画法几何垂直问题
大学画法几何试题及答案
大学画法几何试题及答案一、选择题（每题2分，共10分）1. 在画法几何中，点的表示方法是什么？A. 用字母表示B. 用数字表示C. 用圆圈表示D. 用线段表示答案：C2. 线段的表示方法是什么？A. 用字母表示B. 用数字表示C. 用线段表示D. 用箭头表示答案：C3. 面的基本性质是什么？A. 面是一维的B. 面是二维的C. 面是三维的D. 面是四维的答案：B4. 空间中两个平面的位置关系有几种？A. 1种B. 2种C. 3种D. 4种答案：C5. 直线与平面相交时，交点的表示方法是什么？A. 用字母表示B. 用数字表示C. 用圆圈表示D. 用线段表示答案：A二、填空题（每题2分，共10分）1. 在画法几何中，______表示线段的端点。
答案：点2. 直线的表示方法通常是用______表示。
答案：字母3. 平面与平面相交时，交线是______。
答案：直线4. 空间中，直线与直线的位置关系有______种。
答案：35. 画法几何中，表示垂直关系的符号是______。
答案：⊥三、简答题（每题5分，共15分）1. 请简述线面垂直的判定条件。
答案：线面垂直的判定条件是：如果一条直线与一个平面内的任意一条直线都垂直，则该直线与该平面垂直。
2. 描述空间中两直线平行的条件。
答案：空间中两直线平行的条件是：如果两直线没有交点，且在任意一个平面内，两直线的投影是平行的，则这两直线是平行的。
3. 解释什么是平面的法向量。
答案：平面的法向量是垂直于平面的向量，它可以用来表示平面的方向，并且与平面上的所有向量都垂直。
四、作图题（每题10分，共20分）1. 给定直线AB和点C，作直线AC垂直于AB。
答案：首先确定直线AB，然后以点C为圆心，作一个圆与直线AB相交，取交点为D，连接CD，直线CD即为所求的垂直线。
2. 给定平面α和直线l，作直线m平行于l且在平面α内。
答案：首先确定直线l和平面α，然后在平面α内作直线l的平行线，确保该平行线与直线l没有交点，即为所求的直线m。
立体几何线线垂直专题(史上最全)
立体几何垂直总结1、线线垂直的判断：线面垂直的定义：若一直线垂直于一平面，这条直线垂直于平面内所有直线。
补充：一条直线和两条平行直线中的一条垂直，也必垂直平行线中的另一条。
2、线面垂直的判断：（1）如果一直线和平面内的两相交直线垂直，这条直线就垂直于这个平面。
（2）如果两条平行线中的一条垂直于一个平面，那么另一条也垂直于这个平面。
（3）一直线垂直于两个平行平面中的一个平面，它也垂直于另一个平面。
（4）如果两个平面垂直，那么在—个平面内垂直于交线的直线必垂直于另—个平面。
3、面面垂直的判断：一个平面经过另一个平面的垂线，这两个平面互相垂直。
证明线线垂直的常用方法：例1、（等腰三角形三线合一）如图，已知空间四边形ABCD 中，,BC AC AD BD ==，E 是AB 的中点。
求证：（1）⊥AB 平面CDE;（2）平面CDE ⊥平面ABC 。
证明：（1）BC AC CE AB AE BE =⎫⇒⊥⎬=⎭同理，AD BD DE AB AE BE =⎫⇒⊥⎬=⎭又∵CE DE E ⋂= ∴AB ⊥平面CDE （2）由（1）有AB ⊥平面CDE又∵AB ⊆平面ABC ， ∴平面CDE ⊥平面ABC例2、（菱形的对角线互相垂直、等腰三角形三线合一）已知四棱锥P ABCD -的底面是菱形．PB PD =，E 为PA 的中点．（Ⅰ）求证：PC ∥平面BDE ；（Ⅱ）求证：平面PAC ⊥平面BDE ．AEDBC例3、(线线、线面垂直相互转化)已知ABC ∆中90ACB ∠=,SA ⊥面ABC ,AD SC ⊥,求证：AD ⊥面SBC ．证明：90ACB ∠=∵° B C A C ∴⊥ 又SA ⊥面ABC S A B C ∴⊥ BC ∴⊥面SACBC AD ∴⊥ 又,SC AD SC BC C ⊥⋂=AD ∴⊥面SBC例4、(直径所对的圆周角为直角)如图2所示，已知PA 垂直于圆O 在平面，AB 是圆O 的直径，C 是圆O 的圆周上异于A 、B 的任意一点，且PA AC =，点E 是线段PC 的中点.求证：AE ⊥平面PBC .证明：∵PA ⊥O 所在平面，BC 是O 的弦，∴BC PA ⊥.又∵AB 是O 的直径，ACB ∠是直径所对的圆周角，∴BC AC ⊥.∵,PA AC A PA =⊂平面PAC ，AC ⊂平面PAC . ∴BC ⊥平面PAC ，AE ⊂平面PAC ，∴AE BC ⊥. ∵PA AC =，点E 是线段PC 的中点.∴AE PC ⊥. ∵PCBC C =,PC ⊂平面PBC ，BC ⊂平面PBC .∴AE ⊥平面PBC .例5、（证明所成角为直角）在如图所示的几何体中，四边形ABCD 是等腰梯形，AB ∥CD ，∠DAB ＝60°，AE ⊥BD ，CB ＝CD ＝CF . 求证：BD ⊥平面AED ； 证明 因为四边形ABCD 是等腰梯形，AB ∥CD ，∠DAB ＝60°，所以∠ADC ＝∠BCD ＝120°. 又CB ＝CD ，所以∠CDB ＝30°， 因此∠ADB ＝90°，即AD ⊥BD .又AE ⊥BD ，且AE ∩AD ＝A ，AE ，AD ⊂平面AED ，SDCBAACBPEO图2所以BD ⊥平面AED .例6、（勾股定理的逆定理）如图7－7－5所示，已知直三棱柱ABC —A 1B 1C 1中，△ABC 为等腰直角三角形，∠BAC ＝90°，且AB ＝AA 1，D 、E 、F 分别为B 1A 、C 1C 、BC 的中点． 求证：(1)DE ∥平面ABC ；(2)B 1F ⊥平面AEF .例7、（三垂线定理）证明：在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，A 1C ⊥平面BC 1D证明：连结ACB D AC ∵⊥∴ AC 为A 1C 在平面AC 上的射影∴⊥⊥⎫⎬⎭⇒⊥BD A C A C BC A C BC D11111同理可证平面练习；1、 如图在三棱锥P —ABC 中，AB ＝AC ，D 为BC 的中点，PO ⊥平面ABC ，垂足O 落在线段AD 上.证明：AP ⊥BC ；AC2、直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，AC ＝BC ＝12AA 1，D 是棱AA 1的中点，DC 1⊥BD .证明：DC 1⊥BC 。
七年级下册数学垂线的画法知识点
七年级下册数学垂线的画法知识点在数学学习中，垂线是一个十分重要的概念。
垂线的作用不仅包括求解图形性质和计算各种长度，还可以帮助我们提高思维能力，培养专注和细致的态度。
在这篇文章中，我们将重点讨论七年级下册数学中垂线的画法知识点。
一、垂线和垂线段的定义垂线是指从一个点到直线上的一条线段，这条线段与直线垂直。
垂线段则是指从一个点垂直于一条线段的线段，它在线段上的垂足上。
二、垂线的画法1. 从一点画垂线假设有一点P和一条直线AB，现在我们需要从点P画一条垂线。
这个问题的解决方法有很多，最常见的就是使用圆规和直尺。
具体步骤如下：（1）用直尺把线段PA和PB连接起来，得到线段AB；（2）圆规的脚尖放在点P上，圆规的长度稍大于AB这条线段的长度；（3）在圆规上取一个点Q，使得圆规上的距离等于AB这条线段的长度；（4）以点Q为圆心，以AB的长度为半径作圆；（5）这个圆与直线AB的交点C和D即为P点作垂线所在的两个点。
2. 从一条线段上画垂线如果我们需要从一条线段上作垂线，我们同样可以使用圆规和直尺。
具体步骤如下：（1）先画出这条线段；（2）圆规的脚尖放在线段的一个端点上，圆规的长度稍大于线段的长度；（3）在圆规上取一个点Q，使得圆规上的距离等于这条线段的长度；（4）以另一个端点为圆心，以刚刚取出的Q点为半径作圆；（5）这个圆与线段的交点即为线段上作垂线所在的点。
三、垂线的性质1.相交垂线的交点是这两条直线的垂心垂线与直线相交时，如果从垂足所在的点沿着直线画出一条水平线，则直线被分为了两部分。
两条相交的垂线和水平线形成了一个直角三角形，其中的交点就是直线的垂心。
2. 垂线上的点到直线的距离相等在线段上作一个垂线，垂足即是垂线与直线的交点。
这个垂足与直线的距离被称为垂线长，它所代表的距离就是从垂足到直线的距离，同时，这个距离与直线上任意一点到直线的距离相等。
四、垂线的应用1. 求解三角形通过画出三角形的垂心和垂线，我们可以求解三角形的重心、外心、内心等相关性质。
立体几何垂直证明题常见模型及方法
立体几何垂直证明题常见模型及方法证明空间线面垂直需注意以下几点：①由已知想性质，由求证想判定，即分析法与综合法相结合寻找证题思路。
②立体几何论证题的解答中，利用题设条件的性质适当添加辅助线（或面）是解题的常用方法之一。
③明确何时应用判定定理，何时应用性质定理，用定理时要先申明条件再由定理得出相应结论。
垂直转化：线线垂直 线面垂直 面面垂直；基础篇类型一：线线垂直证明（共面垂直、异面垂直）（1） 共面垂直：实际上是平面内的两条直线的垂直 （只需要同学们掌握以下几种模型）○1 等腰（等边）三角形中的中线○2 菱形（正方形）的对角线互相垂直 ○3勾股定理中的三角形 ○4 1:1:2 的直角梯形中 ○5 利用相似或全等证明直角。
例：在正方体1111ABCD A BC D -中，O 为底面ABCD 的中心，E 为1CC ,求证：1AO OE ⊥（2） 异面垂直 （利用线面垂直来证明，高考中的意图） 例1 在正四面体ABCD 中，求证AC BD ⊥变式 1 如图，在四棱锥ABCD P -中，底面A B C D 是矩形，已知60,22,2,2,3=∠====PAB PD PA AD AB ．证明：AD PB ⊥；变式2 如图，在边长为2的正方形ABCD 中，点E 是AB 的中点，点F 是BC 的中点，将△AED,△DCF 分别沿,DE DF 折起，使,A C 两点重合于'A . 求证:'A D EF ⊥；变式3如图，在三棱锥P ABC -中，⊿PAB 是等边三角形，∠PAC =∠PBC =90 º证明：AB ⊥PC类型二：线面垂直证明方法○1 利用线面垂直的判断定理例2：在正方体1111ABCD A BC D -中，O 为底面ABCD 的中心，E 为1CC ,求证：1AO BDE ⊥平面变式1：在正方体1111ABCD A BC D -中，,求证：11AC BDC ⊥平面 变式2：如图：直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中， AC =BC =AA 1=2，∠ACB =90︒.E 为BB 1的中点，D 点在AB 上且DE = 3 .求证：CD ⊥平面A 1ABB 1；变式3：如图，在四面体ABCD 中，O 、E 分别是BD 、BC 的中点，BE 'ADFG2,CA CB CD BD AB AD ======求证：AO ⊥平面BCD ；变式4 如图，在底面为直角梯形的四棱锥P ABCD -中，AD BC ∥，90ABC ∠=°，PA ⊥平面ABCD ．3PA =，2AD =，AB =，6BC =类型3：面面垂直的证明。
画法几何试题及答案
画法几何试题及答案一、选择题1. 在画法几何中，点的投影通常表示为：A. 一条线B. 一个点C. 一个面D. 一个体答案：B2. 以下哪个术语描述的是线与线相交的点？A. 交点B. 投影点C. 垂足D. 投影线答案：A3. 正投影法中，平行于投影面的线段投影后：A. 长度不变B. 长度变短C. 长度变长D. 无法确定答案：A4. 画法几何中，一个平面图形在垂直于投影面的平面上的投影是：A. 原图形B. 缩小的图形C. 放大的图形D. 无法确定答案：A5. 在三视图中，主视图通常表示物体的：A. 正面B. 侧面C. 顶面D. 底面答案：A二、填空题1. 在画法几何中，_______表示物体的三维形状。
答案：三视图2. 投影线与投影面垂直的投影方法称为_______投影法。
答案：正3. 当一个物体的表面与投影面平行时，其投影是_______。
答案：原图形4. 在画法几何中，_______是指物体表面与投影面之间的夹角。
答案：投影角5. 如果一个物体的投影是一条线，则该物体与投影面是_______关系。
答案：垂直三、简答题1. 简述画法几何中三视图的作用。
答案：三视图的作用是全面展示物体的三维形状，包括主视图、侧视图和俯视图，分别从物体的正面、侧面和顶面进行投影，以确保设计和制造过程中对物体形状的准确理解。
2. 解释什么是正投影法，并给出其特点。
答案：正投影法是一种投影方法，其中投影线与投影面垂直。
其特点包括：投影线平行时，投影后的线段长度不变；投影线与投影面平行时，投影后的形状与原物体形状相同。
四、绘图题1. 根据题目给出的三视图，绘制一个立方体的三视图。
答案：（此处应有绘图，但无法提供）2. 给定一个物体的正视图和侧视图，请绘制其俯视图。
答案：（此处应有绘图，但无法提供）五、计算题1. 已知一个圆柱的正视图直径为10cm，侧视图高度为20cm，求圆柱的体积。
答案：圆柱体积V = πr²h = π(5cm)²(20cm) = 500π cm³2. 给定一个圆锥的底面直径为8cm，高为12cm，求其体积。
【精品】画法几何垂直问题完整版
一平面平行于已知平面 。
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a 8
例5 试判断两平面是否平行
s
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e
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r
X
es
SH d a
f r PH
结论：两平面平行
b c
O
c b
9
3.2 相交问题
3.2.1 积聚性法 3.2.2 辅助平面法
10
交点与交线的性质
B D
PA
K B
KA
L
F
E
C
直线与平面、平面与平面不平行则必相交。直线与平面 相交有交点，交点既在直线上又在平面上，因而交点是直线 与平面的共有点。两平面的交线是直线，它是两个平面的共 有线。求线与面交点、面与面交线的实质是求共有点、共有 线的投影。
EF∥AB与直线CD交于点K；过点K作直线KL ∥AH交AB于L点
，KL即为所求的公垂线。
54
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X g
作图过程
h
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3 k 2
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1
4
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e k2
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55
本章小结
1. 平行问题
（1）熟悉线、面平行，面、面平行的几何条件； （2）熟练掌握线、国平行，面、面平行的投影特性及作图方法。
38
A
Ⅰ Ⅱ
B
两平面垂直
立体几何垂直的判定方法
立体几何垂直的判定方法
嘿，立体几何垂直判定超厉害！先说线面垂直，一条线垂直于平面内两条相交直线，哇塞，这就像一个勇敢的骑士战胜了两条恶龙。
注意可不能随便找两条线哦，得是相交的。
那要是找错了线，可就糟糕啦，就像打仗找错了对手。
再说面面垂直，一个平面经过另一个平面的垂线，这就像两个王国之间有了一座坚固的桥梁。
可一定要找准垂线呀，不然全白搭。
这判定方法安全不？绝对安全呀！只要你认真分析，就像走在平坦的大路上。
稳定性也杠杠的，只要条件满足，结论就妥妥的。
应用场景可多啦！建筑设计里到处都是，难道不是吗？优势也很明显呀，能准确判断空间关系，就像有了一把神奇的钥匙打开几何世界的大门。
比如盖房子，工程师就得用这些方法保证结构稳定，那房子才能坚固呀！就像搭积木，只有搭对了，才不会倒。
立体几何垂直判定方法超有用，你还不赶紧学起来？。
初中数学 如何画一条垂直于给定直线的直线
初中数学如何画一条垂直于给定直线的直线在初中数学中，画一条垂直于给定直线的直线是一个基本的几何问题。
下面我将详细介绍几种常见的方法来画一条垂直于给定直线的直线。
方法一：使用尺规作图尺规作图是一种传统的几何作图方法，可以用来画一条垂直于给定直线的直线。
假设我们要画一条垂直于直线AB的直线。
首先，在直线AB上选取一点C，并在该点处画一条任意直线。
然后，使用尺规，设置一个固定的距离，将该距离在直线AB上量取为CD。
接下来，在点D处画一条与直线AB垂直的线段DE。
最后，通过点C和点E，画一条直线CE，这条直线就是所求的垂直于直线AB的直线。
方法二：使用垂直线的性质根据垂直线的性质，垂直于给定直线的直线与给定直线上的任意一点到另一条直线的距离相等。
假设我们要画一条垂直于直线AB的直线。
首先，在直线AB上选择一个点C，并在该点处画一条任意直线。
然后，选择一个任意点D，将该点与直线AB连接，得到线段CD。
接下来，通过点D，画一条与直线AB平行的线段EF。
然后，通过点C和点E，画一条直线CE。
最后，通过点D和点F，画一条直线DF。
直线DF 就是所求的垂直于直线AB的直线。
方法三：使用传统几何工具如果你使用传统的几何工具（如直尺和圆规），你可以按照以下步骤画出一条垂直于给定直线的直线：1. 在给定的直线上选择一个任意点A。
2. 使用圆规设置一个合适的半径，固定在点A上，并画一个圆弧。
3. 然后，移动圆规到圆弧的另一侧，再次画一个圆弧，使其与第一个圆弧相交于点B。
4. 使用直尺连接点A和点B，得到直线AB。
5. 直线AB就是垂直于给定直线的直线。
以上是几种常见的方法来画一条垂直于给定直线的直线。
在实际问题中，可以根据具体的情况选择适合的方法。
这些方法在初中数学中是非常重要的几何概念，帮助我们理解和应用垂直线的性质。
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C
M
c
H
当直线为一般位置，平面的某个投影具有积聚性时，交点 的一个投影为直线与平面积聚性投影的交点，另一个投影可 在直线的另一个投影上找到。
画法几何垂直问题
12
直线可见性的判别
V
B
AK PH a
bk M
N P
C c
b n
a k m
c
n a
kb
H
m 在平面之前 c
特殊位置线面相交，根据平面的积聚性投影能直接 判别直线的可见性--观察法
第3章 直线与平面、 平面与平面的相对位置
33..11
3.2
3.3 垂直问题
3.4 综合问题分析
画法几何垂直问题
1
3.1 平行问题
3.1.1 直线与平面平行 3.1.2 平面与平面平行
画法几何垂直问题
2
3.1.1 直线与平面平行
P
C
A
D
B
若平面外的一条直线与平面内的一条直线平行，则该直线与 该平面平行。
5、连接KH，KH即 为所求。
k
m 1 画法几何垂直问题
27
3. 3 垂直问题
3.3.1 直线与平面垂直 3.3.2 平面与平面垂直
画法几何垂直问题
28
3.3.1 直线与平面垂直
V
C A
E B
D
H
几何条件：若一直线垂直于一平面，则必垂直于属于该 平面的一切直线。
画法几何垂直问题
29
V C
A
n
k a
画法几何垂直问题
3
例1 试判断直线AB是否平行于平面 CDE。
c
g
d
f
a
e
X
e f
d
a
g
c
结论：直线AB不平行于定画法平几面何垂直问题
b
O
b
4
例2 过点K作一水平线AB平行于已知平面 ΔCDE。 c
f
e b k a
d
X
d
O
e
a
k
b
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画法几何垂直问题
5
c
3.1.2 平面与平面平行
P E
S B
A D
e
c b
d
E
X
O
B
D
a
kd
ec
b
H
n
定理1：若一直线垂直于一平面、则直线的水平投影必垂
直于属于该平面的水平线的水平投影；直线的正面投影必垂直
于属于该平面的正平线的正面投影。
画法几何垂直问题
30
n
V
f
A
C
E
D
a
B Xd
a d H
c b
f c b n
k
O k
定理2（逆）：若一直线垂直于属于平面的水平线的水平投 影；直线的正面投影垂直于属于平面的正平线的正面投影、则 直线必垂直于该平面。
由于特殊位置平面的某些投影有积聚性，交线可直接求出。
画法几何垂直问题
15
平面可见性的判别
VM B
m
c
f
b
k l
m C
K F
X L
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f
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a
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画法几何垂直问题
16
平面可见性的判别
VM B
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K
L F
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c
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k l
a
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n
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Hc n
画法几何垂直问题
d
a ( 2 ) 1
4
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3
e
X
b
O
a
2
e
c
k
（3）
4
1
b 画法几何垂直问题
d
20
以正垂面为辅助平面求线面交点
f
QV
1
b
f
c
步骤：
1、 过EF作正
k
垂平面Q。
2、求Q平面与
2
ΔABC的交线
a ⅠⅡ。
e
3、求交线
ⅠⅡ与EF的交
2
a 点K。
b k
1
画法几何垂直问题
21
c
e
两一般位置平面相交求交线的方法 B
画法几何垂直问题
31
例8 平面由 BDF给定，试过定点M作平面的垂线。
n f
c
a
m b
d
f
m
a
d
c
b
n
画法几何垂直问题
32
例9 试过定点K作特殊位置平面的法线。
h
PV
SV
h
k
h
k
k
k
h
k
h
Q 画法几何垂H直问题
hk
33
例10 平面由两平行线AB、CD给定，试判断直线MN是否垂
画法几何垂直问题
13
例6 铅垂线AB与一般位置平面ΔCDE相交，求交点并判别可 见性。
a’
d’
c’
k’
f’
b’
e’
X
O
e
f
k a(b) d
c
画法几何垂直问题
14
（2） 两平面相交
b
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P
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X
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m C
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a
O a
l
求两平面交线的问题可以看作是求两个共有点的问题,
23
e
两平面相交，判别可见性
3
b n 1 (2 )
c
k
l
4
e
X m
m
a
O
b2
e
3 (4 )
k
a l
c
1
画法几何垂直问题
n
利 用 重 影 点 判 别 可 见 性
24
例7 试过K点作一直线平行于已知平面ΔABC，并与直线EF相 交。
b
X
b
c f
a
a f
k
e
eO
c
k
画法几何垂直问题
25
分析 F
K
C
H
A
E
B
过已知点K作平面P平行于 ABC；直线EF与平面P交 于H；连接KH，KH即为所求。
画法几何垂直问题
26
作图步骤
c
b
b c
PV
f1 m
2
a
n
a f
n2
k
1、过点K作平面 KMN// ABC平面。
h
2、过直线EF作正垂
e 平面P。
3、求平面P与平面 KMN的交线ⅠⅡ。
he
4、求交线ⅠⅡ 与 EF的交点H。
d
f
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画法几何垂直问题
8
例5 试判断两平面是否平行
s
a
d
e
f
r
X
es
SH d a
f r PH
结论：两平面平行 画法几何垂直问题
b c
O
c b
9
3.2 相交问题
3.2.1 积聚性法 3.2.2 辅助平面法
画法几何垂直问题
10
交点与交线的性质
B D
PA
K B
KA
F
C
若平面内的两相交直线对应地平行于另一平面内的两相交直 线，则这两个平面平行。
画法几何垂直问题
6
例3 试判断两平面是否平行
a
b n
m
c
X
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c m
n a d
f s
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e
O e
s
r
f
b
结论：两平画面法几平何行垂直问题
7
例4 已知定平面由平行两直线AB和CD给定。试过点K作
一平面平行于已知平面 。
a
s
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3.2.2 辅助平面法
A E
K 1
2 D
C B
过AB作平面P垂直于H投影面
画法几何垂直问题
18
a
c
X PH a c
d
2 k 1
1
作题步骤：
1、 过AB作铅 垂平面P。 2、求P平面与 ΔCDE的交线
e ⅠⅡ。 b O 3、求交线
ⅠⅡ与AB的交
e 点K。
k
2
b
画法几何垂直问题
19
d
直线AB与平面ΔCDE相交，判别可见性。
L
F
E
C
直线与平面、平面与平面不平行则必相交。直线与平面 相交有交点，交点既在直线上又在平面上，因而交点是直线 与平面的共有点。两平面的交线是直线，它是两个平面的共 有线。求线与面交点、面与面交线的实质是求共有点、共有 线的投影。
画法几何垂直问题
11
3.2.1 积聚性法
V
N B
P
A
K
PH a bk
F
A K
利用求一般位置 线面交点的方法找 出交线上的两个点， 将其连线即为两平 面的交线。