四川省绵阳市2019-2020学年高二下学期期末教学质量测试数学(文科)试题 (解析版)
C．（0，1）
D．（1，2）
1
A．
B．
C．
D．
10．函数 f（x）是定义在 R 上的偶函数，在区间[﹣1，0]上单调递增．若 A，B 是锐角三角
形的两个内角，则下列不等关系正确的是（ ）
A．f（sinA）＞f（cosB）
B．f（cosA）＞f（sinA）
C．f（sinA）＞f（cosA）
D．f（cosA）＞f（sinB）
（2）若直线 l 的参数方程为
（t 为参数），设直线 l 与曲线 C 的交点为 A，B，
求|AB|． [选修 4-5：不等式选讲] 21．已知函数 f（x）＝|2x﹣1|+|x+m|．
（1）若 m＝3，解关于 x 的不等式 f（x）≥x+6； （2）证明：对任意 x∈R，2f（x）≥|m+1|﹣|m|．
解：∵集合 M＝{x∈Z|1≤x≤3}＝{1，2，3}，
N＝{2，4，6}，
∴M∩N＝{2}．
故选：A．
2．“∀x∈R，x2+x+1＞0“的否定是（ ）
A．∃x0∈R，x02+x0+1＞0 C．∀x∈R，x2+x+1＞0
B．∃x0∈R，x02+x0+1≤0 D．∀x∈R，x2+x+1≤0
3
（二）选考题：共 10 分。请考生在第 20、21 题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第 一题计分。[选修 4-4：坐标系与参数方程] 20．在平面直角坐标系 xOy 中，以原点 O 为极点，x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系．已
知曲线 C 的极坐标方程为 ρ＝cosθ+sinθ． （1）求曲线 C 的平面直角坐标方程；
（1）求 f（x），g（x）的解析式； （2）小王准备将自己的存款 100 万元全部投资餐馆和运输运营，如何分配才能使投资获 得最大收益，其最大收益为多少万元？ 18．已知函数 f（x）＝x3+ax2+bx+1 在 x＝﹣2 处有极值，且曲线 y＝f（x）在点（﹣1，f（﹣ 1））处的切线与直线 x+y﹣1＝0 平行． （1）求 f（x）； （2）求函数 f（x）在区间[﹣3，0]上的最值． 19．已知函数 f（x）＝ex﹣ax（x＞0），其中 a∈R，e 为自然对数的底数． （1）试讨论 f（x）的单调性； （2）是否存在正整数 a，使得 f（x）≥x2lnx 对一切 x＞0 恒成立？若存在，求出 a 的最大 值；若不存在，请说明理由．
4
四川省绵阳市 2019-2020 学年高二第二学期期末考试
数学试卷（文科）参考答案
一、选择题（共 12 小题）.
1．已知集合 M＝{x∈Z|1≤x≤3}，N＝{2，4，6}，那么 M∩N＝（ ）
A．{2}
B．{3，4}
C．{2，3，4}
D．{1，2，3，4，6}
【分析】求出集合 M，由此能求出 M∩N．
A．∃x0∈R，x02+x0+1＞0 C．∀x∈R，x2+x+1＞0
B．∃x0∈R，x02+x0+1≤0 D．∀x∈R，x2+x+1≤0
3．若 x，y∈R，则“x＞y”的一个充要条件是（ ）
A．2x＞2y
B．sinx＞siny
C．
D．x2＞y2
4．设函数 f（x）＝
，则 f（﹣2）+f（log24）＝（ ）
A．2
B．4
C．6
D．18
5．已知函数 f（x）＝x3+4xf′（1），则 f（1）＝（ ）
A．﹣7
B．﹣3
C．﹣1
D．4
6．类比推理是一种重要的推理方法．已知 l1，l2，l3 是三条互不重合的直线，则下列在平面 中成立的结论类比到空间中仍然成立的是（ ）
①若 l1∥l3，l2∥l3，则 l1∥l2；
②若 l1⊥l3，l2⊥l3，则 l1∥l2；
③若 l1 与 l2 相交，则 l3 必与其中一条相交．
A．①
B．①②
C．①③
D．②③
7．执行如图所示的程序框图，输出的 S 值为（ ）
A．2
B．4
C．7
D．11
8．函数 f（x）＝x+cosx 的零点所在的区间为（ ）
A．（﹣2，﹣1） B．（﹣1，0） 9．函数 y＝e|ln（x﹣1）|的大致图象是（ ）
．
三、解答题：共 40 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第 17-19 题为必考题，
每个试题考生都必须作答。第 20、21 题为选考题，考生根据要求作答。（一）必考题：共
30 分。
17．小王进行投资研究，发现投资开餐馆的收益 f（x）与投资金额 x 的关系是 f（x）＝k1x， （f x）的部分图象如图 1；投资运输运营的收益 g（x）与投资金额 x 的关系是 g（x）＝k2 ， g（x）的部分图象如图 2．（收益与投资金额单位：万元）
销售单价/元
6
7
8
9
10
11
12
日均销售量/桶 480
440
400
360
320
280
240
根据以上信息，你认为该经营部把桶装水定价为
元/桶时能获得最大利润．
2
16．已知函数 f（x）＝x2+mlnx（m∈R），若 x1＞x2＞0，都有 f（x1）﹣f（x2）＞x1﹣x2 成立，
则 m 的取值范围是
11．现订制一个容积为 V 的圆柱形铁桶，桶底和桶身用铁皮制作，桶盖用铝合金板制作．已
知单位面积铝合金板的价格是铁皮的 3 倍，当总造价最少时（不计接头部分），桶高应
为（ ）
A．
B．
C．2
D．
12．偶函数 f（x）的定义域为 R，周期为 4，导函数为 f'（x），若 f'（x）＜f（x），且 f（2019） ＝2，则不等式 f（x）＜2ex﹣1 的解集为（ ）
A．（1，+∞）
B．（e，+∞）
C．（﹣∞，0）
D．（﹣∞， ）
二、填空题：本题共 4 小题，每小题 3 分，共 12 分。
13．若复数 z＝ ，则 z＝
．
14．已知函数 f（x）＝
，则函数 f（x）的定义域为
．
15．某数学小组进行社会实践调查，了解到某桶装水经营部在为如何定价发愁，进一步调研， 了解到如下信息：该经营部每天的房租、人员工资等固定成本为 200 元，每桶水的进价 是 5 元，销售单价与日均销售量的关系如表：
四川省绵阳市 2019-2020 学年高二第二学期期末考试
数学试卷（文科）
一、选择题（共 12 小题）.
1．已知集合 M＝{x∈Z|1≤x≤3}，N＝{2，4，6}，那么 M∩N＝（ ）
A．{2}
B．{3，4}
C．{3，4}
D．{1，2，3，4，6}
2．“∀x∈R，x2+x+1＞0“的否定是（ ）
四川省绵阳市2019-2020学年高二数学下学期期末教学质量测试答案 文
文科数学 参考答案及评分意见一、选择题：本大题共12小题，每小题4分，共48分．1~5 ACACB 6~10 ADBBD 11~12 CA二、填空题：本大题共4小题，每小题3分，共12分．13．1-i 14．[1，+∞) 15．11.5 16．1()8+∞， 三、解答题：本大题共4小题，每小题10分，共40分．17．解：（1）由图1，得11.80.45k =，解得10.25k =，∴()0.25f x x =． ··························· 2分 由图2，得22 2.5k =，解得254k =，∴()g x ··························· 4分 （2）设最大收益为y 万元，投资餐馆资金为100-x 万元，投资运输运营x 万元．由题意得0.25(100)y x =-≤x ≤100)． ············· 6分∴ 14y '=-+= 由0y '>，解得2504x ≤≤， 由0y '<，解得251004x ≤≤， ···················· 8分 ∴ 当254x ==6.25时，max 62516y ==156.25． ∴ 投资餐馆资金为93.75万元，投资运输运营6.25万元，才能使投资获得最大收益，其最大收益为156.25万元． ····················· 10分18．解：（1）函数f (x )的导函数为2()32f x x ax b '=++，由题意得(2)0(1)1f f '-=⎧⎨'-=-⎩，， 即41224a b a b -=⎧⎨-=⎩，， 解得44.a b =⎧⎨=⎩， ∴ 32()441f x x x x =+++． ······················ 5分（2）由（1）得2()384(32)(2)f x x x x x '=++=++．当-3≤x ≤0时，由()0f x '>，得-3≤x ≤-2或203≤≤x -； 由()0f x '<，得-2≤x ≤23-． ····················· 8分 ∴ 函数()f x 在x =-2处取得极大值，在23x =-处取极小值， ∴ (3)2f -=-，(2)1f -=，25()327f -=-，(0)1f =， ∴ 函数()f x 在区间[-3，0]上的最小值为-2，最大值为1． ······· 10分19．解：（1）()e (0)x f x a x '=->． ···················· 1分①当a ≤1时，()0f x '>恒成立，()f x 在(0)，+∞上单调递增； ····················· 2分 ②当1a >时，令()=0f x '，则ln x a =，当0ln x a <<时，()<0f x '，()f x 单调递减； ·············· 3分 当ln x a >时，()0f x '>，()f x 单调递． ················ 4分综上，当a ≤1时，()f x 在(0)，+∞上单调递增；当1a >时，()f x 在(0ln )a ，上单调递减，在(ln )a +∞，上单调递增.·· 5分 （2）要使2()e ln ≥x f x ax x x =-在(0)，+∞上恒成立，即使2e ln 0≥x a x x x--在(0)，+∞上恒成立， ··············· 6分 令2e ()ln (0)x a h x x x x x=-->， 则32(2)e 1()x x a h x x x x-'=+- 3(2)e ()x x x a x x ---=． ····················· 7分 ①当2a =时，3(2)(e )()x x x h x x --'=， 由e x x >知()h x 在(02)，单减，在(2)+∞，单增.∴ 2min e ()(2)ln 2104h x h ==--> ， ∴ 2a =时满足题意. ························ 8分 ②当2a >时，考查2a x >>时，函数()h x 的取值情况：∵ 2a x >>，∴ 200，x x a ->-<．又e x x >，∴ (2)e ()x x x a x ->-，即'()0h x >，∴ 当2a >时，()h x 在(2)，a 上单调递增. ··············· 9分 取3a =，则函数()h x 在(23)，上单增，∵ 2<e<3， 且e 23(e)e 10eh -=--<， ∴ ()0≥h x 不能恒成立．综上，a 的最大正整数值为2． ···················· 10分20．解：（1）∵ 曲线C 的极坐标方程为cos sin ρθθ=+，∴ 2cos sin ρρθρθ=+，∵ cos x ρθ=，sin y ρθ=，∴ 22x y x y +=+， 即22111()()222x y -+-=．······················· 5分 （2）将直线l 的参数方程曲线C 的直角坐标方程，即22111(1))222-+-=，整理得21022t -=， ························ 7分解得t 1=0或2t = …………………………………………………………………4分∴ 12AB t t =-=． ······················· 10分21．解：（1）当m =3时，()f x =｜2x -1｜+｜x +3｜．当x ≤-3时，f (x )=-3x -2≥x +6，解得x ≤-2，综合得x ≤-3； ······· 2分 当12x ≥时，f (x )=3x +2≥x +6，解得x ≥2，综合得x ≥2； 当-3<x <12时，f (x )=-x +4≥x +6，解得x ≤-1，综合得-3<x ≤-1； ∴ 综上所述，不等式()f x ≥x +6的解集为(1][2)-∞∞，-，+．········ 5分 （2）∵ ()f x =｜2x -1｜+｜x +m ｜，∴ 2()f x =2｜2x -1｜+2｜x +m ｜=｜2x -1｜+｜2x -1｜+2｜x +m ｜，∵ ｜2x -1｜≥0，∴ 2()f x ≥｜2x -1｜+｜2x +2m ｜≥｜(2x -1)-(2x +2m )｜ ···················· 8分 =｜2m +1｜=｜m +m +1｜≥｜m +1｜-｜m ｜，∴ 对任意x ∈R ，2()f x ≥｜m +1｜-｜m ｜． ·············· 10分。
四川省绵阳市2019-2020学年数学高二下期末统考试题含解析
四川省绵阳市2019-2020学年数学高二下期末统考试题一、单选题（本题包括12个小题，每小题35，共60分．每小题只有一个选项符合题意）1．参数方程3cos 1cos x y αα=+⎧⎨=-⎩（α为参数）对应的普通方程为（ ）A ．310x y ++=B ．310x y +-=C ．()31024x y x +-=-≤≤D ．()31011x y x +-=-≤≤【答案】C 【解析】 【分析】将参数方程消参后，可得普通方程，结合三角函数值域即可判断定义域. 【详解】参数方程3cos 1cos x y αα=+⎧⎨=-⎩（α为参数），消参后可得310x y +-=， 因为1cos 1α-≤≤ 所以24x -≤≤即()310,24x y x +-=-≤≤ 故选：C. 【点睛】本题考查了参数方程与普通方程的转化，注意自变量取值范围，属于基础题. 2．已知函数()2x ln(1)f x x =-，则此函数的导函数()f x '=A ．2x ln(1)x -B ．22ln(1)1x x x x -+-C ．21x x-D ．22ln(1)1x x x x---【答案】D 【解析】分析：根据对应函数的求导法则得到结果即可.详解：函数()()2x ln 1f x x =-，()()2212ln 12ln(1)11x f x x x x x x x x ⎛⎫=-+-=--⎪--⎝⎭' 故答案为：D.点睛：这个题目考查了具体函数的求导计算，注意计算的准确性，属于基础题目.3．在正方体1111ABCD A B C D -中，过对角线1AC 的一个平面交1BB 于E ，交1DD 于F 得四边形1AEC F ，则下列结论正确的是（ ） A ．四边形1AEC F 一定为菱形B ．四边形1AEC F 在底面ABCD 内的投影不一定是正方形 C ．四边形1AEC F 所在平面不可能垂直于平面11ACC A D ．四边形1AEC F 不可能为梯形 【答案】D 【解析】对于A ，当与两条棱上的交点都是中点时，四边形1AEC F 为菱形，故A 错误； 对于B, 四边形1AEC F 在底面ABCD 内的投影一定是正方形,故B 错误；对于C, 当两条棱上的交点是中点时，四边形1AEC F 垂直于平面11ACC A ,故C 错误； 对于D ，四边形1AEC F 一定为平行四边形，故D 正确. 故选：D4．函数()1cos f x x x x ⎛⎫=-⎪⎝⎭（x ππ-≤≤且0x ≠）的图象可能为（ ） A ． B ． C ．D ．【答案】D 【解析】因为11()()cos ()cos ()f x x x x x f x x x-=-+=--=-，故函数是奇函数，所以排除A ，B ；取x π=，则11()()cos ()0f ππππππ=-=--<，故选D.考点：1.函数的基本性质；2.函数的图象.5．已知命题()0:0,p x ∃∈+∞，00122019xx +=；命题:q 在ABC ∆中，若sin sin A B >，则cos cos A B <．下列命题为真命题的是（ ）A ．p q ∧B ．()p q ∨⌝C ．()()p q ⌝∨⌝D ．()p q ∧⌝【答案】C 【解析】 【分析】判断出命题p 、q 的真假，即可判断出各选项中命题的真假，进而可得出结论. 【详解】Q 函数()2x f x x =+在()0,+∞上单调递增，()()1012019f x f ∴>=>，即命题p 是假命题； 又sin sin A B >Q ，根据正弦定理知a b >，可得A B >，余弦函数cos y x =在()0,π上单调递减，cos cos A B ∴<，即命题q 是真命题． 综上，可知()()p q ⌝∨⌝为真命题，p q ∧、()p q ∨⌝、()p q ∧⌝为假命题. 故选：C. 【点睛】本题考查复合命题真假的判断，解答的关键就是判断出各简单命题的真假，考查推理能力，属于中等题. 6．5(1)x -展开式3x 的系数是（ ） A ．-5 B ．10C ．-5D ．-10【答案】D 【解析】 【分析】由题意利用二项展开式的通项公式，求出（1﹣x ）5展开式x 3的系数． 【详解】解：根据（1﹣x ）5展开式的通项公式为T r+1＝r5C •（﹣x ）r ，令r ＝3，可得x 3的系数是﹣35C ＝﹣10， 故选：A ． 【点睛】本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，二项式系数的性质，属于基础题．7．已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>过2)A ，(2)B -两点，点P 为该双曲线上除点A ，B 外的任意一点，直线PA ，PB 斜率之积为4，则双曲线的方程是（ ）A ．22134x y -=B ．22148x y -=C ．22136x y -=D ．221520x y -=【答案】D 【解析】分析：根据两条直线斜率之积为定值，设出动点P 的坐标，即可确定解析式。
绵阳市2020年高二(下)数学期末学业质量监测试题含解析
绵阳市2020年高二(下)数学期末学业质量监测试题一、单选题（本题包括12个小题，每小题35，共60分．每小题只有一个选项符合题意） 1． “21a =”是“函数2()lg 1f x a x ⎛⎫=+ ⎪-⎝⎭为奇函数”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】B 【解析】21a = 时，1a =± ，当1a =- 时，()()()1lg,1x f x f x f x x +==--- ，函数()2lg 1f x a x ⎛⎫=+⎪-⎝⎭为奇函数；当1a = 时，()()()3lg,1x f x f x f x x -=≠---，函数()2lg 1f x a x ⎛⎫=+⎪-⎝⎭不是奇函数21a ∴=时， ()f x 不一定奇函数，当()f x 是奇函数时，由()00f =可得21,1a a =-=，所以“21a =”是“函数()2lg 1f x a x ⎛⎫=+⎪-⎝⎭为奇函数”的必要不充分条件 ，故选B. 2．已知集合{}0,1,2M =，{}02N x x =≤<，那么集合M N ⋂= A ．{}0 B ．{}0,1 C ．{}1,2 D ．{}0,2【答案】B 【解析】 【分析】直接进行交集的运算即可． 【详解】∵M ＝{0，1，2}，N ＝{x|0≤x ＜2}； ∴M∩N ＝{0，1}． 故选：B ． 【点睛】本题考查列举法、描述法的定义，以及交集的运算，属于基础题．3．若函数()()32ln f x x f x '=+，则()1f '=（ ）A ．1B ．1-C ．27D ．27-【答案】C 【解析】 【分析】求导后代入2x =可构造方程求得()2f '，从而得到()f x '，代入1x =可求得结果.()()2132f x x f x ''=+⋅Q ，()()121222f f ''∴=+，解得：()224f '∴=，()2243f x x x'∴=+，()132427f '∴=+=.故选：C . 【点睛】本题考查导数值的求解问题，关键是能够明确()0f x '为实数，其导数为零. 4．执行如图所示的程序框图，若输出的18S =-，则输入的S =（ ）A ．-4B ．-7C ．-22D ．-32【答案】A 【解析】 【分析】模拟执行程序，依次写出每次循环得到的S ，i 的值，当i ＝6时不满足条件i ＜6，退出循环，输出S 的值为S+1﹣9+16﹣25＝﹣18，从而解得S 的值． 【详解】解：由题意，模拟执行程序，可得 i ＝2，满足条件i ＜6，满足条件i 是偶数，S ＝S+1，i ＝3 满足条件i ＜6，不满足条件i 是偶数，S ＝S+1﹣9，i ＝1 满足条件i ＜6，满足条件i 是偶数，S ＝S+1﹣9+16，i ＝5 满足条件i ＜6，不满足条件i 是偶数，S ＝S+1﹣9+16﹣25，i ＝6 不满足条件i ＜6，退出循环，输出S 的值为S+1﹣9+16﹣25＝﹣18， 故解得：S ＝﹣1．点睛：本题主要考查了循环结构的程序框图，模拟执行程序，正确得到循环结束时S的表达式是解题的关键，属于基础题．5．关于“斜二测”画图法，下列说法不正确的是（）A．平行直线的斜二测图仍是平行直线B．斜二测图中，互相平行的任意两条线段的长度之比保持原比例不变C．正三角形的直观图一定为等腰三角形D．在画直观图时，由于坐标轴的选取不同，所得的直观图可能不同【答案】C【解析】【分析】根据斜二测画法的特征，对选项中的命题进行分析、判断正误即可．【详解】解：对于A，平行直线的斜二测图仍是平行直线，A正确；对于B，斜二测图中，互相平行的任意两条线段的长度之比保持原比例不变，B正确；对于C，正三角形的直观图不一定为等腰三角形，如图所示；∴C错误；对于D，画直观图时，由于坐标轴的选取不同，所得的直观图可能不同，D正确．故选：C．【点睛】本题考查了斜二测画法的特征与应用问题，是基础题．6．大学生小明与另外3名大学生一起分配到某乡镇甲、乙丙3个村小学进行支教，若每个村小学至少分配1名大学生，则小明恰好分配到甲村小学的概率为（）A．112B．12C．13D．16【答案】C 【解析】【分析】基本事件总数n 2343C A ==36，小明恰好分配到甲村小学包含的基本事件个数m 322332A C A =+=12，由此能求出小明恰好分配到甲村小学的概率． 【详解】解：大学生小明与另外3名大学生一起分配到某乡镇甲、乙、丙3个村小学进行支教， 每个村小学至少分配1名大学生，基本事件总数n 2343C A ==36，小明恰好分配到甲村小学包含的基本事件个数m 322332A C A =+=12，∴小明恰好分配到甲村小学的概率为p 121363m n ===． 故选C ． 【点睛】本题考查概率的求法，考查古典概率、排列组合等基础知识，考查运算求解能力，是基础题． 7．某品牌小汽车在匀速行驶中每小时的耗油量y （升）关于行驶速度x （千米/时）的函数解析式为31118(0120)8100010y x x x =-+<≤.若要使该汽车行驶200千米时的油耗最低，则汽车匀速行驶的速度应为（ ） A ．60千米/时 B ．80千米/时C ．90千米/时D ．100千米/时【答案】C 【解析】分析：先设速度为x 千米/小时，再求出函数f(x)的表达式，再利用导数求其最小值. 详解：当速度为x 千米/小时时，时间为200x小时， 所以f(x)=321120013600(18)20(0120)8100010405x x x x x x-+⋅=+-<≤所以3322236002290()(0120405405x f x x x x x '-⨯=-=<≤） 令)0,90.f x x =∴='（当x ∈（0,90）时，函数f(x)单调递减，当x ∈（90,120）时，函数f(x)单调递增. 所以x=90时，函数f(x)取得最小值. 故答案为C.点睛：（1）本题主要考查导数的应用，意在考查学生对这些知识的掌握水平和解决实际问题的能力.(2) 如果求函数在开区间(,)a b 内的最值，则必须通过求导，求函数的单调区间，最后确定函数的最值． 8．设a ，b ，c ∈R，且a ＞b ，则 A ．ac bc >B ．a c b c -<-C ．22a b >D ．33a b >【答案】D 【解析】分析：带特殊值验证即可详解：2b 1c 0a ===，，排除A,B ． 1b 2a ，=-=-排除C ．故选D 点睛：带特殊值是比较大小的常见方法之一． 9．下列说法正确的是（ ）A ．命题“若21x =，则1x =”的否命题为“若21x =，则1x ≠”B ．命题“0x ∀≥，210x x +-<”的否定是“0x ∃<，210x x +-<”C ．样本的相关系数r ，||r 越接近于1，线性相关程度越小D ．命题“若x y =，则sin sin x y =”的逆否命题为真命题 【答案】D 【解析】 【分析】利用四种命题之间的变换可判断A ；根据全称命题的否定变法可判断B ；利用相关系数与相关性的关系可判断C ；利用原命题与逆否命题真假关系可判断D. 【详解】对于A ，命题“若21x =，则1x =”的否命题为“若21x ≠，则1x ≠”，故A 错误；对于B ，命题“0x ∀≥，210x x +-<”的否定是“00x ∃≥，20010x x +-≥”，故B 错误；对于C ，样本的相关系数r ，||r 越接近于1，线性相关程度越大，故C 错误； 对于D ，命题“若x y =，则sin sin x y =”为真命题，故逆否命题也为真命题， 故D 正确； 故选：D 【点睛】本题考查了判断命题的真假、全称命题的否定、四种命题的转化以及原命题与逆否命题真假关系、相关系数与相关性的关系，属于基础题.10．下图是一个算法流程图，则输出的x 值为A ．95B ．47C ．23D ．11【答案】B 【解析】运行程序，2,0x n ==，判断是，5x =，1n =，判断是，11,2x n ==，判断是，23,3x n ==，判断是，47,4x n ==，判断否，输出47x =.11．若函数12()3sin 21x x f x x +=+++，则(2019)(2019)f f -+=（ ）A ．0B ．8C ．4D ．6【答案】B 【解析】 【分析】根据函数解析式可求得()f x -，结合函数奇偶性可得到()()8f x f x +-=，从而得到结果. 【详解】由题意得：()()221223sin 5sin 2121x x xf x x x +-=++=-+++ ()()2225sin 5sin 2112xx xf x x x -⋅∴-=-+-=--++ ()()1028f x f x ∴+-=-= ()()201920198f f ∴+-=本题正确选项：B 【点睛】本题考查函数性质的应用，关键是能够根据解析式确定()()f x f x +-为定值，从而求得结果. 12．函数12(0,1)x y a a a -=+>≠的图像恒过定点A ，若定点A 在直线1x ym n+=()0,0m n >>上，则3m n +的最小值为（ ）A ．13B ．14C ．16D ．12【答案】D 【解析】 【详解】分析：利用指数型函数的性质可求得定点()1,3A ，将点A 的坐标代入1x ym n+=，结合题意，利用基本不等式可得结果.详解：1x =Q 时，函数12(0,1)x y aa a -=+>≠值恒为3，∴函数12(0,1)x y a a a -=+>≠的图象恒过定点()1,3A ，又点A 在直线1x y m n +=上，131m n∴+=， 又(),0,331m n m n m n >∴+=+⋅()133m n m n ⎛⎫=+⋅+ ⎪⎝⎭933n m m n =+++96212n mm n≥+⋅=，（当且仅当3m n =时取“=”）， 所以，3m n +的最小值为12，故选D.点睛：本题主要考查指数函数的性质，基本不等式求最值，属于中档题. 利用基本不等式求最值时，一定要正确理解和掌握“一正，二定，三相等”的内涵：一正是，首先要判断参数是否为正；二定是，其次要看和或积是否为定值（和定积最大，积定和最小）；三相等是，最后一定要验证等号能否成立（主要注意两点，一是相等时参数否在定义域内，二是多次用≥或≤时等号能否同时成立）. 二、填空题（本题包括4个小题，每小题5分，共20分）13．在古代三国时期吴国的数学家赵爽创制了一幅“赵爽弦图”，由四个全等的直角三角形围成一个大正方形，中间空出一个小正方形（如图阴影部分）．若直角三角形中较小的锐角为a ．现向大正方形区城内随机投掷一枚飞镖，要使飞镖落在小正方形内的概率为14，则cos α=_____________．71+ 【解析】 【分析】设正方形边长为1，可得出每个直角三角形的面积为1sin 24α，由几何概型可得出四个直角三角形的面积之和为34，可求出3sin 24α=，由04πα<<得出cos20α>并得出cos2α的值，再利用降幂公式21cos 2cos 2αα+=可求出cos α的值. 【详解】设正方形边长为1，则直角三角形的两条直角边分别为sin α和cos α，则每个直角三角形的面积为11sin cos sin 224ααα=，由题意知，阴影部分正方形的面积为14， 所以，四个直角三角形的面积和为114sin 2144α⨯=-，即3sin 24α=，由于α是较小的锐角，则04πα<<，022πα∴<<，所以，cos 2α==，因此，cos α====. 【点睛】本题考查余弦值的计算，考查几何概型概率的应用，解题的关键就是求出sin 2α和cos2α的值，并通过二倍角升幂公式求出cos α的值，考查计算能力，属于中等题．14．一个酒杯的轴截面是抛物线的一部分，它的方程是x 2=2y （0≤y≤20）．在杯内放入一个玻璃球，要使球触及酒杯底部，则玻璃球的半径r 的范围为 【答案】0＜r≤1 【解析】 【分析】 【详解】设小球圆心（0，y 0） 抛物线上点（x ，y ） 点到圆心距离平方r 2=x 2+（y ﹣y 0）2=2y+（y ﹣y 0）2=y 2+2（1﹣y 0）y+y 02 若r 2最小值在（0，0）时取到，则小球触及杯底, 此二次函数对称轴在纵轴左边， 所以1﹣y 0≥0 所以0＜y 0≤1 所以0＜r≤1 故答案为0＜r≤1点评：本题主要考查了抛物线的应用．考查了学生利用抛物线的基本知识解决实际问题的能力．15．已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左、右焦点分别为1F 、2F ，A 是双曲线上一点，且2AF x ⊥轴，若12AF F △的内切圆半径为(31)a -，则其渐近线方程是__________． 【答案】2y x =± 【解析】分析：由题意可得A 在双曲线的右支上，由双曲线的定义可得|AF 1|﹣|AF 2|=2a ，设Rt △AF 1F 2内切圆半径为r ，运用等积法和勾股定理，可得r=c ﹣a ，结合条件和渐近线方程，计算即可得到所求． 详解：由点A 在双曲线上，且AF 2⊥x 轴， 可得A 在双曲线的右支上，由双曲线的定义可得|AF 1|﹣|AF 2|=2a ，设Rt △AF 1F 2内切圆半径为r ， 运用面积相等可得S 12AF F V =12|AF 2|•|F 1F 2| =12r （|AF 1|+|AF 2|+|F 1F 2|）， 由勾股定理可得|AF 2|2+|F 1F 2|2=|AF 1|2， 解得r=)2121223122AF F F AF c ac a a +--==-=，3c a ⇒=，即b 2a =∴渐近线方程是2y x =， 故答案为：2y x =．点睛：本题主要考查双曲线的定义及简单的几何性质、数形结合思想的应用，属于难题.数形结合是根据数量与图形之间的对应关系，通过数与形的相互转化来解决数学问题的一种重要思想方法，是中学数学四种重要的数学思想之一，尤其在解决选择题、填空题是发挥着奇特功效，大大提高了解题能力与速度.运用这种方法的关键是将已知函数的性质研究透，这样才能快速找准突破点. 充分利用数形结合的思想方法能够使问题化难为简，并迎刃而解.16．如图，矩形OABC 的四个顶点坐标依次为(0,0),(,0),(0,1)2O A C π，记线段,OC CB 以及sin (0)2y x x π=≤≤的图象围成的区域（图中阴影部分）为Ω，若向矩形OABC 内任意投一点M ，则点M 落在区域Ω的概率为__________．【答案】12π-【解析】因空白处的面积220sin cos |1S xdx x ππ==-=⎰，故阴影部分的面积为1122S ππΩ=⨯-=-，故由几何概型的计算公式可得所求概率12212d P D πππ-===-，应填答案21π-． 三、解答题（本题包括6个小题，共70分） 17．已知集合A ={}|2,0x x a a -，集合B =22|13x x x -⎧⎫<⎨⎬+⎩⎭. （1）若1a =，求A B I ； （2）若A⊂≠B ，求实数a 的取值范围.【答案】（1）{}|13A B x x ⋂=<<（2）{}|03a a <≤ 【解析】分析：（1）先化简集合A,B ，再求A B ⋂.(2)先化简集合A,B ，再根据A ⊂≠B 得到23250a a a -≥-⎧⎪+≤⎨⎪>⎩，解不等式得到实数a 的取值范围.详解：（1）当1a =时，21x -<，解得13x <<.则A = {|13}x x <<.由2213x x -<+，得35x -<<.则B = {|35}x x -<<. 所以{|13}A B x x ⋂=<<.（2）由2a(0)x a -<>，得22a x a -<<+.若A ⊂≠B ，则2325.0a a a -≥-⎧⎪+≤⎨⎪>⎩解得03a <≤.。
绵阳市2019-2020学年数学高二下期末质量检测试题含解析
绵阳市2019-2020学年数学高二下期末质量检测试题一、选择题：本题共12小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知曲线2y x =与直线y kx =围成的图形的面积为43，则k =（ ） A ．1B ．12C ．±1D ．12± 【答案】D【解析】 分析：首先求得交点坐标，然后结合微积分基本定理整理计算即可求得最终结果.详解：联立方程：2y x y kx ⎧=⎨=⎩可得：1100x y =⎧⎨=⎩，22211x k y k ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩， 即交点坐标为()0,0，211,k k ⎛⎫ ⎪⎝⎭， 当0k >时，由定积分的几何意义可知围成的图形的面积为：)210k kx dx ⎰21322021|32k x kx ⎛⎫=- ⎪⎝⎭0=， 整理可得：318k =，则12k =， 同理，当k 0<时计算可得：12k =-. 本题选择D 选项. 点睛：(1)一定要注意重视定积分性质在求值中的应用；(2)区别定积分与曲边梯形面积间的关系，定积分可正、可负、也可以为0，是曲边梯形面积的代数和，但曲边梯形面积非负.2．已知函数()f x 在区间[)0+∞，上是增函数，且()()g x f x =-.若()()lg 1g x g >，则x 的取值范围是（ ） A ．[)110， B ．110⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭， C ．11010⎛⎫ ⎪⎝⎭， D ．()111010⎛⎤⋃+∞ ⎥⎝⎦，， 【答案】C【解析】【分析】由()g x f x =-，得到g x 为偶函数，再由f x 是0,+∞上的增函数，得到g x 是0,+∞上的减函数，根据()()lg 1g x g >，转化为()()lg 1g x g >，即可求解.【详解】由题意，因为()()()g x f x g x -=-=，所以()g x 为偶函数，又因为()f x 是[)0,+∞上的增函数，所以()g x 是[)0,+∞上的减函数，又因为()()lg 1g x g >，所以()()lg 1g x g >， 所以lg 1x <，解得11010x <<，故选C. 【点睛】本题主要考查了函数的奇偶性的应用，以及对称区间上的函数的单调性的应用，同时解答中涉及到对数函数的图象与性质的应用，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于中档试题.3．()52x x y ++的展开式中，33x y 的系数为（ ）A ．10B ．20C ．30D ．60 【答案】B【解析】【分析】将二项式表示为()()5522x x y x x y ⎡⎤++=++⎣⎦，利用二项展开式通项()525r r r C x x y -⋅+，可得出3r =，再利用完全平方公式计算出()22x x+展开式中3x 的系数，乘以35C 可得出结果. 【详解】 ()()5522x x y x x y ⎡⎤++=++⎣⎦，其展开式通项为()525r r r C x x y -⋅+，由题意可得3r =， 此时所求项为()()222334323552C x x y C x x x y ⋅+=⋅++，因此，()52x x y ++的展开式中，33x y 的系数为35221020C =⨯=，故选B. 【点睛】本题考查三项展开式中指定项的系数，解题时要将三项视为两项相加，借助二项展开式通项求解，考查运算求解能力，属于中等题.4．角α的终边上一点(,2)(0)P a a a ≠，则2sin cos αα-=（ ）A B ．5- C 或5- D ．5或5- 【答案】D【解析】根据三角函数的定义求出cos ,sin αα，注意讨论a 的正负．【详解】α的终边上一点(,2)(0)P a a a ≠， 则22cos 5||(2)a a a α==+5,05,0a a ⎧>⎪=⎨⎪-<⎪⎩， 22sin 5||(2)a a a α==+25,025,0a a ⎧>⎪=⎨⎪-<⎪⎩， 所以35,02sin cos 35,0a a αα⎧>⎪-=⎨⎪-<⎪⎩. 故应选D.【点睛】本题考查三角函数的定义，解题时要注意分类讨论，即按参数a 的正负分类．5．设随机变量X~N （0，1），已知( 1.96)0.025P X <-=，则( 1.96)P X <=（ ）A ．0.025B ．0.050C ．0.950D ．0.975【答案】C【解析】本题考查服从标准正态分布的随机变量的概率计算． ( 1.96)P ξ<，选C ．6．设实数x ，y 满足约束条件202301x y x y x -≤⎧⎪-+≥⎨⎪≥-⎩,则z x y =-的取值范围是（ ） A ．3[,3]2- B ．[1,3]- C ．3[,0]2- D ．[1,0]-【答案】A【解析】分析：作出题中不等式组表示的平面区域，得到如图的△ABC 及其内部，再将目标函数z=|x|﹣y 对应的直详解：作出实数x，y满足约束条件202301x yx yx-≤⎧⎪-+≥⎨⎪≥-⎩表示的平面区域，得到如图的△ABC及其内部，其中A（﹣1，﹣2），B（0，3 2），O（0，0）．设z=F（x，y）=|x|﹣y，将直线l：z=|x|﹣y进行平移，观察直线在y轴上的截距变化，当x≥0时，直线为图形中的红色线，可得当l经过B与O点时，取得最值z∈[0，32]，当x＜0时，直线是图形中的蓝色直线，经过A或B时取得最值，z∈[﹣32，3]综上所述，z∈[﹣32，3]．故答案为：A．点睛：（1）本题主要考查线性规划，意在考查学生对该知识的掌握水平和数形结合的思想方法，考查学生分类讨论思想方法.(2)解答本题的关键是对x分x≥0和x＜0讨论，通过分类转化成常见的线性规划问题. 7．已知函数()()12,2311,2f x xf xx x⎧->⎪=⎨⎪--≤⎩，则函数g（x）＝xf（x）﹣1的零点的个数为（）A．2B．3C．4D．5【答案】B【解析】【分析】由g（x）＝xf（x）﹣1＝0得f（x）1x=，根据条件作出函数f（x）与h（x）1x=的图象，研究两个函数的交点个数即可得到结论．由g （x ）＝xf （x ）﹣1＝0得xf （x ）＝1，当x ＝0时，方程xf （x ）＝1不成立，即x ≠0，则等价为f （x ）＝1x ， 当2＜x ≤4时，0＜x ﹣2≤2，此时f （x ）＝13f （x ﹣2）＝13（1﹣|x ﹣2﹣1|）＝13﹣13|x ﹣3|， 当4＜x ≤6时，2＜x ﹣2≤4，此时f （x ）＝13f （x ﹣2）＝13 [13﹣13|x ﹣2﹣3|]＝19﹣19|x ﹣5|， 作出f （x ）的图象如图，则f （1）＝1，f （3）＝13f （1）＝13，f （5）＝13f （3）＝19， 设h （x ）＝1x， 则h （1）＝1，h （3）＝13，h （5）＝15＞f （5）， 作出h （x ）的图象，由图象知两个函数图象有3个交点，即函数g （x ）的零点个数为3个，故选：B ．【点睛】本题主要考查函数与方程的应用，利用条件转化为两个函数图象的交点个数问题，利用数形结合是解决本题的关键．8．若集合()(){}120A x x x =+-<，{}ln 0B x x =>，则AB =（ ） A ．{}12x x <<B ．{}11x x -<<C ．{}12x x -<<D ．{}21x x -<< 【答案】A【分析】分别化简集合A 和B ，然后直接求解A B 即可 【详解】∵()(){}{}12012A x x x x x =+-<=-<<，{}{}ln 01B x x x x =>=>，∴{}12A B x x ⋂=<<.【点睛】本题考查集合的运算，属于基础题9．已知二项式85()ax +的展开式的第二项的系数为5-，则333a x dx -=⎰（ ） A ．60-B ．73C ．60-或73D ．30或103- 【答案】A【解析】分析：根据第二项系数，可求出1a =-；由定积分基本性质，求其原函数为434y x =，进而通过微积分基本定理求得定积分值。
绵阳市高二数学下学期期末教学质量测试题31及答案
保密 ★ 启用前【考试时间： 7月3日上午10:10－11:50】绵阳市第二学年末教学质量测试数学试题(文科)本试卷分为试题卷和答题卷两部分，其中试题卷由第I 卷（选择题）和第Ⅱ卷组成，共4页；答题卷共4页．满分100分．考试结束后将答题卡和答题卷一并交回．第Ⅰ卷（选择题，共48分）注意事项：1．答第I 卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目用铅笔涂写在答题卡上． 2．每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦擦干净后，再选涂其它答案，不能答在试题卷上．一、选择题：本大题共12个小题，每小题4分，共48分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，把它选出来填涂在答题卡上．1．若空间两个角α 与β 的两边对应平行，当 α = 60︒ 时，则 β 等于A ．30︒B ．30︒ 或120︒C ．60︒D ．60︒ 或120︒2．某化工厂有职工320人，其中工人240人，管理人员48人，其余为后勤人员．在一次职工工作情况抽样调查中，如果用分层抽样的方法，抽得工人的人数是30人，那么这次抽样调查中样本的容量是A ．30B ．40C ．48D ．2403．若空间任意一点O 和不共线的三点A ，B ，C ，满足z y x ++=（x ，y ，z ∈R ），则x + y + z = 1是四点P ，A ，B ，C 共面的A ．必要不充分条件B ．充分不必要条件C ．充要条件D ．既不充分又不必要条件4．若A ( 2, －4, －1 )，B （－1，5，1），C （3，－4，1），令a =，b =，则a + b 对应的坐标为A ．（－5，9，－2）B ．（－5，－9，－2）C ．（－5，－9，2）D ．（5，－9，－2）5．在两个信封内装有6张分别写有数字0，1，2，3，4，5的卡片，现从每个信封中各任取1张卡片，则这两张卡片上的数字之和等于7的概率为 A ．31B ．61 C ．81 D ．916．已知（x 2 + 1）（2x －1）9 = a 0 + a 1x + … + a 11x 11，则a 1 + a 2 + … + a 11 的值为A ．3B ．2C ．1D ．－1 7．平行六面体A 1B 1C 1D 1－ABCD 中，与1AC 相等的是A ．111CC AD AB ++ B ．112-C ．1CAD ．11++8．已知四棱锥P －ABCD 中，底面ABCD 是边长为1的菱形，∠ABC = 60°，PA ⊥底面ABCD ，PA = 1，则异面直线AB 与PD 所成的角的余弦值为 ABC ．46 D9．若样本x 1，x 2，…，x n 的平均数为6，方差为2，则对于样本2x 1 + 1，2x 2 + 1，…，2x n + 1，下列结论正确的是A ．平均数为12，方差为4B ．平均数为12，方差为8C ．平均数为13，方差为4D ．平均数为13，方差为810．已知正四面体ABCD 的表面积为S ，其四个面的中心分别为E 、F 、G 、H ，若正四面体EFGH的表面积为T ，则ST等于 A ．94 B ．91 C ．41 D ．3111．已知球O 的表面积为4π，A 、B 、C 为球面上三点，面OAB ⊥面ABC ，A 、C 两点的球面距离为2π，B 、C 两点的球面距离为3π，则A 、B 两点的球面距离为 A ．3π B ．2πC ．23πD ．34π12．如图，△ADE 为正三角形，四边形ABCD 为正方形，平面ADE ⊥平面ABCD ．点P 为平面ABCD 内的一个动点， 且满足PE = PC ，则点P 在正方形ABCD 内的轨迹为A ．B ．C ．D ．第Ⅱ卷（非选择题，共52分）注意事项：1．用钢笔或圆珠笔将答案直接写在答题卷上．2．答卷前将答题卷的密封线内项目填写清楚．二、填空题：本大题共4小题，每小题3分，共12分．把答案填在答题卷题中横线上．13．统计某校高二800名学生的数学会考成绩， 得到样本频率分布直方图如右．规定不低于 60分为及格，不低于80分为优秀，则可估ABDCDABC计该校的及格率是 ，优秀人数 为 ．14．甲、乙、丙三名大学生同时到一个用人单位应聘，他们能被选聘中的概率分别为52，43，31，且各自能否被选聘中是无关的，则恰好有两人被选聘中的概率为 ． 15．正四棱柱A 1B 1C 1D 1－ABCD 中，已知AA 1 = 2，AB = AC = 1，则此正四棱柱的外接球的体积等于 ．16．在平面几何中，△ABC 的内角平分线CE 分AB所成线段的比为BCAC EB AE ，把这个结论类比到空间：在三棱锥A －BCD 中（如图），平面DEC 平分二面角A －CD －B 且与AB 相交于E ，则得到的类比的结论是 ．三、解答题：本大题共4小题，共40分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（本题满分10分）某单位按性别比例在男女职工中抽取70人进行体重调查，其中男职工40（1）从体重在（75，85]的男职工中任取两名，求至少有一名男职工体重在（80，85]间的概率；（2）若男职工体重超过75千克，女职工体重超过60千克，则称为“体重偏胖”，计算该单位“体重偏胖”的职工比例；（3）若该单位再次随机组织100人进行体重测试，发现这100人中恰有5人上次已经做过体重测试，试估计该单位共有男、女职工各多少人？18．（本题满分10分）网络工程师是通过学习和训练，掌握网络技术的理论知识和操作技能的网络技术人员，他能够从事计算机信息系统的设计、建设、运行和维护工作．要获得网络工程师资格证书必须依次通过理论和操作两项考试，只有理论成绩合格时，才可继续参加操作的考试．已知理论和操作各只允许有一次补考机会，两项成绩均合格方可获得证书．现某人参加网络工程师证书考试，根据以往模拟情况，理论考试成绩每次合格的概率均为32，操作考试成绩每次合格的概率均为21，假设各次考试成绩合格与否均互不影响．（1）求他不需要补考就可获得网络工程师证书的概率；（2）求他恰好补考一次就获得网络工程师证书的概率．EA19．（本题满分10分）如图，把棱长为1的正方体A1B1C1D1ABCD放在空间直角坐标系D－xyz中，P为线段AD1上一点，1PDλ=（λ＞0）．（1）当λ= 1时，求证：PD⊥平面ABC1D1；（2）求异面直线PC1与CB1所成的角；（3）求三棱锥D－PBC1的体积．20．（本题满分10分）如图，在正四棱柱ABCD－A1B1C1D1AA1 =2，AB = 1，E是DD1的中点．（1）求直线B1D和平面A1ADD1所成角的大小；（2）求证：B1D⊥AE；（3）求二面角C－AE－D的大小．数学（第II卷）答题卷（文科）注意事项：答卷前将答题卷密封线内的项目填写清楚．二、填空题：本大题共4小题，每小题3分，共12分．把答案填在题中横线上．13．，．14．．15．．16．．三、解答题：本大题共4小题，共40分．解答应写出文字说明、证明过程或演算17．（本题满分10分）P18．（本题满分10分）19．（本题满分10分）20．（本题满分10分）第二学年末教学质量测试数学答案（文科）一、选择题：本大题共12小题，每小题4分，共48分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．DBCA DABA DBCA二、填空题：本大题共4小题，每小题3分，共12分．把答案填在题中横线上．13．80%，160人14．602315．π616．BCDACDSSEBAE∆∆=三、解答题：本大题共4小题，共40分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（1）P =2426315CC-=．……………………4分（2）该单位“体重偏胖”的职工比例为（4 + 2 + 3 + 1）÷ 70 =17．…………7分（3）共有职工70 ÷5100= 1400人，其中男职工1400 ×47= 800人，女职工600人．……………………10分18．设“理论第一次考试合格”为事件A1，“理论补考合格”为事件A2；“操作第一次考试合格”为事件B1，“操作补考合格”为事件B2．……………………2分（1）不需要补考就获得证书的事件为A1 ·B1，注意到A1与B1相互独立，则P（A1 ·B1）= P（A1）·P（B1）=32×21=31．答：该同志不需要补考就获得网络工程师证书的概率为31．……………………6分（2）恰好补考一次的事件是211121BBABAA+，则P（211121BBABAA+）= P（121BAA）+ P（211BBA）=31×32×21+32×21×21=185．答：该同志恰好补考一次就获得网络工程师证书的概率为185．……………………10分19．（1）当λ= 1时，点P为线段AD1的中点，有PD⊥AD1，P（0，21，21），而B（1，1，0），∴ PD =（0，－21，－21），PB =（1，21，－21）． 则 PD · PB = 0×1 +（－21×21）+（－21）×（－21）= 0，因而 PD ⊥PB ，∴ PD ⊥平面ABC 1D 1． …………………… 4分 （2）∵1λ=（λ＞0），∴ P （0，λ+11，λλ+1）， 又 C 1（1，0，1），C （1，0，0），B 1（1，1，1）， ∴ PC 1 =（1，－λλ+1，1－λλ+1）=（1，－λ+11，λ+11CB 1 =（0，1，1）． ∵ PC 1 · CB 1 = 0×1 + 1×（－λ+11）+ 1×λ+11= 0， ∴PC 1⊥CB 1，即异面直线PC 1与CB 1所成的角为90︒． …………………… 7分 （3）∵ AD 1∥CB 1，P 为线段AD 1上的点， ∴ 三角形PBC 1的面积为221221=⋅⋅=S ． 又 ∵ CD ∥平面ABC 1D 1，∴ 点D 到平面PBC 1的距离为22=h ， 因此三棱锥D －PBC 1的体积为6122223131=⋅⋅=⋅⋅=h S V ．……………… 10分20．（1）连结A 1D ．∵ ABCD －A 1B 1C 1D 1是正四棱柱，∴ A 1B 1⊥平面A 1ADD 1， ∴ A 1D 是B 1D 在平面A 1ADD 1上的射影， ∴ ∠A 1DB 1是直线B 1D 和平面A 1ADD 1所成的角． 在RtΔB 1A 1D 中，tan ∠A 1DB 1 =3331111==D A B A ， ∴∠A 1DB 1 = 30°，即直线B 1D 和平面A 1ADD 1，所成的角30°． …………… 4分 （2）在Rt △A 1AD 和Rt △ADE 中， ∵21==DEADAD A A ，∴△A 1AD ∽△ADE ，于是 ∠A 1DA =∠AED ． ∴ ∠A 1DA +∠EAD =∠AED +∠EAD = 90°，因此 A 1D ⊥AE ．由（1）知，A 1D 是B 1D 在平面A 1ADD 1上的射影，根据三垂线定理，得 B 1D ⊥AE ．…………………… 7分（3）设A 1D ∩AE = F ，连结CF ．因为CD ⊥平面A 1ADD 1，且AE ⊥DF ，所以根据三垂线定理，得 AE ⊥CF ， 于是∠DFC 是二面角C －AE －D 的平面角． 在Rt △ADE 中，由 AD · DE = AE · DF ⇒ 31=⋅=AE DE AD DF ． 在Rt △FDC 中，tan ∠DFC =3=DFCD， ∴ ∠DFC = 60°，即二面角C －AE －D 的大小是60°． …………………… 10分另法 ∵ ABCD －A 1B 1C 1D 1是正四棱柱， ∴ DA 、DC 、DD 1两两互相垂直．如图，以D 为原点，直线DA ，DC ，DD 1分别为x 轴，y 轴，z 轴，建立空间直角坐标系． 则D （0，0，0），A （1，0，0），B （1，1，0），C （0，1，0），B 1（1，1，2）．…………………… 2分（1）连结A 1D ，则 A 1B 1⊥平面A 1ADD 1， ∴ A 1D 是B 1D 在平面A 1ADD 1上的射影，因此∠A 1DB 1是直线B 1D 和平面A 1ADD 1所成的角． ∵ A 1（1，0，2），∴ 1=（1，0，2），1=（1，1，2）， ∴ cos 23||||,111111=⋅<DB DA DB DA ，从而 ∠A 1DB 1 = 30°，即直线B 1D 和平面A 1ADD 1所成角的大小是30°．…………………… 5分（2）∵ E 是DD 1的中点，∴ E ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛22,0,0，∴ ,22,0,1⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=AE ∵ DB ·1=－1 + 0 + 1 = 0，∴ B 1D ⊥AE ．…………………… 7分（3）设A1D∩AE = F，连结CF．∵CD⊥平面A1ADD1，且AE⊥DF，则由三垂线定理得AE⊥CF，∴∠DFC是二面角C－AE－D的平面角．根据平面几何知识，可求得F ,32,0,31⎪⎪⎭⎫⎝⎛∴.32,1,31,32,0,31⎪⎪⎭⎫⎝⎛--=⎪⎪⎭⎫⎝⎛--=∴21||||,cos=⋅>=<FCFD，∴二面角C－AE－D的大小是60°．……………………10分资料来源:回澜阁教育免费下载天天更新。
2019-2020学年绵阳市数学高二(下)期末质量检测试题含解析
2019-2020学年绵阳市数学高二(下)期末质量检测试题一、单选题（本题包括12个小题，每小题35，共60分．每小题只有一个选项符合题意）1．为考察共享经济对企业经济活跃度的影响，在四个不同的企业各取两个部门进行共享经济对比试验，根据四个企业得到的试验数据画出如下四个等高条形图，最能体现共享经济对该部门的发展有显著效果的图形是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】A 【解析】 【分析】根据选项中的等高条形图看出共享与不共享时对企业经济活跃度差异大小，从而得出结论． 【详解】根据四个等高条形图可知：图形A 中共享与不共享时对企业经济活跃度的差异最大 它最能体现共享经济对该部门的发展有显著效果． 故选：A ． 【点睛】本题主要考查条形统计图的应用，考查学生理解分析能力和提取信息的能力，属于基础题.2．已知(1)n x +的展开式中第5项与第7项的二项式系数相等，则奇数项的二项式系数和为（ ） A ．92 B ．102 C ．112 D ．122【答案】A 【解析】由题意可得：46,4610n n C C n =∴=+= ，由二项式系数的性质可得：奇数项的二项式系数和为1091222⨯= . 本题选择A 选项.点睛：1．二项展开式的通项1C k n k kk n T a b -+=是展开式的第k ＋1项，这是解决二项式定理有关问题的基础．在利用通项公式求指定项或指定项的系数要根据通项公式讨论对k 的限制．2．因为二项式定理中的字母可取任意数或式，所以在解题时根据题意，给字母赋值，是求解二项展开式各项系数和的一种重要方法．3．二项式定理的应用主要是对二项展开式正用、逆用，要充分利用二项展开式的特点和式子间的联系． 3．设函数()f x '是奇函数()()f x x R ∈的导函数，(1)0f -=，当0x <时，()()f x f x x'<，则使得()0f x >成立的x 的取值范围是（ ） A ．(,1)(0,1)-∞-U B ．(,1)(1,0)-∞--U C ．(0,1)(1,)⋃+∞ D ．(1,0)(0,)-+∞U【答案】A 【解析】 【分析】 构造函数()()f x g x x=，首先判断函数的奇偶性，利用()()'f x f x x <可判断0x <时函数的单调性，结合函数图象列不等式组可得结果. 【详解】设()()f xg x x=， 则()g x 的导数为()()()2''xf x f x g x x -=，因为0x <时，()()'f x f x x<， 即()()'xf x f x >成立，所以当0x <时，()'g x 恒大于零，∴当0x <时，函数()()f xg x x=为增函数，又()()()()f x f x g x g x xx--===-Q ，∴函数()g x 为定义域上的偶函数，当0x >时，函数()()f xg x x=为减函数， 又()()1101f g --==-Q∴函数()g x 的图象性质类似如图，数形结合可得，不等式()()00f x x g x >⇔⋅>，()00x g x >⎧⇔⎨>⎩或()00x g x <⎧⎨<⎩，可得01x <<或1x <-，使得()0f x >成立的x 的取值范围是()(),10,1-∞-⋃ 故选：A. 【点睛】本题主要考查了利用导数判断函数的单调性，并由函数的奇偶性和单调性解不等式，属于综合题. 联系已知条件和结论，构造辅助函数是高中数学中一种常用的方法，解题中若遇到有关不等式、方程及最值之类问题，设法建立起目标函数，并确定变量的限制条件，通过研究函数的单调性、最值等问题，常可使问题变得明了，准确构造出符合题意的函数是解题的关键；解这类不等式的关键点也是难点就是构造合适的函数，构造函数时往往从两方面着手：①根据导函数的“形状”变换不等式“形状”；②若是选择题，可根据选项的共性归纳构造恰当的函数.4．学号分别为1，2，3，4的4位同学排成一排，若学号相邻的同学不相邻，则不同的排法种数为( ) A ．2 B ．4C ．6D ．8【答案】A 【解析】 【分析】先排1,2，再将3、4插空，用列举法，即可得出结果. 【详解】先排好1、2，数字3、4插空，排除相邻学号，只有2种排法：3142、1． 故选A 【点睛】本题主要考查计数原理，熟记概念即可，属于基础题型.5．设函数f(x)=cos(x+3π)，则下列结论错误的是 A ．f(x)的一个周期为−2π B ．y=f(x)的图像关于直线x=83π对称 C ．f(x+π)的一个零点为x=6π D ．f(x)在(2π,π)单调递减 【答案】D 【解析】f(x)的最小正周期为2π，易知A 正确； f 8π3⎛⎫⎪⎝⎭＝cos 8ππ33⎛⎫+ ⎪⎝⎭＝cos3π＝－1，为f(x)的最小值，故B 正确；∵f(x ＋π)＝cos ππ3x ⎛⎫++⎪⎝⎭＝－cos π3x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭，∴f ππ6⎛⎫+ ⎪⎝⎭＝－cos ππ63⎛⎫+ ⎪⎝⎭＝－cos 2π＝0，故C 正确； 由于f 2π3⎛⎫⎪⎝⎭＝cos 2ππ33⎛⎫+ ⎪⎝⎭＝cosπ＝－1，为f(x)的最小值，故f(x)在,2ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭上不单调，故D 错误．故选D.6．如果小明在某一周的第一天和第七天分别吃了3个水果，且从这周的第二天开始，每天所吃水果的个数与前一天相比，仅存在三种可能：或“多一个”或“持平”或“少一个”，那么，小明在这一周中每天所吃水果个数的不同选择方案共有（ ） A ．50种 B ．51种 C ．140种 D ．141种【答案】D 【解析】试题分析：小明共有6次选择，因为第一天和第七天均吃3个水果，所以在这6次选择中“多一个”和“少一个”的次数应相同、“持平”次数为偶数．当6次选择均为“持平”时，共有661C =种方案；当6次选择中有4次“持平”时，选择“多一个”和“少一个”各一次，共有246430A C =种方案；当6次选择中有2次“持平”时，选择“多一个”和“少一个”各2次，共有22264290C C C =种方案；当6次选择中有0次“持平”时，选择“多一个”和“少一个”各3次，共有336320C C =种方案.综上可得小明在这一周中每天所吃水果个数的不同选择方案共有1309020141+++=种方案,故D 正确. 考点：排列组合，考查分类讨论思想.7．已知()f x 是定义在R 上的偶函数，且()20f =，当0x >时，()()0xf x f x ->'，则不等式()0xf x >的解集是( ) A ．()(),22,-∞-+∞U B ．()2,2-C ．()()2,02,-+∞UD ．以上都不正确【答案】C 【解析】 令()()f xg x x=，则当0x >时：()()()2''0xf x f x g x x -=>， 即函数()g x 在()0,∞+上单调递增，由()20g =可得： 当()0,2x ∈时，()0g x <； 当()2,x ∈+∞时，()0g x >；不等式()0xf x >在()0,∞+上的解集为()2,+∞， 同理，不等式()0xf x >在(),0-∞上的解集为()2,0-， 综上可得：不等式()0xf x >的解集是()()2,02,-⋃+∞.8．已知()()5212ax x +- 的展开式中，含2x 项的系数为70，则实数a 的值为（ ） A ．1 B ．-1 C ．2 D ．-2【答案】A 【解析】 【分析】 【详解】分析：由题意结合二项式展开式的通项公式得到关于a 的方程，解方程即可求得实数a 的值.详解：()512x -展开式的通项公式为：()()15522rrrr r r T C x C x +=-=-，由于()()()()55521221212ax x x ax x +-=-+-，据此可知含2x 项的系数为：()()2121552228010C a C a ⨯-+-=-,结合题意可知：801070a -=，解得：1a =. 本题选择A 选项.点睛：(1)二项式定理的核心是通项公式，求解此类问题可以分两步完成：第一步根据所给出的条件(特定项)和通项公式，建立方程来确定指数(求解时要注意二项式系数中n 和r 的隐含条件，即n ，r 均为非负整数，且n≥r ，如常数项指数为零、有理项指数为整数等)；第二步是根据所求的指数，再求所求解的项． (2)求两个多项式的积的特定项，可先化简或利用分类加法计数原理讨论求解．9．正六边形ABCDEF 的边长为2，以顶点A 为起点，其他顶点为终点的向量分别为12345,,,,,a a a a a u v u u v u u v u u v u u v ；以顶点D 为起点，其他顶点为终点的向量分别为12345,,,,,b b b b b u v u u v u v u u v u u v．若,P Q 分别为()()•i j k r s t a a a b b b ++++u v u u v u u v u u v u v u v的最小值、最大值，其中{}{}{}{},,1,2,3,4,5,,,1,2,3,4,5i j k r s t 刎，则下列对,P Q 的描述正确的是（ ） A ．00P Q ＜，＜ B ．00P Q ＝，＞C ．00P Q ＜，＞D ．00P Q ＜，＝【答案】A 【解析】 【分析】利用向量的数量积公式，可知只有0AF DE AB DC ⋅=⋅>u u u r u u u r u u u r u u u r，其余数量积均小于等于0，从而得到结论． 【详解】由题意，以顶点A 为起点，其他顶点为终点的向量分别为12345,,,,a a a a a u r u u r u u r u u r u u r， 以顶点D 为起点，其他顶点为终点的向量分别为12345,,,,b b b b b u r u u r u r u u r u u r，则利用向量的数量积公式，可知只有0AF DE AB DC ⋅=⋅>u u u r u u u ru u u r u u u r，其余数量积均小于等于0，又因为,P Q 分别为()()i j k r s t a a a b b b ++⋅++u r u u r u u r u u r u r u r的最小值、最大值，所以0,0P Q <<，故选A ． 【点睛】本题主要考查了向量的数量积运算，其中解答中熟记向量的数量积的运算公式，分析出向量数量积的正负是关键，着重考查了分析解决问题的能力，属于中档试题． 10．函数f （x ）＝Asin （ωx+φ）（其中A ＞0，ω＞0，|φ|＜2π）的图象如图所示，为了得到g （x ）＝Acosωx 的图象，只需把y ＝f （x ）的图象上所有的点（ ）A ．向右平移12π个单位长度 B ．向左平移12π个单位长度C ．向右平移6π个单位长度 D ．向左平移6π个单位长度 【答案】B 【解析】 【分析】由函数的图象的顶点坐标求出A ，由周期求出ω，由五点法作图求出φ的值，可得f （x ）的解析式，再利用函数y ＝Asin （ωx+φ）的图象变换规律，得出结论． 【详解】根据函数f （x ）＝Asin （ωx+φ）（其中A ＞0，ω＞0，|φ|＜2π）的图象，可得A ＝1， 1274123w πππ⋅=-，∴ω＝1．再根据五点法作图可得1×3π+φ＝π，求得φ＝3π，∴函数f （x ）＝sin （1x+3π）． 故把y ＝f （x ）的图象上所有的点向左平移12π个单位长度，可得y ＝sin （1x+6π+3π）＝cos1x ＝g （x ）的图象. 故选B ． 【点睛】确定y ＝Asin(ωx ＋φ)＋b(A ＞0，ω＞0)的步骤和方法：(1)求A ，b ，确定函数的最大值M 和最小值m ，则A ＝2M m -，b ＝2M m +；(1)求ω，确定函数的最小正周期T ，则可得ω＝2πω；(3)求φ，常用的方法有：①代入法：把图象上的一个已知点代入(此时A ，ω，b 已知)或代入图象与直线y ＝b 的交点求解(此时要注意交点在上升区间上还是在下降区间上)．②特殊点法：确定φ值时，往往以寻找“最值点”为突破口．具体如下：“最大值点”(即图象的“峰点”)时ωx ＋φ＝2π；“最小值点”(即图象的“谷点”)时ωx ＋φ＝32π. 11．已知集合{1,2,3}A =，{}3,4B =，则从A 到B 的映射f 满足(3)3f =，则这样的映射共有（ ） A ．3个 B ．4个C ．5个D ．6个【答案】B 【解析】分析：根据映射的定义，结合已知中f （3）=3，可得f （1）和f （2）的值均有两种不同情况，进而根据分步乘法原理得到答案 详解：：若f （3）=3， 则f （1）=3或f （1）=4； f （2）=3或f （2）=4；故这样的映射的个数是2×2=4个， 故选：B ．点睛：本题考查的知识点是映射的定义，分步乘法原理，考查了逻辑推理能力，属于基础题12．已知m ＞0，n ＞0，向量(,1),(1,1),a m b n a b ==-⊥r rr r 且 则12m n+ 的最小值是（ ）A ．B ．2C ．3+D ．4+【答案】C 【解析】分析：利用向量的数量积为0，求出m ，n 的方程，然后利用基本不等式求解表达式的最小值即可.详解：m ＞0，n ＞0，向量()(),1,1,1,a m b n a b ==-⊥r rr r 且，可得1m n +=，则()12122333n m m n m n m n m n ⎛⎫+=++=++≥+=+ ⎪⎝⎭当且仅当1,m n n +==时，表达式取得最小值3+.故选：C.点睛：条件最值的求解通常有两种方法：一是消元法，即根据条件建立两个量之间的函数关系，然后代入代数式转化为函数的最值求解；二是将条件灵活变形，利用常数代换的方法构造和或积为常数的式子，然后利用基本不等式求解最值．二、填空题（本题包括4个小题，每小题5分，共20分）13．已知33210n n A A =，则345612n n n n C C C C +++++=____________．【答案】462 【解析】 【分析】根据排列数计算公式可求得n ，结合组合数的性质即可化简求值. 【详解】根据排列数计算公式可得()()3222122n A n n n =--，()()312n A n n n =--，所以()()()()221221012n n n n n n --=--， 化简可解得8n =，则由组合数性质可得345688910C C C C +++4569910C C C =++ 561010C C =+()61111!4626!116!C ===-，故答案为：462. 【点睛】本题考查了排列数公式的简单应用，组合数性质的综合应用，属于基础题.14．某同学同时掷两颗骰子，得到点数分别为a ，b ，则双曲线2222x y 1a b-=的离心率e >______．【答案】16【解析】 【分析】基本事件总数n 6636=⨯=，由双曲线2222x y 1a b -=的离心率e >b 2a >，利用列举法求出双曲线2222x y 1a b -=的离心率e >()a,b 有6个，由此能求出双曲线2222x y 1a b -=的离心率e >【详解】某同学同时掷两颗骰子，得到点数分别为a ，b ， 基本事件总数n 6636=⨯=，Q双曲线2222x y 1a b-=的离心率e >，ca ∴=>，解得b 2a >， ∴双曲线2222x y 1a b-=的离心率e >()a,b 有：()1,3，()1,4，()1,5，()2,5，(1，6)，()2,6，共6个，则双曲线2222x y 1a b-=的离心率e >的概率是61p 366==． 故答案为16． 【点睛】本题考查概率的求法，考查古典概型、列举法、双曲线性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．对于古典概型，要求事件总数是可数的，满足条件的事件个数可数，使得满足条件的事件个数除以总的事件个数即可.15．已知函数()1()ln f x g x x ==，对于任意12m ≤，都存在(0,+)n ∈∞，使得()()f m g n =，则n m -的最小值为________. 【答案】1 【解析】试题分析：由12m ≤知，11；由f （m ）=g （n ）可化为1ln n =；故1n e=1t =，t ≤1；则22t m t =-，则22tt y n m e t =-=-+；故'1ty e t =+-在（-∞，1]上是增函数，且y ′=0时，t=0；故22tt y n m e t =-=-+在t=0时有最小值，故n-m 的最小值为1；考点：函数恒成立问题；全称命题16．由0，1，2，…，9十个数字组成的无重复数字的三位数共______个 【答案】648 【解析】 【分析】首先考虑百位不为0，得到百位的情况数，再利用排列得到十位与个位的情况数，通过分步计数原理，得到答案. 【详解】因为百位不能为0，所以百位共有9种情况， 再在剩下的9个数中，任选2个安排在十位与个位，有2972A =种情况，根据分步计数原理可得，符合要求的三位数有972648⨯=个. 故答案为：648. 【点睛】本题考查排列的应用，分步计数原理，属于简单题. 三、解答题（本题包括6个小题，共70分）17．设n S 是数列{n a }的前n 项和，>0n a ，且4(2)n n n S a a =+. (I)求数列{n a }的通项公式；(Ⅱ)设212,...(1)(1)nn n n n n a b T b b b a a ==+++-+，求 n T .【答案】（Ⅰ）a n ＝2n ．（Ⅱ）111221n T n n ⎛⎫+- ⎪+⎝⎭＝ 【解析】 【分析】（Ⅰ）利用数列递推关系即可得出．(Ⅱ)利用裂项求和即可求解． 【详解】∵4S n ＝a n （a n +2），①当n ＝1时得211142a a a =+，即a 1＝2，当n ≥2时有4S n ﹣1＝a n ﹣1（a n ﹣1+2）②由①﹣②得2211422n n n n n a a a a a --=-+-，即2（a n +a n ﹣1）＝（a n +a n ﹣1）（a n ﹣a n ﹣1），又∵a n ＞0，∴a n ﹣a n ﹣1＝2，∴a n ＝2+2（n ﹣1）＝2n ．（Ⅱ）∵()()241111212122121n n b n n n n ⎛⎫==+- ⎪-+-+⎝⎭， ∴T n ＝b 1+b 2+…+b n 111111111123352121221n n n n n ⎛⎫⎛⎫=+-+-++-=+- ⎪ ⎪-++⎝⎭⎝⎭L 【点睛】本题考查了数列递推关系、裂项求和、数列的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题． 18．已知2z i =+，a ，b 为实数.（1）若2312z z ω=+-，求ω；（2）若522az bz i z+=--，求实数a ，b 的值.【答案】（1（2）-3，2【解析】分析：（1）利用复数乘法的运算法则以及共轭复数的定义化简3i ω=-+，利用复数模的公式求解即可；（2）利用复数除法的运算法则将522az bz i z+=--，化为()252b a a b i i -++=-，由复数相等的性质可得51b a a b -=⎧⎨+=-⎩，从而可得结果. 详解：（1）∵2z i =+，∴2z i =-. ∴2312z z ω=+-()()2232123i i i =++--=-+，∴ω==（2）∵2z i =+，∴()()()22222a i b i az bz z i ++-+=--+ ()()()()222i a b a b i a b a b ii i ⎡⎤++-++-⎣⎦==--()252b a a b i i =-++=-.∴51b a a b -=⎧⎨+=-⎩，解得32a b =-⎧⎨=⎩， ∴a ，b 的值为：-3，2.点睛：复数是高考中的必考知识，主要考查复数的概念及复数的运算．要注意对实部、虚部的理解，掌握纯虚数、共轭复数这些重要概念，复数的运算主要考查除法运算，通过分母实数化转化为复数的乘法，运算时特别要注意多项式相乘后的化简，防止简单问题出错，造成不必要的失分19．已知函数()lg(2)lg(2)f x x x =+--.(1)判断()f x 的奇偶性并予以证明；(2)求不等式()1f x >的解集.【答案】 (1)奇函数，证明见解析.(2) 11(,2)18. 【解析】分析：(1)先求定义域，判断是否关于原点对称，再研究()f x 与()f x -关系，根据奇偶性定义判断，(2)先根据对数函数单调性化简不等式，再解分式不等式得结果.详解： （1）要使函数有意义．则， 解得.故所求函数的定义域为． 由（1）知的定义域为，设，则． 且， 故为奇函数． (2)因为在定义域内是增函数， 因为，所以，解得． 所以不等式的解集是． 点睛：判断函数的奇偶性，其中包括两个必备条件：(1)定义域关于原点对称，这是函数具有奇偶性的必要不充分条件，所以首先考虑定义域；(2)判断f(x)与f(－x)是否具有等量关系．在判断奇偶性的运算中，可以转化为判断奇偶性的等价关系式f(x)＋f(－x)＝0(奇函数)或f(x)－f(－x)＝0(偶函数)是否成立．20．在平面直角坐标系中，以坐标原点为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系．已知点A 的极坐标24π)，直线l 的极坐标方程为ρcos(θ－4π)＝a ，． （1）若点A 在直线l 上，求直线l 的直角坐标方程； （2）圆C 的参数方程为2cos sin x y αα=+⎧⎨=⎩(α为参数)，若直线l 与圆C 2，求a 的值．【答案】 (1) 20x y +-= (2)2a =或2a = 【解析】 试题分析：（1）通过点A 在直线l 上，列出方程得到a ，然后求解直线l 的直角坐标方程（2）消去参数，求出()2x cos y sin 为参数ααα=+⎧⎨=⎩的普通方程，通过圆心到直线的距离半径半弦长的关系，即可求a 的值． 试题解析：（1）由点4A π⎫⎪⎭在直线cos()4πρθ-=a 上，可得a所以直线l 的方程可化为cos sin 2ρθρθ+=从而直线l 的直角坐标方程为20x y +-=.（2）由已知得圆C 的直角坐标方程为()2221x y -+=所以圆C 的圆心为（2，0），半径1r =，而直线l的直角坐标方程为x y +=，若直线l 与圆C则圆心到直线l的距离为2，所以d ==求得2a =或2a = 21．已知函数()32f x x ax bx c =+++在23x =-与1x =时都取得极值． （1）求,a b 的值；（2）求函数()f x 的单调区间.【答案】（1）122a b ⎧=-⎪⎨⎪=-⎩；（2）增区间是2,3⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭ 和()1,+∞，减区间是2,13⎛⎫- ⎪⎝⎭ ． 【解析】【分析】⑴求出()f x '，并令其为0得到方程，把23x =-与1x =代入求出a b ，的值 ⑵求出()f x '，分别令()0f x '<，()0f x '>，求出x 的范围，即可得到函数()f x 的单调区间【详解】⑴()32f x x ax bx c =+++，()232f x x ax b =++'由()212403931320f a b f a b ⎧⎛⎫-=-+=⎪ ⎪⎝'⎭⎨⎪=++'=⎩解得122a b ⎧=-⎪⎨⎪=-⎩⑵由⑴可知()32122f x x x x c =--+ ()'232f x x x ∴=--令()0f x '<，解得213x -<< 令()0f x '>，解得23x <-或1x > ()f x ∴的增区间是23⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭， 和()1+∞，，减区间为213⎛⎫- ⎪⎝⎭， 【点睛】本题考查的是函数在某点取得极值的条件以及利用导数研究函数的单调性，较为基础，只要运用法则来求解即可。
(3份试卷汇总)2019-2020学年绵阳市高二数学下学期期末质量检测试题
同步练习一、选择题：本题共12小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．在ABC ∆中，已知·9AB AC =，sin cos ?sin B A C =，6ABC S ∆=，P 为线段AB 上的一点，且··CA CBCP x y CA CB=+，则11x y +的最小值为（ ）A ．76B ．712C ．712+D ．76 2．已知随机变量X 服从二项分布(,)B n p ，若()50E X =，()30D X =，则n ，p 分别等于（ ） A ．100n =，35p =B ．100n =，25p =C ．125n =，25p = D ．125n =，35p =3．椭圆221mx ny +=与直线1x y +=相交于,A B 两点，过AB 中点M 与坐标原点连线斜率为2，则mn=（ ）A ．2B ．3C ．1D ．24．某科研单位准备把7名大学生分配到编号为1，2，3的三个实验室实习，若要求每个实验室分配到的大学生人数不小于该实验室的编号，则不同的分配方案的种数为（ ） A ．280B ．455C ．355D ．3505．己知1F ，2F 是椭圆2211612x y +=的左右两个焦点，若P 是椭圆上一点且23=PF ，则在12F PF ∆中12cos F PF ∠=（ ）A ．35B ．45C ．12D ．16．已知偶函数()f x 在[)0,+∞单调递减，则不等式()()213f x f ->的解集为（） A ．()2,1-B ．()1,2-C ．()(),21,-∞-⋃+∞D ．()(),12,-∞-+∞7．实验女排和育才女排两队进行比赛，在一局比赛中实验女排获胜的概率是23，没有平局.若采用三局两胜制，即先胜两局者获胜且比赛结束，则实验女排获胜的概率等于（ ） A ．49B ．2027C ．827D ．16278．函数121x y x -=+在()1,0处的切线与直线l :y ax =垂直，则a =（） A ．-3B ．3C ．13D ．13-9．已知函数6,2 ()31,2xx xf xx+⎧=⎨->⎩，若()80f a=，则(4)f a-=（）A．0 B．3 C．6 D．910．在长方体1111ABCD A B C D-中，12,4,AB AD AA E===为棱1BB的中点，则异面直线AE与1A D 所成角的余弦值为（）A．5B．6C．6D．1011．已知5log2a=，0.5log0.2b=，0.20.5c=，则,,a b c的大小关系为（）A．a c b<<B．a b c<<C．b c a<<D．c a b<<12．若0.22.1a=，0.40.6b=；lg0.6c=，则实数a，b，c的大小关系为（）A．a b c>>B．a c b>>C．b c a>>D．b a c>>二、填空题：本题共4小题13．若直线y x b=+与曲线234y x x=+-有公共点，则b的取值范围是______．14．点()2,3M到直线l：()130ax a y+-+=的距离等于3，则a=_______.15．如图，已知四面体ABCD的棱//AB平面α，且2AB=，其余的棱长均为1，四面体ABCD以AB 所在的直线为轴旋转x弧度，且始终在水平放置的平面α上方，如果将四面体ABCD在平面α内正投影面积看成关于x的函数，记为()S x，则函数()S x的取值范围为______.16．若变量x，y满足约束条件10280x yx yx-+≤⎧⎪+-≤⎨⎪≥⎩则3z x y=+的最大值为______．三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
四川省绵阳市2019-2020学年数学高二第二学期期末统考试题含解析
四川省绵阳市2019-2020学年数学高二第二学期期末统考试题一、单选题（本题包括12个小题，每小题35，共60分．每小题只有一个选项符合题意） 1．某锥体的正视图和侧视图均为如图所示的等腰三角形，则该几何体的体积最小值为（ ）A ．4π B ．12C ．1D ．2【答案】B 【解析】 【分析】锥体高一定，底面积最小时体积最小，底面图形可以是圆，等腰直角三角形，正方形，等腰直角三角形是面积最小，计算得到答案. 【详解】锥体高一定，底面积最小时体积最小，底面图形可以是圆，等腰直角三角形，正方形，等腰直角三角形是面积最小111113322V =⨯⨯⨯⨯=故答案选B 【点睛】本题考查了锥体的体积，判断底面是等腰直角三角形是解题的关键.2．关于函数()()2sin cos cos f x x x x =-的四个结论：()1:p f x 2；2:p 函数()221g x x =-的图象向右平移8π个单位长度后可得到函数()f x 的图象；()3:p f x 的单调递增区间为37,88k k ππππ⎡⎤++⎢⎥⎣⎦，k z ∈；()4:p f x 图象的对称中心为,128k k z ππ⎛⎫--∈ ⎪⎝⎭其中正确的结论有( ) A ．0个 B ．1个C ．2个D ．3个【答案】B 【解析】 【分析】把已知函数解析式变形,然后结合()sin y A ωx φ=+型函数的性质逐一核对四个命题得答案． 【详解】2()2(sin cos )cos sin 22cos sin 2cos 21214f x x x x x x x x x π⎛⎫=-=-=--=-- ⎪⎝⎭函数()f x 1,故1p 错误；函数()21g x x =-的图象向右平移8π个单位长度后,得212184y x x ππ⎛⎫⎛⎫=--=-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭即得到函数()f x 的图象,故2p 正确;由222242k x k πππππ-+≤-≤+解得3,88k x k k Z ππππ-+≤≤+∈∴()f x 的单调递增区间为,3,88k k k Z ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦故3p 错误； 由24x k ππ-=,得,,()82k x k Z f x ππ=+∈∴图象的对称中心为,128k k Z ππ⎛⎫+-∈⎪⎝⎭,故4p 错误. ∴其中正确的结论有1个。
2019-2020学年四川省绵阳市数学高二第二学期期末统考试题含解析
2019-2020学年四川省绵阳市数学高二第二学期期末统考试题一、单选题（本题包括12个小题，每小题35，共60分．每小题只有一个选项符合题意） 1．六位同学排成一排，其中甲和乙两位同学相邻的排法有（ ） A ．60种 B ．120种 C ．240种 D ．480种【答案】C 【解析】分析：直接利用捆绑法求解.详解：把甲和乙捆绑在一起，有22A 种方法，再把六个同学看成5个整体进行排列，有55A 种方法，由乘法分步原理得甲和乙两位同学相邻的排法有2525240A A =种.故答案为：C.点睛：（1）本题主要考查排列组合的应用，意在考查学生对该知识的掌握水平和分析推理能力.(2)遇到相邻问题，常用捆绑法，先把相邻元素捆绑在一起，再进行排列. 2．函数()xxf x e =的图象为（ ） A ． B ．C ．D ．【答案】A 【解析】 【分析】利用导数研究函数的单调性，根据单调性，对比选项中的函数图象，从而可得结果. 【详解】 因为()x x f x e =，所以1'()xxf x e -=，1x <时，()'0f x >，()xxf x e =在(),1-∞上递增； 1x >时，()'0f x <，()xxf x e =在()1,+∞上递减， 只有选项A 符合题意，故选A. 【点睛】本题通过对多个图象的选择考查函数的图象与性质，属于中档题.这类题型也是近年高考常见的命题方向，该题型的特点是综合性较强、考查知识点较多，但是并不是无路可循.解答这类题型可以从多方面入手，根据函数的定义域、值域、单调性、奇偶性、特殊点以及0,0,,x x x x +-→→→+∞→-∞时函数图象的变化趋势，利用排除法，将不合题意的选项一一排除. 3．已知随机变量满足，，若，则（ ）A ． ，B ． ，C ． ，D ． ，【答案】C 【解析】 【分析】根据题目已知条件写出的分布列，取特殊值计算出两者的期望和方差，由此得出正确选项.【详解】 依题意可知：0 10 1由于，不妨设.故,，故选C.【点睛】本小题主要考查随机变量分布列期望和方差的计算，考查分析与阅读理解能力，属于中档题.4．空间四边形OABC 中，OA a =u u u r r ，OB b =u u u r r ，OC c =u u u r r，点M 在线段AC 上，且2AM MC =，点N 是OB 的中点，则MN =u u u u r（ ）A ．212323a b c +-r r rB ．212323a b c -+r r rC ．112323a b c -+-r r rD ．111323a b c +-r r r【解析】分析：由空间向量加法法则得到MN MO ON MA AO ON =+=++u u u u v u u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v，由此能求出结果．详解：由题空间四边形OABC 中，OA a =u u u r r ，OB b =u u u r r ，OC c =u u u r r，点M 在线段AC 上，且2AM MC =，点N 是OB 的中点，则()221,,332MA CA OA OC ON OB ==-=u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u vMN MO ON MA AO ON =+=++u u u u v u u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v()2132a c a b =--+v v v v 112 .323a b c =-+-r r r故选C.点睛：本题考查向量的求法，考查空间向量加法法则等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想，是基础题．5．设i 为虚数单位，则复数56ii-= ( ) A ．65i + B ．65i -C ．65i -+D ．65i --【答案】D 【解析】 【分析】由复数的乘除运算即可求得结果 【详解】()22565656651i i i i i i i i ---===--- 故选D 【点睛】本题主要考查了复数的除法运算，解题的关键是要掌握复数四则运算法则，属于基础题。
四川省绵阳市2019-2020学年数学高二第二学期期末统考试题含解析
四川省绵阳市2019-2020学年数学高二第二学期期末统考试题一、单选题（本题包括12个小题，每小题35，共60分．每小题只有一个选项符合题意） 1．6(2)x y -的展开式中，42x y 的系数为（ ） A ．15B ．-15C ．60D ．-602．在平面直角坐标系中，双曲线的右支与焦点为的抛物线交于，两点，若，则该双曲线的渐近线方程为（ ）A ．B ．C ．D ．3．5(12)(1)x x ++的展开式中3x 的系数为（ ） A ．5B ．10C ．20D ．304．空间中不共面的4点A ，B ，C ，D ，若其中3点到平面α的距离相等且为第四个点到平面α的12倍，这样的平面α的个数为（ ） A ．8B ．16C ．32D ．485．对四组数据进行统计，获得如图所示的散点图，关于其相关系数的比较，正确的是( )A ．r 2<r 4<0<r 3<r 1B ．r 4<r 2<0<r 1<r 3C ．r 4<r 2<0<r 3<r 1D ．r 2<r 4<0<r 1<r 36．在极坐标系中，O 为极点，曲线2cos 1ρθ=与3πθ=射线的交点为A ，则OA =（ ）A ．2B 2C ．12D ．227．某班级在一次数学竞赛中为全班同学设置了一等奖、二等奖、三等奖以及参与奖，且奖品的单价分别为：一等奖20元、二等奖10元、三等奖5元、参与奖2元，获奖人数的分配情况如图所示，则以下说法正确的是（ ）A ．参与奖总费用最高B ．三等奖的总费用是二等奖总费用的2倍C ．购买奖品的费用的平均数为9.25元D ．购买奖品的费用的中位数为2元8．设x ∈R ，则“11x -<”是38x <的 （ ） A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件9．函数234x y x =-+的零点个数为（ ） A ．0B ．1C ．2D ．310．下列选项中，说法正确的是（ ）A ．命题“2 ,? 0x R x x ∃∈-≤”的否定是“2 ,? 0x R x x ∃∈->”B ．命题“p q ∨为真”是命题“ p q ∧为真”的充分不必要条件 C ．命题“若22 a m b m ≤，则a b ≤”是假命题 D ．命题“在ABC ∆中，若1sin ?2A <,则 6A π<”的逆否命题为真命题 11．若数列{}n a 是等比数列，则“首项10a >，且公比1q >”是“数列{}n a 单调递增”的（ ） A ．充要条件 B ．充分不必要条件 C ．必要不充分条件D ．非充分非必要条件12．已知实数x ，y 满足(2212411x x y y ++=，则x 与y 的关系是（ ）A ．0x y ==B ．0xy =C ．20x y +=D ．20x y +>二、填空题（本题包括4个小题，每小题5分，共20分）13．甲、乙两人参加一次英语口语考试，已知在备选的10道试题中，甲能答对其中的6道，乙能答对其中的8道，规定每次考试都从备选题中随机抽出3道题进行测试，至少答对2道题才算合格，则甲、乙两人至少有一人考试合格的概率为________. 14．函数()cos 12f x x ππ⎛⎫=+⎪⎝⎭的最小正周期是__________． 15．已和幂函数()f x k x α=⋅的图象过点122⎛ ⎝⎭，则k α+=__________．16．已知函数f(x)=kx 3+3(k-1)x 2-k 2+1(k>0)在（0,4）上是减函数，则实数k 的取值范围是____________ 三、解答题（本题包括6个小题，共70分）17．如图所示，已知ABCD 是直角梯形，90ABC ∠=︒，//,2,1,AD BC AD AB BC PA ABCD 平面===⊥．（1）证明：PC CD ⊥；（2）若3PA =，求三棱锥B PCD -的体积．18．假设关于某设备的使用年限x (年)和所支出的年平均维修费用y (万元)(即维修费用之和除以使用年限),有如下的统计资料：(1)求y 关于x 的线性回归方程；(2)估计使用年限为10年时所支出的年平均维修费用是多少?参考公式：()()()1122211n niii ii i nniii i x y y y x y nxyb x x xnx====---==--∑∑∑∑19．（6分）已知椭圆E ：()222210x y a b a b +=>>的上顶点为P ，右顶点为Q ，直线PQ 与圆2245x y +=相切于点24,55M ⎛⎫⎪⎝⎭. （Ⅰ）求椭圆E 的标准方程；（Ⅱ）设椭圆E 的左、右焦点分别为1F 、2F ，过1F 且斜率存在的直线l 与椭圆E 相交于A ，B 两点，且222AF BF AB +=，求直线l 的方程.20．（6分）已知且，求，，的值．21．（6分）已知(1(nx m +是正实数)的展开式的二项式系数之和为128,展开式中含x 项的系数为84.(1)求,m n 的值； (2)求(()11nxx +-的展开式中有理项的系数和.22．（8分）每年的4月23日为“世界读书日”，某调查机构对某校学生做了一个是否喜爱阅读的抽样调查，该调查机构从该校随机抽查了100名不同性别的学生，现已得知100人中喜爱阅读的学生占60%，统计情况如下表 喜爱不喜爱 合计 男生 25女生 15合计100（1）完成22⨯列联表，根据以上数据，能否有95%的把握认为是否喜爱阅读与被调查对象的性别有关?请说明理由：（2）将上述调查所得的频率视为概率，现在从所有学生中，采用随机抽样的方法抽取3位学生进行调查，求抽取的3位学生中至少有2人喜爱阅读的概率，（以下临界值及公式仅供参考）()20P K K ≥0.15 0.100 0.0500.025 0.010 0K2.0722.7063,8415.0246.635()()()()()22n ad bc K a b c d a c b d -=++++，n a b c d =+++ 参考答案一、单选题（本题包括12个小题，每小题35，共60分．每小题只有一个选项符合题意） 1．C 【解析】试题分析：依题意有()224426260C x y x y -=，故系数为60.考点：二项式． 2．A 【解析】 【分析】根据抛物线定义得到，再联立方程得到得到答案.【详解】由抛物线定义可得：,因为 ,所以渐近线方程为.故答案选A 【点睛】本题考查抛物线，双曲线的渐近线，意在考查学生的计算能力. 3．D 【解析】 【分析】根据乘法分配律和二项式展开式的通项公式，列式求得3x 的系数. 【详解】根据乘法分配律和二项式展开式的通项公式，题目所给表达式中含有3x 的为()3322335512102030C x x C x x x ⋅+⋅=+=，故展开式中3x 的系数为30，故选D.【点睛】本小题主要考查二项式展开式通项公式的应用，考查乘法分配律，属于基础题. 4．C 【解析】 【分析】由题意分类讨论各种情况，然后利用加法原理确定满足题意的平面的个数即可. 【详解】第一种情况，A ，B ，C ，D 点在平面α的同侧.当平面α∥平面BCD 时，A 与平面α的距离是α与平面BCD 的距离的2倍. 这种情况下有4个平面.第二种情况，A ，B ，C ，D 中有3个点在平面α的一侧，第4个点在平面α的另一侧，这时又有两种情形： 一种情形是平面α与平面BCD 平行，且A 与平面α的距离是平面α与平面BCD 距离的2倍.这时有4个平面.另一种情形如图a所示，图中E，F分别是AB，AC的中点，K是AD的三等分点中靠近A的分点，A，B，C到平面EFK（即平面α）的距离是D到平面EFK距离的一半.∵EF可以是AB，AC的中点的连线，又可以是AB，BC的中点的连线，或AC，BC的中点的连线，∴这种情形下的平面α有3×4=12（个）.第三种情况，如图b所示，在A，B，C，D四点中，平面α两侧各种有两点.容易看出：点A到平面EFMN（平面α）的距离是B，C，D到该平面距离的2倍．就A，C与B，D分别位于平面α两侧的情形来看，就有A离平面α远，B离平面α远，C离平面α远，D 离平面α远这四种情况.又“AC，BD异面，则这样的异面直线共有3对，∴平面α有4×3=12（个）.综上分析，平面α有4+4+12+12=32（个）.故选C.【点睛】本题主要考查分类讨论的数学思想，计数原理的应用，空间几何体的结构特征等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.5．A【解析】【分析】根据正相关和负相关以及相关系数的知识，选出正确选项.【详解】由散点图可知图(1)与图(3)是正相关，故r1>0，r3>0，图(2)与图(4)是负相关，故r2<0，r4<0，且图(1)与图(2)的样本点集中在一条直线附近，因此r2<r4<0<r3<r1.故选:A.【点睛】本小题主要考查散点图，考查相关系数、正相关和负相关的理解，属于基础题.6．B【解析】分析：将两方程联立求出ρ，再根据ρ的几何意义即可得到OA 的值.详解：由题可得：2cos 1{3ρθρπθ=⇒==，由ρ的几何意义可得OA =B. 点睛：考查极坐标的定义和ρ的几何意义： ρ表示原点到A 的距离，属于基础题. 7．D 【解析】 【分析】先计算参与奖的百分比，分别计算各个奖励的数学期望，中位数，逐一判断每个选项得到答案. 【详解】参与奖的百分比为：130%10%5%55%---= 设人数为单位1一等奖费用：205%1⨯= 二等奖费用：1010%1⨯= 三等奖费用：530% 1.5⨯= 参与奖费用：255% 1.1⨯= 购买奖品的费用的平均数为：4.6参与奖的百分比为55%，故购买奖品的费用的中位数为2元 故答案选D 【点睛】本题考查了平均值，中位数的计算，意在考查学生的应用能力. 8．A 【解析】分析：先化简两个不等式，再利用充要条件的定义来判断. 详解：由11x -<得-1＜x-1＜1，所以0＜x ＜2.由38x <得x ＜2，因为(0,2)(,2)⊆-∞，所以“11x -<”是38x <的充分不必要条件. 故答案为：A.点睛：（1）本题主要考查充要条件的判断和不等式的解法，意在考查学生对这些知识的掌握水平和基本计算能力.(2)本题利用集合法判断充要条件，首先分清条件和结论；然后化简每一个命题，建立命题p q 、和集合A B 、的对应关系.:{|()}p A x p x =成立，:{|()}q B x q x =成立；最后利用下面的结论判断：（1）若A B ⊆,则p 是q 的充分条件，若A B ⊂，则p 是q 的充分非必要条件；（2）若B A ⊆,则p 是q 的必要条件，若B A ⊂，则p 是q 的必要非充分条件；（3）若A B ⊆且B A ⊆，即A B =时，则p 是q 的充要条件. 9．C 【解析】324x x =+，如图，由图可知，两个图象有2个交点，所以原函数的零点个数为2个，故选C ． 10．C 【解析】对于A ，命题“20x R x x ∃∈-≤，”的否定是“20x R x x ∀∈->，”，故错误；对于B ，命题“p q ∨为真”是命题“p q ∧为真”的必要不充分条件，故错误；对于C ，命题“若22am bm ≤，则a b ≤”在0m =时，不一定成立，故是假命题，故正确；对于D ，“在ABC △中，若1sin 2A <，则6A π<或56A π>”为假命题，故其逆否命题也为假命题，故错误；故选C. 11．B 【解析】 【分析】证明由10a >，1q >可以得到数列{}n a 单调递增，而由数列{}n a 单调递增，不一定得到10a >，1q >，从而做出判断，得到答案. 【详解】数列{}n a 是等比数列，首项10a >，且公比1q >，所以数列110n n a a q -=>，且1n n n a a q a +=>，所以得到数列{}n a 单调递增； 因为数列{}n a 单调递增，可以得到首项10a >，且公比1q >， 也可以得到10a <，且公比01q <<.所以“首项10a >，且公比1q >”是“数列{}n a 单调递增”的充分不必要条件. 故选：B. 【点睛】本题考查等比数列为递增数列的判定和性质，考查充分不不必要条件，属于简单题. 12．C 【解析】 【分析】设a x =，2b y =+1ab =，对2a x b y ⎧-=⎪⎨-=⎪⎩222141a ax b by ⎧-=⎨-=⎩，代入1ab =得24a x bb y a -=⎧⎨-=⎩，两式相加即可. 【详解】设a x =，2b y =+ 则1ab =且,0a b ≠2a x b y ⎧-=⎪∴⎨-=⎪⎩等式两边同时平方展开得：222222214441a ax x x b by y y ⎧-+=+⎨-+=+⎩， 即222141a ax b by ⎧-=⎨-=⎩令等式中1ab =，化简后可得：24a x bb y a -=⎧⎨-=⎩两式相加可得20x y += 故选：C 【点睛】本题考查了代数式的计算化简求值，考查了换元法，属于中档题 二、填空题（本题包括4个小题，每小题5分，共20分） 13．4445【解析】【分析】设事件A 表示甲考试合格，事件B 表示乙考试合格，计算出()P A 、()P B ，则甲、乙两人至少有一人考试合格的概率为()1P P AB =-，由此能求出结果. 【详解】设事件A 表示甲考试合格，事件B 表示乙考试合格，则()32166431023C C C P A C +==，()3218823101415C C C P B C +==. 则甲、乙两人至少有一人考试合格的概率为()21444111131545P P AB ⎛⎫⎛⎫=-=--⋅-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.故答案为：4445. 【点睛】本题考查概率的求法，考查相互独立事件概率乘法公式、对立事件概率公式等基础知识，考查运算求解能力，是中等题． 14．1 【解析】 【分析】直接利用余弦函数的周期公式求解即可． 【详解】函数()f x cos πx 12π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的最小正周期是：2ππ=1． 故答案为1． 【点睛】本题考查三角函数的周期的求法，是基本知识的考查． 15．32【解析】 【分析】由幂函数的定义和解析式求出k 的值，把已知点代入求出α的值，可得答案． 【详解】解：∵()f x k x α=⋅是幂函数，∴1k =，所以幂函数()f x x α=的图象过点12⎛⎝⎭，∴122α⎛⎫= ⎪⎝⎭，则12α=， 则13122k α+=+=， 故答案为：32． 【点睛】本题考查了幂函数的定义与解析式的应用，属于基础题． 16．1(0,]3. 【解析】分析：先求导，再根据导函数零点分布确定不等式，解不等式得结果. 详解：因为2()36(1)0(0,4)f x kx k x x =+-∈'=， ，所以2(1)k x k-= 因为函数f(x)=kx 3+3(k-1)x 2-k 2+1(k>0)在（0,4）上是减函数， 所以2(1)1400.3k k k k -≥>∴<≤点睛：函数单调性问题，往往转化为导函数符号是否变号或怎样变号问题，即转化为方程或不等式解的问题（有解，恒成立，无解等），而不等式有解或恒成立问题，又可通过适当的变量分离转化为对应函数最值问题.三、解答题（本题包括6个小题，共70分） 17．（1）见解析；（2）12【解析】 【分析】（1）由题可得：AC =CD =，可得：222AC CD AD +=，即可证得AC CD ⊥，再利用PA ABCD ⊥平面证得PA CD ⊥，即可证得CD ⊥平面PAC ，问题得证．（2）利用B PCD P BCD V V --=及锥体体积公式直接计算得解． 【详解】（1）由题可得：AC =CD =所以222AC CD AD += 所以AC CD ⊥ 又PA ABCD ⊥平面 所以PA CD ⊥，又PAAC A =所以CD ⊥平面PAC ，又PC ⊂平面PAC 所以PC CD ⊥（2）11111133322B PCD P BCD BCD V V S PA --∆==⨯⨯=⨯⨯⨯⨯= 【点睛】本题主要考查了线线垂直的证明，考查了转化能力及线面垂直的定义，还考查了锥体体积公式及计算能力，属于中档题．18．（1） 1.2308ˆ.0y x =+；（2）12.38万元【解析】 【分析】（1）先求出样本中心点(),x y 及55211112.3,90i iii i x y x====∑∑代入公式求得b ，再将(),x y 代入回归直线求得a 的值，可得线性回归方程；（2）在（1）中求得的线性回归方程中，取x ＝10，求得y 值得答案． 【详解】（1）由题表数据可得552114,5,112.3,90i ii i i x y x yx ======∑∑，由公式可得2112.35451.23,5 1.2340.08905ˆˆ4ba y bx -⨯⨯===-=-⨯=-⨯， 即回归方程是 1.2308ˆ.0yx =+. （2）由（1）可得，当10x =时，ˆ12.38y=； 即，使用年限为10年时所支出的年平均维修费用是12.38万元. 【点睛】本题考查线性回归方程，考查计算能力，是基础题．19．（Ⅰ）2214x y +=；（Ⅱ）0x -+=或0x ++=. 【解析】 【分析】（Ⅰ）根据题中条件得知PQ OM ⊥可求出直线PQ 的斜率，结合点M 在直线PQ 上，利用点斜式可写出直线PQ 的方程，于是可得出点P 、Q 的坐标，进而求出椭圆E 的标准方程；（Ⅱ）可知直线l 的斜率不为零，由椭圆定义得出43aAB =，设该直线方程为(y k x =+，将直线l 的方程与椭圆E 的方程联立，并列出韦达定理，利用弦长公式以及43aAB =，并结合韦达定理可求出k的值，于此可得出直线l 的方程． 【详解】（Ⅰ）∵直线PQ 与圆2245x y +=相切于点24,55M ⎛⎫⎪⎝⎭，∴45225OM k ==， ∴直线PQ 的方程为412525y x ⎛⎫-=-- ⎪⎝⎭， ∴()0,1P ，()2,0Q ，即2a =，1b =，∴椭圆E 的标准方程为2214x y +=；（Ⅱ）易知直线l 的斜率不为零，设直线l 的方程为()3y k x =+，代入椭圆E 的方程2214x y +=中，得：()222214831240kxk x k +++-=，由椭圆定义知224AF BF AB a ++=， 又222AF BF AB +=，从而4833AB a ==， 设()11,A x y ，()22,B x y ，则21283k x x -+=，212212414k x x k -=+. ∴()222121212114AB k x x k x x x x =+-=+⋅+-83=，代入并整理得2212143k k +=+，∴5k =±. 故直线l 的方程为530x y -+=或530x y ++=. 【点睛】本题考查椭圆方程的求解、直线与圆的位置关系，考查直线与椭圆中弦长的计算，解决这类问题的常规方法就是将直线与圆锥曲线方程联立，结合韦达定理与弦长公式计算，难点在于计算，属于中等题． 20．，，.【解析】 【分析】先利用同角三角函数的基本关系计算出的值，并计算出的取值范围，然后利用半角公式计算出和的值，再利用同角三角函数的商数关系计算出的值.【详解】，，.又，，，.【点睛】本题考查利用半角公式求值，同时也考查了利用同角三角函数的基本关系，在利用同角三角函数的基本关系时，要考查角的范围，确定所求三角函数值的符号，再结合相关公式进行计算，考查运算求解能力，属于中等题.21．（1）2,7；（2）1. 【解析】 【分析】（1）由二项式系数和求得7n =，然后再根据展开式中含x 项的系数为84求得2m =．（2）由（1）先求出二项式()1nm x +中的有理项，结合题意可得()()11nm xx +-展开式中的有理项，进而得到所求．【详解】 （1）由题意可知，解得．故二项式(71x+展开式的通项为()2177r rrrr r TCm x mCx +==，令2r =得含x 项的系数为227m C ，由题意得22784mC =，又0m >， ∴2m =．（2）由（1）得(71x +展开式的通项为()217722r rr rr r TCx C x +==，∴(71x+展开式中的有理项分别为()001721T Cx ==，()22237724T C x C x ==，()()46442663577777216264T Cx C x T C x C x ====，， ∴(()11nx x +-的展开式中有理项的系数和为1．【点睛】（1）本题考查二项展开式通项的应用，这也是解决二项式问题的重要思路．二项式定理的应用主要是对二项展开式正用、逆用，要充分利用二项展开式的特点和式子间的联系．（2）解题时要把“二项式系数的和”与“各项系数和”，“奇(偶)数项系数和与奇(偶)次项系数和”严格地区别开来． 22． (1)见解析；(2) 81125【解析】 【分析】（1）补全列联表，计算2K ，与临界值表对比得到答案. （2）喜爱阅读的人数为随机变量33,5X B ⎛⎫⎪⎝⎭，将2人喜欢阅读，3人喜欢阅读概率相加得到答案. 【详解】解：22⨯列联表如表由表可知()221002515253525 4.167604050506K ⨯-⨯==≈⨯⨯⨯因为2 4.167 3.841K =>，所以有95%的把握认为是否喜爱阅读与被调查对象的性别有关. （2）设3人中喜爱阅读的人数为随机变量X ，由题可知33,5X B ⎛⎫⎪⎝⎭所以2人中至少有2人喜爱阅读的概率为()2P X ≥()21233254255125P X C ⎛⎫⎛⎫===⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ()33332735125P X C ⎛⎫=== ⎪⎝⎭ 所以()812125P X ≥= 【点睛】本题考查了列联表，概率的计算，意在考查学生的应用能力.。