行列式的若干计算方法研究
求解行列式的若干方法
求解行列式的若干方法一、矩阵的行列式的基本定义行列式是以n阶方阵A=[a1,a2,a3,…an] 为参数，为定义a1,a2,a3,…an 线性相关性的函数。
它称为行列式又称为阵列式，记作|A|或det A。
二、行列式的四则运算法以n阶方阵A，B为例，记|A|=a，|B|=b，行列式满足下面的法则：（1）交换行（列）：|A|= -|A'| ；（4）把存在因子分解：|A|= |A'| * |A''|。
三、行列式解法法（1）基本思想：用行列式的四则运算法把行列式分割成较小的子矩阵，最终分解成只有一项的1x1的方阵，此时，行列式的值就求得了。
（2）实施步骤：1. 找出行列式某行（列）的第一项不为零的行列(r,s)，将这两项的所在的行（列）和其余的行（列）外的元素全部给"抹去"成新的矩阵；2. 令，行列式的记号变成，其中，为原行列式A中第r行（列）抹去后元素组成的矩阵，为原行列式A第r行（列）第s个元素；3. 如果新行列式A1的阶数>1，则重复第一步，令A1的矩阵的行列式变成。
令A1的第一行（列）第一个非零元素的行（列）及其余列（行）外的元素成新的矩阵，及抹去后原矩阵A1的第一行（列）第一个非零元素；4. 如此反复，最终，A1,A2,A3,…,An可以减少到一项元素，行列式的值就可求出；设有A为3阶方阵：[1,2,-3;2,1,3;3,2,1]步骤1：A的第一列第一个非零元素为1，第一行第一个非零元素的行=1，把第一行与第一列的行和元素外的元素抹去，有：A1=|-3|= -3步骤2：A1的值令为A[1]=-3，则A的值：四、Gauss-Jordan 消去法将一个n阶方阵A，转换为 n阶单位方阵1. 首先将一个方阵A与单位方阵合并成一个新的方阵H；2. 使用行列式的基本四则运算法，把H分解成上三角A1和下三角A2矩阵的叠加；3. 把A1及A2的元素分别乘以一个常数因子，使得所有非零元素都变成1；4. 将A1和A2叠加起来，即可得到一个n阶单位方阵，此时的A的行列式的值就求出来了。
行列式的计算技巧与方法总结
行列式的若干计算技巧与方法内容摘要1. 行列式的性质2.行列式计算的几种常见技巧和方法定义法利用行列式的性质降阶法升阶法（加边法）数学归纳法递推法3. 行列式计算的几种特殊技巧和方法拆行（列）法构造法特征值法4. 几类特殊行列式的计算技巧和方法三角形行列式“爪”字型行列式“么”字型行列式“两线”型行列式“三对角”型行列式范德蒙德行列式5. 行列式的计算方法的综合运用降阶法和递推法逐行相加减和套用范德蒙德行列式构造法和套用范德蒙德行列式行列式的性质性质1 行列互换，行列式不变．即nna a a a a a a a a a a a a a a a a an2n1n22212n12111nnn2n12n 22211n 1211. 性质2 一个数乘行列式的一行（或列），等于用这个数乘此行列式．即nnn2n1in i2i1n11211k k k a a a a a a a a ak nn a a a a a a a a a n2n1in i2i1n 11211.性质3 如果行列式的某一行（或列）是两组数的和，那么该行列式就等于两个行列式的和，且这两个行列式除去该行（或列）以外的各行（或列）全与原来行列式的对应的行（或列）一样．即11121111211112111221212121212.n n nn n n n n n nnn n nnn n nna a a a a a a a abc b c b c b b b c c c a a a a a a a a a K K K M M M M M M M M M M M M K K K M M M M M M M M M M M M KK K 性质4 如果行列式中有两行（或列）对应元素相同或成比例，那么行列式为零．即k a a a ka ka ka a a a a a a nn n n in i i in i i n21212111211nnn n in i i ini i na a a a a a a a a a a a21212111211=0. 性质5 把一行的倍数加到另一行，行列式不变．即nn n n kn k k kn in k i k i n a a a a a a ca a ca a ca a a a a2121221111211nnn n kn k k ini i na a a a a a a a a a a a21212111211. 性质6 对换行列式中两行的位置，行列式反号.即nn n n kn k k in i i n a a a a a a a a a a a a21212111211=-nnn n in i i kn k k na a a a a a a a a a a a21212111211.性质7 行列式一行（或列）元素全为零，则行列式为零．即00000nn1-n n,n2n1n 11-n ,11211 a a a a a a a a.2、行列式的几种常见计算技巧和方法 定义法适用于任何类型行列式的计算，但当阶数较多、数字较大时，计算量大，有一定的局限性．例1 计算行列式004003002001000.解析：这是一个四级行列式，在展开式中应该有244 ！项，但由于出现很多的零，所以不等于零的项数就大大减少．具体的说，展开式中的项的一般形式是43214321j j j j a a a a ．显然，如果41 j ，那么011 j a ，从而这个项就等于零．因此只须考虑41 j 的项，同理只须考虑1,2,3432 j j j 的这些项，这就是说，行列式中不为零的项只有41322314a a a a ，而64321 ，所以此项取正号．故004003002001000=241413223144321 a a a a .利用行列式的性质即把已知行列式通过行列式的性质化为上三角形或下三角形.该方法适用于低阶行列式． 2.2.1 化三角形法上、下三角形行列式的形式及其值分别如下：nn n nna a a a a a a a a a a a a2211nn333223221131211000000 ，nn nnn n n a a a a a a a a a a a a a2211321333231222111000000 . 例2 计算行列式nn nn b a a a a a b a a a a21211211n 111D . 解析：观察行列式的特点，主对角线下方的元素与第一行元素对应相同，故用第一行的 1 倍加到下面各行便可使主对角线下方的元素全部变为零．即：化为上三角形．解：将该行列式第一行的 1 倍分别加到第2,3…（1n ）行上去，可得121n 11210000D 000n n na a ab b b b bKK M M M O M K.2.2.2 连加法这类行列式的特征是行列式某行（或列）加上其余各行（或列）后，使该行（或列）元素均相等或出现较多零，从而简化行列式的计算．这类计算行列式的方法称为连加法．例3 计算行列式mx x x x m x x x x mx D n nn n212121. 解： mx x mxx m x m xx x mxn ni in ni in ni i212121n Dmx x x m x x x m x n n n n i i2221111mm x x m x n n i i0000121m x m n i i n 11. 2.2.3 滚动消去法当行列式每两行的值比较接近时，可采用让邻行中的某一行减或者加上另一行的若干倍，这种方法叫滚动消去法．例4 计算行列式 2122123123122121321D n n n n n n n n n nn. 解：从最后一行开始每行减去上一行，有1111111111111111321D nn n 1111120022200021321n n111100011000011132122n n n21211 n n n .2.2.4 逐行相加减对于有些行列式，虽然前n 行的和全相同，但却为零．用连加法明显不行，这是我们可以尝试用逐行相加减的方法．例5 计算行列式111110000000000000D 32211n n a a a a a a a. 解：将第一列加到第二列，新的第二列加到第三列，以此类推，得：13210000000000000000D 321n na a a a nn n n a a a n a a a n 21n 21n 2211111 .降阶法将高阶行列式化为低阶行列式再求解． 2.3.1 按某一行（或列）展开例6 解行列式1221n 1000000000100001D a a a a a x x x x n n n.解：按最后一行展开，得n n n n n a x a x a x a D 12211 .2.3.2 按拉普拉斯公式展开拉普拉斯定理如下：设在行列式D 中任意选定了 1-n k 1k 个行.由这k 行元素所组成的一切k 级子式与它们的代数余子式的乘积的和等于行列式D.即n n 2211A M A M A M D ，其中i A 是子式i M 对应的代数余子式．即nn nn nnnn nnB A BC A • 0， nn nn nnnnnn B A B C A • 0. 例7 解行列式b bbaaa a n D .解：从第三行开始，每行都减去上一行；再从第三列开始，每列都加到第二列，得00000D n b aa aa00000021n b aa aa n•00021n ba n21n 2 n ab n .2.4 升阶法就是把n 阶行列式增加一行一列变成n+1阶行列式，再通过性质化简算出结果，这种计算行列式的方法叫做升阶法或加边法．升阶法的最大特点就是要找每行或每列相同的因子,那么升阶之后，就可以利用行列式的性质把绝大多数元素化为0，这样就达到简化计算的效果．其中，添加行与列的方式一般有五种：首行首列，首行末列，末行首列，末行末列以及一般行列的位置．例8 解行列式D=111110111110111110111110. 解：使行列式D 变成1 n 阶行列式，即111010110110101110011111D. 再将第一行的 1 倍加到其他各行，得：D=1101001001010001111111. 从第二列开始，每列乘以 1 加到第一列，得：10010000010000011111)1n D（1n 11n .数学归纳法有些行列式，可通过计算低阶行列式的值发现其规律，然后提出假设，再利用数学归纳法去证明．对于高阶行列式的证明问题，数学归纳法是常用的方法．例9 计算行列式cos 211cos 200000cos 210001cos 210001cosn D . 解:用数学归纳法证明. 当1 n 时， cos 1 D . 当2 n 时，2cos 1cos 2cos 211cos 22D .猜想， n D n cos .由上可知，当1 n ，2 n 时，结论成立．假设当k n 时，结论成立．即： k D k cos .现证当1 k n 时，结论也成立．当1 k n 时，cos 211cos 200000cos 210001cos 210001cos 1k D .将1 k D 按最后一行展开，得cos 20000cos 21001cos 21001cos cos 21D 111k• k k10cos 21001cos 21001cos 11kk1cos 2 k k D D .因为k D k cos ， sin sin cos cos cos 1cos 1k k k k D k ，所以1 k D 1cos2 k k D Dsin sin cos cos cos cos 2k k k sin sin cos cos k k 1cos k .这就证明了当1 k n 时也成立，从而由数学归纳法可知，对一切的自然数，结论都成立． 即： n D n cos . 递推法技巧分析：若n 阶行列式D 满足关系式021 n n n cD bD aD .则作特征方程02 c bx ax .① 若0 ，则特征方程有两个不等根，则1211 n n n Bx Ax D ． ② 若0 ，则特征方程有重根21x x ，则 11 n n x nB A D ．在①②中， A ，B 均为待定系数，可令2,1 n n 求出．例10 计算行列式94000005940000000594000005940000059D n.解：按第一列展开，得21209 n n n D D D .即020921 n n n D D D ．作特征方程02092 x x .解得5,421 x x .则1154 • • n n n B A D .当1 n 时，B A 9； 当2 n 时，B A 5461 . 解得25,16 B A ，所以1145 n n n D .3、行列式的几种特殊计算技巧和方法 拆行（列）法 3.1.1 概念及计算方法拆行（列）法（或称分裂行列式法），就是将所给的行列式拆成两个或若干个行列式之和，然后再求行列式的值．拆行（列）法有两种情况，一是行列式中有某行（列）是两项之和，可直接利用性质拆项；二是所给行列式中行（列）没有两项之和，这时需保持行列式之值不变，使其化为两项和． 3.1.2 例题解析例11 计算行列式nn n n a a a a a a a a1110000011000110001D 133221.解：把第一列的元素看成两项的和进行拆列，得nn n n a a a a a a a a110010000001100001010001D 133221.1101000001100010000110001000001100011000113322113322nnn nn n a a a a a a a a a a a a a a a上面第一个行列式的值为1，所以nnn n a a a a a a a 1101000010011D 13321111 n D a .这个式子在对于任何 2 n n 都成立，因此有111 n n D a Dn n n a a a a a a D a a 2112112211111ij j ii a 1n111.构造法3.2.1 概念及计算方法有些行列式通过直接求解比较麻烦，这时可同时构造一个容易求解的行列式，从而求出原行列式的值． 3.2.2 例题解析例12 求行列式n nn nn n n n nnn x x x x x x x x x x x x D21222212222121111.解：虽然n D 不是范德蒙德行列式，但可以考虑构造1 n 阶的范德蒙德行列式来间接求出n D 的值．构造1 n 阶的范德蒙德行列式，得nn nn nn n n n n n n n n n n n x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x f21111211222221222221211111. 将 x f 按第1 n 列展开，得n n n n n n n n x A x A x A A x f 1,111,1,21,1 ，其中，1n x的系数为n n n n n n D D A 11,1.又根据范德蒙德行列式的结果知ni j j in x xx x x x x x x f 121 .由上式可求得1n x的系数为ni j j in x xx x x 121 .故有ni j j in n x xx x x D 121 .特征值法3.3.1 概念及计算方法设n ，，21是n 级矩阵A 的全部特征值，则有公式 n A 21 .故只要能求出矩阵A 的全部特征值，那么就可以计算出A 的行列式． 3.3.2 例题解析例13 若n ，，21是n 级矩阵A 的全部特征值，证明：A 可逆当且仅当它的特征值全不为零．证明：因为n A21 ，则A 可逆 n i i n 2,1000A 21 .即A 可逆当且仅当它的特征值全不为零．4、几类特殊的行列式的巧妙计算技巧和方法 三角形行列式4.1.1 概念形如nn n n n a a a a a a a a a a333223221131211，nnn n n a a a a a a a a a a321333231222111这样的行列式，形状像个三角形，故称为“三角形”行列式． 4.1.2 计算方法 由行列式的定义可知，nn nn n n n a a a a a a a a a a a a a2211333223221131211000000 ,nn nnn n n a a a a a a a a a a a a a2211321333231222111000000 . “爪”字型行列式 4.2.1 概念形如nn na c a c a cb b b a2211210，n nnc a c a c a a b b b2211012，nnn b b b a a c a c a c2101122，121122a b b b c a c a c a nn n这样的行列式，形状像个“爪”字，故称它们为“爪”字型行列式． 4.2.2 计算方法利用对角线消去行列式中的“横线”或“竖线”，均可把行列式化成“三角形”行列式．此方法可归纳为：“爪”字对角消竖横． 4.2.3 例题解析例14 计算行列式na a a a 111111321，其中.,2,1,0n i a i分析：这是一个典型的“爪”字型行列式，计算时可将行列式的第.),3,2(n i i 列元素乘以ia 1后都加到第一列上，原行列式可化为三角形行列式．解:na a a a 111111321nni ia a a a a 00011113221ni i n aa a a a 21321. “么”字型行列式 4.3.1 概念形如nnn b b b a a c a c a c211122，n nn a b c a b c a b c a2221110，n n nc a c a c a a b b b2211012，0111222a c b a c b a c b a nn n，1021122c a c a b a b c a b nn n，nnna c a c a cb b b a2211210，0121122a b b b c a c a c a nn n，nnn b a b c b a b a c a c 12211201这样的行列式，形状像个“么”字，因此常称它们为“么”字型行列式． 4.3.2 计算方法利用“么”字的一个撇消去另一个撇，就可以把行列式化为三角形行列式．此方法可以归纳为：“么”字两撇相互消．注意：消第一撇的方向是沿着“么”的方向，从后向前，利用n a 消去n c ，然后再用1 n a 消去1 n c ，依次类推． 4.3.3 例题解析例15 计算1 n 阶行列式nn n b b b D 1111111111.解：从最后一行开始后一行加到前一行（即消去第一撇），得nnn ni ini in b b b bb D 11111111• ni i nn n b 121111ni i n n b 12311.“两线”型行列式 4.4.1 概念形如nnn a b b b a b a0000000012211这样的行列式叫做“两线型”行列式． 4.4.2 计算方法对于这样的行列式，可通过直接展开法求解． 4.4.3 例题解析例16 求行列式nnn n a b b b a b a00000000D 12211 . 解：按第一列展开，得122111221100010000 n n n nn n b b a b b a b b a a Dn n n b b b a a a 211211 .“三对角”型行列式 4.5.1 概念形如ba ab b a ab b a abb a ab b a 10000000000100000100000这样的行列式，叫做“三对角型”行列式． 4.5.2 计算方法对于这样的行列式，可直接展开得到两项递推关系式，然后变形进行两次递推或利用数学归纳法证明． 4.5.3 例题解析例17 求行列式ba ab b a ab b a abb a ab b a n100000000000100000100000D. 解：按第一列展开，得ba ab b a b a ab b a abb a ab D b a n n10000010000100000D 121 n n abD D b a . 变形，得211D n n n n aD D b aD .由于2221,b ab a D b a D ， 从而利用上述递推公式得211D n n n n aD D b aD n n n n b aD D b aD D b 122322 .故nn n n n n n n n n b ab b a D a b b aD a b aD D 12211121 n n n n b ab b a a 11 .Vandermonde 行列式 4.6.1 概念形如113121122322213211111 n nn n n n n a a a a a a a a a a a a这样的行列式，成为n 级的范德蒙德行列式． 4.6.2 计算方法通过数学归纳法证明，可得 11113121122322213211111i j j i n nn n n nn a a a a a a a a a a a a a a. 4.6.3 例题解析例18 求行列式n nn nn n n n nnn x x x x x x x x x x x x D21222212222121111.解：虽然n D 不是范德蒙德行列式，但可以考虑构造1 n 阶的范德蒙德行列式来间接求出n D 的值．构造1 n 阶的范德蒙德行列式，得nn nn nn n n n n n n n n n n n x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x f21111211222221222221211111. 将 x f 按第1 n 列展开，得n n n n n n n n x A x A x A A x f 1,111,1,21,1 ，其中，1n x的系数为n n n n n n D D A 11,1.又根据范德蒙德行列式的结果知ni j j in x xx x x x x x x f 121 .由上式可求得1n x的系数为ni j j in x xx x x 121 ,故有ni j j in n x xx x x D 121 .5、行列式的计算方法的综合运用有些行列式如果只使用一种计算方法不易计算，这时就需要结合多种计算方法，使计算简便易行．下面就列举几种行列式计算方法的综合应用． 降阶法和递推法例19 计算行列式2100012000002100012100012Dn . 分析：乍一看该行列式，并没有什么规律．但仔细观察便会发现，按第一行展开便可得到1n阶的形式．解：将行列式按第一行展开，得212D n n n D D . 即211D n n n n D D D .∴12312211 D D D D D D n n n n . ∴111111 n n n n D D D121 n n .逐行相加减和套用范德蒙德行列式 例20 计算行列式43423332232213124243232221214321sin sin sin sin sin sin sin sin sin sin sin sin sin sin sin sin sin 1sin 1sin 1sin 11111D解：从第一行开始，依次用上一行的 1 倍加到下一行，进行逐行相加，得43332313423222124321sin sin sin sin sin sin sin sin sin sin sin sin 1111D .再由范德蒙德行列式，得4143332313423222124321sin sin sin sin sin sin sin sin sin sin sin sin sin sin 1111i j j i D .构造法和套用范德蒙德行列式例21 求行列式n nn nn n n n nnn x x x x x x x x x x x x D21222212222121111.解：虽然n D 不是范德蒙德行列式，但可以考虑构造1 n 阶的范德蒙德行列式来间接求出n D 的值．构造1 n 阶的范德蒙德行列式，得nn nn nn n n n n n n n n n n n x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x f21111211222221222221211111. 将 x f 按第1 n 列展开，得n n n n n n n n x A x A x A A x f 1,111,1,21,1 ，其中，1n x的系数为n n n n n n D D A 11,1.又根据范德蒙德行列式的结果知ni j j in x xx x x x x x x f 121 .由上式可求得1n x的系数为ni j j in x xx x x 121 .故有：ni j j in n x xx x x D 121 .。
行列式不同计算方法的比较研究
行列式不同计算方法的比较研究行列式是线性代数中的重要概念，它可以用来描述矩阵的性质、求解方程组以及计算变换的效果。
在数学的学习和实际应用中，行列式的计算是一个非常常见的问题。
不同的行列式计算方法有着各自的特点和适用范围，本文将从代数余子式展开、三角形行列式和拉普拉斯展开等几种常见的行列式计算方法进行比较研究，以帮助读者更好地理解行列式计算方法的差异和适用情况。
一、代数余子式展开代数余子式展开是计算行列式的一种常见方法，它利用代数余子式和行列式的性质来逐步简化行列式的计算过程。
对于一个n阶行列式而言，代数余子式展开的公式可以表示为：|A| = a_{11}A_{11} + a_{12}A_{12} + a_{13}A_{13} + \cdots + a_{1n}A_{1n}a_ij表示矩阵A中第i行第j列的元素，A_ij表示相应元素的代数余子式，它的计算公式为：A_{ij} = (-1)^{i+j}M_{ij}M_ij表示去掉第i行第j列的剩余元素构成的(n-1)阶矩阵的行列式。
由此可见，代数余子式展开的计算过程是逐步将行列式转化为更小阶的行列式，并利用其性质简化计算。
代数余子式展开的优点在于其计算过程相对直观，容易理解和掌握。
但当行列式的阶数较大时，代数余子式展开的计算过程会相当复杂，需要大量的计算步骤和耐心。
代数余子式展开不适用于特殊的行列式，比如对称矩阵、三对角矩阵等形式特殊的矩阵，此时需要采用其他更适合的方法来计算行列式。
二、三角形行列式三角形行列式是一种通过行变换将矩阵转化为上（下）三角形矩阵后直接计算行列式的方法。
对于一个n阶行列式而言，通过一系列的行变换，可以将矩阵A转化为一个上三角形矩阵U，此时行列式的计算变得十分简单，可以直接通过对角元素的乘积来得到行列式的值。
三、拉普拉斯展开在计算行列式的值时，拉普拉斯展开需要将行列式展开为一系列的子行列式，并根据它们的性质逐步简化计算过程。
这种方法的优点在于能够通过行列式的性质来简化计算，特别是对于特殊形式的矩阵，比如对称矩阵、三对角矩阵等，拉普拉斯展开可以通过行列式的性质来减少计算步骤和简化计算过程。
行列式计算的若干种方法讲解
中南民族大学毕业论文(设计)学院: 数学与统计学学院专业: 统计学年级:2008 题目: 行列式计算的若干方法学生姓名: 曹金金学号:08067005指导教师姓名: 汪宝彬职称:讲师2012年4月30日中南民族大学本科毕业论文（设计）原创性声明本人郑重声明：所呈交的论文是本人在导师的指导下独立进行研究所取得的研究成果.除了文中特别加以标注引用的内容外，本论文不包含任何其他个人或集体已经发表或撰写的成果作品.本人完全意识到本声明的法律后果由本人承担.作者签名：年月日目录摘要 (1)关键词 (1)Abstract (1)Key words (1)1 引言 (2)2.1排列 (2)2.2行列式的定义 (2)2.2.1 二阶、三阶行列式 (2)2.2.2 n阶行列式的定义 (3)2.2.3 几种特殊的行列式的定义 (3)2.3 行列式的基本性质 (5)3几种常见的行列式的计算方法 (6)3.1利用行列式定义直接计算 (6)3.2 利用行列式的性质计算 (6)3.3 三角化法 (7)3.4 降阶法 (8)3.5利用范德蒙德行列式求解 (10)3.6 数学归纳法 (11)3.7 拆项法 (12)3.8析因子法 (13)3.9 加边法(升阶法) (13)3.10递推公式法 (14)3.11超范德蒙行列式法 (15)3.12利用分块计算行列式 (16)4 结论 (16)致谢 (17)参考文献 (17)行列式计算的若干方法摘要：在线性代数中,行列式的求解是非常重要的. 本文首先介绍行列式的定义与性质；然后通过实例给出了计算行列式的几种方法.从文中可以看出，选择合适的计算方法可有效的计算行列式.关键词：行列式；性质；计算方法Some Methods of Determinant CalculationAbstract: Determinant plays an important role in the linear algebra. In this paperwe first introduce the definition and properties of determinant. Then several methods of the calculation are given by some examples. It can be seen from the paper that choose the appropriate calculation method can efficiently compute the determinant.Key words: determinant; property; the calculation methods1 引言行列式最早出现在十六世纪关于线性方程组的求解问题，时至今日行列式的应用却远不如此，它在消元法，矩阵论，坐标变换，多重积分中的变量替换，解行星运动的微分方程组，二次型有广泛应用，其中行列式的计算是个重要问题.利用行列式的性质与计算方法的技巧较易地解决初等数学中的一些较繁与较难解决的问题, 如运用行列式分解因式, 证明等式与不等式, 以及在几何方面的应用, 从而体现用高等数学理论与方法解决初等数学问题的优越性.线性代数在各门学科中占据着重要地位，在大多数的理工科专业都开设这个课程，是所有理工科的基础学科，而行列式在线性代数里是最为基础且最重要的一章.行列式是研究线性代数的有力手段和重要工具，主要应用在线性方程组、二次型、矩阵的计算求解中，例如求解线性方程组、求矩阵的秩、判断向量线性相关、求矩阵的特征值等.许多实际和理论问题归结为行列式计算.因此，行列式尤为重要，跟其他理工学科相辅相成，然而行列式的计算往往是极为复杂的，求解行列式的算法要比解线性方程组的算法要少得多，所以在实际运用中，我们要掌握各种计算行列式的方法，寻求最优算法来计算行列式，从而解决各种实际问题.行列式计算的基本思想：对于某些特殊的行列式可以直接利用行列式的定义计算.对于一般的行列式，我们主要有下面两种计算思想：①利用行列式的性质进行行列式的初等变换,将其划为上(或下)三角形行列式,进而得到结果.②利用行列式按行(列)展开定理进行降阶和递推.在典型的计算过程中一般两种方法同时应用,先利用性质化出尽可能多的零元素,然后再利用行(列)展开定理降阶,化为低阶行列式进行计算.本文将介绍行列式的定义以及性质，通过介绍行列式计算的基本方法——利用行列式定义直接计算、利用行列式的性质计算、三角形化法、降阶法、利用特殊行列式、数学归纳法、拆项法、析因子法、加边法、递推法、超范德蒙行列式法等.再应用实例计算行列式，理论和应用相结合，较全面的介绍行列式的几种计算方法.2 行列式的定义及性质[1][8]2.1排列定义 1 由n 个不同自然数n ,,2,1 组成的一个有序数组称作为n 级排列，n 级排列的总数为(1)(2)21!n n n n ⋅-⋅-⋅⋅=定义2 在一个排列中，如果一对数的前后位置与大小顺序相反，即前面的大于后面的数，那么它们就为一个逆序.一个排列中逆序的总数就称为这个排列的逆序数.定义3 逆序数为偶数的排列称为偶排列，逆序数为奇数的排列称为奇排列. 2.2行列式的定义 2.2.1 二阶、三阶行列式行列式是代数式的简要记号，如下：1112112212212122a a a a a a a a =- （2-1）111213212223112233122331132132313233a a a a a a a a a a a a a a a a a a =++322311332112312213a a a a a a a a a --- （2-2）分别是二阶、三阶行列式，两式的左端表示行列式的记号，右端是行列式的全面展开式.行列式的元素有两个下标，分别称为行标和列标.如32a 表示该元素位于第3行、第2列.从上面的二级行列式和三级行列式的定义中可以看出，行列式的结果都是由一些乘积的代数和，而且每一项乘积都是由行列式中位于不同的行和不同的列中的元素组成，并且所有的展开式恰好是由所有这种可能的乘积组成.每一项乘积所带的符号是由排列的逆序数奇偶性原则决定的（当排列的逆序数为偶排列时，在三级行列式的展开式定义中，该项带有正号，当排列的逆序数为奇排列时，在三级行列式的展开式定义中，该项带有正号）.2.2.2 n 阶行列式的定义 12121112121222()12!12(1)n nn n p p p p p np n n n nna a a a a a a a a a a a τ=-∑ （2-3）其中∑!n 表示对所有n 阶排列np p p 21 的种数进行相加，共有!n p n =项2.2.3 几种特殊的行列式的定义在行列式计算中，往往会将行列式转换成具有特殊形式的行列式，再进行计算，因此熟悉和掌握这些特殊行列式及其计算公式对提高计算行列式的技巧和效率是非常重要的.（1）上(下)三角行列式等于它主对角线元素的乘积.nn nnnn a a a a a a a a a221122211211= ；nn nn n n a a a a a a a a a 121121222111=. （2-4）（2）对角行列式等于它的主对角线元素的乘积，nn nna a a a a a22112211=. （2-5）（3）副对角线下(上)边的元素全为0的行列式()()11,212112221112111n n n n n n n a a a a a a a a a---=； （2-6）()()1122,1212,11121.nn n n n n n n n n nna a a a a a a a a ---=- （2-7）（4）n 阶范德蒙德行列式()2≥n()∏≤<≤-----=ni j j i n n n n n nn a a a a a a a a a a a a a a 1113121122322213211111（2-8） 称为范德蒙德（Vandermonde ）行列式，其中∏表示连乘.范德蒙德行列式的特点：① 第一行全为1； 第二行的各个数各不相同； 后一行与前一行对应列的比值等于第二行对应列的元素; ② 范德蒙德行列式为零的充要条件是12,,n a a a 这n 个数中至少有两个相同.（5）箭形行列式设n j a jj ,,3,2,0 =≠，则n n n j jj j j nnnn a a a a a a a a a a a a a a a a a 3322211111331322121131211000000⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=∑=. （2-9） 若存在某个或某些对角元()20≥=k a kk 可对k 行进行降阶处理，箭形行列式有以下几个形式：这几个形式的都可类似方法化为三角行列式进行计算.（6）分块上(下)三角行列式等于它的主对角线上各方阵的行列式的乘积分块上三角行列式，又称为上块(准)三角行列式：kk kkkk A A A A A A A A A221122211211=. （2-10）其中对角块ii A det 为i n 阶行列式，且n nki i=∑=1，n 为行列式的阶，特别地，当2=k ，11=n ，12-=n n 时成立：nnn nnnn nna a a a a a a a a a a a222211222211211=分块下三角行列式，又称为下块(准)三角行列式：kk kkk k A A A A A A A A A 221121221211=. （2-11）（7）分块对角方阵的行列式等于主对角线上各方阵的行列式的乘积kk kkA A A A A A22112211=. （2-12）2.3 行列式的基本性质性质1 行列式的行与列对应互换得到的新行列式，记作,T T D D D = （2-13） 性质2 任意对换行列式的两行（或两列）元素，其值变号.性质3 行列式的某一行(列)中所有的元素都乘以同一数k ，等于用数k 乘此行列式. 推论 两行（或两列）元素对应相同或者有一行（或列）全为零的行列式，其值为零. 性质4 行列式中若有两行（或两列）对应元素成比例，其值为零 性质5 行变换s t λγγ+与列变换s t c c λ+行列式的值不变.性质6下列行列式成立111211112111121'''''''''11222'''''''''12212121212nn n s s s s s sn s s s s s snn n nn n n nnn n nna a a a a a a a a a a a a a a aaaaaaa a a a a a a a a +++=+ （2-14）3几种常见的行列式的计算方法3.1利用行列式定义直接计算 例1计算行列式00100210000n D n n=-解: n D 中不为零的项用一般形式表示为112211!n n n nn a a a a n ---=. （3-1）该项列标排列的逆序数t （n －1 n －2…1n ）等于(1)(2)2n n --，故(1)(2)2(1)!.n n n D n --=- （3-2）3.2 利用行列式的性质计算例2一个n 阶行列式n ij D a =的元素满足,,1,2,,,ij ji a a i j n =-= （3-3）则称n D 为反对称行列式，证明奇数阶反对称行列式为零. 证明：由ij ji a a =-知ii ii a a =-，即0,1,2,,ii a i n ==故行列式n D 可表示为121311223213233123000n n n n nnna a a a a a D a a a a a a -=----- 由行列式的性质A A '= （3-4）12131121311223212232132331323312312300000(1)0(1)0n n n nn n n n n n nnnnnna a a a a a a a a a a a D a a a a a a D a a a a a a ------=-=---=---- 当n 为奇数时，得n nD D =-，因而得0n D = 3.3 三角化法[2]运用行列式的性质把行列式变换成位于主对角线一侧的所有元素全等于零，这样得到的行列式等于主对角线上元素的乘积，对于次对角线上的情形，行列式的值等于()()121n n --与次对角线上所有元素的乘积.例3计算行列式xa a a a xaa D aa ax=解：把每行均加至第一行, 提出公因式(1)x n a +-,再把第一行的-a 倍分别加到第二行至第n 行,得111111111[(1)][(1)][(1)]()n ax a ax aD x n a aa x a x n a xn a x a x ax aaaa x --=+-=+-=+----例4计算n 阶行列式1232341112121n n D n n n n n =---解：利用性质7对行列式做变换，依次将第i 行乘()1-加到第1+i 行()1,,2,1 --=n n i ，再将第n ,,3,2 列全加到第1列.得()112323211110111111101111111111n n n n n nn D n nn n +--==---- 按()2111+=n n a 展开，得()11111112111n n n n D n n-+=--再将1-n 阶行列式的第1行乘()1-加到其余各行后，将第2,,2,1-n 列全加到第1-n 列，得()11111112nn nn nn n D nnn----+==--，根据副对角线下三角为零的行列式，得()()()()()()()()()12122221111122n n n n n n n n n n n D n n -----++=---=-⨯3.4 降阶法[2][3]就是把一个阶行列式化简为个阶行列式，然后以此类推，直到把阶行列式化为若干个2阶行列式来计算.特别需要注意的是，按行或列展开时一定要使某一行或某一列含有充分多的零元素，这样才能有效减少运算量. （1）一般降阶法n 阶行列式D 等于它的任一行（列）各元素与其对应代数余子式乘积的和，即1,1,2,,nij ij j D a A i n ===∑或1,1,2,,nij ij i D a A j n ===∑. （3-5）行列式按一行（列）展开能将高阶行列式转化为若干低阶行列式计算，称为降级法.这是一种计算数字行列式的常用方法.值得注意的是，在使用时应先利用行列式的性质，将某行（列）元素尽可能多的变成零，然后再展开，计算才能更方便，对一些特殊构造的行列式可利用拉普拉斯定理降阶计算.此法中由于n 级行列式D 的第i 行构成的k 级子式kn C 个，所以对一般行列式能降阶却不能减少计算量.例5 计算n 阶行列式0000000n x y x y D x y y x=分析：该行列式的元素分布规律来看，可以用直接递推降阶法，找出1n D -，再依次递推出其他项，最终可求出n D .解：根据行列式展开定理，将n D 按第一行展开，则000000000000000000000000n n x y y y x x x D xy x y x y x y x y xyxyx=-=-将后面的行列式按第一列展开，则()()100000110000nn n n n n y xy D x yy x y y xy+=--⨯=+-（2）递推降阶法设n 阶行列式ijn nD a ⨯=，欲求其值，由于交换行列式的两行（列），行列式只改变符号，故110a ≠，现在令11A a =，()12131n B a a a =，21311n a a M a ⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦，2223232n n n nn a a aa N a a ⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦递推降阶法可分为直接递推和间接递推.直接递推关键是找出一个关于1n D -的代数式来表示n D ，依次从123n D D D D →→→→逐级递推便可以求出n D 的值.间接递推即借助于行列式中元素的对称性，交换行列式构造出关于n D 和1n D -的方程组，从而消去1n D -就可以解得n D .例6 计算n 阶行列式0000000n a xa a a a yx D y x yx+-=-- 解：将n D 按第n 列展开可得()11111nn n n n yx yxD x D a x D ay x y+-----=+-=+-， 整理得，12111221;;.n n n n n n D x D ay D x D ay D x D ay -----=+=+=+将这1-n 个式子两边分别同乘以22,,,,1-n x x x 后，再相加得11221n n n n n D x D ayay x ayx----=++++而1D a x =+则()1221n n n n n n D x a x x y xy y ----=+++++这道例题也可以直接用一般的降阶法直接展开，一般降阶法和递推降阶法之间是没有很明确的界定，往往在计算行列式中，是两种方法融汇结合的.如果一个行列式的元素分布上比较有规律，则可以设法找出n 阶行列式n D 与低级行列式的关系依次类推，将行列式按行(列)展开，达到降阶的目的，最后将低阶行列式计算即可.3.5利用范德蒙德行列式求解[4][12]例7计算行列式1222211221212121122111111n n nn n n n n n n nx x x D x x x x x x x x x x x x ------+++=++++++解：把第1行的－1倍加到第2行，把新的第2行的－1倍加到第3行，以此类推直到把新的第n－1行的－1倍加到第n 行，便得范德蒙行列式 1222212111112111()n n i j j i nn n n nx x x D x x x x x x x x ≤≤≤---==-∏例8 计算n+1 阶行列式 122111111111122122222222122111111111nn n n nn n n n n n n n n nn n n n n n n n a a b a b a b b a a b a b a b b D a a b a b a b b ---------++++++++=解：从第i 行提取公因子ni a (i=1,2,…,n+1)就可以得到转置n+1 阶范德蒙行列式2111112111112122222122221211111211111111n n n n n n nn n n ii n n n n n n n n n n n n b b b b a a a a b b b b D aa a a ab b b b a a a a ----=-++++-++++=∏求解得111=()nj ni i i j i n jib b D a a a =≤≤≤+-∏∏3.6 数学归纳法[1][4]一般是采用不完全归纳法，先分析猜想出行列式值的规律，得到一般性结论，然后再利用数学归纳法证明结论的正确性.行列式nD 的特点是主对角线上元素含有三角函数,并且几近相同，沿主对角线两侧的元素全是1.例9计算0001001n D αβαβαβαβαβ++=+分析：221D αβαβαβ-=+=-，33222D αβααββαβ-=++=-，，所以猜想11n n n D αβαβ++-=-所以考虑用数学归纳法证明原行列式的值等于猜想值.证明：当1n =时命题成立. 假设1n k ≤-时命题成立. 当n k =时，将k D 按第一列展开()()2000010010000000101k K D αβαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβ-++++=+-++++级()()111112k k k k k k k k D D αβαβαβαβαβαβαβαβαβαβ--++-----=+-=+⋅-⋅=--- 当n k =时命题成立，对n N ∀∈有：11n n n D αβαβ++-=-，证明猜想值成立.3.7 拆项法[2][5]就是利用行列式的性质，将行列式拆成若干个较容易计算的行列式，再分别计算.例10行列式n xm m m m mx m m mD mmxmm m m m m x-=------的特点是主对角线的元素全部是x ，上三角与下三角的元素分别是m 和m -,二者互为相反数.此类行列式常用拆分法来计算.11100011()11n n x m m m m x m m m m mm m m mxm m m D m mm m m mxm m x mm m m mmx m m m mxm m x m D m m mxm m m mm---=--+--------=-+------1112220020()00201()()n n n x m m m mx m m m x m D m x mm mmmmx m D m x m ---++=-++----=-++1[()()]2n n n D x m x m =++- （3-6）根据行列式的性质，行列式的行列互换时行列式的值不变，得11()()n n n D x m D m x m --=+-- （3-7） 由式子（3-6），（3-7）消去1n D -，得1[()()]2n n n D x m x m =++-3.8析因子法[4][10]所谓析因子法, 就是当行列式0D =时, 求得方程的根, 从而将行列式转化为其因子和积, 这样会大大减少计算量.该方法适用于主对角线上含x 多项式的题型. 例11计算行列式2112312-23=23152319x D x -解：由行列式的定义知D 为x 的4次多项式.当1x =±时，1、2行相同，有0D =，1x ∴=±是D 的根. 当2x =±时，1、2行相同，有0D =，2x ∴=±是D 的根. 故D 有四个一次因式，1,1,2, 2.x x x x +-+- 设(1)(1)(2)(2)D a x x x x =+-+-令0x =则11231223==-1223152319D ， 即1(1)2(2)12. 3.a a ⋅⋅-⋅⋅-=-∴=-3(1)(1)(2)(2)D x x x x ∴=-+-+-3.9 加边法(升阶法)[2][4]加边升阶法是将所要计算的n 阶行列式适当地添加一行一列（或m 行m 列）得到一个新的1n +（或n m +）阶行列式，保持行列式的值不变，但要所得的1n +（n m +）阶行列式较易计算，加边法的一般做法是：1111111212212111000nn nn n n nnn nna a a a a a a a a a a a a a =或1111111212221211100nnn n n nnnn nna ab a a a a b a a a a b a a = （3-8）特殊情况取121n a a a ====或121n b b b ====例12计算行列式1111111111111111aa Db b+-=+-解：1111111110111111110111111111111111101111a a a D a b b bb ++-==-++--2211111100010001000100a a ab b b-=--=---3.10递推公式法[3][10]递推公式法就是先将行列式表示两个(或几个)低阶同型的行列式的线性关系式, 再用递推关系及某些低阶( 2 阶, 1阶)行列式的值求出D的值.该方法适用于行(列) 中0 较多的或主对角线上、下方元素相同的题型.例13计算行列式9500495049095049n D = 解：112150049594920549n n n n n D D D D ----=-=-该二阶齐次线性递归式的特征方程为2920x =-x ，其根为4、5，既有11254(5)n n n n D D D D ----=-，于是有2221232154(5)==4(5)4(6145)4n n n n n n n D D D D D D ------=--=-=同理有2221232145(4)==5(4)5(6136)5n n n n n n n D D D D D D ------=--=-=所以，115=4,45.n n n n n n D D D D ----= 联立两式的11=54.n n n D ++- 3.11超范德蒙行列式法[3][9]超范德蒙行列式法就是考察n+ 1阶范德蒙行列式()f x , 利用行列式n D与()f x 某元素余子式的关系计算行列式的方法.该方法适用于nD 具有范德蒙行列式形式的题型.例14 计算行列式(超范德蒙德行列式)12222122221212111nnn n n n n nn n nx x x x x x D x x x x x x ---=解：考察1n +阶范德蒙德行列式12222212121111112121111()()()()().nnn i j j i nn n n n n n n n nnx x x x x x x x f x x x x x x x x x x x x x x x x x ≤≤≤----==----∏显然n D 就是行列式()f x 中元素1n x -的余子式,1M n n +.即,1,1M n n n n n D A ++==-（,1n n A +为代数余子式）.又由f(x)的表达式（及根与系数的表达式）知，f(x)中1n -x 的系数为121()().n ijj i nx x x x x ≤≤≤-+++-∏即,112,11211()().()().n n n i j n n n i j j i nj i nA x x x x x D x x x x x ++≤≤≤≤≤≤=-+++-=+++-∏∏3.12利用分块计算行列式[11]分块矩阵是行列式计算中的一个重要方法，这个计算方法就是通过分块矩阵的行（列）的初等变换将它化成准三角行列式，从而可以将它化成较低阶行列式的乘积，再根据分块矩阵的公式进行计算求出行列式的值.例15计算5阶行列式00000000021212154321543215e e d d c c b b b b b a a a a a D = 解：先对行列式中的行列转换得()000000012154321543212121325c c b b b b b a a a a a e ed d D ⨯-=由公式（2-10）式，得0054354321215==b b b a a a e e d d D .4 结论行列式的计算方法灵活多变，但万变不离其宗，在计算时一定要仔细观察其类型特点，恰当运用行列式计算的常用方法及技巧，一切便可迎刃而解.选择行列式计算方法最主要的还是看行列式元素分布的规律，例如用范德蒙德行列式计算时，要注意行列式中元素的分布要与范德蒙德行列式有所相似，才能对行列式进行转换变成范德蒙德行列式计算，否则盲目的进行转换不仅不能使行列式计算更快捷反而会使计算更繁杂.所以要按不同的情况进行选择：（1）对于阶数较低的行列式可以直接用定义、性质或是化三角法进行计算；（2）而阶数较高的行列式可以进行降阶递推计算，或者进行拆分计算.当然在选择这些计算方法时不一定是一种方法独立进行计算，也可以是多种方法的综合计算，例如可以对行列式进行降阶，再根据性质展开递推出行列式的结果；也可能先对行列式进行加边升阶再递推降阶计算.有时对于一个行列式也可以有很多种计算方法计算.因此，要对行列式的性质和定理等相关的基础非常的熟悉，了解各种行列式计算方法的不同，才能针对不同的行列式选择最适合的计算方法.利用高等数学理论与方法解决初等数学问题具有很强的优越性.可以利用行列式的性质与计算方法的技巧较易地解决了初等数学中的一些较繁与较难解决的问题. 本文较全面的介绍行列式的几种计算方法，然而行列式的计算方法很多，无法一一列举，本文只介绍了其中一部分.致谢四年的读书生涯在这个季节即将画上句号.首先，我要感谢大学以来的老师们，是他们传授了我很多知识，带我走进了数学这个神奇的领域，同时也交给了我很多学习方法，使我受益匪浅；其次，感谢这篇论文所涉及的各位学者，本文引用了数位学者的研究文献，如果没有各位学者研究成果的帮助和启发，我将很难完成本片论文的写作.在此，尤其要感谢我的论文指导老师—汪宝彬老师，他对我进行了无私的指导和帮助，不厌其烦的进行论文的修改与改进，谢谢老师！参考文献[1]王萼芳. 石生明. 《高等数学》[M ] . 高等教育出版社, 2003.[2]万广龙.《行列式的计算方法与技巧》[J].大庆师范学院数学科学学院,2005.[3]黄璞生,赵冰,赵生久.《线性代数题解手册》[M].北京:机械工业出版社,2004.[4]黄光谷.《高等代数辅导与习题解答》[M].武汉:华中科技大学出版社,2005.[5]张学茂.《行列式计算的几种新方法》[J]. 江苏泰州师范高等学校, 2008.[6]杨家骐.《高等代数在初等数学中的应用》[M]. 济南: 山东教育出版社, 1992.[7]齐成辉.《求解行列式的方法和技巧》[J].陕西师范大学学报(自然科学版)，2003.[8]徐胜林，孙平.《几类特殊行列式的求解方法》[J].高等函授学报(自然科学版)，2002.[9]同济大学数学系.《线性代数》[M].北京：高等教育出版社，2007.[10]蒋银山.《行列式的计算》，[J].广东外语外贸大学南国商学院教师，2009.[11]陈文华.《计算行列式的几种特殊方法》[J]．保山师专学报，2009.[12]毛纲源.《线性代数解题方法技巧归纳》(第二版)[M].华中科技大学出版社，2000.17。
行列式的几种计算方法7篇
行列式的几种计算方法7篇第1篇示例：行列式是线性代数中的一个重要概念，它是一个方阵中的一个数值，可以帮助我们判断矩阵的性质，计算行列式的值是线性代数中的基础技能之一。
下面我们将介绍几种行列式的计算方法以及其应用。
一、直接展开法计算行列式最基本的方法就是直接展开法。
以3阶行列式为例，一个3阶方阵的行列式可以表示为：\[\begin{vmatrix}a &b &c \\d &e &f \\g & h & i\end{vmatrix}\]通过公式展开，可以得到：\[\begin{aligned}\begin{vmatrix}a &b &c \\d &e &f \\g & h & i\end{vmatrix} & = aei + bfg + cdh - ceg - bdi - afh \\& = a(ei - fh) - b(di - fg) + c(dh - eg)\end{aligned}\]这样就可以直接计算出行列式的值。
但是这种方法比较繁琐，不适用于高阶行列式的计算。
二、拉普拉斯展开法\[\begin{vmatrix}a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n} \\\vdots & \vdots & & \vdots \\a_{n1} & a_{n2} & \cdots & a_{nn} \\\end{vmatrix}\]以第一行为例，可以按照以下公式展开：\[ \text{det}(A) = a_{11}C_{11} + a_{12}C_{12} + \cdots +a_{1n}C_{1n} \]C_{ij}表示元素a_{ij}的代数余子式，通过递归计算代数余子式，最终可以得到行列式的值。
行列式的计算方法及应用
行列式计算方法解析1.化三角形法此种方法是利用行列式的性质把给定的行列式表示为一个非零数与一个三角形行列式之积，所谓三角形行列式是位于对角线一侧的所有元素全部等于零的行列式。
三角形行列式的值容易求得，涉及主对角线的三角形行列式等于主对角线上元素之积，涉及次对角线的N 阶三角形行列式等于次对角线上元素之积且带符号。
例1计算N 阶行列式ab bb a b b b aD n=解()[]abb a bb b n a Dn1111-+=()[]ba b a b b b n a ---+=0011()()11n a n b a b -=+-⎡⎤⎣⎦-2.利用递推关系法所谓利用递推关系法，就是先建立同类型n 阶与n-1阶（或更低阶）行列式之间的关系——递推关系式，再利用递推关系求出原行列式的值。
例2 计算n 阶行列式n ab b ca b ccaD =，其中0,≠≠bc c b解 将n D 的第一列视为（a-c ）+c,0+c,……,0+c,据行列式的性质，得0000n a c c b b a c b b c b b c a b a b c a b cca ca ccaD -+-+==++()()11n n n a c c a bD D --∴=-+- (1)由b 与c 的对称性，不难得到()()11n n n a b b a c D D --=-+- (2)联立（1），(2）解之，得()()()1n nn b c b c a c a b D -⎡⎤=-⎢⎥⎣⎦---例3 计算n 阶行列式00010001000000n a b ab a b ab a b a b ab a bD +++=++解 将n D 按第一行展开，得()11000000001n n ab a b a b ab a bab a bD D -+=+-++于是得到一个递推关系式 ()12n n n a b ab D D D --=+-，变形得()112n n n n b a b D D D D ----=- ，易知()()2312334n n n n n n b b b D D D D DD aa------=-=-()()()22212n n n b ab b a b a b D D aaa --⎡⎤==-==⎢⎥⎣⎦--++所以 1nn n b D D a -=+，据此关系式再递推，有()11222nn n n n n n bb b ba aa a D D D ----=++=++1122111n n n n n n n n b b a a a a b b a a b b D -----==++++=++++如果我们将 n D 的第一列元素看作a+b,1+0,……0+0,按第一列拆成两个行列式的和，那么可直接得到递推关系式1nn n b D D a -=+，同样可n D 的值。
行列式的几种计算方法
行列式的几种计算方法行列式是线性代数中的重要知识点，它广泛应用于数学、物理等领域。
行列式的计算有多种方法，每种方法都有其特点和适用的场合。
下面我们就来介绍一下几种行列式的计算方法。
一、拉普拉斯展开法拉普拉斯展开法是一种矩阵求解行列式的方法，通过选取某一行或某一列的元素展开，将行列式转化为较小规模的行列式相乘的和的形式。
具体步骤如下：1. 选择任意一行或一列，假设选择第i行，i列的元素进行展开。
2. 对于第i行第j列的元素A[i,j]，计算其代数余子式M[i,j]。
这种方法的优点是可以将较大的行列式转化为多个规模较小的行列式相乘的形式，简化了计算的难度。
但是这种方法并不适合于计算较大规模的行列式，因为会产生大量的中间结果需要计算。
二、按行（列）展开法按行（列）展开法的计算比较直观，适合用于小规模行列式的计算。
但是对于较大规模的行列式，计算量会相当大，不够高效。
三、三角形式计算法1. 利用初等变换将方阵化为上三角形或下三角形形式。
2. 上三角形形式的行列式等于对角线元素的乘积。
比较适用于计算较大规模行列式，但是需要进行大量的初等变换操作，计算复杂度较高。
四、行列式性质法行列式性质法是一种基于行列式性质推导的计算方法，通过运用多项式代数的性质，将行列式转化为一些易于计算的形式。
行列式性质包括奇偶性、行列式的性质、对称性质等。
具体步骤如下：1. 利用行列式性质将行列式进行转化，使其具有更加易于计算的形式。
2. 依次计算每一项的值，得出行列式的结果。
行列式性质法适用于各种规模的行列式，但需要熟练掌握行列式的性质和多项式代数的运算规则。
行列式的计算有多种方法，每种方法都有其适用的场合。
选择合适的计算方法可以提高计算效率，简化计算流程。
在实际运用中，根据行列式的规模和具体情况选择合适的计算方法是非常重要的。
希望本文介绍的几种行列式的计算方法能够帮助大家更好地理解和运用行列式知识。
行列式的计算方法
行列式的若干计算方法摘 要 归纳总结行列式的计算方法,并举例说明它们的应用. 关键词 行列式;初等变换;计算方法;化简 中图分类号 O175The number of calculation method of determinantAbstract :Summarized determinant method of calculation, and examples of their application. Keywords:Determinant; elementary transformation; calculation methods; simplification.引言行列式是研究线性代数的一个重要工具,在线性方程组,矩阵,二次型中用到行列式,在数学其它分支也常常用到行列式,因此行列式的计算显得尤其重要,但行列式的计算灵活多变,需要较强的技巧,一直是学生不易领会和掌握的,本文在已经学过行列式的计算方法的基础上总结出如下一些常用方法.1 定义法根据行列式的定义121212()12(1)n n nj j j n j j nj j j j D a a a τ=-∑我们可以利用定义直接计算行列式,其中11()n j j j τ是11n j j j 的逆序数.例1证明1112131415212223242531324142515200000000a a a a a a a a a a D a a a a a a ==. 分析 观察行列式我们会发现有许多零,故直接用定义法.证明 由行列式的定义知除去符号差别外行列式一般项可表示为1212n j j nj a a a则 12512125()12(1)n j j j n j j nj j j j D a a a τ=-∑. （1）其中115,,,j j j 为1,2,3,4,5的任意排列,在D 中位于后三行后三列的元素为零,而在前两行前两列中,取不同行不同列的元素只有四个,就是说（1）式中每一项至少有一个来自后三行后三列.故D =0.注意 此方法适用于阶数较低的行列式或行列式中零的个数较多.2化三角形法化三角形是将原行列式化为上（下）三角形或对角形行列式进行计算的一种方法,是计算行列式最基本的计算方法之一,这是因为由行列式的定义我们可以直接计算上（下）三角形或对角形行列式.一般而言,对任意行列式都可化为三角形行列式,但是有的行列式化简时非常繁琐,应该先利用性质实施一些初等变换,然后再化简.例2 计算行列式12312341345121221n n n n D n n n -=--.分析 直接用化三角形法化简很烦,观察发现对于任意相邻两列中的元素,位于同一行的元素中,后面元素与前面元素相差1,因此先从第1n -列乘-1加到第n 列,第2n -列乘-1加到第1n -列, 这样做下去直到第1列乘-1加到第2列,然后再计算就显得容易.解 12312341345121221n n n n D n n n -=--1111121111311111111n n n n -=--111111000201000nn n n -=---120001000120001nn n n n n +++-=--- 000001(1)00002n nn n n n---=- (1)(2)21(1)(1)2n n n n n ---=- (1)12(1)(1)2n n n n n --+=-.问题推广在例2中1,2,,n ,这n 个数我们可以看成有限个等差数列在循环,那么对于一般的等差数列也应该适应.计算行列式111111111111111111112(1)23234(1)(3)(2)a a d a d a n d a nd a d a d a d a nd a D a d a d a d a a d a n da a da n da n d+++-+++++=+++++-++-+-1111(1)2(1)(1)(1)a d d d d a d d d d n d a d d d n d d a n d n d d dd+-=+-+-- 12(1)000a ddd d d ndd ndn d nd -=---1(1)02(1)000d n da nnd ndd ndn dnd -+++-=---(1)(2)121(1)()()(1)n n n d n d a nd nn----=+++--(1)(2)1112((1))1()()(1)2n n n n a a n d nd n ---++-=--. 如果将例2中的数11a =，1d =代入(1)(2)1112((1)1()()(1)2n n n n a a n d nd n ---++-=--结论显然成立.3加边法利用行列式按行（列）展开的性质把n 阶行列式通过加行（列）变成与之相等的1n +阶行列式,然后计算.添加行列式的四种方法:设111212122212n n n n n nna a a a a a D a a a =.（1）首行首列111212122212n n n n n nna a a a a a D a a a =121112121222121000n n n n n nna a a a a a a a a a a a =.（2）首行末列111212122212nnnn n nna a aa a aDa a a=111213121222321230001n n n na a a aa a a aa a a a=.（3）末行首列111212122212nnnn n nna a aa a aDa a a=1111212212223313231000nnna a a aa a a aa a a a=.（4）末行末列111212122212nnnn n nna a aa a aDa a a=1112131212223231323330001a a a aa a a aa a a a=.例3计算123123123123(0)nnnnx a a a aa x a a aD a a x a a xa a a x a++=+≠+.解1212121212(1)(1)1nnnnn n na a ax a a aa x a aDa a aa a x a+⨯+++=+将第一行乘(1)-加到其余各行上去,得12(1)(1)11001001000100nn na a axxx+⨯+--=--将第2列,,第n列分别乘1x,全都加到第一列,得121(1)(1)100000000000nk n k n n a a a a x x x x=+⨯++=∑1111(1)n nnn n k k k k x a x x a x -===+=+∑∑.加边法是将原行列式中添加适当的行(列),构成一个新的行列式,并以此行列式为过渡来达到计算原行列式的目的.4降阶法n 阶行列式等于它的任意一行(列)各元素与其对应的代数余子式乘积的和.即1(1,2,,)nij ij j D a A i n ===∑ 或 1(1,2,,)nij ij i D a A j n ===∑.行列式按一行（列）展开将高阶转化为若干低阶行列式计算方法称为降阶法.这是一种计算行列式的常用方法.例4 计算1301301411210110D =. 解 130109110220011D -=-9111220110-=⨯-21421-==-.注意 对于一般的n 阶行列式若直接用降阶法计算量会大大加重.因此必须先利用行列式的性质将行列式的某一行（列）化为只含有一个非零元素,然后再按此行（列）展开,如此进行下去,直到二阶.5递推法递推法是根据行列式的结构利用n 阶行列式的性质,把给定的行列式n D 用与n D 有相同形式的1n D -阶行列式表示出来,然后将1n D -阶行列式再用与1n D -有相同形式的2n D -阶行列式表示出来,这样一直做下去直到n D 被有相同形式2D 的表示出来,这样n D 可被易计算的2D 表示出来,故可达到计算n D 的目的.例50001000101n D αβαβαβαβαβαβ++=++证明11,n n n D αβαβ++-=-其中αβ≠分析 此行列式的特点是除主对角线及其上下两条对角线的元素外其余的元素都为零,这种行列式称“三条线”行列式,从行列式的左上方往右下方看即知n D 与1n D -具有相同的结构.因此可考虑用递推法证明.证明 把行列式n D 按第一行展开，得12()n n n D D D αβαβ--=+-于是有递推关系式12()n n n D D D αβαβ--=+-或 112()n n n n D D D D αβα----=- 类似有1223()n n n n D D D D αβα-----=-3221()D D D D αβα-=-. 由于1()D αβ=+ 22()D αβαβ=+-因而221()()n nn n D D αβαβαβααββ--⎡⎤-=+--+=⎣⎦.若 0α= 时 n n D β= 若 0α≠ 时 11()n nn nn D D βααα--=+利用计算递推,得1212112()()()()()n n n n nn n nn n D D D D βββββααααααααα-----=+=++==+++21()()n βββααα=++++=1111()11n n n nβαβαβααβα+++--=-- 所以 11()n n n D αβαβαβ++-=≠-.若αβ=时,从 21()()1n n D n βββααα=++++=+得到(1)n n D n α=+故 11(1)n n n n D n αβαβαβααβ++⎧-≠⎪-=⎨⎪+=⎩当 当 .6析因法基本方法:如果行列式D 中有一些元素是变量x 的多项式,那么将行列式D 当作一个多项式()f x 然后对行列式施行某些变换,求出()f x 互素的一次因式,使得()f x 与这些因式的乘积()g x 只相差一个常数因子c ,根据多项式相等的定义,比较()f x 与()g x 的某一项的系数,求出c 值,便可求得()D cg x =.例6 计算行列式221123122323152319x D x -=-分析 这是一个关于x 的4次多项式,在复数范围内此多项式可分解成4个一次因式的乘积解 令()f x =221123122323152319x D x -=-则()f x 是关于x 的4次多项式,由行列式的性质当1,2x x =±=±时()0f x ≡.因此()f x 有四个一次因式(1),(1),(2),(2)x x x x -+-+.()g x (1)(1)(2)(2)x x x x =-⋅+⋅-⋅+于是 ()f x (1)(1)(2)(a x x x x =⋅-⋅+⋅-⋅+.比较D 中4x 的系数,得3a =-()D f x ==3(1)(1)(2)(2)x x x x -⋅-⋅+⋅-⋅+.注意 找一次因式时因该先观察,若行列式是关于x 的n 次多项式就相应的找n 个一次因式（重因式按重因式个数计算）而不要意味的看行列式的阶数n 相应的找n 个一次因式.7利用方阵特征值在线形变换的研究中,矩阵的特征多项式非常重要,由矩阵的特征多项式，再根据根与系数的关系式可知矩阵全体特征值的积为相应行列式的值.因此,我们可以用这个办法来计算行列式.例8 计算如下行列式的值123123123123n n n n n a a a a a a a a M a a a a a a a a λλλλ++=++.解n b bM bb=+123123123123n nn na a a a a a a a a a a a aa a a 因为行列式b bbb的特征值为,,,b b b ,行列式123123123123n nn na a a a a a a a a a a a a a a a 的特征值为1,0,,0ni i a =∑.所以n M 的特征值为1,,,ni i b a b b =+∑.由行列式的特征值与行列式的关系式知11()nn n i i M b a b -==+∑.8对称法这是解决具有对称关系的数学问题的常用方法.例9 计算n 阶行列式00010011n D αβαβαβαβαβαβ++=++.解 按第1行展开,得12()n n n D D D αβαβ--=+-即 112()n n n n D D D D αβα----=- 由此递推,即得 1n n n D D αβ--=因为n D 中α于β对称,又有 1n n n D D βα--=αβ≠当 时,从上式两边消去1n D -,得11n n n D αβαβ++-=- αβ=当 时,112()(1)n n n n n n n D D D n βββββββ---=+=++==+.与例题5作比较可看出对于同一个行列式的计算有多种方法.因此我们在选择方法时因该遵守简单原则,这样不但可以减少计算量,而且还可以保证答案的正确性.9数学归纳法数学归纳法有两种一种是不完全归纳法,另一种是完全归纳法,通常用不完全归纳法寻找行列式的猜想,再用数学归纳法证明猜想的正确性. 基本方法1) 先计算1,2,3n =时行列式的值. 2) 观察1,2,3D D D 的值猜想出n D 的值. 3)用数学归纳法证明.例10 计算行列式0001001n a b ab a b ab D ab++=+.解：因为 221a b D a b a b -=+=-33222a b D a ab b a b-=++=-所以，猜想 11n n n a b D a b++-=- . (1)证明 当1n =时,(1)式显然成立.设1n k ≤-时,(1)式显然成立,则n k =时(1)00000()1k k a bab a b ab D a b ab -++=++ (1)000001k a b ab ab ababa b -++-+12()k k a b D abD --=+-11()k k k k a b a b a b ab a b a b ----=+---11k k a b a b++-=-∴当n k =时(1)式也成立,从而得证.即 11n n n a b D a b++-=-.注意 一般而言,对于给定的一个行列式,要猜想一个之比较困难,所以一般情况下是先给定其值,然后再证明.11范德蒙行列式范德蒙行列式1232222123111111231111nn n i j j i nn n n n nx x x x D x x x x x x x x x x ≤<≤----==-∏因此可将给定行列式化为范德蒙行的形式然后直接计算.例11 计算1n -阶行列式1n D -131313222222223333336n n n n n n n n n nn n n n ---------=----.解 用加边法将行列式化为范德蒙行列式131311321111102222222033333360n n n n n n n D n n n n n n n n -------=-------132132132111112222233333n n nn nn n n n n n ---=1221221221111112222!133331n n n n n n n n n n n------= 221(2)(3)212212211111112222!(1)133331n n n n n n n n n nn n n ---+-+++----=- (1)(2)(1)(2)12211(1)!()(1)(!)n n n n n i j nk n i j k -----≤<≤==--=-∏∏12利用拉普拉斯定理拉普拉斯定理的四种特殊情形01)nn nn mm mnmmA ABC B =⋅; 2)nn nm nn mm mmA C AB B =⋅;3)(1)nnmn nn mm mm mnA AB BC =-⋅ ; 4)(1)0nm nn mn nn mmmmC A A B B =-⋅.故可将已知行列式选取适当地行列,化成上述四种特殊情形计算. 例12 计算n 阶行列式n a a a ab D b bλαββββαβββββα=. 解 n D =0000aaaabλαββββααββααβ----(1)(2)0000n aaaab n λαββββαβαβ-+-=--00(1)00(2)0n b n αβλααβαβαβ---=⋅+--[]2(2)(1)()n n ab n λαλβαβ-=+---⋅-.n 阶行列式的计算,证明方法较多,不同的题目用到不同的计算方法,同样的题目有时也可以用到不同方法,至于选择哪一种要视具体题目而定.但是更重要的是同一道题不仅仅局限于某一种计算方法,而是要用多种方法综合起来才能完成.。
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行列式的若干计算方法研究
发表时间：2013-01-29T16:07:46.013Z 来源：《中国科技教育·理论版》2012年第10期供稿作者：吴梦溪
[导读] 笔者认为只要理解并熟练掌握以上6种方法，大多数的行列式计算题都能够迎刃而解
吴梦溪哈尔滨绥化学院 152061
摘要在《线性代数》中，行列式的计算是线性代数中的重点、难点，特别是直接计算阶数较高的行列式往往是困难和繁琐的。
因此熟练地掌握行列式的计算方法至关重要。
行列式的许多方法不是单独使用的，这就要求针对行列式的结构，以找出适当的办法来达到快速、准确、方便地计算行列式。
本文例举了一些常见的求行列式的方法，以期对扩展行列式的计算方法的研究有所裨益。
关键词行列式计算方法线性代数阶数
行列式的计算方法异常繁多且较为灵活，需要有较强的计算技巧，当然，任何一个n阶行列式都可以由它的定义去计算其值。
但由定义可知，n阶行列式的展开式有n!项，计算量很大，所以只有零元素非常少时才可利用定义计算，如例照某一行或某一列展开，或者是完全展开式。
更多的还是利用行列式的性质计算。
值的注意的是，在应用定义法求非零元素乘积项时，不一定从第1行开始，那行非零元素最少就从哪行开始。
下面介绍几种常用的方法，并举例说明。
方法1：化三角形法
化三角形法是将原行列式化为上（下）三角形行列式或对角形行列式计算的一种方法。
这是计算行列式的基本方法及重要方法之一。
因为，若能把一个行列式经过适当变换化为三角形，其结果则为行列式主对角线上元素的乘积。
因此化三角形是行列式计算中的一个重要的简便算法。
另外，虽然每个行列式都可利用行列式的性质化为三角形行列式，但对于阶数高的行列式，在一般情况下，计算往往较为繁琐。
因此，在许多情况下，总是先利用行列式的性质将其作为某种保值变形，再将其化为三角形行列式。
例1：计算如下行列式的值：
[分析]：显然本题阶数较高，若直接化为三角形行列式，计算很繁琐，因此我们要充分利用行列式的性质。
最好先从第“n-1列”开始乘以“－1”加到第“n”列，“第n-2列”乘以 “－1”加到第“n-1”列，一直到“第一列”乘以“－1”加到“第2列”。
然后把“第1行”乘以“－1”加到各行去，再将其化为三角形行列式，计算则较为简单。
解：
其中为中的元素的代数余子式。
按某一行（或某一列）展开法可以将一个“n阶”行列式化为“n”个“n-1阶”行列式计算.若继续使用按某一行（或某一列）展开法，可以将
“n”阶行列式降阶直至化为许多个“2阶”行列式计算，这是计算行列式的又一基本方法。
更一般地是用拉普拉斯定理（这样可以降低多阶），但一般情况下，按某一行（或某一列）展开并不能减少计算量，仅当行列式中某一行（或某一列）含有较多零元素时，它才能发挥真正的作用。
因此，为了使运算更加简便，应用按某一行（某一列）展开法时，往往是先利用列式的性质化简，应利用行列式的性质将某一行（或某一列）化为有较多的零元素，再按该行（列）展开。
例2：计算20阶行列式
以上就是计算行列式最基本最简易的两种方法，接下来介绍的一些方法，都应该与行列式的性质和基本方法结合起来。
方法3：递推法
应用行列式的性质，把一个“n”阶行列式表示为具有相同结构的较低阶行列式（比如，“n-1阶”或“n-1阶”与“n-2阶”等）的线性关系式，这种关系式称为递推关系式。
根据递推关系式及某个低阶初始行列式（比如二阶或一阶行列式）的值，便可递推求得所给“n”阶行列式的值，这种计算行列式的方法称为递推法。
[注意］：用此方法一定要看行列式是否具有较低阶的相同结构，如果没有的话，即很难找出递推关系式，则不能使用此方法。
例。