点，EF // AB交AF于点F，且AE = EF .求证：ZBAC = 2/ 1 .21. 台湾是中国领土不可分割的一部分，两岸在政治、经济、文化等领域的交流越来越深入，2015年10月10日是北京故宫博物院成立90周年院庆日，两岸故宫同根同源，合作举办了多项纪念活动|.据统计北京故宫博物院与台北故宫博物院现共有藏品约245万件，其中北京故宫博物院藏品数量比台北故宫博物院藏品数量的2倍还多50万件，求北京故宫博物院和台北故宫博物院各约有多少万件藏品.22. 如图，四边形ABCD是矩形，点E在BC边上，点F在BC延长线上，且/ CDF = / BAE.(1) 求证：四边形AEFD是平行四边形；(2) 若DF=3, DE=4, AD=5，求CD 的长度.最大最全最精的教育资源网 23. 在平面直角坐标 xOy 中，直线y=x+b 与双曲线y =巴的一个交点为 A (2, 4),与x人口老龄化已经成为当今世界主要问题之一•北京市在上世纪 化社会，全市60岁及以上户籍老年人口2013年底达到279.3万人，占户籍总人口的21.2% ;2014年底比2013年底增加17.4万人，占户籍总人口的 22.3%; 2015年底比2014年底增加23.3万人，占户籍总人口的 23% .百善孝为先”，北京市政府越来越关注养老问题，提出养老服务新模式，计划 90%的老年人在社会化服务协助下通过家庭照顾养老(即居家养老) 的老年人入住养老服务机构.本市养老服务机构的床位总数 年达到10.938万张，2015年达到1 2万张. 根据以上材料回答下列问题：(1) 到2014年底，本市60岁及以上户籍老年人口为 ____________ 万人；(2) 选择统计表或.统计图，将2013年-2015年本市60岁及以上户籍老年人口数量和占户籍 总人口24. 25. 求m 的值和点 点P 在双曲线B 的坐标;y =m上，△ OBP 的面积为8,直接写出点P 的坐标. x如图，点 D 在O O 上，过点D 的切线交直径 AB 延长线于点 P , DC 丄AB 于点C .求证：DB 平分/ PDC ;若DC=6, tan. P =色，求BC 的长.4阅读下列材料:90年代初就进入了老龄,6%的老年人在社区养老， 4%2013年达到8.0516万张，2014最大最全最精的教育资源网 的比例表示出来;最大最全最精的教育资源网(3) ________________________________________________预测2016年本市养老服务机构的床位数约为______________________________________________ 万张，请你结合数据估计，能否满足4%的老年人入住养老服务机构，并说明理由.26. 观察下列各等式:2厶2,3 3(-1.2) -^(-1.2) 6 ,1 1(”)r(-1)，根据上面这些等式反映的规律，解答下列问题：(1) 上面等式反映的规律用文字语言可描述如下：存在两个实数，使得这两个实数的等于它们的；(2) 请你写一个实数，使它具有上述等式的特征：—3 = 3;(3) 请你再写两个实数，使它们具有上述等式的特征：(4) 符合上述特征的所有等式中，是否存在两个实数都是整数的情况？若存在，求出所有满足条件的等式；若不存在，说明理由.227. 在平面直角坐标系xOy中，抛物线y = x +bx + c经过点(0, -3), ( 2, 43).(1)求抛物线的表达式；(2)求抛物线的顶点坐标及与x轴交点的坐标；(3)将y =x2• bx • c (y w 0)的函数图象记为图象A，图象A关于x轴对称的图象记为图象B .已知一次函数y=mx+n，设点H是x轴上一动点，其横坐标为a,过点H作x轴的T最大最全最精的教育资源网垂线，交图象A于点P,交图象B于点Q,交一次函数图象于点N.若只有当1<a< 3时，点Q在点N上方，点N在点P上方，直接写出n的值. t>'最大最全最精的教育资源网28. 在等腰三角形ABC中，AC=BC，点P为BC边上一点(不与B、C重合)，连接PA, 以P为旋转中心，将线段PA顺时针旋转，旋转角与/ C相等，得到线段PD，连接DB .(1) 当/ C=90o时，请你在图1中补全图形，并直接写出/ DBA的度数；(2) 如图2,若/ C=a,求/ DBA的度数(用含a的代数式表示);(3) 连接AD，若/ C=30o, AC=2,Z APC=135o,请写出求AD长的思路.(可以不写出计29. 在平面直角坐标系xOy中，A (t, 0) , B ( t+ V3 , 0),对于线段AB和x轴上方的点给出如下定义：当/ APB= 60°时，称点P为AB的“等角点”.(2)直线MN分别交x轴、y轴于点M、N，点M的坐标是(6, 0), / OMN= 30°①线段AB的“等角点” P在直线MN上，且/ ABP=90 °，求点P的坐标；②在①的条件下，过点B作BQ丄FA，交MN于点Q,求/ AQB的度数；③若线段AB的所有“等角点”都在厶M0N内部，则t的取值范围是.4 ■3・-112 3 47(1皿"拧，在点C °，l ,D于”，E!中，线段AB的“等角点”是;最大最全最精的教育资源网。