人教版数学高一-2012高一数学学案 集合的含义与表示(二) (人教A版必修1)
1.1.1 集合的含义与表示(二)
学习目标
1.掌握集合的表示方法,能在具体问题中选择适当的方法表示集合.
2.通过实例和阅读自学体会用列举法和描述法表示集合的方法和特点,培养自主探究意识和自学能力.
自学导引
1.把集合的元素一一列举出来,并用花括号“{ }”括起来表示集合的方法叫做列举法.
2.用集合所含元素的共同特征表示集合的方法称为描述法. 3.写出不等式x -7<3的解集:{x |x <10}.
4.所有偶数的集合可表示为:{x ∈Z |x =2k ,k ∈Z }. 5.方程(x +1)(x -3)=0的所有实数根组成的集合为:{-1,3}
.
一、用列举法表示集合
例1 用列举法表示下列集合: (1)15的正约数组成的集合;
(2)平方后仍为原数的数组成的集合. 解 (1)15=1×3×5,故集合为{1,3,5,15}.
(2)平方后仍为原数的数构成的集合是{0,1}.
点评 用列举法表示集合时,里面元素与顺序无关,该法表示集合直观明了. 变式迁移1 用列举法表示下列集合: (1)不大于10的非负偶数集;
(2)由a a
+b
|b |
(a .,b R )所确定的实数集合. 解 (1){0,2,4,6,8,10} (2){-2,0,2}
二、用描述法表示集合
例2 用描述法表示下列集合:
(1)正偶数集;(2)被3除余2的正整数集;
(3)不等式2x +5<3的解集;(4)第一、三象限点的集合.
分析 (1)中的正偶数都能被2整除?所以正偶数可以表示为
x =2n (n N *)的
形式?
(2)
中被
3除余
2的正整数满足
x -2=3n (n N *)?则x =3n +2 (n N *)?(4)中的点
(x ?
y )
满足xy >0.
解 (1){x |x =2n ,n N *}. (2){x |x =3n +2,n N *}. (3){x R |2x +5<3},或{x R |x <-1}. (4){(x ,y )|xy >0}.
点评
用描述法表示集合?一要看集合的代表元素是什么?是点集还是数集?二是看元
素满足什么条件?一般情况下?用符号语言表示元素满足的条件?
变式迁移2 用适当方法表示下列集合:
(1)函数y =a .x 2+bx +c (a .?0)的图象上所有点的集合;
(2)一次函数y =x +3与y =-2x +6的图象的交点组成的集合; (3)不等式x -3>2的解集;
(4)自然数中不大于10的质数集.
解 (1){(x ,y )|y =a .x 2+bx +c ,x R ,a .?0}.
(2)??????(x ,y )|????? y =x +3y =-2x +6=????
??
(x ,y )|?????
x =1y =4.
用列举法表示为:{(1,4)}. (3){x |x >5}
(4){2,3,5,7}.
三、集合语言与数学语言的转换
例3 已知集合A ={x |a .x 2-3x +2=0},若A 中的元素至多只有一个,求a 的取值范围.
分析
讨论关于
x 的方程
a .x 2-
3x +
2=
0实
数根的情况?从中确定
a
的取值范围?依题
意方程有一个实数根或两个相等的实数根或无实数根?
解 (1)a =0时,原方程为-3x +2=0,x =2
3
,符合题意.
(2)a .?0时,方程a .x 2-3x +2=0为一元二次方程.
由Δ=9-8a .?0,得a .?9
8
.
当a .?9
8
时,方程a .x 2-3x +2=0无实数根或有两个相等的实数根.
综合(1)(2),知a =0或a ?9
8
.
点评 ?a =
0?这种情况最容易被忽视?只有在
?a ?0?
的条件下?方程
ax 2-
3x +2=
是一元二次方程?才能用判别式
Δ解决问题?
变式迁移3 设集合{x |x 2+mx +n =0}={2},求实数m 、n 的值. 解 {x |x 2+mx +n =0}={2},
方程x 2+mx +n =0有两等根x 1=x 2=2, 由根与系数的关系得m =-4,n =4.
1.在用列举法表示集合时应注意以下四点:
(1)元素间用?,?分隔;
(2)元素不重复;
(3)不考虑元素顺序;
(4)对于含有较多元素的集合,如果构成该集合的元素有明显规律,可用列举法,但是必须把元素间的规律显示清楚后方能用省略号.
2.使用描述法时应注意以下四点:
(1)写清楚该集合中元素的代号(字母或用字母表示的元素符号);
(2)说明该集合中元素的特征;
(3)不能出现未被说明的字母;
(4)用于描述的语句力求简明、确切.
一、选择题
1.集合{1,3,5,7,9}用描述法表示应是()
A.{x|x是不大于9的非负奇数}
B.{x|x?9,x N}
C.{x|1?x?9,x N}
D.{x|0?x?9,x Z}
答案 A
2.在直角坐标系内,坐标轴上的点的集合可表示为()
A.{(x,y)|x=0,y?0}
B.{(x,y)|x?0,y=0}
C.{(x,y)|xy=0}
D.{(x,y)|x=0,y=0}
答案 C
3.下列语句:
?0与{0}表示同一个集合;
?由1,2,3组成的集合可表示为{1,2,3}或{3,2,1};
?方程(x-1)2(x-2)2=0的所有解的集合可表示为{1,1,2};
?集合{x|4 正确的是() A.只有?和?B.只有?和? C.只有?D.以上语句都不对 答案 C 4.由大于-3且小于11的偶数组成的集合是() A.{x|-3 B.{x|-3 C.{x|-3 D.{x|-3 答案 D 5.下列集合中表示同一集合的是( ) A .M ={(3,2)},N ={(2,3)} B .M ={3,2},N ={2,3} C .M ={(x ,y )|x +y =1},N ={y |x +y =1} D .M ={1,2},N ={(1,2)} 答案 B 二、填空题 6.下列可以作为方程组??? x +y =3 x -y =-1 的解集的是__________(填序号). (1){x =1,y =2}; (2){1,2}; (3){(1,2)}; (4){(x ,y )|x =1或y =2}; (5){(x ,y )|x =1且y =2}; (6){(x ,y )|(x -1)2+(y -2)2=0}. 答案 (3)(5)(6) 7.已知a Z ,A ={(x ,y )|ax -y ?3}且(2,1) A ,(1,-4)?A ,则满足条件的a 的值为________.