专训1 二元一次方程组图表信息问题的四种类型
八年级下数学二元一次方程组知识点梳理及例题解析
第八章二元一次方程组一、知识回顾1、含有个未知数，并且含有未知数的项的次数都是的方程叫做二元一次方程；能使二元一次方程的两个未知数的值叫做二元一次方程的解。
2、把具有未知数的方程合在一起就组成了一个二元一次方程组；能使二元一次方程组的未知数的值叫做二元一次方程组的解。
3、解二元一次方程组的基本思想是，它有和两种方法；把二元一次方程组中一个方程的一个未知数用含的式子表示出来，{再另一个方程，实现消元进而求得这个二元一次方程组的解，这种方法叫做；当两个二元一次方程中同一个未知数的系数（或）时，将两个方程的两边分别（或），就能消去这个未知数得到一个一元一次方程，这种方法叫做。
4、列方程组解应用题的步骤可概括为、、、、、、这七大步骤。
5、由个方程组成，并且方程组中含有个相同未知数，每个方程中含未知数的项的次数都为，这样的方程组叫做三元一次方程组。
二元一次方程组的实际应用列方程组解应用题的常见类型主要有：１. 行程问题.包括追及问题和相遇问题，基本等量关系为：路程＝速度×时间；２. 工程问题.一般分为两类，一类是一般的工程问题，一类是工作总量为1的工程问题.基本等量关系为：工作量＝工作效率×工作时间；3. 和差倍分问题.基本等量关系为：较大量＝较小量＋多余量，总量＝倍数× 1倍量；4. 航速问题.此类问题分为水中航行和风中航行两类，基本关系式为：顺流（风）：航速＝静水（无风）中的速度＋水（风）速逆流（风）：航速＝静水（无风）中的速度－水（风）速5. 几何问题、年龄问题和商品销售问题等.二元一次方程组是中考重点考查的内容之一，主要有以下几个方面：（1）从实际数学问题中构造一次方程组，解决有关问题；（2）能从图表中获得有关信息，列方程组解决问题.【例2】解方程组【例3】某化妆晚会上，男生脸上涂蓝色油彩，女生脸上涂红色油彩.游戏时，每个男生都看见涂红色油彩的人数比涂蓝色油彩的人数的2倍少1人；而每个女生都看见涂蓝色油彩的人数是涂红色油彩的人数的，问晚会上男、女生各有几人？【例4】解方程组第四节、思维点拨【例1】小红到邮局寄挂号信，需要邮资３元８角. 小红有票额为６角和８角的邮票若干张，问各需多少张这两种面额的邮票？【例2】小聪全家外出旅游，估计需要胶卷底片１２０张. 商店里有两种型号的胶卷：Ａ型每卷３６张底片，Ｂ型每卷１２张底片. 小聪一共买了４卷胶卷，刚好有１２０张底片. 求两种胶卷的数量.【例３】用加减法解方程组【例4】用代入法解方程组【例5】用代入法解方程组【例6】甲、乙两厂，上月原计划共生产机床90台，结果甲厂完成了计划的112％，乙厂完成了计划的110％，两厂共生产机床100台，求上月两厂各超额生产了多少台机床？【例7】某学校组织学生到100千米以外的夏令营去，汽车只能坐一半人，另一半人步行.先坐车的人在途中某处下车步行，汽车则立即回去接先步行的一半人.已知步行每小时走4千米，汽车每小时走20千米（不计上下车的时间），要使大家下午5点同时到达，问需何时出发.【例8】小明的妈妈为了准备小明一年后上高中的费用，现在以两种方式在银行共存了2000元钱，一种是年利率为2.25％的教育储蓄，另一种是年利率为2.25％的一年定期存款，一年后可取出2042.75元，问这两种储蓄各存了多少钱？（利息所得税＝利息金额×20%，教育储蓄没有利息所得税）【例1】已知方程组的解x，y满足方程5x-y=3，求k的值..【例2】某种商品价格为每件３３元，某人身边只带有２元和５元两种面值的人民币各若干张，买了一件这种商品. 若无需找零钱，则付款方式有哪几种（指付出２元和５元钱的张数）？哪种付款方式付出的张数最少？【例3】某中学新建了一栋4层的教学大楼，每层楼有8间教室，这栋大楼共有4道门，其中两道正门大小相同，两道侧门大小也相同.安全检查中，对4道门进行了训练：当同时开启一道正门和两道侧门时，2分钟内可以通过560名学生；当同时开启一道正门和一道侧门时，4分钟可以通过800名学生. （1）求平均每分钟一道正门和一道侧门各可以通过多少名学生？（2）检查中发现，紧急情况时因学生拥挤，出门的效率将降低20％.安全检查规定，在紧急情况下全大楼的学生应在5分钟内通过这4道门安全撤离.假设这栋教学大楼每间教室最多有45名学生，问：建造的这4道门是否符合安全规定？请说明理由.【例4】某水果批发市场香蕉的价格如下表：张强两次共购买香蕉50千克（第二次多于第一次），共付款264元，请问张强第一次、第二次分别购买香蕉多少千克？【例5】用如图１中的长方形和正方形纸板做侧面和底面，做成如图２的竖式和横式两种无盖纸盒. 现在仓库里有１０００张正方形纸板和２000张长方形纸板，问两种纸盒各做多少个，恰好将库存的纸板用完？第六节、本章训练基础训练题一、填空题（每题7分，共35分）1.一个两位数的数字之和是7，这个两位数减去27，它的十位和个位上的数字就交换了位置，则这个两位数是 .2. 已知甲、乙两人从相距３６km的两地同时相向而行，1h相遇.如果甲比乙先走h，那么在乙出发后h与甲相遇.设甲、乙两人速度分别为xkm/h、ykm/h，则x＝，y＝ .3. 甲、乙二人练习赛跑，如果甲让乙先跑10米，那么甲跑5秒钟就能追上乙；如果甲让乙先跑2秒钟，那么甲跑4秒钟就能追上乙，两人每秒钟各跑的米数是 .4.一队工人制造某种工件，若平均每人一天做5件，全队一天就超额30件；若平均每人一天做4件，全队一天就比定额少完成20件.若设这队工人有x人，全队每天的数额为y件，则依题意可得方程组 .5.某次知识竞赛共出了25道题，评分标准如下：答对1题加4分；答错1题扣1分；不答记0分.已知小明不答的题比答错的题多2道，他的总分为74分，则他答对了 .二、选择题（每题7分，共35分）1.一个两位数的十位数字比个位数字小2，且能被3整除，若将十位数字与个位数字交换又能被5整除，这个两位数是（）.A. 53B. 57C. 35D. 752.甲、乙两车相距150km，两车同时出发，同向而行，甲车4h可追上乙车；相向而行，1.5h后两车相遇.设甲、乙两车的平均速度分别为xkm/h、ykm/h.以下方程组正确的是（）.3.甲、乙二人从同一地点出发，同向而行，甲骑车乙步行.若乙先行12km，那么甲1小时追上乙；如果乙先走1小时，甲只用小时就追上乙，则乙的速度是（）km/h.A. 6B. 12C. 18D. 364.一艘船在一条河上的顺流速度是逆流速度的2倍，则船在静水中的速度与水流的速度之比为（）.A. 4：3B. 3：2C. 2：1D. 3：1三、列方程组解应用题（每题15分，共30分）1.一批机器零件共840个，如果甲先做4天，乙加入合做，那么再做8天才能完成；如果乙先做4天，甲加入合做，那么再做9天才能完成，问两人每天各做多少个机器零件？2. 师傅对徒弟说“我像你这样大时，你才4岁，将来当你像我这样大时，我已经是52岁的人了”.问这位师傅与徒弟现在的年龄各是多少岁？提高训练题1.甲、乙两人分别从相距30千米的A、B两地同时相向而行，经过3小时后相距3千米，再经过2小时，甲到B地所剩路程是乙到A地所剩路程的2倍，求甲、乙两人的速度.2. 2. 小华不小心将墨水溅在同桌小丽的作业本上，结果二元一次方程组中第一个方程y的系数和第二个方程x的系数看不到了，现在已知小丽的结果是你能由此求出原来的方程组吗？3.若是关于x，y的二元一次方程3x-y+a=0的一个解，求a的值.4.已知方程组其中正确的说法是（）A．只有（1）、（3）是二元一次方程组；B．只有（1）、（4）是二元一次方程组；C．只有（2）、（3）是二元一次方程组；D．只有（2）不是二元一次方程组．强化训练题1.解关于x，y的方程组，并求当解满足方程4x－3y＝21时的k值2. 有两个长方形，第一个长方形的长与宽之比为5∶4，第二个长方形的长与宽之比为3∶2，第一个长方形的周长比第二个长方形的周长大112cm，第一个长方形的宽比第二个长方形的长的2倍还大6cm，求这两个长方形的面积.3.甲乙两人做加法，甲在其中一个数后面多写了一个0，得和为2342，乙在同一个加数后面少写了一个0，得和为65，你能求出原来的两个加数吗？4.某校2006年初一年级和高一年级招生总数为500人，计划2007年秋季初一年级招生人数增加20％，高一年级招生人数增加25％，这样2007年秋季初一年级、高一年级招生总数比2006年将增加21％，求2007年秋季初一、高一年级的招生人数各是多少？综合训练题一、精心选一选（每题7分，共35分）1. 方程组的解是（）.2. 在一次小组竞赛中，遇到了这样的情况：如果每组7人，就会余3人；如果每组8人，就会少5人.问竞赛人数和小组的组数各是多少？若设人数为x，组数为y，根据题意，可列方程组（）.3. 买甲、乙两种纯净水共用250元，其中甲种水每桶8元，乙种水每桶6元，乙种水的桶数是甲种水的桶数的75%，设买甲种水x桶、乙种水y桶，则所列方程组中正确的是（）.4. 一个两位数被9除余2，如果把它的十位与个位交换位置，则所得的两位数被9除余5，设个位数字为x，十位数字为y，则下面正确的是（）.（以下选项中k1、k2都为整数）5. 用面值l元的纸币换成面值为l角或5角的硬币，则换法共有（）种.A. 4B. 3C. 2D. 1二、用心填一填（每题7分，共35分）1. 一艘轮船顺流航行，每小时行20千米；逆流航行每小时行16千米.则轮船在静水中的速度为______，水流速度为______.2. 一队工人制造某种工件，若平均每人一天做5件，那么全队一天就比定额少完成30件；若平均每人一天做7件，那么全队一天就超额20件. 则这队工人有______人，全队每天制造的工件数额为______件.3. 已知甲、乙两人从相距18千米的两地同时相向而行，1小时相遇.再同向而行如果甲比乙先走小时，那么在乙出发后小时乙追上甲.设甲、乙两人速度分别为x千米/时、y千米/时，则x＝______，y＝______.4. 甲、乙二人练习赛跑，如果甲让乙先跑10米，那么甲跑5秒钟就能追上乙；如果乙让甲先跑2秒钟，那么乙跑6秒钟落后于甲28米，甲每秒钟跑______，乙每秒钟跑______.5. 小强拿了十元钱去商场购买笔和圆规.售货员告诉他：这10元钱可以买一个圆规和三支笔或买两个圆规和一支笔，现在小强只想买一个圆规和一支笔，那么售货员应该找给他______元.三、耐心做一做（每题10分，共30分）1. 某人要在规定的时间内由甲地赶往乙地，如果他以每小时50千米的速度行驶，就会迟到24分钟；如果他以每小时75千米的高速行驶，则可提前24分钟到达乙地，求他以每小时多少千米的速度行驶可准时到达.2. 一家商店进行装修，若请甲、乙两个装修组同时施工，8天可以完成，需付两组费用共3520元；若先请甲组单独做6天，再请乙组单独做12天可以完成，需付两组费用共3480元.若只选一个组单独完成，从节约开支角度考虑，这家商店应选择哪个组？3. 《参考消息》报道，巴西医生马廷恩经过10年研究得出结论：卷入腐败行列的人容易得癌症，心肌梗塞，脑溢血，心脏病等病，如果将贪污受贿的580名官员和600名廉洁官员进行比较，可发现，后者的健康人数比前者的健康人数多272人，两者患病或患病致死者共444人，试问贪污受贿的官员和廉洁官员中的健康人数各自占统计人数的百分之几？。
七年级数学下册专题训练3二元一次方程组的实际应用作业新版新人教版
＝1062，解得：m＝6.答：商店是打
6
折出售这两
种商品．
类 型 5 几何图形与图表信息问题
12．(玉环期中)根据如图提供的信息，可知一个热水瓶的价格
是( C )
A.7 元
B．35 元
C．45 元
D．50 元
13．如图，用 12 块相同的小长方形瓷砖拼成一个大的长方形，
则每个小长方形瓷砖的面积是( B )
专题训练（三）
二元一次方程组的实际应用
类 型 1 和、差、倍、分问题
1．某校七年级(1)班 50 名同学为灾区捐款，共捐款 200 元，捐 款情况如下表：
表中捐款 2 元和 3 元的人数不小心被墨水污染已看不清楚，若
设捐款 2 元的有 x 名同学，捐款 3 元的有 y 名同学，根据题意，
可列方程组( A )
B．x9＋0x＋y＝112020y＝，22200
C．xx＋＋yy＝＝2222020，0
D．x11＋0xy＝＋92020y＝，22200
15．本地某快递公司规定：寄件不超过 1 千克的部分按起步价 计费；寄件超过 1 千克的部分按千克计费．小丽分别寄快递到 上海和北京，收费标准及实际收费如下表：
求 a，b 的值．
解：设改进加工方法前用了 x 天，改进加工方法后用了 y 天， 依题意，得x3＋x＋y＝5y＝6，22， 解得xy＝＝24，， 答：该合作社改进加 工方法前用了 4 天，改进加工方法后用了 2 天．
3．为响应国家节能减排的号召，鼓励居民节约用电，各省先 后出台了居民用电“阶梯价格”制度，如表中是某省的电价标准 (每月).例如：方女士家 5 月份用电 500 度，电费＝180×0.6＋220× 二档电价＋100×三档电价＝352 元；李先生家 5 月份用电 460 度，交费 316 元，请问表中二档电价、三档电价各是多少？
二元一次方程组,掌握下面四种方法,类似题目解答无困难.doc
二元一次方程组，掌握下面四种方法，类似题目解答无困难二元一次方程组的解：使二元一次方程组的两个方程都成立的一对未知数的值，叫做方程组的解，即其解是一对数。
一般地，使二元一次方程组的两个方程左、右两边的值都相等的两个未知数的值，叫做二元一次方程组的解。
求方程组的解的过程，叫做解方程组。
一般来说，一个二元一次方程有无数个解，而二元一次方程组的解有以下三种情况，下面就为大家说说：1、有一组解。
如方程组:x+y=5①6x+13y=89②x=-24/7y=59/7 为方程组的解2、有无数组解。
如方程组：x+y=6①2x+2y=12②因为这两个方程实际上是一个方程（亦称作“方程有两个相等的实数根”），所以此类方程组有无数组解。
3、无解。
如方程组：x+y=4①2x+2y=10②，因为方程②化简后为x+y=5这与方程①相矛盾，所以此类方程组无解。
可以通过系数之比来判断二元一次方程组的解的情况，如下列关于x,y的二元一次方程组：ax+by=cdx+ey=f当a/d≠b/e 时，该方程组有一组解。
当a/d=b/e=c/f 时，该方程组有无数组解。
当a/d=b/e≠c/f 时，该方程组无解。
下面为大家介绍二元一次方程组的解法：解方程的依据—等式性质1．a=b←→a+c=b+c2．a=b←→ac=bc (c0)一、消元法1）代入消元法用代入消元法的一般步骤是：①选一个系数比较简单的方程进行变形，变成y = ax +b 或x = ay + b的形式；②将y = ax + b 或x = ay + b代入另一个方程，消去一个未知数，从而将另一个方程变成一元一次方程；③解这个一元一次方程，求出x 或y 值；④将已求出的x 或y 值代入方程组中的任意一个方程（y = ax +b 或x = ay + b），求出另一个未知数；⑤把求得的两个未知数的值用大括号联立起来，这就是二元一次方程的解。
例：解方程组：x+y=5①6x+13y=89②解：由①得x=5-y③把③代入②，得6(5-y)+13y=89即y=59/7把y=59/7代入③，得x=5-59/7即x=-24/7∴x=-24/7，y=59/7 为方程组的解我们把这种通过“代入”消去一个未知数，从而求出方程组的解的方法叫做代入消元法，简称代入法。
(完整版)二元一次方程组知识点及典型例题
二元一次方程组小结与复习一、知识梳理（一）二元一次方程组的有关概念1．二元一次方程：含有两个未知数，并且所含未知数的项的次数都是1的方程叫作二元一次方程。
2．二元一次方程的一个解：适合一个二元一次方程的一对未知数的值，叫这个二元一次方程的一个解。
任何一个二元一次方程都有无数个解。
3．方程组和方程组的解（1）方程组：由几个方程组成的一组方程叫作方程组。
（2）方程组的解：方程组中各个方程的公共解，叫作这个方程组的解。
4．二元一次方程组和二元一次方程组的解（1）二元一次方程组：含有两个未知数的两个一次方程所组成的一组方程，叫作二元一次方程组。
（2）二元一次方程组的解：二元一次方程组中各个方程的公共解，叫作这个二元一次方程组的解。
（二）二元一次方程组的解法： 1．代入消元法 2．加减消元法二、典例剖析题型一1．二元一次方程及方程组的概念。
二元一次方程的一般形式：任何一个二元一次方程经过整理、化简后，都可以化成0=++c by ax （a,b,c 为已知数，且a ≠0，b ≠0）的形式，这种形式叫二元一次方程的一般形式。
练习1、下列方程，哪些是二元一次方程，哪些不是？12).().(711)(6526)(=++-=++=-y x xy D y x C yx B x z x A练习2、若方程的值。
的二元一次方程，求、是关于）（n n mm y x y xm 43195=+--练习3、（1）若方程(2m －6)x |n |－1+(n +2)y 82-m =1是二元一次方程，则m =_______，n =__________．专题二：二元一次方程组的解法：解二元一次方程组的基本思想是消元转化。
（一）、代入消元法：1、直接代入 例1 解方程组②①y x x y ⎩⎨⎧=--=.134,32跟踪训练：解方程组：（1）90152x y x y+=⎧⎨=-⎩ （2）⎩⎨⎧-==+73825x y y x2、变形代入 例2 解方程组②①y x y x ⎩⎨⎧=+=-.1043,95跟踪训练：（1）⎩⎨⎧-=--=-.2354,42y x y x （2）⎩⎨⎧=+=+②①77322y x y x(3) ⎩⎨⎧=-=+.123,205y x y x (4) ⎩⎨⎧=-=+②①5231284y x y x（二）、加减消元法例题、解方程组（1）⎩⎨⎧=+=-524y x y x （2）⎩⎨⎧=-=-322543y x y x （3）．⎩⎨⎧=+=+.1034,1353y x y x跟踪训练：（1） （2） （3）⎩⎨⎧=+=-1023724y x y x(4) (5)⎪⎩⎪⎨⎧=++-=--9275320232y y x y x (6)11,233210;x y x y +⎧-=⎪⎨⎪+=⎩（三）、选择适当的方法解下列方程组 （1）⎩⎨⎧=+---=+.5)3()1(2),1(32x y x y （2）⎩⎨⎧-=+---=+--23)3(5)4(44)3()4(2y x y x（3）⎪⎩⎪⎨⎧-=+-++=+3)43(4)1(3)2(311y x y x （4）x 2y+2=02y+22x536⎧⎪⎨⎪⎩－－－＝题型三：代数式的变形 1、在方程＝5中，用含的代数式表示为：＝ ，当＝3时，＝ 。
八上第5章二元一次方程组练习题及答案解析
八上第5章二元一次方程组练习题及答案解析5.1认识二元一次方程组专题 二元一次方程组解的规律探究1. 下表反映了按一定规律排列的方程组和它们的解的对应关系：方程组的序号方程组1方程组2方程组3…方程组n（n 为正整数）方程组⎩⎨⎧=-=+4232y x y x ，⎩⎨⎧=-=+16452y x y x ， ⎩⎨⎧=-=+36672y x y x ，…⎩⎨⎧()() 方程组的解⎩⎨⎧()() ⎩⎨⎧-==34y x ，⎩⎨⎧-==56y x ，…⎩⎨⎧()() （1）写出方程组1的求解过程；（2）请依据方程组和它们的解的变化规律，直截了当写出方程组n 和它的解．（n 为正整数）2. 下列是按一定的规律排列的方程组和它的解的解集的对应关系图，若方程组集合中的方程组自左向右依次记作方程组1，方程组2，方程组3，…，方程组n.（1）将方程组1的解填入图中； （2）请依据方程组和它的解的变化规律，将方程组n 和它的解直截了当填入集合图中（注意：1-n 2=(1+n)(1-n)； （3）若方程组⎩⎨⎧=-=+161my x y x ，的解是⎩⎨⎧-==，，910y x 求m 的值，并判定该方程组是否符合题中的规律．答案：1．解：（1）⎩⎨⎧2x ＋y ＝3 ①x-2y ＝4 ②，由②得x=2y+4．③把③代入①，得2(2y+4)+y=3． 解得y=-1．把y=-1代入③,得x=2． 因此方程组1的解为⎩⎨⎧-==.12y x ，（2）方程组n 为⎩⎨⎧=-+=+,42,1222n ny x n y x 它的解为⎩⎨⎧-==.21,2n y n x2．解：（1）依次填：1,0.（2）依次填：x+y=1,x-ny=n 2,n,1-n.5.2解二元一次方程组专题 解二元一次方程组的探究性问题 1. 若关于x ，y 的二元一次方程组 ⎩⎨⎧=+=-102y mx y x ，的解均为正整数，m 也是正整数，则满足条件的所有m 值的和为__________.2. 上数学课时，陈老师让同学们解一道关于x 、y 的方程组⎩⎨⎧=--=+)2(142)1(53，，by x y ax 并请小方和小龙两位同学到黑板上板演.但是小方同学看错了方程（1）中的a ，得到方程组的解为⎩⎨⎧==，，23y x 小龙同学看错了方程(2)中的b ，得到方程组的解为⎩⎨⎧-=-=，，12y x 你能按正确的a 、 b 值求出方程组的解吗？请试一试.3．三个同学对问题“若方程组111222a x b y c a x b y c +=⎧⎨+=⎩的解是34x y =⎧⎨=⎩，求方程组111222325325a x b y c a x b y c +=⎧⎨+=⎩的解.”提出各自的方法.甲说：“那个题目仿佛条件不够，不能求解”；乙说：“它们的系数有一定的规律，能够试试”；丙说：“能不能把第二个方程组的两个方程的两边都除以5，通过换元替换的方法来解决”.参考他们的讨论，你认为那个题目的解应该是多少？2．解：由题意得方程组⎩⎨⎧=⨯，－14232b 解得⎩⎨⎧-=，4b代入原方程组，得⎩⎨⎧=+-=+，，144253y x y x 解得⎩⎨⎧-==.1231y x ，3．解：依照方程组解的定义,将34x y =⎧⎨=⎩代入方程组111222a x b y c a x b y c +=⎧⎨+=⎩,得⎩⎨⎧=+=+，，2221114343c b a c b x a再依照丙同学的提示，将第二个方程组的两个方程的两边都除以5得5.3鸡兔同笼专题图表信息题1.如图，在3×3的方阵图中，填写了一些数和代数式（其中每个代数式都表示一个数）使得每行的3个数，每列的3个数，斜对角的3个数之和均相等．（1）求x，y的值；（2）画图完成此方阵图．2. 有三把梯子，分别是五步梯、七步梯、九步梯，每攀沿一步阶梯上升的高度是一致的．每把梯子的扶杆长（即梯长）、顶档宽、底档宽如图所示，并把横档与扶杆榫合处称作连接点（如点A）．（1）通过运算，补充填写下表：梯子种类两扶杆总长（米）横档总长（米）连接点数（个）五步梯 4 2.0 10七步梯九步梯（2）一把梯子的成本由材料费和加工费组成，假定加工费以每个连接点1元运算，而材料费中扶杆的单价与横档的单价不相等（材料损耗及其它因素忽略不计）．现已知一把五步梯、七步梯的成本分别是26元、36元，试求出一把九步梯的成本．答案：1．解：（1）由题意，得⎩⎨⎧++=-+--++=++，，x x y x y y x x 43223243解得⎩⎨⎧=-=.21y x ，（2）如图.2．解：（1）七步梯、九步梯的扶杆长分别是5米、6米； 横档总长分别是：21×（0.4+0.6）×7=3.5(米)、21（0.5+0.7）×9=5.4(米)； 连接点个数分别是14个、18个.故依次填入:5,3.5,14,6,5.4,18.（2）设扶杆单价为x 元/米，横档单价为y 元/米，依题意得⎩⎨⎧=⨯++=⨯++，，361415.352610124y x y x 解得⎩⎨⎧==.23y x ，故九步梯的成本为6×3+5.4×2+1×18=46.8（元），答：一把九步梯的成本为46.8元．5.4增收节支专题方案设计问题1.某中学拟组织九年级师生去韶山举行毕业联欢活动．下面是年级组长李老师和小芳、小明同学有关租车问题的对话：李老师：“平安客运公司有60座和45座两种型号的客车可供租用，60座客车每辆每天的租金比45座的贵200元．”小芳：“我们学校八年级师生昨天在那个客运公司租了4辆60座和2辆45座的客车到韶山参观，一天的租金共计5000元．”小明：“我们九年级师生租用5辆60座和1辆45座的客车正好坐满．”依照以上对话，解答下列问题：（1）平安客运公司60座和45座的客车每辆每天的租金分别是多少元？（2）按小明提出的租车方案，九年级师生到该公司租车一天，共需租金多少元？2. （2020福建龙岩）已知：用2辆A型车和1辆B型车装满物资一次可运货10吨；用1辆A型车和2辆B型车装满物资一次可运货11吨．某物流公司现有31吨物资，打算同时租用A型车a辆，B型车b辆，一次运完，且恰好每辆车都装满物资．依照以上信息，解答下列问题：⑴1辆A型车和1辆B型车都装满物资一次可分别运货多少吨？⑵请你帮该物流公司设计租车方案；⑶若A型车每辆需租金100元/次，B型车每辆需租金120元/次．请选出最省钱的租车方案，并求出最少租车费．答案：1．解：（1）设平安公司60座和45座客车每天每辆的租金分别为x 元，y 元． 由题意列方程组200425000x y x y -=⎧⎨+=⎩，解得900700x y =⎧⎨=⎩.答：平安公司60座和45座客车每天每辆的租金分别为900元，700元. （2）九年级师生共需租金：5×900+1×700=5200（元）. 答：共需租金5200元．2．解：⑴设1辆A 型车和1辆B 型车都装满物资一次可分别运货x 吨、y 吨，依照题意得210211x y x y +=⎧⎨+=⎩，解得34x y =⎧⎨=⎩， 故1辆A 型车和1辆B 型车都装满物资一次可分别运货3吨、4吨．⑵依照题意可得3a +4b =31，b =3134a-，使a ，b 都为整数的情形共有a =1，b =7或a =5，b =4或a =9，b =1三种情形， 故租车方案分别为: ○1A 型车1辆，B 型车7辆；○2 A 型车5 辆，B 型车4辆； ○3A 型车9辆，B 型车1辆．⑶设租车费为w 元，则w =100a +120b ， 方案○1租车费为100×1+120×7=940(元)； 方案○2租车费为100×5+120×4=980(元)； 方案○3租车费为100×9+120×1=1020(元)．故方案（1）最省钱，即租用A 型车1辆，B 型车7辆．最少租车费为940元.5.5里程碑上的数专题 行程问题1. 一辆汽车在公路上匀速行驶，司机在路边看到一个里程碑上是一个两位数，行驶一小时后，他看到的里程碑上的数，恰好是第一个里程碑上的数颠倒顺序后的两位数，再过一小时，他看到的里程碑上的数，又恰好是第一次看到的两位数中间添上一个零的三位数，那么他第一次看到的两位数是（ ） A ．14 B ．15 C ．16 D ．172. 某人在电车路轨旁与路轨平行的路上行走，他留意到每隔6分钟有一部电车从他后面驶向前面，每隔2分钟有一部电车从对面驶向后面．假设电车和此人行走的速度都不变（分别为12u u ，表示），请你依照下面的示意图，求电车每隔几分钟（用t 表示）从车站开出一部？3. 甲、乙两人分别从相距30千米的A 、B 两地同时相向而行，通过3小时后相距3千米，再通过2小时，甲到B 地所剩路程是乙到A 地所剩路程的2倍，求甲、乙两人的速度．答案：1．C 【解析】 设第一次他看到的两位数的个位数为x ，十位数为y ，汽车行驶速度为v ，依照题意得⎩⎨⎧⨯=+-+⨯=+-+，，1)10(1001)10(10v y x x y v x y y x解得x=6y.∵xy 为1-9内的自然数，∴x=6，y=1； 即两位数为16．答：他第一次看到的两位数是16． 2．解：依照题意得1211216()2()u u u tu u u t-=⎧⎨+=⎩，解得122u u =． 3t =∴（分钟）．答：电车每隔3分钟从车站开出一部．3．解：设甲的速度为xkm/h ，乙的速度为ykm/h ，则有两种情形： （1）当甲和乙相遇前相距3千米时， 依题意得⎩⎨⎧-=-=++，，)530(2530303)(3y x y x5.6二元一次方程组与一次函数专题 二元一次方程组与一次函数关系的应用1. (2020江苏镇江)甲、乙两车从A 地将一批物品匀速运往B 地，甲动身0.5小时后乙开始动身，结果比甲早1小时到达B 地．如图，线段OP 、MN 分别表示甲、乙两车离A 地的距离s(千米)与时刻t （小时）的关系，a 表示A 、B 两地间的距离．请结合图象中的信息解决如下问题：(1)分别运算甲、乙两车的速度及a 的值；(2)乙车到达B 地后以原速赶忙返回，请问甲车到达B 地后以多大的速度赶忙匀速返回，才能与乙车同时回到A 地？并在图中画出甲、乙在返回过程中离A 地的距离s （千米）与时刻t （小时）的函数图象．2. 小华观看钟面（图1），了解到钟面上的分针每小时旋转360度，时针每小时旋转30度.他为了进一步研究钟面上分针与时针的旋转规律，从下午2:00开始对钟面进行了一个小时的观看.为了研究方便，他将分针与原始位置OP （图2）的夹角记为y 1度，时针与原始位置OP 的夹角记为y 2度（夹角是指不大于平角的角），旋转时刻记为t 分钟，观看终止后，他利用所得的数据绘制成图象（图3），并求出了y 1与t 的函数关系式：16(030)6360(3060)t t y t t ⎧=⎨-+⎩＜≤≤≤. 请你完成：（1）求出图3中y 2与t 的函数关系式；（2）直截了当写出A 、B 两点的坐标，并说明这两点的实际意义；（3）若小华连续观看一小时，请你在图3 中补全图象.答案：1．解：（1）由题意知，甲的速度为405.160=km/h ，乙的速度为605.05.160=-km/h. 设甲到达B 地的时刻为t ，则⎩⎨⎧=-=,3060,40a t a t 解得t=4.5，a=180. （2）如图，线段PE 、NE 分别表示甲、乙两车返回时离A 地的距离s （千米）与时刻 （小时）的关系，点E 的横坐标为：18020.5 6.560⨯+=，若甲、乙两车同时返回A 地， 则甲返回时需用的时刻为：1806.5240-=（小时），∴甲返回的速度为90k m /h. 图象如图所示．2．解：（1）由图3可知：y 2的图象通过点（0,60）和（60,90），设y 2=at+b ，则0606090a b a b +=⎧⎨+=⎩， 解得1260a b ⎧=⎪⎨⎪=⎩. ∴图3中y 2与t 的函数关系式为：y 2=12t+60. （2）A 点的坐标是A （12011,72011），点A 是6(030)y t t =≤≤和y 2=12t+60的交点；B 点的坐标是B （60013,108013），点B 是6360(3060)y t t =-+＜≤和y 2=12t+60的交点. （3）补全图象如下：5.7三元一次方程专题三元一次方程的应用1．小明、小敏、小新商量要在毕业前夕给老师办公室的4道窗户剪贴窗花表达大伙的尊师之情．小明说：“我来出一道数学题：把剪4个窗花的任务分配给3个人，每人至少剪个，有多少种分配方法”小敏想了想说：“设各人的任务为x、y、z，能够列出方程x+y+z=4．”小新接着说：“那么问题就成了问那个方程有几个正整数解．”现在请你说说看：那个方程正整数解的个数是（）A．6个B．5个C．4个D．3个2．某步行街摆放有若干盆甲、乙、丙三种造型的盆景．甲种盆景由15朵红花、24朵黄花和25朵紫花搭配而成；乙种盆景由10朵红花、12朵黄花搭配而成；丙种盆景由10朵红花、18朵黄花和25朵紫花搭配而成．这些盆景一共用了2900朵红花，3750朵紫花，则黄花一共用了朵．3．把数字1，2，3，…，9分别填入下图的9个圈内，要求三角形ABC和三角形DEF的每条边上三个圈内的数字之和都等于18．（1）给出一种符合要求的填法；（2）共有多少种不同填法？证明你的结论．答案：1．D 【解析】（1）当x=1时，y=1，z=2或y=2，z=1；（2）当y=1时，x=1，z=2或x=2，y=1；（3）当z=1时，x=1，y=2或y=1，x=2．故选D．2．4380 【解析】设步行街摆放有甲、乙、丙三种造型的盆景分别有x盆、y盆、z盆．由题意，有1510102900 25253750x y zx z++=⎧⎨+=⎩①②，由①，得3x+2y+2z=580，③由②，得x+z=150，④把④代入③，得x+2y=280，∴2y=280﹣x，⑤由④得z=150﹣x．⑥∴4x+2y+3z=4x+（280﹣x）+3（150﹣x）=730，∴24x+12y+18z=6（4x+2y+3z）=6×730=4380．故黄花一共用了4380朵．3.解：（1）如图给出了一个符合要求的填法.（2）共有6种不同填法.证明:把填入A，B，C三处圈内的三个数之和记为x；D，E，F三处圈内的三个数之和记为y；其余三个圈所填的数位之和为z．明显有x+y+z=1+2+…+9=45，①图中六条边，每条边上三个圈中之数的和为18，因此有z+3y+2x=6×18=108，②②-①，得x+2y=108-45=63，③把AB，BC，CA边上三个圈中的数相加，则可得2x+y=3×18=54，④联立③，④，解得x=15，y=24，继而解得之z=6．在1，2，3，…，9中三个数之和为24的仅为7，8，9，因此在D，E，F三处圈内，只能填7，8，9三个数，共有6种不同填法．明显，当这三个圈中的数一旦确定，依照题目要求，其余六个圈内的数也随之确定，从而得结论，共有6种不同的填法．。
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A. 无数个
B. 两个
C. 三个
D. 四个
7、若 3x 2ab1 y 与 5xy a2b1 是同类项，则 b a
4、已知在方程 3x 5 y 2 中，若用含有 x 的代数式表示 y ，则 y
知识点 3 二元一次方程组的解法 8、选择适当的方法解方程组
，用含有 y 的代数式表示 x ，则 x 5、若 m n 5 ，则15 m n
A．
x y 246 x y 246 x y 216 x y 246
2 y x 2
B.2x y 2
C.
y
2
x
2
D.2 y x 2
二、填空题（每题 3 分，共 33 分） 1．若 x3m－3－2yn－1=5 是二元一次方程，则 m=_____，n=______．
一、选择题：（每题 3 分，共 33 分）
3 个或衣袖 5 只，贤计划用 132 米这样布料生产这批秋装（不考虑布料的损 耗），应分别用多少布料才能使做的衣身和衣袖恰好配套
题型四、列二元一次方程组解决工程问题 5、 某城市为了缓解缺水状况，实施了一项饮水工程，就是把 200 千米以外的一
条大河的水引到城市中来，把这个工程交给甲、乙两个施工队，工期为 50 天，甲、乙两队合作了 30 天后，乙队 因另外有任务需要离开 10 天，于是 甲队加快速度，每天多修 0.6 千米，10 天后乙队回来后，为了保证工期，甲 队保持现在的速度不变，乙队每天比原来多修 0.4 千米，结果如期完成，问： 甲、乙两队原计划每天各修多少千米？
方程叫做二元一次方程，它的一般形式是 ax by c(a 0, b 0) .
例 2、将方程10 2(3 y) 3(2 x) 变形，用含有 x 的代数式表示 y .
图表信息问题-二元一次方程在实际问题中的应用
图表信息问题-二元一次方程在实际问题中的应用一、单选题1．在学校组织的游艺晚会上，掷飞标游艺区游戏区规则如下，如图掷到A 区和B 区的得分不同，A 区为小圆内部分，B 区为大圆内小圆外部分（掷中一次记一个点）现统计小华、小明和小芳掷中与得分情况，如图所示，依此方法计算小芳的得分为（）A ．76B ．74C ．72D ．702．为筑牢拒毒防线，提升青少年识毒能力，2022年秋季学期花溪区某校举行“珍爱生命，远离毒品”知识竞赛活动，评分标准是：答对一题加10分，答错一题扣5分，不回答扣2分；一共10个题，每个队的基本分均为0分，A 、B 两个参赛队前8题的答题情况如下表，则a 与b 的值分别为（）参赛队题目数量（题）答对（题）答错（题）不回答（题）得分（分）A 860256B8ab35A ．2a =，6b =B ．5a =，3b =C ．6a =，2b =D ．3a =，5b =3．“九宫图”传说是远古时代洛河中的一个神龟背上的图案，故又称“龟背图”．中国古代数学史上经常研究这一神话，数学上的“九宫图”所体现的是一个3×3方格，每一行、每一列及斜对角的三个数之和都相等，也称之为三阶幻方，如图是一个满足条件的三阶幻方的一部分，则图中的字母m 表示的数是（）A ．5B ．7C ．8D ．6二、填空题4．科技馆门票价格规定如下表．购票张数1﹣50张51﹣100张100张以上每张票的价格15元12元10元某学校七年级①、②两个班共103人去科技馆，其中①班有40多人，不足50人，经计算，如果两个班都以班为单位购票，则一共应付1377元．七年级②班学生有_________人，如果两个班联合起来，作为一个团体购票，可以省_______元．～这九个数填入33 方格中，使其任意一行，任意一列及任意一条对角线上的5．把19数之和都相等，这样便构成了一个“九宫格”，它源于我国古代的“洛书”（图1），是世界上最早的“幻方”．图2是仅可以看到部分数值的“九宫格”，则y x的值为__________．6．利用两块长方体木块测量一张桌子的高度．首先按图①方式放置，再交换两木块的位置，按图②方式放置．测量的数据如图，则桌子的高度是______cm；7．根据图中给出的信息，现放入大球小球共10个，现在水位为26cm，要使水位上升到52cm，应放入_____个大球．三、解答题8．为响应国家节能减排的号召，鼓励居民节约用电，各省市先后出台了“阶梯价格”制度，如表中是某市的电价标准（每月）．阶梯电量x（单位：度）电费价格一档0＜x≤180a元/度二档180＜x≤350b元/度三档x＞3500.9元/度(1)已知小明家5月份用电252度，缴纳电费158.4元，6月份用电340度，缴纳电费220元，请你根据以上数据，求出表格中的a，b的值．(2)7月份开始用电增多，小明家缴纳电费285.5元，求小明家7月份的用电量．9．在下面33⨯的方阵图中每行、每列及对角线上的3个数（或代数式）的和都相等．(1)如图1，则m=________，n=________(2)如图2，则=a________（用含b的代数式表示）(3)如图3，则=a________，b=________10．如图，长青化工厂与A，B两地有公路，铁路相连．这家工厂从A地购买一批每吨2000元的原料运回工厂，制成每吨5000元的产品运到B地，已知公路运价为2元/（吨·千米），铁路运价为1.5元/（吨·千米），且这两次运输共支出公路运输费14000元，铁路运输费87000元．求：(1)该工厂从A地购买了多少吨原料？制成运往B地的产品多少吨？(2)不计其他因素，这批产品的利润为多少元（利润＝销售款－原料费－运输费）？11．我国最新的个人所得税“起征点”是5000元，即月工资超过5000元的部分需要缴纳税收，具体如表，其中应纳税所得额＝月工资﹣5000﹣专项扣除金额﹣依法确定的其他扣除金额．（1）某员工的应纳税所得额为4000元，求该员工缴纳的税额是多少？（2）我国专项扣除的常见项目及金额如下：①每个子女教育扣除2000元；②住房贷款扣除2000元；③赡养每位老人扣除2000元．某公司一技术专家的月工资是40000元，他有1个读初中的子女、一套住房的贷款和赡养2位老人，则该技术专家缴纳的税额是多少元？（3）公益捐赠属于依法确定的其他扣除项目，在（2）的基础上，该技术专家在三月份参加了公益捐赠活动后，实际收入33610元，求该技术专家在三月份捐赠了多少元？2020年个人所得税税收表（工资薪金所得适用）级数应纳税所得额税率10至3000元的部分3%2超过3000元至12000元的部分10%3超过12000元至25000元的部分20%4超过25000元至35000元的部分25%5超过35000元至55000元的部分30%12．泉州市某校准备组织教师、学生、家长到福州进行参观学习活动，旅行社代办购买动车票，动车票价格如下表所示：运行区间大人票价学生票出发站终点站一等座二等座二等座泉州福州65（元）54（元）40（元）根据报名总人数，若所有人员都买一等座的动车票，则共需13650元，若都买二等座动车票（学生全部按表中的“学生票二等座”购买），则共需8820元；已知家长的人数是教师的人数的2倍．（1）设参加活动的老师有m人，请直接用含m的代数式表示教师和家长购买动车票所需的总费用；（2）求参加活动的总人数；（3）如果二等座动车票共买到x张，且学生全部按表中的“学生票二等座”购买，其余的买一等座动车票，且买票的总费用不低于9000元，求x的最大值．13．某饮料厂生产大瓶装甲饮料和小瓶装乙饮料，去年11月份该饮料厂售出甲、乙两种饮料共10000瓶，11月份的销售额为7.1万元，已知甲饮料每瓶出厂价是12元，乙饮料每瓶出厂价是5元．（1）去年11月份饮料厂售出甲、乙两种饮料各多少瓶？、两种果汁原料，表1是相关数据，A原料每千克（2）饮料厂生产甲、乙饮料需要A B进价4元，B原料每千克进价3元．去年12月份，饮料厂决定对甲饮料进行促销，买一瓶甲饮料送一瓶乙饮料，单独购买乙饮料无优惠．结果12月份售出的甲饮料数量比11月份售出甲饮料的数量增加40%，12月份饮料厂销售甲、乙两种饮料的总利润为3.12万元，求去年12月份饮料厂实际售出乙饮料多少瓶（不含赠送）？每瓶用量饮料甲乙A（单位：千克）0.90.2B（单位：千克）0.80.4（3）今年1月份，即将迎来新春佳节，饮料厂决定量大从优，规定一次性购买甲、乙两种饮料的优惠方案分别如表2、表3．某超市分两次分别购进甲、乙两种饮料，第一次全部购进甲饮料，第二次全部购进乙饮料，两次共购进2000瓶饮料（第一次购进甲饮料的数量小于第二次购进的乙饮料的数量），超市两次实际共付给饮料厂11470元．超市甲饮料售价为每瓶18元，乙饮料的售价为每瓶10元，若超市将甲、乙两种饮料全部售出，那么超市可赚多少钱？一次性购买甲饮料的数量（瓶）优惠方案未超过500所购饮料全部按九折优惠超过500所购饮料全部按八折优惠一次性购买乙饮料的数量（瓶）优惠方案未超过500的部分不享受优惠方案超过500但未超过1000部分按九折优惠超过1000的部分按八折优惠14．某校九年级314名学生准备坐客车到校外参加体育中考，客车类型和租车价格如下表，已知B型客车的座位数是A型客车座位数的两倍少1个，C型客车座位数比B型客车座位数多13个．客车类型A型客车B型客车C型客车乘客座位（个）19______________租车价格（元/辆）120015001800（1）根据题意，填写表格．（2）若计划同时租A型客车和C型客车，一次送完，且恰好每辆车都坐满，租车用为14400元，求计划租A型和C型车各多少辆．（3）考试当天有老师和志愿者家长共36人一同前往，若同时租用三种车，且每辆车都坐满，已知A型车的数量是B型车的n倍（n为正整数），则租C型车________辆．（直接写出答案）参考答案：1．B【分析】首先设掷到A 区和B 区的得分分别为x 、y 分，根据图示可得等量关系：①掷到A 区5个的得分+掷到B 区3个的得分=77分；②掷到A 区3个的得分+掷到B 区5个的得分=75分，根据等量关系列出方程组，解方程组即可得到掷中A 区、B 区一次各得多少分；由图示可得求的是掷到A 区2个的得分+掷到B 区6个的得分，根据解出的数代入计算即可．【详解】设掷到A 区和B 区的得分分别为x 、y 分，依题意得：53773575x y x y +=⎧⎨+=⎩，解得：109x y =⎧⎨=⎩，可知：2x+6y ＝74，答：依此方法计算小芳的得分为74．故选B ．【点睛】本题考查二元一次方程组的应用.2．B【分析】根据题意可得105358a b a b -=⎧⎨+=⎩，然后根据二元一次方程的组解可进行求解．【详解】解：由题意得：105358a b a b -=⎧⎨+=⎩，解得：53a b =⎧⎨=⎩；故选B ．【点睛】本题主要考查二元一次方程组的应用，解题的关键是理解题中的等量关系．3．D【分析】由427p m m ++=++，得出5p =，设第一列最后一个数是x ，由2545x m ++=++，得2x m =+，再由第一列三个数的和等于第二行三个数的和，可列方程2457m ++=+，解方程求出m 的值即可．【详解】∵427p m m ++=++∴5p =设第一列最后一个数是x ，则2545x m ++=++，解得：2x m=+，∵由第一列三个数的和等于第二行三个数的和，∴2457m++=+，解得：6m=，∴图中字母m表示的数是6．故选：D．【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，用含有m的代数式表示出表中的某些数是解题的关键．4．56347【分析】设七年级②班有x人，七年级①班有y人，由题意：七年级①、②两个班共103人去科技馆，其中①班有40多人，不足50人，经计算，如果两个班都以班为单位购票，则一共应付1377元，列出方程组，解方程组即可，再求出购买103张票的总钱数，即可求解．【详解】解：设七年级②班有x人，七年级①班有y人，由题意得：103 12151377 x yx y+=⎧⎨+=⎩，解得：5647 xy=⎧⎨=⎩，∴七年级②班有56人，1377-10×103=347（元）．即如果两班联合起来，作为一个团体购票，可省347元，故答案为：56，347．【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．5．1【分析】由题意根据任意一行，任意一列及任意一条对角线上的数之和都相等列出方程542x y y++=++，列出方程5285x y++=++，即可得出答案．【详解】解：由题意得，5425285 x y y x y++=++⎧⎨++=++⎩，解得19 xy=⎧⎨=⎩，∴911y x ==，故答案为：1．【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，理解“九宫格”满足的条件进而得到等量关系列出方程组是解题的关键．6．75【分析】设桌子的高度为h cm ，长方体木块的长为x cm ，长方体木块的宽为y cm ，建立关于h ，x ，y 的方程组求解．【详解】解：设桌子的高度为h cm ，长方体木块的长为x cm ，长方体木块的宽为y cm ，由第一个图形可得：h −y ＋x ＝80，由第二个图形可得：h −x ＋y ＝70，两个方程相加得：（h −y ＋x ）＋（h −x ＋y ）＝150，解得：h ＝75．即桌子的高度为75cm ．故答案为：75．【点睛】本题是一道能力题，考查方程思想、整体思想的应用及观察图形的能力．7．6【分析】根据量筒中水面的原高度及放入3个小球或2个小球时水面升高的高度，即可求出放入每个小球（或大球）水面升高的高度，设放入大球x 个，小球y 个，根据放入大、小球10个后量筒中的水面高度为52cm ，即可得出关于x ，y 的二元一次方程组，解之即可得出结论．【详解】解：（32-26）÷3=6÷3=2（cm ）；（32-26）÷2=6÷2=3（cm ）．∴放入一个小球水面升高2cm ，放入一个大球水面升高3cm ；设放入大球x 个，小球y 个，依题意10325226x y x y +=⎧⎨+=-⎩，解得64x y =⎧⎨=⎩．故答案为：6．【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．8．(1)a的值为0.6，b的值为0.7(2)415度【分析】(1)根据各档的电费价格和所用的电数以及所缴纳电费，列出方程组，进行求解即可；(2)根据题意先判断出小明家所用的电所在的档，再设小明家家7月份用电量为x度，根据价格表列出等式，求出x的值即可．【详解】（1）解：依题意得：，()() 180252180158.4 180340180220a ba b⎧+-=⎪⎨+-=⎪⎩解得：0.60.7 ab=⎧⎨=⎩．故a的值为0.6，b的值为0.7．（2）解：若一个月用电量为350度，电费为180×0.6＋(350﹣180)×0.7=227（元），∵285.5＞227，∴小明家7月份用电量超过350度．设小明家7月份用电量为x度，依题意得：180×0.6＋(350﹣180)×0.7＋(x﹣350)×0.9=285.5，解得：x=415．答：小明家7月份的用电量为415度．【点睛】此题考查了二元一次方程组的应用和一元一次方程的应用，解决问题的关键是读懂题意，找到关键描述语，找到所求的量的等量关系．9．(1)2-，2(2)13b -；(3)1，3-【分析】（1）根据每行，对角线上的和都相等，可得m、n的值；（2）设中间的数为x，根据对角线上与第三列的和相等，可得a与b的关系；（3）设中间的数为x，根据第一行与第三列、对角线上与第二行的和相等，可得a与b的值．【详解】（1）解：由题意，得，35341m ++=+-，解得：2m =-；51341n +-=+-，解得：2n =；故答案为：2-，2；（2）解：设中间的数为x ，则右上角的数为()23x a a a a x a +--+=-，如图所示：由题意得：433x a b a x a a ---=+-，解得：13a b =-；故答案为：13b -；（3）解：设中间的数为x，如图所示：由题意得：423413a a b b b a a x a b x b ⎧++=--⎪⎪⎨⎪+-=-+-⎪⎩，整理得：13113a b b ⎧=-⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩，解得：13a b =⎧⎨=-⎩．故答案为：1，3-．【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，解答本题的关键是充分利用“每行，每列及对角线上的3个数（或代数式）的和都相等”，得出等式求解，难度一般．10．(1)工厂从A 地购买了300吨原料，制成运往B 地的产品200吨(2)299000元【分析】（1）设该工厂从A 地购买了x 吨原料，制成运往B 地的产品y 吨，根据“这两次运输共支出公路运输费14000元，铁路运输费87000元”，即可得出关于x ，y 的二元一次方程组，解之即可得出结论；（2）根据“利润＝销售款－原料费－运输费”计算求解即可．【详解】（1）解：设工厂从A 地购买了x 吨原料，制成运往B 地的产品y 吨．则依题意，得：210220140001.5120 1.511087000x y x y ⨯+⨯=⎧⎨⨯+⨯=⎩解得：300200x y =⎧⎨=⎩∴工厂从A 地购买了300吨原料，制成运往B 地的产品200吨；（2）解：依题意，得：200500030020001400087000299000⨯-⨯--=（元）答：这批产品的利润是299000元．【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．11．（1）190元；（2）4090元；（3）3000元【分析】（1）根据题意可以计算出该员工需缴纳的个人所得税；（2）根据题意减去专项扣除的常见项目；可计算技术专家需缴纳的个人所得税；（3）设该技术专家在三月份实际纳税额x ，元捐赠了y 元，公益捐赠属于依法确定的其他扣除项目，根据实际收入可计算出捐赠数；【详解】解：（1）由题意可得，应纳税所得额为4000元0-3000元部分：3000×3%=903000-4000元部分：（4000-3000）×10%=100100+90=190元答：该员工缴纳的税额是190元；（2）应纳税所得额=40000-5000-2000-2000-2×2000=27000依据税率表分级计算：0-3000元部分：3000×3%=903000-12000元部分：（12000-3000）×10%=900 12000-25000元部分：（25000-12000）×20%=2600 25000-27000元部分：（27000-25000）×25%=500 90+900+2600+500=4090元答：该技术专家缴纳的税额是4090元.（3）设实际纳税额x元，公益捐赠了y元，40000-33610=6390元∵y＞6390-4090=2300∴27000-y＜24700，即应纳税所得额不足25000元由题意可列方程组639090900(2700012000)20%x yy x +=⎧⎨++--⨯=⎩解得33903000 xy=⎧⎨=⎩答：技术专家在三月份捐赠了3000元．【点睛】本题考查分类纳税，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，方程组的性质解答．12．（1）购买一等票为195m；购买二等票为162m；（2）210；（3）180，193．【分析】（1）求出教师和家长的总人数，根据一等票和二等票两种情况求出代数式．（2）设参加社会实践的老师有m人，学生有n人，则学生家长有2m人，根据若所有人员都买一等座的动车票，则共需13650元，若都买二等座动车票（学生全部按表中的“学生票二等座”购买），则共需8820元，可求出解．（3）由（2）知所有参与人员总共有210人，其中学生有180人，所以买学生票共180张，有（x﹣180）名大人买二等座动车票，（210﹣x）名大人买一等座动车票，根据票的总费用不低于9000元，可列不等式求解．【详解】解：（1）购买一等票为：65•3m＝195m；购买二等票为：54•3m＝162m，（2）设参加社会实践的老师有m人，学生有n人，则学生家长有2m人，依题意得：1956513650{543408820m n m n +=⨯+=，解得：10180m n =⎧⎨=⎩，则2m ＝20，总人数为：10+20+180＝210（人）经检验，符合题意；答：参加活动的总人数为210人．（3）由（2）知所有参与人员总共有210人，其中学生有180人，所以买学生票共180张，有（x ﹣180）名大人买二等座动车票，（210﹣x ）名大人买一等座动车票．∴购买动车票的总费用＝40×180+54（x ﹣180）+65（210﹣x ）＝﹣11x +11130．依题意，得：﹣11x +11130≥9000…解得：719311x ≤，∵x 为整数，∴x 的最大值是193.【点睛】本题考查理解题意的能力，关键是根据买一等票和二等票的价格做为等量关系求出人数，然后根据实际买票的总费用列出不等式求出解．13．（1）甲种饮料3000瓶，乙种饮料7000瓶；（2）4800瓶；（3）11730元【分析】（1）设去年11月份饮料厂售出甲种饮料x 瓶，乙种饮料y 瓶，根据“去年11月份该饮料厂售出甲、乙两种饮料共10000瓶，且去年11月份的销售额为7.1万元”，即可得出关于x ，y 的二元一次方程组，解之即可得出结论；（2）设去年12月份饮料厂实际售出乙饮料m 瓶，根据12月份饮料厂销售甲、乙两种饮料的总利润为3.12万元，即可得出关于m 的一元一次方程，解之即可得出结论；（3）设购进甲种饮料a （0＜a ＜1000）瓶，则购进乙种饮料（2000-a ）瓶，分0＜a ≤500及500＜a ＜1000两种情况考虑，根据饮料厂给出的优惠政策及两次实际共付给饮料厂11470元，即可得出关于a 的一元一次方程，解之即可得出a 的值，再利用获得的利润=销售总额-进货成本，即可求出结论．【详解】解：（1）设去年11月份饮料厂售出甲种饮料x 瓶，乙种饮料y 瓶，依题意得：1000012571000x y x y +=⎧⎨+=⎩，解得：30007000x y =⎧⎨=⎩，答：去年11月份饮料厂售出甲种饮料3000瓶，乙种饮料7000瓶．（2）设去年12月份饮料厂实际售出乙饮料m瓶，依题意得：12×3000×（1+40%）+5m-（0.9×4+0.8×3）×3000×（1+40%）-（0.2×4+0.4×3）×[3000（1+40%）+m]=31200，整理得：3m-14400=0，解得：m=4800．答：去年12月份饮料厂实际售出乙饮料4800瓶．（3）设购进甲种饮料a（0＜a＜1000）瓶，则购进乙种饮料（2000-a）瓶．当0＜a≤500时，12×0.9a+5×500+5×0.9×（1000-500）+5×0.8（2000-a-1000）=11470，解得：a=400；当500＜a＜1000时，12×0.8a+5×500+5×0.9×（1000-500）+5×0.8（2000-a-1000）=11470，解得：a=48557（不合题意，舍去）．∴18a+10（2000-a）-11470=11730（元）．答：超市可赚11730元．【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用以及一元一次方程的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）找准等量关系，正确列出一元一次方程；（3）找准等量关系，正确列出一元一次方程．14．（1）37，50；（2）计划租A型客车6辆，租C型客车4辆；（3）1或4【分析】（1）根据题意列式计算即可；（2）设租A型客车x辆，租C型客车y辆，根据总人数314人以及总费用14400元列出二元一次方程组并求解即可；（3）先求得总人数为350人，再设租C型客车a辆，租B型客车b辆，租A型客车nb辆，然后列出方程19nb＋37b＋50a＝350，进而对其进行分类讨论即可．【详解】解：（1）B型客车的座位数：19×2－1＝37（个），C型客车座位数：37＋13＝50（个），故答案为：37，50；（2）设租A型客车x辆，租C型客车y辆，根据题意，得：1950314 1200180014400x yx y+=⎧⎨+=⎩，解得：64 xy=⎧⎨=⎩，答：计划租A型客车6辆，租C型客车4辆；（3）总人数为：314＋36＝350（人），设租C型客车a辆，租B型客车b辆，则租A型客车nb辆（a≥1，b≥1，n≥1且a、b、n为正整数），由题意得：19nb＋37b＋50a＝350，即：（19n＋37）b＋50a＝350，当a＝1时，则（19n＋37）b＝300，∵300＝2×2×3×5×5，∴若b＝1，则19n＋37＝300，解得：161319n=（不符合题意，舍去），若b＝2，则19n＋37＝150，解得：161319n=（不符合题意，舍去），若b＝3，则19n＋37＝100，解得：6319n=（不符合题意，舍去），若b＝4，则19n＋37＝75，解得：2n=（符合题意），若b＝5，则19n＋37＝60，解得：4119n=（不符合题意，舍去），若b＝6，则19n＋37＝50，解得：1319n=（不符合题意，舍去），此时1319n=＜1；当a＝2时，则（19n＋37）b＝250，∵250＝2×5×5×5，∴若b＝1，则19n＋37＝250，解得：41119n=（不符合题意，舍去），若b＝2，则19n＋37＝125，解得：12419n=（不符合题意，舍去），若b＝5，则19n＋37＝50，解得：1319n=（不符合题意，舍去），此时1319n=＜1；当a＝3时，则（19n＋37）b＝200，∵200＝2×2×2×5×5，∴若b＝1，则19n＋37＝200，解得：11819n=（不符合题意，舍去），若b＝2，则19n＋37＝100，解得：6319n=（不符合题意，舍去），若b＝4，则19n＋37＝50，解得：1319n=（不符合题意，舍去），此时1319n=＜1；当a＝4时，则（19n＋37）b＝150，∵150＝2×3×5×5，∴若b＝1，则19n＋37＝150，解得：161319n=（不符合题意，舍去），若b＝2，则19n＋37＝75，解得：2n=（符合题意），若b＝3，则19n＋37＝50，解得：1319n=（不符合题意，舍去），此时1319n=＜1；当a＝5时，则（19n＋37）b＝100，∵100＝2×2×5×5，∴若b＝1，则19n＋37＝100，解得：6319n=（不符合题意，舍去），若b＝2，则19n＋37＝50，解得：1319n=（不符合题意，舍去），此时1319n=＜1；当a＝6时，则（19n＋37）b＝50，若b＝1，则19n＋37＝50，解得：1319n=（不符合题意，舍去），此时1319n=＜1，综上所述：符合题意的a的值为1或4，故答案为：1或4．【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，第（2）问的关键是理清题意，设出未知数，根据等量关系列出方程组求解，第（3）问的关键是学会正确进行分类讨论，要保证每种情况不重也不漏．。
七年级数学下册《二元一次方程组》的8个类型，专治各类应用题！
七年级数学下册《二元一次方程组》的8个类型，专治各类应用题！开学后，大家已经正常学习了。
如何检验孩子的学习情况呢？王老师准备了七年级数学下册《二元一次方程组》的8个类型，收藏学习！《二元一次方程组》的8个类型一、实际问题与二元一次方程组的思路1.列方程组解应用题的基本思想列方程组解应用题，是把“未知”转换成“已知”的重要方法，它的关键是把已知量和未知量联系起来，找出题目中的等量关系。
一般来说，有几个未知量就必须列出几个方程，所列方程必须满足：① 方程两边表示的是同类量；② 同类量的单位要统一；③ 方程两边的数要相等。
2.列二元一次方程组解应用题的一般步骤设：用两个字母表示问题中的两个未知数；列：列出方程组（分析题意，找出两个等量关系，根据等量关系列出方程组）；解：解方程组，求出未知数的值；答：写出答案。
3.要点诠释（1）“设”、“答”两步，都要写清单位名称；（2）一般来说，设几个未知数就应该列出几个方程并组成方程组。
二、八大典型例题详解01.和差倍数问题知识梳理和差问题是已知两个数的和或这两个数的差，以及这两个数之间的倍数关系，求这两个数各是多少。
典型例题思路点拨：由甲乙两人2分钟共打了240个字可以得到第一个等量关系式2(x+y)=240，再由甲每分钟比乙多打10个字可以得到第二个等量关系式x-y=10，组成方程组求解即可。
变式拓展思路点拨：由甲组学生人数是乙组的3倍可以得到第一个等量关系式x=3y，由乙组的学生人数比甲组的3倍少40人可以得到第二个等量关系式3x-y=40，组成方程组求解即可。
02.产品配套问题知识梳理总人数等于生产各个产品的人数之和；各个产品数量之间的比例符合整体要求。
典型例题思路点拨：本题的第一个等量关系比较容易得出：生产螺钉和螺母的工人共有22名；第二个等量关系的得出要弄清螺钉与螺母是如何配套的，即螺母的数量是螺钉的数量的2倍（注意：别把2倍的关系写反）。
变式拓展思路点拨：根据共有170名学生可得出第一个等量关系x+y=170，根据每个树坑对应一棵树可得第二个等量关系3x=7y，组成方程组求解即可。
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第三次购物
9
8
1 062
(1)小林以折扣价购买商品 A，B 是第________次购物；
(2)求出商品 A，B 的标价；
(3)若商品 A，B 的折扣相同，问商店是打几折出售这两种商品的？
几何图形类 3．某药业集团生产的某种药品包装盒的表面展开图如图所示．已知长方体 盒子的长比宽多 4 cm，求这种药品包装盒的体积．
(3)设商品 A，B 均打 a 折出售．
根据题意，得(9×90＋8×120)× a ＝1 062. 10
解得 a＝6.
答：商店是打 6 折出售这两种商品的．
3．解：设这种药品包装盒的宽为 x cm，高为 y cm，则长为(x＋4)cm.
2x＋2y＝14，
x＝5，
根据题意，得
解得
所以 x＋4＝9.
x＋4＋2y＝13. y＝2.
(2)按团体票一次性购买 16 张门票更省钱．理由：
按团体票一次性购买 16 张门票需要 35×60%×16＝336(元)，因为 336<350，所以按团
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
体票一次性购买 16 张门票更省钱．
3
(第 1 题)
表格信息类
2．【中考·连云港】小林在某商店购买商品 A，B 共三次，只有一次购买时， 商品 A，B 同时打折，其余两次均按标价购买，三次购买商品 A，B 的数量和费 用如下表：
购买商品 A 的 购买商品 B 的 购买总费
数量/个
数量/个
用/元
第一次购物
6
5
1 140
第二次购物
3
7
1 110
故这种药品包装盒的长为 9 cm，宽为 5 cm，高为 2 cm.
体积 V＝9×5×2＝90(cm3)．
答：这种药品包装盒的体积为 90 cm3.
4．解：(1)设一共去了 x 个大人，y 个学生．
x＋y＝12， 根据题意，得
x＝8， 解得
35x＋35y×50%＝350， y＝4.
答：一共去了 8 个大人，4 个学生．
专训 1 图表信息问题的四种类型
名师点金：二元一次方程组的应用是初中教材中的重要内容，也是中考的热点内容之一， 特别是近几年中考中，将已知条件以图形或图表等形式给出，出题手法新颖，给人耳目一新 的感觉．
.
实物信息类
1．如图，在东北大秧歌的踩高跷表演中，已知演员身高是高跷长度的 2 倍， 高跷与腿重合部分的长度为 28 cm，演员踩在高跷上时，头顶距离地面的高度为 224 cm，设演员的身高为 x cm，高跷的长度为 y cm，求 x，y 的值．
1
(第 3 题)
对话信息类 4．在“五一”期间，小明、小亮等同学随家长一同到某公园游玩，下面是 购买门票时，小明与他爸爸的对话，如图所示，试根据图中的信息，解答下列问 题： (1)小明他们一共去了几个大人，几个学生？ (2)请你帮助小明算一算，用哪种方式购票更省钱．说明理由．
(第 4 题)
2
答案
x＝2y，
x＝168，
1． 解：根据题意列方程组，得
解得
x＋y－28＝224， y＝84.
答：x 的值为 168，y 的值为 84.
2．解：(1)三
(2)设商品 A，B 的标价分别为 x 元、y 元．
6x＋5y＝1 140， x＝90，
根据题意，得
解得
3x＋7y＝1 110.
y＝120.
答：商品 A，B 的标价分别为 90 元、120 元．