职高数学幂函数复习课

幂函数
幂函数的定义
一般地,函数 y x 叫做幂函数,其中x是自变量,
是常量.
观察：表达式的结构有什么特点？
y x （1） 底数为自变量 x； （2） 指数为常数； （3） 幂的系数为1 .
【小试牛刀】
1.下列函数是幂函数的有（__1_）__（__3_）__（__5_）_.
(1) y=x4
偶
R ［0,+∞） {y|y≠0}
非奇
奇 非偶
奇
单调性
在R 上增
在（-∞，0]上减, 在R上 在［0，+∞）上增，增
在［0， 在（-∞，0)上减， +∞）上增在，(0，+∞)上减
公共点
图象都过点(1,1)
合作探究：学习小组合作讨论
请同学们根据五个特殊幂函数的图象和性质,总结归纳出一
般的幂函数y =x图象的特点与性质，它的图象和性质与什
1
y x3, y x2,
1
y x2
五个幂函数的图象.
1.自主学习：
1 O1
y x1
x
请同学们画出
1
y x3, y x2
两个幂函数的图象.
观察幂函数图象，将你发现的结论写在下表:
1
y=x
y=x2
y=x3 y=x 2
y=x-1
定义域 R
R
R ［0,+∞） {x|x≠0}
值域 R
奇偶性 奇
［0,+∞）
体积y＝ ？
y x3
问题4:如果正方形葡萄地的面积为x，那么葡萄地的1
边长 y＝ ？
y x x2
问题5:如果小丽去买葡萄，x秒内骑车行进1千米，那么
她骑车的平均速度y= ？（千米/秒） y 1 x 1
x
yx
y x2 y x3
1
y x2
y x1
这五个函数可以统一写成个
一般形式
y x（ R）
创设情境，导入课题：
平度人杰地灵，物产丰富，大泽山的葡萄更是闻名遐尔。
请同学们阅读以下材料并思考问题：
问题1:如果小明购买了价格为1元的葡萄包装盒x个，那
正方形的葡萄地边长为x，那么葡萄地的
面积y＝ ？
y x2
问题3:如果正方体的葡萄包装盒棱长为x，那么包装盒的
例3.
证明幂函数 f (x) x 在［0，+∞）上是增函数.
复习用定义证明函数的单调性的步骤:
(1). 设x1, x2是某个区间上任意二值，且x1＜x2; (2). 作差 f(x1)－f(x2)，变形 ; (3). 判断 f(x1)－f(x2) 的符号； (4). 下结论.
证明:任取 x1, x2 [0,), 且x1 x2,则
(2) y 2x
(3) y
1 x2
(4) y=3x2 (5) y= x0
2.幂函数f (x)的图象经过点（2， 1 2），
则函数f (x)的解析式为_f_(_x)___x_2_____.
幂函数的图象与性质：
在同一坐标系中画
y y x3
y x, y x2, y x1，
y x2 y x1
问题4：这五个幂函数的单调性有何特点？
幂函数的图象分布规律
(1) 所有的幂函数在(0,+∞)都有定义，并且图象 都通过点(1,1);
(2) 如果a＞０,则图象都过点（0,0）和（1,1）;
(3) 如果a＜０，则图象都只过点(1,1）， 在第一象限内，图象都向上无限接近y轴，向右 无限接近x轴； (4)图象分布：第Ⅰ象限都有图象；第Ⅳ象限都 没有图象；二三象限可能有，也可能没有图象；
2
1
思维升华：幂函数图象在直线x=1的右侧时:图象越高, 指数越大;图象越低，指数越小。在Y轴与直线x =1之 间正好相反。
练习：图中曲线是幂函数 y xn 在第一象限的图象，已
知n取
2，
1 2
四个值，则相应于曲线C1，C2，C3，C4
的n依次为
(A)
2,
1 2
,1 2
,2
(B)2, 1 2
,
1 2
二.思想与方法 1.数形结合的思想： 2. 类比法：
当 0时,是否有相应的结论？
一般地，当 0时,y x
①图象过（０，０）， （１，１）； ②函数在（０，＋∞）上是增函数；
当 0时,是否有相应的结论？
一般地，当 0时,y x
①图象过（１，１）； ②函数在（０，＋∞）上是减函数； ③在第一象限内，图象向上无限接近y轴，向右无限接近x轴；
么因素有关系？你发现了哪些规律？ 1 问题1：从解析式出发，五个幂函数y x, y x2, y x3, y x2 , y x1 最大的区别是什么？ 研究他们的共同点应该从他们的指数开始，对指数进行归类。
问题2：这五个幂函数的指数有何特点？
问题3：这五个幂函数的图象位置有何特点？奇偶性有何特点？
定义域，根式求；一象限，图都有；
四象限，都没有；二和三，看奇偶；
奇偶性，看指数；指奇奇，指偶偶；
正递增， 负递减；都过1， 正过0 。
典例解析：
例1. 如图所示，曲线是幂函数 y = xk 在第一象限
内的图象，已知 k分别取 1,1, 2, 1 四个值，
则相应图象依次为:_C_4__C_2_C_1_ C3
幂函数的性质
幂函数的定义域、奇偶性、单调性， 因解析式中指数a的不同而各异.
1.单调性：
①如果a>0,则幂函数在(0,+∞)上为增函数;
②如果a<0,则幂函数在(0,+∞)上为减函数.
a>1
a<0
0<a<1
2.奇偶性： ①当a为奇数时，幂函数为奇函数； ②当a为偶数时，幂函数为偶函数．
幂函数的图象与性质 （三字经）
f (x1) f (x2 )
x1
( x2
x1
x2 )( x1 x1 x2
x2 )
x1 x1
x2 x2
,
x1
x2
0,
x1
x2 0, f (x1) f (x2).
所以幂函数 f (x) x 在［0，+∞）上是增函数.
证明幂函数 f (x) x 在［0，+∞）上是增函数.
证法二: 任取x1 ,x2 ∈［0，+∞）,且x1< x2 ；
,2
(C)
1 2
,2,2, 12
(D)2, 1 2
,2,
1 2
例2.比较下列各组数的大小：
1
1
(1)1.32 和1.42
思考： 两个数比较 大小时，何
(2)0.261和0.271 1
(3)0.7 2 和0.72
时用幂函数 模型，何时 用指数函数
模型？
思维升华： 指数相同的幂，构造幂函数， 底数相同的幂，构造指数函数， 然后利用单调性进行大小比较。
练习: 比较各组值的大小
> （1）
2 3
0.5
1
0.5
2
< （2） 5.12 5.092
≤ （3）(2
a
2
)
2 3
2
23
思考: 如果函数 f (x) (m2 m 1)xm2 2m3是幂函数，且在 区间（0，+∞）内是减函数，求满足条件的实
数m的值。
m2
舍去m 1
课堂小结：
一.幂函数的图象与性质 定义域，根式求；一象限，图都有； 四象限，都没有；二和三，看奇偶； 奇偶性，看指数；指奇奇，指偶偶； 正递增，负递减；都过1，正过0 。
f (x ) 1
x 1
x 1
1
即
f (x ) f (x )
1
2
f (x ) x x
2
2
2
所以 f (x) x在0， 为增函数
(1)作差法:若给出的函数是有根号的式子,往往采用有 理化的方式。 (2)作商法:证明时要注意分子和分母均为正数,否则不 一定能推出f(x1)<f(x2)。
谢谢观看！ 2020