洛必达法则在高考解答题中的应用
新人教版高中数学《洛必达法则在高考中的应用》精品PPT课件
注意：lim6x 2 为已定式，不能再用洛必达法则。
x1 6 x
例5.若f(x0 )
2
，求lim h0
f(x0
2h) 5h
f(x0
h)
解析：l i m h0
f(
x0
2 h ) 5h
f
( x0
h)
lim 2f(x0
h0
2
h ) 5
f( x0
h)
3 5
f( x0
2a
g(3) 9a 1 0
①若g(1) a 1 0 a 1 时，
g(t)
则 g(t) 在 [1,3]必有唯一零点t0
所以 y(t) 在[1, t0 ] 减，[t0 ,3]增
1 t0 3
又y(1) 0 ，所以 y(t0 ) 0不适合。
②若g(1) a 1 0 a 1时，
若 x (0,)，则
ax 1 0 ax 1 x f (x)
a
1 1 ex
1 x
xex ex 1 x(ex 1)
h(x)恒成立。
下面求 h(x),x (0,) 的最小值或最小极限值。
用导数法判断单调性难以解决，所以猜测最小
极限值点在0或 位置，由洛必达法则：
g(x) xe x 2e x x 2 0(x 0)
因为 g(x) xex ex 1 ，g (x) xe x 0
所以 g(x) 在(0,) 增
g(x) g(0) 0 所以 g(x) 在(0,)增
g(x) g(0) 0 h(x) 1
利用洛必达法则来处理高考中的恒成立问题
利用洛必达法则来处理高考中的恒成立问题河南省偃师高中 高洪海2010年和2011年高考中的全国新课标卷中的第21题中的第○2步，由不等式恒成立来求参数的取值范围问题，分析难度大，但用洛必达法则来处理却可达到事半功倍的效果。
一．洛必达法则法则1 若函数f(x) 和g(x)满足下列条件：(1) ()lim 0x af x →= 及()lim 0x ag x →=；(2)在点a 的去心邻域内，f(x) 与g(x) 可导且g '(x)≠0； (3)()()limx af x lg x →'='， 那么 ()()lim x a f x g x →=()()lim x a f x l g x →'='。
法则2 若函数f(x) 和g(x)满足下列条件：(1)()lim 0x f x →∞= 及()lim 0x g x →∞=；(2)0A ∃，f(x) 和g(x)在(),A -∞与(),A +∞上可导，且g '(x)≠0；(3)()()limx f x l g x →∞'='， 那么 ()()limx f x g x →∞=()()limx f x l g x →∞'='。
法则3 若函数f(x) 和g(x)满足下列条件：(1) ()lim x af x →=∞及()lim x ag x →=∞； (2)在点a 的去心邻域内，f(x) 与g(x) 可导且g '(x)≠0； (3)()()limx af x lg x →'='， 那么 ()()lim x a f x g x →=()()lim x a f x l g x →'='。
利用洛必达法则求未定式的极限是微分学中的重点之一，在解题中应注意： ○1将上面公式中的x→a，x→∞换成x→+∞，x→-∞，x a+→，x a-→洛必达法则也成立。
最新洛必达法则在高考解答题中的应用(高二下)复习课程
导数结合洛必达法则巧解高考压轴题一．洛必达法则：法则1.若函数)(x f 和)(x g 满足下列条件：(1) ()lim 0x a f x →= 及()lim 0x ag x →=； (2)在点a 的去心邻域内，)(x f 与)(x g 可导且0)('≠x g ；(3)()()lim x a f x l g x →'='，那么 ()()lim x a f x g x →=()()lim x a f x l g x →'='． 法则2.若函数)(x f 和)(x g 满足下列条件：(1) ()lim x a f x →=∞及()lim x a g x →=∞；(2)在点a 的去心邻域内，)(x f 与)(x g 可导且0)('≠x g ；(3)()()lim x a f x l g x →'='，那么 ()()lim x a f x g x →=()()lim x a f x l g x →'='． 利用洛必达法则求未定式的极限是微分学中的重点之一，在解题中应注意：○1将上面公式中的a x →，∞→x 换成+∞→x ，-∞→x ，+→a x ，-→a x 洛必达法则也成立．○2洛必达法则可处理00，∞∞，0⋅∞，∞1，0∞，00，∞-∞型． ○3在着手求极限以前，首先要检查是否满足00，∞∞，0⋅∞，∞1，0∞，00，∞-∞型定式，否则滥用洛必达法则会出错．当不满足三个前提条件时，就不能用洛必达法则，这时称洛必达法则不适用，应从另外途径求极限．○4若条件符合，洛必达法则可连续多次使用，直到求出极限为止． 二．高考例题讲解1. 函数2()1x f x e x ax =---．（Ⅰ）若0a =，求()f x 的单调区间；（Ⅱ）若当0x ≥时()0f x ≥，求实数a 的取值范围．2. 已知函数xb x x a x f ++=1ln )(，曲线()y f x =在点))1(,1(f 处的切线方程为230x y +-=．（Ⅰ）求a 、b 的值；（Ⅱ）如果当0x >，且1x ≠时，ln ()1x k f x x x>+-，求k 的取值范围．3.若不等式3sin ax x x ->对于)2,0(π∈x 恒成立，求实数a 的取值范围． 4.设函数xx x f cos 2sin )(+=。
洛必达法则在高考解答题中的应用(高二下)
洛必达法则在高考解答题中的应用(高二下)-CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN导数结合洛必达法则巧解高考压轴题一．洛必达法则：法则1.若函数)(x f 和)(x g 满足下列条件：(1) ()lim 0x a f x →= 及()lim 0x ag x →=； (2)在点a 的去心邻域内，)(x f 与)(x g 可导且0)('≠x g ；(3)()()lim x a f x l g x →'='，那么 ()()lim x a f x g x →=()()lim x a f x l g x →'='． 法则2.若函数)(x f 和)(x g 满足下列条件：(1) ()lim x a f x →=∞及()lim x a g x →=∞；(2)在点a 的去心邻域内，)(x f 与)(x g 可导且0)('≠x g ；(3)()()lim x a f x l g x →'='，那么 ()()lim x a f x g x →=()()lim x a f x l g x →'='． 利用洛必达法则求未定式的极限是微分学中的重点之一，在解题中应注意： ○1将上面公式中的a x →，∞→x 换成+∞→x ，-∞→x ，+→a x ，-→a x 洛必达法则也成立．○2洛必达法则可处理00，∞∞，0⋅∞，∞1，0∞，00，∞-∞型． ○3在着手求极限以前，首先要检查是否满足00，∞∞，0⋅∞，∞1，0∞，00，∞-∞型定式，否则滥用洛必达法则会出错．当不满足三个前提条件时，就不能用洛必达法则，这时称洛必达法则不适用，应从另外途径求极限． ○4若条件符合，洛必达法则可连续多次使用，直到求出极限为止． 二．高考例题讲解1. 函数2()1x f x e x ax =---．（Ⅰ）若0a =，求()f x 的单调区间；（Ⅱ）若当0x ≥时()0f x ≥，求实数a 的取值范围．2. 已知函数xb x x a x f ++=1ln )(，曲线()y f x =在点))1(,1(f 处的切线方程为230x y +-=．（Ⅰ）求a 、b 的值；（Ⅱ）如果当0x >，且1x ≠时，ln ()1x k f x x x>+-，求k 的取值范围． 3.若不等式3sin ax x x ->对于)2,0(π∈x 恒成立，求实数a 的取值范围． 4.设函数xx x f cos 2sin )(+=。
2023届高考数学专项练习洛必达法则含解析
洛必达法则思路引导“洛必达法则”是高等数学中的一个重要定理，用分离参数法(避免分类讨论)解决成立、或恒成立命题时，经常需要求在区间端点处的函数(最)值，若出现00型或∞∞型可以考虑使用洛必达法则。
法则1 若函数f(x)和g(x)满足下列条件：(1)limx→a f(x)=0及limx→ag(x)=0；(2)在点a的某去心邻域内，f(x)与g(x)可导且g′(x)≠0；(3)limx→a f′xg′x=A，那么limx→af xg x=limx→af′xg′x=A.法则2 若函数f(x)和g(x)满足下列条件：(1)limx→a f(x)=∞及limx→ag(x)=∞；(2)在点a的某去心邻域内，f(x)与g(x)可导且g′(x)≠0；(3)limx→a f′xg′x=A，那么limx→af xg x=limx→af′xg′x=A.例题讲解类型一：用洛必达法则处理00型函数【例1】已知函数f(x)=x(e x-1)-ax2，当x≥0时，f(x)≥0，求a的取值范围.【方法总结】用洛必达法则处理00型函数的步骤：1.可以分离变量；2.出现“0”型式子；3.运用洛必达法则求值2023届高考数学专项练习【针对训练】若∀x∈[1,+∞)，不等式ln x≤m x-1 x恒成立，求实数m的取值范围.类型二：用洛必达法则处理∞∞型函数【例2】已知函数f(x)=(x+1)ln x-a(x-1)，若当x∈(1，+∞)时，f(x)>0，求a的取值范围．【方法总结】用洛必达法则处理∞∞型函数的步骤：1.可以分离变量；2.出现“∞∞”型式子；3.运用洛必达法则求值【针对训练】设函数f(x)=e x-1-x-ax2，若当x≥0时f(x)≥0，求a的取值范围模拟训练1.已知函数f(x)=a ln x+bx(a,b∈R)在x=12处取得极值，且曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线与直线x-y+1=0垂直.(1)求实数a,b的值；(2)若∀x∈[1,+∞)，不等式f(x)≤(m-2)x-m x恒成立，求实数m的取值范围.2.已知函数f(x)=x(e x-1)-ax2.(1)若f(x)在x=-1时有极值，求函数f(x)的解析式；(2)当x≥0时，f(x)≥0，求a的取值范围.3.已知函数f(x)=a ln xx+1+bx，曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程为x+2y-3=0。
高考数学备考之端点效应(洛必达法则)专题
高考数学备考之端点效应（洛必达法则）专题洛必达法制：若函数)(x f 和函数)(x g 满足：①当a x →时 函数)(x f 和)(x g 趋于0②在点a 的去心临域内 )('x f 与)('x g 存在且0)('≠x g③)()()()(''lim lim x g x f x g x f ax a x ===→→ 例如：当0>x 时 求xe x 1-的值.解：由洛必达法制可知11lim 1lim00==-→→xx x x e x e解答：（由题设可得 当0,1x x >≠时 k<22ln 11x xx +-恒成立。
令g (x)=22ln 11x xx+-(0,1x x >≠),则()()()22221ln 121x x x g x x +-+'=⋅- 再令()()221ln 1h x x x x =+-+(0,1x x >≠)则()12ln h x x x x x'=+- ()212ln 1h x x x ''=+-易知()212ln 1h x x x''=+-在()0,+∞上为增函数 且()10h ''= 故当(0,1)x ∈时 ()0h x ''< 当x ∈（1 +∞）时 ()0h x ''>∴()h x '在()0,1上为减函数 在()1,+∞上为增函数 故()h x '>()1h '=0∴()h x 在()0,+∞上为增函数()1h =0∴当(0,1)x ∈时 ()0h x < 当x ∈（1 +∞）时 ()0h x > ∴当(0,1)x ∈时 ()0g x '< 当x ∈（1 +∞）时 ()0g x '>∴()g x 在()0,1上为减函数 在()1,+∞上为增函数由洛必达法则知()2111ln 1ln 1lim 2lim12lim 1210122x x x x x x g x x x →→→+⎛⎫=+=+=⨯-+= ⎪--⎝⎭∴0k ≤ 即k 的取值范围为（-∞ 0]2（个人原创）已知函数322()f x x ax bx a =+++ 当1a =-时 若(,0)x ∀∈-∞ 都有()x f x e ≤恒成立 求b 的取值范围.解答：当0x <时 321xx x bx e -++≤恒成立 等价于321x e x x b x-+-≥恒成立令321()x e x x g x x -+-= 则22(1)(21)'()x x e x x g x x ----=再令2()21x h x e x x =---由'()41x h x e x =--得''()4x h x e =-∴ 当0x <时 ''()4x h x e =-<0, ∴ '()41x h x e x =-- 在(,0)-∞单调递减 ∴ (,0)x ∀∈-∞ '()'(0)h x h >即'()0h x >∴2()21x h x e x x =---在(,0)-∞单调递增 ∴(,0)x ∀∈-∞ ()(0)h x h <即()0h x <∴(,0)x ∀∈-∞ 22(1)(21)'()0x x e x x g x x ----=>∴321()x e x x g x x-+-=在(,0)-∞单调递增∴由洛必达法则可得3201limx x e x x x →-+-320(1)'lim 'x x e x x x →-+-= =2032lim 1x x e x x→-+=1 ∴(,0)x ∀∈-∞ ()g x <1∴要使321x e x x b x -+-≥恒成立 只需1b ≥∴b 的取值范围是[1,)+∞【解析】当(0,)2x π∈时 原不等式等价于3sin x xa x->. 记3sin ()x x f x x -=则43sin cos 2'()x x x xf x x --=.记()3sin cos 2g x x x x x =-- 则'()2cos sin 2g x x x x =+-. 因为''()cos sin cos (tan )g x x x x x x x =-=-'''()sin 0g x x x =-< 所以''()g x 在(0,)2π上单调递减 且''()0g x <所以'()g x 在(0,)2π上单调递减 且'()0g x <.因此()g x 在(0,)2π上单调递减且()0g x < 故4()'()0g x f x x =< 因此3sin ()x x f x x -=在(0,)2π上单调递减. 由洛必达法则有320000sin 1cos sin cos 1lim ()limlim lim lim 3666x x x x x x x x x x f x x x x →→→→→--=====即当0x →时 1()6g x → 即有1()6f x <.故16a ≥时 不等式3sin x x ax >-对于(0,)2x π∈恒成立. 【评注】通过以上例题的分析 我们不难发现应用洛必达法则解决的试题应满足： ①可以分离变量③ 用导数可以确定分离变量后一端新函数的单调性③出现“00”型或∞∞型式子.解：由题设0x ≥ 此时()0f x ≥.①当0a <时 若1x a >- 则01x ax <+ ()1xf x ax ≤+不成立 ②当0a ≥时 当0x ≥时 ()1x f x ax ≤+ 即11x xe ax --≤+若0x = 则a R ∈若0x > 则11xxe ax --≤+等价于111x e x ax --≤+ 即1x x x xe e a xe x -+≤-. 记1()x x x xe e g x xe x -+=-则2222221'()=(2)()()x x x xx x x x e x e e e g x e x e xe x xe x ---+=--+--. 记2()2x x h x e x e -=--+ 则'()2x x h x e x e -=-- ''()+20x x h x e e -=->. 因此 '()2x x h x e x e -=--在(0)+∞，上单调递增 且'(0)0h = 所以'()0h x > 即()h x 在(0)+∞，上单调递增 且(0)0h = 所以()0h x >.因此2'()=()0()xx e g x h x xe x >- 所以()g x 在(0)+∞，上单调递增. 由洛必达法则有000011lim ()lim lim lim 122x x x x x x x x x x x x x x xe e xe e xe g x xe x e xe e xe →→→→-++====-+-+ 即当0x →时 1()2g x →即有1()2g x > 所以12a ≤.综上所述 a 的取值范围是1(,]2-∞.5 (2010年全国新课标理)设函数2()1x f x e x ax =--- 若当0x ≥时()0f x ≥ 求a 的取值范围.解:当0x =时 ()0f x = 对任意实数a,均在()0f x ≥当0x >时 ()0f x ≥等价于21x e x a x --≤令()21x e x g x x --=()0x >,则322()x x xe e x g x x -++'=令()()220x x h x xe e x x =-++> 则()1x x h x xe e '=-+ ()0x h x xe ''=>知()h x '在()0,+∞上为增函数 ()()00h x h ''>= 知()h x 在()0,+∞上为增函数()()00h x h >= ()0g x '∴> g(x)在()0,+∞上为增函数。
洛必达法则在高考解答题中的应用
一．洛必达法例：法例 1. 若函数f (x)和g (x)知足以下条件： (1) lim f x0 及 lim g x0 ；x a x a(2) 在点a的去心邻域内， f (x) 与 g(x) 可导且 g '( x)0 ；f xl ，那么f x f xl ．(3) lim lim= limx a g x x a g x x a g x法例 2. 若函数f (x)和g (x)知足以下条件： (1)lim f x及 lim g x；x a x a(2) 在点a的去心邻域内， f (x) 与 g(x)可导且 g' ( x)0 ；f xl ，那么f x f xl ．(3) lim lim= limx a g x x a g x x a g x利用洛必达法例求不决式的极限是微分学中的要点之一，在解题中应注意：○1 将上边公式中的x a ， x换成 x， x， x a， x a 洛必达法例也建立．○2 洛必达法例可办理0 ，， 0， 1，， 00，型．0 ，○3 在着手求极限从前，第一要检查能否知足，0， 1 ，0，00，型定式，不然滥用洛必达法例会犯错．当不知足三个前提条件时，就不可以用洛必达法例，这时称洛必达法例不合用，应从此外门路求极限．○4 若条件切合，洛必达法例可连续多次使用，直到求出极限为止．二．高考例题解说1.函数 f ( x)e x 1 x ax2．（Ⅰ）若 a0 ，求 f ( x)的单一区间；（Ⅱ）若当 x0 时f ( x)0 ，务实数 a 的取值范围．2. 已知函数aln x by f (x) 在点(1, f (1))处的切线方程为f ( x)1，曲线x xx 2 y 30 ．（Ⅰ）求 a 、b的值；（Ⅱ）假如当 x0 ，且 x 1时， f ( x)ln x k，求 k 的取值范围．x 1x3. 若不等式sin x x ax3关于x (0,) 恒建立，务实数 a 的取值范围．24. 设函数 f ( x)sin x 。
洛必达法则(高考题)
洛必达法则(高考题)洛必达法则洛必达法则是微积分中的重要概念之一。
它用于求解未定式的极限，主要包括三个法则。
法则1：若函数f(x)和g(x)满足一定条件，那么它们的极限相等。
法则2：若函数f(x)和g(x)满足一定条件，且在正负无穷处极限存在，那么它们的极限相等。
法则3：若函数f(x)和g(x)满足一定条件，且在某一点的去心邻域内极限存在，那么它们的极限相等。
在使用洛必达法则求解极限时，需要注意以下几点：1.检查是否满足前提条件，否则结果可能不正确。
2.可以连续多次使用洛必达法则，直到求出极限为止。
3.若不满足前提条件，不能使用洛必达法则，需要从其他途径求解。
XXX在高考中也经常出现，例如以下题目：1.设函数f(x) = e^(-1-x-ax)/(x^2)，求f(x)的单调区间和a的取值范围。
解：根据洛必达法则，当a = 1时，f(x) = e^(-1-x)，f'(x) = e^(-1)。
当x∈(-∞,0)时，f'(x)。
0.因此，f(x)在(-∞,0)上单调递减，在(0,+∞)上单调递增。
又因为f(x)≥1/x^2，所以当x≥1时，f(x)≥1/e。
因此，a的取值范围为a≤1/2.经过格式修正和改写，文章变得更加清晰易懂。
首先，将文章中的数学符号进行修改，使其符合规范。
然后，删除掉明显有问题的段落，比如第一段中的“于是当x时，f(x).”这句话没有明确的意义。
最后，对每段话进行小幅度的改写，使其更加清晰易懂。
具体修改如下：首先，对于函数 $f(x)$，当 $f'(x) \geq 0$（$x \geq 0$）时，有 $f(0) = 2$。
因此，当 $x \geq 0$ 时，$f(x) \geq 2$。
由不等式 $e。
1+x$（$x \neq 0$）可得 $e^x - x。
1 -x$（$x \neq 0$）。
因此，当 $a。
1$ 时，有：2f'(x) < e^x - 1 + 2a(e^{-x} - 1) = e^{-x}(e^x - 1)(e^x - 2a)$$因此，当 $x \in (0.\ln(2a))$ 时，$f'(x) < 0$，而 $f(0) = 2$，因此当 $x \in (0.\ln(2a))$ 时，$f(x) < 2$。
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一．洛必达法则：
法则1.若函数)(x f 和)(x g 满足下列条件：(1) ()lim 0x a f x →= 及()lim 0x a
g x →=； (2)在点a 的去心邻域内，)(x f 与)(x g 可导且0)('≠x g ；
(3)()()lim x a f x l g x →'='，那么 ()()lim x a f x g x →=()()
lim x a f x l g x →'='． 法则2.若函数)(x f 和)(x g 满足下列条件：(1) ()lim x a f x →=∞及()lim x a
g x →=∞； (2)在点a 的去心邻域内，)(x f 与)(x g 可导且0)('≠x g ；
(3)()()lim x a f x l g x →'='，那么 ()()lim x a f x g x →=()()
lim x a f x l g x →'='． 利用洛必达法则求未定式的极限是微分学中的重点之一，在解题中应注意：
○
1将上面公式中的a x →，∞→x 换成+∞→x ，-∞→x ，+→a x ，-→a x 洛必达法则也成立．
○
2洛必达法则可处理00，∞∞
，0⋅∞，∞1，0∞，00，∞-∞型． ○3在着手求极限以前，首先要检查是否满足00，∞∞，0⋅∞，∞1，0∞，00，∞-∞型定式，否则滥用洛必达法则会出错．当不满足三个前提条件时，就不能用洛必达法则，这时称洛必达法则不适用，应从另外途径求极限．
○
4若条件符合，洛必达法则可连续多次使用，直到求出极限为止． 二．高考例题讲解
1. 函数2()1x f x e x ax =---．
（Ⅰ）若0a =，求()f x 的单调区间；
（Ⅱ）若当0x ≥时()0f x ≥，求实数a 的取值范围．
2. 已知函数x
b x x a x f ++=1ln )(，曲线()y f x =在点))1(,1(f 处的切线方程为230x y +-=．
（Ⅰ）求a 、b 的值；
（Ⅱ）如果当0x >，且1x ≠时，ln ()1x k f x x x >
+-，求k 的取值范围． 3.若不等式3sin ax x x ->对于)2,0(π
∈x 恒成立，求实数a 的取值范围．
4.设函数x
x x f cos 2sin )(+=。
（Ⅰ）求函数)(x f 的单调区间；
（Ⅱ）如果对0≥∀x ，都有ax x f ≤)(，求实数a 的取值范围．
5. 设函数()1x f x e -=-．
（Ⅰ）证明：当1->x 时，()1x f x x ≥
+； （Ⅱ）设当0x ≥时，()1x f x ax ≤
+，求实数a 的取值范围． 6.已知函数2)1()(ax e x x f x --=。
（Ⅰ）若函数)(x f 在1-=x 时有极值，求函数)(x f 的解析式；
（Ⅱ）当0x ≥时()0f x ≥，求实数a 的取值范围．
总结：通过以上例题的分析，我们不难发现应用洛必达法则解决的问题应满足：
1． 能够分离变量；
2． 用导数能够确定分离变量后另一侧所得新函数的单调性；
3． 出现“
00”、“ ∞∞”型式子。