完全平方公式的灵活应用
完全平方公式的综合应用
完全平方公式的综合应用例1：矩形面积最大问题假设一个菜农要栽种一片长方形菜田，如果他只有一定长度的篱笆，那么他应该怎样才能使得菜田的面积最大呢？解法：设菜田的长度为x，宽度为y，根据题意我们可以得到一个方程：2x+y=200（因为需要两条边之和等于篱笆的长度）现在我们要找到这个方程的最大值，首先将方程变形为：y=200-2x 接下来我们可以使用完全平方公式来求解最大值。
根据完全平方公式，这是一个开口向下的抛物线，所以我们可以知道最大值是在顶点处取得的。
所以矩形的长度为50，宽度为100，当且仅当菜田是一个正方形时，面积最大。
例2：解一元二次方程假设有一个一元二次方程x^2+8x+16=0，我们需要求解它的解。
解法：首先，我们观察这个方程可以发现它可以化简为一个完全平方形式。
将方程变形为：(x+4)^2=0根据完全平方公式，我们知道只有当一个数的平方等于0时，这个数才能等于0。
所以，我们可以得到：x+4=0或x=-4所以方程的解为x=-4例3：求两点之间的距离假设有两个点A(5,7)和B(9,3)，我们需要求解它们之间的距离。
解法：我们可以利用两点之间的距离公式来求解。
根据两点之间的距离公式，我们可以得到：d=√((x2-x1)^2+(y2-y1)^2)将点A的坐标代入为x1=5，y1=7，将点B的坐标代入为x2=9，y2=3，带入方程可得：d=√((9-5)^2+(3-7)^2)d=√(4^2+-4^2)d=√(16+16)d=√32所以点A和点B之间的距离为√32通过以上例子，我们可以看到完全平方公式在解决不同类型的问题时起到了非常重要的作用。
无论是求解最值问题、解一元二次方程还是求解两点之间的距离，完全平方公式都是一个非常有用的工具。
在实际生活中，完全平方公式也有很多其他应用，比如在物理学中的运动学问题、在经济学中的成本最小化问题等等。
因此，熟练掌握完全平方公式的应用是非常有价值的。
完全平方公式的应用
应用新知
利用完全平方公式计算：
① 1982 = (200 -2) 2
= 2002 -2×200×2 + 22 = 40 000 -800 +4 = 39 204 .
② 60.22 = (60 +0.2) 2
= 602 +2×60×0.2 + 0.22 = 3 600 +24 +0.04 = 3 624.04 .
1.6 完全平方公式
第2课时
b
ab
b²
(a+b)²
a
a²
ab
a
b
1、平方差公式
( a + b )( a – b )=a2 b2
相同项平方减去相反项平方
2. 完全平方公式：
(a+b)2 = a2 + 2ab + b2 (a-b)2 = a2 - 2ab + b2
首平方，尾平方，2倍乘积放中央， 加的加，减的减，这是公式的特点。
将(b-c)看作一个整体.
3、(a + 2b – 1 ) 2
【解析】 原式=[(a+2b)-1] 2
=(a+2b) 2 –2(a+2b)×1+12 =a2 +4ab+4b2 –2a-4b+1
4、(x+2y-3)(x-2y+3)
【解析（】1）原式=[x+(2y–3)][x-(2y-3)]
= x2-(2y-3)2 = x2-(4y2-12y+9) = x2-4y2+12y-9.
(1) 1022；
(2) 992
变形
解: (1) 1022 = (100+2)2 =1002+2×100×2+22
完全平方公式变形的应用
完全平方公式变形的应用完全平方公式是解二次方程的重要基础工具，可以将一个二次方程转化为一个完全平方的形式。
在实际应用中，完全平方公式变形主要用于简化计算、求解函数极值、确定函数性质等方面。
下面我们将具体介绍完全平方公式变形的应用。
一、解析几何中的应用1.完全平方公式变形常用于求解平面上的曲线的性质，如拟合圆弧、确定形状等。
例如，在平面几何中，如果已知一个椭圆的标准方程为$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$，要求椭圆上两点之间的距离，可以利用完全平方公式将方程变形为$(\frac{x}{a})^2+(\frac{y}{b})^2=1$，即$x=a\cos\theta$，$y=b\sin\theta$。
然后，通过参数方程求解两点之间的距离。
2.完全平方公式变形也常用于解决计算几何中的问题。
例如，在计算几何中，如果已知一个长方形的面积为$8$平方单位，要求长方形的长和宽的和，可以利用完全平方公式将面积写成方程$x^2+lx-8=0$，其中$l$为长方形的长和宽的和。
然后，通过求解这个方程，即可得到长方形的长和宽的和的值。
二、实际问题中的应用1.完全平方公式变形可用于优化问题中的求解。
例如，在生产实践中，工厂生产其中一种产品，设产量为$x$件/天。
已知每件产品的销售价格为$p$元/件，每件产品的生产成本为$c$元/件，则销售收入$R$与生产成本$C$之间的关系可以表示为$R=px$，$C=cx$。
要使得利润最大化，即$R-C$最大化，可以通过完全平方公式变形求得产量$x$的最优值，进而计算出最大利润。
2.完全平方公式变形可用于求解抛物线的最值问题。
例如，在物理学中，一个抛体的运动轨迹为抛物线，设该抛物线的方程为$y=ax^2+bx+c$，其中$a$、$b$、$c$为常数。
要求抛物线的顶点坐标，可通过完全平方公式将方程变形为$y=a(x-\frac{b}{2a})^2+c-\frac{b^2}{4a}$，即可得到顶点坐标$(\frac{b}{2a},c-\frac{b^2}{4a})$。
完全平方公式的应用
完全平方公式是多项式乘法中非常重要的一个公式。
掌握其变形特点并灵活运用，可以巧妙地解决很多问题。
一. 完全平方公式常见的变形有a 2+b 2=（a+b ）2-2ab ，a 2+b 2=（a-b ）2+2ab ，（a+b ）2-（a-b ）2=4ab ，a 2+b 2+c 2=（a+b+c ）2-2（ab+ac+bc ）二. 乘法公式变形的应用例1： 已知：x 2+y 2+4x-6y+13=0，x 、y 均为有理数，求x y 的值。
分析：逆用完全乘方公式，将x 2+y 2+4x-6y+13化为两个完全平方式的和，利用完全平方式的非负性求出x 与y 的值即可。
解：∵x 2+y 2+4x-6y+13=0，（x 2+4x+4）+（y 2-6y+9）=0，即（x+2）2+（y-3）2=0。
∴x+2=0，y=3=0。
即x=-2，y=3。
∴x y =（-2）3=-8。
例已知，试求的值。
21612242a a a a a a ++=++分析：本题巧妙地利用a a a aa a a a a a a a aa a a a a a a a a 222222422222112160161111561111111156136113311+=+-++=≠=++=++∴+=-∴++=++=+-=--=-=-()()()进行运算。
解：由，可知，因此可得，。
例3 已知：a+b=8，ab=16+c 2，求（a-b+c ）2002的值。
分析：由已知条件无法直接求得（a-b+c ）2002的值，可利用（a-b ）2=（a+b ）2-4ab 确定a-b 与c 的关系，再计算（a-b+c ）2002的值。
解：（a-b ）2=（a+b ）2-4ab=82-4（16+c 2）=-4c 2。
即：（a-b ）2+4c 2=0。
∴a-b=0，c=0。
∴（a-b+c ）2002=0。
例4 已知：a 、b 、c 、d 为正有理数，且满足a 4+b 4+C 4+D 4=4abcd 。
初中数学 完全平方公式的五种常见应用举例
完全平方公式的五种常见应用举例完全平方公式是整式乘法中最重要的公式之一在运用完全平方公式时，必须掌握一些使用技巧，才能灵活应用公式，其中包括“顺用”、“逆用”、“顺逆联用”，以及“特例应用”和“变形应用”等.下面举例说明.一、正用根据算式的结构特征，由左向右套用. 例1 计算22(23)m m -- 分析 本题是一个三项式的平方，可考虑将三项式中任意两项组合成一个整体，使其转化为一个二项式的平方，然后再运用完全平方公式便可以顺利求解.解 22(23)m m --22[(2)3]m m =--222(2)6(2)9m m m m =---+4322446129m m m m m =-+-++43242129m m m m =--++思考 本题中三项式转化为二项式的根据是什么?还有其它的方法吗? 二、逆用将公式逆向使用，即由右向左套用.例2 己知，，，则多项式20172018a x =+20172019b x =+20172020c x =+的值为( )222a b c ab bc ac ++--- (A) 0 (B)1 (C)2 (D)3分析观察本题已知条件，直接代入求值困难.但换个角度仔细观察多项式的结构就不难发现，该多项式的2倍恰好是3个完全平方公式的右端，于是逆用完全平方公式，就可以得到，而，，的值可求，故本题巧妙得解.222()()()a b b c c a -+-+-a b -b c -c a -解 ∵20172018a x =+20172019b x =+20172020c x =+∴，，1a b -=-1b c -=-2c a -=∴222a b c ab bc ac ++---2221(222222)2a b c ab bc ac =++---2222221(222)2a ab b b bc c c ac a =-++-++-+2221[()()()]2a b b c c a =-+-+-2221[(1)(1)2]2=-+-+3=应选D.三、正逆联用根据已知条件和待求式特征，有正用、又逆用，即综合运用.例3 (全国初中数学竞赛试题)已知，且，则21()()()4b c a b c a -=--0a ≠b c a +.= 分析 欲求的值，则需要明与之间的等量关系.而题目中的已知条件刚好就b c a+b c +a 是、、之间的关系式，于是将条件等式进行化简变形，明确与之间的关系，a b c b c +a 应该是一条即常规又恰当的选择.解 由已知，得2()4()()b c a b c a -=--22224444b bc c ac bc ab a ∴-+=-+-2222(44)40b bc c ab ac a ∴++-++=22()4()40b c a b c a ∴+-++=把和分别看成一个“整体”，再逆用完全平方公式，得b c +2a 2[()2]0b c a +-=，20b c a ∴+-=2b c a+=.22b c a a a+∴== 四、特例应用在完全平方公式中，如果，那么222()2a b a ab b +=++0ab =222()a b a b+=+反之，若，则一定有.222()a b a b +=+0ab =例5 若满足，则.n 22(2017)(2019)4n n -+-=(2019)(2017)n n --= 分析 若设，，则很容易验证，这正好2017n a -=2019n b -=222()a b a b +=+符合上面完全平方公式特例.据此，本题迎刃而解.解 设，，2017n a -=2019n b -= 则，2()4a b +=又已知224a b +=∴222()a b a b+=+于是0ab =∴(2019)(2017)n n --=(2017)(2019)n n --0ab ==五、变形应用由完全平方公式，易得如下的两个最常见的变形公式:222()2a b a ab b ±=±+①2222()2()2a b a b ab a b ab+=+-=-+②22()()4a b a b ab-=+-(或)221[()()]4ab a b a b =+-- 活用上面变形公式，常常会使问题化难为易，取得奇妙的解题效果。
高考数学中的完全平方公式运用
高考数学中的完全平方公式运用高考数学中的完全平方公式是指$x^2+2abx+b^2=(x+a)^2$和$x^2-2abx+b^2=(x-a)^2$两个公式的应用。
这里的$a,b$为实数。
这个公式是一种因式分解方法，可以将一个二次函数的平方差分解为两个一次函数的平方。
下面将通过实例，详细介绍完全平方公式在高考数学中的运用。
首先，我们来看一个最简单的例子，求解$x^2+6x+9$。
根据完全平方公式，我们可以将$x^2+6x+9$分解为$(x+3)^2$。
这里$a=3,b=3$，代入公式即可得到原式。
接下来，我们来看一个更加复杂的例子，求解$x^2+5x-14$。
这个二次函数无法直接通过提取公因式、配方法等基本方法进行因式分解，但可以通过完全平方公式进行分解。
首先，我们可以通过观察发现，$5x$项的系数为5，其两倍为10。
而余项为$-14$，其平方根为$\sqrt{14}$。
因此，我们可以令$a=5,b=\sqrt{14}$，代入完全平方公式即可得到$(x+5)^2-(\sqrt{14})^2=(x+5)^2-14$。
至此，我们已将原二次方程分解为了$(x+5)^2-14$。
在实际计算中，可以进一步把$(x+5)^2-14$化简成标准形式$x^2+10x+11$。
同样，我们也可以通过完全平方公式进行二次函数的乘法运算。
例如，计算$(x+3)(x+5)$。
根据完全平方公式，我们可以将$(x+3)(x+5)$展开为$x^2+8x+15$。
这里$a=4,b=3$，代入公式，将得到$(x+3)(x+5)=(x+4)^2-1$。
除了以上的基础应用，完全平方公式还能够在高考数学中推导一些重要的公式，比如二次函数的最值问题以及图像问题。
下面以一个例子进一步说明。
问题：若函数$y=ax^2+bx+c$的图像经过点$(2,-3)$和$(4,5)$，求$a,b,c$的值。
解析：由于图像经过给定两个点，那么这两个点满足二次函数的方程。
完全平方公式用法小结
完全平方公式用法小结完全平方公式是中学阶段一个非常重要的公式，它的变化较多，且在好多题中都常用到，熟练掌握其变形特点，并灵活应用，能巧妙地解决很多问题。
下面结合实例对它的应用做一个小小的总结。
一、熟记公式及其变形（a±b）?=a?±2ab+b?a?+b?=（a+b）? - 2ab ，a?+b?=（a-b）2+ 2ab（a+b）? - （a-b）? =4ab（a+b）? + （a-b）? = 2（a?+b?）这几个公式逆用也可以，所以在做题时，要根据实际情况灵活选择。
二、运用公式解决有关问题1、直接运用公式计算多项式的乘法。
只要你能记住公式，这种题型相对来说较为简单。
其中需要特别注意的是这两种情况。
如计算（-2x+y）2 ，（-3a-2b）2不少学生在计算时常会因符号问题出现错误，所以在计算时可让学生先进行一下变形，再进行计算，这样就可以减少错误的发生。
即：（-2x+y）2 =（y-2x）2 ，（-3a-2b）2 =（3a+2b）22、运用平方数的非负性解题例1已知（2a+b）2+（a+1）2=0，求ab解：∵（2a+b）2+（a+1）2=0∴2a+b =0 a+1 =0解得a=-1，b=2∴ab=（-1）2=1变形：（1）已知x2+y2-2x-4y+5=0，求x，y的值。
（2）试说明无论x，y取什么值，代数式x2+2y2-2xy-6y+9的值总是非负数。
分析：这两个题需要运用拆项的方法，将多项式配成两个完全平方式的形式，然后再运用平方的非负性解题。
解（1）x2+y2-2x-4y+5=0（x2-2x+1）+（y2-4y+4）=0（x-1）2+（y-2）2=0x-1=0 y-2 =0解得x=1，y=2（2）x2+2y2-2xy-6y+9= （x2+y2-2xy）+（y2-6y+9）=（x-y）2+（y-3）2∵（x-y）2≥0，（y-3）2≥0∴（x-y）2+（y-3）2≥0所以无论x，y取什么值，代数式x2+2y2-2xy-6y+9的值总是非负数。
完全平方公式的应用
完全平方公式的应用：学习目标：1、能灵活应用公式进行计算。
2、通过对公式进行变形解决有关问题。
练习1：1.计算：（直接用公式）•（1）（x-4)2(2)(x-3y)2•(3)(-x+2y)2(4)(-2x-3y)2•(5)（3m-2n)2(6)(2x 2-1)22.计算：（用公式进行简便计算）（1）10022（2）99823计算：（要用到添括号法则）(1)(x+2y-z)(x-2y+z)(2)(a+b+c)2公式中的字母a 和b 可以是单项式，也可以是多项式。
练习2：（熟练掌握）1.计算：（1）(m-n+1)(m-n-1)(2)(m-n+1)(m+n+1)(3)(m-n+1)(-m-n+1) 2.计算：(1)(2m-n+1)2(2)(m-2n+1)2(3)(m-n-2)2变式（一）(a+b)2=a2+2ab+b2 ---------①(a-b)2=a2-2ab+b2 ---------②由①得：a2+b2=(a+b)2-2ab -----移一移由②得：a2+b2=(a-b)2+2ab练习：（1）已知a+b=5,ab=2,求a2+b2的值。
（2）已知a-b=5,ab=2,求a2+b2的值。
1 、已知a+ =5,求a 2+ 的值。
2、已知a-=5,求a 2+ 的值。
3、已知a 2-5a+1=0,求a 2+ 的值。
4、已知a 2-5a-1=0,求a 2+ 的值。
a 1a 121a 21a 变式练习：21a21a(a+b)2=a 2+2ab+b 2 ---------①(a-b)2=a 2-2ab+b 2 ---------②①+②得:(a+b)2+(a-b)2=2a 2+2b 2=2(a 2+b 2)所以a 2+b 2= [(a+b)2+(a-b)2]练习：（1）已知：(x+y)2=5, (x-y)2=2, 求x 2+y 2的值。
（2）已知：x+y=5, x-y=2, 求x 2+y 2的值。
21-----加一加41(a+b)2=a 2+2ab+b 2 ---------①(a-b)2=a 2-2ab+b 2 ---------②①-②得:(a+b)2-(a-b)2=4ab ---------减一减可变为：ab= [ (a+b)2-(a-b)2]练习：（1）已知：(x+y)2=5, (x-y)2=2, 求xy 的值。
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完全平方公式的灵活应用
类型一．已知（a+b ）2和（a ﹣b ）2
1. 已知（a+b ）2=25，（a ﹣b ）2=9，求ab 与a 2+b 2的值．
2. 已知（a ＋b ）2＝9，（a －b ）2＝5，求a 2＋b 2，ab 的值．
类型二．已知x ﹣或x+
3. 已知x ﹣=3，求x 2+
；
那么如果x+ =3，求x 2+
类型三．已知a+b 和ab 类 4. 已知a+b=5，ab=6．求下列各式的值：a 2+b 2 和（a ﹣b ）2．
5. 已知a ＋b ＝7，ab ＝10，求a 2＋b 2，（a －b ）2的值．
6.已知：a +b =3，ab =2，求下列各式的值：（1）a 2b +ab 2 （2）a 2+b 2
类型四．已知x +y 与x 2+y 2
7.已知4=+y x ，1022=+y x ，求下列各式的值：（1）xy （2）y x -
8.
已知a+b=3，322=+b a ，求下列各式的值：（1）ab （2）a b -
()()()
22y x y x y x +-+)
3)(3(b a b a +-++平方差公式的灵活应用
类型一. 两次以上运用平方差公式
（a+b ）(a -b)(a 2+b 2) (a+2)(a -2)(a 2+4) （a+2）（a 2+4）（a 4+16）（a －2）．
(a+1)(a -1)(2a +1)(4a +1)(8
a +1) (2-1)(2+1)(22+1)+1 (2+1)(22+1)(24+10)(28+1)(216+1)(232+1)+1
类型二. 需要先变形再用平方差公式
(-2x -y)(2x -y) (y -x)(-x -y) (-2x+y)(2x+y) (4a -1)(-4a -1)
类型三. 平方差公式的应用和逆用
1已知 |x +y +5|+(x -y -9)2=0,求x 2-y 2的值
2.已知228,4x y x y -=+=，求x -y 的值
3. 已知x 2-y 2=10,2x+2y=4，求x -y 的值
4. 已知4x 2-9y 2=10,2x +3y =4，求2x -3y 的值
5. 已知4x 2-9y 2=10,4x +6y =4，求2x -3y 的值。