初二数学三角形的三边关系专题训练卷一
初二数学三角形的三边关系专题训练卷一
1．三角形的周长小于13
，且各边长为互不相等的整数，则这样的三角形共有（）
A．2个B．3个C．4个D．5个
2．7条长度均为整数厘米的线段：a1，a2，a3，a4，a5，a6，a7，满足a1＜a2＜a3＜a4＜a5＜a6＜a7，且这7条线段中的任意3条都不能构成三角形．若a1=1厘米，a7=21厘米，则a6能取的值是（）
A．18厘米B．13厘米C．8厘米D．5厘米
3．为解决四个村庄用电问题，政府投资在已建电厂与这四个村庄之间架设输电线路．现已知这四个村庄及电厂之间的距离如图所示（距离单位：公里），则能把电力输送到这四个村庄的输电线路的最短总长度应该是（）A．19.5 B．20.5 C．21.5 D．25.5
4．已知三角形的两边a=3，b=7，第三边是c，且a＜b＜c，则c的取值范围是
（）
A．4＜c＜7 B．7＜c＜10 C．4＜c＜10 D．7＜c＜13
5．如图，用四个螺丝将四条不可弯曲的木条围成一个木框，不计螺丝大小，其
中相邻两螺丝的距离依序为2、3、4、6，且相邻两木条的夹角均可调整．若调
整木条的夹角时不破坏此木框，则任两螺丝的距离之最大值为（）
A．5 B．6 C．7 D．10
6．△ABC的边长均为整数，且最大边的边长为7，那么这样的三角形共有个．
7．如果三角形的两条边长分别为23cm和10cm，第三边与其中一边的长相等，那么第三边
的长为cm．
8．在△ABC中，已知两条边a=6，b=7，则第三条边c的取值范围是．
9．两根木棒的长分别为7cm和10cm，要选择第三根木棒，将它们钉成一个三角形框架，那
么第三根木棒长xcm的范围是．
10．“佳园工艺店”打算制作一批有两边长分别是7分米，3分米，第三边长为奇数（单位：
分米）的不同规格的三角形木框．
（1）要制作满足上述条件的三角形木框共有种．
（2）若每种规格的三角形木框只制作一个，制作这种木框的木条的售价为8元╱分米，问至少需要多少钱购买材料？（忽略接头）
11．若a，b，c是△ABC的三边的长，化简|a﹣b﹣c|+|b﹣c﹣a|+|c+a﹣b|．
12．在△ABC中，AB﹦9，BC﹦2，并且AC为奇数，那么△ABC的周长为多少？
13．如图，点P是△ABC内任意一点，试说明PB+PC＜AB+AC．
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八年级数学上册三角形三边关系练习
八年级数学上册三角形三边关系练习班级姓名一．选择题（共10小题）1．（2022舟山）长度分别为2，7，某的三条线段能组成一个三角形，某的值可以是（）A．42．（2022淮安）若一个三角形的两边长分别为5和8，则第三边长可能是（）A．14B．10C．33．（2022扬州）若一个三角形的两边长分别为2和4，则该三角形的周长可能是（）A．64．（2022金华）下列各组数中，不可能成为一个三角形三边长的是（）A．2，3，4B．5，7，7C．5，6，125．（2022柳北区校级模拟）三条线段a=5，b=3，c的值为整数，由a、b、c为边可组成三角形（）A．1个B．3个C．5个D．无数个6．（2022白银）已知a，b，c是△ABC的三条边长，化简|a+b﹣c|﹣|c﹣a﹣b|的结果为（）A．2a+2b﹣2cB．2a+2bC．2cD．07．（2022崇安区一模）如图，用四条线段首尾相接连成一个框架，其中AB=12，BC=14，CD=18，DA=24，则A、B、C、D任意两点之间的最长距离为（）D．6，8，10B．7C．11D．12D．2B．5C．6D．9A．24B．26C．32D．3628．（2022春薛城区期末）如图，为估计池塘岸边A、B两点的距离，小林在池塘的一侧选取一点O，测得OA=10米，OB=7米，则A、B间的距离不可能是（）A．4米B．9米C．15米D．18米9．（2022春秦淮区期末）已知一个三角形中两条边的长分别是a、b，且a＞b，那么这个三角形的周长L的取值范围是（）A．3b＜L＜3aB．2a＜L＜2（a+b）10．（2022春宜兴市期中）a，b，c为△ABC的三边，化简|a+b+c|﹣|a﹣b﹣c|﹣|a﹣b+c|﹣|a+b﹣c|，结果是（）A．0二．填空题（共8小题）11．（2022春弥勒市期末）已知三角形的两边长分别为3和6，那么第三边长某的取值范围是．12．（2022春宜兴市期末）已知三角形的三边长分别为3，8，某，若某的值为偶数，则满足条件的某的值有个．13．（2022春大丰市期中）若三角形的两边长为3和5，第三边长是偶数，则第三边长可以是．14．（2022春常熟市期末）已知一个三角形的两边长分别是2和5，第三边是奇数，则这个三角形的周长是．15．（2022春诸城市期末）已知三角形的三边长分别是3、某、9，则化简|某﹣5|+|某﹣B．2a+2b+2cC．4aD．2b﹣2cC．a+2b＜L＜2a+bD．3a﹣b＜L＜3a+b313|=．16．（2022秋南漳县期末）长为10，7，5，3的四根木条，选其中三根组成三角形，有种选法．17．（2022秋龙口市期中）在平坦的草地上有A、B、C三个小球，正好可作为三角形的三个顶点，若已知A球和B球相距3米，A球和C球相距1米，则B球和C球的距离某的取值范围为．18．（2022春江阴市校级月考）一个三角形3条边长分别为某cm、（某+1）cm、（某+2）cm，它的周长不超过39cm，则某的取值范围是．三．解答题（共8小题）19．（2022春盐都区月考）如图，在△BCD中，BC=4，BD=5，（1）若设CD的长为奇数，则CD的取值是；（2）若AE∥BD，∠A=55°，∠BDE=125°，求∠C的度数．20．（2022秋阳新县校级期中）已知三角形三边长分别为a、b、c，其中a、b满足（a﹣6）2+|b﹣8|=0，求这个三角形最长边c的取值范围．421．（2022秋麻城市月考）如图，点O是△ABC内的一点，证明：OA+OB+OC＞（AB+BC+CA）22．（2022春乐亭县期末）如图，在△BCD中，BC=4，BD=5，（1）求CD的取值范围；（2）若AE∥BD，∠A=55°，∠BDE=125°，求∠C的度数．23．（2022秋新城区校级期中）如果a、b、c是△ABC的三边，满足（b﹣3）2+|c﹣4|=0，a为奇数，求△ABC的周长．524．（2022秋邢台校级月考）已知△ABC的三边长分别为a，b，c．（1）若a，b，c满足（a﹣b）2+（b﹣c）2=0，试判断△ABC的形状；（2）若a=5，b=2，且c为整数，求△ABC的周长的最大值及最小值．25．（2022秋株洲县校级期末）“佳园工艺店”打算制作一批有两边长分别是7分米，3分米，第三边长为奇数（单位：分米）的不同规格的三角形木框．（1）要制作满足上述条件的三角形木框共有3种．（2）若每种规格的三角形木框只制作一个，制作这种木框的木条的售价为8元╱分米，问至少需要多少钱购买材料？（忽略接头）26．小兵在用长度为10cm，45cm和50cm的三根木条钉一个三角形，不小心将50cm的一根折断了，之后就怎么也钉不成一个三角形木架．（1）最长的木条至少折断了多少厘米？（2）如果最长的木条折断了25cm，你怎样通过截木条的方法钉成一个小三角形？。
《三角形的三边关系》同步练习题
4.1.2 三角形的三边关系基础训练1.一个等腰三角形的两边长分别为4,8,则它的周长为( )A.12B.16C.20D.16或202.△ABC的三边长a,b,c满足关系式(a-b)(b-c)(c-a)=0,则这个三角形一定是( )A.等腰三角形B.等边三角形C.等腰直角三角形D.无法确定3.已知△ABC的三条边长分别为3,4,6,在△ABC所在平面内画一条直线,将△ABC分割成两个三角形,使其中的一个是等腰三角形,则这样的直线最多可画( )A.6条B.7条C.8条D.9条4.三角形的三边长分别为a,b,c,它们满足(a-b)2+|b-c|=0,则该三角形是( )A.直角三角形B.等腰三角形C.等边三角形D.等腰直角三角形5.三角形按边可分为( )A.等腰三角形、直角三角形、锐角三角形B.直角三角形、不等边三角形C.等腰三角形、不等边三角形D.等腰三角形、等边三角形6.下列说法:①等边三角形是等腰三角形;②等腰三角形也可能是直角三角形;③三角形按边分类可分为等腰三角形、等边三角形和三边都不相等的三角形;④三角形按角分类应分为锐角三角形、直角三角形和钝角三角形.其中正确的有( )A.1个B.2个C.3个D.4个7.若一个三角形的两边长分别为3和7,则第三边长可能是( )A.6B.3C.2D.118.下列长度的三根小木棒能构成三角形的是( )A.2 cm,3 cm,5 cmB.7 cm,4 cm,2 cmC.3 cm,4 cm,8 cmD.3 cm,3 cm,4cm9.下列长度的三条线段能组成三角形的是( )A.5,6,10B.5,6,11C.3,4,8D.4a,4a,8a(a>0)10.长为9,6,5,4的四根木条,选其中三根组成三角形,选法有( )A.1种B.2种C.3种D.4种11.已知三角形的三边长分别为4,5,x,则x不可能是( )A.3B.5C.7D.912.已知三角形的三边长为连续整数,且周长为12 cm,则它的最短边长为( )A.2 cmB.3 cmC.4 cmD.5 cm13.在等腰三角形ABC中,AB=AC,其周长为20 cm,则AB边的取值范围是( )A.1 cm<AB<4 cmB.5 cm<AB<10 cmC.4 cm<AB<8 cmD.4 cm<AB<10 cm14.一个等腰三角形的两边长分别是3和7,则它的周长为( )A.17B.15C.13D.13或17提升训练15.已知△ABC的两边长分别为3和7,第三边的长是关于x的方程错误!未找到引用源。
华东师大版八年级数学上册《14.1.1直角三角形三边的关系》同步测试题带答案
华东师大版八年级数学上册《14.1.1直角三角形三边的关系》同步测试题带答案学校:___________班级：___________姓名：___________考号：___________【基础达标】1.已知一个直角三角形的两条直角边长分别为5和12,则第三条边长是（）A.13B.169C.√119D.13或√1192.在Rt△ABC中,∠C=90°,BC=5,AB=13,则△ABC的面积为.【能力巩固】3.如图,两个较大正方形的面积分别为225、289,则字母A所代表的正方形的面积为（）A.4B.8C.16D.644.如图,一根筷子长17 cm,斜放在半径为2.5 cm的圆形水杯中,露出水杯外面的部分AD的长为4 cm,则水杯的高AC= cm.5.在△ABC中,∠C=90°,AB=c,BC=a,AC=b.(1)a=7,b=24,求c.(2)a=4,c=7,求b.【素养拓展】6.如图,在△ABC中,∠C=90°,∠1=∠2,CD=1.5,BD=2.5,求AC的长.参考答案【基础达标】1.【答案】A2.【答案】30【能力巩固】3.【答案】D4.【答案】125.【答案】解:(1)∵∠C=90°,∴△ABC是直角三角形∴a2+b2=c2∴72+242=c2∴c2=49+576=625∴c=25.(2)∵∠C=90°,∴△ABC是直角三角形∴a2+b2=c2∴42+b2=72∴b2=72-42=49-16=33∴b=√33.【素养拓展】6.【答案】解:作DE⊥AB于点E(图略).∵∠1=∠2,∠C=∠DEA,AD=AD∴△ACD≌△AED∴DC=DE=1.5,AC=AE.在Rt△BED中,BE=√BD2-DE2=2.在Rt△ABC中,AC2=AB2-BC2=(AC+BE)2-42即AC2=(AC+2)2-16∴AC=3.。
直角三角形三边关系练习题(含答案)
直角三角形三边关系练习题(含答案)
问题一
已知直角三角形的两条直角边分别为3 cm和4 cm，请计算斜
边的长度。
解答一
根据勾股定理，斜边的长度可以通过以下公式计算：
$$斜边长度 = \sqrt{直角边1^2 + 直角边2^2}$$
代入已知数值，可得：
$$斜边长度 = \sqrt{3^2 + 4^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5$$
所以斜边的长度为5 cm。
问题二
已知直角三角形的斜边长为10 cm，其中一个直角边长为6 cm，请计算另一个直角边的长度。
解答二
根据勾股定理，直角边的长度可以通过以下公式计算：
$$直角边长度 = \sqrt{斜边^2 - 另一直角边^2}$$
代入已知数值，可得：
$$直角边长度 = \sqrt{10^2 - 6^2} = \sqrt{100 - 36} = \sqrt{64} = 8$$
所以另一个直角边的长度为8 cm。
问题三
已知直角三角形的一个直角边长为5 cm，另一个直角边长为12 cm，请计算斜边的长度。
解答三
根据勾股定理，斜边的长度可以通过以下公式计算：
$$斜边长度 = \sqrt{直角边1^2 + 直角边2^2}$$
代入已知数值，可得：
$$斜边长度 = \sqrt{5^2 + 12^2} = \sqrt{25 + 144} = \sqrt{169} = 13$$
所以斜边的长度为13 cm。
以上就是直角三角形三边关系的练习题及其答案。
希望对你有帮助！。
三角形三边关系练习题初二
三角形三边关系练习题初二一、单选题：1. 若一个三角形的三边长分别为3cm，4cm，5cm，则该三角形是：A. 锐角三角形B. 直角三角形C. 钝角三角形D. 等腰三角形2. 三角形的三边关系中，若两边之和小于第三边，则该三角形是：A. 锐角三角形B. 直角三角形C. 钝角三角形D. 不是三角形3. 若一个三角形的三边长分别为5cm，5cm，8cm，则该三角形是：A. 锐角三角形B. 直角三角形C. 钝角三角形D. 等腰三角形4. 三角形的三边关系中，若两边之和等于第三边，则该三角形是：A. 锐角三角形B. 直角三角形C. 钝角三角形D. 等边三角形5. 若一个三角形的三边长分别为6cm，6cm，6cm，则该三角形是：A. 锐角三角形B. 直角三角形C. 钝角三角形D. 等边三角形二、填空题：1. 若一个三角形的三边长分别为8cm，15cm，17cm，则该三角形是__________三角形。
2. 三角形的三边关系中，若两边之和大于第三边，则该三角形是__________三角形。
3. 若一个三角形的三边长分别为7cm，7cm，10cm，则该三角形是__________三角形。
4. 三角形的三边关系中，若两边之和小于第三边，则该三角形是__________三角形。
5. 若一个三角形的三边长分别为9cm，12cm，15cm，则该三角形是__________三角形。
三、解答题：1. 三角形的三边关系中，若两边之和等于第三边，该三角形的类型是什么？请举例说明。
2. 若一个三角形的两边长分别为5cm，12cm，且夹角为60度，求第三边的长度。
3. 判断以下三组数据能否构成一个三角形，并说明各组数据所构成的三角形的类型：a) 边长为3cm，4cm，7cm；b) 边长为5cm，10cm，15cm；c) 边长为6cm，6cm，6cm。
4. 若一个三角形的两边长分别为6cm，8cm，夹角为45度，求第三边的长度。
5. 已知一个三角形的三边长分别为5cm，7cm，9cm，求该三角形的类型及角度。
八年级三角形三边关系的试题
八年级三角形三边关系的试题1．下列说法中正确的是（）A．三角形的内角中至少有两个锐角B．三角形的内角中至少有两个钝角C．三角形的内角中至少有一个直角D．三角形的内角中至少有一个钝角选A2．图中三角形的个数是（）A．8个B．9个C．10个D．11个【考点】三角形．【分析】根据三角形的定义，找出图中所有的三角形即可．【解答】解：∵图中的三角形有：△AGD，△ADF，△AEF，△AEC，△ABC，△DGF，△DEF，△CEF，△CEB，∴共9个三角形．故选B．【点评】此题考查了三角形，注意要不重不漏地找到所有三角形，一般从一边开始，依次进行．3．已知△ABC中，AB=6，BC=4，那么边AC的长可能是下列哪个值（）A．11 B．5 C．2 D．1【考点】三角形三边关系．【分析】根据在三角形中任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边列出不等式即可．【解答】解：根据三角形的三边关系，6﹣4＜AC＜6+4，即2＜AC＜10，符合条件的只有5，故选：B．【点评】本题考查的是三角形的三边关系，掌握三角形形成的条件：任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边是解题的关键．4．若三角形的三边长分别为3，4，x，则x的值可能是（）A．1B．6C．7D．10【考点】三角形三边关系【分析】根据三角形两边之和大于第三边，三角形的两边差小于第三边，分别求出x的最小值、最大值，进而判断出x的值可能是哪个即可．【解答】解：∵4﹣3=1，4+3=7，∴1＜x＜7，∴x的值可能是6．故选：B．【点评】此题主要考查了三角形的三边的关系，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：（1）三角形三边关系定理：三角形两边之和大于第三边．（2）三角形的两边差小于第三边．5．在同一平面内，线段AB=7，BC=3，则AC长为（）A．AC=10B．AC=10或4C．4＜AC＜10D．4≤AC≤10【考点】三角形三边关系；两点间的距离．【分析】此题要分三点共线和不共线两种情况．三点共线时，根据线段的和、差进行计算；三点不共线时，根据三角形的三边关系“任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边”，进行计算．【解答】解：若点A，B，C三点共线，则AC=4或10；若三点不共线，则根据三角形的三边关系，应满足大于4而小于10．所以4≤AC≤10．故选：D．【点评】此题主要考查了线段的和与差以及三角形的三边关系，关键是要考虑全面，此题有两种情况，不要漏解．6．下列长度的三条线段能组成三角形的是（）A．5，6，10B．5，6，11C．3，4，8D．4a，4a，8a（a＞0）【考点】三角形三边关系．【分析】根据三角形的三边关系对各选项进行逐一分析即可．【解答】解：A、∵10﹣5＜6＜10+5，∴三条线段能构成三角形，故本选项正确；B、∵11﹣5=6，∴三条线段不能构成三角形，故本选项错误；C、∵3+4=7＜8，∴三条线段不能构成三角形，故本选项错误；D、∵4a+4a=8a，∴三条线段不能构成三角形，故本选项错误．故选A．【点评】本题考查的是三角形的三边关系，熟知三角形任意两边之和大于第三边，任意两边差小于第三边是解答此题的关键．7．已知△ABC的三边a，b，c的长度都是整数，且a≤b＜c，如果b=5，则这样的三角形共有（）A．8个B．9个C．10个D．11个【考点】三角形三边关系．【分析】由三角形的三边关系与a≤b＜c，即可得a+b＞c，继而可得b＜c＜a+b，又由c﹣b＜a≤b，三角形的三边a，b，c的长都是整数，即可得1＜a≤5，然后分别从a=2，3，4，5去分析求解即可求得答案．【解答】解：若三边能构成三角形则必有两小边之和大于第三边，即a+b＞c．∵b＜c，∴b＜c＜a+b，又∵c﹣b＜a≤b，三角形的三边a，b，c的长都是整数，∴1＜a≤5，∴a=2，3，4，5．当a=2时，5＜c＜7，此时，c=6；当a=3时，5＜c＜8，此时，c=6，7；当a=4时，5＜c＜9，此时，c=6，7，8；当a=5时，5＜c＜10，此时，c=6，7，8，9；∴一共有1+2+3+4=10个．故选：C．【点评】此题考查了三角形的三边关系．此题难度较大，解题的关键是根据三角形的三边关系与a，b，c的长都是整数，且a≤b＜c，b=5去分析求解，得到a=2，3，4，5．二．填空题（共7小题）8．三角形按边分类可分为：三边都不相等的三角形和等腰三角形两类．【考点】三角形．【分析】三角形按边分，可分为两类：不等边三角形和等腰三角形；进而解答即可．【解答】解：三角形按边分类可以分为不等边三角形和等腰三角形；故答案为：等腰．【点评】此题考查了三角形的分类．按边的相等关系分类：不等边三角形和等腰三角形（底和腰不等的等腰三角形、底和腰相等的等腰三角形即等边三角形）．9．平面上有四个点A、B、C、D，其中任意三个点都不在一条直线上，用它们作顶点可以组成三角形的个数是4个．【考点】三角形．【分析】根据三角形的定义（由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形）填空．【解答】解：∵平面上有四个点A、B、C、D，其中任意三个点都不在一条直线上，∴用它们作顶点可以组成三角形有：△ABC、△ABD、△ACD和△BCD，共4个．故填：4．【点评】本题考查了三角形的定义．注意，是不在同一直线上的三个点才可以连接成为三角形．10．已知三角形的三边的长分别是5、x、9，则x的取值范围是4＜x＜14．【考点】三角形三边关系．【分析】由三角形的两边的长分别为9和5，根据已知三角形两边，则第三边的长度应是大于两边的差而小于两边的和，即可求得答案．【解答】解：根据三角形的三边关系，得：9﹣5＜x＜9+5，即：4＜x＜14．故答案为：4＜x＜14．【点评】此题考查了三角形的三边关系．此题比较简单，注意掌握已知三角形两边，则第三边的长度应是大于两边的差而小于两边的和．11．一个三角形的两边长分别为2cm和9cm，若三角形的周长为奇数，则第三边长为8或10cm．【考点】三角形三边关系．【点评】考查了三角形的三边关系，关键是结合已知的两边和周长，分析出第三边应满足的条件．12．若一个三角形的两条边相等，一边长为4cm，另一边长为7cm，则这个三角形的周长为15cm或18cm．【考点】三角形三边关系．【分析】分情况考虑：当相等的两边是4cm时或当相等的两边是7cm时，然后求出三角形的周长．【解答】解：当相等的两边是4cm时，另一边长为7cm，则三角形的周长是4×2+7=15cm，当相等的两边是7cm时，则三角形的周长是4+7×2=18cm．故答案为：15cm或18cm．【点评】考查了三角形的三边关系，解题的关键是了解三角形的三边关系：两边之和大于第三边，两边之差小于第三边．2·1·c·n·j·y13．小明和小丽是同班同学，小明家距学校2千米，小丽家距学校5千米，设小明家距小丽家x千米，则x的值应满足3≤x≤7．【考点】三角形三边关系．【分析】小明家、小丽家和学校可能三点共线，也可能构成一个三角形，由此可列出不等式5﹣2≤x≤5+2，化简即可得出答案．【解答】解：依题意得：5﹣2≤x≤5+2，即3≤x≤7．故答案为：3≤x≤7；【点评】本题考查的是三角形三边关系定理的应用，解此类题目时要注意三个地点的位置关系．。
初二数学三边关系练习题
初二数学三边关系练习题三边关系是初中数学中的基础知识之一，对于学习几何学和解决有关角度和边的问题非常重要。
为了帮助同学们更好地掌握三边关系，下面给出了一些练习题供大家练习。
练习题一：已知△ABC中，AB = 5cm，AC = 8cm，BC = 7cm。
判断△ABC是否为等腰三角形、直角三角形或者等边三角形，并说明理由。
解析：首先，我们来判断是否为等腰三角形。
根据等腰三角形的性质，等腰三角形的两边长度相等。
由已知条件可知，AB = AC ≠ BC，所以△ABC不是等腰三角形。
其次，我们来判断是否为直角三角形。
根据勾股定理，直角三角形的斜边平方等于两直角边平方之和。
计算可得，(AC)²= (AB)²+ (BC)²，即 8² = 5² + 7²，8² = 25 + 49，64 = 64，满足勾股定理，所以△ABC是直角三角形。
最后，我们来判断是否为等边三角形。
根据等边三角形的性质，等边三角形的三边长度都相等。
由已知条件可知，AB ≠ AC ≠ BC，所以△ABC也不是等边三角形。
综上所述，△ABC是直角三角形。
练习题二：已知△DEF中，DE = 5cm，EF = 6cm，DF = 9cm。
判断△DEF是否为等腰三角形、直角三角形或者等边三角形，并说明理由。
解析：首先，我们来判断是否为等腰三角形。
根据等腰三角形的性质，等腰三角形的两边长度相等。
由已知条件可知，DE ≠ EF ≠ DF，所以△DEF不是等腰三角形。
其次，我们来判断是否为直角三角形。
根据勾股定理，直角三角形的斜边平方等于两直角边平方之和。
计算可得，(DF)² = (DE)² + (EF)²，即 9² = 5² + 6²，9² = 25 + 36，81 = 61，不满足勾股定理，所以△DEF不是直角三角形。
人教版八年级数学上册《三角形边或角关系》专项练习题-附含答案
人教版八年级数学上册《三角形边或角关系》专项练习题-附含答案几何探究类问题一直属于考试压轴题范围 在三角形这一章 压轴题主要考查是证明角的数量关系 或者三角形的三边和差关系等 接来下我们针对这两个版块做出详细分析与梳理。
类型一、燕尾角模型例1．在社会实践手工课上 小茗同学设计了一个形状如图所示的零件 如果52,25A B ︒︒∠=∠= 30,35,72C D E ︒︒︒∠=∠=∠= 那么F ∠的度数是（ ）．A ．72︒B ．70︒C ．65︒D ．60︒【答案】A 【详解】延长BE 交CF 的延长线于O 连接AO 如图∵180,OAB B AOB ∠+∠+∠=︒ ∵180,AOB B OAB ∠=︒-∠-∠同理得180,AOC OAC C ∠=︒-∠-∠∵360,AOB AOC BOC ∠+∠+∠=︒∵360BOC AOB AOC ∠=︒-∠-∠ 360(180)(180)B OAB OAC C =︒-︒-∠-∠-︒-∠-∠107,B C BAC =∠+∠+∠=︒∵72,BED ∠=︒∵180108,DEO BED ∠=︒-∠=︒∵360DFO D DEO EOF ∠=︒-∠-∠-∠ 36035108107110,=︒-︒-︒-︒=︒∵180********DFC DFO ∠=︒-∠=︒-︒=︒ 故选：A ．【变式训练1】如图 若115EOC ∠=︒ 则A B C D E F ∠+∠+∠+∠+∠+∠=____________．【答案】230°【详解】解：如图∵∵EOC =∵E +∵2=115° ∵2=∵D +∵C ∵∵E +∵D +∵C =115°∵∵EOC =∵1+∵F =115° ∵1=∵A +∵B ∵∵A +∵B +∵F =115°∵∵A +∵B +∵C +∵D +∵E +∵F =230° 故答案为：230°．【变式训练2】如右图 ∵A +∵B +∵C +∵D +∵E +∵F +∵G +∵H ＝__．【答案】360°【详解】解：由图形可知：∵BNP ＝∵A ＋∵B ∵DPQ ＝∵C ＋∵D ∵FQM ＝∵E ＋∵F ∵HMN ＝∵G ＋∵H ∵∵BNP ＋∵DPQ ＋∵FQM ＋∵HMN ＝360°∵∵A ＋∵B ＋∵C ＋∵D ＋∵E ＋∵F ＋∵G ＋∵H ＝∵BNP ＋∵DPQ ＋∵FQM ＋∵HMN ＝360°．故答案为：360°．【变式训练3】如图 求∵A +∵B +∵C +∵D +∵E +∵F +∵G +∵H +∵I ＝__．【答案】900°【详解】解：连EF GI 如图∵6边形ABCDEFK 的内角和＝（6－2）×180°＝720°∵∵A ＋∵B ＋∵C ＋∵D ＋∵E ＋∵F ＝720°－（∵1＋∵2）即∵A ＋∵B ＋∵C ＋∵D ＋∵E ＋∵F ＋（∵1＋∵2）＝720°∵∵1＋∵2＝∵3＋∵4 ∵5＋∵6＋∵H ＝180°∵∵A ＋∵B ＋∵C ＋∵D ＋∵E ＋∵F ∵H ＋（∵3＋∵4）＝900°∵∵A ＋∵B ＋∵C ＋∵D ＋∵E ＋∵F （∵3＋∵4）＋∵5＋∵6＋∵H ＝720°＋180°∵∵A ＋∵B ＋∵C ＋∵D ＋∵E ＋∵F ＋∵G ＋∵H ＋∵I ＝900°故答案为：900°．【变式训练4】模型规律：如图1 延长CO 交AB 于点D 则1BOC B A C B ∠=∠+∠=∠+∠+∠．因为凹四边形ABOC 形似箭头 其四角具有“BOC A B C ∠=∠+∠+∠”这个规律 所以我们把这个模型叫做“箭头四角形”．模型应用（1）直接应用：①如图2 60,20,30A B C ∠=︒∠=︒∠=︒ 则BOC ∠=__________︒；②如图3 A B C D E F ∠+∠+∠+∠+∠+∠=__________︒；（2）拓展应用：①如图4 ABO ∠、ACO ∠的2等分线（即角平分线）1BO 、1CO 交于点1O 已知120BOC ∠=︒ 50BAC ∠=︒ 则1BO C ∠=__________︒；②如图5 BO 、CO 分别为ABO ∠、ACO ∠的10等分线1,2,3,,(,)89i =⋯．它们的交点从上到下依次为1O 、2O 、3O 、…、9O ．已知120BOC ∠=︒ 50BAC ∠=︒ 则7BO C ∠=__________︒；③如图6 ABO ∠、BAC ∠的角平分线BD 、AD 交于点D 已知120,44BOC C ∠=︒∠=︒ 则ADB =∠__________︒；④如图7 BAC ∠、BOC ∠的角平分线AD 、OD 交于点D 则B 、C ∠、D ∠之同的数量关系为__________．【答案】（1）①110；②260；（2）①85；②110；③142；④∵B -∵C +2∵D =0【详解】解：（1）①∵BOC =∵A +∵B +∵C =60°+20°+30°=110°；②∵A +∵B +∵C +∵D +∵E +∵F =∵BOC +∵DOE =2×130°=260°；（2）①∵BO 1C =∵BOC -∵OBO 1-∵OCO 1=∵BOC -12（∵ABO +∵ACO ）=∵BOC -12（∵BOC -∵A ）=∵BOC -12（120°-50°）=120°-35°=85°；②∵BO 7C =∵BOC -17（∵BOC -∵A ）=120°-17（120°-50°）=120°-10°=110°； ③∵ADB =180°-（∵ABD +∵BAD ）=180°-12（∵BOC -∵C ）=180°-12（120°-44°）=142°；④∵BOD =12∵BOC =∵B +∵D +12∵BAC∵BOC =∵B +∵C +∵BAC联立得：∵B -∵C +2∵D =0．类型二、折叠模型例1.如图 在ABC 中 46C ∠=︒ 将ABC 沿直线l 折叠 点C 落在点D 的位置 则12∠-∠的度数是（ ）．A ．23︒B ．92︒C ．46︒D ．无法确定【答案】B【详解】解：由折叠的性质得：46D C ∠=∠=︒根据外角性质得：13C ∠=∠+∠ 32D ∠=∠+∠则1222292C D C ∠=∠+∠+∠=∠+∠=∠+︒ 则1292∠-∠=︒．故选：B ．【变式训练1】如图 将∵ABC 纸片沿DE 折叠 使点A 落在点A '处 且A 'B 平分∵ABC A 'C 平分∵ACB若∵BA 'C ＝120° 则∵1+∵2的度数为（ ）A ．90°B ．100°C ．110°D ．120°【答案】D【详解】解：如图 连接AA ' ∵A 'B 平分∵ABC A 'C 平分∵ACB∵∵A'BC=12∵ABC∵A'CB=12∵ACB∵∵BA'C=120° ∵∵A'BC+∵A'CB=180°-120°=60°∵∵ABC+∵ACB=120° ∵∵BAC=180°-120°=60°∵沿DE折叠∵∵DAA'=∵DA'A∵EAA'=∵EA'A∵∵1=∵DAA'+∵DA'A=2∵DAA' ∵2=∵EAA'+∵EA'A=2∵EAA'∵∵1+∵2=2∵DAA'+2∵EAA'=2∵BAC=2×60°=120°故选：D．【变式训练2】如图把∵ABC沿EF对折叠合后的图形如图所示．若∵A＝55° ∵1＝95° 则∵2的度数为（）．A．14︒B．15︒C．28︒D．30【答案】B【详解】解：∵∵A＝55°∵∵AEF＋∵AFE＝180°－55°＝125°∵∵FEB＋∵EFC＝360°－125°＝235°由折叠可得：∵B′EF＋∵EFC′＝∵FEB＋∵EFC＝235° ∵∵1＋∵2＝235°－125°＝110°∵∵1＝95°∵∵2＝110°－95°＝15°故选：B ．【变式训练3】如图 将∵ABC 沿着DE 翻折 使B 点与B'点重合 若∵1+∵2=80° 则∵B 的度数为（ ）A ．20°B ．30°C ．40°D ．50°【答案】C【详解】由折叠的性质可知','BED B ED BDE B DE ∠=∠∠=∠∵1'180,2'180BED B ED BDE B DE ∠+∠+∠=︒∠+∠+∠=︒ ∵11(36012)(36080)14022BED BDE ∠+∠=︒-∠-∠=⨯︒-︒=︒∵180()18014040B BED BDE ∠=︒-∠+∠=︒-︒=︒故选C【变式训练4】如图 将矩形纸片ABCD 沿EF 折叠 点C 落在边AB 上的点H 处点D 落在点G 处若111GEF ∠=︒ 则AHG ∠的度数为（ ）．A ．42°B ．69°C ．44°D ．32°【答案】A【详解】由图形翻折的性质可知 111GEF DEF ∠=∠=︒180111AEF ∴∠=︒-︒=69︒1116942AEG GEF AEF ∠=∠-∠=︒-︒=︒90A G ∠=∠=︒ 利用“8”字模型42AHG AEG ∴∠=∠=︒故选：A ．类型三、“8”字模型例1.如图 BP 平分ABC ∠ 交CD 于点F DP 平分ADC ∠交AB 于点E AB 与CD 相交于点G 42A ∠=︒．（1）若60ADC ∠=︒ 求AEP ∠的度数；（2）若38C ∠=︒ 求P ∠的度数．【答案】（1）72︒；（2）40︒．【详解】解：（1）∵DP 平分∵ADC ∵∵ADP=∵PDF=12ADC ∠∵60ADC ∠=︒∵30ADP ∠=︒∵304272AEP ADP A ∠=∠+∠=︒+︒=︒；（2）∵BP 平分∵ABC DP 平分∵ADC∵∵ADP=∵PDF ∵CBP=∵PBA∵∵A+∵ADP=∵P+∵ABP∵C+∵CBP=∵P+∵PDF∵∵A+∵C=2∵P∵∵A=42° ∵C=38° ∵∵P=12（38°+42°）=40°．【变式训练1】如图 求∵A +∵B +∵C +∵D +∵E +∵F +∵G +∵H +∵K 的度数．【答案】540°【详解】解：如图所示：由三角形的外角的性质可知：∵A ＋∵B ＝∵IJL ∵C ＋∵D ＝∵MLJ ∵H ＋∵K ＝∵GIJ ∵E ＋∵F ＝∵GML ∵∵A ＋∵B ＋∵C ＋∵D ＋∵E ＋∵F ＋∵G ＋∵H ＋∵K ＝∵IJL ＋∵MLJ ＋∵GML ＋∵G ＋∵GIJ ＝（5－2）×180°＝3×180°＝540°．【变式训练2】（1）已知：如图①的图形我们把它称为“8字形” 试说明：A B C D ∠+∠=∠+∠．（2）如图② AP CP 分别平分BAD ∠ BCD ∠ 若36ABC ∠=︒ 16ADC ∠=︒ 求P ∠的度数．（3）如图（3） 直线AP 平分BAD ∠ CP 平分BCD ∠的外角BCE ∠ 猜想P ∠与B 、D ∠的数量关系是__；（4）如图（4） 直线AP 平分BAD ∠的外角FAD ∠ CP 平分BCD ∠的外角BCE ∠ 猜想P ∠与B 、D ∠的数量关系是________．【答案】（1）见解析；（2）26°；（3）()1902P B D ∠=︒+∠+∠；（4）()11802P B D ∠=︒-∠+∠ 【详解】解：（1）A B AOB ∠+∠+∠=180° C D COD ∠+∠+∠=180° A B AOB C D COD ∴∠+∠+∠=∠+∠+∠．AOB COD ∠=∠ A B C D ∴∠+∠=∠+∠；（2）AP CP 分别平分BAD ∠ BCD ∠ 设BAP PAD x ∠=∠= BCP PCD y ∠=∠=则有x ABC y P x P y ADC +∠=+∠⎧⎨+∠=+∠⎩ABC P P ADC ∴∠-∠=∠-∠ ()1122P ABC ADC ∴∠=∠+∠=（36°+16°）=26°（3）直线AP 平分BAD ∠ CP 平分BCD ∠的外角BCE ∠1=2PAB PAD BAD ∴∠=∠∠ 1=2PCB PCE BCE ∠=∠∠ ∵2PAB B ∠+∠=180°-2PCB D ∠+∠ ∵180°()2PAB PCB D B -∠+∠+∠=∠∵∵P +∵P AD =∵PCD +∵D ∵BAD +∵B =∵BCD +∵D ∵=P PAD BAD B PCD BCD ∠+---∠∠∠∠∠ ,P PAB B PCB ∴∠-∠-∠=∠∵P B PAB PCB ∠-=∠+∠∠∵180°()2P B D B -∠-∠+∠=∠即P ∠=90°()12B D +∠+∠．（4）连接PB PD直线AP 平分BAD ∠的外角FAD ∠ CP 平分BCD ∠的外角BCE ∠FAP PAO ∴∠=∠ PCE PCB ∠=∠∵APB PBA PAB +∠+∠=∠180° PCB PBC BPC +∠+∠=∠180°∵APC ABC PCB PAB ∠+∠+∠+=∠360°同理得到：APC ADC PCD PAD ∠+∠+∠+=∠360°∵2APC ABC ADC PCB PAB PCD PAD ∠+∠+∠+∠++∠+=∠∠720°∵2APC ABC ADC PCE PAB PCD PAF ∠+∠+∠+∠++∠+=∠∠720°∵=PCE PCD ∠+∠180° =PAB PAF +∠∠180°∵2APC ABC ADC ∠+∠+∠=360° APC ∴∠=180°-()12ABC ADC ∠+∠。
三角形的三边关系练习题初二
三角形的三边关系练习题初二一、单选题：从A、B、C、D中选择一个正确答案填空。
1. 已知直角三角形的斜边边长为6，那么它的两边边长分别为____和____。
A. 3，4B. 4，5C. 5，7D. 2，32. 三角形ABC中，已知边AB的边长为8，角C的度数为90°，则边BC的边长为____。
A. 4B. 16C. 12D. 不确定3. 已知等边三角形的一条边的边长为5，则它的周长为____。
A. 5B. 10C. 15D. 254. 如果一个三角形的三边长度为3、4、5，则它是一个____三角形。
A. 等边B. 正三角形C. 直角D. 锐角5. 对于任意三角形ABC，若AC＝BC，则角ABC的度数为____。
A. 30°B. 45°C. 60°D. 90°二、判断题：对于下列各题，判断正误，正确的在题前括号中打“√”，错误的打“×”。
( √ / × ) 6. 若一个三角形的两边边长分别为3和4，那么它的第三边会大于7。
( × / √ ) 7. 直角三角形的两直角边边长之和等于斜边边长。
( √ / × ) 8. 若三角形的两边边长分别为5和7，则它的第三边边长一定小于12。
( √ / × ) 9. 已知等腰三角形的两底边边长为5，那么它的顶角度数为60°。
( √ / × ) 10. 三角形的两边之和大于第三边。
三、解答题：11. 若三角形的三边边长分别为a、b、c，且满足a+b>c，a+c>b，b+c>a，那么这个三角形一定为____。
解答：不确定。
12. 若一个三角形的两边边长分别为3和5，且两边夹角的度数为60°，那么第三边的边长是多少？解答：根据余弦定理，可得第三边的边长c为：c² = a² + b² - 2ab*cosCc² = 3² + 5² - 2*3*5*cos60°c² = 9 + 25 - 30*0.5c² = 4c = √4c = 213. 若一个三角形的三边边长分别为7、8、9，那么它的周长为多少？解答：周长P等于三边边长之和，即：P = 7 + 8 + 9P = 2414. 若一个三角形的两边边长分别为6和9，且夹角的度数为45°，那么第三边的边长是多少？解答：根据正弦定理，可得第三边的边长c为：c/sinC = a/sinA = b/sinBc/sin45° = 6/sinA = 9/sinBc = sin45° * 6c ≈ 6×0.7071c ≈ 4.2415. 若一个三角形的两边边长分别为5和10，且夹角的度数为90°，那么第三边的边长是多少？解答：由勾股定理，可得第三边的边长c为：c² = a² + b²c² = 5² + 10²c² = 25 + 100c² = 125c = √125c ≈ 11.18四、应用题：16. AB是一个直角三角形的斜边，边长为10，BC是这个三角形的一条直角边，边长为6。
人教版八年级数学上册《三角形的三边、高线、中线及角平分线》专项练习题-附含答案
人教版八年级数学上册《三角形的三边、高线、中线及角平分线》专项练习题-附含答案考点一三角形的稳定性考点二三角形的三边关系考点三三角形的高线考点四三角形的中线考点五三角形的角平分线考点一三角形的稳定性例题：（2021·广西·南宁十四中七年级期末）下列图形中没有运用三角形稳定性的是（）A．B．C．D．【答案】B【解析】【分析】利用三角形的稳定性解答即可．【详解】解：对于A、C、D选项都含有三角形故利用了三角形的稳定性；而B选项中用到了四边形的不稳定性.故选B．【点睛】本题主要考查了三角形的稳定性需理解稳定性在实际生活中的应用；明确能体现出三角形的稳定性则说明物体中必然存在三角形是解题关键．【变式训练】1．（2022·吉林吉林·二模）如图人字梯中间设计一“拉杆” 在使用梯子时固定拉杆会增加安全性．这样做蕴含的数学道理是（）A．三角形具有稳定性B．两点之间线段最短C．经过两点有且只有一条直线D．垂线段最短【答案】A【解析】【分析】人字梯中间设计一“拉杆”后变成一个三角形稳定性提高．【详解】三角形的稳定性如果三角形的三条边固定那么三角形的形状和大小就完全确定了三角形的这个特征叫做三角形的稳定性.故选A【点睛】本题考查三角形的稳定性理解这一点是本题的关键．2．（2022·广东·佛山市惠景中学七年级期中）如图所示的自行车架设计成三角形这样做的依据是三角形具有___．【答案】稳定性【解析】【分析】根据是三角形的稳定性即可求解．【详解】解：自行车的主框架采用了三角形结构这样设计的依据是三角形具有稳定性故答案为：稳定性．【点睛】本题考查的是三角形的性质掌握三角形具有稳定性是解题的关键．考点二三角形的三边关系例题：（2022·黑龙江·哈尔滨市风华中学校七年级期中）下列各组长度的线段为边能构成三角形的是（）．A．123B．345C．4511D．633【答案】B【解析】【分析】比较三边中两较小边之和与较大边的大小即可得到解答．【详解】解：A、1+2=3不符合题意；B、3+4>5符合题意；C、4+5<11不符合题意；D、3+3=6不符合题意；故选B．【点睛】本题考查构成三角形的条件熟练掌握三角形的三边关系是解题关键．【变式训练】1．（2022·黑龙江·哈尔滨市第六十九中学校七年级期中）下列各组长度的三条线段能够组成三角形的是（）A．348B．5611C．5610D．1073【答案】C【解析】【分析】根据三角形三边关系可直接进行排除选项．解：A、3+4＜8不符合三角形三边关系故不能构成三角形；B、5+6=11不符合三角形三边关系故不能构成三角形；C、5+6＞10符合三角形三边关系故能构成三角形；D、3+7=10不符合三角形三边关系故不能构成三角形；故选C．【点睛】本题主要考查三角形三边关系熟练掌握三角形三边关系是解题的关键．2．（2022·海南·海口市第十四中学七年级阶段练习）在△ABC中三条边长分别为3和6第三边长为奇数那么第三边的长是()A．5或7B．7或9C．3或5D．9【答案】A【解析】【分析】先求出第三边长的取值范围再根据条件具体确定符合条件的值即可．【详解】解：因为三条边长分别为3和6所以6-3＜第三边＜6+3所以3＜第三边＜9因为第三边长为奇数∴第三边的长为5或7故选：A．【点睛】本题考查了三角形的三边关系掌握三角形任意两边之和大于第三边任意两边之差小于第三边是解题的关键．3．（2022·江苏·南师附中新城初中七年级期中）已知三角形三边长分别为3x14若x为正整数则这样的三角形个数为（）A．4B．5C．6D．7【解析】【分析】直接根据三角形的三边关系求出x的取值范围进而可得出结论．【详解】解：三角形三边长分别为3x14x<<．x143143∴-<<+即1117x为正整数12x=13141516即这样的三角形有5个．故选：B．【点睛】本题考查的是三角形的三边关系熟知三角形两边之和大于第三边两边之差小于第三边是解答此题的关键．考点三三角形的高线例题：（2022·重庆市育才中学七年级阶段练习）下列各组图形中BD是ABC的高的图形是（）A．B．C．D．【答案】B【解析】【分析】三角形的高即从三角形的顶点向对边引垂线顶点和垂足间的线段．根据概念即可得到答案．【详解】解：根据三角形高的定义可知只有选项B中的线段BD是∴ABC的高故选：B．【点睛】考查了三角形的高的概念掌握高的作法是解题的关键．【变式训练】1．（2022·浙江杭州·中考真题）如图 CD ∴AB 于点D 已知∴ABC 是钝角 则（ ）A ．线段CD 是ABC 的AC 边上的高线B ．线段CD 是ABC 的AB 边上的高线C ．线段AD 是ABC 的BC 边上的高线 D ．线段AD 是ABC 的AC 边上的高线【答案】B【解析】【分析】根据高线的定义注意判断即可．【详解】∴ 线段CD 是ABC 的AB 边上的高线∴A 错误 不符合题意；∴ 线段CD 是ABC 的AB 边上的高线∴B 正确 符合题意；∴ 线段AD 是ACD 的CD 边上的高线∴C 错误 不符合题意；∴线段AD 是ACD 的CD 边上的高线∴D 错误 不符合题意；故选B ．【点睛】本题考查了三角形高线的理解 熟练掌握三角形高线的相关知识是解题的关键．2．（2022·湖南怀化·七年级期末）如图 在直角三角形ABC 中 90ACB ∠=︒ AC ＝3BC ＝4 AB ＝5则点C 到AB 的距离为______．【答案】125【解析】【分析】根据面积相等即可求出点C 到AB 的距离．【详解】解：∴在直角三角形ABC 中 90ACB ∠=︒ ∴1122AC BC AB CD ⨯=⨯ ∴AC ＝3 BC ＝4 AB ＝5 ∴1134522CD ⨯⨯=⨯⨯ ∴CD =125故答案为：125． 【点睛】本题考查求直角三角形斜边上的高 用面积法列出关系式是解题关键．3．（2022·重庆·七年级期中）如图 点A 、点B 是直线l 上两点 10AB = 点M 在直线l 外 6MB = 8MA = 90AMB ∠=︒ 若点P 为直线l 上一动点 连接MP 则线段MP 的最小值是______．【答案】4.8【解析】【分析】根据垂线段最短可知：当MP AB ⊥时 MP 有最小值 再利用三角形的面积可列式计算求解MP 的最小值．【详解】解：当MP AB ⊥时 MP 有最小值10AB = 6MB = 8MA = 90AMB ∠=︒AB MP AM BM ∴⋅=⋅即1068MP =⨯解得 4.8MP =．故答案为：4.8．【点睛】本题主要考查垂线段最短 三角形的面积 找到MP 最小时的P 点位置是解题的关键．考点四 三角形的中线例题：（2021·广西·靖西市教学研究室八年级期中）如图 已知BD 是∴ABC 的中线 AB ＝5 BC ＝3 且∴ABD 的周长为12 则∴BCD 的周长是_____．【答案】10【解析】【分析】先根据三角形的中线、线段中点的定义可得AD CD = 再根据三角形的周长公式即可求出结果．【详解】 解：BD 是ABC 的中线 即点D 是线段AC 的中点AD CD ∴=5AB = ABD △的周长为1212AB BD AD ∴++= 即512BD AD ++=解得：7BD AD +=7BD CD ∴+=则BCD △的周长是3710BC BD CD ++=+=．故答案为：10．【点睛】本题主要考查了三角形的中线、线段中点的定义等知识点 掌握线段中点的定义是解题关键．【变式训练】1．（2022·陕西·西安市曲江第一中学七年级期中）在ABC 中 BC 边上的中线AD 将ABC 分成的两个新三角形的周长差为5cm AB 与AC 的和为11cm 则AC 的长为________．【答案】3cm 或8cm【解析】【分析】根据三角形的中线的定义可得BD CD = 然后求出ABD △与ADC 的周长差是AB 与AC 的差或AC 与AB 的差 然后代入数据计算即可得解．【详解】如图1 图2∴AD 是BC 边上的中线∴BD CD =∴中线AD 将ABC 分成的两个新三角形的周长差为5cm∴()()5AB BD AD AC CD AD ++-++=或()()5AC CD AD AB BD AD ++-++=∴5AB AC -=或者5AC AB -=∴AB 与AC 的和为11cm∴11AB AC +=∴83AB AC =⎧⎨=⎩或38AB AC =⎧⎨=⎩故答案为：3cm 或8cm ．【点睛】本题考查了三角形的中线熟记概念并求出两个三角形的周长的差等于两边长的差是解题的关键．2．（2022·江苏·泰州市第二中学附属初中七年级阶段练习）如图D E分别是∴ABC边AB BC上的点AD=2BD BE=CE设∴ADF的面积为S1∴FCE的面积为S2若S△ABC=16则S1－S2的值为_________．【答案】8 3【解析】【分析】S△ADF−S△CEF＝S△ABE−S△BCD所以求出三角形ABE的面积和三角形BCD的面积即可因为AD＝2BD BE＝CE且S△ABC＝16就可以求出三角形ABE的面积和三角形BCD的面积.【详解】解：∴BE＝CE∴BE＝12BC∴S△ABC＝16∴S△ABE＝12S△ABC＝8．∴AD＝2BD S△ABC＝16∴S△BCD＝13S△ABC＝163∴S△ABE−S△BCD＝（S1＋S四边形BEFD）−（S2＋S四边形BEFD）＝S1−S2＝8 3故答案为83．【点睛】本题考查三角形的面积关键知道当高相等时面积等于底边的比据此可求出三角形的面积然后求出差．3．（2022·江苏·苏州市相城实验中学七年级期中）如图AD 是∴ABC 的中线BE 是∴ABD 的中线EF ⊥BC 于点F．若24ABCS=BD =4则EF 长为___________．【答案】3【解析】【分析】因为S △ABD =12S △ABC S △BDE =12S △ABD ；所以S △BDE =14S △ABC 再根据三角形的面积公式求得即可． 【详解】解：∴AD 是∴ABC 的中线 S △ABC =24∴S △ABD =12S △ABC =12同理 BE 是∴ABD 的中线 612BDE ABD SS ==∴S △BDE =12BD •EF∴12BD •EF =6 即1462EF ⨯⨯= ∴EF =3．故答案为：3．【点睛】此题考查了三角形的面积 三角形的中线特点 理解三角形高的定义 根据三角形的面积公式求解 是解题的关键．考点五 三角形的角平分线例题：（2022·全国·八年级）如图 在ABC 中 90CAB ∠=︒ AD 是高 CF 是中线 BE 是角平分线 BE 交AD 于G 交CF 于H 下列说法正确的是（ ）①AEG AGE ∠=∠；②BH CH =；③2EAG EBC ∠=∠；④ACF BCF S S =A．①③B．①②③C．①③④D．②③④【答案】C【解析】【分析】①根据∴CAB=90° AD是高可得∴AEG=90°−∴ABE∴DGB=90°−∴DBG又因为BE是角平分线可得∴ABE=∴DBE故能得到∴AEG=∴DGB再根据对顶角相等即可求证该说法正确；②因为CF是中线BE是角平分线得不到∴HCB=∴HBC故该说法错误；③∴EAG+∴DAB=90° ∴DBA+∴DAB=90° 可得∴EAG=∴DBA因为∴DBA=2∴EBC故能得到该说法正确；④根据中线平分面积可得该说法正确．【详解】解：①∴∴CAB=90° AD是高∴∴AEG=90°−∴ABE∴DGB=90°−∴DBG∴BE是角平分线∴∴ABE=∴DBE∴∴AEG=∴DGB∴∴DGB=∴AGE∴∴AEG=∴AGE故该说法正确；②因为CF是中线BE是角平分线得不到∴HCB=∴HBC故该说法错误；③∴∴EAG+∴DAB=90° ∴DBA+∴DAB=90°∴∴EAG=∴DBA∴∴DBA=2∴EBC∴∴EAG=2∴EBC故该说法正确；④根据中线平分面积可得S△ACF=S△BCF故该说法正确．故选：C．【点睛】本题考查了三角形的高中线角平分线的性质解题的关键是熟练掌握各线的特点和性质．【变式训练】1．（2022·全国·八年级）如图在∴ABC中∴C＝90° D E是AC上两点且AE＝DE BD平分∴EBC那么下列说法中不正确的是（）A．BE是∴ABD的中线B．BD是∴BCE的角平分线C．∴1＝∴2＝∴3D．S△AEB＝S△EDB【答案】C【解析】【分析】根据三角形中线、角平分线的定义逐项判断即可求解．【详解】解：A、∴AE＝DE∴BE是∴ABD的中线故本选项不符合题意；B、∴BD平分∴EBC∴BD是∴BCE的角平分线故本选项不符合题意；C、∴BD平分∴EBC∴∴2＝∴3但不能推出∴2、∴3和∴1相等故本选项符合题意；D、∴S△AEB＝12×AE×BC S△EDB＝12×DE×BC AE＝DE∴S△AEB＝S△EDB故本选项不符合题意；故选：C【点睛】本题主要考查了三角形中线、角平分线的定义熟练掌握三角形中连接一个顶点和它的对边的中点的线段叫做三角形的中线；三角形的一个角的平分线与这个角的对边相交连接这个角的顶点和交点的线段叫三角形的角平分线是解题的关键．2．（2022·全国·八年级）如图AD BE CF依次是ABC的高、中线和角平分线下列表达式中错误的是（ ）A ．AE ＝CEB ．∴ADC ＝90° C ．∴CAD ＝∴CBE D ．∴ACB ＝2∴ACF【答案】C【解析】【分析】 根据三角形的高、中线和角平分线的定义（1）三角形的角平分线定义：三角形的一个角的平分线与这个角的对边相交 连接这个角的顶点和交点的线段叫做三角形的角平分线；（2）三角形的中线定义：在三角形中 连接一个顶点和它所对边的中点的连线段叫做三角形的中线；（3）三角形的高定义：从三角形一个顶点向它的对边（或对边所在的直线）作垂线 顶点和垂足间的线段叫做三角形的高线 简称为高．求解即可．【详解】解：A 、BE 是△ABC 的中线 所以AE ＝CE 故本表达式正确；B 、AD 是△ABC 的高 所以∴ADC ＝90 故本表达式正确；C 、由三角形的高、中线和角平分线的定义无法得出∴CAD ＝∴CBE 故本表达式错误；D 、CF 是△ABC 的角平分线 所以∴ACB ＝2∴ACF 故本表达式正确．故选：C ．【点睛】本题考查了三角形的高、中线和角平分线的定义 是基础题 熟记定义是解题的关键．3．（2021·全国·八年级课时练习）填空：（1）如图（1）,,AD BE CF 是ABC 的三条中线 则2AB =______ BD =______ 12AE =______． （2）如图（2）,,AD BE CF 是ABC 的三条角平分线 则1∠=______ 132∠=______ 2ACB ∠=______．【答案】 AF 或BF CD AC 2∠ ABC ∠ 4∠【解析】【分析】（1）根据三角形的中线定义：三角形一边的中点与此边所对顶点的连线叫做三角形的中线可得E 、F 、D 分别是AC 、AB 、BC 上的中点 进而得到答案．（2）根据角平分线定义 从一个角的顶点出发 把这个角分成两个相等的角的射线 叫做这个角的平分线即可解答．【详解】解：（1）∴CF 是AB 边上的中线∴AB ＝2AF ＝2BF ；∴AD 是BC 边上的中线∴BD ＝CD∴BE 是AC 边上的中线∴AE ＝12AC（2）∴AD 是BAC ∠的角平分线∴12∠=∠∴BE 是ABC ∠的角平分线 ∴132∠=ABC ∠ ∴CF 是ACB ∠的角平分线∴2ACB ∠=4∠．故答案为：AF 或BF ；CD ；AC ；2∠；ABC ∠；4∠【点睛】此题主要考查了三角形的中线、角平分线解题的关键是掌握三角形的中线及角平分线的定义．一、选择题1．（2022·黑龙江·哈尔滨市风华中学校七年级期中）画ABC的BC边上的高正确的是（）A．B．C．D．【答案】A【解析】【分析】利用三角形的高线的定义判断即可．【详解】解：画△ABC的BC边上的高即过点A作BC边的垂线．∴只有选项A符合题意故选：A．【点睛】本题考查了三角形高线的画法从三角形的一个顶点向对边作垂线顶点与垂足间的线段叫做三角形的高线锐角三角形的三条高线都在三角形的内部钝角三角形的高有两条在三角形的外部．直角三角形的高线有两条是三角形的直角边．2．（2022·山东潍坊·七年级期末）在数学实践课上小亮经研究发现：在如图所示的ABC中连接点A和BC上的一点D线段AD等分ABC的面积则AD是ABC的（）．A．高线B．中线C．角平分线D．对角线【答案】B【解析】【分析】直接利用三角形中线的性质即可得出结果．【详解】解：∴线段AD等分∴ABC的面积∴∴ABD的面积等于∴ACD的面积∴两个三角形的高为同一条高∴BD=CD∴AD为∴ABC的中线故选：B．【点睛】题目主要考查三角形中线的性质理解三角形中线将三角形分成两个面积相同的三角形是解题关键．3．（2022·河北保定外国语学校一模）能用三角形的稳定性解释的生活现象是（）A．B．C．D．【答案】C【解析】【分析】根据各图所用到的直线、线段有关知识即可一一判定【详解】解：A、利用的是“两点确定一条直线” 故该选项不符合题意；B、利用的是“两点之间线段最短” 故该选项不符合题意；C、窗户的支架是三角形利用的是“三角形的稳定性” 故该选项符合题意；D、利用的是“垂线段最短” 故该选项不符合题意；故选：C【点睛】本题考查了两点确定一条直线、两点之间线段最短、三角形的稳定性、垂线段最短的应用结合题意和图形准确确定所用到的知识是解决本题的关键．4．（2022·山东青岛·七年级期末）如图BD是ABC的边AC上的中线AE是ABD△的边BD上的中线BF是ABE△的边AE上的中线若ABC的面积是32则阴影部分的面积是（）A．9B．12C．18D．20【答案】B【解析】【分析】利用中线等分三角形的面积进行求解即可．【详解】∴BD是ABC的边AC上的中线∴11321622ABD BCD ABCS S S===⨯=△△∴AE是ABD△的边BD上的中线∴1116822ABE ADE ABDS S S===⨯=又∴BF 是ABE △的边AE 上的中线 则CF 是ACE 的边AE 上的中线 ∴118422BEF ABF ABE S S S ===⨯= 182CEF ACF ADE CED ACE S S S S S =====则4812BEF CEF S SS =+=+=阴影故选：B ．【点睛】 本题考查了中线的性质 清晰明确三角形之间的等量关系 进行等量代换是解题的关键．5．（2021·江苏·无锡市侨谊实验中学三模）如图为一张锐角三角形纸片ABC 小明想要通过折纸的方式折出如下线段：①BC 边上的中线AD ②BC 边上的角平分线AE ③BC 边上的高AF ．根据所学知识与相关活动经验可知：上述三条线中 所有能够通过折纸折出的有（ ）A ．①②B ．①③C ．②③D ．①②③【答案】D【解析】【分析】 根据三角形中线 角平分线和高的定义即可判断．【详解】沿着A 点和BC 中点的连线折叠 其折痕即为BC 边上的中线 故①符合题意；折叠后使B 点在AC 边上 且折痕通过A 点 则其折痕即为BC 边上的角平分线 故②符合题意； 折叠后使B 点在BC 边上 且折痕通过A 点 则其折痕即为BC 边上的高 故③符合题意；故选D ． 【点睛】本题考查三角形中线 角平分线和高的定义．掌握各定义是解题关键．二、填空题6．（2022·湖南邵阳·八年级期末）若ABC 的三条边长分别为3cm xcm 4cm 则x 的取值范围______．【答案】17x <<##71x >>【解析】【分析】根据三角形的三边关系进行求解即可.【详解】解：根据“三角形任意两边之和大于第三边 任意两边之差小于第三边”可得到4343x －＜＜＋∴17x ＜＜.故答案为：17x ＜＜.【点睛】本题主要考查三角形三边关系 熟记“三角形任意两边之和大于第三边 任意两边之差小于第三边”是解答此类题目的关键.7．（2022·云南红河·八年级期末）已知a b c 、、是ABC ∆的三边长 a b 、满足()2610a b -+-= c 为偶数则c =_______．【答案】6【解析】【分析】根据非负数的性质列式求出a 、b 的值 再根据三角形的任意两边之和大于第三边 两边之差小于第三边求出c 的取值范围 再根据c 是偶数求出c 的值．【详解】解：∴a b 满足()2610a b -+-=∴a -6=0 b -1=0解得a =6 b =1∴6-1=5 6+1=7∴5＜c ＜7又∴c 为偶数∴c =6故答案为：6【点睛】本题考查非负数的性质：偶次方 解题的关键是明确题意 明确三角形三边的关系．8．（2021·北京市陈经纶中学分校八年级期中）随着人们物质生活的提高手机成为一种生活中不可缺少的东西手机很方便携带但唯一的缺点就是没有固定的支点．为了解决这一问题某工厂研制生产了一种如图所示的手机支架．把手机放在上面就可以方便地使用手机这是利用了三角形的______.【答案】三角形的稳定性【解析】【分析】利用三角形的稳定性的性质直接回答即可．【详解】解：把手机放在上面就可以方便地使用手机这是利用了三角形的稳定性故答案为：三角形的稳定性．【点睛】本题考查了三角形的稳定性解题的关键是掌握三角形具有稳定性．9．（2022·北京市师达中学七年级阶段练习）如图AB∴BD 于点B AC∴CD 于点C且AC 与BD 交于点E已知AE=10DE=5CD=4则AB 的长为_________．【答案】8【解析】【分析】根据三角形高的定义可判断出边上的高然后利用三角形面积求解即可．【详解】解：∴AB∴BD AC∴CD∴AB 是∴ADE 的边DE 上的高 CD 是边AE 上的高∴S △AED =1122DE AB AE CD ⋅=⋅ ∴10485AE CD AB DE ⋅⨯=== 故答案为：8．【点睛】本题考查三角形高的定义 三角形的面积等知识 掌握基本概念是解题关键 学会用面积法求线段的长． 10．（2022·全国·八年级专题练习）如图 在ABC 中 2AB AC == P 是BC 边上的任意一点 PE AB ⊥于点E PF AC ⊥于点F .若ABC S = 则PE PF +=______．【解析】【分析】 根据1122ABC ABP APC S S S AB PE AC PF =+=⋅+⋅ 结合已知条件 即可求得PE PF +的值． 【详解】解：如图 连接APPE AB ⊥于点E PF AC ⊥于点F1122ABC ABP APC S S S AB PE AC PF ∴=+=⋅+⋅2AB AC == ABC S =∴1122AB PE AC PF ⋅+⋅PE PF =+=【点睛】本题考查了三角形的高掌握三角形的高的定义是解题的关键．三、解答题11．（2022·全国·八年级）在∴ABC中BC＝8AB＝1；(1)若AC是整数求AC的长；(2)已知BD是∴ABC的中线若∴ABD的周长为17求∴BCD的周长．【答案】(1)8(2)24【解析】【分析】（1）根据三角形三边关系“两边之和大于第三边两边之差小于第三边”得7＜AC＜9根据AC是整数得AC＝8；（2）根据BD是∴ABC的中线得AD＝CD根据∴ABD的周长为17和AB＝1得AD+BD＝16即可得．(1)解：由题意得：BC﹣AB＜AC＜BC+AB∴7＜AC＜9∴AC是整数∴AC＝8．(2)解：如图所示∴BD是∴ABC的中线∴AD＝CD∴∴ABD的周长为17∴AB +AD +BD ＝17∴AB ＝1∴AD +BD ＝16∴∴BCD 的周长＝BC +BD +CD ＝BC +AD +CD ＝8+16＝24．【点睛】本题考查了三角形 解题的关键是掌握三角形三边的关系和三角形的中线．12．（2022·全国·八年级专题练习）已知：a 、b 、c 满足2(|0a c -=求：(1)a 、b 、c 的值；(2)试问以a 、b 、c 为边能否构成三角形？若能构成三角形 求出三角形的周长；若不能构成三角形 请说明理由．【答案】(1)a = 5b = c =(2)能构成三角形 周长为(51【解析】【分析】（1）根据非负数之和等于零 则每个非负数等于零 分别建立方程求解即可；（2）先比较长三边的大小 再用较小两边之和与最大边比较即可判断能够构成三角形；然后计算三角形的周长即可．(1)解：∴(20a ≥ 0 0c -≥a 、b 、c 满足(20a c -=∴0a = 50b -= 0c -解得a = 5b = c =(2)解：∴81825<<∴5即a c b <<∴5=>∴能构成三角形三角形的周长)5551a b c =++===． 【点睛】本题考查了非负数的性质 二次根式有意义的条件和构成三角形的条件 解题的关键是根据非负数之和等于零的条件分别建立方程和如何判定三边能否构成三角形．13．（2022·四川·威远中学校七年级期中）（1）已知一个三角形的两边长分别是4cm 、7cm 则这个三角形的周长的取值范围是什么？（2）在等腰三角形ABC 中 AB ＝AC 周长为14cm BD 是AC 边上的中线 △ABD 比△BCD 周长长4cm 求△ABC 各边长．【答案】（1）14<c <22；（2）AB =6 AC =6 BC =2．【解析】【分析】（1）根据三角形三边关系 先求出三角形第三边长的范围 即可求出周长范围．（2）根据三角形中线的定义可得,AD CD = 从而可得4,AB BC -=再根据ABC 的周长是14 以及,AB AC ＝ 可得214AB BC +=进行计算即可解答． 【详解】解：（1）设第三边长为x 根据三角形的三边关系得7474,x ∴-<<+3,x ∴<<11∴三角形的周长C 的取值范围为：1422.c <<（2）如图所示：∴BD是AC边上的中线,AD CD∴=∴△ABD比△BCD周长长4cm()()4,AB AD BD BC CD BD∴++-++=4,AB BC∴-=4,BC AB∴=-ABC的周长是1414,AB AC BC∴++=,AB AC＝214,AB BC∴+=2414,AB AB∴+-=6,AB∴=6,AB AC∴==2.BC∴=【点睛】本题主要考查了三角形三边关系等腰三角形的性质熟练掌握等腰三角形的性质是解题的关键．14．（2022·河北邯郸·七年级阶段练习）如图在直角三角形ABC中∴BAC＝90° AD是BC边上的高CE 是AB边上的中线AB＝12cm BC＝20cm AC＝16cm求：（1）AD的长；（2）∴BCE的面积．【答案】（1）485；（2）48．【解析】【分析】（1）利用面积法得到12AD•BC＝12AB•AC然后把AB＝12cm BC＝20cm AC＝16cm代入可求出AD的长；（2）由于三角形的中线将三角形分成面积相等的两部分 所以S △BCE ＝12S △ABC ．【详解】解：（1）∴∴BAC ＝90° AD 是BC 边上的高 ∴12AD •BC ＝12AB •AC∴AD ＝121620⨯＝485（cm ）；（2）∴CE 是AB 边上的中线∴S △BCE ＝12S △ABC ＝12×12×12×16＝48（cm 2）．【点睛】本题考查三角形中线的性质 涉及等积法 是重要考点 掌握相关知识是解题关键．15．（2022·黑龙江·哈尔滨市风华中学校七年级期中）如图 在6×10的网格中 每一小格均为正方形且边长是1 已知∴ABC 的每个顶点都在格点上．(1)画出∴ABC 中BC 边上的高线AE ；(2)在∴ABC 中AB 边上取点D 连接CD 使3BCD ACD S S =△△；(3)直接写出∴BCD 的面积是__________．【答案】(1)画图见解析(2)画图见解析(3)7.5【解析】【分析】（1）利用网格线过A 作BC 的垂线即可；（2）利用网格线的特点 取格点D 满足3BD AD = 则D 即为所求作的点；（3）利用三角形的面积公式直接计算即可．(1)解：如图 AE 即为BC 上的高．(2)如图 利用网格特点 可得3BD AD =∴D 即为所求作的点 满足3BCD ACD S S =△△．(3)1537.52BCD S =⨯⨯=． 【点睛】本题考查的是画三角形的高 三角形的面积的计算 熟悉等高的两个三角形的面积之间的关系是解本题的关键．16．（2022·江苏·沭阳县怀文中学七年级阶段练习）如图 在ABC 中 CD 、CE 分别是ABC 的高和角平分线 ,()BAC B ∠α∠βαβ==>．(1)若70,40αβ=︒=︒ 求DCE ∠的度数；(2)试用α、β的代数式表示DCE ∠的度数_________．【答案】(1)15DCE ∠=︒(2)2αβ-【解析】【分析】（1）根据三角形的内角和定理求出∴ACB 的值 再由角平分线的性质以及直角三角形的性质求出∴DCE ． （2）由（1）的解题思路即可得正确结果．(1) 解：70BAC ∠=︒ 40B ∠=︒∴()180()180704070ACB BAC B ∠=︒-∠+∠=︒-︒+︒=︒CE 是ACB ∠的平分线∴1352ACE ACB ∠=∠=︒．CD 是高线∴90ADC ∠=︒∴9020ACD BAC ∠=︒-∠=︒∴352015DCE ACE ACD ∠=∠-∠=︒-=︒︒．(2) 解：BAC α∠= B β∠=∴()180()180ACB BAC B αβ∠=︒-∠+∠=︒-+CE 是ACB ∠的平分线∴()1118090222ACE ACB αβαβ+∠=∠=⨯︒-+=︒-⎡⎤⎣⎦．CD 是高线∴90ADC ∠=︒∴9090ACD BAC α∠=︒-∠=︒- ∴909022DCE ACE ACD αβαβα+-∠=∠-∠=︒--︒+=．【点睛】本题主要考查角平分线 高线以及角的转换 掌握角平分线 高线的性质是解题的关键．17．（2022·上海·八年级专题练习）如图 ∴ABC 中 ∴BAC ＝60º AD 平分∴BAC 点E 在AB 上 EG ∴ADEF ∴AD 垂足为F ．(1)求∴1和∴2的度数．(2)联结DE 若S △ADE ＝S 梯形EFDG 猜想线段EG 的长和AF 的长有什么关系？说明理由．【答案】(1)30º；60º(2)相等 理由见解析【解析】【分析】(1)利用角平分线的定义求得BAD ∠ 然后在直角三角形中利用两锐角互余即可求得∴2 再利用平行线的性质即可求得∴1的度数．(2)根据S △ADE ＝S 梯形EFDG 可得AD =DF +EG 结合图形即可求解．(1)∴∴BAC ＝60º AD 平分∴BAC ∴1302BAD BAC ∠=∠=︒ 又∴EF ∴AD∴29060BAD ∠=︒-∠=︒ ∴EG ∴AD∴130BAD ∠=∠=︒．(2)相等． 理由如下： ∴EF ∴AD∴S △ADE =12AD EF ⋅ S 梯形EFDG =1()2DE EG EF +⋅ ∴S △ADE = S 梯形EFDG ∴12AD EF ⋅=1()2DE EG EF +⋅∴AD =DF +EG∴AD =AF +DF∴DF +EG =AF +DF即AF =EG ．【点睛】本题考查了平行线的性质 角平分线的定义以及三角形和梯形的面积公式 熟练掌握平行线的性质和角平分线的定义是解题的关键．18．（2021·安徽省六安皋城中学八年级期中）如图 AD 是∴ABC 的边BC 上的中线 已知AB =5 AC =3． （1）边BC 的取值范围是 ；（2）∴ABD 与∴ACD 的周长之差为 ；（3）在∴ABC 中 若AB 边上的高为2 求AC 边上的高．【答案】（1）28BC <<；（2）2；（3）103h =． 【解析】【分析】 （1）直接根据三角形三边关系进行解答即可；（2）根据三角形中线将∴ABD 与∴ACD 的周长之差转换为AB 和AC 的差即可得出答案；（3）设AC 边上的高为h 根据三角形面积公式列出方程求解即可．【详解】解：（1）∴∴ABC 中AB =5 AC =3∴5353BC -<<+即28BC <<故答案为：28BC <<；（2）∴∴ABD 的周长为AB AD BD ++∴ACD 的周长为AC AD CD ++∴AD 是∴ABC 的边BC 上的中线∴BD CD =∴AB AD BD ++-(AC AD CD ++)=532AB AC -=-=故答案为：2；（3）设AC 边上的高为h 根据题意得：11222AB AC h ⨯=⨯ 即1152322h ⨯⨯=⨯⨯ 解得103h =．【点睛】本题考查了三角形三边关系 三角形的中线 三角形的高等知识点 熟练掌握基础知识是解本题的关键．。