洛必达法则的一些应用
洛必达法则的一些应用
1 引言18世纪数学本身的发展，以及这个世纪后期数学研究活动的扩张和数学教育的改革都为19世纪数学的发展准备了条件．微积分学的深人发展，才有了后面的洛比达法则，而且在英国和欧洲大陆是循着不同的路线进行的．在欧洲大陆，新分析正在莱布尼茨的继承者们的推动下蓬勃发展起来．伯努利家族的数学家们首先继承并推广莱布尼茨的学说. 雅各布·伯努利运用莱布尼茨引用的符号，并称之为积分，莱布尼茨采用他的建议，并列使用微分学与积分学两个术语．雅各布·伯努利的弟弟约. 翰·伯努利在莱布尼茨的协助之下发展和完善了微积分学. 他借助于常量和变量，用解析表达式来定义函数，这比在此之前对函数的几何解释有明显的进步. 他在求“0/0”型不定式的值时，发现了现称为洛必达法则的方法，即用以寻找满足一定条件的两函数之商的极限. 约翰·伯努利的学生、法国数学家洛必达的《无限小分析》(1696)一书是微积分学方面最早的教科书，在十八世纪时为一模范着作，他在书中规范了这一种算法即洛必达法则，之后洛必达法则的也得到了广泛应用，这对传播微分学起到很大的作用.从极限概念的产生到现在已经经历了两千五百多年的发展，漫漫的历史长河，人类在寻求真理和科学的过程中不断探索和总结，对于数学的探索给了人类科学发展以强大的动力．我们应当对任何知识都认真的学习、研究及做出总结．不仅踏寻前人的路迹，同时也要从中开创新的空间．极限是数学分析的基石，是微积分学的基础．不定式极限是一种常见和重要的极限类型，其求法多种多样，变化无穷．本文先介绍了洛必达法则的定义，然后对洛必达法则使用条件及其常见误区进行了详细分析，阐述了该法则适用于解决函数极限的类型并举例说明其应用，总结了洛必达法则的各种形式及使用范围，并介绍了洛必达法则的基本应用，以及在使用洛必达法则解题时应注意的问题．文章还将法则的适用范围推广至求数列极限，然后分析法则的使用过程中容易出现的错误；最后通过具体实例说明了可以将法则和其他求极限方法结合起来使用，使我们对法则有了更深入的理解，进而提高了应用洛必达法则解决问题的能力．2 洛必达法则及使用条件在计算一个分式函数的极限时，常常会遇到分子分母同时趋向于零或无穷大的情况，由于这时无法使用“商的极限等于极限的商”的法则，运算将遇到很大的困难，事实上，这时极限可能存在，也可能不存在，当极限存在时，极限的值也会有各种各样的可能，如当a x →（或∞→x ）时，两个函数)(x f 与)(x g 都趋于零或都趋于无穷大，那么极限)()(lim )(x g x f x ax →∞→可能存在也可能不存在. 通常把这种极限叫做未定式，并分别简记为00型和∞∞型. 未定式极限除了以上两种外，还有∞⋅0型、∞-∞型、0∞型、∞1型、00型等五种，后面几种都可以转换成前面两种类型来进行计算，因此掌握00型和∞∞型极限的计算方法是前提．2.1 洛必达法则0型定理2.1 设函数)(x f ，)(x g 满足：（1）当a x →时，函数)(x f 及)(x g 都趋于零；（2）在点a 的某去心邻域内，)('x f 及)('x g 都存在且0)('≠x g ； （3）)(')('limx g x f ax →存在（或为无穷大）， 那么)(')('lim)()(limx g x f x g x f a x ax →→=. 这就是说，当)(')('limx g x f ax →存在时，)()(lim x g x f a x →也存在且等于)(')('lim x g x f a x →；当)(')('lim x g x f a x →为无穷大时，)()(limx g x f ax →也是无穷大，这种在一定条件下通过分子分母分别求导再求极限来确定未定式的值的方法称为洛必达法则. 证明 因为)()(x g x f 当a x →时的极限与)(a f 及)(a g 无关，所以可以假定0)()(==a g a f ，于是由条件（1）、（2）知道，)(x f 及)(x g 在点a 的某一邻域内是连续的，设x 是这一邻域内的一点，那么在以x 及a 为端点的区间上，柯西中值定理的条件均满足，因此有)(')(')()()()()()(ξξg f a g x g a f x f x g x f =--= （ξ在x 与a 之间）.令a x →，并对上式两端求极限，注意到a x →时a →ξ，再根据条件（3）便得要证明的结论.如果)(')('x g x f 当a x →时仍属于00型，且这时)('x f ，)('x g 都能满足定理中)(x f ，)(x g 所要满足的条件，那么可以继续使用洛必达法则，从而确定)()(limx g x f ax →，即 )('')(''lim )(')('lim )()(limx g x f x g x f x g x f a x a x ax →→→==. 且可以依次类推.定理2.2 设函数)(x f ，)(x g 满足：（1）当∞→x 时，函数)(x f 及)(x g 都趋于零；（2）当N x >时，)('x f 及)('x g 都存在且0)('≠x g ； （3）)(')('limx g x f x ∞→存在（或为无穷大）， 那么)(')('lim)()(limx g x f x g x f x x ∞→∞→=. 2.2 洛必达法则∞∞型 定理2.3 设函数)(x f ，)(x g 满足：（1）当a x →时，函数)(x f 及)(x g 都趋于∞；（2）在点a 的某去心邻域内，)('x f 及)('x g 都存在且0)('≠x g ； （3）)(')('limx g x f ax →存在（或为无穷大）， 那么)(')('lim)()(limx g x f x g x f a x ax →→=. 定理2.4 设函数)(x f ，)(x g 满足：（1）当∞→x 时，函数)(x f 及)(x g 都趋于∞； （2）当N x >时，)('x f 及)('x g 都存在且0)('≠x g ； （3）)(')('limx g x f x ∞→存在（或为无穷大）， 那么)(')('lim)()(limx g x f x g x f x x ∞→∞→=. 2.3 其他类型未定式除了上述的00型和∞∞型未定式外，还有∞-∞∞⋅∞∞,0,,0,100等类型的未定式．这几种类型的未定式，都可转化为00型或∞∞型的未定式，即可利用洛必达法则进行求解．如下图所示：具体步骤如下：(1)∞⋅0型未定式可将乘积化为除的形式，即当0x x →或∞时，若0)(→x f ,∞→)(x g ，则()()()()x g x f x g x f x x x x 1limlim 0→→=⋅或()()()()x f x g x g x f x x x x 1lim lim 00→→=⋅， 这样，∞⋅0型未定式就变为00型或∞∞型未定式. (2)∞-∞型未定式可通过通分计算，即当0x x →或∞时，若∞→)(x f ,∞→)(x g ，则()()()()()()11()lim lim11x x x x f x g x f x g x f x g x →→---=⋅， 这样，∞-∞型未定式就变为型未定式. (3)00，1∞，0∞型未定式可先化为以e 为底的指数函数的极限, 再利用指数函数的连续性, 转为直接求指数的极限,而指数的极限形式为“∞⋅0”型, 再转化为“00” 型或“∞∞”型计算.当0x x →或∞时，若0)(→x f (或1)(→x f ，或∞→)(x f )，0)(→x g （或∞→)(x g ）. 则()()ln ()lim ()lim g x g x f x x x x x f x e →→=或000lim ()ln ()()()ln ()lim ()lim x x g x f x g x g x f x x x x x f x e e →→→==，这样就可利用洛必达法则进行求解. 2.4 洛必达法则求极限的条件 从定理知道, 无论是“00”型还是“∞∞”型,都必须具备一个重要条件, 即在自变量的同一变化过程中，)(')('lim)(x g x f x ax →∞→存在（或为∞）时，才有)()(lim )(x g x f x a x →∞→存在（或为∞），且)(')('lim )()(lim )()(x g x f x g x f x x a x a x →∞→∞→→=，0型∞∞型 ∞-∞型 ∞⋅0型00,1,0∞∞型但是此条件却不便先验证后使用，所以连续多次使用法则时，每次都必须验证它是否为“0”型或“∞∞”型，其使用程序如下： )()(lim)(x g x f x a x →∞→（“00”），)(')('lim )(x g x f x a x →∞→（“00”），...，)()(lim )1()1()(x g x f n n a x x --→→∞（“00”），若)()(lim )()()(x g x f n n a x x →∞→存在（或为∞），那么才有式子)()(lim )()(lim ...)(')('lim )()(lim )()()1()1()()()()(x g x f x g x f x g x f x g x f n n a x n n a x a x a x x x x x →∞→∞→∞→∞→--→→→====成 立。
洛必达法则的应用
洛必达法则的应用一、什么是洛必达法则？洛必达法则是经济学中的一个基本原理，它指出，当某种商品的价格上涨时，消费者会减少对该商品的需求量；反之，当价格下降时，消费者会增加对该商品的需求量。
这个原理也被称为“需求定律”。
二、洛必达法则在市场营销中的应用1. 价格策略根据洛必达法则，价格上涨会导致需求量下降，因此，在制定产品价格时需要考虑到消费者的需求反应。
如果产品定价过高，可能会导致销售不佳；如果产品定价过低，则可能会影响品牌形象和利润率。
因此，在制定产品价格时需要进行市场调研和分析，了解消费者的需求和心理预期，并根据这些信息来确定最合适的价格策略。
2. 促销策略促销活动是提高销售额和市场份额的重要手段之一。
根据洛必达法则，在促销活动中可以采取不同的策略来刺激消费者购买行为。
例如，可以通过打折、赠品、限时优惠等方式来降低产品价格，从而增加产品的需求量；或者通过推出新品、改良旧品等方式来提高产品的附加价值，从而吸引消费者购买。
3. 市场定位策略市场定位是指企业在市场中选择自己的目标客户群体，并以此为基础来制定产品设计、营销策略和品牌形象。
根据洛必达法则，在市场定位中需要考虑到不同消费者对价格的敏感程度。
例如，对于高端用户来说，他们更注重产品的质量和品牌形象，对于价格的敏感度相对较低；而对于普通消费者来说，他们更注重产品的价格和性价比，对于价格的敏感度相对较高。
因此，在制定市场定位策略时需要根据不同客户群体的需求和心理预期进行差异化分析。
三、洛必达法则在企业管理中的应用1. 成本控制策略成本控制是企业管理中非常重要的一项工作。
根据洛必达法则，在制定成本控制策略时需要考虑到产品价格与销售量之间的关系。
如果企业将成本控制得太紧，可能会导致产品质量下降或者生产效率降低，从而影响产品的销售量；反之，如果企业将成本控制得过松，可能会导致产品价格过高，从而影响产品的销售量。
因此，在制定成本控制策略时需要综合考虑产品价格、销售量和成本之间的关系。
洛必达法则的社会学应用
洛必达法则的社会学应用洛必达法则是一种描述人类集体行为的规律，它指出当一个社会群体中的人数增加时，个体之间的相互作用会变得复杂，从而导致社会的不稳定性增加。
这个法则已经被应用于各个领域，包括经济学、政治学、心理学等等。
在本文中，我们将探讨洛必达法则在社会学方面的应用。
1. 社会网络和洛必达法则社会网络是指人与人之间的关系网络，是社会中最基本的形式之一。
在一个社会网络中，每个人都有一些社交伙伴，这些人又有它们自己的社交伙伴，以此类推。
通过这种方式，整个社会可以被看作一个复杂的网络。
洛必达法则表明，当社会规模增加时，社交关系会变得更加复杂。
这可以从社会网络的角度来解释，如果社会中的人数增加，那么每个人的社交圈子也会变得更大，关系也会更加复杂。
这会导致社会内部的联结变得更加复杂，从而导致整个社会更容易出现动荡和失序。
2. 网络犯罪和洛必达法则网络犯罪是指利用计算机和网络技术实施的各种违法行为，如黑客攻击、网络诈骗、网络谣言等。
洛必达法则也可以被用来解释网络犯罪的发生。
当网络使用者的数量越来越多时，网络变得更加复杂。
这使得网络犯罪更容易发生，因为黑客和其他攻击者可以更容易地隐藏自己和它们的行为。
通过更大的规模，犯罪者可以更容易地破坏整个网络并造成更大的影响，这种情况在社交媒体上尤其常见。
3. 公司管理和洛必达法则公司管理也可以受到洛必达法则的影响。
当公司规模增加时，员工之间的相互作用会变得更加复杂。
管理层必须找到适当的方法来应对这种变化，否则公司面临的风险将会增加。
管理层可以通过建立更有效的沟通渠道和流程来应对洛必达法则。
例如，使用在线工具来协调项目和管理任务，使用会议来促进团队之间的合作和沟通。
这些举措可以帮助公司管理层更有效地应对变化，从而提高员工的工作效率和减少公司的风险。
4. 城市规划和洛必达法则城市规划也可以受到洛必达法则的影响。
人口增加会导致城市基础设施的负担增加，例如交通和供水系统的压力将会变得更大。
洛必达法则的积分应用
洛必达法则的积分应用洛必达法则是高等数学中一个重要的概念，它可以用来求解一些特殊的函数极限，也可以应用到某些积分中。
在本文中，我将会详细介绍洛必达法则的积分应用。
一、洛必达法则简介洛必达法则最常见的形式是：当函数的分子和分母都趋于零或趋于无穷大时，如果极限值存在，那么极限值等于分子和分母的导数的极限值的商。
例如，对于函数lim x→0(sin x)/x，使用洛必达法则可以得出：lim x→0(sin x)/x = lim x→0(cos x)/1 = cos 0/1 = 1这个结论是非常重要的，它意味着我们可以通过求导数来求解某些函数极限。
二、积分应用除了在极限求解中，洛必达法则还可以用在某些积分的求解中。
我们来看一个例子：∫ 0^∞ e^(-x^2) dx这个积分叫做高斯积分，它在概率论、统计学、物理学等领域都有应用。
直接对这个积分求解是非常困难的，但是我们可以使用洛必达法则来简化它。
具体来说，我们将这个积分表示为两个积分的和：∫ 0^∞ e^(-x^2) dx = ∫ 0^∞ e^(-x^2) (2x) / (2x) dx我们将这个积分拆成两个积分的和，并将一个分子和分母加入到 e^(-x^2) 中。
这样我们就得到了：∫ 0^∞ e^(-x^2) (2x) / (2x) dx = 1/2 ∫ 0^∞ e^(-x^2) d(x^2)现在我们需要对这个积分做一些代数变形：∫ 0^∞ e^(-x^2) d(x^2) = ∫ 0^∞ e^(-u) du其中，我们使用了变量替换 u = x^2。
现在这个积分变得非常简单，我们可以使用洛必达法则来求解它：∫ 0^∞ e^(-u) du = lim t→∞∫ 0^t e^(-u) du= lim t→∞[-e^(-t)+1]= 1所以我们得到了：∫ 0^∞ e^(-x^2) dx = 1/2 ∫ 0^∞ e^(-x^2) d(x^2) = 1/2 ∫ 0^∞ e^(-u) du = 1/2非常神奇的是，这个积分的结果是 1/2！这个积分的求解过程中，洛必达法则起到了非常重要的作用。
洛必达法则的原理及应用
洛必达法则的原理及应用一、洛必达法则的原理洛必达法则，又称为洛必达规则或洛必达法则，是微积分中应用极限概念的一种方法，用于求解极限的一种计算技巧。
其原理基于导数和极限的关系，通过对函数的导数进行运算，可简化求解复杂极限的过程。
洛必达法则的核心原理是，如果一个函数在某个点的极限不存在或者为无穷大，但是该函数的导数在该点存在，则可以通过对该函数及其导函数进行比较，从而确定极限的值。
二、洛必达法则的公式洛必达法则有两种常见的表达方式：1.使用洛必达法则的第一种形式，可表示为：如果lim(x->a) f(x) = 0且lim(x->a) g(x) = 0，则lim(x->a) [f(x) / g(x)] = lim(x->a) [f'(x) / g'(x)]，其中f'(x)和g'(x)分别表示f(x)和g(x)的导数。
2.使用洛必达法则的第二种形式，可表示为：如果lim(x->a) f(x) = ±∞且lim(x->a) g(x) = ±∞，则lim(x->a) [f(x) / g(x)] = lim(x->a) [f'(x) / g'(x)]。
三、洛必达法则的应用示例以下是几个洛必达法则的具体应用示例：1.求解极限lim(x->∞) [x^2 / e^x]：根据洛必达法则，可以将分子和分母的导数进行比较：lim(x->∞) [x^2 / e^x] = lim(x->∞) [2x / e^x] = lim(x->∞) [2 / e^x] = 0。
所以，lim(x->∞) [x^2 / e^x] = 0。
2.求解极限lim(x->0) [(sinx - x) / x^3]：可以将分子和分母的导数进行比较：lim(x->0) [(sinx - x) / x^3] = lim(x->0) [(cosx - 1) / 3x^2] = lim(x->0) [-sinx / 6x] = -1/6。
洛必达法则在极限计算中的应用
洛必达法则在极限计算中的应用在数学领域中，洛必达法则是一种用于计算极限的重要工具。
它是由法国数学家洛必达于1696年提出的，可以解决一些复杂极限的计算问题。
本文将探讨洛必达法则在极限计算中的应用。
1. 洛必达法则的基本原理洛必达法则使用了导数的概念。
当我们计算一个极限时，如果直接代入极限值得到的结果是无法确定的，我们可以使用洛必达法则来求解。
具体原理如下：假设有两个函数f(x)和g(x)，在某个点a处，它们的极限都存在，且g'(a)不等于0。
如果f(x)和g(x)在点a处的极限都为0，或者同时趋于正无穷或负无穷，那么f(x)/g(x)的极限等于f'(x)/g'(x)，即lim (x→a) f(x)/g(x) = lim (x→a) f'(x)/g'(x)此公式就是洛必达法则的基本原理。
2. 洛必达法则的应用示例接下来，我们将通过几个具体的示例来展示洛必达法则在极限计算中的应用。
示例一：求极限lim (x→0) (sin(x)/x)解：直接代入0得到的结果是未定的，无法确定极限的值。
我们可以使用洛必达法则：令 f(x) = sin(x)，g(x) = x，则f(0) = 0，g(0) = 0，并且在0点处f(x)和g(x)的极限都存在。
对f'(x)和g'(x)分别求导得到 f'(x) = cos(x)，g'(x) = 1。
再代入洛必达法则公式，得到：lim (x→0) (sin(x)/x) = lim (x→0) (cos(x)/1) = cos(0) = 1所以，极限lim (x→0) (sin(x)/x) 的值为1。
示例二：求极限lim (x→∞) (e^x/x^n)，其中n为正整数。
解：当x趋于无穷时，分子e^x是以指数形式增长，而分母x^n是以幂函数形式增长。
根据洛必达法则，我们可以先对分子和分母同时求导。
令 f(x) = e^x，g(x) = x^n，则f'(x) = e^x，g'(x) = nx^(n-1)。
洛必达法则使用
洛必达法则使用
1、分子分母的极限是否都等于零(或者无穷大)；
2、分子分母在限定的区域内是否分
别可导。
如果这两个条件都满足，接着求导并判断求导之后的极限是否存在：如果存在，
直接得到答案；如果不存在，则说明此种未定式不可用洛必达法则来解决；如果不确定，
再在验证的基础上继续使用洛必达法则。
注意事项
1、谋音速就是高等数学中最重要的内容之一，也就是高等数学的基础部分，因此熟
练掌握谋音速的方法对努力学习高等数学具备关键的意义。
洛比达法则用作谋分子分母同
趋向零的分式音速。
2、若条件符合，洛必达法则可连续多次使用，直到求出极限为止。
3、洛必达法则厚边未定式音速的有效率工具，但是如果仅用洛必达法则，往往排序
可以十分繁杂，因此一定必须与其他方法结合，比如说及时将非零音速的乘积因子分离出
来以精简排序、乘积因子用等价量替代等等。
洛必达法则是在一定条件下通过分子分母分别求导再求极限来确定未定式值的方法。
众所周知，两个无穷小之比或两个无穷大之比的极限可能存在，也可能不存在。
因此，求
这类极限时往往需要适当的变形，转化成可利用极限运算法则或重要极限的形式进行计算。
洛必达法则便是应用于这类极限计算的通用方法。
洛必达法则在数学中的应用
洛必达法则在数学中的应用洛必达法则是微积分中重要的求极限方法之一，被广泛应用于数学领域中。
它的应用范围涉及到函数的极限、导数和不定积分等方面，为解决各种数学问题提供了有力的工具。
在数学中，洛必达法则主要用于求解极限问题。
当我们遇到一个函数极限难以直接求解的情况时，可以通过洛必达法则来进行转化和简化。
洛必达法则的核心思想是将待求的极限转化为两个函数的极限，然后通过对这两个函数的导数进行运算，进而求解出原函数的极限。
具体而言，洛必达法则适用于以下情况：1. 0/0型极限：当函数的分子和分母都趋于0时，我们可以对分子和分母分别求导，然后求导后的函数再次求极限。
2. ∞/∞型极限：当函数的分子和分母都趋于无穷大时，我们可以对分子和分母同时除以最高次项的幂，然后再次求极限。
3. 0*∞型极限：当函数的分子趋于0，分母趋于无穷大时，我们可以对分子和分母同时除以最高次项的幂，然后再次求极限。
举个例子来说明洛必达法则在数学中的应用。
假设我们要求极限lim(x->0)(sinx/x)，这个极限的结果是不确定的，因为当x趋近于0时，分子sinx趋近于0，分母x也趋近于0。
这时我们可以利用洛必达法则来简化计算。
对于这个极限问题，我们可以先对分子和分母分别求导，得到lim(x->0)(cosx/1)，再次求极限，得到结果为1。
通过洛必达法则，我们成功地将原本不确定的极限转化为了一个可以直接求解的极限。
除了求解极限问题，洛必达法则还可以应用于导数的计算。
对于一些复杂的函数，通过洛必达法则可以简化导数的计算过程。
例如，当我们要求解函数f(x)=x^2/(1+sinx)的导数时，可以先对分子和分母分别求导，得到f'(x)=(2x(1+sinx)-x^2cosx)/(1+sinx)^2。
通过洛必达法则，我们可以将原本复杂的导数计算简化为对一系列简单函数的导数计算，从而提高计算效率。
在不定积分计算中，洛必达法则也有着重要的应用。
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1 引言18世纪数学本身的发展，以及这个世纪后期数学研究活动的扩和数学教育的改革都为19世纪数学的发展准备了条件．微积分学的深人发展，才有了后面的洛比达法则，而且在英国和欧洲大陆是循着不同的路线进行的．在欧洲大陆，新分析正在莱布尼茨的继承者们的推动下蓬勃发展起来．伯努利家族的数学家们首先继承并推广莱布尼茨的学说. 雅各布·伯努利运用莱布尼茨引用的符号，并称之为积分，莱布尼茨采用他的建议，并列使用微分学与积分学两个术语．雅各布·伯努利的弟弟约. 翰·伯努利在莱布尼茨的协助之下发展和完善了微积分学. 他借助于常量和变量，用解析表达式来定义函数，这比在此之前对函数的几何解释有明显的进步. 他在求“0/0”型不定式的值时，发现了现称为洛必达法则的方法，即用以寻找满足一定条件的两函数之商的极限. 约翰·伯努利的学生、法国数学家洛必达的《无限小分析》(1696)一书是微积分学方面最早的教科书，在十八世纪时为一模著作，他在书中规了这一种算法即洛必达法则，之后洛必达法则的也得到了广泛应用，这对传播微分学起到很大的作用.从极限概念的产生到现在已经经历了两千五百多年的发展，漫漫的历史长河，人类在寻求真理和科学的过程中不断探索和总结，对于数学的探索给了人类科学发展以强大的动力．我们应当对任何知识都认真的学习、研究及做出总结．不仅踏寻前人的路迹，同时也要从中开创新的空间．极限是数学分析的基石，是微积分学的基础．不定式极限是一种常见和重要的极限类型，其求法多种多样，变化无穷．本文先介绍了洛必达法则的定义，然后对洛必达法则使用条件及其常见误区进行了详细分析，阐述了该法则适用于解决函数极限的类型并举例说明其应用，总结了洛必达法则的各种形式及使用围，并介绍了洛必达法则的基本应用，以及在使用洛必达法则解题时应注意的问题．文章还将法则的适用围推广至求数列极限，然后分析法则的使用过程中容易出现的错误；最后通过具体实例说明了可以将法则和其他求极限方法结合起来使用，使我们对法则有了更深入的理解，进而提高了应用洛必达法则解决问题的能力．2 洛必达法则及使用条件在计算一个分式函数的极限时，常常会遇到分子分母同时趋向于零或无穷大的情况，由于这时无法使用“商的极限等于极限的商”的法则，运算将遇到很大的困难，事实上，这时极限可能存在，也可能不存在，当极限存在时，极限的值也会有各种各样的可能，如当a x →（或∞→x ）时，两个函数)(x f 与)(x g 都趋于零或都趋于无穷大，那么极限第 2 页 共16页)()(lim)(x g x f x ax →∞→可能存在也可能不存在. 通常把这种极限叫做未定式，并分别简记为00型和∞∞型. 未定式极限除了以上两种外，还有∞⋅0型、∞-∞型、0∞型、∞1型、00型等五种，后面几种都可以转换成前面两种类型来进行计算，因此掌握00型和∞∞型极限的计算方法是前提．2.1 洛必达法则0型定理2.1 设函数)(x f ，)(x g 满足：（1）当a x →时，函数)(x f 及)(x g 都趋于零；（2）在点a 的某去心邻域，)('x f 及)('x g 都存在且0)('≠x g ； （3）)(')('limx g x f ax →存在（或为无穷大）， 那么)(')('lim)()(limx g x f x g x f a x ax →→=. 这就是说，当)(')('limx g x f ax →存在时，)()(lim x g x f a x →也存在且等于)(')('lim x g x f a x →；当)(')('lim x g x f a x →为无穷大时，)()(limx g x f ax →也是无穷大，这种在一定条件下通过分子分母分别求导再求极限来确定未定式的值的方法称为洛必达法则. 证明 因为)()(x g x f 当a x →时的极限与)(a f 及)(a g 无关，所以可以假定0)()(==a g a f ，于是由条件（1）、（2）知道，)(x f 及)(x g 在点a 的某一邻域是连续的，设x 是这一邻域的一点，那么在以x 及a 为端点的区间上，柯西中值定理的条件均满足，因此有)(')(')()()()()()(ξξg f a g x g a f x f x g x f =--= （ξ在x 与a 之间）.令a x →，并对上式两端求极限，注意到a x →时a →ξ，再根据条件（3）便得要证明的结论.如果)(')('x g x f 当a x →时仍属于00型，且这时)('x f ，)('x g 都能满足定理中)(x f ，)(x g 所要满足的条件，那么可以继续使用洛必达法则，从而确定)()(limx g x f ax →，即 )('')(''lim )(')('lim )()(limx g x f x g x f x g x f a x a x ax →→→==. 且可以依次类推.定理2.2 设函数)(x f ，)(x g 满足：（1）当∞→x 时，函数)(x f 及)(x g 都趋于零； （2）当N x >时，)('x f 及)('x g 都存在且0)('≠x g ； （3）)(')('limx g x f x ∞→存在（或为无穷大）， 那么)(')('lim)()(limx g x f x g x f x x ∞→∞→=. 2.2 洛必达法则∞∞型 定理2.3 设函数)(x f ，)(x g 满足：（1）当a x →时，函数)(x f 及)(x g 都趋于∞；（2）在点a 的某去心邻域，)('x f 及)('x g 都存在且0)('≠x g ； （3）)(')('limx g x f ax →存在（或为无穷大）， 那么)(')('lim)()(limx g x f x g x f a x ax →→=. 定理2.4 设函数)(x f ，)(x g 满足：（1）当∞→x 时，函数)(x f 及)(x g 都趋于∞； （2）当N x >时，)('x f 及)('x g 都存在且0)('≠x g ； （3）)(')('limx g x f x ∞→存在（或为无穷大），第 4 页 共16页那么)(')('lim)()(limx g x f x g x f x x ∞→∞→=. 2.3 其他类型未定式除了上述的00型和∞∞型未定式外，还有∞-∞∞⋅∞∞,0,,0,100等类型的未定式．这几种类型的未定式，都可转化为00型或∞∞型的未定式，即可利用洛必达法则进行求解．如下图所示：具体步骤如下：(1)∞⋅0型未定式可将乘积化为除的形式，即当0x x →或∞时，若0)(→x f ,∞→)(x g ，则()()()()x g x f x g x f x x x x 1limlim 0→→=⋅或()()()()x f x g x g x f x x x x 1lim lim 00→→=⋅，这样，∞⋅0型未定式就变为00型或∞∞型未定式. (2)∞-∞型未定式可通过通分计算，即当0x x →或∞时，若∞→)(x f ,∞→)(x g ，则()()()()()()11()lim lim11x x x x f x g x f x g x f x g x →→---=⋅，这样，∞-∞型未定式就变为型未定式. (3)00，1∞，0∞型未定式可先化为以e 为底的指数函数的极限, 再利用指数函数的连续性, 转为直接求指数的极限, 而指数的极限形式为“∞⋅0”型, 再转化为“00” 型或“∞∞”型计算. 当0x x →或∞时，若0)(→x f (或1)(→x f ，或∞→)(x f )，0)(→x g （或∞→)(x g ）. 则()()ln ()lim ()lim g x g x f x x x x x f x e→→=或0lim ()ln ()()()ln ()lim ()lim x x g x f x g x g x f x x x x x f x ee→→→==，这样就可利用洛必达法则进行求解.2.4 洛必达法则求极限的条件从定理知道, 无论是“00”型还是“∞∞”型,都必须具备一个重要条件, 即在自变量的同一变化过程中，)(')('lim)(x g x f x ax →∞→存在（或为∞）时，才有)()(lim )(x g x f x a x →∞→存在（或为∞），且)(')('lim )()(lim)()(x g x f x g x f x x a x ax →∞→∞→→=，但是此条件却不便先验证后使用，所以连续多次使用法则时，每次都必须验证它是否为“00”型或“∞∞”型，其使用程序如下： )()(lim )(x g x f x a x →∞→（“00”），)(')('lim )(x g x f x a x →∞→（“00”），...，)()(lim )1()1()(x g x f n n a x x --→→∞（“00”），若)()(lim )()()(x g x f n n a x x →∞→存在（或为∞），那么才有式子)()(lim )()(lim ...)(')('lim )()(lim )()()1()1()()()()(x g x f x g x f x g x f x g x f n n a x n n a x a x a x x x x x →∞→∞→∞→∞→--→→→====成 立。
而上式成立是基于)()(lim )(x g x f x a x →∞→，)(')('lim )(x g x f x a x →∞→，...，)()(lim )1()1()(x g x f n n a x x --→→∞都是“00”型未定式，而且从右到左依次相等，但为了书写方便，在应用此法则求极限时总是习惯于从左至右写. 这样, 如果忽略了对条件的验证, 就有可能出错.第 6 页 共16页例题 问b a ,取何值时，下式成立？1sin 1lim 020=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⋅-⎰→x x dt t a t x bx ，0>a . 解法（1） ⎰+⋅-→x x dt ta t x bx 020sin 1lim （“00”） 01sin 1lim 20≠=+⋅-=→xa x x bx x ， （I ） 而0lim2=+→xa x x ，由此可以得到0)cos (lim 0=-→xb x ，于是1=b ，所以22001lim lim 1cos x x x →→=-200211cos sin x x x x x x →→====-，即4=a .根据以上从左至右的推导顺序，问题出在式（I ），即x a x x b x +⋅-→20cos 1lim 的存在性并没有论证，根据洛必达法则的条件，只有当xa x xb x +⋅-→20cos 1lim 存在时，式（I ）才能成立，这个问题往往在求极限时被忽视， 因此后面的做法就是去了根基， 所以上述解法(1) 错误.解法（2） x bx dt t a t xx sin lim 020-+⎰→（“00”）10cos lim20-=-+=→b x b x a x x ，如果1≠b ，则上式等于0，与已知条件矛盾；如果1=b ，则x b x a x x cos lim20-+=→是“00”型未定式，可用洛必达法则求解，即⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⋅+=-+=-+→→→⎰x x x a x x a xx bx dt t a t x x xx cos 11lim )"00("cos 1lim )"00("sin lim 200020 x x a x cos 1lim 120-=→20lim 1cos x x x →⎫=⎪-⎭20021cos sin x x x x x x →→===-. 根据以上从右至左, 多次应用法则得12=a,4=a . 解法(2)求出2001x b →=-后，讨论了其存在性，排除了1≠b 的情形后，得出1=b；此时20x →是“0”型未定式，若继续应用洛必达法则进行求解，就避免了判定上述极限存在的错误，该问题的关键是讨论)(')('lim )(x F x f x a x →∞→的存在性，只有它存在，才能使用洛必达法则.3 洛必达法则的应用3.1 基本类型:00型及∞∞型未定式 在自变量的某变化过程中, 对上述两种基本类型可直接应用法则求极限.例1 求)0(sin sin lim0≠→b bx axx .解 这是“0”型未定式，babx b ax a bx ax x x ==→→cos cos lim sin sin lim00.例2 求123lim 2331+--+-→x x x x x x .解 这是“”型未定式， 12333lim 123lim 2212331---=+--+-→→x x x x x x x x x x 23266lim 1=-=→x x x ． 例3 求xx x12arctan lim-+∞→π．解 这是“∞∞”型未定式，第 8 页 共16页11lim limarctan lim221111222=+=--=-+∞→++∞→+∞→x x xx x x x xx π． 例4 求x nx ex λ+∞→lim （n 为正整数，0>λ）.解 这是“∞∞”型未定式，相继用洛必达法则n 次，得 ...)1(lim lim lim 221=-==-+∞→-+∞→+∞→xn x x n x x n x e x n n e nx e x λλλλλ 0!lim ==+∞→x n x e n λλ． 例5 求xx x x sin lim 30-→．解 这是“”型未定式， 6sin 6lim cos 13lim sin lim 02030==-=-→→→xx x x x x x x x x ． 例6 求极限x nx ex +∞→lim .解 这是“∞∞”型未定式， 0!lim ...)1(lim lim lim 21===-==+∞→-+∞→-+∞→+∞→x x x n x x n x x n x en e x n n e nx e x . 例7 求极限xx x ln lim 3+∞→.解 这是“∞∞”型未定式， +∞===+∞→+∞→+∞→3233lim 13lim ln lim x xx x x x x x . 注：在求极限时, 如果)(')('limx g x f 还是00型未定式,且)('x f , )('x g 仍满足洛必达法则条件，则可继续使用该法则求极限. 例8 求xxx ln cot ln lim 0+→.解 x x x ln cot ln lim 0+→（“∞∞”）x x x x 1)csc (cot 1lim 20-=+→x x x x cos sin lim 0-=+→（“00”）1cos 1lim sin lim 00-=⋅-=++→→xx x x x .注：计算时要注意已知极限的分离, 如1sin lim 0=+→x xx ，否则会越算越复杂. 3.2 可转化为基本类型的未定式极限洛必达法则只能解决00型及∞∞型未定式函数极限, 而对于某一极限过程中“∞⋅0”，“∞-∞”，“00”，“0∞”，“∞1”等5 种类型的极限也可经过一定变形, 转化为基本类型再用法则求之.例9 求⎪⎪⎭⎫⎝⎛-∞→1lim 1x x e x . 解 此题为“∞⋅0” 型未定式, 将原式中的x 写在分母上, 使其变为“0”型后应用洛必达法则, 即x e e x xx x x 11lim 1lim 11-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-∞→∞→（“00”）1lim 11lim 1221=-⎪⎭⎫ ⎝⎛-=∞→∞→x x xx e xx e . 例10 求⎪⎭⎫⎝⎛--→x x x ln 111lim 1.解 此题为“∞-∞” 型未定式，x x x x x x x x ln )1(1ln lim ln 111lim 11---=⎪⎭⎫ ⎝⎛--→→（“00”）xx xx 11ln 11lim 1-+-=→（“00”） 21111lim 221-=+-=→xx x x . 例11 求极限xx x +→0lim .解 这是00型未定式，设xx y =，取对数得x x y ln ln =，第 10 页 共16页当+→0x 时，上式右端是未定式∞⋅0，即可得到0)ln (lim ln lim 00==++→→x x y x x ，因为 yey ln =，而21ln lim lim11ln limln lim ln lim 0lim lim x xy y x x x xxy e e e eee e --=======（当+→0x ）， 所以1lim lim 00===++→→e y x x x x .例12 求极限xx x 12)1(lim ++∞→.解 此极限是0∞型未定式，故有1lim )1(lim 012lim)1ln(lim)1ln(112222=====+++++∞→+∞→+∞→+∞→e ee ex x xx x x xx xx x x .例13 求极限x x x )arctan 2(lim π+∞→.解 当+∞→x ，2arctan π→x ，1arctan 2→x π，因此这是∞1型未定式，由于有222121ln(arctan )22arctan 1lim ln(arctan )limlim 11x x x x x x x x xxππππ→+∞→+∞→+∞⋅⋅⋅+==- π2arctan 11lim 22-=⋅+-=+∞→x x x x ，故πππ2)arctan 2ln(lim )arctan 2(lim -+∞→+∞→==eex x x x xx .3.3 数列极限的洛必达法则求解例14 求2ln limn n n +∞→.解 此问题可归类到“∞∞”型未定式极限. 但由于题目中变量n 为正整数, 对这些孤立点n 无法求导, 故不能直接利用洛必达法则求解. 应先将极限式中的n 换成连续变量x , 求函数2ln lim x xn +∞→ 极限, 再由归结原则知原数列极限值，+∞==⋅=+∞→+∞→+∞→2lim 211lim ln lim22x x xx x n n n ，故由归结原则得+∞=+∞→2ln limn nn .该法则尽管求极限很方便, 但也并不是万能的,而且使用时也要谨慎, 否则容易出错.3.4 使用洛必达法则时不要忽视别的求极限方法洛必达法则是求未定式的一种有效方法，但最好能与其他求极限的方法结合使用.例如能化简时应尽可能先化简，可以应用等价无穷小替代或重要极限时，应尽可能应用，这样可以运算简便. 例15 求xx xx x sin tan lim20-→.解 如果直接用洛必达法则，那么分母的导数（尤其是高阶导数）较复杂，如果作一个等价无穷小替代，那么运算就方便得多，其运算如下：303020tan limsin tan lim sin tan limx xx x x x x x x x x x x x x -=⋅-=-→→→ 31tan lim 316tan sec 2lim 31sec lim 020220===-=→→→x x x x x x x x x x . 例16 求)1ln(tan 3sin 3lim2x x xx o x +⋅-→.解 显然当0→x 时，x x →tan ，x x →+)1ln(，故2923sin 3lim 33cos 33lim 3sin 3lim )1ln(tan 3sin 3lim0203020==-=-=+⋅-→→→→x x x x x x x x x x x x x x x .该法则是通过计算函数的导数, 利用导数的极限求出原函数的极限, 故只适用于函数极限的求解.然而在应用时, 对“00”型及“∞∞”型数列极限也可间接应用. 4 使用洛必达法则时常见错误4.1不符合条件的使用有时极限式并不满足法则条件, 如用法则求解会得出错误结果, 主要有两种情形. （1）极限式非未定式 例17 求201cos 1limx xx +-→.第 12 页 共16页解 201cos 1limx x x +-→212sin lim )'1()'cos 1(lim 020==+-=→→x x x x x x .由于本题不是未定式“”型, 而上面错误地应用了洛必达法则, 从而得出错误的结论. 事实上, 此题可以直接利用函数连续性得到结果.011cos 1lim20==+-→x x x .（2）使用法则求导后出现极限不存在现象 特别当0→x 时, 函数式中含有x 1sin或x1cos 或当∞→x 时函数式中含有x sin 或x cos 时, 用法则求极限时出现极限振荡, 此时法则失效.例18 求极限xx x x sin 1sinlim20→. 分析 这问题是“0”型未定式, 但分子、分母分别求导后变成xx x x x cos 1cos 1sin2lim0-→，而x 1sin与x1cos 当0→x 时极限均不存在，即此时法则失效，但原极限存在，可用如下方法求得.0011sin lim sin lim 1sin sin lim sin 1sinlim 00020=⋅=⋅⋅=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅⋅=→→→→x x x x x x x x x x x x x x x . 例19 求 x xx x sin lim -∞→.解 x x x x sin lim -∞→（“0”）1cos 1lim x x -∞→（振荡），法则失效，但原函数极限存在，可用如下方法求得.11sin 1limsin lim=-=-∞→∞→x xxxx x x . 4.2 多次使用法则后极限式出现循环现象例20 求xx xx x e e e e --+∞→+-lim .解 x x x x x e e e e --+∞→+-lim （“00”）x x x x x e e e e --+∞→-+=lim （“00”）x x xx x e e e e --+∞→+-=lim ，求导两次后极限式出现循环现象, 故洛必达法则失效, 不能使用.但原式极限存在, 可用下面方法求得:111lim lim 22=+-=+---+∞→--+∞→xx x x x x x x e e e e e e . 4.3 对离散点列求导例21 求nx n +∞→lim.错解 属于0∞型，先进行变形，1lim lim lim011lim ln lim ln 11======+∞→+∞→+∞→+∞→+∞→e ee en n n nn n nx nx nx x x .错误原因：n n n f =)(是离散的点列，是一系列孤立的点，连续都谈不上，更不用说可导. 正解1lim lim lim011lim ln lim ln 11======+∞→+∞→+∞→+∞→+∞→e eeex x x xx x xx x x xx x x .因为1lim=+∞→xx x 所以1lim=+∞→nn n （这是“一般”到“特殊”的过程）.4.4 滥用导函数的连续性例22 设)(x f '在某),0(δU 存在，且2)0(,1)0(='=f f 求)(1lim0x f xx --→.错解21)0(1)(1lim )(1lim00='='--=--→→f x f x f x x x .错误原因：)(x f '在x=0处未必连续.（选择题可以用此解法，这是一种策略.） 正解21)0(10)0()(1lim 1)(1lim )(1lim000='=--=-=--→→→f x f x f x x f x f x x x x （导数定义）.例23 )(x f 在x 处二阶可导，求20)()(2)(limh h x f x f h x f h -+-+→.错解1 h h x f x f h x f h h x f x f h x f h h 2)()(2)(lim )()(2)(lim 020-'+'-+'=-+-+→→01()()()()lim 2h f x h f x f x h f x h→''''+-+--=第 14 页 共16页01()()()()lim 2h f x h f x f x h f x h h →''''+---⎡⎤=-⎢⎥-⎣⎦[]01lim ()()02h f x f x →''''=-=. 错误原因：没有分清在极限过程中h 和x 谁是变量，谁是常量. 错解2 h h x f h x f h h x f x f h x f h h 2)()(lim)()(2)(lim020-'-+'=-+-+→→ ＝[])()()(lim 212)()(lim 00x f x f x f h x f h x f h h ''=''+''=-''++''→→. 错误原因：二阶导函数未必连续，即：)()(lim 0x f h x f h ''=+''→不一定成立.注：由)(x f ''存在，但)(x f ''不一定连续，所以第2个等号后面不符合洛必达法则的条件.正解h h x f h x f hh x f x f h x f h h 2)()(lim )()(2)(lim 020-'-+'=-+-+→→ 01()()()()lim 2h f x h f x f x f x h h →''''+-+--=01()()()()lim 2h f x h f x f x h f x h h →''''+---⎡⎤=+⎢⎥-⎣⎦＝)()]()([21x f x f x f ''=''+''（这是由导数定义得到的）.5 用洛必达法则解题应注意的几个问题洛必达法则是求不定式函数极限的一种普遍且有效的方法．但在运用洛必达法则解题时发现，解题过程有时仍然较复杂，有时出现循环，甚至无法求解．为充分发挥洛必达法则的作用，提高解题效率，解题时应注意以下几个问题.（1）及时化简使用洛必达法则前，有时需要对函数进行化简，可以视函数式的特征进行分子、分母有理化，或进行简单的分离． 例24 求3cos sin 11limxxx x x +-+→. 分析：本题分子有2个根式，若直接运用洛必达法则，解题过程则较复杂，如果进行分子有理化并及时分离，则可以简化，解题过程如下：解 )cos sin 11()cos sin 1()1(lim cos sin 11lim 322030x x x x x x x x x x x x x ++++-+=+-+→→. （2）及时替换在使用洛必达法则前，可以应用等价无穷小替换时，应及时进行替换，以减少中间计算量，简化运算过程． 例25 求xx xx x 20sin sin lim-→.分析：注意到当0→x 时，x x →sin ．解 616sin lim 3cos 1lim sin lim sin lim sin sin lim020*******==-=⋅-=-→→→→→x x x x x x x x x x x x x x x x x x . （3）及时变换有时使用洛必达法则求函数极限时，发现会反复循环．这时需要观察题目的特征，及时变换．例26 求 xx xx x --+∞→+-3333lim .分析：直接使用洛必达法则，无法求解，分子分母同时除以x -3，则问题迎刃而解．解 133ln 233ln 2lim 1313lim 3333lim 2222=⋅⋅=+-=+-+∞→+∞→--+∞→x xx x x x x xx x x . （4）及时整理在使用洛必达法则后，及时整理，有时可以避免再次使用洛必达法则，或优化解题过程． 例27 求3arcsin limx xx x -→.分析：本题使用洛必达法则后，仍然为“0”型不定式，如果通分后分子有理化，则可以直接得出结论，避免繁琐的计算．解3arcsin lim x x x x x→→-=221lim3x x x x →→→-=⋅16=. 运用洛必达法则求一类函数极限时，在使用前观察函数式的特点，及时化简、替换和变换；在使用后及时整理，则有利于问题的解决．6 结论综上所述，洛必达法则在求极限的过程中是个常用的有效方法，但在应用洛必达法则第 16 页 共16页时应注意一下三个方面：（1）在用洛必达法则之前，要解决“是不是”与“能不能”的问题，即在用该法则之前，要先判断所求的极限是不是未定式，是那类未定式，能不能直接用洛必达法则来求解，例如，极限4152lim 221=+++→x x x x ，这本不是未定式，如不用洛必达法则，便导致如下错误： 2222lim 152lim 1221=+=+++→→xx x x x x x ． 判断有三个方面，按照需要判断有限级别： （I ） 是不是∞∞,00； （II ） )(),(x g x f 是不是可导； （III ） )(')('limx g x f 是不是一个确定的常数或者∞. 对于侧重于计算的填空题和选择题，我们主要验证（I ），一般可以不必去验证（II ） ， （III ）的验证级别最低．这并不是思维的漏洞，而是一种策略，因为题目对于一般函数都成立，则对于特殊函数一定成立；对于侧重于概念的计算题和证明题，要特别注意验证条件.(2) 注意定理的条件，当)(')('limx g x f x x →存在（或为∞）时，有洛必达法则可知，)()(lim0x g x f x x →也存在（或为∞），且有)(')('lim)()(lim00x g x f x g x f x x x x →→=. 但如果)(')('lim 0x g x f x x →不存在也不为∞时，就不能再用洛必达法则.例如，x x x x sin lim -∞→虽是∞∞型未定式，如果用洛必达法则来计算，就有：)cos 1(lim sin limx xxx x x -=-∞→∞→，上式右端极限并不存在，但事实上，1)sin 11(lim sin lim=⋅-=-∞→∞→x xx x x x x .（3）每用一次洛必达法则之后，都要整理化简，利用极限的运算法则，能够计算出极限的先进行计算．同时还应将该法则与求极限的其他方法结合使用，从而简化计算.。