新人教版初中数学九年级上册《第二十一章一元二次方程：21.2解一元二次方程》公开课教案_1
教学设计
葫芦岛市绥中县利伟实验中学
李依航
21.2一元二次方程的解法—配方法
教材分析：
1、对于一元二次方程，配方法是解法中的通法，它的推导建立在直接开平方法的基础上，他又是公式法的基础；同时一元二次方程又是今后学生学习二次函数等知识的基础。
一元二次方程是中学数学的主要内容之一，在初中数学中占有重要地位。
我们从知识的发展来看，学生通过一元二次方程的学习，可以对已学过的一元二次方程、二次根式、平方根的意义、完全平方式等知识加以巩固。
初中数学中，一些常用的解题方法、计算技巧以及主要的数学思想，如观察、类比、转化等，在本章教材中都有比较多的体现、应用和提升。
我们想通过一元二次方程来解决实际问题，首先就要学会一元二次方程的解法。
解一元二次方程的基本策略是将其转化为一元一次方程，这就是降次。
2、本节课由简到难展开学习，使学生认识配方法的基本原理并掌握具体解法。
学情分析：
1、知识掌握上，九年级学生学习了直接开平方法。
即如果x2=a，那么x=±a。
以前还学习了完全平方式x2+2xy+y2=(x+y)2。
这对配方法解一元二次方程奠定了基础。
2、学生学习本节的障碍。
学生对配方法怎样配系数是个难点，老师应该予以简单明白、深入浅出的分析。
3、教师必须从学生的认知结构和心理特征出发，分析初中学生的心理特征，他们有强烈的好奇心和求知欲。
当他们在解决实际问题时发现要解的方程不再是以前所学过的一元一次方程或可化为一元一次方程的其他方程时，他们自然会想进一步研究和探索解方程的问题。
从而学生的认知结构上来看，前面我们已经系统的研究了完全平方式、二次根式，这就为我们继续研究用配方法解一元二次方程奠定了基础。
教学目标：
知识技能：1、了解配方法的概念。
2、掌握运用配方法解一元二次方程的步骤。
3、会利用配方法熟练灵活地解二次项系数不是1的一元二次方程。
过程方法：1、在探索配方法时，使学生感受前后知识的联系，体会配方的过程以及方法。
2、通过对比用配方法解二次项系数是1的一元二次方程，解二次项系数不是1
的一元二次方程，经历从简单到复杂的过程，对配方法全面认识。
情感态度：1、通过对配方法的探究活动，培养学生勇于探索的学习精神。
2、感受数学的严谨性和数学结论的确定性。
3、温故知新，培养学生利用旧知解决问题的能力。
教学重点：掌握配方法解一元二次方程。
教学难点：把一元二次方程转化为形如(x －a)2＝b 的过程。
教学环节：
课前汇报： 问题：方程应具备什么特点，可以利用直接开平方法来求解？
利用上节课学习的方法解一元二次方程：
1、3x 2-1=5
2、4(x-1)2-9=0
学生独立完成习题并回答老师提出的问题。
设计意图：温故知新，为了学习配方法解方程作铺垫。
创设情境： 要使一块矩形场地的长比宽多6m ，并且面积为16m 2,场地的长和宽应各是多少？ 问题1：如何设未知数和列方程？
问题2：如何解这个一元二次方程？能不能用直接开平方法？
教师指导学生按要求设出未知数并列出方程。
设计意图：启发思考，使学生意识到数学来源于生活实际，激发兴趣。
引导探究：
观察下列一元二次方程，该如何解决这三个方程？
1、 x 2+6x+9=2
2、x 2+6x=2
3、x 2
+6x-16=0 问题1：方程1可否用直接开平方法来求解？
问题2：方程2与方程1有什么区别？怎么样把方程2的左边变成方程1的形式？
问题3：方程3与方程2有什么区别？怎么样把方程3的左边化成完全平方公式的形式？ 总结归纳：像这样，把方程的左边配成含有x 的完全平方形式，右边是非负数，从而可以用直接开平方法来解方程的方法叫做配方法
教师出示方程，逐渐加深，引出本课的内容。
设计意图：让学生经历由已知到未知的过程，从已经学习的知识中探索新知识的方法。
合作探究：填一填：
问题：观察你所填的常数与一次项系数之间有什么关系？
222222222
2(1)10___(2)12___(3)5____2(4)___3(5)___(__)(__)(__)(__)(__)x x x x x bx x x x x x x x x x ++=-+=++=-+==+++-+-+
配方时, 等式两边同时加上的是一次项系数一半的平方。
共同研究并填空，学生回答老师的问题，一起探究出解方程的方法—配方法
设计意图：让学生在合作交流的基础上明确配方法。
精讲点拨：
例1：二次项系数为1时，用配方法解下列方程：
1、x 2-8x+1=0
2、（x+1）(x+2)=2x+4 注意：方程两边同时加上（
2
b ）2 有效训练：看谁做的快！
1、x 2+10x+9=0
2、x （x+1）=8x+12
例2：用配方法解下列方程
1、2x 2+1=3x
2、3x 2-6x+4=0
问题1：这些方程的二次项系数有什么特点？
问题2：当二次项不为1时，怎么解决呢？
总结归纳：用配方法解一元二次方程的步骤：
化1：将二次项系数化为1；
移项:把常数项移到方程的右边；（注意变号）
配方:方程两边都加上一次项系数一半的平方；
开方:左边降次,右边开平方；
求解:解两个一元一次方程；（或者方程无解）
定解:写出原方程的解。
小组讨论得出解决一次项系数为1的方法的一般方法，教师适时点拨，总结解题步骤。
由二次项系数为1到二次项系数不为1，师生共同研究解题方法。
设计意图：引导学生探究系数为1的一元二次方程的方法，让学生体会这种解题思路的合理性，帮助学生突破难点。
再一次让学生体会从已学知识总结经验，然后解决新知识的方法，从而找到解决一元二次方程的方法。
有效训练：
1、解下列方程：
（1）3 x 2-6x-2=0 （2）4 x 2-6x=0
2、若 是一个完全平方式，则m 的值是（ ） A ．3 B ．-3 C ．±3 D ．以上都不对
22x 6x m ++
3、把方程
配方，得（ ） A.1)2(2=-x B.28)2(2=+x
C.7)2(2=-x
D.21)2(2=+x
4、用配方法说明：不论k 取何实数，多项式k 2－3k ＋5的值必定大于零。
学生独立完成练习，教师适时给予点评。
设计意图：通过练习，提升对配方法的认识，同时让学生养成用配方法解题的意识。
小结升华：学生总结本堂课的收获与困惑。
1、用配方法解一元二次方程的步骤。
2、用配方法解一元二次方程的注意事项。
设计意图：梳理学习内容，养成整理、系统知识的习惯。
布置作业：1、课本P42习题 2、3（做在作业本）
2、练习册P20-23
解题步骤
教学反思：
本节共分3部分，第一部分引导学生通过转化得到解一元二次方程的配方法，第二部分利用配方法解系数为1的一般一元二次方程，第3部分解系数不为1的一元二次方程，培养学生数学应用的意识和能力，同时又进一步训练用配方法解题的技能。
在教学中最关键的是让学生掌握配方，配方的对象是含有未知数的二次三项式，其理论依据是完全平方式，配方的方法是通过添项：加上一次项系数一半的平方构成完全平方式，对学生来说，要理解和掌握它，确实感到困难，因此在教学过程中及课后批改中发现学生存在以下几个问题：
1.在利用添项来使等式左边配成一个完全平方公式时，等式的右边忘了加。
2.在开平方这一步骤中，学生要么只有正、没有负的，要么右边忘了开方。
3.当一元二次方程有二次项的系数不为1时，在添项这一步骤时，没有将系数化为1，就直接加上一次项系数一半的平方。
因此，要纠正以上错误，必须让学生多做练习、上台表演、当场讲评，才能熟练掌握。
板书设计：21.2一元二次方程的解法—配方法
配方法： 例1： 例2：
2x 34x +=。
九年级数学上第21章一元二次方程21.2解一元二次方程目标一一元二次方程根的判别式新新人教38
A．1，3，1
B．1，3，－1
C．－1，－3，－1 D．－1，3，1
9．【教材P17习题T4变式】不解方程，判断下列方程根 的情况： (1)16y2＋9＝24y； 解：方程化为16y2－24y＋9＝0， Δ＝b2－4ac＝(－24)2－4×16×9＝0， ∴此方程有两个相等的实数根．
(2)5(x2＋1)－7x＝0；
5．【2020·安徽】下列方程中，有两个相等实数根 的是( A ) A．x2＋1＝2x B．x2＋1＝0 C．x2－2x＝3 D．x2－2x＝0
6．【2020·潍坊】关于x的一元二次方程x2＋(k－3)x＋1－ k＝0的根的情况，下列说法正确的是( A ) A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．无实数根 D．无法确定 【点拨】计算根的判别式得Δ＝(k－1)2＋4>0.∴方 程有两个不相等的实数根．故选A.
解：若 a 为等腰三角形 ABC 的底边长，则 b，c 为 等腰三角形 ABC 的两腰长，所以方程有两个相等
的实数根，所以 Δ＝0，即 k＝32.所以方程为 x2－4x ＋4＝0，解得 x1＝x2＝2.
即 b＝c＝2，不符合三角形三边关系，故舍去． 若 a 为等腰三角形 ABC 的一腰长，由题意知 4 是方程的一 个根，所以 42－(2k＋1)×4＋4k－12＝0，解得 k＝52.所以方 程为 x2－6x＋8＝0，解得 x1＝2，x2＝4，符合题意．所以△ ABC 的周长为 2＋4＋4＝10.
谢谢观赏
You made my day!
证明：因为 Δ＝[－(2k＋1)]2－4×1×4k－12＝4k2－ 12k＋9＝(2k－3)2≥0，所以无论 k 取何值，这个方程 总有实数根．
(2) 若 等 腰 三 角 形 ABC 的 一 边 长 a ＝ 4 ， 另 两 边长b，c恰好是这个方程的两个根，求 △ABC的周长．
人教版初中数学课标版九年级上册第二十一章 21.2 解一元二次方程因式分解法(共17张PPT)
还
10x - 4.9x 2 = 0
有
其
降 配方法
它
更
次 公式法
简 便
？
的 方
x1=
0
，x2 =
100 49
2.04
法 吗 ？
探究新知
观察方程 10x - 4.9x2 = 0，它有什么特点？你能根据 它的特点找到更简便的方法吗？
10x - 4.9x2 = 0
左边因式分解
x（10 - 4.9x）= 0
用降次法中的因式分解法解一元二次方程．
复习引入
1、解一元二次方程的基本思路是什么？ 把二次方程转化为一次方程即降次
2、我们学过了用降次法中的哪几种方法来 解一元二次方程？
配方法和公式法
复习引入
3、什么叫因式分解？因式分解有哪几种方 法？
把一个多项式化成几个整式的积的形式叫做因式 分解或分解因式；
13、He who seize the right moment, is the right man.谁把握机遇，谁就心想事成。21.8.2421.8.2422:38:5422:38:54August 24, 2021
•
14、谁要是自己还没有发展培养和教育好，他就不能发展培养和教育别人。2021年8月24日星期二下午10时38分54秒22:38:5421.8.24
应用新知
1、用因式分解法解下列方程
（1）3x2+6x=0
（2）y(y-1)=2y-2
解 （1）3x(x+2)=0
：
∴3x=0或x+2=0
∴x1=0,x2=-2
(2)y(y-1)-2(y-1)=0 (y-1)(y-2)=0
∴y-1=0或y-2=0
九年级数学上册 21.2.2 公式法课件 (新版)新人教版
合作探究
2．用公式法解下列方程： (1)x2＋x－12＝0 ; (2)x2－x－＝0； (3)x2＋4x＋8＝2x＋11; (4)x(x－4)＝2－8x； (5)x2＋2x＝0 ; (6)x2＋2x＋10＝0.
解：(1)x 1＝3，x 2＝－4；
2＋ 3
2－ 3
(2)x 1＝ 2 ，x 2＝ 2 ；
第二十一章：一元二次方程
21.2 解一元二次方程 21.2.2 公式法
学习目标
1. 理解一元二次方程求根公式的推导过程，了 解公式法的概念．
2. 会熟练应用公式法解一元二次方程．
重点难点
重点：求根公式的推导和公式法的应用． 难点：一元二次方程求根公式的推导．
学前准备
用配方法解方程： (1)x2＋3x＋2＝0； 解：x1＝－2，x2＝－1； (2)2x2－3x＋5＝0. 解：无解．
(3)没有实数根？
解：(1)m＜
1 4
Hale Waihona Puke ；(2)m＝；14
(3)m＞ .
1 4
合作探究
3. 已知x2＋2x＝m－1没有实数根，求证：x2＋ mx＝1－2m必有两个不相等的实数根.
证明：∵x2＋2x－m＋1＝0没有实数根， ∴4－4(1－m)＜0，∴m＜0. 对于方程x2＋mx＝1－2m，即x2＋mx＋2m－1 ＝0， Δ＝m2－8m＋4，∵m＜0，∴Δ＞0， ∴x2＋mx＝1－2m必有两个不相等的实数根．
(3)利用求根公式解一元二次方程的方法叫做公式法． 根((，45))也由一可求般能根地有，公式式可子个知b12实，－根一4a或元c叫者二做次方方实程程没根a最x有．2多＋有bx＋c2个 ＝实数 0(a≠0)的根的判别式，通常用希腊字母Δ表示，即Δ＝b2 －4ac.
人教版九年级数学上册第二十一章一元二次方程21.2解一元二次方程21.2.3因式分解法教案设计
第二十一章一元二次方程21.2 解一元二次方程21.2.3 因式分解法学习目标1.掌握用因式分解法求一元二次方程的解.2.通过复习用配方法、公式法解一元二次方程,体会和探寻用更简单的方法——因式分解法解一元二次方程,并应用因式分解法解决一些具体问题.学习过程一、设计问题,创设情境1.我们已经学过了几种求一元二次方程的解的方法?2.分解因式有几种方法?二、信息交流,揭示规律根据物理学规律,如果把一个物体从地面以10 m/s的速度竖直上抛,那么经过x秒物体离地高度(单位:米)为10x-4.9x2,你能根据上述规律求出物体经过多少秒落回地面吗?(精确到0.01 s)10x-4.9x2=0①x(10-4.9x)=0x=0,10-4.9x=0,②x1=0,x2≈2.04归纳:如果a·b=0,那么或.可以发现,上述解法中,由①到②的过程,不是用开方降次,而是先使方程化为两个等于0的形式,再使这两个一次式分别等于0,从而实现降次,这种解法叫做因式分解法.三、运用规律,解决问题1.小试牛刀:x2-4=0.2.解方程(1)x(x-2)+x-2=0;(2)5x2-2x-=x2-2x+.3.因式分解法解方程的步骤:(1)方程右边化为.(2)将方程左边分解成两个的乘积.(3)至少因式为零,得到两个一元一次方程.(4)两个就是原方程的解.四、变式训练,深化提高1.直接回答出下列各方程的根分别是多少.(1)x(x-2)=0;(2)(y+2)(y-3)=0;(3)(3x+2)(2x-1)=0;(4)x2=x.2.下面的解法正确吗?如果不正确,错在哪里?解方程(x-5)(x+2)=18解:原方程化为(x-5)(x+2)=3×6由x-5=3,得x=8;由x+2=6,得x=4.∴原方程的解为x1=8或x2=4.3.比一比,看谁算得又快又准确:(课本第14页练习题第1题)(1)x2+x=0;(2)x2-2x=0;(3)3x2-6x=-3;(4)4x2-121=0;(5)3x(2x+1)=4x+2;(6)(x-4)2=( 5-2x)2.4.试一试:把小圆形场地的半径增加5 m得到大圆形场地,场地面积增加了一倍,求小圆形场地的半径.五、反思小结,观点提炼本节课你学会了哪些新知识?1.数学思想:2.用因式分解法求“ab=0型”方程的步骤是什么?3.做题中还有什么收获?参考答案 一、设计问题,创设情境1.直接开平方法,配方法,公式法.2.(1)提取公因式法:am+bm+cm=m (a+b+c );(2)公式法:a 2-b 2=(a+b )(a-b ),a 2+2ab+b 2=(a+b )2;( )“x 2+(a+b )x+ab ”型:x 2+(a+b )x+ab=(x+a )·(x+b ).二、信息交流,揭示规律 a=0 b=0 因式分解 一次式的乘积三、运用规律,解决问题1.解:(x+2)(x-2)=0,x+2=0或x-2=0,∴x 1=-2,x 2=2.2.(1)x 1=2,x 2=-1.(2)x 1=- 2;x 2= 2.3.(1)0 (2)因式 (3)一个 (4)一元一次方程的解四、变式训练,深化提高1.(1)x 1=0,x 2=2;(2)y 1=-2,y 2=3;(3)x 1=-2 ,x 2= 2;(4)x 1=0,x 2=1.2.(x-5)(x+2)=18整理为x 2-3x-28=0,(x-7)(x+4)=0,x 1=7,x 2=-43.(1)x1=0,x2=-1;(2)x1=0,x2=2;(3)x1=x2=1;(4)x1=-2,x2=2;(5)x1=-2,x2=2;(6)x1=1,x2=3.(4)(6)两题也可以用直接开方法.4.解:设小圆形场地的半径为r.根据题意,得(r+5)2π=2×r2π,(r+5)2=2r2,∴r1=5+52,r2=5-52<0(舍).∴小圆形场地的半径为(5+52)m.。
人教版九年级数学上册公式法课件
x （-2 3）
0 2
3
3.
21
2
即 ： x1 x2 3.
b b2 4ac x
2a
例3 解方程： x2 x 1 0 （精确到0.001）. 解： a 1,b 1, c 1,
b2 4ac 12 41 (1) 5 0
x 1 5 2
用计算器求得： 5 2.2361
1.化为一般式，确定a,b,c的值.
2.计算 的值，确定 的符号.
3.判别根的情况，得出结论.
例5:已知一元二次方程x2+x=1，下列判断正确的是( B )
A.该方程有两个相等的实数根 B.该方程有两个不相等的实数根 C.该方程无实数根 D.该方程根的情况不确定
解析：原方程变形为x2+x-1=0.∵b2-4ac=1-4×1×（-1）=5
导入新课
问题：老师写了4个一元二次方程让同学们判断它们是否有解， 大家都才解第一个方程呢，小红突然站起来说出每个方程解 的情况，你想知道她是如何判断的吗？
讲授新课
合作探究
求根公式的推导
任何一个一元二次方程都可以写成一般情势
ax2+bx+c=0
能否也用配方法得出它的解呢？
用配方法解一般情势的一元二次方程
例6:若关于x的一元二次方程kx2-2x-1=0有两个不相等的
实数根，则k的取值范围是( B )
A.k>-1
B.k>-1且k≠0
C.k<1
D.k<1且k≠0
解析：由根的判别式知，方程有两个不相等的实数根，
则b2-4ac>0，同时要求二次项系数不为0， 即 (2)2 4k 0 ，k≠0.解得k>-1且k≠0，故选B.
人教版九年级初中数学上册第二十一章一元二次方程-解一元二次方程(配方法)PPT课件
B.x 2 6 x 8 0，x 2 6 x 9 8 9， x 3 1
2
2
2
2
7
7 7
7 7 97
C.2 x 7 x 6 0，x x 3， x 2 x 3 ， x
第二十一章 一元二次方程
21.2.1 解一元二次方程
——配方法
人教版九年级（初中）数学上册
授课老师：XX
前 言
学习目标
1.理解配方法的概念，并运用配方法解一元二次方程。
2.掌握用配方法解一元二次方程的一般步骤。
重点难点
重点：用配方法解一元二次方程。
难点：用配方法解一元二次方程的步骤。
新知探究
尝试写出解方程x2+6x+4=0的过程？
第二十一章 一元二次方程
课 程 结 束
人教版九年级（初中）数学上册
授课老师：XX
C.大于等于1
的值（ C ）
D.不大于1
【思路点拨】将二次三项式配方，然后根据平方大于等于0，求出最值。
【解题过程】 解：∵ 2 x 2 4 x 3
2 x 2 2 x 1 2 1 3
2 x 1 1。
2
2 x 1 0，
2
原式 1。
方”)
新知探究
通过配方法解一元二次方程的步骤
用配方法解一元二次方程
ax 2 bx c 0 a 0 的一般步骤：
（1）移项：将含有x的项移到方程的左边，常数项移到方程的右边；
（2）二次项系数化为1：两边同除以二次项的系数；
（3）配方：方程两边都加上一次项系数一半的平方；
人教版九年级数学上册(RJ)第21章 一元二次方程 一元二次方程的根与系数的关系
第二十一章一元二次方程21.2 解一元二次方程*21.2.4 一元二次方程的根与系数的关系学习目标：1.探索一元二次方程的根与系数的关系.2.不解方程利用一元二次方程的根与系数的关系解决问题. 重点：探索一元二次方程的根与系数的关系.难点：不解方程利用一元二次方程的根与系数的关系解决问题.一、知识链接1.一元二次方程的求根公式是什么？2.如何用判别式b2－4ac来判断一元二次方程根的情况？算一算解下列方程并完成填空：(1)x2+3x－4=0； (2)x2－5x+6=0； (3)2x2+3x+1=0.想一想方程的两根x1，x2与系数a，b，c有什么关系？二、要点探究探究点1：探索一元二次方程的根与系数的关系猜一猜（1）一元二次方程 (x－x1)(x－x2) = 0 (x1，x2为已知数) 的两根是什么？若将此方程化为x2 + px + q = 0 的形式，你能看出 x1，x2与 p，q 之间的关系吗？（2）通过上表猜想，如果一元二次方程 ax2+bx+c=0(a≠0)的两个根分别是x1、 x2，那么，你可以发现什么结论？证一证：x1 + x2= x1·x2=归纳总结：一元二次方程的根与系数的关系如果ax2+bx+c=0(a≠0)的两个根为x 1、x2，那么12bx xa ，12cx xa.(前提条件是b2－4ac≥0).(1) x2–6x–15 = 0； (2) 3x2+7x－9 = 0； (3) 5x–1 = 4x2.归纳：在求两根之和、两根之积时，先把方程化为一般式，判别Δ≥0，如是则代入 a、b、c的值即可.例2 已知关于x的方程5x2+kx－6=0的一个根是2，求它的另一个根及k 的值.变式题已知关于的值.例3 不解方程，求方程2x2+3x－1=0的两根的平方和、倒数和.练一练设x1，x2为方程x2－4x+1=0的两个根，则：(1) 12x x ， (2)12xx ，(3) 2212x x ， (4)212()x x .归纳：求与方程的根有关的代数式的值时，一般先将所求的代数式化成含两根之和，两根之积的形式，再整体代入.常见的求值式子如下： 12111.x x +=22122.x x += 12213.=x x x x + 124.(1)(1)x x ++= 125.||=x x -例4 设x 1，x 2是方程 x 2－2(k －1)x + k 2 =0的两个实数根，且2212x x 4，求k 的值.方法总结：根据一元二次方程两实数根满足的条件，求待定字母的值时，务必要注意方程有两实数根的条件，即所求的字母代入方程中，方程应该满足Δ≥0 .2b x a，1c x a.2221212()2x x x x x 2221212)()4x x x x x122121x x x x x......1.如果－1是方程2x 2－ = .2.已知一元二次方程x 2+px+q=0的两根分别为－2和1，则p = ， q = .3.已知关于 的值.4.已知x 1，x 2是方程2x 2+2kx+k －1=0的两个根，且(x 1+1)(x 2+1)=4.(1)求k的值； (2)求(x1－x2)2的值.5.设x1，x2是方程3x2+4x－3 = 0的两个根.利用根系数之间的关系，求下列各式的值：(1) (x 1 + 1)(x2 + 1)； (2)2112.x xx x拓展提升6. 当k为何值时，方程2x2－kx+1=0的两根之差为1.7.已知关于-2=0(1)若方程有实数根,求实数m的取值范围；(2)若方程两根x1，x2满足|x1-的值.242bb ac xa.时，方程有两个相12-132课堂探究二、要点探究探究点1：探索一元二次方程的根与系数的关系 猜一猜=b a，x 1x 2证一证：（注：b221242b b ac x x a +-+=2b b a -+--= 22b a -=.ba=- 1222b b x x a a•-+--⋅=()()22244b b ac a ---=244ac a=.ca =例1 解：（1） a=1 , b= – 6 , c= – 15. Δ = b 2– 4ac =( – 6 )2 – 4 × 1 ×(– 15) = 96 > 0. ∴方程有两个实数根.设方程的两个实数根是x 1，x 2，那么x 1 + x 2 = –( – 6 ) =6，x 1 x 2 = – 15 .（2）a = 3 , b =7, c = –9. Δ= b 2 - 4ac = 72 –4×3×(-9) =157 > 0，∴方程有两个实数根.设方程的两个实数根是x 1，x 2，那么x 1 + x 2 =73， x 1 x 2 =933.（3）方程可化为4x 2–5x +1 =0，a =4，b = – 5，c = 1.Δ = b 2- 4ac =(– 5)2 – 4×4×1=9>0.∴方程有两个实数根.设方程的两个实数根是x 1， x 2，那么x 1 + x 2 =5544，x 1 x 2 =1.4=6.5=3.5+ x 2=2+ 35=.5k 得k=答：方程的另一个根是3,5k=－ 解：设方程的两个根分别是+ x 2=1+ x =5 .121231,.22x x x 222121122)2,x xx x x ∴22221212123113()22.224xxx x x x 121212131 3.22x x x x x练一练 （1）4 （2）1 （3）14 （4）12例4 解：由方程有两个实数根，得22221212()2x x x x x = 4(k 222x 4，得 2k +4 =4，解得k 1=0，k 2=4 . 当堂检测1.；-3. 2. 1 ； -2.1161.3c x a116.3x 12121,.2k x k x x 1()1 4.2kk 解得k = -7；4.-则222121212)()474(4)65.x x x x x12124, 1.3b c x x x aa)+1=441()1.33122221121221212()234.9x x x x x x x x x x x x 12121,.22kx x x 22121212()()4 1.x x x x x x 22141,3,2 3.222k k k7.解：（1）方程有实数根，所以Δ=b 2-4ac=(-2m)2-4·m·（m-2=4m 2-4m 2+8m=8m ≥0.∵m≠0，∴m 的取值范围为m ＞0. 121222,.m x x x m22121212()()4 1.x x x x x x 22241.m m解得m=8.经检验，解.。
九年级数学上册第二十一章一元二次方程21.2解一元二次方程21.2.1配方法(第一课时直接开平方法)课件人教版
∴ x3 5 或 x3- 5 .
∴ x1= 5-3 ，x2 = - 5-3 .
解一元二次方程的基本思路是：
把一个一元二次方程“ 降次 ”，转化 为两个一元一次方程．
由应用直接开平方法解形如：
x2=p（p≥0），那么x=± p
由应用直接开平方法解形如：
（mx+n）2=p（p≥0），则mx+n=____p_ .
问题：一桶油漆可刷的面积为1500 dm2 ， 李林用这桶油漆恰好刷完10个同样的正方体 形状的盒子的全部外表面，你能算出盒子的 棱长吗？
提示
可以根据正方体表面积 S=6a2求解. 同时要注意 所得的结果要符合实际
意义.
解：设正方体的棱长为x dm，则一个正方 体的表面积为__6_x_2_dm2 .根据一桶油漆可 刷面积列出方程 1_0_×_6_x_2_=_1_5_0_0____.
解下列方程：
（1）9x2 5 3；
解：移项，得 9x2 8.
系数化为1，得 x2 8 .
9
直接开平方，得
x
8. 9
x1
22 3
，x2
22 3
.
注意：二次根 式必须化为最 简二次根式。
（2）9x2 5 1.
解：先移项，得 9x2 4. 系数化为1，得 x2 4 0 9
1
x1
, 3
x2
1.
整理，得_x_2_=_2_5 ， 根据平方根的意义得x=___±_5__. 即x1=___5___，x2=__-_5___. 因为_棱__长__不_能__为__负__值__，所以正方体的棱长 是_5_d_m__.
21.2 一元二次方程的解法——直接开平方法课件 2024-2025学年人教版数学九年级上册
2
(2) x －18＝0．
2
解： x －18＝0
2
x ＝18
x2＝36
∴x1＝6，x2＝－6
10．解方程：
(1)(2－x)2＝8；
解：(2－x)2＝8
2－x＝±2
∴x1＝2－2 ，x2＝2＋2
(2)3(x－1)2－6＝0．
解：3(x－1)2－6＝0
3(x－1)2＝6
(x－1)2＝2
小结：通过移项、系数化为1，化为x2=p（p≥0）的形式求
解.
6．解方程：
(1)(x－2)2＝4；
(2)(x＋6)2－9＝0．
解：(x－2)2＝4
解：(x＋6)2－9＝0
x－2＝±2
(x＋6)2＝9
∴x1＝4，x2＝0
x＋6＝±3
∴x1＝－3，x2＝－9．
小结：将方程化为（x+n）2=p（p≥0）的形式，直接开平方.
7．解方程：
(1)(2x－3)2－9＝0；
(2)(2x－1)2＝(x－3)2．
解：(2x－3)2－9＝0
解：(2x－1)2＝(x－3)2
2x－1＝±(x－3)
∴x1＝－2，x2＝ ．
(2x－3)2＝9
2x－3＝±3
∴x1＝3，x2＝0．
小结：（1）中化为（mx+n） 2=p（p≥0）的形式；（2）中
(3)(x－1)2－25＝0．
解： (x－1)2－25＝0
(x－1)2＝25
x－1＝±5
∴x1＝－4， x2 ＝6
(2)(x－2)2＝3；
解：(x－2)2＝3
x－2＝±
∴x1＝2＋ ，x2＝2－
人教版初中数学九年级上册教学课件 第二十一章 一元二次方程 解一元二次方程 教学课件 公式法
解：a=2，b=-（4m+1），c=2m2-1,
b2-4ac=〔-（4m+1）〕2-4×2（2m2-1）=8m+9.
（1）若方程有两个不相等的实数根，则b2-4ac ＞0，即8m+9＞0 ∴m＞ 9 .
（2）若方程有两个相等的实数根，则b2-4ac=0即8m+9=0
∴m=
9 8
.
8
（3）若方程没有实数根，则b2-4ac＜0即8m+9＜0, ∴m＜ 9 .
（1）当b2-4ac＞0 时，有两个不等的实数根：
x1 b
b2 2a
4ac
,
x2
b
b2 4ac ; 2a
（2）当b2-4ac=0时，有两个相等的实数根： x1
x2
b ; 2a
（3）当b2-4ac<0时，没有实数根.
一般的，式子 b2-4ac 叫做一元二次方程根的判别式，通 常用希腊字母“∆”来表示，即∆＝b2-4ac.
x 6 60 . 23
x1
3 3
15
,
x2
3-
15 3
.
探究新知
知识点 2 一元二次方程的根的情况
用公式法解下列方程： （1） x2＋x－1 = 0
（2）x2－2 3 x＋3 = 0
（3） 2x2－2x＋1 = 0 观察上面解一元二次方程的过程，一元二次方程的根 的情况与一元二次方程中二次项系数、一次项系数及常数 项有关吗？能否根据这个关系不解方程得出方程的解的情 况呢？
探究新知
【思考】不解方程，你能判断下列方程根的情况吗？ ⑴ x2＋2x－8 = 0 ⑵ x2 = 4x－4 ⑶ x2－3x = －3
答案：（1）有两个不相等的实数根； （2）有两个相等的实数根； （3）没有实数根.