三角形三边关系案例
三角形三边之间的关系教案
《三角形边的关系》教学案例一、三角形边的关系一课教学设计的研究背景与理论依据。
《数学课程标准》在数学教学活动要求中明确指出：教师应激发学生的学习积极性，向学生提供充分从事数学活动的机会，帮助他们在自主探究、合作交流的过程中真正理解和掌握基本的数学知识与技能、数学思想和方法，获得广泛的数学活动经验。
建构主义学习理论也强调学习过程中学生主动地建构知识，强调学习过程应以学生为中心，教师不再是以自己的看法及课本现有的知识来直接教给学生，学习者必须通过自己主动的、互动的方式学习新的知识，学生在学习的过程中是自主的、能动的、富于创造性的。
因此，学生必须主动地参与到整个学习过程中，要根据自己先前的经验来建构新知识的意义，这样，传统的老师“说”、学生“听”的学习方式就不复存在。
现代教学论观点认为数学教师不能充当数学知识施舍者的角色。
教师不该是至高无上的权威。
事实上，学生的数学素质是通过数学活动而得到，即学生自己通过研究、比较、建构，逐步形成自己的知识框架。
所以，应多设计一些数学活动课，让学生真正动起来，非常有必要。
实践证明，数学学习对于学生来说不但需要观察，更需要实验。
事实上，孩子并不喜欢老师给他们一些结论，他们更喜欢通过实验、操作等手段进行学习。
因此我将这节课设计为活动课，引导学生在实验中发现数学，欣赏数学。
通过学生参与猜一猜、摆一摆等实验活动，创造性地使用教材。
本课内容是根据《标准》要求，让学生在实验活动中体验探索的过程。
目的是使学生认识到数学与现实世界联系，认识数学知识之间的内在联系，同时又提高学生自主探究、动手实践、合作交流等能力。
二、教学背景分析：本课内容是学生已经通过观察、操作、比较、概括等学习方法体验了长方形、正方形的基础上，对三角形的三边特点进行研究的。
学生之前具备了一定的观察、操作能力，掌握了一定的数学技能，初步具备了观察分析、总结概括的能力。
但是由于受到学生心智发展水平和生活经验等诸方面的影响，加上三角形边的特点与正方形和长方形等四边形的特点还有一定的差异性的，更不容易直接观察出来。
含30度60度90度角的直角三角形三边的数量关系
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华东师大版八年级数学上册14.1.1直角三角形三边的关系优秀教学案例
4.反思与评价：引导学生对自己的学习过程进行反思，总结学习方法和经验，提高他们的自我认知能力。组织学生进行评价，让他们学会欣赏他人，培养他们的公平竞争意识。通过评价，让学生了解自己的不足，激发他们的学习动力，促进他们的全面发展。
1.引导学生观察直角三角形模型，发现三边之间的关系。
2.通过讲解勾股定理的推导过程，使学生理解并掌握直角三角形三边的关系。
3.运用举例、讲解等方法，让学生明确直角三角形三边关系的应用。
（三）学生小组讨论
1.设计具有挑战性的问题，引导学生进行小组讨论，如：“你能用勾股定理解决实际问题吗？”
2.组织学生分享讨论成果，培养他们的合作意识和团队精神。
3.在讨论过程中，关注学生的个体差异，给予他们个性化的指导。
（四）总结归纳
1.引导学生总结直角三角形三边关系的知识点，加深他们对知识的理解。
2.总结本节课的学习方法，培养学生独立思考、合作交流的能力。
3.强调直角三角形三边关系在实际生活中的应用，提高学生的数学素养。
（五）作业小结
1.设计具有针对性的作业，让学生巩固直角三角形三边关系的知识。
五、案例亮点
1.生活情境的引入：通过房屋测量、篮球架高度等实际生活中的例子，引导学生关注直角三角形三边关系在现实生活中的应用，使学生认识到数学与生活的紧密联系，提高他们的学习兴趣。
2.问题导向：设计一系列具有启发性的问题，引导学生独立思考，发现直角三角形三边之间的关系。在解决问题的过程中，培养学生运用已学的知识解决实际问题的能力，提升他们的知识运用水平。
开展探究学习 促进学生发展——《三角形三边关系》教学案例与反思
【 反思 】数 学来源于生活 ， 生活中处处有数 学。 教师
联 系生 活 实 际 创 设 “ 明 走 哪 一 条 上 学 路 线 最 近 ” 一 小 这 问题 情 境 ． 发 了学 生 的 学 习兴 趣 ． 活 了学 生 的 生 活 激 激
经验 ， 引 导 学 生观 察 发 现 ， 述 生 活 问 题 与 三 角 形 三 并 上 边 关 系有 联 系。 样 自然 而然 地 实现 了 生活 问题 的 数 学 这
角形 三 边 关 系 的 奥 秘 。
生 ２准 确 地 说 ， 两 根 加 起 来 的 和 都 比 第 三 根 也 发 现 了 ， ： 当两根塑料管 长度和小 于第三根时 ， 就不能围成 三角形 。 ～ 师 ： 么 你 觉 得 两 根 塑 料 管 长 度 和 是 多 长 时 ． 能 那 就
师 ： 大 家 看 ． 接 小 明 家 、 店 、 校 三 地 的 三 条 请 连 商 学 路 围成 的 图形 ． 近似 于 一 个 什 么 图 形 ？ 连 接 小 明 家 、 再 邮 局 、 校 三地 围成 的图 形 近 似 于 一 个 什 么 图形 ？ 学 生 【 口同 声】三 角 形 。 异 ： 师 ： 来 我 们 今 天 所 研 究 的 哪 条 路 线 最 近 的 问 题 与 看 三 角 形 三 条 边 的关 系有 联 系 ， 面 我 们 就 一 起 去 探 索 三 下
师： 同学 们 的猜 想 是 否 正确 呢 ？下 面 我 们 来 动 手 做 实验 。 小组 合 作 。 据 实 验 记 录 单 上 的 要求 ， 成 两 个 实 根 完
验。
对 两根 塑料 管 长 度 之 和 等 于 第 三 根 长度 也 能 围成 三 角 形 深 信 不 疑 或 迷 惑 不 解 。 显 然是 塑料 管 较 粗 引起 操 作 这 误 差 所 致 ， 简 单 解释 又 难 以 让 学 生信 服 ． 是 借 助 课 但 于
发展数学思维,让课堂焕发生态活力——“三角形边的关系”课堂教学案例及反思
种 内化 。根 据新 课 标 的要 求 ， 数 学 教学 不 仅 仅 是给 学生 知
识， 更是 要帮 助 学生 形成 智慧 ， 达 到 高层 次的 学 习。 在“ 三 角形 三 边 的关 系 ” 教学中 ， 学 生 获 得 的不 能仅 仅 只限 于 “ 两 条边 之 和大 于 第 三条 边 ” 这个 规 律 ， 还 要 通过 探
在 我 的直 观 演 示后 ， 一 些学 生 仍然 充 满疑 惑 。于是 我
换 个 角度 进行 第二 次演 示 ： 先出现 ９ ｃ ｍ， 然 后把 另 一个 ９ ｃ ｍ 分成 ４ ｃ ｍ和 ５ ｃ ｍ 两部分 ， 用不 同颜 色 区分 ， 然 后分 步演 示 ） 师： 从 ９ ｃ ｍ 的分点 向上 折 （ 如图 ２ ） ， 这个 过程 发生 了什
【 反思 】 发展 学生的直接经验 ， 渗透数学思维 ， 这是课
棒 呢 ？通 过这 三个 层次 分 明的 问题 设置 ， 让学 生探 究 ： 三 角 形 三边 在 什 么情 况 下能 摆 成 三 角形 。这 个 问题 的设 置 ， 一
方 面 是要 发 展学 生动 手 操 作能 力 ， 一 方面 是 让 学生 学 会 使 用 数学 猜想 的 思维 模式 。 让学 生每次 从所给 的五 根小棒 （ 长度 分别为 ９ ｃ ｍ，
图 ２
／
＼
【 反思 】 有研究就有思考 ， 学生的数 学探究要 建立在 问
题 的预 设 基础 上 。三 个不 同层 次的 问题 情 境 ， 使 其 一 步 步 发展 其 直 接 经验 ， 建 立对 三 角 形三 边 关 系的直 观概 念 。学
生： 不 能摆 成三 角形 。
师： 那 为什 么 刚才 有 同学摆 成 了呢 ？ 学生经过反思 ， 认 识 到试 验 当 中会 存 在 的 偏 差 ， 也 明 白了人 为 的 “ 误差” 是 存在 的 ， 但却 可 以 通过 科 学认 识 来减 小误 差 。 经过 直 观展 示 ， 学 生对 三 角形 三 条 边 的关 系有 了直接 的 认识 和体 会 。我 引导学 生 总结 ： 两 条短 边 加起 来 应 该大 于那 条 长边 ， 符 合这 个条 件 才 能摆 出三 角形 ； 反之 则 不行 。
三角形三边关系内角和
三三角角形形三三边边关之系间和的内关角系和
③ 然后将三个三角形的三个角拼接在一起。为方便显 示，可以将这三个三角形填充成不同的颜色。
三三角角形形三三边边关之系间和的内关角系和
交流分享
请同学们展示一下，你是如何将 三角形的三个角拼接在一起的？
6cm
2cm
4cm (2)
8cm
6cm
(4)
8cm
10cm
三三角角形形三三边边关之系间和的内关角系和
交流分享
想一想，3根什么样的拼接杆能围成一个三角形？与同伴说一说。
三条边的长度(厘米)
2cm
4cm
6cm
2cm
4cm
8cm
4cm
4cm
6cm
6cm
8cm
10cm
能否拼成
不能 不能
能 能
三三角角形形三三边边关之系间和的内关角系和
我们发现：
当两边长之和小于第三条边时，不能形成三角形； 当两边长之和等于第三条边时，不能形成三角形； 当两边长之和大于第三条边时，能形成三角形。
三三角角形形三三边边关之系间和的内关角系和
你能用字母表示出三角形三边之间的关系吗？
ɑ
b
c
ɑ+b＞c b+c＞ɑ ɑ+c＞b
结论：三角形任意两边长度的和大于第三边。
探究活动（三）
探究三角形内角关系
活动要求： 打开2D转3D软件，打开“三角形素材3”文件，任
意选择一个三角形为例进行拼接。
三三角角形形三三边边关之系间和的内关角系和
活动案例
直角三角形的边角关系(教材分析)课件
直角三角形是一种特殊的三角形，具有许多有趣和有用的性质和关系。在本 次演示中，我们将探讨直角三角形的定义、特征以及与边角关系相关的内容。
直角三角பைடு நூலகம்的定义
直角三角形是一种具有一个直角（90度）的三角形。它的独特之处在于其中 一个角度是直角。
直角三角形的特征
角度关系
直角三角形的两个锐角相加等于90度。
这种直角三角形的三个角度分别为30度、60度和90度，其边长之间有特定的比例 关系。
3
45-45-90特殊直角三角形
这种直角三角形的两个直角边的长度相等，其余边长也有特定的比例关系。
总结与应用
应用数学中的重要性
直角三角形的边角关系在数学和 实际应用中都扮演着重要角色， 对解决各种问题非常有帮助。
工程领域中的应用
勾股数是指满足勾股定理 的三个正整数，它们构成 了一个直角三角形的边长。
通过勾股定理的应用，可 以确定满足条件的勾股数。
勾股数之间存在着特定的 关系，例如较短的直角边 是其中两个勾股数的公倍 数。
特殊直角三角形
1
等腰直角三角形
等腰直角三角形是一种直角三角形，其中两条直角边的长度相等。
2
30-60-90特殊直角三角形
边长关系
直角三角形的三条边有特定的比例关系。
边角关系
直角三角形的两个锐角相互补充，即它们的和为90度。
勾股定理
1 定理表述
在直角三角形中，直角边的平方和等于斜边的平方。
2 应用案例
勾股定理可以用来求解各种实际问题，例如测量地面距离、建筑设计和导航。
勾股数
1 什么是勾股数
2 如何确定勾股数
3 勾股数的性质
直角三角形的性质在工程测量和 设计中具有广泛的应用，如建筑 设计和地理测量。
核心素养培育背景下的小学数学教学案例——以“三角形的三边关系
———以“三角形的三边关系”一课为例
沈小玉
(安徽省宿州市萧县龙城镇郝店小学,安徽 宿州 ２３５２００)
摘 要:当前教育改革中,要求中国学生具备和发展学科核心素养是新时期、新 形 势 下 同 国 际 教 育 接 轨,提 升 我国教育国际竞争力的迫切需要.在此背景下,如何 培 育 小 学 生 的 数 学 核 心 素 养 是 广 大 一 线 教 师 所 必 须 面 对 的 问 题 . 有 鉴 于 此 ,文 章 以 “三 角 形 的 三 边 关 系 ”为 例 ,分 析 教 学 案 例 ,提 出 培 育 小 学 数 学 核 心 素 养 的 有 效 方 式 .
在具体教学过程中,通过 引 导 学 生 观 察 周 边 生 活、 实际进行实验操作、比较不 同 线 段 能 否 围 城 三 角 形、归 纳围城三角形 的 所 需 条 件、推 理 三 角 形 的 三 边 关 系 等 方式初步尝试进行小学数学核心素养的培育.在上述 方式中,最易被 教 师 所 忽 略 的 就 是 对 三 角 形 三 边 关 系 的逻辑推 理 上. 在 本 次 教 学 中,特 意 加 大 对 于 逻 辑 推 理能力的培育,把 握 教 学 过 程 中 每 一 次 的 学 生 推 理 机 会.本节课在能围成和不能围成的教学即将结束时, 借助２个追问:验 证 以 下 黑 板 上 另 外 ２ 组 数 据 是 否 满 足? 请不能围成(或围成)的 同 学 再 验 证 一 下 你 们 刚 才 记录的数 据,是 不 是 也 符 合? 以 及 几 何 画 板 这 一 信 息 技术,对逻辑推 理 这 一 核 心 素 养 的 培 育 进 行 了 有 益 的 尝试.
在这一节 课 上,作 者 针 对 小 学 数 学 核 心 素 养 的 基 础要求,以及三角形三边关 系 的 教 学 内 容,设 计 了 三 个 练 习 ,具 体 如 下 :
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“三角形三边关系”教学案例分析
案例背景：
此前，学生已经初步认识了三角形，知道三角形的特点以及三角形的稳定性等知识，为学习本课内容，探究“三角形任意两边的和大于第三边”做好了准备。
课前调查发现，学生都知道了三角形是由3条线段围成的图形，但绝大多数的学生却不清楚并不是任意的3条线段都能围成三角形。
本节课的教学设计就是基于学生这样的认知特点展开的。
开始通过师生谈话，复习三角形的概念和特点，通过动手操作摆三角形（学生发现有的摆不成功），这样学生会产生强烈的认知冲突。
这样的设计，是希望能最大限度地激发学生强烈的探究欲望，然后通过合理的猜想、积极的验证，归纳出“三角形任意两边的和大于第三边”。
最后是让学生用发现的规律解释身边的一些生活现象，解决生活中的一些简单问题，既巩固了新学知识，又体现数学与生活的密切联系。
课堂写真：
片段（一）
师：同学们对三角形已经有哪些了解？是不是任意三条线段都能围成三角形呢？老师这里有三根小棒（代替线段），分别长3、5、10厘米，这3根小棒能围成一个什么图形?
生：三角形。
师：谁愿意上来围一围？围得时候要注意小棒首尾相连。
生：怎么围不成三角形？
师：是呀，这三根小棒为什么围不成三角形呢？
生：有一根小棒太短了
生：下面一根长了一点。
师：同学们说的都有道理，看来要围成三角形，须考虑三条小棒的长短关系。
那么三角形的三条边之间到底有什么关系呢？从而引出课题
分析点评
从抽象的知识中发现问题，激发学生的求知欲。
在片断一中，教师故意拿出摆不成三角形的三根小棒（3、5、10），首先提出这三根小棒能围成什么图形？学生异口同声的回答是三角形，然后让学生在黑板演示，结果不能围成三角形。
学生感到很意外，激发了学生进一步探究的兴趣。
以此引出三角形三边关系的课题。
片段（二）
师：小明去上学，他从家到学校可以怎么走？哪条路最近？（课件演示）
师：你怎么知道中间这条路最近？
生1：这条路是直的，经过邮局的路拐了弯，绕远了。
生2：这是一条直线（线段），（两点间）直线（线段）最短。
师：是啊！拐了弯的路比直走的路远。
师：请你仔细观察（课件演示），这两条路（直走的路和经过邮局再到学校的路）围成了一个什么图形？
生：三角形。
师：直走的路是这个三角形的一条（生：边）？拐了弯的路是这个三角形的？
（生齐答：另外两条边）
师：你想一想，三角形三条边有怎样的关系？大胆的猜一猜！
师：根据刚才大家的判断（拐了弯的路比直走的路远），你想三角形三条边有怎样的关系？
生：把两条边连起来比另一条边长！
师：真会想，也可以这样说，三角形两条边的和大于第三边。
提出猜想“三角形两边的和大于第三边”
师：这个想法对吗？能不能找到一种方法验证呢？
分析点评：
以情境为出发点，提出合理的猜想。
在片断二中，教师利用情景图（小明上学路线图）首先提出“你怎么知道小明上学走中间这条路最近”这个话题与学生交流。
有的学生结合生活经验谈理由，有的学生根据已有的“两点间线段最短”的知识解释原因。
接着，学生观察由路线图抽象成的三角形，理解直走的路是这个三角形的一条边，拐了弯的路是这个三角形两条边的和。
进而引导学生联系刚才的判断——直走的路比拐了弯的路近，对“三角形三条边的关系”提出猜想。
这样，学生面对“三角形三条边的关系”这一新问题，很自然地得到：三角形两条边的和比另一条边长。
在这个过程中，教师采取与学生一起从起点情境出发寻找目标的方法，鼓励学生联系已有知识与经验进行形象的加工和改造，大胆提出新的猜想，再由学生想办法来验证猜想。
片段（三）
师：出示3cm、4cm、5cm、8cm四根小棒，学生任意选择三根小棒围成三角形
师：哪个小组先汇报？
生：我们发现三角形任意两条边的和大于第三条边。
（学生拿着他们组研究用的三角形图形）
师：为什么你们认为三角形任意两条边的和大于第三条边？任意是什么意思？
生：（结合本组填在表格中的数据说）因为三角形三条边的长度是3CM、4CM、5CM，3 + 4＞ 5 3+ 5 ＞ 4 4 + 5＞3，每两条边的和都大于第三边，所以说三角形任意两条边的和大于第三条边。
师：大家觉得这个组发现的结论有道理吗？
师：还有那些组也得到了相同的结论？愿意汇报吗？
生：我们用三根小棒摆成了一个三角形（汇报摆成的三角形4、5、8），和上一组一样的，发现三角形任意两条边的和大于第三条边。
师：你能解释一下吗？
生：（结合本组在表格中的数据4 + 5 ＞ 8解释）
师：哪些小组得到了不同的结论？
生1：（结合本组填的表格中的数据3 + 4 ＜ 8）我们的结论是：两根小棒的长度和
小于第三根时，不能围成三角形。
（学生用实物上台演示）
生2：（结合本组填的表格中的数据3 + 5＝ 8）我们的结论是：两根小棒的长度和等于第三根时，也不能围成三角形。
师：从这两组同学的结论中，你们有什么想法呢？
生：两根小棒的长度等于或小于第三根时，不能围成三角形。
师：说得真好！真会总结！两根小棒的长度和小于或等于第三根时，不能围成三角形，也就是，必须是任意两边的和大于第三边，才能围成三角形，也就是三角形一定是任意两边的和大于第三边。
师：今天我们验证的是三角形的又一个特性。
（板书课题：三角形的任意两边的和大于第三边）
分析点评：
在验证过程中教师适当的启发，促进学生推理、归纳能力的提升。
教师给学生提供了一张活动记录表，以此帮助学生开展实验活动。
在活动中，教师始终将自己当作小组合作学习中的一员，给予适当的启发。
例如对于得出结论是“其中两条边的和大于第三边”的小组，教师给出的建议是“其它两条边的和也大于第三边吗？”；对于用小棒没有围成三角形的小组，教师指导他们从现象中找原因“什么样的情况时三根小棒围不成三角形？”在这个实验活动的过程中，教师通过亲身参与，针对性的指导，多媒体演示，将学生的思维从具体形象思维引向抽象逻辑思维。
然后在小组交流汇报中，学生能发现并填补自己认知的空隙，提升思维的优化（学生在练习过程中用两条较短边的和大于第三边，就能说明任意两边的和大于第三边，进一步加深了对“任意”二字的理解）。
整个过程学生亲历了数学知识的探究与发现，更重要的是学生体验了数学学习过程中从猜想到验证最后到归纳这一数学思维的训练。
反思与总评
《新课程标准》强调小学数学教学，应把“动手实践、自主探索、合作交流”作为数学学习的重要方式，注重引导学生充分经历数学知识的形成过程。
具体来讲，学生从“数学现实”出发，在教师帮助下自己动手、动脑做数学。
根据本课内容的特点，设计教学预案时我把学习过程中的观察、猜想、验证、交流、发现等数学思维活动突显出来，使学习过程更多的成为学生发现问题、探究问题、获得结论的过程。
1、尊重学生的认知规律。
三角形“任意两边的和大于第三边”之内容是人教版新课标实验教材四年级下册的一个内容，它是在熟悉了什么是三角形的基础上入行教学的。
我力求从实验入手，让学生通过摆小棒，判定如何才能搭成三角形，引导学生经历“发现问题、大胆猜测、操作验证、修改完善、得出结论”的探究过程，最终发现三角形中三边之间的这一特殊关系。
这样的设计符合学生的认知规律，既增加学生的学习兴趣，又使学生积累了大量的操作经验和研究经验。
2、以活动为基础，在活动中探究新知
“自主探究、合作交流、亲身实践”是学习数学的一种重要的方式，本节课的设计我改变了“教师重讲知识、学生轻构知识”的模式，而是改以教师指导学生动手实践，自主探索，发现三角形任意两边的和大于第三边作为主旋律，使学生的主题地
位得到了落实，学生真正地成了学习的主人。