随机过程(平稳过程)第六章PPT课件

由于 P{X(t1)=1}= echt1 (λt1),
所以 P{X(t1)=1,X(t2)=1}= ecth1 (λt1) ceh(λ τ).
类似可得
P{X(t1)=-1,X(t2)=-1}= esht1(λt1) che(λτ ),
P{X(t1)=-1,X(t2)=1}= esht1(λt1) she(λτ ),
设t2＞t1,令τ=t2-t1,因为事件P{X(t1)=1,X(t2)=1}等 价于事件{X(t1)=1,且在(t1,t2]内随机点出现偶数次}.
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由假设知,在X(t1)=1的条件下,在区间(t1,t2]内随机点 出现偶数次,与在区间(0,τ]内随机点出现偶数次的概
率相等,故
P{X(t2)=1|X(t1)=1}=e-λtch(λt).
6.1 平稳随机过程的概念
定义6. 2 设{X(t)，t T }是随机过程， 并满足： (1){X(t)，t T }是二阶矩过程； (2)对任意t T ，mX(t)=EX(t)=常数； (3)对任意s, t T ，
RX(s, t)=E[X(s)X(t)]=RX(t-s)，
则称{X(t)，t T }为宽平稳过程，也称广 义平稳过程，简称平稳过程。 若T为离散集，称平稳过程{Xn，nT } 为平稳序列。
以上随机序列称为白噪声。
平稳过程的概念与例
例6.4 设随机过程{N(t),t≥0}是具有参数λ的泊松过程, 随机过程{X(t),t≥0}定义为:若随机点在[0,t]内出现 偶数次(0也看作偶数),则X(t)=1;若出现奇数次,则 X(t)=-1,如图所示. (1)讨论随机过程X(t)的平稳性; (2)设随机变量V具有概率分布: P(V=-1}=P{V=1)=1/2.
=e-λt[1+ + ( +t )…2 ] ( t ) 4
2!
4!
=e-λtch(λt),
P{X(t)=-1}=P1(t)+P3(t)+P5(t)+…
=e-λt[λt+ + +( …t )]3 ( t ) 5
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3!
5!
=e-λtsh(λt), 于是 mX(t)=E[X(t)]=1·e-λtch(λt)-1·e-λtsh(λt)
解 m X(t)E(tX )E [Yco t)sZ (sin t)]( co t)s E ( Y sin t)E ( Z 0
R X (s, t ) E [ X (s) X (t )]
E [ Y c (s o ) Z s ss i ) (Y n ) c( ( t o ) Z s st i ) (n )
第六章 平稳随机过程
6.1 平稳随机过程的概念
定义6.1 设{X(t)，t T }是随机过程，对
任意常数和正整数n， t1,t2,, tnT, t1+, t2+,,tn+ T，
若(X(t1), X(t2), , X(tn))与
(X(t1+), X(t2+),, X(tn+))
有相同的联合分布，则称{X(t)，t T } 为严平稳过程，也称狭义平稳过程。
• 宽平稳过程
严平稳过程
• 严平稳过程 二阶矩存宽在 平稳过程
• 严平稳过程 正态宽过程平稳过程
4 .严平稳与宽平稳的关系
严平稳过程不一定是宽 平稳的，因为严平稳
定义只涉及有限维分布
，而并不要求一、二阶
矩
存在，但对二阶矩过程
，严平稳必是宽平稳。
反过来，宽平稳也不一
定是严平稳，因为宽
平稳只要求均值函数与
P{X(t1)=1,X(t2)=-1}= echt1(λt1) she(λτ).
因此
RX(t1,t2)=E[X(t1)X(t2)]
6.1 平稳随机过程的概念
• 例6.2 设{Xn,n=0, 1, 2,}是实的互不 相关随机变量序列，且E[Xn]=0，D[Xn] =2 ，试讨论随机序列的平稳性。
解 因为E[Xn]=0，
RX( n,n ) E[ XnXn ] 2, 0
0 , 0 所以{Xn,n=0, 1, 2,}是平稳随机序列。
x(t) 1
o
t
-1
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平稳过程的概念与例
且V与X(t)独立,令Y(t)=VX(t),试讨论随机过程Y(t)的
平稳性.
解: (1) 由于随机点N(t)是具有参数λ的泊松过程,故在
[0,t]内随机点出现k次的概率
Pk(t)=e-λt
,k(t)+P2(t)+P4(t)+…
6.1 平稳随机过程的概念
E [cos( s ) cos( t )Y 2 sin ( s ) cos( t )YZ cos( s ) sin ( t )YZ sin( s ) sin( t ) Z 2 ]
cos( s ) cos( t ) E (Y 2 ) sin ( s t ) E (YZ ) sin( s ) sin( t ) E ( Z 2 )
=e-λt[ch(λt)-sh(λt)] =e-λt·e-λt =e-2λt.
为了求X(t)的相关函数,先求X(t1),X(t2)的联合分布: P{X(t1)=x1,X(t2)=x2} = P{X(t2)=x2|X(t1)=x1}P{X(t1)=x1},
其中xi=-1或1(i=1,2). 由上式知,需求P{X(t1)=x1}和P{X(t2)=x2|X(t1)=x1}.
cos( s ) cos( t ) DY sin ( s t ) EYEZ sin( s ) sin( t ) DZ
cos( s ) cos( t ) 2 sin( s ) sin( t ) 2 2 cos[( t s ) ]
所以{X(t)，t T }为宽平稳过程。
t无关，导不出一维分布
与
t无关，又相关函数 R t , t 与 t无关，导不出二维
分布 F x1 , x 2 ; t , t 与 t无关。
但对于正态平稳过程是 个例外，由于正态过程
的概率密度是由均值和
相关函数完全确定，另
外正
态过程的二阶矩总是存
在的。
6.1 平稳随机过程的概念
• 例6.1 设X(t)=Ycos(t)+Zsin(t), t>0，且 Y, Z相互独立，EY=EZ=0，DY=DZ=2， 试讨论随机过程{X(t), t>0}的平稳性。