探索轴对称的性质
7.3 探索轴对称的性质
7.3 探索轴对称的性质1. 什么是轴对称？轴对称是指图形存在一个轴线，使得图形关于这条轴线对称。
轴对称具有以下特点： - 被轴对称的图形的左半部分与右半部分完全重合； - 轴对称的图形具有相同的形状、大小和图案； - 轴对称的图形可以通过在轴线上旋转180度得到；2. 轴对称的图形种类轴对称的图形可以是二维图形，也可以是三维图形。
2.1 二维图形常见的二维图形中，有许多具有轴对称性质的图形，例如： - 正方形 - 矩形 - 圆形 - 镜像字母（例如字母X、字母H） - 雪花形状（例如六边形雪花）2.2 三维图形在三维空间中，轴对称的图形种类更加丰富。
除了二维图形的轴对称性质外，三维图形还有额外的轴对称性质，例如： - 立方体 - 圆柱体 - 球体 - 圆锥体等3. 轴对称在日常生活中的应用轴对称的性质在日常生活中有许多实际应用。
3.1 拼图游戏拼图游戏中，常常使用轴对称的形状作为拼图的元素，通过将轴对称的形状拼接在一起，来完成整个拼图。
例如，一些儿童拼图书中会出现许多轴对称的动物形状，通过拼接这些形状，可以锻炼孩子们的观察能力和操作能力。
3.2 电子产品设计在电子产品的设计中，轴对称的性质也经常被应用。
例如，许多手机的外观设计和按键布局都是以轴对称的方式设计的，这样可以使得手机外观更加美观、布局更加整齐。
3.3 建筑设计在建筑设计中，轴对称的性质也经常被应用。
许多建筑物的立面设计和对称结构都是以轴对称的方式进行设计的，这样可以使得建筑物更加美观、稳定。
4. 如何判断一个图形是否轴对称？判断一个图形是否轴对称可以通过以下步骤进行：1.找到图形的中心点，并确定可能的轴线；2.对图形进行折叠，使得两侧完全重合；3.判断折叠后两侧是否完全重合，如果重合则图形是轴对称的。
5. 轴对称的性质与数学关系轴对称的性质在数学中也有一些相关的概念和性质。
5.1 点关于轴线的对称性一个点关于轴线的对称点是指，将点沿着轴线折叠后得到的点。
探索轴对称的性质
对称轴有什么关系？连接
点B与点B′的线段呢？
合作交流二
3.线段AD与线段A′D′有 什么关系？线段BC与线 段B′C′呢？
4.∠1与∠2有什么关系？ ∠3与∠4呢？说说你的理 由。
轴对称的性质
1.对应点所连的线段被对 称轴垂直平分； 2.对应线段相等，对应角 相等。
∟
有什么关系？延长其他对应线段 呢？再找几个成轴对称的图形观 察一下，你能发现什么规律？
A′ l A
C′
C
B′
B
规律：如果两个图形关 于某条直线对称，那么这两 个图形上的任意一对对应线 段或它们的延长线都交于一 点，并且交点在对称轴上。
A′ l A
C′
C
B′
B
随堂练习
1.用笔尖扎重叠的纸可以得到下面成轴对称的两 个图案。 （1）找出它的两组对应点、两条对应线和两个 对应角； （2）说明你找到的对应点所连线段分别被对称 轴垂直平分。
探索轴对称的性质
合作交流一
实验操作:将一张矩形纸对折，然后用 笔尖扎出“14”这个数字，将纸打开后铺 平。
1.图中，两个“14”有什么关系？
2.在扎字的过程中，点E与点E′重合，点F与点F′ 重合。设折痕所在直线为l，连接点E与点E′的线 段与l有什么关系？点F与点F′呢？
3.线段AB与A′B′有什么关系？CD与C′D′
得出性质 12
做一做
图中是一个图案的一半，其中的虚 线是这个图案的对称轴，画出这个图案 的另一半。
B′ B
A′
A
巩固提高
1.如图△ABC和△A′B′C′关于直线l
对称， A′B′=6cm，∠ABC=90°， l
则∠ A′B′C′ =____°，
北师大版数学七年级下册5.2《探索轴对称的性质》教案
北师大版数学七年级下册5.2《探索轴对称的性质》教案一. 教材分析《探索轴对称的性质》这一节的内容，主要让学生了解轴对称的性质，并学会运用这些性质解决实际问题。
教材通过丰富的图片和实例，引导学生发现轴对称图形的性质，从而培养学生的观察能力、思考能力和实践能力。
二. 学情分析学生在七年级上册已经学习了轴对称的概念，对轴对称有了初步的认识。
但他们对轴对称的性质的理解还不够深入，本节课需要通过大量的实例和活动，让学生在实践中发现和总结轴对称的性质。
三. 教学目标1.知识与技能：让学生掌握轴对称的性质，并能运用性质解决实际问题。
2.过程与方法：通过观察、操作、交流等活动，培养学生发现规律、总结规律的能力。
3.情感态度与价值观：培养学生对数学的兴趣，提高学生解决问题的能力。
四. 教学重难点1.重点：轴对称的性质。
2.难点：如何运用轴对称的性质解决实际问题。
五. 教学方法1.启发式教学：通过提问、引导，激发学生的思考。
2.情境教学：利用图片、实例，创设情境，让学生在实践中学习。
3.小组合作：引导学生分组讨论，共同解决问题。
六. 教学准备1.准备相关的图片和实例，用于引导学生发现轴对称的性质。
2.准备练习题，用于巩固所学知识。
七. 教学过程1.导入（5分钟）利用图片和实例，引导学生回顾轴对称的概念，激发学生对轴对称性质的兴趣。
2.呈现（10分钟）展示一系列具有对称性的图形，让学生观察并思考：这些图形有什么共同的特点？引导学生发现轴对称图形的性质。
3.操练（10分钟）让学生分组讨论，每组选择一个图形，尝试找出它的对称轴，并总结对称轴的特点。
然后，让学生尝试运用轴对称的性质解决实际问题。
4.巩固（10分钟）针对学生找出的对称轴，设计一些练习题，让学生解答，以巩固所学知识。
5.拓展（5分钟）引导学生思考：轴对称性质在实际生活中的应用。
可以让学生举例说明，也可以让学生自己设计一些应用场景。
6.小结（5分钟）对本节课的内容进行总结，强调轴对称的性质及其应用。
教学设计《生活中的轴对称———探索轴对称的性质》
教学实践新课程NEW CURRICULUM一、教材分析1.教材所处的地位“探索轴对称的性质”是七年级下册《生活中的轴对称》中的第二节内容。
本节课是对轴对称图形的性质进行探索，主要通过对轴对称图形的分析，培养学生动手、制作、实验、说理的能力，并且给了学生更多表述的机会。
本节课主要培养学生自主探索、合作交流、解决问题，并且要学生学会及时对自己的求解过程进行回顾与思考。
2.教学目标（1）知识与技能：探索轴对称的基本性质，理解对应点所连的线段被对称轴垂直平分，对应线段相等，对应角相等的性质。
（2）过程与方法：培养学生观察、分析能力。
（3）情感态度与价值观：通过创设情境，使学生体验数学就在身边，培养学生的审美情趣。
3.重点难点重点：（1）轴对称的性质的运用。
（2）运用轴对称的性质解决实际问题。
难点：灵活运用轴对称的性质解决实际问题。
二、教法分析鉴于教材特点及七年级学生模仿能力强、思维信赖于具体直观形象的特点，为了充分体现“以学生为主体，把课堂还给学生”的教学宗旨，结合本节课内容主要通过环环相扣的、层层深入的问题设置，鼓励学生积极参与，培养学生“自主、合作、探究”的探究式和启发式教学法。
帮助学生更容易地感受到数学与现实生活的联系，体验到数学在解决实际问题中的作用，培养学生实事求是的态度及合作交流的能力。
教学准备：多媒体，网格纸，圆规，刻度尺，量角器等。
三、教学过程设计（一）复习引入：什么是轴对称图形？什么是成轴对称的图形？二者有怎样的区别？（二）自主探究［活动一］操作（个体活动）1.师生都拿出网格纸，将网格纸对折，然后用笔尖或圆规在纸上扎出“14”这个数字。
（为了后面研究的方便，引导学生将“1，4”的转折点都扎在网格纸的格点上）再将纸打开后铺平。
C AC '12B 'E 'EBD F 34F 'D 'A 'l2.在全班展示操作活动的不同结果，利用多媒体演示结果。
北师大版七下《5.2 探索轴对称的性质》课件2
m A C C1 A1
B D
E
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
E1
D1
B1
(2)连结C、C′的线段与直线m有什么关系？ (3)线段AB与线段AB有什么位置关系和大小关系？ (4)∠D与∠ D1有什么关系？说说你的理由.
轴对称的性质： 1.对应点连线段被对称轴垂直平分. 2.对应线段相等，对应角相等.
练一练:
1、在下列图形中，找出轴对称图形，并找 出它的两组对应点.
2.在下面的每个图形中找到轴对称图形,并
找出它的两组对应线段.
实验一： 想一想：(1)点A与点B关于直线m有什 么样的位置关系? (2)连结AB，请同学们用量角器、刻度尺度量并 判断线段AB与直线m有什么关系？
m A B
实验二：
试一试：
如图，EFGH是矩形的台球桌面，有 两球分别位于A、B两点的位置，试问 怎样撞击A球，才能使A球先碰撞台 边EF反弹后再击中B球？
解：1．作点A关于EF 的对称点A′
H
A B
G
2．连结A′B交EF于 点C则沿AC撞击黑球A ，必沿CB反弹击中白 E 球B.
C
A′
F
思考题
如图，在俯南河L边的空地上，房屋开发商准备 建一个三角形住宅小区，A、B两幢建筑物恰好 建在三角形住宅小区的两个顶点处，现要求小 区大门C建在俯河边且小区周边最短.如果你是 这个项目的总设计师，请确定出小区大门C的最 佳位置.并在图中标出. A 提示 1．小区的周边，哪 B 一条边的长度是固 C 定不变的？ 2．要使小区周边最短，只需哪两边的和最短？
议一议
7 6
5
1
2 3 4
如图: 你能求出 这七个角 的和吗?
5.2探索轴对称的性质课件(共13张PPT)
情境引入
做一做： （1）在练习纸上画一个△ABC，在三角形外画直线MN，
沿MN折纸，用钉子钉出点A、B、C的对应点A’、B’、C’，
展开后画出△A’B’C’，并连结AA’，BB’，CC’。
(2)度量BQ、B’Q、CS、C’S、∠BQP、
∠CSN。你有什么发现，与同学进行交流。
(3)△ABC与△A’B’C’关于MN对称 ，则 △ABC≌△A’B’C’因此对应边、对应，连结AA交MN于P，那么△ABC 与△A’B’C’沿MN折叠后 ，点A与A’重合，于是 有AP=AP’，∠MPA=∠MPA’=90°。 也就是MN垂直平分AA’。 现在你能描述轴对称 的性质吗？
做一做
观察图7-6的轴对称图形： (1)找出它的对称轴。 (2)连接点A与点A’的线段与对称轴有什么关系? 连接点B与点B’的线段呢?
(3)线段AD与线段A’D’有什么关系?线段BC与 线段B’C’呢?为什么? (4)∠1与∠2有什么关系?∠3与∠4呢?说说你 的理由。
在图中，沿对称轴对折后，点A与点A’重合， 称点A关于对称轴的对应点是点A’．类似地， 线段AD关于对称轴的对应线段是线段 A’D’，∠3关于对称轴的对应角是∠4。
对应点所连的线段被对称轴垂直平分。
对应线段相等，对应角相等。
课堂小结
轴对称的性质：
1、对应点所连的线段被对称轴垂直平分。
2、对应线段相等，对应角相等。
巩固训练 1、在下列图形中，找出轴对称图形，并找出 它的两组对应点。
2、下图是在方格纸上画出的一棵树的一半， 以树干为对称轴画出树的另一半。
3、用笔尖扎重叠的纸可以得到下面 的两个图案 。
成轴对称
(1)找出它的两对对应点、两条对应线段和两 个对应角。 (2)用测量的方法验证你找到的对应点所连线 段分别被对称轴垂直平分。
北师大版七年级数学下册 5.2 《探索轴对称的性质》教学课件(共31张ppt)
2．画轴对称图形的步骤： （1）确定对称轴； （2）根据对称轴确定关键点的对称位置； （3）将找到的对称点顺次连接起来．
再见
D'
B
E
E'
B'
活动2.右图是一个轴对称图形：
D
（1）你能找出它的对称轴吗?
3
（2）连接点A与点A1的线段探与对究称轴新有知A B
C
什么关系？连接点B与点B1的线段呢？
D1
4
A1
C1 B1
（3）线段AD与线段A1D1有什么关系？线 段BC与B1C1呢？为什么？
12
（4）∠1与∠2有什么关系? ∠ 3与∠4呢？说说你的理由？
纸打开后铺平．如图
A
D B
C
1
3
F
E
C'
2
4
F'
E'
A'
D' B'
A
C
1
C'
A'
2
问（题 轴对1：称两）个“14”有什探么关究系新？ 知B D
3
F
E
4
F'
E'
D' B'
问题2：在上面扎字的过程中，点E与点E′重合，点F与点F′重 合．设折痕所在直线为l，连接点E与点 E′的线段与l有什么关系？点F与 点F′呢？
6cm2
，
∴h＝4 ．
随堂练习
5.如图，已知牧马营地在M处，每天牧马人要 赶着马群先到河边饮水，再到草地吃草，然后
回到营地，试设计出最短的放牧路线．
随堂练习
解：以河为对称轴作M的对称点 ，过 作草地的 垂线，垂线和河的交点H就是所求的点．
1.3探索轴对称的性质——1.1认识三角形
知新篇一.轴对称的性质及其应用（1）轴对称的性质：①对应点所连的线段被对称轴 。
②对应 相等，对应 相等。
（2）如图是一个轴对称图形，直线AO 是对称轴， 则相等的线段有： = ， = 。
线段CD 被直线AO 。
量得30B∠，则∠E= 。
（3）设A 、B 两点关于直线MN 对称，则_____垂直平分______。
（4）等腰三角形是轴对称图形，它的底边被对称轴_________。
提醒：（1）对称轴上的点即是对应点所连线段的垂直平分线. （2）找准对应线段和对应角。
二.轴对称在实际中的应用 1.按边分类：图（1）是 三角形，图（2）是 三角形，图（3）是 三角形. 2.按角分类：图（1）是 三角形，图（2）是 三角形，图（3）是 三角形. 三.三角形的三边关系1.AB+AC BC, AB-AC BC.2.结论：三角形两边的和______第三边．三角形两边的差____第三边．【典例】【思路分析】判断三条线段能否组成三角形可根据三角形三边关系：“两边之和大于第三边，两边之差小于第三边”进行判断.最简单方法是：看较短两边的和是否大于最长边. 【解析】【点睛】在判断已知三条线段是否能够组成三角形，必须满足下列两个条件之一：（1）如果选最长边作第三边，则需判断其余两边之和大于第三边，（2）如果选最短边作第三边，则需判断其余两边之差小于第三边.三角形三边关系靓题拾贝三角形的三边关系：（1）三角形任意两边之和大于第三边．（2）三角形任意两边之差小于第三边．注意：这里的“两边”指的是任意的两边，对于“两边之差”它可能是正数，也可能是负数，一般地取“差”的绝对值． 一、 判断三条已知线段能否组成三角形【例1】已知四组线段的长分别如下，以各组线段为边，能组成三角形的是 （ ） A.1，2，3 B.2，5，8 C.3，4，5 D.4，5，10解：选C ．对于A ，1+2=3，所以A 不能，对于B ，2+5＜8，所以B 不能，对于D ，4+5＜10，所以D 不能． 二、已知三角形的周长，判断三边能否组成等腰三角形【例2】将长度为12m 的一根铁丝，截成三段，能围成等腰三角形的是 （ ） A.8m ，2m ，2m B.7m ，2.5m ，2.5m C.6m ，3m ，3m D.1m ，5.5m ，5.5m 解：选D ．根据三边关系，三个选项A 、B 、C 均有两边之和小于或等于第三边． 三、已知三角形的两边长，求第三边取值的个数【例3】已知三角形的三边长分别是3、8、x ，若x 的值为偶数，则x 的值有 （ ） A.6个 B.5个 C.4个 D.3个解：选D ．根据三角形三边关系有：8-3＜x ＜8+3即5＜x ＜11，若x 为偶数，则x=6，8，10.1.探新知 预习乐园提素能 自测自评A B ECD O214版北师七上学案教用P12左上T22.如图，ABC △与A B C '''△关于直线l 对称，则B ∠的度数为（ ） A ．30B ．50C ．90D 100．3.下列图形中，哪一幅成轴对称（ ）4.已知三角形的三边长分别是3，8，x ，若x 的值为偶数，则x 的值有 （ ）A.6个B.5个C.4个D.3个5.为估计池塘两岸A 、B 间的距离，杨阳在池塘一侧选取 了一点P ，测得PA=16m ，PB=12m ，那么AB 间的距离不可能是（ ）A.5mB.15mC.20mD.28m6.一辆汽车的牌号在水中的倒影如图所示，则这辆汽车的牌号应为______．7.如图，三角形纸片ABC ，10cm 7cm 6cm AB BC AC ===，，，沿过点B 的直线折叠这个三角形，使顶点C 落在AB 边上的点E 处，折痕为BD ，则AED △的周长为 cm ．8.两根木棒的长分别是8cm ，10cm ，要选择第三根木棒将它们钉成三角形，那么第三根木棒的长x 的取值范围是________.9.如图所示，在△ABC 中，D ，E 是BC ，AC 上的两点，连结BE ，AD 交于F ，（1）图中有几个三角形?并表示出来;（2）△BDF 的三个顶点是什么?三条边是什么? （3）AB 边是哪些三角形的边? （4）F 点是哪些三角形的顶点?10.一个等腰三角形的周长是36 cm ．（1）已知腰长是底边长的2倍,求各边的长； （2）已知其中一边长8cm ，求另外两边的长．11.已知三角形的两边长分别是4cm 和9cm ．（1）求第三边的取值范围； （2）已知第三边长是偶数，求第三边长；（3）求周长的取值范围．12.（全家总动员）一次晚会上，主持人出了一道题目：“如何把变成一个真正的等式"，很长时间没有人答出，小兰仅仅拿出了一面镜子，就很快解决了这道题目，你知道她是怎样做的吗？答案探新知，预习乐园:一、1.互相重合 对称轴2.（1）（2）（4）（5）是轴对称图形，都有2条对称轴，（3）是轴对称图形，有无数条对称轴。
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若两点所连线段被某直线垂直 平分,则此直线为这两点的对称轴;
O A'
(2)同学们能够画出一个点的对称点,那么如果老师给的 是一条线段呢?如图,画出线段AB关于直线l成轴对称的线 段A'B'.
.
A
.
P
O
A′
.
本节课学习了_________ 学会了_________
感受了_________
作业
基础性作业： 画一个轴对称图形，并标明对称轴；
感谢语：
• 谢谢各位老师的光临！感谢大家的支持！
• 您的鼓励是我前进的动力！
•
再见！
扎字实验
如图5-5，将一张矩形纸对折，然后用笔尖扎出“14’’这个数字，将纸 打开后铺平．
(1)图中折痕两旁的“14”有什么关系? 折痕两旁的“14”关于直线l对称.
(2)在扎字的过程中,点E与点E'重合,点F与点F'重合.设折痕所在直线 为l,连接点E与点E'的线段EE'与直线l有什么关系?连接点F与点F'的线
（D）
3、一次晚会上，主持人出了一 道题目：“如何把 变成一个 真正的等式？”过了很长时间， 也没有人答出。
小兰仅仅拿了一面镜子，就很快 解决了这道题目。
你知道她是怎样做的吗？ 你知道为什么吗？
实战演练
如图，宿州市要修建两个水上公园A,B，要在 新汴河边修建一个水泵站向A，B两地送水， 修在什么地方所用的水管最短？
5.2 探索轴对称的性质
东风中学 黄照铝
复习回顾
观察下面几组图片和图形,哪些是轴对称图形， 哪些是成轴对称?
①
②
③
④
⑤
⑥
轴对称图形:
成轴对称:
A B C C/
A/
B/
全等与成轴对称的关系： 成轴对称的两个图形一定全等，但全等的两个图形不一定成轴对称
对应点： 沿对称轴折叠后，能够重合的一对点叫对应点 对应线段：沿对称轴折叠后，能够重合的一组线段叫对应线段 对应角： 沿对称轴折叠后，能够重合的一对角叫对应角
D 3
C D1 4 C1
（2）连接点A与点A1的 A
线段与对称轴有什么关 系？连接点B与点B1的 线段呢？
B
A1
B1
对应点所连的线段被对称轴 垂直平分.
1
2
（3）线段AD与线段A1D1有什 么关系？线段BC与B1C1呢？ 为什么？ （4）∠1与∠2有什么 关系? ∠ 3与∠4呢？ A 说说你的理由？
A' B'.
3. 画出△ABC关于直线l的对称图形．
解：如图所示．
方法总结：先确定一些关键的点(线段端点,三 角形的顶点)，然后作这些关键点的对称点，连 接这些对称点即可．
当堂练习
1.如果两个图形关于某条直线对称，那么对应点所 连的线段被__________ 对称轴 垂直平分. AB=CD, 2.下图是轴对称图形，相等的线段是____________ BE=CE ，相等的角是__________. ________ ∠B=∠C A E D
为______. 100°
解 析 ： 由 轴 对 称 的 性 质 可 得 ∠A1=∠A=50° ，
∠C=∠C1=30°, 所 以 ∠B=∠B1=180°－50°－
30°=100°.
后面还有智力测验，你想试一试吗？
1. 一个汽车车牌在水中的倒影如图所示， 你能确定该车的牌照号码吗？
你的眼力 下面哪一面镜子里是他像？
D 3 C D1 4
C1
A1
B
B1
对应线段相等， 对应角相等.
1 2
在轴对称图形或两个成轴对称的图形中：
1.对应点所连的线段被对称轴垂直平分 2.对应线段相等
3.对应角相等
根据轴对称的性质进行一次实战演习
轴对称性质的应用
(1)给你一个点A,你能找到并画出点A关于直 线l的对应点A'吗?你是如何做的?与同伴交流.
BБайду номын сангаас
C
实战演练
3．两个图形关于某直线对称，对称点一定 ( D ) A．这直线的两旁 B．这直线的同旁 C．这直线上 D．这直线两旁或这直线上 4．轴对称图形沿对称轴对折后，对称轴两旁的 A ） 部分（ A．完全重合 C．两者都有 B．不完全重合
5.如图，△ABC与△A1B1C1关于直线l对称，则∠B
段呢?
都能被直线l垂直平分. (3)线段AB与线段A'B'有什么关系?线段CD与线段C'D'呢? 线段AB=线段A'B',线段CD=线段C'D'. (4)∠1与∠2有什么关系?∠3与∠4呢?说说你的理由. ∠1=∠2,∠3=∠4.
做一做：
右图是一个轴对称图形： （1）找出它的对称轴及 成轴对称的两个部分