北师大版全等三角形的判定(SSS)
于点D′；
4、过点D′画射线O′B′ ，则∠A′O′B′= ∠AOB
像这样只用无刻度的直尺和圆规作图的方法 称为尺规作图
思考
为什么这样∠A′O′B′和∠AOB 作出的是相等的？试说明理由。
1.如图，已知AB=AD,CB=CD,求证： ∠B= ∠D.
D
A
C
B
2.如课本图11.2-3，△ABC是一个钢架，AB=AC，AD是 连接点A与BC中点D的支架。求证：AD垂直于 BC。 .
例2：已知∠AOB。求作： ∠A′O′B′= ∠AOB
DB
D′ B′
O
A O′
A′
C
C′
作法：1、以点O为圆心，任意长为半径画弧，分别交O′为圆心，OC长为半径 画弧，
交O′A′于点C′ ；
3、以点C′为圆心，CD长为半径画弧，与第2步中所画的弧交
1、全等三角形的定义？ 2、全等三角形的性质？ 3、寻找对应元素的规律？
教学目标
知识与技能：
• 掌握“边边边”条件的内容； • 能初步应用“边边边”条件判定两个三角形全
等； • 重会点作难一点个：角等于已知角。 • 重点运用“边边边”条件，判定三角形全 等； • 会做一个角等于已知角； • 难点探索三角形全等的条件。
问题一： 根据上节的知识知道，两个三角形全等，它 们的三个角、三条边分别对应相等，那么反 过来，如果两个三角形上述六个元素对应相 等，是否一定全等？
问题二： 两个三角形全等，是否一定需要六个条件 呢？如果只满足上述一部分条件，是否我们 也能说明他们全等？
任意画一个△ABC，再画一个△ A′B′C′ ，AB=A′B′ ， BC=B′C′ ， CA=C′A′ ，判断两个三角形是否全等
作法： 1、画线段B′C=BC ； 2、分别以B′、C′为圆心，线段AB为半径 作弧，两弧交于点A′； 3、连接线段A′B′，A′C′。 即△ A′B′C′为所画三角形
经试验：当我们把所画三角形A′B′C′裁剪下之后，放 到△ABC上，他们完全重合，所以这两个三角形全等
结论： 三边对应相等的两个三角形全等 简写为：SSS
A 分析：要证△ABD≅△ACD，可看这两 个三角形的三条边是否对应相等
B
C
D
证明：∵ D是BC的中点
∴ BD=CD
在△ABC和△ACD中，
罗列条件
AB=AC （已知） BD=CD （已证）
AD=AD （公共边）
∴ △ABD≅△ACD （SSS）
我们利用前面的结论，还可以得到作一个角等于已知 角的方法。
本课你有什么收获
本节课我们讨论了判定三角形全等的 一个方法，根据课前的探究你能不能 试着找出其他的判定方法？
作业： 课后习题第2，3题
三角形全等判定方法一： 三边对应相等的两个三角形全等 简写：SSS
由前面的探究，我们可以看出三边对应 相等的两个三角形全等。我们可以用这个结论 来判断两个三角形是否全等， 我们把判断两个三角形全等的推理过程，叫做 证明三角形的全等。
例1：如图，△ABC是一个钢架，AB=AC，AD是连接点A 与BC中点D的支架。求证：△ABD≅△ACD
北师大版初中数学7年级下册4.3 第1课时 利用“边边边”判定三角形全等[2]-课件
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A = B
D =
C
AC = BD, BC = CB
△ABC≌ △DCB （SSS）.
（2）如图，D、F是线段BC上的两点， A
AB=CE，AF=DE，要使△ABF≌△ECD ，= 还需要条件_B_F_=_C__D__或__B_D__=_F_C__.
BD
E =
FC
2. 如图，AB=AC,DB=DC,请说明∠B =∠C成立的理由.
3cm
3cm
讲授新课
“SSS”判定三角形全等及三角形的稳定性 已知两个三角形的三条边都分别为3cm、4cm、6cm . 它们一定全等吗？
3cm
4cm
6cm
6cm
4cm
3cm
4cm
3cm
6cm
结论: 三边对应相等的两个三角形全等（可以 简写为“边边边”或“SSS”） A
用符号语言表达为：
在△ABC和△ DEF中， B
A
解：连接AD.
在△ABD和△ACD中， AB=AC (已知），
DB=DC（已知），
AD=AD（公，B
C
∴ ∠B =∠C (全等三角形的对应角相等）.
3.已知AC=AD,BC=BD,试说明：AB是∠DAC的平分线.
解:在△ABC和△ABD中，
AC=AD( 已知)， BC=BD(已知)， AB=AB(公共边 )，
第四章 三角形
3 探索三角形全等的条件
第1课时 利用“边边边”判定三角形全等
导入新课
讲授新课
当堂练习
课堂小结
学习目标
1.了解三角形的稳定性，掌握三角形全等的“SSS” 判定，并能应用它判定两个三角形是否全等；
（重点） 2.由探索三角形全等条件的过程，体会由操作、归
七年级数学下册利用“边边边”判定三角形全等(第1课时)课件(新版)北师大版
探究新知
► 活动1 知识准备 如图4－3－1所示，△ABC≌△DEF，点A与点D，点B与点E分
别是对应顶点，∠B＝42°，∠A＝48°，AB＝13 cm，则∠F＝ _9_0__°，DE＝_1_3__cm.
图4－3－1
第1课时 利用“边边边”判定三角形全等
► 活动2 教材导学 探究三角形全等的条件(边边边) 1．(1)已知三角形的三条边长分别是4 cm，5 cm，7 cm，画
第1课时 利用“边边边”判定三角形全等
► 知识点二 三角形具有稳定性
只要三角形三边的长确定了，这个三角形的形状和大小就完 全确定了，所以三角形具有稳定性．
三角形的稳定性在生产和生活中有着广泛的应用．比如，房 屋的人字梁具有三角形的结构，它坚固稳定；大桥钢架、输电 线支架、索道支架等都采用三角形结构．这都是三角形的稳定 性的应用．
图4－3－2 综上，试概括你发现的结论．
第1课时 利用“边边边”判定三角形全等
2．已知两个三角形的三条边对应相等，你能判定这两个三 角形全等吗？
◆知识链接——[新知梳理]知识点一
第1课时 利用“边边边”判定三角形全等
新知梳理
► 知识点一 边边边 [文字叙述] 三边分别相等的两个三角形__全__等__，简写为
图4－3－5
第1课时 利用“边边边”判定三角形全等
解：用一定长度的绳子在AM和AN上截取AB＝AC，再选取适当 长度(不小于BC)的绳子，将其对折，得绳子的中点D，把绳子的 端点固定在B，C两点，拽住绳子的中点D，向外拉直BD和CD，确 定出D点在钢板上的位置，过A，D画射线AD，则AD平分∠MAN.在 △ABD和△ACD中，∵AB＝AC(作法)，BD＝CD(线段中点的定义)
直角三角形全等的判定课件18张度北师大版数学八年级下册
角边角（ASA） 角角边（AAS）
新知学习
如图，已知AC=DF，AB=DE，∠B=∠E，△ABC≌△DEF吗？
A BC
D
E
F
如果“SSA”中 所对的角是直 角呢?
经过证明，我们发现三角形全等不存在“SSA”定理.
探究
已知一条直角边和斜边，求作一个直角三角形. 如图，已知线段a，c（ a < c ），直角α. 求作：Rt△ABC，使∠C=∠α，BC=a，AB=c.
“斜边、 直角边”
前提条件
在直角三角形中
使用方法
在判定直角三角形全等时，只需找除 直角外的两个条件即可（其中至少有 一个条件是一组对应边相等）
解：根据题意可知∠BAC =∠EDF = 90°， BC =EF，AC =DF. ∴Rt△BAC≌Rt△EDF（HL）. ∴∠B =∠DEF ∵∠DEF +∠F =90° ∴∠B +∠F =90°.
课堂练习
1. 如图所示,P是∠BAC内一点,且点P到AB,AC的距离PF=PE,则能直
接得到△PEA≌△PFA的理由是( A )
a
c
作法如下：
M
（1）作∠MCN=∠ =90°.
C
N
M （2）在射线CM上截取CB =a.
B
C
N
（3）以点 B为圆心，线段 c的长为 M
半径作弧，交射线CN于点A.
B
C
（4）连接AB，得到Rt△ABC.
M
C
A N
A N
思考
比较小明作的直角三角形和已知三角形，发现它们全等.
猜想：斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等；
∴ △ABC≌ △A′B′C′（SSS）
北师大版数学七年级下册《三角形全等的判定3—AAS》课件
思考题:
1. 已知：如图，△ABC ≌△A’B’C’， AD、A’D’ 分别是△ABC 和△A’B’C’ 的高。试说明AD＝ A’D’ ，并用一句话说
出你的发现。
A
A’
B
D C B’
D’ C’
全等三角形对应边上的高也相等。
思考题:
2、△ABC是等腰三角形，AD、BE 分别是∠A、 ∠B 的角平分线，△ABD和△BAE 全等吗？试
D
在△ABC和△DEF中
∠B = ∠E
E
F
BC = EF ∠C = ∠F
∴△ABC≌△DEF（ASA）
两你角能及从一上角题的中对得边到对什应么相结等论的？ 两个三角形全等（AAS）。
全等三角形的判定方法3:
两角及一角的对边对应相等的两个三角形全等。 简称“角角边”（AAS）。
A
A′Βιβλιοθήκη BB′C在△ABC和△ A'B'C'中
两角及一角的对边对应相等的两个三角形全等。 简称“角角边”（AAS）。
△ABC ≌△DEF的理由是： 角角边（AAS）
C
F
A
BD
E
掌握全等三角形的AAS定理
要用AAS判定△ABC≌△DEF，
需要添加的条件是______.
A
D
B
CE
F
掌握全等三角形的AAS定理
要用AAS判△ABC≌△DEF，
需要添加的条件是__________.
A
D
B
CE
F
掌握全等三角形的AAS定理
4.3.3 三角形全等的条件(3)
---边边边（AAS）
A
A′
B
B′
C
七年级数学下册 第4章 三角形 4.3 探索三角形全等的条件课件 (新版)北师大版
例2 (2017四川宜宾中考)如图4-3-2,已知点B、E、C、F在同一条直线 上,AB=DE,∠A=∠D,AC∥DF.试说明:BE=CF.
图4-3-2 分析 由AC∥DF可得∠ACB=∠F,又∠A=∠D,AB=DE,可以利用AAS 得到△ABC≌△DEF,根据全等三角形的对应边相等可得BC=EF,都减 去EC即可得BE=CF.
AD BC,
因为DAB CBA,所以△ABD≌△BAC(SAS).
AB AB,
知识点一 判定三角形全等的条件——边边边 1.如图4-3-1,在△ABC和△FED中,AC=FD,BC=ED,要利用“SSS”来判 定△ABC和△FED全等,下面的4个条件中:①AE=FB;②AB=FE;③AE= BE;④BF=BE,可利用的是 ( )
AB=DE,BC=EF (2)已知两角
思路一(找第三边)
思路二(找角)
首先找出AC=DF,然后应用“SSS”判定全等
①找夹角:首先找出∠B=∠E,然后应用 “SAS”判定全等;②找直角用“HL”判定 全等(后面会学到)
思路一(找夹边)
思路二(找角的对边)
首先找出AB=DE,然后应用“ASA”判定全 等
A.①或②
B.②或③
图4-3-1 C.①或③ D.①或④
答案 A 由题意可得,要用“SSS”进行△ABC和△FED全等的判定, 只需AB=FE,若添加①AE=FB,则可得AE+BE=FB+BE,即AB=FE,故①可 以;显然②可以;若添加③AE=BE或④BF=BE,均不能得出AB=FE,故③④ 不可以,故选A.
架不变形,他至少要再钉上
根木条.
()
图4-3-5
A.0 解析 答案
B.1 C.2 D.3 连接AC或BD,构成三角形,三角形具有稳定性. B
新北师大版八年级数学下册知识点总结
新北师大版八年级数学下册知识点总结XXX版八年级数学下册各章知识要点总结第一章三角形的证明一、全等三角形的判定和性质：判定方法：SSS、SAS、ASA、AAS、HL（直角三角形）对应边相等，对应角相等二、等腰三角形的性质和判定：有两边相等，底角相等等腰三角形的顶角平分线、底边中线和高线互相重合等边三角形的各角相等，每个角都等于60°判定方法：等角对等边三、直角三角形的性质和判定：两锐角互余直角边平方和等于斜边平方锐角等于30°的直角三角形，直角边等于斜边的一半斜边上的中线等于斜边的一半判定方法：三边平方和相等四、线段的垂直平分线和角平分线：垂直平分线上的点到两个端点的距离相等三角形三条边的垂直平分线相交于一点，这个点到三个顶点的距离相等（外心）角平分线上的点到两边距离相等三角形三条角平分线相交于一点，这个点到三条边的距离相等（内心）第二章一元一次不等式和一元一次不等式组本章主要介绍一元一次不等式和一元一次不等式组的概念、性质和解法。
一、一元一次不等式的概念和性质：形如ax+b0）的不等式称为一元一次不等式解不等式的基本方法是移项、化简、分段讨论不等式的解集可以用区间表示二、一元一次不等式的解法：通过移项将不等式化为ax）b的形式根据a的正负性和不等式符号确定解集的范围判断解集的开闭性和无解情况三、一元一次不等式组的概念和性质：形如ax+by）和dx+ey>f（或<）的不等式组称为一元一次不等式组解不等式组的基本方法是联立、消元、分段讨论不等式组的解集可以用平面区域表示四、一元一次不等式组的解法：通过联立将不等式组化为标准形式根据系数的正负性和不等式符号确定解集的范围判断解集的开闭性和无解情况总之，本章内容涵盖了三角形的证明和一元一次不等式及其组的解法，是初中数学中重要的基础知识。
定义：不等式是用符号“＜”（或“≤”）,“＞”（或“≥”）连接的式子。
基本性质：不等式的两边都加（或减）同一个整式，不等号的方向不变；不等式的两边都乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变；不等式的两边都乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变。
北师大版七年级数学下册课件：4.3第1课时利用“边边边”判定三角形全等
30°
50°
6cm 4cm
6cm 4cm
有两个条件相 等不能保证三
角形相等
议一议 如果给出三个条件画三角形，你能说出有哪几种可能的情况吗？
给出三个条件 ①三个角：
300 300
60o
60o
1.三个角 2.三条边 3.两边一角 4.两角一边
②三条边：
先任意画出一个△ABC，再画出一个△A′B′C′ ,
范围
有两个条件相等不能保证三角形相等
（3）连接线段A'B',A'C'.
AB =AC (已知） AD =AD （公共边）
A,C两点之间
摆齐
只给一个条件(一组对应边相等或一组对应角相等).
BD =CD （已证） AB=AB(
)，
三边对应相等的两个三角形全等．
依据
AD =AD （公共边） ∴ BD =DC．
三角形全等 的判定
三角形的稳定性： 三角形三边长度确定了，这个三 角形的形状和大小就完全确定了.
本节我们就来讨论这个问题.
获取新知 知识点一：“边边边”判定三角形全等 1. 只给一个条件(一组对应边相等或一组对应角相等).
①只给一条边：
②只给一个角：
60°
60°
60°
只有一个条 件相等不能 保证三角形
相等
2. 给出两个条件： ①一边一内角：
③两边：
30°
30°
30°
②两内角：
30° 50°
三边对应相等的两个三角形全等．
使A B = AB ,B C =BC, A C =AC.把画好的△A B C 如两果个给 三出角三形个全条等件的′ 画判三定′ 角方形法，1：你能说出有′哪几′种可能的情况吗？ ′
北师大版七年级数学下册《三角形全等的条件》教学设计
2.在实际操作中，学生可能难以把握全等三角形的作图技巧，导致证明过程中出现错误。
3.学生在运用全等三角形的性质解决问题时，可能对题目中的信息理解不够全面，不能灵活运用所学知识。
针对以上学情，教学过程中应注重以下几点：
1.强化学生对全等三角形定义的理解，通过实例讲解和互动问答，帮助学生明确全等三角形的判定条件。
（四）课堂练习，500字
在课堂练习环节，我将设计以下练习题：
1让学生运用所学知识解决问题。
2.提高题：设计一些综合性的题目，让学生运用全等三角形的性质和判定条件解决实际问题。
3.互动提问：在练习过程中，鼓励学生提问，解答学生的疑问，巩固所学知识。
3.引入新课：在学生思考的基础上，引出本节课的主题——《三角形全等的条件》，并简要介绍全等三角形在现实生活中的应用。
（二）讲授新知，500字
在讲授新知环节，我将按照以下步骤进行：
1.定义：给出三角形全等的定义，强调全等三角形的形状、大小、角度等方面的完全相同。
2.判定条件：详细介绍全等三角形的判定条件，即SSS、SAS、ASA、AAS，并结合实际例子进行解释。
3.能够运用尺规作图的方法，作出全等三角形，并能够通过观察、推理、证明全等三角形之间的关系。
4.能够运用全等三角形的性质，解决与三角形有关的计算问题，如求三角形的周长、面积等。
（二）过程与方法
1.通过观察、实践、探索，培养学生发现问题和提出问题的能力。
2.通过小组合作、讨论交流，培养学生合作学习的能力，提高学生的沟通表达能力。
3.举例说明：通过具体的图形示例，展示全等三角形的判定条件在实际中的应用，让学生更好地理解判定条件的意义。
专题探索三角形全等的条件(SSS和SAS)(知识讲解)数学七年级下册(北师大版)
专题4.10 探索三角形全等的条件（SSS 和SAS ）（知识讲解）【学习目标】1．理解和掌握全等三角形判定方法1——“边边边”，和判定方法2——“边角边”；2．能把证明一对角或线段相等的问题，转化为证明它们所在的两个三角形全等.【要点梳理】要点一、全等三角形判定1——“边边边”全等三角形判定1——“边边边”三边对应相等的两个三角形全等.（可以简写成“边边边”或“SSS ”）.特别说明：如图，如果''A B ＝AB ，''A C ＝AC ，''B C ＝BC ，则△ABC ≌△'''A B C .要点二、全等三角形判定2——“边角边”1. 全等三角形判定2——“边角边”两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等（可以简写成“边角边”或“SAS ”）.特别说明：如图，如果AB ＝ ''A B ，∠A ＝∠'A ，AC ＝ ''A C ，则△ABC ≌△'''A B C . 注意：这里的角，指的是两组对应边的夹角.2. 有两边和其中一边的对角对应相等，两个三角形不一定全等.如图，△ABC 与△ABD 中，AB ＝AB ，AC ＝AD ，∠B ＝∠B ，但△ABC 与△ABD 不完全重合，故不全等，也就是有两边和其中一边的对角对应相等，两个三角形不一定全等.【典型例题】类型一、用“SSS”和“SAS”直接证明三角形全等➽➼证明✮✮求值1．如图，已知：AB ＝AC ，BD ＝CD ，E 为AD 上一点．(1) 求证：△ABD △△ACD ；(2) 若△BED ＝50°，求△CED 的度数．【答案】(1) 证明见分析 (2) 50CED ∠=︒【分析】（1）根据SSS 即可证明△ABD △△ACD ；（2）只要证明△EDB △△EDC （SAS ），即可推出△BED ＝△CED ，进而得到答案． （1）证明：在△ABD 和△ACD 中， AB ACBDCD AD AD ⎧⎪⎨⎪⎩＝＝＝，△△ABD △△ACD （SSS ）；（2）解：△△ABD △△ACD ，△△ADB ＝△ADC ，在△EDB 和△EDC 中，DB DC BDE CDE DE DE ⎧⎪∠∠⎨⎪⎩＝＝＝，△△EDB △△EDC （SAS ），△△BED ＝△CED ，△△BED ＝50°，△△CED ＝△BED ＝50°．【点拨】本题考查全等三角形的判定和性质，解题的关键是根据图形题意，熟练掌握两个三角形全等判定与性质．举一反三：【变式1】如图，点A 、M 、N 、C 在同一条直线上，AB CD =，BN DM =，AM CN =，求证：AB CD ∥．【分析】根据AB CD =，BN DM =，AM CN =，利用SSS 定理证明ABN CDM ≌，从而得到A C ∠=∠，再根据内错角相等，两直线平行，AB CD ∥得证．解：证明：∵AM CN =∴AM MN CN MN∴AN CM =在ABN 和CDM 中AB CD BN DM AN CM =⎧⎪=⎨⎪=⎩，∴()ABN CDM SSS △≌△∴A C ∠=∠∴AB CD ∥（内错角相等，两直线平行）【点拨】本题考查了三角形全等的判定方法和性质，以及平行线的判定，解题关键是掌握全等三角形的判定方法，运用全等三角形的性质证明线段和角相等．【变式2】如图，已知AB AC =，AD AE =，BD CE =，求证：312.【分析】利用SSS 可证明△ABD△△ACE ，可得△BAD=△1，△ABD=△2，根据三角形外角的性质即可得△3=△BAD+△ABD ，即可得结论.解：在△ABD 和△ACE 中，AB=AC AD=AE BD=CE ⎧⎪⎨⎪⎩，△△ABD△△ACE ，△△BAD=△1，△ABD=△2，△△3=△BAD+△ABD ，△△3=△1+△2.【点拨】本题考查全等三角形的判定与性质及三角形外角性质，熟练掌握判定定理及外角性质是解题关键.2．已知：如图，AB AC =，F ，E 分别是AB AC ，的中点，求证：ABE ACF ≌．在ABE 与△AB AC A A AE AF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩ABE △≌△【点拨】本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：ASAAAS 、、【变式1】如图，点D 在BC 上，,ADB B BAD CAE ∠=∠∠=∠．(1) 添加条件：____________（只需写出一个），使ABC ADE ≅；(2) 根据你添加的条件，写出证明过程．【答案】(1) AC AE = (2) 见分析【分析】（1）根据已知条件可得AB AD =，BAC DAE ∠=∠，结合三角形全等的判定条件添加条件即可；（2）结合（1）的条件，根据三角形全等的判定条件添加条件进行证明即可．解：（1）添加的条件是：AC AE =,故答案为AC AE =；（2）△,ADB B ∠=∠△AB AD =，△BAD CAE ∠=∠△BAD DAC CAE DAC ∠+∠=∠+∠，即BAC DAE ∠=∠，又AC AE =△ABC ADE ≅【点拨】本题主要考查了三角形全等的判定，确定出三角形全等判定条件是解答本题的关键．【变式2】如图所示，DC CA ⊥，EA CA ⊥，CD AB =，CB AE =，求证：(1) BCD EAB ≌△△；(2) DB BE ⊥．【分析】（1）利用SAS 判定定理证明三角形全等即可；（2）由()≌DCB BAE SAS △△，可得∠=∠DBC BEA ，∠=∠BDC EBA ，再利用90DBC BDC ∠+∠=︒，可得90∠+∠=︒DBC EBA ，即90DBE ∠=︒，所以DB BE ⊥．解：（1）证明：△DC CA ⊥，EA CA ⊥，△90∠=∠=︒DCB BAE ，在DCB △和BAE 中，CD AB DCB BAE CB AE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩△()≌DCB BAE SAS △△． （2）证明：由（1）可知()≌DCB BAE SAS △△， △∠=∠DBC BEA ，∠=∠BDC EBA ，△90DBC BDC ∠+∠=︒，△90∠+∠=︒DBC EBA ，即90DBE ∠=︒，△DB BE ⊥．【点拨】本题考查全等三角形的判定定理及性质，垂直的定义，解题的关键是掌握全等三角形的判定定理及性质．类型二、用“SSS”和“SAS”间接证明三角形全等➽➼证明✮✮求值3．已知：如图，A 、C 、F 、D 在同一直线上，AF ＝DC ，AB ＝DE ，BC ＝EF ，求证：△ABC≌≌DEF ．【分析】首先根据AF=DC ，可推得AF ﹣CF=DC ﹣CF ，即AC=DF ；再根据已知AB=DE ，BC=EF ，根据全等三角形全等的判定定理SSS 即可证明△ABC△△DEF ．解：△AF=DC ，△AF ﹣CF=DC ﹣CF ，即AC=DF ；在△ABC 和△DEF 中AC DF AB DE BC EF =⎧⎪=⎨⎪=⎩△△ABC△△DEF （SSS ）举一反三： 【变式1】如图，已知：PA＝PB，AC ＝BD ，PC ＝PD ，△PAD 和△PBC 全等吗？请说明理由．【分析】由AC=BD ，利用线段的和差关系可得AD=BC ，利用SSS 即可证明△PAD△△PBC.解：△AC ＝BD ，△AC+CD=BD+CD ，即AD ＝BC ，又△PA ＝PB ，PC ＝PD ，△△PAD△△PBC(SSS)【点拨】本题考查全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定定理是解题关键.【变式2】如图，点D ，A ，E ，B 在同一直线上，EF ＝BC ，DF ＝AC ，DA ＝EB .试说明：△F ＝△C .【分析】根据SSS 的方法证明△DEF△△ABC,即可得到结论.解：因为DA ＝EB ， 所以DE ＝AB.在△DEF 和△ABC 中， 因为DE ＝AB ，DF ＝AC ，EF ＝BC ，所以△DEF△△ABC(SSS)，所以△F ＝△C.【点拨】本题考查了全等三角形的判定和性质,属于简单题,找到证明全等的方法是解题关键.4．如图，在ABCD 中，点E 、F 在BD 上，ABE 与CDF 全等吗？若全等，写出证明过程；若不全等，请你添加一个条件使它们全等，并写出证明过程．(1) 你添加的条件是__________．(2) 证明过程： 【答案】(1) BE DF =，答案不唯一； (2) 证明见分析； 【分析】（1）根据选择的全等三角形判定方法添加合适的条件即可；（2）由四边形ABCD 是平行四边形得到AB CD ∥，AB CD =，得ABE CDF ∠=∠，再用上添加的条件，即可证明结论．(1)解：BE DF =（答案不唯一）故答案为：BE DF =（答案不唯一）(2)证明：△四边形ABCD 是平行四边形，△AB CD ∥，AB CD =，△ABE CDF ∠=∠，在ABE 和CDF 中，AB CD ABE CDF BE DF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，△ABE CDF △≌△（SAS ）．【点拨】此题考查了平行四边形的性质、全等三角形的判定等知识，熟练掌握全等三角形的判定是解题的关键．举一反三：【变式1】如图，在ABC 和ADE 中，AB AD =，AC AE =，且BAD CAE ∠=∠，求证：ABC ADE △≌△．【分析】根据BADCAE ∠=∠可得BAC DAE ∠=∠，再根据SAS 即可证明．证明：△BAD CAE ∠=∠，△BAD DAC CAE DAC ∠+∠=∠+∠，即BAC DAE ∠=∠，在ABC 和ADE 中，AB AD BAC DAE AC AE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，△()SAS ABC ADE △≌△．【点拨】本题主要考查了用SAS 证明三角形全等，解题的关键是通过BAD CAE ∠=∠得出BAC DAE ∠=∠．【变式2】图，BE CF =，AC DF =，AC DF ∥．求证：ABC DEF ≌△△．【分析】首先根据BE CF =可得BC EF =，再由AC DF ∥可得ACB F ∠=∠，然后利用定理证明ABC DEF ≌即可．证明：△BE CF =，△BE EC CF EC ++＝，即BC EF =，△AC DF ∥，△ACB F ∠=∠， 在ACB △和DFE △中，BC EF ACB F AC DF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，△()SAS ABC DEF ≌．【点拨】此题主要考查了全等三角形的判定和平行线的性质，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS SAS ASA AAS HL 、、、、．注意：AAA SSA 、不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．类型三、全等的性质与“SSS”和“SAS”综合➽➼证明✮✮求值 5．已知：如图，在ABC 中，AB AC AD =，是BC 边上的中线．求证：AD BC ⊥（填空）．证明：在三角形ABD ACD 和中，△()()()______________BD AB ⎧=⎪⎪=⎨⎪⎪⎩已知已知公共边，△ ≌ （ ）．△ADB ∠＝ （全等三角形的对应角相等）．△1902ADB BDC ∠∠︒＝＝（平角的意义）． △（垂直的意义）．【答案】,,,,SSS DC AC AD AD ABD ACD ADC AD BC =∠⊥，△△，，【分析】证明()SSS ADB ADC ≌△△．推出ADB ADC ∠∠＝，可得结论． 证明：△AD 是BC 边上的中线，△BD CD =，在三角形ABD △和ACD 中，【变式1】如图：AB AC =，BD CD =，若28B ∠=︒，求C ∠的度数．【答案】28︒ 【分析】连接AD ，利用“SSS ”证明ABD ACD △≌△，即可得到答案．解：连接AD ，在ABD △和ACD 中，AB AC BD CD AD AD =⎧⎪=⎨⎪=⎩，()SSS ABD ACD ∴≌C B ∴∠=∠，28B ∠=︒，28C ∴∠=︒．【点拨】本题考查了全等三角形的判定和性质，正确作辅助线构造全等三角形是解题关键．【变式2】已知：如图，AC BD =，AD BC =，AD ，BC 相交于点O ，过点O 作OE AB ⊥，垂足为E ．求证：(1) ABC BAD ≌．(2) AE BE =．【分析】（1）利用SSS 证明ABC BAD ≌；（2）根据全等三角形的性质得出DAB CBA ∠=∠，则OA OB =，根据等腰三角形的性质可得出结论．（1）证明：在ABC 和BAD 中，AC BD BC AD AB BA =⎧⎪=⎨⎪=⎩，△ABC BAD ≌（2）证明：△ABC BAD ≌△CBA DAB ∠=∠，△OA OB =，△OE AB ⊥，△AE BE =．【点拨】此题考查了全等三角形的判定与性质，利用SSS 证明ABC BAD ≌是解题的关键．6．如图，在ABC 中，CM 是AB 边上的中线，8AC =，12BC =，求CM 的取值范围．【答案】210CM <<【分析】倍长中线CM 至点N ，构造BNM ，易得ACM BNM ≅△△，再利用三角形的三边关系找到CN 的取值范围，进而得到CM 的取值范围．解：如图，延长CM 到点N ，使CM MN =，连接BN ，在ACM △和BNM 中，CM NM AMC BMN AM BM =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴ACM BNM ≅△△（SAS ），∴8AC BN ==， 在BCN △中，BC BN CN BC BN -<<+，∴128128CN -<<+，即420CN <<，∴4220CM <<，即210CM <<．【点拨】本题考查了全等三角形的性质与判定以及三角形的三边关系，解决本题的关键是倍长中线构造全等三角形．举一反三：【变式1】如图，已知在ABC 与ADE 中，90BAC DAE AB AC AD AE ∠=∠=︒==，，，点C ，D ，E 三点在同一条直线上，连接BD ．图中的CE BD 、有怎样的数量和位置关系？请证明你的结论．【答案】CE BD =，证明见分析【分析】根据SAS 证明ACE ABD ≌△△，即可得到CE BD =．解：CE BD =，证明：△90BAC DAE ∠=∠=︒，△BAC CAD DAE CAD ∠+∠=∠+∠，即BAD CAE ∠=∠，在ACE △和ABD △中AC AB CAE BAD AE AD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩△()SAS ACE ABD ≌△CE BD =．【点拨】此题考查了全等三角形的判定和性质，熟练掌握全等三角形的判定方法是解题的关键．【变式2】如图已知AOB 和MON △都是等腰直角三角形．(1) 如图1，连接AM ，BM ，此时AM ，BN 的数量关系为___________请说明理由．(2) 若将MON △绕点O 顺时针旋转，如图2，当点N 恰好在AB 边上时，求证：222BN AN MN +=．【答案】(1) AM BN =，理由见分析(2) 见分析 【分析】（1）由AOB 和MON △都是等腰直角三角形，得到AOM BON ≌，即可得到AM BN =（2）连接AM ，由AOB 和MON △都是等腰直角三角形，得到AOM BON ≌，即可得到AM BN =，再求得90MAN ∠=︒，利用勾股定理即可得到222BN AN MN +=解：（1）AM BN =，理由如下：△AOB 和MON △都是等腰直角三角形，△OA OB =，OM ON =，90AOB MON ∠=∠=︒，△AOM BON ∠=∠,在AOM 和BON △中：OA OB OM ON AOM BON =⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩， △AOM BON ≌，△AM BN =（2）如下图，连接AM ，△AOB 和MON △都是等腰直角三角形，△OA OB =，OM ON =，90AOB MON ∠=∠=︒，45B BAO ∠=∠=︒，△AOM BON ∠=∠，在AOM 和BON △中：OA OB OM ONAOM BON =⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩， △AOM BON ≌，△AM BN =，45B MAO ∠=∠=︒，△90MAN MAO BAO ∠=∠+∠=︒，△222AM AN MN +=，△222BN AN MN +=【点拨】本题考查了旋转的性质、全等三角形的判定和性质、等腰直角三角形的性质及勾股定理，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解决问题的关键。
北师大版数学七年级下册第3课时 利用“边角边”判定三角形全等课件
2.5 cm C
F
E 40°
A 3.5 cm D
40° B
3.5 cm
E
A
D
F
A
D
两边及其一边所对的角对应相等， 两个三角形不一定全等.
“SAS”的几何语言：
在△ABC 和△DEF 中，
因为
AB = DE， ∠B = ∠E， BC = EF，
所以△ABC ≌ △DEF（SAS）.
A
B
C
D
E
F
随堂演练
►为你理想的人，否则，爱的只是你在他身上找到的你的影子。 ►有时候，我们愿意原谅一个人，并不是我们真的愿意原谅他，而是我们 不愿意失去他。不想失去他，惟有假装原谅他。不管你爱过多少人，不管 你爱得多么痛苦或快乐。最后，你不是学会了怎样恋爱，而是学会了，怎 样去爱自己。
►雨水打在窗户上，发出嘀嗒，嘀嗒的声响。这天空好似一个大筛子， 正永不疲倦地把银币似的雨点洒向大地。远处，被笼罩在雨山之中的 大楼，如海市蜃楼般忽隐忽现，让人捉摸不透，还不时亮起一丝红灯， 给人片丝暖意。 ►七月盛夏，夏婆婆又开始炫耀她的手下——太阳公公的厉害。太阳 公公接到夏婆婆的命令，以最高的温度炙烤着大地，天热得发了狂， 地烤得发烫、直冒烟，像着了火似的，马上要和巧克力一样融化掉。 公路上的人寥寥无几，只有汽车在来回穿梭奔跑着。瓦蓝瓦蓝的天空 没有一丝云彩，一些似云非云、似雾非雾的灰气，低低地浮在空中， 使人觉得憋气不舒服。外面的花草树木被热得打不起精神来，耷拉着 脑袋。
解：因为∠1＝∠2，所以∠ABC ＝∠FBE . 在△ABC 和 △FBE 中，
BC = BE, 因为 ∠ABC = ∠FBE,
AB = FB, 所以△ABC ≌△FBE (SAS)，