二次函数的应用——面积问题
二次函数的应用课件面积问题(共10张PPT)
（1）y=x2-3x+4
（2）y=1-27 x+ 2
（4）y=100-5x2
（5）y=-6x2+12x
（6）y=- 3 x2-4x+1 2
∴抛物线的顶点坐标是（5，50） 答：当矩形窗框的宽为5m时，长为1. 解：设矩形的宽为x米，矩形的透光面积为y米。 某商店将每件商品进价为8元的商品按每10元出售，一天可售出约100件。 某商店将每件商品进价为8元的商品按每10元出售，一天可售出约100件。 答：当矩形窗框的宽为5m时，长为1.
y=-2(x-5)2+50 答：与墙垂直的一边长为5m时，花圃的面积最大，最大面积为50m2。 （4）y=100-5x2 （3）y=7x2- x+
y=- (x-1)2+
将这个函数关系式配方，得： 将这种商品的售价降低多少时，能使销售利润最大？
因为x=1时，满足0<x<2,这时
=1.
y=-2(x-5) +50 解将：这设 种矩商形品的的宽售为价降x米低，多矩少形时的，透2能光使面销积售为利y米润。最大？
（3）y=7x2- x+
y即=：-2(yx=--52)x22++520∴0x 抛物线的顶点坐标是（5，50）
其销售量可增加约10件。将这种商品的售价降低多少时， 能使销售利润最大？
请同学们完成这个问 题的解答
你会解吗？
例6：用6m长的铝合金型材料做一个形状如图所示的矩形窗框。窗 框的长、宽各为多少时，它的透光面积最大？最大透光面积是多少？
解：设矩形的宽为x米，矩形的透光面积为y米。由题意 得：
y=x· 6-3x 2
(0<x<2)
即：y=- 3 x2+3x
人教版初中数学九上 微专题10 二次函数的应用(一)——图形面积问题
1．如图，在平面直角坐标系中，OA＝12 cm，OB＝6 cm，点 P 从点 O 开始 沿 OA 边向点 A 以 1 cm/s 的速度移动，点 Q 从点 B 开始沿 BO 边向点 O 以 2 cm/s 的速度移动．点 P，Q 同时出发，当其中一点到达终点时，另一点也随 之停止运动．设运动时间为 t s，△ POQ 的面积为 y cm2．当△ POQ 的面积最
解：有最大值和最小值． ∵18－3x≥3，解得x≤5， ∴4≤x≤5． ∵S＝－3x2＋18x＝－3（x－3）2＋27， ∴当x＝4时，S有最大值，最大值是24； 当x＝5时，S有最小值，最小值是15．
3．如图，张大爷用 32 m 长的篱笆围成一个矩形菜园，菜园一边靠墙（墙长 为 15 m），平行于墙的一面开一扇宽度为 2 m 的门，张大爷还在菜园内开辟 出一个小区域存放化肥，两个区域用篱笆隔开，并有一扇宽 2 m 的门相 连．（注：所有门都用其他材料） （1）设平行于墙的一边长度为 y m，垂直于墙的一边长度为 x m，直接写出 y 与 x 之间的函数解析式，并写出自变量 x 的取值范围； （2）设此时整个菜园的面积为 S m2（包括化肥存放处），则 S 的最大值为多 少？
大时，t 的值为 1.5 ．
2．如图，某农场准备围建一个中间隔有一道篱笆的矩形花圃，一边靠墙，已 知墙长 a＝6 m．现有长为 18 m 的篱笆，设花圃的一边 AB 的长为 x m，面积 为 S m2． （1）S 关于 x 的函数解析式为 S＝－3x2＋18x ，x 的取值范围为 4≤x＜6 ； （2）若边 BC 的长不小于 3 m，这个花圃的面积有最大值和最小值吗？如果 有，求出最大值和最小值；如果没有，请说明理由．
解：（1）由题意，得y＝36－3x（7≤x＜12）． （2）由题意，得－3x2＋36x（7≤x＜12），
最新中考数学专题复习——二次函数的实际应用(面积最值问题11页)及答案
第 1 页二次函数的实际应用——面积最大(小)值问题知识要点：在生活理论中，人们经常面对带有“最〞字的问题，如在一定的方案中，花费最少、消耗最低、面积最大、产值最高、获利最多等；解数学题时，我们也常常碰到求某个变量的最大值或最小值之类的问题，这就是我们要讨论的最值问题。
求最值的问题的方法归纳起来有以下几点：1．运用配方法求最值；2．构造一元二次方程，在方程有解的条件下，利用判别式求最值；3．建立函数模型求最值；4．利用根本不等式或不等分析法求最值．[例1]：在矩形ABCD 中，AB=6cm ，BC=12cm ，点P 从点A 出发，沿AB 边向点B 以1cm ／s 的速度挪动，同时点Q 从点B 出发沿BC 边向点C 以2cm ／s 的速度挪动，假如P 、Q 两点同时出发，分别到达B 、C 两点后就停顿挪动．〔1〕运动第t 秒时，△PBQ 的面积y(cm²)是多少？〔2〕此时五边形APQCD 的面积是S(cm²)，写出S 与t 的函数关系式，并指出自变量的取值范围．〔3〕t 为何值时s 最小，最小值时多少？答案：[例2]：小明的家门前有一块空地，空地外有一面长10米的围墙，为了美化生活环境，小明的爸爸准备靠墙修建一个矩形花圃，他买回了32米长的不锈钢管准备作为花圃的围栏，为了浇花和赏花的方便，准备在花圃的中间再围出一条宽为一米的通道及在左右花圃各放一个1米宽的门〔木质〕．花圃的长与宽如何设计才能使花圃的面积最大？解：设花圃的宽为x 米，面积为S 平方米那么长为：x x 4342432-=+-(米)那么：)434(x x S -= ∵6417<，∴S 与x 的二次函数的顶点不在自变量x 的范围内， 而当2176<≤x 内，S 随x 的增大而减小， ∴当6=x 时，604289)4176(42max =+--=S (平方米) 答：可设计成宽6米，长10米的矩形花圃，这样的花圃面积最大． [例3]：边长为4的正方形截去一个角后成为五边形ABCDE 〔如图〕，其中AF=2，BF=1．试在AB 上求一点P ，使矩形PNDM 有最大面积．解：设矩形PNDM 的边DN=x ，NP=y ，那么矩形PNDM 的面积S=xy 〔2≤x≤4〕易知CN=4-x ，EM=4-y ．过点B 作BH ⊥PN 于点H那么有△AFB ∽△BHP∴PH BH BF AF =，即3412--=y x ， 此二次函数的图象开口向下，对称轴为x=5，∴当x≤5时，函数值y 随x 的增大而增大，对于42≤≤x 来说，当x=4时，12454212=⨯+⨯-=最大S ． 【评析】此题是一道代数几何综合题，把相似三角形与二次函数的知识有机的结合在一起，能很好考察学生的综合应用才能．同时，也给学生探究解题思路留下了思维空间．[例4]：某人定制了一批地砖，每块地砖〔如图(1)所示〕是边长为0.4米的正方形ABCD ，点E 、F 分别在边BC 和CD 上，△CFE 、△ABE 和四边形AEFD 均由单一材料制成，制成△CFE 、△ABE 和四边形AEFD 的三种材料的每平方米价格依次为30元、20元、10元，假设将此种地砖按图(2)所示的形式铺设，且能使中间的阴影局部组成四边形EFGH ．(1)判断图(2)中四边形EFGH 是何形状，并说明理由；(2)E 、F 在什么位置时，定制这批地砖所需的材料费用最省？解：(1) 四边形EFGH 是正方形．图(2)可以看作是由四块图(1)所示地砖绕C 点按顺(逆)时针方向旋转90°后得到的，故CE =CF =CG ．∴△CEF 是等腰直角三角形因此四边形EFGH 是正方形．(2)设CE =x , 那么BE =0.4－x ，每块地砖的费用为y 元那么：y =x ×30+×0.4×(0.4-x )×20+[0.16-x -×0.4×(0.4-x )×10]当x =0.1时，y 有最小值，即费用为最省，此时CE =CF =0.1．答：当CE =CF =0.1米时，总费用最省．作业布置：1．(2021浙江台州)某人从地面垂直向上抛出一小球，小球的高度h (单位：米)与小球运动时间t (单位：秒)的函数关系式是，那么小球运动中的最大高度=最大h 4.9米 ．2．(2021庆阳市)兰州市“安居工程〞新建成的一批楼房都是8层高，房子的价格y (元/平方米)随楼层数x (楼)的变化而变化(x =1，2，3，4，5，6，7，8)；点(x ，y )都在一个二次函数的图像上，(如下图)，那么6楼房子的价格为 元/平方米．提示：利用对称性，答案：2080．3．如下图，在一个直角△MBN 的内部作一个长方形ABCD ，其中AB 和BC 分别在两直角边上，设AB =x m ，长方形的面积为y m 2，要使长方形的面积最大，其边长x 应为( D )A ．424m B ．6 m C ．15 m D ．25m 解：AB =x m ，AD=b ，长方形的面积为y m 2 ∵AD ∥BC ∴△MAD ∽△MBN第 3 页 ∴MB MA BN AD =，即5512x b -=，)5(512x b -= )5(512)5(5122x x x x xb y --=-⋅==, 当5.2=x 时，y 有最大值． 4．(2021湖北恩施)将一张边长为30㎝的正方形纸片的四角分别剪去一个边长为ｘ㎝的小正方形，然后折叠成一个无盖的长方体．当ｘ取下面哪个数值时，长方体的体积最大〔 C 〕A ．7B ．6C ．5D ．45．如图，铅球运发动掷铅球的高度y (m)与程度间隔 x (m)之间的函数关系式是：35321212++-=x x y ，那么该运发动此次掷铅球的成绩是( D ) A ．6 m B ．12 m C ．8 m D ．10m解：令0=y ，那么：02082=--x x 0)10)(2(=-+x x〔图5〕 〔图6〕 〔图7〕6．某幢建筑物，从10 m 高的窗口A ，用水管向外喷水，喷出的水流呈抛物线状(抛物线所在的平面与墙面垂直，如图6，假如抛物线的最高点M 离墙1 m ，离地面340m ，那么水流落地点B 离墙的间隔 OB 是( B )A ．2 mB ．3 mC ．4 mD ．5 m 解：顶点为)340,1(，设340)1(2+-=x a y ，将点)10,0(代入，310-=a 令0340)1(3102=+--=x y ，得：4)1(2=-x ，所以OB=3 7．(2021乌兰察布)小明在某次投篮中，球的运动道路是抛物线21 3.55y x =-+的一局部，如图7所示，假设命中篮圈中心，那么他与篮底的间隔 L 是〔 B 〕A ．4.6mB ．4.5mC ．4mD ．3.5m8．某居民小区要在一块一边靠墙(墙长15m)的空地上修建一个矩形花园ABCD ，花园的一边靠墙，另三边用总长为40m 的栅栏围成．假设设花园的宽为x(m) ，花园的面积为y(m²)．(1)求y 与x 之间的函数关系，并写出自变量的取值范围；〔2〕根据〔1〕中求得的函数关系式，描绘其图象的变化趋势；并结合题意判断当x 取何值时，花园的面积最大，最大面积是多少？解：)240(x x y -=)20(22x x --=∵二次函数的顶点不在自变量x 的范围内，而当205.12<≤x 内，y 随x 的增大而减小，∴当5.12=x 时，5.187200)105.12(22max =+--=y (平方米)答：当5.12=x 米时花园的面积最大，最大面积是187.5平方米．9．如图，要建一个长方形养鸡场，鸡场的一边靠墙，假如用50 m 长的篱笆围成中间有一道篱笆隔墙的养鸡场，设它的长度为x 米．(1)要使鸡场面积最大，鸡场的长度应为多少m ？(2)假如中间有n (n 是大于1的整数)道篱笆隔墙，要使鸡场面积最大，鸡场的长应为多少米？比拟(1)(2)的结果，你能得到什么结论？解：(1)∵长为x 米，那么宽为350x -米，设面积为S 平方米． ∴当25=x 时，3625max =S (平方米) 即：鸡场的长度为25米时，面积最大． (2) 中间有n 道篱笆，那么宽为250+-n x 米，设面积为S 平方米． 那么：)50(212502x x n n x x S -+-=+-⋅= ∴当25=x 时，2625max +=n S (平方米) 由(1)(2)可知，无论中间有几道篱笆墙，要使面积最大，长都是25米．即：使面积最大的x 值与中间有多少道隔墙无关．10．如图，矩形ABCD 的边AB=6 cm ，BC=8cm ，在BC 上取一点P ，在CD 边上取一点Q ，使∠APQ 成直角，设BP=x cm ，CQ=y cm ，试以x 为自变量，写出y 与x 的函数关系式． 解：∵∠APQ=90°,∴∠APB+∠QPC=90°.∵∠APB+∠BAP=90°,∴∠QPC=∠BAP ，∠B=∠C=90°.∴△ABP ∽△PCQ.11．(2021年南京市)如图，在矩形ABCD 中，AB=2AD ，线段EF=10．在EF 上取一点M ，•分别以EM 、MF 为一边作矩形EMNH 、矩形MFGN ，使矩形MFGN ∽矩形ABCD ．令MN=x ，当x 为何值时，矩形EMNH 的面积S 有最大值？最大值是多少？解：∵矩形MFGN ∽矩形ABCD∴MF=2MN =2x ∴ EM=10-2x∴S=x 〔10-2x 〕=-2x 2+10x=-2(x-2.5)2+12.5当x=2.5时，S 有最大值12.512．(2021四川内江)如图，小明的父亲在相距2米的两棵树间拴了一根绳子，给他做了一个简易的秋千，拴绳子的地方距地面高都是2.5米，绳子自然下垂呈抛物线状，身高1米的小明距较近的那棵树0.5米时，头部刚好接触到绳子，那么绳子的最低点距地面的间隔 为 0.5 米．答案：如下图建立直角坐标系那么：设c ax y +=2将点)1,5.0(-，)5.2,1(代入，第 5 页⎩⎨⎧+=+-⨯=ca c a 5.2)5.0(12，解得⎩⎨⎧==5.02c a 5.022+=x y 顶点)5.0,0(，最低点距地面0.5米．13．(2021黑龙江哈尔滨)小李想用篱笆围成一个周长为60米的矩形场地，矩形面积S(单位：平方米)随矩形一边长x(单位：米)的变化而变化．〔1〕求S 与x 之间的函数关系式，并写出自变量x 的取值范围；〔2〕当x 是多少时，矩形场地面积S 最大？最大面积是多少？解：〔1〕根据题意，得x x x x S 3022602+-=⋅-= 自变量的取值范围是〔2〕∵01<-=a ，∴S 有最大值当时，答：当为15米时，才能使矩形场地面积最大，最大面积是225平方米．14．(2021年南宁市)随着绿城南宁近几年城市建立的快速开展，对花木的需求量逐年进步．某园林专业户方案投资种植花卉及树木，根据市场调查与预测，种植树木的利润与投资量成正比例关系，如图12-①所示；种植花卉的利润与投资量成二次函数关系，如图12-②所示(注：利润与投资量的单位：万元)〔1〕分别求出利润与关于投资量的函数关系式； 〔2〕假如这位专业户以8万元资金投入种植花卉和树木，他至少获得多少利润？他能获取的最大利润是多少？解：〔1〕设=,由图12-①所示，函数=的图像过〔1，2〕，所以2=， 故利润关于投资量的函数关系式是=；因为该抛物线的顶点是原点，所以设2y =，由图12-②所示，函数2y =的图像过〔2，2〕，所以，故利润2y 关于投资量的函数关系式是2221x y =； 〔2〕设这位专业户投入种植花卉万元〔〕，那么投入种植树木(x -8)万元， 他获得的利润是万元，根据题意，得∵021>=a ∴当时，的最小值是14；∴他至少获得14万元的利润．因为，所以在对称轴2=x 的右侧，z 随x 的增大而增大所以，当8 x 时，z 的最大值为32．15．(08山东聊城)如图，把一张长10cm ，宽8cm 的矩形硬纸板的四周各剪去一个同样大小的正方形，再折合成一个无盖的长方体盒子〔纸板的厚度忽略不计〕．〔1〕要使长方体盒子的底面积为48cm 2，那么剪去的正方形的边长为多少？〔2〕你感到折合而成的长方体盒子的侧面积会不会有更大的情况？假如有，请你求出最大值和此时剪去的正方形的边长；假如没有，请你说明理由；〔3〕假如把矩形硬纸板的四周分别剪去2个同样大小的正方形和2个同样形状、同样大小的矩形，然后折合成一个有盖的长方体盒子，是否有侧面积最大的情况；假如有，请你求出最大值和此时剪去的正方形的边长；假如没有，请你说明理由．解：〔1〕设正方形的边长为cm ， 那么． 即． 解得〔不合题意，舍去〕，． 剪去的正方形的边长为1cm ．〔2〕有侧面积最大的情况． 设正方形的边长为cm ，盒子的侧面积为cm 2， 那么与的函数关系式为： 即． 改写为． 当时，．即当剪去的正方形的边长为2.25cm 时，长方体盒子的侧面积最大为40.5cm 2．〔3〕有侧面积最大的情况． 设正方形的边长为cm ，盒子的侧面积为cm 2．假设按图1所示的方法剪折， 那么与的函数关系式为： 即． 当时，．假设按图2所示的方法剪折， 那么与的函数关系式为：即．当时，．比拟以上两种剪折方法可以看出，按图2所示的方法剪折得到的盒子侧面积最大，即当剪去的正方形的边长为cm 时，折成的有盖长方体盒子的侧面积最大，最大面积为cm2．16．(08兰州)一座拱桥的轮廓是抛物线型(如图16所示)，拱高6m，跨度20m，相邻两支柱间的间隔均为5m．〔1〕将抛物线放在所给的直角坐标系中(如图17所示)，求抛物线的解析式；〔2〕求支柱的长度；〔3〕拱桥下地平面是双向行车道(正中间是一条宽2m的隔离带)，其中的一条行车道能否并排行驶宽2m、高3m的三辆汽车(汽车间的间隔忽略不计)？请说明你的理由．解：〔1〕根据题目条件，的坐标分别是．设抛物线的解析式为，将的坐标代入，得解得．所以抛物线的表达式是．〔2〕可设，于是从而支柱的长度是米．〔3〕设是隔离带的宽，是三辆车的宽度和，那么点坐标是．过点作垂直交抛物线于，那么．根据抛物线的特点，可知一条行车道能并排行驶这样的三辆汽车．第 7 页。
二次函数应用 面积问题
（2）如果中间有n（n>1）道篱笆隔墙，要使鸡场的面积 最大，鸡场的长应多少？
50 - x 解： S x n2 1 ( x 2 50 x) n2 1 625 2 ( x 25) n2 n2
所以要使鸡场的面积最大，鸡场的长因为25m.
（3）结论：不论中间有多少道隔栏，要使鸡场的面积 最大，鸡场的长都为25m.
农户需要利用一面墙再砌三面墙，围成一块矩形菜地， 设备足以砌12m长墙的材料，设与已有的一面墙相邻的每面 墙长度为xm （1）求矩形面积S与x的关系式，写出x的取值范围. （2）求x等于多少时矩形面积S最大？最大面积是多少？ （3）画出S关于x的函数图像. （4）当x等于多少时，矩形面积为15㎡. （5）结合图像，为了使矩形的面积大于或等于15㎡，x的 取值范围应该怎样？ （6）当x等于多少时，矩形的面积等于12㎡. （7）结合图像，当x的取值范围怎样时，矩形的面积将小于 12㎡.
3
2.中间有无隔栏
问题2：要建立一个长方形的养鸡场，鸡场的一边靠墙（墙 长足够长），如果用50m长的篱笆围成中间有一道篱笆的鸡 场，设它的长度为xm. （1）要使鸡场的面积最大，鸡场的长应多少m？ 解：设鸡场的面积为 S㎡， 50 - x x 所以S = 3 鸡场的宽为 50 - x m 3
Байду номын сангаас
1 2 = （x 50 x) 3 x 1 625 2 = （x 25) 3 3 所以要使鸡场的面积最大，鸡场的长应为25m.
3.面数是否变化
问题3 ：用长为18m的篱笆(虚线部分)，两面 靠墙围成矩形的苗圃。 y x （1）设矩形的一边长为x（m），面积为y㎡，求y关于x的 函数关系式，并写出自变量x取值范围。 解 ：矩形的一边长为x m，则其邻边长为（18－x）m， 所以 y=x（18－x） =－x² +18x（0<x<18） （2）当x为何值时，所谓苗圃的面积最大，最大面积是多少？ 解： y = -x² +18x = - (x－9)² +81 因为（0<x<18） 所以当x=9m时，面积y最大面积为81㎡。
二次函数应用 图形面积问题
二次函数应用图形面积问题
1、在创建文明城市的活动中，政府想借助如图所示的直角墙角（两边足够长），用30m长的篱笆围成一个矩形花园ABCD（篱笆只围AB，BC两边），设AB x
200m，求AB的
=m．（Ⅰ）若花园的面积是2
长；（Ⅱ）当AB的长是多少时，花园面积最大？最大面积是多少？
2、如图，在足够大的空地上有一段长为a米的旧墙MN，某人利用旧墙和木栏围成一个矩形菜园
a=，所ABCD，其中AD MN，已知矩形菜园的一边靠墙，另三边一共用了200米木栏．（1）若30
围成的矩形菜园的面积为1800平方米，求所利用旧墙AD的长；（2）求矩形菜园ABCD面积的最大值．
3、某养鸡专业户用篱笆及一面墙（该墙可用最大长度为36米）围成一个矩形场地ABCD来供鸡室外活动，该场地中间隔有一道与AB平行的篱笆()
EF，如图，BE、EF上各留有1米宽的门（门不需要篱笆），该养鸡专业户共用篱笆58米，设该矩形的一边AB长x米，AD AB
>，矩形ABCD的面积为s 平方米．（1）求出S与x的函数关系式，直接写出自变量x的取值范围；
（2）若矩形ABCD的面积为252平方米，求AB的长．
4、如图，有长为24m的篱笆，一面利用墙（墙的最大可用长度a为10m）围成中间隔有一道篱笆的矩形
花圃，设花圃的宽AB为xm，面积为Sm2．（1）求S与x的函数表达式．（2）如果要围成面积为45m2的花圃，AB的长是多少米？（3）能围成面积为50m2的花圃吗？若能，请说明围法；若不能请说明理由．。
二次函数在面积计算应用
二次函数在面积计算应用二次函数是数学中的一种重要的函数类型，它的形式可以表示为$f(x) = ax^2 + bx + c$，其中$a$、$b$和$c$都是常数，$a$不等于0。
二次函数是一个抛物线，它在平面直角坐标系中呈现出一些特殊的性质和应用。
在几何学中，二次函数可以用于求解面积计算问题。
下面将介绍三个常见的应用：求解矩形面积最大值、求解三角形面积最大值和求解锥形体积最大值。
首先，考虑一个矩形的面积最大化问题。
假设我们要在固定的周长下找到一个矩形的最大面积。
假设矩形的宽度为$x$，长度为$y$，则周长满足$2x + 2y = C$，其中$C$是一个常数。
根据周长的限制条件，我们可以将长度$y$表示为$y = \frac{C}{2} - x$。
矩形的面积为$A = xy =x\left(\frac{C}{2} - x\right)$。
为了求解面积的最大值，我们考虑求解函数$A = x\left(\frac{C}{2} - x\right)$的极值点。
为了找到极值点，我们求解函数的导数。
将函数$A =x\left(\frac{C}{2} - x\right)$展开，可以得到$A = \frac{C}{2}x -x^2$。
对其求导数，我们得到$A' = \frac{C}{2} - 2x$。
令导数等于0，我们可以解得$x = \frac{C}{4}$。
将此值代入到原函数中，我们可以得到面积的最大值为$A =\left(\frac{C}{4}\right)\left(\frac{C}{4}\right) =\frac{C^2}{16}$。
因此，当周长固定时，矩形的面积最大为$\frac{C^2}{16}$。
同样地，我们求解函数的导数。
对函数$A = \frac{1}{2}x^2$求导，我们得到$A' = x$。
令导数等于0，我们可以解得$x = 0$。
然而，这个结果并不符合我们的问题条件，因为边长不能为0。
二次函数的实际应用——面积最大(小)值问题
二次函数的实际应用——面积最大(小)值问题[例1]：在矩形ABCD 中，AB=6cm ，BC=12cm ，点P 从点A 出发，沿AB 边向点B 以1cm ／s 的速度移动，同时点Q 从点B 出发沿BC 边向点C 以2cm ／s 的速度移动，如果P 、Q 两点同时出发，分别到达B 、C 两点后就停止移动．（1）运动第t 秒时，△PBQ 的面积y(cm²)是多少？（2）此时五边形APQCD 的面积是S(cm²)，写出S 与t 的函数关系式，并指出自变量的取值范围．（3）t 为何值时s 最小，最小值时多少？答案：6336333607266126262621)1(2222有最小值等于时；当）（）（）（）（）（）（S t t S t t t t t S t t t t y =∴+-=<<+-=+--⨯=+-=⋅-=[例2]某居民小区要在一块一边靠墙(墙长15m)的空地上修建一个矩形花园ABCD ，花园的一边靠墙，另三边用总长为40m 的栅栏围成．若设花园的宽为x(m) ，花园的面积为y(m²)．(1)求y 与x 之间的函数关系，并写出自变量的取值范围；（2）根据（1）中求得的函数关系式，描述其图象的变化趋势；并结合题意判断当x 取何值时，花园的面积最大，最大面积是多少？解：)240(x x y -=)20(22x x --=200)10(22+--=x∵152400≤-<x∴205.12<≤x∵二次函数的顶点不在自变量x 的范围内，而当205.12<≤x 内，y 随x 的增大而减小，∴当5.12=x 时，5.187200)105.12(22max =+--=y (平方米)答：当5.12=x 米时花园的面积最大，最大面积是187.5平方米．[例3]如图，要建一个长方形养鸡场，鸡场的一边靠墙，如果用50 m 长的篱笆围成中间有一道篱笆隔墙的养鸡场，设它的长度为x 米．(1)要使鸡场面积最大，鸡场的长度应为多少m ？(2)如果中间有n (n 是大于1的整数)道篱笆隔墙，要使鸡场面积最大，鸡场的长应为多少米？比较(1)(2)的结果，你能得到什么结论？解：(1)∵长为x 米，则宽为350x -米，设面积为S 平方米． )50(313502x x x x S --=-⋅= 3625)25(312+--=x ∴当25=x 时，3625max =S (平方米) 即：鸡场的长度为25米时，面积最大．(2) 中间有n 道篱笆，则宽为250+-n x 米，设面积为S 平方米． 则：)50(212502x x n n x x S -+-=+-⋅= 2625)25(212++-+-=n x n ∴当25=x 时，2625max +=n S (平方米) 由(1)(2)可知，无论中间有几道篱笆墙，要使面积最大，长都是25米．即：使面积最大的x 值与中间有多少道隔墙无关．。
二次函数的应用——最大面积问题教学设计
二次函数的应用——最大面积问题的教学设计一、学情分析：众所周知，二次函数与解析几何是初中数学的两个难点，而在中考中往往都是将二者融合形成综合性问题，当然也是学生一直感觉头疼的一个问题。
新课程标准指出，学生对有关的数学内容进行探索、实践和思考的过程就是数学学习的过程，也是学生获得数学活动经验的过程。
将时间还给学生、以学生为主体是每一节课的追求。
通过学生自主学习在反比例函数中求三角形时所用到的方法分享，对其中分割法中的竖直高乘以水平宽的一半进行着重分析，探究其基本原理，从而用此通法解决二次函数中三角形最大面积问题，当然重点分析此发的同时也鼓励一题多解、多解归一。
二、教学目标1、借助反比例函数中三角形面积的几种计算方法总结得出通法：“水平宽乘以竖直高的一半”。
2、通过自主学习小组合作讨论，从特殊的图形出发、层层深入让学生在探索过程中体会“水平宽乘以竖直高的一半”这一方法。
从而从本质理解“水平宽乘以竖直高的一半”。
3、运用“水平宽乘以竖直高的一半”表示出二次函数中基本三角形的面积结合二次函数的最值思想求出三角形面积的最值问题。
三、教学重难点：教学重点：运用“水平宽乘以竖直高的一半”表示出二次函数中基本三角形的面积结合二次函数的最值思想求出三角形面积的最值问题教学难点：从特殊的图形出发、层层深入让学生在探索过程中体会“水平宽乘以竖直高的一半”这一方法。
从而从本质理解“水平宽乘以竖直高的一半”。
四、教学设计【自主学习】学生课前自主完成、并在上课时小组讨论、交流并与大家分享。
的图象都引例：如图，在平面直角坐标xOy中，正比例函数y=kx的图象与反比例函数y=mx经过点A（2，﹣2）．（1）分别求这两个函数的表达式；（2）将直线OA向上平移3个单位长度后与y轴交于点B，与反比例函数图象在第四象限内的交点为C，连接AB，AC，求点C的坐标及△ABC的面积．方法提炼：补：补成矩形减去三个直角三角形。
补：延长CA与y轴交于点D，用三角形BCD面积减去三角形BAD面积。
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生演板，生ห้องสมุดไป่ตู้题，师批改……
师生共看演板
通过作业再一次内化知识，构建知识系统。
通过变式训练进一步引发学生思考，激发学生学习兴趣，提高学生解决问题的能力。
2、由于长年累月的日晒雨淋，墙体部分损坏，只剩下8 m，现改变菜园的围法。如图3，矩形菜园的一边由墙AB和一节篱笆BF构成，且这边的长度不少于12 m，另三边由篱笆ADEF围成，求菜园面积的最大值。
小组讨论完成
分小组展示……
师总结：在表示面积时，墙长8 m，篱笆长32 m，那矩形周长为m？如果设DE=x m，则AD=m。
这题对学生有两个难点，（1）如何建立模型，将菜园面积表示出来；（2）当顶点横坐标不在自变量范围内时，最值在哪里取到？
活动三：课堂小结
生总结：……
培养总结能力，反馈课堂学习效果
活动四：课后巩固
二次函数的应用——面积问题
教学任务分析
教学目标
知识技能
1．通过图形之间的关系列出函数解析式
2．用二次函数的知识分析解决有关面积问题的实际问题
教学思考
培养学生建模思想
解决问题
通过图形间的关系，进一步体会函数，体验运动变化的思想
情感态度
通过本节课的教学，使学生能够正确面对困难，迎接挑战的坚强品质
重点
用二次函数的知识分析解决有关面积问题的实际问题
难点
通过图形之间的关系列出函数解析式
教学过程设计
问题与情境
师生活动
设计意图
课后随想
活动一：课前预习
已知二次函数
1、该函数图象的开口方向是；对称轴是；顶点坐标；
2、⑴当0<x≤5时，函数在x=时，取得最大值是。
⑵当0<x≤2时，函数在x=时，取得最大值是。
师引导生回答：
师总结：
（先口述）
（再板书）
当顶点横坐标在自变量范围内时，在顶点处取最值；
内化知识，进行知识间的建构
师引导：菜园面积在前面已经表示出来了，它是一个函数？那怎么求二次函数的最值呢？
生答：…………
师边口述边板书：
师总结：求面积最值，我们大致可以分三步，第一步：写出函数解析式并配成顶点式；第二步：求自变量的范围；第三步：根据范围求函数最值。
通过求菜园面积的最大值给学生总结用二次函数求最值的一般步骤。
变式训练：如图2，如果墙对面DE边上有一个2 m宽的门，求菜园面积的最大值。
如图1，如果矩形菜园的一边靠墙AB，另三边由篱笆CDEF围成。
1、⑴设DE=x m，则CD=m，写出x的取值范围。
⑵设菜园面积为y m2，则y与x之间的函数关系式为。
师读题，生口答（1）、（2）
师问：x的范围是怎么求的？
生答：…………
（1）（2）比较简单，激发学生求知的欲望，并且对下面的问题有提示作用。
但是（1）中求自变量的范围在本节课中多次涉及，在此处通过填空帮同学复习。
⑶菜园的面积能不能等于110 m2，若能，求出此时x的值；若不能，请说明理由。
生演板，生做题
师生共批改……
师生共看演板
（3）在前面两问的提醒下，很容易列出方程，通过一个具体的面积让学生感受实际背景。
⑷当DE长为多少时，菜园面积最大？最大面积是多少？
当顶点横坐标不在自变量范围内时，在端点处取最值。
首先能根据函数解析式得出函数图象的开口方向、对称轴、顶点坐标。
然后知道求函数最值就是找函数图象的最高（低）点，并且通过两个不同的范围让学生明白最值可能在顶点及端点处取得。
活动二：课堂学习
（2016武汉元月调考改）用一段长32 m的篱笆和长18 m的墙，围成一个矩形的菜园。