幂的乘方与积的乘方课件PPT
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北师大版数学七年级下册幂的乘方与积的乘方——幂的乘方课件(第一课时20张)
拓展与延伸
已知16m=4×22n-2，27n=9×3m+3 ，求 m，n 的值.
解：因为16m=4×22n-2，所以24m =22×22n-2 . 所以24m=22n，即4m=2n，2m=n. ① 因为 27n=9×3m+3 ，所以(33)n=32×3m+3 . 所以33n=3m+5，即3n=m+5. ② 由①②得，m=1，n=2.
解：a4n-a6n = (a2n)2- (a2n)3 = 32-33 = -18 .
把指数是积的情势的幂写成幂的乘方，amn=(am)n （m，n都是正整数），然后整体代入，求出式子的值.
课堂小结
幂 的 乘 方
性质：幂的乘方，底数不变， 指数相乘.
(am)n=amn （m，n为正整数）
当堂小练
1.计算(x3)3的结果是（ D ）
新课导入
视察计算结果，你能发现什么规律？ (1) (x2)2 = x2∙x2 = x2+2= x4 ;
(2) (x2)3 = x2∙x2∙x2 = x2+2+2= x6 .
结 论 (1) (x2)2 = x2∙2= x4 ; (2) (x2)3 = x2∙3= x6 .
新课导入
视察计算结果，你能发现什么规律？（m，n为正整数）
A. x5
B. x6
C. x8
D. x9
2. 下列运算正确的是（ B ）
A. a2·a3=a6 a5
B. (a2)3=a6
C. a5·a5=a25 a10
D. (3x)3=3x3 27x3
当堂小练
3. （1）若2x+y=3，则4x·2y= 8 . （2）已知3m·9m·27m·81m=330，求m的值. 解：3m·32m·33m·34m=330 310m=330 m=3
北师大版数学七年级下册幂的乘方与积的乘方——积的乘方课件(第二课时20张)
第一章 整式的乘除
2 幂的乘方与积的乘方 课时2 积的乘方
学习目标
1.了解并掌握积的乘方的法则，熟练运用幂的乘方的运算法则 进行实际计算.（重点） 2.掌握积的乘方的运算法则的推导.（难点） 3.体会数式通性和从具体到抽象的思想方法在研究数学问题中 的作用.
新课导入
思 考 边长为 x 的正方形面积为 x2 ，将边长扩大3倍后，新的正方形 的面积为多少呢？
(2)1 [(-a3)2]2 ;
3
解：(1) (-3×102)3 =(-3)3×(102)3=-27×106=-2.7×107 ;
(2)
1
[(-3
a3)2]2
1
=(9
)2·(a6)2=811
a12 ;
(3) (-a2b3)3 =(-1)3·(a2)3·(b3)3=-a6b9 .
(3) (-a2b3)3 .
） B. m2·m3=m6
C. (mn)3=mn3
分析：选项A中，m2和2m3不是同类项，不能合并，故而错误； 选项B中，m2·m3=m5，故而错误； 选项D中，(mn)3=m3n3，故而错误.
拓展与延伸
若(4am+nbm)3=64a15b9成立，则（ A ）
A. m=3，n=2
B. m=n=2
C. m=6，n=2
思考：你能总结出积的乘方的运算法则吗?
新课讲授
知识点1 积的乘方
性质：积的乘方，等于把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘
一. 般地，对于任意底数a，b与任意正整数 n.
（ab）n （ab）（ ab）（ ab）
符号表示： (ab)n=anbn （n为正整数）.
n个ab
（a a a）（ b b b）
2 幂的乘方与积的乘方 课时2 积的乘方
学习目标
1.了解并掌握积的乘方的法则，熟练运用幂的乘方的运算法则 进行实际计算.（重点） 2.掌握积的乘方的运算法则的推导.（难点） 3.体会数式通性和从具体到抽象的思想方法在研究数学问题中 的作用.
新课导入
思 考 边长为 x 的正方形面积为 x2 ，将边长扩大3倍后，新的正方形 的面积为多少呢？
(2)1 [(-a3)2]2 ;
3
解：(1) (-3×102)3 =(-3)3×(102)3=-27×106=-2.7×107 ;
(2)
1
[(-3
a3)2]2
1
=(9
)2·(a6)2=811
a12 ;
(3) (-a2b3)3 =(-1)3·(a2)3·(b3)3=-a6b9 .
(3) (-a2b3)3 .
） B. m2·m3=m6
C. (mn)3=mn3
分析：选项A中，m2和2m3不是同类项，不能合并，故而错误； 选项B中，m2·m3=m5，故而错误； 选项D中，(mn)3=m3n3，故而错误.
拓展与延伸
若(4am+nbm)3=64a15b9成立，则（ A ）
A. m=3，n=2
B. m=n=2
C. m=6，n=2
思考：你能总结出积的乘方的运算法则吗?
新课讲授
知识点1 积的乘方
性质：积的乘方，等于把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘
一. 般地，对于任意底数a，b与任意正整数 n.
（ab）n （ab）（ ab）（ ab）
符号表示： (ab)n=anbn （n为正整数）.
n个ab
（a a a）（ b b b）
课件114幂的乘方与积的乘方.ppt
证 明
=am+m+ … +m （同底数幂的乘法性质）
=amn （乘法的意义）
幂 的 乘 方 法则
(am)n=amn (m,n都是正整数)
幂的乘方，底数 不变 ， 指数 相乘.
阅读 体验 ☞例题解析
【例1】计算：
(1) (102)3 ;
(2) (b5)5 ;
(4) -(x2)m ; (5) (y2)3 ·y ;
V球
4 3
R3
甲球的半径是乙球的10倍，则 甲球的体积V甲= 36000 cm3 .
V甲 是 V乙 的 1000 倍
即 103 倍
如果甲球的半径是乙球的n 倍，那么甲球体积是乙球体积的 n3倍。
地球、木星、太阳可以近似地看作球体 。木星、太阳
的半径分别约是地球的10倍和102倍，它们的体积分别约
是地球的 103 倍和 106 倍. (102)3=106，为什么？
底数 不变 ， 指数 相加 .
作作业业
(6) 2(a2)6 – (a3)4 =2a2×6 - a3×4 =2a12-a12 =a12.
随随堂堂练练习习
1、计算： (1) (103)3 ; (2) -(a2)5 ; (3) (x3)4 ·x2 ; (4) [(-x)2 ]3 ; (5) (-a)2(a2)2; (6) x·x4 – x2 ·x3 .
解：(1) (62)4 = 62·62·62·62=62+2+2+2 =68 =62×4 ;
(2) (a2)3 = a2·a2·a2 =a2+2+2 =a6 =a2×3 ;
(3) (amm)22=am·am =am+m=a2m ;
初中数学北师大版七年级下册《幂的乘方与积的乘方(第2课时)》课件
（2）－(－2x3y4)3 ＝－(－2)3(x3)3(y4)3 ＝－(－8)x9y12 ＝8x9y12
4．计算：
（1）a2·(－a)3·(－a2)4； （2）(3x4y2)2＋(－2x2y)4；
＝a2·(－a3)·a8 ＝－a2·a3·a8 ＝－a13
＝9x8y4＋16x8y4 ＝25x8y4
（3）
探究新知 （1）(3×5)4＝(3×5)×(3×5)×(3×5)×(3×5)×＝(3×3×3×3) ×(5×5×5×5)＝3( ) ×5( )；
4
4
（2）(ab)4＝
＝
＝a( )b( )；
（3）(ab)n＝
＝
＝a( )b( )．
解：（2）(ab)4＝(ab)·(ab)·(ab)·(ab)＝(a·a·a·a)·(b·b·b·b)＝a4b4；
1.2
幂的乘方与 积的乘方
数学北师大版 七年级下
学习目标 1.掌握积的乘方的运算法则，并能利用法则进行计算和解决一些实际问题．
2.探索积的乘方的法则，进一步体会幂的意义，发展推理能力和有条理的表达 能力，培养从特殊到一般，从具体到抽象的逐步概括抽象的认识能力．
1．同底数幂的乘法的运算性质： 同底数幂相乘，底数不变，指数相加． 2．幂的乘方的运算性质： 幂的乘方，底数不变，指数相乘．
( n )个ab
(ab)n (ab) (ab) (ab)
( n )个a
( n )个b
aa abb b
a( n )b( n )；
(ab)n =a( n )b( n （) n是正整数）．
2.把你发现的规律用文字语言表述，再用符号语言表达． 积的乘方的结果是把积的每一个因式分别乘方，再把所得的
＝－8a6·a3＋16a2·a7－125a9
幂的乘方和积的乘方课件
微积分学
幂的乘方和积的乘方是微积分学中解 决复杂函数求导和积分问题的基础， 特别是在处理幂函数、指数函数和三 角函数的导数和积分时。
科学计算领域
数值分析
幂的乘方和积的乘方在数值分析 中用于提高数值计算的精度和稳 定性，例如在求解方程、插值、
拟合、积分和微分中。
统计学
幂的乘方和积的乘方在统计学中可 用于建立数学模型，特别是对于幂 分布、指数分布和正态分布等。
量子力学
在量子力学中，幂的乘方和积的乘 方可用于描述微观粒子的波函数和 能量层级。
工程领域
电气工程
幂的乘方和积的乘方在电气工程 中用于计算电流、电压和电阻等 电气参数，特别是在电力系统和
电路设计中。
机械工程
幂的乘方和积的乘方在机械工程 中用于计算力学性能，如压力、 应力和应变等，特别是在材料力
学和结构力学中。
性质
当底数a不为0且m为正整 数时，幂的乘方是同底数 幂的乘法的逆运算。
幂的运算规则
底数不变，指数相乘。即 (a^m)^n = a^(m*n)。
负数的偶次幂是正数，奇次幂是 负数。即 (a^m)^(-n) =
1/a^(m*n)，其中m, n为正整数 。
零的任何正整数次幂都是0。即 a^0 = 1，其中a不等于0。
幂的运算应用
在物理学中，幂的乘方可以用 来计算物理量的大小，例如速 度、加速度等。
在化学中，幂的乘方可以用来 计算化学反应中物质的质量和 体积的变化。
在工程学中，幂的乘方可以用 来计算机械零件的强度和刚度 等。
02
积的乘方
定义与性质
定义
积的乘方是指将几个数相乘，再 将所得的幂相乘。
性质
积的乘方的性质与幂的乘方的性 质相似，但需要注意符号和系数 的处理。
幂的乘方与积的乘方PPT课件
知识回顾
1、同底数的幂相乘 法则：同底数的幂相乘，底数不变，指数相加。
数学符号表示： am • an amn
（其中m、n为正整数）
练习：判断下列各式是否正确。
a3 • a3 2a3,b4 b4 b8, m2 m2 2m2 (x)3 • (x)2 • (x) (x)6 x6
2、幂的乘方 法则：幂的乘方，底数不变，指数相乘。
c ·c3 = c4
y5 ·y5 =y10 （6）m + m3 = m4 (×)
m + m3 = m + m3
基础演练
(1) a ·a7- a4 ·a4 = 0
；
(2)(1/10)5 ×(1/10)3 = (1/10)8 ； (3)(-2 x2 y3)2 = 4x4y6 ；
(4)(-2 x2 )3 = -8x6 ；
(5)求代数式的值 1、已知10m=4，10n=5． 求103m+2n+1的值．
2、已知162×43×26=22a+1， (102)b=1012，求a+b的值。
能力挑战:
若xm3 x2 x7则m的值为 ___2__
已知2x 2 y 25 , 则正整数 x, y 的值有（D）
（A）1对 （B）2对 （C）3对 （D）4对
)
=p6+10 ( 同底数幂的乘法法则 )
=p16
例、木星是太阳系九大行星中最大的一 颗,木星可以近似地看作球体.已知木星 的半径大约是7×104km,木星的体积大约 是多少km3(∏取3.14)?
分析:球体体积公式 v 4 R3 解: v 4 (7 104 )3 3
3
4 73 1012
数学符号表示： (a m )n a mn
1、同底数的幂相乘 法则：同底数的幂相乘，底数不变，指数相加。
数学符号表示： am • an amn
（其中m、n为正整数）
练习：判断下列各式是否正确。
a3 • a3 2a3,b4 b4 b8, m2 m2 2m2 (x)3 • (x)2 • (x) (x)6 x6
2、幂的乘方 法则：幂的乘方，底数不变，指数相乘。
c ·c3 = c4
y5 ·y5 =y10 （6）m + m3 = m4 (×)
m + m3 = m + m3
基础演练
(1) a ·a7- a4 ·a4 = 0
；
(2)(1/10)5 ×(1/10)3 = (1/10)8 ； (3)(-2 x2 y3)2 = 4x4y6 ；
(4)(-2 x2 )3 = -8x6 ；
(5)求代数式的值 1、已知10m=4，10n=5． 求103m+2n+1的值．
2、已知162×43×26=22a+1， (102)b=1012，求a+b的值。
能力挑战:
若xm3 x2 x7则m的值为 ___2__
已知2x 2 y 25 , 则正整数 x, y 的值有（D）
（A）1对 （B）2对 （C）3对 （D）4对
)
=p6+10 ( 同底数幂的乘法法则 )
=p16
例、木星是太阳系九大行星中最大的一 颗,木星可以近似地看作球体.已知木星 的半径大约是7×104km,木星的体积大约 是多少km3(∏取3.14)?
分析:球体体积公式 v 4 R3 解: v 4 (7 104 )3 3
3
4 73 1012
数学符号表示： (a m )n a mn
幂的乘方与积的乘方课件
04
THANKS
[ 感谢观看 ]
注意处理负指数和分数指数
在进行积的乘方运算时，应注意处理负指数和分 数指数的情况，如 $a^{-m} = frac{1}{a^m}$， $a^{frac{1}{n}} = sqrt[n]{a}$。
CHAPTER 03
幂的乘方与积的乘方的关系
幂的乘方与积的乘方的相同点
两者都是基于乘法的运算性质
幂的乘方和积的乘方都是基于乘法运算的性质进行推导的，是数学中指数运算 的一部分。
CHAPTER 04
幂的乘方与积的乘方的练习题
基础练习题
1. $(a^m)^n = ?$
总结词：考察基本概念和运 算规则
பைடு நூலகம்
01
02
03
2. $a^{m times n} = ?$
3. $(ab)^n = ?$
04
05
4. $a^m times a^n = ?$
进阶练习题
总结词：增加难度，考察 理解和应用能力
幂的乘方与积的乘方课 件
CONTENTS 目录
• 幂的乘方 • 积的乘方 • 幂的乘方与积的乘方的关系 • 幂的乘方与积的乘方的练习题
CHAPTER 01
幂的乘方
幂的乘方运算规则
幂的乘方运算法则
$(a^m)^n = a^{m times n}$
运算步骤
先计算指数的乘积，再对底数进行幂运算。
注意事项
两者都涉及到指数的运算
无论是幂的乘方还是积的乘方，都涉及到指数的运算，这是理解两者关系的基 础。
幂的乘方与积的乘方的不同点
定义不同
幂的乘方是指数相乘，底数不变 ；而积的乘方是将几个相同的因 式相乘，每个因式的指数相加。
幂的乘方与积的乘方(第1课时)PPT课件
C.3个 D.2个
解析: (x5)2=x10,所以①②错;x5·x2=x7,所以 ④错;因为x5与x2不是同类项,所以不能合并, 所以⑤错.故选B.
3.若(54)x=512,则x= 3
.
解析: (54)x=54x=512,所以4x=12,所 以x=3.故填3.
4.计算. (1)(-xm)3; 解:原式=-xm·3=x3m.
观察上面各式中幂指数之间的关系,猜想:若m,n
是正整数,则(am)n = amn
.
根据乘方的意义及同底数幂乘法的性质,对于正整数m,n, 有:
n个am
(am)n =（ am ×am×··· × am ）
n个m
= am +m+m+··· +m
=a mn.
(am)n =amn(m,n是正整数).
幂的乘方,底数不变,指数相乘.
1.计算a2)3的结果是 C (
A.3a2
B.a5
) 检测反馈
C.a6
D.a3
解析:根据幂的乘方的法则,(a2)3=a2×3=a6. 故选C.
2.下列计算:
①(x5)2=x7;②(x5)2=x25;③x5·x2=x7;④x5·x2=x10;
⑤x5+x2=2x5.其中错误的有B ( )
A.5个 B.4个
七年级数学·下 新课标[冀教]
第八章 整式的乘法
8.2 幂的乘方与积的乘方 (第1课时)
问题思考
学习新知
(1)有甲乙两个球,如果甲球的半径是乙球半径
的n倍,那么甲球的体积是乙球体积的多少倍?
(2)学生计算.
(102)3=
(102)3=106.
,怎样计算?
活动1 探究幂的乘法
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（2）a 2 • a5 a10
（）
（3）(a 2 )10 a 20
（4）[(
3 4
)
2
]3
(3)6 4
（） （）
（5）(b n1 ) 2 b 2n2
（）
（6）[( x y)2 ]5 (x y)10 （ ）
3．计算：
（1）(1)2m • (1)2
（2） a3 • (a)4 （3） [(m n)2 ]4
第四节
幂的乘方与积的乘方（一）
你知道吗？ 如果甲球的半径是乙球的n倍，那么甲球的体积是乙 球的 n 3 倍．
地球、木星、 太阳可以近似地 看作是球体．
木星的半径约是地球的10倍，太阳的半径约是 地球的10 2倍，它们的体积分别约是地球的多少倍？
木星的体积约是地球的10 3 倍，太阳的体积约是地球 的10 6倍．
（3）(a m ) 2 am • am amm a2m a2m n个 am
（4）(a m )n (am • am • • am )
n个m
ammm
amn
n个 am
(am )n (am • am •• am )
n个m
ammm
amn
(a ) a m n
mn (m、n都是正整数）
幂的乘方，底数不变，指数相乘．
想一想
a4 的意义是什么？把 a4 看成 底数，则(a4 )4 的意义是什么？怎样 计算(a4) 4？
a4
(a4 )4 a4 • a4 • a4 • a4 a4444 a16
计算下列各式，并说明理由
（1）(62 )4 62 • 62 • 62 • 62 62222 6 Nhomakorabea 624
（2）(a 2 )3 22 • 22 • 22 2222 26 223
（4） a 2 • (a)3 • (a 2 )3 （5）(a 2 )3 • (a3 )3
（6） [(x 2 )3 ]3
小结
1．本节主要学习幂的乘方性质
(am )n amn
（条件是m、n是正整 数）
２．幂的乘方性质用语言表达为
幂的乘方，底数不变，指数相乘．
３．弄清同底数幂相乘与幂的乘方的区别：
前者是指数相＿＿加＿，后者是指数相＿乘＿＿．
(4) (x2 )m x2m x2m
(5) ( y2 )3 y y23 y y6 y y7
(6) 2(a2 )6 (a3 )4
2a26 a34 2a12 a12 a12
随堂练习
进行幂的运算
１．课本 P13 ２．判断题：
1．计算时要注意什么?
（1）(am )n amn
（）
例1 计算：
(1) (102 )3；(2) (b5 )5；（3）（an )3；(4) (x2 )m；
(5) ( y2 )3 y； (6) 2(a2 )6 (a3 )4.
解：(1) (10 2 )3 (10)23 106 (2) (b5 )5 b55 b25
（3）（an )3 an3 a3n
拓展与提高
1.计算：(x y)m ( y x)2m ( y x)3m．
２.你能比较 355 , 444 , 533 的大小吗？
作业：
1.课本 习题7.5 1，2，3