初中数学专题复习微专题五二次函数中的存在性问题
金榜导学号
(1)求抛物线的解析式及顶点D的坐标.
(2)点P是抛物线上A,D之间的一点,过点P作PE⊥x轴于 点E,PG⊥y轴,交抛物线于点G.过点G作GF⊥x轴于点F. 当矩形PEFG的周长最大时,求点P的横坐标.
(3)如图2,连接AD,BD,点M在线段AB上(不与A,B重合), 作∠DMN=∠DBA, MN交线段AD于点N,是否存在点M,使得 △DMN为等腰三角形?若存在,求出AN的长;若不存在,请 说明理由.
可求得点E的坐标为 ( 5，0) ,直线PF
4
的解析式为y= 1 x 5，
28
解方程组
y
1 2
x
5 8
,
y
1
x
2
5
x
2,
消去y,得方程:8x2+32x-33
3 6
=0,x1=-2-
130 4
,x2=-2+
130 ,所以P点的横坐标为x1=
4
-2-
130 ,x2=-2+
4
130 .
4
(3)略
【明·技法】 探究特殊关系存在性问题的三步骤 (1)先假设这样的关系存在,然后用运动与变化的眼光 去观察和研究图形,把握图形运动与变化的全过程,抓 住其中的等量关系和变量关系,并特别关注一些不变量 和不变关系或特殊关系,画出相应图形.
【微点警示】 因为点的运动既能改变图形相关的数 量关系,又能改变图形的形状和位置,从而形成特殊的 图形,所以解决此类问题的关键在于确定动点的位置.
【核心突破】 【类型一】 探究特殊图形的存在性问题 【例1】(2019·山西中考)综合与探究 如图,抛物线y=ax2+bx+6经过点A(-2,0), B(4,0)两点,与y轴交于点C,点D是抛物 线上一个动点,设点D的横坐标为m(1<m <4).连接AC,BC, DB,DC .
【解析】(1)抛物线的解析式为:y=- 4 (x+5)(x-1)=
9
- 4 x2- 16 x+ 20 .配方得:y=- 4 (x+2)2+4,
9
9
9
9
∴顶点D的坐标为(-2,4).
(2)设点P的坐标为 (a， 4 a2 16 a 20), -5<a<-2,
9 99
则PE= 4 a2 16 a 20 ,PG=2·(-2-a)=-4-2a.
微专题五 二次函数中的存在性问题
【主干必备】 存在性问题是指根据题目所给定的条件,探究是否存在 符合要求的结论. 二次函数中的存在性问题常见类型有:
(1)以二次函数图象为载体来探究特殊图形(如等腰三 角形,直角三角形,平行四边形,矩形,菱形等)的存在性 问题. (2)以二次函数图象为载体来探究图形间特殊关系(如 两个三角形相似或全等,两条直线或同一个图形两个角 度或者两条边存在某种位置或数量关系等)的存在性问 题.
3
2的图象与x轴交于点A,B,与y轴交于点C,点A(-4,0),P
是抛物线上一点(点P与点A,B,C不重合).
(1)b=________,点B坐标是________. (2)设直线PB与直线AC相交于点Mቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ是否存在这样的点P, 使得PM∶MB=1∶2?若存在,求出点P的横坐标;若不存在, 请说明理由. (3)连接AC,BC,判断∠CAB与∠CBA的数量关系,并说明 理由.
4
(3)存在. ∵AD=BD,∴∠DAB=∠DBA. ∵∠AMN+∠DMN=∠MDB+∠DBA, 又∵∠DMN=∠DBA,∴∠AMN=∠MDB, ∴△AMN∽△BDM,∴ AN ＝A.M
BM BD
易求得:AB=6,AD=DB=5.
△DMN为等腰三角形有三种可能: ①当MN=DM时,则△AMN≌△BDM, ∴AM=BD=5,∴AN=MB=1.
9 99
∴矩形PEFG的周长为2(PE+PG)= 2( 4 a2 16 a 20 4 2a)
9 99 ＝ 8 a2 68 a 32＝ 8 (a 17 )2 225 .
9 9 9 9 4 18
∵- 8<0,∴当a=- 17时,矩形PEFG的周长最大,此时,
9
4
点P的横坐标为- 17 .
②当DN=MN时,则∠ADM=∠DMN=∠DBA,
又∵∠DAM=∠BAD,∴△DAM∽△BAD,
∴AD2=AM·BA.∴AM= 25,BM= 6 25＝11,
6
66
25
∵
AN ＝AM , MB DB
AN＝ 11
6 5
,AN＝55 . 36
6
③DN=DM不成立. ∵∠DNM>∠DAB,而 ∠DAB=∠DMN,∴∠DNM>∠DMN,∴DN≠DM. 综上所述,存在点M满足要求,此时AN的长为1或 55 .
4
( 27，0).∵C(0,2),
4
∴由A,C两点的坐标可得AC的解析式为y= 1 x+2,
2
∴直线EF的解析式为y= 1 x 27,
28
解方程组:
y
1 2
x
27 8
,
y
1
x
2
5
x
2,
3 6
消去y,得方程:8x2+32x+33=0,由于Δ=-32,所以这种
情况不存在.
当点M在CA(或AC)的延长线时,同理
【自主解答】略
【明·技法】 探究特殊图形存在性问题的三步骤 (1)先假设这样的图形存在,然后根据该图形的定义或 性质来确定出动点的位置,并画出相应图形.
(2)结合图形建立方程(组). (3)根据方程(组)的解的情况来判断该图形形状是否存 在.
【类型二】探究特殊关系存在性问题 【例2】(2018·常州中考)如图,二次函数y=- 1 x2+bx+
(3)点P为y轴右侧抛物线上一动点,连接PA,过点P作 PQ⊥PA交y轴于点Q,问:是否存在点P使得以A,P,Q为顶 点的三角形与△ABC相似?若存在,请求出所有符合条件 的点P的坐标;若不存在,请说明理由. 略
3.(2019·海南中考)如图,已知抛物线y=ax2+bx+5经过 A(-5,0),B(-4,-3)两点,与x轴的另一个交点为C,顶点 为D,连接CD. 世纪金榜导学号
【自主解答】 (1)b= 5， B( 3，0) .
62
(2) 假设点M在PB之间,存在
PM∶MB=1∶2, 过点P作EF∥AC,交坐标轴于点E和F,则 AE PM 1 ,
AB MB 2
∵A,B两点的坐标分别为(-4,0), (3，0),∴AB=
2
+34=
2
11 ,∴AE=
2
11,∴E点的坐标为
(1)求该抛物线的表达式. (2)点P为该抛物线上一动点(与点B,C不重合).设点P的 横坐标为t. ①当点P在直线BC的下方运动时,求△PBC的面积的最大 值.
②该抛物线上是否存在点P,使得∠PBC=∠BCD?若存在, 求出所有点P的坐标;若不存在,请说明理由. 略
(2)通过几何推理或建立关系式(函数或不等式或方程 (组)等)进行推理或求解. (3)最后根据几何推理或者举反例或者方程(组)的解的 情况来判断该特殊关系是否存在.解决此类问题时,常 常利用三角形相似或三角函数来寻找关系.
【题组过关】
1.(2019·眉山中考)如图1,在平面直角坐标系中,抛物
线y=- 4 x2+bx+c经过点A(-5,0)和点B(1,0). 世纪
解决二次函数中的存在性问题的核心思想方法: (1)在解决存在性探究问题时,需要根据二次函数的图 象和性质及该图形的概念或性质来对图形进行分类讨 论,或者对于含有参数的问题要对参数的允许值进行全 面的分类讨论.
(2)根据题意表示出动点的坐标,结合图形建立方程 (组),并根据方程(组)的解的情况来判断该图形形状是 否存在或存在某种位置或数量关系.
36
2.(2019·安顺中考)如图,抛物线y= 1 x2+bx+c与直线
2
y= 1 x+3分别相交于A,B两点,且此抛物线与x轴的一个
2
交点为C,连接AC,BC.已知A(0,3),C(-3,0).
(1)求抛物线的解析式. (2)在抛物线对称轴l上找一点M,使|MB-MC|的值最大, 并求出这个最大值.
(1)求抛物线的函数表达式. (2)△BCD的面积等于△AOC的面积的 3 时,求m的值.
4
(3)在(2)的条件下,若点M是x轴上的一个动点,点N是抛 物线上一动点,试判断是否存在这样的点M,使得以点 B,D,M,N为顶点的四边形是平行四边形,若存在,请直接 写出点M的坐标;若不存在,请说明理由.
二次函数存在性问题专题复习(全面典型含答案)
中考数学专题复习——存在性问题存在性问题是指判断满足某种条件的事物是否存在的问题，这类问题的知识覆盖面较广，综合性较强，题意构思非常精巧，解题方法灵活，对学生分析问题和解决问题的能力要求较高，是近几年来包括深圳在内各地中考的“热点”。
这类题目解法的一般思路是：假设存在→推理论证→得出结论。
若能导出合理的结果，就做出“存在”的判断，导出矛盾，就做出不存在的判断。
以下为几种典型的二次函数中出现的存在性问题，讲解后希望各位考生在以后的考试中如果遇到此类型时能够很顺畅的把过程写下来。
一、二次函数中相似三角形的存在性问题1.（2011枣庄10分）如图，在平面直角坐标系xoy 中，把抛物线2y x =向左平移1个单位，再向下平移4个单位，得到抛物线2()y x h k =-+.所得抛物线与x 轴交于A ，B 两点（点A 在点B 的左边），与y 轴交于点C ，顶点为D. （1）写出h k 、的值；（2）判断△ACD 的形状，并说明理由；（3）在线段AC 上是否存在点M ，使△AOM ∽△ABC ？若存在，求出点M 的坐标；若不存在，说明理由.2.（2011临沂13分）如图，已知抛物线经过A （﹣2，0），B （﹣3，3）及原点O ，顶点为C ． （1）求抛物线的解析式；（2）若点D 在抛物线上，点E 在抛物线的对称轴上，且A 、O 、D 、E 为顶点的四边形是平行四边形，求点D 的坐标；（3）P 是抛物线上的第一象限内的动点，过点P 作PM ⊥x 轴，垂足为M ，是否存在点P ，使得以P 、M 、A 为顶点的三角形△BOC 相似？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．二、二次函数中面积的存在性问题3. （2011日照10分）如图，抛物线()20y ax bx a >=+与双曲线ky x=相交于点A ，B ．已知点B 的坐标为（－2，－2），点A 在第一象限内，且tan ∠AOX 错误!未找到引用源。
中考数学 二次函数存在性问题 与参考答案
中考数学二次函数存在性问题及参考答案一、二次函数中相似三角形的存在性问题1.如图，把抛物线2=向左平移1个单位，再向下平移4个单位，得到抛物线2y x=-+.y x h k()所得抛物线与x轴交于A，B两点（点A在点B的左边），与y轴交于点C，顶点为D.（1）写出h k、的值；（2）判断△ACD的形状，并说明理由；（3）在线段AC上是否存在点M，使△AOM∽△ABC？若存在，求出点M的坐标；若不存在，说明理由.2.如图，已知抛物线经过A（﹣2，0），B（﹣3，3）及原点O，顶点为C．（1）求抛物线的解析式；（2）若点D在抛物线上，点E在抛物线的对称轴上，且A、O、D、E为顶点的四边形是平行四边形，求点D的坐标；（3）P是抛物线上的第一象限内的动点，过点P作PM⊥x轴，垂足为M，是否存在点P，使得以P、M、A为顶点的三角形△BOC相似？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．二、二次函数中面积的存在性问题3.如图，抛物线()20y ax bx a >=+与双曲线ky x=相交于点A ，B ．已知点B 的坐标为（－2，－2），点A 在第一象限内，且tan ∠AOX ＝4．过点A 作直线AC ∥x 轴，交抛物线于另一点C ． （1）求双曲线和抛物线的解析式； （2）计算△ABC 的面积；（3）在抛物线上是否存在点D ，使△ABD 的面积等于△ABC 的面积．若存在，请你写出点D 的坐标；若不存在，请你说明理由．4.如图，抛物线y ＝ax 2＋c （a ＞0）经过梯形ABCD 的四个顶点，梯形的底AD 在x 轴上， 其中A （－2,0），B （－1, －3）． （1）求抛物线的解析式；（3分）（2）点M 为y 轴上任意一点，当点M 到A 、B 两点的距离之和为最小时，求此时点M 的坐标；（2分） （3）在第（2）问的结论下，抛物线上的点P 使S △PAD ＝4S △ABM 成立，求点P 的坐标．（4分） (4)在抛物线的BD 段上是否存在点Q 使三角形BDQ 的面积最大，若有，求出点Q 的坐标，若没有，请说明理由。
二次函数的存在性问题(Word版解析+答案)
中考压轴题解析二次函数的存在性问题【典例分析】【考点 1】二次函数与相似三角形问题例1】已知抛物线y ax2 bx 3与 x轴分别交于A( 3,0)，B(1,0)两点，与 y轴交于点 C．2)点 F 是线段 AD 上一个动点．1AD .2ABC 相似？若相似，求出点 F 的坐标；若不相似，请说明理由．变式1-1】如图，抛物线y ax2 2x c经过A( 1,0)，B两点，且与y轴交于点C(0,3) ，抛物线与直线y x 1交于A，E 两点．(1)求抛物线的解析式；(2)坐标轴上是否存在一点Q，使得AQE是以AE为底边的等腰三角形？若存在，请直接写出点Q 的坐标；若不存在，说明理由．(3)P点在x轴上且位于点B 的左侧，若以P，B，C为顶点的三角形与ABE相似，求点P的坐AF①如图 1，设k ，当 k 为何值时，CFAD1)求抛物线的表达式及顶点 D 的坐标；标．1【变式1-2】如图，已知抛物线y m（x 2）（x m）（m > 0）与 x 轴相交于点 A，B，与 y轴相交于点 C，且点 A 在点 B 的左侧 .（ 1）若抛物线过点（ 2， 2），求抛物线的解析式；（2）在（ 1）的条件下，抛物线的对称轴上是否存在一点H ，使 AH+CH 的值最小，若存在，求出点 H 的坐标；若不存在，请说明理由；（3）在第四象限内，抛物线上是否存在点M ，使得以点 A，B，M 为顶点的三角形与△ACB 相似？若存在，求出 m 的值；若不存在，请说明理由 .考点 2】二次函数与直角三角形问题BC交于点D，连接AC 、AD ，求VACD的面积；3 点E为直线BC上的任意一点，过点E作x轴的垂线与抛物线交于点F ，问是否存在点E使VDEF 为直角三角形？若存在，求出点E 坐标，若不存在，请说明理由．例2】如图，抛物线y ax2bx c a 0的顶点坐标为2, 1 ，图象与y 轴交于点C 0,3 ，与x轴2 设抛物线对称轴与直线【变式2-1】如图，经过x 轴上A（ 1，0）， B（3，0）两点的抛物线y m（x 1）2 4m （m 0）交y 轴于点C ，设抛物线的顶点为D ，若以DB 为直径的⊙ G 经过点C ，求解下列问题：1）用含m的代数式表示出C，D 的坐标；2）求抛物线的解析式；3）能否在抛物线上找到一点Q，使△BDQ 为直角三角形？如能，求出Q点的坐标，若不能，请说明理由。
二次函数-存在性问题-备战2023年中考数学考点微专题
考向3.9 二次函数-存在性问题例1、（2021·湖南湘潭·中考真题）如图，一次函数333y x =-图象与坐标轴交于点A 、B ，二次函数233y x bx c =++图象过A 、B 两点． （1）求二次函数解析式；（2）点B 关于抛物线对称轴的对称点为点C ，点P 是对称轴上一动点，在抛物线上是否存在点Q ，使得以B 、C 、P 、Q 为顶点的四边形是菱形？若存在，求出Q 点坐标；若不存在，请说明理由．解：（1）对于33y x =：当x =0时，3y = 当y =0时，3303x -=，妥得，x =3 ∴A （3，0），B （0，3- 把A （3，0），B （0，3-23y bx c ++得： 33+3+=03b c c ⎧⎪⎨=-⎪⎩解得，233b c ⎧=⎪⎨⎪=⎩∴抛物线的解析式为：23233y =-（2）抛物线的对称轴为直线23312323b x a -=-=-=⨯故设P （1，p ），Q （m ，n ） ①当BC 为菱形对角线时，如图，∵B ，C 关于对称没对称，且对称轴与x 轴垂直， ∴∴BC 与对称轴垂直，且BC //x 轴 ∵在菱形BQCP 中，BC ⊥PQ ∴PQ ⊥x 轴 ∵点P 在x =1上， ∴点Q 也在x =1上， 当x =1时，232343113=333y =⨯-⨯--∴Q （1，433-）； ②当BC 为菱形一边时，若点Q 在点P 右侧时，如图，∴BC //PQ ，且BC =PQ ∵BC //x 轴，∴令3y =23233=3y解得，120,2x x == ∴(2,3)C - ∴PQ =BC =2 ∵22(3)12+= ∴PB =BC =2 ∴迠P 在x 轴上， ∴P (1,0) ∴Q (3，0)；若点Q 在点P 的左侧，如图，同理可得，Q （-1，0） 综上所述，Q 点坐标为（1，433-）或(3，0)或（-1，0）1、存在性问题的解题思路:假设存在,推理论证,得出结论；2、解決线段存在性问题的方法:将军饮马问题、垂线段问题、三角形三边关系、函数最值等；3、本题考查的知识点有用待定系数法求出二次函数的解析式，菱形的性质和判定，解一元二次方程，主要考查学生综合运用这些性质进行计算和推理的能力．同时注意用分类讨论思想解决问题。
专题05 二次函数中的矩形存在性问题(老师版)
专题05 二次函数中的矩形存在性问题【例题讲解】如图，抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交于点A（﹣1，0），点B（﹣3，0），且OB＝OC．（1）求抛物线的解析式；（2）抛物线上两点M，N，点M的横坐标为m，点N的横坐标为m+4．点D是抛物线上M，N之间的动点，过点D作y轴的平行线交MN于点E，点D关于点E的对称点为F，当m为何值时，四边形MDNF为矩形．【解答】解：（1）∵抛物线与x轴交于点A（﹣1，0），点B（﹣3，0）∴设交点式y＝a（x+1）（x+3）∵OC＝OB＝3，点C在y轴负半轴∴C（0，﹣3）把点C代入抛物线解析式得：3a＝﹣3∴a＝﹣1∴抛物线解析式为y＝﹣（x+1）（x+3）＝﹣x2﹣4x﹣3（2）如图，∵D、F关于点E对称，∴DE＝EF∵四边形MDNF是矩形∴MN＝DF，且MN与DF互相平分∴DE＝MN，E为MN中点∴x D＝x E＝＝m+2由①得当d＝m+2时，DE＝4∴MN＝2DE＝8∴（m+4﹣m）2+[﹣m2﹣12m﹣35﹣（﹣m2﹣4m﹣3）]2＝82解得：m1＝﹣4﹣，m2＝﹣4+∴m的值为﹣4﹣或﹣4+时，四边形MDNF为矩形．【模型解读】矩形的判定：（1）有一个角是直角的平行四边形；（2）对角线相等的平行四边形；（3）有三个角为直角的四边形．【题型分析】矩形除了具有平行四边形的性质之外，还有“对角线相等”或“内角为直角”，因此相比起平行四边形，坐标系中的矩形满足以下3个等式：（AC 为对角线时）因此在矩形存在性问题最多可以有3个未知量，代入可以得到三元一次方程组，可解． 确定了有3个未知量，则可判断常见矩形存在性问题至少有2个动点，多则可以有3个．题型如下：（1）2个定点+1个半动点+1个全动点；（2）1个定点+3个半动点．【解析思路】思路1：先直角，再矩形在构成矩形的4个点中任取3个点，必构成直角三角形，以此为出发点，可先确定其中3个点构造直角三角形，再确定第4个点．对“2定+1半动+1全动”尤其适用．引例：已知A （1，1）、B （4，2），点C 在x 轴上，点D 在平面中，且以A 、B 、C 、D 为顶点的四边形是矩形，求D 点坐标．【分析】点C 满足以A 、B 、C 为顶点的三角形是直角三角形，构造“两线一圆”可得满足条件的点C 有、、、在点C 的基础上，借助点的平移思路，可迅速得到点D 的坐标．【小结】这种解决矩形存在性问题的方法相当于在直角三角形存在性问题上再加一步求D 点坐标，也是因为这两个图形之间的密切关系方能如此．A CB D AC B Dx x x x y y y y ⎧+=+⎪⎪+=+⎨=14,03C ⎛⎫⎪⎝⎭214,03C ⎛⎫⎪⎝⎭()32,0C ()43,0C思路2：先平行，再矩形当AC 为对角线时，A 、B 、C 、D 满足以下3个等式，则为矩形：其中第1、2个式子是平行四边形的要求，再加上式3可为矩形．表示出点坐标后，代入点坐标解方程即可．无论是“2定1半1全”还是“1定3半”，对于我们列方程来解都没什么区别，能得到的都是三元一次方程组．引例：已知A （1，1）、B （4，2），点C 在x 轴上，点D 在坐标系中，且以A 、B 、C 、D 为顶点的四边形是矩形，求D 点坐标．【分析】设C 点坐标为（a ，0），D 点坐标为（b ，c ），又A （1，1）、B （4，2）．先考虑平行四边形存在性：（1）AB 为对角线时，，满足此条件的C 、D 使得以A 、B 、C 、D 为顶点的四边形是平行四边形，另外AB=CD综合以上可解：或．故C （3，0）、D （2，3）或C （2，0）、D （3，3）．（2）AC 为对角线时，，另外AC=BD ，得．故C 、D ．（3）AD 为对角线时，，另外AD=BC综合以上可解得：．故C 、D ．【小结】这个方法是在平行四边形基础上多加一个等式而已，剩下的都是计算．A CB D AC BD x x x x y y y y ⎧+=+⎪⎪+=+⎨=14120a bc +=+⎧⎨+=+⎩=323a b c =⎧⎪=⎨⎪=⎩233a b c =⎧⎪=⎨⎪=⎩14102a bc+=+⎧⎨+=+⎩=143531a b c ⎧=⎪⎪⎪=⎨⎪⎪=-⎪⎩14,03⎛⎫ ⎪⎝⎭5,13⎛⎫- ⎪⎝⎭14120b ac +=+⎧⎨+=+⎩=431331a b c ⎧=⎪⎪⎪=⎨⎪⎪=⎪⎩14,03⎛⎫ ⎪⎝⎭13,13⎛⎫⎪⎝⎭【模型实例】1．如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线y＝ax2+bx﹣4交x轴于A（﹣1，0）、B（4，0）两点，交y轴于点C．（1）求该抛物线的表达式；（2）点P为第四象限内抛物线上一点，连接PB，过点C作CQ∥BP交x轴于点Q，连接PQ，求△PBQ面积的最大值及此时点P的坐标；（3）在（2）的条件下，将抛物线y＝ax2+bx﹣4向右平移经过点（，0）时，得到新抛物线y＝a1x2+b1x+c1，点E在新抛物线的对称轴上，在坐标平面内是否存在一点F，使得以A、P、E、F为顶点的四边形为矩形，若存在，请直接写出点F的坐标；若不存在，请说明理由．参考：若点P1（x1，y1）、P2（x2，y2），则线段P1P2的中点P0的坐标为（，）．【解答】解：（1）由题意得：，解得，故抛物线的表达式为y＝x2﹣3x﹣4；（2）由抛物线的表达式知，点C（0，﹣4），设点P的坐标为（m，m2﹣3m﹣4），设直线PB的表达式为y＝kx+t，则，解得，∵CQ∥BP，故设直线CQ的表达式为y＝（m+1）x+p，该直线过点C（0，﹣4），即p＝﹣4，故直线CQ的表达式为y＝（m+1）x﹣4，令y＝（m+1）x﹣4＝0，解得x＝，即点Q的坐标为（，0），则BQ＝4﹣＝，设△PBQ面积为S，则S＝×BQ×（﹣y P）＝﹣××（m2﹣3m﹣4）＝﹣2m2+8m，∵﹣2＜0，故S有最大值，当m＝2时，△PBQ面积为8，此时点P的坐标为（2，﹣6）；（3）存在，理由：将抛物线y＝ax2+bx﹣4向右平移经过点（，0）时，即点A过该点，即抛物线向右平移了+1＝个单位，则函数的对称轴也平移了个单位，即平移后的抛物线的对称轴为直线x＝+＝3，故设点E的坐标为（3，m），设点F（s，t），①当AP是边时，则点A向右平移3个单位向下平移6个单位得到点P，同样点F（E）向右平移3个单位向下平移6个单位得到点E（F）且AE＝PF（AF＝PE），则或，解得或，故点F的坐标为（0，）或（6，﹣4）；②当AP是对角线时，由中点坐标公式和AP＝EF得：，解得或，故点F的坐标为（﹣2，﹣3﹣）或（﹣2，﹣3）；综上，点F的坐标为（0，）或（6，﹣4）或（﹣2，﹣3﹣）或（﹣2，﹣3）．2．如图，直线y＝x﹣3与坐标轴交于A、B两点，抛物线y＝x2+bx+c经过点B，与直线y＝x﹣3交于点E（8，5），且与x轴交于C，D两点．（1）求抛物线的解析式；（2）点P在抛物线上，在坐标平面内是否存在点Q，使得以点P，Q，B，C为顶点的四边形是矩形？若存在，请直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．【解答】解：（1）直线y＝x﹣3与坐标轴交于A、B两点，则A（3，0）B（0，﹣3），把B、E点坐标代入二次函数方程，解得：抛物线的解析式y＝x2﹣x﹣3…①，则：C（6，0）；（2）存在．①当BC为矩形对角线时，矩形BP′CQ′所在的位置如图所示，设：P′（m，n），n＝m2﹣m﹣3…③，P′C所在直线的k1＝，P′B所在的直线k2＝，则：k1•k2＝﹣1…④，③、④联立得：＝0，解得：m＝0或6，这两个点分别和点B、C重合，与题意不符，故：这种情况不存在，舍去．②当BC为矩形一边时，情况一：矩形BCQP所在的位置如图所示，直线BC所在的方程为：y＝x﹣3，则：直线BP的k为﹣2，所在的方程为y＝﹣2x﹣3…⑤，联立①⑤解得点P（﹣4，5），则Q（2，8），情况二：矩形BCP″Q″所在的位置如图所示，此时，P″在抛物线上，其坐标为：（﹣10，32），Q″坐标为（﹣16，29）．故：存在矩形，点Q的坐标为：（2，8）或（﹣16，29）．3．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝﹣x2+•x+（m＞0）与x轴交于A（﹣1，0），B（m，0）两点，与y轴交于点C，连接BC．（1）若OC＝2OA，求抛物线对应的函数表达式；（2）设直线y＝x+b与抛物线交于B，G两点，问是否存在点E（在抛物线上），点F（在抛物线的对称轴上），使得以B，G，E，F为顶点的四边形成为矩形？若存在，求出点E，F的坐标；若不存在，说明理由．【解答】解：（1）∵A的坐标为（﹣1，0），∴OA＝1，∵OC＝2OA，∴OC＝2，∴C的坐标为（0，2），将点C代入抛物线y＝﹣x2+•x+（m＞0），得＝2，即m＝4，∴抛物线对应的函数表达式为y＝﹣x2+x+2；（2）存在，理由如下：∵直线y＝x+b与抛物线交于B（m，0），∴直线BG的解析式为y＝x﹣m①，∵抛物线的表达式为y＝﹣x2+•x+②，联立①②解得，或，∴G的坐标为（﹣2，﹣m﹣1），∵抛物线y＝﹣x2+•x+的对称轴为直线x＝，∴点F的横坐标为，①若BG为边，不妨设E在x轴上方，如图，过点E作EH⊥x轴于H，设E的坐标为（t，﹣t2+•t+），∵∠GBE＝90°，∴∠OBG＝∠BEH，∴tan∠OBG＝tan∠BEH＝＝，∴＝，解得：t＝3或m（舍），∴E的坐标为（3，2m﹣6），由平移性质，得：B的横坐标向左平移m+2个单位得到G的横坐标，∵EF∥BG且EF＝BG，∴E横坐标向左平移m+2个单位，得：到F的横坐标为3﹣（m+2）＝﹣m+1，∴＝﹣m+1，解得m＝1，∴E（3，﹣4），F（0，﹣），这说明E不在x轴上方，而在x轴下方；②若BG为对角线，设BG的中点为M，由中点坐标公式得，，∴M的坐标为（，），∵矩形对角线BG、EF互相平分，∴M也是EF的中点，∴E的横坐标为，∴E的坐标为（，），∵∠BEG＝90°，∴EM＝，∴＝，整理得：16+（m2+4m+1）2＝20（m+2）2，变形得：16+[（m+2）2﹣3]2＝20（m+2）2，换元，令t＝（m+2）2，得：t2﹣26t+25＝0，解得：t＝1或25，∴（m+2）2＝1或25，∵m＞0，∴m＝3，即E的坐标为（0，），F的坐标为（1，﹣4），综上，即E的坐标为（0，），F的坐标为（1，﹣4）或E（3，﹣4），F（0，﹣）．4．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+2x+c（a≠0）与x轴交于点A、B，与y轴交于点C，连接BC，OA＝1，对称轴为直线x＝2，点D为此抛物线的顶点．（1）求抛物线的解析式；（2）点P在抛物线对称轴上，平面内存在点Q，使以点B、C、P、Q为顶点的四边形为矩形，请直接写出点Q的坐标．【解答】解：（1）∵OA＝1，∴A（﹣1，0），又∵对称轴为x＝2，∴B（5，0），将A，B代入解析式得：，解得，∴，自变量x为全体实数；（2）设P（2，y），Q（m，n），由（1）知B（5，0），C（0，），若BC为矩形的对角线，由中点坐标公式得：，解得：，又∵∠BPC＝90°，∴PC2+PB2＝BC2，即：，解得y＝4或y＝﹣，∴n＝或n＝4，∴Q（3，）或Q（3，4），若BP为矩形的对角线，由中点坐标公式得，解得，又∵∠BCP＝90°，BC2+CP2＝BP2，即：，解得y＝，∴Q（7，4），若BQ为矩形的对角线，由中点坐标公式得，解得：，又∵∠BCQ＝90°，∴BC2+CQ2＝BQ2，即：，解得n＝，∴Q（﹣3，﹣），综上，点Q的坐标为（3，）或（3，4），或（7，4）或（﹣3，﹣）．5．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝﹣x2+bx+c交x轴于点A和C（1，0），交y轴于点B（0，3），抛物线的对称轴交x轴于点E，交抛物线于点F．（1）求抛物线的解析式；（2）M为平面直角坐标系中一点，在抛物线上是否存在一点N，使得以A，B，M，N为顶点的四边形为矩形？若存在，请直接写出点N的横坐标；若不存在，请说明理由．【解答】解：（1）把C（1，0），B（0，3）代入y＝﹣x2+bx+c中，得：，∴b＝﹣2，c＝3，∴y＝﹣x2﹣2x+3，（2）存在，∵A（﹣3，0），B（0，3），设N（n，﹣n2﹣2n+3），则AB2＝18，AN2＝（n2+2n﹣3）2+（n+3）2，BN2＝n2+（n2+2n）2，∵以点A，B，M，N为顶点构成的四边形是矩形，∴△ABN是直角三角形，若AB是斜边，则AB2＝AN2+BN2＝（n2+2n﹣3）2+（n+3）2+n2+（n2+2n）2，解得：n1＝，，∴N的横坐标为或，若AN是斜边，则AN2＝AB2+BN2，即（n2+2n﹣3）2+（n+3）2＝18+n2+（n2+2n）2，解得n＝0（与点B重合，舍去）或n＝﹣1，∴N的横坐标是﹣1，若BN是斜边，则BN2＝AB2+AN2，即n2+（n2+2n）2＝18+（n2+2n﹣3）2+（n+3）2，解得n＝﹣3（与点A重合，舍去）或n＝2，∴N的横坐标为2，综上N的横坐标为，，﹣1，2．6．如图，已知点A（﹣1，0），B（3，0），C（0，1）在抛物线y＝ax2+bx+c上．（1）求抛物线的解析式；（2）E在抛物线对称轴上，在平面内是否存在点F，使得以点B，C，E，F为顶点的四边形是矩形？若存在，请写出点F的坐标，若不存在，请说明理由；【解答】解：（1）将点A、B、C的坐标代入抛物线表达式得，解得，故抛物线的表达式为y＝﹣x2+x+1；（2）设点E（1，m）、点F（s，t），当BC为边时，点C向右平移3 个单位向下平移1个单位得到点B，同样E（F）向右平移3 个单位向下平移1个单位得到点F（E），且BE＝CF（CE＝BF），∴或，解得或，当BC为对角线时，由中点公式和BC＝EF得：，解得或，故点F的坐标为（﹣2，﹣5）或（4，3）或（2，﹣1）或（2，2）；7．如图，在平面直角坐标系中，直线y＝﹣x+3交坐标轴于B，C两点，抛物线y＝ax2+bx+3经过B，C两点，且交x 轴于另一点A（﹣1，0）．点D为第一象限内抛物线上一动点，过点D作DQ∥CO，交BC于点P，交x轴于点Q．（1）求抛物线的解析式；（2）在抛物线上取点E，在坐标系内取点F，问是否存在以C，B，E，F为顶点且以CB为边的矩形？如果存在，请直接写出点E的坐标；如果不存在，请说明理由．【解答】解：（1）∵直线y＝﹣x+3交坐标轴于B，C两点，∴点B的坐标为（3，0），点C的坐标为（0，3），∵点A的坐标为（﹣1，0），点B的坐标为（3，0），设抛物线的解析式为y＝a（x﹣3）（x+1）．将C（0，3）代入y＝a（x﹣3）（x+1）．得a＝﹣1，11∴抛物线解析式为y ＝﹣x 2+2x+3．（2）存在，点E 的坐标为（1，4）或（﹣2，﹣5）．若CE ⊥BC ，直线CE 的解析式为：y ＝x+3，∴，∴（舍去），，∴点E 的坐标为：（1，4）．若BE ⊥BC ，直线BE 解析式为：y ＝x ﹣3，∴，∴，，∴点E 的坐标为：（﹣2，﹣5），综上所述，当点E （1，4）或（﹣2，﹣5）时，存在以C ，B ，E ，F 为顶点且以CB为边的矩形．。
专题05 二次函数中特殊平行四边形存在性问题(原卷版)--2023 年中考数学压轴真题汇编
挑战2023年中考数学解答题压轴真题汇编专题05二次函数中特殊平行四边形存在性问题一．平行四边形的存在性1．（2022•重庆）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴交于点A（4，0），与y轴交于点B（0，3）．（1）求抛物线的函数表达式；（2）点P为直线AB上方抛物线上一动点，过点P作PQ⊥x轴于点Q，交AB于点M，求PM+AM的最大值及此时点P的坐标；（3）在（2）的条件下，点P′与点P关于抛物线y＝﹣x2+bx+c的对称轴对称．将抛物线y＝﹣x2+bx+c向右平移，使新抛物线的对称轴l经过点A．点C在新抛物线上，点D在l上，直接写出所有使得以点A、P′、C、D为顶点的四边形是平行四边形的点D的坐标，并把求其中一个点D的坐标的过程写出来．2．（2022•郴州）已知抛物线y＝x2+bx+c与x轴相交于点A（﹣1，0），B（3，0），与y轴相交于点C．（1）求抛物线的表达式；（2）如图1，将直线BC向上平移，得到过原点O的直线MN．点D是直线MN上任意一点．①当点D在抛物线的对称轴l上时，连接CD，与x轴相交于点E，求线段OE的长；②如图2，在抛物线的对称轴l上是否存在点F，使得以B，C，D，F为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出点F与点D的坐标；若不存在，请说明理由．3．（2022•攀枝花）如图，二次函数y＝ax2+bx+c的图象与x轴交于O（O为坐标原点），A两点，且二次函数的最小值为﹣1，点M（1，m）是其对称轴上一点，y轴上一点B（0，1）．（1）求二次函数的表达式；（2）二次函数在第四象限的图象上有一点P，连结PA，PB，设点P的横坐标为t，△PAB的面积为S，求S与t的函数关系式；（3）在二次函数图象上是否存在点N，使得以A、B、M、N为顶点的四边形是平行四边形？若存在，直接写出所有符合条件的点N的坐标，若不存在，请说明理由．4．（2022•内蒙古）如图，抛物线y＝ax2+x+c经过B（3，0），D（﹣2，﹣）两点，与x轴的另一个交点为A，与y轴相交于点C．（1）求抛物线的解析式和点C的坐标；（2）若点M在直线BC上方的抛物线上运动（与点B，C不重合），求使△MBC面积最大时M点的坐标，并求最大面积；（请在图1中探索）（3）设点Q在y轴上，点P在抛物线上，要使以点A，B，P，Q为顶点的四边形是平行四边形，求所有满足条件的点P的坐标．（请在图2中探索）5．（2022•资阳）已知二次函数图象的顶点坐标为A（1，4），且与x轴交于点B （﹣1，0）．（1）求二次函数的表达式；（2）如图，将二次函数图象绕x轴的正半轴上一点P（m，0）旋转180°，此时点A、B的对应点分别为点C、D．①连结AB、BC、CD、DA，当四边形ABCD为矩形时，求m的值；②在①的条件下，若点M是直线x＝m上一点，原二次函数图象上是否存在一点Q，使得以点B、C、M、Q为顶点的四边形为平行四边形，若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．二．矩形的存在性6．（2022•泸州）如图，在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y＝ax2+x+c经过A（﹣2，0），B（0，4）两点，直线x＝3与x轴交于点C．（1）求a，c的值；（2）经过点O的直线分别与线段AB，直线x＝3交于点D，E，且△BDO与△OCE的面积相等，求直线DE的解析式；（3）P是抛物线上位于第一象限的一个动点，在线段OC和直线x＝3上是否分别存在点F，G，使B，F，G，P为顶点的四边形是以BF为一边的矩形？若存在，求出点F的坐标；若不存在，请说明理由．8．（2021•齐齐哈尔）综合与探究如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+2x+c（a≠0）与x轴交于点A、B，与y轴交于点C，连接BC，OA＝1，对称轴为直线x＝2，点D为此抛物线的顶点．（1）求抛物线的解析式；（2）抛物线上C、D两点之间的距离是2；（3）点E是第一象限内抛物线上的动点，连接BE和CE，求△BCE面积的最大值；（4）点P在抛物线对称轴上，平面内存在点Q，使以点B、C、P、Q为顶点的四边形为矩形，请直接写出点Q的坐标．9．（2022•随州）如图1，平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2+bx+c（a＜0）与x轴分别交于点A和点B（1，0），与y轴交于点C，对称轴为直线x＝﹣1，且OA＝OC，P为抛物线上一动点．（1）直接写出抛物线的解析式；（2）如图2，连接AC，当点P在直线AC上方时，求四边形P ABC面积的最大值，并求出此时P点的坐标；（3）设M为抛物线对称轴上一动点，当P，M运动时，在坐标轴上是否存在点N，使四边形PMCN为矩形？若存在，直接写出点P及其对应点N的坐标；若不存在，请说明理由．10．（2023•秦都区校级二模）如图，抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴交于A（﹣1，0）、B两点（点B在点A的右侧），与y轴交于点C，且OC＝3OA，点D为抛物线的对称轴与x轴的交点，连接CD．（1）求抛物线的函数表达式；（2）点F为坐标平面内一点，在第一象限的抛物线上是否存在点E，使得以点C、D、E、F为顶点的四边形是以CD为边的矩形？若存在，请求出符合条件的点E的横坐标；若不存在，请说明理由．7．（2022•元宝区校级二模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx+3（a≠0）与x轴交于点A、B，与y轴交于点C，连接BC，OA＝1，对称轴为直线x＝2，点D为此抛物线的顶点．（1）求抛物线的解析式；（2）抛物线上C、D两点之间的距离是11；（3）点E是第一象限内抛物线上的动点，连接BE和CE，求△BCE面积的最大值；（4）点P在抛物线对称轴上，平面内存在点Q，使以点B、C、P、Q为顶点的四边形为矩形，请直接写出点Q的坐标．8．（2022•鱼峰区模拟）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝x2+bx+c与坐标轴交于A（0，﹣2），B（4，0）两点，直线BC：y＝﹣2x+8交y轴于点C．（1）求该抛物线的解析式；（2）在第二象限内是否存在一点M，使得四边形ABCM为矩形？如果存在，求出点M的坐标；如果不存在，请说明理由．三．菱形的存在性9．（2022•朝阳）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+2x+c与x轴分别交于点A（1，0）和点B，与y轴交于点C（0，﹣3），连接BC．（1）求抛物线的解析式及点B的坐标．（2）如图，点P为线段BC上的一个动点（点P不与点B，C重合），过点P 作y轴的平行线交抛物线于点Q，求线段PQ长度的最大值．（3）动点P以每秒个单位长度的速度在线段BC上由点C向点B运动，同时动点M以每秒1个单位长度的速度在线段BO上由点B向点O运动，在平面内是否存在点N，使得以点P，M，B，N为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出符合条件的点N的坐标；若不存在，请说明理由．10．（2021•湘潭）如图，一次函数y＝x﹣图象与坐标轴交于点A、B，二次函数y＝x2+bx+c图象过A、B两点．（1）求二次函数解析式；（2）点B关于抛物线对称轴的对称点为点C，点P是对称轴上一动点，在抛物线上是否存在点Q，使得以B、C、P、Q为顶点的四边形是菱形？若存在，求出Q点坐标；若不存在，请说明理由．11．（2021•鄂尔多斯）如图，抛物线y＝x2+2x﹣8与x轴交于A，B两点（点A 在点B左侧），与y轴交于点C．（1）求A，B，C三点的坐标；（2）连接AC，直线x＝m（﹣4＜m＜0）与该抛物线交于点E，与AC交于点D，连接OD．当OD⊥AC时，求线段DE的长；（3）点M在y轴上，点N在直线AC上，点P为抛物线对称轴上一点，是否存在点M，使得以C、M、N、P为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由．12．（2021•通辽）如图，抛物线y＝ax2+bx+3交x轴于A（3，0），B（﹣1，0）两点，交y轴于点C，动点P在抛物线的对称轴上．（1）求抛物线的解析式；（2）当以P，B，C为顶点的三角形周长最小时，求点P的坐标及△PBC的周长；（3）若点Q是平面直角坐标系内的任意一点，是否存在点Q，使得以A，C，P，Q为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出所有符合条件的点Q的坐标；若不存在，请说明理由．13．（2021•娄底）如图，在直角坐标系中，二次函数y＝x2+bx+c的图象与x轴相交于点A（﹣1，0）和点B（3，0），与y轴交于点C．（1）求b、c的值；（2）点P（m，n）为抛物线上的动点，过P作x轴的垂线交直线l：y＝x于点Q．①当0＜m＜3时，求当P点到直线l：y＝x的距离最大时m的值；②是否存在m，使得以点O、C、P、Q为顶点的四边形是菱形，若不存在，请说明理由；若存在，请求出m的值．14．（2021•山西）综合与探究如图，抛物线y＝x2+2x﹣6与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，连接AC，BC．（1）求A、B，C三点的坐标并直接写出直线AC，BC的函数表达式．（2）点P是直线AC下方抛物线上的一个动点，过点P作BC的平行线l，交线段AC于点D．①试探究：在直线l上是否存在点E，使得以点D，C，B，E为顶点的四边形为菱形，若存在，求出点E的坐标，若不存在，请说明理由；②设抛物线的对称轴与直线l交于点M，与直线AC交于点N．当S△DMN＝S△AOC时，请直接写出DM的长．15．（2020•阜新）如图，二次函数y＝x2+bx+c的图象交x轴于点A（﹣3，0），B（1，0），交y轴于点C．点P（m，0）是x轴上的一动点，PM⊥x轴，交直线AC于点M，交抛物线于点N．（1）求这个二次函数的表达式；（2）①若点P仅在线段AO上运动，如图，求线段MN的最大值；②若点P在x轴上运动，则在y轴上是否存在点Q，使以M，N，C，Q为顶点的四边形为菱形．若存在，请直接写出所有满足条件的点Q的坐标；若不存在，请说明理由．。
中考二次函数的存在性问题全总结(解析版)
中考二次函数的存在性问题全总结【典例分析】【考点1】二次函数与相似三角形问题【例1】已知抛物线23y ax bx =++与x 轴分别交于(3,0)A -，(1,0)B 两点，与y 轴交于点C ．（1）求抛物线的表达式及顶点D 的坐标； （2）点F 是线段AD 上一个动点． ①如图1，设AF k AD =，当k 为何值时，2CF AD =1. ②如图2，以A ，F ，O 为顶点的三角形是否与ABC ∆相似？若相似，求出点F 的坐标；若不相似，请说明理由．【答案】（1）223y x x =--+，D 的坐标为(1,4)-；（2）①12k =；②以A ，F ，O 为顶点的三角形与ABC ∆相似，F 点的坐标为618,55⎛⎫- ⎪⎝⎭或(2,2)-．【解析】(1)将A 、B 两点的坐标代入二次函数解析式，用待定系数法即求出抛物线对应的函数表达式，可求得顶点D(1,4)-；(2)①由A 、C 、D 三点的坐标求出AC 32=DC 2=，AD 5=，可得ΔACD 为直角三角形，若1CF AD 2=，则点F 为AD 的中点，可求出k 的值； ②由条件可判断DAC OBC ∠∠=，则OAF ACB ∠∠=，若以A ，F ，O 为顶点的三角形与ΔABC 相似，可分两种情况考虑：当AOF ABC ∠∠=或AOF CAB 45∠∠︒==时，可分别求出点F 的坐标． 【详解】(1)抛物线2y ax bx 3=++过点A(3,0)-，B(1,0)，933030a b a b -+=⎧∴⎨++=⎩，解得：12a b =-⎧⎨=-⎩，∴抛物线解析式为2y x 2x 3=--+；()22y x 2x 3x 14=--+=-++， ∴顶点D 的坐标为(1,4)-；(2)①在Rt ΔAOC 中，OA 3=，OC 3=，222AC OA OC 18∴=+=，()D 1,4-，()C 0,3，()A 3,0-，222CD 112∴=+=， 222AD 2420∴=+=，222AC CD AD ∴+=，ΔACD ∴为直角三角形，且ACD 90∠︒=，1CF AD 2=， ∴F 为AD 的中点，AF 1AD 2∴=， 1k 2∴=；②在Rt ΔACD 中，DC 21tan ACD AC 332∠===， 在Rt ΔOBC 中，OB 1tan OCB OC 3∠==， ACD OCB ∠∠∴=， OA OC =，OAC OCA 45∠∠︒∴==，FAO ACB ∠∠∴=，若以A ，F ，O 为顶点的三角形与ΔABC 相似，则可分两种情况考虑： 当AOF ABC ∠∠=时，ΔAOF ΔCBA ∽，OF BC ∴，设直线BC 的解析式为y kx b =+，03k b b +=⎧∴⎨=⎩，解得：33k b =-⎧⎨=⎩，∴直线BC 的解析式为y=3x+3-，∴直线OF 的解析式为y=3x -，设直线AD 的解析式为y=mx+n ，430k b k b -+=⎧∴⎨-+=⎩，解得：26k b =⎧⎨=⎩， ∴直线AD 的解析式为y=2x 6+，263y x y x =+⎧∴⎨=-⎩，解得：65185x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，618F ,55⎛⎫∴- ⎪⎝⎭．当AOF CAB 45∠∠︒==时，ΔAOF ΔCAB ∽，CAB 45∠︒=， OF AC ∴⊥，∴直线OF 的解析式为y=x -，26y x y x =-⎧∴⎨=+⎩，解得：22x y =-⎧⎨=⎩， ()F 2,2∴-，综合以上可得F 点的坐标为618,55⎛⎫- ⎪⎝⎭或(2,2)-． 【点睛】本题考查了二次函数的综合题：熟练掌握二次函数图象上点的坐标特征、相似三角形的判定与性质和直角三角形的性质；会利用待定系数法求函数解析式；理解坐标与图形性质；会运用分类讨论的思想解决数学问题．【变式1-1】如图，抛物线2y 2ax x c =++经过(1,0)A -，B 两点，且与y 轴交于点(0,3)C ，抛物线与直线1y x =--交于A ，E 两点． （1）求抛物线的解析式；（2）坐标轴上是否存在一点Q ，使得AQE ∆是以AE 为底边的等腰三角形？若存在，请直接写出点Q 的坐标；若不存在，说明理由．（3）P 点在x 轴上且位于点B 的左侧，若以P ，B ，C 为顶点的三角形与ABE ∆相似，求点P 的坐标．【答案】（1）2y x 2x 3=-++；（2）存在，()40Q ，或()04-，，理由见解析；（3）3p 05⎛⎫ ⎪⎝⎭，或9p 02⎛⎫- ⎪⎝⎭，． 【解析】（1）将A 、C 的坐标代入2y 2ax x c =++求出a 、c 即可得到解析式；（2）先求出E 点坐标，然后作AE 的垂直平分线，与x 轴交于Q ，与y 轴交于Q'，根据垂直平分线的性质可知Q 、与A 、E ，Q'与A 、E 组成的三角形是以AE 为底边的等腰三角形，设Q 点坐标(0,x)，Q'坐标(0,y)，根据距离公式建立方程求解即可；（3）根据A 、E 坐标，求出AE 长度，然后推出∠BAE=∠ABC=45°，设()p 0m ，，由相似得到PB ABBC AE=或PB AEBC AB=，建立方程求解即可．【详解】（1）将(1,0)A -，(0,3)C 代入2y 2ax x c =++得：203a c c -+=⎧⎨=⎩，解得13a c =-⎧⎨=⎩ ∴抛物线解析式为2y 23=-++x x （2）存在，理由如下：联立y 1x =--和2y x 2x 3=-++，2y 123x y x x =--⎧⎨=-++⎩，解得10x y =-⎧⎨=⎩或45x y =⎧⎨=-⎩∴E 点坐标为(4,-5)，如图，作AE 的垂直平分线，与x 轴交于Q ，与y 轴交于Q'，此时Q 点与Q'点的坐标即为所求， 设Q 点坐标(0,x)，Q'坐标(0,y)， 由QA=QE ，Q'A= Q'E 得：()()()221405--=-++x x ()()()()2222010045++-=-++y y 解得4x =，4y =故Q 点坐标为()40，或()04-， （3）∵(1,0)A -，()45E -，∴()22145=52=--+AE当2230x x -++=时，解得1x =-或3 ∴B 点坐标为(3,0)， ∴3OB OC ==∴45ABC ∠=︒，4AB =，32BC =，由直线1y x =--可得AE 与y 轴的交点为(0,-1)，而A 点坐标为(-1,0) ∴∠BAE=45°设()p 0m ，则3m BP =-， ∵PBC ∆和ABE ∆相似 ∴PB AB BC AE =或PB AE BC AB =，即343252m -=或352432m -=解得35m =或92m =-， ∴3p 05⎛⎫ ⎪⎝⎭，或9p 02⎛⎫- ⎪⎝⎭，． 【点睛】本题考查二次函数的综合问题，是中考常见的压轴题型，熟练掌握待定系数法求函数解析式，等腰三角形的性质，以及相似三角形的性质是解题的关键．【变式1-2】如图，已知抛物线1(2)()y x x m m=-+-(m ＞0)与x 轴相交于点A ，B ，与y 轴相交于点C ，且点A 在点B 的左侧.（1）若抛物线过点（2，2），求抛物线的解析式；（2）在（1）的条件下，抛物线的对称轴上是否存在一点H ，使AH+CH 的值最小，若存在，求出点H 的坐标；若不存在，请说明理由；（3）在第四象限内，抛物线上是否存在点M ，使得以点A ，B ，M 为顶点的三角形与△ACB 相似？若存在，求出m 的值；若不存在，请说明理由.【答案】（1）211242y x x =-++；（2）点H 的坐标为（1，32）；（3）当m=222+时，在第四象限内抛物线上存在点M ，使得以点A ，B ，M 为顶点的三角形与△ACB 相似. 【解析】 分析：（1）把点（2，2）代入1(2)()?(0)y x x m m m=-+->中，解出m 的值即可得到抛物线的解析式； （2）由（1）中所得解析式求出点A 、B 、C 的坐标，由题意可知，点A 、B 关于抛物线的对称轴对称，这样连接BC 与对称轴的交点即为所求的点H ，根据B 、C 的坐标求出直线BC 的解析式即可求得点H 的坐标；（3）由解析式1(2)()?(0)y x x m m m=-+->可得点A 、B 、C 的坐标分别为（-2，0）、（m ，0）和（0，2），如下图，由图可知∠ACB 和∠ABM 是钝角，因此存在两种可能性：①当△ACB ∽△ABM ，②△ACB ∽△MBA ，分这两种情况结合题中已知条件进行分析解答即可. 详解：（1）把点（2，2）代入抛物线， 得2=()()1222m m-+-. 解得m=4.∴抛物线的解析式为()()2111y x 2x 4x x 2442=-+-=-++. （2）令211y x x 2042=-++=，解得12x 2x 4=-=，. 则A （-2，0），B （4，0）.对称轴x=-121124=⎛⎫⨯- ⎪⎝⎭. ∵ 211y x x 242=-++中当x=0时，y=2，∴点C 的坐标为（0，2）.∵点A 和点B 关于抛物线的对称轴对称，∴连接BC 与对称轴的交点即为点H ，此时AH+CH 的值最小， 设直线BC 的解析式为y=kx+b ，把B （4，0），C （0，2）代入得：402k b b +=⎧⎨=⎩ ，解得：122k b ⎧=-⎪⎨⎪=⎩ ，∴直线BC 的解析式为y=1x 22-+. ∵当x=1时，y=1122-⨯+=32.∴点H 的坐标为（1，32）.（3）假设存在点M ，使得以点A ，B ，M 为顶点的三角形与△ACB 相似. 如下图，连接AC ，BC ，AM ，BM ，过点M 作MN ⊥x 轴于点N ，由图易知，∠ACB 和∠ABM 为钝角， ①当△ACB ∽△ABM 时，有AC AB =ABAM，即2AB AC?AM =. ∵A （-2，0），C （0，2），即OA=OC=2， ∴∠CAB=∠BAM=o 45.∵MN ⊥x 轴，∴∠BAM=∠AMN=45°， ∴AN=MN.∴可设M 的坐标为：（x ，-x-2）（x ＞0）， 把点M 的坐标代入抛物线的解析式，得：-x-2=()()1x 2x m m-+-. 化简整理得：x=2m ，∴点M 的坐标为：（2m ，-2m-2）. ∴()())222m 22m 222m 1++--=+.∵2AB AC?AM =，AC=22AB=m+2， ∴())2m 22222m 1+=+. 解得：m=222±. ∵m ＞0， ∴m=222+.②当△ACB ∽△MBA 时，有AB MA =CBBA，即2AB CB?MA =. ∵∠CBA=∠BAM ，∠ANM=∠BOC=o 90， ∴△ANM ∽△BOC ，∴MN AN =COBO. ∵BO=m ，设ON=x ， ∴2MN x +=2m ，即MN=2m（x+2）.令M （x ，()2x 2m-+）（x ＞0）， 把M 点的坐标代入抛物线的解析式，得()2x 2m -+=()()1x 2x m m-+-.解得x=m+2.即M （m+2，()2m 4m-+）.∵2AB CB?MA =，CB=2m 4AN m 4+=+，，MN=()2m 4m+， ∴()()()222224m 4m 2m 4?m 4m ++=+++. 化简整理，得16=0，显然不成立.综上所述，当m=222+时，在第四象限内抛物线上存在点M ，使得以点A ，B ，M 为顶点的三角形与△ACB 相似.点睛：本题是一道二次函数和几何图形综合的题目，解题的要点有以下两点：（1）“知道点A 、B 是关于抛物线的对称轴对称的，连接BC 与对称轴的交点即为所求的点H”是解答第2小题的关键；（2）“能根据题意画出符合要求的图形，知道∠ACB 和∠ABM 为钝角，结合题意得到存在：①当△ACB ∽△ABM ，②△ACB ∽△MBA 这两种可能情况”是解答第3小题的关键. 【考点2】二次函数与直角三角形问题【例2】如图，抛物线()20y ax bx c a =++≠的顶点坐标为()2,1-，图象与y 轴交于点()0,3C ，与x 轴交于A 、B 两点．()1求抛物线的解析式；()2设抛物线对称轴与直线BC 交于点D ，连接AC 、AD ，求ACD 的面积；()3点E 为直线BC 上的任意一点，过点E 作x 轴的垂线与抛物线交于点F ，问是否存在点E 使DEF 为直角三角形？若存在，求出点E 坐标，若不存在，请说明理由．【答案】(1)22(2)143y x x x =--=-+ ;(2)2;(3)见解析. 【解析】（1）可设抛物线解析式为顶点式，把C 点坐标代入可求得抛物线解析式；（2）由抛物线解析式可求得A 、B 坐标，利用待定系数法可求得直线BC 解析式，利用对称轴可求得D 点坐标，则可求得AD 2、AC 2和CD 2，利用勾股定理的逆定理可判定△ACD 为直角三角形，则可求得其面积； （3）根据题意可分∠DFE=90°和∠EDF=90°两种情况，当∠DFE=90°时，可知DF ∥x 轴，则可求得E 点纵坐标，代入抛物线解析式可求得E 点坐标；当∠EDF=90°时，可求得直线AD 解析式，联立直线AC 和抛物线解析式可求得点E 的横坐标，代入直线BC 可求得点E 的坐标． 【详解】解：()1∵抛物线的顶点坐标为()2,1-， ∴可设抛物线解析式为()2(2)10y a x a =--≠，把()0,3C 代入可得2(02)13a --=，解得1a =，∴抛物线解析式为22(2)143y x x x =--=-+；()2在243y x x =-+中，令0y =可得2430x x -+=，解得1x =或3x =，∴()1,0A ，()3,0B ，设直线BC 解析式为3y kx =+，把()3,0B 代入得：330k +=，解得1k =-， ∴直线BC 解析式为3y x =-+，由()1可知抛物线的对称轴为2x =，此时231y =-+=， ∴()2,1D ，∴22AD =，210AC =，28CD =， ∵222AD CD AC +=，∴ACD 是以AC 为斜边的直角三角形， ∴11222222ACDSAD CD =⋅==； ()3由题意知//EF y 轴，则90FED OCB ∠=∠≠，∴DEF 为直角三角形，分90DFE ∠=和90EDF ∠=两种情况， ①当90DFE ∠=时，即//DF x 轴，则D 、F 的纵坐标相同， ∴F 点纵坐标为1，∵点F 在抛物线上，∴2431x x -+=，解得22x =E 的横坐标为22 ∵点E 在直线BC 上，∴当22x =312y x =-+=-22x =-312y x =-+=+ ∴E 点坐标为(22,12或(22,12-； ②当90EDF ∠=时， ∵()1,0A ，()2,1D ， ∴直线AD 解析式为1y x =-， ∵直线BC 解析式为3y x =-+， ∴AD BC ⊥，∴直线AD 与抛物线的交点即为E 点，联立直线AD 与抛物线解析式有2431x x x -+=-，解得1x =或4x =， 当1x =时，32y x =-+=，当4x =时，31y x =-+=-， ∴E 点坐标为()1,2或()4,1-，综上可知存在满足条件的点E ，其坐标为(22,12或(22,12+或()1,2或()4,1-． 【点睛】考查了待定系数法求函数解析式，利用已知的顶点坐标，列出方程组，可以求出函数解析式.【变式2-1】如图，经过x 轴上(10)(30)A B -，，，两点的抛物线2(1)4y m x m =--（0m <）交y 轴于点C ，设抛物线的顶点为D ，若以DB 为直径的⊙G 经过点C ，求解下列问题：（1）用含m 的代数式表示出C D ，的坐标； （2）求抛物线的解析式；（3）能否在抛物线上找到一点Q ，使BDQ △为直角三角形？如能，求出Q 点的坐标，若不能，请说明理由。
二次函数中的存在性问题(含答案解析)(完整资料).doc
【最新整理，下载后即可编辑】2018年8月4日初中数学试卷一、综合题（共9题；共135分）1.如图所示，抛物线y=ax2+bx+c的顶点为M（﹣2，﹣4），与x轴交于A、B 两点，且A（﹣6，0），与y轴交于点C．（1）求抛物线的函数解析式；（2）求△ABC的面积；（3）能否在抛物线第三象限的图象上找到一点P，使△APC的面积最大？若能，请求出点P的坐标；若不能，请说明理由．2.（2017•乌鲁木齐）如图，抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）与直线y=x+1相交于A （﹣1，0），B（4，m）两点，且抛物线经过点C（5，0）．（1）求抛物线的解析式；（2）点P是抛物线上的一个动点（不与点A、点B重合），过点P作直线PD⊥x轴于点D，交直线AB于点E．①当PE=2ED时，求P点坐标；②是否存在点P使△BEC为等腰三角形？若存在请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．3.（2017•赤峰）如图，二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象交x轴于A、B两点，交y轴于点D，点B的坐标为（3，0），顶点C的坐标为（1，4）．（1）求二次函数的解析式和直线BD的解析式；（2）点P是直线BD上的一个动点，过点P作x轴的垂线，交抛物线于点M，当点P在第一象限时，求线段PM长度的最大值；（3）在抛物线上是否存在异于B、D的点Q，使△BDQ中BD边上的高为2 √2？若存在求出点Q的坐标；若不存在请说明理由．4.（2017•广元）如图，已知抛物线y=ax2+bx+c过点A（﹣3，0），B（﹣2，3），C（0，3），其顶点为D．（1）求抛物线的解析式；（2）设点M（1，m），当MB+MD的值最小时，求m的值；（3）若P是抛物线上位于直线AC上方的一个动点，求△APC的面积的最大值；（4）若抛物线的对称轴与直线AC相交于点N，E为直线AC上任意一点，过点E作EF∥ND交抛物线于点F，以N，D，E，F为顶点的四边形能否为平行四边形？若能，求点E的坐标；若不能，请说明理由．5.（2017•巴中）如图，已知两直线l1，l2分别经过点A（1，0），点B（﹣3，0），且两条直线相交于y轴的正半轴上的点C，当点C的坐标为（0，√3）时，恰好有l1⊥l2，经过点A，B，C的抛物线的对称轴与l1、l2、x轴分别交于点G、E、F，D为抛物线的顶点．（1）求抛物线的函数解析式；（2）试说明DG与DE的数量关系？并说明理由；（3）若直线l2绕点C旋转时，与抛物线的另一个交点为M，当△MCG为等腰三角形时，请直接写出点M的坐标．6.如图，已知抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的对称轴为直线x=﹣1，且抛物线经过A（1，0），C（0，3）两点，与x轴交于点B．（1）若直线y=mx+n经过B、C两点，求直线BC和抛物线的解析式；（2）在抛物线的对称轴x=﹣1上找一点M，使点M到点A的距离与到点C的距离之和最小，求出点M的坐标；（3）设点P为抛物线的对称轴x=﹣1上的一个动点，求使△BPC为直角三角形的点P的坐标．7.如图，抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）与x轴相交于A（﹣1，0），B（3，0），与y轴交于点C（0，3）．（1）求抛物线的解析式；（2）连接BC，点P为抛物线上第一象限内一动点，当△BCP面积最大时，求点P的坐标；（3）设点D是抛物线的对称轴上的一点，在抛物线上是否存在点Q，使以点B，C，D，Q为顶点的四边形为平行四边形？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，说明理由．8.（2017•临沂）如图，抛物线y=ax2+bx﹣3经过点A（2，﹣3），与x轴负半轴交于点B，与y轴交于点C，且OC=3OB．（1）求抛物线的解析式；（2）点D在y轴上，且∠BDO=∠BAC，求点D的坐标；（3）点M在抛物线上，点N在抛物线的对称轴上，是否存在以点A，B，M，N为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出所有符合条件的点M的坐标；若不存在，请说明理由．答案解析部分一、综合题1.【答案】（1）解：设此函数的解析式为y=a（x+h）2+k，∵函数图象顶点为M（﹣2，﹣4），∴y=a（x+2）2﹣4，又∵函数图象经过点A（﹣6，0），∴0=a（﹣6+2）2﹣4解得a= 14，∴此函数的解析式为y= 14（x+2）2﹣4，即y= 14x2+x﹣3；（2）解：∵点C是函数y= 14x2+x﹣3的图象与y轴的交点，∴点C的坐标是（0，﹣3），又当y=0时，有y= 14x2+x﹣3=0，解得x1=﹣6，x2=2，∴点B的坐标是（2，0），则S△ABC= 12|AB|•|OC|= 12×8×3=12；（3）解：假设存在这样的点，过点P作PE⊥x轴于点E，交AC于点F．设E（x，0），则P（x，14x2+x﹣3），设直线AC的解析式为y=kx+b，∵直线AC过点A（﹣6，0），C（0，﹣3），∴ {−6k+k=0−3=k ，解得{k=−12k=−3，∴直线AC的解析式为y=﹣12x﹣3，∴点F的坐标为F（x，﹣12x﹣3），则|PF|=﹣ 12 x ﹣3﹣（ 14x 2+x ﹣3）=﹣ 14 x 2﹣ 32x ， ∴S △APC =S △APF +S △CPF= 12 |PF|•|AE|+ 12 |PF|•|OE| =12|PF|•|OA|= 12（﹣ 14 x 2﹣ 32x ）×6=﹣ 34 x 2﹣ 92x=﹣ 34（x+3）2+274，∴当x=﹣3时，S △APC 有最大值 274 ， 此时点P 的坐标是P （﹣3，﹣ 154）．【考点】二次函数的应用【解析】【分析】（1）根据顶点坐标公式即可求得a 、b 、c 的值，即可解题；（2）易求得点B 、C 的坐标，即可求得OC 的长，即可求得△ABC 的面积，即可解题；（3）作PE⊥x 轴于点E ，交AC 于点F ，可将△APC 的面积转化为△AFP 和△CFP 的面积之和，而这两个三角形有共同的底PF ，这一个底上的高的和又恰好是A 、C 两点间的距离，因此若设设E （x ，0），则可用x 来表示△APC 的面积，得到关于x 的一个二次函数，求得该二次函数最大值，即可解题．2.【答案】（1）解：∵点B （4，m ）在直线y=x+1上， ∴m=4+1=5， ∴B（4，5），把A 、B 、C 三点坐标代入抛物线解析式可得 {k −k +k =016k +4k +k =525k +5k +k =0，解得{k =−1k =4k =5， ∴抛物线解析式为y=﹣x 2+4x+5（2）解：①设P （x ，﹣x 2+4x+5），则E （x ，x+1），D （x ，0）， 则PE=|﹣x 2+4x+5﹣（x+1）|=|﹣x 2+3x+4|，DE=|x+1|， ∵PE=2ED，∴|﹣x 2+3x+4|=2|x+1|，当﹣x 2+3x+4=2（x+1）时，解得x=﹣1或x=2，但当x=﹣1时，P 与A 重合不合题意，舍去，∴P（2，9）；当﹣x2+3x+4=﹣2（x+1）时，解得x=﹣1或x=6，但当x=﹣1时，P与A重合不合题意，舍去，∴P（6，﹣7）；综上可知P点坐标为（2，9）或（6，﹣7）；②设P（x，﹣x2+4x+5），则E（x，x+1），且B（4，5），C（5，0），∴BE= √(k−4)2+(k+1−5)2= √2|x﹣4|，CE= √(k−5)2+(k+1)2 = √2k2−8k+26，BC= √(4−5)2+(5−0)2= √26，当△BEC为等腰三角形时，则有BE=CE、BE=BC或CE=BC三种情况，当BE=CE时，则√2|x﹣4|= √2k2−8k+26，解得x= 34，此时P点坐标为（34，11916）；当BE=BC时，则√2|x﹣4|= √26，解得x=4+ √13或x=4﹣√13，此时P 点坐标为（4+ √13，﹣4 √13﹣8）或（4﹣√13，4 √13﹣8）；当CE=BC时，则√2k2−8k+26= √26，解得x=0或x=4，当x=4时E点与B点重合，不合题意，舍去，此时P点坐标为（0，5）；综上可知存在满足条件的点P，其坐标为（34，11916）或（4+ √13，﹣4 √13﹣8）或（4﹣√13，4 √13﹣8）或（0，5）【考点】二次函数的应用，与二次函数有关的动态几何问题【解析】【分析】（1）由直线解析式可求得B点坐标，由A、B、C三点的坐标，利用待定系数法可求得抛物线解析式；（2）①可设出P点坐标，则可表示出E、D的坐标，从而可表示出PE和ED的长，由条件可知到关于P点坐标的方程，则可求得P点坐标；②由E、B、C三点坐标可表示出BE、CE和BC的长，由等腰三角形的性质可得到关于E点坐标的方程，可求得E点坐标，则可求得P点坐标．3.【答案】（1）解：∵抛物线的顶点C的坐标为（1，4），∴可设抛物线解析式为y=a（x﹣1）2+4，∵点B（3，0）在该抛物线的图象上，∴0=a（3﹣1）2+4，解得a=﹣1，∴抛物线解析式为y=﹣（x﹣1）2+4，即y=﹣x2+2x+3，∵点D在y轴上，令x=0可得y=3，∴D点坐标为（0，3），∴可设直线BD解析式为y=kx+3，把B点坐标代入可得3k+3=0，解得k=﹣1，∴直线BD解析式为y=﹣x+3（2）解：设P点横坐标为m（m＞0），则P（m，﹣m+3），M（m，﹣m2+2m+3），∴PM=﹣m2+2m+3﹣（﹣m+3）=﹣m2+3m=﹣（m﹣32）2+ 94，∴当m= 32时，PM有最大值94（3）解：如图，过Q作QG∥y轴交BD于点G，交x轴于点E，作QH⊥BD 于H，设Q（x，﹣x2+2x+3），则G（x，﹣x+3），∴QG=|﹣x2+2x+3﹣（﹣x+3）|=|﹣x2+3x|，∵△BOD是等腰直角三角形，∴∠DBO=45°，∴∠HGQ=∠BGE=45°，当△BDQ中BD边上的高为2 √2时，即QH=HG=2 √2，∴QG= √2×2 √2=4，∴|﹣x2+3x|=4，当﹣x2+3x=4时，△=9﹣16＜0，方程无实数根，当﹣x2+3x=﹣4时，解得x=﹣1或x=4，∴Q（﹣1，0）或（4，﹣5），综上可知存在满足条件的点Q ，其坐标为（﹣1，0）或（4，﹣5） 【考点】二次函数的应用，与二次函数有关的动态几何问题【解析】【分析】（1）可设抛物线解析式为顶点式，由B 点坐标可求得抛物线的解析式，则可求得D 点坐标，利用待定系数法可求得直线BD 解析式；（2）设出P 点坐标，从而可表示出PM 的长度，利用二次函数的性质可求得其最大值；（3）过Q 作QG∥y 轴，交BD 于点G ，过Q 和QH⊥BD 于H ，可设出Q 点坐标，表示出QG 的长度，由条件可证得△DHG 为等腰直角三角形，则可得到关于Q 点坐标的方程，可求得Q 点坐标．4.【答案】（1）解：将A ，B ，C 点的坐标代入解析式，得 {9k −3k +k =04k −2k +k =3k =3 ，解得 {k =−1k =−2k =3，抛物线的解析式为y=﹣x 2﹣2x+3（2）解：配方，得y=﹣（x+1）2+4，顶点D 的坐标为（﹣1，4） 作B 点关于直线x=1的对称点B′，如图1，则B′（4，3），由（1）得D （﹣1，4）， 可求出直线DB′的函数关系式为y=﹣ 15 x+ 195， 当M （1，m ）在直线DN′上时，MN+MD 的值最小， 则m=﹣ 15 ×1+ 195 = 185．（3）解：作PE⊥x 轴交AC 于E 点，如图2，AC的解析式为y=x+3，设P（m，﹣m2﹣2m+3），E（m，m+3），PE=﹣m2﹣2m+3﹣（m+3）=﹣m2﹣3mS△APC= 12PE•|x A|= 12（﹣m2﹣3m）×3=﹣32（m+ 32）2+ 278，当m=﹣32时，△APC的面积的最大值是278（4）解：由（1）、（2）得D（﹣1，4），N（﹣1，2）点E在直线AC上，设E（x，x+3），①当点E在线段AC上时，点F在点E上方，则F（x，﹣x2﹣2x+3），∵EF=DN∴﹣x2﹣2x+3﹣（x+3）=4﹣2=2，解得，x=﹣2或x=﹣1（舍去），则点E的坐标为：（﹣2，1）．②当点E在线段AC（或CA）延长线上时，点F在点E下方，则F（x，﹣x2﹣2x+3），∵EF=DN，∴（x+3）﹣（﹣x2﹣2x+3）=2，解得x= −3+√172或x= −3−√172，即点E的坐标为：（−3+√172，3+√172）或（−3−√172，3−√172）综上可得满足条件的点E为E（﹣2，1）或：（−3+√172，3+√172）或（−3−√172，3−√172）【考点】二次函数的性质，待定系数法求二次函数解析式，二次函数的应用，三角形的面积，轴对称-最短路线问题【解析】【分析】（1）根据待定系数法，可得答案.（2）利用轴对称求最短路径的知识，找到B点关于直线x=1的对称点B′，连接B′D，B′D与直线x=1的交点即是点M的位置，继而求出m的值.（3）根据平行于y轴的直线上两点间的距离最大的纵坐标减去较小的纵坐标，可得PE的长，根据三角形的面积，可得二次函数，根据二次函数的性质，可得答案.（4）设出点E的坐标，分情况讨论；①当点E再线段AC上时，点F在点E上方；②当点E再线段AC（或CA）延长线上时，点F在点E下方，根据平行四边形的性质，可得关于x的方程，继而求出点E的坐标.5.【答案】（1）解：设抛物线的函数解析式为y=ax2+bx+c．∵点A（1，0），点B（﹣3，0），点C（0，√3）在抛物线上，∴ {k+k+k=09k−3k+k=0k=√3，解得{k=−√33k=−2√33k=√3，∴抛物线的函数解析式为y=﹣√33x2﹣2√33x+ √3（2）解：DG=DE．理由如下：设直线l1的解析式为y=k1x+b1，将A（1，0），C（0，√3）代入，解得y=﹣√3x+ √3；设直线l2的解析式为y=k2x+b2，将B（﹣3，0），C（0，√3）代入，解得y= √33x+ √3；∵抛物线与x轴的交点为A（1，0），B（﹣3，0），∴抛物线的对称轴为直线x=﹣1，又∵点G、D、E均在对称轴上，∴G（﹣1，2 √3），D（﹣1，4√33），E（﹣1，2√33），∴DG=2 √3﹣4√33= 2√33，DE= 4√33﹣2√33= 2√33，∴DG=DE；（3）解：若直线l2绕点C旋转时，与抛物线的另一个交点为M，当△MCG为等腰三角形时，分三种情况：①以G为圆心，GC为半径画弧交抛物线于点M1、C，点M1与C关于抛物线的对称轴对称，则M1的坐标为（﹣2，√3）；②以C为圆心，GC为半径画弧交抛物线于点M2、M3，点M2与点A重合，点A、C、G在一条直线上，不能构成三角形，M3与M1重合；③作线段GC的垂直平分线，交抛物线于点M4、M5，点M4与点D重合，点D的坐标为（﹣1，4√33），M5与M1重合；综上所述，满足条件的点M只有两个，其坐标分别为（﹣2，√3），（﹣1，4√33）．【考点】待定系数法求一次函数解析式，二次函数的性质，待定系数法求二次函数解析式，二次函数的应用，与二次函数有关的动态几何问题【解析】【分析】（1）设抛物线的函数解析式为y=ax2+bx+c．分别将A（1，0），B（﹣3，0），C（0，√3）三点坐标代入得到一个三元一次方程组，解之即可得到抛物线解析式.（2）DG=DE．分别求出过A（1，0），C（0，3 ）两点的直线l1的解析式为y=﹣√3x+ √3；过B（﹣3，0），C（0，3 ）两点的直线l2的解析式为y= √33x+ √3；由二次函数的性质和已知条件求出DG和DE的长度即可.（3）若直线l2绕点C旋转时，与抛物线的另一个交点为M，当△MCG为等腰三角形时，分三种情况：①以G为圆心，GC为半径画弧交抛物线于点M1（﹣2，√3）；②以C为圆心，GC为半径画弧交抛物线于点M2、M3，；③作线段GC的垂直平分线，交抛物线于点M4、M5.6.【答案】（1）解：依题意得： {−k2k=−1k +k +k =0k =3，解之得： {k =−1k =−2k =3∴抛物线解析式为y=-x 2-2x+3∵对称轴为x=-1，且抛物线经过A （1，0）， ∴把B （-3，0）、C （0，3）分别代入直线y=mx+n ，得 {−3k +k =0k =3， 解之得： {k =1k =3，∴直线y=mx+n 的解析式为y=x+3（2）解：设直线BC 与对称轴x=-1的交点为M ，则此时MA+MC 的值最小． 把x=-1代入直线y=x+3得，y=2， ∴M（-1，2），即当点M 到点A 的距离与到点C 的距离之和最小时M 的坐标为（-1，2） （3）解：如图：设P （-1，t ），又∵B（-3，0），C （0，3），∴BC 2=18，PB 2=（-1+3）2+t 2=4+t 2 ， PC 2=（-1）2+（t-3）2=t 2-6t+10， ①若点B 为直角顶点，则BC 2+PB 2=PC 2 即：18+4+t 2=t 2-6t+10解之得：t=-2； ②若点C 为直角顶点，则BC 2+PC 2=PB 2即：18+t 2-6t+10=4+t 2解之得：t=4， ③若点P 为直角顶点，则PB 2+PC 2=BC 2即：4+t 2+t 2-6t+10=18解之得：t 1= 3+√172，t 2= 3−√172；综上所述P 的坐标为（-1，-2）或（-1，4）或（-1， 3+√172） 或（-1，3−√172）．【考点】二次函数的应用，二次函数的实际应用-动态几何问题【解析】【分析】先把点A ，C 的坐标分别代入抛物线解析式得到a 和b ，c 的关系式，再根据抛物线的对称轴方程可得a 和b 的关系，再联立得到方程组，解方程组，求出a ，b ，c 的值即可得到抛物线解析式；把B 、C 两点的坐标代入直线y=mx+n ，解方程组求出m 和n 的值即可得到直线解析式；设直线BC 与对称轴x=-1的交点为M ，则此时MA+MC 的值最小．把x=-1代入直线y=x+3得y 的值，即可求出点M 坐标；设P （-1，t ），又因为B （-3，0），C （0，3），所以可得BC 2=18，PB 2=（-1+3）2+t 2=4+t 2 ， PC 2=（-1）2+（t-3）2=t 2-6t+10，再分三种情况分别讨论求出符合题意t 值即可求出点P 的坐标．7.【答案】（1）解：设抛物线解析式为y=a （x+1）（x ﹣3）， 把C （0，3）代入得a•1•（﹣3）=3，解得a=﹣1，所以抛物线解析式为y=﹣（x+1）（x ﹣3），即y=﹣x 2+2x+3 （2）解：设直线BC 的解析式为y=kx+m ，把B （3，0），C （0，3）代入得 {3k +k =0k =3 ，解得 {k =−1k =3，所以直线BC 的解析式为y=﹣x+3， 作PM∥y 轴交BC 于M ，如图1，设P （x ，﹣x 2+2x+3），（0＜x ＜3），则M （x ，﹣x+3），∴PM=﹣x2+2x+3﹣（﹣x+3）=﹣x2+3x，∴S△PCB= 12•3•PM=﹣32x2+ 92=﹣32（x﹣32）2+ 278，当x= 32时，△BCP的面积最大，此时P点坐标为（32，154）（3）解：如图2，抛物线的对称轴为直线x=1，当四边形BCDQ为平行四边形，设D（1，a），则Q（4，a﹣3），把Q（4，a﹣3）代入y=﹣x2+2x+3得a﹣3=﹣16+8+3，解得a=﹣2，∴Q（4，﹣5）；当四边形BCQD为平行四边形时，设D（1，a），则Q（﹣2，3+a），把Q（﹣2，3+a）代入y=﹣x2+2x+3得3+a=﹣4﹣4+3，解得a=﹣8，∴Q（﹣2，﹣5）；当四边形BQCD为平行四边形时，设D（1，a），则Q（2，3﹣a），把Q（2，3﹣a）代入y=﹣x2+2x+3得3﹣a=﹣4+4+3，解得a=0，∴Q（2，3），综上所述，满足条件的Q点坐标为（4，﹣5）或（﹣2，﹣5）或（2，3）．【考点】二次函数的应用，与二次函数有关的动态几何问题【解析】【分析】（1）设交点式y=a（x+1）（x﹣3），然后把C点坐标代入求出a的值即可得到抛物线的解析式；（2）先利用待定系数法求出直线BC的解析式为y=﹣x+3，作PM∥y轴交BC于M，如图1，设P（x，﹣x2+2x+3），（0＜x＜3），则M（x，﹣x+3），利用三角形面积公式得到∴S△PCB= 12•3•PM=﹣32x2+ 92，然后根据二次函数的性质求解；（3）如图2，分类讨论：当四边形BCDQ为平行四边形，设D（1，a），利用点平移的坐标规律得到Q （4，a﹣3），然后把Q（4，a﹣3）代入y=﹣x2+2x+3中求出a即可得到Q点坐标；当四边形BCQD为平行四边形或四边形BQCD为平行四边形时，利用同样方法可求出对应Q点坐标．8.【答案】（1）解：由y=ax2+bx﹣3得C（0．﹣3），∴OC=3，∵OC=3OB，∴OB=1，∴B（﹣1，0），把A（2，﹣3），B（﹣1，0）代入y=ax2+bx﹣3得{4k+2k−3=−3k−k−3=0，∴ {k=1k=−2，∴抛物线的解析式为y=x2﹣2x﹣3（2）解：设连接AC，作BF⊥AC交AC的延长线于F，∵A（2，﹣3），C（0，﹣3），∴AF∥x轴，∴F（﹣1，﹣3），∴BF=3，AF=3，∴∠BAC=45°，设D（0，m），则OD=|m|，∵∠BDO=∠BAC，∴∠BDO=45°，∴OD=OB=1，∴|m|=1，∴m=±1，∴D1（0，1），D2（0，﹣1）（3）解：设M（a，a2﹣2a﹣3），N（1，n），①以AB为边，则AB∥MN，AB=MN，如图2，过M作ME⊥对称轴y于E，AF⊥x轴于F，则△ABF≌△NME，∴NE=AF=3，ME=BF=3，∴|a﹣1|=3，∴a=3或a=﹣2，∴M（4，5）或（﹣2，11）；②以AB为对角线，BN=AM，BN∥AM，如图3，则N在x轴上，M与C重合，∴M（0，﹣3），综上所述，存在以点A，B，M，N为顶点的四边形是平行四边形，M（4，5）或（﹣2，11）或（0，﹣3）．【考点】二次函数的图象，二次函数的性质，二次函数的应用【解析】【分析】（1）待定系数法即可得到结论；（2）连接AC，作BF⊥AC 交AC的延长线于F，根据已知条件得到AF∥x轴，得到F（﹣1，﹣3），设D （0，m），则OD=|m|即可得到结论；（3）设M（a，a2﹣2a﹣3），N（1，n），①以AB为边，则AB∥MN，AB=MN，如图2，过M作ME⊥对称轴y于E，AF⊥x轴于F，于是得到△ABF≌△NME，证得NE=AF=3，ME=BF=3，得到M（4，5）或（﹣2，11）；②以AB为对角线，BN=AM，BN∥AM，如图3，则N在x轴上，M与C重合，于是得到结论．。
(完整版)二次函数中的存在性问题(答案)
二次函数中的存在性问题姓名1 .已知抛物线y=-jx2等X-3与x轴交于A, B两点，与y轴交于点C.在直线CA上方的抛物线上是否存在一点D,使得4ACD 的面积最大？若存在，求出点D的坐标；若不存在，请说明理由.2.已知y=ax2+bx+c (a加)图象与直线y=kx+4相交于A (1, m) , B (4, 8)两点，与x轴交于原点及点C. (1)求直线和抛物线解析式；(2)在x轴上方的抛物线上是否存在点D,使S AOCD=2S AOAB?如果存在，求出点D坐标，如果不存在，说明理由.3 .已知直线y==x-3与x轴交于点A ,与y轴交于点C,抛物线y= --^x2+mx+n经过点A和点C.(1)求此抛物线的解析式；(2)在直线CA上方的抛物线上是否存在点D,使得4ACD的面积最大？若存在，求出点D的坐标；若不存在,4 .在平面直角坐标系xOy中，抛物线y= - x2+bx+c与x轴交于A、B两点(点A在点B的左侧)，过点A的直线y=kx+1交抛物线于点 C (2, 3).(1)求直线AC及抛物线的解析式；(2)若直线y=kx+1与抛物线的对称轴交于点E,以点E为中心将直线y=kx+1顺时针旋转90彳导到直线1,设直线1与y轴的交点为P,求△ APE的面积；(3)若G为抛物线上一点，是否存在x轴上的点F,使以B、E、F、G为顶点的四边形为平行四边形？若存在，直接写出点F的坐标；若不存在，请说明理由.5 .如图，在平面直角坐标系中，抛物线广2交x轴于A, B两点(A 在B的左侧)，交y轴于点C.(1)求直线BC的解析式；(2)求抛物线的顶点及对称轴；(3)若点Q是抛物线对称轴上的一动点，说明理由；(4)若点P是直线BC上方的一个动点, 的面积；若不存在，说明理由.线段AQ+CQ是否存在最小值？若存在,△ PBC的面积是否存在最大值？若存在,求出点Q的坐标；若不存在,求出点P的坐标及此时4PBC1 .已知抛物线y=—:\2+匪x ― 3与x轴交于A , B两点，2 .与y轴交于点C.在直线CA上方的抛物线上是否存在3 . 一点D,使得4ACD的面积最大？若存在，求出点D4 .的坐标；若不存在，请说明理由.牛目, 解：对于抛物线y= - -x2+—x - 3,4 4令y=0 ,得到--x2+i^x- 3=0, [4 4解得：x=1或x=4 ,B (1, 0), A (4, 0),令x=0,得至ij y= - 3,即 C (0, - 3), 设直线AC解析式为y=kx+b ,将A与C坐标代入得：]业上0 , 1b=-3解得：k=工，b= - 3,4・•・直线AC解析式为y=Wx-3,4设平行于直线AC,且与抛物线只有一个交点的直线方程为y/x+m,4此时直线与抛物线交于点D,使得4ACD的面积最大，与二次函数解析式联立消去y得：-总x2+"x - 3=^x+m ,4 4 4整理得：3x2- 12x+4m+12=0 ,A=144 - 12 (4m+12) =0,解得：m=0,，此时直线万程为y=^x,点D坐标为(2,―).4 42. (2008?宁波校级自主招生)已知y=ax2+bx+c (a沟)图象与直线y=kx+4相交于A (1, m), B (4, 8)两点, 与x轴交于原点及点 C.(1)求直线和抛物线解析式；(2)在x轴上方的抛物线上是否存在点D,使S AOCD=2S AOAB?如果存在，求出点D坐标，如果不存在，说明理由.解答：解：(1) 丁直线y=kx+4 过 A (1, m), B (4, 8)两点,金-Iy= - x2+6x；(2)存在.设D点纵坐标为h (h>0),由O (0, 0), A (1, 5), B (4, 8),可知S AOAB=6,把O、A、B三点坐标代入抛物线解析式，得c=0S A OCD =2S AOAB =12, —>6><h=12,解得 h=4, 2由-x 2+6x=4 ,得 x=3 父 5,•••D (3+、闻 4)或(3-V5, 4).3. (2014春？昌平区期末)已知直线 y=Cx-3与x 轴交于点A,与y 轴交于点4点A 和点C.(1)求此抛物线的解析式；(2)在直线CA 上方的抛物线上是否存在点 D,使得4ACD 的面积 最大？若存在，求出点 D 的坐标；若不存在，说明理由.—3得y= - 3,则C 点坐标为(0, — 3), -3=0,解得x=4 ,则A 点坐标为(4, 0),把 A (4, 0), C (0, - 3)代入 y=--？x 2+mx+n 得4k=-7,即 y=—x+b ,4 412x+4b+12=0 ,.・・△=122-4MX (4b+12) =0,解得 b=0, 3x 2 - 12x+12=0 ,解得 x 1=x 2=2, 把 x=2 , b=0 代入 y=—x+b 得 y=—,4 2D 点坐标为(2, -1).4. (2010?孝感模拟)在平面直角坐标系 xOy 中，抛物线y= - x 2+bx+c 与x 轴交于A 、B 两点(点A 在点B 的左侧)，过点A 的直线y=kx+1交抛物线于点 C (2, 3).(1)求直线AC 及抛物线的解析式； (2)若直线y=kx+1与抛物线的对称轴交于点 E,以点E 为中心将直线y=kx+1顺时针旋转90彳导到直线1,设直线l 与y 轴的交点为P,求△ APE 的面积；解答:解得15n= - 3所以二次函数解析式为 y=- ±x 2+¥x - 3;4 4(2)存在.过D 点作直线AC 的平行线y=kx+b ,当直线y=kx+b 与抛物线只有一个公共点时，点 大，此时4ACD 的面积最大， D 到AC 的距离最直线AC 的解析式为y3 「x — 3,4由直线y=—x+b 和抛物线y=-x - 3组成方程组得y=-/+b厂「¥苧一3,消去y 得至iJ 3x 2-解：(1)把x=0代入把 y=0 代入 y=-^x —3 4经过(3)若G 为抛物线上一点，是否存在 x 轴上的点F,使以B 、E 、F 、G 为顶点的四边形为平行四边形？若存在, 直接写出点F 的坐标；若不存在，请说明理由. 解答： 解：(1) 丁点C (2, 3)在直线y=kx+1上,，2k+1=3 .解得k=1.直线AC 的解析式为y=x+1 . •・•点A 在x 轴上，A (T, 0).,「抛物线 y= -x 2+bx+c 过点 A 、C,I - 4f2b+c=3解得抛物线的解析式为 y= - x 2+2x+3 . (2)由 y= - x 2+2x+3= - (x-1)2+4, 可得抛物线的对称轴为 x=1, B (3, 0). • . E (1, 2).根据题意，知点 A 旋转到点B 处，直线l 过点B 、E. 设直线l 的解析式为y=mx+n . 将B 、E 的坐标代入y=mx+n 中， 联立可得m= - 1, n=3. 直线l 的解析式为y= - x+3. P (0, 3).过点E 作ED^x 轴于点D.••• S APA E=S APAB - S AEAB =±AB ?PO -4AB?ED=± MX (3-2) =2.2 2 2(3)存在，点F 的坐标分别为(3-死，0), (3+,万，0), (- 1-右，0) (- 1+/6, 0).在B 的左侧)，交y 轴于点C.(1)求直线BC 的解析式； (2)求抛物线的顶点及对称轴；5. (2013秋?红安县校级月考)如图，在平面直角坐标系中，抛物线 y=+4工十2交x 轴于A , B 两点(A考点：二次函数综合题. 专题：压轴题.分析：(1)令y=0,解关于x 的一元二次方程求出点 B 的坐标，令x=0求出点C 的坐标，设直线 BC 的解析式 为y=kx+b ,然后利用待定系数法求一次函数解析式解答即可；(2)把二次函数解析式整理成顶点式形式，然后写出顶点坐标与对称轴即可；(3)根据轴对称确定最短路线问题，直线 BC 与对称轴的交点即为使线段 AQ+CQ 最小的点Q,然后利 用直线解析式求解即可；(4)过点P 作PD// y 轴与BC 相交于点D,根据抛物线解析式与直线BC 的解析式表示出 PD,再根据S APBC =S APCD +S APBD 列式整理，然后利用二次函数最值问题解答. 解答： 解：(1)令 y=0,贝u― -^x 2+4x+2=0 ,3 3整理得，x 2 - 2x - 3=0 , 解得 x i = - 1, x 2=3,所以，点B 的坐标为(3, 0), 令 x=0 ,则 y=2,所以，点C 的坐标为(0, 2),设直线BC 的解析式为y=kx+b ,则｛:"仁。
二次函数存在性问题总结(完整资料).doc
【最新整理，下载后即可编辑】已知，抛物线322--=x x y 交x 轴于点A 、B ，交y 轴于点C. 1、线段最值 ①线段和最小点P 是抛物线对称轴上一动点，当点P 坐标为多少时，PA+PC 值最小.A BCO xy②线段差最大点Q 是抛物线对称轴上一动点，当点Q 坐标为多少时，|QA-QC|值最大.A BCO xy③线段最值连接BC ，点M 是线段BC 上一动点，过点M 作MN//y 轴，交抛物线于点N ，求线段MN 的最大值及点N 的坐标.A BCO xyNM变式① 点N 是第四象限内抛物线上一动点，连接BN 、CN ，求BCN S ∆的最大值及点N 的坐标 A BCO xy N变式②点N 是第四象限内抛物线上一动点，求点N 到线段BC 的最大距离及点N 的坐标A BCO xyNM2、等腰三角形的存在性问题 点D 为抛物线322--=x x y 的顶点，连接BC ，点P 是直线BC 上一动点，是否存在点P ，使△PAD 为等腰三角形，若存在，求出点P 的坐标，若不存在，说明理由.A BCO xyD3、菱形的存在性问题点D 为抛物线322--=x x y 的顶点，连接BC 点P 是直线BC 上一动点，点Q 为坐标平面内一点，是否存在以A 、D 、P 、Q 为顶点的四边形是菱形，若存在，求出点P 坐标，若不存在，说明理由.A BCO xyD4、平行四边形的存在性问题点D 为抛物线322--=x x y 的顶点，点M 是抛物线上一动点，点N 为直线BC 上一动点，是否存在以O 、D 、M 、N 为顶点的四边形是平行四边形，若存在，求出点M 坐标，若不存在，说明理由.A BCO xyD5、直角三角形的存在性问题点P 为抛物线322--=x x y 的对称轴上的一动点，是否存在点P ，使△PBC 为直角三角形，若存在，求出点P 的坐标，若不存在，说明理由.ABCO xy6、等腰直角三角形的存在性问题 点M 在线段BC 上，过点M 作MN 平行于x 轴交抛物线322--=x x y 第三象限内于点N ，点R 在x 轴上，是否存在点R ，使△MNR 为等腰直角三角形，若存在，求出点R 坐标，若不存在，说明理由.ABCOxyMN7、相似的存在性问题点D 为抛物线322--=x x y 的顶点，点E 是OD 与BC 的交点，点F 为x 轴上的一动点，是否存在点F ，使△BEF 和△OCE 相似，若存在，求出点F 坐标，若不存在，说明理由.ABC O xyDE。