2019中考数学知识点-垂径定理及其推论
九年级数学垂径定理知识点
九年级数学垂径定理知识点数学是一门令我们既爱又恨的学科，而九年级的数学则是更加具有挑战性和深度的一门课程。
在九年级数学中，垂径定理是一个重要的知识点，它不仅在几何学中有广泛的应用，而且在实际生活中也有着许多有趣的应用。
在本文中，我们将一起来探索九年级数学中的垂径定理。
首先，我们来了解一下垂径定理的定义和概念。
垂径定理是几何学中的一个基本定理，它指出：“如果两条直线相交于一个点，并且其中一条直线垂直于另一条直线的过程中所产生的垂直线段与交点的距离相等，那么这两条直线是垂线。
”简单来说，垂径定理就是通过一个垂直线段来判断两条直线是否垂直的方法。
举个例子来说明垂径定理的应用。
假设有一个四边形的对角线相交于一个点，我们需要判断对角线是否垂直。
按照垂径定理，我们可以通过在交点处作一条垂直于对角线的线段，并将它延长至相邻的边上。
如果延长后的线段与相邻边的距离相等，那么我们可以断定对角线是垂直的；反之，如果距离不相等，则对角线不是垂直的。
通过这个简单的方法，我们可以快速判断一个四边形的对角线是否垂直。
垂径定理不仅在几何学中有重要的应用，而且在实际生活中也有许多有趣的应用。
例如，我们在修建房屋时需要确保墙体垂直，这就需要使用垂径定理来检验墙体是否垂直。
另一个应用是在导航系统中，也需要使用垂径定理来计算地球上两点之间的最短距离。
除了应用方面，垂径定理还有着一些有趣的数学性质。
一个有趣的性质是，如果两条直线是垂线，那么它们的斜率乘积为-1。
这个性质是垂径定理的一个重要推论，通过它我们可以更直观地理解垂线的概念。
此外，垂径定理还与其他几何定理有着密切的关系。
例如，垂径定理与直角三角形定理、等腰直角三角形定理以及勾股定理之间有着紧密的联系。
通过运用这些定理，我们可以更好地理解垂径定理的应用，并解决一些复杂的几何问题。
在学习垂径定理时，我们还需要注意一些容易出错的地方。
例如，我们在判断两条直线是否垂直时，不能只通过一个垂直线段的长度是否相等来判断，还需要考虑这个线段是否垂直于另一条直线。
第3章 3.3 垂径定理
垂足为 N，则 ON＝( A )
A．5
B．7
C．9
D．11
如图，AB 是⊙O 的弦，半径 OC⊥AB 于点 D ，且 AB＝8 cm，
OC＝5 cm，则 OD 的长是( A )
ห้องสมุดไป่ตู้
A. 3 cm
B． 2.5 cm
C． 2 cm
D． 1 cm
如图，CD 为⊙O 的直径，弦 AB⊥CD，垂足为 M.若 AB＝12，
OM∶MD＝5∶8，则⊙O 的周长为( B )
A．26π
B．13π
C．956π
D．39 5 10π
二、填空题
如图，⊙O 的直径 AB 垂直于弦 CD , 垂足为 E , 若∠COD
＝120°，OE＝3 厘米，则 CD＝ 66 3
厘米．
如图，AP＝4，BP＝6，OP＝5，则⊙O 的半径＝ 7 7 .
积为 6 ．
三、解答题 如图是某公园新建的圆形人工湖，为测量该湖的半径，小强和 ︵︵ 小丽沿湖边选取 A，B，C 三根木桩，使得AB＝BC，并测得 点 B 到 AC 的距离为 15 米，AC 的长为 60 米，请你帮他们求 出人工湖的半径．
解：如图，设点 O 为圆心， 连接半径 OA，OB，
设 OB 交 AC 于点 D．
即 AC＝BD．
(2)若大圆的半径 R＝10，小圆的半径 r＝8，且圆心 O 到直线 AB 的距离为 6，求 AC 的长.
解：由(1)可知，OE⊥AB，OE⊥CD， 如图，连接 OC，OA. ∵OE＝6，
∴CE＝ OC2－OE2＝ 82－62＝2 7， AE＝ OA2－OE2＝ 102－62＝8. ∴AC＝AE－CE＝8－2 7.
∵A︵B＝B︵C， ∴OB⊥AC，AD＝CD＝30 米．
垂径定理PPT演示课件
垂直于弦的直径平分这条弦,并且平分这条 弦所对的两条弧
如图 DC为直径 AB垂直于DC 则AE=EB 弧AC 等于弧BC，弧AD= 弧BD
•1
垂径定理证明
如图 ，在⊙O中，DC为直径， AB是弦，AB⊥DC，AB、CD 交于E，求证：AE=BE，弧AC=弧BC，弧AD= 弧BD
连OA、OB ∵OA、OB是半径 ∴OA=OB ∴△OAB是等腰三角形 ∵AB⊥DC ∴AE=BE，∠AOE=∠BOE
o
A
D
B
•6
已知如图：圆O中，0B=8, ∠B0C=450 ∠BCD=750 求DC=?
D
E
0
B
C
•7
小结
有关弦、半径、弦心距的问题常常利用它 们构造的直角三角形来研究
连半径、作弦心距是圆中的一种常见辅助 线添法。
•8
【例题】
如图，⊙O的直径AB和弦CD相交于E，若AE＝ 2cm，BE＝6cm，∠CEA＝300，求：
（等腰三角形三线合一） ∴弧AD=弧BD，∠AOC=∠BOC ∴弧AC=弧BC
•2
垂径定理及其推论
一条直线①过圆心；②垂直于一条弦；③ 平分这条弦；④平分弦所对的劣弧；⑤平 分弦所对的优弧。
这五个条件只须知道两个，即可得出另三 个注意Fra bibliotek平分弦时，直径除外
•3
判断
1.弦的垂直平分线一定经过圆心。 2.经过弦的中点的直径一定垂直于弦。 3.平分弦所对的一条弧的直径，平分这条弦
（1）CD的长； （2）C点到AB的距离与D点到AB的距离之比。
D
F
AG E O• H
B
C
•9
例1图
如图，半径为2的圆内有两条互相垂直的弦 AB和CD，它们的交点E到圆心O的距离等于1， 则 AB2+CD2＝（ ）
27.3(2)-垂径定理及其推论PPT课件
④
⌒⌒
AM= MB
⌒⌒
AN= NB
8
推论3:
如果一条直线是弦的垂直平分线， 那么这条直线经过圆心,并且平分这条 弦所对的弧。
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9
M
垂径定理推论4
O
A
③ AC=BC ④ A⌒N= N⌒B
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C B
N
①直线MN过圆心O
② MN⊥AB
10
推论4: 如果一条直线平分弦和弦所对的一
5
M
垂径定理推论2
O
C A
N
1.直线MN过圆心
4.
⌒⌒
AN= NB
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B
③②MAA⌒CNM=⊥=BM⌒ACBB
6
推论2 如果圆的直径平分弦所对的一条弧
那么这条直径垂直平分这条弦。
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7
M
垂径定理推论3
O
A
② MN⊥AB ③ AC=BC
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C B
N
①直线MN过圆心O
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填空：如图，在⊙O中
（1）若MN⊥AB，MN为直径；则
（ ），（ ），（ ）；
（2）若AC＝BC，MN为直径；AB不是直径，则
（ ），（ ），（ ）；
（3）若MN⊥AB，AC＝BC，则
（ ），（ ），（ ）；
（4）若弧AM＝弧BM，MN为直径，则
（ ），（ ），（ ）。
A
C
M
M D
C B
AB被点D平分.
N
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条弧，那么这条直线经过圆心，并且垂 直于这条弦。
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初三数学笔记精华-垂径定理
ET
A
B
c
D是直径 ABICD i AE EB
Ali BC
Ai
推论
直径时平行书垂直
D
AE 7 B C
10的为直径 ② ABID ⑦ EAEB
04 成二成 ⑤ 必成
銴 知 直- 粉 仍 非直径的弦 CD直径
- 直径
X
ˇ
- 直径
X
- 直径
X
V
斜 -
着平分
ㄨ
_
X
一
一
直A 13
A gE B
15 12
15
C 几下
D
烤 烤 平行弦所夹弧相等如何证明
A
B
已知 ABM
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D 求证 成二叨
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垂径定理及其推论课件
大学阶段
欧几里德几何学
垂线定理是欧几里德几何学的 基础之一，是一个完整的证明 体系的一部分。
垂线定理的应用举例
建筑工程
建筑师可以使用垂线定理准确地 确定一个建筑的高度，并在施工 期间使用以确保建筑的平衡和结 构稳定性。
结构工程
天文学
结构工程师可以使用垂线定理学中， 在三角视差上衡量星际距离。
垂径定理及其推论课件
在这里，您将学习垂径定理，这是数学的一个基本定理。
垂线定理的定义
垂线
从一个点到一条直线的线段， 且该线段与这条直线成直角。
垂足
垂线与直线相交的点称为垂 足。
垂线定理
引自两点的垂线汇合于同一 直线，即两点到直线的垂线 长度乘积相等。
垂线定理的初步应用
测量高度
通过测量杆与建筑物之间的倾斜 角度和距离，可以使用垂线定理 精确地测量建筑物的高度。
总结
垂径定理是一项常见而又重要的数学知识，无论您是初学者还是专业人士， 掌握垂线定理都是非常有用的。
判断直角
一个三角形是否是直角三角形可 以用垂线定理来判断。如果线段 的平方相加等于斜边平方，那么 这个三角形是直角三角形。
消防安全
垂线定理也可以用于消防安全。 消防员可以使用绳索若干次下落 以评估火场内的距离、阻力和重 量等要素。
垂线定理的推论
1 勾股定理
勾股定理是垂线定理最著名的推论之一。它得出了一个正直角三角形的边长之间的关系。
3
费马点
假设有一个圆，它可以将三角形内的所有角度看成锐角或钝角。垂线定理可以用 来查找与三角形顶点相连线相交的圆的圆心。所得的点被称为费马点。
垂线定理的证明
初中阶段
展示长度关系
证明可延伸为平行四边形的变 形，使用长度、面积和方向的 来解释定理。
初三数学垂径定理
OA OB
∵
AD
BC
，
∴Rt△ADO≌Rt△BCO， ∴OD=OC，
∵四边形 ABCD 是正方形，
∴AD=DC， 设 AD=acm，则 OD=OC= 1 DC= 1 AD= 1 acm，
222 在△AOD 中，由勾股定理得：OA=OB=OE= 5 acm，
2 ∵小正方形 EFCG 的面积为 16cm2，
1．如图，两正方形彼此相邻且内接于半圆，若小正方形的面积为 16cm2，则该半圆的半径
为（ ）
A． 4 5 cm
B．9 cm
C． 4 5 cm
【例题解析】
解：
D． 6 2 cm
连接 OA、OB、OE， ∵四边形 ABCD 是正方形， ∴AD=BC，∠ADO=∠BCO=90°， ∵在 Rt△ADO 和 Rt△BCO 中
∴EF=FC=4cm，
在△OFE 中，由勾股定理得：
5 2
a
2
=42+
1 2
a
8， 5 a=4 5 （cm）， 2
故选：C．
2．如图，AB 是⊙O 的弦，半径 OC⊥AB 于点 D，若⊙O 的半径为 5，AB=8，则 CD 的长是
另一条弧 推论四:在同圆或者等圆中,两条平行弦所夹的弧相等 (证明时的理论依据就是上面的五条定理) 但是在做不需要写证明过程的题目中,可以用下面的方法进行判断: 在 5 个条件中（知二推三）:
1.平分弦所对的一条弧 2.平分弦所对的另一条弧 3.平分弦 4.垂直于弦 5.经过圆心(或者说直径) 只要具备任意两个条件,就可以推出其他的三个结论 【例题】
4．已知在以点 O 为圆心的两个同心圆中，大圆的弦 AB 交小圆于点 C，D（如图）． （1）求证：AC=BD； （2）若大圆的半径 R=10，小圆的半径 r=8，且圆 O 到直线 AB 的距离为 6，求 AC 的长．
人教版初三数学上册垂径定理及其推论
垂径定理及其推论
【垂径定理】
垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧。
【注】
（1）定理中的直径过圆心即可，可以是直径、半径、过圆心的直线或线段；
（2）此定理是证明等线段、等角、垂直的主要依据，同时也为圆的有关计算提供了方法和依据。
【垂径定理的推论】
推论一:平分弦(不是直径)的直径垂直于这条弦,并且平分这条弦所对的两段弧；
推论二:弦的垂直平分线经过圆心,并且平分这条弦所对的弧；
推论三:平分弦所对的一条弧的直径垂直平分这条弦,并且平分这条弦所对的另一条弧；
推论四:在同圆或者等圆中,两条平行弦所夹的弧相等一条直线，在下列5条中只要具备其中任意两条作为条件,就可以推出其他三条结论：
1.平分弦所对的优弧
2.平分弦所对的劣弧
（前两条合起来就是：平分弦所对的两条弧）
3.平分弦 (不是直径)
4.垂直于弦
5.经过圆心。