河南省洛阳市20162017学年高二上学期期中考试数学试题
洛阳市2016——2017学年第一学期期中考试
高二数学试卷
第Ⅰ卷（选择题，60分）
一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项
是符合题目要求的）
1.数列1,3,5,7,9,11,L的一个通项公式为
A．1121nnan B．1121nnan
C．121nnan D．121nnan
2.在ABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c,若2,45,75aACoo，则b等于
A．622 B．3 C．62 D．6
3.已知公比为正数的等比数列na中，26428,2aaaa，则1a
A．8 B． 4 C．1 D．12
4. 在ABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c,若cosabA，则ABC为
A．钝角三角形 B．直角三角形 C．锐角三角形 D．不确定
5.数列中，1112,1nnnaaanNa,则2014a
A．2 B．13 C．12 D．3
6.设等差数列na的前n项和为nS，若22,18kkSS，则4kS
A．24 B． 28 C． 32 D．54
7. 在ABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c，满足下列条件的有两个的是
A．1,2,30abAo B．2,2,45bcBo
C．1,2,3abc D．3,2,60abAo
8.给出下列结论：
①在ABC中，sinsin;ABab ②常数数列既是等差数列又是等比数列；
③数列na的通项公式为21nankn，若na为递增数列，则,2k；
④ABC的内角A,B,C满足sin:sin:sin3:5:7ABC,则ABC为锐角三角形.其中正确
结论的个数为
A．0 B．1 C． 2 D．3
9.定义12nnpppL为n个正数12,,,npppL的“均倒数”.若已知数列na的前n项的“均
倒数”为1n，则12231011111aaaaaaL
A．910 B．920 C．2021 D．1021
10.若关于x的不等式20axbxc的解集为1,1,2U，则不等式20cxbxa
的解集为
A．1,2 B．,12,U
C．2,1 D．,21,U
11.设实数,xy满足约束条件220,840,0,0,xyxyxy，若目标函数0,0zabxyab的最大值为
8，则ab的最小值为
A．2 B． 4 C． 6 D．8
12.已知函数121xfxx，数列na的前n项和为nS，且2017nnaf，则2017S
A．1008 B． 1010 C．20192 D．2019
第Ⅱ卷（非选择题，满分90分）
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在答题卷的横线上。.
13. 若实数,xy满足约束条件0,40,5,xyxyx，若yx的最小值为 .
14.等差数列na的前n项和为3811,0,0nSaaS，当nS取得最小值时，n .
15.已知正实数,xy满足40xyxy，则xy的最小值为 .
16. 在ABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c，且,,abc成等差数列，有下列四个结论：①
2
;bac
②112;acb③222;2acb④0,.3B其中正确的结论序号为 .
三、解答题：本大题共6小题，满分70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤
17、（本小题满分10分）
如图，为了测量对岸A,B两点的距离，沿河岸选取C,D两点，测
得2,30,60,45CDkmCDBADBACDACBooo，
求A,B两点的距离
18、（本小题满分12分）
某公司计划种植A,B两种中药材，该公司最多能承包50亩的土地，可使用的周转资金不超过54
万元，假设药材A售价为0.55万元/吨，产量为4吨/亩，种植成本1.2万元/亩；药材B售价为0.3
万元/吨，产量为6吨/亩，种植成本0.9万元/亩.为时公司的总利润最大，则A,B两种中药材的种
植面积应各为多少亩，最大利润为多少万元？
19、（本小题满分12分）
在ABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c，且222.bcabc
（1）求角A的大小；
（2）若7,a且ABC的面积为332，求ABC的周长.
20、（本小题满分12分）
设数列na的前n项和为nS，11a，且12,.nnnanSnN
（1）求证：数列nSn为等比数列；
（2）求数列nS的前n项和.nT
21、（本小题满分12分）
已知23,.xfxmRxmxm
（1）若0fxm恒成立，求m的取值范围；
（2）若fx的最小值为6，求m的值.
22、（本小题满分12分）
已知等比数列na的公比11,1qa，且132,,14aaa成等差数列，数列nb满足
1122131.nnn
abababnnNL
（1）求数列na和nb的通项公式；
（2）令141nnnnncbb，求数列nc的前n项和.nT.
【数学】2016-2017年河南省洛阳市高三(上)期中数学试卷与答案(文科)
2016-2017学年河南省洛阳市高三（上）期中数学试卷（文科）一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1．（5分）设集合A={m∈Z|m≤﹣3或m≥2}，B={n∈N|﹣1≤n＜3}，则（∁Z A）∩B=（）A．{0，1，2}B．{﹣1，0，1}C．{0，1}D．{﹣1，0，1，2}2．（5分）在复平面内O为极坐标原点，复数﹣1+2i与1+3i分别为对应向量和，则||=（）A．3 B． C．D．53．（5分）把函数y=sin（2x﹣）的图象向右平移个单位后，所得函数图象的一条对称轴为（）A．x=0 B．x=C．x=﹣D．x=4．（5分）已知等比数列{a n}的前10项的积为32，则以下命题为真命题的是（）A．数列{a n}的各项均为正数B．数列{a n}中必有小于的项C．数列{a n}的公比必是正数D．数列{a n}中的首项和公比中必有一个大于15．（5分）若=，则tan2α的值为（）A．B．C．﹣ D．36．（5分）函数y=ln的图象大致是（）A． B．C．D．7．（5分）在△ABC中，O为中线AM上的一个动点，若AM=2，则•（+）的最小值是（）A．﹣2 B．﹣1 C．1 D．28．（5分）定义在R上的偶函数f（x）满足f（x+1）=﹣f（x）且在[5，6]上是增函数，α，β是锐角三角形的两个内角，则（）A．f（sinα）＞f（cosβ）B．f（sinα）＞f（sinβ）C．f（sinα）＜f（cosβ）D．f（cosα）＞f（cosβ）9．（5分）在四面体S﹣ABC中，SA⊥平面ABC，∠BAC=120°，SA=AC=2，AB=1，则该四面体的外接球的表面积为（）A．11πB．C．D．10．（5分）已知函数，若方程f（x）﹣a=0有三个不同的实数根，则实数a的取值范围是（）A．（1，3） B．（0，3） C．（0，2） D．（0，1）11．（5分）已知数列S n为等比数列{a n}的前n项和，S8=2，S24=14，则S2016=（）A．2252﹣2 B．2253﹣2 C．21008﹣2 D．22016﹣212．（5分）设点P，Q分别是曲线y=xe﹣x（e是自然对数的底数）和直线y=x+3上的动点，则P，Q两点间距离的最小值为（）A．B．C．D．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13．（5分）在矩形ABCD中，=（1，﹣3），，则实数k=．14．（5分）已知函数f（x）的对应关系如表所示，数列{a n}满足a1=3，a n+1=f（a n），则a2016=．15．（5分）一个几何体的三视图如图所示，该几何体体积为．16．（5分）设α，β是两个不重合的平面，m，n是两条不重合的直线，给出下列四个命题：①若n⊂α，n∥β，α∩β=m，则n∥m；②若m⊂α，n⊂α，m∥β，n∥β，则α∥β；③若α⊥β，α∩β=m，n⊂α，n⊥m，则n⊥β；④m⊥α，α⊥β，m∥n，则n∥β．其中正确的命题序号为．三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17．（10分）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足bcosA=（2c+a）cos（π﹣B）（Ⅰ）求角B的大小；（Ⅱ）若b=，△ABC的面积为，求a+c的值．18．（12分）已知等差数列{a n}的前n项和为S n，S5=4a3+6，且a2，a3，a9成等比数列．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）如果a1≠a5，求数列{}的前n项和．19．（12分）已知函数f（x）=x3﹣（a+1）x2+x﹣（a∈R）．（1）若a＜0，求函数f（x）的极值；（2）当a≤时，判断函数f（x）在区间[0，2]上零点的个数．20．（12分）已知向量=（sin2x，cos2x），=（cos2x，﹣cos2x）．（1）若x∈（，），•+=﹣，求cos4x；（2）设△ABC的三边a，b，c满足b2=ac，且边b2=ac，且边b所对应的角为x，若关于x的方程•+=m有且仅有一个实数根，求m的值．21．（12分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，平面PAD⊥平面ABCD，AB∥DC，△PAD是等边三角形，已知BD=2AD=8，AB=2DC=4．（Ⅰ）设M是PC上的一点，证明：平面MBD⊥平面PAD；（Ⅱ）求四棱锥P﹣ABCD的体积．22．（12分）已知函数f（x）=x2﹣（a+2）x+alnx，其中a∈R．（Ⅰ）若曲线y=f（x）在点（2，f（2））处的切线的斜率为1，求a的值；（Ⅱ）求函数f（x）的单调区间．2016-2017学年河南省洛阳市高三（上）期中数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1．（5分）设集合A={m∈Z|m≤﹣3或m≥2}，B={n∈N|﹣1≤n＜3}，则（∁Z A）∩B=（）A．{0，1，2}B．{﹣1，0，1}C．{0，1}D．{﹣1，0，1，2}【解答】解：∵集合A={m∈Z|m≤﹣3或m≥2}，全集为Z，∴∁Z A={m∈Z|﹣3＜m＜2}={﹣2，﹣1，0，1}，又∵B={n∈N|﹣1≤n＜3}={0，1，2}，则（∁Z A）∩B={0，1}．故选：C．2．（5分）在复平面内O为极坐标原点，复数﹣1+2i与1+3i分别为对应向量和，则||=（）A．3 B． C．D．5【解答】解：在复平面内O为极坐标原点，复数﹣1+2i与1+3i分别为对应向量和，可得A（﹣1，2），B（1，3），则||==．故选：C．3．（5分）把函数y=sin（2x﹣）的图象向右平移个单位后，所得函数图象的一条对称轴为（）A．x=0 B．x=C．x=﹣D．x=【解答】解：把函数y=sin（2x﹣）的图象向右平移个单位后，可得y=sin （2x﹣）=﹣cos2x 的图象，再令2x=kπ，求得x=，k∈Z，函数所得函数图象的一条对称轴为x=0，故选：A．4．（5分）已知等比数列{a n}的前10项的积为32，则以下命题为真命题的是（）A．数列{a n}的各项均为正数B．数列{a n}中必有小于的项C．数列{a n}的公比必是正数D．数列{a n}中的首项和公比中必有一个大于1【解答】解：由等比数列的性质，a1a2a3…a10==32．∴a5a6=2，设公比为q，则，故q必是正数，故选项C为真命题．对于选项A，由可知a5可以为负数，故A为假命题；对于选项B，由a5a6=2可以前10项全为，故B为假命题；对于选项D，由可得，可取q=1、均不大于1，故D为假命题．故选：C．5．（5分）若=，则tan2α的值为（）A．B．C．﹣ D．3【解答】解：∵==，∴tanα=3，则tan2α===﹣，故选：C．6．（5分）函数y=ln的图象大致是（）A． B．C．D．【解答】解：∵函数y=ln，∴x+sinx≠0，x≠0，故函数的定义域为{x|x ≠0}．再根据y=f（x）的解析式可得f（﹣x）=ln（）=ln（）=f（x），故函数f（x）为偶函数，故函数的图象关于y轴对称，故排除B、D．当x∈（0，1）时，∵0＜sinx＜x＜1，∴0＜＜1，∴函数y=ln＜0，故排除C，只有A满足条件，故选：A．7．（5分）在△ABC中，O为中线AM上的一个动点，若AM=2，则•（+）的最小值是（）A．﹣2 B．﹣1 C．1 D．2【解答】解：由题意画出草图：由于点M为△ABC中边BC的中点，∴，∴•（+）==﹣2||•||．∵O为中线AM上的一个动点，即A、O、M三点共线，∴||=||+||=2≥2（当且仅当“”时取等号），得||•||≤1，又•2=﹣2||•||≥﹣2，则•（+）的最小值为﹣2．故选：A．8．（5分）定义在R上的偶函数f（x）满足f（x+1）=﹣f（x）且在[5，6]上是增函数，α，β是锐角三角形的两个内角，则（）A．f（sinα）＞f（cosβ）B．f（sinα）＞f（sinβ）C．f（sinα）＜f（cosβ）D．f（cosα）＞f（cosβ）【解答】解：由f（x+1）=﹣f（x）得，f（x+2）=f（x）；∴f（x）是以2为周期的周期函数；∵f（x）是R上的偶函数，且在[5，6]上是增函数；∴f（x）在[﹣6，﹣5]上为减函数；∴f（x）在[0，1]上为减函数；∵α，β是锐角三角形的两个锐角；∴α+β＞；∴α＞﹣β，α，﹣β∈（0，）∴s inα＞sin（﹣β）=cosβ且sinα，cosβ∈（0，1）；∴f（sinα）＜f（cosβ）．故选：C．9．（5分）在四面体S﹣ABC中，SA⊥平面ABC，∠BAC=120°，SA=AC=2，AB=1，则该四面体的外接球的表面积为（）A．11πB．C．D．【解答】解：∵AC=2，AB=1，∠BAC=120°，∴BC==，∴三角形ABC的外接圆半径为r，2r=，r=，∵SA⊥平面ABC，SA=2，由于三角形OSA为等腰三角形，O是外接球的球心．则有该三棱锥的外接球的半径R==，∴该三棱锥的外接球的表面积为S=4πR2=4π×（）2=．故选：D．10．（5分）已知函数，若方程f（x）﹣a=0有三个不同的实数根，则实数a的取值范围是（）A．（1，3） B．（0，3） C．（0，2） D．（0，1）【解答】解：由题意可知：函数f（x）的图象如下：由关于x的方程f（x）﹣a=0有三个不同的实数解，可知函数y=a与函数y=f（x）有三个不同的交点，由图象易知：实数a的取值范围为（0，1）．故选：D．11．（5分）已知数列S n为等比数列{a n}的前n项和，S8=2，S24=14，则S2016=（）A．2252﹣2 B．2253﹣2 C．21008﹣2 D．22016﹣2【解答】解：∵数列S n为等比数列{a n}的前n项和，S8=2，S24=14，∴=2，①=14，②由②÷①得到：q8=2或q8=﹣3（舍去），∴=2，则a1=2（q﹣1），∴S2016===2253﹣2．故选：B．12．（5分）设点P，Q分别是曲线y=xe﹣x（e是自然对数的底数）和直线y=x+3上的动点，则P，Q两点间距离的最小值为（）A．B．C．D．【解答】解：∵点P是曲线y=xe﹣x上的任意一点，和直线y=x+3上的动点Q，求P，Q两点间的距离的最小值，就是求出曲线y=xe﹣x上与直线y=x+3平行的切线与直线y=x+3之间的距离．由y′=（1﹣x）e﹣x ，令y′=（1﹣x）e﹣x =1，解得x=0，当x=0，y=0时，点P（0，0），P，Q两点间的距离的最小值，即为点P（0，0）到直线y=x+3的距离，∴d min==．故选：C．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13．（5分）在矩形ABCD中，=（1，﹣3），，则实数k=4．【解答】解：如图所示，在矩形ABCD中，=（1，﹣3），，∴=﹣=（k﹣1，﹣2+3）=（k﹣1，1），∴•=1×（k﹣1）+（﹣3）×1=0，解得k=4．故答案为：4．14．（5分）已知函数f（x）的对应关系如表所示，数列{a n}满足a1=3，a n+1=f（a n），则a2016=1．=f（a n），a1=3．【解答】解：a n+1∴a2=f（a1）=f（3）=1，a3=f（a2）=f（1）=3，a4=f（a3）=f（3）=1，…∴a n=，∴a2016=1．故答案为：1．15．（5分）一个几何体的三视图如图所示，该几何体体积为．【解答】解：根据三视图得知：该几何体是以底面边长为2的正方形，高为的四棱锥，所以：V==故答案为：16．（5分）设α，β是两个不重合的平面，m，n是两条不重合的直线，给出下列四个命题：①若n⊂α，n∥β，α∩β=m，则n∥m；②若m⊂α，n⊂α，m∥β，n∥β，则α∥β；③若α⊥β，α∩β=m，n⊂α，n⊥m，则n⊥β；④m⊥α，α⊥β，m∥n，则n∥β．其中正确的命题序号为①③．【解答】解：对于①，由线面平行的性质定理可知该命题正确，故①正确；对于②，如果一个平面内的两条相交直线都平行于另一个平面，则这两个平面互相平行，在这个定理中“两条相交直线”这个条件必不可少．没有这个条件，两平面就不一定平行，也可以相交，故②不正确；对于③，由面面垂直的性质定理可知该命题正确，故③正确；对于④，n可能在平面β内，故④不正确．故答案为：①③．三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17．（10分）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足bcosA=（2c+a）cos（π﹣B）（Ⅰ）求角B的大小；（Ⅱ）若b=，△ABC的面积为，求a+c的值．【解答】解：（Ⅰ）∵在△ABC中bcosA=（2c+a）cos（π﹣B），∴由正弦定理可得sinBcosA=2sinC（﹣cosB）+sinA（﹣cosB），∴sinBcosA+sinAcosB=﹣2sinCcosB，∴sin（A+B）=﹣2sinCcosB=sinC，∴，由0＜B＜π可得；（Ⅱ）∵，∴ac=4，由余弦定理可得b2=a2+c2﹣2accosB=（a+c）2﹣2ac+ac=21，∴（a+c）2=25，∴a+c=518．（12分）已知等差数列{a n}的前n项和为S n，S5=4a3+6，且a2，a3，a9成等比数列．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）如果a1≠a5，求数列{}的前n项和．【解答】解：（1）由题意：数列{a n}是等差数列，设公差d，首项为a1，S5=4a3+6，则：S5=4a3+6=5a1+，∴a1+2d=6…①又∵a2，a3，a9成等比数列∴（a1+2d）2=（a1+d）（a1+8d）∴da1=d2…②由①，②可得：a1=2，d=2或a1=6，d=0．故得数列{a n}的通项公式为a n=2n或a n=6．（2）∵a1≠a5∴a n=2nS n=na1+=n2+n；则：数列{}的通项公式：=；数列{}的前n项和为：===；故得数列{}的前n项和为．19．（12分）已知函数f（x）=x3﹣（a+1）x2+x﹣（a∈R）．（1）若a＜0，求函数f（x）的极值；（2）当a≤时，判断函数f（x）在区间[0，2]上零点的个数．【解答】解：（1）f′（x）=a（x﹣1）（x﹣），∵a＜0，∴＜1，令f′（x）＞0，解得：＜x＜1，令f′（x）＜0，解得：x＞1或x＜，∴f（x）在（﹣∞，）递减，在（，1）递增，在（1，+∞）递减，∴f（x）极小值=f（）=，f（x）极大值=f（1）=﹣（a﹣1）；（2）f（1）=﹣（a﹣1），f（2）=（2a﹣1），f（0）=﹣＜0，a≤时，f（x）在[0，1]递增，在[1，2]递减，故f（0）=﹣＜0，f（1）=﹣（a﹣1）＞0，f（2）=（2a﹣1）≤0，∴f（x）在[0，1]，（1，2]上各有1个零点，即在[0，2]上2个零点．20．（12分）已知向量=（sin2x，cos2x），=（cos2x，﹣cos2x）．（1）若x∈（，），•+=﹣，求cos4x；（2）设△ABC的三边a，b，c满足b2=ac，且边b2=ac，且边b所对应的角为x，若关于x的方程•+=m有且仅有一个实数根，求m的值．【解答】解：（Ⅰ）∵，∴==又∵，∴；由于，可得，∴，由此可得：==；（Ⅱ）∵b2=ac，∴由余弦定理可得：，∵B是三角形的内角，∴，即由（I）可得=，∵由，可得，∴，当x∈（0，]时，y=为单调增函数；当x∈（，]时，y=为单调减函数．当时，y==1；当时，y==﹣，此时只有一个x与y=对应，即直线y=m和有一个公共点．∴若关于x的方程有且仅有一个实数根，实数m的值为1或﹣．21．（12分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，平面PAD⊥平面ABCD，AB∥DC，△PAD是等边三角形，已知BD=2AD=8，AB=2DC=4．（Ⅰ）设M是PC上的一点，证明：平面MBD⊥平面PAD；（Ⅱ）求四棱锥P﹣ABCD的体积．【解答】解：（Ⅰ）证明：在△ABD中，由于AD=4，BD=8，，所以AD2+BD2=AB2．故AD⊥BD．又平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD=AD，BD⊂平面ABCD，所以BD⊥平面PAD，又BD⊂平面MBD，故平面MBD⊥平面PAD．（Ⅱ）解：过P作PO⊥AD交AD于O，由于平面PAD⊥平面ABCD，所以PO⊥平面ABCD．因此PO为四棱锥P﹣ABCD的高，又△PAD是边长为4的等边三角形．因此．在底面四边形ABCD中，AB∥DC，AB=2DC，所以四边形ABCD是梯形，在Rt△ADB中，斜边AB边上的高为，此即为梯形ABCD的高，所以四边形ABCD的面积为．故．22．（12分）已知函数f（x）=x2﹣（a+2）x+alnx，其中a∈R．（Ⅰ）若曲线y=f（x）在点（2，f（2））处的切线的斜率为1，求a的值；（Ⅱ）求函数f（x）的单调区间．【解答】解：（Ⅰ）由f（x）=x2﹣（a+2）x+alnx，可知，函数定义域为{x|x＞0}，且f′（x）=2x﹣（a+2）+．由题意，f′（2）=4﹣（a+2）+=1，解得a=2．（Ⅱ）f′（x）=2x﹣（a+2）+=（x＞0）．令f′（x）=0，得x1=1，x2=．（1）当a≤0时，≤0，令f′（x）＞0，得x＞1；令f′（x）＜0，得0＜x＜1．则函数f（x）的单调递减区间为（0，1），单调递增区间为（1，+∞）．（2）当0＜＜1，即0＜a＜2时，令f′（x）＞0，得0＜x＜或x＞1．则函数f（x）的单调递增区间为（0，），（1，+∞）．令f′（x）＜0，得＜x＜1．则函数f（x）的单调递减区间为（，1）．（3）当=1，即a=2时，f′（x）≥0恒成立，则函数f（x）的单调递增区间为（0，+∞）．（4）当＞1，即a＞2时，令f′（x）＞0，得0＜x＜1或x＞，则函数f（x）的单调递增区间为（0，1），（，+∞）．令f′（x ）＜0，得1＜x ＜．则函数f （x ）的单调递减区间为（1，）．赠送—高中数学知识点二次函数（1）一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠根的分布一元二次方程根的分布是二次函数中的重要内容，这部分知识在初中代数中虽有所涉及，但尚不够系统和完整，且解决的方法偏重于二次方程根的判别式和根与系数关系定理（韦达定理）的运用，下面结合二次函数图象的性质，系统地来分析一元二次方程实根的分布．设一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠的两实根为12,x x ，且12x x ≤．令2()f x ax bx c =++，从以下四个方面来分析此类问题：①开口方向：a ②对称轴位置：2bx a=-③判别式：∆ ④端点函数值符号． ①k ＜x 1≤x 2 ⇔xy1x 2x 0>a O∙ab x 2-=0)(>k f k x y1x 2x O∙ab x 2-=k<a 0)(<k f②x 1≤x 2＜k ⇔xy1x 2x 0>a O∙ab x 2-=k 0)(>k f xy1x 2x O∙ab x 2-=k<a 0)(<k f③x 1＜k ＜x 2 ⇔ af (k )＜0④k 1＜x 1≤x 2＜k 2 ⇔xy1x 2x 0>a O ∙∙1k2k 0)(1>k f 0)(2>k f ab x 2-=xy1x 2x O∙<a 1k ∙2k 0)(1<k f 0)(2<k f ab x 2-=⑤有且仅有一个根x 1（或x 2）满足k 1＜x 1（或x 2）＜k 2 ⇔ f (k 1)f (k 2)<0，并同时考虑f (k 1)=0或f (k 2)=0这两种情况是否也符合xy1x 2x 0>a O ∙∙1k2k 0)(1>k f 0)(2<k fxy1x 2x O∙<a 1k∙2k 0)(1>k f 0)(2<k f⑥k 1＜x 1＜k 2≤p 1＜x 2＜p 2 ⇔ 此结论可直接由⑤推出．（5）二次函数2()(0)f x ax bx c a =++≠在闭区间[,]p q 上的最值 设()f x 在区间[,]p q 上的最大值为M ，最小值为m ，令01()2x p q =+． （Ⅰ）当0a >时（开口向上） ①若2b p a -<，则()m f p = ②若2b p q a ≤-≤，则()2b m f a =- ③若2b q a->，则()m f q =①若02b x a -≤，则()M f q = ②02b x a->，则()M f p =(Ⅱ)当0a <时(开口向下) ①若2b p a -<，则()M f p = ②若2b p q a ≤-≤，则()2b M f a =- ③若2b q a->，则()M f q =①若02b x a -≤，则()m f q = ②02b x a->，则()m f p =．x>O-=f (p) f (q)()2b f a-0x x>O -=f(p) f(q)()2b f a-0x x<O-=f (p) f (q) ()2bf a-x<O-=f (p)f(q)()2b f a-x<O-=f (p)f(q)()2bf a-x x<O-=f (p)f (q)()2b f a-x<O-=f (p)f (q)()2b f a-x第21页（共21页）。
2016-2017年河南省南阳市高二(上)期中数学试卷和答案(理科)
2016-2017学年河南省南阳市高二（上）期中数学试卷（理科）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）已知全集U={x|x2＞1}，集合A={x|x2﹣4x+3＜0}，则∁U A=（）A．（1，3） B．（﹣∞，1）∪[3，+∞） C．（﹣∞，﹣1）∪[3，+∞）D．（﹣∞，﹣1）∪（3，+∞）2．（5分）已知在△ABC中，角A，B，C的对边是a，b，c，若A：B：C=1：2：3，则a：b：c=（）A．1：2：3 B． C．D．3．（5分）设x＞1，则x+的最小值是（）A．4 B．5 C．6 D．74．（5分）等差数列{a n}的前n项和为S n，若a2+a4+a6=15，则S7的值是（）A．28 B．35 C．42 D．75．（5分）已知数列{a n}为等比数列，其前n项和S n=3n﹣1+t，则t的值为（）A．﹣1 B．﹣3 C．D．16．（5分）在△ABC中，根据下列条件解三角形，则其中有两个解的是（）A．b=10，A=45°，B=60°B．a=60，c=48，B=120°C．a=7，b=5，A=75°D．a=14，b=16，A=45°7．（5分）裴波那契数列的通项公式为a n=[（）n﹣（）n]，又称为“比内公式”，是用无理数表示有理数的一个范例，由此，a5=（）A．3 B．5 C．8 D．138．（5分）已知在正项等比数列{a n}中，a1=1，a2a4=16，则|a1﹣12|+|a2﹣12|+…+|a8﹣12|=（）A．224 B．225 C．226 D．2569．（5分）不等式＞1的解集为（﹣∞，﹣1）∪（3，+∞），则不等式x2+ax ﹣2b＜0的解集为（）A．（﹣3，﹣2）B．C．（﹣∞，﹣3）∪（﹣2，+∞）D．10．（5分）在△ABC中，若=，则△ABC的形状是（）A．锐角三角形B．直角三角形C．等腰三角形D．等腰或直角三角形11．（5分）某单位安排甲、乙、丙三人在某月1日至12日值班，每人4天．甲说：我在1日和3日都有值班；乙说：我在8日和9日都有值班；丙说：我们三人各自值班的日期之和相等．据此可判断丙必定值班的日期是（）A．2日和5日B．5日和6日C．6日和11日 D．2日和11日12．（5分）已知方程x2+ax+b=0的一根在（0，1）上，另一根在（1，2）上，则的取值范围是（）A．（2，+∞）B．C． D．二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．（5分）设数列{a n}的前n项积为T n，且T n=2﹣2a n（n∈N*），则a2016=．14．（5分）在约束条件下，目标函数z=|x﹣y+4|的最大值为．15．（5分）有两个斜边长相等的直角三角板，其中一个为等腰直角三角形，另一个边长为3，4，5，将它们拼成一个平面四边形，则不是斜边的那条对角线长是．16．（5分）若﹣1＜a＜0，则不等式﹣的最大值为．三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．（10分）已知不等式mx2+2mx﹣8≥0有解，求m的取值范围．18．（12分）已知数列{a n}满足：a n≠0，a1=，a n﹣a n+1=2a n•a n+1．（n∈N*）．（1）求证：{}是等差数列，并求出a n；（2）证明：a1a2+a2a3+…+a n a n+1＜．19．（12分）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，A=60°，a=3．（1）若b=2，求cosB；（2）求△ABC的面积的最大值．20．（12分）已知数列{a n}的前n项和为S n，且a n是S n与2的等差中项，数列{b n}中，b1=1，点P（b n，b n+1）在直线x﹣y+2=0上．（1）求a1和a2的值；（2）求数列{a n}，{b n}的通项a n和b n；（3）设c n=a n•b n，求数列{c n}的前n项和T n．21．（12分）小张打算在2001年初向建行贷款50万元先购房，银行贷款的年利率为4%，按复利计算，要求从贷款开始到2010年要分10年还清，每年年底等额归还且每年1次，每年至少要还多少钱呢（保留两位小数）？（提示：（1+4%）10≈1.48）22．（12分）△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且cosC=．（1）求角B的大小；（2）若BD为AC边上的中线，cosA=，BD=，求△ABC的面积．2016-2017学年河南省南阳市高二（上）期中数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）已知全集U={x|x2＞1}，集合A={x|x2﹣4x+3＜0}，则∁U A=（）A．（1，3） B．（﹣∞，1）∪[3，+∞） C．（﹣∞，﹣1）∪[3，+∞）D．（﹣∞，﹣1）∪（3，+∞）【解答】解：U={x|x2＞1}={x|x＞1或x＜﹣1}，集合A={x|x2﹣4x+3＜0}={x|1＜x＜3}，∁U A={x|x≥3或x＜﹣1}，故选：C．2．（5分）已知在△ABC中，角A，B，C的对边是a，b，c，若A：B：C=1：2：3，则a：b：c=（）A．1：2：3 B． C．D．【解答】解：由题意：∵角A，B，C是△ABC的内角，∴B+A+C=π∵A：B：C=1：2：3，∴A=30°，B=60°，C=90°根据正弦定理：sinA：sinB：sinC=a：b：c∴a：b：c=1：：2故选：C．3．（5分）设x＞1，则x+的最小值是（）A．4 B．5 C．6 D．7【解答】解：∵x＞1，∴+1=5．当且仅当x=3时取等号．故选：B．4．（5分）等差数列{a n}的前n项和为S n，若a2+a4+a6=15，则S7的值是（）A．28 B．35 C．42 D．7【解答】解：由等差数列{a n}的性质，a2+a4+a6=15=3a4，解得a4=5．则S7==7a4=35．故选：B．5．（5分）已知数列{a n}为等比数列，其前n项和S n=3n﹣1+t，则t的值为（）A．﹣1 B．﹣3 C．D．1【解答】解：∵等比数列{a n}的前n项和S n=3n﹣1+t，∴n=1时，a1=S1=1+t；n≥2时，a n=S n﹣S n﹣1=3n﹣1+t﹣（3n﹣2+t）=2×3n﹣2，n=1时上式成立，∴1+t=2×3﹣1，解得t=﹣．故选：C．6．（5分）在△ABC中，根据下列条件解三角形，则其中有两个解的是（）A．b=10，A=45°，B=60°B．a=60，c=48，B=120°C．a=7，b=5，A=75°D．a=14，b=16，A=45°【解答】解：若b=10，A=45°，B=60°，则由正弦定理可得=，求得a=，故△ABC有一解；若a=60，c=48，B=120°，则由余弦定理可得b2=a2+c2﹣2ac•cosB=8784，求得b 只有一解，故△ABC有一解；若a=7，b=5，A=75°，则由正弦定理可得=，求得sinB=，再根据b＜a，可得B为锐角，故角B只有一个，故△ABC有一解；若a=14，b=16，A=45°，则由正弦定理可得=，求得sinB=，再根据b＞a，可得B＞A，∴B可能是锐角也可能是钝角，即角B有2个值，故△ABC有两解，故选：D．7．（5分）裴波那契数列的通项公式为a n=[（）n﹣（）n]，又称为“比内公式”，是用无理数表示有理数的一个范例，由此，a5=（）A．3 B．5 C．8 D．13【解答】解：∵a n=[（）n﹣（）n]，∴a1===1，同理可得：a2=1，a3=2，a4=3，a5=5．故选：B．8．（5分）已知在正项等比数列{a n}中，a1=1，a2a4=16，则|a1﹣12|+|a2﹣12|+…+|a8﹣12|=（）A．224 B．225 C．226 D．256【解答】解：设正项等比数列{a n}的公比为q＞0，∵a1=1，a2a4=16，∴q4=16，解得q=2．∴=2n﹣1，由2n﹣1≤12，解得n≤4．∴|a1﹣12|+|a2﹣12|+…+|a8﹣12|=12﹣a1+12﹣a2+12﹣a3+12﹣a4+a5﹣12+…+a8﹣12=﹣2（a1+a2+a3+a4）+（a1+a2+…+a8）=﹣+=﹣2（24﹣1）+28﹣1=225．故选：B．9．（5分）不等式＞1的解集为（﹣∞，﹣1）∪（3，+∞），则不等式x2+ax ﹣2b＜0的解集为（）A．（﹣3，﹣2）B．C．（﹣∞，﹣3）∪（﹣2，+∞）D．【解答】解：由题意：不等式＞1转化为[x（a﹣1）﹣b+1]（x+b）＞0的解集为（﹣∞，﹣1）∪（3，+∞），可知a＞1由方程（ax﹣x﹣b+1）（x+b）=0可知其解：x1=﹣1，x2=3，可得：或，解得：或，∵a＞1，∴a=5，b=﹣3，那么：不等式x2+ax﹣2b＜0转化为：x2+5x+6＜0，解得：﹣3＜x＜﹣2，所以不等式x2+ax﹣2b＜0的解集为{x|﹣3＜x＜﹣2}．故选：A．10．（5分）在△ABC中，若=，则△ABC的形状是（）A．锐角三角形B．直角三角形C．等腰三角形D．等腰或直角三角形【解答】解：∵=，∴可得：（a2+b2）sin（A﹣B）=（a2﹣b2）sin C，∵2Rsin（A﹣B）=2R（sinAcosB﹣cosAsinB）=2RsinAcosB﹣2RsinBcosA=a•﹣b•=，∴已知等式变形得：（a2+b2）•=（a2﹣b2）•，∴a2=b2或a2+b2=c2，则△ABC是等腰三角形或直角三角形．故选：D．11．（5分）某单位安排甲、乙、丙三人在某月1日至12日值班，每人4天．甲说：我在1日和3日都有值班；乙说：我在8日和9日都有值班；丙说：我们三人各自值班的日期之和相等．据此可判断丙必定值班的日期是（）A．2日和5日B．5日和6日C．6日和11日 D．2日和11日【解答】解：由题意，1至12的和为78，因为三人各自值班的日期之和相等，所以三人各自值班的日期之和为26，根据甲说：我在1日和3日都有值班；乙说：我在8日和9日都有值班，可得甲在1、3、10、12日值班，乙在8、9、2、7或8、9、4、5，据此可判断丙必定值班的日期是6日和11日，故选：C．12．（5分）已知方程x2+ax+b=0的一根在（0，1）上，另一根在（1，2）上，则的取值范围是（）A．（2，+∞）B．C． D．【解答】解：令f（x）=x2+ax+b，∵方程x2+ax+b=0的一根在（0，1）上，另一根在（1，2）上，∴，即，由约束条件画出可行域，如右图中的△ABC内的区域，B（﹣2，0），C（﹣1，0），联立，解得A（﹣3，2），∵的几何意义为：可行域内的动点与定点P（3，2）连线的斜率，且k AP=0，=，∴的取值范围为（0，），故选：D．二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．（5分）设数列{a n}的前n项积为T n，且T n=2﹣2a n（n∈N*），则a2016=．【解答】解：：∵数列{a n}的前n项积为T n，且T n=2﹣2a n，∴当n=1时，a1=2﹣2a1，解得a1=，=2﹣2a n﹣1，当n≥2时，T n﹣1∴a n==，化为a n=，取n=2，3，可得a2=，a3=，…，猜想a n=．经过验证成立．∴a n=，∴a2016=，故答案为：．14．（5分）在约束条件下，目标函数z=|x﹣y+4|的最大值为5．【解答】解：画出满足条件的平面区域，如图示：，由z=|x﹣y+4|，得：y=x+4±z，结合图象：若4±z=2，则，|z|=2，若4±z=﹣1，则|z|=5，故答案为：5．15．（5分）有两个斜边长相等的直角三角板，其中一个为等腰直角三角形，另一个边长为3，4，5，将它们拼成一个平面四边形，则不是斜边的那条对角线长是．【解答】解：如图所示，AC⊥BC，BD⊥DA．DB=4，AB=5，AD=3，AC=BC=．设∠DAB=α，cosα=，sinα=．cos=cosαcos﹣sinαsin=﹣．∴在△ACD中，CD2=+32﹣2××=．∴CD=．故答案为：．16．（5分）若﹣1＜a＜0，则不等式﹣的最大值为﹣3﹣2．【解答】解：设f（a）=﹣，∴f′（a）=﹣+=，∵﹣1＜a＜0，令f′（a）=0，解得a=﹣2+，当f′（a）＞0，即（﹣2+，0）单调递减，当f′（a）＜0，即（﹣1，﹣2+）单调递增，当a=﹣2+函数f（a）有最大值，即f（﹣2+）=，故答案为：﹣3﹣2三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．（10分）已知不等式mx2+2mx﹣8≥0有解，求m的取值范围．【解答】解：（1）当m=0时，原不等式化为﹣8≥0，解集为空集，故不满足题意；…（2分）（2）当m＞0时，一元二次不等式对应二次函数开口向上，显然满足题意；…（5分）（3）当m＜0时，由题意，得：△≥0，即（2m）2﹣4×（﹣8）≥0，又m2+8＞0，所以取m＜0；…（.9分）综上，当m∈R且m≠0时，不等式mx2+2mx﹣8≥0有解…（10分）18．（12分）已知数列{a n}满足：a n≠0，a1=，a n﹣a n+1=2a n•a n+1．（n∈N*）．（1）求证：{}是等差数列，并求出a n；（2）证明：a1a2+a2a3+…+a n a n+1＜．【解答】证明：（1）a1=，a n﹣a n+1=2a n•a n+1．可得﹣=2，则{}是首项为3，公差为2的等差数列，=+2（n﹣1）=3+2（n﹣1）=2n+1，即有a n=；（2）证明：a1a2+a2a3+…+a n a n+1=++…+=（﹣+﹣+…+﹣）=（﹣）=﹣•＜．19．（12分）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，A=60°，a=3．（1）若b=2，求cosB；（2）求△ABC的面积的最大值．【解答】（本题满分为12分）解：（1）∵，∴=，可得，…（3分）又∵a＞b，∴A＞B，可得B为锐角，∴．…（6分）（2），∵，∴bc=b2+c2﹣9≥2bc﹣9，…（9分）∴得bc≤9，当且仅当b=c时等号成立，∴故S△ABC=bcsinA≤9×=，即△ABC的面积的最大值为．…（12分）20．（12分）已知数列{a n}的前n项和为S n，且a n是S n与2的等差中项，数列{b n}中，b1=1，点P（b n，b n+1）在直线x﹣y+2=0上．（1）求a1和a2的值；（2）求数列{a n}，{b n}的通项a n和b n；（3）设c n=a n•b n，求数列{c n}的前n项和T n．【解答】解：（1）∵a n是S n与2的等差中项∴S n=2a n﹣2∴a1=S1=2a1﹣2，解得a1=2a1+a2=S2=2a2﹣2，解得a2=4（2）∵S n=2a n﹣2，S n﹣1=2a n﹣1﹣2，又S n﹣S n﹣1=a n，n≥2∴a n=2a n﹣2a n﹣1，∵a n≠0，∴=2（n≥2），即数列{a n}是等比数列，∵a1=2，∴a n=2n∵点P（b n，b n+1）在直线x﹣y+2=0上，∴b n﹣b n+1+2=0，∴b n+1﹣b n=2，即数列{b n}是等差数列，又b1=1，∴b n=2n﹣1，（3）∵c n=（2n﹣1）2n∴T n=a1b1+a2b2+…+a n b n=1×2+3×22+5×23+…+（2n﹣1）2n，∴2T n=1×22+3×23+…+（2n﹣3）2n+（2n﹣1）2n+1因此：﹣T n=1×2+（2×22+2×23+…+2×2n）﹣（2n﹣1）2n+1，即：﹣T n=1×2+（23+24+…+2n+1）﹣（2n﹣1）2n+1，∴T n=（2n﹣3）2n+1+621．（12分）小张打算在2001年初向建行贷款50万元先购房，银行贷款的年利率为4%，按复利计算，要求从贷款开始到2010年要分10年还清，每年年底等额归还且每年1次，每年至少要还多少钱呢（保留两位小数）？（提示：（1+4%）10≈1.48）【解答】解：50万元10年产生本息和与每年存入x万元的本息和相等，故有购房款50万元十年的本息和：50（1+4%）10…4 分每年存入x万元的本息和：x•（1+4%）9+x•（1+4%）8+…+x…（8分）=•x…（10分）从而有50（1+4%）10=•x解得：x≈6.17（万元）…12分22．（12分）△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且cosC=．（1）求角B的大小；（2）若BD为AC边上的中线，cosA=，BD=，求△ABC的面积．【解答】解：（1）2bcosC+c=2a，由正弦定理，得2sinBcosC+sinC=2sinA．∵A+B+C=π，∴sinA=sin（B+C）=sinBcosC+cosBsinC，∴2sinBcosC+sinC=2（sinBcosC+cosBsinC），∴sinC=2cosBsinC，∵0＜C＜π，∴sinC≠0，∴．又∵0＜B＜π，∴B=．（2）在△ABD中，由余弦定理得=c2+﹣2c×cosA，∴=c2+﹣bc，①，在△ABC中，由正弦定理得=，由已知得sinA=．∴sinC=sin（A+B）=sinAcosB+cosAsinB=，∴c=b…②，由①，②解得b=7，c=5，=bcsinA=10．∴S△ABC。
[高中数学试题]2016-2017学年高二上学期期中考试数学(理)试题
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2016-2017年秋季学期2018届期中考试卷高 二 数 学（理科）一、选择题（每小题5分，共60分。
每小题只有一个．．．．选项符合题意） 1．已知集合{}2|log ,M x y x ==，1|,1,2xN y y x ⎧⎫⎪⎪⎛⎫==>⎨⎬ ⎪⎝⎭⎪⎪⎩⎭则M N = （ ）A ．10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭ B. ()0,1 C. 1,12⎛⎫⎪⎝⎭D. ∅ 2．定义在R 上的偶函数()f x 在(0,)+∞上单调递减，则（ ）A . (1)(2)(3)f f f <-<B .(3)(2)(1)f f f <-<C . (2)(1)(3)f f f -<<D .(3)(1)(2)f f f <<-3.现要完成下列3项抽样调查：①从10盒酸奶中抽取3盒进行食品卫生检查。
②科技报告厅有32排，每排有40个座位，有一次报告会恰好坐满了听众，报告会结束后，为了听取意见，需要请32名听众进行座谈．③东方中学共有160名教职工，其中一般教师120名，行政人员16名，后勤人员24名．为了了解教职工对学校在校务公开方面的意见，拟抽取一个容量为20的样本．较为合理的抽样方法是( ) A ．①简单随机抽样，②系统抽样，③分层抽样 B ．①简单随机抽样，②分层抽样，③系统抽样C ．①系统抽样，②简单随机抽样，③分层抽样D ．①分层抽样，②系统抽样，③简单随机抽样4．已知,m n 是两条不同的直线，,,αβγ是三个不同平面，下列说法正确的是（ ）A .//,////m n m n αα若，则B .//αγβγαβ⊥⊥若，，则C .//,////m m αβαβ若，则D .//m n m n αα⊥⊥若，，则5．过点P (-2,2)且垂直于直线210x y -+=的直线方程为（ ）A .220x y ++=B .250x y +-=C .220x y +-=D .270x y -+=6.某篮球队甲、乙两名运动员练习罚球，每人练习10组，每组罚球40个．命中个数的茎叶图如下图，则下面结论中错误的一个是( )A ．甲的极差是29B ．乙的众数是21C ．甲罚球命中率比乙高D ．甲的中位数是247.某校从参加高二年级学业水平测试的学生中抽出80名学生，其数学成绩(均为整数)的频率分布直方图如图，估计这次测试中数学成绩的平均分、众数、中位数分别是（ ）A ．73.3, 75， 72B ．72 ， 75， 73.3C ．75 ， 72， 73.3D ．75 ， 73.3， 72 8.右下程序语句输出的结果S 为( ) A ．17 B ．19 C ．21 D ．23i ＝1WHILE i<8 S ＝2*i ＋3i ＝i ＋2WEND PRINT S END 第8题第9题第10题9．已知三棱锥A BCD -的各个棱长都相等，,E F 分别是棱,AB CD 的中点，则EF BC 与所成的角是（ ） A .90o B .60oC .45oD .30o10. 一空间几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为 （ ）A.223π+B. 423π+C. 2323π+D. 2343π+ 11．在四面体P ABC -中，,,PA PB PC 两两垂直，设PA PB PC a ===，则点P 到平面ABC 的距离为（ ） A23a B 33a C 63a D 53a12．若12,e e 是夹角为060的单位向量，122a e e =+ ，1232b e e =-+ ，则,a b 的夹角为（ ） A. 0120 B. 030 C. 060 D. 01502222 2二、填空题（每小题5分，共20分）13. 将八进制数)8(135转化为二进制数是 14．已知1sin cos 5αα-=，()0,απ∈，则sin 24πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭_________。
2016-2017年河南省洛阳市高二(上)期末数学试卷(理科)及答案
2016-2017学年河南省洛阳市高二（上）期末数学试卷（理科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每个小题给出的四个选项中，有且只有一项符合题目要求.1．（5分）若集合A={x|x2﹣x﹣2＜0}，且A∪B=A，则集合B可能是（）A．{0，1}B．{x|x＜2}C．{x|﹣2＜x＜1}D．R2．（5分）如果a＜b＜0，则下列不等式成立的是（）A．B．ac2＜bc2C．a2＜b2D．a3＜b33．（5分）命题“∃x0∈R，x02﹣x0＞0”的否定是（）A．∀x∈R，x2﹣x＞0B．C．∀x∈R，x2﹣x≤0D．4．（5分）设等比数列{a n}的前n项和为S n，若a3=4，S3=7，则S6的值为（）A．31B．32C．63或D．645．（5分）抛物线的准线方程是（）A．B．y=1C．D．y=﹣16．（5分）在下列各函数中，最小值等于2的函数是（）A．y=x+B．y=cosx+（0＜x＜）C．y=D．y=7．（5分）“m=5，n=4”是“椭圆的离心率为”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件8．（5分）在四棱锥P﹣ABCD中，底面是边长为2的菱形，∠DAB=60°，对角线AC与BD相交于点O，PO⊥平面ABCD，PB与平面ABCD所成角为45°，若E 是PB的中点，则异面直线DE与PA所成角的余弦值为（）A．B．C．D．9．（5分）已知双曲线E的中心为原点，P（3，0）是E的焦点，过P的直线l 与E相交于A，B两点，且AB的中点为N（﹣12，﹣15），则E的方程式为（）A．B．C．D．10．（5分）在△ABC中，a，b，c分别是A，B，C的对边，，且1+2cos（B+C）=0，则BC边上的高等于（）A．B．C．D．11．（5分）设数列{a n}的通项公式，其前n项和为S n，则S2016=（）A．2016B．1680C．1344D．100812．（5分）过抛物线y2=2px（p＞0）的焦点F作两条相互垂直的射线，分别与抛物线相交于点M，N，过弦MN的中点P作抛物线准线的垂线PQ，垂足为Q，则的最大值为（）A．1B．C．D．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13．（5分）已知命题“若{a n}是常数列，则{a n}是等差数列”，在其逆命题、否命题和逆否命题中，假命题的个数是．14．（5分）若实数x，y满足不等式，则的取值范围为．15．（5分）在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AD=AA1=1，AB=2，若E为AB的中点，则点E到面ACD1的距离是．16．（5分）设F1，F2分别是双曲线的左、右焦点，A 为双曲线的左顶点，以线段F1，F2为直径的圆O与双曲线的一个交点为P，与y轴交于B，D两点，且与双曲线的一条渐近线交于M，N两点，则下列命题正确的是．（写出所有正确的命题编号）①线段BD是双曲线的虚轴；②△PF1F2的面积为b2；③若∠MAN=120°，则双曲线C的离心率为；④△PF1F2的内切圆的圆心到y轴的距离为a．三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明或推理、验算过程.17．（10分）设命题p：“∀x∈R，x2+2x＞m”；命题q：“∃x0∈R，使”．如果命题p∨q为真，命题p∧q为假，求实数m的取值范围．18．（12分）已知点F为抛物线y2=2px（p＞0）的焦点，点M（2，m）在抛物线E上，且|MF|=3．（1）求抛物线E的方程；（2）过x轴正半轴上一点N（a，0）的直线与抛物线E交于A，B两点，若OA ⊥OB，求a的值．19．（12分）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且2csinC=（2b+a）sinB+（2a﹣3b）sinA．（1）求角C的大小；（2）若c=4，求a+b的取值范围．20．（12分）各项均为正数的数列{a n}中，a1=1，S n是数列{a n}的前n项和，对任意．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）记，求数列{b n}的前n项和T n．21．（12分）如图，在四棱锥S﹣ABCD中，平面ABCD⊥平面SAB，侧面SAB为等边三角形，底面ABCD为直角梯形，AB∥CD，AB⊥BC，AB=12，CD=BC=6．（1）求证：AB⊥DS；（2）求平面SAD与平面SBC所成锐二面角的余弦值．22．（12分）已知P（0，﹣1）是椭圆C的下顶点，F是椭圆C的右焦点，直线PF与椭圆C的另一个交点为Q，满足．（1）求椭圆C的标准方程；（2）如图，过左顶点A作斜率为k（k＞0）的直线l交椭圆C于点D，交y轴于点B．已知M为AD的中点，是否存在定点N，使得对于任意的k（k＞0）都有OM⊥BN，若存在，求出点N的坐标，若不存在，说明理由．2016-2017学年河南省洛阳市高二（上）期末数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每个小题给出的四个选项中，有且只有一项符合题目要求.1．（5分）若集合A={x|x2﹣x﹣2＜0}，且A∪B=A，则集合B可能是（）A．{0，1}B．{x|x＜2}C．{x|﹣2＜x＜1}D．R【分析】化简集合A，根据集合的基本运算A∪B=A，即可求B．【解答】解：集合A={x|x2﹣x﹣2＜0}={x|﹣1＜x＜2}，∵A∪B=A，∴B⊆A．考查各选项，{0，1}⊆A．故选：A．2．（5分）如果a＜b＜0，则下列不等式成立的是（）A．B．ac2＜bc2C．a2＜b2D．a3＜b3【分析】根据a、b的范围，取特殊值带入判断即可．【解答】解：∵a＜b＜0，不妨令a=﹣2，b=﹣1，显然A、B、C不成立，D成立，故选：D．3．（5分）命题“∃x0∈R，x02﹣x0＞0”的否定是（）A．∀x∈R，x2﹣x＞0B．C．∀x∈R，x2﹣x≤0D．【分析】利用特称命题的否定是全称命题，写出结果即可．【解答】解：因为特称命题的否定是全称命题，所以，命题“∃x0∈R，x02﹣x0＞0”的否定是∀x∈R，x2﹣x≤0．故选：C．4．（5分）设等比数列{a n}的前n项和为S n，若a3=4，S3=7，则S6的值为（）A．31B．32C．63或D．64【分析】设等比数列{a n}的公比为q，由a3=4，S3=7，可得=4，=7，解得a1，q．再利用等比数列的求和公式即可得出．【解答】解：设等比数列{a n}的公比为q，∵a3=4，S3=7，∴=4，=7，解得a1=1，q=2，或q=，a1=9．当a1=1，q=2时，则S6==63．当q=，a1=9时，S6==．∴S6=63或，故选：C．5．（5分）抛物线的准线方程是（）A．B．y=1C．D．y=﹣1【分析】由抛物线x2=4y的焦点在y轴上，开口向下，且2p=4，即可得到抛物线的焦点坐标．【解答】解：抛物线，即抛物线x2=﹣4y的焦点在y轴上，开口向下，且2p=4，∴=1∴抛物线的准线方程是y=1，故选：B．6．（5分）在下列各函数中，最小值等于2的函数是（）A．y=x+B．y=cosx+（0＜x＜）C．y=D．y=【分析】通过取x＜0时，A显然不满足条件．对于B：y=cosx+≥2，当cosx=1时取等号，但0＜x＜，故cosx≠1，B 显然不满足条件．对于C：不能保证=，故错；对于D：．∵e x＞0，∴e x+﹣2≥2 ﹣2=2，从而得出正确选项．【解答】解：对于选项A：当x＜0时，A显然不满足条件．选项B：y=cosx+≥2，当cosx=1时取等号，但0＜x＜，故cosx≠1，B 显然不满足条件．对于C：不能保证=，故错；对于D：．∵e x＞0，∴e x+﹣2≥2 ﹣2=2，故只有D 满足条件，故选：D．7．（5分）“m=5，n=4”是“椭圆的离心率为”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【分析】根据椭圆离心率的定义结合充分条件和必要条件的定义进行判断即可．【解答】解：若m=5，n=4，则椭圆方程为+=1，则a=5，b=4，c=3，则题意的离心率e=，即充分性成立，反之在中，无法确定a，b的值，则无法求出m，n的值，即必要性不成立，即“m=5，n=4”是“椭圆的离心率为”的充分不必要条件，故选：A．8．（5分）在四棱锥P﹣ABCD中，底面是边长为2的菱形，∠DAB=60°，对角线AC与BD相交于点O，PO⊥平面ABCD，PB与平面ABCD所成角为45°，若E 是PB的中点，则异面直线DE与PA所成角的余弦值为（）A．B．C．D．【分析】取AB的中点F，连接EF，DF，则EF∥PA．从而∠DEF为异面直线DE 与PA所成角（或补角）．由此能求出异面直线DE与PA所成角的余弦值．【解答】解：取AB的中点F，连接EF，DF，∵E为PB中点，∴EF∥PA．∴∠DEF为异面直线DE与PA所成角（或补角）．又∵∠PBO=45°，BO=1，∴PO=1，PB=在Rt△AOB中，AO=AB•cos30°=，OP=1，∴在Rt△POA中，PA=2，∴EF=1．∵四边形ABCD为菱形，且∠DAB=60°，∴△ABD为正三角形．∴DF=，∵PB=PD=，BD=2，∴△PBD为等腰直角三角形，∴DE==，∴cos∠DEF==．即异面直线DE与PA所成角的余弦值为．故选：B．9．（5分）已知双曲线E的中心为原点，P（3，0）是E的焦点，过P的直线l与E相交于A，B两点，且AB的中点为N（﹣12，﹣15），则E的方程式为（）A．B．C．D．【分析】已知条件易得直线l的斜率为1，设双曲线方程，及A，B点坐标代入方程联立相减得x1+x2=﹣24，根据=，可求得a和b的关系，再根据c=3，求得a和b，进而可得答案．【解答】解：由已知条件易得直线l的斜率为k=k PN=1，设双曲线方程为，A（x1，y1），B（x2，y2），则有，两式相减并结合x1+x2=﹣24，y1+y2=﹣30得=，从而k==1即4b2=5a2，又a2+b2=9，解得a2=4，b2=5，故选：B．10．（5分）在△ABC中，a，b，c分别是A，B，C的对边，，且1+2cos（B+C）=0，则BC边上的高等于（）A．B．C．D．【分析】由1+2cos（B+C）=0可得B+C=120°，A=60°，由余弦定理求得c值，利用△ABC的面积公式，可求BC边上的高．【解答】解：：△ABC中，由1+2cos（B+C）=0可得cos（B+C）=﹣，∴B+C=120°，∴A=60°．∵，由余弦定理可得a2=b2+c2﹣2bc•cosA，即12=8+c2﹣2×2×c×，解得c=+．由△ABC的面积等于bc•sinA=ah，（h为BC边上的高），∴•2•3•=•2•h，h=1+，故选：C．11．（5分）设数列{a n}的通项公式，其前n项和为S n，则S2016=（）A．2016B．1680C．1344D．1008【分析】分别求出a1+a2+a3+a4+a5+a6=﹣1﹣3﹣2++6=3，得到数列的规律，即可求出答案．【解答】解：∵a n=ncos，∴a1=1×cos=1×=，a2=2cos=2×（﹣）=﹣1，a3=3cosπ=﹣3，a4=4cos=4×（﹣）=﹣2，a5=5cos=5×=，a6=6cos2π=6×1=6，∴a1+a2+a3+a4+a5+a6=﹣1﹣3﹣2++6=3，同理可得a7+a8+a9+a10+a11+a12=3，故S2016=×3=1008，故选：D．12．（5分）过抛物线y2=2px（p＞0）的焦点F作两条相互垂直的射线，分别与抛物线相交于点M，N，过弦MN的中点P作抛物线准线的垂线PQ，垂足为Q，则的最大值为（）A．1B．C．D．【分析】设|MF|=a，|NF|=b，由抛物线定义，2|PQ|=a+b．再由勾股定理可得|MN|2=a2+b2，进而根据基本不等式，求得|MN|的范围，即可得到答案．【解答】解：设|MF|=a，|NF|=b．由抛物线定义，结合梯形中位线定理可得2|PQ|=a+b，由勾股定理得，|MN|2=a2+b2配方得，|MN|2=（a+b）2﹣2ab，又ab≤，∴（a+b）2﹣2ab≥（a+b）2﹣2，得到|MN|≥（a+b）．∴≤=，即的最大值为．故选：C．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13．（5分）已知命题“若{a n}是常数列，则{a n}是等差数列”，在其逆命题、否命题和逆否命题中，假命题的个数是2．【分析】根据四种命题真假关系进行判断即可．【解答】解：若{a n}是常数列，则{a n}是等差数列正确，即原命题正确，则逆否命题也正确，命题的否命题为若{a n}是等差数列，则{a n}是常数列为假命题，当公差d≠0时，{a n}不是等差数列，故逆命题为假命题，则否命题为假命题，故假命题的个数为2个，故答案为：214．（5分）若实数x，y满足不等式，则的取值范围为[，] ．【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数斜率的几何意义进行求解即可．【解答】解：作出不等式组对应的平面区域，的几何意义是区域内的点到D（﹣2，1）的斜率，由图象知AD的斜率最大，OD的斜率最小，由得，即A（2，2），则AD的斜率k==，OD的斜率k=，即≤≤，故答案为：[，]．15．（5分）在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AD=AA1=1，AB=2，若E为AB的中点，则点E到面ACD1的距离是．【分析】以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DD1为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出点E到面ACD1的距离．【解答】解：以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DD1为z轴，建立空间直角坐标系，E（1，1，0），A（1，0，0），C（0，2，0），D1（0，0，1），=（﹣1，2，0），=（﹣1，0，1），=（0，1，0），设平面ACD1的法向量=（x，y，z），则，取y=1，得=（2，1，2），∴点E到面ACD1的距离：d==．故答案为：．16．（5分）设F1，F2分别是双曲线的左、右焦点，A为双曲线的左顶点，以线段F1，F2为直径的圆O与双曲线的一个交点为P，与y轴交于B，D两点，且与双曲线的一条渐近线交于M，N两点，则下列命题正确的是②③④．（写出所有正确的命题编号）①线段BD是双曲线的虚轴；②△PF1F2的面积为b2；③若∠MAN=120°，则双曲线C的离心率为；④△PF1F2的内切圆的圆心到y轴的距离为a．【分析】根据双曲线的性质分别进行求解判断即可．【解答】解：①以线段F1，F2为直径的圆O的半径R=c，则B（0，c），D（0，﹣c），则线段BD不是双曲线的虚轴；故①错误，②∵三角形PF1F2是直角三角形，∴PF12+PF22=4c2，又PF1﹣PF2=2a，则平方得PF12+PF22﹣2PF1PF2=4a2，即4c2﹣2PF1PF2=4a2，则PF1PF2=2c2﹣2a2=2b2，则△PF1F2的面积为S=PF1PF2=2b2=b2，故②正确，③由得或，即M（a，b），N（﹣a，﹣b），则AN⊥x轴，若∠MAN=120°，则∠MAx=30°，则tan30°==，平方得=，即=，则双曲线C的离心率e=====；故③正确，④设内切圆与x轴的切点是点H，PF1、PF2分与内切圆的切点分别为M1、N1，由双曲线的定义可得|PF1|﹣|PF2|=2a，由圆的切线长定理知，|PM1|=|PN1|，故|M1F1|﹣|N1F2 |=2a，即|HF1|﹣|HF2|=2a，设内切圆的圆心横坐标为x，则点H的横坐标为x，故（x+c）﹣（c﹣x）=2a，∴x=a．即△PF1F2的内切圆的圆心到y轴的距离为a．故④正确，故答案为：②③④三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明或推理、验算过程.17．（10分）设命题p：“∀x∈R，x2+2x＞m”；命题q：“∃x0∈R，使”．如果命题p∨q为真，命题p∧q为假，求实数m的取值范围．【分析】若“p∨q”为真，“p∧q”为假，则p，q一真一假，进而可得实数m的取值范围．【解答】解：当P真时，∀x∈R，x2+2x＞m，有△=4+4m＜0，解得m＜﹣1．…..（2分）当q真时，∃x0∈R，使，所以△=4m2﹣4（2﹣m）≥0，解得m≤﹣2，或m≥1 …..（4分）又因为“p∨q”为真，“p∧q”为假，所以p，q一真一假，…..（6分）当p真q假时，﹣2＜m＜﹣1…..（8分）当p假q真时，m≥1…..（10分）所以实数m的取值范围是（﹣2，﹣1）∪[1，+∞）．…..（12分）18．（12分）已知点F为抛物线y2=2px（p＞0）的焦点，点M（2，m）在抛物线E上，且|MF|=3．（1）求抛物线E的方程；（2）过x轴正半轴上一点N（a，0）的直线与抛物线E交于A，B两点，若OA⊥OB，求a的值．【分析】（1）利用抛物线的定义，求出p，即可求抛物线E的方程；（2）设直线AB的方程为x=ty+a，与抛物线方程联立，利用x1x2+y1y2=0求解即可．【解答】解：（1）由题意，2+=3，∴p=2，∴抛物线E的方程为y2=4x；（2）设直线AB的方程为x=ty+a．A（x1，y1）、B（x2，y2），联立抛物线方程得y2﹣4ty﹣4a=0，y1+y2=4t，y1•y2=﹣4a∵OA⊥OB，∴x1x2+y1y2=0，∴a2﹣4a=0∵a＞0，∴a=4．19．（12分）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且2csinC=（2b+a）sinB+（2a﹣3b）sinA．（1）求角C的大小；（2）若c=4，求a+b的取值范围．【分析】（1）利用正弦定理化简已知等式可得a2+b2﹣c2=ab，利用余弦定理可求cosC=，结合范围C∈（0，π），可求C的值．（2）由（1）及余弦定理，基本不等式可求16≥（a+b）2﹣，解得a+b ≤8，利用两边之和大于第三边可求a+b＞c=4，即可得解a+b的取值范围．【解答】（本题满分为12分）解：（1）∵2csinC=（2b+a）sinB+（2a﹣3b）sinA．∴2c2=（2b+a）b+（2a﹣3b）a，整理可得：a2+b2﹣c2=ab，…3分∴cosC==，∵C∈（0，π），∴C=…6分（2）由c=4及（1）可得：16=a2+b2﹣ab=（a+b）2﹣3ab≥（a+b）2﹣， (8)分∴解得：a+b≤8，…10分又∵a+b＞c=4，∴a+b∈（4，8]…12分20．（12分）各项均为正数的数列{a n}中，a1=1，S n是数列{a n}的前n项和，对任意．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）记，求数列{b n}的前n项和T n．【分析】（1）由已知条件推导出（a n+a n﹣1）（a n﹣a n﹣1﹣3）=0，从而得到数列{a n}是首项为1，公差为3的等差数列，由此能求出数列{a n}的通项公式．（2）由S n=，b n=n•2n，由此利用错位相减法能求出数列{b n}的前n项和T n．【解答】解：（1）由6S n=a n2+3a n+2①得6S n﹣1=a n﹣12+3a n﹣1+2②①﹣②得（a n+a n﹣1）（a n﹣a n﹣1﹣3）=0，∵各项均为正数的数列{a n}∴a n﹣a n﹣1=3，∴数列{a n}是首项为1，公差为3的等差数列，∴数列{a n}的通项公式是a n=3n﹣2（2）S n=，∴=n•2n，∴T n=1×21+2×22+…+n•2n，③2T n=1×22+2×23+…+n×2n+1，④③﹣④，得﹣T n=21+22+23+…+2n﹣n×2n+1=﹣n×2n+1=（1﹣n）2n+1﹣2，∴T n=（n﹣1）2n+1+2．21．（12分）如图，在四棱锥S﹣ABCD中，平面ABCD⊥平面SAB，侧面SAB为等边三角形，底面ABCD为直角梯形，AB∥CD，AB⊥BC，AB=12，CD=BC=6．（1）求证：AB⊥DS；（2）求平面SAD与平面SBC所成锐二面角的余弦值．【分析】（1）取AB的中点O，连结OD，OS，推导出AB⊥OS，AB⊥OD，由此能证明AB⊥SD．（2）推导出OS⊥平面ABCD，以O为原点，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出平面SAD与平面SBC所成锐二面角的余弦值．【解答】证明：（1）取AB的中点O，连结OD，OS，∵△SAB是正三角形，∴AB⊥OS，∵四边形ABCD是直角梯形，DC=，AB∥CD，∴四边形OBCD是矩形，∴AB⊥OD，又OS∩OD=O，∴AB⊥平面SOD，∴AB⊥SD．解：（2）∵平面ABCD⊥平面SAB，AB⊥OS，平面ABCD∩平面ABE=AB，∴OS⊥平面ABCD，如图，以O为原点，建立空间直角坐标系，则A（0，6，0），B（0，﹣6，0），D（6，0，0），C（6，﹣6，0），S（0，0，6），=（﹣6，0，6），=（6，﹣6，0），设平面SAD的法向量=（x，y，z），则，取z=1，得，同理，得平面SBC的一个法向量=（0，﹣，1），则cosθ==．∴平面SAD与平面SBC所成锐二面角的余弦值为．22．（12分）已知P（0，﹣1）是椭圆C的下顶点，F是椭圆C的右焦点，直线PF与椭圆C的另一个交点为Q，满足．（1）求椭圆C的标准方程；（2）如图，过左顶点A作斜率为k（k＞0）的直线l交椭圆C于点D，交y轴于点B．已知M为AD的中点，是否存在定点N，使得对于任意的k（k＞0）都有OM⊥BN，若存在，求出点N的坐标，若不存在，说明理由．【分析】（1）P（0，﹣1）是椭圆C的下顶点，可设椭圆的标准方程为：+y2=1．右焦点F（c，0）．由，可得Q，代入椭圆C的方程可得：+=1，又b2=a2﹣c2=1，解得a即可得出．（2）直线l的方程为：y=k（x+2），与椭圆方程联立化为：（x+2）[4k2（x+2）+（x﹣2）]=0，可得D（，）．可得AD的中点M，可得k OM．直线l的方程为：y=k（x+2），可得B（0，2k）．假设存在定点N（m，n）（m≠0），使得OM⊥BN，则k OM•k BN=﹣1，化简即可得出．（1）∵P（0，﹣1）是椭圆C的下顶点，可设椭圆的标准方程为：+y2=1．【解答】解：右焦点F（c，0）．由，可得Q，代入椭圆C的方程可得：+=1，∴4c2=3a2，又b2=a2﹣c2=1，解得a=2．∴椭圆C的标准方程为=1．（2）直线l的方程为：y=k（x+2），联立，消去y化为：（x+2）[4k2（x+2）+（x﹣2）]=0，∴x1=﹣2，x2=．由x D=，可得y D=k（x D+2）=．∴D（，）．由点M为AD的中点，可得M，可得k OM=﹣．直线l的方程为：y=k（x+2），令x=0，解得y=2k，可得B（0，2k）．假设存在定点N（m，n）（m≠0），使得OM⊥BN，则k OM•k BN=﹣1，∴=﹣1，化为（4m+2）k﹣n=0恒成立，由，解得，因此存在定点N．使得对于任意的k（k＞0）都有OM⊥BN．。
2016-2017学年高二上学期数学期中试题
2016-2017学年高二上学期数学期中试题kj.co大庆中学 2016— 2017 学年上学期期中考试高二数学试题考试时间： 120 分钟分数： 150 分一、选择题：本大题共12 小题，单项选择，每题 5 分，共 60分.1.已知 a＝（ 2，1），b＝（ 3，λ），若 a⊥b，则λ的值为（）A ． 2B．－2c．8D．－82.从装有 2 个红球和 2 个黒球的口袋内任取 2 个球，那么互斥而不对峙的两个事件是（）A ．起码一个红球与都是黒球 B．起码一个黒球与都是黒球c ．起码一个黒球与起码一个红球 D．恰有一个黒球与恰有两个黒球3.等差数列{an}中，a1=1,a3+a5=14，其前n项和Sn=100, 则 n=（）A ． 9B． 10c． 11D． 124.用秦九韶算法计算多项式 f(x) ＝ 3x6＋ 5x5＋ 6x4＋ 79x3 －8x2＋35x＋ 12 在 x＝－ 2时的值时， v3 的值为 ()2016 崭新精选资料 - 崭新公函范文 -全程指导写作–独家原创1 / 5A ． 303B． 63c ．－ 134D．85.甲、乙、丙三人站在一同照相纪念 , 乙正好站在甲丙之间的概率为（）A． B．c． D．6.履行以下图的程序框图，假如输出，则判断框中应填（）A． B．c． D．7.假如一个几何体的三视图以下图( 单位长度 :c),则此几何体的表面积是()8.已知圆 x2＋ y2 ＋2x－ 2y＋a＝ 0 截直线 x＋ y＋2＝ 0 所得弦的长度为4，则实数 a 的值为 ()A．－ 2B．－ 4c．－ 6D．－ 89.某产品的广告花费 x 与销售额 y 的统计数据以下表：广告花费 x( 万元 )4235销售额 y( 万元 )49263954根 f(11) ＜f(40) ＜ f( － 33)D ．f( － 33) ＜ f(40) ＜f(11)12.已知是球的球面上的两点，，为球面上的动点。
2016-2017学年河南省洛阳市洛宁一中高三(上)期中数学试卷和答案(理科)
2016-2017学年河南省洛阳市洛宁一中高三（上）期中数学试卷（理科）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）集合A={x|1＜log2x＜3，x∈Z}，B={x|5≤x＜9}，则A∩B=（）A．[5，e2）B．[5，7]C．{5，6，7}D．{5，6，7，8}2．（5分）复数的共扼复数是（）A．﹣+i B．﹣﹣i C．﹣i D．+i3．（5分）m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，下列命题是真命题的是（）A．若m∥α，m∥β，则α∥βB．若m∥α，α∥β，则m∥βC．若m⊂α，m⊥β，则α⊥βD．若m⊂α，α⊥β，则m⊥β4．（5分）函数y=lncos（2x+）的一个单调递减区间是（）A．（﹣，﹣）B．（﹣，﹣）C．（﹣，）D．（﹣，）5．（5分）O为△ABC内一点，且2++=，=t，若B，O，D三点共线，则t的值为（）A．B．C．D．6．（5分）一个几何体的三视图都是边长为1的正方形，如图，则该几何体的体积是（）A．B．C．D．7．（5分）由y=x，y=，x=2及x轴所围成的平面图形的面积是（）A．ln2+1 B．2﹣ln2 C．ln2﹣D．ln2+8．（5分）直角△ABC中，∠C=90°，D在BC上，CD=2DB，tan∠BAD=，则sin ∠BAC=（）A．B．C．D．或9．（5分）已知函数f（x）是R上的奇函数，且满足f（x+2）=﹣f（x），当x∈[0，1]时，f（x）=x，则方程f（x）=在（0，+∞）解的个数是（）A．3 B．4 C．5 D．610．（5分）已知数列S n为等比数列{a n}的前n项和，S8=2，S24=14，则S2016=（）A．2252﹣2 B．2253﹣2 C．21008﹣2 D．22016﹣211．（5分）已知三棱锥P﹣ABC中，PA=AB=AC=1，PA⊥面ABC，∠BAC=，则三棱锥P﹣ABC的外接球的表面积为（）A．3πB．4πC．5πD．8π12．（5分）定义在R上的函数f（x）满足：f′（x）﹣f（x）=x•e x，且f（0）=，则的最大值为（）A．0 B．C．1 D．2二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．（5分）若=，则tan2α的值为．14．（5分）等差数列{a n}中，S n为其前n项和，若a5=10，S5=30，则+++…+=．15．（5分）等腰△ABC中，底边BC=2，|﹣t|的最小值为||，则△ABC的面积为．16．（5分）a，b为正数，给出下列命题：①若a2﹣b2=1，则a﹣b＜1；②若﹣=1，则a﹣b＜1；③e a﹣e b=1，则a﹣b＜1；④若lna﹣lnb=1，则a﹣b＜1．其中真命题的有．三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．（10分）数列{a n}中，a1=1，a n﹣a n+1=a n a n+1，n∈N*．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）S n为{a n}的前n项和，b n=S2n﹣S n，求b n的最小值．18．（12分）函数y=﹣sin（ωx+φ）（ω＞0，φ∈（﹣，））的一条对称轴为x=，一个对称中心为（，0），在区间[0，]上单调．（1）求ω，φ的值；（2）用描点法作出y=sin（ωx+φ）在[0，π]上的图象．19．（12分）锐角△ABC中，其内角A、B满足：2cosA=sinB﹣cosB．（1）求角C的大小；（2）D为AB的中点，CD=1，求△ABC面积的最大值．20．（12分）函数f（x）=x•e x．（1）求f（x）的极值；（2）k×f（x）≥x2+x在[﹣1，+∞）上恒成立，求k值的集合．21．（12分）等腰△ABC中，AC=BC=，AB=2，E、F分别为AC、BC的中点，将△EFC沿EF折起，使得C到P，得到四棱锥P﹣ABFE，且AP=BP=．（1）求证：平面EFP⊥平面ABFE；（2）求二面角B﹣AP﹣E的大小．22．（12分）已知函数f（x）=lnx﹣有两个零点x1、x2．（1）求k的取值范围；（2）求证：x1+x2＞．2016-2017学年河南省洛阳市洛宁一中高三（上）期中数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）集合A={x|1＜log2x＜3，x∈Z}，B={x|5≤x＜9}，则A∩B=（）A．[5，e2）B．[5，7]C．{5，6，7}D．{5，6，7，8}【解答】解：集合A={x|1＜log2x＜3，x∈Z}={x|2＜x＜8，x∈Z}={3，4，5，6，7}，B={x|5≤x＜9}，∴A∩B={5，6，7}．故选：C．2．（5分）复数的共扼复数是（）A．﹣+i B．﹣﹣i C．﹣i D．+i【解答】解：复数==的共扼复数是+i．故选：D．3．（5分）m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，下列命题是真命题的是（）A．若m∥α，m∥β，则α∥βB．若m∥α，α∥β，则m∥βC．若m⊂α，m⊥β，则α⊥βD．若m⊂α，α⊥β，则m⊥β【解答】解：由m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，知：在A 中，若m∥α，m∥β，则α与β相交或平行，故A错误；在B中，若m∥α，α∥β，则m与β平行或m⊂β，故B错误；在C中，若m⊂α，m⊥β，则由面面垂直的判定定理得α⊥β，故C正确；在D中，若m⊂α，α⊥β，则m与β相交、平行或m⊂β，故D错误．故选：C．4．（5分）函数y=lncos（2x+）的一个单调递减区间是（）A．（﹣，﹣）B．（﹣，﹣）C．（﹣，）D．（﹣，）【解答】解：设t=cos（2x+），则lnt在定义域上为增函数，要求函数y=lncos（2x+）的一个单调递减区间，即求函数函数t=cos（2x+）的一个单调递减区间，同时t=cos（2x+）＞0，即2kπ≤2x+＜2kπ+，k∈Z，即kπ﹣≤x＜kπ+，k∈Z，当k=0时，﹣≤x＜，即函数的一个单调递减区间为（﹣，），故选：C．5．（5分）O为△ABC内一点，且2++=，=t，若B，O，D三点共线，则t的值为（）A．B．C．D．【解答】解：以OB，OC为邻边作平行四边形OBFC，连接OF与BC相交于点E，E为BC的中点．∵2++=，∴=﹣2==2，∴点O是直线AE的中点．∵B，O，D三点共线，=t，∴点D是BO与AC的交点．过点O作OM∥BC交AC于点M，则点M为AC的中点．则OM=EC=BC，∴=，∴，∴AD=AM=AC，=t，∴t=．另解：由2++=，∴点O是直线AE的中点．∵B，O，D三点共线，∴存在实数k使得=k+（1﹣k）=k+（1﹣k）t=，∴k=，（1﹣k）t=，解得t=．故选：B．6．（5分）一个几何体的三视图都是边长为1的正方形，如图，则该几何体的体积是（）A．B．C．D．【解答】解：把三视图还原成原图如图：是一个棱长为1的正方体切去了四个小三棱锥．∴V=1﹣=．故选：B．7．（5分）由y=x，y=，x=2及x轴所围成的平面图形的面积是（）A．ln2+1 B．2﹣ln2 C．ln2﹣D．ln2+【解答】解：由题意，由y=x，y=，x=2及x轴所围成的平面图形如图，其面积是；故选：D．8．（5分）直角△ABC中，∠C=90°，D在BC上，CD=2DB，tan∠BAD=，则sin ∠BAC=（）A．B．C．D．或【解答】解：设DE=k，BD=x，CD=2x，BC=3x．∵在Rt△ADE中，∠AED=90°，tan∠BAD==，∴AE=5DE=5k，∴AD==k．∵在Rt△BDE中，∠BED=90°，∴BE==，∴AB=AE+BE=5k+．∵∠C=90°，∴AD2﹣CD2=AB2﹣BC2，即26k2﹣4x2=（5k+）2﹣9x2，解得k2=x2，或x2，即x=k，或x=k，经检验，x=k，或x=k是原方程的解，∴BC=3k，或k，AB=AE+BE=5k+=6k，或，∴sin∠BAC==，或．9．（5分）已知函数f（x）是R上的奇函数，且满足f（x+2）=﹣f（x），当x∈[0，1]时，f（x）=x，则方程f（x）=在（0，+∞）解的个数是（）A．3 B．4 C．5 D．6【解答】解：∵f（x+2）=﹣f（x），∴f（x+4）=﹣f（x+2）=f（x）．∴f（x）是以4为周期的周期函数．∵f（x+2）=﹣f（x）=f（﹣x），∴函数关于直线x=1对称，在（0，+∞）上函数y=f（x）与y=的图象如图所示，交点有4个，∴方程f（x）=在（0，+∞）解的个数是4，故选：B．10．（5分）已知数列S n为等比数列{a n}的前n项和，S8=2，S24=14，则S2016=（）A．2252﹣2 B．2253﹣2 C．21008﹣2 D．22016﹣2【解答】解：∵数列S n为等比数列{a n}的前n项和，S8=2，S24=14，∴=2，①=14，②由②÷①得到：q8=2或q8=﹣3（舍去），∴=2，则a1=2（q﹣1），∴S2016===2253﹣2．故选：B．11．（5分）已知三棱锥P﹣ABC中，PA=AB=AC=1，PA⊥面ABC，∠BAC=，则三棱锥P﹣ABC的外接球的表面积为（）A．3πB．4πC．5πD．8π【解答】解：△ABC中，BC==．设△ABC外接圆的半径为r，则2r=，∴r=1，∴三棱锥P﹣ABC的外接球的半径为=，∴三棱锥P﹣ABC的外接球的表面积为=5π．故选：C．12．（5分）定义在R上的函数f（x）满足：f′（x）﹣f（x）=x•e x，且f（0）=，则的最大值为（）A．0 B．C．1 D．2【解答】解：令F（x）=，则F′（x）===x，则F（x）=x2+c，∴f（x）=e x（x2+c），∵f（0）=，∴c=，∴f（x）=e x（x2+），∴f′（x）=e x（x2+）+x•e x，∴=，设y=，则yx2+y=x2+2x+1，∴（1﹣y）x2+2x+（1﹣y）=0，当y=1时，x=0，当y≠1时，要使方程有解，则△=4﹣4（1﹣y）2≥0，解得0≤y≤2，故y的最大值为2，故的最大值为2，故选：D．二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．（5分）若=，则tan2α的值为﹣．【解答】解：若==，则tanα=3，∴tan2α===﹣，故答案为：﹣．14．（5分）等差数列{a n}中，S n为其前n项和，若a5=10，S5=30，则+++…+=．【解答】解：设等差数列{a n}的公差为d，∵a5=10，S5=30，∴，解得a1=d=2．∴S n==n（n+1），∴==．则+++…+=++…+=1﹣=．故答案为：．15．（5分）等腰△ABC中，底边BC=2，|﹣t|的最小值为||，则△ABC的面积为．【解答】解：等腰△ABC中，底边BC=2，|﹣t|的最小值为||，则△ABC的面积故BC边上的高为||，故有sin∠C==，∴∠C=30°=∠B，∴∠A=120°，AB=AC，∴=AB2+AC2﹣2AB•AC•cos120°，∴AB=AC=2，∴△ABC的面积为•AB•AC•sin120°=，故答案为：．16．（5分）a，b为正数，给出下列命题：①若a2﹣b2=1，则a﹣b＜1；②若﹣=1，则a﹣b＜1；③e a﹣e b=1，则a﹣b＜1；④若lna﹣lnb=1，则a﹣b＜1．其中真命题的有①③．【解答】解：①中，a，b中至少有一个大于等于1，则a+b＞1，由a2﹣b2=（a+b）（a﹣b）=1，所以a﹣b＜1，故①正确．②中﹣==1，只需a﹣b=ab即可，取a=2，b=满足上式但a﹣b=＞1，故②错；③构造函数y=x﹣e x，x＞0，y′=1﹣e x＜0，函数单调递减，∵e a﹣e b=1，∴a＞b，∴a﹣e a＜b﹣e b，∴a﹣b＜e a﹣e b=1，故③正确；④若lna﹣lnb=1，则a=e，b=1，a﹣b=e﹣1＞1，故④不正确．故答案为：①③．三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．（10分）数列{a n}中，a1=1，a n﹣a n+1=a n a n+1，n∈N*．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）S n为{a n}的前n项和，b n=S2n﹣S n，求b n的最小值．【解答】解：（1）∵a1=1，a n﹣a n+1=a n a n+1，n∈N*．∴=1，∴数列是等差数列，公差为1，首项为1．∴=1+（n﹣1）=n，可得a n=．（2）由（1）可得：S n=1++…+．∴b n=S2n﹣S n=+…+．﹣b n=+…+++﹣（+…+）∴b n+1=+﹣=﹣＞0，∴数列{b n}单调递增，∴b n的最小值为b1=．18．（12分）函数y=﹣sin（ωx+φ）（ω＞0，φ∈（﹣，））的一条对称轴为x=，一个对称中心为（，0），在区间[0，]上单调．（1）求ω，φ的值；（2）用描点法作出y=sin（ωx+φ）在[0，π]上的图象．【解答】解：（1）由题意得：，即，解得又ω＞0，k∈Z，所以ω=2，x=为对称轴，2×+φ=kπ+，所以φ=kπ﹣，又φ∈（﹣，），∴φ=﹣，（2）由（1）可知f（x）=sin（2x﹣），由x∈[0，π]，所以2x﹣∈[﹣，]，列表：画图：19．（12分）锐角△ABC中，其内角A、B满足：2cosA=sinB﹣cosB．（1）求角C的大小；（2）D为AB的中点，CD=1，求△ABC面积的最大值．【解答】（本题满分为12分）解：（1）∵2cosA+cosB=sinB，可得：cosA=sinB﹣cosB=cos（﹣B）， (2)分又∵A，B为锐角，∴0，＜﹣B＜，∴A=﹣B，A+B=，可得：C=π﹣=．…5分（2）设∠ACD=α，延长CD到E，使CD=DE，则AEBC为平行四边形，在△ACE中，AC=b，AE=BC=α，CE=2，∠CAE=，∠AEC=﹣α，由正弦定理可得：==，所以，a=4sinα，b=4sin（﹣α），…7分S△ABC=absin∠ABC=sin=4sinα•sin（﹣α）=2sinαcosα﹣2sin2α=sin2α+cos2α﹣=2sin（2α+）﹣，…11分当α=时，△ABC的面积取得最大值，最大值为2﹣．…12分20．（12分）函数f（x）=x•e x．（1）求f（x）的极值；（2）k×f（x）≥x2+x在[﹣1，+∞）上恒成立，求k值的集合．【解答】解：（1）f′（x）=e x（x+1），令f′（x）＞0，解得：x＞﹣1，令f′（x）＜0，解得：x＜﹣1，∴f（x）在（﹣∞，﹣1）递减，在（﹣1，+∞）递增，∴f（x）在极小值是f（﹣1）=﹣，无极大值；（2）x＞0时，k≥，令φ（x）=，则φ′（x）=＜0，φ（x）在（0，+∞）递减，故φ（x）≤φ（0）=1，即k≥1；﹣1≤x＜0时，k≤，φ′（x）=＜0，故φ（x）在[﹣1，0]递减，φ（x）≥φ（0）=1，故k≤1，综上，k=1，故k∈{1}．21．（12分）等腰△ABC中，AC=BC=，AB=2，E、F分别为AC、BC的中点，将△EFC沿EF折起，使得C到P，得到四棱锥P﹣ABFE，且AP=BP=．（1）求证：平面EFP⊥平面ABFE；（2）求二面角B﹣AP﹣E的大小．【解答】解：（1）证明：在△ABC中，D为AB中点，O为EF中点．由AC=BC=，AB=2．∵E、F分别为AC、BC的中点，∴EF为中位线，得CO=OD=1，CO⊥EF∴四棱锥P﹣ABFE中，PO⊥EF，…2分∵OD⊥AB，AD=OD=1，∴AO=，又AP=，OP=1，∴四棱锥P﹣ABFE中，有AP2=AO2+OP2，即OP⊥AO，…4分又AO∩EF=O，EF、AO⊂平面ABFE，∴OP⊥平面ABFE，…5分又OP⊂平面EFP，∴平面EFP⊥平面ABFE．…6分（2）由（1）知OD，OF，OP两两垂直，以O为原点，建立空间直角坐标系（如图）：则A（1，﹣1，0），B（1，1，0），E（0，，0），P（0，0，1）…7分∴，，设，分别为平面AEP、平面ABP的一个法向量，则⇒取x=1，得y=2，z=﹣1∴．…9分同理可得，…11分由于=0，所以二面角B﹣AP﹣E为90°．…12分22．（12分）已知函数f（x）=lnx﹣有两个零点x1、x2．（1）求k的取值范围；（2）求证：x1+x2＞．【解答】解：（1）函数f（x）=lnx﹣有2个零点，即函数g（x）=xlnx的图象与直线y=k有2个交点，g′（x）=lnx+1，令g′（x）＞0，解得：x＞，令g′（x）＜0，解得：0＜x＜，∴g（x）在（0，）递减，在（，+∞）递增，x=是极小值点，g（）=﹣，又x→0时，g（x）→0，x→+∞时，g（x）→+∞，g（1）=0，g（x）的大致图象如图示：；由图象得：﹣＜k＜0，（2）证明：不妨设x1＜x2，由（1）得：0＜x1＜＜x2＜1，令h（x）=g（x）﹣g（﹣x）=xlnx﹣（﹣x）ln（﹣x），h′（x）=ln[﹣（ex﹣1）2+1]，当0＜x＜时，h′（x）＜0，h（x）在（0，）递减，h（）=0，∴h（x1）＞0，即g（x1）＞g（﹣x1），g（x2）＞g（﹣x1），x2，﹣x1∈（，+∞），g（x）在（，+∞）递增，∴x2＞﹣x1，故x1+x2＞．。
2016_2017学年高二数学上学期期中试题
1A 12- 2A 3b 343-4上的投影为（ ）32- 5 ） A C 6 ）A ．7c o s s i n B a A =，则ABC ∆A ．不确定 8 ）= <．若2(2,3),(4,5),a b x x a =-=-若∥b ，则x b 2-.) (-（1）求a b →→+与a b →→-的夹角；（2）若a →(⊥a b λ→→+)，求实数λ的值．18. （本题满分12分）设△ABC 的内角A 、B 、C 所对的边分别为c b a 、、，已知41cos ,2,1===C b a .（Ⅰ）求△ABC 的周长； （Ⅱ）求)cos(C A -的值．19．（本题满分12分）已知函数2()22sin f x x x =+． （1）求()f x 的最小正周期； （2）求()f x 在区间[0,]2π上的最大值和最小值．20．（本题满分12分）已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知100,9105==S a . （I ）求通项n a ； （II ）记数列⎭⎬⎫⎩⎨⎧n S n 的前n 项和为nT ，求数列⎭⎬⎫⎩⎨⎧-++111n n T S 的前n 项和为n U .21．（本题满分12分）已知A 、B 、C 为三角形ABC 的三内角，其对应边分别为c b a 、、，若有c b C a +=2cos 2成立. （1）求A 的大小；（2）若32=a ，4=+c b ，求三角形ABC 的面积.22．（本题满分12分）已知数列{}n a 的前n 项和2n n S a =-，数列{}n b 满足11=b ，1873=+b b ，且112n n n b b b -++=（n ≥2）.（1）求数列{}n a 和{}n b 的通项公式；（2）若nnn a b c =，求数列{}n c 的前n 项和n T .包四中2016-2017学年度第一学期期中考试高二年级数学试题时间：120分钟 满分：150分 命题人：谢丹 审题人：吕文娟一、选择题（每小题5分，共60分.每小题只有一个正确选项） 1．cos()6π-的值是（ ）A B ．．12 D ．12- 【答案】A 【解析】试题分析：根据诱导公式236cos 6cos =⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛-ππ.故选A 考点：三角函数值的计算2．设,,a b c R ∈，且a b >，则（ ） A ．ac bc > B ．11a b< C ．22a b > D ．33a b > 【答案】D 【解析】试题分析：A 项，不确定c 的正负，故A 项错误；B 项，当0>a 时，0<b 不成立，故B 项错误；C 项，当0>a ，0<b ，||||a b >时，不成立，故C 项错误；D 项，数的奇数次方维持原有符号，故D 项正确.故本题正确答案为D. 考点：不等式的恒等变换.3．若1tan()47πα+=，则tan α=（ ）（A ）34 （B ）43（C ）34- （D ）43-【答案】（C ） 【解析】试题分析：由1tan()47πα+=所以tan 113,tan 1tan 74ααα+=∴=--.故选（C ）. 考点：1.角的和差公式.2.解方程的思想.432π32cos a e a aa ee⋅==5若不等式, A C 考点：三个二次关系62z x =A再作出目标函数线2y x =，并平移使之经过可行域，当目标函数线过点()2,1A -时纵截距最小但z 最大，此时()max 2215z =⨯--=考点：线性规划问题.7．设ABC ∆的内角,,A B C 所对的边分别为s i n B a A =，则ABC ∆的形状为（ ）A ．直角三角形B ．锐角三角形C ．钝角三角形D ．不确定【答案】A 【解析】试题分析：由于cos cos b C c B a +=，所以.考点：解三角形、正余弦定理．8．等差数列{}n a 的前n 项和分别为n S ，若）A ．1-B ．1C 【答案】B 【解析】试题分析：据等差数列的前n 项和公式知1171711=⨯=，故本题选B .考点：等差数列前n 项和公式；等差数列的性质9．已知等比数列前n 项和为n S ，若2S ） A.160 B.64 C.64- D.【答案】A 【解析】试题分析：由等比数列的性质可知2S 6S -成等比数列，因此()242S S -=同得=4160+=＝x y x(，为了得到函数的最小正周期为π，所以右平移到12．函数()si ()n f x A x ωϕ＝＋（000A ωϕπ>><<，，)的图象如图所示，则()4f π的值为（ ）A ．0 C ．1 【答案】C 【解析】试题分析：由已知，4112,(),2,3126A T πππω==⨯-==，所以()2sin 2()f x x ϕ＝＋， 将(),26π代人得，()2,s 2si in(6)1n 23ππϕϕ==⨯＋＋，所以，,326πππϕϕ==＋，()2sin 2()2sin 2(),()2co 64466s f x x f πππππ=⨯=＝＋＝＋C .考点：正弦型函数，三角函数诱导公式. 二、填空题(每小题5分，共20分)13．若2(2,3),(4,5),a b x x a =-=-若∥b ，则x ＝ ． 【答案】2或3 【解析】试题分析：因为//a b ，所以222(5)34,560,x x x x x ⨯-=-⨯-+==2或3. 考点：向量平行坐标表示14．在R 上定义运算⊙：a ⊙b ＝b a ab ++2 ，则不等式x ⊙）（2-x 0< 的解集是 ．【答案】{}12<<-x 【解析】试题分析：此题属于概念题，考查应变能力，难度不大.由定义可知，原不等式可化为022)2(<-++-x x x x ，解之得12<<-x 。
2016-2017学年河南省洛阳市高三(上)期中数学试卷(理科)及解析
2016-2017学年河南省洛阳市高三（上）期中数学试卷（理科）注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上第I 卷（选择题）一、选择题2x ＜3，x∈Z}，B={x|5≤x＜9}，则A∩B=（ ） A.[5，e 2） B.[5，7] C.{5，6，7} D.{5，6，7，8}2.复数 2+i1+i 的共扼复数是（ ） A.﹣ 32 + 32 i B.﹣ 32 ﹣ 32 i C.32 ﹣ 32 i D.32 + 32 i3.函数y=lncos （2x+ π4 ）的一个单调递减区间是（ ） A.（﹣ 5π8 ，﹣ π8 ） B.（﹣ 3π8 ，﹣ π8 ） C.（﹣ π8 ， π8 ） D.（﹣ π8 ， 3π8 ）4.O 为△ABC 内一点，且2 OA →+OB →+OC →=0→ ， AD → =t AC →，若B ，O ，D 三点共线，则t 的值为（ ） A.14 B.13 C.12 D.235.一个几何体的三视图都是边长为1的正方形，如图，则该几何体的体积是（ ）A.112B.13C.√24D.126.由y=x ，y= 1x ，x=2及x 轴所围成的平面图形的面积是（ ） A.ln2+1 B.2﹣ln2C.ln2﹣ 12 D.ln2+ 127.直角△ABC 中，∠C=90°，D 在BC 上，CD=2DB ，tan∠BAD= 15 ，则sin∠BAC=（ ） A.√22 B.√32 C.3√1313D.√22 或 3√13138.已知三棱锥P ﹣ABC 中，PA=AB=AC=1，PA⊥面ABC ，∠BAC= 2π3 ，则三棱锥P ﹣ABC 的外接球的表面积为（ ） A.3π B.4π C.5π D.8π9.定义在R 上的函数f （x ）满足：f′（x ）﹣f （x ）=x•e x， 且f （0）= 12 ，则 f ′(x)f(x) 的最大值为（）A.0B.12C.1D.2第II 卷（非选择题）请点击修改第II 卷的文字说明二、解答题n 1，a n ﹣a n+1=a n a n+1 ， n∈N * ． （1）求数列{a n }的通项公式；（2）S n 为{a n }的前n 项和，b n =S 2n ﹣S n ， 求b n 的最小值．11.函数y=﹣sin （ωx+φ）（ω＞0，φ∈（﹣ π2 ， π2 ））的一条对称轴为x= π3 ，一个对称中心为（ 7π12 ，0），在区间[0， π3 ]上单调． （1）求ω，φ的值；（2）用描点法作出y=sin （ωx+φ）在[0，π]上的图象． 12.函数f （x ）=x•e x ． （1）求f （x ）的极值；（2）k×f（x ）≥ 12 x 2+x 在[﹣1，+∞）上恒成立，求k 值的集合． 13.已知函数f （x ）=lnx ﹣ kx 有两个零点x 1、x 2 ． （1）求k 的取值范围；（2）求证：x 1+x 2＞ 2e ．三、填空题14.等腰△ABC 中，底边BC=2 √3 ，| BA →﹣t BC →|的最小值为 12 | AC →|，则△ABC 的面积为 ．参考答案1.C【解析】1.解：集合A={x|1＜log 2x ＜3，x∈Z} ={x|2＜x ＜8，x∈Z} ={3，4，5，6，7}， B={x|5≤x＜9}， ∴A∩B={5，6，7}． 故选：C ．【考点精析】解答此题的关键在于理解集合的交集运算的相关知识，掌握交集的性质：（1）A∩B A ，A∩B B ，A∩A=A，A∩=,A∩B=B∩A;（2）若A∩B=A，则A B ，反之也成立． 2.D【解析】2.解：复数 2+i1+i = (2+i)(1−i)(1+i)(1−i) =3−i 2 的共扼复数是 32 + 32i ． 故选：D ．【考点精析】认真审题，首先需要了解复数的乘法与除法(设则；)．3.C【解析】3.解：设t=cos （2x+ π4 ），则lnt 在定义域上为增函数， 要求函数y=lncos （2x+ π4 ）的一个单调递减区间，即求函数函数t=cos （2x+ π4 ）的一个单调递减区间，同时t=cos （2x+ π4 ）＞0，即2kπ≤2x+ π4 ＜2kπ+ π2 ，k∈Z， 即kπ﹣ π8 ≤x＜kπ+ π8 ，k∈Z，当k=0时，﹣ π8 ≤x＜ π8 ，即函数的一个单调递减区间为（﹣ π8 ， π8 ），故选：C【考点精析】通过灵活运用复合函数单调性的判断方法，掌握复合函数f[g(x)]的单调性与构成它的函数u=g(x)，y=f(u)的单调性密切相关，其规律：“同增异减”即可以解答此题． 4.B【解析】4.解：以OB ，OC 为邻边作平行四边形OBFC ，连接OF 与 BC 相交于点E ，E 为BC 的中点．∵2 OA →+OB →+OC →=0→，∴ OB →+OC →=﹣2 OA →+OF →=2OE →， ∴点O 是直线AE 的中点．∵B，O ，D 三点共线， AD →=t AC →，∴点D 是BO 与AC 的交点． 过点O 作OM∥BC 交AC 于点M ，则点M 为AC 的中点．则OM= 12 EC= 14BC，∴ DMDC = 14，∴ DM=13MC，∴AD= 23 AM= 13AC，AD→=t AC→，∴t= 13．故选：B．5.B【解析】5.解：把三视图还原成原图如图：是一个棱长为1的正方体切去了四个小三棱锥．∴V=1﹣4×13×12×1×1 = 13．故选：B．【考点精析】通过灵活运用由三视图求面积、体积，掌握求体积的关键是求出底面积和高；求全面积的关键是求出各个侧面的面积即可以解答此题．6.D【解析】6.解：由题意，由y=x，y= 1x，x=2及x轴所围成的平面图形如图，其面积是12×1×1+∫121xdx=12+ln2；故选：D ．7.D【解析】7.解：设DE=k ，BD=x ，CD=2x ，BC=3x ． ∵在Rt△ADE 中，∠AED=90°，tan∠BAD= 15 = DEAE ， ∴AE=5DE=5k，∴AD= √AE 2+ED 2 = √26 k ．∵在Rt△BDE 中，∠BED=90°，∴BE= √BD 2+DE 2 = √x 2−k 2，∴AB=AE+BE=5k+ √x 2−k 2． ∵∠C=90°，∴AD 2﹣CD 2=AB 2﹣BC 2 ，即26k 2﹣4x 2=（5k+ √x 2−k 2）2﹣9x 2 ，解得k 2= 12 x 2 ， 或 413 x 2 ， 即x= √2 k ，或x=√132k ，经检验，x= √2 k ，或x= √132k 是原方程的解，∴BC=3 √2 k ，或3√132k ， AB=AE+BE=5k+ √x 2−k 2 =6k ，或 13k2 ，∴sin∠BAC= BC AB= √22，或3√1313．【考点精析】认真审题，首先需要了解正弦定理的定义(正弦定理:)．8.C【解析】8.解：△ABC 中，BC= √1+1−2×1×1×(−12) = √3 ． 设△ABC 外接圆的半径为r ，则2r= √3sin1200 ，∴r=1，∴三棱锥P ﹣ABC 的外接球的半径为 12√1+4 = √52 ， ∴三棱锥P ﹣ABC 的外接球的表面积为 4π⋅54 =5π．故选：C ．【考点精析】本题主要考查了球内接多面体的相关知识点，需要掌握球的内接正方体的对角线等于球直径;长方体的外接球的直径是长方体的体对角线长才能正确解答此题． 9.D【解析】9.解：令F （x ）= f(x)e x ，则F′（x ）= e x [f ′(x)−f(x)]e 2x= f ′(x)−f(x)e x =x ，则F （x ）= 12 x 2+c ， ∴f（x ）=e x （ 12 x 2+c ）， ∵f（0）= 12， ∴c= 12 ，∴f（x ）=e x （ 12 x 2+ 12 ），∴f′（x ）=e x （ 12 x 2+ 12 ）+x•e x ，∴ f ′(x)f(x) = x 2+2x+1x 2+1 ，设y= x 2+2x+1x 2+1 ，则yx 2+y=x 2+2x+1，∴（1﹣y ）x 2+2x+（1﹣y ）=0， 当y=1时，x=0，当y≠1时，要使方程有解， 则△=4﹣4（1﹣y ）2≥0， 解得0≤y≤2，故y 的最大值为2，故 f ′(x)f(x) 的最大值为2，故选：D ．【考点精析】解答此题的关键在于理解基本求导法则的相关知识，掌握若两个函数可导，则它们和、差、积、商必可导；若两个函数均不可导，则它们的和、差、积、商不一定不可导．10.（1）解：∵a 1=1，a n ﹣a n+1=a n a n+1，n∈N *．∴ 1an+1−1a n=1，∴数列 {1a n} 是等差数列，公差为1，首项为1． ∴ 1a n=1+（n ﹣1）=n ，可得a n = 1n（2）解：由（1）可得：S n =1+ 12+13 +…+ 1n ． ∴b n =S 2n ﹣S n = 1n+1+1n+2 +…+ 12n ．∴b n+1﹣b n = 1n+2+1n+3 +…+ 12n + 12n+1 + 12n+2 ﹣（ 1n+1+1n+2 +…+ 12n ） = 12n+1 + 12n+2 ﹣ 1n+1 = 12n+1 ﹣ 12n+2 ＞0， ∴数列{b n }单调递增，∴b n 的最小值为b 1= 12【解析】10.（1）由a 1=1，a n ﹣a n+1=a n a n+1 ， n∈N * ． 可得1an+1−1a n=1，利用等差数列的通项公式即可得出．（2）由（1）可得：b n =S 2n ﹣S n = 1n+1+1n+2 +…+12n．再利用数列的单调性即可得出． 【考点精析】本题主要考查了数列的前n 项和和数列的通项公式的相关知识点，需要掌握数列{a n }的前n 项和s n 与通项a n 的关系；如果数列a n 的第n 项与n 之间的关系可以用一个公式表示，那么这个公式就叫这个数列的通项公式才能正确解答此题． 11.（1）解：由题意得： {12T ≥π32k+14⋅T =7π12−π3，即 {πω≥π32k+14×πω=π4，解得 {ω≤3ω=4k +2又ω＞0，k∈Z，所以ω=2，x= 2π3 为对称轴，2× π3 +φ=kπ+ π2 ，所以φ=kπ﹣ π6 ， 又φ∈（﹣ π2 ， π2 ）， ∴φ=﹣ π6（2）解：由（1）可知f （x ）=sin （2x ﹣ π6 ）， 由x∈[0，π]，所以2x ﹣ π6 ∈[﹣ π6 ， 11π6]，【解析】11.（1）由条件利用三角形函数的周期，对称轴，对称中心，即可ω，φ．（2）用五点法作函数y=Asin（ωx+φ）在一个周期[0，π]上的图象．【考点精析】解答此题的关键在于理解五点法作函数y=Asin（ωx+φ）的图象的相关知识，掌握描点法及其特例—五点作图法（正、余弦曲线），三点二线作图法（正、余切曲线）．12.（1）解：f′（x）=e x（x+1），令f′（x）＞0，解得：x＞﹣1，令f′（x）＜0，解得：x＜﹣1，∴f（x）在（﹣∞，﹣1）递减，在（﹣1，+∞）递增，∴f（x）在极小值是f（﹣1）=﹣1e，无极大值（2）解：x＞0时，k≥ x+22e x，令φ（x）= x+22e x ，则φ′（x）= 12(−x−1)e xe2x＜0，φ（x）在（0，+∞）递减，故φ（x）≤φ（0）=1，即k≥1；﹣1≤x＜0时，k≤ x+22e x，φ′（x）= −x+1e x ＜0，故φ（x）在[﹣1，0]递减，φ（x）≥φ（0）=1，故k≤1，综上，k=1，故k∈{1}【解析】12.（1）求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的最小值即可；（2）分离参数，令φ（x）= x+22e x ，根据函数的单调性求出k的值即可．【考点精析】本题主要考查了函数的极值与导数和函数的最大(小)值与导数的相关知识点，需要掌握求函数的极值的方法是:（1）如果在附近的左侧,右侧,那么是极大值（2）如果在附近的左侧,右侧,那么是极小值；求函数在上的最大值与最小值的步骤：（1）求函数在内的极值；（2）将函数的各极值与端点处的函数值，比较，其中最大的是一个最大值，最小的是最小值才能正确解答此题．13.（1）解：函数f（x）=lnx﹣kx 有2个零点，即函数g（x）=xlnx的图象与直线y=k有2个交点，g′（x）=lnx+1，令g′（x）＞0，解得：x＞1e ，令g′（x）＜0，解得：0＜x＜1e，∴g（x）在（0，1e ）递减，在（1e，+∞）递增，x= 1e 是极小值点，g（1e）=﹣1e，又x→0时，g（x）→0，x→+∞时，g（x）→+∞，g（1）=0，g（x）的大致图象如图示：；由图象得：﹣1e＜k＜0（2）证明：不妨设x1＜x2，由（1）得：0＜x1＜1e＜x2＜1，令h（x）=g（x）﹣g（2e ﹣x）=xlnx﹣（2e﹣x）ln（2e﹣x），h′（x）=ln[﹣（ex﹣1）2+1]，当0＜x＜1e 时，h′（x）＜0，h（x）在（0，1e）递减，h（1e）=0，∴h（x1）＞0，即g（x1）＞g（2e﹣x1），g（x2）＞g（2e﹣x1），x 2，2e﹣x1∈（1e，+∞），g（x）在（1e，+∞）递增，∴x2＞2e﹣x1，故x 1+x 2＞ 2e【解析】13.（1）问题转化为函数g （x ）=xlnx 的图象与直线y=k 有2个交点，求出g （x ）的单调性，画出函数图象，从而求出k 的范围即可；（2）设x 1＜x 2 ， 根据函数的单调性得到x 2 ， 2e ﹣x 1∈（ 1e ，+∞），g （x ）在（ 1e ，+∞）递增，从而证出结论即可．【考点精析】通过灵活运用利用导数研究函数的单调性，掌握一般的,函数的单调性与其导数的正负有如下关系： 在某个区间内，(1)如果，那么函数在这个区间单调递增；(2)如果，那么函数在这个区间单调递减即可以解答此题．14.√3【解析】14.解：等腰△ABC 中，底边BC=2 √3 ，| BA → ﹣t BC → |的最小值为 12| AC → |，则△ABC 的面积 故BC 边上的高为 12 | AC → |，故有sin∠C= 12|AC →||AC →| = 12 ，∴∠C=30°=∠B，∴∠A=120°，AB=AC ，∴ (2√3)2 =AB 2+AC 2﹣2AB•AC•cos120°，∴AB=AC=2，∴△ABC 的面积为 12•AB•AC•sin120°= √3 ，所以答案是： √3 ．。
河南省洛阳市2016-2017学年高二(上)期末数学试卷(理科)(解析版)
2016-2017学年河南省洛阳市高二（上）期末数学试卷（理科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每个小题给出的四个选项中，有且只有一项符合题目要求.1．若集合A={x|x2﹣x﹣2＜0}，且A∪B=A，则集合B可能是（）A．{0，1}B．{x|x＜2}C．{x|﹣2＜x＜1}D．R2．如果a＜b＜0，则下列不等式成立的是（）A．B．ac2＜bc2 C．a2＜b2D．a3＜b33．命题“∃x0∈R，x02﹣x0＞0”的否定是（）A．∀x∈R，x2﹣x＞0 B．C．∀x∈R，x2﹣x≤0 D．4．设等比数列{a n}的前n项和为S n，若a3=4，S3=7，则S6的值为（）A．31 B．32 C．63或D．645．抛物线的准线方程是（）A．B．y=1 C． D．y=﹣16．在下列各函数中，最小值等于2的函数是（）A．y=x+B．y=cosx+（0＜x＜）C．y=D．y=7．“m=5，n=4”是“椭圆的离心率为”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件8．在四棱锥P﹣ABCD中，底面是边长为2的菱形，∠DAB=60°，对角线AC与BD相交于点O，PO⊥平面ABCD，PB与平面ABCD所成角为45°，若E是PB的中点，则异面直线DE与PA所成角的余弦值为（）A．B．C．D．9．已知双曲线E的中心为原点，P（3，0）是E的焦点，过P的直线l与E相交于A，B两点，且AB的中点为N（﹣12，﹣15），则E的方程式为（）A．B．C．D．10．在△ABC中，a，b，c分别是A，B，C的对边，，且1+2cos （B+C）=0，则BC边上的高等于（）A．B．C．D．11．设数列{a n}的通项公式，其前n项和为S n，则S2016=（）A．2016 B．1680 C．1344 D．100812．过抛物线y2=2px（p＞0）的焦点F作两条相互垂直的射线，分别与抛物线相交于点M，N，过弦MN的中点P作抛物线准线的垂线PQ，垂足为Q，则的最大值为（）A．1 B．C．D．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13．已知命题“若{a n}是常数列，则{a n}是等差数列”，在其逆命题、否命题和逆否命题中，假命题的个数是．14．若实数x，y满足不等式，则的取值范围为．15．在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AD=AA1=1，AB=2，若E为AB的中点，则点E 到面ACD1的距离是．16．设F1，F2分别是双曲线的左、右焦点，A为双曲线的左顶点，以线段F1，F2为直径的圆O与双曲线的一个交点为P，与y轴交于B，D两点，且与双曲线的一条渐近线交于M，N两点，则下列命题正确的是．（写出所有正确的命题编号）①线段BD是双曲线的虚轴；②△PF1F2的面积为b2；③若∠MAN=120°，则双曲线C的离心率为；④△PF1F2的内切圆的圆心到y轴的距离为a．三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明或推理、验算过程.17．设命题p：“∀x∈R，x2+2x＞m”；命题q：“∃x0∈R，使”．如果命题p∨q为真，命题p∧q为假，求实数m的取值范围．18．已知点F为抛物线y2=2px（p＞0）的焦点，点M（2，m）在抛物线E上，且|MF|=3．（1）求抛物线E的方程；（2）过x轴正半轴上一点N（a，0）的直线与抛物线E交于A，B两点，若OA ⊥OB，求a的值．19．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且2csinC=（2b+a）sinB+（2a﹣3b）sinA．（1）求角C的大小；（2）若c=4，求a+b的取值范围．20．各项均为正数的数列{a n}中，a1=1，S n是数列{a n}的前n项和，对任意．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）记，求数列{b n}的前n项和T n．21．如图，在四棱锥S﹣ABCD中，平面ABCD⊥平面SAB，侧面SAB为等边三角形，底面ABCD为直角梯形，AB∥CD，AB⊥BC，AB=12，CD=BC=6．（1）求证：AB⊥DS；（2）求平面SAD与平面SBC所成锐二面角的余弦值．22．已知P（0，﹣1）是椭圆C的下顶点，F是椭圆C的右焦点，直线PF与椭圆C的另一个交点为Q，满足．（1）求椭圆C的标准方程；（2）如图，过左顶点A作斜率为k（k＞0）的直线l交椭圆C于点D，交y轴于点B．已知M为AD的中点，是否存在定点N，使得对于任意的k（k＞0）都有OM⊥BN，若存在，求出点N的坐标，若不存在，说明理由．2016-2017学年河南省洛阳市高二（上）期末数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每个小题给出的四个选项中，有且只有一项符合题目要求.1．若集合A={x|x2﹣x﹣2＜0}，且A∪B=A，则集合B可能是（）A．{0，1}B．{x|x＜2}C．{x|﹣2＜x＜1}D．R【考点】集合的包含关系判断及应用．【分析】化简集合A，根据集合的基本运算A∪B=A，即可求B．【解答】解：集合A={x|x2﹣x﹣2＜0}={x|﹣1＜x＜2}，∵A∪B=A，∴B⊆A．考查各选项，{0，1}⊆A．故选A．2．如果a＜b＜0，则下列不等式成立的是（）A．B．ac2＜bc2 C．a2＜b2D．a3＜b3【考点】不等式的基本性质．【分析】根据a、b的范围，取特殊值带入判断即可．【解答】解：∵a＜b＜0，不妨令a=﹣2，b=﹣1，显然A、B、C不成立，D成立，故选：D．3．命题“∃x0∈R，x02﹣x0＞0”的否定是（）A．∀x∈R，x2﹣x＞0 B．C．∀x∈R，x2﹣x≤0 D．【考点】命题的否定．【分析】利用特称命题的否定是全称命题，写出结果即可．【解答】解：因为特称命题的否定是全称命题，所以，命题“∃x0∈R，x02﹣x0＞0”的否定是∀x∈R，x2﹣x≤0．故选：C．4．设等比数列{a n}的前n项和为S n，若a3=4，S3=7，则S6的值为（）A．31 B．32 C．63或D．64【考点】等比数列的前n项和．【分析】设等比数列{a n}的公比为q，由a3=4，S3=7，可得=4，=7，解得a1，q．再利用等比数列的求和公式即可得出．【解答】解：设等比数列{a n}的公比为q，∵a3=4，S3=7，∴=4，=7，解得a1=1，q=2，或q=，a1=9．当a1=1，q=2时，则S6==63．当q=，a1=9时，S6==．∴S6=63或，故选：C．5．抛物线的准线方程是（）A．B．y=1 C． D．y=﹣1【考点】抛物线的简单性质．【分析】由抛物线x2=4y的焦点在y轴上，开口向下，且2p=4，即可得到抛物线的焦点坐标．【解答】解：抛物线，即抛物线x2=﹣4y的焦点在y轴上，开口向下，且2p=4，∴=1∴抛物线的准线方程是y=1，故选：B．6．在下列各函数中，最小值等于2的函数是（）A．y=x+B．y=cosx+（0＜x＜）C．y=D．y=【考点】基本不等式在最值问题中的应用；基本不等式．【分析】通过取x＜0时，A显然不满足条件．对于B：y=cosx+≥2，当cosx=1时取等号，但0＜x＜，故cosx≠1，B 显然不满足条件．对于C：不能保证=，故错；对于D：．∵e x＞0，∴e x+﹣2≥2﹣2=2，从而得出正确选项．【解答】解：对于选项A：当x＜0时，A显然不满足条件．选项B：y=cosx+≥2，当cosx=1时取等号，但0＜x＜，故cosx≠1，B 显然不满足条件．对于C：不能保证=，故错；对于D：．∵e x＞0，∴e x+﹣2≥2﹣2=2，故只有D 满足条件，故选D．7．“m=5，n=4”是“椭圆的离心率为”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】根据椭圆离心率的定义结合充分条件和必要条件的定义进行判断即可．【解答】解：若m=5，n=4，则椭圆方程为+=1，则a=5，b=4，c=3，则题意的离心率e=，即充分性成立，反之在中，无法确定a，b的值，则无法求出m，n的值，即必要性不成立，即“m=5，n=4”是“椭圆的离心率为”的充分不必要条件，故选：A8．在四棱锥P﹣ABCD中，底面是边长为2的菱形，∠DAB=60°，对角线AC与BD相交于点O，PO⊥平面ABCD，PB与平面ABCD所成角为45°，若E是PB的中点，则异面直线DE与PA所成角的余弦值为（）A．B．C．D．【考点】异面直线及其所成的角．【分析】取AB的中点F，连接EF，DF，则EF∥PA．从而∠DEF为异面直线DE 与PA所成角（或补角）．由此能求出异面直线DE与PA所成角的余弦值．【解答】解：取AB的中点F，连接EF，DF，∵E为PB中点，∴EF∥PA．∴∠DEF为异面直线DE与PA所成角（或补角）．又∵∠PBO=45°，BO=1，∴PO=1，PB=在Rt△AOB中，AO=AB•cos30°==OP，∴在Rt△POA中，PA=2，∴EF=1．∵四边形ABCD为菱形，且∠DAB=60°，∴△ABD为正三角形．∴DF=，∵PB=PD=，BD=2，∴△PBD为等腰直角三角形，∴DE==，∴cos∠DEF==．即异面直线DE与PA所成角的余弦值为．故选：B．9．已知双曲线E的中心为原点，P（3，0）是E的焦点，过P的直线l与E相交于A，B两点，且AB的中点为N（﹣12，﹣15），则E的方程式为（）A．B．C．D．【考点】双曲线的标准方程；直线与圆锥曲线的综合问题．【分析】已知条件易得直线l的斜率为1，设双曲线方程，及A，B点坐标代入方程联立相减得x1+x2=﹣24，根据=，可求得a和b的关系，再根据c=3，求得a和b，进而可得答案．【解答】解：由已知条件易得直线l的斜率为k=k PN=1，设双曲线方程为，A（x1，y1），B（x2，y2），则有，两式相减并结合x1+x2=﹣24，y1+y2=﹣30得=，从而==1即4b2=5a2，又a2+b2=9，解得a2=4，b2=5，故选B．10．在△ABC中，a，b，c分别是A，B，C的对边，，且1+2cos （B+C）=0，则BC边上的高等于（）A．B．C．D．【考点】余弦定理．【分析】由1+2cos（B+C）=0可得B+C=120°，A=60°，由余弦定理求得c值，利用△ABC的面积公式，可求BC边上的高．【解答】解：：△ABC中，由1+2cos（B+C）=0可得cos（B+C）=﹣，∴B+C=120°，∴A=60°．∵，由余弦定理可得a2=b2+c2﹣2bc•cosA，即12=8+c2﹣2×2×c×，解得c=+．由△ABC的面积等于bc•sinA=ah，（h为BC边上的高），∴•2•3•=•2•h，h=1+，故选：C．11．设数列{a n}的通项公式，其前n项和为S n，则S2016=（）A．2016 B．1680 C．1344 D．1008【考点】数列的求和．【分析】分别求出a1+a2+a3+a4+a5+a6=﹣1﹣3﹣2++6=3，得到数列的规律，即可求出答案．【解答】解：∵a n=ncos，∴a1=1×cos=1×=，a2=2cos=2×（﹣）=﹣1，a3=3cosπ=﹣3，a4=4cos=4×（﹣）=﹣2，a5=5cos=5×=，a6=6cos2π=6×1=6，∴a1+a2+a3+a4+a5+a6=﹣1﹣3﹣2++6=3，同理可得a7+a8+a9+a10+a11+a12=3，故S2016=×3=1008，故选：D12．过抛物线y2=2px（p＞0）的焦点F作两条相互垂直的射线，分别与抛物线相交于点M，N，过弦MN的中点P作抛物线准线的垂线PQ，垂足为Q，则的最大值为（）A．1 B．C．D．【考点】抛物线的简单性质．【分析】设|MF|=a，|NF|=b，由抛物线定义，2|PQ|=a+b．再由勾股定理可得|MN|2=a2+b2，进而根据基本不等式，求得|MN|的范围，即可得到答案．【解答】解：设|MF|=a，|NF|=b．由抛物线定义，结合梯形中位线定理可得2|PQ|=a+b，由勾股定理得，|MN|2=a2+b2配方得，|MN|2=（a+b）2﹣2ab，又ab≤，∴（a+b）2﹣2ab≥（a+b）2﹣2，得到|MN|≥（a+b）．∴≤=，即的最大值为．故选A．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13．已知命题“若{a n}是常数列，则{a n}是等差数列”，在其逆命题、否命题和逆否命题中，假命题的个数是2．【考点】四种命题．【分析】根据四种命题真假关系进行判断即可．【解答】解：若{a n}是常数列，则{a n}是等差数列正确，即原命题正确，则逆否命题也正确，命题的否命题为若{a n}是等差数列，则{a n}是常数列为假命题，当公差d≠0时，{a n}不是等差数列，故逆命题为假命题，则否命题为假命题，故假命题的个数为2个，故答案为：214．若实数x，y满足不等式，则的取值范围为[，] ．【考点】简单线性规划．【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数斜率的几何意义进行求解即可．【解答】解：作出不等式组对应的平面区域，的几何意义是区域内的点到D（﹣2，1）的斜率，由图象知AD的斜率最大，OD的斜率最小，由得，即A（2，2），则AD的斜率k==，OD的斜率k=，即≤≤，故答案为：[，]．15．在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AD=AA1=1，AB=2，若E为AB的中点，则点E到面ACD1的距离是．【考点】点、线、面间的距离计算．【分析】以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DD1为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出点E到面ACD1的距离．【解答】解：以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DD1为z轴，建立空间直角坐标系，E（1，1，0），A（1，0，0），C（0，2，0），D1（0，0，1），=（﹣1，2，0），=（﹣1，0，1），=（0，1，0），设平面ACD1的法向量=（x，y，z），则，取y=1，得=（2，1，2），∴点E到面ACD1的距离：d==．故答案为：．16．设F1，F2分别是双曲线的左、右焦点，A为双曲线的左顶点，以线段F1，F2为直径的圆O与双曲线的一个交点为P，与y轴交于B，D两点，且与双曲线的一条渐近线交于M，N两点，则下列命题正确的是②③④．（写出所有正确的命题编号）①线段BD是双曲线的虚轴；②△PF1F2的面积为b2；③若∠MAN=120°，则双曲线C的离心率为；④△PF1F2的内切圆的圆心到y轴的距离为a．【考点】双曲线的简单性质．【分析】根据双曲线的性质分别进行求解判断即可．【解答】解：①以线段F1，F2为直径的圆O的半径R=c，则B（0，c），D（0，c），则线段BD不是双曲线的虚轴；故①错误，②∵三角形PF1F2是直角三角形，∴PF12+PF22=4c2，又PF1﹣PF2=2a，则平方得PF12+PF22﹣2PF1PF2=4c2，即4a2﹣2PF1PF2=4c2，则PF1PF2=2c2﹣2a2=2b2，则△PF1F2的面积为S=PF1PF2=2b2=b2，故②正确，③由得或，即M（a，b），N（﹣a，﹣b），则AN⊥x轴，若∠MAN=120°，则∠MAx=30°，则tan30°==，平方得=，即=，则双曲线C的离心率e=====；故③正确，④设内切圆与x轴的切点是点H，PF1、PF2分与内切圆的切点分别为M1、N1，由双曲线的定义可得|PF1|﹣|PF2|=2a，由圆的切线长定理知，|PM1|=|PN1|，故|M1F1|﹣|N1F2 |=2a，即|HF1|﹣|HF2|=2a，设内切圆的圆心横坐标为x，则点H的横坐标为x，故（x+c）﹣（c﹣x）=2a，∴x=a．即△PF1F2的内切圆的圆心到y轴的距离为a．故④正确，故答案为：②③④三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明或推理、验算过程.17．设命题p：“∀x∈R，x2+2x＞m”；命题q：“∃x0∈R，使”．如果命题p∨q为真，命题p∧q为假，求实数m的取值范围．【考点】命题的真假判断与应用；复合命题的真假．【分析】若“p∨q”为真，“p∧q”为假，则p，q一真一假，进而可得实数m的取值范围．【解答】解：当P真时，∀x∈R，x2+2x＞m，有△=4+4m＜0，解得m＜﹣1．…..当q真时，∃x0∈R，使，所以△=4m2﹣4（2﹣m）≥0，解得m≤﹣2，或m≥1 …..又因为“p∨q”为真，“p∧q”为假，所以p，q一真一假，…..当p真q假时，﹣2＜m＜﹣1…..当p假q真时，m≥1…..所以实数a的取值范围是（﹣2，﹣1）∪[1，+∞）．…..18．已知点F为抛物线y2=2px（p＞0）的焦点，点M（2，m）在抛物线E上，且|MF|=3．（1）求抛物线E的方程；（2）过x轴正半轴上一点N（a，0）的直线与抛物线E交于A，B两点，若OA ⊥OB，求a的值．【考点】抛物线的简单性质．【分析】（1）利用抛物线的定义，求出p，即可求抛物线E的方程；（2）设直线AB的方程为x=ty+a，与抛物线方程联立，利用x1x2+y1y2=0求解即可．【解答】解：（1）由题意，2+=3，∴p=2，∴抛物线E的方程为y2=4x；（2）设直线AB的方程为x=ty+a．A（x1，y1）、B（x2，y2），联立抛物线方程得y2﹣4ty﹣4a=0，y1+y2=4t，y1•y2=﹣4a∵OA⊥OB，∴x1x2+y1y2=0，∴a2﹣4a=0∵a＞0，∴a=4．19．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且2csinC=（2b+a）sinB+（2a﹣3b）sinA．（1）求角C的大小；（2）若c=4，求a+b的取值范围．【考点】余弦定理；正弦定理．【分析】（1）利用正弦定理化简已知等式可得a2+b2﹣c2=ab，利用余弦定理可求cosC=，结合范围C∈（0，π），可求C的值．（2）由（1）及余弦定理，基本不等式可求16≥（a+b）2﹣，解得a+b ≤8，利用两边之和大于第三边可求a+b＞c=4，即可得解a+b的取值范围．【解答】（本题满分为12分）解：（1）∵2csinC=（2b+a）sinB+（2a﹣3b）sinA．∴2c2=（2b+a）b+（2a﹣3b）a，整理可得：a2+b2﹣c2=ab，…3分∴cosC==，∵C∈（0，π），∴C=…6分（2）由c=4及（1）可得：16=a2+b2﹣ab=（a+b）2﹣3ab≥（a+b）2﹣， (8)分∴解得：a+b≤8，…10分又∵a+b＞c=4，∴a+b∈（4，8]…12分20．各项均为正数的数列{a n}中，a1=1，S n是数列{a n}的前n项和，对任意．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）记，求数列{b n}的前n项和T n．【考点】数列的求和；数列递推式．【分析】（1）由已知条件推导出（a n+a n﹣1）（a n﹣a n﹣1﹣3）=0，从而得到数列{a n}是首项为1，公差为3的等差数列，由此能求出数列{a n}的通项公式．（2）由S n=，b n=n•2n，由此利用错位相减法能求出数列{b n}的前n项和T n．【解答】解：（1）由6S n=a n2+3a n+2①得6S n﹣1=a n﹣12+3an﹣1+2②①﹣②得（a n+a n﹣1）（a n﹣a n﹣1﹣3）=0，∵各项均为正数的数列{a n}∴a n﹣a n﹣1=3，∴数列{a n}是首项为1，公差为3的等差数列，∴数列{a n}的通项公式是a n=3n﹣2（2）S n=，∴=n•2n，∴T n=1×21+2×22+…+n•2n，③2T n=1×22+2×23+…+n×2n+1，④③﹣④，得﹣T n=21+22+23+…+2n﹣n×2n+1=﹣n×2n+1=（1﹣n）2n+1﹣2，∴T n=（n﹣1）2n+1+2．21．如图，在四棱锥S﹣ABCD中，平面ABCD⊥平面SAB，侧面SAB为等边三角形，底面ABCD为直角梯形，AB∥CD，AB⊥BC，AB=12，CD=BC=6．（1）求证：AB⊥DS；（2）求平面SAD与平面SBC所成锐二面角的余弦值．【考点】二面角的平面角及求法；空间中直线与直线之间的位置关系．【分析】（1）取AB的中点O，连结OD，OS，推导出AB⊥OS，AB⊥OD，由此能证明AB⊥SD．（2）推导出OS⊥平面ABCD，以O为原点，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出平面SAD与平面SBC所成锐二面角的余弦值．【解答】证明：（1）取AB的中点O，连结OD，OS，∵△SAB是正三角形，∴AB⊥OS，∵四边形ABCD是直角梯形，DC=，AB∥CD，∴四边形OBCD是矩形，∴AB⊥OD，又OS∩OD=O，∴AB⊥平面SOD，∴AB⊥SD．解：（2）∵平面ABCD⊥平面SAB，AB⊥OS，平面ABCD∩平面ABE=AB，∴OS⊥平面ABCD，如图，以O为原点，建立空间直角坐标系，则A（0，6，0），B（0，﹣6，0），D（6，0，0），C（6，﹣6，0），S（0，0，6），=（﹣6，0，6），=（6，﹣6，0），设平面SAD的法向量=（x，y，z），则，取z=1，得，同理，得平面SBC的一个法向量=（0，﹣，1），则cosθ==．∴平面SAD与平面SBC所成锐二面角的余弦值为．22．已知P（0，﹣1）是椭圆C的下顶点，F是椭圆C的右焦点，直线PF与椭圆C的另一个交点为Q，满足．（1）求椭圆C的标准方程；（2）如图，过左顶点A作斜率为k（k＞0）的直线l交椭圆C于点D，交y轴于点B．已知M为AD的中点，是否存在定点N，使得对于任意的k（k＞0）都有OM⊥BN，若存在，求出点N的坐标，若不存在，说明理由．【考点】椭圆的简单性质．【分析】（1）P（0，﹣1）是椭圆C的下顶点，可设椭圆的标准方程为： +y2=1．右焦点F（c，0）．由，可得Q，代入椭圆C的方程可得： +=1，又b2=a2﹣c2=1，解得a即可得出．（2）直线l的方程为：y=k（x+2），与椭圆方程联立化为：（x+2）[4k2（x+2）+（x﹣2）]=0，可得D（，）．可得AD的中点M，可得k OM．直线l的方程为：y=k（x+2），可得B（0，2k）．假设存在定点N（m，n）（m≠0），使得OM⊥BN，则k OM•k BN=﹣1，化简即可得出．【解答】解：（1）∵P（0，﹣1）是椭圆C的下顶点，可设椭圆的标准方程为：+y2=1．右焦点F（c，0）．由，可得Q，代入椭圆C的方程可得： +=1，∴4c2=3a2，又b2=a2﹣c2=1，解得a=2．∴椭圆C的标准方程为=1．（2）直线l的方程为：y=k（x+2），联立，消去y化为：（x+2）[4k2（x+2）+（x﹣2）]=0，∴x1=﹣2，x2=．由x D=，可得y D=k（x D+2）=．∴D（，）．由点M为AD的中点，可得M，可得k OM=﹣．直线l的方程为：y=k（x+2），令x=0，解得y=2k，可得B（0，2k）．假设存在定点N（m，n）（m≠0），使得OM⊥BN，则k OM•k BN=﹣1，∴=﹣1，化为（4m+2）k﹣n=0恒成立，由，解得，因此存在定点N．使得对于任意的k（k＞0）都有OM⊥BN．2017年2月1日。
2016-2017高二(上)期中
或
2
直棱柱
DE
A BC
中
D
,
E
,
M
分 别是 B C
,
CC ,
几 B 上 的点
若堡
EC
一
,
DC
旦旦 丅
m
.
且
K
平面
A
1M
C 则
器
=
高二 数 学
第3 X ( 共8 页 )
二丄 填空 题
13
14
( 本 大题 共
+
4
小 题 每小题
-
4
分 共
16
分)
直线 / 3 1
y
+
3
0
的 倾斜角 为
A
r
如 图 长方 体
2 0 16
2 0 17
学年第
学 期高
年级 阶段 性 测 评
数 学 试 卷
( 考试时 间 上 午
7
:
30
90
9
00
)
说 明 本试卷 为闭卷 笔 答 答 题 时 间
分 钟 满 分 10 0 分
偟
号
一 三
12
总 分
选 择题 ( 本 大题 共
小题 每 小题
3
分 共
36
分 在 每小 题 给 出 的 四 个 选 项 中 有 且 只 有
.
积 的最大值为
三丄 解 答 题 ( 本 大 题 共 5 小题 共 4 8 分
17
解 答 应 写 出文 字 说 明 丄 证 明过 程 或 演 算 步 骤 )
( 本 小题
8
分)
l
已 知直线 l
(m