万有引力推导开普勒三大定律
万有引力定律
第14讲万有引力定律1、开普勒三定律（轨道定律、面积定律、周期定律）2、万有引力定律221R m Gm F =3、重力加速度决定式——黄金代换2R GM g =2)(h R GM g +=′2gR GM =在古代，人们对于天体的运动存在着地心说和日心说两种对立的看法．经过长期论争，日心说战胜了地心说，最终被接受．如图14-1是太阳系九大行星的排位图。
图14-1太阳系九大行星古代把天体的运动看的很神圣，认为天体的运动必然是最完善、和谐的圆周运动，后来德国物理学家开普勒（如图14-2）仔细研究了第谷的观测资料，经过4年多的刻苦计算，得出开普勒行星运动三定律：考点1开普勒三定律开普勒第一定律如图14-3)：所有的行星围绕太阳运动的轨道都是，太阳处在椭圆的一个上．（轨道定律）图14-3太阳位于椭圆轨道的一个焦点上开普勒第二定律(如图14-4)：对于每一个行星而言，太阳和行星的在相等的时间内扫过相等的.（面积定律）图14-4太阳与行星的连线在相等的时间内扫过的面积相等，即EKCD AB S S S ==开普勒第三定律(如图14-5)：所有行星的轨道的的三次方跟的二次方的比值都相等，表达式为k Ta =23.（周期定律）【例1】某行星围绕太阳做椭圆运动（如图14-6），如图14-2开普勒（1571-1630）德国物理学家、数学家、哲学家图14-6图14-5半长轴就是长轴的一半，即2AB a =果不知太阳的位置，但经观测行星在由A 到B 的过程中，运行速度在变小，图中1F 、2F 是椭圆的两个焦点，则太阳处在何位置？【例2】冥王星离太阳的距离是地球离太阳的距离的39.6倍，那么冥王星绕太阳的公转周期是多少？(冥王星和地球绕太阳公转的轨道可视为圆形轨道)太阳系九大行星的平均轨道半径和周期行星平均轨道半径（米）周期（秒）水星金星地球火星木星土星天王星海王星冥王星101079.5×111008.1×111049.1×111028.2×111078.7×121043.1×121087.2×121050.4×12109.5×6106.7×（相当于88天）71094.1×（相当于225天）71016.3×（1年）71094.5×（相当于1.88年）81074.3×（相当于11.9年）81030.9×(相当于29.5年)91066.2×(相当于84.3年)91020.5×(相当于164.8年)91082.7×(相当于248年)考点2牛顿万有引力定律浩瀚宇宙，天体运行．开普勒描述了行星的运动规律，可是为什么行星以这样的规律绕日运动呢？古代人们普遍认为行星做的是完美而圣神的圆周运动，所以不需要什么动因。
第六讲：万有引力及应用解析版
第六讲:万有引力及应用一、开普勒三定律1．内容定律内容图示或公式开普勒第一定律(轨道定律)所有行星绕太阳运动的轨道都是椭圆，太阳处在椭圆的一个焦点上开普勒第二定律(面积定律)对任意一个行星来说，它与太阳的连线在相等的时间内扫过的面积相等开普勒第三定律(周期定律)所有行星的轨道的半长轴的三次方跟它的公转周期的二次方的比值都相等a3T2＝k，k是一个与行星无关的常量(1)．行星绕太阳的运动通常按圆轨道处理．(2)．开普勒行星运动定律也适用于其他天体，例如月球、卫星绕地球的运动．(3)．开普勒第三定律a3T2＝k中，k值只与中心天体的质量有关，不同的中心天体k值不同．但该定律只能用在同一中心天体的两星体之间．二、万有引力定律1、表达式：F＝G m1m2r2例题、下列关于行星绕太阳运动的说法中正确的是()A．所有行星都在同一椭圆轨道上绕太阳运动B．离太阳越近的行星运动周期越短C．行星在椭圆轨道上绕太阳运动的过程中，其速度与行星和太阳之间的距离有关，距离小时速度小，距离大时速度大D．行星绕太阳运动时，太阳位于行星例题、如图所示，两球间的距离为r0，两球的质量分布均匀，质量分别为m1、m2，半径分别为r1、r2，则两球间的万有引力大小为()2、适用条件(1)公式适用于质点间的相互作用．当两个物体间的距离远远大于物体本身的大小时，物体可视为质点．(2)质量分布均匀的球体可视为质点，r 是两球心间的距离．三、万有引力与重力的关系1、考虑天体自转地球对物体的万有引力F 表现为两个效果：一是重力mg ，二是提供物体随地球自转的向心力F 向．(1)在赤道上：G MmR 2＝mg ＋mω2R .(2)在两极上：G MmR2＝mg .(3)在一般位置：万有引力G MmR 2等于重力mg 与向心力F 向的矢量和． 2、不考虑天体自转由于物体随地球自转角速度较小，所需的向心力较小，常认为万有引力近似等于重力，即GMmR 2＝mg .3、星体表面上的重力加速度(1)在地球表面附近的重力加速度g (不考虑地球自转)： mg ＝G mM R 2，得g ＝GM R2.(2)在地球上空距离地心r ＝R ＋h 处的重力加速度为g ′， mg ′＝GMm (R ＋h )2，得g ′＝GM(R ＋h )2 所以g g ′＝(R ＋h )2R 2例题、万有引力定律能够很好地将天体运行规律与地球上物体运动规律具有的内在一致性统一起来.用弹簧测力计称量一个相对于地球静止的质量为m 的小物体的重力，随称量位置的变化可能会有不同的结果.已知地球质量为M ，引力常量为G .将地球视为半径为R 、质量均匀分布的球体.下列说法正确的是( )A.在北极地面称量时，弹簧测力计读数为F 0＝G MmR2B.在赤道地面称量时，弹簧测力计读数为F 1＝G Mm R2C.在北极上空高出地面h 处称量时，弹簧测力计读数为F 2＝G Mm (R ＋h )2D.在赤道上空高出地面h 处称量时，弹Mm四、万有引力定律的应用1．万有引力等于重力已知天体表面的重力加速度g 和天体半径R . (1)由G Mm R 2＝mg ，得天体质量M ＝gR 2G .(2)天体密度ρ＝M V ＝M 43πR 3＝3g4πGR.2．万有引力充当向心力测出卫星绕中心天体做匀速圆周运动的半径r 和周期T . (1)由G Mm r 2＝m 4π2T 2r ，得M ＝4π2r 3GT 2.(2)若已知天体的半径R ，则天体的密度 ρ＝M V ＝M 43πR 3＝3πr 3GT 2R 3.(3)若卫星绕天体表面运行时，可认为轨道半径r 等于天体半径R ，则天体密度ρ＝3πGT 2.故只要测出卫星环绕天体表面运动的周期T ，就可估算出中心天体的密度．针对训练题型1：开普勒定律1．火星和木星沿各自的椭圆轨道绕太阳运行，根据开普勒行星运动定律可知（ ） A ．太阳位于木星运行轨道的中心B ．火星和木星绕太阳运行速度的大小始终相等C ．火星与木星公转周期之比的平方等于它们轨道半长轴之比的立方例题、美国的“洞察”号火星探测器曾在2018年11月降落到火星表面．假设该探测器在着陆火星前贴近火星表面运行一周用时为T ，已知火星的半径为R 1，地球的半径为R 2，地球的质量为M ，地球表面的重力加速度为g ，引力常量为G ，则火星的质量为( ) A.4π2R 13M gR 22T 2 B.gR 22T 2M 4π2R 13 B.C.gR 12G D.gR 22GD．相同时间内，火星与太阳连线扫过的面积等于木星与太阳连线扫过的面积【解答】解：A、第一定律的内容为：所有行星分别沿不同大小的椭圆轨道绕太阳运动，太阳处于椭圆的一个焦点上。
万有引力定律的推导
万有引力定律的推导
一、开普勒三定律 开普勒第一定律：行星绕太阳公转的轨道为椭圆，太阳位于 椭圆的一个焦点上。
以太阳为极点建立极坐标系，则行星的轨道可以表示为
开普勒第二定律：行星矢径在相等的时间内扫过的面积相等， 即掠面速度守恒。得
即
（常量） 开普勒第三定律：轨道半长轴的立方与行星绕太阳运动周期 的平方成正比，即
的关系
设椭圆的极坐标方程为
G= 6.67428(67)×10-11m3kg-1s-2
附：
(1)平面极坐标系当中加速度分量的推导 在平面极坐标系中，径向单位矢量er与横向单位矢量eθ一般都不是常矢量， 根据er和eθ与直角坐标 系单位矢量i和j间的关系式
利用矢量求导数的方法可以得到
由此可以得到
(2)椭圆半长轴a、半短轴b、偏心率e与极坐标方程之间
二、由开普勒三定律推导牛顿万有引力定律
极坐标中加速度可表示成径向分量与横向分量： 由开普勒第二定律， ，可知aθ= 0，从而行星只有径向
加速度，即行星所受的力为有心力。得设u=1/r，得
得比耐公式：
将开普勒第一定律的数学表达式代入上式，得
由于掠面速度
而
得
由于K为太阳系常量，与行星的性质无关，因此引力的大小 与行星和太阳之间的距离的平方成反比，与行星的质量成正 比，力的方向指向太阳。
由牛顿第三定律得，太阳也受到行星给它的引力，而且大小 与行星受到的太阳的引力相等。而由上可知，引力的大小又 与太阳的质量成正比。因此，行星受到的太阳的引力大小， 与行星和太阳质量的乘积成正比。
综上所述，将引力作用推广到任意两个物体，则两物体之间
万有引力推导开普勒三大定律
万有引力推导开普勒定律牛顿万有引力定律阐明：任意两个粒子由通过连线方向的力相互吸引。
该引力的的大小与它们的质量乘积成正比，与它们距离的平方成反比。
由于太阳超重于行星，我们可以假设太阳是固定的。
用方程式表示，；这里，是太阳作用於行星的万有引力、是行星的质量、是太阳的质量、是行星相对于太阳的位移向量、是的单位向量。
牛顿第二定律声明：物體受力後所产生的加速度，和其所受的淨力成正比，和其質量成反比。
用方程式表示，。
合并这两个方程式，。
(1)思考位置向量，随时间微分一次可得到速度向量，再微分一次则可得到加速度向量：，。
(2)在这里，我们用到了单位向量微分方程式：，。
合并方程式 (1) 与 (2) ，可以得到向量运动方程式：取各个分量，我们得到两个常微分方程式，一个是关于径向加速度，另一个是关于切向加速度：，(3)。
(4)导引开普勒第二定律只需切向加速度方程式。
试想行星的角动量。
由于行星的质量是常数，角动量随时间的导数为。
角动量也是一个运动常数，即使距离与角速度都可能会随时间变化。
从时间到时间扫过的区域，。
行星太阳连线扫过的区域面积相依于间隔时间。
所以，开普勒第二定律是正确的。
[编辑]开普勒第一定律导引设定。
这样，角速度是。
随时间微分与随角度微分的关系为。
随时间微分徑向距離：。
再微分一次：。
代入径向运动方程式 (3) ，，。
将此方程式除以，则可得到一个简单的常係数非齐次线性全微分方程式来描述行星轨道：。
特征方程式为。
求解剩馀的常係数齐次线性全微分方程式，。
其特解方程式为；这里，与都是任意积分常数。
综合特征方程式与特解方程式，。
选择坐标轴，让。
代回，。
假若，则所描述的是椭圆轨道。
所以，开普勒第一定律是正确的。
[编辑]开普勒第三定律导引在建立牛顿万有引力定律的概念与数学架构上，开普勒第三定律是牛顿依据的重要线索之一。
假若我们接受牛顿运动定律。
试想一个虚拟行星环绕着太阳公转，行星的移动轨道恰巧呈圆形，轨道半径为。
《万有引力与航天》知识点总结
万有引力与航天知识点总结一、人类认识天体运动的历史1、“地心说”的内容及代表人物： 托勒密 （欧多克斯、亚里士多德）2、“日心说”的内容及代表人物： 哥白尼 （布鲁诺被烧死、伽利略） 二、开普勒行星运动定律的内容开普勒第二定律：v v >远近开普勒第三定律：K —与中心天体质量有关，与环绕星体无关的物理量；必须是同一中心天体的星体才可以列比例，太阳系： 333222===......a a a T T T 水火地地水火 三、万有引力定律1、内容及其推导：应用了开普勒第三定律、牛顿第二定律、牛顿第三定律。
KT R =23 ① r T m F 224π= ② 22π4=r m K F 2m F r ∝ F F '= ③ 2r M F ∝' 2r Mm F ∝ 2r MmG F =2、表达式：221r m m GF = 3、内容：自然界中任何两个物体都相互吸引，引力的方向在它们的连线上，引力的大小与物体的质量m1,m2的乘积成正比，与它们之间的距离r 的二次方成反比。
4.引力常量：G=6.67×10-11N/m 2/kg 2，牛顿发现万有引力定律后的100多年里，卡文迪许在实验室里用扭秤实验测出。
5、适用条件：①适用于两个质点间的万有引力大小的计算。
②对于质量分布均匀的球体，公式中的r 就是它们球心之间的距离。
③一个均匀球体与球外一个质点的万有引力也适用，其中r 为球心到质点间的距离。
④两个物体间的距离远远大于物体本身的大小时，公式也近似的适用，其中r 为两物体质心间的距离。
6、推导：2224mM G m R R T π= ⇒ 3224R GMT π= 四、万有引力定律的两个重要推论1、在匀质球层的空腔内任意位置处，质点受到地壳万有引力的合力为零。
2、在匀质球体内部距离球心r 处，质点受到的万有引力就等于半径为r 的球体的引力。
五、万有引力的成就1、测量中心天体的质量法一：在天体表面找一个物体m ，不计天体自转，万有引力=重力（=G F F 引）2Mm G mg R=⇒M = 黄金代换式中心天体的密度：233443gR M gG V GR R ρππ===法二：在中心天体周围找一颗卫星绕中心天体做圆周运动，万有引力提供向心力（=n F F 引）2Mm G r= 22232223224v v r m M r Gr mr M G r mr M T GT ωωππ⇒=⇒=⎛⎫⇒=⎪⎝⎭以 2324r M GT π=为例求中心天体的密度 2332233433r M r GT V GT R R ππρπ=== 若为近地卫星，则r=R ，则23GT πρ= T 为近地卫星的公转周期六、双星系统两颗质量可以相比的恒星相互绕着旋转的现象，叫双星。
牛顿万有引力公式其实就是开普勒第三定律
牛顿万有引力公式其实就是开普勒第三定律Ⅰ推导过程我们试着用牛顿的思路，完全用开普勒第三定律本身，变形出牛顿的万有引力公式。
首先给出开普勒第三定律：R3T 2 =K （1） R 为平均轨道半径，T 为环绕周期因为T=2πR V，代入公式（1）得 V 2·R=4π2K （2） 我们把变量放等号左边，常量放等号右面牛顿看到公式（2）后，肯定会想到向心加速度的公式 V 2R=a 然后让公式（2）的左边变成V 2R，公式（2）等式两边同除以R 2,公式变换V 2R=4π2K R 2 （3） 牛顿创造的力学的核心是F=ma ，他必定要把公式（3）的等号左边化成F,即V 2R·m 的形式。
所以公式（3）变两边同乘以m （m 可以是太阳系行星的质量）变换为：m·V2R=4π2K·mR2（4）接下来的变换是最为神奇和关键的一步，当牛顿看见公式（4）中“4π2K”时，觉得这个数值很大很大。
在牛顿时代之前，人们已经知道，k的大小只取决于中心天体，而是和绕行天体无关的常数。
人们也已经粗略的知道，中心天体越大，这个K值就越大，两者可能是成正比的。
牛顿顺着这些前人的思路，做出了一个非常大胆的假设，或者说是猜测，他猜测“4π2K”就是中心天体的质量，但他随后马上发现“4π2K”和质量的单位两者不相同，于是为了单位的平衡，牛顿认为需要加入了一个“带单位的常量”，它就是后来人们所熟悉的万有引力常数G。
至此，牛顿按照自己的意愿，人为的规定：MG=4π2K ,其中M是中心天体的质量。
把它代入公式（4）公式（4）变换为：m·V2R=GM·mR2（5）F=ma= m·V2R=GM·mR2公式（5）就是我们熟知的万有引力公式。
我们回顾和总结一下整个过程，从公式（1）（开普勒第三定律）到公式（4）只是普通的公式变换，公式（4）到公式（5），MG为什么可以替代“4π2K”，牛顿没有给出任何可信或可验证的证据。
万有引力定律和开普勒三定律的互相推导
用万有引力定律推导开普勒三定律
⃗ = − ������������������ 万有引力定律数学表达式： ������ ������0 (G 为引力常数， m 是行星的质量， 2 ⃗⃗⃗⃗
������
′
⃗=− m’是太阳质量)，设������ = ������������������′，则������
̇) (������ 2 ������ ������ 2
2
∙ =−
������
1
4������2 ������2 ������2 ������ 2
∙
������ ������2
∙
1 ������ 2
= −4������ 2 ∙
������3 ������ 2
∙
1 ������ 2
(4)
开普勒第三定律： 行星轨迹椭圆的半长轴的三次方和运动周期的平方成正比。 即
������ ������
2
+ ������������������������������
解积分可得：������ = ������������������������������������
������⁄������−������������ ⁄������
2 2 √2������������+������ ������ ⁄ 2 ������
从开普勒三定律推导万有引力定律
开普勒第一定律：行星围绕太阳的运动轨迹是一个椭圆，太阳在椭圆的一个 焦点上。 ������ = ������ 1 + ������������������������������
������2 ������
上式为椭圆的极坐标方程。 这里������ =
25开普勒三定律万有引力定律及应用
第二十五讲 开普勒三定律 万有引力定律及应用知识点回顾1．“地心说”和“日心说”的发展过程2．开普勒行星运动定律(1)开普勒第一定律行星运动的轨道不是正圆，行星与太阳的距离一直在变。
有时远离太阳，有时靠近太阳。
它的速度的大小、方向时刻在改变。
示意图如下：所有的行星围绕太阳运行的轨道都是椭圆，太阳处在所有椭圆的一个焦点上，这就是开普勒第一定律。
(2)开普勒第二定律对于每一个行星而言，太阳和行星的联线在相等的时间内扫过相等的面积。
根据开普勒第二定律可得，行星在远日点的速率较小，在近日点的速率较大。
(3)开普勒第三定律所有行星的轨道半长轴的三次方跟公转周期的二次方的比值都相等，这是开普勒第三定律。
每个行星的椭圆轨道只有一个，但是它们运动的轨道的半长轴的三次方与公转周期的平方的比值是相等的。
我们用R 表示椭圆的半长轴，T 代表公转周期，表达式可为k TR =23显然k 是一个与行星本身无关的量，只与中心体有关。
开普勒第三定律对所有行星都适用。
对于同一颗行星的卫星，也符合这个运动规律。
3、万有引力定律(1)定律的推导（2）定律的内容： 自然界中任何两个物体都是相互吸引的，引力的大小跟这两个物体的质量的乘积成正比，跟它们的距离的二次方成反比。
（3）定律的公式： 如果用m 1和m 2表示两个物体的质量，用r 表示它们的距离，那么万有引力定律可以用下面的公式来表示221r m m G F = （4）说明a ．万有引力定律中的物体是指质点而言，不能随意应用于一般物体。
对于相距很远因而可以看作质点的物体，公式中的r 就是指两个质点间的距离；对均匀的球体，可以看成是质量集中于球心上的质点，这是一种等效的简化处理方法。
思考：在公式中，当r →0时，F →∞是否有意义？b ．两物体间相互作用的引力，是一对作用力和反作用力。
引力的方向在两质点的连线上。
c．G为引力常量，适用于任何两个物体，在数值上等于两个质量都是1kg的物体相距1m时的相互作用力，其数值与单位制有关。
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万有引力推导开普勒定律
牛顿万有引力定律阐明：任意两个粒子由通过连线方向的力相互吸引。
该引力的的大小与它们的质量乘积成正比，与它们距离的平方成反比。
由于太阳超重于行星，我们可以假设太阳是固定的。
用方程式表示，
；
是行星的质量、是太阳的质量、是行这里，是太阳作用於行星的万有引力、
向量、是位移的单位向量。
星相对于太阳的成正比，和其質量，和其所受的淨力声明：牛顿第二定律物體受力後所产生的加速度
成反比。
用方程式表示，。
合并这两个方程式，。
(1)
，随时间思考位置向量微分一次可得到速度向量，再微分一次则可得到加速度向量：
，。
(2)
在这里，我们用到了单位向量微分方程式：
，。
合并方程式(1) 与(2) ，可以得到向量运动方程式：
取各个分量，我们得到两个常微分方程式，一个是关于径向加速度，另一个是关于切向加速度：
，(3)。
(4)。
由于行星导引开普勒第二定律只需切向加速度方程式。
试想行星的角动量的质量是常数，角
动量随时间的导数为。
，即使距离与角速度都可能会随时间变化。
角动量也是一个运动常数从时间到时间扫过的区域，。
所以，开普勒第二定律是正确的。
行星太阳连线扫过的区域面积相依于间隔时间
[编辑开普勒第一定律导引]。
这样，角速度是设定。
随时间微分与随角度微分的关系为。
：随时间微分徑向距離。
再微分一次：。
．，，代入径向运动方程式(3)。
，则可得到一个简单的常係数非齐次线性全微分方程式将此方程式除以来描述行星轨道：。
特征方程式为。
求解剩馀的常係数齐次线性全微分方程式，。
其特解方程式为
；
都是任意积分常数。
综合特征方程式与特解方程式，这里，与。
，。
代回选择坐标轴，让。
，则所描述的是椭圆轨道。
所以，开普勒第一定律是正确的。
假若开普勒第三定律导引] 编辑[
在建立牛顿万有引力定律的概念与数学架构上，开普勒第三定律是牛顿依据的重要线索之一。
假若我们接受牛顿运动定律。
试想一个虚拟行星环绕着太阳公转，行星的移动轨道恰巧。
那末，太阳作用于行星的万有引力为。
行星移动速呈圆形，轨道半径为
成反比。
所以，与半径的平方根。
依照开普勒第三定律，这速度度为。
猜想这大概是牛顿发现万有引力定律的思路，虽然我们并不能完全万有引力确定，因为我们无法在他的计算本裡，找到任何关于这方面的证据。
行星环绕太阳（焦点F1 ）的椭圆轨道。
；这里，椭圆的面积是与开普勒第一定律阐明，行星环绕太阳的轨道是椭圆形的。
分别为椭圆的半長軸与半短軸。
在开普勒第二定律导引里，行星－太阳连线扫过区域速度
为。
所以，行星公转周期为
(5)。
．（近拱点，半短軸A 与近拱距与引力中心关于此行星环绕太阳，椭圆的半長軸（远拱点B 之间的距离），远拱距与引力中心之间的距离）的关系分别为
，(6)。
(7)
如果想要知道半長軸与半短軸，必须先求得近拱距与远拱距。
依据能量守恒定律，。
在近拱点 A 与远拱点B，径向速度都等于零：。
所以，。
稍为加以编排，可以得到的一元二次方程式：。
其兩個根分别为椭圆轨道的近拱距与远拱距
；。
代入方程式(6) 与(7) ，
，。
代入方程式(5) ，周期的方程式为。
．。