必修二++空间几何证明经典题型

∴平面HGF∥平面ABC
∴GF∥平面ABC（5分）
证法二：取BC的中点M，AB的中点N连接GM、FN、MN
（如图）
∵G、F分别是EC和BD的中点
∴ （2分）
又∵ADEB为正方形∴BE∥AD，BE=AD
∴GM∥NF且GM=NF
∴MNFG为平行四边形
∴GF∥MN，又MN⊂平面ABC，
∴GF∥平面ABC（5分）
10．如图所示，四棱锥P﹣ABCD的底面为直角梯形，AB⊥AD，CD⊥AD，CD=2AB．点E是PC的中点．
（Ⅰ）求证：BE∥平面PAD；
（Ⅱ）已知平面PCD⊥底面ABCD，且PC=DC．在棱PD上是否存在点F，使CF⊥PA？请说明理由．
【解答】（1）证明：取PD中点Q，连结AQ、EQ．…（1分）
∵E为PC的中点，∴EQ∥CD且EQ= CD．…（2分）
∴CD⊥AO，BC∩CD=C，∴AO⊥平面BCDE，
∴AO为VA﹣BCDE的高， ，∴ ．
6．如图，四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，平面A1ABB1⊥平面ABCD，且∠ABC= ．
（1）求证：BC∥平面AB1C1；（2）求证：平面A1ABB1⊥平面AB1C1．
【解答】证明：（1）∵BC∥B1C1，且B1C1⊂平面AB1C1，BC⊄平面AB1C1，
【解答】证明：（1）连接AC，由正方形性质可知，AC与BD相交于BD的中点F，F也为AC中点，E为PC中点．
所以在△CPA中，EF∥PA，
又PA⊂平面PAD，EF⊄平面PAD，
所以EF∥平面PAD；
（2）平面PAD⊥平面ABCD
平面PAD∩面ABCD=AD⇒CD⊥平面PAD⇒CD⊥PA
正方形ABCD中CD⊥ADPA⊂平面PADCD⊂平面ABCD
∴AD⊥平面PCD，
∴DP是PA在平面PCD中的射影，
∴PC=DC，PF=DF，
∴CF⊥DP，∴CF⊥PA．
11．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是边长为2的正方形，侧面PAD⊥底面ABCD，且PA=PD= AD，E、F分别为PC、BD的中点．
（1）求证：EF∥平面PAD；
（2）求证：面PAB⊥平面PDC．
∴AC⊥BC，
∵BC∩BE=B，
∴AC⊥平面BCE（9分）
（Ⅲ）连接CN，因为AC=BC，∴CN⊥AB，（10分）
又平面ABED⊥平面ABC，CN⊂平面ABC，∴CN⊥平面ABED．（11分）
∵三角形ABC是等腰直角三角形，∴ ，（12分）
∵C﹣ABED是四棱锥，
∴VC﹣ABED= = （14分）
8．如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，BC⊥AC，D，E分别是AB，AC的中点．
∴BG垂直于面ADC的两条相交直线AC，DC，
∴BG⊥面ADC．…（6分）
∵EF∥BG∴EF⊥面ADC
∵EF⊂面ADE，∴面ADE⊥面ADC．…（8分）
解：（Ⅲ）
方法一：连接EC，该四棱锥分为两个三棱锥E﹣ABC和E﹣ADC．
．…（12分）
方法二：取BC的中点为O，连接AO，则AO⊥BC，又CD⊥平面ABC，
又∵AB∥CD且AB= CD，
∴EQ∥AB且EQ=AB．…（3分）
∴四边形ABED是平行四边形，
∴BE∥AQ．…（4分）
又∵BE⊄平面PAD，AQ⊂平面PAD，
∴BE∥平面PAD．…（5分）
（2）解：棱PD上存在点F为PD的中点，使CF⊥PA，
∵平面PCD⊥底面ABCD，平面PCD∩底面ABCD=CD，AD⊥CD，
（2）AD⊥AC．
【解答】证明：（1）因为AB⊥AD，EF⊥AD，且A、B、E、F四点共面，
所以AB∥EF，
又因为EF⊂平面ABC，AB⊂平面ABC，所以由线面平行判定定理可知：EF∥平面ABC；
（2）在线段CD上取点G，连结FG、EG使得FG∥BC，则EG∥AC，
因为BC⊥BD，FG∥BC，所以FG⊥BD，
（1）求证：B1C1∥平面A1DE；（2）求证：平面A1DE⊥平面ACC1A1．
【解答】证明：（1）因为D，E分别是AB，AC的中点，所以DE∥BC，…（2分）
又因为在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，B1C1∥BC，所以B1C1∥DE…（4分）
又B1C1⊄平面A1DE，DE⊂平面A1DE，所以B1C1∥平面A1DE…（6分）
（2）在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，CC1⊥底面ABC，
又DE⊂底面ABC，所以CC1⊥DE…（8分）
又BC⊥AC，DE∥BC，所以DE⊥AC，…（10分）
又CC1，AC⊂平面ACC1A1，且CC1∩AC=C，所以DE⊥平面ACC1A1…（12分）
又DE⊂平面A1DE，所以平面A1DE⊥平面ACC1A1…（14分）
又 ，所以PA2+PD2=AD2
所以△PAD是等腰直角三角形，且 ，即PA⊥PD．
因为CD∩PD=D，且CD、PD⊂面PDC
所以PA⊥面PDC
又PA⊂面PAB，
所以面PAB⊥面PDC．
12．在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB=BC=EC= ．求证：
（1）AC1∥平面BDE；（2）A1E⊥平面BDE．
∴BD⊥平面ACQP，∵PO⊂ Nhomakorabea面ACQP，∴BD⊥PO，
连接AQ，OF，则由三角形相似可AQ⊥PO，
∵F是CQ中点，O是AC的中点，
∴OF∥AQ，
∴OF⊥PO，
∵BD∩OF=O，
∴PO⊥平面FBD，
∵PO⊂平面PBD，
∴平面FBD⊥平面PBD．
∴OC⊥平面VAB，
∵OC⊂平面MOC，∴平面MOC⊥平面VAB；
（Ⅲ）解：在等腰直角三角形ACB中，AC=BC= ，∴AB=2，OC=1，
∴等边三角形VAB的边长为2，S△VAB= ，
∵O，M分别为AB，VA的中点．∴ ．
又∵OC⊥平面VAB，∴三棱锥 ．
3．如图，在三棱锥P﹣ABC中，PA⊥PC，AB=PB，E，F分别是PA，AC的中点．求证：
【解答】证明：（Ⅰ）取AC中点G，连接FG、BG，
∵F，G分别是AD，AC的中点∴FG∥CD，且FG= DC=1．
∵BE∥CD∴FG与BE平行且相等∴EF∥BG．
EF⊄面ABC，BG⊂面ABC∴EF∥面ABC…（4分）
（Ⅱ）∵△ABC为等边三角形∴BG⊥AC
又∵DC⊥面ABC，BG⊂面ABC∴DC⊥BG
∵OG⊄平面ABFE，AB⊂平面ABFE，∴OG∥平面ABFE．
（2）∵四边形ABCD是菱形，AC，BD相交于点O，
∴AC⊥BD，O是AC中点，
∵G为BC的中点，∵EF∥AB，EF= AB，平面BCF⊥平面ABCD，BF=CF，
∴FG⊥平面ABCD，∴EO⊥平面ABCD，∴EO⊥AC，
∵EO∩BD=O，∴AC⊥平面BDE．
∴BC∥平面AB1C1．
（2）∵平面A1ABB1⊥平面ABCD，平面ABCD∥平面A1B1C1D1，
∴平面A1ABB1⊥平面A1B1C1D1，
∵平面A1ABB1∩平面A1B1C1D1=A1B1，A1B1⊥C1B1，
∴C1B1⊂平面AB1C1，
∴平面A1ABB1⊥平面AB1C1．
7．如图，三角形ABC中，AC=BC= ，ABED是边长为1的正方形，平面ABED⊥底面ABC，若G、F分别是EC、BD的中点．
又因为平面ABD⊥平面BCD，所以FG⊥平面ABD，所以FG⊥AD，
又因为AD⊥EF，且EF∩FG=F，所以AD⊥平面EFG，所以AD⊥EG，
故AD⊥AC．
5．已知四棱锥A﹣BCDE，其中AB=BC=AC=BE=1，CD=2，CD⊥面ABC，BE∥CD，F为AD的中点．
（Ⅰ）求证：EF∥面ABC；（Ⅱ）求证：平面ADE⊥平面ACD；（Ⅲ）求四棱锥A﹣BCDE的体积．
由PA⊥平面ABCD，可得PA⊥AB，再由AB⊥AD可得AB⊥平面PAD，
∴CD⊥平面PAD，故有CD⊥PD．
再由E、F分别为CD和PC的中点，可得EF∥PD，
∴CD⊥EF．
而EF和BE是平面BEF内的两条相交直线，故有CD⊥平面BEF．
由于CD⊂平面PCD，∴平面BEF⊥平面PCD．
2．如图，在三棱锥V﹣ABC中，平面VAB⊥平面ABC，△VAB为等边三角形，AC⊥BC且AC=BC= ，O，M分别为AB，VA的中点．
必修二空间几何证明经典题型
一．解答题（共25小题）
1．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，AB∥CD，AB⊥AD，CD=2AB，平面PAD⊥底面ABCD，PA⊥AD．E和F分别是CD和PC的中点，求证：
（Ⅰ）BE∥平面PAD；（Ⅱ）PA⊥BC；（Ⅲ）平面BEF⊥平面PCD．
【解答】解：（Ⅰ）∵PA⊥AD，平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD=AD，
（1）CE∥平面PBD；
（2）平面FBD⊥平面PBD．
【解答】证明：（1）设AC∩BD=O，连接PO，则
∵O是AC的中点，E是PQ的中点，
∴PE=OC，PE∥OC，
∴四边形POCE是平行四边形，
∴CE∥PO，
∵CE⊄平面PBD，PO⊂平面PBD，
∴CE∥平面PBD；
（2）∵平面ACQP⊥平面ABCD，平面ACQP∩平面ABCD=AC，BD⊥AC，
（1）EF∥平面PBC；（2）平面BEF⊥平面PAB．
【解答】证明：（1）在△APC中，因为E、F分别是PA、AC的中点，
所以EF∥PC，…（3分）
又PC⊂平面PAC，EF⊄平面PAC，所以EF∥平面PBC．…（6分）
（2）因为AB=PB，且点E是PA的中点，所以PA⊥BE，…（9分）
又PA⊥PC，EF∥PC，所以PA⊥EF，…（12分）
因为BE⊂平面BEF，EF⊂平面BEF，BE∩EF=E，
所以PA⊥平面BEF，又PA⊂平面PAB，所以平面PAB⊥平面BEF．…（14分）