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四川省眉山中学2016-2017学年高二(下)3月月考数学试卷(理科)

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四川省眉山中学高二下学期期中测试数学(理)试题

四川省眉山中学高二下学期期中测试数学(理)试题

眉山中学高2017届高二4月半期测试数学试题理工农医类数学试题卷共3页．满分150分．考试时间120分钟．一．选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个备选项中，只有一项是符合题目要求的．1.函数()x x f cos =，则=⎪⎭⎫⎝⎛'2πf （ ） .A 1- .B 1 .C 0 .D 22 2.过椭圆13422=+y x 的一个焦点作垂直于长轴的弦，则此弦长为（ ） .A 43.B 32 .C 3 .D 3383.函数()x f y =的图象如图所示，则下列数值排序正确的是（ ）.A ()()()()1221f f f f -<'<' .B ()()()()1212f f f f -<'<' .C ()()()()1122f f f f '<-<' .D ()()()()2112f f f f '<'<-4.设21,F F 分别是椭圆1162522=+y x 的左、右焦点，P 为椭圆上一点，M 是P F 1的中点，3=OM ，则=1PF （ ）.A 4 .B 3 .C 2 .D 55.函数()b bx x x f 363+-=在()1,0内有极小值，则b 的取值范围是( ).A 10<<b .B 210<<b .C 1<b .D b <0 6.已知O 为坐标原点，F 为抛物线y x C 24:2=的焦点，P 为C 上一点，若24=PF ，则POF ∆的面积为( ).A 2 .B 22 .C 32 .D 47.已知双曲线()0,01:2222>>=-b a by a x C 的一条渐近线过点()3,2，且双曲线的一个焦点在抛物线x y 742=的准线上，则双曲线的方程为( ).A 1282122=-y x .B 1212822=-y x .C 14322=-y x .D 13422=-y x 8.设三次函数()x f 的导函数为()x f ',函数()x f x y '=的图像的一部分如图所示,则( ).A ()x f 的极大值为()3f ,极小值为()3-f .B ()x f 的极大值为()3-f ,极小值为()3f .C ()x f 的极大值为()3-f ,极小值为()3f.D ()x f 的极大值为()3f ,极小值为()3-f9. 给出以下数阵，按各数排列规律，则n 的值为( ).A 66 .B 257 .C 256 .D 32610.已知椭圆()012222>>=+b a by a x 的中心为O ，左焦点为F ,A 是椭圆上的一点，0=⋅AF OA 且221OF OF OA =⋅,则该椭圆的离心率是( )．.A 2210- .B 2210+ .C 53- .D 53+11.已知结论：“在正ABC ∆中，BC 中点为D ，若ABC ∆内一点G 到各边的距离都相等，则2=GDAG”.若把该结论推广到空间，则有结论：在棱长都相等的四面体ABCD 中，若BCD ∆的中心为M ，四面体内部一点O 到四面体各面的距离都相等，则=OMAO( ) .A 1 .B 2 .C 3 .D 412.设()()x g x f ,分别是定义在R 上的奇函数和偶函数，当0<x 时()()()()0>'+'x g x f x g x f ，且()03=-g ，则不等式()()0<x g x f 的解集是（ ）xyO33-3-3.A ()()+∞-,30,3 .B ()()3,00,3 - .C ()()+∞-∞-,33, .D ()()3,03, -∞-二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.请把答案填在答题卡上相应位置.13.函数()x x x f ln 22-=的单调递减区间是14.已知椭圆122=+ny mx 与直线01=-+y x 相交于B A ,两点,过AB 中点M 与坐标原点的直线的斜率为22,则=nm15.如图所示，已知C 为圆()4222=++yx 的圆心，点()0,2A ，P 是圆上的动点，点Q 在圆的半径CP 所在直线上，且AM AP AP MQ 2,0==⋅.当点P 在圆上运动时，则点Q 的轨迹方程为 .16.对于三次函数()()023≠+++=a d cx bx ax x f 给出定义：设()x f '是函数()x f y =的导数，()x f ''是函数()x f '的导数，若方程()0=''x f 有实数解0x ，则称点()()00,x f x 为函数()x f y =的“拐点”，某同学经过探究发现：任何一个三次函数都有“拐点”，任何一个三次函数都有对称中心，且“拐点”就是对称中心.给定函数()1253213123-+-=x x x x f ， 请你根据上面探究结果，计算=⎪⎭⎫⎝⎛++⎪⎭⎫⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫⎝⎛20162015 (2016)32016220161f f f f . 三、解答题：本大题共6小题，共75分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17. (本题满分10分)已知双曲线()0,01:2222>>=-b a by a x C 的离心率为3，点()0,3是双曲线的一个顶点⑴求双曲线的方程；⑵经过双曲线的右焦点2F 作斜率为1的直线l 与双曲线交于B A ,两点，求线段AB 的长.18.(本题满分12分)已知函数()29323-++-=x x x x f⑴求()x f 的单调递增区间；（2）求()x f 在区间]22[，-上的最大值和最小值. 19. (本题满分12分) 已知椭圆()222210y x a b a b+=>>，过点()(),0,0,A b B a -的直线倾斜角为3π，原点到该直线的距离为23⑴求椭圆的方程；⑵斜率大于零的直线过()0,1D 与椭圆交于()()2211,,,y x F y x E 两点，且212x x -=,求直线EF 的方程；20.(本题满分12分)已知函数()12++=x bax x f 在点()()1,1--f 处的切线方程为03=++y x ⑴求函数()x f 的解析式；⑵设()()1ln -=x x g ，求证:()()()x f x x g 122+<在()+∞∈,1x 上恒成立.21. (本题满分12分)如图所示，已知抛物线y x 42=的焦点为F ，过点F 任作直线l (l 与x 轴不平行)交抛物线于B A ,两点，点A 关于y 轴的对称点为点C ⑴求证：直线BC 与y 轴的交点D 必为定点；⑵过点B A ,分别作抛物线的切线，两条切线交于点E ，求DEAB 的最小值及此时直线l 的方程.22. (本题满分12分)设函数11ln )(--+-=xaax x x f ⑴若()x f 在⎥⎦⎤⎢⎣⎡21,41上单调递增,求实数a 的取值范围；⑵当13a >时，设函数2()21g x x x =--，若[][]121,2,0,2x x ∀∈∃∈，使)()(21x g x f ≥成立，求实数a 的取值范围.。

2016-2017年四川省眉山中学高二(下)5月月考数学试卷(理科)(解析版)

2016-2017年四川省眉山中学高二(下)5月月考数学试卷(理科)(解析版)

2016-2017学年四川省眉山中学高二（下）5月月考数学试卷（理科）一．选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个备选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）复数的虚部为（）A．B．C．D．2．（5分）某小区有125户高收入家庭、280户中等收入家庭、95户低收人家庭．现采用分层抽样的方法从中抽取100户，对这些家庭社会购买力的某项指标进行调查，则中等收入家庭中应抽选出的户数为（）A．70 户B．17 户C．56 户D．25 户3．（5分）下列求导运算错误的是（）A．（x2+4）′＝2x+4B．C．（cos x）′＝﹣sin x D．4．（5分）A、B、C、D、E共5人站成一排，如果A、B中间隔一人，那么排法种数有（）A．60B．36C．48D．245．（5分）曲线y＝e x+1在点（0，2）处的切线与直线y＝0和y＝﹣x围成的三角形的面积为（）A．1B．C．D．6．（5分）在用数学归纳法证明f（n）＝++…+＜1（n∈N*，n≥3）的过程中：假设当n＝k（k∈N*，k≥3）时，不等式f（k）＜1成立，则需证当n＝k+1时，f（k+1）＜1也成立．若f（k+1）＝f（k）+g（k），则g（k）＝（）A．+B．+﹣C．﹣D．﹣7．（5分）已知函数f（x）的定义域[﹣1，5]，部分对应值如表，f（x）的导函数f′（x），的图象如图所示，下列关于函数f（x）的命题：①函数f（x）的值域为[1，4]；②函数f（x）在[0，2]上是减函数；③如果当x∈[﹣1，t]时，f（x）的最大值是4，那么t的最大值为4；④当1＜a＜4时，函数y＝f（x）﹣a最多有4个零点．其中正确的命题个数为（）A．0B．1C．2D．38．（5分）已知结论：“在正三角形ABC中，若D是边BC的中点，G是三角形ABC的重心，则”，若把该结论推广到空间，则有结论：“在棱长都相等的四面体ABCD中，若△BCD的中心为M，四面体内部一点O到四面体各面的距离都相等，则＝（）A．1B．2C．3D．49．（5分）设复数z＝（x﹣1）+yi（x，y∈R），若|z|≤1，则y≥x的概率为（）A．+B．+C．﹣D．﹣10．（5分）绵阳市某高中的5名高三学生计划在高考结束后到北京、上海、杭州、广州等4个城市去旅游，要求每个城市都要有学生去，每个学生只去一个城市旅游，且学生甲不到北京，则不同的出行安排有（）A．180种B．72种C．216种D．204种11．（5分）已知定义域为R的奇函数y＝f（x）的导函数为y＝f'（x），当x≠0时，f'（x）+＞0，若a＝，则a，b，c的大小关系正确的是（）A．b＜c＜a B．a＜c＜b C．a＜b＜c D．c＜a＜b 12．（5分）设集合S＝{1，2，3，4，5，6}，定义集合对（A，B）：A⊆S，B⊆S，A中含有3个元素，B中至少含有2个元素，且B中最小的元素不小于A中最大的元素．记满足A∪B＝S的集合对（A，B）的总个数为m，满足A∩B≠∅的集合对（A，B）的总个数为n，则的值为（）A．B．C．D．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．请把答案填在答题卡相应位置. 13．（5分）如表是某单位1﹣4月份水量（单位：百吨）的一组数据：由散点图可知，用水量y与月份x之间有较强的线性相关关系，其线性回归直线方程是＝﹣0.7x+a，由此可预测该单位第5个月的用水量是百吨．14．（5分）如图，点A的坐标为（1，0），点C的坐标为（2，4），函数f（x）＝x2，若在矩形ABCD内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率等于．15．（5分）在安排语文、数学、英语、物理、化学、生物6个学科的6堂考试时，若语文、数学两个学科均安排在生物学科之前，则不同的安排方法共有种．16．（5分）有下列命题：①复数z满足|z﹣1|+|z+1|＝2则复数z所对应点Z的轨迹是一个椭圆；②f′（x0）＝＝；③将5封信投入3个邮筒，不同的投法共有53种；④已知一组数据x1，x2，x3，x4，x5的平均数是2，方差是，那么另一组数据3x1﹣2，3x2﹣2，3x3﹣2，3x4﹣2，3x5﹣2的平均数和方差分别是4和3；⑤若a＞0，b＞0，f（x）＝4x3﹣ax2﹣2bx+2在x＝1处有极值，则ab的最大值为9其中正确的有：．三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．（10分）（1）解方程：；（2）复数z满足．18．（12分）2013年4月初眉山市“体彩杯”中小学生田径运动会圆满落幕，市文体局举行表彰大会．某校有男运动员6名，女运动员4名，其中男女队长各1人，从中选5人参加表彰会，下列情形各有多少种选派方法（结果用数字作答）．（1）男3名，女2名（2）队长至少有1人参加（3）至少1名女运动员（4）既要有队长，又要有女运动员．19．（12分）已知函数（1）当a＝0时，求f（x）的极值；（2）当a＜0时，讨论f（x）的单调性．20．（12分）某中学举行了一次“环保知识竞赛”，全校学生参加了这次竞赛．为了了解本次竞赛成绩情况，从中抽取了部分学生的成绩（得分取正整数，满分为100分）作为样本进行统计．请根据下面尚未完成并有局部污损的频率分布表和频率分布直方图（如图所示）解决下列问题：频率分布表（1）写出a，b，x，y的值；（2）在选取的样本中，从竞赛成绩是80分以上（含80分）的同学中随机抽取2名同学到广场参加环保知识的志愿宣传活动．（ⅰ）求所抽取的2名同学中至少有1名同学来自第5组的概率；（ⅱ）求所抽取的2名同学来自同一组的概率．21．（12分）已知函数与g（x）＝xlnx．（1）若f（x）的减区间是（1，3），且f'（x）的最小值为﹣1求f（x）的解析式；（2）当a＝1，c＝2时，若函数ϕ（x）＝f'（x）+g（x）有零点，求实数b的最大值．22．（12分）已知函数，m＜0．（I）当m＝﹣1时，求函数的单调区间；（II）已知m（其中e是自然对数的底数），若存在实数，使f（x0）＞e+1成立，证明：2m+e+l＜0；（III）证明：．2016-2017学年四川省眉山中学高二（下）5月月考数学试卷（理科）参考答案与试题解析一．选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个备选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）复数的虚部为（）A．B．C．D．【解答】解：∵＝，∴复数的虚部为．故选：C．2．（5分）某小区有125户高收入家庭、280户中等收入家庭、95户低收人家庭．现采用分层抽样的方法从中抽取100户，对这些家庭社会购买力的某项指标进行调查，则中等收入家庭中应抽选出的户数为（）A．70 户B．17 户C．56 户D．25 户【解答】解：由已知可得中等收入家庭中应抽选出的户数＝＝56．故选：C．3．（5分）下列求导运算错误的是（）A．（x2+4）′＝2x+4B．C．（cos x）′＝﹣sin x D．【解答】解：根据题意，依次分析选项：对于A、（x2+4）′＝2x，故A错误；对于B、（log2x）′＝，故B正确；对于C、（cos x）′＝﹣sin x，故C正确；对于D、（）′＝（x﹣1）′＝﹣（x﹣2）＝﹣，D正确；故选：A．4．（5分）A、B、C、D、E共5人站成一排，如果A、B中间隔一人，那么排法种数有（）A．60B．36C．48D．24【解答】解：因为A、B、C、D、E共5人站成一排，A、B中间隔一人的不同站法＝36，故选：B．5．（5分）曲线y＝e x+1在点（0，2）处的切线与直线y＝0和y＝﹣x围成的三角形的面积为（）A．1B．C．D．【解答】解：∵y＝e x+1，∴y′＝e x，∴切线的斜率k＝y′|x＝0＝1，且过点（0，2），∴切线为：y﹣2＝x，∴x﹣y+2＝0，∴切线与x轴交点为：（﹣2，0），与y＝﹣x的交点为（﹣1，1），∴切线与直线y＝0和y＝﹣x围成的三角形的面积为：S＝×2×1＝1，故选：A．6．（5分）在用数学归纳法证明f（n）＝++…+＜1（n∈N*，n≥3）的过程中：假设当n＝k（k∈N*，k≥3）时，不等式f（k）＜1成立，则需证当n＝k+1时，f（k+1）＜1也成立．若f（k+1）＝f（k）+g（k），则g（k）＝（）A．+B．+﹣C．﹣D．﹣【解答】解：∵f（k）＝+…+，f（k+1）＝+…+∴f（k+1）﹣f（k）＝∵f（k+1）＝f（k）+g（k），∴g（k）＝故选：B．7．（5分）已知函数f（x）的定义域[﹣1，5]，部分对应值如表，f（x）的导函数f′（x），的图象如图所示，下列关于函数f（x）的命题：①函数f（x）的值域为[1，4]；②函数f（x）在[0，2]上是减函数；③如果当x∈[﹣1，t]时，f（x）的最大值是4，那么t的最大值为4；④当1＜a＜4时，函数y＝f（x）﹣a最多有4个零点．其中正确的命题个数为（）A．0B．1C．2D．3【解答】解由导函数的图象可得，f（x）在（﹣1，0）递增，在（0，2）递减，在（2，4）递增，在（4，5）递减，由函数f（x）的定义域[﹣1，5]，部分对应值如表，可得f（x）的最大值为4，最小值为1，值域为[1，4]，故①、②对；③如果当x∈[﹣1，t]时，f（x）的最大值是4，那么t的最大值为5，故③错；④当1＜a＜4时，函数y＝f（x）﹣a最多有4个零点，故④对．综上可得，正确个数为3．故选：D．8．（5分）已知结论：“在正三角形ABC中，若D是边BC的中点，G是三角形ABC的重心，则”，若把该结论推广到空间，则有结论：“在棱长都相等的四面体ABCD中，若△BCD的中心为M，四面体内部一点O到四面体各面的距离都相等，则＝（）A．1B．2C．3D．4【解答】解：推广到空间，则有结论：“＝3”．设正四面体ABCD边长为1，易求得AM＝，又O到四面体各面的距离都相等，所以O为四面体的内切球的球心，设内切球半径为r，则有r＝，可求得r即OM＝，所以AO＝AM﹣OM＝，所以＝3故选：C．9．（5分）设复数z＝（x﹣1）+yi（x，y∈R），若|z|≤1，则y≥x的概率为（）A．+B．+C．﹣D．﹣【解答】解：∵复数z＝（x﹣1）+yi（x，y∈R）且|z|≤1，∴|z|＝≤1，即（x﹣1）2+y2≤1，∴点（x，y）在（1，0）为圆心1为半径的圆及其内部，而y≥x表示直线y＝x左上方的部分，（图中阴影弓形）∴所求概率为弓形的面积与圆的面积之比，∴所求概率P＝＝故选：D．10．（5分）绵阳市某高中的5名高三学生计划在高考结束后到北京、上海、杭州、广州等4个城市去旅游，要求每个城市都要有学生去，每个学生只去一个城市旅游，且学生甲不到北京，则不同的出行安排有（）A．180种B．72种C．216种D．204种【解答】解：甲在上海、杭州、广州中任选一个，有3种方法，在这个前提下，剩下4个人可以到北京、上海、杭州、广州等4个城市种各一个城市，就是＝24，也可以在除了甲去的之外的3个城市旅游，就是＝36，∴不同的安排方案共有3（24+36）＝180．故选：A．11．（5分）已知定义域为R的奇函数y＝f（x）的导函数为y＝f'（x），当x≠0时，f'（x）+＞0，若a＝，则a，b，c的大小关系正确的是（）A．b＜c＜a B．a＜c＜b C．a＜b＜c D．c＜a＜b【解答】解：∵定义域为R的奇函数y＝f（x），∴F（x）＝xf（x）为R上的偶函数，F′（x）＝f（x）+xf′（x）∵当x≠0时，f′（x）+＞0．∴当x＞0时，x•f′（x）+f（x）＞0，当x＜0时，x•f′（x）+f（x）＜0，即F（x）在（0，+∞）单调递增，在（﹣∞，0）单调递减．F（）＝a＝f（）＝F（ln），F（﹣2）＝b＝﹣2f（﹣2）＝F（2），F（ln）＝c＝（ln）f（ln）＝F（ln2），∵ln＜ln2＜2，∴F（ln）＜F（ln2）＜F（2）．即a＜c＜b故选：B．12．（5分）设集合S＝{1，2，3，4，5，6}，定义集合对（A，B）：A⊆S，B⊆S，A中含有3个元素，B中至少含有2个元素，且B中最小的元素不小于A中最大的元素．记满足A ∪B＝S的集合对（A，B）的总个数为m，满足A∩B≠∅的集合对（A，B）的总个数为n，则的值为（）A．B．C．D．【解答】解：∵S＝{1，2，3，4，5，6}，A⊆S，B⊆S，A中含有3个元素，B中至少含有2个元素，且B中最小的元素不小于A中最大的元素，且A∪B＝S，∴A＝{1，2，3}，B＝{4，5，6}，∴满足A∪B＝S的集合对（A，B）的总个数为m＝2满足A∩B≠∅的集合A，B分类讨论A＝{1，2，3}时，B＝{3，4}，{3，5}，{3，6}，{3，4，5}，{3，4，6}，{3，5，6}，{3，4，5，6}，有7个，A＝{1，2，4}时，B＝{4，5}，{4，6}，{4，5，6}，有3个A＝{1，3，4}时，B＝{4，5}，{4，6}，{4，5，6}，有3个A＝{2，3，4}时，B＝{4，5}，{4，6}，{4，5，6}，有3个当A＝{1，2，5}或A＝{1，3，5}或A＝{1，4，5}或A＝{1，2，3，5}或A＝{2，4，5}或A ＝{3，4，5}时，B＝{5，6}，有6个，故满足A∩B≠∅的集合对（A，B）的总个数为n＝22，则＝故选：A．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．请把答案填在答题卡相应位置. 13．（5分）如表是某单位1﹣4月份水量（单位：百吨）的一组数据：由散点图可知，用水量y与月份x之间有较强的线性相关关系，其线性回归直线方程是＝﹣0.7x+a，由此可预测该单位第5个月的用水量是 1.75百吨．【解答】解：＝＝2.5，＝＝3.5．∴3.5＝﹣0.7×2.5+a，解得a＝5.25．∴线性回归方程是y＝﹣0.7x+5.25．当x＝5时，y＝﹣0.7×5+5.25＝1.75．故答案为：1.75．14．（5分）如图，点A的坐标为（1，0），点C的坐标为（2，4），函数f（x）＝x2，若在矩形ABCD内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率等于．【解答】解：由已知，矩形的面积为4×（2﹣1）＝4，阴影部分的面积为＝（4x﹣）＝，由几何概型公式可得此点取自阴影部分的概率等于；故答案为：．15．（5分）在安排语文、数学、英语、物理、化学、生物6个学科的6堂考试时，若语文、数学两个学科均安排在生物学科之前，则不同的安排方法共有240种．【解答】解：根据题意，分4步进行分析：①、先将语文、数学、生物排好，按要求语文、数学均安排在生物之前，有A22＝2种情况；排好后有4个空位，②、在4个空位中任选1个，安排英语，有4种情况，排好后有5个空位；③、在5个空位中任选1个，安排物理，有5种情况，排好后有6个空位；④、在6个空位中任选1个，安排化学，有6种情况，则不同的安排方法有2×4×5×6＝240种；故答案为：240．16．（5分）有下列命题：①复数z满足|z﹣1|+|z+1|＝2则复数z所对应点Z的轨迹是一个椭圆；②f′（x0）＝＝；③将5封信投入3个邮筒，不同的投法共有53种；④已知一组数据x1，x2，x3，x4，x5的平均数是2，方差是，那么另一组数据3x1﹣2，3x2﹣2，3x3﹣2，3x4﹣2，3x5﹣2的平均数和方差分别是4和3；⑤若a＞0，b＞0，f（x）＝4x3﹣ax2﹣2bx+2在x＝1处有极值，则ab的最大值为9其中正确的有：②④⑤．【解答】解：①复数z满足|z﹣1|+|z+1|＝2，表示点Z与点A（1，0）和点B（﹣1，0）的距离和为2，由于2＝1﹣（﹣1），则复数z所对应点Z的轨迹是线段AB，故①错；②由导数的极限定义可得f′（x0）＝＝，故②对；③将5封信投入3个邮筒，由于每封信都有3种方法，不同的投法共有35种，故③错；④已知一组数据x1，x2，x3，x4，x5的平均数是2，方差是，那么另一组数据3x1﹣2，3x2﹣2，3x3﹣2，3x4﹣2，3x5﹣2的平均数为3×2﹣2＝4，方差为9×＝3，故④对；⑤若a＞0，b＞0，f（x）＝4x3﹣ax2﹣2bx+2在x＝1处有极值，由f′（x）＝12x2﹣2ax﹣2b，可得12﹣2a﹣2b＝0，即有a+b＝6，则ab≤（）2＝9，当且仅当a＝b＝3取得最大值为9，故⑤对．故答案为：②④⑤．三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．（10分）（1）解方程：；（2）复数z满足．【解答】解：（1）∵，∴3x（x﹣1）（x﹣2）＝2（x+1）x+12×，∴3x2﹣17x+10＝0，解得x＝或x＝5，∴x≥3，且x∈N，∴x＝5．（2）令z＝a+bi，∵复数z满足，∴﹣（a﹣bi）＝1+2i，∴，解得a＝，b＝2，∴z＝．18．（12分）2013年4月初眉山市“体彩杯”中小学生田径运动会圆满落幕，市文体局举行表彰大会．某校有男运动员6名，女运动员4名，其中男女队长各1人，从中选5人参加表彰会，下列情形各有多少种选派方法（结果用数字作答）．（1）男3名，女2名（2）队长至少有1人参加（3）至少1名女运动员（4）既要有队长，又要有女运动员．【解答】解：（1）从10名运动员中选5人参加比赛，其中男3人，女2人的选法有C63C42＝120 （种）．（2）从10名运动员中选5人参加比赛，其中队长至少有1人参加的选法有C21C84+C22C83＝2×70+56＝196（种）．（3）从10名运动员中选5人参加比赛，所有的选法有C105（种），没有女运动员的选法有C65（种），故其中至少有1名女运动员参加的选法有C105﹣C65＝2462 （种）．（4）从10名运动员中选5人参加比赛，所有的选法有C105（种），没有队长的选法有C85（种），有男队长但没有女运动员的选法有C54（种），故既要有队长又要有女运动员的选法有C105﹣C85﹣C54＝191（种）．19．（12分）已知函数（1）当a＝0时，求f（x）的极值；（2）当a＜0时，讨论f（x）的单调性．【解答】解：（1）依题意知f（x）的定义域为（0，+∞），当a＝0时，f（x）＝2lnx+，f′（x）＝﹣＝，令f′（x）＝0，解得x＝，当0＜x＜时，f′（x）＜0；当x≥时，f′（x）＞0，又∵f（）＝2ln+2＝2﹣2ln2，∴f（x）的极小值为2﹣2ln2，无极大值．（2）f′（x）＝﹣+2a＝，当a＜﹣2时，﹣＜，令f′（x）＜0 得0＜x＜﹣或x＞，令f′（x）＞0 得﹣＜x＜；当﹣2＜a＜0时，得﹣＞，令f′（x）＜0 得0＜x＜或x＞﹣，令f′（x）＞0 得＜x＜﹣；当a＝﹣2时，f′（x）≤0，综上所述，当a＜﹣2时f（x），的递减区间为（0，﹣）和（，+∞），递增区间为（﹣，）；当a＝﹣2时，f（x）在（0，+∞）单调递减；当﹣2＜a＜0时，f（x）的递减区间为（0，）和（﹣，+∞），递增区间为（，﹣）．20．（12分）某中学举行了一次“环保知识竞赛”，全校学生参加了这次竞赛．为了了解本次竞赛成绩情况，从中抽取了部分学生的成绩（得分取正整数，满分为100分）作为样本进行统计．请根据下面尚未完成并有局部污损的频率分布表和频率分布直方图（如图所示）解决下列问题：频率分布表（1）写出a，b，x，y的值；（2）在选取的样本中，从竞赛成绩是80分以上（含80分）的同学中随机抽取2名同学到广场参加环保知识的志愿宣传活动．（ⅰ）求所抽取的2名同学中至少有1名同学来自第5组的概率；（ⅱ）求所抽取的2名同学来自同一组的概率．【解答】（本小题满分13分）解：（1）由题意可知，a＝16，b＝0.04，x＝0.032，y＝0.004．…（4分）（2）（ⅰ）由题意可知，第4组共有4人，记为A，B，C，D，第5组共有2人，记为X，Y．从竞赛成绩是80分以上（含80分）的同学中随机抽取2名同学，有AB，AC，AD，BC，BD，CD，AX，AY，BX，BY，CX，CY，DX，DY，XY，共15种情况．…（6分）设“随机抽取的2名同学中至少有1名同学来自第5组”为事件E，…（7分）有AX，AY，BX，BY，CX，CY，DX，DY，XY共9种情况．…（8分）所以随机抽取的2名同学中至少有1名同学来自第5组的概率是P（E）＝＝．答：随机抽取的2名同学中至少有1名同学来自第5组的概率．…（10分）（ⅱ）设“随机抽取的2名同学来自同一组”为事件F，有AB，AC，AD，BC，BD，CD，XY共7种情况．…（11分）所以P（F）＝．答：随机抽取的2名同学来自同一组的概率是．…（13分）21．（12分）已知函数与g（x）＝xlnx．（1）若f（x）的减区间是（1，3），且f'（x）的最小值为﹣1求f（x）的解析式；（2）当a＝1，c＝2时，若函数ϕ（x）＝f'（x）+g（x）有零点，求实数b的最大值．【解答】解：（1）由，得f′（x）＝ax2+bx+c．f（x）的减区间是（1，3），∴不等式ax2+bx+c＜0的解集为（1，3），又f'（x）的最小值为﹣1，则，解得．∴f（x）＝；（2）当a＝1，c＝2时，f（x）＝，f′（x）＝x2+bx+2，又g（x）＝xlnx，∴ϕ（x）＝f'（x）+g（x）＝x2+bx+2+xlnx，函数ϕ（x）＝f'（x）+g（x）有零点，即x2+bx+2+xlnx＝0在（0，+∞）上有根．∴在（0，+∞）上有根．令h（x）＝（x＞0），h′（x）＝＝．当x∈（0，1）时，h′（x）＞0，当x∈（1，+∞）时，h′（x）＜0．∴h（x）在（0，1）上单调递增，在（1，+∞）上单调递减．∴h（x）的极大值也是最大值为h（1）＝﹣3．又当x→+∞时，h（x）→﹣∞．∴b≤﹣3，则实数b的最大值为﹣3．22．（12分）已知函数，m＜0．（I）当m＝﹣1时，求函数的单调区间；（II）已知m（其中e是自然对数的底数），若存在实数，使f（x0）＞e+1成立，证明：2m+e+l＜0；（III）证明：．【解答】解：（Ⅰ）当m＝﹣1时，f（x）＝，∴y＝．∵，∴x，∴此函数的定义域为{x|}．∵y′＝＝．令y′＝0，得或x＝1．又，当，或x＞1时，y′＞0；当时，y′＜0．∴函数y＝f（x）﹣在区间或（1，+∞）上单调递增；在区间上单调递减．．（Ⅱ）∵已知m（其中e是自然对数的底数），若存在实数，使f（x0）＞e+1成立，∴上述问题等价于已知m，当时，使f（x）max＞e+1成立，下面求当时，函数求（x）的最大值．∵，∴．∵＝，∴令f′（x）＝0解得x1＝0，．当时，f′（x）＞0；当时，f′（x）＜0．∴函数f（x）在区间上单调递增；在区间上单调递减．故函数f（x）在x＝0时取得最大值，且f（0）＝﹣2m，∴﹣2m＞e+1，即2m+e+1＜0．（Ⅲ）由（Ⅰ）可知，当m＝﹣1时，函数y＝f（x）﹣在区间上单调递减，∴函数y＝f（x）﹣在（0，1]上为减函数．又函数y＝f（x）﹣在x＝0处连续，∴f（x）﹣＜f（0）．即，亦即＜0．∴．∴当x∈（0，1]时，有．当n∈N*时，，∴，即．∴+…+＝，故结论成立．。

四川省眉山市万胜中学高二数学理月考试卷含解析

四川省眉山市万胜中学高二数学理月考试卷含解析

四川省眉山市万胜中学高二数学理月考试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 在棱长为1的正方体上，分别用过共顶点的三条棱中点的平面截该正方体,则截去8个三棱锥后,剩下的凸多面体的体积是▲；参考答案：略2. 如果直线y = k x – 1和椭圆+= 1仅有一个交点，则k和a的取值范围分别是（）（A）( –，) 和 ( 0，1 ] （B）(–，) 和 ( 0，1 )（C）[–，] 和 [ 0，1 ] （D）[ –，] 和 ( 0，1 )参考答案：A3. 下列几何体各自的三视图中，有且仅有两个视图相同的是（）①正方体②圆锥③三棱台④正四棱锥A．①②B．②③Ｃ．①④Ｄ．②④参考答案：D4. 设变量x，y满足约束条件，则目标函数z=3x﹣y的取值范围是（）A．B．C．[﹣1，6] D．参考答案：A【考点】简单线性规划．【专题】不等式的解法及应用．【分析】作出不等式组表示的平面区域；作出目标函数对应的直线；由目标函数中z的几何意义可求z的最大值与最小值，进而可求z的范围【解答】解：作出不等式组表示的平面区域，如图所示由z=3x﹣y可得y=3x﹣z，则﹣z为直线y=3x﹣z在y轴上的截距，截距越大，z越小结合图形可知，当直线y=3x﹣z平移到B时，z最小，平移到C时z最大由可得B（，3），由可得C（2，0），z max=6∴故选A【点评】本题考查画不等式组表示的平面区域、考查数形结合求函数的最值．解题的关键是准确理解目标函数的几何意义5. 为虚数单位，若，则的值为（）A． B． C．D．参考答案：C6. 某学校高二年级共有编号为1班，2班，3班，a，10班等10个班，每个班均有50个学生，现在需要用系统抽样的方法从每个班中抽取1人，得到一个容量为10的样本．首先，在给全体学生编号时，规定从1班到10班，各个学生的编号从小到大，即按1班从001到050，2班从051到100，3班从101到150，p，以此类推，一直到10班的50个学生编号为451到500．若用简单随机抽样的方法从1班抽到的编号为6号，则在6班中应抽取学生的编号为（）A．12 B．56 C．256 D．306参考答案：C【考点】简单随机抽样．【分析】根据已知计算出组距，可得答案【解答】解：因为是从500名学生中抽出10名学生，组距是50，∵从1班抽到的编号为6号，∴在6班中应抽取学生的编号为6+5×50=256，故选C．【点评】本题考查系统抽样的应用，是基础题，解题时要认真审题，注意熟练掌握系统抽样的概念7. 已知数列{a n}满足：a1=1，a n+1=（n∈N*）．若b n+1=（n﹣λ）（+1），b1=﹣λ，且数列{b n}是单调递增数列，则实数λ的取值范为（）A．λ＞2 B．λ＞3 C．λ＜2 D．λ＜3参考答案：C【考点】数列递推式；数列的函数特性．【专题】综合题；等差数列与等比数列．【分析】，分别令n=1，2，3，依次求出a2=，a3=，a4=，由此猜想a n=，并用用数学归纳法证明．由a n=．知b n+1=（n﹣λ）（+1）=（n﹣λ）?2n，再由b1=﹣λ，数列{b n}是单调递增数列，能求出λ的取值范围．【解答】解：∵，∴a2==，a3==，a4==，由此猜想a n=．用数学归纳法证明：①当n=1时，=1，成立；②假设n=k时，等式成立，即，则当n=k=1时，a k+1===，成立．∴a n=．∴b n+1=（n﹣λ）（+1）=（n﹣λ）?2n，∴b2=（1﹣λ）?2=2﹣2λ，∵b1=﹣λ，数列{b n}是单调递增数列，∴b1=﹣λ＜b2=2﹣2λ，故选C．【点评】本题考查数列的通项公式的求法及其应用，解题时要认真审题，仔细解答，注意数学归纳法和等价转化思想的合理运用．8. 已知双曲线中，给出的下列四个量，①渐近线；②焦距；③焦点坐标；④离心率.其中与参数无关的是（）A.①②B.②③C.③④D.①④参考答案：D略9. 若，则的最小值为（）A. B. C. D.参考答案：B【分析】根据题意，得出，利用基本不等式，即可求解，得到答案。

四川省眉山市2016-2017学年高三下学期3月月考数学试卷(理科)Word版含解析

四川省眉山市2016-2017学年高三下学期3月月考数学试卷(理科)Word版含解析

四川省眉山市2016-2017学年高三下学期3月月考试卷（理科数学）一、选择题（本大题12个小题，每题5分，共60分，请将答案涂在答题卷上）1．已知集合A={0，2，4，6}，B={n∈N|2n＜8}，则集合A∩B的子集个数为（）A．8 B．7 C．6 D．42．已知复数，则（）A．z的实部为1 B．z的虚部为﹣iC．z的虚部为﹣1 D．z的共轭复数为1+i3．下列关于命题的说法错误的是（）A．命题“若x2﹣3x+2=0，则x=1”的逆否命题为“若x≠1，则x2﹣3x+2≠0”x在区间（0，+∞）上为增函数”的充分不必要条件B．“a=2”是“函数f（x）=logaC．若命题P：∃n∈N，2n＞1000，则￢P：∀n∈N，2n≤1000D．命题“∃x∈（﹣∞，0），2x＜3x”是真命题4．宋元时期数学名著《算学启蒙》中有关于“松竹并生”的问题：松长五尺，竹长两尺，松日自半，竹日自倍，松竹何日而长等，如图是源于其思想的一个程序框图，若输入的a，b分别为5，2，则输出的n等于（）A．2 B．3 C．4 D．55．函数f（x）=+ln|x|的图象大致为（）A．B．C．D．6．设{an}是公差不为零的等差数列，满足，则该数列的前10项和等于（）A．﹣10 B．﹣5 C．0 D．57．如图，已知长方体ABCD﹣A1B1C1D1的体积为6，∠C1BC的正切值为，当AB+AD+AA1的值最小时，长方体ABCD﹣A1B1C1D1外接球的表面积（）A．10πB．12πC．14πD．16π8．已知抛物线y2=8x的焦点F到双曲线C： =1（a＞0，b＞0）渐近线的距离为，点P是抛物线y2=8x上的一动点，P到双曲线C的上焦点F1（0，c）的距离与到直线x=﹣2的距离之和的最小值为3，则该双曲线的方程为（）A．B．C．D．9．已知x，y满足，若目标函数z=x+2y的最大值为n，则的常数项为（）A．240 B．﹣240 C．60 D．1610．已知函数y=2sin（ωx+φ）（ω＞0）的部分图象如图所示，点A（﹣，0）、B、C是该图象与x轴的交点，过点B作直线交该图象于D、E两点，点F（，0）是f（x）的图象的最高点在x轴上的射影，则（﹣）•（ω）的值是（）A．2π2B．π2C．2 D．以上答案均不正确11．已知定义在R内的函数f（x）满足f（x+4）=f（x），当x∈[﹣1，3]时，f（x）=，则当t∈（，2]时，方程7f（x）﹣2x=0的不等实数根的个数是（）A．3 B．4 C．5 D．612．已知f′（x）是定义在（0，+∞）上的函数f（x）的导函数，若方程f′（x）=0无解，且∀x∈（0，+∞），f[f（x）﹣log2016x]=2017，设a=f（20.5），b=f（logπ3），c=f（log43），则a，b，c的大小关系是（）A．b＞c＞a B．a＞c＞b C．c＞b＞a D．a＞b＞c二．填空题（本大题4个小题，每题5分，共20分）13．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是．14．已知f（x），g（x）都是定义在R上的可导函数，并满足以下条件：①g（x）≠0②f（x）=2a x g（x）（a＞0，a≠1）③f（x）g′（x）＜f′（x）g（x）若+=5，则a= ．15．在△ABC中，已知c=2，若sin2A+sin2B﹣sinAsinB=sin2C，则a+b的取值范围．16．艾萨克•牛顿英国皇家学会会长，英国著名物理学家，同时在数学上也有许多杰出贡献，牛顿用“作切线”的方法求函数f（x）零点时给出一个数列{xn}：满足，我们把该数列称为牛顿数列．如果函数f（x）=ax2+bx+c（a＞0）有两个零点1，2，数列{xn}为牛顿数列，设，已知a1=2，xn＞2，则{an}的通项公式an= ．三、解答题（本大题共5小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．设Sn 是数列的前n项和，已知a1=3an+1=2Sn+3（n∈N*）．（1）求数列{an}的通项公式；（2）令bn =（2n﹣1）an，求数列{bn}的前n项和Tn．18．空气质量指数（Air Quality Index，简称AQI）是定量描述空气质量状况的指数，空气质量按照AQI大小分为六级，0～50为优；51～100为良；101～150为轻度污染；151～200为中度污染；201～250为重度污染；＞300为严重污染．一环保人士记录2017年某地某月10天的AQI的茎叶图如图．（1）利用该样本估计该地本月空气质量优良（AQI≤100）的天数；（按这个月总共30天计算）（2）将频率视为概率，从本月中随机抽取3天，记空气质量优良的天数为ξ，求ξ的概率分布列和数学期望．19．等腰三角形ABC，E为底边BC的中点，沿AE折叠，如图，将C折到点P的位置，使P﹣AE﹣C为120°，设点P在面ABE上的射影为H．（1）证明：点H为EB的中点；（2））若，求直线BE与平面ABP所成角的正弦值．20．设椭圆+=1（a＞）的右焦点为F，右顶点为A．已知+=，其中O为原点，e为椭圆的离心率．（1）求椭圆的方程；（2）设过点A的直线l与椭圆交于点B（B不在x轴上），垂直于l的直线与l交于点M，与y 轴于点H，若BF⊥HF，且∠MOA≤∠MAO，求直线l的斜率的取值范围．21．已知函数f（x）=e x﹣ax﹣1，其中a为实数．（1）若a=1，求函数f（x）的最小值；（2）若方程f（x）=0在（0，2]上有实数解，求a的取值范围；（3）设ak ，bk（k=1，2…，n）均为正数，且a1b1+a2b2+…+anbn≤b1+b2+…+bn，求证：a1a2…an≤1．选修4-4：坐标系与参数方程]22．已知直线l的参数方程是（t是参数），以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴，且取相同的长度单位建立极坐标系，圆C的极坐标方程为ρ=2cos（θ+）．（1）求直线l的普通方程与圆C的直角坐标方程；（2）设圆C与直线l交于A、B两点，若P点的直角坐标为（1，0），求|PA|+|PB|的值．[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数f（x）=|2x﹣1|﹣|2x﹣2|，且f（x）的最大值记为k．（Ⅰ）求不等式f（x）≥x的解集；（Ⅱ）是否存在正数a、b，同时满足a+2b=k， +=4﹣？请说明理由．四川省眉山市2016-2017学年高三下学期3月月考试卷（理科数学）参考答案与试题解析一、选择题（本大题12个小题，每题5分，共60分，请将答案涂在答题卷上）1．已知集合A={0，2，4，6}，B={n∈N|2n＜8}，则集合A∩B的子集个数为（）A．8 B．7 C．6 D．4【考点】交集及其运算．【分析】先分别求出集合A，B，从而求出集合A∩B，由此能求出集合A∩B的子集个数．【解答】解：∵集合A={0，2，4，6}，B={n∈N|2n＜8}={0，1，2}，∴集合A∩B={0，2}，∴集合A∩B的子集个数为n=22=4．故选：D．2．已知复数，则（）A．z的实部为1 B．z的虚部为﹣iC．z的虚部为﹣1 D．z的共轭复数为1+i【考点】复数代数形式的乘除运算；复数的基本概念．【分析】利用复数的运算法则、虚部的定义即可得出．【解答】解：复数==﹣1﹣i，∴z的虚部为﹣1．故选：C．3．下列关于命题的说法错误的是（）A．命题“若x2﹣3x+2=0，则x=1”的逆否命题为“若x≠1，则x2﹣3x+2≠0”x在区间（0，+∞）上为增函数”的充分不必要条件B．“a=2”是“函数f（x）=logaC．若命题P：∃n∈N，2n＞1000，则￢P：∀n∈N，2n≤1000D．命题“∃x∈（﹣∞，0），2x＜3x”是真命题【考点】特称命题；全称命题．【分析】选项A是写一个命题的逆否命题，只要把原命题的结论否定当条件，条件否定当结论即可；选项B看由a=2能否得到函数f（x）=logax在区间（0，+∞）上为增函数，反之又是否成立；选项C、D是写出特称命题的否定，注意其否定全称命题的格式．【解答】解：因为命题“若x2﹣3x+2=0，则x=1”的逆否命题为“若x≠1，则x2﹣3x+2≠0”，所以A正确；由a=2能得到函数f（x）=loga x在区间（0，+∞）上为增函数，反之，函数f（x）=logax在区间（0，+∞）上为增函数，a不一定大于2，所以“a=2”是“函数f（x）=logax在区间（0，+∞）上为增函数”的充分不必要条件，所以选项B正确；命题P：∃n∈N，2n＞1000，的否定为￢P：∀n∈N，2n≤1000，所以选项C正确；因为当x＜0时恒有2x＞3x，所以命题“∃x∈（﹣∞，0），2x＜3x”为假命题，所以D不正确．故选D．4．宋元时期数学名著《算学启蒙》中有关于“松竹并生”的问题：松长五尺，竹长两尺，松日自半，竹日自倍，松竹何日而长等，如图是源于其思想的一个程序框图，若输入的a，b分别为5，2，则输出的n等于（）A．2 B．3 C．4 D．5【考点】程序框图．【分析】由已知中的程序框图可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量S的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案．【解答】解：当n=1时，a=，b=4，满足进行循环的条件，当n=2时，a=，b=8满足进行循环的条件，当n=3时，a=，b=16满足进行循环的条件，当n=4时，a=，b=32不满足进行循环的条件，故输出的n值为4，故选C．5．函数f（x）=+ln|x|的图象大致为（）A．B．C．D．【考点】函数的图象．【分析】当x＜0时，函数f（x）=，由函数的单调性，排除CD；当x＞0时，函数f（x）=，此时，代入特殊值验证，排除A，只有B正确，【解答】解：当x＜0时，函数f（x）=，由函数y=、y=ln（﹣x）递减知函数f（x）=递减，排除CD；当x＞0时，函数f（x）=，此时，f（1）==1，而选项A的最小值为2，故可排除A，只有B正确，故选：B．6．设{an}是公差不为零的等差数列，满足，则该数列的前10项和等于（）A．﹣10 B．﹣5 C．0 D．5【考点】等差数列的前n项和．【分析】设出等差数列的首项和公差，把已知等式用首项和公差表示，得到a1+a10=0，则可求得数列的前10项和等于0．【解答】解：设等差数列{an }的首项为a1，公差为d（d≠0），由，得，整理得：2a1+9d=0，即a1+a10=0，∴．故选：C．7．如图，已知长方体ABCD﹣A1B1C1D1的体积为6，∠C1BC的正切值为，当AB+AD+AA1的值最小时，长方体ABCD﹣A1B1C1D1外接球的表面积（）A．10πB．12πC．14πD．16π【考点】球的体积和表面积．【分析】先根据条件求出长方体的三条棱长，再求出长方体ABCD﹣A1B1C1D1外接球的直径，即可得出结论．【解答】解：由题意设AA1=x，AD=y，则AB=3x，∵长方体ABCD﹣A1B1C1D1的体积为6，∴xy•3x=6，∴y=，∴AB+AD+AA1=4x+≥3=6，当且仅当2x=，即x=1时，取得最小值，∴长方体ABCD﹣A1B1C1D1外接球的直径为=，∴长方体ABCD﹣A1B1C1D1外接球的表面积=14π，故选C．8．已知抛物线y2=8x的焦点F到双曲线C： =1（a＞0，b＞0）渐近线的距离为，点P是抛物线y2=8x上的一动点，P到双曲线C的上焦点F1（0，c）的距离与到直线x=﹣2的距离之和的最小值为3，则该双曲线的方程为（）A．B．C．D．【考点】双曲线的标准方程．【分析】确定抛物线的焦点坐标，双曲线的渐近线方程，进而可得b=2a，再利用抛物线的定义，结合P到双曲线C的上焦点F1（0，c）的距离与到直线x=﹣2的距离之和的最小值为3，可得FF1=3，从而可求双曲线的几何量，从而可得结论．【解答】解：抛物线y2=8x的焦点F（2，0），双曲线C： =1（a＞0，b＞0）的一条渐近线的方程为ax﹣by=0，∵抛物线y2=8x的焦点F到双曲线C： =1（a＞0，b＞0）渐近线的距离为，∴∴a=2b，∵P到双曲线C的上焦点F1（0，c）的距离与到直线x=﹣2的距离之和的最小值为3，∴FF=31∴c2+4=9∴∵c2=a2+b2，a=2b，∴a=2，b=1∴双曲线的方程为﹣x2=1．故选C．9．已知x，y满足，若目标函数z=x+2y的最大值为n，则的常数项为（）A．240 B．﹣240 C．60 D．16【考点】简单线性规划．【分析】由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，联立方程组求得最优解的坐标，代入目标函数得n，再由二项式的通项求解．【解答】解：由约束条件作出可行域如图，联立，解得A（2，2），化目标函数z=x+2y为y=，由图可知，当直线y=过A时，直线在y轴上的截距最大，z有最大值为6．∴=．由=．令6﹣，解得r=4．∴的常数项为．故选：A．10．已知函数y=2sin（ωx+φ）（ω＞0）的部分图象如图所示，点A（﹣，0）、B、C是该图象与x轴的交点，过点B作直线交该图象于D、E两点，点F（，0）是f（x）的图象的最高点在x轴上的射影，则（﹣）•（ω）的值是（）A．2π2B．π2C．2 D．以上答案均不正确【考点】正弦函数的图象．【分析】根据函数y=2sin（ωx+φ）（ω＞0）的部分图象，利用周期性求得ω，可得C、B 的坐标，再根据线段EF关于点B对称，利用两个向量的加减法及其几何意义求得要求式子的值．【解答】解：根据函数y=2sin（ωx+φ）（ω＞0）的部分图象可得•=﹣（﹣），∴ω=2．∵2•（﹣）+φ=π，∴φ=，函数y=2sin（2x+），可得C（，0），故AC的中点B（，0）．由题意可得线段EF关于点B对称，则（﹣）•（ω）=（+）•（ω）=2•2=4|AB|•|AC|=4••T=2T2=2•=2π2，故选：A．11．已知定义在R内的函数f（x）满足f（x+4）=f（x），当x∈[﹣1，3]时，f（x）=，则当t∈（，2]时，方程7f（x）﹣2x=0的不等实数根的个数是（）A．3 B．4 C．5 D．6【考点】根的存在性及根的个数判断．【分析】题意可转化为函数y=f（x）与直线y=x的图象的交点的个数，从而解得．【解答】解：∵7f（x）﹣2x=0，∴f（x）=x，作函数y=f（x）与直线y=x的图象如下，，结合图象可知，函数y=f（x）与直线y=x的图象有5个交点，故方程7f（x）﹣2x=0的不等实数根的个数是5，故选C．12．已知f′（x）是定义在（0，+∞）上的函数f（x）的导函数，若方程f′（x）=0无解，且∀x∈（0，+∞），f[f（x）﹣log2016x]=2017，设a=f（20.5），b=f（logπ3），c=f（log43），则a，b，c的大小关系是（）A．b＞c＞a B．a＞c＞b C．c＞b＞a D．a＞b＞c 【考点】函数的单调性与导数的关系．【分析】根据f（x）﹣log2016x是定值，设t=f（x）﹣log2016x，得到f（x）=t+log2016x，结合f（x）是增函数判断a，b，c的大小即可．【解答】解：∵方程f′（x）=0无解，∴f′（x）＞0或f′（x）＜0恒成立，∴f（x）是单调函数，由题意得∀x∈（0，+∞），f[f（x）﹣log2016x]=2017，又f（x）是定义在（0，+∞）的单调函数，则f（x）﹣log2016x是定值，设t=f（x）﹣log2016x，则f（x）=t+log2016x，∴f（x）是增函数，又0＜log43＜logπ3＜1＜20.5∴a＞b＞c，故选：D．二．填空题（本大题4个小题，每题5分，共20分）13．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是．【考点】由三视图求面积、体积．【分析】由已知中的三视图，可知该几何体是一个圆柱和一个三棱锥组合而成，求出圆柱体积加三棱锥体积，可得该几何体的体积．【解答】解：已知中的三视图，可知该几何体是一个圆柱和一个三棱锥组合而成，圆柱的半径r=2，高为2，其体积为：．三棱锥底面S=×2×2=2，高为2，其体积为：∴该几何体的体积V=．故答案为．14．已知f（x），g（x）都是定义在R上的可导函数，并满足以下条件：①g（x）≠0②f（x）=2a x g（x）（a＞0，a≠1）③f（x）g′（x）＜f′（x）g（x）若+=5，则a= 2 ．【考点】利用导数研究函数的单调性．【分析】根据题意，设h（x）=，分析可得h（x）==2a x，对其求导分析可得h′（x）=＞0，可得h（x）=2a x为增函数，由+=5可得2a+=5，计算可得a的值，结合a的范围取舍即可得答案．【解答】解：根据题意，设h（x）=，由f（x）=2a x g（x）可得h（x）==2a x，则其导数h′（x）=，又由f（x）g′（x）＜f′（x）g（x），则h′（x）=＞0，即h（x）=2a x为增函数，故a＞1，若+=5，即2a+=5，解可得a=2或，又由a＞1，则a=2；故答案为：2．15．在△ABC中，已知c=2，若sin2A+sin2B﹣sinAsinB=sin2C，则a+b的取值范围（2，4] ．【考点】余弦定理；正弦定理．【分析】sin2A+sin2B﹣sinAsinB=sin2C，由余弦定理可得：a2+b2﹣ab=c2，再利用余弦定理可得C．由正弦定理可得： ==，解出a，b代入a+b，利用和差公式、三角函数的单调性与值域即可得出．【解答】解：∵sin2A+sin2B﹣sinAsinB=sin2C，由余弦定理可得：a2+b2﹣ab=c2，可得cosC==，C∈（0，π），∴C=．由正弦定理可得： ==，∴a=sinA，b=sinB，B=﹣A．则a+b=sinA+sinB=sinA+sin（﹣A）=4sin，A∈，∴∈，∴sin∈，∴a+b∈（2，4]．故答案为：（2，4]．16．艾萨克•牛顿英国皇家学会会长，英国著名物理学家，同时在数学上也有许多杰出贡献，牛顿用“作切线”的方法求函数f（x）零点时给出一个数列{xn}：满足，我们把该数列称为牛顿数列．如果函数f（x）=ax2+bx+c（a＞0）有两个零点1，2，数列{xn}为牛顿数列，设，已知a1=2，xn＞2，则{an}的通项公式an= 2n．【考点】数列递推式．【分析】由已知得到a，b，c的关系，可得f（x）=ax2﹣3ax+2a，求导后代入，整理可得，两边取对数，可得是以2为公比的等比数列，再由等比数列的通项公式求导答案．【解答】解：∵函数f（x）=ax2+bx+c（a＞0）有两个零点1，2，∴，解得：．∴f（x）=ax2﹣3ax+2a．则f′（x）=2ax﹣3a．则==，∴，则是以2为公比的等比数列，∵，且a1=2，∴数列{an}是以2为首项，以2为公比的等比数列，则，故答案为：2n．三、解答题（本大题共5小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．设Sn 是数列的前n项和，已知a1=3an+1=2Sn+3（n∈N*）．（1）求数列{an}的通项公式；（2）令bn =（2n﹣1）an，求数列{bn}的前n项和Tn．【考点】数列递推式；数列的求和．【分析】（1）利用数列的递推关系式推出数列是等比数列，然后求解通项公式．（2）化简数列的通项公式，利用错位相减法求和，求解即可．【解答】解：（1）当n≥2时，由an+1=2Sn+3，得an=2Sn﹣1+3，两式相减，得an+1﹣an=2sn﹣2sn﹣1=2an，∴an+1=3an，，当n=1时，a1=3，a2=2S1+3=9，则．∴数列{an}是以3为首项，3 为公比的等比数列，∴an=3n．（2）由（1）得bn =（2n﹣1）an=（2n﹣1）3n．∴Tn=1×3+3×32+5×33+…+（2n﹣1）3n，3T=1×32+3×33+5×34+…+（2n﹣1）3n+1，n=1×3+2×32+2×33+…+2×3n﹣（2n﹣1）3n+1，错位相减得：﹣2Tn=﹣6﹣（2n﹣2）3n+1∴．18．空气质量指数（Air Quality Index，简称AQI）是定量描述空气质量状况的指数，空气质量按照AQI大小分为六级，0～50为优；51～100为良；101～150为轻度污染；151～200为中度污染；201～250为重度污染；＞300为严重污染．一环保人士记录2017年某地某月10天的AQI的茎叶图如图．（1）利用该样本估计该地本月空气质量优良（AQI≤100）的天数；（按这个月总共30天计算）（2）将频率视为概率，从本月中随机抽取3天，记空气质量优良的天数为ξ，求ξ的概率分布列和数学期望．【考点】离散型随机变量的期望与方差；茎叶图；离散型随机变量及其分布列．【分析】（1）从茎叶图中可发现该样本中空气质量优的天数为2，空气质量良的天数为4，从而求出该样本中空气质量优良的频率，由此能估计该月空气质量优良的天数．（2）估计某天空气质量优良的概率为，ξ的所有可能取值为0，1，2，3．且ξ～B（3，），由此能求出结果．【解答】解：（1）从茎叶图中可发现该样本中空气质量优的天数为2，空气质量良的天数为4，故该样本中空气质量优良的频率为，从而估计该月空气质量优良的天数为天．（2）由（1）估计某天空气质量优良的概率为，ξ的所有可能取值为0，1，2，3．且ξ～B（3，），，，∴ξ的分布列为：E（ξ）==1.8．19．等腰三角形ABC，E为底边BC的中点，沿AE折叠，如图，将C折到点P的位置，使P﹣AE﹣C为120°，设点P在面ABE上的射影为H．（1）证明：点H为EB的中点；（2））若，求直线BE与平面ABP所成角的正弦值．【考点】直线与平面所成的角．【分析】（1）证明：∠CEP为二面角C﹣AE﹣P的平面角，则点P在面ABE上的射影H在EB上，即可证明点H为EB的中点；（2）过H作HM⊥AB于M，连PM，过H作HN⊥PM于N，连BN，则有三垂线定理得AB⊥面PHM．即面PHM⊥面PAB，HN⊥面PAB．故HB在面PAB上的射影为NB，∠HBN为直线BE与面ABP所成的角，即可求直线BE与平面ABP所成角的正弦值．【解答】（1）证明：依题意，AE⊥BC，则AE⊥EB，AE⊥EP，EB∩EP=E．∴AE⊥面EPB．故∠CEP为二面角C﹣AE﹣P的平面角，则点P在面ABE上的射影H在EB上．由∠CEP=120°得∠PEB=60°．…∴EH=EP=．∴H为EB的中点．…（2）解：过H作HM⊥AB于M，连PM，过H作HN⊥PM于N，连BN，则有三垂线定理得AB⊥面PHM．即面PHM⊥面PAB，∴HN⊥面PAB．故HB在面PAB上的射影为NB．∴∠HBN为直线BE与面ABP所成的角．…依题意，BE=BC=2，BH=BE=1．在△HMB中，HM=，在△EPB中，PH=，∴在Rt△PHM中，HN=．∴sin∠HBN=．…20．设椭圆+=1（a＞）的右焦点为F，右顶点为A．已知+=，其中O为原点，e为椭圆的离心率．（1）求椭圆的方程；（2）设过点A的直线l与椭圆交于点B（B不在x轴上），垂直于l的直线与l交于点M，与y 轴于点H，若BF⊥HF，且∠MOA≤∠MAO，求直线l的斜率的取值范围．【考点】椭圆的简单性质．【分析】（1）由题意画出图形，把|OF|、|OA|、|FA|代入+=，转化为关于a 的方程，解方程求得a值，则椭圆方程可求；（2）由已知设直线l的方程为y=k（x﹣2），（k≠0），联立直线方程和椭圆方程，化为关于x 的一元二次方程，利用根与系数的关系求得B的坐标，再写出MH所在直线方程，求出H的坐标，由BF⊥HF，得，整理得到M的坐标与k的关系，由∠MOA≤∠MAO，得到x≥1，转化为关于k的不等式求得k的范围．【解答】解：（1）由+=，得，即，∴a[a2﹣（a2﹣3）]=3a（a2﹣3），解得a=2．∴椭圆方程为；（2）由已知设直线l的方程为y=k（x﹣2），（k≠0），设B（x1，y1），M（x，k（x﹣2）），∵∠MOA≤∠MAO，∴x≥1，再设H（0，yH），联立，得（3+4k2）x2﹣16k2x+16k2﹣12=0．△=（﹣16k2）2﹣4（3+4k2）（16k2﹣12）=144＞0．由根与系数的关系得，∴，，MH所在直线方程为，令x=0，得，∵BF⊥HF，∴，即1﹣x1+y1yH=，整理得：，即8k2≥3．≤∴或．21．已知函数f（x）=e x﹣ax﹣1，其中a为实数．（1）若a=1，求函数f（x）的最小值；（2）若方程f（x）=0在（0，2]上有实数解，求a的取值范围；（3）设ak ，bk（k=1，2…，n）均为正数，且a1b1+a2b2+…+anbn≤b1+b2+…+bn，求证：a1a2…an≤1．【考点】利用导数研究函数的单调性；利用导数求闭区间上函数的最值．【分析】（1）求出f'（x）=e x﹣1，由f'（x）=0得x=0，从而求出函数的单调区间，进而求出函数的最值；（2）先求出f'（x）=e x﹣a（0＜x≤2），再讨论①当a≤1时，②当a≥e2时，③当1＜a＜e2时的情况，从而求出a的范围；（3）由（1）知，当x∈（0，+∞）时，e x＞x+1，得bk lnak＜akbk﹣bk（k=1，2，…，n），求和得ln＜ak bk﹣bk≤0．从而问题得证．【解答】解：（1）f'（x）=e x﹣1，由f'（x）=0得x=0当x＞0时，f'（x）＞0，f（x）在（0，+∞）内递增；当x＜0时，f'（x）＜0，f（x）在（﹣∞，0）内递减；故函数f（x）在x=0处取得最小值f（1）=0．（2）f'（x）=e x﹣a（0＜x≤2）①当a≤1时，f'（x）＞0，f（x）在（0，2]内递增；f（x）＞f（0）=0，方程f（x）=0在（0，2]上无实数解；②当a≥e2时，f'（x）≤0，f（x）在（0，2]内递减；f（x）＜f（0）=0，方程f（x）=0在（0，2]上无实数解；③当1＜a＜e2时，由f'（x）=0，得x=lna，当0＜x＜lna时，f'（x）＜0，f（x）递减；当lna＜x＜2时，f'（x）＞0，f（x）递增；又f（0）=0，f（2）=e2﹣2a﹣1由f（2）=e2﹣2a﹣1≥0得1＜a≤，故a的取值范围为（1，]（3）由（1）知，当x∈（0，+∞）时，e x＞x+1，即ln（x+1）＜x．∵ak ，bk＞0，从而有lnak＜ak﹣1，得bk lnak＜akbk﹣bk（k=1，2，…，n），求和得ln＜ak bk﹣bk≤0，ln（…）＜0，故a1a2…an≤1．选修4-4：坐标系与参数方程]22．已知直线l的参数方程是（t是参数），以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴，且取相同的长度单位建立极坐标系，圆C的极坐标方程为ρ=2cos（θ+）．（1）求直线l的普通方程与圆C的直角坐标方程；（2）设圆C与直线l交于A、B两点，若P点的直角坐标为（1，0），求|PA|+|PB|的值．【考点】直线的参数方程；简单曲线的极坐标方程．【分析】（1）将参数方程两式相加消去参数t得到直线l的普通方程，将极坐标方程展开两边同乘ρ，根据极坐标与直角坐标的对应关系得到直角坐标方程；（2）将直线l的参数方程代入曲线C的直角坐标方程，利用根与系数的关系和参数的几何意义求出距离．【解答】解：（1）∵直线l的参数方程是（t是参数），∴x+y=1．即直线l的普通方程为x+y﹣1=0．∵ρ=2cos（θ+）=2cosθ﹣2sinθ，∴ρ2=2ρcosθ﹣2ρsinθ，∴圆C的直角坐标方程为x2+y2=2x﹣2y，即x2+y2﹣2x+2y=0．（2）将代入x2+y2﹣2x+2y=0得t2﹣t﹣1=0，∴t1+t2=，t1t2=﹣1．∴|PA|+|PB|=|t1﹣t2|==．[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数f（x）=|2x﹣1|﹣|2x﹣2|，且f（x）的最大值记为k．（Ⅰ）求不等式f（x）≥x的解集；（Ⅱ）是否存在正数a、b，同时满足a+2b=k， +=4﹣？请说明理由．【考点】绝对值不等式的解法．【分析】（Ⅰ）通过讨论x的范围，求出不等式组的解集取并集即可；（Ⅱ）求出k=1，得到a+2b=1，结合基本不等式的性质判断即可．【解答】解：（Ⅰ）不等式f（x）≥x，即为|2x﹣1|﹣|2x﹣2|﹣x≥0，∴或或，解得：x≤﹣1或x∈∅或x=1，综上，不等式的解集是{x|x≤﹣1或x=1}；（Ⅱ）f（x）=|2x﹣1|﹣|2x﹣2|≤|2x﹣1﹣2x+2|=1，当且仅当x≥1时取“=”，故k=1，假设存在符合条件的正数a，b，则a+2b=1，++=++=2（+）=8++≥8+2=16，当且仅当a=，b=时取“=”号，∴++的最小值是16，即+≥16﹣＞4﹣，∴不存在正数a、b，同时满足a+2b=k， +=4﹣同时成立．。

四川省眉山中学2016-2017学年高二下学期期中数学试卷(理科)Word版含解析

四川省眉山中学2016-2017学年高二下学期期中数学试卷(理科)Word版含解析

2016-2017学年四川省眉山中学高二（下）期中数学试卷（理科）一、选择题（每题5分，共60分）1．某学校为了调查学生的学习情况，由每班随机抽取5名学生进行调查，若一班有50名学生，将每一学生编号从01到50，请从随机数表的第1行第5、6列（如表为随机数表的前2行）的开始，依次向右，直到取足样本，则第五个编号为（）附随机数表：A．63 B．02 C．43 D．072．已知x、y的取值如下表所示：从散点图分析、y与x线性相关，且=0.95x+2.6，则m的值为（）A．6.4 B．6.5 C．6.7 D．6.83．某工厂甲、乙、丙三个车间生产了同一种产品，数量分别为120件，80件，60件．为了解它们的产品质量是否存在显著差异，用分层抽样方法抽取了一个容量为n的样本进行调查，其中从丙车间的产品中抽取了3件，则n=（）A．9 B．10 C．12 D．134．在5件产品中，有3件一等品和2件二等品，从中任取2件，那么以为概率的事件是（）A．都不是一等品B．恰有一件一等品C．至少有一件一等品D．至多一件一等品5．已知函数f（x）=x3﹣（a﹣1）x2+b2x，其中a∈{1，2，3，4}，b∈{1，2，3}，则函数f（x）在R上是增函数的概率为（）A．B．C．D．6．用数学归纳法证明“”时，由n=k 的假设证明n=k+1时，如果从等式左边证明右边，则必须证得右边为（）A．B．C．D．7．要证：a2+b2﹣1﹣a2b2≤0，只要证明（）A．2ab﹣1﹣a2b2≤0 B．a2+b2﹣1﹣≤0C．﹣1﹣a2b2≤0 D．（a2﹣1）（b2﹣1）≥08．设f（x）=，则f（x）dx的值为（）A． +B． +3 C． +D． +39．已知函数f（x）=，g（x）=log2x+m，若对∀x1∈[1，2]，∃x2∈[1，4]，使得f（x1）≥g（x2），则m的取值范围是（）A．m≤﹣B．m≤2 C．m≤D．m≤010．已知定义在R上的可导函数f（x）的导函数为f′（x），若对于任意实数x，有f（x）＞f′（x），且f（0）=1，则不等式f（x）＜e x的解集为（）A．（﹣∞，0）B．（0，+∞）C．（﹣∞，e4） D．（e4，+∞）11．已知函数，对∀a∈R，∃b∈（0，+∞），使得f（a）=g（b），则b﹣a的最小值为（）A．B．C．D．12．设函数f（x）=，关于x的方程[f（x）]2+mf（x）﹣1=0有三个不同的实数解，则实数m的取值范围是（）A．（﹣∞，e﹣）B．（e﹣，+∞）C．（0，e） D．（1，e）二、填空题（每题5分，共20分）13．如图，在边长为1的正方形OABC中任取一点P，则点P恰好取自阴影部分的概率为．14．定义一种新运算“*”，对自然数n满足以下等式：（1）1*1=1；（2）（n+1）*1=3（n*1），则2*1=；n*1=．15．已知函数f（x）=﹣f'（0）e x+2x，点P为曲线y=f（x）在点（0，f（0））处的切线l上的一点，点Q在曲线y=e x上，则|PQ|的最小值为．16．已知m∈R，n∈R，并且m+3n=1，则me m+3ne3n的最小值．三、解答题（共70分）17．某校高一（2）班共有60名同学参加期末考试，现将其数学学科成绩（均为整数）分成六个分数段[40，50），[50，60），…，[90，100]，画出如图所示的部分频率分布直方图，请观察图形信息，回答下列问题：（1）求a并估计这次考试中该学科的中位数、平均值；（2）现根据本次考试分数分成下列六段（从低分段到高分段依次为第一组、第二组…第六组）为提高本班数学整体成绩，决定组与组之间进行帮扶学习．若选出的两组分数之差不小于30分（以分数段为依据，不以具体学生分数为依据，如：[40，50），[70，80）这两组分数之差为30分），则称这两组为“最佳组合”，试求选出的两组为“最佳组合”的概率．18．已知，数列{a n}的前n项的和记为S n．（1）求S1，S2，S3的值，猜想S n的表达式；（2）请用数学归纳法证明你的猜想．19．某旅游公司为甲，乙两个旅游团提供四条不同的旅游线路，每个旅游团可任选其中一条旅游线路．（1）求甲、乙两个旅游团所选旅游线路不同的概率；（2）某天上午9时至10时，甲，乙两个旅游团都到同一个著名景点游览，20分钟后游览结束即离去．求两个旅游团在该著名景点相遇的概率．20．二次函数f（x），又的图象与x轴有且仅有一个公共点，且f′（x）=1﹣2x．（1）求f（x）的表达式．（2）若直线y=kx把y=f（x）的图象与x轴所围成的图形的面积二等分，求k的值．21．已知函数f（x）=+ax，x＞1．（1）若函数f（x）在处取得极值，求a的值；（2）若方程（2x﹣m）lnx+x=0在（1，e]上有两个不等实根，求实数m的取值范围．22．已知函数f（x）=x2+ax﹣lnx，a∈R．（1）若函数f（x）在[1，2]上是减函数，求实数a的取值范围；（2）令g（x）=f（x）﹣x2，是否存在实数a，当x∈（0，e]（e是自然常数）时，函数g（x）的最小值是3，若存在，求出a的值；若不存在，说明理由；（3）求证：当x∈（0，e]时，e2x2﹣x＞（x+1）lnx．2016-2017学年四川省眉山中学高二（下）期中数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（每题5分，共60分）1．某学校为了调查学生的学习情况，由每班随机抽取5名学生进行调查，若一班有50名学生，将每一学生编号从01到50，请从随机数表的第1行第5、6列（如表为随机数表的前2行）的开始，依次向右，直到取足样本，则第五个编号为（）附随机数表：A．63 B．02 C．43 D．07【考点】B4：系统抽样方法．【分析】从随机数表第1行的第5列和第6列数字开始由左到右一次选取两个数字开始向右读，依次为65，72，08，02，63，14，07，02，43，69，97，28，01，98，…，其中08，02，14，07，43符合条件，故可得结论．【解答】解：从随机数表第1行的第5列和第6列数字开始由左到右一次选取两个数字开始向右读，第一个数为65，不符合条件，第二个数为72，不符合条件，第三个数为08，符合条件，以下符合条件依次为：08，02，14，07，43，故第5个数为43．故选：C．2．已知x、y的取值如下表所示：从散点图分析、y与x线性相关，且=0.95x+2.6，则m的值为（）A．6.4 B．6.5 C．6.7 D．6.8【考点】BK：线性回归方程．【分析】由求线性回归直线方程中系数的公式，知（，）在回归直线上，根据表中数据求出（，），将其代入回归直线方程即可得到答案．【解答】解：点（，）在回归直线上，计算得==2，==；因为线性回归方程为=0.95x+2.6，得m=6.7；故选：C．3．某工厂甲、乙、丙三个车间生产了同一种产品，数量分别为120件，80件，60件．为了解它们的产品质量是否存在显著差异，用分层抽样方法抽取了一个容量为n的样本进行调查，其中从丙车间的产品中抽取了3件，则n=（）A．9 B．10 C．12 D．13【考点】B3：分层抽样方法．【分析】甲、乙、丙三个车间生产的产品数量的比依次为6：4：3，求出丙车间生产产品所占的比例，从而求出n的值．【解答】解：∵甲、乙、丙三个车间生产的产品件数分别是120，80，60，∴甲、乙、丙三个车间生产的产品数量的比依次为6：4：3，丙车间生产产品所占的比例，因为样本中丙车间生产产品有3件，占总产品的，所以样本容量n=3÷=13．故选D．4．在5件产品中，有3件一等品和2件二等品，从中任取2件，那么以为概率的事件是（）A．都不是一等品B．恰有一件一等品C．至少有一件一等品D．至多一件一等品【考点】CB：古典概型及其概率计算公式．【分析】从5件产品中任取2件，有C52种结果，通过所给的条件可以做出都不是一等品有1种结果，恰有一件一等品有C31C21种结果，至少有一件一等品有C31C21+C32种结果，至多有一件一等品有C31C21+1种结果，做比值得到概率．【解答】解：5件产品中，有3件一等品和2件二等品，从中任取2件，从5件产品中任取2件，有C52=10种结果，∵都不是一等品有1种结果，概率是，恰有一件一等品有C31C21种结果，概率是，至少有一件一等品有C31C21+C32种结果，概率是，至多有一件一等品有C31C21+1种结果，概率是，∴是至多有一件一等品的概率，故选D．5．已知函数f（x）=x3﹣（a﹣1）x2+b2x，其中a∈{1，2，3，4}，b∈{1，2，3}，则函数f（x）在R上是增函数的概率为（）A．B．C．D．【考点】CC：列举法计算基本事件数及事件发生的概率；3E：函数单调性的判断与证明．【分析】由导数易得函数单调递增需a﹣1≤b，列举可得总的基本事件数，易得符合题意的基本事件数，由概率公式可得．【解答】解：∵f（x）=x3﹣（a﹣1）x2+b2x，∴f′（x）=x2﹣2（a﹣1）x+b2，要使函数f（x）在R上是增函数，需f′（x）=x2﹣2（a﹣1）x+b2≥0，即△=4（a﹣1）2﹣4b2≤0，即a﹣1≤b，∵a∈{1，2，3，4}，b∈{1，2，3}，∴总的基本事件为（1，1），（1，2），（1，3），（2，1），（2，2），（2，3），（3，1），（3，2），（3，3），（4，1），（4，2），（4，3）共12个，其中满足a﹣1≤b的有（1，1），（1，2），（1，3），（2，1），（2，2），（2，3），（3，2），（3，3），（4，3）共9个，∴所求概率为P==故选：D．6．用数学归纳法证明“”时，由n=k 的假设证明n=k+1时，如果从等式左边证明右边，则必须证得右边为（）A．B．C．D．【考点】RG：数学归纳法．【分析】当n=k+1时，右边=，由此可得结论．【解答】解：由所证明的等式，当n=k+1时，右边==故选D．7．要证：a2+b2﹣1﹣a2b2≤0，只要证明（）A．2ab﹣1﹣a2b2≤0 B．a2+b2﹣1﹣≤0C．﹣1﹣a2b2≤0 D．（a2﹣1）（b2﹣1）≥0【考点】R8：综合法与分析法(选修）．【分析】将左边因式分解，即可得出结论．【解答】解：要证：a2+b2﹣1﹣a2b2≤0，只要证明（a2﹣1）（1﹣b2）≤0，只要证明（a2﹣1）（b2﹣1）≥0．故选：D．8．设f（x）=，则f（x）dx的值为（）A． +B． +3 C． +D． +3【考点】67：定积分．【分析】根据定积分性质可得f（x）dx=+，然后根据定积分可得．【解答】解：根据定积分性质可得f（x）dx=+，根据定积分的几何意义，是以原点为圆心，以1为半径圆面积的，=，∴f（x）dx=+（），=+，故答案选：A．9．已知函数f（x）=，g（x）=log2x+m，若对∀x1∈[1，2]，∃x2∈[1，4]，使得f（x1）≥g（x2），则m的取值范围是（）A．m≤﹣B．m≤2 C．m≤D．m≤0【考点】3R：函数恒成立问题．【分析】对∀x1∈[1，2]，∃x2∈[1，4]，使得f（x1）≥g（x2）等价于f（x）≥g（x）min即可；min【解答】解：对∀x1∈[1，2]，∃x2∈[1，4]，使得f（x1）≥g（x2）等价于f（x）≥g（x）min；minf（x）==+，换元令t=∈[，1]，h（t）=t+t2知h（t）在（﹣，+∞）上单调递增；所以f（x）min=h（）=；g（x）=log2x+m，在x∈[1，4]上为单调增函数，故g（x）min=g（1）=m；所以m≤，故选：C．10．已知定义在R上的可导函数f（x）的导函数为f′（x），若对于任意实数x，有f（x）＞f′（x），且f（0）=1，则不等式f（x）＜e x的解集为（）A．（﹣∞，0）B．（0，+∞）C．（﹣∞，e4） D．（e4，+∞）【考点】6A：函数的单调性与导数的关系．【分析】根据条件构造函数令g（x）=，由求导公式和法则求出g′（x），根据条件判断出g′（x）的符号，得到函数g（x）的单调性，再由奇函数的结论：f （0）=1求出g（0）的值，将不等式进行转化后，利用g（x）的单调性可求出不等式的解集．【解答】解：由题意令g（x）=，则g′（x）=，∵f（x）＞f′（x），∴g′（x）＜0，即g（x）在R上是单调递减函数，∵f（0）=1，∴g（0）=1则不等式f（x）＜e x等价为＜1=g（0），即g（x）＜g（0），解得x＞0，∴不等式的解集为（0，+∞），故选：B．11．已知函数，对∀a∈R，∃b∈（0，+∞），使得f（a）=g（b），则b﹣a的最小值为（）A．B．C．D．【考点】34：函数的值域．【分析】f（x）=e2x，g（x）=lnx+，得到f﹣1（x）=lnx，g﹣1（x）=，够造函数h（x）=h（x）=g﹣1（x）﹣f﹣1（x），则b﹣a的最小值，即为h（x）的最小值，利用导数法求出函数的最小值，可得答案．【解答】解：∵f（x）=e2x，g（x）=lnx+，∴f﹣1（x）=lnx，g﹣1（x）=，令h（x）=g﹣1（x）﹣f﹣1（x）=﹣lnx，则b﹣a的最小值，即为h（x）的最小值，∵h′（x）=）=﹣，令h′（x）=0，解得x=，∵当x∈（0，）时，h′（x）＜0，当x∈（，+∞）时，h′（x）＞0，故当x=时，h（x）取最小值1﹣=1+，故选：A．12．设函数f（x）=，关于x的方程[f（x）]2+mf（x）﹣1=0有三个不同的实数解，则实数m的取值范围是（）A．（﹣∞，e﹣）B．（e﹣，+∞）C．（0，e） D．（1，e）【考点】54：根的存在性及根的个数判断．【分析】求出f（x）的单调性和极值，判断方程f（x）=k的根的情况，令g（x）=x2+mx﹣1，根据f（x）=k的根的情况得出g（x）的零点分布情况，利用零点的存在性定理列出不等式求出m的范围．【解答】解：f′（x）=，∴当x＞e时，f′（x）＜0，当0＜x＜e时，f′（x）＞0，∴f（x）在（0，e]上单调递增，在（e，+∞）上单调递减．∴f max（x）=f（e）=．作出f（x）的大致函数图象如下：由图象可知当0＜k时，f（x）=k有两解，当k≤0或k=时，f（x）=k有一解，当k时，f（x）=k无解．令g（x）=x2+mx﹣1，则g（f（x））有三个零点，∴g（x）在（0，）上有一个零点，在（﹣∞，0]∪{}上有一个零点．∵g（x）的图象开口向上，且g（0）=﹣1，∴g（x）在（﹣∞，0）上必有一个零点，∴g（）＞0，即，解得m＞e﹣．故选B．二、填空题（每题5分，共20分）13．如图，在边长为1的正方形OABC中任取一点P，则点P恰好取自阴影部分的概率为．【考点】CF：几何概型；6G：定积分在求面积中的应用．【分析】求出正方形OABC的面积，阴影部分由函数y=x与y=围成，由定积分公式，计算可得阴影部分的面积，进而由几何概型公式计算可得答案．【解答】解：根据题意，正方形OABC的面积为1×1=1，而阴影部分由函数y=x与y=围成，其面积为（﹣x）dx=（）=，则正方形OABC中任取一点P，点P取自阴影部分的概率为．故答案为：．14．定义一种新运算“*”，对自然数n满足以下等式：（1）1*1=1；（2）（n+1）*1=3（n*1），则2*1=3；n*1=3n﹣1．【考点】F4：进行简单的合情推理．【分析】由“n*1”是一个整体，联想数列通项形式，设n*1=a n，根据等比数列的定义，把此题转化为等比数列求通项公式．【解答】解：设n*1=a n，则a1=1，a n+1=3a n，∴数列{a n}是以1为首项，3为公比的等比数列，∴a n=3n﹣1，即n*1=3n﹣1．∴2*1=3，故答案为3；3n﹣115．已知函数f（x）=﹣f'（0）e x+2x，点P为曲线y=f（x）在点（0，f（0））处的切线l上的一点，点Q在曲线y=e x上，则|PQ|的最小值为．【考点】6H：利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】求出f（x）的导数，令x=0，可得切线l的斜率和切点，切线方程l，再求y=e x导数，由过Q的切线与切线l平行时，距离最短．求得切点Q的坐标，运用点到直线的距离公式，即可得到最小值．【解答】解：f（x）=﹣f'（0）e x+2x，可得f′（x）=﹣f'（0）e x+2，即有f′（0）=﹣f'（0）e0+2，解得f′（0）=1，则f（x）=﹣e x+2x，f（0）=﹣e0+0=﹣1，则切线l：y=x﹣1，y=e x的导数为y′=e x，过Q的切线与切线l平行时，距离最短．由e x=1，可得x=0，即切点Q（0，1），则Q到切线l的距离为=．故答案为：．16．已知m∈R，n∈R，并且m+3n=1，则me m+3ne3n的最小值．【考点】7F：基本不等式．【分析】先根据等式将n消去，构造函数f（m）=m•e m+3n•e3n=m•e m+（1﹣m）•e1﹣m然后讨论m，研究函数的单调性求出最小值即可．【解答】解：∵3n=1﹣m，∴f（m）=m•e m+3n•e3n=m•e m+（1﹣m）•e1﹣m令g（m）=m•e m，h（m）=（1﹣m）•e1﹣m当m≤0时，h（m）为减函数，且h（m）≥h（0）=e，g（m）=﹣|m|•e﹣|m|由于从y=x与y=e x的图象易知，|m|≤e|m|，所以|m|•e﹣|m|≤，g（m）=﹣|m|•e﹣|m|≥﹣，f（m）=g（m）+h（m）≥﹣+e，当m≥时，由g（m）与h（m）关于x=对称，同上可得f（m）≥e﹣，当0＜m＜时，g（0）=h（1）=0，g（1）=h（0）=e，g′（m）=（m+1）e m＞0，h′（m）=﹣（2﹣m）e1﹣m＜0且g′（m），h′（m）均为单调递增，当0＜m＜时，g′（m）＜g′（）=，h′（m）＜h′（）=﹣，f′（m）=g′（m）+h′（m）＜0单调递减，当≤m＜1时，同理，可得f′（m）=g′（m）+h′（m）≥g′（）+h′（）=0单调递增（当m=时等号成立）所以当m=时，f（m）取最小值，即当m=，n=时，me m+3ne3n的最小值为．故答案为：．三、解答题（共70分）17．某校高一（2）班共有60名同学参加期末考试，现将其数学学科成绩（均为整数）分成六个分数段[40，50），[50，60），…，[90，100]，画出如图所示的部分频率分布直方图，请观察图形信息，回答下列问题：（1）求a并估计这次考试中该学科的中位数、平均值；（2）现根据本次考试分数分成下列六段（从低分段到高分段依次为第一组、第二组…第六组）为提高本班数学整体成绩，决定组与组之间进行帮扶学习．若选出的两组分数之差不小于30分（以分数段为依据，不以具体学生分数为依据，如：[40，50），[70，80）这两组分数之差为30分），则称这两组为“最佳组合”，试求选出的两组为“最佳组合”的概率．【考点】CC：列举法计算基本事件数及事件发生的概率；B8：频率分布直方图．【分析】（1）在频率分直方图中，小矩形的面积等于这一组的频率，根据频率的和等于1建立等式解之即可；由已知得中位数在[70，80）内，设中位数为x，由中位数要平分直方图的面积能求出结果；60及以上的分数所在的第三、四、五、六组，从而求出抽样学生成绩的合格率，再利用组中值估算抽样学生的平均分即可．（2）选出的两组为“最佳组合”的概所有的组合数有15个，其中，“最佳组合”有6个，由此求得选出的两组为“最佳组合”的概率．【解答】解：（1）因为各组的频率和等于1，故第四组的频率：f4=1﹣（0.025+0.015×2+0.01+0.005）×10=0.3，∴a=0.03，成绩在[40，70）的频率为：（0.01+0.015+0.015）×10=0.4，成绩在[40，80）的频率为：0.4+0.03×10=0.7，∴中位数在[70，80）内，设中位数为x，∵中位数要平分直方图的面积，∴x=70+=分，依题意，60及以上的分数所在的第三、四、五、六组，频率和为（0.015+0.03+0.025+0.005）×10=0.75所以，抽样学生成绩的合格率是75%，利用组中值估算抽样学生的平均分为：45•f1+55•f2+65•f3+75•f4+85•f5+95•f6=45×0.1+55×0.15+65×0.15+75×0.3+85×0.25+95×0.05=71估计这次考试的平均分是71分，（2）记选出的两组为“最佳组合”为事件A ．从六组中任选两组的基本事件是：（1，2），（1，3），（1，4），（1，5），（1，6），（2，3），（2，4），（2，5），（2，6），（3，4），（3，5），（3，6），（4，5），（4，6），（5，6），即n=5+4+3+2+1=15，符合“最佳组合”条件的有：（1，4），（1，5），（1，6），（2，5），（2，6），（3，6），即m=6，所以，选出的两组为“最佳组合”的概率为 18．已知，数列{a n }的前n 项的和记为S n ．（1）求S 1，S 2，S 3的值，猜想S n 的表达式； （2）请用数学归纳法证明你的猜想．【考点】8E ：数列的求和；F1：归纳推理；RG ：数学归纳法．【分析】（1）依题意，可求得S 1，S 2，S 3的值，继而可猜想S n 的表达式；（2）猜想S n =；用数学归纳法证明，先证明n=1时等式成立，再假设n=k 时等式成立，去证明当n=k +1时等式也成立即可．【解答】解：（1）∵a n =，∴S 1=a 1==，S 2=a 1+a 2=+=，S 3=S 2+a 3=+==；…∴猜想S n =；（2）证明：①当n=1时，S 1=，等式成立；②假设当n=k 时，S k =成立，则当n=k +1时，S k +1=S k +a k +1=+====，即当n=k+1时等式也成立；综合①②知，对任意n∈N*，S n=．19．某旅游公司为甲，乙两个旅游团提供四条不同的旅游线路，每个旅游团可任选其中一条旅游线路．（1）求甲、乙两个旅游团所选旅游线路不同的概率；（2）某天上午9时至10时，甲，乙两个旅游团都到同一个著名景点游览，20分钟后游览结束即离去．求两个旅游团在该著名景点相遇的概率．【考点】CF：几何概型；C9：相互独立事件的概率乘法公式．【分析】（1）每个旅游团可任选其中一条旅游线路，基本事件总数n=42=16，甲、乙两个旅游团所选旅游线路不同包含的基本事件个数m==4×3=12，由此能求出甲、乙两个旅游团所选旅游线路不同的概率．（2）设甲、乙两个旅游团到达著名景点的时刻分别为x，y，依题意得，由此利用几何概型能求出两个旅游团在该著名景点相遇的概率．【解答】解：（1）某旅游公司为甲，乙两个旅游团提供四条不同的旅游线路，每个旅游团可任选其中一条旅游线路，基本事件总数n=42=16，甲、乙两个旅游团所选旅游线路不同包含的基本事件个数m==4×3=12，∴甲、乙两个旅游团所选旅游线路不同的概率：p=．（2）设甲、乙两个旅游团到达著名景点的时刻分别为x，y，依题意得，即，作出不等式表示的区域，如图：记“两个旅游团在著名景点相遇”为事件B，P（B）==．∴两个旅游团在该著名景点相遇的概率为．20．二次函数f（x），又的图象与x轴有且仅有一个公共点，且f′（x）=1﹣2x．（1）求f（x）的表达式．（2）若直线y=kx把y=f（x）的图象与x轴所围成的图形的面积二等分，求k的值．【考点】3W：二次函数的性质；36：函数解析式的求解及常用方法．【分析】（1）由题意设f（x）=ax2+bx+c，求出f′（x）后结合题意求出a、b，再代入化简，由题意和二次函数的性质令△=0求出c的值，代入解析式求出f（x）；（2）先求出f（x）=x﹣x2图象与x轴交点坐标，再画出图象，并求出y=kx和y=f （x）的图象的交点的横坐标，结合题意和定积分知识列出方程，求出k的值．【解答】解：（1）设f（x）=ax2+bx+c，则f′（x）=2ax+b，∵f′（x）=1﹣2x，∴a=﹣1，b=1，∴=的图象与x轴有且仅有一个公共点，∴△=1+4（c﹣）=0，解得c=0，则f（x）=x﹣x2…．（2）由（1）得f（x）=x﹣x2图象与x轴交点是（0，0）、（1，0），如图：直线y=kx和y=f（x）的图象的交点为A，由得，x=1﹣k，∵直线y=kx把y=f（x）的图象与x轴所围成的图形的面积二等分，∴dx=，即×（）=，，解得，故k的值是．21．已知函数f（x）=+ax，x＞1．（1）若函数f（x）在处取得极值，求a的值；（2）若方程（2x﹣m）lnx+x=0在（1，e]上有两个不等实根，求实数m的取值范围．【考点】6D：利用导数研究函数的极值．【分析】（1）求出函数的导数，解关于导函数的方程，求出a的值，检验即可；（2）整理得+2x=m，即函数f（x）与函数y=m在（1，e]上有两个不同的交点，由f（x）=+2x的单调性求出m的范围即可．【解答】解：（1）f′（x）=+a，由题可知，经检验a=2，符合题意；（2）将方程（2x﹣m）lnx+x=0两边同除lnx得（2x﹣m）+=0，整理得+2x=m，即函数f（x）与函数y=m在（1，e]上有两个不同的交点f（x）=+2x，f′（x）=，令f′（x）=0得2ln2x+lnx﹣1=0，解得：lnx=或lnx=﹣1（舍），即x=，当1＜x＜时，f′（x）＜0，当x＞时，f′（x）＞0，可知，f（x）在（1，）上单调递减，在（，e）上单调递增，f（）=4，f（e）=3e，当x→1时，→+∞，∴4＜m≤3e，实数m的取值范围为（4，3e]．22．已知函数f（x）=x2+ax﹣lnx，a∈R．（1）若函数f（x）在[1，2]上是减函数，求实数a的取值范围；（2）令g（x）=f（x）﹣x2，是否存在实数a，当x∈（0，e]（e是自然常数）时，函数g（x）的最小值是3，若存在，求出a的值；若不存在，说明理由；（3）求证：当x∈（0，e]时，e2x2﹣x＞（x+1）lnx．【考点】6E：利用导数求闭区间上函数的最值；6B：利用导数研究函数的单调性．【分析】（1）求出函数的导数，结合函数的单调性得到关于a的不等式组，解出即可；（2）由g（x）=f（x）﹣x2=ax﹣lnx，x∈（0，e]，求出g（x）的导数，依题意，通过对a≤0、0＜＜e、及≥e的讨论，即可作出正确判断；（3）令F（x）=e2x﹣lnx，由（2）知，F（x）min=3，令φ（x）=+，证明F （x）min＞φ（x）max即可；【解答】解：（1）∵函数f（x）在[1，2]上是减函数，∴f′（x）≤0在[1，2]上恒成立．又f′（x）=2x+a﹣=，令h（x）=2x2+ax﹣1，∴，解得a ≤﹣；（2）∵f （x ）=x 2+ax ﹣lnx ，∴g （x ）=f （x ）﹣x 2=ax ﹣lnx ，x ∈（0，e ]．∴g′（x ）=a ﹣=（0＜x ≤e ），①当a ≤0时，g （x ）在（0，e ]上单调递减，g （x ）min =g （e ）=ae ﹣1=3，解得a=（舍去）；②当0＜＜e 时，g （x ）在（0，）上单调递减，在（，e ]上单调递增，∴g （x ）min =g （）=1+lna=3，解得a=e 2，满足条件；③当≥e 时，g （x ）在（0，e ]上单调递减，g （x ）min =g （e ）=ae ﹣1=3，解得a=（舍去）；综上，存在实数a=e 2，使得当x ∈（0，e ]时，g （x ）有最小值3． 证明：（3）令F （x ）=e 2x ﹣lnx ，由（2）得F （x ）min =3，令ω（x ）=+，ω′（x ）=，当0＜x ≤e 时，ω′（x ）≥0，ω（x ）在（0，e ]递增，∴ω（x ）max =ω（e ）=3故e 2x ﹣lnx ＞+，即e 2x 2﹣x ＞（x +1）lnx ．2017年5月27日。

四川省眉山市2016-2017学年高三下学期3月月考数学试卷(文科)Word版含解析

四川省眉山市2016-2017学年高三下学期3月月考数学试卷(文科)Word版含解析

四川省眉山市2016-2017学年高三下学期3月月考试卷（文科数学）一.选择题：（共10小题，每小题5分，共50分.在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求）1．已知集合M={x|x2﹣1≤0}，N={x|＜2x+1＜4，x∈Z}，则M∩N=（）A．{﹣1，0} B．{1}C．{﹣1，0，1}D．∅2．抛物线x=y2的焦点到准线的距离为（）A．B．C．2 D．83．已知复数z=（cosθ﹣isinθ）（1+i），则“θ=”是“z为纯虚数”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件4．如图所示的程序框图，若输出的S=41，则判断框内应填入的条件是（）A．k＞3？B．k＞4？C．k＞5？D．k＞6？5．已知l，m，n为三条不同直线，α，β，γ为三个不同平面，则下列判断正确的是（）A．若m∥α，n∥α，则m∥nB．若m⊥α，n∥β，α⊥β，则m⊥nC．若α∩β=l，m∥α，m∥β，则m∥lD．若α∩β=m，α∩γ=n，l⊥m，l⊥n，则l⊥α6．已知P（x，y）为区域内的任意一点，当该区域的面积为2时，z=x+2y的最大值是（）A．5 B．0 C．2 D．27．在△ABC中，内角A、B、C的对边长分别a、b、c，已知a2﹣c2=2b，且sinAcosC=3cosAsinC，则b=（）A．4 B．4C．2D．38．已知f（x）=sinx+2cosx，若函数g（x）=f（x）﹣m在x∈（0，π）上有两个不同零点α，β，则cos（α+β）=（）A．﹣1 B．﹣1 C．D．9．定义在（0，+∞）上的单调减函数f（x），若f（x）的导函数存在且满足＞x，则下列不等式成立的是（）A．3f（2）＜2f（3）B．2f（3）＜3f（2）C．3f（4）＜4f（3）D．2f（3）＜3f（4）10．设直线x﹣3y+m=0（m≠0）与双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的两条渐近线分别交于点A，B，若点P（m，0）满足|PA|=|PB|，则该双曲线的离心率是（）A．B．C．D． +1二.填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．11．在一次马拉松比赛中，35名运动员的成绩（单位：分钟）的茎叶图如图所示．若将运动员成绩由好到差编号为1﹣35号，再用系统抽样方法从中抽取7人，则其中成绩在区间[139，151]上的运动员人数是．12．若实数a，b满足a+b=2，则2a+2b的最小值是．13．某三棱锥的三视图如图所示，该三棱锥的表面积是．14．已知圆O：x2+y2=2，若||=1，在圆O上存在A，B两点，有•=0成立，则||的取值范围是．15．已知m∈R，函数f（x）=，g（x）=x2﹣2x+2m﹣1，下列叙述中正确的有①函数y=f（f（x））有4个零点；②若函数y=g（x）在（0，3）有零点，则﹣1＜m≤1；③当m≥﹣时，函数y=f（x）+g（x）有2个零点；④若函数y=f（g（x））﹣m有6个零点则实数m的取值范围是（0，）．三．解答题：本大题共6小题，共75分.16．已知公比为q的等比数列{a n}的前6项和S6=21，且4a1，a2，a2成等差数列．（1）求a n；（2）设{b n}是首项为2，公差为﹣a1的等差数列，求数列{|b n|}前n项和为T n．17．已知△ABC的面积为S，且．（1）求tan2A的值；（2）若，，求△ABC的面积S．18．某小组共有A、B、C、D、E五位同学，他们的身高（单位：米）以及体重指标（单位：千克/米2）如（Ⅱ）从该小组同学中任选2人，求选到的2人的身高都在1.70以上且体重指标都在[18.5，23.9）中的概率．19．如图，四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥底面ABCD，PA=2，BC=CD=2，∠ACB=∠ACD=．（Ⅰ）求证：BD⊥平面PAC；（Ⅱ）若侧棱PC上的点F满足PF=7FC，求三棱锥P﹣BDF的体积．20．已知椭圆M：： +=1（a＞0）的一个焦点为F（﹣1，0），左右顶点分别为A，B．经过点F的直线l与椭圆M交于C，D两点．（Ⅰ）求椭圆方程；（Ⅱ）当直线l的倾斜角为45°时，求线段CD的长；（Ⅲ）记△ABD与△ABC的面积分别为S1和S2，求|S1﹣S2|的最大值．21．已知函数f（x）=xe tx﹣e x+1，其中t∈R，e=2.71828…是自然对数的底数．（Ⅰ）当t=0时，求f（x）的最大值；（Ⅱ）若方程f（x）=1无实数根，求实数t的取值范围；（Ⅲ）若函数f（x）是（0，+∞）内的减函数，求实数t的取值范围．四川省眉山市2016-2017学年高三下学期3月月考数学试卷（文科）参考答案与试题解析一.选择题：（共10小题，每小题5分，共50分.在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求）1．已知集合M={x|x2﹣1≤0}，N={x|＜2x+1＜4，x∈Z}，则M∩N=（）A．{﹣1，0} B．{1}C．{﹣1，0，1}D．∅【考点】交集及其运算；指、对数不等式的解法．【分析】求出集合MN，然后求解交集即可．【解答】解：集合M={x|x2﹣1≤0}={x|﹣1≤x≤1}，N={x|＜2x+1＜4，x∈Z}={x|﹣2＜x＜1，x∈Z}={﹣1，0}，则M∩N={﹣1，0}故选：A2．抛物线x=y2的焦点到准线的距离为（）A．B．C．2 D．8【考点】抛物线的简单性质．【分析】抛物线方程化为标准方程，利用抛物线的标准方程可得p=2，由焦点到准线的距离为p，从而得到结果．【解答】解：抛物线x=y2，y2=4x的焦点到准线的距离为p，由标准方程可得p=2，故选C．3．已知复数z=（cosθ﹣isinθ）（1+i），则“θ=”是“z为纯虚数”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】先根据复数的定义求出θ=kπ﹣，k∈Z，再根据充分条件，必要条件的定义即可判断．【解答】解：复数z=（cosθ﹣isinθ）（1+i）=cosθ+sinθ+（cosθ﹣sinθ）i，若z为纯虚数，则cosθ+sinθ=sin（θ+）=0，即θ+=kπ，即θ=kπ﹣，k∈Z，则“θ=”是“z为纯虚数”充分不必要条件，故选：A．4．如图所示的程序框图，若输出的S=41，则判断框内应填入的条件是（）A．k＞3？B．k＞4？C．k＞5？D．k＞6？【考点】程序框图．【分析】分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是累加并输入S的值，条件框内的语句是决定是否结束循环，模拟执行程序即可得到答案．【解答】解：程序在运行过程中各变量值变化如下表：K S 是否继续循环循环前1 0第一圈2 2 是第二圈3 7 是第三圈4 18 是第四圈5 41 否故退出循环的条件应为k＞4？故答案选：B．5．已知l，m，n为三条不同直线，α，β，γ为三个不同平面，则下列判断正确的是（）A．若m∥α，n∥α，则m∥nB．若m⊥α，n∥β，α⊥β，则m⊥nC．若α∩β=l，m∥α，m∥β，则m∥lD．若α∩β=m，α∩γ=n，l⊥m，l⊥n，则l⊥α【考点】空间中直线与平面之间的位置关系．【分析】根据常见几何体模型举出反例，或者证明结论．【解答】解：（A）若m∥α，n∥α，则m与n可能平行，可能相交，也可能异面，故A错误；（B）在正方体ABCD﹣A′B′C′D′中，设平面ABCD为平面α，平面CDD′C′为平面β，直线BB′为直线m，直线A′B为直线n，则m⊥α，n∥β，α⊥β，但直线A′B与BB′不垂直，故B错误．（C）设过m的平面γ与α交于a，过m的平面θ与β交于b，∵m∥α，m⊂γ，α∩γ=a，∴m∥a，同理可得：n∥a．∴a∥b，∵b⊂β，a⊄β，∴a∥β，∵α∩β=l，a⊂α，∴a∥l，∴l∥m．故C正确．（D）在正方体ABCD﹣A′B′C′D′中，设平面ABCD为平面α，平面ABB′A′为平面β，平面CDD′C′为平面γ，则α∩β=AB，α∩γ=CD，BC⊥AB，BC⊥CD，但BC⊂平面ABCD，故D错误．故选：C．6．已知P（x，y）为区域内的任意一点，当该区域的面积为2时，z=x+2y的最大值是（）A．5 B．0 C．2 D．2【考点】简单线性规划．【分析】由约束条件作出可行域，求出使可行域面积为2的a值，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合可得最优解，求出最优解的坐标，代入目标函数得答案．【解答】解：由作出可行域如图由图可得A（a，﹣2a），B（a，2a），由S△OAB=•4a•a=2，得a=1．∴B（1，2），化目标函数y=x+，∴当y=x+过A点时，z最大，z=1+2×2=5．故选：A．7．在△ABC中，内角A、B、C的对边长分别a、b、c，已知a2﹣c2=2b，且sinAcosC=3cosAsinC，则b=（）A．4 B．4C．2D．3【考点】正弦定理；余弦定理．【分析】首先利用正弦和余弦定理转化出2（a2﹣c2）=b2，结合a2﹣c2=2b，直接算出结果．【解答】解：sinAcosC=3cosAsinC，利用正、余弦定理得到：解得：2（a2﹣c2）=b2①由于：a2﹣c2=2b②由①②得：b=4故选：A8．已知f（x）=sinx+2cosx，若函数g（x）=f（x）﹣m在x∈（0，π）上有两个不同零点α，β，则cos（α+β）=（）A．﹣1 B．﹣1 C．D．【考点】两角和与差的余弦函数．【分析】f（x）=sinx+2cosx=sin（x+φ），其中cosφ=，sinφ=．由x∈（0，π），可得φ＜x+φ＜π+φ．由于函数g（x）=f（x）﹣m在x∈（0，π）上有两个不同零点α、β，可得y=m与y=f（x）的图象有两个交点，可得α与β关于直线x=对称，即可得出．【解答】解：f（x）=sinx+2cosx=（sinx+cosx）=sin（x+φ），其中cosφ=，sinφ=．∵x∈（0，π），∴φ＜x+φ＜π+φ．∵函数g（x）=f（x）﹣m在x∈（0，π）上有两个不同零点α、β，∴y=m与y=f（x）的图象有两个交点，cos2φ=2cos2φ﹣1=2×（）2﹣1=﹣，∴sinφ＜m＜．且α与β关于直线x=对称，∴α+β+2φ=π，则cos（α+β）=﹣cos2φ=．故选：D．9．定义在（0，+∞）上的单调减函数f（x），若f（x）的导函数存在且满足＞x，则下列不等式成立的是（）A．3f（2）＜2f（3）B．2f（3）＜3f（2）C．3f（4）＜4f（3）D．2f（3）＜3f（4）【考点】利用导数研究函数的单调性．【分析】根据条件构造函数g（x）=，求函数的导数，研究函数的单调性，利用函数的单调性进行判断即可．【解答】解：∵定义在（0，+∞）上的单调减函数f（x），∴f′（x）＜0，则不等式＞x，等价为f（x）＜xf′（x），即xf′（x）﹣f（x）＞0，设g（x）=，则g′（x）=＞0，即函数g（x）在（0，+∞）上为增函数，则g（3）＜g（4），g（2）＜g（3），即＜，＜即4f（3）＜3f（4），3f（2）＜2f（3），故选：A．10．设直线x﹣3y+m=0（m≠0）与双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的两条渐近线分别交于点A，B，若点P（m，0）满足|PA|=|PB|，则该双曲线的离心率是（）A．B．C．D． +1【考点】双曲线的简单性质．【分析】先求出A，B的坐标，可得AB中点坐标为（，），利用点P（m，0）满足|PA|=|PB|，可得=﹣3，从而可求双曲线的离心率．【解答】解：由双曲线的方程可知，渐近线为y=±x，分别与x﹣3y+m=0（m≠0）联立，解得A（﹣，﹣），B（﹣，），∴AB中点坐标为（，），∵点P（m，0）满足|PA|=|PB|，∴=﹣3，∴a=2b，∴c=b，∴e==．故选：A．二.填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．11．在一次马拉松比赛中，35名运动员的成绩（单位：分钟）的茎叶图如图所示．若将运动员成绩由好到差编号为1﹣35号，再用系统抽样方法从中抽取7人，则其中成绩在区间[139，151]上的运动员人数是4．【考点】茎叶图．【分析】根据茎叶图中的数据，结合系统抽样方法的特征，即可求出正确的结论．【解答】解：根据茎叶图中的数据，得；成绩在区间[139，151]上的运动员人数是20，用系统抽样方法从35人中抽取7人，成绩在区间[139，151]上的运动员应抽取7×=4（人）．故答案为：4．12．若实数a，b满足a+b=2，则2a+2b的最小值是4．【考点】基本不等式．【分析】直接利用a+b即可求出最小值．【解答】解：∵a+b=2∴2a+2b≥2=2=4当且仅当a=b=1时等式成立．故答案为：4．13．某三棱锥的三视图如图所示，该三棱锥的表面积是30+6．【考点】由三视图求面积、体积．【分析】根据三视图，可得该三棱锥为如图的三棱锥A﹣BCD，其中底面△BCD中，CD⊥BC，且侧面ABC 与底面ABC互相垂直，由此结合题中的数据结合和正余弦定理，不难算出该三棱锥的表面积．【解答】解：根据题意，还原出如图的三棱锥A﹣BCD底面Rt△BCD中，BC⊥CD，且BC=5，CD=4侧面△ABC中，高AE⊥BC于E，且AE=4，BE=2，CE=3侧面△ACD中，AC==5∵平面ABC ⊥平面BCD ，平面ABC ∩平面BCD=BC ，AE ⊥BC ∴AE ⊥平面BCD ，结合CD ⊂平面BCD ，得AE ⊥CD ∵BC ⊥CD ，AE ∩BC=E∴CD ⊥平面ABC ，结合AC ⊂平面ABC ，得CD ⊥AC因此，△ADB 中，AB==2，BD==，AD==，∴cos ∠ADB==，得sin ∠ADB==由三角形面积公式，得S △ADB =×××=6又∵S △ACB =×5×4=10，S △ADC =S △CBD =×4×5=10∴三棱锥的表面积是S 表=S △ADB +S △ADC +S △CBD +S △ACB =30+6故答案为：30+614．已知圆O ：x 2+y 2=2，若||=1，在圆O 上存在A ，B 两点，有•=0成立，则||的取值范围是[，] ．【考点】平面向量数量积的运算．【分析】由题意：||=1，看成是以圆心（0，0）半径为r=1的圆，在圆O 上存在A ，B 两点，有•=0成立，即过圆x 2+y 2=1同一点的两条直线相互垂直圆x 2+y 2=2交点A ，B 两点，即可求AB 的距离．【解答】解：由题意：||=1，看成是以圆心（0，0）半径为r=1的圆，在圆O 上存在A ，B 两点，有•=0成立，即过圆x 2+y 2=1同一点的两条直线相互垂直圆x 2+y 2=2交点A ，B ，A 1，B 1点，如图所示，|AB |为最大值，|A 1B 1|为最小值．C 为圆上的动点，设C （1，0），可得直线AB 1的方程为y=﹣x +1， 直线A 1B 的方程为y=x ﹣1，圆x 2+y 2=2交点A ，B ，A 1，B 1点，联立解得A （，），B 1（，）根据对称性：|AB |的最大值， |A 1B 1|的最小值． 故答案为：[，]15．已知m∈R，函数f（x）=，g（x）=x2﹣2x+2m﹣1，下列叙述中正确的有①②④①函数y=f（f（x））有4个零点；②若函数y=g（x）在（0，3）有零点，则﹣1＜m≤1；③当m≥﹣时，函数y=f（x）+g（x）有2个零点；④若函数y=f（g（x））﹣m有6个零点则实数m的取值范围是（0，）．【考点】分段函数的应用．【分析】对于①根据函数的零点定理求出x=0或x=﹣1．或x=3，或x=1+，故可判断；对于②当g（x）在（0，3）上有一个零点时，求出m的值．当g（x）在（0，3）上有两个零点时，求出m的取值范围，再取并集即得所求．对于③，取m=﹣，利用数形结合的思想即可判断．对于④由于函数f（x），g（x）=x2﹣2x+2m﹣1．可得当g（x）=（x﹣1）2+2m﹣2＜1，即（x﹣1）2＜3﹣2m时，y=f（g（x））=|2g（x）+1|=|2（x﹣1）2+4m﹣3|．当g（x）=（x﹣1）2+2m﹣2＞1，即（x﹣1）2＞3﹣2m时，则y=f（g（x））=log2[（x﹣1）2+2m﹣3]．再对m分类讨论，利用直线y=m与函数y=f（g（x））图象的交点必须是6个即可得出【解答】解：对于①y=f（f（x））=0，∴log2（f（x））=0，或|2f（x）|+1|=0，∴f（x）=1，或f（x）=﹣，∴|2x+1|=1，或log2（x﹣1）=1或log2（x﹣1）=﹣，解得x=0或x=﹣1．或x=3，或x=1+，故函数y=f（f（x））有4个零点，故正确；对于②g（x）=x2﹣2x+2m﹣1，在（0，3）有零点，当g（x）在（0，3）上有一个零点时∴g（0）g（3）＜0，∴（2m﹣1）（9﹣6+2m﹣1）＜0，即﹣1＜m＜，或△=4﹣4（2m﹣1）=0，解得m=1，当g（x）在（0，3）上有两个零点时，，解得＜m＜1，当m=，g（x）=x2﹣2x=0，解得x=2，综上所述：函数y=g（x）在（0，3）有零点，则﹣1＜m≤1，故②正确，对于③，若m=﹣时，分别画出y=f（x）与y=﹣g（x）的图象，如图所示，由图象可知，函数y=f（x）+g（x）有3个零点，故③不正确．对于④∵函数f（x）=，g（x）=x2﹣2x+2m﹣1．∴当g（x）=（x﹣1）2+2m﹣2＜1时，即（x﹣1）2＜3﹣2m时，则y=f（g（x））=|2g（x）+1|=|2（x﹣1）2+4m﹣3|．当g（x）=（x﹣1）2+2m﹣2＞1时，即（x﹣1）2＞3﹣2m时，则y=f（g（x））=log2[（x﹣1）2+2m﹣3]．①当3﹣2m≤0即m≥时，y=m只与y=f（g（x））=log2[（x﹣1）2+2m﹣3]的图象有两个交点，不满足题意，应该舍去．②当m＜时，y=m与y=f（g（x））=log2[（x﹣1）2+2m﹣3]的图象有两个交点，需要直线y=m与函数y=f（g（x））=|2g（x）+1|=|2（x﹣1）2+4m﹣3|的图象有四个交点时才满足题意．∴0＜m＜3﹣4m，又m＜，解得0＜m＜．综上可得：m的取值范围是0＜m＜．故④正确，故答案为：①②④．三．解答题：本大题共6小题，共75分.16．已知公比为q的等比数列{a n}的前6项和S6=21，且4a1，a2，a2成等差数列．（1）求a n；（2）设{b n}是首项为2，公差为﹣a1的等差数列，求数列{|b n|}前n项和为T n．【考点】数列的求和；数列递推式．【分析】（1）由4a1，a2，a2成等差数列，求出公比q=2，再由等比数列{a n}的前6项和S6=21，求出首项，由此能求出a n．（2）求出，设S n为{b n}的前n项和，当n≤7时，数列{|b n|}前n项和为T n=S n，当n＞7时，T n=2S7﹣S n，由此能求出数列{|b n|}前n项和T n．【解答】解：（1）∵4a1，a2，a2成等差数列，∴4a1+a2=3a2，即4a1=2a2=2a1q，解得q=2，…∴，解得，∴．…（2）有（1）可知{b n}是首项为2，公差为﹣的等差数列，∴，…由b n=﹣≥0，得n≤7．设S n为{b n}的前n项和，则，…当n≤7时，数列{|b n|}前n项和为T n=S n=﹣，…当n＞7时，T n=2S7﹣S n=，…∴．…17．已知△ABC的面积为S，且．（1）求tan2A的值；（2）若，，求△ABC的面积S．【考点】平面向量数量积的运算；两角和与差的正切函数．【分析】（1）由已知和三角形的面积公式可得，进而可得tanA=2，由二倍角的正切公式可得答案；（2）由（1）中的tanA=2，可得sinA，cosA，由两角和的正弦公式可得sinC，结合正弦定理可得边b，代入面积公式可得答案．【解答】解：（1）设△ABC的角A，B，C所对应的边分别为a，b，c．∵，∴，…∴，∴tanA=2．…∴．…（2），即，…∵tanA=2，∴…，∴，解得．…∴sinC=sin（A+B）=sinAcosB+cosAsinB=．…由正弦定理知：，可推得…∴．…18．某小组共有A、B、C、D、E五位同学，他们的身高（单位：米）以及体重指标（单位：千克/米2）如（Ⅱ）从该小组同学中任选2人，求选到的2人的身高都在1.70以上且体重指标都在[18.5，23.9）中的概率．【考点】古典概型及其概率计算公式．【分析】（Ⅰ）写出从身高低于1.80的同学中任选2人，其一切可能的结果组成的基本事件，查出选到的2人身高都在1.78以下的事件，然后直接利用古典概型概率计算公式求解；．（Ⅱ）写出从该小组同学中任选2人，其一切可能的结果组成的基本事件，查出选到的2人的身高都在1.70以上且体重指标都在[18.5，23.9）中的事件，利用古典概型概率计算公式求解．【解答】（Ⅰ）从身高低于1.80的同学中任选2人，其一切可能的结果组成的基本事件有：（A，B），（A，C），（A，D），（B，C），（B，D），（C，D）共6个．由于每个同学被选到的机会均等，因此这些基本事件的出现是等可能的．选到的2人身高都在1.78以下的事件有：（A，B），（A，C），（B，C）共3个．因此选到的2人身高都在1.78以下的概率为p=；（Ⅱ）从该小组同学中任选2人，其一切可能的结果组成的基本事件有：（A，B），（A，C），（A，D），（A，E），（B，C），（B，D），（B，E），（C，D），（C，E），（D，E）共10个．由于每个同学被选到的机会均等，因此这些基本事件的出现是等可能的．选到的2人的身高都在1.70以上且体重指标都在[18.5，23.9）中的事件有：（C，D）（C，E），（D，E）共3个．因此选到的2人的身高都在1.70以上且体重指标都在[18.5，23.9）中的概率p=．19．如图，四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥底面ABCD，PA=2，BC=CD=2，∠ACB=∠ACD=．（Ⅰ）求证：BD⊥平面PAC；（Ⅱ）若侧棱PC上的点F满足PF=7FC，求三棱锥P﹣BDF的体积．【考点】直线与平面垂直的判定；棱柱、棱锥、棱台的体积．【分析】（Ⅰ）由等腰三角形的性质可得BD⊥AC，再由PA⊥底面ABCD，可得PA⊥BD．再利用直线和平面垂直的判定定理证明BD⊥平面PAC．（Ⅱ）由侧棱PC 上的点F 满足PF=7FC ，可得三棱锥F ﹣BCD 的高是三棱锥P ﹣BCD 的高的．求出△BCD的面积S △BCD ，再根据三棱锥P ﹣BDF 的体积 V=V P ﹣BCD ﹣V F ﹣BCD =﹣，运算求得结果．【解答】解：（Ⅰ）∵BC=CD=2，∴△BCD 为等腰三角形，再由，∴BD ⊥AC ． 再由PA ⊥底面ABCD ，可得PA ⊥BD ． 而PA ∩AC=A ，故BD ⊥平面PAC ．（Ⅱ）∵侧棱PC 上的点F 满足PF=7FC ，∴三棱锥F ﹣BCD 的高是三棱锥P ﹣BCD 的高的．△BCD 的面积S △BCD =BC •CD •sin ∠BCD==．∴三棱锥P ﹣BDF 的体积 V=V P ﹣BCD ﹣V F ﹣BCD =﹣=×==．20．已知椭圆M ：：+=1（a ＞0）的一个焦点为F （﹣1，0），左右顶点分别为A ，B ．经过点F 的直线l 与椭圆M 交于C ，D 两点． （Ⅰ）求椭圆方程；（Ⅱ）当直线l 的倾斜角为45°时，求线段CD 的长；（Ⅲ）记△ABD 与△ABC 的面积分别为S 1和S 2，求|S 1﹣S 2|的最大值． 【考点】直线与圆锥曲线的关系；椭圆的标准方程． 【分析】（Ⅰ）由焦点F 坐标可求c 值，根据a ，b ，c 的平方关系可求得a 值；（Ⅱ）写出直线方程，与椭圆方程联立消掉y 得关于x 的一元二次方程，利用韦达定理及弦长公式即可求得|CD |； （Ⅲ）当直线l 不存在斜率时可得，|S 1﹣S 2|=0；当直线l 斜率存在（显然k ≠0）时，设直线方程为y=k （x +1）（k ≠0），与椭圆方程联立消y 可得x 的方程，根据韦达定理可用k 表示x 1+x 2，x 1x 2，|S 1﹣S 2|可转化为关于x 1，x 2的式子，进而变为关于k 的表达式，再用基本不等式即可求得其最大值； 【解答】解：（I ）因为F （﹣1，0）为椭圆的焦点，所以c=1，又b 2=3，所以a 2=4，所以椭圆方程为=1；（Ⅱ）因为直线的倾斜角为45°，所以直线的斜率为1， 所以直线方程为y=x +1，和椭圆方程联立得到，消掉y ，得到7x 2+8x ﹣8=0，所以△=288，x 1+x 2=，x 1x 2=﹣，所以|CD |=|x 1﹣x 2|=×=；（Ⅲ）当直线l 无斜率时，直线方程为x=﹣1，此时D （﹣1，），C （﹣1，﹣），△ABD ，△ABC 面积相等，|S 1﹣S 2|=0， 当直线l 斜率存在（显然k ≠0）时，设直线方程为y=k （x +1）（k ≠0）， 设C （x 1，y 1），D （x 2，y 2），和椭圆方程联立得到，消掉y 得（3+4k 2）x 2+8k 2x +4k 2﹣12=0，显然△＞0，方程有根，且x 1+x 2=﹣，x 1x 2=，此时|S 1﹣S 2|=2||y 1|﹣|y 2||=2|y 1+y 2|=2|k （x 2+1）+k （x 1+1）|=2|k （x 2+x 1）+2k |==≤==，（k=时等号成立）所以|S 1﹣S 2|的最大值为．21．已知函数f （x ）=xe tx ﹣e x +1，其中t ∈R ，e=2.71828…是自然对数的底数． （Ⅰ）当t=0时，求f （x ）的最大值；（Ⅱ）若方程f （x ）=1无实数根，求实数t 的取值范围；（Ⅲ）若函数f （x ）是（0，+∞）内的减函数，求实数t 的取值范围． 【考点】利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的单调性． 【分析】（Ⅰ）当t=0时，求导数，确定函数的单调性，即可求函数f （x ）的最大值；（Ⅱ）先确定原方程无负实数根，令g （x ）=，求出函数的值域，方程f （x ）=1无实数根，等价于1﹣t ∉（﹣∞，]，即可证明结论；（Ⅲ）利用函数f （x ）是（0，+∞）内的减函数，确定t ＜1，再分类讨论，即可求实数t 的取值范围． 【解答】解：（Ⅰ）当t=0时，f （x ）=x ﹣e x +1， ∴f ′（x ）=1﹣e x ，∴x ＜0，f ′（x ）＞0；x ＞0，f ′（x ）＜0，∴函数f （x ）在（﹣∞，0）上单调递增，在（0，+∞）上单调递减， ∴函数f （x ）的最大值为f （0）=0； （Ⅱ）由f （x ）=1，可得x=e x （1﹣t ）＞0， ∴原方程无负实数根，故有=1﹣t ．令g （x ）=，则g ′（x ）=，∴0＜x＜e，g′（x）＞0；x＞e，f′（x）＜0，∴函数g（x）在（0，e）上单调递增，在（e，+∞）上单调递减，∴函数g（x）的最大值为g（e）=，∴函数g（x）的值域为（﹣∞，]；方程f（x）=1无实数根，等价于1﹣t∉（﹣∞，]，∴1﹣t＞，∴t＜1﹣，∴当t＜1﹣时，方程f（x）=1无实数根（Ⅲ）f′（x）=e tx[1+tx﹣e（1﹣t）x]，由题设，x＞0，f′（x）≤0，不妨取x=1，则f′（1）=e t（1+t﹣e1﹣t）≤0，t≥1时，e1﹣t≤1，1+t≤2，不成立，∴t＜1．①t≤，x＞0时，f′（x）=e tx[1+tx﹣e（1﹣t）x]≤（1+﹣），由（Ⅰ）知，x﹣e x+1＜0，∴1+﹣＜0，∴f′（x）＜0，∴函数f（x）是（0，+∞）内的减函数；②＜t＜1，＞1，∴ln＞0，令h（x）=1+tx﹣e（1﹣t）x，则h（0）=0，h′（x）=（1﹣t）[﹣e（1﹣t）x]0＜x＜ln，h′（x）＞0，∴h（x）在（0，ln）上单调递增，∴h（x）＞h（0）=0，此时，f′（x）＞0，∴f（x）在（0，ln）上单调递增，有f（x）＞f（0）=0与题设矛盾，综上，当且仅当t≤时，函数f（x）是（0，+∞）内的减函数．。

四川省眉山中学2016届高三3月月考数学理试题

四川省眉山中学2016届高三3月月考数学理试题

眉山中学高2016届高三下期3月月考数学测试题（理科）一．选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个备选项中，只有一项是符合题目要求的．1、在复平面内，复数z 满足(1i)1z +=+，则z 的对应点位于（ ） A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限2.已知函数f(x)是定义在),(+∞-∞上的奇函数，若对于任意的实数0≥x ，都有)()2(x f x f =+，且当)2,0[∈x 时，)1(log )(2+=x x f ，则)2016()2015()2014(f f f +-+的值( )A.-1B.-2C.2D.13、一个长方体被一个平面截去一部分后所剩几何体的三视图如右图所示（单位：cm ），则该几何体的体积为（ ） A. 120 3cmB. 80 3cmC. 100 3cmD. 60 3cm4、执行如图的程序框图，那么输出S 的值是（ ）A. 2B.12C. -1D. 15. 采用系统抽样方法（等间隔抽样）从960人中抽取32人做问卷调查，为此将他们随机编号为1,2，…，960，分组后在第一组采用简单随机抽样的方法抽到的号码为9.抽到的32人中，编号落入区间[1,450]的人做问卷A ，编号落入区间[451,750]的人做问卷B ，其余的人做问卷C .则抽到的人中，做问卷B 的人数为( ) A ．7 B ．9 C ．10D ．156.直线l 过点(0,2)，被圆0964:22=+--+y x y x C 截得的弦长为32，则直线l 的方程是（ ） A.234+=x y B.231+-=x y C.y=2 D. 234+=x y 或y=2 7、已知(),P x y 为区域22400y x x a ⎧-≤⎨≤≤⎩内的任意一点，当该区域的面积为2时，2z x y =+的最大值是（ ） A 、5B 、0C 、2D、8、已知各项不为0的等差数列{}n a 满足0328274=+-a a a ，数列{}n b 是等比数列，且77a b =，则1083b b b =（ ）A.1B.8C.4D.29、在ABC ∆中，5,,BC G O =分别为ABC ∆的重心和外心，且OG ·5BC =,则ABC ∆的形状是（ ）A. 锐角三角形B. 钝角三角形C. 直角三角形D. 上述三种情况都有可能10、定义在R上的函数(f x ）满足1(2)(2f xf x +=），当[)0,2x ∈时231212,01,2()2,1 2.x x x f x x --⎧-≤<⎪=⎨⎪-≤⎩＜函数32()3.g x x x m =++若[)[)4,2,4,2,s t ∀∈--∃∈--不等式()()0f s g t -≥成立，则实数m 的取值范围是（ ）A. (],12-∞-B. (],4-∞-C. (],8-∞D. 31,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分）11. 设α为锐角，若cos(α＋π6)＝45，则sin(2α＋3π)的值为________．12、如图，在长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AB ＝AA 1＝3 cm ，AD ＝2 cm ，则A 到面BB 1D 1D 的距离为______cm.13.现有12张不同的卡片，其中红色、黄色、绿色、蓝色卡片各3张，从中任取3张，要求这3张卡片不能是同一种颜色，且蓝色卡片至多1张. 则不同的取法的共有 种14.抛物线)0(22>=p px y 的焦点为F ，已知点A ，B 为抛物线上的两个动点，且满足∠AFB=120°.过弦AB 的中点M 作抛物线准线的垂线MN ，垂足为N ，则ABMN的最大值为15、()f x 是定义在R 上的函数，其导数为()f x '，若()()1,(0)2016f x f x f '-<=，则不等式()20151x f x e ⋅+＞（其中e 为自然对数的底数）的解集为三、解答题：本大题共6小题，共75分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.16．（本小题满分12分）已知函数(x R ∈)．(1) 求函数的单调递增区间；（2）内角的对边长分别为，若且求B 和C.17、（本小题满分12分）如图，在四棱锥S ABCD -中，底面ABCD 是直角梯形，侧棱SA ⊥底面ABCD ,AB 垂直于AD 和BC ，2,1SA AB BC AD ====.M 是棱SB 的中点（1）求证：AM//平面SCD ；（2）求平面SCD 与平面SAB 所成的二面角的余弦值；18．（本小题满分12分）我国新发布的《环境空气质量标准》指出：空气质量指数在050～为优秀，人类可正常活动。

四川眉山中学高二3月月考数学理试题word版缺答案

四川眉山中学高二3月月考数学理试题word版缺答案

眉山中学高2017届高二3月月考数学试题理工农医类数学试题卷共3页．满分150分．考试时间120分钟．一．选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个备选项中，只有一项是符合题目要求的．1.坐标平面内与两个定点()()0,1,0,121-F F 的距离的和等于2的动点的轨迹是( ).A 椭圆 .B 圆 .C 线段 .D 双曲线2.抛物线24x y =的焦点坐标是( ).A ()0,1 .B ⎪⎭⎫ ⎝⎛0,161 .C ()1,0 .D ⎪⎭⎫ ⎝⎛161,0 3.双曲线221mx y +=的虚轴长是实轴长的2倍，则m =( ).A 14- .B 4- .C 4 .D 144.若过点（0,2）的直线与抛物线28y x =有且只有一个公共点，则这样的直线有( ).A 一条 .B 两条 .C 三条 .D 四条5.若P 是椭圆22194x y +=上的一点，12,F F 为其焦点，则12cos F PF ∠的最小值是（ ） .A 21 .B 1- .C 91 .D 91- 6.已知椭圆()01:2222>>=+b a by a x C 的左、右焦点为21,F F ，离心率为33，过2F 的直线l 交C 于B A ,两点，若1ABF ∆的周长为34，则C 的短轴长为( ).A 2 .B 22 .C 4 .D 27.抛物线2y x =上的点到直线24x y -=的最短距离是（ ）.A 53 .B 553 .C 552 .D 5103 8.已知ABC ∆的顶点(5,0),(5,0)A B -，ABC ∆的内切圆圆心在直线3x =上，则顶点C 的轨迹方程是( ).A 221916x y -= .B 221169x y -= .C 221(3)916x y x -=> .D 221(4)169x y x -=> 9.若双曲线1922=-my x 的离心率为314，则双曲线焦点F 到渐近线l 的距离为( ) .A 2 .B 14 .C 5 .D 2510.已知方程22ax by ab +=和0ax by c ++=，其中,0,,0ab a b c ≠≠>，它们所表示的曲线可能是下列图象中的( )11.已知直线()2:-=x k y l ()0>k 与抛物线x y C 8:2=交于B A ,两点，F 为抛物线C 的焦点，若BF AF 2=，则=k ( ).A 31 .B 322 .C 22 .D 42 12.设1F 、2F 分别为椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的左、右焦点.若在椭圆上存在点P ，满足112||||PF F F =，且原点到直线2PF 的距离等于椭圆的短半轴长，则该椭圆的离心率为（ ） .A 57 .B 75 .C 17 .D 12二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.请把答案填在答题卡上相应位置.13.已知椭圆1422=+y m x 的焦距为4，则该椭圆的长轴长为__________． 14.直线1y x =+被椭圆2224x y +=所截的弦的中点坐标是__________．15.已知点P 是抛物线x y 42=上的动点，点P 在y 轴上的射影是M ，()104,4A ，则PM PA +的最小值是__________．16.对于曲线:C 1422-+-k y k x =1，给出下面四个命题： ①曲线C 不可能表示椭圆； ②若曲线C 表示双曲线，则1<k 或4>k ；③当41<<k 时，曲线C 表示椭圆；④若曲线C 表示焦点在x 轴上的椭圆，则251<<k . 其中所有正确命题的序号为__________． 三、解答题：本大题共6小题，共75分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17.(本题满分10分)双曲线与椭圆1154022=+x y 有共同的焦点，点()4,3P 在双曲线的渐近线上，求双曲线的标准方程和离心率.18.(本题满分12分)双曲线的两条渐近线的方程为x y 2±=，且经过点()32,3- ⑴求双曲线的方程；⑵过双曲线的右焦点F 且倾斜角为︒60的直线交双曲线于B A ,两点，求AB .19.(本题满分12分)如图，点()()()2211,,,,8,2y x C y x B A 在抛物线px y 22=上，且ABC ∆的重心与抛物线的焦点F 重合⑴求抛物线的方程和焦点F 的坐标；⑵求BC 的中点M 的坐标及BC 所在的直线方程.20.(本题满分12分)已知双曲线1201622=-y x ,椭圆C 以双曲线的焦点为顶点、顶点为焦点，椭圆C 的左、右顶点分别为B A ,, ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛235,23P⑴求椭圆C 的方程；⑵设点M 是椭圆长轴AB 上的一点，点M 到直线AP 的距离等于MB ,求椭圆上的点到点M 的距离d 的最小值.21.(本题满分12分) 已知椭圆1:2222=+by a x E ()0>>b a 的半焦距为c ，原点O 到经过两点()()b c ,0,0,的直线的距离为c 21 ⑴求椭圆E 的离心率；⑵如图，AB 是圆()()251222=-++y x M 的一条直径，若椭圆E 经过B A ,两点，求椭圆E 的方程.22.(本题满分12分)已知抛物线px y C 2:2=()0>p ，焦点为F ，过点()0,p G 作直线l 交抛物线C 于M A ,两点，设()()2211,,,y x M y x A⑴若821-=y y ，求抛物线C 的方程；⑵若直线AF 与x 轴不垂直，直线AF 交抛物线C 于另一点B ，直线BG 交抛物线C 于另一点N ，求证：直线AB 与直线MN 斜率之比为定值.。

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2016-2017学年四川省眉山中学高二（下）3月月考数学试卷（理科）一、选择题（共60分）1．若函数y=f（x）在x=x0处的导数为﹣2，则=（）A．1 B．2 C．﹣1 D．﹣22．一个总体分为A，B，C三层，用分层抽样方法从总体中抽取容量为50的样本，已知B层中每个个体被抽到的概率都为，则总体容量为（）A．150 B．200 C．500 D．6003．对某商店一个月内每天的顾客人数进行了统计，得到样本的茎叶图（如图所示），则该样本的中位数、众数、极差分别是（）A．46，45，56 B．46，45，53 C．47，45，56 D．45，47，534．设函数y=f（x）在定义域内的导函数为y=f′（x），y=f（x）的图象如图1所示，则y=f′（x）的图象可能为（）A．B．C．D．5．登山族为了了解某山高y（km）与气温x（°C）之间的关系，随机统计了4次山高与相应的气温，并制作了对照表：气温x（°C）181310﹣1山高y（km）24343864由表中数据，得到线性回归方程，由此请估计出山高为72（km）处气温的度数为（）A．﹣10 B．﹣8 C．﹣4 D．﹣66．采用系系统抽样方法从480人中抽取16人做问卷调查，为此将他们随机编号为1、2、…、480，分组后在第一组采用简单随机抽样的方法抽到的号码为8抽到的16人中，编号落人区间的人做问卷A，编号落入区间的人做问卷B，其余的人做问卷C，则被抽到的人中，做问卷B的人数为（）A．4 B．5 C．6 D．77．下列运算正确的个数为（）①（x2cosx）'=﹣2xsinx②（3x）'=3x log3e③④．A．0 B．1 C．2 D．38．已知总体中各个体的值由小到大依次为2，3，3，7，a，b，12，15，18，20（a，b ∈N*），且总体的中位数为10，若要使该总体的方差最小，则a，b的取值分别是（）A．9，11 B．10，10 C．8，10 D．10，119．用茎叶图记录甲、乙两人在5次体能综合测评中的成绩（成绩为两位整数），现乙还有一次不小于90分的成绩未记录．则甲的平均成绩超过乙的平均成绩的概率为（）A．B．C．D．10．已知点P在函数图象上，则函数f（x）在点P处切线倾斜角α的取值范围（）A． B．C．D．11．已知函数对区间（1，2）上任意x1，x2（x1≠x2），都有，则a的取值范围为（）A．B．C．D．（﹣∞，1）∪（0，+∞）12．定义在R上的函数f（x）满足f′（x）＞1﹣f（x），其中f′（x）是f（x）的导函数，e为自然对数的底数，则下列正确的是（）A．ef（1）﹣e＞e2f（2）﹣e2B．e2015f﹣e2016C．e2f（2）+e2＞ef（1）+eD．e2016f+e2015二、填空题（共20分）.13．已知函数y=f（x）及其导函数y=f′（x）的图象如图所示，则曲线y=f（x）在点P （2，0）处的切线方程是．14．已知函数f（x）满足满足f（x）=f′（1）e x﹣1﹣f（0）x+x2；则f（x）的解析式为．15．已知圆C：x2+y2=18，直线l：4x+3y=25，则圆C上任一点到直线l的距离小于2的概率为．16．已知f（x）为定义在（0，+∞）上的可导函数，且f（x）＞xf′（x），则不等式的解集为．三、解答题（共70分）.17．利用导数的定义，求f（x）=在x=1处的导数．18．为了培养学生的安全意识，某中学举行了一次安全自救的知识竞赛活动，共有800名学生参加了这次竞赛，为了解本次竞赛的成绩情况，从中抽取了部分学生的成绩（得分均为整数，满分为100分）进行统计，得到如下的频率分布表：序号（i）分组（分数）组中值（Gi）频数（人数）频率（Fi）1hslx3y3h60，70）65①0.102hslx3y3h70，80）7520②3hslx3y3h80，90）85③0.204hslx3y3h90，100）95④⑤合计501请你根据频率分布表解答下列问题：（1）求出频率分布表中①、②、③、④、⑤处的值；（2）在上述统计数据的分析中，有一项指标计算的程序框图如图所示，则该程序功能是什么？求输出S的值．19．学校从参加高一年级期中考试的学生中抽出50名学生，并统计了他们的数学成绩（成绩均为整数且满分为150分），数学成绩分组及各组频数如下：75，90），3；105，120），15；135，150135，15060，75）中的任意一位同学，已知甲同学的成绩为62分，乙同学的成绩为140分，求甲、乙两同学恰好被安排在同一小组的概率．20．已知关于x的一元二次函数f（x）=ax2﹣4bx+1．（1）设集合P={1，2，3}和Q={﹣1，1，2，3，4}，分别从集合P和Q中随机取一个数作为a和b，求函数y=f（x）在区间1，160161，320f（x）+f′（x）﹣1hslx3y3h；∵f′（x）＞1﹣f（x）；∴f（x）+f′（x）﹣1＞0；∴g′（x）＞0；∴g（x）在R上是增函数；∴g（1）＜g（2），即ef（1）﹣e＜e2f（2）﹣e2，∴A错误；g，∴B错误；同理，设h（x）=e x f（x）+e x，由g′（x）＞0得，h′（x）=e x f（x）+e x f′（x）+e x＞0；∴h（x）在R上单调递增；∴h（2）＞h（1），h，∴C正确．故选：C．二、填空题（共20分）.13．已知函数y=f（x）及其导函数y=f′（x）的图象如图所示，则曲线y=f（x）在点P （2，0）处的切线方程是x﹣y﹣2=0．【考点】6H：利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】利用导函数图象，可得切线的斜率，从而可得切线的方程．【解答】解：由题意，f′（2）=1，∴曲线y=f（x）在点P（2，0）处的切线方程是y﹣0=x﹣2，即x﹣y﹣2=0故答案为：x﹣y﹣2=0．14．已知函数f（x）满足满足f（x）=f′（1）e x﹣1﹣f（0）x+x2；则f（x）的解析式为f（x）=．【考点】63：导数的运算；36：函数解析式的求解及常用方法．【分析】把给出的函数求导，在导函数中取x=1可求出f（0）=1，在给出的等式中，取x=0，利用f（0）=1可求f′（1），则函数解析式可求．【解答】解：由f（x）=f′（1）e x﹣1﹣f（0）x+x2，得：f′（x）=f′（1）e x﹣1﹣f（0）+x，令x=1得：f（0）=1；在f（x）=f′（1）e x﹣1﹣f（0）x+x2中，取x=0，得f（0）=f′（1）e﹣1=1，∴f′（1）=e 所以f（x）的解析式为．故答案为．15．已知圆C：x2+y2=18，直线l：4x+3y=25，则圆C上任一点到直线l的距离小于2的概率为．【考点】CF：几何概型．【分析】试验发生包含的事件是从这个圆上随机的取一个点，对应的圆上整个圆周的弧长，根据题意做出符合条件的弧长对应的圆心角是60°，根据几何概型概率公式得到结果．【解答】解：由题意知本题是一个几何概型，试验发生包含的事件是从这个圆上随机的取一个点，对应的圆上整个圆周的弧长，满足条件的事件是到直线l的距离小于2，过圆心做一条直线交直线l与一点，∵圆心到直线的距离是=5，∴在这条垂直于直线l的半径上找到圆心的距离为3的点做半径的垂线，根据弦心距，半径，弦长之间组成的直角三角形得到符合条件的弧长对应的圆心角是90°根据几何概型的概率公式得到P==．故答案为：．16．已知f（x）为定义在（0，+∞）上的可导函数，且f（x）＞xf′（x），则不等式的解集为{x|0＜x＜1} ．【考点】6B：利用导数研究函数的单调性．【分析】由已知当x＞0时，总有f（x）＞xf′（x）成立，可判断函数g（x）=为减函数，而不等式，由此得到不等式继而求出答案．【解答】解：设g（x）=，则g′（x）=，∵f（x）＞xf′（x），∴xf′（x）﹣f（x）＜0，∴g′（x）＜0，∴g（x）在（0，+∞）为减函数，∵，x＞0，∴，∴，∴，∴0＜x＜1．故答案为：{x|0＜x＜1}．三、解答题（共70分）.17．利用导数的定义，求f（x）=在x=1处的导数．【考点】64：导数的加法与减法法则．【分析】直接利用导数的定义求函数f（x）=在x=1处的导数值．【解答】解：△y=f（1+△x）﹣f（1）=﹣=﹣，∴=，∴f′（1）====．18．为了培养学生的安全意识，某中学举行了一次安全自救的知识竞赛活动，共有800名学生参加了这次竞赛，为了解本次竞赛的成绩情况，从中抽取了部分学生的成绩（得分均为整数，满分为100分）进行统计，得到如下的频率分布表：序号（i）分组（分数）组中值（Gi）频数（人数）频率（Fi）1hslx3y3h60，70）65①0.102hslx3y3h70，80）7520②3hslx3y3h80，90）85③0.204hslx3y3h90，100）95④⑤合计501请你根据频率分布表解答下列问题：（1）求出频率分布表中①、②、③、④、⑤处的值；（2）在上述统计数据的分析中，有一项指标计算的程序框图如图所示，则该程序功能是什么？求输出S的值．【考点】EF：程序框图．【分析】（1）由分布表的频数和频率的关系逐步求解可得；（2）可得程序的功能是求平均数，由表中数据计算可得．【解答】解：（1）由分布表可得频数为50，故①的数值为50×0.1=5，②中的值为=0.40，③中的值为50×0.2=10，④中的值为50﹣（5+20+10）=15，⑤中的值为=0.30；（2）该程序的功能是求平均数，S=65×0.10+75×0.40+85×0.20+95×0.30=82，∴800名学生的平均分为82分．19．学校从参加高一年级期中考试的学生中抽出50名学生，并统计了他们的数学成绩（成绩均为整数且满分为150分），数学成绩分组及各组频数如下：75，90），3；105，120），15；135，150135，15060，75）中的任意一位同学，已知甲同学的成绩为62分，乙同学的成绩为140分，求甲、乙两同学恰好被安排在同一小组的概率．【考点】CB：古典概型及其概率计算公式．【分析】（1）利用频数统计结果能估计成绩的众数和中位数．（2）成绩在的四名学生编号为A1，A2，A3，乙，成绩在60，75），2；90，105），14；120，135），12；，4．∴估计成绩的众数为：=112.5，设中位数为x，则0.04+0.06+0.28+（x﹣105）×=0.5，解得x=111．（2）成绩在的四名学生编号为A1，A2，A3，乙，成绩在1，+∞）上是增函数的概率；（2）设点（a，b）是区域内的随机点，记A={y=f（x）有两个零点，其中一个大于1，另一个小于1}，求事件A发生的概率．【考点】CF：几何概型；CB：古典概型及其概率计算公式．【分析】（1）确定基本事件总数，求出函数y=f（x）在区间1，+∞）上为增函数，当且仅当a＞0且…若a=1则b=﹣1，若a=2则b=﹣1，1若a=3则b=﹣1，1…记B={函数y=f（x）在区间g（x）﹣x•f（x）g（x）﹣x•f（x）﹣，0﹣，0；（3）当时，方程g（x）=x•f（x）的解的个数等价于方程g（x）﹣xf（x）=0的解得个数等价于m（x）=g（x）﹣xf（x）与x轴交点的个数，令m（x）=g（x）﹣xf（x），∴m′（x）=e x cosx﹣e x sinx﹣sinx﹣xcosx=e x（cosx+sinx）﹣sinx﹣xcosx，∵x∈hslx3y3h，，，，hslx3y3h上有且仅有一个解2017年5月26日。

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