概率论与数理统计概率问题

选修2-3 条件概率

一、选择题

1．下列式子成立的是( ) A ．P (A |B )＝P (B |A ) B ．0

C ．P (AB )＝P (A )·P (B |A )

D ．P (A ∩B |A )＝P (B ) [答案] C

[解析] 由P (B |A )＝P (AB )

P (A )得P (AB )＝P (B |A )·P (A )．

…

2．在10个形状大小均相同的球中有6个红球和4个白球，不放

回地依次摸出2个球，在第1次摸出红球的条件下，第2次也摸到红球的概率为( )

[答案] D

[解析] 设第一次摸到的是红球(第二次无限制)为事件A ，则P (A )＝6×910×9＝3

5，第一次摸得红球，第二次也摸得红球为事件B ，则P (B )＝6×510×9＝1

3，故在第一次摸得红球的条件下第二次也摸得红球的概率为P ＝P (B )P (A )＝5

9，选D.

3．已知P (B |A )＝13，P (A )＝2

5，则P (AB )等于( )

[答案] C

[解析] 本题主要考查由条件概率公式变形得到的乘法公式，P (AB )＝P (B |A )·P (A )＝13×25＝2

15，故答案选C. ￥

4．抛掷红、黄两颗骰子，当红色骰子的点数为4或6时，两颗

骰子的点数之积大于20的概率是( )

[答案] B

[解析] 抛掷红、黄两颗骰子共有6×6＝36个基本事件，其中红色骰子的点数为4或6的有12个基本事件，两颗骰子点数之积包含4×6,6×4,6×5,6×6共4个基本事件．

所以其概率为4361236

＝1

3.

5．一个盒子里有20个大小形状相同的小球，其中5个红的，5个黄的，10个绿的，从盒子中任取一球，若它不是红球，则它是绿球的概率是( )

[答案] C

！

6．根据历年气象统计资料，某地四月份吹东风的概率为9

30，下雨的概率为1130，既吹东风又下雨的概率为8

30.则在吹东风的条件下下

雨的概率为( )

[答案] D

[解析] 设事件A 表示“该地区四月份下雨”，B 表示“四月份吹东风”，则P (A )＝1130，P (B )＝930，P (AB )＝8

30，从而吹东风的条件下下雨的概率为P (A |B )＝P (AB )P (B )＝8

30930

＝8

9.

7．一个口袋中装有2个白球和3个黑球，则先摸出一个白球后放回，再摸出一个白球的概率是( )

[答案] C

[解析] 设A i 表示第i 次(i ＝1,2)取到白球的事件，因为P (A 1)＝2

5，P (A 1A 2)＝25×25＝425， -

在放回取球的情况P (A 2|A 1)＝25×2525

＝2

5.

8．把一枚骰子连续掷两次，已知在第一次抛出的是偶数点的情况下，第二次抛出的也是偶数点的概率为( )

A ．1

[答案] B

[解析] 设A i 表示第i 次(i ＝1,2)抛出偶数点，则P (A 1)＝18

36，P (A 1A 2)＝1836×918，故在第一次抛出偶数点的概率为P (A 2|A 1)＝P (A 1A 2)P (A 1

)＝1836×

9

1818

36＝1

2，故选B.

二、填空题

9．某人提出一个问题，甲先答，答对的概率为，如果甲答错，由乙答，答对的概率为，则问题由乙答对的概率为________．

[答案]

10．100件产品中有5件次品，不放回地抽取两次，每次抽1件，已知第一次抽出的是次品，则第2次抽出正品的概率为________． %

[答案] 95

99

[解析] 设“第一次抽到次品”为事件A ，“第二次抽到正品”为事件B ，则P (A )＝5100，P (AB )＝5100×9599，所以P (B |A )＝P (AB )P (A )＝95

99.准确区分事件B |A 与事件AB 的意义是关键．

11．一个家庭中有两个小孩．假定生男、生女是等可能的，已知这个家庭有一个是女孩，则这时另一个小孩是男孩的概率是________．

[答案] 1

2

[解析] 一个家庭的两个小孩只有3种可能：{两个都是男孩}，{一个是女孩，另一个是男孩}，{两个都是女孩}，由题目假定可知这3个基本事件的发生是等可能的．

12．从1～100这100个整数中，任取一数，已知取出的一数是不大于50的数，则它是2或3的倍数的概率为________．

[答案] 33

50

[解析] 根据题意可知取出的一个数是不大于50的数，则这样的数共有50个，其中是2或3的倍数共有33个，故所求概率为3350.

三、解答题

13．把一枚硬币任意掷两次，事件A ＝“第一次出现正面”，事件B ＝“第二次出现正面”，求P (B |A )． 【

[解析] P (B )＝P (A )＝12，P (AB )＝1

4，

P (B |A )＝P (AB )P (A )＝1

412

＝1

2.

14．盒中有25个球，其中10个白的、5个黄的、10个黑的，从盒子中任意取出一个球，已知它不是黑球，试求它是黄球的概率．

[解析] 解法一：设“取出的是白球”为事件A ，“取出的是黄球”为事件B ，“取出的是黑球”为事件C ，则P (C )＝1025＝25，∴P (C )＝1－2

5＝35，P (B C )＝P (B )＝525＝1

5∴P (B |C )＝P (B C )P (C )

＝13.

解法二：已知取出的球不是黑球，则它是黄球的概率P ＝5

5＋10＝

13.

15．1号箱中有2个白球和4个红球，2号箱中有5个白球和3

个红球，现随机地从1号箱中取出一球放入2号箱，然后从2号箱随机取出一球，问：

(1)从1号箱中取出的是红球的条件下，从2号箱取出红球的概率是多少

(2)从2号箱取出红球的概率是多少

[解析] 记事件A ：最后从2号箱中取出的是红球； 事件B ：从1号箱中取出的是红球．

￥

P (B )＝42＋4＝23，P (B －)＝1－P (B )＝13.

(1)P (A |B )＝3＋18＋1＝4

9.

(2)∵P (A |B －)＝38＋1＝13， ∴P (A )＝P (A ∩B )＋P (A ∩B －) ＝P (A |B )P (B )＋P (A |B －)P (B －) ＝49×23＋13×13＝1127.

16．某校高三(1)班有学生40人，其中共青团员15人．全班分

成4个小组，第一组有学生10人，共青团员4人．从该班任选一个作学生代表．

(1)求选到的是第一组的学生的概率；

(2)已知选到的是共青团员，求他是第一组学生的概率． [解析] 设事件A 表示“选到第一组学生”， 事件B 表示“选到共青团员”． (1)由题意，P (A )＝1040＝1

4.

(2)要求的是在事件B发生的条件下，事件A发生的条件概率P(A|B)．不难理解，在事件B发生的条件下(即以所选到的学生是共青团员为前提)，有15种不同的选择，其中属于第一组的有4种选择．因

此，P(A|B)＝4

15.￥