复变函数第二章2解析函数
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第二章解析函数
z x iy 处可微且满足C-R条件
u x
v y
u
v
y x
(C-R条件)
运算法则
1 在区域D内解析的两个函数 f (z)与g(z)的和、差、
积、商（除去分母为零的点外）在D内解析；
2 设函数 h g z在 z 平面上的区域D内解析，函数
f h在 h平面上的区域G内解析，如果对D内
z0
z
lim
z0
nz
n 1
n
n 1
2!
z n 2 z
nzn1
所以
f z nzn1
例2 证明 f (z) Re z 在全平面处处不可导。
证明 因为对任意一点 z0
f z f z0 Re z Re z0 Re z z0
z z0
z z0
z z0
分别考虑直线 Re z Re z0 及直线 Im z Im z0 在前一直线上，上式恒等于0；在后一直线
故也称 f z在z0处可微。
df z0 f z0 z 为f z在z0处的微分
如果 f z 在区域D内处处可导（可微）， 则称 f z在D内可导（可微）。
例1 求函数 f (z) z（n n为正整数）的导数。 解 因为
f z z f z
lim
z0
z
z zn zn
lim
u ax by 1
v bx ay 2
其中1 Re z z, 2 Im z z
是关于| z | 的高阶无穷小。 根据二元实函数的微分定义，u( x, y)和v( x, y)在点 z 可微，且有
u a= v , u b= v
x y y
x
即C—R条件成立。
“充分性”由u x, y , v(x, y)在点(x, y)处可微，有
u x
v y
u
v
y x
(C-R条件)
运算法则
1 在区域D内解析的两个函数 f (z)与g(z)的和、差、
积、商（除去分母为零的点外）在D内解析；
2 设函数 h g z在 z 平面上的区域D内解析，函数
f h在 h平面上的区域G内解析，如果对D内
z0
z
lim
z0
nz
n 1
n
n 1
2!
z n 2 z
nzn1
所以
f z nzn1
例2 证明 f (z) Re z 在全平面处处不可导。
证明 因为对任意一点 z0
f z f z0 Re z Re z0 Re z z0
z z0
z z0
z z0
分别考虑直线 Re z Re z0 及直线 Im z Im z0 在前一直线上，上式恒等于0；在后一直线
故也称 f z在z0处可微。
df z0 f z0 z 为f z在z0处的微分
如果 f z 在区域D内处处可导（可微）， 则称 f z在D内可导（可微）。
例1 求函数 f (z) z（n n为正整数）的导数。 解 因为
f z z f z
lim
z0
z
z zn zn
lim
u ax by 1
v bx ay 2
其中1 Re z z, 2 Im z z
是关于| z | 的高阶无穷小。 根据二元实函数的微分定义，u( x, y)和v( x, y)在点 z 可微，且有
u a= v , u b= v
x y y
x
即C—R条件成立。
“充分性”由u x, y , v(x, y)在点(x, y)处可微，有
复变函数课件：2_2解析函数
存在，则称 f ( z ) 在 z0 处可导或可微，并称这个极限为 f ( z ) 在 z0 的导数，记作 f ' ( z0 ), 即 f ( z0 )＝ lim
' z → z0 , z∈D
f ( z ) − f ( z0 ) z − z0
f ( z 0 + ∆z ) − f ( z 0 ) ' lim 或 f ( z0 )＝ ∆z →0, z0 +∆z∈D . ∆z
所以
f ( z + ∆z ) − f ( z ) f ( z ) = lim ∆z → 0 ∆z
'
1 2 n ＝ lim (Cn z n −1 + Cn z n − 2 ∆z + ⋯ + Cn (∆z ) n −1 ) = nz n −1.
∆z → 0
例2 解
讨论 f ( z ) = Im z的可导性 .
f ( z + ∆z ) − f ( z ) Im( z + ∆z ) − Im z ∆f = = ∆z ∆z ∆z
Im z + Im ∆z − Im z Im ∆z = = ∆z ∆z
∆y Im( ∆x + i∆y ) , = = ∆ x + i∆ y ∆ x + i∆ y
当点沿平行于实轴的方 向( ∆y = 0)而使 ∆z → 0时,
第二节 解析函数
• 一、复函数的导数 • 二、解析函数的概念 • 三、复函数可导与解导的概念 定义2.2.1设复函数 w = f ( z ) 是定义在区域 D上单值 定义
函数, z0 ∈ D. 如果极限
z → z0 , z∈D
lim
f ( z ) − f ( z0 ) f ( z 0 + ∆z ) − f ( z 0 ) lim 或 ∆z →0, z0 +∆z∈D z − z0 ∆z
复变函数复变函数2
z0
)或
dw dz
z z0
.
应该注意：上述定义中z 0的方式是任意的。
容易证明： 可导
可微 ；可导
连续。
如果 f (z) 在区域D内处处可导, 就说 f (z) 在Ｄ内可导.
例1 求 f (z) = z2 的导数。
[解] 因为 lim f (z Δ z) f (z) lim (z Δ z)2 z2
§2.2 解析函数和调和函数的关系
定义1 实函数u(x, y)为区域D内的调和函数：
u(x, y)在区域D内有二阶连续偏导数，
且满足u uxx uyy 0
(称为调和方程或Laplace方程)
定理1：f (z) u(x, y) iv(x, y)是区域D内的解析函数
u与v是区域D内的调和函数
f (z)在区域D内解析：f (z)在D内处处解析.
函数在一点解析 在该点可导。反之不一定成立。
在区域内： 解析 可导 .
例如 f (z) = z2 在整个复平面上解析；w f (z) z 2
仅在原点可导，故在整个复平面上不解析；
f (z) = x +2yi 在整个复平面上不解析。
例4 讨论函数 f (z)=1/z 的解析性.
是区域内的正交 曲线族。
(正交：两曲线在交点处的切线垂直 )
证：u ( x,
y)
C1在( x,
y)处切线的斜率ku
ux uy
，
v(x,
y)
C2在(x,
y)处切线的斜率kv
vx vy
ku kv
ux uy
vx vy
C
R
vy uy
uy vy
1,
得证。
例如 f z z2 x2 y2 i2xy, f z 2z 0z 0.
第2章、解析函数
第二章 解析函数本章介绍复变函数中一个重要的概念：解析函数，并给出一个重要的判定方法：柯西黎曼条件。
最后分别介绍一些重要的单值初等解析函数及多值初等函数的分支解析。
第一节 解析函数的概念与柯西-黎曼条件1、复变函数的导数：设()w f z =是在区域D 内确定的单值函数，并且，0z D ∈。
如果极限()000()lim z z f z f z z z →-- 存在，为复数a ，则称)(z f 在0z 处可导或可微，极限a 称为)(z f 在0z 处的导数，记作0()f z '，或0z z dw dz =。
2、解析函数：定义：如果)(z f 在0z 及0z 的某个邻域内处处可导，则称)(z f 在0z 处解析；如果)(z f 在区域D 内处处解析，则我们称)(z f 在D 内解析，也称)(z f 是D 的解析函数。
解析函数的导（函）数一般记为)('z f 或z z f d )(d 。
注1、 此定义也用εδ-语言给出。
注2、 可导必连续注3、解析必可导性，在一个点的可导不一定解析，可导性是一个局部概念，而解析性是一个整体概念；解析函数的四则运算：()f z 和()g x 在区域D 内解析，那么)()(z g z f ±，)()(z g z f ，)(/)(z g z f （分母不为零）也在区域D 内解析，并且有下面的导数的四则运算法则：(()())()()f z g x f z g z '''±=±[()()])()()()()f zg x f z g z f z g z ''=+2()()()()()()(()0)()()f z f z g z f z g z g z g z g z ''-'=≠复合求导法则：设)(z f =ζ在z 平面上的区域D 内解析，)(ζF w =在ζ平面上的区域1D 内解析，而且当D z ∈时，1)(D z f ∈=ζ，那么复合函数)]([z f F w =在D 内解析，并且有z z f F z z f F d )(d d )(d d )]([d ζζ=求导的例子：（1）如果()f x a =（常数），那么；()0df z dz= （2）z 的任何多项式 n n z a z a a z P +++=...)(10在整个复平面解析，并且有 121...2)('-+++=n n z na z a a z P（4）、在复平面上，任何有理函数，除去使分母为零的点外是解析的，它的导数的求法与z 是实变量时相同。
复变函数第二章 解析函数
第 一 节 解 析 函 数 的 概 念
( 5)
f ( z ) ′ g ( z ) f ′ ( z ) − f ( z ) g ′ ( z ) , g (z) ≠ 0 = 2 g ( z) g ( z)
( 6)
{
f g ( z )
}
′
= f ′ ( w ) g ′ ( z ) , 其中w = g ( z )
dw 可见：可导 ⇔ 可微， f ′ ( z0 ) = 且 dz
z = z0
如果f ( z ) 在区域D内每一点可微，
则称f ( z ) 在D内可微.
记作 dw = f ′ ( z ) dz
第 一 节 解 析 函 数 的 概 念
二、解析函数 定义 1o 如果f ( z ) 在z0 及z0的某邻域内处处可导，
设w = f ( z ) 定义于区域D, z0 ∈ D , z0 + ∆ z ∈ D
f ( z0 + ∆ z ) − f ( z0 ) 如果 lim 存在 ∆ z →0 ∆z 则 称 f ( z ) 在 z0点 可 导 ， 而 极 限 值 为 f ( z ) 在 z0点 dw 的导数，记作 f ′ ( z0 ) 或 dz z = z0
∴ ∆ u = a ∆ x − b ∆ y + o1 ∆ v = b∆ x + a ∆ y + o2
反之，不成立。
( 2)
( 3)
f ( z ) 在区域D内解析
⇔ f ( z ) 在 区 域 D内 可 导 。
f ( z ) 在 z0 解析 ⇔
f ( z ) 在 z0的某邻域 N δ ( z0 )内解析。
第 一 节 解 析 函 数 的 概 念
复变函数第二章
2连续、可导、解析的关系
f ( z ) 在D内解析
f ( z ) 在D内可导
f ( z ) 在z0解析
f ( z ) 在z0可导
f ( z ) 在z0连续
3 复变函数与二元实函数的关系
设f ( z ) = u ( x, y ) + iv( x, y ), A = u0 + iv0 , z0 = x0 + y0i
例5
求出下列各函数的解析区域,并求出导数.
1）f ( z ) =
z
2
2
z +1
,
x+ y x− y 2) f ( z ) = 2 +i 2 2 2 x +y x +y
f ( z )在z 2 + 1 ≠ 0，即z ≠ ±i外处处可导，因此 解: 1) 其解析区域为复平面内除去z ≠ ±i两点.且
2z 2 z ( z 2 + 1) − z 2 2 z = 2 f ′( z ) = 2 2 ( z + 1) 2 ( z + 1)
则称f ( z )在z 0 可导.这个极限值称为f ( z )在z 0的导数.
dω 记作f ′( z0 ) = dz
z = z0
f ( z 0 + ∆z ) − f ( z 0 ) = lim . ∆z → 0 ∆z
在定义中应注意: 在定义中应注意
z0 + ∆z → z0 (即∆z → 0)的方式是任意的 .
∂u ∂u ∂x ∂u ∂y ∂u ∂u 则 = + = cos θ + sin θ ∂r ∂x ∂r ∂y ∂r ∂x ∂y
导数公式的其它形式 导数公式
∂u ∂v f ′( z ) = +i ∂x ∂x
【复变函数】第二章 解析函数(工科2版)
(1) f ( z ) = | z |2
2 2 2 解: f ( z ) = | z | = x + y
∴ u( x , y ) = x 2 + y 2 , v ( x , y ) = 0
∂u ∂u ∂v ∂v = 2 x, = 2 y, = 0, =0 ∂x ∂y ∂x ∂y
条件, 由C-R条件 x=0, y=0 , 条件 所以在z=0处可导 处处不解析. 所以在 处可导, 处处不解析 处可导
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【例3】讨论下列函数的解析性 可导性 . 】讨论下列函数的解析性, (1). f ( z ) = x + 2 yi 在复平面上处处不可导, 解：f (z) 在复平面上处处不可导,处处不解析
( 2 ). f ( z ) = z 2
在复平面上处处可导, 解：f (z) 在复平面上处处可导,处处解析 1 ( 3 ). f ( z ) = z 1 解：f ′( z ) = − 2 除 z = 0 外处处可导,处处解析. 外处处可导,处处解析. z 1+ z ( 4 ). f ( z ) = 1− z 2 解：f ′( z ) = 外处处可导,处处解析. 2 除 z = 1 外处处可导,处处解析. (1 − z )
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内处处为0, 内为一个常数. 【例6】若f'(x)在D内处处为 则f(x)在D内为一个常数 】 在 内处处为 在 内为一个常数 Proof: 由导数的计算公式
∂u ∂v ∂u ∂v f ′( z ) = +i =0 ⇔ = 0, = 0, ∂x ∂x ∂x ∂x
∂u ∂v ∂v ∂u = 0, = 0, f ′( z ) = −i =0 ⇔ ∂y ∂y ∂y ∂y
2 2 2 解: f ( z ) = | z | = x + y
∴ u( x , y ) = x 2 + y 2 , v ( x , y ) = 0
∂u ∂u ∂v ∂v = 2 x, = 2 y, = 0, =0 ∂x ∂y ∂x ∂y
条件, 由C-R条件 x=0, y=0 , 条件 所以在z=0处可导 处处不解析. 所以在 处可导, 处处不解析 处可导
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【例3】讨论下列函数的解析性 可导性 . 】讨论下列函数的解析性, (1). f ( z ) = x + 2 yi 在复平面上处处不可导, 解：f (z) 在复平面上处处不可导,处处不解析
( 2 ). f ( z ) = z 2
在复平面上处处可导, 解：f (z) 在复平面上处处可导,处处解析 1 ( 3 ). f ( z ) = z 1 解：f ′( z ) = − 2 除 z = 0 外处处可导,处处解析. 外处处可导,处处解析. z 1+ z ( 4 ). f ( z ) = 1− z 2 解：f ′( z ) = 外处处可导,处处解析. 2 除 z = 1 外处处可导,处处解析. (1 − z )
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内处处为0, 内为一个常数. 【例6】若f'(x)在D内处处为 则f(x)在D内为一个常数 】 在 内处处为 在 内为一个常数 Proof: 由导数的计算公式
∂u ∂v ∂u ∂v f ′( z ) = +i =0 ⇔ = 0, = 0, ∂x ∂x ∂x ∂x
∂u ∂v ∂v ∂u = 0, = 0, f ′( z ) = −i =0 ⇔ ∂y ∂y ∂y ∂y
复变函数2
解析函数的虚部为实部的共轭调和数
已知共轭调和函数中的一个，可利用 C-R 方程求得另 一个，从而构成一个解析函数。
例题1 已知一调和函数
u x, y x y xy ,
2 2
求一解析函数 f z u iv 使 f 0 0. 解： （法一） ux 2x y , u y 2 y x
由 C-R 方程 v y u x 2 x y v
2 x y dy
2
1 2 2 xy y c x vx 2 y c x , 2 1 2 由vx uy 2 y c x 2 y x c x x c ,
u与v是区域D内的调和函数 证明：f ( z)在D内解析 u x v y , vx u y ,
u xx vxy , u yy vxy uxx u yy 0. 同样可得 vxx v yy 0.
且u, v有任意阶连续偏导数
注：逆定理显然不成立，即 对区域D内的任意两个调和函数 u, v, f ( z ) u iv 不一定是解析函数 .
2
2
lim (2 z Δ z ) 2 z .
Δ z 0
所以 f '(z) = 2z . （即f (z) = z2 在复平面处处可导。）
复变函数的导数具有与实函数同样的求导法则 。
例2 问 f (z) = x +2yi 是否可导?
f ( z z ) f ( z ) [解] 这里 lim z 0 z ( x x) 2( y y )i x 2 yi x 2yi lim lim z 0 z 0 x yi x yi x 2yi x lim 1. 取z x 0, lim z 0 x yi z 0 x x 2yi 2y 取z iy 0, lim lim 2. z 0 x yi z 0 y 所以 f (z) = x + 2yi 的导数不存在.
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u v 2y x y
u v 2x
y x
u u du dx dy (2y)dx (2x)dy
x y
( x, y)
u(x, y) (2 y)dx (2x)dy c (0,0)
x
y
0 0dx 0 (2x)dy c
2xy c
(x,y)
等势线方程为xy c 课件 (0,0)
且它们的一阶偏导数满足柯课西件 - 黎曼方程.(解析的充要12条件)
解析函数的实部,虚部为调和函数,且虚部为实部 的共轭调和函数.
例3 设u(x, y) x2 y2 , v(x, y) 2xy
问u(x, y)和v(x, y)为调和函数么?
v(x, y)为u(x, y)的共轭调和函数么？
解: u(x, y), v(x, y)具有连续的二阶偏导数
v 0 x
v 2 y y
都是初等函数，在复平面内处处连续；
u
针对柯西
黎曼方程
x u
f (z)仅在z 0处可导 y
v y 仅在z v
x
0处成立
f (z)在整个复平面上处课处件 不解析。
7
(2) f (z) 2x(1 y) i(x2 y2 2 y)
解: u(x, y) 2x(1 y) v(x, y) x2 y2 2 y
课件
20
平面静电场的分析
例: f (z) u iv为解析函数，f '(z) 0,则曲线u(x, y) c1
v(x, y) c2必互相正交。
证：
曲 线u ( x,
y)
c1斜率为k1
ux uy
曲 线v( x,
y)
c2斜率为k2
vx vy
根据柯西-黎曼方程, k1 k2 1 所以,相互正交.
(二)解决复变函数的表示问题.(第四章)
例如：给定复变函数f (z) u(x, y) iv(x, y)是否一定可以
表示为z的形式？
例子：f (z) x2 y2 i2xy
f (z) z2
f (z) x2 y2 i2xy
f (z) ?
若f (z)为解析函数，则f (z)一定可表示为z的形式。
问题：已知调和函数u(x, y),求解函数v(x, y)使得
f (z) u(x, y) iv(x, y)为解析函数。 (或者就是求解u(x, y)的共轭调和函数）
（方法一） 根据共轭调和函数的定义
u(x,
y), v(x,
u y)满足柯西－黎曼方程 x
v y
u
v
y x
得到v(x, y)满足的微分方程，通过求解微分方程可得到结果。
设f (z) u(x, y) iv(x, y)为区域D上的解析函数
u v , u v x y y x
(柯西-黎曼方程)
2u x 2
2v 2u yx , y 2
2v . xy
（解析函数有任意阶的高阶导数—第三章的结论）
u(x, y), v(x, y)具有二阶连续偏导数
[若函数f
(x,
注：若u(x, y), v(x, y)都为调和函数，但u(x, y) iv(x, y)
不一定为解析函数.
如：u
x2
y2,v
x2
y
y2
,
u 2x, 2u 2, 2u 2, v 2xy ,
x
x 2
y 2
x (x2 y2 )2
2v x 2
6x2y 2y3 (x2 y2)3
,
v x2 y2 2v 6x2 y 2 y3 y (x2 y2 )2 , y2 (x2 y2 )3 ,
课件
15
例 4 已知一调和函数u(x, y) x2 y2 xy,
求一解析函数f (z) u(x, y) iv(x, y)使f (0) 0。
解：（方法一） 根据柯西－黎曼方程，得
（1）u 2x y v
x
y
（2）
u y
2
y
x
v x
根据(1)可得 v(x, y) (2x y)dy
u
黎曼方程
x u
v y v
y x
课件
5
问题：判定f (z)的解析性？
a. 确定u(x, y), v(x, y);
b. 计算偏导数u , u , v , v 判定它们在哪些点处连续？ x y x y
c. 判定偏导数u , u , v , v 在哪些点处满足 x y x y
柯西 黎曼方程？
d. 判定b, c中的共同点为f (z)的可导点,
若可导的点构成一个区域, 则f (z)在这一区域上解析； 若可导的点只是一些孤立的点, 则f (z)处处不解析.
课件
6
例2 （1）f (z) z Im( z)
解: 令z x iy, f (z) (x iy) y xy iy2
u(x, y) xy
u y x
v(x, y) y2
u x y
y
x
( x, y)
v(x, y) ( x 2 y)dx (2x y)dy c
(0,0)
(x,y)
x
xdx
y 2x y dy c
01
x2
0
2xy
1
y2
c
2
2
(0,0)
(x,0)
课件
19
注： 已知调和函数v(x, y),求解函数u(x, y)使得 f (z) u(x, y) iv(x, y)为解析函数。 求解方法是完全相同的。
(2x2,0)
课件
23
课件
24
u
u
v(x, y)
( )dx dy c
y ( x0 , y0 )
x
其中，(x0, y0 )为任意的一点，c为任意实数。 【定理2.11】
课件
18
例3（续）（方法二） 根据柯西－黎曼方程，得
u 2x y v
x
y
u y
2
y
x
v x
dv(x, y) ( u )dx u dy (x 2y)dx (2x y)dy
f (z)在区域D内可导
f (z)在区域D内解析
放大
z0
D
z0
课件
z0
3
例1 常见函数的解析性质
指数函数ez在整个复平面上处处可导，处处解析。
三角函数sin z,cosz,等在它们的定义域内处处可导，
处处解析。 对数函数Ln z及主值ln z在除去原点及负实轴外
处处可导，处处解析。
整个复平面上解析 幂函数z 除原点外解析
冰冷却
稳定后，导体中温度的分布情况：
T (x,
y)满足：x2T2
2T 2y
0
课件
火加热
9
2.5.1 调和函数的概念
定义: 若二元实变函数h(x, y)在区域D内具有二阶连续
偏导数，且满足Laplace方程 2h 则称h(x, y)为D内的调和函数。x2
2h y 2
0
问题：调和函数与解析函数有怎样的联系？
(2)若v(x, y)为u(x, y)的共轭调和函数，则u(x, y)通常不是 v(x, y)的共轭调和函数。
(u(x, y),v(x, y)不能任意调换，即u(x, y) iv(x, y)
为解析函数，但v(x,y) iu(x,y)不一定是解析函数）
例如：设u(x,y) x2 y2, v(x, y) 2xy,
u 2(1 y) x
u 2x y
v 2x x
v 2 y 2 y
都是初等函数，在复平面内处处连续；
针对柯西 黎曼方程2(21xy)(2x2) y 2在复平面上处处成
f (z)在复平面上处处可导 (复平面构成一个区域)
f (z)在整个复平面上处处解析。
课件
8
2.5 调和函数
引例（热传导问题）
f (z) u(x, y) iv(x, y) z2为解析函数
v(x, y)为u(x, y)的共轭调和函数。
(z) v(x, y) iu(x, y) 2xy i(x2 y2 )不是解析函数
( 不满足柯西-黎曼方程)
所以，u(x, y)不是v(x, y)的共轭调和函数。
课件
14
2.5.2 已知实部或虚部的解析函数的表达式
(三)解决调和函数的问题.(第2.5小节)
(四)解析函数对应的函数图像有较好的几何性质.(第六章
保形映照;第七章 具体的应用-电场的分析)
课件
2
注: 函数解析与可导之间的关系:
针对一个点: f (z)在z0处可导 f (z)在z0处解析
f (z)在z0处解析
f (z)在z0处可导
针对一个区域:
y)的二阶混合偏导数f xy " ( x,
y),
f
'' yx
(
x,
y )在( x,y )连续，
则f xy"(x, y)
f
'' yx
(
x,
y)]
课件
10
2v
2v
xy yx
2u x 2
2u y 2
0，
定理2.10 若f (z) u(x, y) iv(x, y)为区域D内的解析函数，
则u(x, y), v(x, y)都是D内的调和函数.
2u
2u
x2 2 y2 2
2v
2v
x2 0 y2 0
2u x 2
2u y 2
0，
2v x 2
2v y 2
0
u(x, y)和v(x, y)为调和函数.
又因为柯西-黎曼方程 u 2x v
x
y
u 2 y v
y