矩阵的不可约分块及其应用
【文献综述】分块矩阵的性质及其应用
用中还是会遇到很多问题, 在实际生活中, 我们的很多问题可以用矩阵抽象出来, 但这些矩阵
一般都是高阶矩阵, 行数和列数都是一个相当大的数字, 因此我们在计算和证明这些矩阵时
会遇到很烦琐的任务. 这时我们得有一个新的矩阵处理工具, 来使这些问题得到更好的解决！
在文献[3]中给出了分块矩阵定义: 把一个 m n 矩阵 A , 在行的方向分成 s 块, 在列的方
向分成 t 块, 称为 A 的 s t 分块矩阵, 记作 A Akl st , 其中 Akl , k 1, 2,, s ,
l 1, 2,, t 称为 A 的子块, 它们是各种类型的小矩阵.
A
=
I3 0
A1
A2
并称它是 A 的一个 2 2 分块矩阵, 其中的每一个小矩阵称为 A 的一个子块. 常用的矩阵分块
方法, 除了上例中的 4 块矩阵, 矩阵的分块还有以下几种常用的分法:
(1) 按行分块
a11 a12 ... a1n A1
A
a12Βιβλιοθήκη ...a22 ...
... ...
| M || BC | | CA1B | .
文献[5-12]中还提到了有关分块矩阵的一些用法, 比如用分块矩阵证明有关矩阵乘积的
秩的定理: 矩阵乘积的秩不超过其因子的秩, 即 r( AB) r( A), 且 r( AB) r(B), 或者表示成
r( AB) min{r( A), r(B)}, 其中 r( A) 表示矩阵 A 的秩. 还可以利用分块矩阵求矩阵的行列
AD
式问题, 比如利用分块矩阵求高阶行列式
: 设 A, C 都是 n 阶矩阵, 其中| A | 0 , 并且
矩阵的分块及应用
矩阵的分块及应用武夷学院毕业设计(论文) 矩阵的分块及应用院系：专业：姓名：学号: 指导教师：职称：完成日期：数学与计算机系计算机科学与技术陈航20073011014 魏耀华教授年月日武夷学院教务处制摘要矩阵分块，就是把一个大矩阵按照一定规则分成小矩阵，它是矩阵运算的一种常用技巧与方法。
分块矩阵的理论不但在工程技术和实际生产中有着广泛的应用，而且在线性代数中求矩阵乘积、行列式的值、逆矩阵、矩阵的秩和矩阵的特征根的过程中也起到重要作用。
分块矩阵的初等变换则是处理分块矩阵有关问题的重要工具，它在线性代数中有非常广泛的应用。
讨论了分块矩阵的概念、分块矩阵的运算、分块矩阵的性质以及分块矩阵的广义初等矩阵，归纳并提出了分块矩阵的一些应用，这些应用主要涉及到矩阵的秩，逆矩阵，行列式以及矩阵正定和半正定等方面。
通过引用了大量的实例说明了对矩阵进行适当分块可以使高等代数中的许多计算与证明问题迎刃而解。
关键词: 分块矩阵；初等变换；计算；逆矩阵；证明。
I Abstract Partitioned matrices mean dividing a big matrix into the small matrices according to the certain rule. It is a common technique and method in matrix operation. The theories of partitioned matrices have not only a wide range of applications in engineering and production, but also play an important role to the process for seeking matrix product and the value of determinant and inverse matrix and rank of matrix and the characteristic in linear algebra. Elementary transformation of partitioned matrices is an important tool to deal with the partition matrix. Also, it isvery important for linear algebra. The paper discussed the concept of the partition matrix and the operation of the partition matrix and the property of the partition matrix and the block-elementary matrix. Then it summarized some applications of the partition matrix. Those applications were relative to the rank of matrix and inverse matrix and determinant and positive definite matrix and positive semi-definite matrix etc. By quoting a number of examples we could get that its convenientto solve many problems about calculation and provement by using block matrices. Key words: partitioned matrices; elementary transformation; caculate; inverse matrix; prove。
高等代数小论文--分块矩阵及其应用
高等代数期中论文课程高等代数专业班级数学0802 姓名徐锴学号 ******** 指导教师牛敏分块矩阵及其应用主要内容1.分块矩阵1.1. 分块矩阵的定义用纵线与横线将矩阵A 划分成若干较小的矩阵：⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡st s s t t A A A A A A A A A 212222111211 其中每个小矩阵 .),1;,1(t j s i A ij==叫做A 的一个子块；分成子块的矩阵叫做分快矩阵[2].1．2 运算规则()1 stij ij st ij st ij B A B A )()()(+=± ()2 tsT ji st Tij A A )()(= ()3 sp ij tp ij st ij C B A )()()(=，ij C =∑-==tk kjik t j s i B A 1),...1,,...1( ()4 stij st ij A k A k )()(=(k 是数量) 在用规则1）时，A 与B 的分块方法须完全相同；用性质3）时，A 的列的分法与B 的行的分法须相同.1.3分块矩阵的性质及其推论在行列式计算中 ,我们经常用到下面三条性质[3]:()1 若行列式中某行有公因子 ,则可提到行列式号外面;()2 把行列式中的某行乘上某一个非零数 ,加到另一行中去 ,其值不变; ()3 把行列式中的某两行互换位置 ,其值变号;利用矩阵的分块 ,我们可以把行列式的三条性质在分块矩阵中进行广.性质 1 设方阵A 是由如下分块矩阵组成A =⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡321321321C C C B B B A A A 其中 1A ,2A ,3A ,1B ,2B ,3B ,1C ,2C ,3C 都是t s ⨯矩阵 ,又M 是任一s 级方阵 .对于矩阵B =⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡321321321C C C MB MB MB A A A则B =MA证明 设s E 为s 级单位矩阵 ,则B =⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡321321321000000C C C B B B A A A E M E s s =A E ME s s⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡000000 于是B =0000ssE ME A =s E M s E A =MA性质 2 设矩阵是由如下分块矩阵组成A =⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡321321321C C C B B B A A A 其中 1A ,2A ,3A ,1B ,2B ,3B ,1C ,2C ,3C 都是t s ⨯矩阵 ,又M 是任一s 阶方阵 .对于矩阵⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡+++=321321321C C C MC B MC B MC B A A A D 则A =D证明 由⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡s s sE E E 000000⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡321321321C C C B B B A A A = ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡+++321321321C C C MC B MC B MC B A A A 其中 s E 是s 级单位矩阵 ,对上式两边同时取行列式得A =D性质 3 设方阵A 和'A 写成如下形式A =⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡321321321C C C B B B A A A ,'A =⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡321321321C C C A A A B B B 其中 1A ,2A ,3A ,1B ,2B ,3B ,1C ,2C ,3C 都是 s ×t 矩阵，则|'A |=⎩⎨⎧-为奇数时，当为偶数时当s A s A |||,|证明 A 可由'A 中的1B ,2B ,3B 与1A ,2A ,3A 相应的两行对换而得到 ,而对换行列式的两行 , 行列式反号 ,故当s 为偶数时|'A |=A 当s 为奇时|'A |=-A可以证明 ,对于一般分块矩阵也具有类似性质.同时 ,这些性质不仅对行成立 ,对列也同样成立.下面举例说明这些性质在行列式计算和证明中的应用.推论 1 设A ,都是n 阶方阵,则有AB =A B ()2.6 证明 作2n 阶行列式C =EA AB由拉普拉斯展开定理得C =AB E =AB又由性质2并应用于列的情况,有E A AB0=E EB A AB AB --0=EB A -0=B A nn n --+++++++2)1(21)1( =B A 推论 2 设,A B 都是n 阶方阵,则有AB BA =B A B A -+ 证明 根据定性质2并应用于列的情况,有AB BA =A AB B B A ++=B A B B A ++0=B A B A -+ 例1 计算n 2阶行列式D =ab a b a b b a b a ba 000000000000000000000000解 令A =⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡a 00000a 0000a 0000aB =⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡0000000000000 b b b 则 D =ABBA=B A B A -+=a b a b b a b a 00000000 ab a b b aba 00000000 ---- =n b a )(+n b a )(-=nb a )(22-推论 3 设,B ,C ,D 都是n 阶方阵 ,其中A ≠0,并且AC =CA ,则有DC BA=CB AD - ()2.8 证明 根据性质2,因为1-A 存在,并注意到AC =CA ,用1C A --乘矩阵⎥⎦⎤⎢⎣⎡D C B A 的第一行后加到第二行中去得⎥⎦⎤⎢⎣⎡----B CA D B CA A 110 从而D C B A=110A C A B D C A B---- =A B CA D 1--=B ACA AD 1--B CAA AD 1--=CB AD- 把行列式的性质在分块矩阵中进行推广之后，我们又由这三个新的性质得到了三个结论.设A ,B ,C ,D 都是n 级方阵则有AB =A B ABBA =B A B A -+ 结论()2.6告诉我们，两个方阵的乘积的行列式等于这两个方阵的行列式的乘积.结论()2.7则说明，当一个行列式可以分成四个级数相等的方阵A ,B ,B ,A 时（即AB BA ）， 2.1分块矩阵在矩阵的秩的相关证明中的应用定理 1 秩()AB≤秩()A ,且秩()AB ≤秩()B ,则秩()AB ≤min{秩A ,秩B }[4]证明 令s m C ⨯=n m A ⨯⋅s n B ⨯，A =()12,n aa a ,C =()12,s γγγ 则(s γγγ 21,)=()12,naa a ⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡ns n n s s b b b b b bb b b212222111211 ∴nns s s s nn n n a b a b a b a b a b a b a b a b a b +++=+++=+++=22112222112212211111γγγ∴s γγγ 21,()1可由n a a a 21,()2线性表示 ∴秩()I ≤秩()I I ,即秩()C =秩()AB ≤秩()A令=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡mn n n 21，Ｂ=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡n βββ 21 所以⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡mn n n 21=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡mn m m n n a a a a a aa a a212222111211⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡nβββ 21即nmn m m s nn n n a a a a a a a a a βββηβββηβφβη+++=+++=+++=22112222112212211111∴m ηηη 21,()3可由nβββ 21,()4线性表示 ∴秩()III ≤秩()IV ,即秩()C=秩()AB ≤秩()B即秩()AB ≤()()m i n {A B }秩，秩 定理 2 设、都是n 级矩阵，若0A B =则秩()A +秩()B ≤n[5].证明 对分块如下:()12nB B B B = 由于0A B =即()120nA B A B A B = 即()01,2,,i A B i n == 说明的各列B 都是0A X =的解.从而秩()12nB B B ≤基础解系=n -秩()A 即秩()A+秩()B ≤n3.1 分块矩阵在求逆矩阵方面的应用命题1[10]设P =⎥⎦⎤⎢⎣⎡D C B A 是一个四分块方阵，其中B 为r 阶方阵, C 为k 阶方阵,当B 与)(1A DB C --都是可逆矩阵时，则P 是可逆矩阵，并且1-P=⎥⎦⎤⎢⎣⎡---+----------------1111111111111)()()()(A DB C A B DB A DB C A B B A DB C DB A DB C 特例 ()1 当A =0，D =0，B 与C 都可逆时，有1-P=⎥⎦⎤⎢⎣⎡--0011B C . ()2 当A =0，D ≠0，B 与C 都可逆时，有1-P=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-----01111B C DB C ()3 当A ≠0，D =0，B 与C 都可逆时，有1-P=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-----1111AC B BC 证明 设P 可逆，且1-P =⎥⎦⎤⎢⎣⎡W Z Y X，其中Y 为k 阶方阵，Z 为r 阶的方阵.则应有 于是得到下面的等式(4.1)0(4.2)0(4.3)(4.4)k r X AY C E X BY D Z AW C Z BW DE +=⎧⎪+=⎪⎨+=⎪⎪+=⎩因为可逆，用1-B 右乘（3.2）式可得代入（3.1）式得Y -11)(---A DB C 则X =11)(----A DB C D 1-B . 用右乘（3.4）式可得=()r E W D -1-B =1-B -1W D B - 代入（3.3）式得W =1B A -11)(---A DB C则 可得Z =1-B +1B A -11)(---A DB C D 1-B .所以1-P=⎥⎦⎤⎢⎣⎡W Z Y X ⎥⎦⎤⎢⎣⎡---+----------------1111111111111)()()()(A DB C A B DB A DB C A B B A DB C DB A DB C . 命题2 设Q =⎥⎦⎤⎢⎣⎡D C B A 是一个四分块方阵，其中A 为r 阶方阵，D 为k 阶方阵，当A 与（B CA D 1--）都是可逆矩阵时，则Q 是可逆矩阵,并且1-Q =1-⎥⎦⎤⎢⎣⎡D C B A =⎥⎦⎤⎢⎣⎡------+-------------1111111111111)()()()(B CA D CA B CA D B CA D B A CA B CA D B A A特例 （1） 当B =0，C =0，A 与D 都可逆时，有1-Q=⎥⎦⎤⎢⎣⎡--1100D A （2） 当B ≠0，C=0，A 与D 都可逆时，有1-Q=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-----11110D BD A A 1X Y D B-=（3） 当B =0，C ≠0，A 与D 都可逆时，有1-Q=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-----11110D CA D A 此结论参考命题1.例1 设M =⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡------6000004000001001095201473，求1-M . 解 令=⎥⎦⎤⎢⎣⎡--5273，=⎥⎦⎤⎢⎣⎡--109014，=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡000000，D =⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--600040001.则很容易求得1-A =⎥⎦⎤⎢⎣⎡--3275，1-D =⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--6/10004/10001 且11---BD A =-⎥⎦⎤⎢⎣⎡--3275⎥⎦⎤⎢⎣⎡--109014⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--600040001=⎥⎦⎤⎢⎣⎡---2/12/1196/74/543 由命题2可得，1-M =⎥⎦⎤⎢⎣⎡-----1111D O BD A A =⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡-------6/1000004/1000001002/12/119326/74/54375 3.2 分块矩阵在行列式计算式方面的应用在线性代数中 ,分块矩阵是一个十分重要的概念 ,它可以使矩阵的表示简单明了 ,使矩阵的运算得以简化. 而且还可以利用分块矩阵解决某些行列式的计算问题. 而事实上 ,利用分块矩阵方法计算行列式 ,时常会使行列式的计算变得简单 ,并能收到意想不到的效果[11]. 本节给出利用分块矩阵计算行列式的几种方法.引理 设矩阵H =⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡s A OOA O A A21或H =⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡s A AO A O OA21其中sA A A ,,,21 均为方阵，则 H =s A A A 21.3.2.1矩阵A 或B 可逆时行列式|H|的计算 命题 1 B A 、分别为m 与n 阶方阵. 证明 : (1)当可逆时 ,有BCD A =A D CA B 1-- (3.5) (2)当可逆时 ,有BCD A =C DB A 1--B (3.6) 证明 根据分块矩阵的乘法 ,有⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡---D CA B D A B C D A E CA E 1100 由引理知，两边取行列式即得(3.5).()2 根据分块矩阵的乘法 ,有⎥⎦⎤⎢⎣⎡--E DB E 01⎥⎦⎤⎢⎣⎡B C D A =⎥⎦⎤⎢⎣⎡--B C C DB A 01两边取行列式即得(3.6).此命题可以用来解决一些级数较高的矩阵求逆问题，但在利用命题1时,要特别注意条件有矩阵或可逆，否则此命题不适用，下面给出此命题的应用.推论1 设,,,ABCD 分别是,,m n nm ⨯和mn ⨯矩阵. 证明 B C DE m=CD B - ( 3.7) nE CD A =DC A - (3.8) 证明 只需要在命题1的(3.5)中令=m E , 即得(3.7);在(3.6)中令=n E ,即得(3.8). 推论2 ,C D 分别是n m ⨯和mn ⨯矩阵.证明 nm E CD E =CD E n -=DC E m - (3.9) 证明 在推论1的(3.7)中,令=n E ,在(3.8)中,令=m E ,即得（3.9)例3 计算下面2n 阶行列式n H 2=bcb c d a da()0a ≠解 令=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡a a ,=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡b b，=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡c c ，D =⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡dd为n 阶方阵.由于0a ≠,故为可逆方阵.又易知-D CA1-=⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡------d ca b d ca b d ca b 111从而由命题1中()1得n H 2=AD C B=DCA B A 1-- =nn d ca b a )(1--=n cd ab )(-.例4 计算行列式()1);,,2,1,0(,00100100111121n i a a a a a i n=≠ ()2cb b b b a a a a nn3213211000100010001解 ()1 设=BC DA ，其中 =()0a ,=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡n a a a21，=T )1,,1,1( ，D =)1,,1,1( . 因为n i a i ,,2,1,0 =≠所以是可逆矩阵.又易知 A -C DB 1-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-∑=ni i a a 10/1从而由命题1中的结论()4.2得BC D A=1A DB CB -- =⎥⎦⎤⎢⎣⎡-∑=ni i n a a a a a 1021/1 （2）设Q =BC DE n，其中 B =（c ），C =),,,(21nb b b ，D =Tn a a a ),,(21 由于C D =),,,(21nb b b Tn a a a ),,(21 =∑=ni ii ba 1从而由推论1知,=BC DEn=B CD -=c -∑=ni ii ba 1.3.2.2矩阵,A B C D==时行列式|H|的计算 命题 2 ,A C 是两个n 阶方阵.则AC CA=|A+C||A-C| 证明 根据行列式的性质和定理，有AC CA =A A C C C A ++=C A C C A -+0 =A CA C +-. 例1 计算行列式.D =000xyzx zy y z x z y x解 这道题看似简单 ,但如果方法选择不好,做起来并不轻松. 这里设=⎥⎦⎤⎢⎣⎡00x x ，=⎥⎦⎤⎢⎣⎡y z z y 由命题2知D =ACCA=C A C A -+ =yzx z x y++yzx z x y ----=])(][)([2222z x y z x y --+- =))()()((z y x z y x z y x z y x ++--+-+-++行列式的计算是线性代数中的一个重要内容,本节就行列式的计算问题具体就形如H =BC DA （,,,ABCD 分别是,,m n nm ⨯和mn ⨯矩阵）的类型的行列式计算进行了分析，其中将一个行列式分块成,,,ABCD 后，又细分为几种情况进行了讨论，依据不同的情况给出了不同的计算方法，在计算行列式时可根据这几种不同的情况具体问题具体对待，从而简化行列式的计算过程.在这一部分可见，利用分块矩阵计算行列式主要是靠分块矩阵来改变原来矩阵的级数从而达到简化计算过程，快速解决问题的目的.。
分块矩阵及其应用
分块矩阵及其运用摘要分块矩阵是高等代数中的一个重要内容，是处理阶数较高的矩阵时常采用的技巧，也是数学在多领域的研究工具。
对矩阵进行适当分块，可使高阶矩阵的运算可以转化为低阶矩阵的运算，同时也使原矩阵的结构显得简单而清晰，从而能够大大简化运算步骤，或给矩阵的理论推导带来方便。
有不少数学问题利用分块矩阵来处理或证明，将显得简洁、明快。
本文先介绍了分块矩阵的概念、运算，几类特殊的分块矩阵，讨论了分块矩阵的初等变换，接着介绍了分块初等矩阵及其性质，最后分类举例说明了分块矩阵在高等代数中的一些应用，包括在在行列式计算中的应用，在证明矩阵秩的问题中的应用，在矩阵求逆问题中的应用，在解线性方程组问题中的应用，在线性相关性及矩阵分解中的应用，在特征值问题中的应用，在相似与合同问题中的应用以及在其他问题中的应用等。
大量的例体现了矩阵分块法的基本思想，说明了应用分块矩阵可以使高等代数中的很多计算与证明问题简单化，所以了解分析并掌握分块矩阵的性质与应用及相关的技巧是非常必要的。
关键词矩阵分块矩阵初等变换应用Block Matrix and its ApplicationAbstract:Matrix is an important concept in high algebra，it's often used to deal with high order matrix and it's an instrument of math in many fields.Dividing matrix in a proper way can turn the operation of high order matrix into the operation of a low order matrix.At the same time，it makes the structure of the original matrix look simple and clear，so it can simplify the steps of the operation a lot or bring the convenience for the theory derivation of matrix.A lot of math problems solved or proved by using block matrix appears concise.At the beginning，this paper introduces the concepts and operations of block matrix and some special kinds of block matrix，then，it discusses the elementary transformation of block matrix and introduces the elementary block matrix and it's natures.At last，it explains the use of block matrix in high algebra by making examples in several kinds，including the use in the calculation of determinant，the testify of the problem of the rank of matrix，the answer of the inverse of matrix，the answer of system of linear equations，the linear correlation and the dividing of matrix，the problem of the eigenvalue，the similar matrix and Contract matrix and so on.A lot of example shows the basic theory of block matrix，It shows that using block matrix can make the calculation and the testify in high algebra easier.It is necessary that we must learn and analyse and grasp the skill of block matrix which is an important concept in high algebra.Key words: matrix block matrix elementary transformation application目录1前言 (1)2分块矩阵 (1)2.1分块矩阵的定义 (1)2.2分块矩阵的运算 (2)2.2.1加法 (2)2.2.2数乘 (2)2.2.3乘法 (2)2.2.4转置 (4)2.3两种特殊的分块矩阵 (4)2.3.1分块对角矩阵 (4)2.3.2分块上（下）三角形矩阵 (5)2.4两种常见的分块方法 (6)2.5分块矩阵的初等变换 (7)2.6分块初等矩阵及其性质 (7)3分块矩阵的应用 (8)3.1在行列式计算中的应用 (9)3.2在证明矩阵秩的问题中的应用 (17)3.3在逆矩阵问题中的应用 (25)3.3.1解线性方程组法 (26)3.3.2初等变换法 (27)3.3.3三角分解法 (29)3.4在解线性方程组问题中的应用 (30)3.4.1齐次线性方程组 (30)3.4.2非齐次线性方程组 (31)3.5在线性相关性及矩阵分解中的应用 (34)3.5.1关于矩阵列（行）向量的线性相关性 (34)3.5.2矩阵的分解 (34)3.6在特征值问题中的应用 (35)3.7分块矩阵在相似问题中的应用 (37)3.8分块矩阵在合同问题中的应用 (38)3.9分块矩阵在矩阵分解中的应用 (40)3.10分块矩阵的其他应用 (41)4结束语 (42)参考文献 (43)致谢 (44)1 前言矩阵作为重要的数学工具之一，有极其实用的价值。
分块矩阵及其应用汇总
分块矩阵及其应用徐健,数学计算机科学学院摘要：在高等代数中，分块矩阵是矩阵内容的推广. 一般矩阵元素是数量，而分块矩阵则是将大矩阵分割成小矩形矩阵，它的元素是每个矩阵块.分块矩阵的引进使得矩阵工具的利用更加便利，解决相关问题更加强有力，所以其应用也更广泛. 本文主要研究分块矩阵及其应用，主要应用于计算行列式、解决线性方程组、求矩阵的逆、证明与矩阵秩有关的定理.关键词：分块矩阵；行列式；方程组；矩阵的秩On Block Matrixes and its ApplicationsXu Jian, School of Mathematics and Computer ScienceAbstract In the higher algebra, block matrix is a generalization of matrix content. In general, matrix elements are numbers. However, the block matrix is a large matrix which is divided into some small rectangular matricies, whose elements are matrix blocks. The introduction of the block matrix makes it more convenient to use matrix, and more powerful to solve relevant problems. So the application of the block matrix is much wider. This paper mainly studies the block matrix and its application in the calculation of determinant, such as solving linear equations, calculating inverse matrix, proving theorem related to the rank of matrix , etc.Keywords Block matrix; Determinant; System of equations; Rank of a matrix1 引言我们在高等代数中接触到矩阵后，学习了矩阵的相关性质，但是对于一些复杂高阶矩阵，我们希望能将问题简化. 考虑将矩阵分割为若干块，并将矩阵的部分性质平移至分块矩阵中，这样的处理往往会使问题简化.定义1.11 分块矩阵是把一个大矩阵分割成若干“矩阵的矩阵”，如把m n ⨯矩阵分割为如下形式的矩阵：m nA ⨯=1111n m mn A A A A ⎛⎫⎪ ⎪ ⎪⎝⎭特别地，对于单位矩阵分块：n nE ⨯=11000000nn E E ⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭显然，这里我们认识的矩阵元素不再局限于数字，而是一个整体，这里的ijA所代表的是大矩阵囊括的小矩阵，而小矩阵一般是我们熟知的常见矩阵.依照以上设想，有关矩阵性质的一些问题,我们可以考虑用分块矩阵的思路来解决.2 分块矩阵2.1矩阵的相关概念在矩阵的学习中，我们学过一些最基本的概念，比如矩阵的行列式、矩阵的秩、矩阵的逆、初等变换、初等矩阵等等.事实上，我们发现：分块后的矩阵同样用到这些概念.定义2.1.1[2] n 级行列式111212122212n n n n nna a a a a a a a a 等于所有取自不同行不同列的n 个元素的乘积1212n j jnj a a a 的代数和，这一定义又可写成:111212122212n n n n nna a a a a a a a a =()()121212121n n nj j j j jnj j j ja a a τ-∑.定义 2.1.22向量组的极大无关组所含向量的个数称为这个向量组的的秩.所谓矩阵的行秩就是指矩阵的行向量组的秩；矩阵的列秩就是矩阵列向量组的秩.定义2.1.32 n 级方阵称为可逆的，如果有n 级方阵B ，使得AB BA E ==（这里E 是n 级单位矩阵），那么B 就称为A 的逆矩阵，记为1A -. 定义2.1.43对分块矩阵施行下列三种初等变换：(1) 互换分块矩阵的某两行(列)；(2) 用一个非奇异阵左（右）乘分块矩阵的某一行(列)；(3) 用一个非零阵左(右)乘分块矩阵的某一行(列)加至另一行(列)上， 分别称上述三种初等行(列)变换为分块矩阵的初等行(列)变换.定义2.1.53 对m n +阶单位矩阵作22⨯分块，即m n I +=mn IO O I ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，然后对其作相应的初等变换所得到的矩阵称为分块初等矩阵. 分块矩阵具有以下形式：(1) 分块初等对换阵nm I O OI ⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭；(2) 分块初等倍乘阵0n P O I ⎛⎫ ⎪⎝⎭，0mI O Q ⎛⎫⎪⎝⎭；(3) 分块初等倍加阵1mn I R OI ⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭，m n I O SI ⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭； 其中P ,Q 分别是m 阶和n 阶可逆方阵，且1m nR R ⨯∈，n m S R ⨯∈为非零阵.2.2矩阵的运算性质矩阵的运算包括加法、乘法、数乘，这里主要讨论矩阵的运算性质：定义2.2.14 矩阵加法：设()=ij sn A a ， ()=ij snB b 是两个同型矩阵，则矩阵()ij sn C c ==()ij ij sn a b +称为A 和B 的和，记为C A B =+.元素全为零的矩阵称为零矩阵，记为sn O ，可简单记为O ,对于矩阵A 、B ，有:(1) A O A += (2) ()0A A +-= (3) ()A B A B -=+- (4) ()()A B C A B C ++=++(5)A B B A +=+定义2.2.24 矩阵乘法：设()=ik sn A a ，()=kj nm B b 是两个不同型矩阵，那么矩阵()ij smC AB c ==，称为矩阵A 与B 的乘积，其中：11221nij i j i j in nj ik kj kc a b a b a b a b ==++=∑ 在乘积的定义中，我们要求第二个矩阵行数和第一个矩阵列数相等.特别地，矩阵的乘法和加法满足以下性质： (1) ()A B C AB AC +=+ (2) ()B C A BA CA +=+ (3) ()()AB D A BD =定义2.2.34矩阵数乘：111212122212n n s s sn ka ka ka ka ka ka kaka ka ⎛⎫⎪⎪⎪ ⎪ ⎪⎝⎭称为矩阵()ij sn A a =与数k 的数量乘积，记为kA ，有以下性质：(1) 1A A *=；(2) ()()k lA kl A =; (3) ()k A B kA kB +=+; (4) ()k l A kA lA +=+; (5) ()k A B kA kB +=+.2.3分块矩阵的初等变换性质我们对于分块矩阵，也有其运算性质：设A 、B 是m n ⨯矩阵，若对它们有相同的划分，也就有：加法：11111111t t s s st st A B A B A B A B A B ⎛⎫++ ⎪⎪+= ⎪ ⎪ ⎪++⎝⎭. 乘法：C AB =, 其中：11221nij i j i j in nj ik kj kC A B A B A B A B ==+++=∑.数乘：1111t s st kA kA kA kA kA ⎛⎫ ⎪⎪= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭.总结了矩阵的运算性质，我们主要看看分块矩阵初等变换性质： 定义2.3.12 由单位矩阵E 经过一次初等变换得到的矩阵称为初等矩阵. 初等矩阵都是方阵，包括以下三种变换：(1) 互换矩阵E 的i 行与j 行的位置; (2) 用数域P 中的非零数c 乘E 的i 行; (3) 把矩阵E 的j 行的k 倍加到i 行. 定义2.3.25将单位矩阵分块，并施行如下三种变换中的一种变换而得到的方阵称为分块初等矩阵:(1) 对调两块同阶的块所在的行或列; (2) 某一块乘以同阶的满秩方阵;(3) 某一块乘以一个矩阵后加到另一行上(假定这种运算可以进行).如：我们对分块矩阵A B C D ⎛⎫⎪⎝⎭进行相应变换，只要应用矩阵的计算性质，左乘对 应分块矩阵：m nO E E O ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭A B C D ⎛⎫ ⎪⎝⎭=C D A B ⎛⎫ ⎪⎝⎭n PO OE ⎛⎫ ⎪⎝⎭A B C D ⎛⎫ ⎪⎝⎭=PA PB C D ⎛⎫⎪⎝⎭m n E O P E ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭A B C D ⎛⎫ ⎪⎝⎭=A B C PA D PB ⎛⎫ ⎪++⎝⎭2.4矩阵的分块技巧对矩阵的分块不是唯一的，我们往往根据问题的不同进行不同的分块，分块的合适与否，都对问题的解决至关重要，最常见的有四种分块方法6：(1) 列向量分法，即()1,,n A αα=，其中j β为A 的列向量.(2) 行向量分法，即1m A ββ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，其中j β为A 的行向量.(3) 分两块，即()12,A A A =,其中1A ,2A 分别为A 的各若干列作成.或⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭12B A B ，其中1B ，2B 分别为A 的若干行作成.(4) 分四块，即1234C C A C C ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭.我们在进行分块时，希望分割的矩阵块尽可能是我们所熟悉的简单矩阵，于是，我们有必要熟悉一些常见的矩阵.2.5常见的矩阵块我们把高等代数中学习过的一些常见矩阵总结如下：（1）单位矩阵：对角线元素都为1，其余元素为0的n 阶方阵. （2）对角矩阵：对角线之外的元素都为0的n 阶方阵.（3）三角矩阵：对角线以上（或以下）元素全为0的n 阶方阵. （4）对称矩阵：满足矩阵A 的转置和A 相等. （5）若尔丹（Jordan ）块：形如00010(,)000001J t λλλλ⎛⎫ ⎪ ⎪⎪= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭（6） 若尔丹形矩阵：由若干个若尔丹块组成的准对角矩阵, 其一般形状形如：12n A A A ⎛⎫⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭在复杂矩阵中，找到这些矩阵块，会使计算简化.3分块矩阵及其应用3.1行列式计算的应用定理3.1.12拉普拉斯（Laplace ）定理:设在行列式D 中任意取定了k 个行.由这k 行元素所组成的一切k 级子式与它们的代数余子式的乘积的和等于行列式 D .事实上，行列式计算中的拉普拉斯定理就包括了矩阵分块的思想，它通过取k 级子式的方法，提取出矩阵内的矩阵块. 然而，在行列式计算中，行列式按行或列的展开更为常用. 这里，我们最常用到的是取列向量分块和行向量分块.例3.1.17：（爪形行列式）计算行列式：012111101001na a a a ,其中0(1,2,,)i a i n ≠=.解:设A DQ C B=,其中0()A a = 1na B a =，(1,1,,1)T C =，(1,1,,1)D =.因为0(1,2,,)i a i n ≠=，所以 B 是可逆矩阵.又易知: 1011ni i A DB C a a -=⎛⎫-=-⎪⎝⎭∑. 根据分块矩阵乘法：1100E AD A DCA E C B B CA D --⎛⎫⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭⎝⎭则：1112011nn i i A DA B CA D B A DB C a a a a a C B --=⎛⎫=-=-=- ⎪⎝⎭∑ 故：原行列式=12011nn i i a a a a a =⎛⎫- ⎪⎝⎭∑.例3.1.27：(对角行列式)计算行列式：2n adadH c bcb =.解：令a A a ⎛⎫ ⎪=⎪ ⎪⎝⎭，b B b ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，c C c ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，d D d ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭为n 阶方阵. 由于0a ≠,故A 为可逆方阵.又易知：1B CA D --=111b ca d b ca db ca d ---⎛⎫-⎪-⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭故112()()n n n n A DH A B CA D a b ca d ab cd C B--==-=-=-.例3.1.38：设A 、B 、C 、D 都是n 阶矩阵，证明当AC CA =时，A 可逆时，有A DAB CD C B=-证明：若A 可逆，110AD AE A D C B CB CA D OE --⎛⎫⎛⎫⎛⎫-= ⎪⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭, 故：11A DA B CA D AB ACA D AB CD C B--=-=-=-. 注意到，这里计算分块矩阵行列式和计算一般数字矩阵行列式有所区别，不是简单的a dab cd c b=-，其矩阵块限制条件有所加强. 所以本例告诉我们，在矩阵分块以后，并非所有一般矩阵性质都可以应用到分块矩阵中.3.2线性方程组的应用对于线性方程组，我们有以下四种表述： （1）标准型：11112211211222221122n n n n m m mn n ma x a x a xb a x a x a x b a x a x a x b ⎧+++=⎪+++=⎨⎪+++=⎩; （2）矩阵型：令ij m n A a ⨯⎡⎤=⎣⎦，'=12(,,,)n x x x x ，'=12(,,)m B b b b方程组可以表述为：Ax B =; （3）列向量型：令112111m a a a α⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦，122222m a a a α⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦，，12n n nmn a a a α⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦则方程组又可以表述为：1122n n x x x B ααα+++=;（4）行向量型： ααα''''+++=1122n n x x x B .可见，矩阵分块为我们解方程组提供了新的思路.事实上，在求齐次线性方程组系数矩阵的秩时，在判断非齐次线性方程组是否有解时，行列向量组的合理应用，使得问题解决更加便捷、明了.例3.2.1：（齐次线性方程组）求解方程组：1234123412342202220430x x x x x x x x x x x x ⎧+++=⎪+--=⎨⎪---=⎩ 解：对系数矩阵施行行变换,并将结果用分块矩阵表示：21251023122112214212203640123114303640000E C A O O ⎛⎫-- ⎪⎪⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪⎪=-----= ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎝⎭ ⎪ ⎪ ⎪------⎝⎭⎝⎭⎪ ⎪⎝⎭()2R A =，基础解系含422-=个. 而方程又满足：2112200E C O O αα⎛⎫⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭, 相应的可以取：25234231001C E ⎛⎫ ⎪⎪⎛⎫-⎪--= ⎪ ⎪⎝⎭ ⎪⎪ ⎪⎝⎭有通解：1122k k βββ=+，其中12210β⎛⎫ ⎪- ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，2534301β⎛⎫⎪ ⎪ ⎪-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭.例3.2.29：（非齐次线性方程组）求解方程组：1245123451234512345232133223452799616225x x x x x x x x x x x x x x x x x x x ⎧+-+=⎪--+-=⎪⎨-+-+=⎪⎪-+-+=⎩ 解：我们分别对于方程组的系数矩阵和增广矩阵求秩：()3r A =，而()4r A =, 故()()r A r A ≠. 从而方程组无解.事实上，我们可以利用分块矩阵叙述：经对分块矩阵45450b E ⎛⎫Λ-⎪ ⎪⎝⎭进行行列变换，都不能把最后一列变成0,所以该方程组无解.例3.2.3：证明：n 阶方阵A 的秩为n-1，则()=1rank A * 首先证明此例需要利用的一个引理：引理：()ij n n A a ⨯=，()ij n n B b ⨯=，()r A r =，0AB =，则()r B n r ≤- 证明：对矩阵B 进行列向量的分块，12,(,)n B B B B =,0AB =则有：0i AB =，i B 是0AX =的解. 而0AX =基础解系有n r -个解. 故：()r B n r ≤- 再证明本例：因为()1r A n =-，则0A =，A 至少有一个1n -级子式不为零,()1rank A *≥.而：0AA A E *==.利用引理得：()1rank A *≤，故()=1rank A *. 得证.3.3求矩阵逆的应用我们在求矩阵逆的时候包括很多方法：利用定义求逆、利用伴随矩阵求逆、利用初等变换求逆、混合采用初等行列变换求逆等等.这里我们统一用矩阵分块的思路来求矩阵的逆.例3.3.16：设A 、B 是n 阶方阵，若A B +与A B -可逆，试证明：A B B A ⎛⎫⎪⎝⎭可逆，并求其逆矩阵. 解：令AB D BA ⎛⎫=⎪⎝⎭，由假设知0A B +≠,0A B -≠.那么： 0A B A B B A BB D B A B A A A B++===+-0A B A B =+-≠.即D 可逆. 再令12134D D DD D -⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭, 由1DD E -=，即：123400D D A B E BA D D E ⎛⎫⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 可得：1312242400AD BD E BD AD AD BD BD AD E⎧+=⎪+=⎪⎨+=⎪⎪+=⎩将第一行和第二行相加、相减，得：113113()()D D A B D D A B --⎧+=+⎪⎨-=-⎪⎩ 解之得：1111()()2D A B A B --⎡⎤=++-⎣⎦,1121()()2D A B A B --⎡⎤=+--⎣⎦类似地：23D D =,41D D =. 所以：1111111111()()()()2()()()()A B A B A B A B A B BA AB A B A B A B ---------⎛⎫⎛⎫++-+--= ⎪⎪+--++-⎝⎭⎝⎭.例3.3.26：已知分块形矩阵0AB M C⎛⎫=⎪⎝⎭可逆，其中B 为p p ⨯块，C 为q q ⨯块，求证：B 与C 都可逆，并求1M -.解：由()01pqM B C ≠=-，则：0B ≠,0C ≠,即证B 、C 都可逆.这里用分块矩阵的广义初等变换来求逆：111000000pq A BE A BEBEAC C E E C EE ---⎛⎫⎛⎫⎛⎫-→→ ⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭11111111000000E B B AC E C E C EB B AC --------⎛⎫⎛⎫-→→⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭故：111110C MB B AC -----⎛⎫= ⎪-⎝⎭. 备注：本例和上例属于同一个类型的问题，但我们利用分块矩阵，可以有两种不同的方法来解决，待定系数法和广义初等变换都是求逆的有效方法.值得注意的是，在题目没有直接给出分块矩阵的情况时，我们要学会自己构造:例3.3.310：求矩阵101210325A ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪--⎝⎭的逆矩阵.解：构造矩阵：66101100101100210010012210325001022301100000100000010000010000001000001000A E D E O ⨯⎛⎫⎛⎫⎪⎪-- ⎪ ⎪ ⎪⎪⎛⎫---==→ ⎪⎪⎪⎝⎭ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭101101011000122100122100027210027211000001010001000001000000100000100⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪---- ⎪ ⎪ ⎪⎪--→→ ⎪⎪- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 1001001001000102100102100017210027211100001010002012000011000001000100002⎛⎫ ⎪⎛⎫- ⎪ ⎪- ⎪- ⎪ ⎪ ⎪- ⎪→→ ⎪-⎪- ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭ ⎪⎝⎭. 所以;1151101100222011210511172171001222A -⎛⎫⎛⎫---- ⎪ ⎪⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪=-=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭ ⎪ ⎪- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. 此方法在计算上并不简单，但是它把平常的单纯的一种变换变成了两种变换同时应用，把已知的可逆矩阵置于含单位矩阵的分块矩阵中，以此求逆矩阵，有时比较简单.3.4矩阵秩基本不等式矩阵理论中， 矩阵的秩是一个重要的概念，而矩阵经过运算后所得新矩阵的秩往往与原矩阵的秩有一定关系. 现把高等代数书中有关矩阵秩最基本的不等式总结如下：（1）矩阵和的秩不超过两矩阵秩的和.即：设A 、B 均为m n ⨯矩阵，则：()r ()()r A B A r B +≤+.（2）矩阵乘积的秩不超过各因子的秩.即：设A 是m n ⨯矩阵 ,B 是n s ⨯矩阵，则：{}()min (),()r AB r A r B ≤.（3）()()0A B r r A r B C ⎛⎫≥+ ⎪⎝⎭.（4）1ij m A r A A ⎛⎫⎪≥⎪ ⎪⎝⎭.再来介绍由分块矩阵证明导出的两个基本不等式 例3.4.111：（薛尔弗斯特不等式）设()ij s nA a ⨯=，()ij n mB b ⨯=，证明：()()()rank AB rank A rank B n ≥+-证明：由分块矩阵的乘积00000n nn ns m E E B E B E A E E A AB ⎛⎫⎛⎫-⎛⎫⎛⎫= ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭知：()()()0nn E B rank rank E rank AB n rank AB A ⎛⎫=+-=+⎪⎝⎭. 但,()()00n n E B B E rank rank rank A rank B AA ⎛⎫⎛⎫=≥+⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. 故：()()()n rank AB rank A rank B +≥+得证.备注：在矩阵秩不等式的证明过程中，我们往往会构造如下的分块矩阵：(1) 矩阵不等式中含两个不同矩阵：构造00A B ⎛⎫⎪⎝⎭;(2) 矩阵不等式中含有两个不同矩阵及阶数：构造0A E B ⎛⎫ ⎪⎝⎭或者0AE B ⎛⎫⎪⎝⎭.具体分块矩阵的元素则要看题目所给的条件.例3.4.26：（Frobenius 不等式）设A 、B 、C 是任意3个矩阵，乘积ABC 有意义，证明：()()()()r ABC r AB r BC r B ≥+-证明：设B 是n m ⨯矩阵，()r B r = 那么存在n 阶可逆阵P ，m 阶可逆阵Q ，使000r E B P Q ⎛⎫=⎪⎝⎭.把P 、Q 适当分块：(),P M S =,NQ T ⎛⎫=⎪⎝⎭, 由上式有： ()0,00r E N B M S MN T ⎛⎫⎛⎫==⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. 故：()()()()r ABC r AMNC r AM r NC r =≥+- ()()()r AMN r MNC r B ≥+-()()()r AB r BC r B =+-.得证.3.5矩阵秩不等式证明的应用矩阵基本不等式的证明思路，在一般不等式中也常常用到， 以下例题是对矩阵秩不等式的推广及其应用：例3.5.111：设A 为m k ⨯矩阵，B 为k n ⨯矩阵，则证明：{}()+rank(B)-k rank(AB)min (),()rank A rank A rank B ≤≤证明：先证明右边的不等式，由：()0()()0knE B A A AB E =;⎛⎫⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭00km E B B AB A E , 可得：()rank (0)()()rank A A rank A AB rank AB ==≥; ⎛⎫⎛⎫==≥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()()0B B rank B rank rank rank AB AB .再证左边的不等式.注意到下列事实：00000mkkk k n E A E B A AB E B E E E ⎛⎫⎛⎫--⎛⎫⎛⎫-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭则：000kk A AB rank rank E B E ⎛⎫⎛⎫-=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭于是：0()rank ()rank ()()()k k A rank A B rank AB rank E rank AB k E B ⎛⎫+≤=-+=+⎪⎝⎭从而: ()()()rank A rank B k rank AB +-≤.这里也是用到构造矩阵的方法.例3.5.26：设n 阶矩阵A 、B 可交换，证明：()()()()rank A B rank A rank B rank AB +≤+- 解：利用分块初等变换，有：A O AB A BB O B O B BB ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+→→ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭, 因为AB BA =，所以：E OA B B A B B BA B BB O AB ⎛⎫⎛⎫⎛⎫++= ⎪⎪ ⎪---⎝⎭⎝⎭⎝⎭. 于是，有：()()A BB A B B rank A rank B rank rank BB OAB ⎛⎫⎛⎫+++=≥⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭()()rank A B rank AB ≥++.即：()()()()rank A B rank A rank B rank AB +≤+-. 得证.例3.5.3：设A 是n 阶方阵，且2()()r A r A =,证明：对任意自然数k ,有()()k r A r A =证：构造分块矩阵22A O O A ⎛⎫⎪⎝⎭，由Frobenius 不等式： 22332232()+r ()()()A O A A O A r A A r r r r A r A AA A O A O ⎛⎫⎛⎫⎛⎫--≤===+⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭. 由：2()()r A r A =所以，322()()()r A r A A r A =*≤. 故：23r ()()A r A =.由此可推得：3445()(),()(),r A r A r A r A ==.故：对任意自然数k , 有：()()k r A r A =.3.6综合应用在掌握了分块矩阵的技巧之后，可以由其导出的一个重要的定理：特征多项式的降阶定理，以下主要讨论该定理及其结论的应用.例3.6.16：（特征多项式的降阶定理）设A 是m n ⨯矩阵，B 是n m ⨯矩阵. 证明:AB 的特征多项式()AB f λ与BA 的特征多项式()BA f λ有如下的关系：()()n m AB BA f f λλλλ=.证：先要把上式改写为：n m m n E AB E BA λλλλ-=-.用构造法，设0λ≠，令：1n mE BH AE λ=. 对11010n n n n m m E BE E B A E AE E AB λλλ⎛⎫⎛⎫ ⎪⎛⎫ ⎪⎪=⎪ ⎪ ⎪-⎪ ⎪⎝⎭- ⎪⎝⎭⎝⎭两边取行列式得： 11()m m m H E AB E AB λλλ=-=-. 再对11100nnnn mm E E B E BA B A E A E E λλλ⎛⎫⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪= ⎪⎪⎪ ⎪- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭两边取行列式得：11()n n n H E BA E BA λλλ=-=-.故：11n m nmE BA E AB λλλλ-=-m n n m E BA E AB λλλλ-=-.上述等式是假设了0λ≠，但是两边均为λ的n m +次多项式，有无穷多个值使它们成立（0）λ≠，从而一定是恒等式，即证. 这个等式也称为薛尔弗斯特（Sylvester ）公式. 以下例题是定理的应用.例 3.6.26：设A 为m n ⨯矩阵，B 为n m ⨯矩阵，证明：AB 与BA 有相同的非零特征值.证：由定理：m n n m E BA E AB λλλλ-=-. 设m 12s ()()()m s E AB λλλλλλλλ--=---,其中120m λλλ≠，即AB 有s 个非零特征值：12,,,s λλλ, 由上面两式,那么有：n-s 12()()()n s E BA λλλλλλλλ-=---即证BA 也只有s 个非零特征值：12,,,s λλλ.例3.6.36：设A 、B 分别是m n ⨯和n m ⨯矩阵，证明：trAB trBA =.解：由上例知，若1()()m s m s E AB a a λλλλ--=--其中120s a a a ≠.则AB 的全部特征值为111,,,0s s s m a a λλλλ+=====,且：1(-)()n s n s E BA a a λλλλ--=-.即BA 的全部特征值为:11221,,,0s n a a ττττ+=====.从而 1si itrAB a trBA ===∑.可见，在一些问题中，直接利用特征多项式的降阶定理会更加方便处理，这里则要求我们对分块矩阵的了解更加深刻.结论本文主要通过“分块矩阵、分块矩阵及其应用”两个部分，分别简单介绍了分块矩阵的性质概念、导出的定理结论和相关应用.主要是将分块矩阵的技巧和推广做了一个内容的总结.本文简单的将矩阵工具应用于计算行列式、解决线性方程组、求矩阵的逆、证明矩阵秩的相关定理等，对应不同问题也举了几个重要的应用以及它们的综合应用.将以前出现的矩阵思想整体化，并对相关知识也做了一个系统的复习.最后，本文还有一些不足之处，有待于进一步的改善和提高.参考文献[1]上海交通大学线性代数编写组. 线性代数[M]. 高等教育出版社, 1982.[2]北京大学. 高等代数{M}. 高等教育出版社, 1998.[3]高百俊. 分块矩阵的初等变换及其应用[J]. 伊犁师范学院学报, 2007(4):14-18.[4]张红玉, 魏慧敏. 矩阵的研究[M]. 山西人民出版社, 2010.[5]雷英果. 分块初等方阵及其应用[J].工科数学, 1998, 14(4):150-154.[6]钱吉林. 高等代数题解精粹(第二版)[M]. 中央民族大学出版社, 2010.[7]王莲花, 李念伟, 梁志新. 分块矩阵在行列式计算中的应用[J]. 河南教育学院学报(自然科学版), 2005, 14(3):12-15.[8]张贤科, 许甫华. 高等代数学[M]. 清华大学出版社, 1998:91-96.[9]杨子胥. 高等代数习题集[M]. 山东科学技术出版社, 1981.[10]鲁翠仙. 分块矩阵在求矩阵逆的应用[D]. 云南:云南大学数学系数学研究所, 2009：14-15.[11]刘丁酉. 高等代数习题精解[M].中国科学技术大学出版社, 1999.。
矩阵分块方法的应用
＼ ｏ
所 以 ｒ（Ａ ＋ Ｂ）≤ ｒ（Ａ）＋ ｒ（Ｂ）．
命题 ４ 设 Ａ 为 Ｓ× ｍ 阵 ，Ｂ 为 ｍ × ｎ 阵 ， 且 Ｅ— Ｅ ，则
收 稿 日期 ：２００８— ０２— ２８ 基 金项 目：苏 州 科 技 大 学 重点 学 科基 金 资 助 ．
ｒ（ＡＢ ）＋ ｒ（ＢＣ）≤ ｒ（Ｂ）＋ ｒ（ ＢＣ）．
证（ 明 Ａ三【ｃ ） ｃ） Ａ×（１）＋（２）
命题 １０ 设
Ｔ 一（ 三）， 一（ 三），
Ａ，Ｂ，Ｄ 可逆 ，则
一 Ｉ—Ｄ一 ｃＡ一，Ｄ一 Ｊ，
一
一
１＿
，Ｂ — ＢＣ 、
ｔ Ａ — Ｅ Ｉ ＼ Ａ
— Ａ ２
（Ｅ — Ａ ）× （２）＋ （１）
Ａ。＝ Ｅ ∞ ｒ（Ａ ＋ Ｅ）＋ ｒ（Ａ — Ｅ）一 ，ｚ．
其 中 Ｅ 为 阶单 位矩 阵 ．
（Ａ Ａ。 ）．
证明 （Ａ言Ｅ Ａ Ｅ） Ｅ × （２）＋ （１）
ｆ Ａ ＋ Ｅ Ａ — Ｅ 、 一 Ｅ × （１）＋ （２）
命题 ８ 设 Ａ、Ｂ为 阶方 阵 ，则 ＡＢ 与 ＢＡ 有相
另外 ，
ｒ（三－ＥＡ）≤ｒ（ ） Ｄ
同的特 征 多项式 ，即
Ｉ Ｅ—ＡＢ Ｉ— Ｉ膳 一ＢＡ １．
所 以 ｒ（Ｃ）≤ ｒ（Ｅ）十 ｍｉｎ｛ｒ（Ａ），ｒ（Ｂ）｝，
因 此 ， ｒ（ＡＢ）≤ ｍｉｎ｛ｒ（Ａ），ｒ（Ｂ））．
而
ｒ（Ｃ）≥ ｒ（Ａ）＋ ｒ（Ｂ），
命题 ９ 设 Ａ是 秩 为 ｒ的 ｘ 矩 阵 ，则存 在秩 为 ｒ的 × ｒ矩 阵 Ｂ 和秩 为 ｒ的 ｒ ｘ 矩阵 Ｃ，使
矩阵不可约的一个新的充要条件及判定矩阵不可约性的一个新算法
矩阵不可约的一个新的充要条件及判定矩阵不可约性的一个新
算法
何秀丽;永学荣
【期刊名称】《新疆大学学报：自然科学版》
【年(卷),期】1998(015)002
【摘要】本文获得了矩阵不可约的一个新的充要条件及判定矩阵不可约性的一个新算法，这相结果优于（１－４）中的结果。
【总页数】3页(P15-17)
【作者】何秀丽;永学荣
【作者单位】新疆农业大学基础部;新疆大学数学系
【正文语种】中文
【中图分类】O151.21
【相关文献】
1.复矩阵Mn(C)为不可约的一个充要条件 [J], 侯茂文
2.非负不可约矩阵Perron根的一个下界 [J], 廖平;王龙
3.一个不可约矩阵为非奇异H矩阵的判定条件 [J], 杨亚强;于建伟
4.计算非负不可约矩阵谱半径的新算法 [J], 宋海洲;徐强;田朝薇
5.矩阵张量积不可约性的新等价表征 [J], 王伟贤
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为不可约矩阵(PPT课件)
0 1 . 1 4
(ai ,bi ,ci 都不为零 )
则 A, B 都是不可约矩阵.
5
定理6 (对角占优定理) 如果 A (aij ) nn 为严格对角 占优矩阵或 A为不可约弱对角占优矩阵，则 A为非奇异矩阵. 证明 只就 A为严格对角占优阵证明此定理. 采用反证法， 如果 det( A) 0 ，则 Ax 0 有非零解， 记为 x ( x1 , x2 , , xn )T, 则
且记
y1 d1 T y P x y , P b d 2 2
T
其中 y1 , d1 为 r 维向量. 于是，求解 Ax b化为求解
3
A11 y1 A12 y2 d1 , A22 y2 d 2 .
由上式第2个方程组求出 y 2 , 再代入第1个方程组求出 y1.
A为可约矩阵.
否则，如果不存在这样置换阵 P 使(3.6)式成立，则 称 A为不可约矩阵.
A为可约矩阵意即 A可经过若干行列重排化为(3.6)或
2
Ax b可化为两个低阶方程组求解.
如果 A 经过两行交换的同时进行相应两列的交换， 称对 A进行一次行列重排. 事实上，由 Ax b 可化为
PT AP( PT x) PT b,
即 L 的任一特征值满足 1， 故SOR方法收敛 当 0 2 时， 可以证明 ( ) 2 2 2 0.
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定理10
设 Ax b ，如果：
(1) A为严格对角占优矩阵(或 A 为弱对角占优不可约
矩阵)；
(2) 0 1.
则解 Ax b 的SOR迭代法收敛. 下面讨论迭代法的收敛速度. 由定理3证明中可知，如果 ( B) 1且 ( B) 越小时，
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矩阵的不可约分块及其应用
st纪
【期刊名称】《渝州大学学报》
【年(卷)，期】1997(014)002
【摘要】用图论方法讨论矩阵的不可约分块问题，并把它用于判断矩阵的正亚定性和M -性。
【总页数】5页(28-32)
【关键词】矩阵可约性有向图;亚正定矩阵;M -矩阵
【作者】左光纪
【作者单位】青海民族学院
【正文语种】英文
【中图分类】0151.21
【相关文献】
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